01Extrait Bases Du Signal

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Chapitre 1 Base des Signaux 1.1 Classication des signaux 1.1.1 Signaux variation temporelle continue-discrLte Les signaux variation temporelle continue sont des fonctions dune ou plusieurs variables continues (dØnies dans un espace continu, par exemple lensemble des nombres rØels entre -1 et +1, ou encore entre -1 et +1), comme reprØsentØ sur la gure 1.1. La variable tet les parenthLses ( )sont utilisØes pour dØcrire une telle variation. Cette variable reprØsente typiquement le temps, mais elle peut aussi reprØsenter une tempØrature, une altitude ... etc... t x(t) 0 Fig. 1.1 Signal variation temporelle continue Les signaux variation temporelle discrLte sont des fonctions dune ou plusieurs variables discrLtes (dØnies pour certaines valeurs seulement 1

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  • Chapitre 1

    Base des Signaux

    1.1 Classication des signaux

    1.1.1 Signaux variation temporelle continue-discrte

    Les signaux variation temporelle continue sont des fonctions duneou plusieurs variables continues (dnies dans un espace continu, par exemplelensemble des nombres rels entre -1 et +1, ou encore entre -1 et +1),comme reprsent sur la gure 1.1.La variable t et les parenthses ( ) sont utilises pour dcrire une

    telle variation. Cette variable reprsente typiquement le temps, mais ellepeut aussi reprsenter une temprature, une altitude ... etc...

    t

    x ( t )

    0

    Fig. 1.1 Signal variation temporelle continue

    Les signaux variation temporelle discrte sont des fonctions duneou plusieurs variables discrtes (dnies pour certaines valeurs seulement

    1

  • et non pour un continuum de valeurs : lensemble des nombres entiers parexemple entre -1 et +1 ou encore entre 0 et 40), comme reprsent sur lagure 1.2.La variable n et les crochets [ ] sont utiliss pour dcrire une telle

    variation. Cette variable reprsente en gnral le temps, mais elle peut aussireprsenter dautres quantits.

    x [ n ]

    n

    Fig. 1.2 Signal variation temporelle discrte

    1.1.2 Signaux pairs et signaux impairs

    Un signal variation temporelle continue x(t) est dit pair, sil satisfait(1-1).

    x (t) = x (t) pour tout t (1-1)

    Un signal variation temporelle continue x (t) est dit impair, sil satisfait(1-2).

    x (t) = x (t) pour tout t (1-2)Un signal variation temporelle discrte x[n] est dit pair, sil satisfait (1-3).

    x [n] = x [n] pour tout n (1-3)

    Un signal variation temporelle discrte x[n] est dit impair, sil satisfait(1-4).

    x [n] = x [n] pour tout n (1-4)

    Proprit : On peut toujours dcomposer un signal quelconque x (t) enla somme de deux signaux particuliers, lun pair et lautre impair (1-5).

    2

  • x (t) = xe (t) + xo (t) (1-5)

    xe (t) signie la partie paire : evenen anglaisxo (t) signie la partie impaire : odden anglais.

    xe (t) =1

    2fx (t) + x (t)g (1-6)

    xo (t) =1

    2fx (t) x (t)g (1-7)

    Exemple E.1 : Trouver les parties paire et impaire du signal e2t cos (t) :En remplaant t par -t, on a la relation :

    x (t) = e2t cos (t)! x (t) = e2t cos (t) = e2t cos (t)Appliquons les formules de dnition des parties paire et impaire :

    xe (t) =1

    2

    e2t cos (t) + e2t cos (t)

    = cos (t) e

    2t + e2t

    2) xe(t) = cos(t) ch(2t)

    xo(t) =1

    2

    e2t cos(t) e2t cos(t) = cos(t) e2t e2t

    2) xo(t) = cos(t) sh(2t)

    sh(2t) et ch(2t) reprsentent respectivement les sinus hyperboliques et cosinushyperboliques.

    Problme P.1 : Trouver les parties paire et impaire de chacun des si-gnaux suivants :

    1. x(t) = cos(t) + sin(t) + sin(t) cos(t)2. x(t) = 1 + t+ 3t2 + 5t3 + 9t4

    3. x(t) = 1 + t cos(t) + t2 sin(t) + t3 sin(t) cos(t)4. x(t) = (1 + t3) cos3(t)

    Rponses :

    1. Paire : cos(t); Impaire : sin(t) f1 + cos(t)g :2. Paire : 1 + 3t2 + 9t4; Impaire : t+ 5t3:

    3. Paire : 1 + t3 sin(t) cos(t); Impaire : t cos(t) + t2 sin(t):

    4. Paire : cos3(t); Impaire : t3 cos3(t):

    3

  • 1.1.3 Signaux priodiques et signaux apriodiques

    Un signal priodique x(t) est une fonction du temps qui satisfait la condi-tion (1-8).

    x(t) = x(t+ T ) pour tout t (1-8)

    T est une constante positive. Il est vident que si la condition est satisfaitepour T = T0, elle est aussi satisfaite pour T = 2T0, T = 3T0; T = 4T0:Lavaleur la plus petite de T qui satisfait lquation de dnition est appelepriode fondamentalede x(t):La priode fondamentale de T dnit donc la dure dun cycle complet

    de x(t).Linverse de la priode fondamentale est appel la frquence fondamen-

    taledu signal priodique x(t) ; elle dcrit combien de fois le signal priodiquese reproduit par seconde. On peut donc crire formellement (1-9).

    f =1

    T(1-9)

    La frquence est mesure en hertz (Hz) ou en cycles par seconde. La frquenceangulaire (ou pulsation), mesure en radians par seconde, est dnie par(1-10).

    ! = 2f =2

    T(1-10)

    Un signal x(t) pour lequel, il nexiste pas de valeur de T vriant x(t) =x(t+T ) pour tout t est appel un signal apriodique ou signal non priodique.Considrons maintenant le cas des signaux variation temporelle discret.

    Nous dirons quun signal variation temporelle discrte est priodique, silvrie la relation (1-11).

    x [n] = x [n+N ] pour tout n (1-11)

    N est un entier positif. Lentier N le plus petit, pour lequel la relation prc-dente est satisfaite, est appel priode fondamentaledu signal variationtemporelle x [n].La frquence angulaire fondamentale ou simplement, la frquence fonda-

    mentale de x [n] est dnie par (1-12).

    =2

    N(1-12)

    4

  • est mesure en radians.

    Remarque : Il faut clairement noter la dirence fondamentale entre lesdeux quations de dnition :

    x(t) = x(t+ T ) pour tout t

    x [n] = x [n+N ] pour tout n entier

    La priode fondamentale T de x(t) est dnie pour nimporte quelle valeurpositive relle ; la priode fondamentale N de x [n] ne peut prendre que desvaleurs positives entires.

    Exemple E.2 : On vriera que cos [2n] nest pas priodique alors quecos [2n] est priodique, de priode fondamentale, un chantillon.

    Problme P.2 : La gure 1.3 ci-dessous reprsente un signal triangulaire.Quelle est sa frquence fondamentale, sa pulsation fondamentale ?

    t0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 70

    - 1

    + 1x ( t )

    Fig. 1.3 Signal priodique triangulaire

    Rponse : 5 Hertz, 10rad:s1:

    Les gures 1.4 et 1.5, ci-dessous, reprsentent deux signaux variationtemporelle discrte.

    Problme P.3 : Pour chacun des signaux suivants, dterminer sil estou non priodique. Si oui, dterminer sa priode fondamentale.

    1. x(t) = cos2(2t):

    2. x(t) = sin3(2t):

    3. x(t) = e2t cos(2t):

    5

  • ...

    x[n]

    n+4+8

    -4-8

    ...

    Fig. 1.4 Signal variation temporelle discrte priodique

    -8

    x[n]

    n+4+8

    -4

    Fig. 1.5 Signal variation temporelle discrte non priodique

    6

  • 4. x [n] = (1)n:5. x [n] = n2:6. x [n] = cos [2n] :

    Rponses :

    1. Priodique, de priode fondamentale 0:5s:

    2. Priodique, de priode fondamentale (1=)s:

    3. Non priodique.

    4. Priodique, de priode fondamentale : 2 chantillons.

    5. Non priodique.

    6. Priodique, de priode fondamentale : 1 chantillon.

    1.1.4 Signaux dterministes et signaux alatoires

    Un signal dterministe est un signal pour lequel il ny a aucune incer-titude sur sa valeur : il peut donc tre modlis par une fonction du temps.Par opposition, un signal alatoire est un signal pour lequel avant

    quil se produise, il y a une certaine incertitude. En fait, cest un signalqui appartient un ensemble de signaux (appel processus alatoire), chaquesignal de cet ensemble pouvant avoir une forme spcique. De plus, chaquesignal a une certaine probabilit de se produire ou non.

    1.1.5 Signaux nergie nie et puissance nie

    Dans un systme lectrique, tension et courant peuvent tre considrscomme des signaux. Soit une tension v(t) aux bornes dune rsistance R,parcourue par un courant i(t). La puissance instantane dissipe dans cettersistance est dnie par (1-13).

    p(t) =v2(t)

    R= Gv2(t) (1-13)

    ou de faon quivalente : p(t) = Ri2(t):Dans les deux cas, la puissance instantane p(t) est proportionnelle

    au carr de lamplitude du signal. Si lon suppose que la rsistance a pour

    7

  • valeur 1, les deux dnitions sont quivalentes. Cette dnition se gnra-lise en thorie du signal : la puissance instantane p(t) associe un signalquelconque x(t) est par dnition (1-14).

    p(t) = x2(t) (1-14)

    Prenant pour acquise cette convention, on peut dnir lnergie totale asso-cie un signal x(t) variation temporelle continue (1-15).

    E1 = limT!1

    T=2ZT=2

    x2(t)dt =

    +1Z1

    x2(t)dt (1-15)

    La puissance moyenne dans le temps, ou puissance moyenne, est alorsdnie par la relation (1-16).

    P1 = limT!1

    1

    T

    T=2ZT=2

    x2(t)dt (1-16)

    Pour un signal priodique de priode fondamentale T , la dnition prcdenteconduit (1-17).

    P =1

    T

    T=2ZT=2

    x2(t)dt (1-17)

    La racine carre de la puissance moyenne P est appele valeur e cace dusignal priodique x(t) (en anglais : root-mean-square (r m s)). Dans le casdun signal x [n] variation temporelle discrte, les intgrales prcdentessont remplaces par les sommes correspondantes. Ainsi lnergie totale dex [n] est dnie par (1-18).

    E1 =+1Xn=1

    x2 [n] (1-18)

    De mme, pour la puissance moyenne (1-19).

    P1 = limN!1

    1

    2N

    NXn=N

    x2 [n] (1-19)

    8

  • La puissance moyenne dun signal priodique x [n] de priode fondamentaleN est dnie par (1-20).

    P =1

    N

    N1Xn=0

    x2 [n] (1-20)

    On dira quun signal est nergie nie, si et seulement si, son nergie totaleest borne, soit (1-21).

    0 < E1

  • Fig. 1.6 Impulsion rectangulaire et signal carr

    Problme P.5 : Pour les signaux dcrits analytiquement de la faonsuivante, indiquer sils sont nergie nie, puissance nie ; si ncessaire, oncalculera leur nergie et leur puissance moyenne temporelle.

    1. x(t) =

    8

  • 1.2 Signaux lmentaires

    Plusieurs signaux jouent un rle prpondrant dans ltude des signauxet des systmes ; les signaux exponentiels et sinusodaux, la fonction chelon,limpulsion de Dirac et la fonction rampe servent de briques lmentairespour construire des signaux plus complexes. Il est aussi important de lestudier pour eux-mmes, car ils servent de modles des signaux physiquesprenant naissance dans la nature. Cest pourquoi nous allons dcrire ces si-gnaux lmentaires, les uns aprs les autres.

    1.2.1 Signaux exponentiels

    Un signal exponentiel rel, sous la forme gnrale, peut scrire (1-23).

    x(t) = Beat (1-23)

    B et a sont des paramtres rels.B est appel amplitude, mesur en t = 0 : x(0) = B:Lorsque a est positif ou ngatif, deux comportements dirents peuvent

    tre identis (1.24).

    a < 0 exponentielle dcroissante (1-24)

    a > 0 exponentielle croissante

    Ces deux formes de signaux sont reprsentes sur les gures 1.7 et 1.8 : lagure 1.7 correspond : x (t) = 5 exp (6t), soit a = 6 et B = 5 ; la gure1.8 correspond : x (t) = exp (5t), soit a = 5 et B = 1.Pour le cas limite a = 0, le signal x(t) se rduit une constante de valeur

    B.An dillustrer physiquement le signal exponentiel, considrons le conden-

    sateur pertes, reprsent sur la gure 1.9 : ce condensateur a une capacitC, les pertes sont reprsentes par une rsistance R connecte en parallle.Ce condensateur est charg en le branchant aux bornes dun accumulateur :le dbranchement est eectu au temps t = 0. Soit E0 la valeur initiale de latension ses bornes.A partir des quations de Kirchho et des relations constitutives de R et

    de C, il est facile de montrer que lvolution de la tension v(t) pour t 0,aux bornes du condensateur est rgie par lquation direntielle (1-25).

    RCdv(t)

    dt+ v(t) = 0 (1-25)

    11

  • 10.750.50.250

    5

    3.75

    2.5

    1.25

    0

    Temps t

    x(t)

    Temps t

    x(t)

    Fig. 1.7 Signal exponentiel dcroissant

    10.750.50.250

    150

    125

    100

    75

    50

    25

    0

    Temps t

    x(t)

    Temps t

    x(t)

    Fig. 1.8 Signal exponentiel croissant

    12

  • Ci(t)= Cdv(t)dt

    v(t)+ R

    Fig. 1.9 Condensateur avec pertes initialement charg

    La solution de cette quation direntielle dordre 1, ayant comme conditioninitiale E0 est (1-26).

    v(t) = E0et=(RC) (1-26)

    Le produit RC joue le rle de constante de temps. La tension v(t) dcroitexponentiellement avec le temps une vitesse qui dpend de la constante detemps RC. Plus grande est la valeur de R (donc moins le condensateur a depertes) et plus lente est la dcroissance. Le condensateur garde plus ou moinssa charge.Pour les signaux variation temporelle discrte, lquivalent du

    signal exponentiel rel a pour expression (1-27).

    x [n] = Brn (1-27)

    En dnissant r = e, on met facilement en vidence la nature exponentiellede ce signal. Suivant les valeurs de r, on peut encore mettre en vidence deuxcomportements dirents :0 < r < 1 le signal exponentiel variation temporelle discrte est dcrois-

    sant.r > 1 le signal exponentiel variation temporelle discrte est croissant.Ces comportements sont reprsents sur les gures 1.10 et 1.11.

    Remarque : Si la valeur de r est ngative, les signaux x [n] prennentalternativement des valeurs positives puis ngatives suivant la parit de n.

    Les signaux exponentiels que nous venons de dnir, tant en variationtemporelle continue que discrte, prennent des valeurs relles. Il est possibleque les signaux exponentiels prennent des valeurs complexes. La gnralisa-tion est facile. Pour les signaux variation temporelle continue, les para-mtres B et a peuvent prendre des valeurs complexes.

    13

  • x[n]

    -5 -4 -3 -2 0 +1 +2 +3 +4 +5-1 +6 n

    +1

    +2

    +3

    Fig. 1.10 Exponentielle croissante variation temporelle discrte

    +3

    +4+5-5 -3-4-6n

    +1 +2 +3-2 -1 0

    x[n]

    +1

    +2

    Fig. 1.11 Exponentielle dcroissante variation temporelle discrte

    14

  • Pour les signaux variation temporelle discrte, B et r peuvent prendredes valeurs complexes.Les deux formes communment rencontres de signaux exponentiels com-

    plexes sont : ej!t; ejn ou ept avec p = + j!.

    1.2.2 Signaux sinusodaux

    La forme gnrale dun signal sinusodal variation temporelle continueest (1-28).

    x(t) = A cos (!t+ ') (1-28)

    A est lamplitude, ! est la pulsation en radians par seconde et ' est la phase lorigine temporelle exprime en radians.La gure 1.12 reprsente la forme donde du signal sinusodal pour A = 4

    et ' = 6: Un signal sinusodal est un exemple de signal priodique, la priode

    de ce signal est T = 2!:

    Vrions que T est la priode de ce signal sinusodal en appliquant ladnition (1-8).

    x(t+ T ) = A cos (! (t+ T ) + ') = A cos (!t+ !T + ') (1-29)

    = A cos (!t+ 2 + ') = A cos (!t+ ') = x(t)

    10.750.50.250

    4

    2

    0

    -2

    -4

    Temps t

    x(t)

    Temps t

    x(t)

    Fig. 1.12 4 cos70t+

    6

    Pour illustrer la gnration physique dun signal sinusodal, considrons le

    schma reprsent sur la gure 1.14.Une bobine L et un condensateur C sontconnects en parallle. Les deux composants sont considrs comme idaux :

    15

  • 10.750.50.250

    4

    2

    0

    -2

    -4

    Temps t

    x(t)

    Temps t

    x(t)

    Fig. 1.13 4 sin70t+

    6

    Fig. 1.14 Circuit LC parallle

    16

  • aucun na des pertes. On sest arrang pour que la tension aux bornes ducondensateur linstant t = 0 ait pour valeur E0:Ecrivant les relations constitutives des composants (bobine, condensa-

    teur) et les relations de Kirchho, il est ais de montrer que le comportementde ce circuit pour t 0 satisfait lquation direntielle (1-30).

    LCd2v(t)

    dt2+ v(t) = 0 v(0) = E0 (1-30)

    La solution de cette quation direntielle dordre deux avec condition initialeest (1-31).

    v(t) = E0 cos (!0t) t 0 avec !0 = 1pLC

    (1-31)

    !0 est appele pulsation de rsonance de ce circuit.v(t) peut tre interprt comme dnissant un signal sinusodal varia-

    tion temporelle continue, damplitude A = E0 de pulsation ! = !0 et dephase lorigine des temps nulle.Considrant maintenant un signal sinusodal variation temporelle

    discrte. Il est dni par la relation (1-32).

    x [n] = A cos (n+ ') (1-32)

    Il nest pas sur que le signal dni prcdemment soit priodique. Pour trepriodique, de priode fondamentale N , il devrait satisfaire la relation(1-33).

    x [n+N ] = A cos (n+ N + ') (1-33)

    Cette relation sera satisfaite si et seulement si la condition (1-34) est vrie.

    N = 2m radians (1-34)

    Soit la relation fondamentale (1-35).

    =2m

    Nradians/cycle ; m et N entiers (1-35)

    Remarque : Il est important de noter que, contrairement tous les signauxsinusodaux variation temporelle continue, tous les signaux sinusodaux variation temporelle discrte ne sont pas priodiques. Pour quils aient laproprit de priodicit, il faut que la pulsation soit un multiple rationnelde 2.

    17

  • La gure 1.15 reprsente un signal sinusodal variation temporelle dis-crte, priodique de priode N = 2, avec A = 1 et ' = 0.On notera aussi que puisque N reprsente un angle, il est mesur en

    radians. De plus, puisque N est le nombre dchantillons contenus dans unepriode de x [n], est mesur en radians par cycle.

    +8

    x[n]

    n-4...

    ... 0 +2+6+4

    -2-6-8

    -1

    +1

    Fig. 1.15 Signal sinusodal variation temporelle discrte

    Exemple E4 : Signaux sinusodaux variation temporelle discrte. Soientdeux signaux sinusodaux x1 [n] et x2 [n] de mme frquence angulaire dnispar les relations :

    x1 [n] = sin [5n] et x2 [n] =p3 cos [5n]

    x1 [n] et x2 [n] sont priodiques : dterminer leur priode commune.Exprimer le signal composite : y [n] = x1 [n] + x2 [n] sous la forme :

    y [n] = A cos [n+ '] :Solution : La frquence angulaire des deux signaux x1 [n] et x2 [n] est :

    = 5 radians/cycle

    Utilisant la relation : N = 2m, on obtient :

    N =2m

    =2m

    5=2m

    5

    Il faut que N soit un entier. Les solutions sont donc : m = 5, m = 10; 15:Les valeurs correspondantes de N sont donc : N = 2; 4; 6 ...

    18

  • Utilisant lidentit trigonomtrique :

    A cos [n+ '] = A cos [n] cos' A sin [n] sin'

    et imposant = 5, on saperoit que le membre de droite de lidentitprcdente est de la forme : x1 [n] + x2 [n].Il su t dimposer : A sin' = 1 et A cos' = p3.

    ) tan' = sin'cos'

    =amplitude de x1 [n]

    amplitude de x2 [n]=1p3

    ) ' = 3radians

    Soit A sin' = 1, qui permet de dterminer lamplitude A:

    ) A = 2

    y [n] peut donc sexprimer sous la forme : y [n] = 2 cos5n

    3

    :

    Problme P.6 : Dterminer la priode fondamentale du signal sinusodalsuivant :

    x [n] = 10 cos

    4

    31n+

    5

    Rponse : N = 31 chantillons.

    Problme P.7 : Considrons les signaux sinusodaux suivants :

    1. x [n] = 5 sin [2n] :

    2. x [n] = 5 cos [0:2n] :

    3. x [n] = 5 cos [6n] :

    4. x [n] = 5 sin [6n=35] :

    Dterminer si ces signaux x [n] sont priodiques. Si oui, indiquer leurpriode fondamentale.Rponse :

    1. Non priodique.

    2. Priodique de priode fondamentale 10.

    3. Priodique de priode fondamentale 1.

    4. Priodique de priode fondamentale 35.

    19

  • Problme P.8 : Trouver les frquences angulaires les plus petites ;pour lesquelles les signaux sinusodaux variation temporelle discrte, sontpriodiques et de priode fondamentale :

    1. N = 8:

    2. N = 32:

    3. N = 64:

    4. N = 128:

    Rponse :

    1. = =4:

    2. = =16:

    3. = =32:

    4. = =64:

    1.2.3 Relation entre signaux sinusodaux et exponen-tielle complexe

    Considrons lexponentielle complexe ej: Rappelons lidentit dEuler(1-37).

    ej = cos + j sin ; cos =

  • o : B = Aej!t et =m f:g signie la partie imaginaire de la quantit complexe lintrieur des parenthses.La dirence entre un cosinus et un sinus est un dphasage de 90 : cest

    dire que le signal sinusodal A cos (!t+ ') est en retard par rapport au signalsinusodal A sin (!t+ ') : Cest ce qui est reprsent sur les gures 1.12 et1.13 dans le cas o ' = =6:De faon semblable, pour les signaux variation temporelle dis-

    crte,on peut crire (1-42).

    A cos (n+ ') =

  • Plus spciquement, si on multiplie le signal sinusodal variation tempo-relle continue A sin (!t+ ') par lexponentielle dcroissante : et, on obtientle signal sinusodal exponentiellement amorti (1-43).

    x(t) = Aet sin (!t+ ') > 0 (1-43)

    Ce signal est reprsent sur la gure 1.17, pour A = 60, = 6, ! = 70 et' = 0. Lorsque le temps augmente, lamplitude des oscillations sinusodalesdcroit de manire exponentielle et tend vers zro quand t tend vers linni.

    10.750.50.250

    50

    25

    0

    -25

    -50

    Temps t

    x(t)

    Temps t

    x(t)

    Fig. 1.17 60 sin (70t) exp (6t)

    Pour illustrer la gnration dun signal sinusodal exponentiellement amorti,considrons le circuit parallle reprsent sur la gure 1.18. Un condensateurde capacit C et une bobine dinductance L sont branchs en parallle avecune rsistance R.

    Fig. 1.18 Circuit RLC parallle

    22

  • Supposons qu linstant t = 0, le condensateur est initialement chargsous une tension E0:Utilisant les relations de Kirchho et les relations constitutives des l-

    ments, on obtient facilement lquation intgro-direntielle (1-44).

    Cdv(t)

    dt+1

    Rv(t) +

    1

    L

    tZ1

    v()d = 0 (1-44)

    v(t) est la tension aux bornes du condensateur pout t 0:La solution de cette quation intgro-direntielle avec la condition ini-

    tiale v(0) = E0 a la forme (1-45).

    v(t) = E0et=(2RC) cos (!0t) t 0 (1-45)

    avec : !0 =q

    1LC 1

    4C2R2

    Pour que !0 soit rel, on a suppos R >pL= (4C): v((t) a donc la forme

    gnrique Aet sin (!t+ ') en posant : A = E0, = 1= (2RC) ; ! = !0,' = =2.Pour gnrer des signaux exponentiels, des signaux sinusodaux et des

    signaux sinusodaux exponentiellement amortis, on a pris comme exempledes circuits lectriques. Leur modlisation a permis dobtenir des quationsdirentielles. Ces quations direntielles peuvent se rsoudre laide deplusieurs mthodes : dans le domaine temporel, dans le plan de Laplace.Dcrivons maintenant la version variation temporelle discrte du signal

    sinusodal exponentiellement amorti. Soit (1-46).

    x [n] = Brn sin [n+ '] (1-46)

    Pour que ce signal ait une dcroissance exponentielle avec le temps, le para-mtre r doit satisfaire la relation 0 < jrj < 1:Problme P.9 : Dans le circuit RLC, nous avons suppos que : R >pL= (4C): Que se passe-t-il pour la forme donde de v (t) si cette condition

    nest pas satisfaite ?Rponse : Si R 0

    Evaluer les composantes relle et imaginaire de x (t) pour les cas suivants :

    1. rel.

    2. imaginaire.

    3. complexe.

    Rponse :

    1.

  • 1.2.5 Fonction chelon unit de Heaviside

    La version variation temporelle discrte de la fonction chelon-unit est dnie par (1-47).

    u [n] =

    1 n 00 n < 0

    (1-47)

    Elle est reprsente sur la gure 1.19.

    +8

    x[n]

    n

    ...0 +2-2

    +1

    +4 +6-4-6-8...Fig. 1.19 Echelon unit variation temporelle discrte

    La version variation temporelle continue de la fonction chelon-unit est dnie par (1-48).

    u (t) =

    1 t > 00 t < 0

    (1-48)

    Elle est reprsente sur la gure 1.20. La valeur de u (t) change instantan-ment pour t = 0 en passant de la valeur 0 la valeur 1. Il existe donc unediscontinuit en t = 0 ; cest pour cette raison que nous navons pas mis lessignes et dans lquation de dnition.Dans la dnition que nous avons choisi u (0) est indtermin : dautres

    dnitions choisissent u (0) = 1=2.La fonction chelon unit u (t) est un signal particulirement simple

    utiliser ; elle permet de modliser lactivation dune source en t = 0, parexemple, en fermant un interrupteur.Comme signal test, la fonction chelon unit est trs utile : on peut tirer

    beaucoup dinformations sur un systme, en analysant sa sortie, lorsque sonentre est un chelon unit. On peut en dduire si le systme rpond viteou non un changement brusque intervenant dans le signal dentre. Des

    25

  • u(t)

    0 +2-2

    +1

    +4 +6 +8-4-6-8... t

    Fig. 1.20 Echelon unit variation temporelle continue

    remarques semblables sappliquent u [n] dans le contexte des systmes variations temporelles discrtes.

    Exemple E5 Impulsion rectangulaire : Considrons limpulsion rec-tangulaire x (t) reprsente sur la gure 1.21. Son amplitude est A, elle dure1 seconde. Exprimons x (t) laide de fonctions chelon unit.

    -0,5

    x1(t)

    x2(t)

    0

    +1

    t

    0

    +1A

    +0,5-0,5

    -0,5 +0,5

    -1

    -1

    t+1

    +1

    +0,5

    x(t)

    Fig. 1.21 Impulsion rectangulaire, fonction chelon dcale vers la droiteet fonction chelon dcale vers la gauche

    26

  • x (t) peut tre crite sous la forme mathmatique suivante :

    x (t) =

    A 0 jtj < 0:50 jtj > 0:5

    jtj note la valeur absolue du temps t:Limpulsion rectangulaire x (t) peut tre reprsente comme la dirence

    de deux chelons unit dcals, x1 (t) et x2 (t). Ceux-ci sont dnis sur lagure 1.21. Prenant ces gures pour base, on peut crire :

    x (t) = Au (t+ 0:5) Au (t 0:5)u (t) est lchelon unit de Heaviside.

    Exemple E6 Circuit RC : Considrons le circuit RC simple reprsentsur la gure 1.22. Le condensateur C est suppos initialement dcharg. Ent = 0, linterrupteur connecte la source continue de tension de valeur E0 aucircuit RC. Trouver la tension v (t) aux bornes du condensateur pour t 0:

    v(t)+ CE0 + C

    E0 u(t) +continue

    RRInterrupteurferm t=0

    Source+

    Fig. 1.22 Circuit RC avec interrupteur et son circuit quivalent.

    Solution : Lopration interrupteur est reprsente par la fonctionchelon E0u (t) ; ceci est reprsent sur la gure 1.22.La tension aux bornes du condensateur ne peut pas changer brusquement.

    Comme il est initialement dcharg, on a comme condition initiale v (0) = 0:Pour t trs grand (t ! 1), le condensateur est totalement charg

    v (1) = E0:Sachant que la tension aux bornes du condensateur augmente exponen-

    tiellement avec une constante de temps RC, on peut directement crire pourv (t) :

    v (t) = E01 et=(RC)u (t)27

  • Problme P.12 : Pour le signal variation temporelle discrte dnipar :

    x [n] =

    1 pour 0 n 90 partout ailleurs

    Ecrire x [n] comme la superposition de deux fonctions chelon.Rponse : x [n] = u [n] u [n 10] :

    1.2.6 Impulsion de Dirac

    La version variation temporelle discrte de limpulsion unit est dniepar (1-49).

    [n] =

    1 pour n = 00 pour n 6= 0 (1-49)

    Elle est reprsente sur la gure 1.23.La version variation temporelle continue de limpulsion unit est dnie

    par la paire de relations suivantes.

    [n] = 0 pour t 6= 0 (1-50)+1Z1

    (t) dt = 1

    La relation prcdente montre que limpulsion (t) est nulle partout except lorigine. De plus, laire sous la courbe de limpulsion unit a pour valeurlunit. Cette impulsion (t) est souvent appele delta de Dirac.Pour la variation temporelle discrte, la description graphique de [n] est

    simple comme nous lavons vu sur la gure 1.23.Pour une variation temporelle continue, la visualisation de limpulsion

    unit (t) demande beaucoup plus dattention (pour les mathmaticiens,elle est mme impossible).Un moyen de visualiser (t) est de linterprter comme cas limite dune

    impulsion rectangulaire de surface unit. Ceci est reprsent sur la gure1.24a) : on sarrange pour que le produit : dure de limpulsion x amplitudede limpulsion reste constant, gal lunit.

    28

  • +8

    d

    n0 +2-2

    +1

    +4 +6-4-6-8......

    [n]

    Fig. 1.23 Impulsion unit variation temporelle discrte

    d

    /2-D /2D /2-D /2D

    a/D

    xD(t) a d (t)

    (c)

    (t)

    0 t

    +1 Intensitunit

    t t

    Aire=aIntensit a

    0

    Aire=1

    Aire=1 Aire=1

    (a) (b)0

    Fig. 1.24 a) Evolution dune impulsion ; b) Impulsion de Dirac ; c) Impul-sion dintensit a.

    29

  • Plus la dure est petite, mieux est approxime limpulsion unit. Sansaucune rigueur mathmatique (mais avec la bonne conscience que a marcheen physique), on peut crire (1-51).

    (t) = lim!0

    x (t) (1-51)

    x (t) est une impulsion rectangulaire quelconque, fonction paire du temps dedure et daire unit. Laire sous la courbe dnit lintensit de limpulsion.En fait, lorsque lon parle de limpulsion unit (t), on parle de la valeur deson intensit. Le symbole graphique de limpulsion unit est reprsent surla gure 1.24b). Une impulsion dintensit a sera crite a (t) : Une telleimpulsion peut se modliser par une impulsion rectangulaire daire a, ceciest reprsent sur la gure 1.24c).Limpulsion (t) et la fonction chelon u (t) sont troitement lies. Sans

    aucune rigueur mathmatique, nous crivons (1-52).

    (t) =du (t)

    dt(1-52)

    Inversement la fonction chelon unit u (t) est lintgrale de limpulsion deDirac (t) par rapport au temps (1-53).

    u (t) =

    tZ1

    () d (1-53)

    Exemple E7 : Circuit RC continue.Considrons le circuit simple reprsent sur la gure 1.25. Le conden-

    sateur est initialement dcharg, linterrupteur le connectant la source detension E0 est soudainement ferm linstant t = 0 (ce circuit est le mmeque le circuit prcdemment tudi, sauf que nous avons une rsistance nulle).Dterminons le courant i (t) qui parcourt le condensateur aprs que linter-rupteur ait t ferm.Solution : Lopration interrupteur est quivalente connecter la

    source de tension E0u (t) au condensateur. Ceci est reprsent sur la gure1.25. La tension aux bornes du condensateur vaut donc : v (t) = E0u (t).Le courant traversant le condensateur est donn par la relation :

    i (t) = Cdv (t)

    dt

    30

  • ++

    CE0 + C

    E0 u(t)

    Interrupteurferm t=0

    Source+

    continue

    v(t)v(t)

    i(t)

    Fig. 1.25 Interrupteur ferm en t = 0 et son circuit quivalent

    Ainsi donc, pour le problme qui nous intresse, on peut crire :

    i (t) = CE0du (t)

    dt= CE0 (t)

    Le courant qui scoule travers le condensateur C est donc une impulsionde Dirac dintensit CE0.

    Quelques proprits de limpulsion de Dirac.A partir de lquation de dnition, on peut immdiatement dduire que

    (t) est une fonction paire du temps (1-54).

    (t) = (t) (1-54)

    Cependant pour que (t) ait une signication mathmatique, elle doit appa-raitre comme facteur multiplicatif dans lintgrant dune intgrale temporelleet ceci, proprement parler, seulement lorsque lautre facteur de lintgrantest une fonction continue du temps, linstant auquel se produit limpulsion.Soit x (t) une telle fonction, et considrons le produit de x (t) par limpulsionde Dirac, dcale temporellement (t t0). Lintgrale de ce produit jouitde la proprit (1-55).

    +1Z1

    x (t) (t t0) dt = x (t0) (1-55)

    On supposera que x (t) est continue en t = t0, instant auquel se produitlimpulsion.

    31

  • Lopration du membre de gauche tamise x (t) pour en extraire x (t0).Onparle souvent de la proprit de tamisage de limpulsion de Dirac. A contrario,dans beaucoup douvrages cette proprit est utilise comme dnition delimpulsion de Dirac.Une autre proprit utile de limpulsion unit (t) est la proprit de mise

    lchelle temporelle, qui sexprime par la relation 1-56.

    (at) =1

    a (t) a > 0 (1-56)

    Pour dmontrer cette relation, on remplace t par at et on crit 1-57.

    (at) = lim!0

    x (at) (1-57)

    Pour reprsenter la fonction x (t), on utilise limpulsion rectangulaire dela gure 1.26a) qui a une dure , une amplitude 1= et donc une surfaceunit. En consquence, la fonction mise lchelle temporelle x (at) estreprsente sur la gure 1.26b) pour a > 1. Lamplitude de x (at) resteinchange par lopration de mise lchelle temporelle : il est alors videntque pour conserver laire sous la courbe gale lunit, x (at) doit tremultipli par le facteur a, cest ce qui est reprsent sur la gure 1.26c). Lafonction temporelle est ainsi note : ax (at) : Il sen suit donc 1-58, et laproprit prcdente est dmontre.

    lim!0

    x (at) =1

    a (t) (1-58)

    Maintenant que nous avons dni limpulsion unit et que nous avons dcritses proprits, reste encore dire quel est lintrt pratique de cette impulsionunit ?On ne peut pas gnrer une fonction impulsion physique, car cela cor-

    respondrait un signal damplitude innie en t = 0 et une amplitude nullepartout ailleurs. Cependant, limpulsion sert de modle mathmatique enfournissant une approximation pour un signal physique de dure trs courteet damplitude importante. Comme nous le verrons, la rponse dun systme un tel signal permet de mieux connaitre ce systme.Considrons par exemple un circuit RLC parallle initialement au repos.

    Supposons quune source de courant lui soit appliqu linstant t = 0 et quelon puisse approximer celle-ci par une impulsion. Celle-ci est note I0 (t)sur la gure 1.27a).A linstant t = 0, la bobine se comporte comme un circuit

    32

  • Fig. 1.26 a) Impulsion initiale ; b) Impulsion comprime dun facteur a ; c)Mise lchelle de limpulsion comprsse an de restaurer lunit.

    Fig. 1.27 a) Circuit RLC parallle aliment par une impulsion de courant ;b) Circuit RLC srie aliment par une impulsion de tension

    33

  • ouvert tandis que le condensateur se comporte comme un court-circuit. Lim-pulsion de courant I0 (t) scoule donc en entier, travers le condensateur,ce qui a pour consquence que la tension aux bornes du condensateur passerapidement linstant t = 0+ sa nouvelle valeur.

    E0 =1

    C

    0+Z0

    I0 (t) dt =I0C

    Aprs linstant t = 0, il ny a plus de source additionnelle de signal. Latension v (t) volue alors comme prcdemment indiqu :

    v (t) = E0e t2RC cos (!0t)

    La rponse v (t) est appele la rponse transitoire du circuit.

    Problme P.13 : Soit le circuit RLC parallle de la gure 1.27a) et lecircuit RLC srie de la gure 1.27b). Cest une paire de circuits duaux ence sens que, il est mathmatiquement identique de dcrire celui de la gure1.27a) en terme de tension v (t) et celui de la gure 1.27b), en terme decourant i (t). Tout ce que lon a dj dmontr pour le circuit parallle, peuttre retranscrit lidentique pour les grandeurs correspondantes du circuitsrie de la gure 1.27b), en faisant lhypothse que celui-ci est initialementau repos.- Trouver la valeur du courant linstant t = 0+:- Ecrire lquation intgro-direntielle caractrisant lvolution de i (t)

    pour t 0+:Rponse : I0 = E0=L et L

    di(t)dt+Ri (t) + 1

    C

    tR0+i () d = 0:

    1.2.7 Drives de limpulsion

    Dans lanalyse des systmes, on rencontre souvent le problme de dtermi-ner la drive premire de limpulsion (t), voire mme des drives dordreplus lev. Une trs grande attention doit tre porte la rsolution de ceproblme.On se rappelera que limplusion (t) peut tre obtenue par passage la

    limite dune impulsion rectangulaire de dure et damplitude 1=. Sur

    34

  • ces bases, on pourra interprter la drive de (t) comme cas limite de ladrive premire de limpulsion rectangulaire. Dans un exemple prcdent,nous avons montr que limpulsion rectangulaire peut se dcomposer sous laforme 1-59.

    1

    u

    t+

    2

    1u

    t

    2

    (1-59)

    Nous avons montr que la drive de lchelon unit tait limpulsion unit.Drivant limpulsion rectangulaire par rapport au temps, on obtient une pairedimpulsions :- Une impulsion dintensit 1=, situe en t = =2:- Une deuxime impulsion dintensit 1=, situe en t = =2:Pour le passage la limite, lorsque la dure tend vers zro, deux choses

    apparaissent.Dabord les deux impulsions rsultant de la direntiation se rapprochent

    lune de lautre ; la limite, elles concident pratiquement avec lorigine.Ensuite, les intensits de ces deux impulsions tendent lune vers +1,

    lautre vers 1:On peut donc conclure que la drive premire de limpulsion (t) est

    forme dune paire dimpulsions, lune dintensit innie positive en t = 0,lautre dune intensit innie ngative en t = 0+: Comme dhabitude onappelle 0+ et 0; les valeurs du temps t par passage la limite lorsque t tendvers zro par valeur positive et lorsque t tend vers zro par valeur ngative.La drive premire de limpulsion unit est appele doubletet note :

    1 (t). Le doublet peut tre interprt comme la sortie dun systme qui ralisela direntiation, lorsque lentre du systme est limpulsion unit.Mathmatiquement parlant, le doublet na de signication que lorsquil

    intervient comme facteur dans lintgrant dune intgrale par rapport autemps. De plus, lautre facteur de lintgrale doit tre drive continue linstant t auquel agit le doublet. Les proprits du doublet se dduisentde sa description comme cas limite de deux impulsions et des proprits delimpulsion. En crivant par exemple :

    1 (t) = lim!0

    1

    t+

    2

    t

    2

    On peut dmontrer les proprits fondamentales suivantes du doublet.

    +1Z1

    1 (t) dt = 0

    35

  • +1Z1

    f (t) 1 (t t0) dt = ddtf (t)

    t=t0

    f (t) est une fonction continue du temps drive continue en t = t0:On peut aussi dterminer les drives dordre suprieur de limpulsion

    unit en prenant les drives du doublet.En particulier, la drive seconde de limpulsion unit est la drive pre-

    mire du doublet, cest dire :

    d2

    dt2 (t) =

    d

    dt1 (t)

    = lim!0

    1t+

    2

    1 t 2

    Lquation prcdente peut se gnraliser pour dnir la drive dordre n delimpulsion unit, que lon notera n (t).

    Problme P.14 :

    1. Evaluer la proprit de tamisage de 2 (t) :

    2. Gnraliser le rsultat la proprit de tamisage de la drive dordren de limpulsion de Dirac.

    Rponse :

    1.+1R1

    f (t) 2 (t t0) dt = d2dt2f (t)t=t0

    2.+1R1

    f (t) n (t t0) dt = dndtnf (t)t=t0

    1.2.8 Fonction Rampe

    (t) est la drive de la fonction chelon u (t) ; lintgrale de la fonctionu (t) par rapport au temps est la fonction rampe. Ce nouveau signal test estformellement dni par la relation 1-60.

    r (t) =

    t pout t 00 pout t < 0

    (1-60)

    On peut crire de faon quivalente : r (t) = tu (t) :

    36

  • +80 +2-2 +4 +6-4-6-8

    +8r(t)

    t

    Pente unit

    Fig. 1.28 Fonction rampe de pente unit

    La fonction rampe r (t) est reprsente graphiquement sur la gure 1.28.Comme signal test, la fonction rampe permet dvaluer comment un sys-

    tme variation temporelle continue se comporte lorsquon lalimente par unsignal qui croit linairement avec le temps.La version variation temporelle discrte de la fonction rampe est ana-

    lytiquement dnie par 1-61.

    r [n] =

    n pour n 00 pour n < 0

    (1-61)

    ou de faon quivalente : r [n] = nu [n] :La fonction rampe variation temporelle discrte est reprsente sur la

    gure 1.29.

    r[n]

    n0 +2-2 +4 +6 +8-4-6-8...

    ...

    +8

    Fig. 1.29 Fonction rampe de pente unit

    Exemple E8 : Circuit parallle.

    37

  • Soit le circuit parallle reprsent sur la gure 1.30. Il comprend unesource de courant continu I0 et un condensateur initialement dcharg C.Linterrupteur est ouvert soudainement t = 0: Dterminer le courant i (t)qui parcourt le condensateur et la tension v (t) ses bornes pour t 0:

    v(t)I0 u(t)I0

    +C

    +C v(t)ouvert t=0

    i(t) i(t)

    Fig. 1.30 Source de courant et circuit ouvert t = 0 et son circuit quivalent

    Solution : Une fois que linterrupteur est ouvert, linstant t = 0, lecourant i (t) passe de 0 I0 ; son comportement peut tre modlis en termesde la fonction chelon unit, cest dire :i (t) = I0u (t) :En reprsentant ce circuit par son quivalent comme sur la gure 1.30,

    on dtermine alors par dnition, la relation entre la tension aux bornes ducondensateur v (t) et le courant i (t).

    v (t) =1

    C

    +1Z1

    i () d

    En remplaant donc dans cette intgrale, i () par I0u (), on peut crire :

    v (t) =1

    C

    +1Z1

    I0u () d

    Soit :

    v (t) =

    0 pour t < 0I0Ct pour t 0

    Soit :

    v (t) =I0Ctu (t) =

    I0Cr (t)

    Ainsi, la tension aux bornes du condensateur est une tension rampe de penteI0C:

    38

  • 1.3 Oprations de base sur les signaux

    On peut identier deux classes dopration.

    1.3.1 Oprations eectues directement sur les signaux

    Mise lchelle en amplitude

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue, le signal y (t) rsultantdune mise lchelle en amplitude est dni par 1-62.

    y (t) = Cx (t) (1-62)

    C est le facteur dchelle.Un amplicateur ralise une telle fonction.De la mme faon, pour les signaux variation temporelle discrte 1-63.

    y [n] = Cx [n] (1-63)

    Addition

    Soit x1 (t) et x2 (t) deux signaux variation temporelle continue, le signalsomme y (t) est dni par 1-64.

    y (t) = x1 (t) + x2 (t) (1-64)

    Un mixeraudio combine la musique et les voix.De la mme faon, pour les signaux variation temporelle discrte, la

    relation (1-65) est vraie.

    y [n] = x1 [n] + x2 [n] (1-65)

    Multiplication

    Soit x1 (t) et x2 (t) deux signaux variation temporelle continue, le signaly (t) obtenu par multiplication de x1 (t) et x2 (t) est dni par 1-66.

    y (t) = x1 (t) x2 (t) (1-66)Cest dire que pour une valeur donne du temps, la valeur de y (t) estdonne par le produit des valeurs correspondantes de x1 (t) et x2 (t) : Unexemple physique est le signal radio modulation damplitude :

    y (t) = f1 +m (t)g cos (!0t)

    39

  • De faon semblable, pour des signaux variation temporelle discrte, onobtient la relation de dnition suivante 1-67.

    y [n] = x1 [n] x2 [n] (1-67)

    Direntiation

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue. La drive de x (t)par rapport au temps est dnie par 1-68.

    y (t) =d

    dtx (t) (1-68)

    Une bobine par exemple, eectue lopration de direntiation. Si e (t) re-prsente le courant traversant la bobine, dinductance L (gure 1.31a)) alorsla tension v (t) apparaissant aux bornes de la bobine est dnie par :

    v (t) = Ld

    dti (t)

    (b)

    +Cv(t)

    i(t)i(t)

    v(t) L

    (a)

    Fig. 1.31 a) Bobine ; b) Condensateur

    Intgration

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue. Alors, lintgrale dex (t) par rapport au temps est dnie par 1-69.

    y (t) =

    tZ1

    x () d (1-69)

    40

  • est la variable dintgration. Un condensateur par exemple, eectue lop-ration dintgration.Soit i (t) un courant traversant un condensateur de capacit C (gure

    1.31b)). La tension qui apparait aux bornes du condensateur est dnie par :

    v (t) =1

    C

    tZ1

    i () d

    1.3.2 Oprations eectues sur la variable indpen-dante

    Mise lchelle temporelle (ou changement dunit temporelle)

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue. Le signal y (t) estobtenu en multipliant la variable indpendante t par un facteur a, conform-ment la relation de dnition 1-70.

    y (t) = x (at) (1-70)

    Si a > 1, le signal y (t) est une version compresse de x (t) :Si a < 1, le signal y (t) est une version dilate de x (t) :Ces deux oprations sont reprsentes sur les gures 1.32.

    (c)

    x(t) y(t)=x(2t) y(t)=x(0,5t)

    -1 +1 -0,5 +0,5 -2 +2t t t

    +1 +1 +1

    (a) (b)

    Fig. 1.32 a) Signal x (t) ; b) version de x (t) comprime ; c) version de x (t)expanse.

    Pour des signaux variation temporelle discrte, on crit 1-71.

    y [n] = x [kn] pour k > 0 (1-71)

    41

  • La relation prcdente nest dnie videmment que pour des valeurs entiresdu paramtre k:Si k > 1, certaines valeurs de la variable discrte du signal y [n] sont

    perdues, comme ceci est reprsent sur la gure 1.33 montrant une applicationpour k = 2. Les chantillons x [n] pour n = 1; 3 ...sont perdus car enimposant k = 2 dans x [kn], ces chantillons sont sauts.

    +3

    +1

    +2x[n]

    n

    +2 +4 +6-2-4-6 0

    n

    y[n]=x[2n]+2

    0(a) (b)

    -3 -2 -1 +1 +2

    Fig. 1.33 Signaux x [n] et x [2n] (certaines valeurs de loriginal sont perdues)

    Problme P.15 : Soit : x [n] =2n+ 1 pour n impair0 pour n pair

    Dterminer y [n] = x [2n]Rponse : y [n] = 0 pour tout n.

    Symtrie miroir vertical (Rexion)

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue ; soit y (t) le signalobtenu partir de x (t) en remplaant (t) par (t) ; cest dire 1-72.

    y (t) = x (t) (1-72)

    Le signal y (t) reprsente une image rchie dans un miroir vertical posi-tionn en t = 0.Les deux cas suivants sont particulirement intressants :- les signaux pairs : ils satisfont la relation : x (t) = x (t) pour tout t.

    Un signal pair est identique sa version rchie.

    42

  • - les signaux impairs : ils satisfont la relation : x (t) = x (t) pourtout t. Un signal impair est loppos de sa version rchie (rexion miroirvertical).Des observations semblables sont valables pour des signaux variation

    temporelle discrte.

    Exemple de la symtrie miroir verticalConsidrons le signal triangulaire x (t) de dure nie, reprsent sur la

    gure 1.34a). Trouver la version rchie de x (t) :

    T2 T1-T2

    x(t) y(t)=x(-t)

    t t

    0 0(a)

    -T(b)

    1

    Fig. 1.34 a) Signal x (t) ; b) Signal x (t)

    Solution : Remplaant la variable indpendante t dans x (t) par (t),on obtient : y (t) = x (t) reprsent sur la gure 1.34b).Remarque : Pour cet exemple, x (t) = 0 pour t < T1 et t > T2. On

    peut donc en dduire : y (t) = 0 pour t > T1 et t < T2:Problme associ : Soit le signal variation temporelle discrte :

    x [n] =

    8 1

    Dterminer le signal composite : y [n] = x [n] + x [n] :Rponse : y [n] = 0 pour toutes les valeurs entires de n.Refaire la question prcdente pour le signal :

    x [n] =

    1 pour n = 1 et n = 10 pour n = 0 et jnj > 1

    Le signal composite est alors : y [n] =2 pour n = 1 et n = 10 pour n = 0 et jnj > 1

    43

  • Dcalage temporel

    Soit x (t) un signal variation temporelle continue. La version temporel-lement dcale de t0 pour x (t) est 1-73.

    y (t) = x (t t0) (1-73)

    t est le temps de dcalage. Si t0 > 0, y (t) est obtenu en dcalant x (t) versla droite de t0, par translation de laxe temporel.Si t0 < 0, x (t) est dcal vers la gauche de t0:

    Exemple du dcalage temporel :La gure 1.35a) reprsente un signal rectangulaire x (t), damplitude unit

    et de dure unit. Trouver y (t) = x (t 2) :

    (b)0

    x(t)

    -0,5 +0,5

    t

    +1

    0 1 2

    t

    1,5 2,5

    y(t)=x(t-2)+1

    (a)

    Fig. 1.35 a) Signal x (t) ; b) Version dcale x (t 2)

    Solution : Dans cet exemple, le dcalage temporel t0 est gal deux uni-ts de temps. Donc en dcalant x (t) vers la droite de deux units temporelles,on obtient le signal rectangulaire y (t) reprsent sur la gure 1.35b).

    Remarque : y (t) a exactement la mme forme que le signal initial, il estsimplement translat le long de laxe temporel.

    Dans le cas dun signal variation temporelle discrte, on dnit sa ver-sion dcale temporellement par la relation 1-74

    y [n] = x [n n0] (1-74)

    n0, temps de dcalage, doit tre un entier pouvant tre positif ou ngatif.

    44

  • Problme : Soit le signal variation temporelle discrte dni par :

    x [n] =

    8 2

    Dterminer le signal y [n] dni par : y [n] = x [n+ 3] :

    Rponse : x [n] =

    8 1

    1.3.3 Rgle de prsance entre le dcalage temporel etla mise lchelle temporelle

    Soit y (t) un signal variation temporelle continue, obtenu partir dunautre signal variation temporelle continue x (t) en combinant une mise lchelle temporelle et un dcalage temporel ; cest dire : y (t) = x (at b) :Cette relation entre y (t) et x (t) satisfait les conditions : y (0) = x (b)

    et yba

    = x (0) :

    Il est souvent utile de garder en mmoire ces deux relations, pour vrierfacilement, la transformation de x (t) en y (t) :Pour obtenir y (t) partir de x (t), les oprations de dcalage temporel et

    de mise lchelle temporelle, doivent tre eectues dans lordre adquat.Pour comprendre lordre correct, il faut toujours avoir lesprit que lopra-tion de mise lchelle remplace toujours (t) par (at), alors que loprationde dcalage temporel remplace (t) par (t b) : Donc lopration de dcalagetemporel doit toujours tre eectue en premier sur x (t), ce qui conduit un signal intermdiaire v (t) tel que :

    v (t) = x (t b)Le dcalage temporel a remplac dans x (t), (t) par (t b) :Maintenant lop-ration de mise lchelle peut agir sur v (t), en remplaant (t) par (at) etconduisant la sortie souhaite :

    y (t) = v (at) = x (at b)An de bien visualiser, comment cette double opration sxecute, prenonsune situation relle : considrons le signal vocal enregistr sur un magnto-phone. Si la cassette est rejoue une vitesse plus rapide que la vitesse origi-nale denregistrement, on a compression (cest dire a > 1) ; si la cassette est

    45

  • rejoue une vitesse plus lente que la vitesse originale denregistrement, ona expansion (cest dire a < 1). La constante b que lon supposera positive,tient compte du dcalage : moment partir duquel on rejoue la cassette.

    Exemple de prsance : pour des signaux variation temporelle conti-nue, considrons le signal rectangulaire x (t), damplitude unit et de du-re deux units de temps, reprsent sur la gure 1.36a). Trouver y (t) =x (2t+ 3) :

    (b)

    +1

    0 0-1 +1 -4 -3 -2 -1 0

    t t t

    -3 -2 -1

    x(t) v(t)=x(t+3) y(t)=v(2t)

    (a) (c)

    Fig. 1.36 a) Signal original ; b) Signal dcal ; c) Signal mis lchelle.

    Solution : Dans cet exemple, on a : a = 2 et b = 3 . On commence doncpar un dcalage de x (t) vers la gauche de trois units de temps. On obtientle signal v (t) reprsent sur la gure 1.36b). Eectuons ensuite la mise lchelle de la variable indpendante t dans v (t) dun coe cient a = 2. Onobtient la solution pour y (t) reprsente sur la gure 1.36c).On remarque que la solution trouve satisfait bien les deux conditions :

    y (0) = x (3) et y3

    2

    = x (0) :

    Supposons maintenant que nous nayons pas suivi la rgle de prsance.On aurait dabord appliqu la rgle de mise lchelle, puis la rgle de d-calage temporel. Pour notre signal particulier, reprsent de nouveau sur lagure 1.37a), lapplication de la mise lchelle dun facteur 2 conduit ausignal intermdiaire v (t) = x (2t) reprsent sur la gure 1.37b). Dcalant en-suite temporellement v (t) de trois units vers la gauche, on obtient le signalreprsent sur la gure 1.37c). Ce signal est dni par :y (t) = v (t+ 3) = x [2 (t+ 3)]#x (2t+ 3)Ce signal ne satisfait pas y

    32

    = x (0) :

    Problme P.16 : Pour le signal triangulaire x (t) reprsent sur la gure

    46

  • (a)

    x(t)

    0 0-1 +1

    t t

    -3 -2 -1

    +1

    -3,5 -2,5

    y(t)

    0

    +1

    t

    +0,5-0,5

    x(2t)

    (c)(b)

    Fig. 1.37 a) Signal x (t) ;b) Signal dcal ;c) Signal mis lchelle.

    1.38, reprsenter les dirents signaux y (t), obtenus partir de x (t) laidedes dnitions suivantes :

    1. x (3t)

    2. x (3t+ 2)

    3. x (2t 1)4. x [2 (t+ 2)]

    5. x [2 (t 2)]6. x (3t) + x3t+ 2

    t

    -1 0 +1

    x(t)+1

    Fig. 1.38 Signal x (t)

    Solution : Les rponses reprsentant les dirents signaux obtenus partir de x (t) en appliquant les relations de dnition sont reprsentes surla gure 1.39.On vient donc de mettre clairement en vidence que le signal y (t) est

    construit partir du signal x (t) en appliquant la rgle de prsance suivante :dabord eectuer le dcalage temporel, puis lopration de mise lchelle.

    47

  • x(3t+2)

    0

    x(3t)

    t

    +1

    -1/3 +1/3

    t

    -1-2 -1,5-2,5 0

    +1x(2(t+2))=x(2t+4)

    x(-2t-1)

    t

    +1

    -1 -0,5 +10 +1

    0

    t

    +1

    -1/3 +1/3 +1 +20 +3+1,5 +2,5

    +1 x(2(t-2))=x(2t-4)

    -1 0-1/3 1/3

    x(3t)+x(3t+2)+1

    t

    t

    (a) (d)

    (e)(b)

    (c) (f)

    Fig. 1.39 Dirents signaux rponse

    48

  • Des remarques semblables sappliquent aux signaux variation temporellediscrte.

    Exemple : Rgle de prsance pour des signaux variation temporellediscrte. Soit le signal x [n] variation temporelle discrte, dni par la re-lation :

    x [n] =

    8 2

    Reprsenter le signal y [n] = x [2n+ 3] :Solution : Le signal x [n] est reprsent sur la gure 1.40a). Un dcalage

    temporel vers la gauche de trois units, conduit au signal intermdiaire v [n]reprsent sur la gure 1.40b). Enn, la mise lchelle de n dans v [n] par unfacteur 2, permet dobtenir la solution y [n] reprsente sur la gure 1.40c).

    Remarque : Lors de la compression eectue pour passer de v [n] y [n] = v [2n], on a perdu dans y [n], les chantillons non nuls de v [n] pourn = 5 et n = 1.

    Problme P.17 : Soit le signal x [n] variation temporelle discrte,dni par la relation :

    x [n] =

    1 pour 2 n 20 pour jnj > 2

    Trouver y [n] = x [3n 2] :Solution : y [n] =

    1 pour n = 0 et n = 10 partout ailleurs

    1.4 Proprits des systmes

    Les proprits dun systme dcrivent les proprits de loprateur H re-prsentant le systme. Dans ce qui suit, nous allons tudier quelques unesdes proprits de base des systmes.

    49

  • +1

    n

    y[n]=x[2n]+2

    -6 -4 -2 0 +2 +4 +6(b)

    x[n]

    n

    +2 +4 +6-2-4-6 0(a)

    +1

    n

    -6 -4 +2 +4 +6

    (a) (b)

    (c)

    y[n]=v[2n]

    0

    +1

    -1

    -1

    -2

    Fig. 1.40 a) Signal x [n] ; b) Signal dcal de 3 units vers la gauche ; c)Signal nal.

    50

  • 1.4.1 Stabilit

    Un systme est dit stable EBRB (Entre Borne - Rponse Borne ouBIBO Bounded Input - Bounded Output) si et seulement si, pour nimportequelle entre borne, sa sortie est borne. La sortie de ce systme ne doit pasdiverger si son entre ne diverge pas.Pour noncer formellement cette proprit de stabilit EBRB, considrons

    un systme variation temporelle continue pour lequel, la relation entre-sortie peut tre dcrite par la relation :

    y (t) = H fx (t)g

    Loprateur H est stable EBRB, si le signal de sortie y (t) satisfait la condi-tion :

    jy (t)j My

  • En utilisant la relation entre-sortie de dnition, on peut crire :

    jy [n]j = 13jx [n] + x [n 1] + x [n 2]j

    13fjx [n]j+ jx [n 1]j+ jx [n 2]jg

    13fMx +Mx +Mxg =Mx

    Ainsi donc, la valeur absolue du signal de sortie y [n] est toujours infrieure la valeur absolue maximum du signal dentre x [n], ce qui prouve que lesystme moyenne glissante est stable.Exemple : Systme instable.Considrons le systme variation temporelle discrte dont la relation

    dentre-sortie est dnie par :

    y [n] = rnx [n] avec r > 1

    Montrer que ce systme nest pas stable.Solution :On supposera que le signal dentre x [n] satisfait la condition :

    jx [n]j Mx 1, le facteur multiplicatif rn diverge lorsque n augmente. La

    condition que le signal dentre est born, nest pas su sante pour garantirque le signal de sortie soit aussi born et donc le systme est instable. Pourdmontrer sa stabilit, il est ncessaire dtablir que toutes les entres bornesproduisent une sortie borne.

    Problme : Pour un systme variation temporelle discrte, la relationdentre-sortie scrit :

    y [n] =1Xk=0

    pkx [n k]

    Montrer que ce systme est stable EBRB si jpj < 1:

    1.4.2 Systme avec mmoire ou sans mmoire

    Un systme est dit avec mmoire, si le signal de sortie dpend du passou des valeurs futures que va prendre le signal dentre. Linuence plus ou

    52

  • moins grande des valeurs passes dnit la mmoire plus ou moins grande dusystme.On dira quun systme est sans mmoire si le signal de sortie dpend

    uniquement de la valeur prsente du signal dentre.Par exemple, un rsistor est sans mmoire puisque le courant i (t) qui le

    traverse, caus par une tension applique v (t) est dni par :

    i (t) =1

    Rv (t)

    R est la valeur de la rsistance du rsistor.Dun autre ct, une bobine est un gnrateur avec mmoire, puisque le

    courant qui la parcourt est li la tension applique v (t) par :

    i (t) =1

    L

    tZ1

    v () d

    L est linductance de la bobine. Cest dire que, contrairement ce qui sepasse pour une rsistance, le courant dans une bobine linstant t dpendde toutes les valeurs passes de la tension v (t) ; la mmoire dune bobine aune tendue innie.La moyenne glissante dnie par la relation prcdemment nonce a une

    mmoire puisque la valeur du signal de sortie y [n] dpend du prsent et desdeux valeurs passes. Par contre le systme dcrit par la relation suivante estsans mmoire car y [n] uniquement de la valeur prsente du signal dentrex [n] :

    y [n] = 2x2 [n]

    Problme : De combien stend dans le pass, la mmoire du systme moyenne glissante dcrit par la relation entre-sortie suivante :

    y [n] =1

    3fx [n] + x [n 2] + x [n 4]g

    Rponse : de 4 units.Problme : La relation entre-sortie dune diode semi-conductrice est

    reprsente par la relation :

    i (t) = a0 + a1v (t) + a2v2 (t) + :::

    53

  • v (t) est la tension applique, i (t) est le courant scoulant travers la diode,a0, a1, a2... sont des constantes relles. La diode est-elle un dispositif avecmmoire ?Rponse : non.Problme : La relation entre-sortie dun condensateur est dcrite par :

    v (t) =1

    C

    tZ1

    i () d

    Quelle est ltendue de la mmoire dun condensateur ?Rponse : la mmoire dun condensateur stend de linstant prsent t

    jusqu linni dans le pass.

    1.4.3 Causalit

    On dit quun systme est causal, si la valeur prsente du signal de sortie,dpend uniquement des valeurs prsentes et passes du signal dentre. Paropposition, on dira quun systme nest pas causal, si le signal de sortiedpend dune ou de plusieurs valeurs futures du signal dentre.Par exemple, le systme moyenne glissante dni par la relation suivante

    est un systme causal :

    y [n] =1

    2fx [n] + x [n 1] + x [n 2]g

    Par opposition, le systme de moyenne glissante dni par :

    y [n] =1

    4fx [n+ 1] x [n] + x [n 1]g

    nest pas causal puisque le signal de sortie y[n] dpend dune valeur du futurdu signal dentre, cest dire x[n+ 1].Le point important quil faut noter ici est que la causalit est une condi-

    tion ncessaire pour que le systme soit capable de travailler dans lespacephysique rel. Dans le premier exemple de moyenne glissante que nous avonstrait, la sortie y[n] est calcule, une fois que lchantillon prsent x[n] estreu, permettant donc au systme de travailler dans lespace rel, pour toutevaleur de n. Par opposition, pour le dernier exemple de moyene glissante

    54

  • trait, le systme doit attendre lchantillon venir x[n + 1] avant de pro-duire la sortie y[n] ; la cause ne pouvant suivre leet, le systme ne peuttravailler dans la ralit.Problme : Considrons le circuit RC reprsent sur la gure 1.41, len-

    tre tant la tension v1 (t) et la sortie tant la tension v2 (t) ; ce systme estil causal ou non causal ?

    (t)+ C+

    R

    v1(t)

    v2

    Fig. 1.41 Circuit RC et source de tension

    Rponse : Causal.Problme : Soit le systme variation temporelle discrte, dni par

    la relation : y[n] = x[n k]. Le systme est il causal pour nimporte quellevaleur de k, positive ou ngative ?Rponse : Non causal pour k ngatif.

    1.4.4 Inversibilit

    On dit quun systme est inversible si au lieu de considrer la relationentre-sortie, on peut considrer la relation sortie-entre ; en dautres termes,si partir de la connaissance de la sortie, on peut remonter la valeurde lentre. On peut voir les oprations ncessaires pour retrouver le signaldentre comme un deuxime systme, connect en cascade avec le premierde telle sorte que le signal de sortie du deuxime systme soit gal au signaldentre du premier systme.An de mettre la notion dinversibilit sur des bases formelles, soit H

    loprateur reprsentant le premier systme variation temporelle continueayant x(t) comme signal dentre et y(t) comme signal de sortie. Ce signalde sortie y(t) est appliqu un deuxime systme variation temporellecontinue reprsent par un oprateur H inv, comme montr sur la gure 1.42.

    55

  • Le signal de sortie de ce deuxime systme est dni par :

    H inv fy(t)g = H inv [H fx(t)g] = H invH fx(t)g

    On a utilis le fait que les deux oprateurs H inv et H connects en cascadesont quivalents un oprateur unique H invH. Pour que le signal de sortiesoit gal au signal dentre original x(t), il est ncessaire davoir la relation :

    H invH = I

    I est loprateur identit.

    Fig. 1.42 Notion de systme inversible

    La sortie dun systme dcrit par loprateur identit est gale exactement son entre. Loprateur H inv est appel oprateur inverse et le systmeassoci est appel systme inverse. En gnral, le problme de trouver lesystme inverse dun systme donn nest pas simple. Un systme nest pasinversible chaque fois que des entres distinctes appliques au systme neproduisent pas des sorties distinctes. Il doit y avoir une correspondance bi-univoque entre les signaux dentre et de sortie pour que le systme soitinversible. Des conditions identiques doivent tre vries pour quun systme variation temporelle discrte soit inversible.La proprit dinversibilit est de grande importance dans la conception

    des systmes de communication. En eet, lorsquun signal se propage tra-vers un canal de communication, il est distordu car le canal nest pas idal.Une mthode trs utilise pour compenser cette distorsion et dinclure dansle rcepteur, un dispositif appel galiseur connect en cascade avec le canal.En concevant lgaliseur de telle sorte quil soit linverse du canal, le signaltransmis est restaur sous sa forme originale si lon fait lhypothse quil nya pas de bruit introduit.Exemple : Systme inverseConsidrons le systme "dcaleur temporel" dcrit par la relation entre-

    sortie suivante :y(t) = x(t t0) = St0 fx(t)g

    56

  • Loprateur St0 reprsente un dcalage temporel de t0 secondes. Trouver lin-verse de ce systme.Solution : Pour cet exemple, linverse du dcalage retard de t0 secondes,

    est un dcalage avance soit t0 secondes. On peut reprsenter le dcalagetemporel de t0 par un oprateur St0 qui est linverse de St0. Ainsi, enappliquant St0 au signal de sortie du systme initial, on obtient :

    St0 fy(t)g = St0 St0 fx(t)g = St0St0 fx(t)gPour que ce signal de sortie, soit gal au signal dentre dorigine x(t), il estncessaire de satisfaire la relation

    St0St0 = I

    Cette condition est bien entendu ralise.Problme : Une bobine est dcrite par la relation entre-sortie suivante :

    y(t) =1

    L

    tZ1

    x()d

    Trouver loprateur dnissant le systme inverse.Rponse : x(t) = Ldy(t)

    dt

    Exemple dun systme non inversibleMontrer que le systme lvateur la puissance deux, dcrit par la relation

    entre-sortie y(t) = x2(t) nest pas inversible.Solution : On remarquera que le systme lvateur la puissance deux

    ne remplit pas la condition ncessaire pour linversibilit, cest dire que desentres distinctes doivent produire des sorties distinctes. En eet, des entresdistinctes x(t) et x(t) produisent la mme sortie y(t). Le systme lvateur la puissance deux nest donc pas inversible.

    1.4.5 Invariance temporelle

    Un systme est dit invariant temporellement si un dcalage temporel(avance ou retard) du signal dentre conduit un dcalage temporel iden-tique du signal de sortie. Ceci signie quun systme invariant temporellementrpond de faon identique, quel que soit le moment o le signal dentre est

    57

  • appliqu : autrement dit, les caractristiques dun systme invariant tem-porellement, sont conserves, quelle que soit lorigine temporelle. Dans lesautres cas, le systme sera dit variant temporellement.Considrons un systme variation temporelle continue, dont la relation

    entre-sortie est de la forme :

    y1(t) = H fx1(t)g

    Supposons que le signal dentre x1(t) soit dcal temporellement de t0 se-condes soit x1 (t t0). Cette opration peut donc tre dcrite analytiquementpar :

    x2 (t) = x1 (t t0) = St0 fx1(t)gSoit y2(t) reprsentant le signal de sortie du systmeH ; cest le signal rponse lentre dcale x1 (t t0). On peut crire :

    y2(t) = H fx1 (t t0)g = HSt0 [x1(t)]

    =) y2(t) = HSt0 fx1(t)g

    Les implications prcdentes sont reprsentes sur la gure 1.43a).Supposons

    Fig. 1.43 a) Loprateur St0 prcde loprateur H. b) Loprateur St0 suitloprateur H.

    maintenant que y1 (t t0) reprsente la sortie du systme H dcale tempo-rellement de t0 secondes ; soit :

    y1 (t t0) = St0 fy1(t)g = St0 [H fx1(t)g] =) y1 (t t0) = St0H fx1(t)g

    Les implications prcdentes sont reprsentes dans le schma-bloc de la -gure 1.43b).Le systme sera dit invariant temporellement si les sorties y2(t) et y1 (t t0)

    sont identiques, quel que soit le signal dentre x1(t). Il faut donc que soitralise la condition :

    HSt0 = St0H

    58

  • Autrement dit, pour que le systme dcrit par loprateur H soit invarianttemporellement, il faut que loprateur du systme H et loprateur de d-calage temporel St0 commutent pour tout t0.Une relation semblable peut tre nonce pour que soit temporellement

    invariant, un systme variation temporelle discrte.Exemple : Bobine.On supposera que v(t), tension aux bornes de la bobine est le signal den-

    tre x1(t) et que le courant parcourant la bobine i(t) reprsente le signal desortie y1(t). La bobine est donc dcrite par la relation entre-sortie suivante :

    y1(t) =1

    L

    tZ1

    x1()d

    L est linductance de la bobine. Montrer que la bobine ainsi dcrite est unsystme invariant temporellement.Solution : Dcalons temporellement lentre x1(t) de t0 secondes. La

    rponse y2(t) de la bobine x1 (t t0) a lexpression analytique suivante :

    y2(t) =1

    L

    tZ1

    x1 ( t0) d

    Maintenant, soit y1 (t t0) la sortie originelle de la bobine, dcale tempo-rellement de t0 secondes ; cest dire :

    y1(t t0) = 1L

    tt0Z1

    x1 () d

    Bien qu premire vue, y2(t) et y1 (t t0) soient formellement dirents, ilssont en fait gaux comme le montre un simple changement de la variabledintgration. Soit : 0 = t0 =) d 0 = d . En changeant les limites delintgrale, lexpression de y2(t) peut se recrire de la faon suivante :

    y2(t) =1

    L

    tt0Z1

    x1 (0) d 0

    En termes mathmatiques, cest une expression identique y1 (t t0). Il sen-suit donc que la bobine est un systme invariant temporellement.

    59

  • Exemple : ThermistorUn thermistor est une rsistance qui varie avec le temps ; ceci est d des

    variations de temprature. Soit donc R(t) la rsistance du thermistor. Consi-drons que le signal dentre x1(t) est la tension aux bornes de la thermistanceet que le signal de sortie y1(t) est le courant qui parcourt la thermistance. Larelation entre-sortie de ce dispositif peut scrire :

    y1(t) =x1(t)

    R(t)

    Montrer que la thermistance ainsi dcrite est un dispositif variant temporel-lement.Solution : Soit y2(t) la rponse de la thermistance la cause x1 (t t0).

    On peut crire :

    y2(t) =x1 (t t0)R(t)

    Soit y1 (t t0), la sortie temporellement dcale de t0 de la thermistance due lentre x1(t) ; cest dire :

    y1(t t0) = x1 (t t0)R(t t0)

    Puisquen gnral, R(t) 6= R (t t0) pour t0 6= 0, on voit immdiatementque :

    y1(t t0) 6= y2 (t) pour t0 6= 0Ainsi donc, la thermistance est un systme variant temporellement, ce quiintuitivement est satisfaisant.Problme : Un systme variation temporelle discrte, dont la relation

    entre-sortie est y[n] = rnx[n] est il temporellement invariant ?Rponse : Non

    1.4.6 Linarit

    Un systme est dit linaire, en termes dentre (excitation x(t)) et desortie (rponse y(t)), sil satisfait simultanment les deux proprits de su-perposition et dhomognit que nous allons noncer.Superposition : Considrons un systme initialement au repos. Le sys-

    tme est soumis une entre x1(t) produisant une sortie y1(t). Supposons que

    60

  • le mme systme soit soumis une entre dirente x(t) = x2(t) produisantune sortie correspondante y(t) = y2(t). Pour que le systme soit linaire, ilest ncessaire que lentre composite x(t) = x1(t) + x2(t) produise une sortiey(t) = y1(t)+ y2(t). Nous venons de dcrire le principe de superposition soussa forme la plus simple.Homgnti : Considrons encore le systme initialement au repos et

    supposons que lentre x(t) conduise une sortie y(t). On dira que le systmeprsente la proprit dhomognit, si pour toute entre multiplie par unfacteur constant a, la sortie y(t) est multiplie par ce facteur a.Quand un systme ne satisfait pas la proprit de superposition ou celle

    dhomognit, il sera appel non-linaire.Soit un oprateurH reprsentant un systme variation temporelle conti-

    nue. Supposons que le signal appliqu lentre de ce systme soit la sommepondre suivante :

    x(t) =NXi=1

    aixi(t)

    x1(t), x2(t), . . . , xN(t) reprsentent un ensemble de signaux dentre et a1, a2,. . . , aN sont les facteurs de pondration correspondants. Le signal de sortiersultant scrit alors :

    y(t) = H fx(t)g = H(

    NXi=1

    aixi(t)

    )

    Si le systme est linaire, en appliquant le principe de superposition et laproprit dhomognit, on peut exprimer le signal de sortie de ce systme,sous la forme suivante :

    y(t) =NXi=1

    aiyi(t)

    Les yi(t) sont les rponses du systme aux entres xi(t), agissant sparment,cest dire :

    yi(t) = H fxi(t)g ; i = 1; 2; : : : N:La somme pondre dcrivant le signal de sortie y(t) a la mme forme ma-thmatique que la somme pondre dcrivant le signal dentre x(t).

    y(t) = H

    (NXi=1

    aixi(t)

    )=

    NXi=1

    aiH fxi(t)g

    61

  • En dautres termes, loprateur du systme H doit commuter avec la som-mation et la mise lchelle.La linarit est reprsente sur les gures 1.44.Pour des systmes linaires

    Fig. 1.44 a) La multiplication par une constante et la sommation prcdentH. b) H prcde la multiplication par une constante et la sommation.

    variation temporelle discrte, les relations suivantes doivent tre satisfaites :

    y[n] = H

    (NXi=1

    aixi[n]

    )=

    NXi=1

    aiH fxi[n]g =NXi=1

    aiyi[n]

    Exemple : Comme systme linaire variation temporelle discrte, consid-rons le systme dcrit par la relation entre-sortie suivante :

    y[n] = nx[n]

    Montrer que ce systme est linaire.Solution : Exprimons le signal dentre x[n] sous la forme de la somme

    pondre suivante :

    x[n] =NXi=1

    aixi[n]

    Cherchons lexpression analytique caractrisant le signal de sortie rsultant :

    y[n] = nx[n] = n

    NXi=1

    aixi[n] =

    NXi=1

    ainxi[n]

    62

  • y[n] peut alors scrire sous la forme analytique suivante, aprs avoir posyi[n] = nxi[n] :

    y[n] =

    NXi=1

    aiyi[n]

    La relation prcdente peut tre interprte de la faon suivante : cest lasortie due chaque entre individuelle agissant indpendamment. On peutdonc voir que le systme ainsi dni, satisfait la fois la proprit desuperposition et la proprit dhomognit. Il est donc linaire.Exemple : On va maintenant sintresser un systme non linaire.

    Considrons le systme variation temporelle continue, dcrit par la relationentre-sortie suivante :

    y(t) = x(t) x(t 1)Montrer que ce systme est non linaire.Solution : Supposons que le signal dentre x(t) puisse tre dcompos

    suivant la somme pondre suivante :

    x(t) =NXi=1

    aixi(t)

    Pour ce systme, le signal de sortie correspondant est donn par :

    y(t) =NXi=1

    aixi(t)NXj=1

    ajxj(t 1)

    y(t) peut mathmatiquement se transformer de la faon suivante :

    y(t) =

    NXi=1

    NXj=1

    aiajxi(t)xj(t)

    Si le systme avait t linaire, on aurait eu un signal de sortie z(t) ayantlexpression analytique suivante :

    z(t) =

    NXi=1

    aixi(t) xi(t 1)

    On remarque que la forme du signal de sortie est totalement dirente decelle attendue. Le systme ne satisfait pas le principe de superposition et estdonc un systme non linaire.

    63

  • y(t)+ C

    R

    +x(t)

    Fig. 1.45 Circuit RC dont on connait la rponse u(t).

    Problme : Montrer que le systme dcrit par la moyenne glissante sui-vante est linaire :

    y[n] =1

    3fx[n] + x[n 1] + x[n 2g

    Problme : Est il possible quun systme linaire soit non causal ?Rponse : OuiProblme : Le limiteur "dur" est un systme sans mmoire dont la re-

    lation entre-sortie est dnie par :y(t) = 1 pour x(t) 0y(t) = 0 pour x(t) < 0Ce systme est il linaire ?Rponse : Non.Exemple : Rponse impulsionnelle dun circuit RC.Dans cet exemple, nous allons utiliser la linarit, linvariance temporelle

    et la reprsentation dune impulsion de Dirac comme cas limite dune impul-sion rectangulaire an dobtenir la rponse dun circuit srie, reprsent surla gure (1-45). Nous avons dj discut de ce systme lors du calcul de larponse de ce circuit un chelon unit. On peut crire la tension aux bornesdu condensateur sous la forme :

    y(t) =1 et=(RC)u(t)etx(t) = u(t)

    Connaissant la rponse lchelon unit, le but de cet exercice est detrouver par dduction, la rponse une impulsion de Dirac.Solution : Pour trouver la rponse y(t) produite par une cause x(t) =

    (t), nous allons utiliser quatre concepts, prddemment dnis : les propri-

    64

  • ts de linarit et dinvariance temporelle, la dnition graphique de limpul-sion de Dirac par passage la limite de la fonction rectangle et la dnitionde la drive dune fonction continue du temps.Nous avons dj not que lon peut exprimer limpulsion rectangulaire

    x(t) comme la dirence de deux fonctions chelon pondres et dcalestemporellement ; soit :

    x1(t) =1

    u

    t+

    2

    et x2(t) =

    1

    u

    t

    2

    Soient y1(t) et y2(t) , les rponse du circuit RC aux deux fonctions chelonx1(t) et x2(t) respectivement. Appliquant la proprit dinvariance tempo-relle, on obtient :

    y1(t) =1

    n1 e(t+2 )=(RC)

    ou

    t+

    2

    et x(t) = x1(t)

    y2(t) =1

    n1 e(t2 )=(RC)

    ou

    t

    2

    et x(t) = x2(t)

    Rappelons la relation de dnition : x(t) = x1(t) x2(t). Invoquant laproprit de linarit pour exprimer les rponses correspondantes du circuitRC, on obtient les expressions suivantes :

    y(t) =1

    n1 e(t+2 )=(RC)

    ou

    t+

    2

    1

    n1 e(t2 )=(RC)

    ou

    t

    2

    =

    1

    u

    t+

    2

    u

    t

    2

    1

    e(t+

    2 )=(RC) u

    t+

    2

    e(t2 )=(RC) u

    t

    2

    Tout ce quil nous reste faire est de dterminer la forme limite de y(t).

    lorsque la dure de limpulsion tend vers zro. Pour arriver nos ns, nousdevons invoquer les deux dnitions suivantes : Rprsentation de (t) comme cas limite de x(t)

    (t) = lim!0

    x(t)

    65

  • Ecriture de la drive dune fonction continue du temps :

    dz(t)

    dt= lim

    !0

    1

    z

    t+

    2

    z

    t

    2

    Appliquons ces deux dnitions, la dernire ligne de la relation d-nissant y(t) en rappelant x(t) = (t) ; on obtient la rponse souhaite limpulsion de Dirac :

    y(t) = lim!0

    y(t) = (t) ddt

    et=fRCgu(t)

    y(t) = (t) et=fRCg d

    dtu(t) u(t) d

    dt

    et=fRCg

    y(t) = (t) et=fRCg(t) + 1

    RCet=fRCgu(t)

    Nous avons appliqu la rgle de drivation dun produit de fonctions u(t)et et=(RC). Enn,puisque (t) nagit qu lorigne et que et=(RC) = 1 pourt = 0, les termes (t) et (t)et=(RC) sannulent. Lexpression pour la rponseau Dirac (t) du circuit RC scrit donc simplement sous la forme suivante :

    y(t) =1

    RCet=(RC)u(t) avec x(t) = (t)

    Ce rsultat est classique.Problme : Circuit RLLa gure 1.46 reprsente le circuit RL constitu de la mise en srie dune

    bobine et dune rsistance. La rponse de ce circuit un chelon unit est :

    y(t) =1 etR=Lu(t) avec x(t) = (t)

    Trouver la rponse de ce circuit limpulsion de Dirac, cest dire la ten-sion y(t) apparaissant aux bornes de la rsistance, lorsque la tension dentrex(t) est gale (t).Rponse : R

    LetR=Lu(t).

    1.5 Reprsentation sous forme de schma blocdes systmes LIT

    Dans ce paragraphe, nous allons examiner la reprsentation sous formede schma-blocs de systmes LIT dcrits par des quations direntielles

    66

  • L(t)d +y(t)R

    Fig. 1.46 Rponse impulsionnelle dun circuit RL

    ou des quations aux dirences. Un schma-bloc est une interconnectiondoprateurs lmentaires qui agissent sur le signal dentre. Pour le systme,le schma-bloc est une reprsentation plus dtaille que la rponse impul-sionnelle ou que la description par des quations direntielles ou aux di-rences. La description par schma-blocs permet de rendre compte de certainesoprations internes au systme et de dcrire comment elles sont ordonnes.Comme nous lavons dj vu, la rponse impulsionnelle ou la description parquations direntielles ou aux dirences reprsente uniquement la relationentre-sortie du systme.Nous allons montrer quun systme ayant une caractristique entre-sortie

    donne peut se reprsenter par une interconnection de plusieurs schma-blocs.Chaque schma-bloc en particulier, dcrit une partie des calculs internes ef-fectus lintrieur du systme et contribuant la gnration du signal desortie.Linterconnection de trois oprations lmentaires permet cette reprsen-

    tation :- Multiplication par un scalaire :

    y (t) = Cx (t) ou y [n] = Cx [n]

    - Addition :

    y (t) = x (t) + w (t) ou y [n] = x [n] + w [n]

    - Intgration pour des systmes LIT variation temporelle continue :

    y (t) =

    tZ1

    x () d

    67

  • - Le dcalage temporel dune unit pour les systmes variation temporellediscrte :

    y [n] = x [n 1]La gure 1.47 reprsente les graphiques utiliss pour reprsenter les troissymboles des schma-blocs dcrits prcdemment.

    Fig. 1.47 Symboles reprsentant les oprations lmentaires : a) Multipli-cation par un scalaire ; b) addition ; c) Intgration ou dcalage temporel.

    An de pouvoir exprimer les systmes variation temporelle continueen termes dopration intgration, on doit transformer lquation diren-tielle en une quation intgrale ; cette opration est prfre loprationdirentiation car les intgrateurs sont beaucoup plus faciles construireque les direntiateurs ; de plus la prsence dintgrateurs amoindrit le bruitdans les systmes alors que la prsence de direntiateurs laccentue. Onobtient lquation intgrale ou lquation aux dirences, correspondant aucomportement du systme, en exprimant en squence les direntes opra-tions reprsentes sous forme dquations par les schma-blocs.Commenons traiter le cas des systmes variation temporelle discrte.

    La gure 1.48 reprsente un tel systme. Ecrivons lquation correspondant la partie du systme lintrieur du rectangle hachur. Pour un dcaleurdune unit, la sortie est x [n 1] si lentre est x [n].Pour le deuxime dcaleur dune unit, la sortie est x [n 2]. Les mul-

    tiplications scalaires et les sommations induisent les relations :

    w [n] = b0x [n] + b1x [n 1] + b2x [n 2]Ecrivons ensuite lexpression de y [n] en fonction de w [n]. De la lecture dubloc diagramme, on peut crire :

    y [n] = w [n] a1y [n 1] a2y [n 2]

    68

  • y[n]S S

    w[n]

    y[n-1]

    y[n-2]

    S S

    b0

    2b

    b1 -a1

    -a2

    x[n]

    x[n-1]

    x[n-2]

    Ret

    RetRet

    Ret

    Fig. 1.48 Reprsentation sous forme de schma blocs dun systme dusecond ordre variation temporelle discrte.

    Eliminant la variable intermdiaire w [n], on peut exprimer directement lasortie du systme y [n] en fonction des valeurs de lentre, soit :

    y [n] = a1y [n 1] a2y [n 2] + b0x [n] + b1x [n 1] + b2x [n 2]

    Soit :

    y [n] + a1y [n 1] + a2y [n 2] = b0x [n] + b1x [n 1] + b2x [n 2]

    Le bloc diagramme de la gure 1.48 dcrit donc le bloc-diagramme dunsystme LIT dont la caractristique entre-sortie est reprsente par unequation aux dirences dordre 2. On remarquera que le bloc diagrammereprsente explicitement les oprations eectues pour calculer la sortie lors-quon connait lentre et nous donne une indication sur la faon de simulerle systme sur calculateur.Les oprations de multiplication par une constante et daddition sont

    facilement values laide dun calculateur. Les sorties des oprateurs dedcalage temporel correspondent des allocations de mmoire dans lescalculateurs. Pour calculer la sortie linstant n, en fonction de lentre linstant n, on doit avoir sauvegard en mmoire, les valeurs passes aussibien de la sortie que de lentre. Pour entreprendre la simulation du calcul un instant donn, on doit connaitre les valeurs passes de lentre et de la

    69

  • sortie. Les valeurs passes de la sortie, sont les conditions initiales ncessaires la rsolution directe de lquation aux dirences.Problme : Dterminer lquations aux dirences correspondant la

    description sous forme de schma-bloc des systmes reprsents sur les gures1.49a) et b).

    S

    S

    (b)

    S S

    13

    2-1

    x[n] y[n]

    2

    x[n] y[n]

    (a)

    2-1

    -14

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Fig. 1.49 Reprsentation sous forme de schma blocs

    Rponses :a) y [n] + 1

    2y [n 1] 1

    3y [n 3] = x [n] + 2x [n 2]

    70

  • b) y [n] + 12y [n 1] + 1

    4y [n 2] = x [n 1]

    La description dun systme sous forme de schma-blocs nest pas unique.Nous allons illustrer cette proprit en dveloppant une deuxime descriptiondun systme sous forme de schma-blocs. Reprenons lexemple dquationaux dirences du second ordre. On peut considrer le systme reprsentsur la gure 1.48 comme la connection en cascade de deux systmes : lundentre x [n] et de sortie w [n], lautre dentre w [n] et de sortie y [n]. Cesdeux systmes sont des systmes LIT, pour lesquels on peut changer lordrede mise en cascade sans changer le comportement global entre-sortie.Interchangeons donc lordre de mise en cascade, appelons f [n] la sortie

    du nouveau premier systme (lancien deuxime). Cette sortie f [n] et lentrex [n] sont lies par la relation :

    f [n] = a1f [n 1] a2f [n 2] + x [n]

    Le signal f [n] est aussi lentre du deuxime systme. La sortie de cedeuxime systme obit la relation :

    y [n] = b0f [n] + b1f [n 1] + b2f [n 2]

    Les deux systmes font intervenir les mmes versions dphases temporel-lement de f [n]. Donc pour cette seconde description sous forme de schma-blocs du systme, on na besoin que dune seule version de dcalages tem-porels. Le systme dcrit par les quations intermdiaires prcdentes estreprsent sur la gure 1.50. Les blocs diagrammes des gures 1.48 et 1.50 re-prsentent deux implmentations direntes du mme systme LIT dordredeux. Le diagramme de la gure 1.48 est appel implmentation directeforme Ialors que celui reprsent sur la gure 1.50 est appel implmenta-tion directe forme II. Limplmentation directe forme II utilise la mmoirede faon plus e cace. Dans cet exemple, seules sont ncessaires deux placesmmoire, alors que dans limplmentation directe forme I, quatre places m-moire sont ncessaires.Problme : Dessiner les implmentations sous forme directe I et II du

    systme dcrit par lquation aux dirences suivante :

    y [n] +1

    4y [n 1] + 1

    8y [n 2] = x [n] + x [n 1]

    Rponse : Les schma-blocs sont reprsents sur les gures 1.51.

    71

  • SS

    S

    S

    f[n-2]

    f[n]

    f[n-1]

    -a2

    -a1

    b0

    b1

    b2

    x[n] y[n]

    Ret

    Ret

    Fig. 1.50 Reprsentation sous-forme directe II dun systme LIT dcrit parune quation aux dirences dordre 2.

    Nous venons de voir quil y a plusieurs implmentations direntes dunsystme LIT dont le comportement entre-sortie est dcrit par une quationaux dirences. Les deux ont t obtenues en manipulant soit lquation auxdirences, soit la reprsentation des lments du schma-bloc. Bien que cesdirentes implmentations soient quivalentes en ce qui concerne le com-portement entre-sortie, elles sont bien videmment direntes, si lon choi-sit dirents critres de comparaison : place mmoire, nombre doprationsncessaires pour obtenir la valeur de sortie, prcision numrique...Des rsultats semblables sobtiennent pour des systmes LIT varia-

    tion temporelle continue. On pourrait simplement remplacer les oprateursde dcalage temporel, par des oprateurs direntiationce qui permettraitdobtenir directement la reprsentation sous forme de schma-blocs des qua-tions direntielles. Cependant an de dcrire les systmes LIT variationtemporelle continue en faisant intervenir lopration dintgration, on doitdabord rcrire lquation direntielle sous forme intgrale.

    NXk=0

    akdky (t)

    dtk=

    MXk=0

    bkdkx (t)

    dtk

    72

  • +1

    S S

    y[n]

    (a)

    (b)

    +1

    S

    -18

    -14

    S S

    S-14

    -18

    x[n] y[n]1

    1

    x[n]

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Ret

    Fig. 1.51 a) Forme I ; b) Forme II.

    73

  • Pour faire cela, dnissons lopration intgrationde faon rcurrente, ande simplier lcriture. Soit v (t) un signal quelconque, crivons :

    v(n) (t) =

    tZ1

    v(n1) () d , n = 1; 2; 3:::

    Ainsi v(n) (t) est lintgrale de rang (n) de v (t) par rapport au temps. Cettednition de lintgrale prend en compte toutes les valeurs passes du temps.On peut rcrire lintgrale en faisant intervenir la condition initiale sur lin-tgrateur :

    v(n) (t) =

    tZ1

    v(n1) () d + v(n) (0) , n = 1; 2; 3:::

    Si lon suppose des conditions initiales nulles, alors, intgration et diren-tiation sont des oprations inverses lune de lautre, cest dire :

    d

    dtv(n) (t) = v(n1) (t) ; n = 1; 2; 3:::

    Ainsi si N > M , en intgrant N fois lquation direntielle, on obtient ladescription du systme sous la forme de lquation intgrale suivante :

    NXk=0

    aky(k) (t) =

    MXk=0

    akx(k) (t)

    Pour un systme dordre deux avec a0 = 1, lquation prcdente se rcrit :

    y (t) = a1y(1) (t) a0y(2) (t) + b2x (t) + b1x(1) (t) + b0x(2) (t)Les implmentations de ce systme sous forme directe I et II sont reprsentessur les gures 1.52 et 1.53 respectivement. On remarquera que limplmenta-tion sous forme directe II utilise moins dintgrations que limplmentationsous forme directe I.Problme : Trouver lquation direntielle correspondant la descrip-

    tion du systme reprsent sur la gure 1.54.Rponse : d

    2ydt2+ 3y = dx

    dt+ 2d

    2xdt2

    On peut utiliser les reprsentations sous forme de schma-blocs des sys-tmes LIT variation temporelle continue pour eectuer des simulations

    74

  • S Sb1 -a1x( 1 )(t) y( 1 )(t)

    y( 2 )(t)x( 2 )(t)b0

    2b

    -a0

    w[n]

    Int

    Int

    Int

    Int

    x(t) y(t)

    (a)

    S S

    Fig. 1.52 Reprsentation dun systme dordre 2 sous forme intgrale

    S

    S

    S-a1

    f( 2 )(t)

    f( 1 )(t)

    -a0 b0

    b1

    b2x(t) f(t)

    Int

    Int

    y(t)S

    Fig. 1.53 Reprsentation dun systme dordre 2 sous forme intgrale

    75

  • SInt

    Int

    x(t) y(t)2

    1

    -3

    S

    Fig. 1.54 Reprsentation sous forme de schma bloc du problme.

    analogiques de ces systmes. Dans cette simulation, les signaux sont prfren-tiellement des tensions. Les rsistances sont utilises pour implmenter lop-rateur multiplication par une constante, les intgrateurs sont construits partir de rsistances, de condensateurs et doprateurs oprationnels. Lesconditions initiales sont spcies comme tensions initiales des intgrateurs.Les simulations laide de calculateurs analogiques sont beaucoup plus p-nibles que les simulations laide de calculateurs numriques ; elles sont deplus sujettes une drive dans le temps. Ces problmes pratiques sont limi-ns en simulant les systmes variation temporelle continue sur des calcu-lateurs digitaux en utilisant des approximations numriques pour les opra-tions dintgration ou de drivation. Cependant, lors de simulations avec descalculateurs numriques, on doit faire attention ne pas perdre en prcision.

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