0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et...

1

Gestion de PortefeuilleGestion de Portefeuille3-203-993-203-99

Albert Lee ChunAlbert Lee Chun

Les obligations : durée, Les obligations : durée, convexité et stratégies de convexité et stratégies de

gestion de portefeuillegestion de portefeuille

Séance 10Séance 10

27 nov 2008

Albert Lee Chun Portfolio Management 2

Gestion de portefeuille obligataireGestion de portefeuille obligataire

La source de risque principale à laquelle doivent faire La source de risque principale à laquelle doivent faire face les gestionnaires de portefeuille d'obligations est face les gestionnaires de portefeuille d'obligations est celle de la variation des taux d’intérêt. celle de la variation des taux d’intérêt.

Au cours de cette séance: Au cours de cette séance:

1. Nous allons examiner comment les prix des 1. Nous allons examiner comment les prix des obligations répondent aux variations de taux d’intérêt. obligations répondent aux variations de taux d’intérêt.

2. Nous verrons différentes méthodes de construction 2. Nous verrons différentes méthodes de construction d’un portefeuille d’obligations qui nous immunisera d’un portefeuille d’obligations qui nous immunisera contre ce risque. contre ce risque.


Aujourd’huiAujourd’hui

Rappel sur les obligationsRappel sur les obligations La structure à terme des taux d’intérêtLa structure à terme des taux d’intérêt Le risque de taux d’intérêtLe risque de taux d’intérêt La sensibilité du prix des obligations au taux d’intérêtLa sensibilité du prix des obligations au taux d’intérêt - Durée - Durée - Convexité- Convexité Immunisation de portefeuilleImmunisation de portefeuille Stratégie de courbe des tauxStratégie de courbe des taux Quelques exemples sympathiques!Quelques exemples sympathiques!


Rappel sur les obligationsRappel sur les obligations


L’obligationL’obligation

Définition:Définition: Une obligation est une dette à long terme Une obligation est une dette à long terme émise par une société ou un gouvernement émise par une société ou un gouvernement

Normalement, l’obligation est un prêt dont Normalement, l’obligation est un prêt dont l’emprunteur ne paye que l’intérêt et ne rembourse la l’emprunteur ne paye que l’intérêt et ne rembourse la valeur nominale qu’à l’échéance.valeur nominale qu’à l’échéance.

L'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodiqueL'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodique..


Composantes de l'obligationComposantes de l'obligation

Le prix de l’obligation dépend de quatre facteurs :Le prix de l’obligation dépend de quatre facteurs :

1.1. Valeur nominale ou valeur au pairValeur nominale ou valeur au pair

2.2. Taux de couponsTaux de coupons

3.3. Période de temps avant l’échéancePériode de temps avant l’échéance

4.4. Taux de rendement à l’échéance Taux de rendement à l’échéance ((TRETRE): le ): le rendement qui actualise les coupons et la valeur rendement qui actualise les coupons et la valeur nominale aux prix du marché d’aujourd’hui (aussi nominale aux prix du marché d’aujourd’hui (aussi connu sous le nom de connu sous le nom de Taux de rendement interneTaux de rendement interne).).


Taux de rendement effectifTaux de rendement effectif

Le Le taux de rendement à l’échéancetaux de rendement à l’échéance (TRE)(TRE) est un est un taux d'intérêt telle la valeur actuelle des coupons et la taux d'intérêt telle la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de l’obligation égale le prix actuel du valeur nominale de l’obligation égale le prix actuel du marché. marché.

On utilise souvent le terme On utilise souvent le terme taux de rendementtaux de rendement comme comme dans «Le dans «Le taux de rendementtaux de rendement d’une obligation de 10 d’une obligation de 10 ans est de 5%.»ans est de 5%.»

Important:Important: Le TRE est coté en tant que Le TRE est coté en tant que taux d’intérêt taux d’intérêt annuelannuel

Le prix et le rendement d’une obligation évoluent en Le prix et le rendement d’une obligation évoluent en sens inversesens inverse


Supposons qu’une obligation paie un coupon annuel:Supposons qu’une obligation paie un coupon annuel:

Valeur actualisValeur actualiséée = e = VA de C (coupon)VA de C (coupon) + + VA de F (la valeur nominale)VA de F (la valeur nominale) = = VA de l’annuité VA de l’annuité + + VA de F (la valeur nominale)VA de F (la valeur nominale)

F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel

= F × taux de coupon r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

Équation pour une obligationÉquation pour une obligation

tt r

F

rr

C

)1()1(

11VA



Pour une obligation qui paye des coupons semi-annuels (2 fois Pour une obligation qui paye des coupons semi-annuels (2 fois par an)par an)


= F × taux de coupon r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

22 )2/1()2/1(

11

2/

2/VA

tt r

F

rr

C


Plus généralement, pour une obligation qui paie m coupons par Plus généralement, pour une obligation qui paie m coupons par année année


= F × taux de coupon m = nombre de coupons par année r = taux de rendement à l’échéance t = période de temps avant l’échéance

mtmt mr

F

mrmr

mC

)/1()/1(

11

/

/VA



Détails d’obligationDétails d’obligation

Le Le taux de coupontaux de coupon, la , la valeur nominalevaleur nominale (ou (ou valeur au valeur au pairpair) et la ) et la date d'échéancedate d'échéance sont tous déterminés par sont tous déterminés par l'émetteur (société ou gouvernement). l'émetteur (société ou gouvernement).

«T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons «T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons. «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons. «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons. «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons.


Exemple d’obligationExemple d’obligation

Exemple simple:Exemple simple: Eggbert’s Egg Co. a émis une obligation, la Eggbert’s Egg Co. a émis une obligation, la date d’échéance étant dans 7 ans, et ayant un taux de date d’échéance étant dans 7 ans, et ayant un taux de rendement de 10 % annuel. La compagnie paie un taux de rendement de 10 % annuel. La compagnie paie un taux de coupon de 40 $ tous les six mois pour sept ans, et un montant coupon de 40 $ tous les six mois pour sept ans, et un montant nominal de 1000 $ à la fin des sept ans.nominal de 1000 $ à la fin des sept ans.

La Compagnie Eggbert’s Egg


Exemple : trouver la valeur d’une obligationExemple : trouver la valeur d’une obligation

Eggbert's Egg Co. émet une obligation à coupon semestriel de Eggbert's Egg Co. émet une obligation à coupon semestriel de 8% et une valeur nominale de 1000 $ qui vient à échéance dans 7 8% et une valeur nominale de 1000 $ qui vient à échéance dans 7 ans. Si nous supposons que le rendement à l'échéance est de ans. Si nous supposons que le rendement à l'échéance est de 10%, quel est le prix de cette obligation? 10%, quel est le prix de cette obligation?

Le détenteur reçoit un paiement de 40 $ tous les six mois (pour Le détenteur reçoit un paiement de 40 $ tous les six mois (pour un total de 80 $ par an ou 8% par an) un total de 80 $ par an ou 8% par an)

01.90105.1

000,1

05.01.05

1-1

40 Prix 14

14


Obligation émise au pairObligation émise au pair

Le prix d’une obligation émise au pair est égal à sa Le prix d’une obligation émise au pair est égal à sa valeur valeur nominale (VN).nominale (VN).

Une obligation émise au pair à un taux de rendement à Une obligation émise au pair à un taux de rendement à l’échéance = taux de coupon.l’échéance = taux de coupon.

Pourquoi? Pourquoi? Prenons TRE = taux de coupon = r. VN = 1000. Prenons TRE = taux de coupon = r. VN = 1000. Supposons qu’au temps t, P(t) = 1000(1+r). Au temps t-1, la valeur de Supposons qu’au temps t, P(t) = 1000(1+r). Au temps t-1, la valeur de

l’obligation est :l’obligation est : =1000(1+r)/(1+r)=1000(1+r)/(1+r) =1000 =1000 Par Par inductioninduction, dans la mesure où cela est vrai au moment T-1, ceci est vrai , dans la mesure où cela est vrai au moment T-1, ceci est vrai

pour tous les t. Ainsi, quand TRE = taux coupon, VA = 1000. pour tous les t. Ainsi, quand TRE = taux coupon, VA = 1000. La majorité des obligationsLa majorité des obligations sont émises au pair, avec le taux de coupon sont émises au pair, avec le taux de coupon

fixé au taux du marché.fixé au taux du marché.


Exemple : trouver la valeur d’une obligation au pairExemple : trouver la valeur d’une obligation au pair

Supposons que vous avez une obligation qui a un Supposons que vous avez une obligation qui a un taux de coupon de 10% et une valeur nominale de taux de coupon de 10% et une valeur nominale de 100 $. Avec une échéance de 10 ans et un rendement 100 $. Avec une échéance de 10 ans et un rendement à l'échéance de 10%. Quel est le prix de cette à l'échéance de 10%. Quel est le prix de cette obligation ? obligation ? En utilisant la formule:

P = VP d’une annuité + VP de VNP = 5[1 – 1/(1.05)20] / .05 + 100/ (1.05)20

P = 100.00 Prix = VN=100.

C’est une obligation au pair.


Exemple : Taux de rendement à l’échéanceExemple : Taux de rendement à l’échéance L’obligation de Eggbert’s Egg Co. se transige présentement L’obligation de Eggbert’s Egg Co. se transige présentement

à 1,200$. La date d’échéance est de quatre ans avec un taux à 1,200$. La date d’échéance est de quatre ans avec un taux de coupon annuel de 14%. Quel est le taux de rendement à de coupon annuel de 14%. Quel est le taux de rendement à l’échéance?l’échéance?

L’équation à résoudre est: L’équation à résoudre est:

En utilisant le solveur d’Excel, nous obtenons TRE = 2 x r = 7.96%.

44 )1(

1000,1

)1(

11

1401,200

rrr


Structure à terme des taux d’intérêtStructure à terme des taux d’intérêt


La terre n’est pas plateLa terre n’est pas plate

Dans les cours précédents, nous avons posé l’hypothèse Dans les cours précédents, nous avons posé l’hypothèse simple que le taux utilisé pour actualiser tous les simple que le taux utilisé pour actualiser tous les paiements était le même, peu importe l’échéance.paiements était le même, peu importe l’échéance.

En supposant que le rendement à l'échéance est le même En supposant que le rendement à l'échéance est le même pour toutes les obligations. pour toutes les obligations.

En réalité, les obligations qui ont différentes échéances En réalité, les obligations qui ont différentes échéances auront des rendements à l'échéance différents. auront des rendements à l'échéance différents.

La courbe des taux n’est pas plate.La courbe des taux n’est pas plate.


Structure à terme des taux d’intérêtStructure à terme des taux d’intérêt La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la

relation entre l’échéance et le rendement à l'échéance relation entre l’échéance et le rendement à l'échéance d'une obligation. d'une obligation.

La La courbe des taux courbe des taux est une représentation graphique est une représentation graphique de la structure des taux.de la structure des taux. Normale –une pente vers le haut, les rendements à

long terme sont plus élevés que ceux à court terme.

Inversée - une pente vers le bas, les rendements à long terme sont inférieurs aux rendements à court terme.


Courbe des taux CanadiensCourbe des taux Canadiensnovembre 2002novembre 2002


Courbe des taux CanadiensCourbe des taux Canadiensmai 2006mai 2006

Canada Yield Curve as of May 2006

3.90%

4.00%

4.10%

4.20%

4.30%

4.40%

4.50%

4.60%

0.25 2 3.75 5.5 7.25 9 10.75 12.5 14.25 16 17.75 19.5 21.25 23 24.75 26.5 28.25 30

Maturity

Inte

rest

Rat

e


Le risque des taux d’intérêt et la courbe de Le risque des taux d’intérêt et la courbe de tauxtaux

La banque centrale des EU fixe le taux d’intérêt à court La banque centrale des EU fixe le taux d’intérêt à court terme – le fed fund rate.terme – le fed fund rate.

Les taux d’intérêt à long terme sont fonction des taux Les taux d’intérêt à long terme sont fonction des taux d’intérêt à court terme anticipés, en plus, il existe une d’intérêt à court terme anticipés, en plus, il existe une prime de risque liée à l'incertitude quant aux forces prime de risque liée à l'incertitude quant aux forces sous-jacentes de l'économie, telles que le taux de sous-jacentes de l'économie, telles que le taux de croissance de l'économie, l'inflation, etc. croissance de l'économie, l'inflation, etc.

Président de la Fed :

Ben Bernanke


Les liens à la Macro économieLes liens à la Macro économie

La banque centrale va répondre aux forces macro-La banque centrale va répondre aux forces macro-économiques en fixant les taux d'intérêt. économiques en fixant les taux d'intérêt.

Ainsi, la courbe des rendements intègre de Ainsi, la courbe des rendements intègre de l'information sur les conditions macro-économiques l'information sur les conditions macro-économiques actuelles et futures. actuelles et futures.

Elle peut donc servir de baromètre de l’économieElle peut donc servir de baromètre de l’économie La courbe des taux d’intérêt «inversés» est un La courbe des taux d’intérêt «inversés» est un

indicateur avancé de récession. indicateur avancé de récession.


La sensibilité des prix aux variations de tauxLa sensibilité des prix aux variations de taux


Risque de taux d’intérêtRisque de taux d’intérêt

Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que l’échéance ↑

Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de coupon ↓

Le risque de taux d’intérêt ↑ Au fur et à mesure que le Taux de rendement à l’échéance ↓


Risque de taux d’intérêt et échéanceRisque de taux d’intérêt et échéance

Les obligations ayant une Les obligations ayant une échéance plus longueéchéance plus longue sont plus sont plus sensibles au changement des taux que les obligations ayant sensibles au changement des taux que les obligations ayant une une échéance plus courteéchéance plus courte. Le risque de taux d'intérêt est donc . Le risque de taux d'intérêt est donc plus plus grandgrand pour les obligations ayant une pour les obligations ayant une échéance plus échéance plus longue. longue.


IntuitionIntuition

Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup plus raide pour les obligations d’échéance de 30 ans que pour plus raide pour les obligations d’échéance de 30 ans que pour les obligations d’échéance d’un an. les obligations d’échéance d’un an.

Plus la courbe de «prix rendement» est raide, plus l’obligation Plus la courbe de «prix rendement» est raide, plus l’obligation devient sensible aux variations des taux d'intérêt. devient sensible aux variations des taux d'intérêt.

Une grande partie de la valeur actuelle d’une obligation est Une grande partie de la valeur actuelle d’une obligation est attribuable à sa valeur nominale. attribuable à sa valeur nominale.

Plus l’échéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur Plus l’échéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de l’obligation sera reçue, ce qui la rend plus nominale de l’obligation sera reçue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intérêt. sensible au changement des taux d'intérêt.


IntuitionIntuition

Pourquoi ?Pourquoi ? Car même une petite variation des taux d'intérêt Car même une petite variation des taux d'intérêt peut avoir un effet important s’ils sont composés sur une plus peut avoir un effet important s’ils sont composés sur une plus longue période. longue période.

En voici un exemple :En voici un exemple :

Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r)Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r)-20-20

Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r)Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r)-10-10

10 ans 20 ans

7% 508.3493 258.419

8% 463.1935 214.5482

% Variation 0.097488 0.20448


Risque de taux d’intérêt et le taux de couponsRisque de taux d’intérêt et le taux de coupons

Les obligations qui ont un Les obligations qui ont un taux de coupons élevétaux de coupons élevé sont sont moins sensiblesmoins sensibles aux variations de taux. Le aux variations de taux. Le risque de risque de taux d’intérêttaux d’intérêt est inversement relié à la valeur du est inversement relié à la valeur du taux taux de coupon.de coupon.

Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins important. La portion de valeur nominale actualisée important. La portion de valeur nominale actualisée dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins élevée.élevée.

Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilité de l’obligation à sa valeur nominale. la sensibilité de l’obligation à sa valeur nominale.


Taux de coupon et la sensibilitéTaux de coupon et la sensibilité

Les obligations zéro coupon sont plus sensibles aux changements de Les obligations zéro coupon sont plus sensibles aux changements de taux d’intérêt.taux d’intérêt.

La sensibilité augmente avec l'échéanceLa sensibilité augmente avec l'échéance


La courbe de «prix rendement»La courbe de «prix rendement»

ABCD

Changement du taux de rendement à l’échéance (%)

Pou

rcenta

ge d

e v

ari

ati

on d

u p

rix d

e l’o

blig

ati

on

ObligOblig CouponCoupon ÉchéanceÉchéance TRE TRE initialinitial

AA 12%12% 5 ans5 ans 10%10%

BB 12%12% 30 ans30 ans 10%10%

CC 3%3% 30 ans30 ans 10%10%

DD 3%3% 30 ans30 ans 6%6%


Sensibilité des prixSensibilité des prix

Quand l’échéance augmente de A à B, l’obligation devient Quand l’échéance augmente de A à B, l’obligation devient plus sensible.plus sensible.

Quand le taux de coupon diminue de B à C. l’obligation Quand le taux de coupon diminue de B à C. l’obligation devient plus sensible.devient plus sensible.

Quand le taux de rendement à l’échéance diminue de C à D, Quand le taux de rendement à l’échéance diminue de C à D, l’obligation devient plus sensible (pour des obligations a l’obligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons).coupons).

Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande portion de la valeur totale de l’obligation. portion de la valeur totale de l’obligation.


Stratégies de négociationStratégies de négociation

Supposons que nous nous attendons à ce que la Réserve Supposons que nous nous attendons à ce que la Réserve fédérale abaisse les taux d'intérêt lors de la prochaine réunion fédérale abaisse les taux d'intérêt lors de la prochaine réunion «FOMC». Vous cherchez à construire un portefeuille «FOMC». Vous cherchez à construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec :Voulez-vous construire un portefeuille avec :

A. Une sensibilité maximale aux taux d’intérêt?A. Une sensibilité maximale aux taux d’intérêt?

B. Une sensibilité minimale aux taux d’intérêt?B. Une sensibilité minimale aux taux d’intérêt?

Réponse : A.Réponse : A. Vous cherchez à construire un portefeuille qui Vous cherchez à construire un portefeuille qui permettra de maximiser l’appréciation du prix à un permettra de maximiser l’appréciation du prix à un changement négatif dans les taux d'intérêt. Et donc, un changement négatif dans les taux d'intérêt. Et donc, un portefeuille avec une sensibilité aux taux d’intérêt portefeuille avec une sensibilité aux taux d’intérêt élevéeélevée..



Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux d’intérêt?sensible aux variations des taux d’intérêt?

Nous savons que nous voulons choisir :Nous savons que nous voulons choisir :

- Un portefeuille d’obligation à longue échéance plutôt qu’un - Un portefeuille d’obligation à longue échéance plutôt qu’un portefeuille de courte échéance.portefeuille de courte échéance.

- Un portefeuille d’obligation à coupons bas plutôt qu’un - Un portefeuille d’obligation à coupons bas plutôt qu’un portefeuille à coupons élevés.portefeuille à coupons élevés.

En d’autres mots, idéalement nous voudrions détenir un En d’autres mots, idéalement nous voudrions détenir un portefeuille portefeuille d’obligation zéro coupons àd’obligation zéro coupons à longue échéance!longue échéance!



Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intérêt sont sur le point d'intérêt sont sur le point d'augmenterd'augmenter. Que devons-. Que devons-nous faire? nous faire?

Nous voulons tenir un portefeuille avec Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum un minimum de sensibilité aux taux d'intérêtde sensibilité aux taux d'intérêt. .

Obligations de Obligations de courte échéance avec des coupons courte échéance avec des coupons élevésélevés..


La duréeLa durée


L’équation de la duréeL’équation de la durée

Développé par Frederick R. MacaulayDéveloppé par Frederick R. Macaulay tt = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur

nominale s’effectuenominale s’effectue

CCtt = montant du coupon ou de la valeur nominale payé au temps = montant du coupon ou de la valeur nominale payé au temps tt

rr = taux de rendement à l’échéance de l’obligation= taux de rendement à l’échéance de l’obligation

Price

)(

)1(

)1( 1

1

1

n

tt

n

tt

t

n

tt

t tCPV

r

C

tr

C

D


Caractéristique de la Durée de MacaulayCaractéristique de la Durée de Macaulay

La durée d’une obligation zéro coupon est égal à son La durée d’une obligation zéro coupon est égal à son échéance échéance

La durée d'une obligation avec des coupons est toujours La durée d'une obligation avec des coupons est toujours inférieure à son échéance parce que la durée prend en inférieure à son échéance parce que la durée prend en compte les paiements intermédiaires compte les paiements intermédiaires

Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du coupon. coupon.

Il existe une corrélation positive entre l'échéance de Il existe une corrélation positive entre l'échéance de l’obligation et la durée, mais la durée augmente à un taux l’obligation et la durée, mais la durée augmente à un taux décroissant avec l’échéance. décroissant avec l’échéance.

Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée.Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée.


Prix d’une obligation avec intérêt composé Prix d’une obligation avec intérêt composé continuellementcontinuellement

est le prix du i ieme flux monétaire

au temps ,

avec le taux de rendement à l’échéance

Composé continuellement

Composé semi annuellement

À noter: ceci n’est pas utilisé en pratique, mais plutôt pour des modèles académiques et pour clarifier la notion de durée.


Composition continueComposition continue

• Si nous composons de plus en plus régulièrement…

• À toutes les minutes, secondes, millisecondes…

• À la limite, nous retrouvons la composition continue…

Posant x = TRE et en prenant l’inverse, c’est-à-dire exp(-x), nous avons notre taux d’escompte

annuel composé continuellement.


Prix d’une obligationPrix d’une obligation

Composé continuellement

En général

où

Le prix d’une obligation

avec n coupons.


La durée est l’échéance moyenne pondérée par la valeur La durée est l’échéance moyenne pondérée par la valeur actualisée des flux monétaires d’une obligation.actualisée des flux monétaires d’une obligation.

À noter que pour des À noter que pour des taux composés continuellementtaux composés continuellement nous nous avons :avons :

Price

)exp(1

n

tt trtC

D

La durée (composé continuellement)La durée (composé continuellement)

Ou Ct est le flux monéétaire aux temps t et r le taux de rendement à l’échéance

Flux monétaire multiplié par t pondérée par la valeur présente

des flux monétaires.


Plus généralementPlus généralement

étant le prix, du i ieme flux monétaire

au temps et

est le taux de rendement à l’échéance

Dans le cas d’un titre à revenu fixe avec un taux composé continuellement et n flux monétaire Ci au temps ti, nous avons :


Sensibilité du prix aux tauxSensibilité du prix aux taux

Dérivez le prix par rapport au taux de rendement à l’échéance.

Étant donné les taux composés continuellement, la durée est le pourcentage de variation (négative) du prix par rapport à

une variation de taux.


Durée modifiéeDurée modifiée

Pour des taux composés m fois par année, une Pour des taux composés m fois par année, une mesure ajustée de la durée peut être utilisée pour mesure ajustée de la durée peut être utilisée pour estimer le pourcentage de variation du prix face à estimer le pourcentage de variation du prix face à une variation de taux :une variation de taux :

m

y1

durationMacaulay duration modified mod

D



1 2

2 3

We know that

...1 1 1 1

where C is the coupon, F is the face value,

y is the yield of the bond, and T the maturity.

Differentiating with respect to y we get that

1 2P..

y 1 1

T T

C C C FP

y y y y

C C

y y

1 1

1 2

1 2

.1 1

1 1* 2* * *...

1 1 1 1 1

Dividing with P on both sides we get that

P 1 1 1* 2* * * 1...

y 1 1 1 1 1

Cash flow at time t / 11*

1

T T

T T

T T

t

T C T F

y y

C C T C T F

y y y y y

C C T C T F

P y Py y y y

yt

y

*

Bond Price

1*

1D D

y


La durée modifiée et la volatilité des obligationsLa durée modifiée et la volatilité des obligationsLe changement des prix des obligations varie proportionnellement à la Le changement des prix des obligations varie proportionnellement à la

durée modifiée pour de petits changements de taux durée modifiée pour de petits changements de taux

Une approximation du pourcentage de changement du prix d’une Une approximation du pourcentage de changement du prix d’une obligation est le changement de taux multiplié par la durée obligation est le changement de taux multiplié par la durée modifiée.modifiée.

yDP

P

mod

P = changement du prix de l’obligation

P = prix initial de l’obligation

Dmod = la durée modifiée de l’obligation

y = changement du taux


Un petit test de votre intuition (encore) :Un petit test de votre intuition (encore) :

Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous investir dans des obligations à long terme avec de faibles investir dans des obligations à long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible? coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible?

Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations avec avec une longue échéance et un faible taux de couponune longue échéance et un faible taux de coupon. Vous . Vous voulez choisir des obligations avec la voulez choisir des obligations avec la plus grande durée!plus grande durée!


Interprétation de la duréeInterprétation de la durée

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8

Year

Cas

h flo

w Durée de l’obligation = 5.97 ans

Bleue: valeur présente de chaque

flux monétaire.Point

d’équilibre

8-ans, taux de coupon de 9%8-ans, taux de coupon de 9%


Durée d’une obligation en année selon différentes échéancesDurée d’une obligation en année selon différentes échéances

COUPON RATES

Years toMaturity 0.02 0.04 0.06 0.08

1 0.995 0.990 0.985 0.9815 4.756 4.558 4.393 4.254

10 8.891 8.169 7.662 7.28620 14.981 12.980 11.904 11.23250 19.452 17.129 16.273 15.829

100 17.567 17.232 17.120 17.064

8 17.167 17.167 17.167 17.167

Source: L. Fisher and R. L. Weil, "Coping with the Risk of Interest Rate Fluctuations:

Returns to Bondholders from Naïve and Optimal Strategies," Journal of Business 44, no. 4

(October 1971): 418. Copyright 1971, University of Chicago Press.

TRE=6%


Durée d’une obligation vs l'échéance Durée d’une obligation vs l'échéance

15-5115-51



Ceci est la dérivée première par rapport au taux.Ceci est la dérivée première par rapport au taux.Pour de petits changements, la durée va nous donner Pour de petits changements, la durée va nous donner

une bonne estimation, mais la durée est une une bonne estimation, mais la durée est une estimation linéaire de la tangente en ce point.estimation linéaire de la tangente en ce point.

dy

dPPD mod


ExempleExemple

La compagnie Eggbert’s Egg émet une obligation de La compagnie Eggbert’s Egg émet une obligation de 3 ans avec un taux de coupon de 8%. Le rendement à 3 ans avec un taux de coupon de 8%. Le rendement à l’échéance est de 8% et l’obligation paye des coupons l’échéance est de 8% et l’obligation paye des coupons semi-annuels.semi-annuels.

Quelle est la durée de Macaulay ? Quelle est la durée Quelle est la durée de Macaulay ? Quelle est la durée modifiée?modifiée?

(Voir le fichier Excel)(Voir le fichier Excel)


ExempleExemple

Année Paiement VA Poids Année*Poids

0.5 4 3.846154 0.038462 0.019231

1 4 3.698225 0.036982 0.036982

1.5 4 3.555985 0.03556 0.05334

2 4 3.419217 0.034192 0.068384

2.5 4 3.287708 0.032877 0.082193

3 104 82.19271 0.821927 2.465781

Prix 100 1 2.725911

D = 2.5726 and Dm = 2.621D = 2.5726 and Dm = 2.621


Les formules raccourciesLes formules raccourcies

Durée de Macaulay formule «raccourcies»Durée de Macaulay formule «raccourcies»

Durée modifiée formule «raccourcies»Durée modifiée formule «raccourcies»

ou c = taux de coupons par périodeou c = taux de coupons par période

y = taux par périodey = taux par période

T = nombre de périodes restantes T = nombre de périodes restantes

yyc

yycT

y T

11

1/11D*

yyc

ycTy

y

yT

11

11D

yyc

ycTy

y

yT

12/1

2/2/22/12/1D

2

Coupons semi-annuels


Courbe du prix et du TRECourbe du prix et du TRE

Prix

TRE


La durée nous donne une approximation de premier ordre de la courbe du prix et du TRE.

Nous estimons ici la courbe avec une ligne droite

Approximation de premier ordreApproximation de premier ordre

Erreur d’approximation

Prix

TRE

PDpente mod


ConvexitéConvexité


ConvexitéConvexité

La convexité est une mesure de la non-linéarité de la La convexité est une mesure de la non-linéarité de la courbe prix rendement. Elle est la dérivée seconde courbe prix rendement. Elle est la dérivée seconde du prix par rapport au taux (du prix par rapport au taux (dd22P/dyP/dy22) divisé par le ) divisé par le prix.prix.

La convexité représente le pourcentage de variation La convexité représente le pourcentage de variation de de dP/dydP/dy pour un changement de taux pour un changement de taux

P

dy

Pd2

2

Convexity


Nous pouvons mieux estimer une courbe si l’on utilise une fonction quadratique.

Correction pour la convexitéCorrection pour la convexité

2)(Convexité21 yyD

P

P

T

tt

t tty

CF

yP 1

22

)()1()1(

1Convexité

T

t t

t tty

CFy

P

2

1

2/

2

)2

1

2)(

2(

)2

1()2

1(

1Convexité

Coupons semi-

annuels


La durée s’ajoute à la convexitéLa durée s’ajoute à la convexité

La série de Taylor pour une fonction P autour de y est donné La série de Taylor pour une fonction P autour de y est donné par :par :

P(y+P(y+Δy) = PΔy) = P(y) + P’(y) (y) + P’(y) Δy + ½ P’’(y) (Δy)Δy + ½ P’’(y) (Δy)2 2 + ...+ ...

Et donc, une approximation de second ordre :Et donc, une approximation de second ordre :

P(y+P(y+Δy) - PΔy) - P(y) (y) ≈≈ P’(y) P’(y) Δy + ½ P’’(y) (Δy)Δy + ½ P’’(y) (Δy)22

Ainsi,Ainsi,

ΔP ≈ - Dm P Δy + ½ P C (Δy)ΔP ≈ - Dm P Δy + ½ P C (Δy)22

P C2

2

dy

Pd


La durée s’ajoute à la convexitéLa durée s’ajoute à la convexité

Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la durée modifiée et la convexité donnent durée modifiée et la convexité donnent l’approximation de second ordre de la courbe prix l’approximation de second ordre de la courbe prix rendement.rendement.

ΔP ≈ ΔP ≈ - Dm P Δy- Dm P Δy + + ½ P C (Δy)½ P C (Δy)22 Le changement de prix expliqué par la duréeLe changement de prix expliqué par la durée

- Dm P Δy- Dm P Δy Le changement de prix expliqué par la convexitéLe changement de prix expliqué par la convexité

½ P C (Δy)2


La convexité des obligationsLa convexité des obligations

0

Variations du TRE (%)

Pou

rcenta

ge d

e v

ari

ati

on d

u p

rix

Portefeuille

Durée + ConvexitéDurée


Les effets de la durée et de la convexitéLes effets de la durée et de la convexité

La variation du prix d’une obligation causée par la La variation du prix d’une obligation causée par la variation des taux s’explique par:variation des taux s’explique par: La durée modifiée de l’obligation La convexité de l’obligation

L’impact marginal de chacun de ces deux facteurs L’impact marginal de chacun de ces deux facteurs dépend des caractéristiques des obligations et de la dépend des caractéristiques des obligations et de la taille du mouvement de taux.taille du mouvement de taux.

Les investisseurs aiment la convexitéLes investisseurs aiment la convexité! !


Immunisation de portefeuilleImmunisation de portefeuille


Deux scénariosDeux scénarios

Scénario 1Scénario 1: Vous voulez économiser de l'argent pour une : Vous voulez économiser de l'argent pour une dépense importante dans un an à partir de maintenant. dépense importante dans un an à partir de maintenant.

Scénario 2Scénario 2: Vous voulez économiser de l'argent pour payer les : Vous voulez économiser de l'argent pour payer les frais de scolarité de votre enfant dans 20 ans à compter de frais de scolarité de votre enfant dans 20 ans à compter de maintenant. maintenant.

Étant donné le scénario 1Étant donné le scénario 1: Si vous investissez dans des bons : Si vous investissez dans des bons du Trésor d’un an, il y a très peu de risques. Investir dans des du Trésor d’un an, il y a très peu de risques. Investir dans des bons du Trésor de 20 ans vous expose à des bons du Trésor de 20 ans vous expose à des risques de taux risques de taux d'intérêt. d'intérêt.

Étant donné le scénario 2 Étant donné le scénario 2 : Détenir des bons du Trésor de 20 : Détenir des bons du Trésor de 20 ans sous-entend des résultats prévisibles, en investissant des ans sous-entend des résultats prévisibles, en investissant des bons du Trésor d’un an créerait du bons du Trésor d’un an créerait du risque de réinvestissementrisque de réinvestissement. .


Protection contre le risque de taux d’intérêtProtection contre le risque de taux d’intérêt

Les caisses de retraite, les compagnies d’assurance et Les caisses de retraite, les compagnies d’assurance et les institutions financières détiennent des milliards de les institutions financières détiennent des milliards de dollars de titres à revenues fixes. dollars de titres à revenues fixes.

Une des techniques analytiques les plus rependues au Une des techniques analytiques les plus rependues au monde est celle de l’immunisation, car elle protège monde est celle de l’immunisation, car elle protège un portefeuille d’obligations contre les variations de un portefeuille d’obligations contre les variations de taux d’intérêt.taux d’intérêt.

Cela est d'une grande valeur pratique donc apprenons Cela est d'une grande valeur pratique donc apprenons comment structurer un portefeuille afin de comment structurer un portefeuille afin de l’immuniser contre le risque de taux d'intérêt!l’immuniser contre le risque de taux d'intérêt!


Compagnie d’assurance vieCompagnie d’assurance vie

Supposons que vous travaillez pour une compagnie Supposons que vous travaillez pour une compagnie d'assurance vie, et vous vous attendez à faire une d'assurance vie, et vous vous attendez à faire une série de paiements en espèces. série de paiements en espèces.

Une chose que vous pouvez faire est d'acheter des Une chose que vous pouvez faire est d'acheter des obligations à zéro coupon, ayant différentes obligations à zéro coupon, ayant différentes échéances afin que la valeur nominale corresponde échéances afin que la valeur nominale corresponde exactement à chaque obligation.exactement à chaque obligation.

Ceci n’est pas nécessairement la meilleure option, car Ceci n’est pas nécessairement la meilleure option, car les obligations des sociétés offrent un taux plus élevé les obligations des sociétés offrent un taux plus élevé et les obligations zéro-coupon sont rares.et les obligations zéro-coupon sont rares.


Appariement des duréesAppariement des durées

Égaliser la durée du portefeuille avec celle de vos obligations.Égaliser la durée du portefeuille avec celle de vos obligations. Intuition:Intuition: Si la durée de votre portefeuille d'obligations Si la durée de votre portefeuille d'obligations

correspond à la durée de vos obligations, la valeur actualisée correspond à la durée de vos obligations, la valeur actualisée de votre portefeuille d'obligations et de vos obligations devrait de votre portefeuille d'obligations et de vos obligations devrait varier (une approximation première ordre) de la même varier (une approximation première ordre) de la même manière face à la variation de taux. manière face à la variation de taux.

Plus précisémentPlus précisément, si les rendements diminuent, la valeur , si les rendements diminuent, la valeur actualisée de vos obligations augmente, mais la valeur de votre actualisée de vos obligations augmente, mais la valeur de votre portefeuille d'obligations augmente (environ) du même portefeuille d'obligations augmente (environ) du même montant - donc la valeur de votre portefeuille sera suffisante montant - donc la valeur de votre portefeuille sera suffisante pour couvrir l'obligation! pour couvrir l'obligation!


Durée d’un portefeuilleDurée d’un portefeuille

Si le portefeuille a un prix VA :Si le portefeuille a un prix VA :

VA = V1 + V2 + V3 + ... + Vm VA = V1 + V2 + V3 + ... + Vm

D = w1D1 + w2D2 + ... + wmDmD = w1D1 + w2D2 + ... + wmDm

ou wi = Vi/ VA dans un portefeuille de m obligations. ou wi = Vi/ VA dans un portefeuille de m obligations. Vi est la valeur de l’obligation i dans le portefeuille.Vi est la valeur de l’obligation i dans le portefeuille.


ExempleExemple

Supposons que la compagnie Eggbert's Egg doit acheter une Supposons que la compagnie Eggbert's Egg doit acheter une nouvelle usine de chocolat dans 10 ans. Le coût de l'usine est nouvelle usine de chocolat dans 10 ans. Le coût de l'usine est de 1 million de dollars et elle souhaite investir cet argent de 1 million de dollars et elle souhaite investir cet argent maintenant.maintenant.

Supposons qu’aucune obligation zéro coupon ne soit Supposons qu’aucune obligation zéro coupon ne soit disponible pour cette échéance. Supposons plutôt que nous disponible pour cette échéance. Supposons plutôt que nous devons choisir entre trois obligations de société (VN=100) :devons choisir entre trois obligations de société (VN=100) :

CouponCoupon Échéance Prix Taux Échéance Prix Taux 1 1 6%6% 3030 69.0469.04 9%9%

22 11%11% 1010 113.01113.01 9%9%3 3 9%9% 2020 100.00100.00 9%9%


ExempleExemple

Durée de chaque obligation :Durée de chaque obligation :

D1 = 11.44D1 = 11.44

D2 = 6.54D2 = 6.54

D3 = 9.61D3 = 9.61

Puisque l’obligation 1 a une durée plus grande que 10, Puisque l’obligation 1 a une durée plus grande que 10, nous nous devonsdevons l’utiliser dans ce portefeuille. l’utiliser dans ce portefeuille.

Utilisons les obligations 1 et 2 (voir Excel)Utilisons les obligations 1 et 2 (voir Excel)


ExempleExemple

La valeur actualisée de l’obligation est : 414, 642.86$La valeur actualisée de l’obligation est : 414, 642.86$ La durée de la l’obligation est de 10 ans.La durée de la l’obligation est de 10 ans.

Pour immuniser le portefeuille, nous avons besoin Pour immuniser le portefeuille, nous avons besoin 1. Égaliser la valeur actualisée du portefeuille avec la 1. Égaliser la valeur actualisée du portefeuille avec la valeur actualisée de l’obligation.valeur actualisée de l’obligation.

2. Égaliser la durée du portefeuille avec la durée de 2. Égaliser la durée du portefeuille avec la durée de l’obligation.l’obligation.


ExempleExemple

La valeur totale investie dans l’obligation 1 et 2 doit être égale La valeur totale investie dans l’obligation 1 et 2 doit être égale à VA de l’obligationà VA de l’obligation

V1 + V2 = VA = 414, 642.86$V1 + V2 = VA = 414, 642.86$

Et la durée du portefeuille d’obligation doit être égale à la Et la durée du portefeuille d’obligation doit être égale à la durée de l’obligationdurée de l’obligation

V1/VA * D1 + V2/VA * D2 = 10V1/VA * D1 + V2/VA * D2 = 10

Nous obtenons : Nous obtenons : V1/VA * D1 + (VA – V1) /VA* D2 = 10V1/VA * D1 + (VA – V1) /VA* D2 = 10

=> Une équation a 1 inconnu.=> Une équation a 1 inconnu.


ExempleExemple

De la feuille Excel :De la feuille Excel :

V1 = 292617.60V1 = 292617.60V2 = 122025.26V2 = 122025.26

Nous voulons acheter Nous voulons acheter

V1/P1 = 4238.20 parts de l’obligation 1V1/P1 = 4238.20 parts de l’obligation 1V2/P2 = 1079.80 parts de l’obligation 2V2/P2 = 1079.80 parts de l’obligation 2

Bien sûr, en pratique, nous allons devoir arrondir ces nombres.Bien sûr, en pratique, nous allons devoir arrondir ces nombres.


ExempleExemple

Supposons qu’il y a soudainement une variation dans Supposons qu’il y a soudainement une variation dans la courbe des taux de 8% ou 10%. la courbe des taux de 8% ou 10%.

La valeur du portefeuille d’obligation est :La valeur du portefeuille d’obligation est :

Portefeuille Obligation Erreur 8%8% 457928.3 457928.3 456386.9456386.9 +1541.33 +1541.33 10% 378075.210% 378075.2 376889.5376889.5 +1185.69 +1185.69

La convexité impose le fait que le portefeuille vaudra La convexité impose le fait que le portefeuille vaudra toujours plus que l’obligation.toujours plus que l’obligation.


DevoirsDevoirs

Essayez de répliquer l’exemple précédent sans Essayez de répliquer l’exemple précédent sans regarder la feuille d’Excel. regarder la feuille d’Excel.

Si vous regardez les réponses de la feuille d’Excel, Si vous regardez les réponses de la feuille d’Excel, vous allez croire que c’est vraiment facile.vous allez croire que c’est vraiment facile.

Essayez de partir de zéro.Essayez de partir de zéro. Répliquez le problème d’immunisation en utilisant Répliquez le problème d’immunisation en utilisant

que les obligations 1 et 3.que les obligations 1 et 3.


Stratégie de courbe des tauxStratégie de courbe des taux

Strategie «Bullet» Strategie «Bullet» : l’échéance est fortement : l’échéance est fortement concentrée en une région de la courbe des taux.concentrée en une région de la courbe des taux.

Strategie «Barbell» Strategie «Barbell» : les échéances sont fortement : les échéances sont fortement concentrées en deux régions extrêmes de la courbe concentrées en deux régions extrêmes de la courbe des taux.des taux.

Stratégie de «l’échelle» Stratégie de «l’échelle» : les échéances sont reparties : les échéances sont reparties sur des intervalles réguliers sur la courbe des taux.sur des intervalles réguliers sur la courbe des taux.



Oblig Coupon échéance Prix TRE DURÉE_ Convexité

A 0.085 5 100 0.085 4.0054435 19.81635

B 0.095 20 100 0.095 8.8815081 124.1702

C 0.0925 10 100 0.0925 6.43409 55.45054

PortefeuilleBullet : 100% oblig C

PortefeuilleBarbell : 50.2% oblig A et 49.8% oblig B



Durée du Bullet: 6.43409

Durée du Barbell: 6.433724

Convexité du Bullet: 55.45054

Convexité du Barbell: 71.78459

TRE du Bullet: 0.0925

TRE du Barbell: 0.08998

Ceci est le rendement de convexité

0.00252

On abandonne du rendement pour plus de convexité


Barbell vs. BulletBarbell vs. Bullet

Le choix d’une stratégie dépend de l’ampleur des Le choix d’une stratégie dépend de l’ampleur des variations dans les taux.variations dans les taux.

Bien que la convexité soit préférée, il y a un Bien que la convexité soit préférée, il y a un désavantage d'un rendement de convexité, quand le désavantage d'un rendement de convexité, quand le marché demande un prix plus élevé et offre un marché demande un prix plus élevé et offre un rendement inférieur. rendement inférieur.

Ainsi, les bienfaits de la convexité sont réalisés Ainsi, les bienfaits de la convexité sont réalisés uniquement pour de grands changements de taux. uniquement pour de grands changements de taux.

Voir l’article dans le codex pour plus de détails.Voir l’article dans le codex pour plus de détails.

0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et...

Documents

Transcript of 0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et...