· -—-wmwmmmmKm ^AD LECTOllEit in> JTV i ix. § ^ CANDIDO LE-G T O R L (^%s " *

Notes du mont Royal

Ceci est une œuvre tombée dans le domaine public, et hébergée sur « No-tes du mont Royal » dans le cadre d’un

exposé gratuit sur la littérature.SOURCE DES IMAGES

Google Livres

www.notesdumontroyal.com 쐰

EVCLIDIS ELEMENTO-RVM GEOMETRI-

CORVM LIBRISEX ^ 4 f P R I O R E S £?»****••

Efoua interpretatione in vfitnt fiudiofitimteniutuin lueem dati*

a LOANNE LANZ SO-

C I E T A T I S IESV.

AttlfO

Cumficuii&te^tif4tkfum<,

ExTypognpfoeo Fdenaoo spodEll* ^* iabcthara Angermariam ,viduam.

* . • ' s

•*>

7 * ^ - n ;%

-—-wmwmmmmKm

^AD LECTOllEit

in> JTV i ix. § C A N D I D O LE-

G T O R L

( %s " *<? fffi ,rec7ti > %a >., <. - letriam &

' s -«t ,,» ,i i , pofteriort \t&> "> >• " */> 'uchaiamo ®jZssdi3/*itu»i*(n -.*mtur,Ju-

fererafsotea&m&prioteinfa I-taqjcumdehabenda aiiquaGeometricorum clementorumEpitome cogitationemJufcepiJ-fim.nihilq, meiimipfofummo Qeometra Eu-clide in mentem ventffetjccepifoiicitm&me-cum ipfo, & cum aiijs quoa] comunicato tS-fiiio deliberare^uemnapotifjimum ex tanta-tntirpretum turma,quamq\ adep in vniuer-fitm rationtm Euclidis pubiicandi deltgere. Mens VHafuit omnium, iuuentuttm nimiaa libri mole nd' effegrauandam.Recidtnda crgo nectffkrio fucrunt pttmum fchoita & cotu-mentationes aliena,quibmpletifcdum inge-mojuiindulgentmaxime.minimenolii Eu~

A z ciideni

$} AD LECTOEtM. etidemipfum reprafintaruht. Tum deindt» quoniavixaliquaapparebat tamreligiofiu interpretatiorfua nb\ab Autore,fifua lingua bquentedudias.licentius fubinderecedtreti optimumfailuvidebaturfiinLatinAfirme-ntm deinttgro couirteretur. AJ ea&t e$sfi*~ uincidpojfquam aggfeffiufui ,i ihd a mqutfi. fima cura habui ,<vt quamhUt fimpkcidt-tlionc,gtnuinddemonJiraticnem (ttstemhni tx Gracoprotfiu exffimtrdfeiproinfiimta breuitdte verbisfic appenfit, vt kftghreati-tubi CirCumduilionepauUo brexisngyr'' t$h ligerem. pofieriores tamen hhiijtthripny-fofitiones, quoniam in Euctide defideranmr, fraudindtritearu/ocePappi &les&ii?tnie% Commentariis Pederici Com»i-~aJtm (kffih tuiffe. Quinad difficilioretgtui dtfhnthncs hrtuiCulas notas eo confilio appojht, ne in ipfi fiatim limineaut harire Ltttot,autatiunde fubfidiumpttete cogeretur. Denicp nonam & dtcimdpropofitioni libri decimitertijidcirco adieci, Vtfiquis Trianguloru Canonem, hot es7,TabulasSinuum,Tangentid &Seeantit7, •autcddere,aut(onditasaTjpographorumnd "injrequentibus mendis vindicarecuperetjd • tibtUihuituauxiliopofftt. Vale Letlor,&his taboribus nofirisad Deigloridvtere. Ingplfi, ZQ. Dtetmb.Anno Chrifli M. D C. XVI.

ELE-

LIBEH I.

("»„*"""• — •'•" - • • • - "--" - -

i> ^^« v i£* ••.? -»- .>. V- <££? <•>> * ^

IVJ

'MEVCLIDIS LLBRI SEX PRIO-

RES EX G R J R C O fonte jraiiilifo

EVCLIDIS ELEMENTVM P R i M V M. jl

Befin tejimtiones. Punctum e(l. cuius pars nulla.

2 Linea, longitudo latitudinis expers. i Linez terminifiiBtpunfta.

/^. 4 Rectalinea e(l, quae ex r-> * quali fuis interijciturpun-

ais. I' — —1 5 Superficescft,qu«Iongitu-I - > • / • dinem & Iatitudinem tan-

tum haber. € Superficicitermini funt linea*. 7 Plana fiiperficies cft, quar cx «qualijin-terfiiaslincasiacct.

A 3 8Pla-

6 L I B E K L _ 8 PIanusangu!useft,dua-

" • S ^ S ^ M * * rum linearum in plano iV mutuo tangentiumi&non

in directum iacenuum alcerias ad alteram inclinatio-

In direilum iaeere dieuntur dualinea, quando ex iUisfit vna linea, o Si linex angulurh coutinentes, recta» fuetint,rec.i lineus angulus dicitur.

10 Sirectalineafuperre-ctarn confiftens, eos, qui deincepsfuntangulos,»;-

rv quales fecerit, rectus cft * vtcrque xqualium angu-

lorum. Et infiftens recta, perpendicularis dicitur eius.cui infiftit,

Linea AB confifiensfuper C D diciturper-pendicularis. AnguliABC,ABDdituntur Tttti, dicuntur quoifo anguli dtinceps.

/ II Obtufusanguluseftjqui \\ /\Z maioreftrecto.

*" ' • IT, Acutus,quirectominor eft.

13 Terminuseft,quodaIicuiuseftfinis. 14 Figuraeft,quxfubaliquo,autaliqui-busterminiscontinetur.

Cirtulmtontastturfulvna lintaeirfuh J*ri,

15 Cir>

I l B I X 1. f 15 Circulus eit figura plana,fub vna linea co-tenta, qux peripheria

Cdicitur.ad quam om-nes Unex ab vno pun-ctoeorura, quajintra figuram funt cadentes, xquaies funt.

\t PunctumautemiHudcentrumcircu-li dicitur. nimirum A 17 Diametrus circuU» efl quxdam recta linea per centrum acta, & ad vtramq; par-tem peripherix circuli terminata; quac &J circuium bifariam fccat. ntmpt linea B C

f "V 18 Semicirculus eft figura / 18 I adiametro,&interceptacir-

• • cuti peripberia contenta. \t) 4P SegmentumcircuUeft,.quod

/^^\ » recta Unea, &periphcria cirxu* li continetur.

zo Rectilinexfigurxfunt.quxrectisli-ncis continentur. Trilatcrx,qisx tribus; quadril.aterx, qux quatuor; muitjlate-rx,quxpluribus quam quatuor Uneisrc-ctis continentur.

An Triiateracum figurarum,x-quilaterum triangulu eft,quod tria latera habet xqualia.

A 4 « Ifc*

A 12 Ifofceles,quodduottntumx-qualiahabetlatera,

23 Scalenuro,quodomnia tna inxqualia habet late-ia.

s. 24 Trijaterarumprxtereafigu-\ raijum, rcetangulura triangulum Z.4\ eft.quod rccium angulum ba-

. • \ t»et. 2; Obtufangulurri, quoc} qbtufum, vt efi jtguraz}. 26 Acutarjgulum, quod tres acutos ha-bet angulos. vtjuntpgur<e 21.& 22.

27 Quadrilaterarurn figuraru,

\ ~Z7

~Z%\

Quadratumeft, quod xquila-terum&squiangulum eft. 18 Aiterapartelongiorfigu-ra eft, qux xquiangula quide.

«t non xquilatcraeft, \ \ 29 Rhombus, quxxqui-

" \ \Z$ \ Iatera,fquiangulayerbnott " V — - eft. . 1. ' ^ 30 Rhotnboides, queop-\ ~\Q. Xpofita,&latera, &angulos

xqualiahabet; atnequex-quilateraeft,nequexquianguia. " 3iReU-

L I B E R I. « f" - A 51 Reliquaab his quadrila-• ^ > tera,vocentur trapezia. * - j Z ~* iz Parallelat rectas linea? ' •*-' ' '* funt,quauneodemplano

cxiftentes, & vtrinq; in infinitum eicctar, inneutram partem coincidunt,

Tofttslata-*. Poftuletur a quouis puncioadquod-»

uis rcccam ljnearh ducere. Ecrectam lineamterminatam incon-

tinuum,& dircctum producere. Et quouis centro & interuallo circu-

lum defcribere,

CommunesfententUfin axiomattLj.

1 Qna» eidem funt arqualia , & inter fc funtarqualia, x Et , fi arqqalibus squaiia adduntur, to-tafuntarqualia, 3 E t , fi ab xqualibus atqualia tollantur, reliqua funt zquatia. 4 Et,fi tnequalibus equalia addantur,to-tafuntinacqualia. 5 Et, fi ab inarqualibus arquaiia auferan-tur,rdiqua funt inarqualia.

Aj «JEe.

f o L I B E V. I, 4 Et,qu*eiufdcmfuntdupla, Interfe funtarqualia. 7 Et, quae eiufdem funt dimidia, ioter fe funtzqualia. 8. £t,quae fibi inuicem congruunt, intec fefuntarqualia, 7 Et, totum eft maius fua parte. IO Et.omnesangulirectiintcrfcfuntr-quales. it Et, fi in duas rectas lineas recta inci-tiens angulosinteriores,&ad eafdern par-tes.duobus rcctis minOres fecerit,coinci-dcnt dux iilaclincein infinitum protracrg vcrfus illam partem, ad quam funt duo anguli duobus rectis minores. i2. £t , duz rcctzfpacium nonconclu-dunt.

tPropofttones. Propoficio i.Problema i.

Sufer data recia linea terminata tri-angulum uauiUtcrum confli-

tuercs,

SltdaiarectaAB, fupcrquaopor-

i£ teat trianguium at-quiiiteruro confti-

tuere

I 1 S E R t. M tuerc. 4 CentroAjinterualloABdefcrt- ^Ptft.f. baturcirculusBCD.Pvurfus h centroB, b ftfi.j.. interuallo B A defcribatur circulus A CE: &exC,vbifecirculifecantad A,B pun-#a,cducantur rectx C A, CB. Quoniam c-pa/».f; Acentrum cftckeuli B GD,</erit A C a»- &d*f.\fA quaiisipfiAB. rvurfus, quiaRcentrum eftcirculiCAE,e erit&BCxqualisipfi edtf.g/; B A. dcmonftrata eft autem & C A arqua-lis ipfi A B: vtraque ergo C A,C Bxqualis eftipfi AB/qUf autr.eidemfunt jqualia, f 4*,/; &interfefuntJxqualia:igiturCAxqualis eft C Btfre* ergo CA,A B,B Cfunt arqua-les.Quaretriangulum ABCeftxquilate-rum,&fuperrecla ABconftitutu. Qupd fecereoportuit.

Propof 2 .ProMema V. ^ddatumpu/ttfumdtturetfatit/e*

aqualemreflamfiouere.

Slnt data^pun- ' ,v duroA, redU BC,&oporteaa adpu&um Are-

•aarBC«quaIem ponere. Dueatur abAadBrectaA

Ejfil*

• <•«./.

I», L I B E *. I iprtp.x.,. B.fuper 4 eaq; conftituatur triangulutn. bp<>fi.i. acquilatcrum L> A B,\b produccis in dire-?/•/./• dum ipfis D A, D B in E, & F. r Centro

B , interuallo BC defcribatur circulus ipfti' CG H. Fvurfus 4 centro D , interuallo

D G defcribacur circulus G K L. Qup* niam ergo B centrum eft circuli C G H,

«*/W. f erit j D U B c ajquaiis B G.Rurfus cum D fUf.if. fitcentrumcirculi GKL, /eritDLa;-

{ pry.i. qualisipfiDG:^quarumparsD Aeftae-_ «*•/• qualispartiDB : %. reliquaergo AL x-

qualis erit rcliqux B G. Oftenfa eft au-tem&BCxqualisipfiBG;vtraquccrgo AL,BCxquaIiseftipfiBG. i Qucau-tem eidem funt xquafia,& inter fe funt x-qualia: erga A L xqualis eft ipfi BC. Qua-re ad punctum datum A, datx rectx B C xqualiseft pofiu,AL.Qupd facere opor-tuit,

PropoCj.Probl.j. Datis duabus inaqualibus rcclis lincu,

4 maiorc minori aqualcm ab-fcwdcrc^.

y C Int datx rectx in-wlxqualesAB.&C;

\jt fn quarfi maior fit A B,-iz J c a qua.rninori C x -

1 * qualem abfcindcrc opor-

t l B E R I. 15

oporteat; Sit d adpunctumA,re6txCa>a *Wp.*a* qualispofita,AD.& *centro A.interuaU bfoft.t. lo A D,defcribatur circulus D EF.Et quia Acentrum eft circuli D E F , e eritAEtdtta/* xqualis ipfi A D. fed & Cxqualis eft ipfi D A: vtraque ergo A E, C xqualis eft ipfi ADtigitur & A E xqualis erit ipfi CDua-bus ergo inxqualib. datis rectis lineis A8, & C, a maiore A B, minori C xqualis eft abfcina> A E. Quod facere oportuit.

Ff opof.4.Theor. t . Si dudtriangula duo latera duohtu la* terihtssaqualia hahuerint,alterum aL teri i hahuerint autem & angulum an-gulo, aqualibus laterihtts contentum, aqualem, & hafim hafiaqualem hahe- • hut.eritifo triangulum triangulo aqud-

le>& reliqui anguli reliquis angului aquales,quibusaqualialateru

[ubtenduntur,

Slnt duo triangula AB C, D EF, qux duolatera AB,AC,duobusD E, D F

xqualia habeant, vtramque vtrique, A B A ipfiDE,&ACi-A ? pfiDF,&anguIu

» / 4 < \ e / 4 \ B A C » a n g ^ ***•—'c *4=£T E D F.Dicoquod

&

* 4 _ . . I 1 « « I ; t &bafisBC,bafiEFfitarqualis, tVtriaH: gu!umABC,tri»HguloD EF.&reliqut anguli reiiquis» vterquevtrique, quibus atqualia laterafubtenduntur.nepe A B C ipfi D E F; & A C B ipii D F E. Si enim

"• fhptrpt. triangulum ABCtrianguloD E F*con-trmtur. gruat, & A fuper D ponatur, * congruet •MJ. A B refta re^* D E,& B ipfi E,quod A B

fit arqualis D E.Congruente igitur A B i-pfi D E, congruet & AjCipfi D F, quod angulus B A C angulo E D F fit sequalist ideo&CipfiFcongruet,qUod&ACa> qualis fit ipfi G F.Sed &B ipfi E congruo bat.Quare & bafisB C bafi EF congruet» Sienimcongruente BipfiE, &CipfiF, bafis B C bafi E F non congruat.contine-

b«*,f'. ^ u n t d u z te6t* fpaciumi h quod fieri ne» quitXongruet ergo bafis B C bafi E F, & srqualis illi erit; adeoque totum triangu-lutn A B C toti triangulo D E F cogruet»

c MJ. t eiqi arqaale erit: congruent ergo & reli-qui anguli reliquis,eritque A B C anguluf angulo,DEF,& A CB ipfi D F E xqualis»

Si ergo duo trianguladuo lateraduo-bus lateribus acqualia habue-

rint,&c»

Pt9'

I I B E 9. L 1«

Propofj.Thdor.i.

tjojiettum triangulorum dnguttadha-jm funi aquales: &pr$ducJu aquatt-

bm rtcJu, erunt & anguttinjra bajimaquaUs.

A. C It triangulu ABC, O habens latus AB,la* teri ACaequale. Pro-ducantur in directuna AB,AQrea*inD'Ss E.DicoanguluABC, *

;angu!oACB;&CBD, ipfi B C E atqualem ef-

fe. AccipiaturinBD quoduls punctum f;&<auferatura maion A E,minori A F «.,..,» h fcqualis A Gil ducanturq;rect*FC,GB. b »»/?,;» &cum AF.ipfi AG;& ABafqualisfitiptl A C;eru n t du* F A, A Qduabus G A» AB sequales,alcera alteri,rontineritque angu- cfnf.aa* lum communem F A G: e eric igitur bafis FCbafiGBe/jualis &triangulum AFC triangulo AGB.& reliqui anguli f eliquts, alteralteri, quibuszqualialiterafubren-duntur;ne>f>pe A C F ipfi A B G,c* A F C ipfi A G B Et quia tota A F toti A G ae-cjualis eft,quarum A B eft f qualis ipfi AC;

derit

•6* * l I B B R t. itut.f. «/erit & reliquaB F, reliquzC G atqualfs»

Oftenfaautemcft&FCzqualisipfiGB, Cum ergo duz B F, FC duabus C G,G B xquaies fint altera alterii& angulus B F G angulo C G B arqualis, & bafis B C com-

tfrtf.+.t. munis.f erittriangulum B F C triangulo C G B 5 quale,& reliqui anguli reliquisal-ter altcri,quibuszqualia latcra fubtedun-tur: ergo & angulus F B C angulo G C B, &BCF ipfi CBG cqualis eiit* Etquia totusABGtoti ACFoftenfuseftzqua-lis, & C B G ipfi B C F; erit ergo & reli-quus, A[B C reiiquo A C B equai;s:& funt ad bafim trianguli A B C; qiftenfus eft au-temFBCangulus, anguIoGCBzqua-lis, & funt fub bafi, Jfofcclium igiturtri-angulorumanguliadbafimequalcsfunt, & productis zqualibus lateribus, etiam anguli infrabafim.Quqddemonftrareo-portuit.

Proponc?. Thcor. 3. Si trianguii dno anguli aquales fue» rint,erunt rjrlatera aquales angulos

fubtendentia,aquaiia.

Slt triangulumABChabensangulum ABQangulo A CBzqualcm.dicoeVi

latcra

ll 1 B E Jg. - I~ VJ

fitera A B, & C xquaka s &. i>i snnn fuut m.sqttslb.mtaJtcrii sruiaufk uunsu A 0. * Aa&nsur araskue AH.tusuou A <> *.*&?&**

* qn fu? DB.o. ic.ua-.o, DC - / \ C««u-.-go DB, ACxqu*. / \ le* first, cosunumk <•<"<>

/ € p ^ BC; etuni*du*DB HC» -** dtubut ACsCB»<.Ktit-Ss.

skera dten,& angtB»* D B C sxpris.i ;uu gaio A CB-J?git«r& bifss D C, bufi A B b ?«/.*<?,?,, em *-qs5alls,& truegulana ARC, rrbugu-loDB Qmsmtsrwuori, e qaodefi abutr- <?*#•,&' duttttskbguar tn ,rqa ilisetl A B-ipu A Cs ergUfC|U bs,C u£a-stftifi,mguls<iHf>sugu« is gupub-s fusriut > a-smt & bta\iutq»Ps:?. uuf uiut fubtettdcur.u, &-q ualb, a uod dt> monftrare oportuit.

Propof:7. Theor.4. SupereademreBa Unea, duabus reftu lineis, aUaduare&aaquaUs alttraalr teri.non tonjiituentur,adaUudatque

aliudpunBum, adeafdem partes, eo/demfo cumprimo duclU ter-

minoshabentes.

SI enitn fieri poteft conftituatur fitper eadem recta linea A B, duabus re&is -

B AC,

I J I I l t I. . A C,C B,duae aliz AD.DB xquales, altera altcri, ad a-liud atque aliud punctum C & D , ad eafdem partes C»D,eofdem ternrinot ha-

bentes A, B, quos primz tita, vt C A ipfi D A, eundem curh ipfaterminum A ha-bens, C B verd ipfi D B, eunucm cum illa terminum B habens, fit zqualis , & duca-turCD. Cum ergo AC fit zqualis ipfi

«/nw-./.t. A D, 4 erit & angulus A C D zqualis an-gulo A D Ci maior ergo eft A D C angu-lus ,| angulo D C B : multo ergo maior C D B. R.urfuscum C B zqualis fit ipfi D B, erit & angulus C D B angulo D C B zqualbtoftenfus autem eftmulto illo ma-

fcas./. ior. b Qupdfierinon poteft. Nonigitur fuper eadem recta linea duabus rectis li-neis, aliz duz rectz zquaies, altera aitert conftituentur ad aliud atque aliud pun-

Ctum, ad eafdem partes, cofdem cum primd ductis terminos baben-

tes.Quod demonftrare oportuit.

Pro-

X 1 B £ R l x9

Propof8.Thcor.j. Si duo triangula duolateraduohmla-terihm aqualiahahuerint, hahuerint vero & hafimhafiMquaUm, hahehunt

fyuoqueangulumequalihmUte-rihmcontentumangulo

nquaUuik

E . r" Sintduotriangula ABC, DEF.quae

babeantduolatera A B, A C, duobus D E, D Farquaiia, alterum alteri, nerope ABypfi D E,& AC ipfi DF;habeanc cjuo-que bafes B C, E FstqualeSi Dico quod & auigulus B A C, angulo E D F fit cqualis; CongraenteehimtrianguloABC.trian- . guloDEF;poGtoq; B fuper £,& reota BC fuperEF; a congruet& CipfiF, quod a.tf./g B C, E F arquales fint. Congruente igitur ipfa B C ipfi E F, congruent & F» A, C A, ipfis E D, D F.Qupd fi congruat quidem bafisBC,bafiEFatBA,AClatcraipfis,

B i ED,

20 L l B E X 7. £ D,DF,non congruant,fed afio cadant,

bfr*f-7' *• vt fitnt EG,GF,*< conftituecur fupcr eadc reftadaabusreftu,aliaedua*rectzxqua-les, altera aiter!, adaliud atquealiud pun-ctum,ad eafdem partes, eofdem terminos habentes. At non conftituuntur.Non er-gocongruente baft 13 C,baft £ F,no con-grucntB A»AClatcraipfisED,DF:con-gruent ergo* qtiare & aneulus B A G an-

tulo E D F congrust, eique zqualis erit. i ergo duo triangula, duo latera duobus

latenbusacqualia babeant, alterum alteri, habuerint vcrb & bafimj bafi xqualem, habebutquGcU ahgulum amualibusbux-ribus contentum.angulo e^ualem.Quod oportuit demonftrarc.

* PropofoProbl .^ . Datum angulum rettiUncum hifa-

riamfecarcj.

A ^ltdatusangu-Olusrectilincus BACquemo-porteatbifariam fecare. Accipia-tur quoduis pu-

\ c cturaD. Atque a/ry./.u « ex AC ipft AD «qualis aufcratur A E: &

fuper

I I I I i r. 2r

fiiperduccam DE> b conftituatur trian- hfnf.ur; gulu jquilatcrum D E F,& iungatur A F. Dico angulum B A;C recta A F bifariam fecari. Cum enim A D, A E acquales fint, communis A Fjeruntdux D A, A F.dua-bus E A, A F xquales,altcra alteri.eft vero & bafis D F bafi £ F e.qualis: e ergo & an- efnf.t. u gulus D A F, angulo E AF xqualis erit. Datus'ergo aogulus recElineus B A C a rectaAFbifariamfecatur, Qupdfaccrq oportuit.

Propofi7.ProbI.5, DatMmreft*mfi*it4mbifmm

fiecArt^r.

Slt data recca finita A B, qua oporteat bifariatn

fecare.Conftituatur fuper ^ j illa triangulum equilaterii

ABC,*&fcceturatigulus tfnf.p.u ACBbifariam recttCD. Dicorectam A B.in D bifariam cffefectam.Cum enim AC,CBxqualesfintc6fnnntsCD:erunt ' dux A C, C D,duabusBC, CDcqualer, altera alteri,& angul* ACD angulo BCD aequalis: b igitur&bafis A D xqualiseft hfrtf. 4.1. bafi B*D. data ergo recVa finita A B in D fccca eftbifariam,quod faciendum erar.

B i Pro-

2« X I £ £ X f.

PropoCi i.. Probl.6'.' Btttreftt linetexfunfto inifft dtto

iinetm refttm t dtngulosreftos dueerc^.

T ClTdatarecla /K v-fAB.daturairt

/ \ illa punctum C, A /n I \ a oporteatq;exC, ' B C 2* * »pfi A. B rectaia

lineam ad angnlos rectos ducere. Accipia-Mfrf.M.t. turinACquod%ispunctumD,& * po-^frtfj.u n a t u r jpgQ D jfquaiis C E, * coftituatur-

que fuper ED triangulum arquilaterutn FDE.& ducatur FC. Dico ad punctum C datae rectp A B ad angulos rectos efledu-#amF C.Cum enim DC,CEfintequa-les.FC communis;eruntduajDC,CF, duabus E C, C F aequales,alteraalteri: fed

efrfj.i. & bafis D F j ajqualis eft bafi E F: erit S er-go & angulqs DCF zqualis angulo ECEj

idef.u. &funtdeinceps. «/Quandoautemrecta. fuper rectam confiftens, eos qui deinceps funt angulos, cquales fecqrit, re$u$ eft vterq; cqualiura angulorum: recti igitur funt anguli DCF,FCE.Quare date. recte, expuc^oiniUadato,du&aefltdangulos re#os, redta F C. quod facerc oportuk.

Pro-

. - / ^ ROMAX*»

S1

x i * J? * r, %t Propof.iz.Probl./.

%^ttd dataminfinitam,apu»S?o dato extra iBamperpendieularem

reclam ducertu. 'Itdata recia infini-'ta.AB,punatuextra

illam G & oporteat a4 rectam datam A R ex ipu ncxo C,quod in illa 'noneft, perpendicu-

larcm rectam ducere. Accipiaturadalte-ras partes rectf AB,quoduis pundu D,& a centro C intcruallo C D circulus £ F G tp,/f4, defcribatur, b diuidaturque E G in H bi- b/ry. I«.I fariaMu&is «ctis C G,C H, C E. Dico quod ad datam infinitamAB, apuncto extra illam dato C, perpendicularis ducta iit CH. Cum enim G H, H E fint cqua-ies,HCcommunis:cruntdu«GH,H C» duabus EH,H C arqualcs » altera alteri; rfed&bafiCG,bafisCE,eftcquab's;crit cdtf.ru «Jergo & angulus C H G angulo EHC dPrtPt.u cqualis,& funtdeinceps. equando autem edtf. u. rcctafuper rectaconfiftens, eos qui dein-ceps funt aogqlos, cquales fccerir, rectus cftvterquecqualiumangulorum,&iaft~ fterjs lineatperpendicularis dicicureius,

B 4 cui

N

z4 i ' r l t * ''•- iv cui infiftir». Qujrreaddatarn redarn infi-nitam ABa puncxo extra UUm datoC, perpendtcularis ducta eft, C H. cjuod fa-cereoportebat.

Propof 13. Thcojvrfr-

guando liaea reflafupir reflant ton-ftftens,a»guUs'facit,aut duesrS-

flos, aut duobusreflUaqua-lesefftcit.

REcU enim quardam AB,fupcrredaCD

coufiitens, angulos faciat C B A , A B D , diccfillos,

Jf autduosrectos, autduo-bus rtctis arquales efle. Si enim C B A ipfi

e ->/"«> AB D,efi; a»qualis,duo * recti furit.Si non: ducatur a puncto B ipfi C D adangulos

b«#/.i«. redos.B E: *ergo C B E,E B D duo recti funt.EtquiaCBEduobusCBA.ABE, acqualis eft, fi a pponatur comunis E B D , erunt duo CBE, E B D , tribus CBA, A B E,E B D arquales. R.urfiiseu angulus D B A, duobus D B E, E B A erquaUs fit, fi addatur comunis ABCjerut duoDBA, ABCtnfausDBEEBAiABCKquales,

Oftcn-

L 1 B E K I. tf

Ortenfum eftautem&duos CB E, E B D jffdem tribus, zquales effe. e Quz autem *»**•'• eidemfunt*qualia,&interfeuintxqua-iatduoigiturCBE, EBDzqualesfunt duobusDBA,ABC:fedCBE, EBD ledti funt: igitur D B A, ABC duobus rcotis asqualcs. Si igitur recta fuper recta, confiftensj angulos facjt, aut duos rectos, autduobusrectiszqualcsfacit. Quodo-portuit demonftrare.

Propofitio 14. Theor. 7. Si adreiiam aliquam lineam»atquead. funtlum in iUa datum»dua refla non ad eafdem partes duSta angulos, qui

deineeps/unttduobus reclis aquales •fteerinttindireelumerunt

iHalinea.

AD rectara A B, & ad punctum in illa datum B, duz rectz B C, B D non ad

eafdcm partes pofitz, faciantangulos de-inceps A B C, A B D.duobus rectis xqua-Ies. Drco B D ipfi CB in direaum efle.

QupdfiBDipfiBCno fit in direftum, fit B E. Cum ieitdrcech ABre-crse C B £ infiftar, 4 erut ipm.it.t,

, - J B anguli ABC, ABE f

» B 5 duo-

14*

24 L I B E H I. duobus rectis equales.Sunt vcro & A B C» A B D duobus rectis atquales: anguli igi-tur C B A, AB E funt angulis C B A , A B D , srquales. Commuais A B C aufc-

bxx.j. ratur : r reliquus ergo A B E , reliquo « •»*•/•• A B.D eft xqualis, minor maiori, * quod

fieri nequit. Non ergo BE in disectum cftipfi BC. Similit,eroftendemusnullam aliam effe,prxtcr B D : in dircctum ergo eftB D, ipit C B. Si ergo ad rectam, & ad punctum in ea.datum dux rectz non ad eafdem part.es pofitx.angulos qui dein-ceps funt, duobus redis arqualcs fecerint, in direccum crunt illf dux lincx.quod de-monftrare opor tuit.

Propofitio i <. Theor, 8.

Siduareclaft inuicemfecuerittt\attgtt-icsad vertieem aquales

fieient.

EaasAB,QD,fecent -fe in E pun&o. DicQ

qvtod tam angulus AEC, apgulp D E B.quam C E B

s-»angulo A ED xqpalis fit. Cprio enim recra AiE«iftf

C pipfifokfaci^anguIosC" E A»A ED: ietntri*.

R!

L l B E R L *.? « erunt ipG duobus rectis xquales.Rurfus cnm rcora D E recrat A B infiftat, faciens aFnf~t/;t< angulos A E D,D EB.ferunt&ipGduor b/r«ry,y* busrecVis atquales, OftenG autemfunt& C E A » AED duobus recVis atqualest QuareduoCEA,AED,duobusAED, . JD E Breqoales funt. auferatur communis A E D : ereo rebquus C E A , retiquo " B E D equalis eft.Pariter oftedetur C E B, D E A zquales efle. Si ergodux rectxfe inuicem fecuerint,facient angulos,qui ad verticem Giot xquales.Quod dcmonftra-t reoportuit»

Fropofitio iff.Theor. o» Qmnis tri&nguli vno l&tere produtto^

extern.ueangulusviroltbetinterno &oppofitom&iorefl.

SlttriaoguIuABC. &vnumipfiuslatu?

B C in D producatur. Dico angurom cxter- , num A C D maiorera cfte interrus &oppoG-tis C B A, B A C.« Bi- *r»i.r'4 feceturACinE.&du-6)a B E producatur in

F.Gtr

18 l l B E R £

F, fitque ipfi B E xqualis £ F , iungatur C F, & producatur A C in G. Etquia A £ ipfi E C eft zqualis; erunt dux A E, E B, duabus C £, E F zquales, altera alteri; &

hfrif.tf.1. angulus A E B.angulo F E C eft b xqualis, cfrif.y.i. funt enim ad verticem: e igitur & bafis

A B, bafi F C xqualis erit, & triangulutn A B E triangulo F E C; adeoque & rcli-qui angnli reliquis, alter alten, quos x-qualia fubtendunt latera: Erit igitur#& angulus B A E angulo E C F xqualis; eft

idx.9. afautemECDmaior,quamECF':Ergo & A C D maior eft quam B A E. Pari mo-dofecto BC latcre bifariatn demonftra-bitur angulus B CG, hoc eft, A C D ma-iorcfleangulo A.BC. Omnisergotrian-guli vno latere produito cxternusangu-lus vtrouis interno,& oppofito maior eft, quodoportuit demonftrare,

Propofitio 17. Theor. 1 o. Omnis trianguli duo anguli duobus re-

Hfs minoresfunt, quomodocun-. > qutfumpi,

JL C ft trianguIumABC., ' . /K iJDicoduos eiusan-

. / j y \ gulos minoresefleduo D W \ TJ ""« redtis qubmodo-

cunquc

LIB ER I. i« docunque fumptos. Producatur BCin D . Et quia trianguli A B Cangulus ACD externus, * maior eft interno & oppofuo *fW- «• A B C Sicommunisapponatur ACB: erunt ACD,ACBanguli,maiores ABC,

tC A angulis! SedACD,ACB Jduo- b/r»/.i/.t. us rccxis funt xquales: Ergo ABCBCA

minorcs.Similiter oftendemus tam B A C, ACB, quam C A B, AB C duobus redtis efle miaores. Omnis ergo trianguli duo anguli quicunque duobusrectisTbntmi- . nores, quod oportuit demonftrare.

Propoficio J 8- Theor. 11.

Omnis triangali maius latttsmaiorem iit.

SlttrianguIumABC habes Iatus A C ma-

iuslatere AB. Dicooc -C angulum A B C maio-

rem efle angulo B C A. Quia enira A C maius eft, quam A B; fiat ADipfiABxquaiMS&ducatur BD. Et rfquia trianguli BDG externus angulus irrH>.t«.u A D B, maior eft interno & oppofito D CB,& b xqualis angulo ABD,quod b/n/.j.r, iatera A B, A D xqualia fint, maior ergo

ctiam

)0 L I B fc X £ etiam eft A B D quam A C B: multo ergto maior erittotus A B Cquam A C B.Om-his ergo trianguli maius latus,marorem angulum fubtendm

Propoficio t o.Tfaeor. i u ^ Omnu irianguli makr angulusmahri

- tatcrijubtcnditur.

Sit trianguluABC babensangulum

ABC maiorem an-guIoffCA.dico&c Latus A C maius eflc

latere A&. Si non:erit AC ipfi AB aut >quaie,autminus. Non xquale. Sieh^m

ffrn.ftu arquale, a effet & angulus ABC angulo A CB xqualis: at non eft: ergo A € x-

2uale non eft ipfi A B. Non minus: ham ACmihus elTet jquam AB,effet£&

angulus ABCminor angulo AC B; at jion eft: non ergo A C minus eft ipfo AB. Oftenfumautemeft,quodnec xqualcet-

gomaius. Omnucrgotriangulima-ioriangulo maius latut

fubtenditur. • . • • - •*«*•>

Pro-

LIB ER I. }« Propofitio 2o.Theor. r $.

Qmnis trhnguli duo httrt reliquo nttu ioru funt quomodoeumquc*»

/umfi*.

Slt triangulu A ] dicoduolateral

iBG iBA.

A C , maiora eifc reli-quoBQ&AB.BCrcli-

tf qubAC;&BC,CAre-liquo A B. Producatur

enim B A in D ; fitque recta D A ipfi C A Kqualis,&iungaturDC. CumeegbDA ipfi A C fit xqualis, erit & angulus A D C, angulo A CD arqualis. Sed * B C D ah- «**•>* , gulus maioreft angulo ACDj maior er-0oetiatneftBCD,ipfoADC. Etcum D C B l i t triangulum habens angulum B C D maiorem angulo ADC, rmaio^ &/''»•«»•*'• rem autemangulum maius latusfubten-dat {erit D B maius ipfo B C: arquale au- ' tem eft D B ipfis'- A B, AC: maiora ergo funt B A, A C , quam BC. Omnis ergo

trianguli duo latera reliquo maio- ' rafunt, quomodocunque

fumpta.

Proi

t>& LIBEK I.

Propofitio zi.Thcor.14. Si a terminis vnius Uteris trianguU dua rett* intra.conftituantur, erunt ba minores rehauis duobus ttianguli

Uteribus, at maiorem angulum . sontinebunt.

A terminis lateris BC trianguli A B.C eon-

flituantur duz rectz B D, CDintra. DicoBD.DC

^ ^ Z J V \ reliquis trianguli Utertbus * • --* C B A, A C minores effe j at angulum B D C maiorem continere, an-r guloBAC.DucaturenimBDinE. Et

Oftof.i». 1. * quia omnis trianguli duo latcra reUquo maiorafunt: erunt&trianguliABE.Ia-tera A B, A E maiora B E latere. appona-

b *x.4~. tur communisE C, l eruntque B A, A C maioraipfis.BE,EC Kurfus trianguU

cfr»f.»i.i. CEDlateraCE,ED t maioraftintlate-re C D.communis apponatur DB;erunt-que C £,E B maiora ipfis C D, D B: Sed B A» AC maiora oftenfa/unt ipfis B E, E C; multo ergo A B, A C maiora erunt

ifr»f,ie.i. ipfis BD, D C Kurfus, quoniami om-nis trianguU cxtcrnus angulus interoo, &

oppo-

bppofito eft maior; erit & trianguli C DE cxternus BDC, maior interno CE D. Eandemob caufam erit trianguli A B E, cxternus C E B, maior interno B A C: fca & B D C oftenfus eft maior, ipfo C £ B: multb ergomaioreftB DCquamBAC. Qnare (i a terminis, orc.qaod oportuic demonftrare.

Propofi tio 2 2. Probl. 8. £xtribuvrec7u,tribwdatis reclus 4* qualibw, triangulumcoflituere. Opor-tet autemfiuas, reliqua maioresefiLs sjuemodoeumquefumptds. quodonmus

triattguliduo latera reliquoma-iorafint, quomodoeun^

fumantur,

Sfnt trcs rcctar, A,B,C, quarum dux quomodocunq; fumptae r< liqua mf>

JL

iores fint.vt A, B, quam Q A, C quam B, B, Cquam A. Oporteat autem ex tribur,

C txu-

& & & M A L

>,**>* %£|uahoas trumgutum es>~ iittucre» Expofka ftrreSasmu-dam DE»

*/*•/•?•*• tcrmiu&ta adreu!u$ K L H t iuogaotur-<<pseFK» K.G, Dkoes tribusFK, KG» C V «quaiibus tribusdsdsAjBfCtrian-

f uksm F K C eife e bibtmam. Cum cstim ce mrutrt Es ci rcu.it D K Ls u crit F D a>

cvualisspisFKj fedF Defsurcrualis ipsl A; c<*»-i. #&rgo & F K» crit atqisdis ipF A.&urfsss cCs Adtfxf, Qitt rtuttrucirculsLKFfuleritCaFIscqua-?**•*• Es s pii Q K i fesl C H x «juulis eil: i p uXs # c~

rlt ergo & GKsequalisipfs C; Efi verd $g FC xcju&ib ipft B, Trcs crgo KP,FG»GK stquales iuot tribus stacis A»B<,C. Quare ssr, rrsbus K F> E O»O K» tcmsalibus.ts-sbus A* B»C msu gulum ell couititssru. Qaod fa~

ftutn ddto MngulorctfiUncostqug-km dnguUimrcclilincum

conftitucr^

Sit ^ 1 Yt,

HBIH h J5

Sltctatarecta AB.datuq; ineapun&S A, datus angulus reetiineus D G E,

Oporteat autem ad punetum datum A> datae reotar A B, dato angulo reetilineo B C E arqualcm anguluro rectilineum conftituere. Capianturin vtraqueCD,

G E quarlibet ApunctaD,E,8r,

iungatur D E: « atq; extribus a/ry.ai.fc

jjreAis, qufc le-quales fint tri-busGD, D E ,

£ C, triangulttm A F G conftituatur: ita Vt C D arqualis fit ipfi A F; C E ipfi A G; DEipfi FG.CutnergoduarDC,CEsr-quales fint duabus F A, A G, alteraalteri} lit vcr6 & bafis DEaraualis bafi FG; fcrit bfrifiiM Bc angulus D C E arqualis angulo F A Gi Quarc ad datam rectam AB.datumque in ea punctutn A, dato rectilinco angulo DCE,arqualts anguIusreOtilineusF AG cft conftitutus. Qijpd oportuit facerr.

Pr6potitio 24.Tb.cor. r j .

Sidne irunguU dne UteraduobwU» teribwaauaUakabutrwt, aUerum aL

C* terr,

043 I I I E I I. teriymtgulumyero angulo maiorem,

tjuiauualibttt reclis lineit conti-ttetur, ejrbafim bafimaio-

remhabebunt. -

A £ Qlnt trian-: •-'gulaABC, DEf^haben-

>tx tia duo latera F AB,AC,duo-

bus D E,D F xqualia,altcrum alteri: A B quidcnl ipfi D E j A C verb ipfi D F. At angulus BAC niaior fit angulo EDF. pico & bafira B C maiorem efle bafi E F. Cum enim angulus B A C maior fit EDF

Ufrtf.tf.i angu1o,«cenmtuatur ad puncxum D re-ctx D Eangulo B A C,xqualis EDG; fit-que vtrique A CDF xqualis DG.fkpun-gantur Q E , F G. Quia igitur A B ipfi D E , & ACipfiDGxquauscft;erunt dnxB A,A Cduabus E D, D G xquales, ahcra alteri; eftque & angulus B A C, an-

*tfnf.4.t* guloE D G xqualis: ficrit igitur & bafis BCbafi EG xqualis. Rurius quiaD G

tfnf.f.u ipfiOFeftxqudisAcan^ i*x.f. gulo DGF; «entangulusDFQ.maior

angulo E G F : multo ergo maior erit E FG, ipfoEG F. Et quiaEFG trian-

gulura

golumtft, babens angulum E F G maio-rem angulo E G F (t maiori autem angu- e/r**,i*, j} lo roaius.latus fubtenditur) erit & Utus EG maius Utere EF.: cquale autem eft E Gipfi BC: maius ergoeft & BC.ipfo EF.SicrgodirotriaoguU,&c.quoda|>or» tuit demonftrare.

Propofitiozj.Theor.leT. SiduotrianguladuolatcraduobusU-teribus aqualia habuerint ,alterum at-teri, & bafim bafimaiorem » & angu-

lumangulo,quiaqualibuslateri~ but continetur,maiorem

babcbunt. D Cintduotriangu-4 ^ l a A E C P E F ,

duolateraAB.AC F-/"** \ g tELlf duobus p E , D F

baberia «qualia.al-terum altcri, AB ipfi D E, & A Cipfi DF: BaGmveroBCmaiorerobafiEF. Dico &angulura BACanguloEDF maiorem efle.Si non:aut zquafis eft,aut minor. No sequalis j Nam fi angulo B A C, angulus E D Fzqualisefiet^efiet&bafisBCba- a*rv/.,<.'n fiEFcqualis; at non eft; non ergo an-

G j gulus

A

i* 11 * i * i guius B AC aagulo E D F eftffquaus. Sed

tf>tfj4,i neqnemtnort namfi minor eflet,#cflet ic bafis BC minor bafi EF: at noneft: nonergo angulus B ACminorcftangu-loED F.Demonftratum eftautem,quod nec atqualp: maior ergo erft. Si ergo duo triangula, etc. Qupd demonftrare opor-tuit,

Pr«pofitioa6*.Thcor.|7. $i duo trianguU duosangufos duobue angulis aquales habuertnt, atterum al-teritffr vnum latus vnilateri aquate,

fiu quodaqualtbw anguUsadtaeet,fem quodvni aqualium angulorumfubten-ditur; & reliqua tatera retiquts lateri-

bw,alterumaJteri;&reliquunian-treufuoangdo,aquakm

pabebunt, WINTOUO

,A ^triartgu-la A B C,

F DEF.duos angulos ABC.B C A.duobus DEF.EFD «quales habentia,aiterum alteri, A B d quidem ipfi DEF.& BC A ipfi E F D: ha-bcant rerb&vnumUtusvnikteri*qua-

le.

L I B E R I. $f Is-x Et prtmcs qssod sscqtsdibus angulk 5S<E Iaeet> ssessapeB C ifCiE F« Dico quo<!I

srdsqssstmanguiam B A C rdiquo E< D F» G*uo<l fs AB,BE kssequdiss isrst ? vrsrnts u-srkts<a.iusa Skmasus A B j<f fsvtq: ipk D E *$&$>$>!$ sstqudk G S lioesjgr dusuuut G C Cum iposr &«> BG>DE; tpsl E F,B C sssquaisrs fij-sq ersust dkjs? BG,B C*duabus D E> £ F mq^sdv^aites-aalterljAsangssiuaQBCstJS»! gsdo D E F sequssilscs-' eri t ccr gu U bslk G C V-'¥s $> & Ms Df aqaaiisjSf tifkrtgsBiG C Btrsa&~ gts!s> D E Cssqudcjreliqusqecatjgaii rdt~ qssi$,dt£.r dscrl,spibm eqssaiia isterss fssb* rustdsiatrsr,CEprc angulus G C Bsssquslk erkanguio DFE: fesio: D FE p<snkur<s?~ qudis i|ssi 8 C A• crit es-go BCGa-qudis spls B C A > minor maioti~qu«rj Iks-i $>:?.• qsrksndergo AB.DFJssssstpdsfs fssnttssr* go se qsukto Esl vcrb 8t B Cipis £ F ssqtsu* ! 1% sckta? ergo A B,BC atquafes font dsasabqss X^EsEFidmfsdtcnjcEangulcrsj ABC su>~ gwlo DEF: ccrgo &baSs k CbsRlJTJk «.$?>$< a* srdiqsms angulas B ACreisqaoEDFs** qudsserit iXurfuslssit b?er&t£qn*4s$aft~ gulosfobtefiskntia-AB,DE%qualja,4ic~> seVrdiqussiatcrgjrdiquklstedbus^vt A C»

C 4 O.F~

4» L I B E R L I> F.< & B C, E F, rdiquumque angukra B AO'ri;quoEDF>;rquaIem efie.Si enira BCEFfuut jna?quaija;erit: vnutn maius*

* W * t. jjt)fs 8 f r i Poteft,mdavBC,8t <f fiatipfi EF » quafi-s BHtiungsturq; A H. Et quiaB H iph £ P; & A Bipfi DEarqualis eft; erunt Jsjjf A B,B Ebduabus DE.EFarquales.al-

e*«w, #> ? t cTa s*t?r'* connnemq. angulos sequaSes : e hifis crgo AH.bafi DF efta?quaUs,& tri-angulam ABH tnsr.gi.IoDE F,reliquiq; anguft reliquts«alter ;?kcri,quibusaequaiia Eterafobrcodootur,*qualeserunr. Eft: ig.r-jr angoUj* BH A equalis angulo EFD: IvdEFDa-q-.iafiseftanguloBCAtcritcr-go & BH A jeqnaits tpfi B C A. Trianguli ergo A HC e x t e; rjusanguius BH A arqua-

iW<tf.t. j , $ c !j j J i W O O gj opnotito BCA,/quod fieft nrqakj ig-Uar B €,E F inarquaiesno funt; jequales srrgo.Cum verb & A B,DE fmr arquaieaicrorjtBu* AB,BCduabus D£,EP atqu&iesakm alteri, arqualcfque

§??&<& jt ttmpiios conttwcnvg ergo & bafis AC ba-fi OF *qualts<'ft,& criaugulum ABC trt-aogule D E F, & s ef iquus anguius B A C,

rciiquo E D F . Siergo duo, &c C upd demonftrare opor-

portuir.

Pro»

Propof«7.ThfloP-18. dV/» duat rec7attineatreo7«incidens angulos«tternos«qu«lesfecerit,pa-

r«BeUeruntiB«linea.

*

r/r TnduasrectasAB, ^/ ' ' j / ** ACDincidensre-\ jf T JL ctaEFfaciatangu-

/ ? • * losalternosAEF» E F D xquales. Dico A B, C D paratlelas eflc.Si non; productxconcurrec, aut ver-lus partes B,D; aut verfus A, C: produca-tur,& concurr ;nt verfus pirtesB.D in G. « Eftitaquetrianguii GE F anguhis ex- tfrtf.it.tl ternus AEFmaiorinterno,&oppoiito EF G:fed*& xqualis;quod fteri nequit: *exbyfa. no,n ergo A B, C D productx concur- tke/i, runtverfuspartesB, D. Parirationede-monftratur, quodnequeadpartes A,C: tquxauteminneutram partem concur- bief.jMi runt, parallelxfunt: parallelx ergo funt

AB,C D:Siigitur,&c,quodopor-tuitcUtmonftrarc.

C J Pro-

'4.1 n n t i Propof.28Thcor.10.

Siin duaa rcftatUnea* rt8a incidens, angulum externuminterno,& oppofi-to, &adeafdtmpartestaqualefecerit: ijelinternos, & adeafdempartesduo-

but reftisaaualtsjpiralltU arunt Maltnea.

_ I N duas recVas A B,C D A \tf ^ Aincidensre&aEF,ex-

518 \ ternumangulumEGB, aj - ? p interno , & oppofito

:F QHE> xqualem faciat: aut internos, & ad cafdera partes B G H. G HD duobus reftis equales. Dico A B, CDparallelaseiTe. CumenimEQBan-

*txln»t. guros,*xquaIisfir,&anguloGHD, *& tktfi. angulo AGH;i erit & A G H aroualiM-%fr»f t/.t. pfi G H D. c & funt alterni: parallelx er-«>«*•», gofuntAB.CD. RurfuseumBGH, %prtf.ty.i. fjHDduobusreaisfintxquales; dfint •V4W- a u t e m J J A G H . B G H duobus recjtis *-

quales; erunt A G H, B G H ipfis B G H, GHD xquales: communis B G H aufe-

•**. j . ratuiVe erit igttur reliquus AGH, rcliquo iftaf.if.t. GH Dxqualis/& funtalcerni:funt ergo

' AB.CDparallelx. Siergoitiduasrectas, &c. Quoddemonftrsreoportuit,

I I J I I S i. 45

PropoC20.Theor.20. JtecJs in psrsBelas recJas incidens m-qusUsfscitsngulosslternos-.&txter-mnm intemoejr oppofuo, ey> sdesfdem

psrtes aqnslcm: & internos & sd esfdempsrtes duohus retlu

aqnsUseffcit,

X Tn paralletas re&as AB, A \ g a ICDrectaEFincidat. 2j> N^JI Dico quod & alternos C \ . » angulos A G H,G H D

•\5* a*qualesfaciat;&exter-num E G B intcrno,& oppoiitot&ad eaf-dem partes GHD ?qualem;& internos, & ad eafdem partes B G H, G H D duo-bus reojis arquales.Si eni m A G H,G H D inarquales funt, rnus illorum AGHfit maior : & quia A G H maior eft quam G H D.communis addatur B G H.Hi er-goAGH.BGHmaioresfudthisBGH, GHD;4fedAGH,BGHduobusre- */r»/ :/-h ctis fiint arquales : ergo B G H, G H D duobusrcccisminoreserant. b" Quzau-b**.#«,' tem a minoribus quamduobus rectisin snfinitum producuntur linc* rectar, con-currunu ergo A B,C D in infinitum pro-

duS*.

44 * i n i i r. duots concurrunt: at non concurront;

1 parallclx cnim funt: ergo arrguli A G H, GHD, non funtinzquales: igiturxqua-

tfrif.ts.t. Ics.Porrb c AG H angulus xqualis eftan-golo E G B: Ergo & E G B xqualis erit angnlo G H D : communis apponatur BGH:ergo hiEGB, BGH, xquales funt bis B G Hta H D:/fed EGB,BGH

Afrif.ij.t. font asquales duobusrectis: erunt ergooC B G H,GH D duobus reftis xquales.Re-cra ergo in parallclas,&c. Quod oportuit demonftrare.

Pr6por30.Theor.2i. guueidetnrefttJuntparaBeUt &ittm

terfeJiintparaBeU. _ f j ^ B Q l t vtraq; jpfarum

JE 3 ^ I I ^ t } A B , C b i p f i E F , C 'J^2.—'-n parallela. Dico&A,

^ 30 " B.CDcffcparallelas. Jncidat enim in ipfas reda G K. Et quia in redas parallelas AB, E F rctfa G K inci-

%pr,p i 7 , dit» * «^""gukis A G H, angulo G H F W' '' 'xqualis. Kurfus, quia in parallelas redas

u frif.it 1E F » C D cadit re<aa G K./5 erit & angulus G H F xqualis angulo G K Djoftentus eft autem & angulus A G K angulo G H F

aqua-

L 1 B E X I. , 4J> arqualis: e ergo & angulus A GK atqualis C4Xti ctritanguloG KD:& funtalterni: d ergo dfra/.Mg.t. A B, C D funt paraUelar. Ergo quae eidem, &c. Quodoportuit demonftrare.

Fr0p0C3i.Pr0bl.i0. PerdatumpunilumdatxrdiixUnex

faratlelamducert^. •nat ; <f A JP "C* ^ ^310 puncto Ar

>^ J^DatatrectaBC.0-»t>' *j -—r* porteat parallelamda-

•^* cere.AccipiaturinBC quoduispun6tumD,iunganturqueA,D. * &conftituatur ad A punCtumrecteDA a/r#/ li.t. anguloADCarqualis DAE.ducaturq; ipuAJiindirectum AF. b Qujaergoin >*r >r>. 7./., duas redas B C, E F recta A D incidens angulos alternos £ A D, A D C atquales

. facit,eruntBC,£FparaUeIr.Perdaturo>> crgo punctum,&c. quod facere oportuit.

Fropof32.Tbeor.22. ' Omnis trianguti vno laterefhdutJo* axternus angulus, duobmmtdtmS, rjr

offofittseHxquald,&iressn*erm? duobmredisfitnt aquales.

SlttriangulumABC, cVvnumeiusIa-tus B C producatur in P. Dico arjgu-

lum

M. I B B X. :il'

lum externum A C D xqualem elTe duobua internis, & oppofitis

Tt/ V CAB.ABCteVtre* C 3> internos ABC, BCA,

%prf.j\.t. CABduobusrectisatqualcs. 4 Ducatur per C ipfi A B recta parallela CE. Quia

bfnp.17.1 ergo in A B, C £ parallelas cadtt AC; te -rutit anguli alterni B A C,A C E equalea, Rurfus quia A B, C £ parallelx fu nt, & ia

tfnfttA. ipfas cadit recta B D , «* erit externus art» gulus E C D^equalis interno,cV6ppofito A BC:oftenuiseftautem& ACExqua-lis B A C. Totus ergo A C D xqualis eft duobus internis.it oppofitis BAC, ABO Apponatur commums A C B: & erunt A C D, A C B xquales tribus A BC.BC A,

Ifrffi* C A B: d fed A C D, A C B xquales funt duobus reSistergo & A C B,C B A»CAB xqualcsfuntduobusrectis. Omnisergo uianguli,&c.Qupd oportuit demoftrafe,

Propof.33.Theor.25. Linetreft*, qut tuuttes &partMeUe tineue tdetfdemptrtes c«mungunt,&

ipft uqutlesJu»t,&paraMeU.

Slnt xquales & parailclf A B,C D.eascj; ad «afdem partes coniungant rectx

AC,

t I M B « t. tf. A' _ BACBD. Dico&ipfas

/ , 1 ^ 7 A C, B D parallelos & x-gf^^ / qualesefle.Ducaturenim 1Z*x "O »c*Q{»PniarnAB,CD

** -K parallelx iunt, &in iplas inciditB C;« eruntangulialterni A B C, *f"f. J7.1 B C D xquales. Et quia A B,C D xquales ftint; communisaddatur B C; erunt dux A B, B Cduabus B C, C D xquales, eftq} angulus A B C angulo B C D xqualis» 4» Quare&bafis|AC,bafiBDxqualise- berw.*,f. rit,& triangulum A B C triangulo BCD; & reliquianguli reliquis,alterakeri, qui- ' bus xqualia latera fubtenduntur, xquales crunt. Eft efgo angulus A C.B angulo C B Djxquafis.Et quia in duas fectat AC, B D incidens recta B C, facic angulos al-ternos ACB,CBDxquales;rerunt AC, c/r*p,J?.t. BDparaiIclx:eftelxautemfunt&xqua* • les. Ergo Iinexrccix,quxxqua-

les,&c. Quodb'p\>rtuitde-•:•••••'•. -.mouftrarc.

*• ^^*&** "Wj">*

Ercr*

4» Z l B E R L

Propoi734«Thcor.24.

FaraffeUgrammorumjpacierumi qua exaduerfi&latera,efranguU,funt

interfi aqualia, eaquedia-metrusbificat.

ESto parallelogrammutn A C D S diametrus B C.Dico parallelogram-

mi A C D E, quz ex aduerlb, latera & an-gulos, zqualia eflc; eacj; diametrum B C

A jtj bifariam fecare, Cum e-/ ^^1 nim A B, CD parallelae

/ ^ ^ / fint, & in ipfas incidat tfrtf.%7.1 g~~J B C . , c r u n t a n g u U a t ,

^ * terniABCBCDzqua-les. Kurfus cum A C,B D fint paralklg.ot

bfrtf.%7.1, j n iUaa incidat B C,b crfit & anguli alterni ACB.CBDzquales.Duoergotriangvt-la A B C, C B p habent duos angulos ABC,BCA,duobusBCD,CBDar-quales, alterumalteri, & vnum latus, vni lateri, quodadiacet anguliszquahbus, V-

tfrtf.t6.i. triquecommuneBC. f Quare&rcliqua latera reliquis,alterum alteri, & reliquurh, angulumreiiquo,zqualem habebunt. ae-quale ergo efl latus AB lateri CD;& A C» ipfi B D; & aogulus B AC angulo B D C.

E t

— -- , • jimmm^mmmmmmmmmmmtmmmmmmmmm

Ittcumtlanguli &BCsBCDsq»a CBD, A C B arqoalcs ftm: 4 « A totus & BD» «*"**«#-t ott h C O «quaiw, ollfiTsfc efi autt.ro. g? B A C^qttdbB l>€ . Parsjlsiogrammo-rurn ergofpaeiorum qts* ex adue-rfo, A: btera, & anguii, mter fe arquaiiaium- Di~ co&Bixtnc.tumjUabifariasnfecaje.Cu.n emsn A BSC I> gqu3les,& B C communb CmmmtB^^s** AB,BC,«luobuis CD, B C «quaiia» akeruro shcri; &: asguius ABCsjqaaiisastguloBCDarcriscigo& rjtro< At. hrC\i AC bafi D B srqoalsq & triaoguJusn ABCtriar<g«io BCIX Dismetrusergo B C , paralleiogransroum A B C D bst*-aiasrjfrcsr. Cjnodopurtukdenjonrlrare»

x.ropoC.3 jiTheor.2 j . PdrdBelogramma itt eadembafi; &in i

ii/demparaueluconftituta,inter fefuntaqudlia.

SVnto parallelogram* A B C D.EBFC inbafiBC&ioparallelisAFinBCco-

ftituta. Dico A B C D tjquale effe ipfi £ B FC.Cumeoim ABCDparallelogram-mum fit;4erunt BC,AD,atquales:ean- *frof.\4.t dem ob caufam £ F , B C atquales erant: Jvndc & AD ipfi E F gqualis erit;& com- b <u.u

D munis

<o I I H R I. A. 'J> | ' | rnunis eft D E: e

ergototaAE»to-tiDFzqualiseft.

' MM. * t EfWvero&AB itop\+.t 'P1* DCsequalis:

' due«goEA,AB,duab*FD,DCzquales tfnf.xf.t funt,alteraaiteri;fed& e angulus.FDC»

angulo E A B zqualis eft, externus inter-%frtf.4.u n o : / quarc & bafis E B bafi F C zquali*

erit;& triangulum E A B triangulo FDG g*x.y Commune D G E auferator;& erit g reli-

quum trapexion ABG D.reliquo EGFC zqualcApponatur communis GB C tri-

k**.M. angulus:*» totumergoABCDparallelo-gram mum, toti E B F C zquale erit: ergo parallelograma in eadem bafi, &c. Quorl oportuitdemonftrarc.

Propof. 3 cJ.Theor. 26\ ParaUelogrammainaqualibm baftbw,'

ejrin iijdemfarallelisconftituta,in-terfe funt aqualia,

SVnto parallelogramma ABCD, EF G H fuper zquelibus bafib», B C,F G;

& in iifde m parallelis A H, G B conftitu-ta. DicoillaeiTezqualiaiunganturenifn B E, C H. Quiaenim B C, F G,zquales

funt:

f> £ l ~B S X h " «t

_ "4 funt;eflq\jeFG ^ "\ quaiis lpfi £ H;

V ***x a e r U & B C l P f i E «4*.r;-, ^ ^ H*qusl«ifilntt«/»««<.j/.Aj I- ~" <3 yero & parallc-

U% t v^virgnnt*.' ,u°t . reccae BE, C H. c?re?,js*t e t Q s. ,„ten«q<<, c •>, v oarallelas ad eaf-*>, x< ptrresvs^ij, "jgu ,<.quales,&paral-K't > ,ant, Q<»an, FJ>, < r i arqaalcs, & pa- d?re?,jf.H i II Mii<n ^vVoFJR . i V o.aKd, ; ,1 s»tar<v'\ ac<s qt ', on A F< C 1> q,t <vc <,a>i5,rs<rq.irsj ob*t i R ^ . ^ . i - a i dcm par*x d,s BC,AHioHbu<cu>=% I x rUtn ob ccut&ut V-1 G H c A *T<CH e « K *i* Ax,««aU e Q > c& AB€ D n< * > \> gra,^m«m>q JC-HH H K i ^ f i , <»» grammo. trgo parallelogramma, &c; Quod demonllrare- opdrtBif;

Propof.37.Tfacor.27. TtianguUjttpereadembafi, &iniif,

demparaHcluconfiitutafinterfi fitnt aqualia,

SVnto rriangula A B C, DCB futier ea-dem bafi B C; & in iifdem parallclis

A D j B Cconftituta. Dico triangulum A B C arquale elTe triangulo D B G Prta-ducatur A D Ytrinq;ad E,& F; 4 & per K f% fc-

D x ipli

5* l I B I X I. E A D i* ipfiCA.petC vq-

5M7 Vtr umq; ergo E B B C AC,DBCTparal-

*f"f'if'* Idogrammuefhf funtq;atqualia;quippe in eadembafi B C; &ifliifdem paraUelis

Wf-i*-1 BC,EF conftituu. r Et eft paraUelogram-mi E B CA.dimidium triangulum A B C; cUametrus eoim A B ipfum bifecat: Paral-lelogrammiverb DBCF» dimidiumeft triangulum DB C; nam diametrus D C

i*»,7. ipfumbifecat.dCimcautesqualiumfunt dimidia, & ipfafuntxqualia. Triangula ergo fuper eaderu bafi»&c. quod «portuiu demonftrare.

Propcjf.38.Theor.a8.

Triangulafiper aqualihus bdfibus j & inii/densparaUelu) cenftitutajnter

fifintaqualia.'

SVntotriangulaABC, DEFfuper*-qualibus baftbus B Q E F; & in iifdent

parallelis B F,D A conftituta.Dico illa ef-fexqualia. Producatur enim A D vtrinq; ad G &H.4 Atq; per B.&F ducantur ipfis

' M C A,DE paraIleleBG,FH,eritq; vtruraq; GBCA,

tjr A D H

VYN L I B E R I. <X

qf. X D H G B C A » D E F H

parallelogrammu, b Et fiint xqualia \>pr*p.it.x

quippefuperarqua-( B CE> F libusbafibus B C , E F, & in iifdem paralleiis B F, G H con-(tituta, c eftquetriangulum ABCdimi- eprtfjpji diumIparallelogrammi G BCA; ipfum, enimdiaraetrus ABbifccat: Et triangu-lumFED eftdimidiumparallelogramrai DEFH;*nam cVipfum diametrusFD bi- efr*p.j4.t fecat.dQUSJautem«qualium funtdimi- d<*7« dia, & ipfa funt xqualia. Triangulu igitur A B C eft xquale triangulo D E F. Qua-re triangula fuper xqualibusbaftbus, &c Qupd opprtuit demonftrare,

Proppr39.Thcor.29. Triangulaaqualiafitpereadem baft>&

adeafdempartes conflitutaiiniif demfuntparaUclu,

SVntotriangulaarqualia A B C . D B C iiiper eadem bafi B C conltituia. Dico

illa in iifdem efle parallelis. Ducca enim : A D,dicoiIIam etieparallelam ipfi BC. Si non. a Ducatur per A ipfi B Cparallela A *pr*p.jr.\. E ; iuncta JgiturEC, b eritjtriangulum t>/«>J>.jj.'.

D j ABC

1 R f. A BC xqualetrianguloi EBC;funtenim fuper eadem bafiB C, &in iif-dem parallclis B C, A E.

«•**•!• - S j A C Sedtriangulo ABC x-flualeponiturtriangulumfJBC. e erit erwo D B C triangulum zquale ipfi EB C triangulo maius minori, quod neri ne-uuit: non ergo A E parallela eft ipil B C. pari modo demonftrabimus quod nulla aliapraeter A D. Sunt igitur A D, B C pa-rallelar. Quare triangula arqualia fuper eadem bafi, 8cc, Qupd oportuit demon* ftrare,

Propon40.Theor.30. LAequalia triaugula fuper aqualibtss

bafibus^&adcafdempartescott-fiituta^ itt iifdem/untpa-

raUelis.

SVnto xqualia trian-gulaABCCDEfu-

per cqualibus bafibus B C,C E conftituta. Di-

Afyf.it.1. Jo C %/ coilla iniifdem paralle-h'frif.ft.n lis effe. Si non: * Ducatur per A ipfi B E

parallela F A. iunchergo FE, h crit tri-»ngu-

L I B B R 1. 55 angulum ABCxqualetriangulo FCE« Suntenim fuper cqualibus bafibus BC, CE,&iniifderoparalIelisBE,AF. Sed triangulum A B Cxqualc etiam eft trian-guIoDCEiceritergo&DCEipfiFCE « * < xquale, maius minori, quod fieri nequit: non ergo A F ipfi DE parallela eft.Simili-ter oftendemus, quod prxter A D , nulla a!ia.A D ergo i pfi B E parallela eft«T/rian-gula ergo zqualia,&c, quod demonftrare oportuit,

Propof 41 .Theor. 31. Siparaffelogrammum ,rjrtriangulum eandem habuerint baftm, fint£ in iifi

demparattelis, eritparaffelogram-mum duplum trianguli.

Slnt paraUriogrsU mumABCD,&

triangulum E B C fuper eade bafi BC} &iniifdem paralle-lis,RC,AE.dicopa-

rallelogrammuAB CDduplumefietri- npr$p.j7\,i anguli E B C. Du&a e nim A C, a erit tri-angulum AB C xqualctrianguIoEBC: habent quip pe eandem bafim BC,& fitnt in iifdera paralkUsBC,AE.SedparalIelo.

P 4 granv

56" L I B E X I. gramrnum A B C D duplurn eft trianguH

\>fr»f.341 j \ 3 C; ndiametrus enim A C ipfum bifc-c"*'u cat:f quare&trianguli EBCduplum erit.

Si igitur parallelogrammum & triangu-lum,&c. Qupd damonftrare oportuit.

Pr0p0f4 t .Pr0b l . i l . Dato triangulo aquale farallelogrant-

mum conftttutre in dato angur [orecJilint«<

-A F «j pStodatumtri-"~ HnguUlABC;

/ datusangulusrc-*Z\_\f\j£>_ <ftiline'D.opor-

B E c reat autem trian-gulo ABCaiqualeparallelogrammucon-

tpnf.te.i. ftituere in dato angulo D.a Bifecetur BC hftef ze. 1 in E;iungatur A E;& l? conftituaturad E

redt EC angulo D equalis angulus CEF. cfref.jt, Atq; f perAquideagaturipftE Cparal-

lela AGrper C verb ipfi E F parallela CG, eritq; F E C G paralkli grammu. Et quia

ofref.)7.i. 3 £,E Caequales funt^erunt&triangu-la A B E, A E C arqualia; quippc fuper aj-qualibus bafibusB E,E C,&in iifdempa-rallelisBC, A Gconftituta:duplumergo

tfref.4.1., eft triangulum A B C trianguli A ECt fedeparallelogrammum FECGduplurn quoque eft trianguli A E C. Sunt enitn

fuper

«•aetwsalWMatwvM

L l B 1 * 1. 57 fupereadem bafiEQ&inijfdemparalle-lis E C, A G: eft ergo parallelogrammum F E C G xquale trianguio A B C; habet-que angulum C £ F xqualcm dato angu-lo D. Dato crgo triangulo A B C xquale parallelogrammum F E C G conftitu-tum eftinangulo FEQdato anguleD, xquali. Quodfacereoportuit,

Propofit io43.Theor.32.

Omnts faraUelogrammi, eorum qua circa dtametrumfunt parallelogram-

mqrum complementafunt inter feaqualia,

•AH' D C l T parailelogram m u Jjr O A B C D , diametru»

eius A C; circa A C pa--jf——fr ralleiogrammafintEH,

4& F G : & qux dicuntur complementaBK, KD. Dico comple-tnenta B*K, KD arqualia effe.quia enim A B C D parallelogrammum eft, diamer trus eius AC;fit<« vttriangulaABQADC Wf-HU xqualia fint. Rurfus quia E K H A paral-leiogrammum eft, eius diametrus AK: ierunt triangula E AK, A H K xqualia. b/«/.j#.^ Eandem ob caufaxnerunt xqualia trian-

D 5 gula

Jk W 1 1 s n /. p gula K F CKGC. Cum

3d™*fc .- ;F «giturtatriangulaAEK, | fx^ I' AHK, quamKGQ

%i~~l—^*L- K F C ftntzqualia; e-* w 4 # ** runt&duoAEK,KGC,

duobus A H K, K F C zqualia. £11 vero & totum A B C, toti A D Czquale; igi-turreliquocoroplementoKD,reliquum BKeftzquale. Omnis igitur parallelo-grammi,&c. Qupdoportuitdemonftra-re.

PropofitiQ 44. Probl. 12,' Addatam reclam lineam dato trian~ gulo aauale paradelogrammumap-

plicare,in datoangulo refli lineo.

S I T data recta AB; datus triangulus C;datus angulus recjilineus D.Opar-

teat autem ad datam rectam A B dato tri-

• M # • angulo Czquale parallelogrammum ap-

jur»/>,*j.rPncare inangulozquali anguloD.<*C6-ftituatur triangulo C zquale parallelo-

gram-

L i B s r r. 5t gramraum BEF G in angulo EBG xqua-UanguloD.&iaceatBEipfi AB indire-Cturp; producatur F Gin H;i pcr A alte- b/r#/./|.u rutri ipfarum BG, EF agatur parallcla A H, & iungatur H B; Et quia in paralle-ras A H, E F redta H Fincidit,ccruqt an- cfrn.//.q guli A H F, H F E duobusrcctis xquales: d ergq B H G, G F E duobus rectis funt <l **• J»« minores:cqua:autcmaminonbusangU-c^x.i/, lisquamfintduo rccti in infinitum pro-ducuntur, concurrunt: igitur H B, F E produ&x concurrent; concurrant in K;

/ & per K adaltcrutram ipiarum E A,F H *>»/,/Vi ducatur paralielaKL,productisH A,G B in L,Ms erit igitur H LKF parallelogra-mum, diametrus eius HK: g parallelo- g/r#/.v/U grammacircaHK, erunt AG.ME. C6-plementa Lfi,BF: Aergo LBipfiBFx- IVAMA» qualeeft:fed&CipfiBEeftxquale:jerit «*»•'• igitur&LBipfi Cxquale. Etiquiaan,-*^#/.i/.j gulusG B Exqualis eft angulo A B M; & GBExqualis anguloD: /erit & ABM41**. V

ipfi D xquaUs. Ad datam crgo rc-&am,&c Quodfacerc

oportuit.

F*<J>

<?0 L I B E * I.

PrQpoficio45.Probl.i3. "Ddtoreftilineo uqutU^ artffelogram-

mum eonfiituere in dato angulu reftilineo.

ESTodatumre&ilineumAB CD:da-tus an gulus rectilincus E. Oporteat

SJe

x 3 autem ipfi AB,CD sequale parallelogra-mumindataanguloEconftituere.iunga-

%ft»f.4i.utur ^ B,&«con(lituatur triangulo ABD xqualeparallelogrammumFHin angu-

\ftof.44.1 1Q H K F arquali angulo £. Deinde b applit cetur ad lineam GHparallelogrammum G M triangulo D B C «quale, in angulQ

tfnfirua. p " M * 5 U a U ^ I c A JE ^ ' ^ 5 8 3 " ? . * -

lusE vtriqueHKF.QHMeftaqualis; crunt & H K F, G H M atquales: addatur

l*x.». communisKHG:<«ergoHKF,KHG xqualcs erunt his Q H M, K H G: at hi

tfrtf.jf.i.tfunt xquales duobu»re6tis;ergo & illi. Quare ad punptum H reits G H pofitz funt dua» lines* K H, H M non ad eafdem partcs, facientesangulos dcincepsequa-

lcs

L I B E R I. €i

losduohus rccl^j/mdsrctiasrgosro.rtt ffP-t*-* K H, 31M,Ett]un* s»pssIkissLMJ G sc tu LKUKS 11 CL^auot snpunskcins. B^r*/,',7«' M H C > H G K ^quales; Cotnitis ir-eo-«aturnGL,*erunt?i^o«LV>H<*,H<-«L, i«*.». l>kHGHsHGL,xqu*ks;lstsH5iur<! >< kfrtp.i<>.\ OjUal^duobasitcYssicrgo &hi; iiu db ,.- lf*f.i*.u «Xametgodl 1 Gspii»GK. Kfo.lsufeurj K F J I G q«S 11CL M L stqiuia &' ]un <d L11 funt; mcrunt AK K,ML£<\mk%& m>r'A »"•• P>,tjUcljf s&cooiungunmiksrcfLA KM,'" K L;« crgo & k M,F I. stsrcoks A' pataile afnfjj.u Ja? eruns, lLtXile<ogr,unn<utn ergo crl K K LM«$s cUm rtungulam ABDxq.o,v le ft p<n Ikiogrsmme HF;S; trhmgum m X> BCeulkloetmstnoG Mtsittctutn tfCcAHrsunn A K 0.D ton LKJ<C>'LK]U, X-Musesgorr&oruto A HCDatqujicpu-xuUsiug unnuum <. nMimmtisKFI.M» tu usjgmo rbto 1 > LSijud iiccrcogottc» ibat.

Propofitio 46". Probl. 14. AdaU retta linet qutdratum

de/criberu.

ESto data ttcta A 8 , a qua quadratu m defcribereoporteat. «Ducaturapu- tfrtfji.t.

&o A re&x A B ad angulos rc&os A C; & fiat.

cTt IIB Et l hprtfti-1 - ' HatJhpfiAB«quaUsAbi*&

\ftrJlruB.

I ' X '

E a D ipfi A B agatur parallela 4*<T

D E :/per B vero ipfi A D du-camr parallriaBE: eft crgd A . D E Bparallelogrammum:

hprif.34.1 A ^pvndcABipf iDEi&ADipf i cftrflruB. B E ajqualis crit: < fed & AB xqualis eft

ipfi A D . Omncscrgo quatuor B A» A D , D E,B E funt xquales i eft ergo A D E B Xqu.ilaterum.dico qUod & recrangulum. Cum enim recta A D in parallelas A B , D E

ipr»p.*9,t inc',dat, ierunt anguli B A D , A D E x -cptrflrua. qUajc8dUobus rcctis. e redtus autem eft tfr»f.\4.i. B A D : c r S ° & A D E-/p»rallelogrami"

morurn autem fpaciorum anguli &latera» qux cx aduerfo, xqualia funt; erit igitur vterq; A B E, B E D reorus: rectanguium jgitur eft A D E B. Oftenfum autem eft &:

%P/'7* stquilatemm: g ergo eft quadratum; & & rectaABdefcriptum. Quod oportebat facere.

Propoi l t io 4 7 . Theor . 3 4 . ln re&angulistriangulis, quoda latere teclumangulufubtendentedefcribitur quadratum, aquale efl ittis, qua a late-

tibtss recJUm coprehendentibus de-fcribunturquadratis.

Efto

L l B E R I. {,$

ESto trianguium rectangulum A B Q !

rectumhabens B A Q Dicoquadra-tum a latere BC defcriptum, zquale efle quadratis a lateribus B A, A Cdefcriptis.

4 defcribaturare- tfnfyld aisBC,BA, AC

'quadrata BDCE; GBjHQ&pper0/™**''" A,vtriq;BD,CE agatur parallela AL. iunganturq; AD,FC. Etquia

D L E vterque anguloru *» AC,B A G rc&uS eft, funtq; ad punctil Alinex AB duzrectx AC, A G pofitar, facientes anguios deinceps duobus rectis «quales.f erit AGipfi AC in direaum. W J i l « Eandem ob caufam eft A B ipfi A H in di-rectum. Et quia angulus DBC zqualis eft angulo FB A,quod vterquefitrcclus.fi apponatur communis A B C: d erit totus «***• *\ , D B A.totiFBC arqualis. Cumquedus D B, B A.duabusB C.B F zquales finr.al-tcraaitcri,& angulus D B A.angulo F B C aequalis;«erit&bafisA:D,bafiFCzqua- • lis,&triangulumABbitrianguloFBC: epr'p,4iU

/eftque manguli ABD parailelogram- f/r«/.^,a, mumBLduplum/habent eoim eandem

Bafim

*4 n n x i, gt"?*''1 Bafim BD,& funt in ijfdem paralklis BD,

A L.jjTrianguIi vcro FBC duplum eft quadratum GB;habent enimeande ba-fim F B, & funt in ijfdem parallelis F B,

&*#./. GC;6quz autem xqualium funt dupla,x-qualia inter fe funt: parallelogrammum ergo BL xquale eft GB quadrato. Eodem inodo iunctis A E , BK demonftrabitur C L xquale effe quadrato H C: Toturn ergo quadratum D B ECxquale eftduo-bus G B, H Cquadratis: & eft D B E C a BC;ipfavcroGB,HCaBA,AC,de-fcripta: Quadratum ergoaB C defcriptu xquale eft quadratis aBA.AC defcriptis. In reftangulis ergoTriangulis,&c.Quod oportuit demonftrare.

Fropofitio 48. Theor.3 5. Si quadratum ahvnotrianguU latere defcriptum, aqualefuerit quadratis i

reUqnis laterihm de/criptuanguimt areliquis laterihm contentm»

reilmerit.

ESTO quadratu a fatev reBCtrianguliABC

defcriptum, xquale qua-dratis alateribusBA.AC dcfcriptis. Dico angulum

B A C

$&€ tc&ars clfc «sDaeat -r <<-><>ubA *fnf.uiii lâsôlsac* ACslcu ^ -u :o C^ tctlt iUX&nt&ADJpit lBstvp;Cvm>u>«u^ bftf.i.r. quc D C Ct spsu D A, A B ttoo A<> um t„ m-is:C eputburasts <$B \ l t X S u-usu<s-ûlcCJstSvIcatOsbAB Ss\ U| <><*•> ttus. cmnmm\cmi.mmt< u;u A 1B C v ptusssstttsaHigKuqusdrutupCCtD C *<**. A Csegsushi. gu>t4?<sttsip£u umB \ , A i \ SeB gucubuu IpCstam DA« &C<3ecps.Bu font gasus tsto ipBus D C sA-sssgulus caiso Afrjlrt$§^ D A € rt sfias rfb Quudrsstiuusests ipfa-tass AB5 ACposuUuVgaKgtuchscus-u ipSasBC-tpabmncssp spsbmsss 1>C5BC tuut «o-ttaita s «rsgo & litera* Et «s m A D5

ABseâlits fmt, costsm&ms ACugsttsr &u$ DA>ACSdusbusBA5 ACum?se-sa_aales,&oafisDC b;sfrf3C:rcrstesgo&; ~ff--,-'i aogubss D A C aagaio B A C sequuUs; Hs'l %nm D A C ttCtm c ergo & B A C fcs&us

Cth> Ss «rgotjasdraturftj&e. C^ptl oposutk <k«s<m~

sfarcx

£ Eu-

«tct L 1 B E * II. m

.ifVct. •*&»» jf-t -- v-s 'Vv$4*' t^t^h

A&? ** *%*> "*"; %V <* ; ^ ^ "**•*

ELEMENTVNl SECVNDVM.

Definitlones.

t. Omneparallelogrammumrectangu-lum continendicitur aduabus re-ctis lineis angulum rectum com-prehendentibus. Vthtprepofi.pa-raBelogrammum M Heontinetur a U-tteis BC, BG,qu* tmguUm rtibtm Meontinent.

%. Patallelogrammi fpacij vnum eorum, qiue circa diametrum funt paral-lelogramnorum,cumduobus cS-plementis gnomon vocetur. Vt infropof f.figura CBFGHL eon-ttnta paraBelogrammis D LtHF, & ftadratoDC.

' Prt>

. L 1 B E R II. 67

Fropoficio 1. Theor.r. Sifuerintdua reclalinea,quarum aL tera feeeturin quoteunquepartes, re-Hangulum ab ipfis eontentum,aquale

eritrtclangulis abin(ecla,tjrfin* gulisfecla partibus con-

tentis, T> x c ! Clntdaerc^A.BCj,

" Oquarum ECfcsrctur vtcunq; \%\ I>, & IL Ds <• co re«ant>t4ium fiscis a ?7^;A,&B C coiKsntum « quale cC& x?*fimmrU§

• contentis A, B D; & A, !> E; S> A, 11G a Ducatur cnim ex B ipfi ii € aa angaios. a/stf/as, & rectos BF.fiatq; flipfi A araualirBGi&b/n^ J.U e per-G ipfi BC parallela ducatur GH;per cprtf,$uti D, E, C verd ipfi B G parallels ducantur D K,EL, CH. Eftautem BHsqualeipfis B K,DL,E H.Nam B H eft rcftangulun» ipfarumA,BC; Continetur enimipfis B C,B ©i&BGeftipfi A«qualkBlC,eft reetangulum ipfarum A,BD;Continetar enimteais G B,BD: fiquidem GB ipfi A 2qualiseft.DLeftrectangulumipfaruA, DE; nam & DK «qualis eft ipfiA,& fimi-

E » liter

41 l l B S X /1. liter EH eft reeangulum iplarum A,EC. Eft ergo quod A, BC eontinctur arquale illi$,qu«A3D: A,D E ,•& A,ECconti-nentnr. Si ergo fuerint duae re&a?,&c. Quodor^rtuitdemonltrare.

Propoficio %. Tbeor. z. Sire8dtinedjecetur<utcun&,eruntre-

i3dnguU,qud teit&fdrtibus eontu nentur, dqudtidquddrdto,quod

fita totu. CB T<* edtaABfeceturvtcun-

"~— JSqueinC. Dicorectan--^, gulaipus A B, AC, & A B,

B C contenta, equalia elTe, •.ttt.4** jTnrfe q^»w*Pf AB.-pcfcri-

batur fuper A B quadratum ABDEj&ducaturperCad vtramq; A D,

ujraf.t.t. B E parallela C F. t aquale ergo eft A E ipfiVA F,C E. Eft autem A E quadratum ipfius A B, rectangulum ipurfi B A, A C cft A F; Continetur enim ipfis A D, A C; & eft A D ipfi AB xqualis. C E cotinetur. AB,BC,Eft autem BE equalis ipfi AB:Er-go quar. AB, AC * & AB, C B continentur «qualiafuntquadratoipfiusAB. Siergo remlinea|& tcbat.

Pro-

I 1 » S R 1L «To Propofitio 3.Thcor. 3.

Sirecla Uneavtcuna^fecetur t erit re-Bangulum totJ, & vna parte conten-tumtduuale recJangulopartibuscon-

tentot&quadratoadicla parte defcripto,

"D EftaABfit vt-•*- -cunq; fccta in C. Dico rectangulu AB,

_J B C contentumjzqna-* •&** Icefle, &rectangulo

A C,C B; & quadrato B C cotento.* De- %prtf.atA fcribatur enim a BC quadratum C D B E, producaturque EDinF; & 0pcr A vrri- h fr0f.grj quc C D, B E parallela ducatur, A F: e Er- W *» go AE zquale efl, ipfis A D, C E. Eflque AErectangulum ipfis A B,BC conten-tum j continetur enim ipfis A B, B E, & d eft B E ipfi B C zqualis. A D vcro cft re- d def.tr, /. ctangulum ipfarum AC, CBj ett enim D C lpfi C B zqualis. D B,deniq; efl qua-dratum ipfiusCB.Re&anguIuergo AB, B C contentum,zquale eft A C, C B con-tento,vna cum quad rato ipfius C B. Si cr-

go rccta li nea,&c. Quod demon-ftrareoportuit.

"E'| Prc-

7© l t B E K 11.

Propofitio4.Theor.4J

Si recla linca vtcanfafecetar, quadrx-tam totiut xquxlc erit ejrpartiam qaa-

drxtu,&retlxngul*bispxrti-bnscontento.

R Ecta AB fecctur vtcunque in C. Di-co, quadratum ipfius A B aequale effe

quadratis ipfarum AC,CB; & re&angulo cfrof.^t.i. bis A C, C B contento. a Conftituatur e-

nim fuper A B quadratum A D E B, du-bfyt/. jt.r. caturqueBD;ac bperC vtrique A D,E B

ducatur parallela C Fj per G vero vtrique cferftma. A B,DE parallela H K.Et e quia C F, A O Xfref.if.t parailelx funtin ipfafq;inciditBD,derit

externus angulus B G C aequalis interno tfr»f.f.\, j^ ^ &oppofito A D B : e fed

* ~P>) ADBcftarqualisipfiCBD; f i / T j «,uod& '«"s B A lateri A D I / | I at arquale ; erit igitur & li ™ " T F C G B angulus , squalis

tfr»f.e.it * * GBCangulo./Chjare6c SfMfii' r- latiis B C lateri C G arquale erit: g fed. &

C B ipfi G K,& C G ipfl K B eft xquale;e-rit ergo & G K ipfi K B xquale; arquilate-rumergoeftCGKB. Dicoquod&re-(ftangulum, Cum enim CG,B K parallelas

fint.

ii B i * n. 71 _ fintdn ipfafque incidat C Bjerunt b angu- hfref.i9.1l liKBGGCBaqualesduobus rectis:*re.- idef''* « ctusautemeftKBC>ergo&GCBre6Vus crititQuare &qui ex aduerfo CGK,GKB k**s>j*tij recti eruntj recrangulu igitur eftCGKB. Demonftratum autem eft, quod& xqui-laterum :quadratum /ergo eftj&efta CB l ^ * » ! defcriptum. Eandem 06 caufam & H F quadratum eft; & eft ab H G defcriptum, hoceft.ab A GSunt crgo quadrata H F, CKabipfisAC,CBdelcripta.EtquiaAG ipfi GE m gquale eft.eftq; AG g» A C,C B cotinetur;funtn,GC, CBa>qualesjerit& **W*W GE f quale AC,CB contento. Ergo A G»u

GEequalia funt bisAC,CB cStento.Sunt autem & H F,C K quadrata ipfarum A C» BC: quatuor ergo H F, C K, A G, G E a> qualia funt, & quadratis ipfarum AC,GB; & reftangulo bis A C, C B contento.Sed HF, CK, AG.GEconftituunttotum A D E B, quod eft quadratum ipfius A B. Quadratum ergo ipfius A B sequale eft quadratis ipfaruro AC, CB,& rectangulo.

bis A C,C B contento.|Si ergo, &c, Quod demonftrare p-

portuit.

> I 4 Ati*

7» L I B e R u. AlUdtmonflrstio.

DIco qnadratum ipfius AB zqualeef-fe quadratis partidm A C, C B,& re-

ctangulo bis AC.CB contento. In eadem tpTip. /»i. figura,camBA,A D fintzquales,*ierunc bprtp,/t.i & anguli ABD,A D B zquales. Ett cam

omms trianguli tres anguli equales fint duobus recxis; erunt & trianguliABD tres A B D, A D B,B A D zquafesduobus

tptrflwa. KQtiu r & eft B A D reftus: ergo refiqui , - ABD,ADBvnitret5tozquaIes,cumque A7ert9.i. fintsqualcs, erit vterq; femirectus. dtf>

" * ctus aute eft B C G, eft namq; zqualis an-gulooppofito ad A; reliquus ergoCGB

fprtp.jt, t. fcmirectuseft:/igitur zqualesfuat CGB, %prop.f.i. CBG:jjquare&bteraBC,CGzqualia bprepjs.1. erunt:»jfedCBsqualeeftipfiKG,& CG ^^•ipfiBKiergoCKeftitquibteruiscumq;

habeat angulu C B K rectu: quadratu eric CK,& quidem,quod fit ex C B.jEande ob> caufam quadratu eft F H,eftq; zquale illi, quodfitexAC:funtergoCK,HF qua-drata;zqualiaq, quadratis ipfarum AC,

xprtp.+j.\ C B. Et k cura A G, E G zqualia finr, fitque A G id, quod AC,C B continetur, funtenimCG, CBzquales: ergoEG zquale eftcontento AC, C B : igitur A G, G E zqualb funt bis A C, C B

con-

L I B E R II. f j contento. Sunt ver6 & C K, H F cqualia

?uadratisipfarumAC,CB: ErgoCK, l F, A C , G E sequalia funt quadratis i-

pfarum A C,C B; & bis A C,C B contcn-tO!fedCK,HF,AG,GEtotum A Econ-ftituunt, quodeftipfius A Bquadratum. Ergo quadratu ipfius A B asquale eft qua-dratis ipfarum A C,C B,& rcctangulo bis ACCBcontento. Quodoportuitdc-tnonftrare,

Corollarium. Ex his raanifefturn eft in quadratis fpa-

ciisillaquc circa diametrum iunt, qua-drataeue.

Propofi f .Theor. ; , Sire&alinea/ecctu$\inaqualia, tjri» inaqualia, eritrecJangulum inaquali-bustotiuf partibus eontetumvna cum

jquadrato linea, quainterficlionesin-teriicituraquaieei,qu6dadimi-

diafitquadrate.

REcta A B 4 fecetur in arqualia ad C;in opnp.u«u inarqualiaadD.DicocontentuAD, '

D B rectangulum cum quadrato quod ex ' €D,gquale efle quadrato ipfiusCB,0 De-icribaturcnimfuperBCquadratuCEFB; bpnp.af.t

E 5 &

74 I I I I I n *tr»p.4«.\ ocducaturBE;r atq;perDvtriq;CE»BF

' ducaturparallelaDG:perHverbvtriq; CB.EFparaUelaKO. Rurfuiqueper A vtriq; C L,BO parailela AK;& cum com-

ifrtp.jj.t ptementa C H,H F dzqualia fint,fi adda-tur cofnmune D O; erit totum C O, toti D F f quale.Sed C O e. quale eft A L;quod

&ACipfiCBfit

t C D 7}

B n F

«qualis:eritigi-tur & A L ipil D F «qualc: fi addatur comu-neCH,eritAH

ipfis D F, D Lzquale: fed A H, conrento e c»rcB. 4. A r)>D B cft xc^^ e eft «lim & D H ipll prof.». D g gqUaii$!pD, DL autem funtgnoraon ttx.t. MNX:/ergognomoDMNXcft«qua-

lis A D, D B contento,SiL G commune» quod eft «quale quadrato ex C D , adda-tur:crunt M N Xghomon, & LG «qua-liacontentoA D,DB,&iliiquodexCD fit quadrato.Sed gnomon M N X, & L G totum C E F B quadratum ,quod eft qua-dratum ex C B:ergo A D, D B contetumm cutn quadrato quod fit ex C D,«quaie eft

quadratoipfiusCBSiergorectalinea (ctteijr,&c.OAiod oportuide-

mpnftrare, Fro

L l B E H 11. 7J Propo£tf.Theor.6\

Sireftalineabifecetur,eijjndireftum quadamreftaadiiciatur,eritreftan-gulum, ouodfitex'tota ctmpofita, & adiefta,vna cum quadratodimidia, *-

qualequadratoquodfitexdimidta , &adiefta.

REcta A B bifecetur in C, adiiciaturq; ei quedam B D in directum.Dico re-

ctangulurn A D , D B contcntum, cum quadrato reorz C B.squale efie quadrato quodfitexCD. 4 Defcribaturenimfii- •*'*•*'•* per C D quadratum C E F D; ducaturq;

A C B TJ DE.& b perBqui- b/w/jrt, I f X f ^ l serovtr'q» ,Ef-' ,*'''rl

^ jj—•j yRjj) paralleladucat BGJ JT\ / < r Per H v e r o vtriquc 6 IX I I AD.EFparallela

E & "F KM. ItemperA?-triq; C L, D M parallela A K. Cum igitur ACsequalis fit rec\zCB;erit&AL z-qualc ipfiCH j fedCH e zquale eft ipfi tpnp.atA HFiergo&ALjequaleeftipfiHF.Com- ' ' muneaddatur CMrdtotu ergo A M gno- d «*, t, moni N XO erit xquale:fed AM eft quod conunetur AD,DB(eft * enim D Mz- tdtfsjs

qua-

•j6 L I $ E 9. II. qualis ipfi D B):&gnomon N X O zqua-tis eft A D,D B contento. Communead-daturLG, quodeftzqualequadratore-ctzCB:ergocontenturn A D,D B, cum q uadrato i pfius B C, zquale eft gnomoni NXO.& L G,Sed gnernon NXO.&LG funt quadtatum C £ F D, quod eft qua-dratum ipfius C D: ergo quod A D , DB c6ttnetur,cu quadrato ipfius B Czquale eftipfius CD quadrato. Siergorecea li-nea,&c. Quodoportuitdemonftrare.

PropoC7.Theor.7. Sireftalinea fecetur vtcumque, quod atota,quod^abvnapartiumfi,vtra~ quequadrata ,aqualia/unt ei, quodbie

atota (JrdtflapartejitrecJangu-lo,vnacumalterUupartu

quadrato. c _ T"> Ecta AB feceturvt-

——-4? JN.cumqueinC.Dico) ) F quadrata > quz ex A B»

C B fiunt,;qualia effe bis AB, BCcontento, &

J) Jr H quadrato quod fit ex aprtf.4t.t A C. * Deferibatur enirri fuper A B qua-* «* mfTM- dratuta A D E B, & figura * coaftruatur. ttdtmttbut. p -

L I B E Jt 11. 77 £t quia A G,G Eejqualia funt.fi commu-ne C F addatur,erunttota AF, CExqua-lia: vtraqrcrgo AF, C Eduplafumipfius A F: fed A F, C E funt gnomon K L M & C F quadratum: gnomon ergoK L M, &c C F dupla funt ipuus A F. Eft vero eiuf-detn A Fduplum bis AB, BCcontetum; & funt enim, B F, B Cxquales. Gnomon bdtf.j?. ergo K L M,& C F xquamur bis A B,B C contento.Commune addatur D G.quod eft quadratu ex ACrgnomon ergo KLM, &quadrata BG.GDxquanturbis AB, B C contento, & quadrato quod ex A C. Scd gnomod KLM.& quadrata BG.GD funt totum A D E B, & C F, qux funt ex AB,B C quadrata.Quadrata ergo ex AB, "BCxquanturbisAB, BCcontento, & quadrato ex A C:fi ergo, recta linea, &c. Qupd oportuit demonftrare.

Propof.S.Thcor.8. Si retfa Uneafecetur vtcumq^reBan-gulum quater totd, & vna parte con-tentum, cum quadrato alterittspartu,

aauale eB quadrato a tota&dtcla partejanquam ab vna linea

defcripto. R.efta

78 I I « B I If. T> TL&.3. h B fit fe<D ncttraque in C.Dr-* * reotaogubso quater AB,BC con» u rttutn, eu cn co, quo a fit ex A C quadra-?o «qualc effe quadrato, quod fit ex A B* U Ctarjquatn es yualinea.Produca.ture-mat A B tndirorlutn, & fit B D asquaBs

* ^ . # s , t G B *, &«s fttpes A D conftttuatur quadra-taru A E F D,&d«.ph figura conftruatur* Quia tgitut C B ipfis B D; G K; B D vero

,.K c „& p iffiKN atquaUseftije-•«.*' ."' V i \<4j- i"aat*{ G K,KNatqua-O • T-: V | Ies.Ob candcm caufans» •^ i V j j p^ r ruu tPR .ROasqn»-

"'-T ~'i 8 i ier< Cumque tam B CV T; H""L"""J' BDjquamGK.KNse-

qnalcs fint; i emt etiam %^*f.i$.t t smCS.K D;quamGR.,RN«quaIiat

kti C S , E , N f ittm squaiia ( funt cnira «AAMi ~ eorapieraeritaparalieiogrammi CO) igi-

tur & K D, G R. seq ualia erunt. Quatuor ergoDKsCK,GR,E.Nequaliafunt:qua-rnorctfotliafurtt q«adruplictaipfi*CK. Rur&scoraCBipSHD;BD dipfiBK»

tUmL+M. hoc cft ,ipfi C Gj & C B ipfi G K, hoc efl, 0def.i7. ipfiG P arquaUs fit, eritCG ipfiGPar-

qualis. EtcuraCGipfiGP; &PRipfi ROarqualisfit;ertt& AGipfiMP;&PL

tfr*f.ff.t ipfi R F aquale. Sed M P,P L funt e atqua-lia,

L I B E R ll. 79

th mstf pr ptrsHrlo-<nmnH AC cmN-pk~ muoa,tuvmt A; A <k R r&muiu* vckv *-tttor « p At ,\M P.rCK. Fftm tsuvcolo;

H N^YUotCHtptavUmplujitcrpoodo II pwgvotoooc^ rYcomlovtvt» udtvsCtt fuor spmvs AK- A; cum Ak rontuvto Ai% Bi> h; couAw ? J mvtvt BkuphBD e<jtu~ W ; I t c-uatcr AB > H l>co?Acuttm?||utt~ xUopium tptlus \B,od<m£<vsc§4«tcm& gmmtvdC S <jUWttjpirv«j>«»A CQucd ot-oiputtcc^^H.BDcootmorarp^ttoiudl; |motvtomS rY*Commu»uad<lWrXiI | q vtod xqvttie cf I qusdrsio cx ACX^uatcte m gA \ B !> ttusvlmtum> qo.otki! quadmtumvA A D;u£v>c<y&tu A BsBf> vvvmtctttttmrcdvtvgvksvt s cttm quavksto «\ AC> ftft ts\fU3i« <Ht, quod ftr «\ A D v|umlmto > la« ?8 * vpod 8« <n A B > B C

toa tqtum s% v o tv Imctts Si crm> t\ Cf4 C sevtjf vAu Ctiodopottttkdc-

momiouu

* * >

«S t l l l l i i . Propofp.Theor.p.

Sire&eUne*[ecet»rin4tqueU*,&non nqueUu > quedretefertiuinequeUum dufUfunt,&emquodfite dimidie,&

emquodfit*Une*,queinter[e-iJionefintercifiturque-

drati.

S&eturrectaABin CaqusJiter, inD

inequaliter.Dico qua drata ex A D,D B du>

pla efle. eoram, qiissex ACCDfiunt, «DucaturexCipGABadangulosreaos

Mfrtf.UA. £Qqua,fitvtrlqueAC,CBxqualis>da-canturque E A,EB. Atque per D ipfi E|C agatur parallela DF: perFvero ipfi AB) parallcla FG iungaturque AF. Etquia

hfrtf.f.t. AC>CE*quaIttfiint; bcrunt&anguii E A Q A E C«qualcs.Et cutn angulus ad

Mfrif.nA. Crectusfit;ceruntreliquiAEC,EAC vni recto {quaIes,ideoqucfemireeli.Ean-dem ob caufiun C E B, E B C femirecH e-runt: vndetotus A E B rectus erit. Cum-

ifrif.tt. i due G £ F femirectus fit; i rectus E G F (eft eaim interno & oppofito E C B a>

trtf.Mi.t. yuM*) n e"V' refiquus E F G femirectus: Ergcj

i J B * jt li. ii EigoCsEF$jrlsEFCvl!xs>sialA:cqiirrsj

e,n»,<l.i# AVbtysEGIocsTi F C «s\idc£iis, slssr.. '* fsss csstn itigtsB ssti B femss cs Ds llt ; tvdtu F D B ( clilsisoixsnsdA ms<<rsso& stf t>s> ffnf-*'* fsto L C H)< rst rdsqaa» BFsD icms rcsktis, Eftsrqoassgisstst id B xqmriis: DFBirs-gulo / C<\uasre & Lsttss B> krvri DD eqtn ic 8W'•«* c6. ont; Etsoist A C,€E a?^«aics firstjmmt & spsjsitsssa css A C,C C s/sj ia3ia,do»Ls cr- , goisssitqusdratoc\ AC; j sqadcautttm *^*M7i' diqtiadum ex A € , C L qusdutijto cx E<A(i3Jiti <is;gsii,ss ACE rcvtstuB) dimL t\tr <|tsos! cs L A dtiplsi cssiiq iioti cx A C, Rsirhis esios E, C!, G F xqnals t im;t STSSSSC & qagHx E Ci,G FqsuJi 3t-sxqss-iiia;s!si~ p!<s cs go fti ssr, doit spssivi lli cs G F, Er />x - *f»fif7»t s.|sss!iaiis.sss qssov! e\ L i*; c\»u qssoii s\< I; F dtspiiSisi < j | sT.iMjtsuJ „\ t. IF qu ss:u.d C iisist .ssitcssi G F,C1) v\|suL .vLvgo qtsod s5i;LEvSS!piusissL|v'stit<VMv!,\iv>.CD, Esi stsistvissi A:qas>si<;< A EchipimsitH-smssod <;\ AC,-crgoqi53si;3vSvS sjt; T C \ & E,F„F <$n» |d,irssotrosmssa>sjsscc\ACsCD.tv>ssa,I;a s . dntn<JSitcisi sx AE.F" F.* xqtnsk eft<|uod. &**** cst Ai (.iicussiSviiigssim ALFrcctsuVr-go qund c\ A F sjv,- Svl;jttms dujdtsm «1 g,otii*ii,quseex A C , € D;siatsrcm, quosl tcx A F I xtjsida isssst sjtix s\ A$, D i \frn.f7&,

F ,N fiua&

t* l I B E R II. fiunt(nam angulus ad D rectut efVjigttur quzex A D, D Fduplafunteorum,qus ex A C, C D quadratorum ( funt autem D F, D B zqualcs) ergo quz ex A D, D B quadrata, dupla funt eorum, quz ex A C» C D.Si ergo recta linea,&c. Quod opor-tuitdemorjftrare.

Propoi? i o.Thcor. i o. Sirefta linea bifecetur, eia\ in rcttum quadam alia adiicUtur\quaa tota cum adiecla, &abadiec7afiunt quadrata,

. dupla eruntquadratorum, quafiunt x dimidia, &a\Uompofitaexdimu

dia&adiecJa.

REcta AB bifeceturinCadiiciaturq; ei in rcctum B D. Dico quadrata quas

ex AD,DB duplaeffeeorum,quzex AC» a frtf.iut. C D.a Ducatur cnim ex C ipfi A B ad an-bfrtf.t.i. g u{ o s rc0 tos c E. * fitq. C £ ipfij,AC,CB

g F zqualis; & iun-tfrtf.ji.i. A \ 1 0 I g»nturAE,EB.

- arq; e per E ipfi fi ADagatur pa-* g> tallekEF.PerD

>'\ . '* • • Vef 6 ipfi C E pa-rallelaDFi&cuminparaUcJasEC, FO

inci-

t i 6 i* a i i • $}

incidat E F, </ erunt anguli C E F, E F D dpr*f.*p.t aequales duobus rectis: vnde F E B, E F D duobus recris minores erunr. > t Qua? au-« «r.i*. cero a rainqribus qua fintduo rectipro-ducunturre&atlineae, concurruot: ergo EJB,F D ad partes B,D productf concur-rent: concurrant in G,iungaturbue A G. Et quia A C, C Exquales funt,/erunt& fpnp.t.tl anguli A E C, E A C asquales \g & eftan- &**&**• gulus ad C rectustergo E A C, A E C funt icmirecti.Eandem ob caufamCEB,EBC lernirecti iiint: ergo AEB rectus efticum-. dueEBCfitfemire^ iemireausceftverbBDGrcaros;*'a?qua.^r^ lisenim eft angulo D C E , quodfint al-terniireliquusergoD GBfemirectus efti quareanguli D G B,D B G acquales funtj k eruntigitur & latera B D , GD acqualia. prtf. i.ti Rurfus cura E G F femircctus fit: /rectus 1 &?>$*** quiad F(eftenimad Coppoficoacqualis) erit & FEG femirecxustfuntigitur EGF, F E G a-quales, m Quare& latera G F , m /»¥•*•»-£ F aequalia erunt. Cum ergo E C, C A «equalesfint; erit&quodexECquadra-tum, acquaieei, quod ex A C: Quadrata ergoquacexEC, C A , duplafuhteius, quod fit ex C A: illis autem, qUae ex C E» C A, n aequale eft quod ex E A • ergo quod nftfffrt

S47 n n j t n . cx EA duplum eft cius quod ex AGKar-fascam G F , EF fintxquaies, eruiit& qux ex F G, F E quadrata xqualia. Srint ergo quxex F G» F E depla eius, quod ex

i$t"t+7'' E RuUx autem, qux ex G F, F E * xqaale eft quod ex EG: ergo quod eat E G do-plumefteius, quodex EF,funtautem E F, C D xqaales: ergo quod ex EG du-plum eft eius quod ex C D : oftenfum eft autemidj quodex EA duplumefteeius

3uod eX A C: quxergo ex A E, E G qua-maduplafuoeeJKtri A C,C D :

p>r»/>.f 7.t illisautemqaXsetAE, EG/* xquale eft qUodexAG*ergoquodex AGduplum eft eoram»oux ex A C, CD: ei autem

W ^ ' » quod et A G , q xqualia funt, qux ex A D , D G: ergo qux ex A D, D G qua-drata dupta funt eorum,qug ex A C,C D , xquales autem funt D G, D B: ergo quae A D , DB qaadrata, dupla funteoruro,

qux ex A C,C D. Si ergo recta Iinea bifecetur,&c. Qupdoportuit

dcmonftrare.

Pro-

£ 1 1 1 1 II. S« Propof.u.ProbLr.

Datamreftam/ecare,vtquodtota, ry vnaparte continetur reclangnlum,

nquaUfitquadratoquodfitex reliquapcrte,

Sft data recea AB.quam oporteatita fecare, vt quod ex tota & vna partium

fit rectangulum, zquale fit ei, quod ex al-terapartefitquadrato. a Defcribeturex opnt-aci ABquadratumABCD,&JbifecaturACb'r''M'^ in Ejiungaturq; BE.producatnr CA in F,

fitq;EF e_qualisre6t_BE. eprop.o.t dcoftituaturfuper AF qua- ifrop.+ejt dratum FH, cVproducatur GH in K. Dico rectam A B in Hfectam cfTe.vt AB.BH contentum rectangulum,

c K U fqualefitei.quodexAHfit quadrato. Cqm enim recta AC bifecta fit in E, eicjue adiecta. in dire&um A F; e erit tfuf.Ca. C F , FAcontentura, cumeoquodfitex A E,f quale illi quodfit exEF.funt autem EF,EB f quales:ergoCF,FA contentum, cu eo quod fit ex A E; arquale eft ilIi;quod ex E B quadrato: fed ei, quod ex E B/"ar- £pr,p,+7a, qualiaiunt,quatex B A,A Eqnadratafre-A%us enim eft angulus ad A ) ergoquod

F 3 CF,

J\

F fj

H

JJ

B S

U l I B E H It C F,F A continetur.cum illo quod ex A E quadrato,f quale eft illis.q cxB A.AE qua,-dratis; Commune quod cx AE auferatur; reliquum ergo,quod CF,F A contiqetur» arquale eft ei, quod ex A B quadrato. Eft

p-Vt'7' „ ^ u s t i f K l \contexum, T *» ipH ,r V K (g nam A F,F G ! \ „ kwAqnaL^Qjodautera

4 J\ > l.tcxAB,trlADquadra-! ' j | um;c.gorK»Al>funta?-<,* j , >-.> la.CommmitcAKau-'

' rrrarut t etutttquc rcbqua C *». & f H J l D ^ p u i u . Eftau-

kdrAV» it-11Dqoe-d AB,RtlcoiKincrorfc(fune eoar» Al\,R l>crqvs dr- )F ^ ^uic eft quodl £it ex A H qusiratu.L'goquoJ A B,BH contsuetorfolttnguLm.sequaiecftqua-dratoquodea. A H: r»&a ergo ABfcfta rflial T>vt quod AR,8Rcontiaetur re&« «ttgulu srquale tit ti, qsiod ex A H ftr qua-tUato, Qn>odfaccrcoportcbar.

Propof, i * .Thcor. 11, JntrUngutisobtufingulu quadratum ejuodfit a latereangulum obtufumfub-tendentetmaius esJquadratu laterum obtufumeontinentium^reclangulobu (ontenfo &ab vno latere obtufum ten-

tinen*

tinentbtin quedproduftumperpendi-enlarueadit,&aUneaextermaffum-

pta kperpenateulari adangulum ohtujum*

Slt triangulum obtufangulum A B Gt ohtufum angulum habfs B AG* Du? »/**/•»•"

catur ex B ad C A productam perpendi-cuUrisBD. DicoquadratumexBCma»

•B iuseffe eis, qujeex BA( >5*j AC,rectangulohisCA(

> f / I ADconteto. Cum enim /**' «p reda CD feaafitvtcu-^

*** «A que in A; l erit quod ex •>•»/•**•* D Ca»qualeillis,qux ex CA, AD quadra-tis; & ei, quod bis C A, A D continetur. Commuoeaddatur,.quodexDB. Ergo qux ex C D, D Bxqualia funt illis»qux ex C A, A D, D B.quadraris; & illi, quod bis G A, A D continetunfed illis,qu^ ex CD, DB,quadrati,s,<,equaleeftquodexCB(eft cfref.ai\ enim aogulro ad I* rectusjillis autem.quej &• ex AD.DBdaquale eft.quodex ABqua- &fref.+jj dratum. Qupd igitur ex C Bxquale eft il-lis, qux cx C A, A B quadratis, & redtan-gulo bis C A, A D contenro.In triangulis

crgo obtufangulis.&c.Qupd oportuit. dempnftrare.

F 4 Pro-

Bf/j £' I X I X ! U Propofi^.Thror.it,

Jn actttangulu triangulis quadratum lateris acutum angulum fuhtendentu minuseBquadratis actttum eontinen-

atibus retJangulo bis contento, & abv-nolatere acutumcontinente,inquod ferpendicularucaditffjralineakper-

pendicukrtintu*affumptaadan-gulumacutum,

Slt acutangutum triangulum ABC.ha-„r,v...... besacutuB;*duCaturabAinBCper-

oendjcularisAD. D i -c.o qua dratU quod fie cx A C minusefieillis quae fiunt ex C B,B A, rec5angutobisCB,|B P coBtento.Cu enitn

V '•'*" reaaCBfcftafitvt-%prtp-, cumq;inD;$eruntqua?exCB,BDqua-

drata squalia bjs CB,BD contento,& illi quodexDCquadrato.Communeadda-tur.quod ex A D: Ergo que ext C B,B D , D A quadrata, aequalia funt bis C B, B D contento, &quadratis qua: ex A D, DC, Sed illis, quas ex B D,D A, quale efi quod ex A B( eft einm angulus ad D'reccus)

illis

LtBEKir. | « illis verb qu? ex AD.D Cequale eft quod ex AC, Ergoqu$exCB,BA,xqualiafunt & illi quod ex A C quadrato; & illi quod -bi? C B, B D continetur. Quare quod ex ACquadratum minus eft illis,qux ex CB, B A quadratis, re&angulo bis BC, B D Contento. In trianeulis ergo acutangulis, &c.C^oddempnftrareoportuit,

Propoficio i4.ProbI.2.

X>ato recTtlineo aquale quadratum fonftituercj.

ESTO rectilineum A.cui oporteat x-qualequadratumconftituere. «Fiat a*np.^f.s

rectilineo A xquale parajlelogrammum rectangulum B D. Si igitur B E, E D fue-

- rint xquales.faeturq eftquqd petitur; erit eniin rectilineo Axquale quadratu BD.

Si non j erit vna-ipfarum BE, E D maior v Sit ma-ior BE,que produ-

* catur in F,v fiatque b/r*/. j . ti FE,ipf»EDxqua-

lis, ebifeceturque FBinG.&centroG, eW-»M» interuallo G B, aut G Fdefcribaturfemi-circulus B H F, & producatur D E in H,

F 5 dq-

oo r I B 1 R II. ducaturque G H. Cum itaque recta BF fccta fit zqualiter in G,inzqualiter in E;

Ifrtf.r.*, ^erit quod B E, EFcontinetur, cumeo quod ez E G quadrato, atquale ei quod e* G F quadrato. Sunt autem G F, G Hae-quales. Qubd ergoBE, EF continetor cum eo quod ez G E,zquale eft illi, quod

*t»t"*7- exGH;illivcrb quod ez GH,ezqualia funt quz ez H E,GE quadrata:ergo quod B E, EF continerur.cum eo quod exGE, zqu.alecft:llis?quzexHE, GE:Com-mune auteratur,quod ez G E; & erit reli-quum,quodBE,EFcontinetur, zquale ei.quod ez E H quadrato: fed quod B E, E F conunetur eft ipfum B D, fiquidem E F, E D funt zqtiales: parallelogrammu ergo B D zquale eft ei quod ez H E qua*-drato: Eft autem B D zquale rectilineo A: crgo recfilineum A zquale eft quadra,-to ex E H deicripto. Dato ergo rectilineo

A,xquaie quadratum conftituimus, id nimirum quod ex E H,

Quodfacereo-portuit,

: ««K(o)a©»

LII. III.

L I B E R 1U. Jl #<• »•&%« #. £•&"<, s-S, vfi£* jjf. f"* - "% «&v-

/*-Ll. JV «*Sl_ J-XA .-_•_ """..-J». _uu.. S.A- -. ,A •_ "• -- ._._-__—_ -_•__.

ELEMEN-TVM TERTL

VMEVCU-D I S,

Dcfinitioncs. I. j_Equales ctrculi funt, quorum d.ame-

tri funt xquales; vel quorum qu» ex centrisfuntzquales.

i . P>ecta Iinca circulum tangeredicirur, quas contingens circnlum, & pro-duota ipfum non fecat. infigurro Proptfi 16. tinea A £ tangit cirtHtitnu, ABC. IniS.&io.DBtangitcirCH-titnt ABC.

j . Circuli fe cangere dicuntur,qui feipfoa contingentes, fe ipfbs non fecanr, Circuliji eontinguntaut interint, ta) propofi6,circHtiA BC,DE Ciantex-terim, vtprobofi /*. circuli BAC„ -0-4-*.

4'lQ

,JU) LIBER III. 4, In circulq zqualiter a centro diftara

dicuntur|re&z line*, cum acentro ad ipfas perpepdiculares ductz z -quales fuerint. Vt propof. 14. linctt AB,CD acentroE, aquaiiterAiftant quoiEF.EGfintaquaUs.

5. Magis diflare dicitur, in quam maior pcrpendiculariscadit.

o\ Pordo circuli, cft figura quz recta li-nea&circulicirciirnfcreatia conti-petur. Vtinvrimapropofijuntportio* ntStACB,AEB.

7, Pordonis angulus cft, qui recta linea» & circuli circumferenda contine-tur. Vtinvrima propof. funtanguli CAB.EAB, recla A B, &peripheriis CAjEAcontenti.

t, In pqrtionc angulus eft, eum in cir-cumferepti^ portionis acceptum punctum fuerit, & ab ipfo ad termi-nosref5zlinea:,quceftbafispordo-nis, iungupturreelz, angulus in-quamhisrectiscontentus, Vtinz6. propof.angulut EBF efiinportionct EDF.

9. Quando vero linez angnlum cond-nentes,aiTumunt peripheriam.in illa infiftere anguius dicitur, Vtin

pro~

t t B E R Ht. ff propofz7. angulu» E D EinpJUt pcri-pheriteEE.

10. Sector circuli eft, quartelo angutus act centrum circuli conftiterit» figura contenta rectis lirteis angulucn c6-prehendentibus, & peripheria ab ipfisaflumpta. Vt tripropof Z7.fecl»r iieituffiguraEHt.

li. Similes citculi portidnesfunt,que; ca* piunt squales artguloS, aut in qui-busanguli xquales confiftunt,

Yt opoit tio i . Probl. t *

VatieireulieentrummuemrCJ.

EStodatuscircu-lusASCcuius

cctrum inuenire o-portcat. Ducatur quxdam recta linea AB vtcunque, *bl* a»«#t».r feceturque irt D ; at-que per D ipfi AB ad h angulos redtos bprofjt.x

. 6^PtutDC'<(iUXctofimU. prouacatur in £,& dbifecetur CE in¥. d/rof.io,i Dico F centrum efle citculi ABC. Si non; fit,ftficri poteft,G»ducanturque GA,

GD,

»4 h i a E k iik GD,GB;cVcum AD, DB(>quaIesl1nt»

kfttf.t.i.communis DG; eeruntduxAD,DG, duabus G D , D B xqualcs, altera alteri,

ffr*f,l,i.f & bafis G A xqualis bafi G B ; funt cnim ex centro^ C : g ergo & anguli A D G,G D B xquales erunt: Cum au-tem recta fupcr rectam confiflensangu-los deiricepsxquales fecerit, rectus erit Tterque anguloru: rectus ergo eilG D B; fed & F D B rectus eft; eft ergo angulus» F D Bxqualis angulo G D B, maior mi-nori,quodfieri nequit. Non ergo G cen-trurn eft. Similiter oftendemus quod pre,-ter F nuflum aliud: F ergo centrum eft* Cxupdinueoire oportuiu

CoroUarmm. •' Ex his manifeftum eft, fi in circulo n> Ctaquzdam rectam quandam bifariam, cVad angulos rectosiecet,infccantec*:n-trumcircnliefle»

Prscpoiitioz.Theor. i . SiincircuU ferifherU duopun&a ot*

cifiantur,reclaiSaeoniungens intracirculutncoiet,

ESto circulus ABC,&ineius periphe-ria accipiantur quxcunque duo puo»

'<fta A,B. Dico rectam, qux cx A in B dr> . ' " (riwir

IIBEK 111. 95 citurintracirculum cadere. Si non :Ca-sht»itftetipotdLexsrs?vr. A E Bs & a<ci~ piittirceolfumekcisli A BCS ouodij; D*. iiuigiimrsrqtig X> i l , D B , & ptoducatar

D F ! j t E . % h D A mqmm sdhptj DB; S dgf ffi

b c-rk & 3smuL;<b/»<?pjn, DAE3;mdoUB£ s;t|U3li5:'s;umqjtf;-

/ aamjljDAEvojsm t <?

N . btus A £ ptoJs6ta &\>c\PyS iitio B,* * itangu- . l t f ^

\ . f^/ lac DbBmdorsst-J& g?4o D A F.j3?;pjdcs

funt autrtis anguli X> A E , D S Es maior ergo eft D £ B «3-gsslus quam D B £ ; */ m;uorancem ;?ugjs- d/ro.ssu lis.usaius iaras. fabtasdit j rojstus etgoeit D Bl&uss<ruam D Lj*rat D B ipfs D V $0 e -\/U/« «jjuaic eftc mdiu ergo <H D F, crtusr» D E» jmssior mdorejqaodfitrs a«u.«itt Nors er~ ^oqate esc AmBdtteitue rxtts drc«lut» oatr . Ssmi1it.-r oflendcmus qtmri necm ~

igSaro peripUerHuo; &s<k-t ergomra* Siergo m cit<«lm ckc, Quovi

oportuitdemon-ftrare,

j Pro*

ii t i B IK ni. Propofitio 3.Thcor. 2.

ii in eireulo refta quadam linea per eentrumduelAireclinonpercentrum duffam bifeeet% & ad angulos reelos

ipfamfecahit: EtfidddngUlosre-cJos ipfamfeeetjbifariam

quofrfecabit.

ESto eirculus ABC,&re6ra quzdara C D per centrurn, rectam quandam

AB non per cehtrum duetam bifecetin F.Dicoquod & ad angulctsrectosjpiam Jecct.AccipiaturenimccntrumE,ducan-turque £ A,E B. Cumque A F,F B xqua-les fint.communis FE; eruhtduz A F,

' F E duabus FB, FE,ajquales bafifque EA, OfMf.htt bafi £B: «tfergo & angulus A F E angulo

BFE «qualiserit. Cum autem recta fu-C per rectaconfifiens

angulosdeincepsjt qualesfecerit,0re» ctuseritvterquez-qualiumanguloru: vterque ergoAFE» BFErectuseritter-

p ^ goCDpercentrum ductabifecaK AB non per centrum ducta.

| «t >ryl*i -JjJnn '^i&tM Sed

'vdtf.UX

L I B E R III. gj Sed ia*n C D ad angulos rectos iccet ipfsa A B • dico & bifecare ipfam, hoc eft, A F, F Bxquales efle. iifdem conftructis, eum £ A , EB xquales fint,*cerunt & anguIie/n/./,r. E A F, E B F sequales: eft autem rectus A F E recto B F E xqualis: duo ergo tri-angtila £ A F > E F B, duos angulos duo-bus anguiis zquales habentia,& vnum la-tuS Vni Iateri,nempe commune EF,quod vni xqiialium angulorum fubtenditur, tdhabebit & reliqua Iatera rcliquissqua- iprtp.af.l lia: xqualcs ergo furit A F, F B. Si ergo in circuIo.&c.Q^odoportuitdemonftrare,

Propoficio4.Thccr. 3. Si in tireulo dua rccla Uneafemutuo

fccent,nonpcr eentrumduclaji bifariamntnjecabunt.

EStocircuIus ABCD.in

«oq; dux rectat ACjBDnoper centrum ductx, fe inuicem in E fec euDicoquod fe bifariam non

fecent. Sifieri poteft,febifariam fecent; fintq;& AE,ECj&DE,B Exquales; & *•

G acci-

$fc HBEX. 117. &ccipiattrreear.mm V Juciturst FlLCur& ergo re&& erussdam £ £ per ecotrum d«~ tias reckam cruarufcm A C oorjpsrcert-

£|r*A£#- r.mm <ks&sm bifecet»ad re&os >* aogulm IpOtm &afai% s artgutus ergo £ E A re&uss cfi ffcmfur cumreclaFl!>redamqua«» darnB D oor» ps? cenrrus» Juotsrn bil<>

V*AI-1* cetuad#a»tj.ubs recfos tp&mfeabir.» r«~ dhnsrgoeftfcEB. Qikafaaautcm eftSc

. F £A re&uss crg«B£A»«qualiseftF£B, snjnonuaiorUquodfimrtequitinorjcr» go ACsBD iebtfarbm fccant» Si ergo iu eire.uio»&c. C£uqd opurtukdemorr» ffi&rc.

Propofitio 5>Theor«4. Si duo circuUfe inuicemficuerint, nom

erit ifforum idem centrum.

DVocircu-li ABG,

CDGfcinui-\Q cifecentin B,

&C.dicoipfo-rumnoneflci-demccntru. Si eit;EftoE,iun-

gatur EC; & ducatur E F G vtcunqucEt aWtft/m quiaEcentrumeftcirculiABC ieritEC

, « «qua-

I 1 B E R 111. 9« iqualls E F. Rurfus quia £ centrum eft circuliCDGJcrit& £ C srqualis EG: b^/i/./. Oftenfaeft autem E C xqualis EF. erit igitur E F xqualis EG, minor maiori. Qjjod fieri nequit. Non ergo E centrurn cft circulorum A B C,C D G. Si ergo duo circuli,&c. Qupd oportuit demonftrare.

D.

PropoficiotT. Th«or. 5. Si iuo circuli interim fe contingant,

non eritittorumUem cen-trum.

VO drculi 'ABC.CDE

fe tangat interius in C.Dicoillorumno efle idetn centrum. Sieftt£ftoF,iun-

.>*. _ ^ • g»urque F C, & A ^ — ducatur F E B vt-

cunque. CumergoF centrum fit circuli A B C, 4 erit F C xqualis F B. Et cum F a def,t/.r: cen trum etiaro fit circuli C D E ,$ erit F C b defit/.t, stqualisF E: demonftrata eftautem & FC srqualis F B: ergo F £ xqualis cft F B, mi» nor maiorij quod fieri nequit. Non ergo F centruro eft circulorutu A B C, C D £.

G a Si

I0O X I B X X IIL

Siergoduocircuu,&c.Qupd demoriftra-re oportuit.

Pr0p0fici07.The0r.eT. Si in diametro circuli accipiatur puu-Hum,quod centrum nonJit,ab eoqucjt in circulum cadant recla quadamjna-xima eritin qua efi eentrum; minima reliqua. auarum verb propinquiorei, quaper centrum tranjit remotiorejt femper maiorefiiDua autem tantum

, aquales apuncTo i n circulum ca-dent advtrafquepartes

ESt-o circulus ABCD,dia-

metrus eius A D , \s\ qua tumatur punctum quoduis F,quod centrum non ilt. Centrum aute ftt£:Cadant ab F ad circulurn

rectx quxdam F B, F C,F G. Dico maxi-mam efle F A.cninimarn F D: aliarum F B maiorcm,quam F C; & F C maiorcm qua

FG«

X / B S R UL IOI

F G. iungantur enim B E, C E, G E. Et quiaomnis trianguli «duolaterareliquo afrtf,u.r. maiora funt,erunt E B, E F maiores B F; Eft autem A E ipfi B E xqualis; funt ergo B E,E F xqualcs ipfi A F; maior igitur eft A F quam BF. Rurfuscum BE,CEx-cjuales fintcommunU EF; erunt duxBE, E F»duabus.CE, E F xquales; fed angu- f lus BEF b maior eft angulo CEF:crit b**./i e igitur & bafo B F raaior bafi C F. Ean- e/r?. J4*U dem ob caufam maioreft C F, quam F G, Rurfuscum G F,FE matoces fint quam £G:&EG,ED*qwlej>enmtGF,FE anaiores quam E D $ ccajHtjanjlsauferatur EF;drcUquaergoG F, refiquaF D ma> d«r./. ior erit. Eft ergo F A raaxima ; minima D F;maior autem F B, quara F C, & hxc maior quam F G. Dico fecundo, quod ex F dux tantum xquales ad circolum ca-dantvtrinaueaminimaDReConftitua- efttf,ss.r. tur enim ad E rerft* E F,a n gaks F E H e~ qualis angulo Q E F, ducaturqu* l H. Cum ergb GE, EH xq»Al«fifft,cr>m-munis E F .erunt dax- GE, E F, tkukrs H E, E F cquales,anpt< Ui Cqu e C« K F\ « -gulo HE F,xqualis:/igitur8t bafisFG ffrtf.j.r, bafi F H erit xqualis. Dico tertio, quod ipfi FGnulla alia xqualis ex F ad circu-

. G 5 lum

toi

f'*».l.

U J E * III. lum cadat.Sienim cadit; CadatFK. Cum ergo vtraq; FK,FHipfiFG fit_qualis;_erit& FKipfiFHzqua-lis : propinquior ergoei.quzeftper centrum, zquatis

eftremotiori, quod fierinequit. Vel fic. Ducatur E K. Cum ergo G E, E K zqua-

hruf.it. lasfint,communisFE,itemi&bafisGF iftifj.,, Daf, p K zquatisjserit & angulus GE F

angulo KEF zquatis:fed GEF zquatic eftangulusHEF: ergo&HEF «qua-lis erit ipfi KEF.minor maiori,quod fieri nequit, Non ergo ab F plures vna ipfi

G F zquales addrculum cadunt. Si ergo in diametro,&c Quod

oportuit demoa-ftrare.

««?(o)$t»

Prono-

I / I I R 111, IOJ Fropollcio 8. Theor. 7.

Siextra circulam aecipiatnrpuncfum, a\b eoque ad cireubtm ducantur recla quadam linea, quarum vna per cen-trum tranjeat,reliquavt libet. Earum quidem,qua in eauam peripheriamca-dunt,maximaefl, qua tflper eentrum: aliarumverbpropinquiorei, quaper centrum, remotiore femper maior eR. jit earum, qua in eonuexamperipheri-am eaduntjminimaefl, qua interfun-ttum &diametrttmiwmzieitmialia' rum verb-, quajprcpinquiorminima femperremotioremtnoreR. Dua auHf:

tantum aquates ipunjRoincircu-lumeadunt advtrafypar-

tesminimau. ,

ESto circulus AB Cextr» quemacci-piatur punctumD>ab ipibq;ducan-

turrecl«qu*damaddrculum©A»DE» -D P, DCtduraturque D A per centrum. Dieo-quodcademium adcauam periphe-riam AEPC maxima fit-,quae per cen-trum traafit, D A; minima, quae inter punctum D, & diametrum AGinterijci-

G 4 turv

S04 L J B B t Ul. *ur.qua* cft D G; roator autem DE,quant D i\& h«c rn&or quatu D C. Eanirn ve-

SQ qux inconuexam pe npheriam HLKG cadunt femper pro-pinquior MINIM/S D G, minpr eft re> motiore.hoc eft,DE minor eft quam DL, & hxc mirior quara DH.Accipiatur cen-

: trum M> iungantur* qucME,MP,MQ MH,ML,KM.Be

a-o///. ~ x A cum AM» E M < *V quafcs ft».f cooimaais addatbr MD,crit« quo A Bafauaiis vtriique £M, MD; fecj

bfr*f. /#./. £ M» M DI maiores funt; quam E D: er-go & A D maior eft qiiam, £ D. Rurfus M E, M P aequalesfunt, cqmunis addatur MDj eruntq;EM, MD xquales ipfts PM; MD:fed angulus E M D raaiqr eft anguta»

e m « f i P M D ! f ergb & bafisEDmMQre$9afi P D.Similiter oftedemus P D rnaiqr efle C D. Maxima ergo eft D A; maior D E quam DP,& D P maior quam DGCum-

ifrtf. u.u quc M K, K D d maiores fint quam M D; ««*,/. " &M G aequalis MKj terit rdiquaK D>

maioc

I I B E X Jli J©5 tnaior reliqua GD:Quarc G D minor eft quamKD,eftenimomnium minima.Et quialinea MK.KD a terminis lateris MD intra triangulum M L D conftitutx funt, jferunt illae minores quam M L,L D:fttnt ffr*f.*t. j , autem MK, ML xquales: ergo reliqua. D K minor eft, reliquaD L. Eodem mo-dooftendemus D L minorem efie D K. Minimaergoeft PG; minorautem DK quam D L,& D L minor quam DH. De-inde dico, quod a punfto D tantum duae aquajes ip circulum cadant ad vtrafque partesmiqimar, g ConftitiiaturadMl*- gjwp./Jur nex M D tnguloKMDxqualisD M B, ducaturque D B.Cum crgq M K, M B se-quales fint,MD c5munis;erunt duf KM, JM D,duabus B M>M D, xquales,altcra al-teri, funt verg& anguli K M D,B M D a> quales, h eruntigitur&bafes DK, D£j * / " * * * sequales. DicQtertiore&aDKapup&Q Dadcirculnm xquaiem aliamnoncade-rcSienimpoteft.cadatPN. Cumffgo D K fit xqualis D N ; & ipfi D K aequalis D B ; eritr&DBipfiDNaeqiqdft, pro,, \^tu pinquiorminimarremotiori, quod fieri, aion pofie demonftratum eft. Aliter. Du-caturMN. CumigiturKM, xqualisfit M N,communis M D,& bafis D K xqua-

C ( lis

10« l I B I R III.}

kmtj.t. li*bafi DN, k erit&angutas KM Dan-gulo D M N arqualis : fed K M D xqualis eftangulo B M D: ergo & B M D xqualis erit N M D, minor rnaiori; quod Beri ne-quit:Non ergo pluresquam duf a puncxo

/ D ad circutum A B C arquales ad vtrafquc

{>artes D Q cadunt, Si ergo extra circa-um,&c.Qjupddemonflrajeoportuit.

Propof!o.Theor.8. Si intrs cireulum uccifiuturfunclum^ gbeoqueud circulumflures quumdun

uquulesreclu cadMntjritucceptum punclumcentrumcircuU.

EStointracircuium A B C acceptam punctum D , ab eoque ad circulum

ABCplumquamduxrecxxxqijalesca-dant,nernpeDA,

K<L DB,DC.DicoD centrum enc cir-cuHABC.iunga-

6turAB,BC.bife-centurqueinEcz F.&iunctrED, DF.producantur inG,K:&H,L.

Cum ergo A £ arqualis Gt E B,comrounts ED:

£ I « £ R III. 107 E D:erunt due, A E,E D,duabus BE,ED arquates; eft « verb&bafis D A bafiDBa «*>»•« srquatisterite*' igitur &angulus AE Dan- thefi-gutoBEDzqualis: e redusergovterq;^^"*''1* eftjfecat i ergo G K ipfam AB birariam,& Apr»p.i\' ad angulos rcdos. Etquia, e quandoin cc*rj>rop.\ circulo reda redam fecat bifariam & ad r./. angulos redos, in fecante centrum eft circuli.erit in GKcentrum circuli ABC-Eadem ratione centrum erit in HL: & nultum atiud commune pundum habent reftz G K, H L prarter D:eft crgo D cen-trum circuu ABC.Si crgo intra circuluro» &c. Quodoportuitderaonftrare,

Kjititer. TNtra circuium ABC fumatur pundura JLD, abeoquead circulum plurcsquam

duzredzarqua-les cadant, DA, DB.DGDicoD

jcj eflcccntrumcir-culiABCSinon eft.EftoE,&iu-da D E produ-catur i n F & G .

4 Eftautem F G diametrus circuli A B C. * icf.ip\t\ Cum ergqiudjaityetro FG aceeptum fk

pua-

JCS L 1 B E R III. punctumD, quodcentrum circulincro,

%»r*f, 7«;, edif erit D G maximajmaior autem D G quam D B, & D B maior quam D A; fed &*qualesfunti quodfierinonrKiteit. E ergo centrum circuli A B C non eft.Simi-liter oftedemus quod prcterDaliudoul-luin;Dergocentrumeftcircu|i,

Fropofi o-Thcor.j». Circulm circulum in pluribm, auum

duohmpuntiuwnficat,

SI fieri poteft fecet eircul' ABC circulu DEFin pluribuspunctisquaduob*,vt

inB,G,F,H, iund^q;BG, BHabifecc-turihK&L; atq;exK, & L ipfisBG, BHadcan-

\fr*f.u.t. ~ \ ^ | " ^ V gulos rectos ducta; K C, LM,inA,&

E producantur, Cu ergain, circulo A B C recta quxdam AC»rectain quandam B H

cfrtf.j.j. bifariam, &adaugulosrectotfecet,c erit in ACcentrumcirculi AbX),R,urfuscura ineodcmcirculQABCrecliiquaidaNX

rectam

tfrf.U.t.

I I " I IW

l I B t R lll. ioo f eoram quandam B G bifariam, & ad an-gulos reoros fecet, J erit in N X centrum d/»/.}./< circuli A B C. Demonftratum autem eft cjuod & in AC: atqui in nullo alio puncto recta? A C, N X concurrunt, quam in O: eft ergo O centrum circuli AB C Simili-ter demonftrabimus centrucirculi D E F m O elTe:duorurri ergo circulorum ABC, DEF feinuicemfecantium idemeftcen-trumO: e quodfierinecjuit. Nonergo efrtf.f.t* circulus circulum, &c.

Aliter. Circulus ABCcircutum D E F, in pluribus quam duobirs punotis fccet, Yt in B, G, H* F. Accipiatur circuli A B C

centrumK.iun.-ganturque K F, KG.KB.Cum ergointracircu-lumDEFacce-ptumfitpunctu K.abeoquead circulum D E F

cadant ptufes qua duat fectx xquales K B, K F, K G,« erit K centrum circuli D E F: a'/«/. J.J, £ed eftetiam centrum circuli ABCtDuo-rumergocirculorum fe fecantium idem eft centrum; b quod fieri non poteft.Non b/r#/./.'/. ergo circulus circulmn in pluribus quam

duo-

HO I ' I M ! IfjV duobus punctis fecat» Qupd opotttut de-roonfttarc,

Pr0pofi3.Theor.l0. '

Siduocircuiifeinttrititcontingantfe-Ba linea eorumeentra eoniungens ,fi

produeatur,eadttineontat7um circulorum.

DVoctrcutiABC,ADEinteriusfe ' contingantinA. Accipiaturcircufi

quidem ABC centrum F; circuli vero ^A ADEccntrum G!.

Dicoquod, quxex GinF ducitur.fi jp-ducatur, in conta-ctumcadat. Sinon. Cadatalio.vtFGD H.iunganturq; AF, AG.CumergoAG,

kpno 10'a. GF* maioresfintquam F A,ho.c eft,qua " F H («qualis enim eft F A, ipfi F H, eft e-

nim vtraque ex centro) auferaturcotn-rounis F G: reliqua ergo A G maior erit

W/11 . retiquaGH:eftautemAG,ipGGD*«-'' *' * quatis:eritergoGDmaioripfaGH,mi-

sormaiore.quodfieri nonpoteft. Nen crgo

L t B 1 * llh n t ergoquseex Fin Gducitur, cxtraconta-ctum Acadet.Ergoinipfum.

Aliter. Cadat vt GF C, quarih H pro-ducatur, iunganturq; A G, A F. Quia er-go AG, GF f maioresfunt quam A F: cpr» tt>.i fed A F i atqualis cft C F, hoc eft, F H: i dtfiif. communisauferaturFG; eritqueAG, «juam reliqua G H maior: h oc eft, G D -maior erit, quam G H; minor quam ma-ior; quod fieri non poteft. Idcm abfur-dum demonftrabimus ft maioris centrum Ct extraminorcm circulum. Siergoduo / circuli,&c. Cfjiodoportuitdemonftrare.

Propof. 12 .Thcor. 11.

Siduocircutifife exterius contingdnt reddipfirttmcentracottiungens

fercontalittm tran-/ibit.

DVocirculiABC, ADEtangantie exteriusin A. accipianturque circu-

Iorum centra qux ftntF, G. Dico, quod, qux F, G iungit, per contactum A tran-ieat. Sinon: tranfcat, ft fieri poteft, vt FCDG;&iunganturAF,AG. Cum igiturFcentrumftt circuli ABC;a erit %itftlf% F A,rqualisFC: EtcumGfitccntrum '

circu-

Hfc t I B E k ttt

circuii A D E i erit & G A ipfi G D arqua-lis. Oftenfa eft autem & FA arqualis F C. Sunt ergo F A, A G ipfis F C, D G arqua-les. QuaretotaFGmaioreritipfis FA,

%»r»».tt.x. AG.fed&^ minoreft:quodfieri non po-teft. Non ergo dusex F inG ducitur a-liorfum quam per A contactum tranfit. Siergoduocirculi, &c. Quodoportuit demonftrare.

Propofii 3.Theor. 12.

Circulus circulum influribusfun&sk . vnonontangit,fiueintcriust

fiue exterius tan-gat.

I fieri poteft , tangat primo circului A B D C circulum E B F D interius in

pluribus quatnvno punchs, vtinB,D: &

S

* < .s Js

m D i «stksA B Q H iACtttts kktsr €? sli c l t tumdct i i ABDC*akBlJss?qaik

l is ssssss ih H mks ssm irmsls EBE J>*®qust>* lssm«BHt|siB1>s

«Itmqnlp ,Mi^%lMsf

«*H*s$. §1 «ssssis 8m |*os«it>i;aii|is««i£cisltt8 A CK «rodam AB B Cmioriurkpla-ttbsss isssss&k vtso * irs in A> & C * Itsssijttss* «ncqtitt A -, €.Cssm ssrgs* Iss imqfesHss d«> stdmsssts AB P C*. A C Asscô^siss?: pûii.qiî^ÊÂi.Csstc&iotttstSbs. *j\ **l 1* ctsitititigmtt

ttismSci mslst qatsi f i» «IrcBam A l D C i £ V t O S ^

H4 i i 8 i i ' ITG

fiirh eft autum quod neque intmas^ Circulusergo,&c- Qjiodoportuit do. monftrare.

foopon14.Thedr.t4> In eirtulo aquales rettaline* aquati-

tcracentrodift*nt.Ettqu**qu*~ Uteraeentro dift*ntt*-

quales/unt*

SVnto in circulo A B D C rect* A B, , , __. C D» aequales. Dico eas aequaliter a.

rcntro diftare.Efto centrum E,a* quo ac_ rec_tasAB,CDper-pendiculares ducan-tur EF,EG»&iun-gantur AE.EC.Cum crgo recta EF per ce> trumducta, rectam quandam A B noo

ifnF.yt. pCr centrum du&am, ad angulos re&os fecct *, * &bifariam eam fecabit t aequa-les ergo funt A F, F B: ErgoJ A B dupla

iiefinir. cftipfiusAF.ObeandemcaufameftCD hmm. dupla ipfius CGif aequalcs ergo funt A F* e**.7. cQ:cumigiwrd&AE»£C«qudes

fint,

Z i B ;t? E tU* $$M$i er«fOtc^qt >itM*||?CsromAEtEC

>A Esirq&Ea spsos AF,EF (tEtoltooq-^dm *<! Fckkckkotem-, qoodot B€t mq otfk feor*mif «& E\CkCC (n&m &m~ gmbseEGroEtrsoiv,) skmsergocm^ek AF, E F^qosHst Mkj,qo^ e« C G>G It,Or * ergo qood e& A1F, rqoste £k MJ i , quo4 e x O C 0 « t i t « a » A E C Gseqss0.ter)eEt & r&iqmm *quo4o;F E , reik|UO<|uo4 ss E G^qsrekdootOs>|0 E Fs E Gerqoslet, g ^ ^ *? I» ekcuio eate. «sqeEittr I e«u tro stbette «iknatrtr «««%«> , e|oeo4o f erooostksilstm

teeAs«ti«sr*

7>r

sro, Eoc ei, E F , E C am stquBee-, Pko-A B,€ G^queks rireilfteeo eomlmSkj, strmoofabmms, ^ F ^ b e j y F 4ofkr>ss elFesplsOrA¥>pzCDi|>ikriPG, Om» Aos, A E, € Eitqsxoier &&«»et<t «i« 4« eerorrt «|ot4rsqest tr>sttsss> ESoottAoetj. quml ex. A Eoqqdk,qs | «irEF,E AtSeokqtrtskt sSS.CE, MBqwtsOt £ I % i CeemoqUAes: E F,F AsfumkMe qqem&EGjGC&qo.»*

% exEG^qautelit ieurtuimEG '*"""*

|«t)«i«^rsllquqm^sssJesAi%rs4tq^ I I s qm>4

tie; n n i nr. quod ex C G, aequale. xquales ergofun t A F, C G.Eftautem ipfius A F dupla AB; & ipfius C G dupU CD; atquales ergc* funt A B,C D.In circulo ergo atquales rt> ctJCj&c.quodoportuitderuonftrare.

Fropof. 15 .Theor. 14.

IndrculomaximaeBdiametruitalia^ rum verhfemper quaprdpinquior

eft centro remotiore ma-ioreB.

EStocirculus ABC D , cuius diamo trus A D» centrum E; propinqaior

dUmetro B C,rcmotior fit F G.Dico ma-ximam efle, A D,maio-rem BC,quaF G.*Du-

pj- canturenimacentroad BC,F Gperpendicula-res EH, EKEt quia B C propmqttior eft centro, remotiotFG:^ maior

hdtf.t.u eritEK,quamEH.cPonaturipfiEHx-d j j i i i . quaUsEL;&perL iducaturipfiEKad

" angulos restos L M; qua dueta in N iun-gautur EM,EN,E F,EG.Cum ergoEH ipfiELfitatquaEs,« erit&BCipfiMN

aequa-

tfrtf.1%^1

0cc&.rimsi0?j *» «* K3

E G *«***$ imn smgulus v«ro M E N

«naio? BsB F CEE4 M N oikttE «&$§$&> Br B C r «rgo & B € rruAor. «B <jusm F *E, Msxim*tsr^ ,41 4k*»«*ms j mBrsr B C «JJUJUU E €». Si srgoiu Nrroio» &r, Q^H>4,

^ t a ^ ^ A g p A w »*fe 4 «*.

^ <

<&4kmtmtum AKDico re&t llae&m ab A IoB AB s4 sngdbs rotBos $uct&v& cxtra circulum c<ukrc<Si aemt«d<t.?<A Bc» ss ootslt»*n tra,vt A C » * tasgatttr 0 C»

*exbjp». tbefi.

w% t t B n *. nt €um ErgoD A flrsujjuIU DCsrit&$r>£

' is D A € angvio*A€D zo.uaHs: «H &ur«mD AC*r?€«ue* red us euso «jrtr. & A €

WWVr

JJ uunr.esgo.u&^ A C D cksohas reM» equsks, *J quod fei

ecjdoNoa etgo oue, ' $h A pundt» ipftb A «isugubs r«6»»s. 0%* «kus^ um& drculsiea.

esdit. SimilberoB?ttdemusquoctriec JJ*

Bripheriasxs x ergo estra eadis;, vr. AEL ico tecundo.in Iocum inter AE,& peri-

pberiam CHAinteriectum.aliam rectam noncadere. Sipqteft: Cadat,vtFA,du-caturque ex D ipll F A perpendicujaris DG. Etcumangurus AGD re&usfit,

»/»»#,«*• i h minor recto DAG;r eric AD maior-e/r<>/.//.i. qUam D G : eft autem D A zquatis ipfi

DH;maiorergoeftDH,quamDG,mi-n or maiore; quod fieri nequit. Non ergo in locum redta A E, & penpheria C H A

, intcrceptum,aliare£tacadir. Dicotertjo angulum femicirculi recta AB, &peti-pheria C H A contentum, omni acuto rectjlinco maiprem efle; reliquum verd pcripheria CH A, &rc6H AEconten-

tum,

L l

j^hork C H A j mloor vuro eustsnto j*e> ypbetk CM A*&v«&s h E* e>$4esmv«r. pxripieeiru C B A * obruelseii. A Elkte& ve€b, pr &eiut&esgulut» eoaiottr» tvelt B Au&pvripetetkCBA «outeorum{quj. treelaniask *o»H»e**at) mtuote-ses v%ro. peeipEeek """ ' * '" " ** "

itseietv»;

B«a»j|uio?dt&IvAs o^ounuieviesCHA

Ejeys murteilum rire &$Oj?§su| <fb« *»etm sb evseemkvtu &4 stogobs: eeclos 4odtesr» dtcukmtuugero* A aeiuotvit'-*-

v «ss v&& rls

orcurrteur ** uirtra oretetiuot fb s» Hb Quee srjp tie^AliAof^k poet k e 4oueors I«vto.

j 8

k

HO n B E R ULt

ESto punctarn datum A» wculusda-» ta$ B C 0« Oporteat autem ex pun-y«—XK. &<> , rectfi ducercj quaa

/ / ^ \ ^ \ A circulum B C D tangat» *S[ d %x^V I Accipiatur cetrum cir-

\ v _ ^ \ 4 «uUEtducaturqueAE», ^ t L * ^ " &centra£»inteimaUa<

£A defcribatur circnlus tpnf.ini, AFOv&ex DrectasEAadaangulosre-

ctotducMur D Fjiunganturq; EB F,A B. DicoapunctoArectam AfBductam ef-fe.quf circultim BCD tangat.Cum enira E centrura fit circnlorum B C D , A F <3j

b d*fjf.T. t eruot tam E A, E F» quam £ D, E B asv quales: dus ergo A E, E B duabus F £ . E D xquales funt, habentqueangulum E

tfff.+j. comroune:|c crit igitur bafis D|F bafi A B> «cjualisi & triaogulum D E F» trianguloh EB Asqualc, rdiquiqueanmUreUquist diigituripfiEDFequalisEBAjatEDF reoruseftj tritigitur&EBArettus, Efl

dh^fflfc*- veroEBexcentro: dquatautemdiame* f»P*»« tro circuli ad rcdtat, ducitur recta Unea,

tangit circulum: tangit ergo AB circu-lum.A dato ergo pancto,&c.Quod

oportuit demonftrarc.

Pro- !

. LlBEs. -IH. tu

Propoficio 18. Thcor. \6. Si eireulum tangat liuea quadam re-Qa,a eeutro autemadtaeJum recla du~

eatur,eritidaadtaugeutemper-peudieulark.

T htrpX ?e&* tps|dam BE

csretdmm ABC m Cs kstsxsmrqj c«»trumF*ar.ol»e ssB F &d C 4»ca-turFCDkoFC

sd DE pcrgeudickbrem dFvSs aem 4«» catar ab F. *4 D E per pertdkakrls F G« Cttm ergo aagubs F G Cre&m gt t amts *„»-,, -

tsaior» qu&m FGt Eii ver& F Ccamaafts «pO?» ipfi F&s msbr «E ergo FB,quamFG» twiaorruasore»quod efi sbftudmu; rsott. crgo FGad* D E p«rgte»dk«!arj$ ciit SD tmliter o&enietsttspratterFCadiam ad liam: FCergoad DE efi perpeudtcukdss

SUrgo«rcuf«muj?ga«»&c.Cmo4 uoortukdemoo-

limre*

H 5 * *

m i i « r a n j . Propofitio i o. Theor. 17.

Sirecla Unea circuium tangat, & ata* i$u tangenti recla auadam adanguios

reclos ducatur, erit iniSa cen» trumcircuU.

TA.NGAT Clfe «uram ABC

rectaDEin,C,*4 tx C i p f i D E a d angulds rectos du> caturCA.Dicom CA effecentrujn,

eircuK. Si non: fit,fi fieri poteft, F, iunga-turqueCF. Cumcrgocirculusn A B C tangat recta D £ , & a centro ad tactum,

. iftef./iif ducta fit F C, a erit F C ad D E pcrpendi-cularis; aoguius ergo FC £ rectus eft: efty vero & A C E rectus: srqualis ergq eft an-gulus F C E.angulo, A C E, mioor maio-xi; quod eft abrardum : F erga cen&rum circuli ABC noneft. Similiteroftende-pius nullura aliud efle, practer id quod in, . A G Si ergo recta linea, &c. Qtipd

dernooftrarcoporr

tuit. v**(joO^.

f***

r i $m

t9.

ifi mgW M ferfyfarikm t Qtu#d*

STO iti fteoslb A I C augukts

p tdsmtitmm BEC dipmphrril BAQ, Brguoefrle&ute be~ 1r$ pmpBetk B C» Bkoeegulfs BEC Bupltuu ejk sogult

B AC ktjd&ensat AEuroButsrurk R Ctsrtt # etgo E A »ussik ftdpB E Sj erk ««Vif .&

; resgusue i& urgot tAO^^^

«•lilaureut JkEB stteualk uuoEus £AS» £ E A jlulerguB BSBafdsjjssg&ujjEAB.. «B<aud8tfc*»uliu»ef! sit|ttltts FECBt^ plur ang stli E A € ; totrus er gu 1 E C t etR us B ACtlupJm eCt&e sdterWgsBusBDC» setjdefue D E pJOsluafUfJuOj A Butk Jkcr <JuJXJO.olkeht3UUf aagubjtu OECdfe». pUjsu d'k ssjf ull EDC? s|Uotum C.EB dupko di ipflur EDSsK%t3u$ ergoBEC

4u>

k

« 4 t l B I X lll.\ duplus erit reliqui BDC Si ergo in circu-lot&cc. Qopdoportuitdemonftrare.

Propoftcio 21 .Theocr. 19. Ju eireulo qui i» eadem portionefint

angulitaqualesfint.

S IMT in portione B A E D circuii

ABCDanguliBAD, BEP, Dicoillosx-quales cfte. Accipiatur

, centrum Fiducastur-yy^ZZ^0 queBF.FD. Etquia

£ angulus BFDadcen-trumeft;anguIusB AD adperipheriam, habentque oaura eandem peripheriani

fc B C D: a erit angulus B F D duplus angu-ry- • !• jj g A £j Q D candcra caufam erit angulus.

BFD dupllis anguli BED; Sunt ergp B A D, B E D arquales. Iu circulo ergo, &c. Quod oportuit dcmonftrarc,

Propofitio 2 2 .Theor. 2 o. guadrilatererum in cireulo deferipto-

rumanguli,qnicx aduerfi,duo-hmrecluaquaUsfint.

Slt

L 1 B I K m. izj

S tt h eircuio A B C D quadrakberur» AB C D.Dkosagulos exadtoerfofite

,,,- ~- x sequales duobus re-j ^ ™ . _™,| : ^is> D u c a m u r A C »

/ I '-<P~/ \ \BD.4iQujaergoom~ &PT»?4XJ. I ) yK I ] ais trianguU tres an~ \ |.,-- \ I / guU duob*rec*tis funt \ A —As/ aequales5erunt& tri-

^**^ anguh A B C tres C A Bs A B C» B C A duobus rectis a? qua-Ics. Eii&uistnCAB $$zamlh B O C an- bfftf**%>$* gulo (" fuos essim ia esdem portiono B A D O / &J ACB ip£AI> B (fuusrmsm in oottiemeADCBs) totossrgoABC duobus B AC» A CB ssqusiis di s Com~ o.*urussddsmf ABC duoims BAC* ACB fisnah & vm ADC ik\rfn«,s

xerumqu« A.BCB A C»ACBduobusABCVADC ' osq uaies, r fcd A B Cs B A C* A C B «qua- hf*^i$-0$ los fsmt duobus refdisteruntergo & ABC* ADC«quaics duoousrt&it, Simiiitcro-if eudemns Br B A D , D C 8 squales eiTu

duobus redrb, Cruadnkterortttnor» go»Brr, Qood otmrtttvtdg**

monftrarc»

*

F».

Propofitio 23.Theor.2rr SUfeY eadem rebla linea du* circttlo-

rumfortionesfimiles, rjrinaquales adeafdempartes, nett

confikuentur. Clneripoteit.co-•3ftituantur fuper eadcm recta AB duae circuiorfl por-

* tiones fimiles,&in-xquales ad eafdcra

partes, ACB, AB)B; ductaque A C D iunganturCB,

J BD. Cum ergo portio kdtfiuj.l ACBfimitisfit portioni ADB,«hmUes

autem portiones arquales angulos capi-'. ant,erubt angoli A C B, A D B, xquales,

b/ru/.itf.i. externus & internus oppofitus, frquod fieri nequit. Non crgo fuper eadem, &c. Qupdoportuitdemonftrare.

Propofitio24.Thaor.22. Super aqualihmreclis UneisfimiUs

cireulorumportionestaqtta-tesfitnt.

O Intfuper xqualibus rectis A B, C D fi-OmUes circulorum portiones A EB,

CFD.

t I B f R \1U.. u*j CFD. Dicoillas eflcafquales. Congru-ente cnim portione AEB porrioni CFD,

JG

«4« B

pofitoquc A pujictofiiper C, & recta A B fuper CD,congruet &B ipfi D.quod AB; C D xquales Gnt. Congruenteautem te-da A B rcdx C D; congruet & portio AEBportioniCFD.Quod fireaaqui-dcm AB cohgruat rease C D; portio ve-rb A EB,portioni C F D hon congruat; iedalibcadat,vt CGD,fecabit circulus circuium in pluribus quam duobus locis vt in C,G,D,4quod fieri nequit-Mon er- */"rM'*» so congruente reaa A B reaat C D, nori ^ongruet portio A E B .portiohi C F D: Congruetergo ,& adeoque sjquahs ilhe- »«?•*•'• rit.Siergofupcr,&c. Quodoportuitde-monftrare.

Propoficib 2 5. ProbI.3i X>dtsfortienecircuti,defirihereeirc^

lumcuimefifortio.

Sltdata circuli portio A B C, oporteat-qucdcicribe" «irculum, cuius A B C n * fit

fzS 11 6 n i irr. •/*#/>. /».i. fit portio. * Bifecetur A C inD»fc cX t> Ifrtt.n. JducaturipfiACadangulosreCtos DB»

Cfrf.tjj.

iungaturque AB. An-gulus ergo ABD»angu-lo B A D aut eft maior, aut «qualis.aut minor.

JQ S it primo maior, c con-ftituaturque ad Arectz

A B angulus B A £ zqualis angulo ABD, producaturque DB aaE,& iungatur E C Cum itaque angulus A B E fit zqualis an- |

ifrtf. tf.x. guloBAE,/erit&EB«qualisipfi AE; & cum A D arqualis fit ipfi D C, fi com- { munis D E addatur.eruntduz A D . D E, duabus C D, D E zquales.alteraalteri; & angulus A D Eangulo C D E zqualis ;eft

cftf.4, u cnim vterque rectus; eergo & bafis AE bafiCExqualiserit. SedipfiAE demd-ftrata eft B E zqualis; erit ergo & B Ez-qualis ipfi C E i tres ergo A E, E B, E C e»

tfnf, p. j , quales funt t/circulus ergo centro E, SC interuallo vna ipfarum A E, E B, E C de-fcriptus, tranilbitcaam perreliqua por-

tionis

. .LtJtSML tll. t i j Btxnss p jsnEhjAtcitctjiuj. Uekrsfst^^r, Clrosilisrgo p onlosxs Xtu, skkrspsmseii dscsjks!s,s.j.s5t53 dl pottso; A, osn cvntrtsrs sextu puttJonc ctsdLst, nsasjiicitu o:t por-ssismem sTjmosAc-b frj-sskitotsijt. .SmnU xtt !J ABI>ctsgn!s'N>kjersk^HUiksssspj5;o B A D , g s rst A D sro »dk > rnqus £ D, >t **.*»*-. &Ci ctgo STSTS D A . B B , D C nru.sk* ****"« is5Sitst¥ D cesxrrsisvs scts nsis, porr?f»epse tc- ^* '* u

rnklrasisix. St vosoassqubs A B D minor facrirangulo 8AO,"*.u»£tui:u«\}d A fe**V-*l*» f d t ? S A .toguisjs B A £ TquB * ssssg-ifo A B Djscxsivtspc rejumtn in D B mvntsjj skfra f oruoaem A SC.& orss pottis> ABC kmiirorctsio msttesn Ss ergo ekscasar E C oiiAktutYr. %sx prima Sgum trct B £ X A, F CeffcTspssics.. DasitTgop.srnonscjr» ctsij, ekk np cus. eii okcsiksss, cuitssdl por* sko, stjtiosi ope» tuse facm?»

Prgpoficio%6* Theor. % j«.

IndqUdtihua circulu dqUatet dngutid* qudlibus peripheriis infijtttnt ,fiue dd

centrsfiueddperipheridsin*. fiftdnU

IN circulls arqualibus ABG, D E F v quales infiftant anguli ad ccntra,B G C,

I EHFi

IJO £ i B t * n / . EHF;adperipherias B A C,EDKDi-coperipberiasBKCELF xqualeseflew

Itings.rif.ur B CE F» £t q«sa drculi s?qaa~ • itfa.j. ks («»:>#emrit& qtia? ea certtmxquales*

DuxergoBG»GC>duai«*s EH» HFx* qaaies Cuut: fed Bc anguii G ,Hxqu&l£&

•/•V* *• *• f« nts ?• ergo & bales B C»£ F xqtsaies er u u ' Et quia auguli sd A*D |qu ales pouurt tur.

c drf. u. i. t $.timt porsaooes B A QE D F fitrfiies* 8s itrtt »4 i ftjns bs&quafibus reelis BC, EF^quas

' ' 3umndfcdortsmp»r«ost«s&sslesbaa)~ quaiibus fersr rectk isn«s»xqudesfij:«f,e portiones ergo BAC, EDF xquales funt: Sunt verb & toti circuli xquafes; reltqua crgo peripheria BKC, reliqux ELF x-

qualis eft In xqualibus ergo, &c. Quod dernonftrare o-

portuit. -OC(o)d©>

Pro-

1 i a t % tit. iti Propofitio27. Thcor.24.

Jn dqudtibut eirculis snguli qui dqud* tibus infiftuntferifheritit*quaUs

(untftucedcentrdfiucddfc-rifherise infiftsnt.

IN asquaJibus circulis A B C, D E F ar* qiiaUbtu periphcriis BC, EF infiftant

A.

«nguli ad centra B <3 Cj £ H F i ad peri-phcrias B A C, £ D F. Dico tam ahgulos B G C, E H F, quam B A C.E D F atqua-les eiTe. Si cnim B G C , EHF zqualcs funt, d pcrrpicuum eft & B A C> E D F x- zprep.u.t. qualesene-Sihonfunt: erit vnus maior. Sit maior B G C:& l conftituatur ad pun- bfrop.jj.il Ctum G rectx B G angulus B G K xqua-lis angulo E H F: r anguliautem xquales cprop.tc.j srqualibus peripheriis infiftunt, cum funt adcentra: peripheria ergo BKxqualise-rit peripherix E F: fed & E F xqualis eft B C : ergo&ipfiBCsqualiseritBK,mi-

I » nor

0!» t t B I X IIL nor maiori; quod fieri non poteftt Nqn ergo anguli B G C,E H F insquales funt:

tftfW «qualesergo.dEftque angulus ad Aah-guliBGCi&angulusadDanguhEHF

c*».?.', dimidius: e Sunt ergo & anguli ad A, D equales. Insqualibus ergocirculis,&c. Quod oportuit demonftrare.

PrOpoficioa8.Theocr.25. Jn dquslibui circulis aquales recld li-ntd stquales peripherias auferunttmd-

iorem quidem maiorii minorem autemminori.

I K T in gqualibus circulis ABC, DEF aequalcs reetx B C,E F, auferentes pe-

U S

ripherias maiores B A C E D F minores; BGC.EHF. Dico tarn maiorcs peri-pherias,quamminores*quales*ffe. Su-mantur cniro circulorumcentraK, L,& ducamurKB,KCiEL»LFi& fun? dr*

cub

11 Bl K III. Ilj cuKxquales; «ergo & qux ex centris x- «'#*"!•, quales erunt: igitur dux B K,K C,duabus E L, L F xquajes funt; fcd & [bafes B C, EFxquales funt; rVerunt ergo ccanguii &/***»*•'• BKCI, ELF xquales: txquales autem c ' n f '" ' anguli xqualibus peripheni* infiftunt cum fuerint ad centra; ergo peripherix B G C, E H F xquales funtjfed & toti cir-culifuhtxquales; reliquxergo periphe-rix B A C, E D F xquajes crtroque erunr. Si ergo in xquafibus circulis, &c. Quod oportuit demonftrare,

Prbpofitio29.Theor.i6*. Jn equalibus circnlit ttquaUs peripht-

riju*qnaUsrtt%*tint*fub-tendunt.

EHF, rectasBC, EFxqualesefle. Sumantur enim rirculorumcentraK,L,&iungan-tur&K, K C;E L. LF;Gum ergo periphe-rix BGC,E HFxquales fint,<* erunt&'a#r,. $74

anguli,BKC,ELFxquales,-&cumcir-culi xquales fint; b crun t, & qux ex cen- b def. -./, tris xquales : Dux crgo B K, KC, dua-busEL, LF xqualcs funt, contincntq,

I i xqua-

| | 4 l I 9 M * UL tfttf¥, *• atrIua'c* angulos i t ergo & baies B C E P

zquales erunt. In squalibus ergo circu-Us,&c. Quprjoportuitdemonrtrare,

Propofitio 30. Probl. 4. patamperifhemm bifiariam/eeartLf*

T7 Sto data oeriphe-/ •^N^v Xjr'iaADB,quara

f/^0 >A bifecareoporteatdu« tprtf.t». 1. JLf,,, L. >L caturAB,«bifecetur-\>f»p.„.i, -A «* *queinCi&i#pun-

cto C ducatur ipfi ABadanguleu re&os CD,iunganturq;AD, DB.EtquiaAC a*qualisertCB,communisCD;erut dua; AC,CD,duabu*BC,CDxquales, &an-gulus A C D angulo B C D arqualis, eft

tfrtf.jt.,. e n m l vterquerectus,' ee/it ergo &bafis *f"f'9f ADbafi DB«qualisi/*qyalesautcre6tx

zquales periphcriasauferurtt,maior#ma-iori,& minqrem minori.eftq; vtraq; peti» pheriarum AD, DBminprfemitirculo, quare peripheria A D «qualis ert periphe-riaj DB;data ergo periphcriabifeetjicil, Quod oportuitfacere.

Propoficio 31. Theor.17. /» circulo angulttt, qui itt fiemicirculo, rcftus efi\ aui inprtionc maiore mi*

non

i ra E * nh ift, nen emi in minere msJer reUe eft. In/uper meierupertienu enguUu me>

ior reftotmmorurefto mi-norefl.

[ Stodrculaj A B CD,d»«wtn» B€» tcsmm E»&luog3at!irBA, AQA0»

D C Dko angjslum B AC i« icraksfcsiks, te6r.ara cBkABCVtpi

ss. «Bm|j£sttioaemaior« !lf CJ ietxskstcuio» R-ssttore 5

A D C $ qsA eft la oor-!L-^ tiottcsRioorc^m&iofO

re&o»£*8estur AES r«radu<at«f<|j B A m

«rsguli Ll A B, E B Assfqusles. AuHus,qssia iE A,£C «qswlss fttsttjcrCst & aagssli ACEV CA E sequsks t rot«s esgo B A C tkobas ABQACBjeqoslis es'E pEiivs^oA; FAC sXswf.sa.sV « sstemttS siuo btss A B C A C B «qsjaits; m« srioalesergofastBACEACjmqorsotttse^^* vterqsie. QttsreanguittsBACisfemsett-

snores faas;B AC auts? resSus cj%erit ABO jattSRorreetos&efsi» portione A BCSJJSK tori ftttsicifcula &tttfus«»ia A 8 C !>«%.

I 4 dr-

\ ~

!}6 i l l K I *. 1/1. tfttfittj. circulo quadrilar«rucft;equadrihtcrarfi

a.iuc?in«rcui\> dekr iptqru»qui cxaduerfo jp anguli duobps rcctis

j. / tcquales fuut; erunt %**$ A B C , ADC-duo-

| \ \ bus rectis «quales; & ™A Ase eft ABCiiunorre&o;

& i reiiquus tprgo A D C x ^ ../ maior;&eftinporti-

oncmsrjore f; roktrcsilo.f4PJ coasorb pottio w anguluccnjtenti! riphena AB C\ & re&aACi «JlV. re6>o; oBoons verb portionijr'pe-sipheru A P C» & re&a AC contcn-iaro. , rntfiorem. Quod per fe apparct;

»* \ •'-* Cum tsmm aogofes recta B As AC coten-*ss tecras Ist» cYit qui periphetta A B C , & recta ACcorJtmcsnr maiorreta:o.Et cum aagalusrebrisACAF c6tentus,rectus fit

.,•-; ,« «ritrfc6}« ACs&peripheriaAOCcotei»-• tus,a»norrec"io.AUtcrdem6ftraturBAG

» _'. rer^u eiTcAngufusAECdupluseftangCi-'W*N*& li BAEjg «qualis enitn eft duobus internis

& oppofttbiEftverb& AEBduplusan-guliEACianguliergoAEB.AECdu-plifiint anguli B A C ; a t A E B , A E C«*"

auales funt duobus redis: ergo B A C re-t uscft. .'.- /

Ctrtl-

I I ' E R III. »37

(oroUarmnu. Exhis manifeftum eft, fi in triangula

vnusangulusduobus fitxqualis, cum re-ctum effcquod etiam,qui eft ei deinccps, duobns rectis zqualis fit./cum autem an- (de/.it.i, guli deinccps atqualcs fuerint,recti funt.

JPropoC32,Tbcor,2 8.

Sicirculumqu<edamrcc7atetigerit,tjr •atacluducaturrecja circulum fecans, erunt atiguli quos adtangentemfacit%

aquaU$iUis,quiin alternis circuli fortionibmconftfiunt.

TAogatcirculum A B C D re&aquat-dam B F,in Bj a qubducafur alia B D

fecanscirculu.Dico aogulos, quosBD

; cum tangente facit, equales efTe illis,qui funt in alternis'cir-

-i^ciili pordonib': h oc y eft,angufumFBD

equalem eiTe illi.qui eflin portioneDAB: angulum verb EBD illi, qui eftin portio-ne D CB. a Ducatureaira ex B ipfiEF aprtf.ii.n ad aogulos rectos B A,& accipiatur in pe-

I 5 riphe-

#/>**/•

flpherssB Dqttsxhris $>smsSrttmC,&slts> scasustr A D * D C, C B s & qtsd cirsttltr m ssrtgit rcdttcjsrstsdam E F itrB,& i. tsCrtr B

,£_1% daeDdltangarsisd&ogssiosrccros. B A> ?!%>;, l«rir irs B AcemrScsrcuiitcangtt!us«rgo

A D B i» festsskircsries stxrftens s reD.su eiis reiiqus ergo B&D* AB1> vtrsrecsa se-qrsaies. Sed & A B F reDtss «II. i tcsjsmlk ergo smguits B A D s

AB Ds. cotrsmnxm A B Dsmferaf; crgo

rclimrrss D B F stis- &quafis reltqaoB&D % hukerftsdrcssii perqofseedfteci<E?sps&

4*-> A B C D qrssdrtlstctam dls» eirctrlocb-» fcrspsustt* sderosctr. ttngrsii oppoltts dattfetss reDix asqealert erttrtr ergs>at>gstisDBF* DBE estsralss asrgulisBAD,BC Dpprsru B A D orleohss diaqrtaiisDB F; ersrec* go & rdktutss D B E,rehqsro D C Btst ai~ rcrtra crtcrsis pot tiosre DEB eCtles aqsra-»

IhSl stfgocsretsisrsrt mlDqupsiamAssc, Qjrpd ossar ttrk <§erm»>

Pro-

I I B E R III. 139 ' PropoC33«ProbJLf.

•Sunerdata recla defiribereporthuem eircuU,quaeapiatangulumaqualem

datcangularetllinio.

Slt data re-ftalineaA

'*! ( Sr^ ^ **, datus an-'& 1 V SlS.;) gulus rectili-

neusC, &o-porteatfuper ABporticnitl rircalidelcri-

cquaai-alum zqup-

etji angufoC aapiat.Angu-P ergoC.au t

"»cut', autre-> c^usiautob-tuuiseft. Sic primo cut*» tt % priroa dcicriprione. «Cdmtuatur afruutgj ad Apuctum rectzABan-

guJusB A D,ajquaJi5aDguioC,quiacu«

tu»

b pr*fs\.t. Cprop.io.l dprtf.it. t

i4* x r B E R m, sus entXs § A deaturAEas! astgefos re~ <$os ipfi AXfcatque AB k F # bxiecetaiv,

Es F d ekct» turEGadsa-

$fr*f.*.\.

*guniul. fig.oxtncu* Tiutmtjf* tff. tpntf, ttr.

spis A B x sfo~ qusos r sp-s A B atsstqv B G» Et qtsta A F stqualis e&E B»comm«rrk EGjrtfstBu^ AF>FG»ditR~ bus F B, F O

^*^q«sk\a »% •guksqueAE " .G stsmsid G F B ssptaHs?

,,e f ttt ergo <§<r baisAGbxS B G squaiis, cluubsstrgo ccs.tre-G.ut» trroalio A G delcrtpt* «<!->

bstetsjms p«- BxDeferlB*tur»A; Itt ABBj kugsrurcke E B»* tlmn itaque dsametro AEab evusttoltatc A" ed assgtsios reeJo» ftt 4u£k ADj/"caogetspia«rcjiiumj««m-

s

I I J J I R I/f. 141 que circulum ABE reccaj quedam AD ta-

at, fitque a tactu A in circulum dncta re-raAB;£ eritangulusDABxqualisan- iWhi-ulo A E B in alterna fcctione A E B exi-entfcfed D A B eft xqualis angulo C:igi-

tur&angulusCxqualiseritAEB angu-lo. Super data ergo recta AB portiocircu-li defcripta eft capiens angulum A E B.ae-quaiemanguloC. Sitiamangulus Cre-«TiiSjfitquerurfus fuper A B portio circu-li capiens angulum recto C atqualem de-fcribenda^. Fiat angulus B A Dangulo C ? fr'Mt>u stqualis,vt in 2.defcriptionc: * AB in F bi-' W*' fecetur;& centro F.interuallo F A,aut FB defcribaturAEBcirculus. k Tangitigi- *ear.fraf. tur refta A D circulum, quod angulus* "•'• B A D rectus fitlfed angulus B A D atqtia-lis eft & artgulo Cj / & angulo A E B in al- j«•».*!. 1. terna fedtionejerit igitur & AEB, angulo C «qualis. Defcripta ergo eft fuper AB portio circuli A £ B capiens artgulu AEB> xqualemartgulo C. Sit tertio angulusC obtufus. tn ponatur ei ad A rectx A Fa> mfraf.a%.t qualis B AD , vt in tertia defcriptione, n ducaturq; rccce A D ad angulos rectos npraf.u.t. recta A E; & AB in F tf bifccetur, eui e* F 0fraf.ta.i* ad f angulos rectos ducatur F G, & iun- pfre,autt

gatur G £< Cum itaqj A V ajqualisfit F B , v r

com» .-•••»

14* l t B t ft tit communis FGjerunt duzF G, AF, dtia* busFGjJBFzquales, &angulus AFG

mfnf.4.1. anguloBFGxqualis: f eritigitur&ba-fis A G bafi B G arqualis. Circulus ergo centro G,interuallo A F defcriptus tran-fibit etiam per B, t ranfeat vt A £ B. quia crgo diametro AE ab eztremitate A ad

tetr.fr»». angulos rcctos ducta eft AD, r tanget illa 1 f-i circulu;&cum a tactu Ain circulum dufta fr»Hx-i' fit AB,i erit angulus B A D xqualis aDgu-

lo AHB.qui eftin alterna ponione circu-li A H B. Sed angulus B A P arqualis eft anguloC.eritergo&angulus AHBin al-terna portione arqualis angulo G fuper data ergo rerxa A B defcripta eft portio circuli AHB capiens angulurtiarqualcm

. angulo C.quod oportuit facere.

Propof34.ProbI.eT.

\*Ad*to eireulo portionemauferreLJ, quuetpiatungubmdquiUmdito

anguloreeJiUneo.

ESto datus circulus A B Qdatus angu-lusrectilineus D. Oporteatauteml

circulo A B C portionem auferre,qu§ ca-piatangulum,anguloDzqualem. Duca-

Ufri/,fa,*ttrE *" tangenscuculum in B. a Cooftt-tua»

tuaturq; ad B rectarE Fangulus F B C«-qualis angulo D.Cum ergo circulfi ABC trangat recta E F,& a ta6tu B ducta fit BC, 0 erit anguius F B Cequalis aogulo B A C bfrtf.ju$ tn alterna portioneB A C conliituto: fed angulus F B'C *qualis;eft angulo D: erit Jgitur& BA C inalternafedioneeidem angulo D squalis. a dato ergo circulo ABCabUtaeftportioB ACcapiens an-gulumarqualcm dato anguio D. quod o--portebatraccre. '

Prop0n3j.Thcor.zo. SiincircnUdmtreSixfcinuicem fecct,

eritrecJMnguiumfortionibusvniuc eontentumjtquAlcfortionibuc

clterius contento.

SEcent in circulo ABCD fe inuicem duat recn* A C,B D in E.Dico reiftan- J

fulum A E, E C contentum, xquale efle ) EJEB contento.Si igitiir A C, B D per

cen-

H4 L l B E R 111,

centrum tranfeant, perfpicuura efteurn A E,E C.D E,EB equaies fint;etiam AE, EC contcntum,equale eue,DE,EB con-tento.Quod fi per centrum no tranfeant.' accipiatur centrum F, ab eoque ad rectas

afrff.ji.i. ACDBrfducanturperpendicuiaresFG, FH, iunganturq; FB,FC,FE.)Etquia re-cta quxdam GF per centrum ducta.recti quandam A C non per centrum ductam

hfref. jj.*d angulos recxosfecat,&f> bifariam iliara cecabit: zquales ergo funt AO.GC. Cum igitur recta A Cin Gzqualiter, in Einae-

tfrtf. f. J. qualiter fecta fit;f erit quod AE.EC con-tjneturrcctangulu, cQm quadrato quod ex EGzquale quadrato quod ex G C, fi comune.quod ex G F, addatur,erit quod AE,ECcontinctur,cum iiiis,quz exGE; G E quadratis, zquale illis, quz ex C G,

ifr»f.f 7.1 GFtf Sed illis, quz ex CG.GF zquale eft, quod ex F G: iliis verb, quz ex G E, G F, zqualeeft, qubd ex F E: ergo quod A E, EC continetur, cum eo quodex F E ,

zqualo

£ J 4 £ ftt .71/. I 4 J xquale eft ei.quod ex F C (zqualis autem eft F C ipfi F B)crgo quod A E,E C con-tinctur, cumiUoquodexEF,zqualecft ei,quodexFB. Obcandcmcaulam eric quod D E,£B continetur,cum illo quod cx F Exqualc ei quod ex FB. oftennitn eftautem &id,quod AE,ECcontinetur, cum eo quod ex FE, xquaieefle ei, quod ex F B: ergoquod AE, EC continetur cum illo quod ex F £ * xquale eft illi quod DE.E B continetur,curn illo quod ex FE quadrato'; commune, quod ex F E, aufe-ratur; & erit rcliquum A E, E C conten-tum, zquale rcliquo D E, E B contento. Si ergo in circulo, &c. quod oportuit de-monftrare.

Propofi36".Theor.3o. Si exitd circulum punclum fumatut, abeoq^ in iirculum dua recia linea ca-dant,quarum vndcirculum/ecet,alte-rd tangat,reclangulumtotafecante,& eaparte, qua inter pUncJum, ejrcur-

uamperipheriam eff,erit aquale tangentu quadrato.

EXtracirculum ABC fumaturquod-uis punctum D, ab eoq; ad circulura

K cadant

cadant duz rcctz D C A, D B; quarum D C A circulum fecet, D B tangat. Dico rectangulum A D , C D contentum, z-quale cflc quadrato,quod fit cx DB.Tra-fit autem D C A per centrum , aut non. Tranfeat primo per centrum quod fit E.

ifrtf.it.j DuctaergoEB, * eritangulusEBDrc-ctus. Et quia recta AC bifecatur in E.eiq;

hfrtf.t.t. appofitaeft,in directum C D^eritquod A D, D C continctur: cum eo, quod ex E C zquaie ei, quod ex E D; eft vero E C zqualis ipfi EB:crgo quod AD.DCcon-tinetur rectanguiu, cum quadrato quod ex EB,zquale eft ei,quod ex ED,quadra-

cfrtf.fj.t to. e Eft autem quod ex E Dzquale illit, quz ex E B,B D quadratis, quod angulus EB D redus fit. Ergo quod A D , D C continetur, cum eo quod ex E B ;zquale cft iliis,quz ex E B,B D;communc,quod

cs

I I B E R II!. 14« «x E B tollatur. eritque quod A D , D C continetur, zquale ei quod ex Tangente D B quadrato.

Sed iam D C A nontranfeat percen-trum^iccipiaturque centrum E,/ab eoq; ifrif.\t.jl ad A C perpendicularis ducatnr F E, iun-ganturq; EB,E C,E D;e erit ergoangu- e/nwM/.j* ius E B D rectus. Et cum recta quzdam , £ F peccentrumducta,rectam quandam ACnonpercentrumduccam fecet,/ad ^ft-S-f: rectos angulos illam, & bifariam fecabit; funt ergo A F, F C arquales. £t quia recta A C bilecatur in F, eiq; in directum addi-turCD,£ critquodA D,DCcoutine- afnf.tii tur,cum illo quod ex F C, zquale ei quod ex F D:Commune, quod ex FE,addatur, & erit quod A D, D C continctur, cum illis quz ex F C, F E, zqualc illis, quz ex FD,FE:ilIis aute,quc ex DF;F £,* zqua- *f*M7A le eft,quod exDE(eftcnim angulus EFD rectus): illis vero.qux ex C F,F E,zquale eft, quod ex C E. Ergo quod A D, D C continetur cum illo quod ex E C, zquale cftei.quodex ED,*" eftautem ECzqua- M«//;* lis ipti E B:Ergo quod A D,D C contine-

- tur, cum illo quod ex E B , zquale cft ei, fc qnod ex E D: ei autem quod ex k E D z- ft+W qualiafuntquzexEB,BD,cumangulus

K z E B D

148 i i i i i m . EBD fit reccus:ergo quod AD,DC con-tiuetur cum eo quod ex E B, zquale eil il-lis, quatex EB,B D( Commune, quod ex EBtolUtur,&eritquod A D,D Cconti-neturrectangulum, gqualequadratoex tangcntis DB.Siergo extracirculum,&c. C^doponmtdcmonfcarc.

Propof.37.Theor.3i. Si extra eireuium punclum Jumatur» ab eoque in eircuUtm dua recla cadant, quarumvnacirculumjecet; alterain-cidat;Jitautcmquodtotafecantc,&ea parte, qua inter punilum & curuam peripberiameH,eontineturreclangu-

tum,aquale quadrato quodjft ab in-eidente,tangetineidens

eirculum.

SVmatur extra circulum A B C pun-ccum D,abeoqueincirculumcadant

duf reae. D C A,D Bjquarum D C A fc-cet,DBincidatcirculo. Sitautemquod AD,D C continetur re&angulum,equa-le quadrato quod fit ex DB.Dico DB cir-

«//•/•.i7.#.culamtangere. a DucaturenimDEcir-cuium tangens, fumptoq; centro F» iun-

gatt-

S>„ I

LILSKIIL 149 /J> gs»JsrFH,FB*FD*0& $p»?j$,$ /fi\ emauguks F £ t> rs>

/ / ! \ Dus* EtquiaDEta»» / / I \ g?t > D C A fecat cieco*

/V/..LV \ lum; <c erfr quo<! A I>* g$>r<f,s#4 '-•""/ | % v \ « DCeontintrur^qpie

I ^ - " \ ci qaod cx D £ i poub 1 j j? / t«r sotc & quo4 A D* \ / . *> J DCeontsaerur.eqaa» X <J.^ f e ej qU<?4 «^ D IFergo

qtiodes D.E a-quakeftei* aao4ess DB5 seqasies funmgo D E, D B 5 4 faas vero d «'/r/^,; & F E , F B « q B « ! e s ; ^ i g M r D £ » £ F . du&bus D B,B F equaies i»»t;& bsfts FD eomraanss;*anguiasergo D EFasqaaKs e/*f,&?r efCugub D B Fr efUatem D E F reciujs. «rgo&DBF«Saseft .£tFB,SproaB-«srumiUbmctrus,/ qsrsaacemdsaroe- f«?/r#/s *ro ad aflgttfos rr&os 4 oeirur &b «stremi-? A#. sa£e,circaia«n ?angit,I4em 4em»nilrd?i~ sur pari rrtoslo d ecntram frtbr A C> Si er*

so csrrs dreoluro, ace, qu«4 0» or~ rurr. i

W\vi >„, ,--• -;,, .,, -• ,,« H$C* <J <q|» U? *£s e?

K 5 EVCLI-

150 X I £ £ X IV.

QVARTVM.

Definitiones, Figurarectilinea figurac rcctilinearin-

fcribi dicitur, cum finguli infcriptat anguli,finguUIateracius,cuiinfcri-bitur,tangunt.

Similiter figura figune circumfcribi dicitur.cum fingulalateracircum-fcriptx, fingulosanguloseius,cui circumfcribitur, tangunt.

Figura rcctilinea circulo infcribi dici-tur; cum finguli anguli infcriptat ta-gunt pberiperiam circuii.JMprox>. j>. triangulum ABCsfixtaauaJratum ABCD circuh mfiriptum viaes.

Figura rectifineacirculo circumfcribi dicitur, cum fingula latera eircurn-fcriptzcircufi peripheriamtangut. Jtaprop.4. triangufim A B C; oilauu

fua>-

I I B E R IV, lej quairatum ABCD cireulo eireum-

Jcriptumeernis. Circiuus fimiKter figurz infcribi dt-

citur, cum circuli peripheria fingu-lalatera eius,cuiinfcribitur, tangit. Itaprop.a.eirculum E FGtriangul» ABC,oliauacirculumEFHK.qua-arato, ABCD infcriptum vides.

Circulus figurz circumfcribi dieitur, vcum peripberiacircuU fingulosan-

gulos eius,cui drcumfcribuur, tan-git. Itaprop.z. circulum ABC trian-gulo, fixta circulum ABCD qua-dratoctreamfiriptumviJes.

Reexalinea in circulo aptari dicitur, cum eius tcrmini incirculi pcriphe-riafuerint.

K 4 Pro

15» LtBER IV.

Propoficioi.Problemar. In datoeirculo, daia recla Unea, qua

diametroeircuUmaiornonJitta~ quaUm reclam Uneam

aptare. J^-~~^ C It datus cir-

OculusABC, \-Q data re£h«quf

circuli diamc->-«_,-x«s. ^s tromaiornoa T5~" -rT" -^ • f,t,D. Opor-

teat autem circulo A B C rectam,re6tf D Xqualem.aptare. Ducaturdiametruscir-culi B C Si ergo B C xqualis eft ipfi D, fa-cfumeft,qupdiubebatur. Circuloenim A B Captata eu B Cxqualis rectat dat*.Si

-frtf.j.i. autem B C maior efl quam D. a Fiat C E xqualis ipfi Dj&centro C,interualIo C E defcribatur circulus EAF.ducaturq; C A. Quia ergo C centrutneft circuli AEF;

hdtfi/.u ^eritCAxqualisCE: fedipfiDxqualis eft CEterit ergo & D f qualis ipfi ACDa-to ergo eirculo A B C, Datx rectx D non

maiori circuli diametro,xqualis C A aptata eft. Qupd opor tuit

facere.

Pro-

I l B B X IV. | j |

Propofitio %. Probl.».

D«fr «rcat/e triangulum dato triangu-io aquiangulum infiribere.

Sltcirculus datus ABC, triangulum da-tum D E F; oporteatque circulo ABC

g A H.

triangulum, triangulo D E F arquiangu-lum infcribere. DucaturGAH tangens circulum ABCin A; «conftituaturque a/r#/j;.r. ad A reota; G A H, angulus H A C xqua-lis angulo D E F, & G A B arqualis DFE; ducaturqueBG QuiaergocirculuABC bfnf.juj. tangit recta G A H, & a tactu ducta eft A C\b erit angulus H A C zqualis angulo cfnf.u.u ABCin alterna portione:fed HAC eftas-cjualis D E F angulo; erit ergo & A B C atqualis eidem D E F. Eadem ratione erie anguius A C B angulo DFE xqualis, c re-liquus ergo B A C zqualis erit reliquo E D F. Eft crgo triangulum A B C tri-angulo D E F zquiangulum , & inicri-

K 5 ptum

154 LIB Eti IV.

{>tum eft circulo A B C. Dato crgo circu-o,&r. Quodoportuitfacere,

Propofitio 3, Probi. 3.

Cirea datum circulum dato triangulo aquiangulum triangulum

dcftribcru.

EStodatus circulus ABC.datum tri-angulum D £ F . oporteatque cixca

k f£ -£. TS.

A B C circulum triangulo D E F arquian-gulum triangulum deicribere. Produca-tur vtrinque EF in G & H, fumaturque centrum K circuli A B C, & ducatur recta

»f**r.»j.r. KB vt libet; & «conffituatur adKrecta? KBanguIp DEGsqualisBK A;angu-lo vero DFH, atqualis B K C.perque pun-

^W^././jiaA.B.CiiducanturtangentescircuIum. L A M, M B N,N CL. Et quiaLM,MN, N L tangunt circulum in A,B,C; & a cen-

tror

L I M I R IV. 155 tro K ad puncta A, B, C duchc funt K A, K B, K C: r-recti igitur erunt anguli ad A, W- i*.* B, C puncta. £t quia quadrilateri AMBK quatuorangulizquales funt quatuor re-«2is;*diuiditur enim quadrilatcru AMKB jjjj^**" in duo trianguia K A M, KB M, quorum ^f^ anguliK AM, KBM recti funt; reliqui I^M. crgoAKB,AMB duobus rcccis zquales crunt :«*Sunt vero& D EG, D E F duo- dpnf.tj.t: busrectiszquales: ergo A KB,A M Ban-gulizqaales fuut angulis D E G, D E F. quorum A K B, D E G zquales cum fi nt>* crunt& reliqui A M B, DEF zquales.Pa-ri inodo demonftrabitur angulum LN M angulo D F £ zqualem efle: reiiquus er-go M L N reliquo £ D F zqualis erit. z-quiangulum ergo eft triangulum L M N triangulo D E F, & defcriptum eft circa circulum ABC. Ergo rirca datum circu-lum, &c. Quod oportnitfacere.

Propofitio 4.Probl.4. ln dat» trUngulo cireulum dcfcri-

bcrc-j.

Slt datum triangulum A B C , in quo oporteat cireulum defcribere. * bife- *fr*p.f.i\

ccntur anguli A B C , BC A rcctis B D, C D ,

156 LIBER IV* \pnp.ii.i. CD.quzin D punccoconcurrant,9du-

canturque ex D ad rectas A'B, B C, C A perpendiculares D E, D F, D G. Et quia anguli A B D , C B D zquales funt ( eft

A enim A B C bifectus) anguli vero B E D , BF Drecti,habebunt duo triangula EBD, D B F duos angulos duobus angulis, & v-num |atus vqi lateri e-

"c. qnale, nempe comu-tprtf.ss.1. neBD.chabcbunter-

go cV reliqqa latera reliquis «qqalia• vndc D E, D F xquales erunt: Eandern ob cau-fam D G,D F zqqales erunt-Cireurus er-gocentro D.iqteruallo vno punctorum, E,F,Gdefcriptus,tran(ibit etiam peralia puncta.tangetque rectas AB, B C , C A quod anguli ad E> F,G recti fint. Si enim ipfas fecaret,. caderet, quz ab extremitate diametri ad angulosrectos ducitur,intra

iprip.is.* c ' r c u I u n i > «fquod eftabfurdum. Non er-go circqlus centro D. interuallo vna ha-rum DE, D F . D G defcriptus fecatre-ctas AB,B C>C A; ergo eas tanget; eftque

• circulusintrianguloABGdelcriptus.In dato ergo trjangulo, cVc Quod oportuic faccvo* Pro-

L 1 B E R IV. 157

Propoficio j . P r o b l . j .

tirca datum triangulum circulum defcribere^.

Efto datfi triangulii ABC.circa q» opor teat circulfi dcfcribcre. bifecetur AB,

A C in D & £;atque apunotis D, E du-can tur ad A B, AC ad angulps rectos DF,

EF,qua* concurrentaut in tnangulo ABC,aut in recta BC, aut extra triangulum. Concur-rant primo intra trian-gulumin F.ducanturq; *FUmtl B F ,F C, * F A. Et quia fig.»m$jf*

A D , D B «quates fun t, communis & ad eA angult» rectos D F, a erunt & bafcs A F, V****" ••** F B acquales. Similiter demonltrabimus CF,AFa*quales cfle: quare & FB, FC squales crunt. Tres ergo FA,FB, FC

atqua»

•— *fB—»W

158 1 1 * 1 1 IV. stqualesfunt. Circulus ergo centro Fin-teruailo vna ipfarum F A, F B, F C de-fcriptus tranfibit & per reliqua puncia, e-rirque circulus circa A B C trianguluro, defcriptus. Concurrant iam D F , E F in recta UC in F.vtin fecundadefcriptione»

iungaturque AF. Si-militer demoftrabimus punctum F centrum ef-fecirculi eirca triangu-lum ABC defcripti.Co-currant demum DF,EF cxtra triangulum A B C

in F, vt terria habet dcfcriptio, & iungan-tur A F . F B , FCCumque A D , DBat-

-- , quales fint,communis,&adangul6s re-b/np.4.1. ^ D F> t, e r u n t & ^fc,. A F> B F S{{ua/.

les.Similiter demonftrabimus & C F ipfi F A aequalem efle: quare & B F arqualis e-rit F C. R.urfus ergo circulus centro F:in-teruallo vna harum F A, F B. F C, defcri-

ptus

I 1 S JJ * IV. , ? 0

ptus tranfibit etiam per reliqua puncta» ellque circa A B C triangulum defcriptus. Qupd facere oportuit.

CoroHarmm. Vnde perfpicuum eit>quando centrum

circuli in triangulum cadi t, angulu B A C in maiore portione femicirculo exiilen-tem recto minorem eflTe. quando Vero centrum in B C cadit ,in femicirculo cxi-(tentem,rectum: quando denique cen-trum extra B C cadit, in minore portione ' femicirculo exiftentem > maiorem recto. Vnde quando datus angulus minor eft re-cto>intra triangulum cadunt rec~ca~DF, £ F; quando rectus.in B C; quando ma-ior recto, extra B C; quod oportuitde-monitrare.

Propofitio 6. Probl,c*.

ln dato circulo qudaratum de-

fcribercs.

^ It in dato circulo A B C D quadratum defcribendum. 4 ducantur diametri afnf.ii.ri

A C, B D ad angulos rcctos, iungantur-que

mmmmmmi

teto L J B E R IV. que A B, B C, C D, D A. Cum ergo B E, E D fint xquales, quippe ex centro E, co-

munis & ad angulos */«/.#. /. x ^ v \ rectos E A j b erit &

bafis A B bafi A D xquaiis. Eademra-tione vtraque ipfaru BC,CD,vtriq;AB, ADcftzqualis. Eft

Ergo quadrilaternm ABCD srquilate-rum. Dico quod&zquiangulum. Cum rccta B D diametrus fit circuli A B C D ;

cfr»f.juj. ecritB A D femicirculus; rcctus eftergo angulus B A D. Obeandem caufam qui libct angulqrum A B C, B C D,C D A re-ctuseit; rectangulum ergo eft quadrila-terum A B C D. Oftenfum eft autem &

i itf.tjj. «qudaterum ; i qaadratUm ergo eft: & eft circulo infcriptum. fn dato ergocir-culo, &c. Qupd oportuit facerc.

Propofitio7.ProbI.7..

Circadatum circulum quadratum defiribere^s.

Slt circa datum circulum A B C D qua-dratem defcribcndum.Ducantur dia-

mctri ACjBDad angulos rcctos,&per pun-

tlBtH IV. 16*1 puncta A,B,C,D ducantur tangentes cir-culumFG.GH, HK, KF. Cumergo

Cf A /el F G tangat circulum, r V I & a centro E ad tacti -. >L Adu6tafitEA;<icrue

*£ R A

D anguliadAtecti.Eadc de caufa <i crunt & an- a/ra/.r A/,

H C X gu" «d B, C, D refti* cumqueanguli AEB,

EBG recttilint.PeruntGH, AC parallela*. bfrff.iSM Eademdecaufaerunt AQFKparallela*; Similiterdemonftrabimus,quodGF,HK fint ipfi B E D parallela* i Sunt ergo G K, G C, AK, FB, B K paralielogramma.c vn- tprep.tj.n de a-qualis eft G F ipfi HK; & G H ipfi f K. <?& quia A C, B D zquales funt. At- iiefit.fi que AC vtrique GH,F K; & B D vtrique CF.HKefta-qualis; ergovtraqUeGH, £ K,vtrique G F, H K cffa-qualis. Eft igi-tur F G H K quadrilaterum atquilateru f dico qtldd & rectangulum. Cum enim G B E A fit paratlelogrammum, fitq; an-

fulus A E B reftus, e erit & A G B rectus.«t#fi+A imiiiter demonftrabimus quod artguli ad

H,K,F rccti fint; eft ergo FGHK recttn-gulum quadrilaterum, oftenfum eftaute £ca*quiiaterum,/quadratum ergo eft,&t**ty.*"*'*» cftcirca A B C D ctrculu defcriptumtergc

I, circa

tfftf.n.u b/»«/«|i»''

j e i LI B t K IV. ctrca clatum, &c. Quod oportuit facere*

Propofi t io 8.Probl .8.

Indato quadrato circulum defcribere.

Slt in dato quadrato A B C D circulus defcribendus.«BifecenturAB,ADirt

FjEjJacperEqui-dem ducatur afte-rutriAB, CDpa-rallela E H : per F Terbalterutri A D , B C parallela F F. SuntcrgoAK.KB,

A H , H D , A G , G C , B G , G D paralle-tfttf.jf*i. logramma , cideoque lateraoppofitax-

qualia. Et quia A D, A Bxquales funt, e-runt & fcmifles earum A E,A F xquales:

Afrtf.j+%i, d quare & oppofitx illis F G, G E xquales erunt.Similiter dcmonftrabimus vtramq; G H,G K vtrique F G.GE arqualcm efie. Sunt igitur quatuor G E, G F, G H, G K xquales. Circulus igiturcentroG, intcr-uallo vnaharum G E, G F , G H , G K de-fcriptus, tranfibit& per reliqua puncta: fed&tangit redas A B . B C . C D , DA, quodanguliadE,F,H,Krectifint. Sie-nim circulus ipfas A B, B C, C D, D A fe-caret,cadcretquxab extremitatcdiamc-

tri

IISIR IV. I6> tri art angutos redos ducitur,in circulum, equodeftabfurdum; Non crgocirculus centro G, & interuailo vna harum G £, e/w/.is./, G F, G H.GK defcriptus fecat rcaas AB, B C, C D , D A: tangtt efgo:& eftqua-drato A BCD infcriptus. In dato crgo quadrato,&c. Quod oportuit facere.

Propoficio p.Probl.o. Circa dattm quadratttm circulttm

dtfcribcru.

Slt circa datum quadratum AB.CD circuius defcribendus : du^x te€tz

AC,B D fein £ fecent, EtquiaDA.ABarqua-les funt,AC commu-nis.eruntdupDAjAC, duabusBA, A C xqua-les: fed&bafesDC, BCrfxqualesfunt:le- *^J* J ,

runt ergo & anguli D A C, B A C arqua- «*r*'*' * * les: angulus ergo D AB reda ACbife-catur. Simiiiter demonftrabimus quem-libethorum ABC, BCD.CDArcdis A C, D B bifecari. Etcum anguii D A B, A B C arquales fint; fintque E A B, EB A CiW _ corum cUinidij, c crunt & ipfi xquales:

L x qua-

1*4 I I B I R IV. quare&lateraEA.EBarqualiacrunt. S\r militer demonftrabimus vtramque recta-rum E C, E D,vtrique E A,EB «qualem effe. Quatuor ergo EA,EB, EC, ED asquaies funt. Igitur circulus centro E, in-teruallovna harum E A, EB defcriptus, tranfibit & per reliqua puncxa,eft igitur circa A B C D quadratum defcriptum, Ergo circa datum,&c. Cmod oportuit fa-cere»

Propofuio io.ProbJ. io. 7"ri*ngulumifbfccle coftituere, hsbent

vtrumquequiudbsftmsngulum duvlum retiqui.

Tj' Xponttur recta ifrfj/M X ^ ^ N . ^««daAB.jqug

inCffcfecetur, vt ABiBCcontcntum acquale fft quadrato ex CA defcriptoJgi-tur centro A.inter-ualloABdefcribatur

•>•«• tU circulusBDE.ieiqueapteturrcctaBD H»M'.% *q u a u s 5Pfi A c > & d u a i s D A » D c , r de"

fcribatur circa triangulum ACD circulus ACD. Etcumquod AB,BCcominetur rqualc fit ei,quod ex AC quadrato,fitque

AG

I 1B B K IV. \€% AC ipfi BDsqualis; erit & quod AB, B C continetur a-quale ei, quod ex B D. Cum igitur extra circulum A C D acce-ptum (it punctum B, ab eod» ad circulum AC D cadaqtdu»ftc"ta* BCA.B D.qua-rum vna circulum fecat, altera ei incidit, fitque quod A B, B C continctur aequale ei quod cx BD,4tanget BD cjrculum d/*»/»7-l? A C D i cumque BD circulum ACD tan-gat,atactu autem Dductafit D C , i e r i t ' / W « angulus B D C angulo D A C in alterna circuli portione coofiftenti zqualis, Cum

4jrgo anguli B D C, D AC fint aequales, fl ^omunis C D A addatur, erit totus BD A

duobus C D A.D A CzqualU :/fed duo- t/W*1

bus C D A, D A C zqualis eftextcrnus BCD: ergo B D A zqualis erit ipfi BCD: fedipfiBD A zqualis eft CBD,cum & i*latera A D, A B fint zqualia : quare & zDtf.if.il D B A, B C D Zquales erunt; tres ergo BDA,DBA,BCDfuntzquaies: & cum anguli D B C,B C D acquales fint, e-runt& latera B D, D Cacqualia; fed B D ipfi C A ponitur aequale; funt ergo & A C, C D zqualia: vnde & anguli C D A, D A C zquales erunt: ergoanguli CD A: D A C dupli funt asguli D A C: eft vero &BCDzqualtfduobusCDA,DAC;

L | ergo

Itfft* I I H l IV. crgo B CD duplus eft ipfius D A C: Et cumvterqueBDA.DBAanguloBCD fit a*qualis,duplus erit vterque jreliquo D A B.Triangulum ergoifolceles,, &c. Quod oportui t facerc

Propoficio 11. Probl. 11.

Dato eirculopentagonum aquiUterum & aquiangulum infcribert.

Sltin dato circulo A B C D E pentago-oum xquilaterum & (quiangulum ae-

A k

faibendum. Exponatur triangulum ifo-fceles duplum habens vtrumq; angulum

tfrtf.i.a, ad G, H, eius qui eft ad F; & a infcribatur circulo ABCDE triangulum A C D x -

' quiangulum triangulo F G H: ita vt an-guIoFarqualis fit angulusC A D; angu-fis G, H anguli AC D, C D A. Et quia v-terque A C D, C D A duplus eft anguli

hfrtf.f. s, C A P , b bifeccntur rectis C E, D B.iun-gan-

I / fl I X IV. iSy ganturque A B,B C,C D,D £,E A. Cutn itaque vterque anguiorum A C D, CD A duplus fit anguli C A D , bifectique fine rectisC£.DB,erunt quinq; anguli D AC, A C E , ECD.CDB.BDAarqualesin-ter fe: e Et cum aequales anguli xqualibus c ****'*•*•* peripheriisinfiftant, eruntquinqueperi-pheriae A B, B C, C D, D E, E A aequales:, ifed arquales peripherias equales rectas VI****-fabtendunt; funt ergohzquinquerects A B, B C, C D, D E, E A xquales; eft er-go pentagonum A B C D E e.quilatcrum. Dicoquod&aequiangulum. QuiaAB, D E peri pheriz equales funt, fi commu-nis B C Daddatur .erunttotae A B CD, EDCBcquales; & infiftit peripheriat A B C D anguhis A E D ; peripheriae ve-roBCDEangulus B A E ; « funt ergoc/r«f.«/v, AED,BAEaoguliaequales. Eademde caufa,quilihet angulorum A B C, B C D, C D E vtrique A E D, B A E srqualis erit: eft ergo pentagonum A B C D E aequi-* angulum;demonftratum autem eft,quod . & aequilaterum. Dato ergo circulo,

&c. Quod oportuit - racere. -Off(o)dt>

L 4 Pro-

w^a^Krmmmtz>=m**m

UZ L I fi B X IV, Propoficio12.ProbI.1z.'

Circa datum icirculum fentagonum 4-auilaterum & aquiangulum

defetibere^.

OPorteat circa circuluro A B C D E pentagonum rquilatcrum & «qui-

anguium defcribe-re. Cogitenturanr

>lVt gulommpentago-niiofaifnipuncxai A,B,C,D,Eitavt peripherix, A 6 , BC,CD,DE,EA

•tT*».i7.t\ «qualea fint, a ducanturque per A, B, C» f r D,Erec»GH,HK,KL,EM,MGtan-

gentes circulum, & accipiatur centru cfr-culi F, iunganturque F B, FK» F C, F L» FD.Cumttaque KLreczacircuhiminC tangat,& abF ad contaccum Cductafic

pprep.it, j , F C,A eritipfa ad KLperpendicularis: v-terquc ergo angulus ad C eft reclus, Ean-dem obcaufam redi funt anguiiadB,Di

ctr*f,*7>i sc cum angulus FCK rectqs fit* erit quod exFKrqualciilis.qurex FC,CKqua-dratis. Eadem de caula, erunt quatex F B , BK sequalia illi, quod ex FK; funt ergo quz ex FC,CK a*quajia jiiis,

quaj

I I l| II-IJ ••<!

1 1 * 1 * IV. X69 «ttt*; ex B F, B K 5 qsjorin-es qtsodesF Cte-«l«s|« * d l <'s,qirsj<! <•;< F Kserst sgtttstK: ro * s*ti*rt, Iststsum qssotkx CK «qsrak suUqsjo,quod f c (**'+:

Y < ! • • , s s - s i . . - # „ < - i v * • . • > & > # / , / -oi>k:iumm|Oi>K,CK<>quak:s<t..;.<?ijt;i" ^ F <> - .<< \ .~ . «v*,.- t]&?ppeese

IB r C «qtss I cs ISJ SJ s, cnm st> tsts s< F K , e-,- .<«„>•_. *d nsnid«a?B FSF Kdu.sbsss C F, FKssrqssa- pmberi. ks,&' baik B K bais CK squaiss.; d crgo & <*•'•*•

t\p*f.S,u

sngnltss B F C oWfsss arsguU KF C t J& BKCdssfbssasigstls FXC< Ob rastdens <casj &m c?k & C F D tiuphass spis tsss C FI.; Hr C L DdopUts ipBsssCLF., Cusoqt pe~ y}pWs*BC,CD;£qaak*iinr># frsss.rSde/s-f.17^ grssjult B F €SC F Dsxqaaks, dlqstc BFC ipitusspK F C dstpis.it, „ D F € v«o dsjptssss ipitusiJX.Crxin.sicsorgnfsntKFC.Cfl... / d u o rrgo m.stjguit V K C, l L Cdoos ->*»V*» susgnbs dunlms, basSbrb £qusk$a!tcrsm ja!t<:n,& kus.s vstsjrrs vni htsti F C vtdqsjss communerbabibunt&j^Iiquaktefsre»

«qssursj sstspttb F K C, FI. C&-tpj.&tsss5 asm-«qtst. K CasquaUs fu C L , dupb«rk K L5 -pftus KC B&dem de casdb demounVabk sttssr H K slupk spfms B K t & scuns dt-srsems

Hmuoa Ist B K SsJquslisK C s sltqs K Ldss -L 4 pU

I 1 IV. pla ipfius K C , &E

"ft HK dupla ipfius ««•'• TfrrC -. \>llBK;jjerit&HK * ""f'1* » M * ipfiKLxqualis.Si-

militer dem&ftra-bitur quxlibet ip* farumGH, GM,

M L vtriq; H K,K L equalis:eft ergo pen-tagonum G H K L Mxquilaterum, Dico quod & xquiangulum. Cum eoim anguli F K C, F L Ccquales fint» oftenfusque fit HKLduplusipfiusFKC:&ipfiusFL[C duplusKLM;erit&HKLipfiKLMae-qualis. Similiterdemonftrabiturquilibet ipforum KHG.HGM.GML vtrique H K L.K L M xqualis. Quinque ergo an-guli G H K,H K L.K L M,L M G.MGH luntxquales; xquiangulum ergoeftpen-tagonum. Oftenfumautemeft&xquila-terum, & eft defcriptum circa circulum A B C D E. quod oportebat facere.

Propofii3.3Probl.13. Dito pentagono equilatero, ejfaquu

ingulocirculuminfcribere. kPorteat dato pentagonoxquttatero &aquiangulo ABCDE circqlum

efref.f.1. infcribere. «bifeceturvterqjangulorum BCD»

O!

L 1 B I K IV. 171 B C D>C D E r esSis C F> D i',& I puu&o F*m qcoC F, DFjtC«ncisminf,*kK!iB«3r **&* F B>F A>F £.&quU BC>€D gqes-I«s &»st , commuriSxC F > carnt d«& B Cs

C F dosbus D Cs C F srqoafc-s, & sogoSos BC FangaloDCFsrqoaSB^ergoo: ba- \>fr$f.f.n IEB Fs bait DFgpqoBts<?nts &tbanga-l«m B F CtfssogoSo D C F* reSiquiqj ao-guit rdtquss» qtobos ffqcndisbjcta Sbb~ «soJontor,ssquaScs etuot- Sunt ugbor as~

A gohCBF sCBFs?* & A F vML qodes, Et curo sa-

^K L/Sj*® g«*«* CDF duflos E ^ j ^ ' ^ 1/ & aogtsli <. D F > ar-

i ^ C " / J X T J ^ <D*i^auB&CD£» \ 4 ! i M > A S C ? t k C D F s

C""*Z. M CBF;«»toVCBA «lopSus ipfius C B Fearquaks ergo iutst A BFjFBGbifecaturergoaogHusABC reeihBF* SirotS$terdemonfkat«tquer«~ Isbct sngtsloram B A £,, h E D re<?hs FAS

3F E bifcearS. b Doraotut eotm sb F ad zfrtf.u.n A B > B C> C Ds D E. E <\tech ptrpejocfi-«uiam FGjFHvFK,FL,FM, Qoiscgo aogoSt H C F> K Cb' *q.sii« lunv.; F B C « eausjfrqu-slis cc&o F K €;e,runt duotn» smgob Ft IC> FKC duosaognk» duobus «trasies habeotia Ynuroquelatus v«$>F C -

latus

t u i t ir. latus commune, 8C

„_ , vniajqualiumangu-*r"f*tx * / ? \ l / ^ | B rorufubtefum,4ha-

bebunt ergo &reli-qua latera reliquis 5-qualia; funtergo per pedicularesFH,FK

cqnales. pari raodo dcmonftratur quseli-bet harum F L, F M, F G vtriq; F H, FK zqualis. quinq; ergo reftas F G, F H,F K, F L, F M zquales funt, circulus ergo cen-tro Fjinteruallo vna harum F G,FH,FK, FL, FM defcriptus, tranfibit&perreli-* qua punct;a,tangetq; re$as AB, BC.CD, D E, E A, eo quod anguU ad G, H, K,.L, M recti fint, Quod fi iuas norj tangat, fed fecetj cadet quxabeatremitate diametrf ad angulos rectos ducitur intra circulum,

tft*f,j(,\, vquodabfurdum cfle oftenfumefl; non ergo circulus ccntro F , interuaUo F G, FH,FK,FL,FM defcriptusfecatrectas;

A B,BC,C D,D E,E A; crgo tanget. datoergopentagono. quodo-

portuitfacere.

Pra«

L 1 B t R IX. 17J

Propori4.ProbI.i4. CircaddtumpentagonumxquiUte-

tttm & aquiangulum, circu-• lumdefcrtbere,

|t<rte;st eire* • d^turu pent>

goaum 3sqs3:Unt?& & „q„33Js«u!tussj A B C D £ cbeniom Befcribcrsc ~ Bifc- . _ . . ,* , •/**.>*•#••« eetur vs:erq< aag„« •

lotum B C D>CDEteabCDF D;& ;sb F punclminqoore&zcoammint sd B* AtEduc 3s»? rc£b? £ B«F A,F E. Sinsilker. «•rgo, vtiupwedctsts, deitsooftrabitujr quemlibetangulorfi CB A,B AE, AED, re6tis B F, F A, F E bifecari. Etquia an-

fuli B C D , C D E zqualesfunt, eflqiie C D dimidius iptius B C D,&CD F di-

midius iptius C D E;erunt F C D , F D C «tqualcs, t- qUare&lateraFC.FDarqua- bp»f.flt* lia erunt.Similiter demoftrabitur, quam-libetip&rum F B, F A, F E, vtrilibct F C» F D gqualem efle. Quinque ergo F A» F B, F C, F D , F E «quales funt. circulus igitur ccutro F ', imcruallo vna harum

FA,

~~*J.

»74 t1 * 11 m F A, F B, F C, F D,F E defcriptus.tranfi-bit & per reliqua pundta; eritq; circa pcn-tagonum A B C D E defcriptus.Circa da-tum ergoj&c.Qupd facere oportcbat.

Propofi5.ProbI.1J.

Jndato circulo hcxagonum aquiU-terum & aquiangulum de~

feribero.

S!t in dato ctrculo ABCDEFhexa-

gonum zquilaterum & «quiangulum de-fcribendum. Ducta diamctro A D,fuma-tur centrumG.atq; centroD, interuallo D G defcribatur cir-culus E G C H ; &

ductzEG.CGproducanturad B,F,iun-ganturque A B, B C, C D, D E, E F, F A. Dico A BC D £ F hcxagonum zquilate-rum &zquiangulum ctu-. Cum enim G centrum lit circuli A B C D £ F, erunt G E,G D xquales. Et cum D centrum fit circuli EGCH.erunt &DE.DG equales. Scd G£ oftenla cft zqualis ipfi DG; « crit

ergcj

I I B I * \t. 175 trgo&G EzqualisipfiE D: triangulutn erg E G D zquilatcrum eft, & tres anguli rius E G D , G D E , D £ Gzquaies,' cum ifofcelium triangulorum anguli ad baftm zquales fint.Etquiatres anguii tri- b/r*/•,/•» anguii duobus rectis equales funt.erit an-gulus.E G D tertia pars duorum rcctoiu. Similiter demonftratur D G C tertia pars effeduorum rectorum.&cum recta C G fuper EB confiftensc sogulosdeinccps, cfrof.ij.u £ G C , C G B duobus rectis zquales fa-ciat;erit & reliquus CGB tertia pars duo-rHmrectorum.funtigituranguli E G D , DGCCGBinuicemzquales; derunt Afrof.u.g igitur & qui ad verticern BG A, A G F, F G Exquales , t zquaiesautemanguii tfref.»e.j zquaiibus peripkeriis infiftunt: pcriphe-rizergo A B,BC,C D,D E.EF.F Afunt (fre,,„., aequales,/zqualibusautem peripherisz-qualesrectz linczfubtenduntuftfcx igi-tur rect*zqualesfunt; ideoque hexago-num AB C D E F zquilaterum cft. Dico quod &zquiangulum. Cum enim pcri-pheriz A F, E D zquales fint: fi com mu-nis AB C D , addatur, erunt tocz F A B C D , E D C B A xquales; £ Sed pcriphe- Zdtf-'t' riaFABCDinfiftitangulusFEDjperi-pberif vcr6EDCBA>angulus A F£,funt

ergo

•W^^m

176* l I » E * III.

crgo anguli A F E, D E F zquales. SimU' liter dcmonftrabitur reliquos hexagoni ABCDEF angulos, vtriq; AFE, FED x-qualcsefic.Eftcrgohexagonu ABCDEF atquiangulum; oftenfum eft autem&x-quiUtcrurn, &eftincirculo defcriptum. Jndatoergocirculo,&cJ Qupdoporce-batfacere.

(prollarmnu'. Ex his manifeftum eft latushezagoni

xqualeefleei, qucex ccntrocirculi. Etfi n/f«/J7.j. per puncta A, B, C, D, E, F * tangentes

circulum rccti ducantor, circa circulum hexagonum gquilaterum &«quiangu-lum cfefcriptum efle,vt in illis qug de pea-tagonodiccafuntviderelicet. Prgterea

iuxta illaqufdepentagonodictafunq indatohcxagono circulum

defcribemus.

Pro-

11 B E % iv. %^ ^

PropoCi6\Thcor.id\ Iftditocirculoquwdecagenumaqul*

Utc?*m&*auiutgulHnidi-fitiiertJ*.

j L ^ ^Portcatiil ^ N ^ V ^^daxo cir-

culo ABCD quindecagd-numfquilate> rii & XqUiari-gulum dcfcri-* bere. Defcri-baturincircii-

to A B C D trianguii xqUilateri lattis A C peotagoni xquilateri A B. Qujlium ergd totus circUl Us partiurri eft qui ndecim, ca-lium eft A B C periphcria, tertia circuii pars exifteris, quinque; AB, quinta parfl circuli ekifteris,trium;pars ergo B Qdua-rum; qUacfiiri E^bifecetur, erit quzlibet ifnfjt,.u peripheriarUm BE, ECdecimaquiota pars circuli. Si ergo ductis reccis B E,£ C, eis xquales iri contiririum circuld rettaS t aptemus«eritquiridecagonum f quifate- bfrtf.jL rura, & xquianguium defcriptum. Quod facereoportuit,

M . £Vcr-i-

E V C L I D I S ELEMENTVM

QVINTVM.

Definitiones. X Parseftmagnitudomagnitudinis, fhi-

nor maioris, quando minor metitur maiorem. Vt,z.tHpars^fiut6jttnm ipfius y.quitt zjmttitur 6;pomttitur f.

I Multiplexeft maior minoris, quando mihormetiturmaiore. Vt6.etimul-tiplex ipfius z.atf. ipfiusz.multiplex tiS e!it.Q»i*zmctitur6;nonitemj.

3 Proporcio eft duarum magnitudinum eiufdem generis cnutua qusdam fe-cundum quancitatem,habitudo.Pro-portte ergo eft inter res tiufdemgtneris vtinter numeres, Itneat, fuperfities, torpora.&c.

4 Proportione interfe habere dicuntur magnttudines,quz multiplicatg pof-funt fe inuicem luperare. Vnde iiqutt inttr angulim sontingemi* & rt&UU

ntum

I t <* ~ £ t \ t^5>

« s V t » f~t t<K s'XS< > p f »\,x < **ie®Sp$ <? f \

* <Q > •*'<% « \<v <• >< ><> s ^ w t x j v V x

JsJJx -" <> « <j!<s>X^« «,< ss\»<v«,'^<>».>^sj*,

5 I « x? SsoTp x \> t tt< "< >s. sl s TxSU s <K t >•!.-

tf^its i>tUisv *n><r>s> ttl * aamUni» & <s> ! '

ts - tvK!sn<Us>,sn,.s s nj-u^cttstsnd-<.**>!s-> u p >^s\Ss <• atssttiitciv-uitsss f-lict-n \t.tti<sist t\ s<t<s> J-JS, tcftUKktsu s>OKUSi *< < ' > >t>s , tstUssVUstCtsg

sts! vr<c <•J x * *-> sst>svsiu>t-dcqu« &s\»slc>li>a-:j>vi^s>fsgpstaist»ftt">r-

' i «c k*«>tj t«»* itfk&stmftmtti.r »* ?m<t<fusst<ivu* ^mrmi & mri>; <t$* SfSpJ--T<xs>;<- »>->/ V tmW^hf-S* >.*$*>& $^ *&~ ttsiu» 6* </<*,$?-tj ?<? •£*<-*, -£? t#ifag*8ti*r e$

! J - \ ? > S < J v - S ; < K > " < > « S - J - t i , ! j ? < t < » S ~ i t t t ! < » < < ? < • m g £ ~

? \ " ( s , ><•<<» « <<-< >w* *t> <*.< v?-p /if~im p ,*• s<,<svts>vs, < -„!• stj-jSs-* ant & n^am sfsj . ffsf .s j s , „^x <o,\^<ftJ>,>ss,,S);<J«. <f<<Svs

fts s 't> , fttstW sK <<< ~»~!<>taw *%$$$&/%?• <?!<<>'">.*'>'<-:*• «»»?*&?• <$<- CffJstS-" m&mttndi-* -SCjrSMsJsfft t?, ' ft ,-!«sts,^>i<C-0.

6 W\ > t nssl u».tsstx^!.!tfubt-tsusTsuOJ.tks-» X v X t

n> <s> h tbcss",psKxpo tSv>s>sls?ss <.\<t\tt<-*ts >• t t \ \ < f « n s U * « « ? ? k i h m t

» C11< <ft £•>'$?>>> J* t«x>-5 •*<• 7 t ^ <£tdwCsru*)tr>.L ^licus«*«>»1tcpls*x

t\ssnt, iapvU-, s>iu<v<pi s ttsst i k u n i n t r »ft

! $ • Z I B S * ' Pl &t&otskipksterri&BOss fopsoac. srsul~ tSpltCtm S]S53n«S. ptststs stl kitssukos dkkcsr hsiWss mmorem propogtio-ssgos qttam ttnh *m rjtssrcm»»

8 Asmlogi?* efl propos ttao 0 ft mi li tstdo» g Aocdorrk is ttsbsss rabtmt-s rermtstss

«ossf sfik.|ks" *s ktsmmem 4.0-p- *&•" o* oim rBprimm <sdfhkdnm *• it#jett(&» dmudusrUwtn,

$& Cssot ibvsistt ssrcs BsagsistosUrsrs s>rt>* pomoosirs, prim» &d tmcdaot 4opb« oststm orogottsotssm* habgsv dkkor «iosjsisst* haber ttsi k t o udam» Tr mm fttfrwt pr$p8rts$mks kitres mmeri r,<e.^.eriifrefs$rm<§msm k<ehs &«$d •?»

%% COSB togrssst x|tsatuor rBsgssitstvHo£S grof oniostaks grima &d gusstl srb* gkm f rofoctioosm hahsoe dkittst* du%t|oam hsbss ssd kesldasss* £ t ck»» Irtcdpt; kmpro yssa uru.p-is.us «possd vigs p cbposbo tttitmkMfifimprm mrmmks ki§u<umrmmeri a, .*< s?» sdi gmprgptmrfmmkaknsi, <edi<$* trspiuems jjs******* i sv»

y,s> Homojogfsihu flsHlis ratiostk otsgor» tudioosdssmBtor d k s aotesrdsottcs

muustdbus*

z i n i r. xSx «3 Permutataratio,eftfumptioanteced^-

tis ad antecedente, & confequftis ad confequentcm.D«»^r4/«rpr<«>.7tf. inquAwmtftvt A*ABjt*C*AD*ft queqjpermutAAcvt A *Ac;it* BAAD,

14 Conuerfaratio,eftfumptioconfequ6-tisvt antecedenris ad antecedctem, vt ad confequentem.Fttw* ctr+prep.

15 Compofirio rationis eft fumprioao-tecedentis vnacum confequentc.vt vna,ad confequentem.D*mS)»V*r*r prep.t*.inquACumefivt A B AAE D; it* CFAA §D;eft queq^ vtAB AAFD; UACDAAFD.

16 Diuifiorationiseftfumptioexceflus, quo antecedens fuperat confequen-tem,ad confequentem:Deme^4r«r prep.17.inquAcumeft.vtABAAB E; itACDadDE, eftqueque vtAEaA EB:it*CF*AFD.

17 Conuerfiorarionis eft iumptio ante-cedetis ad exceflum,quo aotecedens confequentem fuperat.D«w5/rW«r prep.to.inquAcumeftvt ABAACD, itAAE*ACFeritquequeEB*AE>D: vteftAB*ACD.

iS Ex zquali ratio eft cum plures fuerint magnitudines, & aiiae ipfis numero «quales,quf birue,o£ in eade" rationc

M 3 fumuo,-

t f i X I BB 1L V. fumantur, fueritq;n|»nprimlsrna-gnitudinibus prirha ad vltima, ita in iecundis prima ad vltitna.Vel eft fum ptioextremarn perfubtractioneme diam.Demeftraturzz.inquacieftve AadB\itaDadE;&vtBadC,itaEad Eierttex aquali.vt AadCitaD adE.

19 Qrdinataproportioeft,cumfueritvt . antecedensad confequentem,ita an-tecedens ad confequentemjvt autem confequensadaliamquampiam, ita confequensad aliam quampiam. In prop.20. &zj.inprimis magnitudiniV antecedens eit A,confequh B,alia qua-piamC: infecundis antecedens eii D, tonfeqnensE, alia quapiam F.

£o Pertutbata proportio eft, quando tri-bus exiftentibus magnitudinibus; & aliisipfisnumcroa-quahbus, fuerit vtin primismagnitudinibusantece-dens ad confequenttrn; itain fecun-dis antecedens ad conlequentem. Vt autem in primis confeques ad aliam quampiam: itainfecundisaliaquae-piam ad antecedentcm.Fr/aa1.eV2;.

v prop. inprimUtrilusmagnitudinibut antecedens cit Atonfequens B, alia* quapiam C Infecundis antecedens ei~i ftfonfequens^altdquttpiamD^

s AT

IIBEX V, iff Propof, i .Theor, x'.

Si fuerint quotcunque msgnitudines 0Uotcunquemugnitttdinum,squa,lium numcrofwguUfinguUrum aque ntul^

tiplices, quotuflex eUvnamogni' tudo vnius totuplicesfunt om'

nes omnium. Int quoteumque magnimdineX A B, CD, quotcumque magnitudinum E,

£ T F xqualium numero, ' iingulx fiagularum se-

„ quc multiptices. Oico

J T quam multiplex eft A B

I ipfius E, tammultipli-^ -^cesefleAB.CDfiroul,

ipfarum E , F fimu!. Cum, enim quam multiplex eft A B ipfius E, tam multiplex fit C D ipfius F; erunt in C D tot magni-tudines «quales [ipfi F; quot func in A B xquales ipfi E. Diuidatur A B in magni-tudines A G, GBxquales ipfi E; Et C D in C H, H D xqualcs ipfr F; eritqiie mul-titudoiplarum A G , G B xqualis multi-tudini ipiarum C H, H D : cumque A G xpfi E,& C H xquale fit ipfi F; erunt A G, C H xquales ipfis E*, F. Eadem decaufa crunt G £, H D ipfis E, F xquajes i quoe

•M 4 «gci

|$4 l 1 B % * V. ergo io A B fitnt magnitudines arqualet ipfi E, tot funt in A B, C D xquales ipfis E, F. Qux quam multiplex eft A B iptius E.tam muitiplices luntA B, C D ipfarum E, F, Si ergofuerintj &c, Quod oportuit «lcmoqftrare,

PropoCz.Theor.z, Siprima fecundaaque multiplex fite-t'tt, atque tertia quarta,fueritautem ejrqutnta/ecuudaaque muitipUx, aU que/exta quarta\erit ejr comppfitaex

Prma & quintaaquemultipUxfi-' cundx,atquetertia&fcx-

foquartXi

'J>1

4+x£ i

ESto prima A B fe-cundeCequdmuI-

^i riplex, atque ter ria DE ,, quartx F '• fit vcrb & . quinta BG fecundx C

J I xquemuhiplex.atq; fex w*ttEHquartxF, Dico

& compofitam ex pri-rna & qufnta A G fccundx C, xquc mul-tiplicem efle,atque eft tcrria& fexta D H, quartsf F. Cum enim quam rnultiplex eft A B ipfius C, tara muldplex fit D E

ipfius

I I B E X IV. i te ipfius F.eruntin DE tot magnitudines 5-quaies ipfi F,quot funt in AB arquales ipfi C. Eademque de caufa quot funt in B G aqualesipliGtot erunt in EH arquales ipfi F: quot ergo funt in tota A G arqua-les ipfi C; tot funt in,tota DH arquaiesipfi F.Quam muitiplex eftcrgo A Gipfius C, tam multiplex eft D H ipfius F.Ergo A G compofita ex prima&quinta fecundar C arque multiptex eft, atque tertia & fexta D H quartar F.Si ergo prima fecunoXj&c, Quod opprtuitdemonftraxc,

Propoficio 3,Theor, 3 .

$i prima fecunda aquefuerit muki. pUx^tque tertiaquartafumanturau-temaque mukiplicesprima &tertiai eritex aquali fumptarum vtraquev-

triujque aquk mukifUx, akeraqui-demfecunda5 altera autem

uuatta*

TT Stoprima A fecundar B arquemuiti-X^plex,atquetertUCquartarD.& acci-piantur ipfarum A, C arque muitipiices E F, G H. Dico arqud multi plicem efle E F ipfius B»atque cflGH ipfius D, Cum

M 5 cnirq

B E * V. duplex fitEF ipfiut A,at« hij;; C : continebunturin

G H tot magnitudinet sequales ipfi C , quot in EFsqualesipfi A. Di-tiidatur EF in magnitu-dinesEK, K F, xquales ? p f i A ; & G H i n G L ,

^LHgqualcsipfiC. Eft autem oaultitudo ipfa-

mm E K J K F sqs«lis multitudini ipfarum CsL, LH. Ec «uiaxquemultitdexeftA isfiusBjV^C :pfi»$D;eftqueEK ipfi Aj & G L b h C xqtial is,erit & EK eque mul-«spies ipfmsByyf.G LipfiusD.Eademde c i \ G sq: u<> murrs plex efl K F ipfius B, vt IJIipfius D. Cum igiturprimaEKfe-r «undat Bssque nvoltipTexfit,vttertiaGL ctBartse D ; Ui vm,> & quintaK F fecunda? B j5-csuemulispi«s,vt eftfextaLH quar-

ffr*f.*.f. tx D*; 4 erit & copofita ex prima & quin-ta EF fecunda* B a*que multiplex.atque eft tertia cum fexta Q H quarta* D. Si

crgoprirnafecunda*,&c. Cjuod \ ,\- oportuit demon-

ftrare.

Propq-

l i * i » r. tjy Fropoficio4.Theor. 4.

Siprima adfecundam eandem babue-rit proportionem,quam tertia adquar-tam\ babebunt &aquemultiplicespri-ma & tertUadaquemultiphcesfecUB* d*& quarta,ficundam quamuumul-

tiplicationem, eandem proportio* nemfi,vtinterJerefionden,tt

\ fumftafuerint.

HAbeatprima AadfecundamBean* *"* dem proportionem, quam tertia G

ad quartam D. Et accL pianturipfarum A.Cav que rnultiplices E,Fj ipfarumverbB,Dquar-cunque alixarque rnul-tipltces G,H, Dico vt eftEadG.itaeffeFad

; dt, Xmk ?• ^«ipiantur enirn lpfarum E.FxquemuL

tipbces K,- Lj ipfarum virb G, H arque rnultiplices M, N. Et quiaita aiuhiplex eft E ipfius A, vt F ipfius C: acceptxque funt ipfarum E,F atque muhiplices K» L s ttiu ergo rnuhipteii eft K ipfius A, vt L a/«».j.a\

ipfius

11 i,I

lh.fl bief.i.f. L T ^ J i N

tftft L 1 B S *. V. ipfiut CEadem decau-iaita muItiplexeftM ip-fins B, vt N ipfius D. Et quia eft vt A ad B / ita C ad Df accepteque fiint ipiarum A,C$que mul» tiplices K,L; iptarum ve-rb B, D alif qu$cunque M, N: t ergo fi K fuperat

M,fitperabit & L ipfam N ;&fie/malis, tjquaus/fi minor,minor; funtqueK, L ipfarum E,F xque mulriplices; M vero & N funt ipfarum G, H $que mulriplices:

titfij.f. reftergo,vtEadG;itaF adH. Siergo primaad fecundam,&c. Quodoportuit demonftrare,

Ltmm<L-j. Cmoniam demonftratum eft.ffKfu-

peret M, fuperare & L ipfum N ; & fi fit «quaIis,effe«qualem;fiminor,minorem. Conftabit eriam, fi M.fuperet K, fuperare & N ipfum L ,& fi fit zqualis, efle xqua-lem.fi minor.minorem, atque idcirco erit ?tGadE;itaHadF<

CoroUarium. Ex fioc manireftum eft, fi quatuor ma~

gnitu-

LIBMMV. *$? gnitudines fuerint proportionales, & co-uerfim proportionales effe. Hoetfifitft vt tytadB;itaCadD;efequoque B adA, vt DadC.

Propoficio s.Theor. 5. Simagnitudomagmtuatnuaquemul-tiplex fuerit, atque ablata ablata ;t*jr

rehqua reliqua aque multiplex eritatquetotatotiue.

Sltmagnitudo AB magnitudinisCD arque multiplex, atque cft ablata AE

e» ablatx C F. Dico & reliquara « •AT .EBtrelique, F D atque multi-

"" T1* plicem eite.vt cft tota A B toti-* JJusCD. Ciuotuplex enim eft

)f AE ipfius CF/ totuplexfiac JB D EBipfiusCG. Etquiaarque

multiplcxeft A EipfiusCF,at-que £ B ipfius C G, a erit A E eque mul* tprip.t.t. tiplcx CF atq; ABipfiusGF; poniturau-tem A £ eque multiplex ipfius C F, atque eft A B ipfius C D :arqud ergo multiplex eft A B vtriufque G F, C D: r5 gquales er- \,c*U,titm go funt G F» C D; Communis C F aufe* ****.?•. ratur,8ceritreliqUa GC reliquac DF x-qualis. Et cum xquemultiplefc fitfAE ipfius CF,atq; EB ipfius G C,eftque G C

«rqua-

x]pb l 1 £ B i tf. £qualis D F. gque ergo multiplex eft A E ipfiusCF.atqueEB ipfius F D , portitttt autem& AEipfius CF fque mulciplex, vt AB ipfius CD: arque crgo multiplex £ B ipfius F D; atque A B ipfius C D; er-go reliqua EB, relique. F D srque multi-plcx eft, atqtre cft tota A B totius C D. Si crgomagnitudo,&c. Quodoportuitde-xnonftrarc.

Propolicio tf.Thcor. 6. Sidtta magnitudines duarttm magriL tudinum aque multiplicesfuerint7(j

m

ublata quadam ftnt earundem aqub multiptices-y erurit reiiquaeifdem

aut *quales,dui aque multiplices, r

Slntduat magnitudines A B,CD dua-rum magnitudinum E, F xque mulri-

pKces,auferanturq; A G, C H earundem E,F,f qoc multiplices. Dico reU-quas G B, H D ipfis E, F, aut cquales efie,aut g que multiplices. Sit primo G B i pfi E aequalis. Dko & H D ipfiFfqualeefle.

Pona-

c

t / i t k t. & Ponatur ipfi F xqu&ff :$£IE •Os'sn|||^-A G aeque mubiplex fi*!$ G«s E* «ssps;

j ^ CHIp&fF; feu#Oi A T jquatfeIpiEs&€lCipfi$v ,A . .<«

dgque *mii|j!s?s crit kB 3^*& ; S S

ipfius Essbps E H IpfiusJ»* Ponitur&sfs» |quem»!tfk plex ABifibs £ s asque t§ CD Ipias F s ssqag &tp»

I mukipbss «II E l i spius F* I aiqucClbiu&mlf Cssm

j p E^e rgo^^pS i i l f l sCp ip -fius F |Sp#| f ;pf fp|§ll j§|| - b €<?&'&&•*•

qualis erit K H ipfi C:l|: |liilp;i|IlCf 1 <?>• **s^ auferatur, & erunt pisp | : l ;pl ; i i l | ; i *« «1 quales* Scd K Cequblipi:|bs|*blito eidem F^qualis erit- :Ei:66gi::Cl;B;:|cs|a-lisipfi E,& H Dipfi Ib Sirllipsibisoa» ftrabimusfi GBipfiusE&sp|ssstsyp|is

jque multipliccns f IE liiPipiskF*;;:;::; Si crgoduy «sbpiii;lb«k-t^m

CJuod opirsgi:#*':i:;;: monflrare»

Pr«,

101 t, I B E X FV

Propoiitio 7.Thcor. 7. AEfuates adeandem, eandem hahent

froforthnemt& eadem ad afuatet*

Sltit rnagnitudirtes A, B equalcs, & alia quzcunque G Dico vtramque A, B

candcm proportioncm habere ad C, & C eandem ad cafdem A, B. Accipi-

\7 antur ipfarum A,B xqrte muiti-T«plices D, Ei & alia F ipfius C, vt-

j j A cunqiic mirltiplcx. Cum igiture.-que raultipiex fit D ipfius A, & E

tCtBtttmf - . ipfiusBjfitverbAxqualis «*#« T 7 I B,«erit& DxqualisE;eft-

T T T T ^ u e *~'* ^ v t c u n H u c puiei-•vi L-L plcy.it ~ *~

r « i i j i plexipfiusC. SiergoDraa-

v * ioreff ipfaF;erit& E eadera F raaior, & fi xqualis, xqualis j fi minor, minor; funtq; D,£ipfaru!A,B e, que mul • tiplices, & ipiius C alia F vtcunque multU

•*Y.ft/. pfejtieft0«rgovt AadCjiuBadG Di-co & Cad vtramque A, B eartdem habertf proportionem, Iifdem enim cOnftrucxi* oftendemus D xqualem eiTe £ ; &aliart quandam F. Si ergo F maior eft D J erit & maior quam E; & fi xqualis, xqualis; fi minor, minor; cftque F ipfius C multi-

plexj

t i B t i Y. td| plex /aliae vero D , £ vtcunque multipli-ces ipfarum A jB:r eftergovt Cad A.ita tdtf.f.f, Cad B. Si ergo srquales ad Candcm;&Ci Cjupd oportuit demonftrarc;

FfOpoOriofc.ThcOr.o*.

tnaqUaUttm magntiudimm maior ai tandemmiioremhabetproportionemi

quam minori Et eadem aJ tnino-rem maiorem habet,quam

admaiotem.

Slnt inaequales ttiagnitudides A B, C J rltque AB maiorquam C/ilt&aliaD

quzcunque; Dico AB ad D roaiore habere propor- ,. tioneni,quaCadD;&Dad C maiorem, quam ad A B. Cum ettiiri A B iriaior iit* quam C; ponatur ipfi C x-qualisBE; Itaque mindr aitf.aji ipfarum A E , EB *rhuiti-

A pUcetur, doaecmaiorfiat • • quam D »Sit primd A £ mi-

riof quam £ B; & mnltipli-ietur A£,donec maiorhat

** * - A l q u a m D,qu*fie-f G; Et < £ < K £ & *luam nmltiplex eft F G

N ipfi* ' ill

If4 ;tXM E t f. ipfius A E, tam multiplex fiat G H ipfiiis EB,& Kipfius C.Sumatur L ipfius D du-pla.M tripla, & ita deinceps vna plus quo-ad fumptamultiplexipfiusD,fiat primb maior quaK.fumptafitN quadruplaipfi-us D.&primomaior quam K_,Cumergo K primo minor fit quam N, non erit K

tW»>i c ^ninor quarft M, cumque aeque multt-r' ple» fit F Gipfius AE,& G HipfiusEB,-

rerit F4jii*que multiplex ipfius AE,& FH ixJfiinyAB, aeque autcnyrnultiplex

•<*»»». cftFGipirus A,E,& KipfiusCVf arque crgo muttiplex eft FHipfius AB, &K iphus C: fimt ergo F H, & K *qae multi-plices ipfarura A B, C. Rurfus cum G H ipfius EB cque fitmultiplex, vt K-tpfius

d CiUtptur C; fitqueE B ipfi C aequalis: i crjt & G H £* **. i. ipgKzqualis. AtK non eftminor M3 er-

go nec G H minor erit M: maior autern cftFGquamD,'totaergb-FH vtraq; D, Mrhaioreft. Sedvtraq; D,M*qualiseft

• ipfi N> cUm M ipfius D fit tripla, vtfaquc autem M, D ipfius D quadrupla: eft verb & N ipfius D quadrupla: ergo vtraq; M, D aequales funt ipfi N: fedF Hipfis-M, D>

9*Y- 7-f• m " i o r er1, * 1 ° ^** fupcrat N»& K nc>n fuperat N.quia ergo F H, & K funt. xqsie roultipliccs ipfarum A B, C ;"jAt N jpfirjs

1 t S E * Pi I J /

t)Ttcubq;multiplex eft,/habebit A Bad fctimaiii» Drnaibremproporrionem quam CadD.A*' i***m-Dico contraD ad C maiorem habere»qua '*J?"f"~ Svi \ K < j 

demoUx^iCibuuusNi! u v \ A u>«iu /s,«,i * | K I « c I I I jh ujjrtrN sujtk t« •>> vtSus/U *«*«- * B U ^ !p\nsmtvt<>Ajo,i \ , xf utvs* i -» - -t iuv t rutc H i , k f b i v t v ^uKv «C?^* ^ utv uss t» p,upu« tivSiv ><» i, „c.!v txl A i* * ., \ JS,I \ i »xn.<\ q v V ! v" K K t U x j r l t < , «

ktv ' tsp .v-tU s ,v '<us<< <iv <N ! < \ < ivt , S: "£**<• *

CiM ruJi oin <tv! dd <fl!-- f '*'" tM

•S xv „ l , / , S gfSS

ii>t o,stu o<!•<<.!ov4r> u k ili,*^ v I t n p n unvsJKpkjvv K S t K » ^ J jphu! L B< Usu ns \ m \ * ,wr<> b - \ <•> f s n o k T v \ b v*>*«'>

f" Sp J<}N S. j< 5 x £v v,, tf < S! "*•*>* ' <*** ^-vbnrtvl ; [ , v*»K,( t , >

AiUjCs^V^tWt! ,t.C>,<4 rt fe Sut t iUv vivsud< K x ^ x B -

| plvt !M vV > t U •!<,!> P"<>Uv! f 1* .rsstcm i n o ijUsm 1 <.>,t<s

* ** JjiiLfv 1 C mmot «ot h & H L 3."* ,t u m V< m , o U n K t

Jl [ > , \ t , b C

<[ \ vi >< ; , K , c i ) i h \ \< " j p c

J U v J l O 5 S,f!At !v S5-> v> ! t V v lv,%

d l j x , ' v k i l l O j f t \ ! x v \ vv ,,N v!

M * mui

< \ v , <

J ><«* ,

toi r i B E R r. mus demonftrationem vt fupra. Inarqua-tiumergo,&c. Qupd oporcuic demoa-ftrare.

. Propofitio 9. Thtocr.«. Jgua ad eattdem» eandem habentpro-portionem, aquales funt: Et adquan

eadem eandemhabet^ittafunt aquaUs.

T TAbcat vtraqtie A.&B adCeandem JTTproporuonem. Dico A, Bzqualee

atrtp.t.f, -r Q e(Te.SinonfuntKquales,«non j \ * habebit vtraque A, B ad C ean-" « dem proporuonem;habetau-

_T tem,a?qttalesergofunt.Habe-

1 1 at deinde C ad A». B eandem proportionem. Dico A,Bz-qualesene. Sinonfuntxqua-

hfrtf.t.f, les;b nonhabebitC ad A,B eandetnproportioncm, Habetautem,x-qualesergofunt. Quxergo adeandem,

&c.Qupd oportuitdemon-ftrarc»

-re>

I I B E R V. 19% Propofi tio i o.Thcocr. i o.

Aetesndem proportionemhabentium, au*m«ioremh«betm«ioreft\«d$udm

verb esdem maiorem hdbet, hii-noreft.

HAbeat A ad C maiorem proportiqnem, quam B.

Dico A majQrcm efle, Si non, T. aut A eft xqualis 8» aut mi* *pnf+r* **** IQ n o r - n o n «qualis« vtraq-fenim

A,B eandemhaberet propor-tionem ad C> at non habet; no' ergoBxquaJueftipfiA. Non minor. quia fi miqor eflet A b /»».**./.

T quam B. t habcret AadCmi-I £ norem proporqonem, quam T B;at aon habet: non ergp A I minoreftquamB.oftenfumeft *** autemquod neque fitxqualis.

maior eft ergo A quam 8. Ha-beat rurius C ad B maiorem proportio-nem quam ad A * dieo B minorem efle, quam A. Si non;aut eft xquaJis»aut ma- tpr*p.t.t. ior. Nonxqualis.rhaberet enim Cad A & Beandem proportionern ;atnon ha-bec; non ergo A xqualis eft ipfi B, Neque AprtpJ. / , rnaior eft B quam A; haberct enim C ad

N $ Bmi-

i

o.dtfi.r.

f j t I 1 B E R Vi Eminorem proportionem quam a-d A;at non habet: non ergo 3 maior eft qvjara A. Oftenfum eftautera quod nequex-quafts.maior ergo eftA.quamB. Aaean-demergoproportiontL&c. Qupdopor-» tuit demonftrare.

Propofici^ii.Theoor.. ii» gu* eidem eudemfupt proportiones,

ejr interfeestdemjunt.

SltvtAadB.ficCadDji&vtCadD, fic £ ad F. Dico efte vt A ad B; ita £ ad

F. Accipiantur enim ipfarum A,C»Eas-qUe multipiices. G,H,K: ipfarura ver6

„•-», B, D , F alix vtcunque *•>• que multiplicesL.M, N. £t quia tjft, vt A ad B,ita C ad D, accepteque funt ipfarum A»

J C xque multiplices G, H* (j. A B L ipfarumverQB,Dvtcunque

xque multiplicesL,M:«er-go fi G excedit L,excedit& H ipfam M,& fi xqualis, x-qualis; fi minor, minor.Rur-fus cum fit vtC adD;ita£

H C D M ad F«& acceptx fint ipfarum C,£ aque multiplkes H, K*

ipfa-

I n.iz

rht

11.12

I I

l 1 B E K V. ip*>

iplarumveroD.FaliafVtcnn- *•.**•#/•/». quezque multiplices M,N. -I ergo fi excedit H ipfam M, excedet & Kiptam N ; & fi a>

1 qualis,sequalis;|fiminor,mi-K E I N nor. Sed fi exccdit H ipfam

M; excedet & Q ipfam L ; 8c fizquafis,xqualis;fi minor,minor.Qua-re fi excedit G ipfam L, excedet & K ipfam N; & fi arqualis ,: aequalis : fi mi-nor,minor. Et iunt quidcm G,K ipfa-rum A, E aeque multiplices : L ,Nve-ro ipfarum B.Ffunt ali» vtcunque ar-que multiplices. Eft fergo vt A atBjcV^/jt

ita E ad F- Quie ergo cidem, 8CC. Quod demonftrare o*

pqrtuit.

•vW(:pOit>

«* $ r V ~& <«SS jST * 'S> , s« :*3S»

* N N * s s , N N**ss-s\

% V S N N S > * N * N N * N W ** N s s \ s s N ^

N 4 Pw*

•ttVtf

Propofitio i % .Thcocr. i z.

£i quoteunque magnitudiner propor, fionalesfuerint, erit vt vna anteeede-fium ad vnam otnfequentium, ita om •

nes anteeedentes ad omnfs (onfequentefi

Slnt quotcunq; magnitudines A, B, C, .. P,E,F,vt quidem A ad B ; ita C ad D, T IT-IX &EadF. DicovtefiAadB;

itaefieA,C,EadB.D,F-Ac-cipiantur eqim ipforum A, C,E xque muiti plices G, H,

_ T J K:ip(arumveroB,D,Falia Gc A B L vtcunque arque multiplices

L,M,N. EtcumfitvtAad B; ita C ad D; & E ad F, acceptarque fint ipfarum quidem A, C,E arque multipli-

IMX «jG,H»K;ipfarum veroB, D,F> alif vtcunq; xque multi-pltcesL,M,N;ergo(i<G exce-ditLjexced.ec & H ipsa N;&K

T I «P«

.1 i S!

•'•*« T ? $ ' i r i *' i c»M!P%nNli * Hu , | i $ 'x a .u a;

• - - **(»;(! mmqr,minor, Quarefi exceditG ipiam L; cxcedent & G,H,K|i-pfasLiMtN.&fi f qualis,f quales,fiminor,

minoi

I

l J B E R V. >oi minores;iuntque G;&G,H,

**•** Kipfarum A,&A,C,E,e/mc muhiplices; * quiafifuercnt k/rtf.f.u quotcumque magnitudines

j . , T quotcunq; magnitudinurn, K. £ F K *Hua*,^m n u r n e r o iinguls

fingolorum atque multipli-ees, quam multiplcx eft yna vnius, tam muhiplices funt omncs omnium. Eadem de caufa funt, L, &,L, M, N ipfiirum B, & B, D,F arque muhiplices, Eftcrgo vt A ad B;haA,C,Ead B,D,F.Si ergoquodcum-quejraagnitudines, &c Qtijja' oportuil demonftrare,

P r o p o f i 3 . T h t o r . i 3 . Siprimaadfeeundam eandempropor-tionem habueriftfuamtertiaadquar-tamv tertiaveri adquartammaiorem hahuerit,quamquintaadfextam\ ha-

hehit typrima adfecttndam ma-iorem,qttamqttintaad

fextam.

PPJma A haheat ad fecQdam B eanden» proportionc, quam tertiaCadquar-

tam D. Tertia verb C ad quartam D ma-»ore habeat, quatn quinta E ad fextam F.

N 5 Dico

idefi?./.

I *

toi i i B jT R r. Dicoprimam A adfecun-dam B maiorem habere, quam quinta E ad fextam

\ V. Cumenim CadDma-' iorem proportionem ha-^ beat.quam EadF;fintque

J J ipfarum C,E quedam eque JM. A B JN multiplices; ipfarum verct

D , F alix quzcumquetac multiplex quidemi ipfius C

i1f excedat multipHcem ipfi-us D ; muitiplcx vero ip-fius E non excedat multi-plicem ipfius F. Sint ergo

T I ipfarum C, E arquc multi-

(?• C D K P''ccs > : 'P''arum ^ ' ^ alia:vtcumqueK,L, « fic,

T I? . vtGquidemKexcedat:H "A + veroLnonexcedit.&qua f J f roultiplex eft G ipfius C» J ] J J tatn mukiplex fit M ipfius H E F L A; & quam multiplex eft K

ipfius D , tam multiplexfit NipfiusB. EtcumfitvtAadB;itaC*dl D,accepteq; fint ipfitrum A,€xqu£ mul-tipKces M, G: ipfarum vero B, D atix vt-cumque f que mukiplices N,K,fiM fupe-rat N,& G fuperabit K;& fi f qualis,f qua.-|is;fi minor, miaor ;fuperatautcGipfam

Kifu-

li

L I B t * V. io$ Kjlfuperabitergo&MipfemN:atH no-,, , fuperat L;& funt M,H ipfarum A,E eque b ***** multiplices.- N vero & L ipfarum B,F vt-cumque eque roultiplicesfunnchabet er-go A ad B maiorem propartionem.quam E. ad F. Si ergo prima ad fecundam, &c. Quod oportuit demonftrare.

FropoCl4.Theor.l4. Siptima adfeeundam eandem hahue-rit prot>»rtionem,quamtertiaadquar-tam; prima autem quam tertta maior fuerit, erit & feeunda qmm qm?$4

•.maior.&jiaquausyaqmimft minor,minor.

>Rima A adfecundam B candem hi-> beat proportionem, quam. tertia Cad

quartam D.& fit Aquam C maior. Dico & B quam Dmaioreefle. Cum enim

T A quam C maior fit, fitque zprnj. & -. • d A 4,a"a °iuarcu.nq; magnitudo A ^ ^ ^ B ; * habebit A ad Bmaiore

proportionem, quam CadB. Vtautem A ad B;fic eft C ad D;ergo C ad D majore ifrtfj.fi habetproportionero,quamCadB. Ad t quam autem eadem maiorem propor-tionem babet) illa minor eft;minpr erga eft Dquam B.quare B quam D maior eft,

Sirrti-• -J*<

P1 JL t

lll

roA t I B E K V. SimUiterdemonftrabimus fi A zquafisfit C,&Bipfi Dseqaaleefie:&.fi Aminorfit quamC,& BminoremeiTe quamD. Si ergoprimaadfecudam,&c. Qupdopor-tuitdemonftrare.

PropoTi j.Theor. i j . fartes eum pariter multiplieibus ean-

iem habentproportionemfivtfi. bimutuo refitondent ,/u-

mantur.

Slotarquemultiplices AB ipfiusC, & D Eipfius F. Dicoefle vtCadF; ita i ABadDE.Cumenim T AB ipfius C itamulti-

lf _ plexfitjVtDEipfiusF, erunt in AB tot magni-

K. tudines arqualcs ipfi C; H' j _ quotfuntinDEcqua-

I J lcsipfiF. Diuidature-B C EpniDABiamagnittitli*

nesAG,GH,HBfqualesipfi GEtDEirt DK,KL>LEarquaIesipfiF,eritq; multi-tudo A G, C H. H B arqualis multitudini DK.KL.L E.Etqqiatam AG,GH,HB, quam D K, K L, L E arquales funt, erit vc AGadDK;itaGHadKL,&BHadLE:

crit;

L I t E R V. 205 «eritergovtvnum antecedentium adv- a/*w>.u>.r, num confequenuum; ita omnes antece-dentesadomnesconfequentes. Eftergo vtAGadDK;iuABadD£.£ftautem A G ipfi Ctfqualis, & DK ipfi F: ergo vt CadF;itaA BadDE. Partesergo, eVc. Quodoportuitdemonftrare.

Propof 16. Thsor. 16. Siqugtuormagnitudinesproportiom-

/esfuerint,crpermutatuprepor-tiomleserunt.

S h\t quatuof msg»ltadioe$propstfck>» nales A,B,QD.Vt Aad B jnaCad D.

Dico & permutatas propor-j<r tionales etTejVtA ad Qita B

ad D. Accipiantur enim i-

!

pfarum A, Bgquetnuiupii-ces, £, F; ipfarum C, D aliae vtcumqueG.H. EtquiaE,

**** * FF xque multiplices funtip-* farum A, B; e habentq; par- ifrtfV'*'* .. tes eodem modo multipli* • 10 cium eadem proportioflehv

!

iri ter fe c6parat£,erit vt A ad B;iu£adF.Vtver6AadB; iueft C ad D: ergovtCad

«tSDH DiiueftE«dF.B.urfuscum C,H

iBrtJ X I X E x fl: G,H ipfarum C,D ilnt zque multiplice»}

kfttfjf.t t erit vt C ad D , ita G ad H. Vt autem G adD;itaeftEadF:ergovtEadF;itaeft GadH.C Curtiautequatuorrnaenitudi-

1 T nesproportionaksrucrint,&pnmaqua ' tertia maior ruerit,erit cVfeciidaquaquar

ta maior; &,fizquaiis, zqualisj fi minor, minor.Ergo G £ fuperat G,& F fupcrabit H. &,fi zqualis,zqualis;fi minor, minor. Sunt autem E, F ipfarum A,B,zquc rhui-tiplices. G, H verb ipfarum C, D vtcum-quefuntzquemultiplices, J Eftcrgovt

litf.f.j. A ad C: iu B ad D. Siergo quatuor ma-gnitudines,&c. Quod oportuh dcmon* ftrare.

Fxopof.i7.Theor.17. Si compofiumagnitudines proportio*

mtesfuerint,& diuifapropor-tienaies eruntt

,v •• ..-,. OlntcompofitzmagnitudinesAB,BE» O C D, D F proportionales. Vt quidetn AB,adB E;itaCD,ad D F. Dico & diui-fas proportionales efle, vt A E ad E B; ita C F ad F D. Accipiantur enim ipfaru A E, E B.C F,F D zque multipHces GH,HK» L M, MN.jfdam vero EB* FD aliz vtcfi-

cnio

£ f £ B % V, x - f

J&. qssaxjise jrmkipKces X X» I ^ rp NIV £t<pu$sjusm«isk i I pk-sdli~.i H\pss-,ssA H,vt

X I I HKipfiuiXHkrf ctssGH s/,«jjt.»»Ai E l SHJCXS AEcmicnusLspkx,

1! i T B I v< G K spfsxis- A F> XX >>«>,su-i isi p l | xcsxs mukipicx xk G H k i s ] f pisxss A L , VS LMspfsxss

Cx- A C. L i.:F;f ,.,sr>xisqssc sx-ukltvk-s b>>«r.is<A eftGX >f fSxsss AB,vtLiVi Idks:: f F.Rur- ' ' l<l% XXXSX.X ts-pc sv-uhipk.t cf! I .M iV-fkiX CF, vt M N rpf us F D j r crst L M ipfsxss C F CJU^.X- p jxesvssf msskipkx, vc L N ipfssjs, C I X csrque jmrcm ssukspksx c?«t L M >pf x;s C F , vfc C Xipfsxss A B i d c; pv G R ctis xso muki- &tft*.n„& pkv diipkxs.v AB,VX L r\! Ipiks, C IXHssst " -crgo G K', L K ipG-fu?ix A F , C D xqsse mukspUcts, Rss.-kuxjsis.-i 11K spfsxsx-EB tcque ssxiskipk x> d't,«t M N sphsxs, V !,>,.T:'k vctxiX K X iplisss F. i> ,vqsje liisjkspk.:;, K N Pip(uivFi.Xccrkc<img<>ftxxT-IXiHxi.xs ^F?-5- £ 3Llisspxx!xsushspksqxu MPspfsss; D.l -Et, i]«l«dl vt ABaxlBL;kx< D -«> FD/sracv» ptsquc(UKStpfss sjsix AB, C D «quts;v,sl-tspiiccH! K, L K. I pkrsjsxi vccb I;. B, F T> «is.£v.cuix;pjca.x];,sems;kipH.-<iNs!K,TxlTs,. St cs?.><; €? lvisipcr,xi H X,4.1. N sups-ttsbk M P . EdiAviudlSj^xiuaksjCsjHiXif, ?;>;•-<

idfif.f.

T» *P

B m CtACL

zoS L t B E M. V. •K nor. Superet GK iptaM

HX,ablata communi HK, fuperabit G H ipfurn K X. Sed fi G K fupem H X,fu-perabit & L K ipfam M R Superet ergo L K iplsm N P»fuperabis (commtsrft M N ablata }&LM tp&tr* N P. Quare u G H fuperat;

KX, & L M fuperabit N P. Stmtlket <k» monftrabirous, fi GHzqtubs fis X X s cB L M arqualem effe N P;& fi mtrior}t«mo-rem.Et funtG H, L M ipfaram A Es C F «qu$multiplices.ipfarum vcroEB.F 0 aliz vtcumque KX,N P.**Eft es go vt A B ad E B; ita C £ , ad F D.Si ergo compofi» tz,&c. Qupd oportuit dethooftrai«.

Fropof.f S.Theor.i 8. Si diuifit magnitudinesproportionalet

fuerint,& compofitapropor-tionaleserunt,

Slnt diuife magnitudiaes A E,EB;CF, F D proportiortales. Vt A £ ad E B;iu

CFadFD. Dico&compbfitaspropor-tionales effe,vt AB ad B Eata CD ad FD. SinoneftvtABadBE;itaCDadFD; fitvtABadBEjiuCDvaadminorem

FDJ

t I B S tX P. 460

. I t FD$yetadjoliorem.$itpru»oa4

I |" ABsdBEjitsCDsdDCfsVOiOt i | coo?pol3f.etrsagmt:tKl;uesprouosr

^•{ f doOal«to&or.Cfg.tar<iujsErsvt 1 C ABsttEBjitsCGsdClXpojti-. S,SM/.I7./ ] **} msuutoos ve. AEadB Bj i u C F B "B adFD^critergovtCCadGDj D**/.!'./.

kts C Esd F D. Eftstnem prbruCG ma* iorterruCF; <f mierq» &feearsabGD ..,*-, ... #

** **> s~ S * >* s VAV'"•*••/ roator qrum F D; Dd & mtoorelt; qsost Fefinosj potefts Asoo cego sft ve A B&4 B Esst&C Dstsl missoiroro jpG F .D<Sttmli-jsjrderuosBiabsruuoqsi&dneqttoDosso-rem .FDjvsrgo&d IpCuoSi erg»diujft?,&q Qopdopoetsit desoosftftsyrq

Propdfr $.Theor. 19. Siftteritvttotaadtotam\itaabUtaad

abUtam-i&reUauaadrelitjuameriu Wtotaadtotam»

SltvttotaABadtotaCDjttaablataAE ad abiatam C F. Dico & retiquam E B

ad reliquam F D efle, vt eft tota AB,ad to-tamCD.CumenimfitvttotaABadto-tam C D,ita A Ead C F; 4 erit permutaa- . " doAB adAE, vtCD ad CF.&* diui- J { 2 £ j

O dendo

ftlO l I S B K v. I j desdo B E adE A, vt DV ad

f ~ F € ; rarfusque permutandbvt | ^ BEa4l)F;itaEAadFC.Vt

-1 ! vcro AEadCFjficponitur e/ry.n;r. - | y* t e t * A 3 ad totam C D. * eft

| f err«t> txliquaEBadreliquaru j [ FD.vttotaABadtotamCD. }§ B Si«rg<>merit,&c.Quodop©r-

t»Jtdetaonftrare»

'llarmnu. Etqniade^riosftratam eft, Yteft AB

Af"f •'*•}• *& CDificetTeEBad F D.erit dpermuta-do vt A B ad EByitaC D ad FD.compofi-tp ergo magnitudines jpportionales funt. Oftenfum eft autem,vt eft AB ad A Ej ita

N efle C D ad C F, quod eft per conuerfio-idtf.tf.f- ne rationis. Vndeperfpicuum eft,fi com-

pofit; magnitudines proportionales fiot; & per conuerfionem rationis proportio-nalesefle.

Factz autem funt proportiones, & in etque multiplicibus, & in analogiis.r Nam

s fi prima fecundz zque fuerit multiplex, atq; tcrtia quartz; erit vt prima ad fecun-dam; ita tertia ad quartam, Sed non ita ex contrarloconuertitur. Si enim fueritve primaadfecundam,iutertiaadquartam,

noa

I i i i * v. m hon omnitto erit pf irha fecurtdar, & tertia quart atquemultiplex.vtinfefejuialtcrif, velfefquitertiis proportionieus > vel aliis huiufmodi.

Propof.20.Tbeor.2d. Sifuerint tres magnitudwes,&alia it-iu nmmero aqualcs, qua bina & inctt-dem rationefumatur, exaqualiaute» frima quam tertia mak\rfuerit,eritefy

quarta quamfcxta maior; etfia-qualu,aqualufimimr,

minor. Inttres magnitudincs A, B, C; cValijs ipfis numero atquales D, E, F, qu* bi-v n*>&ineademrationefuman-t tur. Vt quidem A ad B; ita D ad

1*° £.VtvcroBadC;ficEadF,ejc

r atquali autem A maior fit quam x I v G. Dico&DquamFmaiorem 1 d eflet&fiasqualis. quaiemifimi-

•°"*/ ^norminore. CumenimAma-^,0 iorfit quam C; aln vtro qux-

cumq; B. a Habebit A adB ma-_ iorem proportionem quaitiQ prutJ.f I adB. SedvtAadB:ficeflD*i

P S F E.vtautemCadBitaefi^con-b/w/,r^ O * uer-

S

u

111 L l B E K «/. uertendbFadE: Ergo DadEmaiorem

\tfrtf.tt.f proportionem habet, quam F ad E :,t ad eandem autem proportionem habetium, quz maiorem habet, illa maior eft; maior eftergoDquam F. Similiterdemonftra-bimus. SiAfit zqualisC; &Dzqualem efle F; & fi minor, minorem. Si ergo tret xuerint magnitudines,&cQuoddemon-ttraredportuit.

Propof 21 .Thcor. a i. Sifuerinttres magnitudines, &alia ipfisnumeroaqualesquabina,&inea-demproportionefumantur ,fuerit au-temearumperturbatdproportio,&ex aqualiprima maiorfuerit quam tertia,

& quartaquam fextamaior ent. &fiaqua\U,*qualU,&fi

minor,minor.

{21 CtottrcsmaenitudinesA,B,

Oc&alieJpmnurrieroequa-f lesD,E,Fquzbinz,&inead£ T T rafioneitimanturfitautpertur

. i t bata earam proportio vt Aad A » «- B,ficEad F,&vtBadC,ficD ad

E;fitq; exzquali A qua C maior. Dico & D maiorcm eiTe ipfa F;&fi zqualis,zqua-

lern:

1

I I B E H V. u j httii fi minosvmioorem. Cits»

Zf ergo k msjorfit qusm C> ikfy sfee- qs&datn B.s* jrlebebit A &4 sprsp.f,/.

J ^ Bmsioremproportioni^Bam | I Cs4B,ft;4n&a4Bpnd$E&4 ^ ~ F.Et leossertendo.vtCadB» fD*¥--^-

2 I i ! ttaEadPwou«:eEjwF!»ak>«*!/*^*'t r*m proportionemfesDet > eparo £ ad 0 , Ad qtssro sum» e-aders) rrksose propor» tionem asbetpffs tssoor erbmtnor efi «r» go F.qsar» Dadeoqoe rsstor D quam F. Ssmslker ofxendemuijS A iu s-qsslia C» & !> sp& s? equefmtdV;& 5 msrsor, rrusio-re. Ss tr go F«mo« tres m«goko4s»«% Vo Qupd opot tsitdesnosdVsre»

Propofsst. Tfes?or>ix» Sifuerintquotcumu, m*gnitudine/,& *li*iffisnumero*qu*les,qu* bin*, &

ineademproponionejum*ntnr,& ex uqualiineadem propor-

eioneerunt,

Slnt cjuotcumq; mjgnitudmes A.B.C; cValix ipfis numero arquales D, E, F,

quxbinx&incadem proportionefuma-tur,vtqutdemAadB;itapadE;vtver6 B ad C;ficEad F.Dicoquod exxqualiin

O 3 eadem

B I H I C D E F

ff K H H L-M

eadem .fintt propprti-JZ-t one. Hoceft,dicovt

eftAadC;itaefl*eD ad F. Sumantur entm ipfarunr A , D aeqvje multiplicesG, H: i-pfarum B, E aK* vt-cumque K, L. Item t-pfarumC, FaUxvt-cumq; M,N. Et cum fit,vtAadB;itaBad E,acceptxquefinti-pfarum A , D acque

^- multipKcesG.M.i"-pfarum B.Ealixvt-

*frtf.f.f. cumquexqucmultiplicesK, L*, 4 erirvt GadKjitaHadL. Eademdecaufaerit, vt K ad M; ita Lad N. Cum ergo trestaa-gnitudines fint G,K,M.;& alix ipfis equa-FesnumerpH,L,N,quxbinx,&inea-

b/wv/t.M./demproportionefumuntur, t exxquaU fi G fuperat M,& H fuperabit N; fi xqua-lis, xqualis; fi minor,minor. Et fun t G,H ipfarum A, D xque multiplices. M i N i-

c ^ / , pfarumC,F:eeritergp,vtAadC;itaDsid F, Si ergp quptcumque,&c. Qrjpd

pportuit dempnfirare,

Pro-

111$* V. »5

' Propof.»3-Thcor.»3' Si fuerint tret magnitudtnes, &alia

,. ipfisaqualesnumero, qua binat &in eademproportionefumantur, fueritfc

earumperturbafaprop$rtioi& ex aquah in eqdem proportio-

neeruttty

Slnt tres magnltu-dinesA,B,C,&a-

, liae ipfiis gquales nu-. I mero binx in eadem

z*

I I L _ . A B C D~Et.1T proportione fumpt»

€ H L K H S D,E, F; fit autem ea-rum perturbata pro-portio. VtAadB;fic EadF. VtvcrbBad C;ficDadE. Dico • > tflevt AadCjitaD adF. Sumanturipfa-ru A,B,DarqucrnuI-tiplkcsG,H,K_Ipfa-

rum C, E»,F, aliaevtcumqueL, M^N. Et-quia G, H ipfarum A, B funt xquc muU tiplices , a partes aqtem eodem modo ifttf,\f.ti multiplicium eaadem habent propor-tionem,critvt AadB:(icGadH.Eadern

O 4 dc

* *

b/re/Vi-j, lii

%t**t-4'Ss %*

licj . M . I I I F, " decau&crit, vtEad F; fic M ad N, cumq;

I j fitvtAadB;itaEad I I I I Fjceritquoquc.vtG '

A B C DE.lTadH:itaMaaN.Rur Q HIV KMTxt f^q«'»eftvtBadC,

ltaDadE,fumptaq; funtipfarumB, D x-quemultipiicesH.Kt ipfarurn,vcrQC,Ea-liasvtcumqueL, M; CeritvtHadL;itaK ad M. Oltcnfum eft autcm efic, vt G ad

HjitaMadN.Ctl crgo tresmagnitudines G, H, L»prpportionales fiqt; & aliac ipfis numerozquaJcsK.M, N, bina* in cadem proportionc (umpt{, fitq; earum pcrtur-

tWM* bataproportio;ex 4 a-qua|ifiGfuperat L; & K fupcrabit Nj & fi «qualis, asqualis; fi minor,minor,funtqueG,Kipfarum A, D|f que multiplices L,N verb ipfarum C,

e d*f.S% * F, , Eftjeigo, vt A ad Cj ita D ad F. Si er-gofinttres.&c.Qupdoportuit

demonftrare.

Pro-

K

Propofitio 24. Thcor* 14. Siprima adfecundam eandem habue-rispropqrtionem,quamtertiaadquar- \ tam\ habeat autem ejrquintaadfecun-dam eandem, quamfexta adquartam: habebit & eompo/itaexprimaejrquin-

ta ad jicundam eandem proportio-nem,quamtertiaejr/exta

adquartam,

[Abeat prima A Bad fecundS C ean-dem proportionera, qua tertia D E

adquartam F.habeatverb &quintaBG ad fecundani C eandem proportionem, quam fexta E H ad quartam F. Dico com -pofitam ex prima & qui nta A G ad fecun-

dam C eandem habere proportipnem, qua ha-bet compofita ex tertia & fexta D H ad quartam F. Cum enimfit vtBG ad C 5 ita E H ad F; a erit * lamm* couertendo vtCadBG; ? * ! ' jtaFadEH. Etquiaeii vtABadC:itaDEadP. Vtver6CadBG;itaF ad E H. b"Ex aequali crgo/«/>. n. /,

, O j «fl,

'f** •fi.

.V A tt>

ai8 VI B X R V. •prop.it./. eft; vt A B ad B Q»ita D E ad E FiV f Et

' cum diuifa; magnitudines proportiona-lesfint, erunt & corhpofita proportiona-

. les.VtergoAGadGB;itaDHadHE. ,r9f'"/,Eftvero,vtGBadC:itaEHadF:</e>;a;-

quali ergo eft, vt A G ad C: ita D H ad F, Si ergo prima ad fecundam, &c. Qupd oportuitdemonftrare.

Propofitio z 5 .Theor.av^.

x Si auatuer magnitudines proportiona-iesfutrint, maxima &minima\

duabusreliautimJie-restrunt.

Slnt quatuer magnitudines jpportiana iesA B,CD,E.F,vt quide AB.ad CD:

jta E ad F.Sit maxima A B.minima F, Di-coAB.&F.quemCD, Etnaioresefie. «Pona-tur ipfi E zcuialis AG; ipft F, xqualis C H. Cum ergo ftt vt AB ad CD; itaEad F. Sit autemipft E arqualis A G; F ver6 CH.eritvtABadCD; ita A Gad CH. Et quia eft vt tota A B ad totam

CD*

1 7.1

•f**f.lJi

a.

H

A C H F

1,1 9 Efi-V. V9 C P ) ita ablata A G ad ablatam C H, l erit ufrapAt^ tS&reliqua G B adreliquam H D , vt tota A B ad totam C D : maior eftautem A B quam C D. maior ergo etiam efl G B, qua jiD»EtcqmAGajquaiisfitipfiE;&CH ' ipfi F ; erunt A G & F arquales ipfis C H, &, E,&cum,f quando atqualia inxquali- cax.j, busadduntur.totafiant inapqualia. Ergo fi ( G B, H D inafqualibus exiftentibus & rnaiori QB)addanturipfiG fi, ipfie AG; & F; ipfi verb H D ; ipfas C H, & E, colli-genturAB,&Fmaiores,quamCD;&E, Siergoquatuor,&c. Qupdoportuhde<-inonftrare.

Seqtuntetpropofitionet nonfmtEueliiit, fei 4 Feierico Commanitno ex Fappo. Ale-xandrino coUetla. >

Prppofirjo % fi.Theor. 2 6*.

Siftima adfecundammaiormhahue» titproporti»nem,quam tertia ad quar-tam, habebit conuertendo feeunda ajd

fzimam minorem, quam quar-taadtertiam,

HAbeat ABadB C maiorem propor-tionem,quam D Ead E F,Dico CH

uo I I U I r. ad B A tninorem habere, quSF E ad E D* SitvtABadBC:itaDEadaliamG:er-

', goDEadGma-•A ? ft iorem habetpro-p I H P portionem, qui

•/«>. I. /. ^ *——* D E ad E F: * mi-Q nor ergoerit G,

quam E F. Ponatur ipfi G xqualis EH. Quiaigitur vt A B ad B C; ita efi D E ad

b Ltmm* £ pj. £crjt conuertcndo, vt C B ad B A» ?'»'}' .«" H E ad E D. r Sed H E ad E D mino-

" ' 'rem habet proportionem, quamFE ad E D: Ergo & C B ad A B minorem habe • bit,quam F Ead E D. Quod oportuitde-monfirare.

Quod fi AB 4 — ^ L c adBCmino-

r • *° rem habuent proportionem.quam D E ad E F; habe-bit conuertcndo C B ad B A maiorem, quam FEad ED. fitvt ABadBC; ita

d/rt>.*,r, DEadaliam EG, quapmaioreritquara I e Umm* E F. < Conuertendo ergo crit vt C B ad ! £ £ / / / , . BA;itaGEadED./AtGEadEDma-* v ' ''ioremhahetproportionem.quamFEad I ED: ergoCBadB Amaioremha-• bcb«»quamFE

adED, Pro-

I

I 1 B E R V. iit Propoficio 27. Thcor. 17.

Siprimaadfeeundammaiorembahut' ritfroportionem,quam tertUadquar-

tam;,bahehitfermutandofrimaad tertiam maiorem,q»amfecun- '

daadquartam.

HAbeat A B ad B C maiorem propor-tionem,quam D E ad E F.Dico AB

. ad D E maio-. . s •-. ~r£habere,qua

•£ •, • 11 'BCadEF.Vt ¥ ? y . . y enim AB ad

BCjitafitalia GEadEF: ««qaatmaiorerit,quarhDE» ifnf.t.r. tJJEftergopermatando,rt A BadGE.ita b/r»/-.,*/. BC ad EF.rHabet autem AB,adDE «/"/•'•* maiorem proportionefn , quam ABad G E,hoccft, quam B C ad E F. Ergo A B ad D Emaiorem proportionem habebit, quim BC ad EF« Quod oportuit de-monftrare. w l _ _ B c E*dcrh rauohe,fi Afi ad 4> gJ JE F ~* **" romore habeat pro-*~~* * - * portioriem, quarri D E

^r ad EF,fequerur permu-rando AB ad DE minorcm habere,quam BCadEF. SitenimvtABadBCaualia

GEad

xli t l 2* E t t. ifrtfit. /. G E ad E F, </ qua* minor crit quatfi D E* <tfr*fj.s. cScdABadDEminoremhabetpropor-

tionem,quam A B ad G E, hoc cft, quam B C ad EF. Habcbit igitur AB ad DE minorem proportioncm, quam B C ad EF.

Propoficio 28.Theor.28* Siprima adfecundam maiorem pro-fortionem habeat, quatertia adquar-tamyetiam comfonendo frima &(2-tunda adfetundam maiorem tropor-

tionemhabebunt, quam tertiacr quartaadquartam.

HAbeat A B ad B C maiorem propctf-tionem,quamDEadEF. Dicoec

z g ACadCBmaiorem A 1_—4? habercquam D F ad e t» -r, V FE.fitvtABadBC; ^ " * — r - * ita alia G E ad EF:

tprtp S 1. * er*t G E "•••ior quam D E. Quia igitur \>p\cj>.rS.s eft, vt A B ad B C; ita GE ad E FjT erit co-

poriendo.vt A Cad C B; ita G F*ad F,E. tfriftS.j.tSeAGFadFE maioremproportioncm

habet,quam D F ad F E. fcrgo & A C ad CB maiorem habet proportionem,quam DFadFE»C^dcu50ttuitdem©nilrat5e.

Qupd

ivrjjf ft v. iij j£ f QupdfiABadBC

t) Cf E L J r0'0©1"6111 ProPor*" tioncm habcat,qua

Z-8 D E ad E F^habe- ifnf.ti.ti bit etiatri compohettdo AC ad CBmi-norem,quam D F ad E F. Quia enim AB ad B C minorcm proportioncm habet, qua D E ad EF; fit vt A B ad B O ita alia GEad EF, e erit ea minor quam D E cfrtfJif» ergo vt ACad CB»ita erit GF ad FE. led G F ad F E mi norem babet propor-tionem.quamDF ad FE. Ergo & AC ad C B minorem habebtt, quam D F *.dFE.

Propofitioip.Theor, 20. Si pritna &fecunda adficundam ma-ierem habeatproportionemfquam ier-tia & quarta ad quartam, hahebit & *

diuidendo prima ad fecundam ma* ioremproportionem^qttamter-

tiaadquartam. ^a TTAbeat ACad .

A, 6 3B c *•'*CBmaiorem * » «i prbpordonej qoa * '' r - f . DFadFE.Dico&

A Bad BC maiorem habere,quamDEad £F.VtenimDFad FE;Uafiulia GC

ad ,

114 t I B S X V. tfry.t.j.»dCB,4eritqucGCminor,quam ACj

& diuid.ndo erit G B ad B C; vt D E ad b/r».X.«. E F. * fed AB ad£ C maiorcm propor-

tionemhabet,quamGBadBC. Ergo rjf A B C & A B ad B C maio-•n x v rembabebit» quam

• . DEadEF. Sivero ** ACadCBminorem

. habeatproportionem,quamDFadFEj habebit & diuidendo A B ad B C mino-rem,quamDEad EF. SicnimfitvtDF

e/r./7./. a jp Ei itaaliaG C ad C B, cerit G C qu£ 4fnf.\7.t. A Q m a j o r > 4* crttque diuidendo GB ad

B C, vt D E ad E F. Habet autem A B ad B C minoretn proportionem, quam G B ad B C; habebit ergo & AB ad B C mino-rem, quam D E adE F.

Propofitio 30.Thcor. 30.

Siprima &ficunda adficundam ma-ioremproportionem haheat,quam ter-tia & quarta ad quartam $. per conuer-fionem rationis prima & fecunda ad

prmam minorem hahehit,quam tertia&quartaad

tertiam, Habe-

LIBER r. i | j 'Asest AC&dBCmsiar«s8 propor> y©agra»qtiam D F «4 F E BiroCA

. _ J t T ^ T hafemrj^samFD LJpU~Jth~^F sd B E. Sk mtm

>K~--~-$-~-P vt AC «4 CB*rk *Sf»

«* sgtta? tmn&remf?**?'*'** t$.nmmJQ$i~ ^*1*4

re per «oPttSfftorssm r&rio«k*vt. CAttd ABj UseritFDad D ©«fftdFDad DG **#****£ m\ oorem propsrtbaem hahet > «ps F 0 aci 0 E Ergo & C A sd AB stsrtoresa hg~

CBmmorsmprppoimcmemhahe^^Ki D F ad F £ j hsbehis psr romtcdxoom mtotsts C A ad A B nt&tores»»qu&ro F 0 sd D E; erit enim vt A C ad C B, h& 0 F stdrnatorem ^oamFE rd^ts&m&rtifdk funt.

Fropofitio 3 i.Theor. 31. Siprimaad tertiam maiorempropor-tionem habeat ; quamfecunda adquar' tamihabebitetiamprima ad tertiam

waiorem, quam prima &fccun-daadtertiamejrquar-

tam. P Habe*

jj6' 1 1 ' A JJ R V.

f l Abe&t A B ad D£ «uiorero. propbr-Adonetn, quam B € sd E F. Dico Sc

~ ^ ABadDEma--P»»"*40^ iorfm habcrc,

»£««Ji quam A C ad * DF. Sitenim

s/^M- ?. ABsdDEflt;sBC&«uUWEG,*que; iyu>*as../.5^ssior£?kqtuusEF, $£;go'tbta ACad •*'??*?& j . ^ a a j D Geft v* A B ad D E. cfed ACad

| )G maioreai fropontodem habetqu* «d D F iC-rgo A B sd D E maiorem habe-bk»qsam A C-sd D F t Et roanifeftum eft tonui A € sd toutus D F sninoremhabe-te ,quam A B ad D E. & (i minor (it prd-poruopartis,totiusmaiorerit. ';;

Propoficio32.TheOr.3i.

Si totd udtotdm maiorehabuerit pro~ portienem, quam abiatadd abUtam\

hdbebit & reltqua adreliquam mxiorem quamtotaad

totam.

HA B E A T A Cad D F maiorem pro-portione,quaABad DEDico&re-

liqua B C ad reliquaEF maiore* habere,<j ACadDF. Sit enim vt AC adDF,ha

AB

*• tflBE R K kfT \ &Y AB ad D G . •ft ;• ••" _ j r * " f T " £ * e l i - B W / f © <± E j? quaBCadreli-* " " • i - ' f quam GF eft, vt AdadDF.fed JBCad EFmaioriBm tyr^-A* proportionem habet,quam ad F G. Ergo & BC ad EF maiorem habebit, quam AC ad D F. Si vefb A C ad D F minorcm proportionem habeat.quam A B ad D E, &reliqua'B C ad reliqiiam EF minorem habehit,quam A C ad D F, quod eodera, quofupra,modooftendetur,

.'- Pf0poficio33.Theor.33* Sijint tres magnitudines, dralia ipjil numefo aqttales, hakedtOfpfima prid* runt ddficundam maiorem proportio~ nem, quaprtmapofleriorum aaftcun* dam-, Jicunda vero priorum adterti-ammaioremhaheat quamficunda pv-fteriorttni dd tertidm: etidm ek aquati

frimapriorumadtertiam maiofem hdhebit,quamprimdpofte-

riorumadter-tiam* '. *

P i Ha-

ill

aaS Z 1 B S * T.

- T TLXAbeat A ad B mair> J T •*""**rem proportionem , I I r^SMmDadE,&BadCma-J J 1 iorem,qfl&EadF. Dicoek

«at.BC «quali A ad C tnaiot £ habe-re quam D ad F.Cum enim

*frtf,*7J | j A ad B roaiore proporrio-_ . nem habcat,quam D ad E, l&a habebit permuundo A

i J1 ad D maiorem, quam B ad E. EteademrationcB adE

maiorera,qua C ad F.ergo AadD maiord habet quam C ad F; & permutando A ad Cmtioremhabebit.quam DadF. Qupd oportcbat demonftrare.

Qupdfi prima priorum ad lecundam tninorem habeat proportionem, quara primapofteriorum ad fecundam: fecun-da vero priorum ad tertiam minorem ha-beat;quam fecunda pofteriorum ad ter* tiam, Similiter demonftrabitur ctiamcx cquali primam priorum ad tertiam mi-

norem proportionem habere,quam primam pofteriorum ad

tertiam.

EVCLI-

m

E V C L I D I S ELEMENTVM

frEXTVM.

Definitiones. «. Similesfigmare&ilineafun^

gulosangulos*qudcshabcnt,&la- • tcracirca xquales angnlos propor-tionalia. Cui«finodifitntprtpofi4,tri-*ng*uuA0C,DCE.

fc. Reciprocat figurar funt, quando in v-traque figura antecedentes &con-fequentesrationes funt. Vtpropofi t4-:fimtfigur*A D B F,BECG, in qni-IM kntecedtntes fiunt DB,GB, confi-qutntes B E,B F.&provofiifjriangu-laABCADE.in quibut mtettdtnttt fiunt CA,A EiconfequtHtesA D,ABf

j . Extrema ae media ratione linea recra fecari dicitur. quando eft vt tota ad

P % maio»

maiorem portionem.ita maior por-tio ad minorem. Hacfictsd demon-firataefiprop.it.lib.jJnqua UneaA B in H txtrema ae mtdia ratione ficltu efi&fi.*. Vi rtltA A Badmatsrempor-tsorismAit.st.irnaioraimtKorsmliii^ dtmotfiralrturestans hh\6.prstp< $s»

4 . Akicudo eui«fqa& rc&ilLnex figttrx ef! p &r uer;die « # # <|« x i vsrt ice sA bstits dutitur- Vtprttpspprtmaeri-«ygttfortt >.» tA H &**** B .0, ADL aits)~ ttsde tfi psrpendiSuUris A C<

5. iProportio exproportionibuscompo-» nidtcitur, quando proportionum quantitatesinter fe multiplicatx ,a-liquam emciunt proportionem. Vt expreportione dupla & tripla cempo-

• niturfixtupla: nam deneminator dutr plaz.dutlmin deneminatorem tripla z.faeit6. Suntautem ipRdenominate-tjes quantitatts propertienum»

•^RIf-^xyyws <t;v:vo> srv»

V#:#k4#m*^

fr*-

Propoicm 1, Thsor. 3i

T w ^ s / s * f?p4r$$e fo? rd mmt 44 nifm &&$?mtwakifiiJwt-m4*°t?rfL»>

fifgt t-t kxfes,

STnttrisngii* & B C, A C P , pamiyo-. ^ a m a ^ ' C* € FIubes\«>i .-ItusiHri*

caadtm, pt i pt-tu!kubmo> sjcmpc e\ A m £ 4 "$-< BDJufLs.iTs-* T - ; i «dlA&tttaii-! , V > \ »»:«im ABC,

' s Y \ \ sd tn*uguuxm. K & s c " »"">; ~i AC r>» &IF<V tfild^xtvffiS EC.sJ f •tmU?%ummU -. • € !v.A-l!bvl KC&&i-Sxw C1 h Iboiu-«aru-o-n.u B Cummvuv-.l!, L.ftatqoc b j.x K C «equ-ic*. B C,t l \ hhi.il yao € D <qn r, UJUJUC H K, k U A', «ncisuus ACC A1 \ k K. A L, Cumxjui B C B <B» O \ ? s?q«jL& ssru , * a i r * J, mr.ogub A11H» */r*/J A € B, A BC ovpuhv Qtum rauh tpiex e -•> csl bjsL 11C hst-cs B C um mjsSri-| i i exhxiaugi Lsm AHCttuoguL ABC i: ,\i", \ Jo nsl-Xr i-^Atxt irn\bjv\m& I C h\ijs tf\ u. C D»um '.v. 0 q=h^ <$ --«•-,. g-Jum A L C«! sv-.gok A C l> H fs bxlit

HC.bafx CLatqualisfxt;erit & triangu-Ittiu A H C , triangulo A C L atqualc ;Et i!<

« 4 fuE«-

14» l l B E K VI. fyperer.H €* t^km CLAiiperabit&tri-srsgului» ABQ trsangulu ACL;& fi rni-

H.4 T* aor,minus. Cfi mX*>\l ergo quatuor

/^i\ V"fsSv fint m a g a i t u -Z / l / ' ^ W dines,duasba-

H C B C » K 4fesBC,CDj& «ko triao^b ABC ACDj acceptgqjfiat fcafeosqdde BC,&triasguli A BCsque m«jdpii£b,bafisHC,&trknguIuAHC. Baieos veri? € !>, & trianguli A C D, alia vtcusq j , oempt bafis C L» & triangulum ALC.dcmOUraturaq; ih fiHCexcedat

. ^CL, & A HC cxccdcre A L C;& fi g qualis» L i . , , acquale j & fi minor, minus j l erit vt bafis DMr'y BCadbafim CDj itatriangulu A B C,ad

triangulu A C D. Et cum trianguli A B C tprtf^.i.1, t duplu fitparallelogramum ECjtriangu-

li vero ACD duplu parallclogrimu FC,& ifnf.r/.f dpartes eode modo multipliciu eandcm

habeant proportione, erit vt triangulum ABC ad triangulu ACDjita parallelogri-mum EC, adparallelograrnum FCEt qa, demonftratu eft,elTe vtbafimBC ad bafim CD,itatrianguIu ABCad triangulu ACD.

*ft»t.u,f. Vt veroABCadACDjita ECadCFjserit vtbafisBCadbafim CDjitaparallelogri- < mum E C ad parallelogrammu CF. trian- ; gula ergo & paraIieIogrima,&c, Qupd o-portuitdemoftrare. Pro-

I l t l l . W «4$ Propof.2.Theor.t.

Si vni Uterunt triunguUpuruReU re~ fta duftufuerittproportionMUterficu~ bit trUnguUUtern.EtfitrinnguUlute~

rapropcvtioHMUterfiftafuerint, reftnfiftionetconiungent,

reliquo Uteripara8e~ Uerit.

T AteriBCtriangtt. l^UABCduaafic paralielaD EDico ef-fe,vtBDadDA;ita CEadEA. Du<ftise-

tg nimBE.CD M erit a/rvf>,jf.i triangulum BDE x~

qualetriangulo C D Ejhabeat enim ean-dem bafim D E, ocrant in iifdem paralie-lisDE,BC. Alwdautemtriangulumefl ADE. tiEquaUaautemadidemeandem hprt/.r.f! habentproportiooernseritergovtBD E triangulumadADE;iuCDEtriangu-lumadidemADEtriangulum. r Sedvt epruui.e. BDEadADE;itaeftBDadDA.cum enimineadcmfintaltitudine.quamper-pendicutaris cx E in A B ducta oftendit, interfceruntvtbafes. Obcandemcau-

P 5 fam,

ifrtf.t/.j

n n Xi vi fam.vt eft triangulurn CDEadADE;itaeft CEadEA: d vtergo BDadDA;itaeftCE ad EA.Sintiam trian-guliABCiateraAB,

"C A C proportioualiter fecta.fitqivtRDadDA^itaCEadEA.

i Ducta crgo D E,dicoilIam ipfi B Cparal-leltm efle. iifdem enim conftructis, cum

»/»/. t.«. fia-/t B D ad D A, itaC E ad E A; e atqui vt B D ad D A; ita eft triangulum B D E adtriangulum A D E. EtvtCEad E A;

ffrtf.it. j . ita triangulum C D Ead idem A D Eyfvt ergo trianguluBDE ad trianguju A D E, fic trianguwm CDE.ad triangnln ADE. vrtumq;ergotrranguloruBDE,CDEad

c prtp.j.j. t r ' a n g u m ADE^ eandera habet propor-%prtf.ft.i tionem,zqualiaergo funt.funtquein ea-

dem bafi D E.4 _t triangula zqualia ean» cdera habentia bafim,in iifdem flint paral-ielis. ergo D E parallcla eft ipfi B C. Si ctr-'

go vni laten,&c.Quod oportuit. demonftrare.

> y* *w|s» <u ^ ^ v#

ftfO-

PropoC3.Theor.j, Sitriangulianguhtsbifecetur, reclaq^ angulumfecans, fccct ejr bafim, habe-huntbafispartes\eandem proportio-ztem,quam reliquatrianguli lateraEt fi bafitparteseandemhabeant propor-fienem,quam reUqua trianguli latera,

quaaverticeadbafimduciturre-ftalinea,trianguliangulum

kifecabit, T? Stotriangurom ABC,8fi XL&angulus BAC bifece-turrectaAD. Dicoefle.ve BDadDC.itaBAadAC

D c DucaturCEperCparallela DA.cuiBAproductainEoccurrat. Ee quiain parallelasAD, E Crecca AC in-cidit, a erunt anguli A C E,C A D xqua-les fed C A D , 1A D ponuntr xqualcs; tprt> **>* Peruotergo&BAD,ACExquales.Rur- ^^ f fus cum in paraUelas AD.ECincidatBE, reritanguhisexternusB A D,xquaHsin- c»«. ljut; terno A EC; oftenfus eftautero & A CE ipfiBADxqualis: «f eritergo&ACE d-jr.r, xqualis ipfi AEC.e vnde & latera AE,AC efrtfx<a\ xqualia erunt. Et cjuia trianguli B C E la-

terj.

t I B M * VI. ' t\ EC du&a eft parallela AD;

f M , , ' - , /r/crirvtBDadDC;itaBA */**• •»• '• A / \ ^ AE;eftautem A E ipfiAC

cqualis: g eft ergo vt B D ad tfnf.fj. S~W~C DCitaBAadAC. Scdefto

iam vt BD ad DC;itaBA ad AC.iunctaq; iit AD.Dicoangulum B AC bifecarire-cta A Ebiifderoenitn conftructis, cum fit

kfnf.x.i. vtBDadDQitaBAadAC: A&vtBD ad D C;ita BA ad AE(eftenim Jateri EC trianguli B C E ducca paraliela A D) erit

\frtf. 9. /. vt B A ad AC ita BA ad A E; i a*quaus er-V#M.t goeftACipfiAE.it Quare fcangulus \fr*f% M . A £ C aogulo ACE sequalb erit. ** fed ^''^AECeaternoBADeftaiqualisvwocA

C E alterno C A D; erit ergo & B A D «qualis ipfi C A DjergoBA C rectl AD bifecatur. Siergo trianguiiangulus, &c Quod oportuit deraonftrarc.

Propof.4. Theor.4.

Aequiangulorum triangulorum lata-raeirea aquales angulos propertfana-Uafunr,Etlateranqualihusanguht

fuhtenfa,homologa,fiueeiuf demratfanu,

Sint

L I B E K r i . »47 'lofctmogsrb A B Q D C H eqdsssgu» is> «^uafes b&beutE eugtibs A B C,

DCE,k'&ACB»D E€,& B AC,CD E„ Dice iaters dres tt-

x \ " x \ v s ' X x «|U«ie§ aogdos eiib <k" °°™;Cl'"*" Pr°pQrt*ooalbi& h* & tera »ej ualibu$,sogu~

$is uibrenfa» homof oga« Coiupooamur e3iimBQC£lndfrca»m*Et«;oi3iangait A B C>A CB «JuobusrsoFemioores itm% fir.auterasr>gdusD E € augulo A C 8 s?qasijs,er«5'ttd£ A B QDECeiuolsusfe-ctissuioorss & cooeorrsutergo B A,£D ««**£««*. produd^»Cotteurrant:f£t Fj €umbs.esa~ gafi D C £> A B Cpqusles Sot»$ cruutre» &/**?•***>* A» B F9 C D f>arelkie,B.u>bs eurrj anga-is A CB» DECtequaiesliur, e rmnt Bf«*» .ai'.|» A C s F E parsf lebj I dces|«e F A C D pa-raifdogracurautr, efliicritcjus F A«uc<oa~ djtwow,* fis ipfi *"€ D»& A Cipfi F Di &cnm$& !s? us F E tri&uguU F B E d«c*h £?, pgrsl-Ids A C,r erit x> r B A aet A F,it sJSC «•)*«-»» *»

d^¥tABsaBC;«aDC«ick R u t f u s 8 ^ ' w

curo CD, B F p&ralieugfbt, § erk vvtBC k r>p,a, 41% ' - l ^ *: • k* F D -ei D E* Eft amem D F

tq* l tij £ £ W; ifrqr.j.f» arqualis A C.VtJ* ergo BC ad C Enta AC *j>r0t.it.t jul £D;« ergo pcrmutando,vt BC ad C A;

, ita C E ad ED.Cum ergo demonftratum Tit,effevtABadBC;itaDCadCE. Vt verbBCadCA; itaGEadED; eritc*

l/ra/Vaa./. / atiquali Vt BA ad A C ;'ita C D a'd D E. a> quiangulorum ergo,&c. Quod oportuit flemonftrare»

j?t*oporj.Theor.f» SiduotrianguU latera proporiiotittlia hah»erintt aquiangula eruntt babi*

bnntqueangulostquihuthomo~ logaUtera/ttbtenduntur,

aquales, \ £ VJAbeanttrt

v^ **angula ArJ ^G.DEFUtera

proportionaliai nernpe, vt f\.B

«dBC;itaDEadEF. EtvtBCadCA; ita EF adF D:atq; vtB A ad AC.itaED ad DF J)icq triangula A BC,DEF fqui-angula effe, xquafesquehabereangulos, quibus homologa*Utera fubtenduntur. vnde xquales erunt anguli A B C,D E F;

tuamur

/

• t1 B E t vt: i%? t&$Atm «vslpustiiaffFtuipliFsv-uiui F£UvllH*vttqu3icv!vtv>g«L->s t t i i , BC A «??itotgokupus.BvHD C, 1- v. vv|u5ic4ttti

kv-FhvtbcsttsgkitPtttttidUv!vusitsnisrs<m-> >***? ^ guim progoittaitaH- ertsistq to Wr&x-<- vi<!i,butss>g!<;-i subiA"t> hovsioi,,;?,. R u g o u A i H l b i , suFCvs t i t ) " x l v t A h <s.4 i> i > r 3 r>v>v>o.«s D £ <.<! i' 1; r , t <* 4 v.- « ?, igkuri>£,!<hhu3i>Fa4ibFv\ta<v!i " ' u g o D f- vt 1 EvSv, tvi csnUvvntbvAvtpP gv-vos-vAi î*C<: igrtar Ku-vt D F,£» & i r , s ^ f.\t*i*\-$> v.k'Cvit!Sv< D K i i F,u|uaks CS*USP«

Cosr» l i t u t i> £ f ¥ C ^ tks l imêet j sv , trsuius V F : unts t ln t t I> K, £ £ , vks-sbus i 1 r , £ F ttvs ,s Brv-A halk i> F W U I W qasfjft e c !, w-\v< i!S-<stnlu<; D F. I n- uk> tf^>** ft "" "< ^ «C <,%.-- ^ C" , V ' f c , - ' i ^>S.«.

C s i vt!]-!w-s.Jv\tvu;>g>vs;-vS!> P ? ( - ,

utsgvv-oH i ,u-Uv>k,\ uUivnrogtF stc>-liv-tus, 5, Cjst-.kus. v tvpCvj 1 ;r> h KtwV, -t> -

«.nfsv-ssigah ts\v> f H ' v t> F£ t\iv ^ o 0-kt-, H s o E D F\ F C r . ,g , .*. ,, ^ \ s ^ JPL DÛvili- sb >i-,-v \ -« ; C 1-v \ t\V F i g i i A £ € , / • > - . . k A B \ \ n C l < 5><\^v-, Ivsou Ftx F.3vifis>vivvv>,.-vS!v., - -v.-vvv--v\i H> -vvguUs,,st>gtviu-!l>t ? ,t\r<- s, ousv" -\ >v>> *5|Sik>3vSD.v!-S<SvS-gs,;v!.v >v>v^.\U» . ? > > , ^ v

vqvtiartsj-jk si.nt bu g, 4 -.ou c >, \ " -^ n d ogos tuis; IscavuUv u <iv r,

maiorem portionem,ita rnaipr pdr-tio ad minorem. Haefitlio iemon-firata efiprcf,it.(it.fJn qua UneaA B in H extrema ac meiia fatione fitlaa efiitfifyVtretlaABaimaiorempor-tionemAHtitamaioraiminoremBHs iemonfira\itur etiam ljb.6.prop. p.

A. Altirado cuiufque reetilinea: figurse eit perpendieularis, qua» a vertice ad bafim ducitur. Vtpropof.primatri-angulorum ,A HB*A Bf),ADL alti-tuio efi perpeniicuUtris A C.

5. iProportio exproportionibuscompo-» nidicitur, quando proportionum quantitates inter fe multiplicata:, a-liquarn efficiunt proportionem. Vt expreportione iupla & trtpia compo-uiturfextupUt: nam ieneminator aow plaz.iutJusin ienominatorem tripla j.facit6. Suntautem ipjtienommato-fts quantitates proportionum.

fro-

IJBEliVL 241 I?f Oposloo J > TIs.<r<rr> s,

*THi%%*l8&tP£r*$i !<• $r4*****siM%dttm

SlnttthngtJ» A S C ACt\r«salVJ<-s •srn<r> 3. fl C C r h *\?cnt3a 1**5»JW

44 idera, p^tyc {«J^L^cnsnm^cc^ A3« 1 4 ^ K BDsbat T>5>

, < \ -^ £<<>.<><3 A B C > ' \ x \ \ l tf»*ngi3jlas.t&

H vr lv £ f» K "1. ACP» \ | p o -r " <.k*wf i^tnu C C >> p ^teL^aiftn^ •> • C V » T t »N ><•> j>« C aJ i »> ^ C T \ Wo>k" <• > >' • ' • H i s t v » C s > L f t l ^ K < \ L a H « 3 > > « . ! H \ x > l K 3 i v c O > <q>s vt rqss.. 1 H . \ > , \ I ><•*£. Hvf». A^<« A i l A h > \ 1 C 3 - H t \ H O B C L O C I a?y < <i\>> ><<>s »*<•->..<> t >\ 3t>i>"|3.<.s>.3 A O i i . ^sjf^Lt> A \ L > \BCj tq j s j i u> Qpv-n <s»tJ ipkst 41 v<.<tb>si H C l i < " » 3 B C» ?*m mul t t -pL \ 3.1 -<-<<3<<pt '<<.«> \ 1 IC <3< 33; sg<llt A B C j L v •> -5 do s 3t »> q> 5<<S f>3S3S\\< v 1 L C l> <<s {"><>«<: O (>><• >*- > v S p k t t t l ^ U <» gt > 3<5S A L C »35 3^ ii \ 3» l>> 11 33 >.3*33<?

HCbafi CLzquaus fit; ertt & triangs-Iu,taA HC,triangulo ACLsqualctEtf»

* 4 fuP^

HfiB

141 IJBM-M.-VL fuperet H C, ipfam C L,fuperabit &tri-angulu m AHC, triangulu ACL; & fi mi-

nor,minus. Cfi ergo quatuor fint magnitu-dmes,dux)iay

XfesBCXLMk duo triangula ABC, ACD; acceptxq;fiat bafeos qutde* BC,& trianguli A B C xque multiplicia.bafis HC*& tnangulu A H C. Bafeos vero C D , & trianguli A C D , aUa vtcunq;,nempebafisCL, &triangulum ALC:dem6ftratumq; fitfiHCexcedat

kCL, & AHC excedere A L C;& fi gqualis, xquale; & fi minor, minus; l erit vt bafis BCad bafim CD; ita triansjulu A B C, ad triangulu A C D. Et cum trianguli A B C

tfrtf4.1.1. r dupfu fitparallelogramum EQtriangu-. liver6ACDdupIuparallelogramuFC,&

Hfrtf.i(.( dpartes. eode modo muIupTiciu eandcm habeant proportione, erit vt triangulum ABCadtriangulu ACD;itaparalleTogra-mum EC* adparallelogramum F C Et qa, demonftratu efi,eiTe vtoafimBC ad bafim CDjitatrianguluABCadtriangulQACD.

tfttf.u.f. VtveroABCadACD;itaECadCF;*erit vtbafisBCadbafim CDjitaparallelogri-, mumECadparallelogrammuCF.trian- . gula ergo & paralleIograma,&c, Ciupd o-portuitderjioftrare. Pro-

bdtfis.j.

X I B E 1 _ VI. «4$ Propof.2.Theor.i.

&' vni Uterum triungulipurutteU re~ ilu au£iafuerittpreportieuuliterfieu-tit tritnguliUtert.Etfitrianguttlate-

ruproportionaliterfic7afuerint, recJa/eclionetconiungens,

teliauo Uteriparatte-Uerit.

T AteriBCtriangu. JUiABCduaafic parallela D EDico ef-fe,vtBDadDA;ita CEadEA.Dudise-

kc nim BE, CD * erit a/»»,ir.i triangutum BDE a>

3ualetrianguIo C D Ejhabeat enim ean-em bafim D E, Btfunt in iifdem paralle-

lisDE,BG AlHidautemtriangulumefl A DE. I Aiqualia autem ad idem eandem bfr#>. 7.;.' habent proportionemierit ergo vtB D E triangulumadADE;itaCDEtriangu-lum ad idem A D Etriangulum. t Sed vt c/f*j.r.V. BDEadADE;itaeftBDadDA.cum enimineademfintaltitudine,quamper-pendicularis ex E in A B ducta oftendit, interfceruntYtbafes. Obcandemcau-

P 5 fam,

I I B. M *, VI fam.vt eft triingulum CDEadADE;itaeft CEadEAirfvtergo BDadDA;itaeftCE ad E A.Sint iam trian* guliABClateraAB,

*C A C proportionaliter feaa,fitcj;vtBDadPA«."*CEadEA.

i Duftaerg6D"E,&coUlamipfiBCparal-leltmefle. iifdem enrm eonftruftis, cum

•/*»/. t. f. firvt B Dad D A, itafC E ad E A; e atqui f t B D ad D A; ita eft triangulum B D E adtriangulum ADE. EtvtCEadEA;

ffrtf.it.j, ka triangulum C D E ad idem A D E;/vt ergo triangiiluBDE ad triangulu A D E, fic triangukm €DE,ad triangnln ADE. vrtumq; ergo trianguloruBDE,CDEad

f prtf.p.f» t r'anguiu ADE^ eandem habet propor-%prtf.+'t.i tionem,zqualiaergo funt, funtquein ea-

dem bafi D E.b at triangula zqualia ean* gifaa habentia bafim.in iifdem funt paral-lelis.ergoDE parallelaeftipfiBC. Sicsr-.

go vnilateri.&c.Quod oportuit demonftrare.

•« * , w '>»^ V ^

Pf«»

t, i n E X n »4S Propofi3.Theor.3,

Sifrianguli anguhtsbifecetur, reclaa\\ angulumfecanx ,fecei r*r bafim, babe-bunt bqfispartes \eandem proportie-ttem,quam reliqua trianguli latera Et fibafisparteseandemhabeantpropor-, tienem,quamreliquatriangulilatera*

quadverticeaejbafimduciturre-clalinea,trianguliangulum

bifecabit.

ESto tr iangulum A B C,& Aangulus B A C bifcce-

turrecHAD. Dicoefle.ve , „ BDadDCitaBAadAC-

B I> c DucaturCEperCparallela D A, cuiB.Aproductain £ occurrat. Ee quia in parallelas A D, £ C recta A C in-cidit, * erunt anguli A C £,C A D xqua-lcs fed C A D , S A D ponuntr xqualcsj ****> ***\ r> erunt ergo & BAD,ACE xquales.R.ur-. fus cum in parabelas AD,£C mcidat BE, e eritanguhisexternusB A D.xquaKsin- cfrt« Jft^ terno A £ C j oftenfus ellautem & A C E ipfi B A D xqualis: d erit ergo & A C £ d **./, xqualis ipfi AEGe vnde & latera AE.AC efru>yea\ xqualia erunt. Et quia trianguli B C E Ia-

te«

i n n n. riECductaeft parallela AD;

« w w ^ / T / e r i r v t B D a d D C i i t a B A W.M.W. t/ gjAEjeftautemAEJpfiAC

aequalis: g eft ergo vt B D ad tjrtf.yj. F T T * DCitaBAadAC. Sedefto

iam vt BDad DQitaB A ad AC.iunctaq; fit AD.Dicoangulum B AC bifecarirc-cta A Ddifderoenim conftructis, cum fit

kpnp.i.e. vtBDadDCiitaBAadAC: £&vtBD ad D C;ita B A ad AE(eftenim lateri E C trianguli B C E ducca parallela A D) erit

\pr»p. / . /. vt B A adAC ita BA ad A E; i atqualis er-| W * ' goeftAC ipfi AE. k Quare fcangujus Iprip. M . A E C a n g u l o A C E «qualis erit. T fed WP 'tt AEQ exKmo B A D cfta-quaUs; m & A

CE alterno C A D; erit ergo & B A D flcqualis ipfi C A DjergoBA C recti AD bifecatur. Siergo trianguliangulus, &c* Quod oportuit demonftrare.

Propof 4. Theor.4.

Aequiangulorum triangulorum Ute-ratirca aquales angulos proportiona-

Uafunt-yEtUteraxqualibusangulit fubtenfa,homologa,fiueeiuf

icmrationu.

Sirtt

11 B i * n . «47

SIottrianguIaABC,DCEequians>u-la, «quales habentia ahgufos A B C, •p D C £ , & A C B , D

X ^ s ^ EQ&BAC,CDE* A ^ J N A Dico latera circa *-

V^V^yss. quales angulos efla , •L C ^propottionalia^&Ia» *» teraxqualibusangu-

lisfubtenfa, homologa. Componantur enim BC,CE in directum.Et curn anguli A B C,A C B duobus rectisrninores fint, fitautem angulus D E C atigulo A C B »qualis,erunt&ABC,DECduobu5rei cttsminores * concurrentelrs^B AyED *4*f.u.i. productat. Concurrant in F; crmtque an- ,. guli D C E, A B C f quales fint,f erunt re- *•/«/.»#\ $ ctatB F, CD paralleIe,Rurfus cum angu-li ACB, DECcqualesfint, r erhtvt & c/ra/.jt.u AC,FEparaIleIe,ideocHJeFACDpa- ' » rallclograramum efi; rferitqueF A ajcKja- &frtf.j+.% lisipfi C D; & A Ctofi F D; &cumid latus F E trianguli FB E du&afit parai-lela AQrerit vt BA ad AF;itai|CadCJJ; •fnf.t. $i eftautem A FatqualisipfiCD; vt/ergo fyf-7-f BAadCD;itaBCadCE;&^permuun-0_ tg . do,vt ABadBQitaDCadCE. Ruffus*r"r>">r cum C D, B F parallel* fint, h erit vt B C h/rv/.*. /* adCE;itaFDadDE. EftautemDF

• sequa-. *• •'•.»•

k4* l tiJjEk frb torf.j.f» aequalis A C Vt|* ergo BC ad C Eiita AC ^rof.if.t JKJ EDsJ. ergo permutando,vt BCad CA;

• ita C E ad ED.Curo ergo demonftratum Tit,eiTevtABadBCdtaDCadCE. Vt veroBCadCA; itaGEadED; eritmt

I fr^.Mi.t. i aeiquali Vt BA ad A C ;',ita C D ad D E. a:-

tuiangulorum ergo,&c. Qupdoportuit emonftrare.

Propol-s.Tbcor.j, SiduotrianguL latera proportionxlia babuerint % aquiangula eruntt babe*

huntqueangulostquibutbomo~ hgaLterafubtenduntur*

aquales* \

TJT Abeant tri . ^ **angula Afi ^C.DEFlatera

proportionalia, nernpe, vt A.B

VidBC;itaDEadEF. EtvtBCadCA; ita E F ad F D:atq; vt B A ad A C,ita ED ad DF J)icp triangula A BC,DEF f qui-angula efle, aequalesque habere angulos, quibus homologaffatera fubtenduntur. vnde aequales erunt anguli A B C,D E F;

•r^'k-ABCA,EFD}§{BACjEI>F^Crjhfli-tuan.ur

» 11 B E t vt: t%\$ r.sDiitsir t).sd paa^a KSF ?««<se£f u-rgssii. FhilvOtdsqstuics^Dgi-slsg A8C>&CA ssr&t crgs>&tci)t()s) S AC\Li; F srspsslrutti as)«ala urgo AHC*E.C F ibst;.Sviukosnu, kjphsbottttgjtatiststuiarcasxfail^art- * l

gsdrn profortiot)*!),); mnsscpc 1 uvrs.ss* siuJ.bsss srsgusss, |ssb)i$3« bostsostsg.), Er-go vt A $>,s-I LC, suF, t i m KI ; Ssd s» A lCd ii <btts f ossstur D t, <)si K F; <r s-1 cp^.n t* igsutt D £ >>!F, l;-.s,s f,(., L ,<,$ £F tiisslcsis !i,)bct f s 5.j<-pt» );>,-) ,s,d f<|5,s,do3 )tf,ts)r tui» D L\,C L< &$*& JM* F idssn d s cusi iu 1> 1- j G F 3tf usloss t ru ut« Cutts krbsit D EjsKG st<p)s<sfeisvu>«v mumtEFi ctusitdssssD iss£F,dsi£)us < 1 KtLF Afss,'s!c$)s£ bssiis. D F b)fsC ,F ,>> qu.iips s;s- ctsv tss-sgubss: $1 £ K,s;-,gsi's* ., , ,,, sGi. F <ss$s)£-\, A tsUnpuiurr, D F1 s s s -)S))gi)sss<jS.l-,s.|c,)it,A fsl v|s,;s,ss-ig,sl-kss--llsfSsLj s]s)iS5Ss-,SS-s).-,s.S<sisstvtssK b?v;>s$;5;V

sttti;,)3)g-,)is <<s>-?- 3 ? £ F , G F ! 1);»,»].) v les i ktm K D F s <- G ! - A >-s;;c .-st- sslsss V* ^"- "Xt V> > j ( *. v vvv v>-\ . \ \ v » v>»

Jb £ D aujti do \ t ..s.,g-,,.sot <• t !- A v t„ I-*p(i A £ C / V . s & ABCs) SS t- i; l\s\f>.s fv v* IsV K-ldv';»;!.) ,-Ss-;sss ,,S sg, $ - A ! t.Sj-..

ss]Sis!s!>cs!i!|ubssD!! - A s;\; -:>;..) -- ,\ su-^))loidD>)rkts -;.: squui)gu:,iiun£Ass--g: OtrQdocouuitdcsrssfsii:?, b \ *

TJJCV 11 B t X VI. Propof6\Theor.6\

Si duo trianguk vnum angulum vni *tqualem,&circaaqualesanguloslate-taproportionalia habuerint, aquian-

gula erunt,babebuptqueanguloS) quoshomoUgakterafubten-

dunttaquaks.

Slht duo triangula A B QD E F,angc£ los B A C, E D F habentia xquales, &

circaipfoslateraproportionalia,vt BA ad AQita ED ad DF. Dico triangula ABC, D,E F efle xquiangula,adeoque angulum A B C angulo DEF;& A C D ipfi D F E, stqualern habere.* Conftituatur enim ad puncta D , F rectx D F alteratri angulo-

D rumBAQ ppmatJL 4 A ^ EDFxqua-

A / \ ^ lisFDGura-gulovero A CBxqualis DFG-.erit igitur & re»

\fm)Sal fiqaus ad B, retiquoad G xqualis Ptri-angula ergo A BC, D @ F funt xquian-gla. EftergovtBAadAQitaGDad

F:pdnitur autem vtB Aad AQita ED adDFjergovtEDadDFiitaeftGDad

DFi

LIBEB. VI. i<r DF» **«qus1i$ crgo cft E P Ipsl GD5<rour» £$,***.#. /o

isuftss D F* Du<s erga B D , D F» rius-ftus G D , DF Suurs^ijftssi&srigiJiiss EDF sftguiuG D F jecjii&Sis; J sftr ergo» <1 /r^.Ao &h;ift> EFb&ftGFs-uusfts» «Ernbngu-iur»DEFEnangi«b*GDFsquarcr<-U~ efui anguii rBiqu!S|<]ii>ic5 miS3r»aite* jjjft tcri,quibus<euii;iiisEtmftibs?ftiii3S«ur. Aftguftjscrgo P F G scqusfts sft arsgiiio D F E»Sc <|ui aft G iilftqui aft Ebsd DFG 3-ft!.?:iiissft ACB3J?gftbp£fgo& A € B s**.^ ipftD FE jrqusitsmtj ssoftftWauijemiik B AC ipfi E D F gqusli5jr«!i<]ij.iiscrg«a. A B C O E F SJguijirigijUftiUt, Si crgo ftfto trbugub» &<\ fihsodogurtsrirftc-ruaj^ilrsre,

Si dae iriangula vnum angulumvni angulo aqualem', & circa altos angulos latera ftofottionatia habuetintireti-quorumvetovtrunquetaut minorcm, autnonminotem teclo > aquiangula e-runtttiangula i ejrangulos, circa quos

Uterajuntfrofortionatia^tqua-leshabebunt.

C t Sint

p Clnt duo triangtffX A C»ABC,DEF,ha-

/u \ bentia angulos B A»C lur E—JV £Df?ftu"ej>circaa'1" J osveroangulos AliC,

•» C. D E F latera propor-tionalia.Vt A B ad B C; iu D E ad EF.re-liquorum verb angulorum quiad C,& F, primum vtrumqueminoremrecto. Di-co AB C.D E F triangula.efle eauiangu-la; angulumque A BC angulo D E F; & qui effad C , illi qui eft ad F , squalem. Quodfi anguli ABC, D E F inxquales firmeritvnusmaior. Sitmaior ABC; 8c

afr*f.*i.t. a conftituaturad pundtum B redts AB angulus A B G.aequalisangulo D E F. Ec cu m anguli A,D 5 quales fint;item ABG,

V"M'-''DEF;t erunt&reliquiAGB.DFEar-quales.triangula ergo ABG, DEFsqui-

tftf.4:e. angulafunt;eft ergovt AB.ad BG;itaDE ad£F:fedvtDEadEF;itaponitur AB adBCtergovtABadBC; itaeftABad

d frof.f.f. B G. d Cum ergo A B ad vtramqucB C, BGeandem habeat proportionem, c

tfnf.f-t. rOntBC, BGa*quales, e ergo &anguli BG C, B C G *quales et unt: At B C G minorrectoponitur, eritergo & BGC1

(ftf.tja. r c c t 0 m m o r ! / m , a r c angolus A G B e% dein-

t I S E K VI. vi\ t l u n c c f ^ m ^ y r s r k u S o K ^ *f •> <•?• -,-tct8>«qua!s$as>»«ioF?«k'tt ts<- -Avvnf t» Isc: F <s>asor jtKto ;, 35 .m •> p>s n~ > , tjucsfs eft 3l>f>st>ksm s >«s«C > fo A f C> D ElCsosGtkstissstp.-sshs.-A^ > r j >»*

£ shsv, ccro>Sf snp«Ii A»D ?«s.-.»iv.<>. 's > &

& sfUsaJCA: L-<j>sq»sj*i«ssii ^ >u< smgsCs A H C , 1> L F «KKSU S j <» -> Sscs-iisfu-sruuKSv. ><sg.shs3 s \ \ 1 u 5 « tbo r te&o. Osots >?.'•>;> .cs -s <g. * \ f « \ JP E V >rq:>;.i55>p>il-s ulFc. isCLm > > ,5 IIus^k>csHcts>i«.stKtrca33^>C,s8>, >if K

rs. tSjtjaU <<><>•« prlas; & xninx sg "•»<- &. «rmsn' " * C»BGCsrt|ti3k\Cu.r><>sSf.fs€ e»t>s aao Ct sjsmor * nre B G C rcct-s <ss »o< et c> Atstst. crgo Ut3js>;<th B G C >J s * > Jt msss <><:KS!O;\SS dueheo u-G;s> <• > > <>'>>,,<•.<<. ss>...;sfs>>rtftmesusrg>K;tsf>i!>&is<' , 0 1 t in«st|ts.sJesFs!S<>; s,q.s>-tiuctf.>u h s u t

&v 3S5g!!;S 3si A & D 3\|SS tk<3 > O s>5U< & ufssttt. 3-i C A F >s >>>>> eu <J\ * << srustgssk ABCjDF.Fsuor t>| «t ^ ><

tak4t,st3>)nilt3rt

? > , , .

t <0< •?*<<!

> ^ « Pro*

»54 LJl B E-M. .VSf Propof.S.Thcor.g.

Jn reBangulo triangulofiab mgulo reclo adbafimperpendicularis ducs.

tur, qusadperpendicukremjunt trianguU,& nth&interfe

fimiliafunt.

ESto triangu-lumreccangu.

_ raroABCrectum _ ChabensBAGdu-

caturq; ab A ad B C perperidicularis A D. Dico triangula A B D , A D C. & toti A B C, & tnter fe eflc ficnilia. Cum enitn angulus B A Cxqualis fit angulo A D B; rectus enim eft vterque i & angulus ad B communis vtriq; triangulo A B C, ABD;

a ulligitttr • erit & reliquus A C B reliquo B A D ae-ttxjj.r. qualis: arquiangula ergo funt triangula b/r_ .#.«-. ABC, ABD. * Eftergo vtBCrecturn

trianguii A B C fubtendens, ad B A re-oium trianguli A B D fubtendentem; ita ipfaABangulnm Ctrianguli ABCfub* tendens, ad BD fubtendentem angulum B A D trianguli A B D. Et ita AC ad A D fubtendentem angulum B communem vtriufq; trianguli.Triangula ergo A B C,

ABD

L 1 B I X ' VI. - 5

A 8 D ^ttUhgob fttttt, hsberstquc lats-radrcat^shlss angslds propottionaiiss rfjjaJfeo^of«attt«nga?i ABQ AB», e ^ v * Eodem modo oBcttdemu<. rrisoguluftt A DCtrtangub ABC fm>s!c i ife.Vmirn-sjttecrrjotmsgttlsm A B D > A D C tuii ABCfitnileeft, Dseoeufod&tnterftfi.. snHia fint A 8 D* A D C*trJ8jjguU> Cutrt nmm arsgolt B D A, A D C re&ifiot * e-nsrtr & jequsles.-oftenlas e$strte & B A 0 ipfi Carqualfej^ crco & «KqBiw sdB,re- * e*^m

?;.,.,„ itt a r- „sB .„ >ir.O * «fj*.r.

^ !jgtt«ntST. e rrtter- « ^ ^ « v go s n B D ftsbtcndctts sittgultsr» B A D trkttgall A B D> ad D A ittbtendemem asig>ttttts-» CtriangssU ADCseqndent sn~ gsiioB A D; ttaisfs A D fubte«derts trb artmsA AB D,3nmssW. Burtf D C fijbtcr

tendcntem rcttum A D CTrbrtgttbtr» pi A B D , A D Crttsiib fmtr. St ergo It» t!tiogu!oreff£.oiguia^e>C^fspdttpo«nk drmooftfasc.

Cor&UdriHm* Ex his manifeftum eft, fi in triangub

re&angub ab angub recro ad bafim per-QwJ pcn-

ico H M - R - VD pendicularis ducatur, ipfarri inter batta partesmediam proportior/alem eiTe. Et inter bafim.&partem bafis.mcdium pro-portionaleeflclatus.quodadpartem. Vt inter BC,AB mediaproportionai^ eB pars BD.InterBC,ACparsDC. . /

Propofo .Probl . ! . - Adatareclalineaimferatamfar-

temauferrc

OPorteat a data redta A B imperatum partetn au-

ferre. Sit auferenda parster-tia. DucaturabAreota AC

_ cum A B quemcumque an-c gulum contincns; & accipia-

tur in A C quodcumque punctut» D, ofrtfj.t. «ponanturq;ipfiADatquafesD£,£C; bfrtfj.uf. ducaturCB, b eiqueper D paralleladu-

catur D F. Cum ergo lateri B C trianguli etrtps e A BCparallelafitducta D FtceritvtCD

T' ' ' adDAjitaBFadFA.EftautemDCi-• pfiusD A dupia; dupla ergoeft &BF i-

pfius FA.tripla ergo eft B A ipfius A F. jA data ergo recta ABimperatapars,nimi-• rumtertia AFablataeft. Quod

• oportuitfacere. . Pro-

O!

FropoCi o.Probl.2. Datsmreftam lineam wfe£tttm>

datareclafeclafimiUter Jecareu»

jPorteat datam infe-'ftam AB fimiliterle-

care,vtfecta eft AGSit AC , ui punctis D, E fcfta. Col-locentur A B, A C vt angu-

. lum quemcumque conti-. TJ • *»• -; y neant, & ducatur C B; at-

queperD, E aganturipfi BCparallelx DF,EG;&perDipfi ABducaturpa-rallelaPHlfc&critvtrumqueFH.HB ' parallelogrammqm. a Sunrergo tant a/r»/.taj, DH,FG;quamHK,GBatquales.&cum - ~"~—

ipfi K C triangoii D K C du&adk paralle-U H E ; h eritvtCEadED^itaKHad bfrip.*.*. HD.cEftautemtam KBipfiBGjquam c/r»/.j4.i. H D ipfi G F asqua lis; eft ergo vt C E ad E D;itaBGadG F. RurfusdcumUteri &*„»,x,£ E G trianguli A G E ducca fit parallela FD, cri.tvtEDadDAjitaGFadFA: oftenfum eftautem efte,vt C Ead ED.ita BGadGF.eftergovtCEadED;itaBG adGF, v«veroEDadDA;iuGFad

Q _ 4 FA;

itf 1.1 EII S, VI. F A; dataergorectainfectaABfimiliter fe&aeft,vtf«<ftaAC. C^uodoportuitfa-

Propof ii.ProbJ.3f

puabutrecJu datutertiamfroportio-naleminuenirc^,

SlntdataeBA,AC,& ponaturvtangulum

quemcumq; cotineant, oportetergo ipfis B A, AC tertiam proportiof nalem inuenire.Produ •

__ ^, canturAB,ACadD,E tprtf.j.i. p E pun6ta;&<»ponaturipfi bfy.il.i. A c jjquaijs g D J & jpf, B c * aucatur pa-

rallelaDEperD. CumitaquclateriDE trianguli A D E ducta fic parallela B C;

tfr*f.t.e. r erit vt A B ad D Biita A Cad C E; atqua-lis eft autem B D ipfi A C; eft ergo vt A B adAC; itaACadCE. Datisergodua-bus ABjACinuentaefttertiapropottip-nalisCEC^updoportuitfacere.

Propofi2.ProbI.4. Tribus datUrcBislineu quartampro.

fortionaUminuenircs., Opor-

' L 1 B E R VI. z<9 tPerte-at mbm d&m rdxis As B, C* hpuartsm propomooak-iU k>««?vtdr&\

fcxpoocs«trjr du* rrcts? i> E»DFconttncs«tct s JS • guium qoesm un<|;EDF; & # pofmur ipfi «\ otqus Vf*•*•*• *« lis fefta D O ; ?pd 8 > re~ tts G F.; & spd C re&a BH«LatqueIpf, O Ha~ */"?-**'<* g-jtur pamiieh LE psTE. Ctsm cr«o htsri EF m~ as«gvdi D & E ducWs Cn pa~ raikhOH>f erstvt D G « «9».*«*"« sd O E jstaDH ad B F>

BM auiem D G gqtiA «pis A; G Eipd B,t 1> i i !>AJ 0 , dl csgo t t A sd B; ita C ad H 1 , IYdss.sr.erpod.sthA,B}CinsicnDdl quaru propottsosnlis 11 L> Quodoposv tair. faesre,

Propoficio 1 j.Probl. J. Vuabmrettudatumediamproportio-

naleminuenircj.

STtduab'datisAB, BCmediapropor-

tionalis inuenienda. _ PonanturindirecFu,

- defcribaturque fuper A C femicirculus A D C; 4 & ducatur a B w > "* *

0^5 pun-

1

. %6o L I B E R VI. punfio, B D , ipfi A C ad angulos rcCcos,

bfrtfji.j- iunctis AD,DC.6Etquiaangulus ADC rectus eft; quippe in feroicirculo, eftq;in triangulo re&angulo

T>fc B C c x anguU>rec"toDad ^ bafirn A C perpendi-

ec»r»l.r. cularis du£ta D|B. e crit B D inter pjrtes ft»f. 4.'«. bafis AB.B Cmediaproportionalis.Dua-

bus ergo, &c. Quodoportuit facere.

Propoflcid 14. Theor. 9.

AEqualium, .& vmm vni anguloa-qualem habehtium parattelogrammo-rum,reciproeafunt latera, qe.Acirca *-quates angulos. Etparattetogramma',

* quAvnumvm angulum aquatemha-bent, & quorum recipfocantur la~ . teracirea aquales angulos,

aqualiafunt.

Sfrtt parallelogramma A B,BC «qualia, habentta angulos ad B squales, poru$-

• Cottirimr que.fi nt D B,B £ in directum, a erunt er-t* IJ. »4. go &FB, B G in dircccum.Dico paralle-& 1/.', fogrammqr u rn A B, B C Utera, qua? circa

equa-

A 1 T

F

Gr C V~C

BjQuaIes'angulos,effereciproea. Hoc eff, effcvtDBadBE;iuGBadBF. Perfi-ciatur enim parallelograrnmum F E. Et quia A B, B C parallelogramma arqualia • iunt,aliudautem quoddam eft,FE:£erit bfr»f.f.j. vt ABad FE,• itaB Cadidem FE.e fed vt e/•"*'•'• AEadFEjitaeftDBadBEj&vtBC • adF EjiueftGBadBF.iErgoeft vtDB ^f"'" ad B E 5 ita G B ad B F. Parallelogram mo-rumergoAB,BC<Iaterafiintreciproca. cJ*f.f.i,

,/R.eciprocentur iam Iatera, qux circa x- *" '</"-»•'• quales angulos; fitque vt D B ad B E; ita G B ad B F. Dico parallelogramma A B, B C aequalia cfle. Cum cnim fit vt D B ad BE}iuGBadBF. jjEtvtDB adBE; gfr*f.'.fi itaABadFEjatque vtGBadBF; ita BCadFE:«fritvtABadFE/itaBCad idemFE;*sequaliaergo funt parallelo- bfrffj.fi • grammaAB.BC. Aiqualium ergo, \ - & vnum vni,&c.Qupdopor-

tuitdemonftrare. . «W(o)$o> • • - . . '

Prov

tei L I H S VI.'

Fropoficio i j .Thcor. i o. \

AEqualiumrtrUngulorum, & vnttm) angulumvni aqualemhabentium, re-cifrocafuntlatera, qua circa aquales angulos. Et triangula,qua vnum an-gulum vniaqualembabenttdrquorum

latera qua circa aquales angulos, recifrocanfurfunt

aqualia.

C Int triangula ABC, A D Ezqualia, ha-. »3beantquc viium angulum B AC»vni

D D A E x-quale. Di-co latera, que_circa&-qualesiunt

^angulos.re ^ • - . . ' ' ' " ' ciprocaef-

fe. Hoceft,efle,vtCAadAD;itaEA ad AB. Pqnantur enim C A, A D in di-

• f*V**. recturo,- a crunt ergo & E A, A B in dire-*&i'.*% a u a i , & nu«tur B D. Cum igitur trian-

gula ABC, A DEzqualiafint,fltqueali-hprop.7. j. ud A B D; b erit vt C A B ad B A D ;ita cprop.i.e. ADEadidemBADrcfedvtCABad

B A D ;

L 1 B E R VI. 265 B A D u W n C A d d AJ), h u E A B sc!B AOûdU'A<5<! AB< d l>tu Mdpiptif, CA sd A D -i iU dt £ A cnt- A B< l u.r*~ guômmctgoABC, AJDf bffj4,<q«<s zkca, & <|ttal<c<< sngsilo^j rc<cs*\ c\ <s$. uss * St c! t<jh|ssoicU fint u m I.tt«U t <»«>;> Cnren A E C , A 1> ) - 1 r w « C \ \ j A !>,« su 1 A s«i A<B< Pscst t t .anâk A B C\ A B I - s.<C «<.mi.ia. sisrssfb utsiot XI l \ *rss<<5.C\\ -scsA <> < ita T A <<J AB;o siJ S *V»< * *• % < C A *J \ D < ua s A ttft«> <\ u A B C " aJ tr <" <uJs m B & f u \z •><?<C» £ A &4 A B> j i?4 d t £ A D <t4 <<i<srs< BAPjs.iitsrrKtn? srr s.** A B C , T A 1> aa £ A , * susssxm Ktbst proo/t- ,.<<. «um - r <t<|ts»u ei £<> e& *C** ? »•

ttixng ilfcjm \ BC\ sr tsssg. .,-* 1, A P , o i . p d - <i,,,£ori<<o 'uotom<Ac<.

C>< s J <<,; «> .JS i<tUs<s5 -

s C „ s \ .

-«tf(o)A«*

Propo-

ac*4 L I B BR VI.

Propoficio 16. Theor. 11.

Si quatuot retlu lineu proportionales fuerint,erit quod txtremis continetur reclangulum, equale illi quod mediie tontinetur retlangulo, Etfireflangn-lum extremis contentum, aquaiefue-

rit mediis contento rettanguh > quatuorittalineapropor-

tiondleserunf.

Slnt quatuor reoras A B, C D, E, F p r o portionales, vt A B ad C D j ita E ad F.

'• Dico recta* "R gulumAB, IICTI &Fconten* \ j tum,a\niale C D efleconten-

A B toCD,&E. ofrtf.iht. aiDucanturapunctis A» C adrectas AB»

C D ad angulos rectos A G, C H; fitque ipfi F a? qualis A G: & ipfi E, ipfa C H, co-pleanturqueparallelogramma B G, DH. Etquiaeft.vt ABad CDHtaEad F,8c eft E ipfi C H; & F ipfi A G «qualis, erit

\ptrif.ie,S vt A B ad C D; ita C H ad A G: 8 paralle-logrammorum ergo B G,D Hlatera,qucj

circa

Z1

L 1 B £ K VI. affj s-ir<: > ^ooslcs sogsUmfu $it,rresr-rf»f-atn«j; st<|iu>- sifsslsitetJs 85-sUs-ioCSAsn<r»!>i-ii;« £ (pnf.i^.*. qj.S\X>g",.'<J-.t».r! i-S50<t, lui;b(s-s-1,!,x< A s>5

§s l «>m"mc?ur<t x eU entrR AG !!.-;, F,t> f|si ,U \ D l L q<i<-J € D sA h s <--;Hss-s-£iss-<<il SO-sJOCHsSSsKrs<]«---;<-- DV-;.- !!* i ' l»> TU-lLl5-s:s-;jrssus-i-;\]--s!-;i-S!sisCUso<? C D A ; Ksors;i.-.rs.;-r<-.Hso\isG- Gs t-iso o.'tosl A K-G K < oiH-;s-is-tt;s\-r-.v ..i'-.-- s <-:si<iH CD&lcoiJiss-KSis!. D W J svsas-ior. ro-ft jsejll ]si'0|,is!"U<.\-s-iis-!- V< ,-\ K s s l C D ; k.J H 8il \\ ijutet» COSsjls tisfik, Oisri isSsO-l A B-,1- coiiilsisttis-ja\-s-.-.-i!olii s-i ciiisxl i,!>, l- s\iiisi«oior\sSs-sss<-KG\; qiso-i s\B>& I coiitss>etsir( ssl <isisn<\ C -r-n F jsc.sct-BsDDH vssosot!--! C U ; ! lj v-sotssv> ro^dlc tHo&Ol !<-.' F ,!-,,,,.> \ t \ J>G Ijp-it D I s-i.s;s)--.is -, o- .s-.-s-sq;s;.-o ,s<C «I.l^ssdisini jijtcm sB -s,- - si -0\;--sls>isssss sw-sr,iG-iogrsi»i>ss>isJiii Ltt> s > , stsss- >-!!•<-! -s- Ifiry.ij.t. <]-ia>05 >SSJg!sl<->i , J£•< igi-qc» fsitJt J IstJt s t;",0

vt AB ,isl C D; •« E -H G U crgoqiu-* suorrc&vJirsstat.&s. Qssoo o-

gorruij. ooirssu-l lojto.

* ? ^ o ; ^ Pro-

±66 LIBER VL Prapoficio i7«Thcor. 12.

Si tresretla lineaproportionales fue-rint i erit quodexiremis continetur re-&angulum,aquale quadrato quodfita medta. Etfiquod extremis eontinetur re&angulumaquaiefueritquadrate

quod amediafit, erunt tres UneaiBaprbportio-

ttalet,

Slnt tre"s recxx A, B, C proportionalesj vtAadBjitaBadCDicoquodA.C _. A. continetur as-

1 Z ' qilale effe ei q» T "& '—"^LexB. Ponatnr

I ! _ £ _ 4 D Xqualis ipfi _* , n , B. Etcumfit

J vtAadBjitaB cad C; fitvero ipfl Bxqualis

J DjeritvtAadBjitaDadC. afitf,t*.i A * Curo autem quatuor rccre;

proportionales funt, eft quod extremis cootineturrectangulurn,xqualeci quod mediis coarineturrectangulo. Quoder-

fo A & C continetur, xquale eft ei quod ••Dcontinetur; at quod B, D contine-

tur xqualc eft et quod.ex B j eftcnim D ipft

E

L I B E R VI. 26*7 spn*B «quaiis i Ergo quocf A s C rootirjc-tur,ajqt$ale. efi dquod rx B qnadrsto. &*t %&m quad A,Ct6tmetuf»xuuslee?»quod «s.B> Dkodu-sVtA&dB/itaBxdC iil~ deaa enhn eo«Srudss,< «m quod A» CcS-tsoetsr xqaaie fit d quod ea B;& quod cx B.xqtiaic-esquod B> D coruiocmr s quod B,D&>quaks Bott erit quod A, €<;anti~ «etur» xqmk ci qood B> 1> cosuincmr. Fqaando autent qtiod&xtremis cosuine- &?«/'* V># t«r,ssjuak dieiquod eonrinetur mediis». fisnt qoatoor sik? lio.es? propomosraks, .Esligitu? vt A ad Ejka D ad €s xqualis mstem di D ipfi B? ergo vt A a<!Bs sta d! B ad €.&s ergo tres iintVX&e, Quod «spot* tustdcsnouitrarc.

j\*iropoficio i §. Probl. &

Supcr ddtd retta lincd ddto rettilinei fimileftmiliter^pofitum rcttilh

ncumdeftribercji

OForteat fuperdataABdatOredui-neoCEfimile fimiiuerquepofiturh

redilineumdefcriberei DucaturD F * St xconftituahtur ad punda A, Bredx A B ifrifnj.ri anguii G AB $ AB G xqualcs ahgulis C,

R GDF*

x€% MlMBRVt

£ H

P<J 3

C D F;eritquc reliquus C F Dreliquo AGB arqualis,; triangula igitur FCD,

. GA Bfuntxquiangula. $Eftergo,vt FD •>">*•** ad@B;i taFCadGA;&CDadAB. tfrtf.ij.i. c Conftituantur rurfus ad punota B,G re-

&z B G anguli B G H.C B H xquales an-

{julis D F E, F D E; eritque reliquus E re-iquo H xqualis: triangula ergo F D E,

ifrif.+.t. GBH xquiangula funt; d eft igitur vt FD adGB;itaFE,GH;&EDadHB. O-ftcnfum autem eft, efTc vt F D ad G B; ita

c/»/.r#./. FC ad G A,& C D ad A B; e igitur vtF C adAGjitaeftCDadABj&FEadGH; itemque E D ad H B. Et cum angulus C F Dxqualis fitangulo A G B: & DFE ipfi BGH: erit totus CFE toti A G H xqualis. Eadem de caufa erit angulus CDExqualisangulo ABH. Eft vero& angulusCanguIoA; EtangulusEangu-Jo H xqualis: xquiangula ergo funt A H; CE,habentquelateracircaxqualesangu-

litf. f. i. j o s proportionalia./Eft igitur A H r edti-lincum

t t M t X VL arT» fineurn fimile finrrilitefquepofitum recti-lineo C E. Super dataergo recta Iinea,&c, Cjoodoportuitfaccre.

Propoficio i o. Thcon. i 3»

SimilU trUnguk interfiefint indu-fkfrtporttonefuorumltu

terum.

Slnt A B C,D E F triangula fimiJia ,ha-bentiaangulos B, E*quahsj fitque vt

A ' • AladBC; * * ita DEad k EF.vtla-

tera BC, •Jr——JP EFfintho

r-/ \ \ mologa. Dico triangulum ABC ad triangufum D E,F

duplam habcreporportionem eius>quam habet BCad EF.« Surhatur enim ipfarum *WNf<*l B C.EF tertiaproportionalisBG; vtfit quomodo B Cad E F; ita E F ad BG;du-caturque G A. Cum igitur fit vt A B ad BC;iteDEadEF;Peritpermutandovtbd|C;x»f4 ABadDE;itaBC adEF. fed vt BCad EF,itacftEFadBG:ergovtABadDE; it» eft E F ad B 0: Triangulorum ergo

R * ABG,

sjO tlB SR VI. A.B G, D E F latera cirea zquaies angu-los reciprocantur. Qtiprum autem trian-

A ^ guloru v-K nu angu-

lumvnis-/ f f \ quale ha-

g j> bentiu la-tera circa

-g< zquales angulos reci-procantur , lUazqualia

* »r,» i* i. funt: ctriangula ergo D E F, ABG atqua-rV Iiaftint.EtquiaeftvtBCadEF;itaEF

ad B G; quando autem tres Kriez prppor-iief.it. S' tionales funt,</primaadtertiarnduplam

proportionem habere dicitur eius, quam habet ad fecundam.BC ergo habet ad BG duplamproportionem eius,quamhabet

•fttf. u t. d E F. Vt vero B C ad B G; t ita eft trian-gulum AB Cadtriangulum ABG:habet ergo triangutum A B C ad triangulum AB Gduplam proportionem cius, quara habet B C ad E F. Eft autem triangulum A B G atquaie triangulo D E F: babet er-gotriangulum ABCad triangulutn DEF duplam proportionem eius, quam habet

BCadEF. Similiaergotriangula» &c. C^odopprtuitde-

monftrare. Cerol-

J

CoroUarium, Ex his manifeftum eft,fi tres lineae pro-

portionales fuerint; efle, vt primam ad tertiam, ita triangulum fuper prima de-fcriptumad triangulum fuperfecundafi-mile fnniliterque dcfcriptum. Oflenfum eft eni m, vt eft C B ad B G; ita effe tri.au-gulum A B C ad triangulum A B G, hoc efl,adtriangulumDEF. Quodoportuh demonftrare,

Propofitio 20. Theor, ( 4 , Similia polygona in fimilia trianguh diuiduntur\ ejrnumero aqualia^&ho-tnologa totis; rjrpolygonumadpolygo-

num duplam habet proportionem eittftfuam habetlatns homo-

logumadlatus homo-logum.

Int fimilia polygona A B C D E, F G H K L, & fit latus A B, homolo-

gumipfiFG. Dico polygona ABCDE, F GHKL in fimilia tnanguladiuidi.Sc numeroa*quaIia,& hpmoioga toris;&po-lygonu ABCDE adpolygonu FGHKL

. ». 5 d u :

S

ayt r i B E n ri. duplicatam babere proportionem eius^ quam habet A BadF G, Iunganturenim

A

B E, E C, G L, L H ,* & quia polygonum A B C D E fimile cft polygono FGHKL; eritangulus B A E xqualis angulo G F L; &eft,vtBAadAE;itaGFadFL. Cum itaque duo fint triangula A B E,F G L, v-num angulum vni arqualem, & circaar-qualesangulos latera proportionalia ha-

tfrtf.f. f. bentia,<*erunt ipfaa?quianguIa,ideoq;& iimilia: xqualis eft ergo angulus ABE an-

f gulo F G L; eft vero & totus A B C , toti FGH xqualis, propter fimilitudi nem po-

»**./. lygonorum; oreliquusergoEBC, reli-quo L G rd arqualis erit. Et quia propter iimilitudinem triangulorum ABE,FGL, eft,vtEBadBA;itaLGadGF. Sed&

cfref.ii.f. propterfimilitudincm polygonorum, eft VtABadBC;itaFGadGH;rexa?qua-H ergoeft,rtEBadBC;itaLGadGH;Ia-

tera

t 1 B I * VI. *7$

i tm tbpo <' ttt 3ovsf"s ><•< t, t<\<< T ^ <% S < » I L f < \ s ><* <> v* - ' s \ t ? \ o n p - v - >< ^ AJ S V < \ s , n J^M^l

rs \ txo , v s v s<o > s, u , s? i\ trpv < F i s s , i 5 ) K S ,<<. xops> h g o v < A S v D L 1 i s.\„L vv j u << %

t xirjjtf <A Vs\'ss<„ , !<\»!"> !< < t J P $ t O s \ \ x v S V>><x ft S , s s<s< -' p,< ><f -.,<!« <\<!tif<t,f<E<ttJtnsis!5v.s. \B1<! i b C . F L l ) » O i s\ i j - s , ! i \ s \ < , p* t-x !!!,<)! C I ? ssf H < H \ s ,<! s S\> <s<-f is^ A A C 3 ! aJ po \ssO>.< so> I v. 1 1 \ L «Jkpb"", \<jbs! "-pio"\>>botxmi»>»<i!,,<jx3!itri li3 >cr ,vas^s»»<J OsH r \ B stdbt>3>3>t>~ s W t o ,!J' I G , \ \3\ttr,j>>iiri AC-FivL i 1 !. o 3 p s>p ?! t v li s-!>u o po\yt>v<> f'"ji * i!>i t ' v t \ 3 \ <^t,f l><! .tls-Sfs " P *> 11 \ *s sSs D < \ s? t f i >, > * „ v " \ * *! <t 0 ? !s ' t s , v j < - <»b ^FC»1 < \ I J V>i<<.s.S J^ " f <v S v ,>»>£s'I$ <;> A < \

C <-$-<» v v < » s C \ s \ W < . < t< 'o j t rv . ! t 3 \ \ < l \ > O s !ls.S i Jl,< j (S^\ s's sjt ? ia<,t\ W \ \ \ v t JMV<\< isS, > < Wvs) \ s s p^, >t ,<»u , < r \ » \ B V i t \<$ ;t •>•*£»<!» *» v. O l » s \ , - t S ( \ f ^ A V ( < » \ l s tt P><<!. ss», !s l \ M „ \ , \ \ ! t>N < f

! N i ( > \ v t t > t l \ 3 < ? \ v . , < t < s s s \ - ? |

!L « NHa <iv

5 ^ . » / . N H; ex/atquali crgo efl; vt A M ad M C; tfro/''»'; itaFNadNHrvredyt AMad MC ; ita

cfttriangulum ABMad triangulu MBC* &AMEadEMC;funter»imadfc inui-

hfry.ii.fy cem yt bafcs ; & h vt vnum anteccdenti-urn.ad yqijm cqnfequentium ; ita omnia antecendentiaad omniac6fequentia. Vt ergq triangulum A M B ad B M C; ita tri-

•«« , angulumABEadCBE!*fedvtAMBad »/"?•'•?, BMC;itaeftAMadMC;VtergoAMad

MCjita triangulum ABEad EBGEadem de caufa *( eft vt F N ad N H ; ita triangulu FGLadeLH:itcftvtAMadMC;ita FN ad ty H; Vt ergo triangulum A B E ad B E C;ita triangulum FGL ad G H L;

tyrtf.if.f. ^&permutado.vtABEad FGL;itaEBC ad GLH. Similiterdemoftrabimusdu&is BD.GK. Effe yt trianguluBEC ad LGH; itaECDadLHKt&quiaeft, vtABE adFGL;i taEBCadLGH;&ECD

\prtf.ra./.?dLHK: /erit vt ynum antcccdcntium ad

L 1 B E R VL 275 sol vnturs cotrfcquenanmdtaomols ,»nte-rodeotuado rsssxcosrf^usnts^dT es-go vt A B Kad F G L s «3 A B C HE &d F G H K1 . *U i A BEad F G Ldupbrs>p ro- W * ' « * fpo-rtsrtstetrs rubtrcsus, quatrj &Bi.st>.> $10 robgumad F G Ltu1- homolegum, res Ssosiis&errfm trisngabiodopb^jpor-ai/r»!*.* tioitenssstbfesum homologoram s ha-l-er crgo A A B C D Epoiygonum &d F <.< IIK LpolygooumdupUmptopOJtio-tn.: rhsf><!,-i.smh3hctd BadFG.SitmH* cs t, o p&: ysoaa, & r- Qw od opoctuit ck-

- \ ' * -<- s V i • <~ < <

roomfosc. Lodes» modo «* stmtUbus quaisibtsts&olleddetut bjdupb tlbdfe p-sn<oct>ons btemm honsologorum, o OilosiCum d* autcm Bt sa tiun^ixlhiiffM-*

Corottarium L j ^ Vninerse ergo fimiles re$ili-

p n eas figiira: ad fe inuicem funt

zo T-sr in dupla proportione laterum

homologorum; & fi ipfarum 1 1 1 AB.FGtertiarrfproportiona-B G lem fumamus X; * babebit A B b A/-"«-f.

ad X duplam proportionem eius.quam habet adFG.Habet autem cVpolygonum ad polygonum, & quadribterum ad qua-

R 5 drj{a..

rji l i M i » vi, drilateium duplam proporrjoneca eios, quam habet homologura latus ad homo-

* nr.pref. loguro,hoc eft: AB ad F G.e Oftenfum eft a«tem hcfb in trianguiis.

Corollitrium 11. i».t.

Vniuerse ergo manifeftum eft; fi tres Ctrtl.frtf. fucrintre&ac, efle vt,primaeftad tertiam, '*• *"• ita figuram a prima deferiptam, ad figu-

ramafecudafimiliterdefcriptam. Qupd •portoit demonftrare.

A.

Oftendemus etiam aliter,& expedituis triangula efte homologa. Exponantur rurfiupolygonaABCDE, F G H K L , ducanturque BE, E C, G L, L H. Dico efiTo vt triangtilum A B E ad triangulum FGL;itaEBCad LGH;&CDEadHKL. Cum enim triangula A B E,F G Lfimili-

tpr*f-9\*- Iiafint,4 habebit AB Ead FGL duplam proportioncm eins,quam habet Utu$ BE

ad

L I B B * Fr, 277 adGL. Eadem decaufahabebittriangu-lum B E C ad G L H duplam proportio-nem eius,quam habetBEad G L.Bfter-govtABEadFGLjitaEBCadGLH. Rurfus cum triangula E B C, LGHiimi-liaiint; habebitEBCad LGHduplam proportionem eifrs,quam habet C Erc» cxa ad H L. Eadem de caufa habet trian-gulum E C D ad L H K duplam propor-tionem eius,quam habetC Ead HL. Efl ergovtBECad LGH;itaCEDadLHK Ofteofum aute eft, effe,vt EBC ad LGH; itaABEadFGL;erg6vtABEadFGL; itaeftBECadGLHtcVECDadLHK, i vt ergo vnum antecedentium ad vnum b/wp,~ ix\j, confequentium; ita omnia antecedentia ad omoia confeqaentia; dtreliqua vtin prioridemonftratione. Quodoportutt demonftrare.

Propor»i.Theor.i 5. ,gux eidem reftilineojutttjimili*, &

&mterjejuntjimilia. v

Slt vtrumquerectilineorumA.BipfiC fimile.Dico & Aipfi B firaile effe. Cum

enim A ipfi C fit fimile, er it & zquiangu-lumilli, habebitque latera'cireaa*quales anguios proportionalia. Kurfus cum B

fimile N

i B n x vi. flmile flt ipfi

J5jj~* luillient,ha-bebitque eir-ca$qualesan-gelos latera

proportionali a: Vtru rnque iergo ipforurri A,B arquiangulum eft ipfl C, & habet cir-ca equales angulos latera proportionalia: erunt ergo tk A,B eqi|iangula,habebunt-que circa sequales angulos,Utcra propor-tionalia:fimiljaergoiunt.Qupd oportuit. demonflrare,

Proppfl 2 2 .Thcor. i eT.

Siquatuor retla linea proportionaiet fuerint; erunt rjr recJilinea ab ipfisfi-tnilia fimUitera\ defiripta proportio-naUa:Etfirefijlineafimiliafimiliter(L

abipfisdefiriptaproportionaliafue-rint\eruntcptpfitfrofor-

tionales.

C'Int quatuor re<5fcr A B, C D, E F,G H i3proportionar.es.Vt A Bad C D;ita E F

l»r«j>. tS ,jr ad G H, * dcfcribanturq; fuper A E, C D flmilia, flmiliterq; poflta rectillnea KAB, LCD.fuperEFjGHfimiliafimiliterque

polit*

i i B E R V. *7f> pofita M F, NH. Dico v

_ efle.vtKAB DadLCD;ita

•jar—*\ MFadNH. "V V V _ A fumature-b/™/«.ii.C;

\ z r \ e l t n i m »P&ril \ , . \ j-2-t AB»CDttf

__*_ E* tiajj>portiorialisX;ipfa-\ x x \ rumveroEF,GHtertia V \ jbportibnaUs O. Et cum * 1 L fitvtABadCD;itaEF

ad G H & vtC D ad X; ita G H ad 0: e e- efnf. ax.f rit cx asquatl} vt A B ad X; ita G H adO: d fed vt AB ad X.ita eft K A B ad L C D;& Afnp.\p.t VtEFadO;itacMFad NH-ergovtABK « t»r.fr*f. adCDLiitaeftMFadNH, Sed fit vt xS'6' KABadLCD;itaMFadNH. Dico rfle.vt A B ad C D; ita F E ad G H. Fiat ffnf.it.6i /enim vt A B ad CD.ita E F ad P R,g de- gfnf.iM fcribaturq; fuper P R rectilincum SR.fr-rrtile fimiliterque pofitum ipfis MF;NH. Cum ergo fit, vt A B ad C D; ttaE F ad P R, defcriptaque fint fuper A B,C D re-cxilinea K A B, L C D fimilia fimiliterque pofita;fuper EF, PR verb fimilia firrtili-terquepofitaMF.SR; eritvtKABad LCD.-itaMFadSR.-poniturautemvt

KAB

ft8e> H l l l t VL KABadLCD;itaMFadNH.Habee ergo M F adN H, & ad S R eandem pro-

hprtf.f.j. portionem;2/ aequaliaetgofuntNH.SR.; fed funt fimilia fimiliterque pofita;aequa-les ergo funt G H,P R. Et quia cft,vt A B tdCD,itaEFadPR;&funtPR,GH aequales;erit vt AB-ad CD:ita EF ad GH. Siergoquatuor,rc6tz,&c. Qupdopor-tuitdemonftrare. .

LemmiLj. N Quodau-

\ __ \ tem qu5do \ \ rectilinea

tjf;—-^H rqualia fi-milia fuerint» ipforum laterahoroologa aequaliafint, ficoftendemus. SintNH, SRaequalia, &fimilia; fitque vtHGad GN;itaRPad PS.DicoRP,GH aequales effe.Si nopeerit vna maior. Sit maiorRP; OuergofitvtRPadPS.itaHGadGN; * erit permutando, vt R P ad G H; ita P S

*ft»fxt.r. a<j c Nemaioreftautcm PR quam G H : raaior ergo etiam erit P S quSG N.Qua-re & R S maius erit,quam H N: fed eft illi fquale;quod fieri non poteft:Non eftcr-

SoPRmaiorquamGHQuodopottuit cnonftrare.

1 Prej,

I 1 £ M t ft iti

— «

JPropof.2 3.Tkeor. 17. y^/iequiangulafaraflelogrammainter

fitproportionem babent ex latcri-bttscompofitam.

A_ Ctnt arquiangula * -'parallelogramma

AC,CF~quaIesan-guIosBCD.ECG habemia. Dicoilla propOrtionc, babe-re, ex proportione laterum compofiti

•xrk-ntV^-^m. exillanimirumcui JU,J_J. ^ t f habetBGadCG;8c

quamhabetDCadCE. PonaturBCi-pfi C Gin dirccxum;« eritergo& D Ci- apropA44

(>fiC E in directum, & compleatur paral» elogramm u m D G. Expo n atur quzdam

recta K, b fiatq; vt B C ad C G;ita K ad L; b/r»/.u.{ & Vt D C ad C E; ita L ad M. Proportio-nesergoKadL, ftcLadM, e~dem funt quas laterum , B C ad C G & D C ad C E. r Sed proportio K adM componitur ex cdefj.e, proportione K ad L, & L ad M; habet er-go & K ad M proportionem exlaterum proportione compofitam. Etcumfitvt SCad CG; d ita ACparalielogrammum d>r»>. i.e}

ai

KIMFT

itl L 1 B E R VI. adC H: &vt B C ad C G; ita X ad L}

tpnf. rr.f » erir vt KadL, itaA Cad CH. Rurfus f/ry.i.*. J^ ^ /cumfitvtDCad

-H- CE;itaparallelogra mumCHadCF;&

•41 vtDCadCE;itaL

Cum igitiir oftefum fit,vtKadL;itaefle

_._ ACadCH;vtverb pLadM;itaCHad

b/«/. aa.; C F; ~»erlt ex squaii.vt K ad M;ita A C,ad CF. AtKadMproportionehabetcom-pofitam ex lateribus: ergo & A C ad C F; proportionerri habet compofitam ex la-teribus: asquiangula ergo paralleiogram-mum,&c.Qupdoportuitdemonftrare<

Propoi.i4.*^heor.i 8. Omnuparallelogrammiqua cirea did* metrumJuntparaMogrxmaJimiud

(itnttotit&interfe.

Stt paraiielogramrhum ABCD,diame> trus A C.circa quam fint paralielograV

maEG.HK. Dico vtrumq; E G,H K to-ti A B C D, & inter fe fimilia efle. Cum e-nimadbtusBCtnanguliABCdudafit

paraU

/ /

/" v

7t~ /a-** \ . C...../. ..-.V

.—w.

/ /

"ii"

L I R E R VI. 2Jj gjauSSsUEF» *s critvtB EadEA|St& C F ss^.a,s~. adPA.Ruf&stmnadlatttsCDtdmgu-U A€Ddu£h iltpantlleL F G*rit vt C F

ad F A;, its D G »—Bad GA. Ssd vt

C F a d F A j s » ofldb eCIBEad

BE ad EA; u& eftDGauGAi

r sampotserjdo ugss vt B A ;•« AEjita e^. i f . / D A ad A G ; dk pet d muuuuSo > vt li A &ff$.i#*£ ad A D 5 ks. A Esd A G * psrdidogutsv momm trgo ABCD» EG iatcra dua «torarrmocm &sv£atotn B A E> laotpr»-pomorjalla. CtsrmWG FsDCp.trJls~ fatflot»asrtttitarjguti AG F» AD C;it«m S ^ . J # X

<"iFA»DCAjj?tmai«j«omH3um&D AC; arlangula er go A D C» A G F atquSangub f uat, Eadtm de c&uia etrmt A; AB C> AFE sguuiaoguia; tsta ergo p&raSielogf arasti* ABCD»EGfuata;q<uiis««la4feiliui8:uf j;. . vt AD «d DCit* AG ud <j Fj«m DC*d ! ^ ""* CAu»G F ad FA.Vr. vs& ACad CB;»t» A F »d F Ei& vt C B ad BAjsta FE sd E A, Et fgibdemonftnaum ;.Sts dil; vtD C a& C A ;lr i GF a& F A > V't vc;ro A C ad CB •» itn A i- ;;& FEjmtes vvqnaii vt DCa&CBjita G F ael F" £. F&raSSefenummorom**go

S ABCi>»

i«4 M B U n A B C D,EG ktera circa f qUales angulot funtproportionaliajfimiliaergofunr.Ea-dem de caufa erit parallelogrammumKH totiABGDfimile: vtrumq;ergoEG, KH toti A B C D fimile eft.jj Chtaeautem

tfnf.tu* e } a c m funt fimilia, &inter ie funtfinulia: eftergoEGipftKHfimile. Omniscrgo paralfelogratn mi, 6cc. Ojjpd opottuitde-monftrare.

Propof.i$.Probl.jr. J>ato rettiUncofimilc,&*Ucrid*f

aqualeeonfiituert^.

Sltdatorectt-. _ . UneoABC

fimileconftitu-endum,3*quale ver6 ipfi D. « Applicetur ad

kt'BCtrian-guloABCae-quale parallc-

H logiamuBE: ad CE vero §quale ipfiD.ni miruCMtn anguloFCE, arqualianguloCBL; Jindi-re ctu crgo erit B C ipfi C F; &LEipfiEM. r Accipiatur

»ipfarumBC,CFmediapro-poc-

%fr*f.44\

\>fr»t.\4it ejfuf.tjf.

t '1 B £ t Tt i$% |>o«!dndh G H3 &.iuper tplaspd &BC f etSilisjtto dhrolls eteferibatrsr, eVifttttUtr-r 4^, *$J potmttst K.G H. Ctxoa ctm> fxivtB Cat! polstu srt „. - , - ... -, &

GHjtr&Gflad CF(qu5:ioe«lot htessnt tres£recl§ ptoportioottkn.d! H pnmaad tcrmtu t «;s iigura litper pnova defenpra aditguram fuper fctuodaBmUemjftroi-Ikevqx deler tprat tt)£tl ergo vt &C ad CF$ itarrtaagultMK AisCad tdtartgsSu KGii* /Sed nBQad CF, its eSIBEttU EF.vt- er-tros~ trlathrtdfi A B C ttcltnaftetsUi&GH; „• * si W J - :i > ' i *-r- its-miJ»

tum SEparaSStlogratKmut» ad.Iiipa- do4,o,r. ralleSogratnstaottt ? &? is pcttsutmvtio, vi tf^r^.u^ A B C ad P* Estra «fi KG.R tsd EfGEquaie $iKemeittnan|ps(«sis AB€ p&raHeiogt*» JSQ BEsergodr triahgsdutri- KGf l xqoafg elt p.traSlc-logratrs«trs £ F. IGd E F arqtsak eltipft D;<?rgo& KGH spft Drllsqtsak, Eilvero&KGHtjjSiABCBsosie, D&~ S-Q esrgo e a&Uioeoj&c. C^odoporrtsk f*« eere.

F,f$p0Ct.GThee>r. 1 ?>.

Si a paraffelogrammo pdraffelogrdhi-mum MufifMtur fimile iotifimUiter^ pofitum.communem ipfihabens an<-

gttlum,circaeandemdiamc-'•-/' thme&t9tiC',< -A

S * Apa-:

lU L l X E R VI. ' logram*

imoABCD au-feracurparailelogra-mum A F fimiletoti ABCD.&fimiliter pofitum*commune anguluaiDAB cum

ipfo habens.Dico A B C D circa eandem diametrumeflcipfi AF.Si noU.Sit ipforu diametrus AHG&ducatur perHvtri-que A D«B C piraliela H K. Cum ergo

cfrtf.t+j AB C D circa eandem diametram fic ipfi KG;* etit A B C D ipfi KG fimiIe.Eft er-govtDAadAB;iraGAadAK:e(taute propter timilitudinem ipforum ABC D, EG,vt D Aad AB;ita G Aad A E.ergo vt

bfrtf.u. t . i G A ad A £, ita G A ad A K; habet ergo cfrtfj*.. G Aadvfcraroq; AK, AE i eandempro-

porrionciTb^UalisergoeftAE.ipfiAK, tnrnor maiori.quod fieri neqqicNon er-goABCDcirc&eandein diametrumefl: ipfi A H. Circaeaudem Crgo diametrum efcipfi AF.{Si ergodpakaUelbgrSmo,&c. Quod opqrtqit de monflrare.

Propofiz7.Thftor.20. OmniumjwraHelogrammorumadeaH-demreoJjtm lineam applicatorum, & deftmntiumfgurn purafehgramm»

tmaUm

1 1 « J! Jt VI %%y

<• t< !ff8jS^ffwJ •*-* ! .>.«:*»>.<-....<««« yt*yif{j&

S E&&AB#bi&- *ff^m,K

^ T I appiketur ui A B

, EVH. |toffl8ffi A |> de* ***&* JVf Bc

|»*«**^S. >~ ** rubx

[ f - - ^7 \ JVf fictcmfigum l^JfT^k "«<«&<«»»«**»*<•'*'» is~

Ipfras AB dc&r*pts «II 0 k « omamm patsllcbgrammorsrm &d AB sppfmts»

qtpcj&tnmit X> Bjtrsmdmum rlle AIX I Applketur e«

li f mdketcjvscpoilsoipfj D 0. Dtt» A B «isitss elfe spfo AECum e»«n B B Bmik JkipfiFS* «• erttsitcsreamdemclBmcv. ^,^4.$ trum. DtimurilbtursiSismetrusDB» BrdcfcribatttrSgara,*! Cq.m rrgalpg CF 4?™?.*$.* «tcjusfe ut F E, fi cossune appomtisrlF Bs

* rrit totum CFi toti K E «qasle. S&l mCf «**-*» CIfejits.fed'1 C C cttui A C J C B seqastfes

S t imts

»8» *-"i-«* x ' n .v fint;erga&GCrpfiEK*q'uar«eft.Cpmr xpunc CFapponatuf; $t«t,it$otttrr» AJf gqomqni LM Naequale.Qnar^ pB,nqc eft AD,quara AF maius eftTOmnium er-goparallelograrrtmorfi,&c. Qupdopor-tujtdemonffrare, * _ '

•*.•" AKter. SitABrarrfas JpMr~~r~1 , n €bife§a,& arn>n&tU

' AL,deficiensfiguraLB. Appltcetur ad ABparal-

' lalograrornurn AEdefiV ciens figura E B,fimilt &

^ fimtliter pofitajpltLB &dimidia A B defricptar.

Dicoparahexogramum A Laddimidtam epplicatu maius efieipfb A E. Cum enim

%ft$f,t$.«EBipfiLBfimtlefitiieruntcircaeandera :

diametrG,quf fit EB,perficiaturcj; figura, Quia ergo LF ipfi LH gquale eft>quod &

i . FGipfiGHfitxqualis; FL.quamEK \ft«f.4,,t mawserit:ieqr*ale<ftautemLFipfiDL:

maius crgo eft D L quam EK, commune arldatur KDjtotum ergo AL tqtoAE ma-

v dtfteft. QuodJoportuitdemonftfare. -< PMpbLl rPirobl.B,'}, *"»"

• T'^d^ramre^iH»jeamddro re&if&teP , .kquaUparaffefygwmm affiUcart^%

tftfwasjfe^tf^ ,. • ? if . $t

;.<:., •

LJBEK VL 1%9 jhfimU&dsmims. ®pormmti?d4~ tstmrrBslmmm •» mimmfepppisstism Jam tB, m&t$ts ssm e0 s*« > rp tdaddfe midsam apfikntsir, fimthtm ssxsjfetU hm dffeifsiissi %,& et> jmdi dtsmsdm^

mtMt tpe-rtst fimk dcfissre.

d T rkrcdhsitsssAB;

y oAmsu-mts da»

s tani.ruioporteatsj;.-JX^fcif sB <rn.sk ^ppiicatt, ist

C,ftt)ft maftss-cstBlt NW stesssusssl addssuklsst ^™->v>-Y '5™% appliea-t» s?Ci,ifts>ili»<

^ i»fts«e*.i!£ubas«ft;~ • -' i 1 Xf *M&td\b\C8im>> >0 I ptfjj icjftopomtll-pij• ^d. k» trsik dditessr, '" *** iktXOportes;

trgo au* A B rccftisrseo C*C|ft»-fc pvrAliclogsamisstt strspirearr:

„ D detkisk t.jjur» faraiklogtSnt» is>s5.shipfsD.>.tB lctcturARisL&iMt&tt tfnf.tt.ti fcatnrfcspBB.r-ft D Sftnikvtdsftiiftestppofs bpnp,\t.( tri >iBF<>comptc»tu d; AGparaiieiftvD *i>t!;«.s>s4ini\C.iu- \,>|>t.sieeil,.t«rmsis'sisi> <i<steiinirsstjo«e.bt<c,ss.sksl-tCfi<0tpsrbe '';'v

h Jfts r°M ppiscatu csrs >.n» cii ni A ti redls iineo C Mmxdm st-rfdogramtxfti AG .deSkSesrs

IO*. I 1 B s i VI. figura parallelogramma GB firnili ipfi D . Si vcro HE maius eft quatn C; erit & GB maius,cum GB ipfi HE fit «quale.Excef-

cfrtf.xx. ^ aute,quo G B excedit C, f fiat zquate K L M N,fimile firhiliterq; ppfitfi ipii D. EtcumDfimilefitipfiGB/erit&KMi-pfi GB fimile;fit linea KL ipfi GE;& LM ipfi GF homologa;qa ergoGB quaje eft ipfis C,&KM;erttGB;quaKM m»ius;erit

. ergo & G E linea maior qua K L; & G F, *frtf.j.t. quJnnLM^FiatipfiKLrqualisGXppfi

LM ipfaGO.compleaturq; parallelogra-mum XGOP, quoo erit zfiuale; & fimile

*prtf.u.«ipfiK M.(ed KM ipfi GB fimileeft;#erit ifttta«.« ergo&GRipfiGBfimilc^fuhtergoGP,

GB circa eandem diametrfi, qup fit GPB. &defcribatur figura.Cum itaq;GB f qua-le fit ipfis C,KM,& G P ipfi K M;erit reli-

%pr»(,f}.t quusTt/ygnomonipfi Cgqualis^cum-4ueOR.ipfiXS fitzquale, ficorrimuue

W / . PBaddatur;erit k totumOBtotiXBz-ifrf.>lt.r quaIe^ fcdXBipfiTEcft i zqualftquod

AE, E B fiut zquales: eft ergd &T E ipfi OBzquaIe,ficommuneXSaddatur,erit totfiTSgaomoniT*Tzquale.Sedgno-

k mon ipfi C oftenfus eft zqualist k eft crgo **•'* TStpfi C f quale. Ad datam ergo ABdato

recxtlineo C zquale parallelogramumTS applicatumcftdeficiens figtura PB fimilt

ipfi

I I B 1 tX VI 291

ipfiD.cum PBipfiGPfimilefit. Quod oportuitfacere.

Propofitio zo.Probl. 9. AddaS&mrettAm dAto re&ilineo aqua-lefarAllelogramwumapplicAre, exce-

densfigurApArallelogrAmmAft-mili afteri data.

C I T D ATAreAaABy&rectilineurn i C, cui oporteat ad A B jequale applica-

re, cui autem fimile eflfe debeat excederis •/>»/>• '»• u fit D. 4 BifecetUr A B iri E,* dWibaturd; ty»*9>»*\*> TuperEB^raUelc«rammumfi^ > literq; rmfitum ipfiD; AegualeVerc» vtri-..-«'. v . tiueBF, «f2& fimilerpfi Defiat Gtf, e>»>.»/.tr. -quod ip; fi P B fimile crit. Sit autem latfdk

S j KH

29t 1 1 B i R n . K Hhomologumlateri FLsKGipfiEE» EtcumGHinaiusfitquaFB,erit&KH rnaior,quarn F L >• & K G quam F E; pro-ducanturF L»FE,vtipfisKH,KGai-quales fiant,in M & N , compleaturque MN.quod ipfiGH*qualc&fimUeeft:

Apr*f.n.S. tfr*fjt«.«. __

fed ipfi G H fimiie eft E L; deft ergo 8e M N ip.fi. E L fimile; t funt ergo circa ean-dem diametrum »qua. ducatur, & fit F X,

f**V/. cpropteaturque figura, QuiaergoGH tam i pfis E L»& Cquam ipfi M N asquale cft;/erit & MN «pfis EL.& C a?quale.C6-mune E Ltollatur ;&eritgnomon **TT •

KJtV , i ' *Pfi C arqualis, Cumq; E A ipfi EBfit*-qualjs, jjerit & A N ipfi N B xquale. hoc *ft»AjipfiLO,Cwrtiinpoca^

qnc

HBIK VI. w js«$totum A X»toti gootrxsrL TT&pquct-lc % fctt gu ormjtt ipii € rcqitFis cit; erit cr* gcs & A Xspii Csrqti&le, Ai cLi,1 es«o AB» daiOJcaiiisKO C a?qu*!e piralkioeratti-srssa-s» A XsppUeccum cs% c-Kcokfis figura */>''¥-|\srall riogt asrsa VQ Iktfsli sgis D,/c»ts« & E JL, spii Of ftmiic litxQttc.i oportuis. faecrc»

Psopolk io jo .Prc ibL >o, J}gt4m rrftem imeam iermimts$x~

trema 4emedi& rsthmfisarr. «Partcat i,-iv<ltctmsrtatas>lAB Cstre-

Jceaac sjoxlia rtusosic Secare.a Ddcri- *>m?' Bsstur fuper A B qtsa-drsstrrm >:> C, I? appi!

•g ccturqj a i A C psras» kiograstsmsssts C D s

f spsalc, qtlairato BC« cxccdeus Sgura A J> flmils B € quadrato» quajspairarom erit»

Et quia BC Ipi C D se--«ttalc cftUicomssiurse C E &t j&r&tar»erk rts~

Skptum B PrcStqao A D#s|siaksf«mtr*s~ ro &J tcqukstgsilaj tr ustera ergo ipJotoili efof, B F» A D rctliproca ftiar Circa qtJ&Sc&ss-gulos scrJ crgss vt V E ,si £ D»ita A E»i, B F; 4% sli F E Spli AC$ Boc cilppll A E

a'qssa>-

*-f.r

i«4 i m i vt. A B C D,EG latera circa ? quales anguloi funtproportionaliajfimiliaergofunr.Ea-demdecaufaeritparallelogrammumKr] .toti A B G D fimiie: vtrumq; ergo EG, KH toti A B C D fimile efl.jj Quse autem

gfrtf.tut e ide m fuot fimifia, & inter ie funt fimiliat eftergoEGipfiKHfimile. Omnisergo paralltlograrami,&c.Cjiipdoportuitde-mooftrare.

Propofa^.Probl / .

J>ato reciilineoftmiU, & alteridato aquale cenftituerc^.

Sltdatoredtt-lineoABC

fimileconftitu-endum,*<tj6§ti ver6 ipfljE « Applicenrr ad

lat*BCtrnm« guIoABCk-quale pftrafie-

*t logiirhSBEj ad CE verp gquale ipfi0(ni miruCMin anguIoFCE, «qualiangulo CBL; £mdV.-rccru ergo erit B C ipfi C F; &LE ipfi E M, e Accipiatur

«* ipfirrumBC^mecUapro-

poc-

•jw#/M»*.i

Ufrtf.\4\t

t'i S t * VU ify ponfeftaiis G H i & fupcr. ipG irsfs A BC re&ilmettdiimHcdtlcrtbatssrj &(ss».ibrr d*rtei! t?s pri trsa ad ef*MG*AtA

,l ••,« *• . •. , .**»*»

fitosp <M!Gptar<i}Btsergt> vs.B€tH €F \ Itatnssttgsjhtt» &BC<sr>BEssrgo& tnaogsBsf sti KGH sstqu&k; ^fS,..«„»t5„L.««™««.«.,,."'» s< e_.:>\ * > . „ . - . > _

to ergorasMirtsoj&g, Quodoporsrrsk fa* «t.rso ^

Prdpdforf.Thedr.i*»* • Sta parafietogrammo parafielogrtm-ntnm auferdtur ,fimile tetifimHitera^ . pofitum,commmem ipfibabem an<~

gulum,circaeandem diame-."• '•-'• tfumeBteti;-«'• •?•-•.••>

S i Apa^

IU 11 B E R n.

l a f e & ^ T 7 ^*«°oABCp au-" "' fcraturparallelogra-

mum A F fimile toti ABCD.&fimiliter pofitum, commune angulumDAB cum

ipfo habens.Dico A B C D circa eandem diametrum efte ipii AF.Si noU.Sit ipforfi diametrus A H G & ducatur per H vtri-que A D ; B C parallela H K. Cum ergo

ifr*f.i+* A B C P circa eandem diametrum fit ipfi KG;« erit A B C P ipfi KG fimile.£ft er-go vt PAad A B; ita G A ad AK: eft aute propterfimilitudinem ipforura ABC D, EG.vt D Aad AB;ita G A«d A JE.ergo vt

hprf.u. / A G A ad A E, ita G A ad A K; habet ergo c/rf/if.. Q Aad vtramq; A K, A E * eaodempro-

portioncm,*qualisergoeftAEjpfiAK, minot maiori.qUod fieri nequijt+Noner-go A B C D cifca eandein diametrum eft spfiAH. Circaeandem ergodiametrum eft ipfi AF.|Si ergo iparallclbgrjLmo,&c. Quodopqrtuitdemonftrarc.

Propof. z 7,Tijeor*a d. Omniumparadelogrmmorum adean-demrttlm linem applicatorum, & deficumtiumfguritparadelogrammu!

jintt"

I l B E E Vl 187 fimilibuu&fimititerpofitu eiqua adi-mididdefcrihitur» maximumeBquod

addimidiame&applicatumtftmile exifiensdefecluu

T> E&aAIUkKf- o.pnp>tortl tf * ^ ? *Ve«urw C, & "

}HM& #**?»«»» AD &**"•** . . ^ -—j \ ;\ i ficteasfigarapsral-

lcbgramm$DB,b-mUt,<lEf?mllJ[tsr:»o~

ipm» AB &fiair«ra <fi Dieo onusiou» potdidogmmmmum «4 &B spofiato-

D B,mss.?mum dk A D. I Bppliccttsr o »tra sd ra&tm AB ^«Ueragramravtnit»^*,» A Ividmitms psc(jilc|og^mm» FB Bmt-h UraUttsre, a« poStotpg D B« BicoA D snsms <i?« spfo A ECurn emm D B felf tt flcIpftFB, c efunccircg««jt4em<lisme~e^i« trum. DucataHiiontmcB&metrusDB,

*crktotumCHtotiK£srq«ab Sedbfi ***-** CH«t|tmkHlCC «om ACsCBg;qtiaIes

S 3 fi»n

fint;ergo&GCipfi EKgquakeft.Cqm-munc CFapponatur; cjwittoturn AF gqomqni L M N«quale.,Quare: DB.hqc eft AD,quam AF maius eftXJmnium er-goparallelograMfnorQ,&c. Qupdopor. wkdemonftlrare, •

-~ Aliter. SkABajrfiis 'TgfcJ^^} «nCbifecLa.&applBatu

AL.deficiensfiguraLB. Appiicetur ad ABparal-laldgramrnum AEdefi-ciens figura E B,fimili &

^ fimilker pofita.jpfiLB rtf~"cr adimidiaABdefricpt».

Dico paraHetogramurtt A L ad dimidiam epplicatumaiusefteipibAE. Cumenim

tfrtf.»».» EBipfiLBfimilefitaeruntcircaeandem diametrG,qu§ fit EB.perficiaturcj; figurs, Quia ergo LF ipfi LH gquak efkquod &

i- FGipfiGHfitxqualis; FL.quamEK bfrof.4?.r makiserit:Jgquaieeftaatem LFipfiDL:

rhaiuscrgo eft D L quatn EK, oommune addatur KDjtotum ergoAL totoAE ma-

V *, -ias eft. Qubdoportut t demonftrare. ; PfopbdTi^Pfobi.»/

'JiddatdmrecllRneamdato re&ttUne* f:, . aquAUparaffelogrammum applicarc^:

ifi^J^^^e^r^m^^

IIBERVL x%9 ftrftmilfeahrndÛ. ®p&rkigm?i&~.

ikmum> sm ,m.. mmeii ,m4msnm?jfeeo, ^migiih

miikm gpphmtxr »ftm$hbt& exift&L km irfcckbm^ <r<* ttmig dmiik^

$&>$$» epsrt&fimifediftcerm

H G j Q J F Ch™&* i h i & i %B; | f\" ? 7 ^xnfeillncmn «ia-/ I \ ^\? t«m..fi!ioport<?5S§-

,,î\..;|f p | quak appttearcjfk C>xson m&im ctiMt co m&ck aci dimtmtX sppiieatu dss/isxxslk hbut «ssiktibtss de»

lf ~|^feîb*.Cssiatj» r.emoportnS-sxsxk dcbecfCf & IX Oporter.

\ ergo&d ABreeJsilJi5e»C*Cj«a-\ *s f^^^ôg^tnam sspplkare

».3 iieficies itguxa paraikfogrsc&s f.i»diipii D.« B=keesur AB m £ &Ak fm bstuf fe ;>f; & ips? D /jmdej,Smilif«e<;pi>/t bfnf.it.f til EM G eompkatufq; AGparaildfocu srsfituuod ipft Caut equ;-iedi,.rut «m*e4> 4et«mioati«!te.Sipi|u3ie,faûfili>p>i.b« ' v

< bxti!ip!ppii«3iuctsoxsc/iad ABre&iiineo Ci&ju$£c paarssllciograxrstxtu AG4e£cic;or.

, S <$. figurt

f*8}

\*l

tfflf.tl.t.

29» l I B E & VI. figura parallelogiamma GB firoili ipfi D . Si vcro HE mamis eft quam C; crit & G B maiusjCumGBipfiHEfitequalc.Excef-

epnp.xx. ry a u tg> m i 0 Q 3, excedit C, f fiat arquale K L M Ndlmilc firhi|iterq: ppfitfi ipfi D .

/ EtcumDfimiIefitipfiGB,erit&KMi-pfi GB fimile.fit linea KL ipfi GE;& LM ipfi GF homologa;qa ergoGB equale eft ipfis C,&KM;erttGB;quaKM maius;erit

. ergo&GEIineamaiorquiKL; &GF, •>»/•*»• quamLM^FiatipfiKLarqualisGXjipfi

LM ipfaGO.compleaturq; parallelogra-mum XGOP, quod erit atquale; & fimile

tp np.tr. * jpfi K M.(ed K M ipfi G B fitnile eft; • erit £/nfat. t ergo&GR ipfiGfifimile^furitergoGP,

GB circa eandem diarnetrfi, qup fit GPB. &defcribatur figura.Cum itaq;GB pqua-IefitipfisQKM.&GPipfiKMjentrcli-

gpr*p,+j.t quus T*Y gnothon ipfi C equalis.ij cum-que 0 RipfiXS fitzquale, fi corftmune

h «r.t. p B addatur; erit k totiim O B toti X B «-W ' ' " quale, fedXBipfiTEeft i zquale,quod

A E, E B fint arquales: eft ergb &T E ipfi OB atquaJc,fi commune X S addatur.erit totuTSgnomoni^OTarquale.Sedgno-

k monipfiCoftenfusefta:qualis:/ceftergo **•'• TSipfi C 5 quale. Ad daum ergo ABdato

recttlineo Czquale parallelogr aoiumTS appUcatumcftdeficicn» figtura PB fimili

ipfi

I I B t X Vl 291 ipfi D,com FBipfiGPfimflc fit. Quod oportuitfacere.

Propofitio zp.Probl. 9« AddetamreEtam dtto re&Mneo aqua-jcp*r*Oelogrmmumapplicare, exce-

densfiguraparaOeUgrammaJi- , milt tdteri ddta.

IT D ATAi'eaaABj-&rectilineun» cui oporteatad A B atqualeapplica-Sc!

re, cui atitem fimile efije debeat «cedens *fr*f. "u fit D. 4 BifccctUr A B in E,* defcribaturd; tW»*V*> ruperEBparaUelogrammumfiiriile.fimr-...:;.v > literqjpofitumipfiD; Aequaleverovtri-..v.',v •'. queBF, &t3& fimile rpfi Dffiat Gtf, eW .v .r . -quod ipfi F B fimile eric. Sit aotem lattd

S 5 KH

*9z 11 B u n K H homologum lateri F LjK G bfi T;<EV Et cumG Hmaius fit qua FB,crit&I£Ff maior.quara F L.& KGquam FE; prb-ducanturF L.F E,vt ipfisKH,KQJJt-quales fiant.in M&N, compleatutqne M N, quod tpfi G H arqualc& fimUecaSri

Aprtf.u.f. tprtf\if.f. _

fed ipfi G H fimUe eft E L; deft ergo 8e M N ipfiE L fimiie;i firat ergocirca ean-dem diametrum «quxducatur, & fitF X,

f**.i, compfeaturque figura. QujaergoGH tam i pfis E L.& Cquam ipfi M Nacquale eft;/erit & MN ipfis EL.& C ajquale.Co-mune E Ltollatur; &eritgnomoB XT •>

6511« '^ C * a u a l i s ' C u m e l » E A 'Pfi EBfitar-' ' qualis,« cxjt & A N ipfi N B aequale. hoc

*ft>» ipn L 0,c©mmuoc addatur EX*eritr quc

LJBIR VI. ioj

qttvtottstrt A Xjtoru gsomoru YT&cqua--k< s fcd soomor» ttffs C «ptiaiis Ut c crtccr* eo & A Xir-f» Caxindc.AiidcuJ rtgo ABS datorcritiliric» C Xi\uite prdtderioiu -miUTi A X sf fiU J S W siif crceJr«s i ipm i}**?.* v<*v

rt&ralfclogiSma BOfimtiHffilki?eum &£• JLipU OFsn 'iclkX£uixt<i?:Hxrtui5 tkctc\,

Fropef ido -jo.ProbL 10. 3}g?xm refifsm iwAtw tt-rmtmi.i€X~

tre*#4 Mmedist r&ttosefeesr?. iVatxc&t dixi tcrminatam A B csstre-*£»3.acmc&arorionefecsrt'.*Dtcfert *?*&*•**'*

, p W f u p r A Bqtja- b 5 I dtcttum isC»P8ppit-<

>J «c Tt ceturojsdACpacsi--/ i !,.....,wwi<5<C. tc* * . * y , « ,

** • * '"' Idogramxraotrs C Ds ctje&ietjusilratoBC»

< | rxcatem Isgota A I> j ^ 5 tlrrstlt B C tjusiiratOs,

K 5? quxqsatkjmsm em» g _ E t quk PC tpli C D x~

C £ aaferattst j «rk rs> tlqxmm B F reltqxto A D atqqak»fsnt v o ro & «qdangulat a btcra vrgo ipikrrtssr cvr^.t^i? B P* A D rcopruca &rsr «irc«ii?qu8|«»an-avuios; e.B rrgu n F E a4 £ D c stcs A E a a! £ 0 i & d l F •£ ifti ACj hoc c&irtft A 8

M_B

*o

»94 1 % B E ft VI. Nqnalis: & £ D ipft A E ; quare eft vt B A

j .«*._. *d A E; ita A E ad E B: ffmaior eft autem *r*t **•% ^ B m A E ! m j l i o r

ergo & A £ quamv £ B : eft igitur recta ABextrema ac media ratione fectain E; 8t maior portio eft AE. Quod oportuit face-re, . .

Alster. Oporteat re-ctam A B extrema ac rnedia ratione fecare:

«***»**•* *fccctur A p *inC; ytquodAB,B Ccon-tinetur,aqua(e fit ei quod ex A C quadra-to. Cum ergo quod A B, B C continetur zquale fit eiquod ex AC fit, quadrato;

W'7.'/eritvtABadAC«ita ACad CB. Eft crgo A B e«rema ac raedia ratione fetta, ^C^odopctftuttfacere, a

Propbfitid 3 t.Thepr.21. IpMengalUreftAHgulufigurA quafit* iUtmrtUkmfahteudenteuquAUstfi

K figwr*qu*fiu*tdhteribusr«&umcvs "' iirtc»*ifotffihiihto-,fimititerg. '/ ' defiript»,

S\t

I I B E * VI. «95

S*ttriangulurare£tangulum A BCre-ftum habens angulum B A C. Dico>

id quod fit exB Cxquale efle iliis, quae fi-5ii>i cx li.fi,

,A<. ACtimiiD / , < N \ N s f«.-it-

/ / \ x \ V ttiq-jc Se-/ / I*n " N - ^ N . ii-tsuriuDa

S. * I \ ' catur ncr-3I i> V- ^eoJu-nb-

qr.r A HC» A Hl> (tirislr^ikrtssHr vt C13 && B fi s s t a A 8 Td 8 D, I 5|U3.IKIO 3«tc trcs f ?ml A funtpropot tsosaies, cft vt prim^ ,-•>. tvrti- P ••?<**< atrt a « qu£ d prlmx ddmbitti- CaiSA.rd fsgiiKiin tjntilcut ,5 iertutda d d e n / m . V t cryy CB <ui B !>, iueiifigura es C B <K! fe-|.;ut wi c>: B A, ijmikra iimjUtetq, &i ilrC pturs< Easktack tauCvrit vt BCadC Dg iss %su 3 CN B C 3c ilgjussn ex C Av £rga

. vt K Csd B Pj DC; !K> isgsra t.s BC tk» fcripta,xi4 %««&*.£ B A, ACdcktiptas.fi» mtk-Ssfitnliiieri;; titsikss; aqtsaiis cd sutc BCipiaBD- i>Cjetpo& SgucaexBC atquaiis erit %su 53 cx B A s A C firsfihb» A

funh

' fimiliterq;defcriptis. In rectangiiUs etg/o triangulis,&c. Quod oportuit dcmon-

cfr*fa*.f. flrare. Aliter. f Cum fimiles figurar in dn* plaproportione hnt Homologorum late-rum, habebit hgura ex B C ad hguram ex

BAduplam proportio'. nem eius, qua habee latusBCad B A. Ha-bet vcro & quod exBC quadratu,

adquadratumexBA duplam proportio-Afrtf.v:;. ncm eius quam habet B C ad B A.d Vt er-

go eft hgura ex B C ad hguram ex B A} ita cftquadratumexBCadquadratuexAB. Eadem de caufa eft, vt figura cx B C ad fi-

• * guram ex C A; ita quadratum ex B C ad " iquadratum ex C A. Eft ergo vt figuraex < B C ad figuras ex B A, A C; ita quadratum

tfnf+7-*exBCadquadrataexB A,AC. Sed#qua-" dtatumexBC eftxqualequadratisexBA,

AC:Eftergo&figuraexBC squaiisfi-J guruexBA.AQfimilibusfirniliter-*-*''/, 'que defcriptis. Quod oportuit .*•-{•::*.!;,..- defiKmftratc* n .

Propo-

i 1 B 1 » VI. ipj x

Propofitio 3 z. Theor, 22. £iV«0 trtangula duo latera duohm la-terivus proportionalia habentia, adv-numangulumcomfonantur,itavtU-

tera homologa fintfaraSela, reli-quaUtetaindirecJumerunt

conftituta.

Slnt triangula A B C, D C E habentia duobtcra BA,A C, duobus D C, D E

A proportio " ^ • ' * • n a l i a . V T

ABadACj ita 6 C ad DE.fintq; tam A B , DC.quarn

AC.DE paraltela, Dico C E ipfi BC in di-recVum cffe.Cumenim in A B,D C paral- _ lelas recta A C iacidat,« erunt anguli al- *fp%*va* terniBACACD«quales.Eademdecau- . ia & CDE, A C D atquales erunt: vndc & B AC,C D E squales funt. Cii ig tur duo

' triangulaABC ,DCE vnum angulum qui eftad A,vniqui efl ad D arquaTem habe-ant,& circa zquales angulos latcra pro-portiooalia,vi*BA ad ACIjaCD ad D E, hfnf*. e\ \quiangula cr&tanguJi igitur ABCDC E

arqui-

ao8 L l B E K VI. e, quales funt.Oftenfi autenrfunt & ACD, B AC xquales. totus crgo ACE duobus

. ABC,BACcftxqualis:communisACB addatur,& erunt ACE, ACBxqqaleshis,

tnu.jt.,. B A C j ACB,CB A: c fcd hi tres duobus reT ctis funt xquafcstergo & ACE, ACB duo< bus rectis xquales erunt. Ad puncxum er-ep C refix AC dux fectx BC,CE non ad cafdem partes pofitx» angulos deinceps

, ACE,ACBduobusfectisxquaIesfaci-•"TV*** unt;in »/directnm ergo eflB C, ipfi C E.

Si crgo duotriangula,&Ct Quod oportuit dcmonftrare,

Propofjcio 3 3 .Theor. 13. la ttqmiiias tircitlts daguli caadefro. fortioncm bubeat, quam ferifberu, auiba* infifiunt tfiui ddeeatru,fiuead , feripber/a* confiitutiinfiftunt.

J/tein & ficlores tttuippcad eeatra conftitati.

N xquatjbus circulis A B C, DEF ad cc*--tra G, H conftituti fint anguli BGC, EHFad pcriphcriasB AC.EDF.Dico c(Te,vtBC penpheriaad EF peripheriam; ha angulurn B Q Q ad angulum EHFJ&C B ACad EDF; & infuper BGC fectoread EHF icctorem.Ponantur periphcrixBO

sciuav

I

I l B l.k:VL 199

«quales quotcunque deinceps C K, K L: - peripheris £ F quotcunquexquaies F M, M N.ducanturquc G K,G L;HM, H N . Cum ergo peripheria* CB.C K,KL xqua-les fint, 4 erunt & anguli B G C, C G K, tfnfa7.fi K G L xquales, quam mulci plex ergo eft peripheria B Lperipheria* BC, tam multi-plexeftangulusBGLanguli B G G Ea-

- dem de caufe quam multiplex eft periphe-ria N E peripherix E F; tam muhiplex eft angUlus N H £ angult E H F, Si igitur pe-ripnerix B L, £ N xqualesiurit, erunt &C anguli B G L, £ H N edmales: Et tl peri-pheriaBLquam EN maiofeft,erit&an-gukis B G L maior angulo EHN,*et fi mi-nor, minor.Cum tgitur quatuor fint ma-r^nitudines.dua; peripherix BC, EF,& duo anguii B G C, E H F t acceptxq; fint peripherix BC & anguli BGCaeque mul-tiplices peripheria B L, &anguhft BG L. Peripheria* verh E F & angull £ H F peri-pheria E N & angulus E H N , demon-' • • - - • j T . ftw- ,

K ^ . r - ^ K h ,\ * •,<«*r!*r**?,o *ii? vn.» , - aKN \ A S N » ' < t U i L i i ^ v >LHN <> > >< c ^ v \ , o». i. «qtuhsjfe

b ^ j . j . - K o , t>r\>?o „ svjsv. c»v O i U ^ o v t r JCi \ -\-,\>,v> N >> V>,>v»| I^r4*a~

•'' ^, ,-v r<C» t, K > N , \ N ! r , I V i 11 M/rtf.i}.} hi O M ' ! I V K > M r t B A C <*&g»>htt>

i , , M H i i \ v U \ ' )\0 v \,»> u <r»f-, - f u » i i : i » t « i !

S»K u t ut ,U\CMV>r.ia»\

\» v »3 "

s > ro- NfV*>,<» &! O -u v« ;K iokswn r

SK>,,»\< cipianturq, penpheriarutiBj5C,CK pun-&aX.O,&ducanturBX,^C,CO,OK.

•. Cum ergo du* B G,G Cjlunby sGO»GK «qualcs fint,angulofque aequates conu- i

4frt/. 4.1. peant iii erunt & bafcs B(j, C K xquales: ', igitur & triahgula B C C ,[G C K aeq ualia eruht; cumque pcripheri* BC, CKfin«

«cuia-

118 S 8 V?. 3&t a^ttslemertt Bt rerspa B &C petiphVm irdtqs&e C& & ppcBis; «ego ttY. «ttpltts *?m*<r;.nn B X Cttrigulo COK a^atBtb <*?!*»/por<- f4ef.n.f, tioum gtgo 8 X CyCO X ftmflos CuBt» & fmu fupsr «qssaiiWs rHlhsBCXX.vf cft- gMM?,,? cubmm «iitps ponbries fiaptr stqualt» Lus rectk coa&itiitat., ssqtsBcs fam t por-tbaes Igit.»r B X C, CO*K atqmsltts fum\ Stsst v«to Bc triatsguU B C C C C K ;v~ qusha ,* totescrgo ittttor BGC sott GXC eiBfpdio Eadcm de cstrikseumdttttLo-f « 0 K L , GICC pspnfes; sres igitarCe.» So r«B O CX C>K,C LKsmttafes fuat, estlem io < eofLtruot eV rrcs HEB»HFM» H M Nf a?tp.iak*. quam inttkiphstergs&dt jpmpherbBL penpBcsk C Bs eastuttuk tlpbx «ril bcioe G h L inftom G BC. E&-dcm ri«csoC q«sm svmklpie sc dl periphe-t k E N peripheriv h CvnmoMskipknsti &&ttt H E N Inrori-sH E F, Si «rgo<m>-ripht-tk BL m.rior oli peripheria £ N , %

etk & b 6 V B G L msittt iSsmt t H N / Et E j)c<|yalfs, phslis t & S mlnot, nsh «or< C«m igmu'q«.iUi«Hh3t msgssitu.. dbesnksar penpkcrisss B €» E P , kc isio ah&ores C 8 C * E H F j srrept^qtis Biie ptrtpfsems-fKL X iV&ofk O BC, iafqi5em«ihpfesBLp«rlpB?rk,GC B L Isfi-ittn Periplses% vgib E sV, & iHBstk

T x H O \

w£CCtiv£wX4v.v.

tot I f JB E R VI. HEF,peripheria EN,&fe6torHEN j de-monftratumq; fit fi B L maior fit quiEN; & fectorero B GLmaiorem efle fe&ore EHN;& fiaTqualis,3squalem;fi rhinor mi-

E-WT/.J. norem.g erit vt peripheria B C ad EF pe-' ripheriamjitaGBCfeaoradHEFfeao-

rera.Manifeftu ergocft,eflc, vteftfeclor ad feaorera, ita angulumadangulum.

Exlibroij.Euclidis.

Propofirip9., , Si latera hexagoni & decagoni eident circulo infcriptacoponantur, erit tota

copoJitapropoetionaliterJecJa.

Slnt in eirculo DCBJatera BC decago-ni,AChexagoniindire3u pofitt.Di-

* totutaABmCpropor»

-~-t\c iottraq; ponionem csle /""" T / \ AC Surapto enieaeea-

j > / _ j - ' .^BuoE. rang&rM;»? recBs \ ^ } EBXC. EA»jtducatat* \ / \ X queEBinI>. Quiakji-

. ' turBCIatusef a?qt,slate«>erit pcrtpheria BCDqairiSush? peuphcris; €B; sghur C D quadrophmt

, » \ *S5^

etwfde-ro CB.Vi <? * cto pcriplit-rk CD a4 3?fi^t pettphcmmCBkacEsmgufast. KPad ^ J* sngekm C E B'Q]jidt«fk» ef! e;go m~ pi\*i» CED rtfiuh BBC,Et qma £ aequ. ^p-t?, /,,-, h»<s E BC .ruusk ell eogko B € f.» <kr <rangoksDEC4upSu*a»c;ohKCB,eum-»?™?$*•** «jue E C ixtlx € A k vVouBk { vcnque «ssm eB xemshs Satets hexagom ehatio B<%t>ir.jcik:s>/ct«5fsogtt{usCEA»a-4?»./*.r>,, guk KACctquaike <1?spksagodbs>. M ^ I . S , £,uie aogult CAE.oEcijkseiUurens&iitj^uSusC^D qosdropiro soguU C F B ; fLpd« erm ftmratjgeHCAE. BEC,1 «inaoioruoi oo<sm ABE, ECB aoguh» £B€ ril cotn-«iaatt; f ««ogo&rtuqwws A F l i rek 5 w ^ , ««oLCB#»|oal!t.Qu!H-ctnao]«».bABE, " " CBEtoorjrooiangoUt^ r f t ^ o v t A R <.*M*^ < sd EB? BsEB k C B , Eftvero BEtpii AC <eqtrrfis. igitur eB vt AB atf ACrfm AC ad CB; Masorautero eii A B, «oam A C; **^ror& ACtjoatn CB.C»ootjrca ABia « W «

CltaaeiiproportkuaKter.&poftio mxbrdl ACQts<kdar»oo-

Srra?«opr>rtijs*t,

IVo-

fi i i / r j ' d . Pfopofitibio.

p circulp fentagonum etquiUterum injcribaturjdimpeniagonifoter'itj&

Ututbexagont, &Uiut decagoniêi-•••• demcircuhinferipotutn. •

EStocibul* ABCDEj

cui pentago-nem e/juilate-rumABCDE infcribaLDi-eb Istus p€ta-goni pofie Sc heiagoni, 8c decigbni lat'

etdemcircuio infcriptorfi. Acceptoenim •v «entroFdUcSturAFCFB.&îtFadAg

perpCndicuIaris FI,cjug producaf Ur\n H * ••• --.""" iuttgahtuicjuieAHjHB.rurfusâbFad

AHagatuf perpendicularisFLjCiuaeinK Fro'ducatur,|ungaturq;HM. Et,cjuiape-

I. riiuHeria A KCG afqualis eft, perfpneria? ^ i > . " A E D G . J * cLuaru A » C ualjf cft AED:

cft igitur & rchcjua C G i reiiquae D G a> cjnalis.-fiftauierrt CD pentagoni;C Ger»

, . _ eoDccaeohiêrit.EtquiaAF.FB^kqua-hdeftf.t.P r _ P , . . , \ . r T . * cprep.t.j, *es ' u n F»& perpeBdKulans FLfentangu-ifr»f,'.ii.jiks A F IjJangnteHF.Baîalis»/ idcoq;

|j-pp.-jpht:su,a H ptnpK*-***; H i ^ ? - . . i ptxriphrtA A1.! skspslt uvs: pnhhtsu; l-| H? igh<$5- A1 ilsutwP !lu-.-|v!ti lCtlt-trj t,v-uotu- A11 pusplutsApisu !K tittpl,. etk <^;u tu g;> §xlph,-si;s A !> pt !-.J!IUKS; i l | H-.ipuslit pS!"pUt-n.;.-v.,-!>C p p.ui>>,h««> ei^ AE s^tssJ^eneA C !,>per!p!>e-.s.ttk~ " -pispnphtnst l! H< l;.lv>.tb S, C !>ps.sv ph t-yiss !,ktp:.> pu-ipht n<e C G. pvssphsst ut s

«rg >CCABH s-\|K.!s,-» ssstsp K ^ H H hAhtst FsAtksphintpKklAAHlgkssrp ,< G ssAsss.!. I! K vH-itipti ,Es.-sut!t-*sss ptrlplptsp. <. H pHphet !o- AHsTp-s&!tt;tngppt,S: Hii ps.-ftpHt--rus-petph -n,sllK.lttp!ts Altrptv s/-^.!*,;, Hv. A tspushuC H !1< s»pl-; H i Alviitu enpJ;.H/ r£,tt,-S,vSs-.rsiH t..|| B phtstVsJS-t, sl •-**-,.•*.-;,! ^Hsi-AilA^shs.r r.-\H,A|H AuuKvtpt ?,-'•-.<-< --. k Iptuu A H! M ^ p h .,s.„t!-,pvh- FAH^ k**.r,t<. ^ytsh\. \ --mm*mu-i-3m^-MilfW%§ et>sFtr!Sj!5 - t!K,\..,!,|,!! .tv-t;>,*,u,,,,,.!,!,o,* rdkptu HFlH-.!i.-tt>E.\it ^ y , %.<;**>> rvtAsypvCHHC.PFiluu^AA!»!*.^^ * E.-g!> n! < 11H t.; H h t h\VHG 11 >% !«*. , .* A r«\us5>p.nsot p o ,\,;! ss, h,,H ,H.\ 1t vsts it- sc v ,* , <? stsmattpsl! «!!,! ,.-t„f. t>s»tphs&!- H H ,!t*|«' *-».-,.- s , I tposHaA L>1 H * ,s-,s H,» sh---,-,,|tN\>,>-!'\, S* >ishg-shv. s c ttv h h.t, -*-, i u s 1 \ -' \ ,„, IIKiMH ts^sHv-tVW,. A---:;tA ! I r-1, T*. *- %1 -, l«Chf,T!|U,>l!;tor,s.;H4ltH,Ss!;U,,,u,A 5\s, , ; -;--

,~IF

JOt> X I I I 1 ^f. angulo H B M eftxqualis: crunt igitur & LHM.HBMatqualesj&eftduorumtri-' angulomm BAH, H A MangulusBAMC

, communis: critigitur&reliquus A H B reliquo HMA arqualis. Triangula igituf AHB,HAMfunt2quiangula. oQuare

P tr*f-*>*' e f t )Vt B A a d A H;i ta A H ad AM.R.c6ran-- , _ . . i - g g u l u t n e r g o f rectis A B , A M c o n t e n t u m , -

a:qualee(fquadratorcctss A H . O f t e n -fum eft autem &r3ctangulumrectarum

tpnf.u*. A B , B Maequalc cfle quadrato recriae B F ; ergo rectangulum linearum A B , B M , ' cumrcctangulol incarum ABjAMfrqug.

. •' - funtequaliaquadmototi*AB)efta:qua-» lequadratis ipfarum BF, AH;& eft ABla-tirs penragoni; F B bexagoni; A Hdeca-

Conhigitur latus pentagoni poteft& latus i exagoni,& latus decagoni eidem circu/o

infcriptorum,quod eratdemonftrandum . ERRATA.

p4gt<p.ct.ti.GF.l.pPf.taSt.i.EG,GFil.ED,D1. f.l\pr*p.*XJtxlm.A.fi*tC,&exGfi*tji.f.4t$.p lJCDMf.stJnjtgfomntttrinter/^LJit.M.p.it . infigtnttrD.EponntnrL.f.SfSiSilt.i.DO.f.yS' omfigJnttrD&Ffome M p.toi.<* fiJ.CEFf.tipJf. 4J.tndM&fitf.\+*.v.fJ.G4f.it4,v.3.l.(ln*rt% t.\P*%v.vlt.l£f.*oS.v.i'Jjap.p.*eit.infig.JiBC\ pre C poneGf.tfit.ffi i fit.infig.detB litet+Ttfed

, jtttdgnomon fitleBtrfieife mteHigetyleeil f**fr Ue*^dOir^M^Xfmepd4'^iop,hi/^.dtttT imeatiH. .

· -—-wmwmmmmKm ^AD LECTOllEit in> JTV i ix. § ^ CANDIDO LE-G T O R L (^%s " *

Documents

Transcript of · -—-wmwmmmmKm ^AD LECTOllEit in> JTV i ix. § ^ CANDIDO LE-G T O R L (^%s " *