MQ41

Compte-rendu du TP n°2 :Etude du flambage d’une

poutre

Composition du groupe de travail:

-Charles-Henri DESPICHT-Cédric Laplanche-Alexis BOUCHARD

MQ41 Tp n°2 : Etude du flambage d’une poutre

Objectif du tp :Ce tp à pour but de déterminer expérimentalement, les charges critiques d’Euler

pour différentes conditions de flambement.

Introduction :Sous l’action de forces opposées, suffisamment grandes, parallèle à son axe, une

poutre AB, s’incurve et peut prendre une flèche dangereuse. Ce phénomène apparaît lorsque la charge appliqué à la poutre (P) atteint une charge critique (Pc).

On peut voir apparaître trois cas :P < Pc : La poutre étant primitivement fléchie, se redresse et la flèche tend vers 0P = Pc : La poutre est fléchie et un faible effort suffit à modifier flècheP > Pc : La flèche augmente et ne reste pas stable ce qui peut conduire à une rupture de la poutre.

On étudie la théorie du flambement pour des poutres sollicitées de 3 manières différentes :Poutre articulée à ses deux extrémités.Poutre articulée à l’une de ses extrémités et encastré de l’autre.Poutre encastrée aux deux extrémités.

Etude préliminaire :

Cas parfait :

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Torseur intérieur :Mf = -P.yT= 0N = -P

Equation différentiel de la déformé :Mf = -P.y

On pose . Ainsi on obtien comme solution de l’équadiff :

: Cas de la compression pure (éliminé)

MQ41 Tp n°2 : Etude du flambage d’une poutre

Condition aux limites :

En A : x=0 et y=0 d’où A=0En B : x=l et y=0 d’où

Pour éviter le cas de la compression pure on prend Ainsi on a :

A l’ordre 1 on a : k=1 d’où et P=Pc

Ainsi , Où Pc est la charge critique d’Euler

Cas générale :

Dans la réalité, la charge n’est jamais bien centrée et les poutres ne sont jamais parfaitement rectilignes.

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Désormais on a :Mf= -P.(y+y0)

On obtient donc :

On admet que (avant déformation)

Avec a= Flèche maximale à l’état initiale.On obtient ainsi la solution suivante :

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Conditions aux limites :

Au point A : x=0 et y=0 d’où A=0Au point B : x=l et y=0 d’où b=0

Ainsi on obtient :

Connaissant la flèche initiale on aura donc la flèche finale :

Les différent cas de flambage étudiés :La charge critique d’Euler est exprimée de la façon suivante :

Poutre articulée aux deux extrémités :

Poutre articulée d’un coté et encastré de l’autre :

Poutre encastrée aux deux extrémités :

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Application numérique :

L=700mm ; E= 210 000 Mpa ; =45mm4 Pc1= 190NPc2=180NPc3=760N

Pour on a :

avec et

D’où :

On obtient donc l’équation de la droite de Southwell :

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Matériel de mesure :

L’appareillage proposé est conçu pour l’étude des charges critiques de flambement des poutres droites en fonction de leurs élancements et des conditions limites. Le montage expérimental permet l’étude des poutres de longueur comprises entre 400mm et 800mm. Les poutres sont de section rectangulaire et se déforment dans leur plan moyen.

Les conditions aux limites sont assurées par des blocs de liaison démontable qui permettent d’avoir les configurations demandé dans l’étude.

La charge est appliqué à la poutre par l’intermédiaire d’une poutre mise en charge et d’un dynamomètre. La poutre de mise en charge est montée sur une articulation dont la position peut être réglée pour maintenir la poutre horizontale afin que la direction de la charge appliquée reste verticale durant la manipulation.

Une charge latérale très faible est appliquée à la poutre pour imposer le sens de la flèche latérale mesurée à l’aide d’un comparateur.

Schéma de l’appareil :

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Travail demandé :

Coefficient d’amplification d de la charge P tel queF= d.P

D’où d=3

2.a. Tracer des courbes y=f(P) :- Configuration de la poutre :

- Résultats :

Essaie 1Poutre avec deux articulationsF (N) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44P(N) 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132Y(mm) 0 1 29 58 95 130 182 248 332 451 638 890

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E= 2,1.105 MPal= 700mmb= 20mmh= 3mm

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f(x) = 0.0171506734 x³ − 0.54022366522 x² + 10.8312890813 x − 17.7619047619

Y(P) avec deux articulations et L=700

Series2Polynomial (Series2)

F (N)

Y (m

m)

Essaie 2

Poutre avec un encatrementet une articulationF (N) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 96

P(N) 0 30 60 9012

0 150 180 21024

0 270 288

Y(mm) 0 12 38 6710

9 159 231 32347

9 646 905

0 50 100 150 200 250 300 3500

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f(x) = 0.0000649229844458 x³ − 0.014058782725496 x² + 1.70978151691235 x − 14.5444361911593

Y(P) avec un encastrement et une articulation et L=700

Series2Polynomial (Series2)

P (N)

Y (m

m)

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Essaie 3

Poutre avec deux encastrements,  

F (N) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200220 224

P(N) 0 60120 180 240 300 360 420 480 540 600

660 672

Y(mm) 0 2 15 32 53 76 115 173 263 381 580834 1032

0 50 100 150 200 2500

200

400

600

800

1000

1200

f(x) = 0.000211705095731 x³ − 0.040306740930942 x² + 2.77014524089137 x − 22.8870280349906

Y(P) avec deux encastrements et L=700

Series2

Polynomial (Series2)

F (N)

Y (m

m)

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2.b : Détermination expérimentale de Pc :

Pc1,Pc2 et Pc3 correspondent respectivement aux triple de la valeur de F(N) ou à la valeur de P(N) quand Y tend vers l’infinie pour les trois essaies :

Ainsi on trouve :- Pc exp 1= 3 x 46= 138N- Pc exp 2= 300N- Pc exp 3= 3 x 230= 690N

2.c : Détermination de Pc avec la droite de Southwell pour a=1

On pose et d’où avec correspondant à la pente de la courbe.On obtient ainsi un Pc pour chaque y et il en découle les Pcmoy suivants :

Pc moy 1= 173.14NPc moy 2= 379.21NPc moy 3= 752.45N

2.d : Détermination des a:

On a l’équation suivantes : AN :

; ;

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2.e : Confrontation des résultats :

Pc1 Pc2 Pc3Résultats graphique 138N 300N 690NRésultats avec la théorie d'Euler 173,14N 379,21N 752,45NRésultats théoriques 190N 380N 760N

Remarque :

On constate avec ce tableau que les résultats graphique ne sont pas précis et admettent un coefficient d’erreur important. En revanche Les résultats obtenue graphiquement mais à l’aide de la théorie d’Euler sont relativement proche de la réalité théorique.

3 : Influence de la longueur de la poutre :

3.a :L configuration choisit est la suivante :L1=700mm a=1, (Poutre avec deux articulations)L2=400mm

Tracer des courbes :- Pour L1 voir travail effectué précédemment- Pour L2 :

F(N) 0 15 30 45 60 74 90104 120

134

150

165 180

P(N) 0 45 90135

180

222

270

312 360

402

450

495 540

Y(N) 0 3 10 19 30 43 59 79 110159

244

428

1117

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0 45 90 135 180 222 270 312 360 402 450 495 5400

200

400

600

800

1000

1200

f(x) = 0.0189951 x⁶ − 0.697144 x⁵ + 9.94631 x⁴ − 69.0925 x³ + 240.927 x² − 379.039 x + 201.154

Series1Polynomial (Series1)

Comparaison des résultats :

On observe qu’avec une longueur de poutre de 400mm on a un Pc significativement plus élevé qu’avec une poutre de 700mm.

4. Conclusion :

Ce tp à permit deux montrer les deux choses suivantes. Premièrement la technique d’Euler permet de déterminer d’une manière assez précise une charge critique à partir de résultats obtenus expérimentalement.

Ensuite, ce tp montre une chose assez importante en Rdm qui est l’influence de la longueur d’une poutre sur le phénomène de flambage. En effet on à pu constater que plus la poutre est petite, plus celle admettra une charge critique élevée, ce qui semble logique intuitivement.

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