( Traité d'électricité - Théorie et Traitement des Signaux )

Cet ouvrage fait partie d'une srie de vingt-deux volumes dont les titres sont les suivants:

1 INTRODUCTION A L'LECTROTECHNIQUE Il MATRIAUX DE L'LECTROTECHNIQUE

III LECTROMAGNTISME IV THORIE DES RSEAUX DE KIRCHHOFF

V ANALYSE ET SYNTHSE DES SYSTMES LOGIQUES VI THORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

VII DISPOSITIFS A SEMICONDUCTEUR VIII LECTRONIQUE

IX LECTROMCANIQUE X MACHINES LECTRIQUES

XI MACHINES SQUENTIELLES XII NERGIE LECTRIQUE XIII HYPERFRQUENCES

XIV CALCULATRICES XV LECTRONIQUE DE PUISSANCE

XVI LECTRONIQUE DE RGLAGE ET DE COMMANDE XVII SYSTMES DE MESURE

XVIII SYSTMES DE TLCOMMUNICATIONS XIX FILTRES LECTRIQUES

XX TRAITEMENT NUMRIQUE DES SIGNAUX XXI LECTROACOUSTIQUE

XXII HAUTE TENSION

Le Trait d'ElectriCt est une publication des Presses polytechniques et universitaires romandes, fondation

scientifique dont le but est la diffusion des travaux de l'Ecole polytechnique fdrale de Lausanne.

Le catalogue de ces publications peut tre obtenu aux Presses polytechniques et universitaires romandes,

CH-1015 Lausanne.

Troisime dition revue et corrige ISBN {srie}: 2-604-00002-4

ISBN (ce volume): 2-88074-319-2 1996 Presses polytechniques et universitaires romandes

CH-1 015 Lausanne Imprim en Suisse par Corbaz SA. Montreux

INTRODUCTION

Gnralits Elaboration, dtection, interprtation de signaux porteurs d'informations sont les

principaux objectifs du traitement des signaux. Cette discipline s'appuie essentielle-ment sur l'lectronique et l'informatique. Elle trouve son champ d'application dans tOtiS les domaines concerns par la perception, la transmission et l'exploitation d'infor-mations. Ce vaste champ s'tend des tlcommunications l'instrumentation scientifi-que, de l'automatisation industrielle au gnie biomdical, en passant par le traitement d'images, la reconnaissance de formes, la robotique, l'intelligence artificielle ...

L'outil d'analyse et de synthse de systmes de traitement est la thorie du signal. C'est un ensemble de concepts et de modles mathmatiques inspirs de l'analyse fonc-tionnelle, de l'algbre linaire et du calcul des probabilits.

Son point de dpart est le dveloppement orthogonal des fonctions, dont le cas particulier le plus intressant est le modle de Fourier. 11 conduit aux concepts fconds de dualit temps-frquence et de spectre frquentiel qui s'appliquent aussi bien l'tu-de des signaux dterministes que des signaux alatoires, continus ou chnntillonns, moyennant l'introduction de la notion de corrlation et de modles statistiques appro-pris. Les concepts de signal analytique et d'enveloppe complexe gnralisent celui de phase ur, introduit en lectrotechnique. Ils facilitent la reprsentation des signaux bande troite et favorlsent le dveloppement d'une thorie de la modulation.

Le modle ut.lis en traitement des signaux est celui des schma-fonctionnels: assemblages symboliques de blocs fonctionnels ralsant une tche lmentaire. Les modles de ces blocs fonctionnels sont tablis en comparant leurs signaux d'entre et de sortie. Il en rsulte un riche inventaire de proprits et de relations qui, combines, permettent de dcrire ou de prdire le fonctionnement de systmes complexes. La re-cherche et l'valuation des performances de procdures efficaces de conversion, de d-tection, de mesure, etc., de signaux s'en trouve facilite.

Le but de cet ouvrage est d'apporter l'ingnieur. ou tout autre scientifique concern, les bases thoriques fondamentales ncessaires la comprhension ou l'uti-lisntion de cette discipline.

Place du volume VI dans le Trait d'Electricit La thorie du signal fait aujourd'hui partie du bagage culturel de tout ingnieur

lectricjen de niveau universitaire. Elle intervient dans l'laboration du cahier des char-ges et dans l'valuation des performances de nombreuses installations techniques. Elle est en cela complmentaire de l'lectromagntisme (vol. III) et de ln thorie des cir cuits (vol. IV).

vi THrtOlUE ET TRAITEMENT UES SIGNAUX

Le traitement des signaux est troitement associ l'lectronique analogique ou numrique (vol. VIII et XIV), aux mesures (vol. XVII), aux tlcommunications (voL XVlll), l'lectroacoustique (vol. XXI). etc. Il apporte il ces domaines ses mthodes et ses modles de schmafonctionnels. La position du volume VI est donc centrale au sein des disciplines intressant l'ingnieur lectricien: la frontire entre les tudes thoriques et les applications pratiques.

L'aspect plus particulier du traitement numrique des signaux fait l'objet, vu son importance actuelle, d'un ouvrage spcifique (vol. XX).

Organisation de l'ouvrage Ce livre est compos dp deux parties. L'ensemble des chapitres 1 7, complt

par les chapitres annexes 14 ct 15, forme la base d'une introduction gnrale la tl1o-rie du signal. Les chapitres 8 13 sont, eux, consacrs il la modlisa tion des principales oprations fondamentales de traitement des signaux.

L'ouvrage dbute par une introduction gnrale sur la nature des signaux et l'-volution des procds de traitement, suivie d'une classification des signaux. Les repr-sentations mathmatiques des signaux dterministes et, en particulier, leur reprsenta-tion spectrale, sont introduites aux chapitres 3 et 4. Les modles de signaux alatoires sont reprsents au chapitre 5 et complts au chapitre 6 par l'tude du bruit de fond. Les concepts de signal analytique et d'enveloppe complexe sont dvelopps au chapi tre 7.

Le chapitre 8 prsente un essai d'tude systmatique des principaux oprateurs fonctionnels rencontrs en traitement des signaux. Les chapitres 9 et 10 sont consacrs l'tude des conditions d'chantillonnage et de reprsentation numrique.

Une thorie de la modulation faisant appel au modle de l'enveloppe complexe est esquisse au chapitre 11. Les principes de l'analyse spectrale exprimentale sont dcrits au chapitre 12. Enfin, thme central en traitement des signaux, les mthodes de dtection ct d'estimation sont abordes au chapitre 13.

L'ouvrage est complt par deux annexes, dont l'une (chap. 14) est consacre un rappel de thorie des probabilits et J'autre (chap. 15) contient un ensernble de ta-bles de rfrences.

Objectifs pdagogiques La matire runie dans cet ouvrage convient un enseignement d'environ 80

li 100 heures, rparti de prfrence sur une anne. Moyennant une certaine slection des sujets abords, cette matire peut tre traite dans un temps plus rduit, si l'on se borne un objectif de formation de base et non d'approfondissement.

De nombreux exemples et exercices son t proposs pour faciliter une tude indivi-duelle.

La relation entre les concqpts abstraits de la thorie du signal et les potentialits pratiques du traitement des signaux ne peut toutefois tre perue que moyennant des travaux pratiques additionnels: laboratoires ou projets.

Conventions Le Trait d'Electricit est compos de volumes (vol.) reprs par un chiffre ro-

main (vol. V). Chaque volume est partag en chapitres (chap.) reprs par un nombre arabe (chap. 2). Chaque chapitre est divis en sections (sect.) repres par deux nom-bres arabes spars par un point (sect. 2.3). Chaque section est divise en pan:lgraphes () reprs par trois nombres arabes spars par deux points ( 2.3.11 ). Les rfren-ces internes stipulent le volume1 le chapitre. la section ou Je paragraphe du Trait auquel on renvoie. Dans le cas de la rfrence une partie du mme volume, on omet le num-ro de celui-ci.

Les rfrences bibliographiques sont numrotes contnlment par volume et re-pres par un seul nombre arabe entre crochets [33].

Un terme appara]t en italique maigre la premire fois qu'il est dfini dans le texte. Un passage important est mis en vidence lorsqu'il est compos en italique gras.

Un pamgraphe dlicat ou compliqu est marqu par le signe !fil prcdant son rep-re nLlmriquc~ dans les exercices. cc mme signe peut galement annoncer des calculs longs et fastidieux. Un paragraphe qui n'est pas indispensable la comprhension de ce qui suit est marqu par le signe 0 prcdant son repre numrique.

Les quations hors texte sont numrotes continment par chapitre et repres par deux nombres arabes placs entre parenthses et spars par un point (3.14): une quation est mise en vidence par son numro imprim en caractre gras. Les figures et tableaux sont numrots continment par chapitre et reprs par deux nombres ara-bes prcds de Fig. (Fig. 4.12) ou Tableau (Tableau 4.13).

TABLE DES MATIRES

INTRODUCTION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

CHAPITRE 1 SIGNAL ET INFORMATION 1.1 Thorie du signal et de l'information. . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Traitement des signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Notations particulires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 .4 Exercices................................ 25

CHAPITRE 2 CLASSIFICATION ET MODLES DES SIGNAUX 2.1 Signaux physiquement ralisables et modles

thoriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Signaux dterministes ou alatoires. . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Signaux nergie ou puissance moyenne finie. . . . . . . . 33 2.4 Variables continues et discrtes. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Autres classes importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Exercices................................ 40

CHAPITRE 3 REPRSENTATION VECTORIELLE DES SIGNAUX 3.1 Espace de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Approximation au sens des moindres carrs . . . . . . . . . 49 3.3 Dveloppement en srie de fonctions orthogonales. . . . . 52 3.4 Principaux ensembles de fonctions orthogonales. . . . . . 57 3.5 Exercices................................ 66

CHAPITRE 4 SIGNAUX DTERMINISTES 4.1 Rappel sur ]a transformation intgrale de Fourier 69 4.2 Signaux nergie finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Signaux puissance finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 Cas particulier des signaux priodiques . . . . . . . . . . . . 94 4.5 Reprsentations spectrales bilatrales et unilatrales. . .. 105 4.6 Exercices................................ 107

CHAPITRE 5 SIGNAUX ALATOIRES 5.1 Modle statistique: processus alatoire. . . . . . . . . . . .. 1 l l 5.2 Fonctions d'autocorrlation et d'autocovariance . . . . .. 125 5.3 Densit spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . .. ] 33

x

CHAPITRE 6

CHAPITRE 7

CHAPITRE 8

Tll(,OIUE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

5.4 Fonctions dntercorrlalion ct densits spectrales mutuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144

5.5 Somme de signaux alatoires. . . . . . . .. ......... 147 5.6 Produitdesignluxalatoires ................... 151 5.7 Processus gaussiens ............ . 153 5.8 Processus de Poisson . . . . . . . . . . .. ........... 159 5.9 Processus de Markov . . . . . . . . .. .... . . . . . . .. 162 5.10 Signaux pseudo-alatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163 5.11 Exercices ................................ 166

BRUIT DE FOND 6.1 Sources de bruit 6.2 Bruit thermique ................ , . , ...... . 6.3 Brut de grenaille ..................... , , ... . 6,4 Bruit additionnel de basse frquence (en l/f) . ...... . 6.5 Autres sources de bruit ...................... . 6.6 Facteur de bruit d'un systme linare ..... , ...... . 6.7 Gnrateurs de bruit ....................... . 6.8 Exercices ............................... .

SIGNAL ANALYTIQUE ET ENVELOPPE COMPLEXE 7.1 Transforme de Hilbert d'un signal .............. . 7.2 Principales proprits ....................... . 7.3 Enveloppe relle et phase d'un signal ............. . 7.4 Enveloppe complexe et reprsentation des signaux

spectre passe-bande ....................... . 7.5 Largeur de bande et dure des signaux ............ .

171 173 179 183 184 185 190 191

]93 196 :200

208 218

7.6 Exercices................................ :2:25

OPRATEURS FONCTIONNELS 8.1 fvlodlisation des systmes de traitement 8.2 Oprateurs linares invariants ................ . 8.3 Opmteurs paramtriques. . . . . . . .. . ...... , .. . 8.4 Oprateurs non linaires invariants .............. . 8.5 Exercices ............................... .

227 230 249 255 268

CHAPITRE 9 CHANTILLONNAGE DES SIGNAUX 9.1 Introduction .................. ,........... 273 9.2 Modles de signaux chantillonns. . . . . . . . . . . . . .. 275 9.3 Thormes d'chantillonnage et consquences. . . . . . .. 281 9.4 Reconstitution par interpolation ou extrapolation. . . .. 292 9.5 Exercices................................ 301

CHAPITRE 10 NUMRISATION DES SIGNAUX 10.1 Conversion analogique-numrique et numrique-

analogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 307 10.2 Cadences lmites de conversion AIN . . . . . . . . . . . . .. 310

TABLE [lES r.IATIRES xi

] 0.3 Quan tification . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314 10.4 Codage binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324 10.5 Acquisition de donnes .......... , . . . . . . . . . . .. 327 10.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 332

CHAPITRE 11 MODULATION ET CHANGEMENT DE FRQUENCE Il.] Principes gnraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 333 Il.2 Modulations linaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336 11.3 Modulations angulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 349 Il.4 Modulations d'impulsions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 362 11.5 Changement et multiplication de frquence . . . . . . . .. 365 Il.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 367

CHAPITRE 12 ANALYSE SPECTRALE EXPRIMENTALE 12.1 Principes gnraux ........ , . . . . . . . . . . . . . . . .. 371 12.2 Analyseurs de spectre multicanaux . . . . . . . . . . . . . .. 387 12.3 Analyseurs de spectre balayage . . . . . . . . . . . . . . .. 392 ] 2.4 Exemples d'application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 397 12.5 Exercices..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 408

CHAPITRE 13 DTECTION ET ESTIMATION 13.1 Estimation de paramtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 409 13.2 Comparaison de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430 13.3 Elments de thorie de la dcision . . . . . . . . . . . . . .. 441 13.4 Dtection de signaux de formes connues. . . . . . . . . .. 453 13.5 Exercices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 460

CHAPITRE 14 RSUM DE TIIORIE DES PROBABILITS 14.1 Dfinitions fondamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 465 14.2 Variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 466 14.3 Moyennes statistiques et moments. . . . . . . . . . . . . .. 474 14.4 Principales distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 478

CHAPITRE 15 FORMULAIRE ET TABLES DE RFRENCES 15.1 Formulaire............................... 487 15.2 Principales identits trigonomtriques ............ , 492 ] 5.3 Proprits principales de la transformation de Fourier

et relations associes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 493 15.4 Table illustre de transformes de Fourier. . . . . . . . .. 497 15.5 Description temporelle, spectrale et statistique de

signaux typiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 500 15.6 Reprsentation et tabulation des fonctions sine (Cl!) et

sine 2 (Cl!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 501 15.7 Fonctions de Bessel de premire espce. . . . . . . . . . .. 502 15.8 Loi normale (Gauss). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 504 15.9 Fonction de Marcum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 508

xii THORIE ET TItAITEMENT DES SIGNAUX

SOLUTIONS DES EXERCICES .. , . . . . . . . . . . . . . . . . .. 511

BIBLIOGRAPHIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 515

INDEX ANALYTIQUE ...... , .. . ....... ,....... 533

GLOSSAIRE .......... , ..... , . . . . . . . . . .. .... 543

CHAPITRE 1

SIGNAL ET INFORMATION

1.1 THORIE DU SIGNAL ET DE L'INFORMATION

1.1.1 Place de la thorie et du traitement des signaux dans le domaine de l'lectricit et de ]a science en gnral Les applications de l'lectricit sont gnralement regroupes en deux domaines

principaux, d'ailleurs largement interdpendants:

les techniques de l'nergie; les teclmiques de l'information.

La thorie et le traitement des sgnalLx est une discipline appartenant au deuxi-me domaine, auquel eUe apporte la fois des bases thoriques fondamentales et des teclmiques particulires.

Son influence dborde toutefois aussi sur les teclmiques de l'nergie, dans la me-sure o l'on y rencontre de nombreux phnomnes (fluctuations de charge d'un rseau lectrique, vibrations d'une machine tournante, variations transitoires du courant d'ex-citation d'un moteur lectrique, perturbations lectromagntiques, etc.) qui peuvent tre tudis avec les mmes outils thoriques ou exprimentaux que ceux utiliss pour les signaux informationnels.

En fait, la thorie et le traitement des signaux intresse tous les secteurs techni-ques et scientifiques dans lesquels l'information est perue par l'intenndiaire d'obser-vations exprimentales de grandeurs mesurables.

Ces deux termes-cIefs : perception et traitement, indiquent pourquoi cette disci-pline s'est avant tout dveloppe en relation avec les applications de l'lectricit et plus particulirement celles de la mtrologie, responsable de la perception, des tlcom-munications et de l'informatique, chargs du traitement.

La mtrologie (vol. XVII) fournit les capteurs qui traduisent pratiquement n'im-porte quel phnomne physique en une grandeur lectrique facilement amplifie, fil-tre, conditionne, code, etc., par des dispositifs lectroniques appropris (vol. VIII). Les circuits de tlcommunications (vol. XVIII) acheminent le signal lectrique ainsi cr vers son destinataire. L'informatique (vol. XIV), grce son nonne puissance de calcul, permet d'effectuer des tches complexes de manipulations et d'interprtation de l'information vhicule par le signal (traitement numrique: vol. XX).

L'universalit de la thorie et du traitement des signaux est atteste par la diver-sit des secteurs d'application: industriels, scientifiques, biomdicaux, militaires, spa-tiaux, etc.

2 THORIE ET TltAITEMENT DES SIGNAUX

1.1.2 Aperu historique [1] Le mot sigllal vient de signe - signum en latin - qui dnote un objet, une marque,

un lment de langage, un symbole convenu pour servir de vecteur une information l'usage des signes remonte la prhistoire.

Ce n'est qu'au XIXe sicle qu'apparat l'exploitation des signaux lectriques avec l'invention du tlgraphe lectrique (Morse, Cooke, Wheatstone, 1830~1840). Cette invention est rapidement suivie par celle du tlphone (Bell, 1876), puis par la ralisation des premires liaisons radio (Popov, Marconi, 1895-1896). L'mergence de l'lectronique, au dbut du XXe sicle (Fleming, Lee de Forest, 1904-1907) permet enfin la dtection et l'amplification de faibles signaux. Ce sont l les vritables prmi-ces du traitement des signaux.

Les auteurs des premires contributions l'tude mathmatique des fluctuations du courant lectrique se sont efforcs d'adapter ce cas la mthode d'analyse dvelop-pe par Fourier (1822) dans le cadre de ses travaux sur la propagation de la cha1eur. Les premiers travaux importants gnralisant cette mthode aux phnomnes et si-gnaux alatoires ont t publis l'aube des annes 1930 par Wiener et Khintc1tine [2, 3,4].

L'optimisation des moyens de tlcommunications et de radar (pendant la deu-xime guerre mondiale) fut la base du dveloppement de la thorie du signal et de l'information que nous connaissons aujourd'hui. Dans les annes 1920 dj, Nyquist et Hartley s'taient attachs quantifier la quantit d'information transmise sur une voie tlgraphique et avaient observ que la cadence maximum de transmission est proportionnelle la largeur de bande frquentielle disponible. n faut toutefois atten~ dre jusqu'en 1948-1949 pour que paraissent les travatLx fondamentaux de Shannon [5,6] sur la thorie mathmatique de la communication et de Wiener [7, 8] sur la cy~ bemtique (communication et rglage) et le traitement optimal des signaux ou des donnes affects par du bruit. L'lment novateur est ici la prise en compte de l'as-pect statistique des phnomnes tudis.

D'autres chercheurs ont contribu au dveloppement initial de cette thorie. Citons particulirement : Kpfmller [9]. Gabor [10], Wood ward [11 ], Kolmogorov [12], Kotelnikov [13], Riee [14], Goldman [15], Lawson et U1enbeck [16], Ville [17], Blanc-Lapierre et Fortet [18], Brillouin (19] .

Les annes cinquante ont constitu une priode de maturation, suivie rapidement par la publication de nombreux ouvrages vocation essentiellement didactique [20 42}. Simultanment, l'invention du transistor, en 1948, suivie environ dix ans plus tard par la mise au point de la technologie des circuits intgrs, allait permettre la ralisation de systmes de traitement complexes et la diversification des champs d'application.

Aujourd'hui, le traitement des signaux est une discipline autonome, qui intresse de multiples domaines ( 1.2.1) s'tendant jusqu' la reconnaissance des formes, la robotique et l'intelligence artificielle. Elle est complmentaire de l'lectronique et de l'informatique, qui lui fournissent ses moyens.

Une bonne introduction aux concepts modernes d'analyse et de traitement des signaux a t publie par Lynn [43]. Il prend largement en compte la tendance actuel-le qui privilgie les mthodes numriques [44-48]. L'volution technologique, qui permet la ralisation de processeurs spcialiss et de cot modr, assure ce domaine un avenir prometteur.


1.1.3 Dfinition du signal Un signal est la reprsentation physique de l'information, qu'il convoie de sa

source son destinataire.

3

Bien que les signaux soient considrs ici comme des grandeurs lectriques (gn-ralement courants ou tensions), la thorie prsente dans les chapitres suivants reste valable - sous rserve d'adaptation adquate des units - pour tout type de signal, quelle que soit sa nature physique.

1.1.4 Dfinition du bruit On appelle bmt (en anglais: noise) tout phnomne perturbateur (interfrence,

bruit de fond, etc.) gnant la perception ou l'interprtation d'un signa], ceci par ana1o-gie avec les nuissances acoustiques du mme nom.

1.1.5 Dfinition du rapport signal sur bruit Le rapport signal sur b11lit est une mesure du degr de contamination du signal

par du brut. Il s'exprime sous la forme du rapport ~ des.puissances respectives du si-gnal Ps et du bruit Pu

~ == Px/Pu (1.1) n est souvent indiqu selon une chelle logarithmique mesure cn dcibels

~dB = 10 log 10 ~ dB (1.2)

1.1.6 Dichotomie signal-bruit La dichotomie apparente entre signal et bruit est artificielle et dpend des crit-

res propres de l'utilisateur. Certains phnomnes lectromagntiques d'origine galacti-que capts par des antennes sont considrs comme du bruit par les ingnieurs des tl-communications et comme un signa1 du plus haut intrt par les radioastronomes!

Ce qui diffrencie le signal du bruit est donc avant tout l'intrt de l'observateur. Un signal perturb reste un signal et les mmes modles s'appliquent la description du signal utile et celle des perturbations. La thorie du signal englobe donc celle du bruit.

1.1.7 Thorie du signal: dfinitions et objectifs La description mathmatique des signaux est l'objectif fondamental de la tho-

rie du signal [49, 50]. Complmentaire de la thorie des circuits (vol. IV) et de celle de la propagation

des ondes lectromagntiques (vol. III), la thorie du signal fournit les moyens de mise en vidence, sous une forme mathmatique commode, des principales caractristiques d'un signal: la distribution spectra1e de son nergie ou la distribution statistique de son amplitude, par exemple. Elle offre galement les moyens d'analyser la nature des altrations ou modifications subies par les signaux lors de leur passage au travers de blocs fonctionnels (chap. 8), dispositifs gnralement lectriques ou lectroniques. Par l-mme, elle fournit les renseignements essentiels ncessaires la conception (cahjer

4 THORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

des charges) ou l'utilisation (mode d'emploi) de ces dispositifs. C'est ainsi que l'on peut tablir les rgles respecter pour passer d'un signal analogique un signal num-rique (chap. 9 et 10). Elle permet aussi de dterminer et de tenir compte des limites de fonctionnement imposes par la prsence de perturbations alatoires telles que le brut de fond (chap. 6).

Son outil de base est le dveloppement en srie de fonctions orthogonales (sect. 3.3) dont le cas particulier le plus intressant est celui de Fourier ( 3.4.7). Sa forme la plus gnrale (chap. IV.7.3) est connue sous le nom de transfornze de Fourier [22], dont les principales proprits sont rappeles au chapitre 4. Avec les notations usuel-les en traitement des signaux ( 4.1.3), la transforme de Fourier d'un signal temporel x(t) est une fonction de la frquence f dfmie par la relation intgrale

""

X(f) f x(t) exp ( - j 11Tft) dt (1.3) -~""

Elle introduit le principe fcond de dualit entre l'espace temps et l'espace frquence. Ceci conduit la notion de spectre: rpartition d'une grandeur caractristique d'un signal (amplitude, nergie, puissance) en fonction de la frquence. La technique de l'analyse spectrale (chap. 12) en est l'application pratique directe.

Applicable galement l'tude des signaux alatoires (chap. 5), grce au dvelop-pement de modles statistiques appropris, ce concept d'une extrme richesse permet d'aborder un niveau d'abstraction lev l'tude de procdures complexes de traite-ment des signaux.

L'introduction des modles de signal analytiques et d'enveloppe complexe (chap. 7) facilite la reprsentation des signaux bande troite et favorise le dveloppement

Analyse spectrale

1 1 1 1

1

1

1

1 1

1 1 1

Dtection et estimation 1 1

1 1 ____ 1 ___ ,[ 1 Reconnaissance des formes 1 1 1 1 L- ________ --I 1

Codage de voie (dlectioll Cl correction de, erreuu)

Cryptographie (commllllicati()n~ confientielles)

Aspects abords dans cet ouvr:lge _ .. __ -1..1-_ .... Non trait dans cet ouvrage

Fig. 1.1


d'une thorie de la modulation (chap. 11). La thorie de la dtection (chap. 13) puie, elle, sur les apports de la thorie statistique de la dcision et de l'estimation. Elle trouve un prolongement naturel en reconnaissance des formes (fig. 1.1 ).

1.1.8 Thorie de l'information et du codage. Dfinitions

5

L'information est associe au processus de communication: transfert d'un mes-sage de sa source sa destination.

La t/lorie de l'information (ou de la communication [5]) est une thorie stochas-tique des messages, c'estdire qu'elle prend en considration leurs proprits statisti ques. Elle fournit un ensemble de concepts permettant d'valuer les performances de systmes de transfert d'informations, en particulier lorsque le signal porteur d'un message est contamin par du bruit.

Elle conduit tout naturellement l'tude des mthodes de codage de l'informa-tion : ensemble de rgles spcifiant le mode de reprsentation du message. Les teclmi-ques de codage ont trois objectifs, apparemment contradictoires. Le premier est d'aug-menter la compacit des signaux, vecteurs d'infonnation, par limination de toute re-dondance inutile (codage de source). Le second est d'accrotre la scurit d'une trans-mission en prsence de bruit par incorporation d'une redondance, adquatement struc-ture) permettant la dtection, voire la correction, des principales erreurs (codage de voie). Le troisime) enfin, est d'assurer le secret de la communication (cryptographie).

Ces notions sont troitement lies la thorie du signal, mais sortent du cadre de ce livre. On en trouvera une prsentation dtaille dans de nombreux ouvrages: par exemple [5] -54].

1.1.9 Importance des modles et mthodes statistiques Par nature, l'information a un caractre alatoire: seul ce qui est imprvisible

est porteur de messages. Les signaux vecteurs d'information sont donc naturellement aussi de type alatoire. Mis part certaines formes d'interfrences d'origine industriel-le (influence du rseau de distribution d'nergie lectrique, etc.), les bruits doivent aussi tre considrs comme des phnomnes alatoires.

Il n'est donc pas tonnant que la thorie du signal et les mthodes de traitement des signaux fassent largement appel des concepts statistiques (calcul des probabilits, processus alatoires, etc.).

1.1.10 Modles et mesures de signaux: fonctions et fonctionnelles En analyse, une fonction est dfmie comme une rgle de correspondance (appli-

cation) entre deux ensembles de nombres rels ou complexes. Le modle mathmatique d'un signal est une fonction de une, parfois deux,

voire trois variables: set), i(x~v), iC'\:J',t). La figure 1.2 en donne des illustrations. Le premier cas est le plus courant: la variable t est usuellement le temps (mais

elle peut aussi reprsenter une autre grandeur: une distance, par exemple). La fonc-tion reprsente l'volution d'une grandeur lectrique ou traduite sous cette forme par un capteur appropri (microphone: signal acoustique, camra de tlvision: signal vido, acclromtre: signal de vibrations, etc. ).

6

o

THORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

signal microphoniq uc sI (t)

signal vido composite 52 (t) balayage d'une ligne

. .

100 % - - - - - - - -

30% -

o

image i(x, y)

o ~ 64 115 impulsions de synchronisation de ligne

signal de vibrations (machine tournante) 53 (t) .

Fig. 1.2

o

1,,")', t .II ~ o

1 if>,),!, ,1 ~ o o o o o o o a a a a

SIGNAL ET INFOnMATION 7

Le deuxime cas est celui des signaux bidimensionnels. Ce sont gnralement des fonctions de coordonnes spatiales."'I: et y que l'on nomme plus couramment: images.

Le dernier cas) enfin, correspond par exemple une succession d'images de tl-vision ou de cinma o le temps rapparat comme troisime variable.

Les signaux d'entre et de sortie d'un systme (fig. 1.3) sont souvent nots, par convention, x(t) et y(t), respectivement. Par exemple, y(t) = x\t) dsigne la sortie d'un dispositif non linaire quadrateur dont la caractristique est dfinie par y =x 2

:c(t)

1 )' Ct) systme .. Fig. 1.3

On appelle fonctionnelle une rgle de correspondance entre un ensemble de fonc~ tions et un ensemble de nombres rels ou complexes. En d'autres termes, une fonction-nelle est une fonction de fonctions. Les signaux rsultant d'un traitement ou certains de leurs paramtres sont souvent exprims par des relations fonctionnelles. Par exemple:

valeur intgrale pondre [fonction de pondration g(t) : voir figure lA ] "'"

fI (x) J x(t) g(t) dt DO

valeur intgrale quadratique pondre

12 (x) = J x 2(t)g(t)dt -DO

\!II) produit de convolution (fig. 1.5) cc

y(t) x(t)*g(t) = J x(r)g(t T)dr -"'"

.. produit scalaire (valu sur l'intervalJe T)

= fX(t)y*(t)dt T

.. valeur chantillonne QO

X( to ) = < x, oro > J :dt)5(r-'o)dt -OCl

(lA)

(l.5)

(1.6)

(1.7 )

(1.8 )

La transforme de Fourier ( 1.3) est un autre exemple de fonctionnelle. Dans le cas des signaux bidimensionnels (images), cette transforme prend la forme

=

[(u,v) = ff i(x,y) exp [ -j 27r(ux + l'y)] dxdy ( 1.9) o li et l' reprsentent des frquellces spatiales, mesures en m 1 si les variables de posi-tion x et y sont mesures en mtres.

8 THORIE ET TRAITEMENT DES SlGNAUX

x(t)

g(t)

________ -+L-____________________________ ~~ ___ __

o

x(t)g(t)

o

fI (X) :::;; vuleur intgrale = somme algbrique des surfuccs Fig. 1.4

A x (t) ou x ( T )

o

Fig. 1.5

= somme algbrique des surfaces

1 ou T

tau T

T ..

T


1.2 TRAITEMENT DES SIGNAUX

1.2.1 Dfinition La description mathmatique - ou modlisation - des signaux est le rle de la

thorie du signal, ainsi qu'on l'a relev au paragraphe 1.1.7.

9

Le traitement des signaux est la discipline tecl1Ique qui, s'appuyant sur les enseignements de la thorie du signal et de l'information, les ressources de l'lectroni-que, de l'informatique et de la physique applique, a pour objet l'laboration ou l'inter-prtation des signaux porteurs d'information. Elle trouve son champ d'application dans tous les domaines concerns par la perception, la transmission ou l'exploitation de ces informations (fig. 1.6).

RESSOURCES SCIENTIFIQUES Thoric des Electricil Algbre linaire et

processus alatoires genrale analyse ronctionnellc

~~~ THr.:ORlE DU SIGNAL ET DE L'INFORMATION

RESSOURCES TECHNOLOGIQUES Techniques lectroniques Informatique Physique applique

~~~ TRAITEMENT DES SIGNAUX

DOMAINES D'APPLICA TION

Tlcommunications Technique des mesures Elude des vibrations mcaniques Surveillance de processus industriels Reconnaissance de formes Traitement d'images Analyscs biomdicales

Fig. 1.6

Gophysique Seismologie Astronomie Radar, sonar Acoustique etc ...

Certains auteurs donnent parfois un sens plus restrictif au traitement du signai en limitant son champ d'activit aux mthodes permettant d'extraire un signal du bruit qui lui est superpos.

1.2.2 Description Les relations de l'homme avec son milieu naturel ou avec les systmes teclmi-

ques qu7il construit se caractrisent par un intense change d'informations. L'observation (mesure) de phnomnes physiques oule dialogue (communica-

tion) entre hommes, entre l'homme et la machine, ou entre les machines eUes-mmes, se font l'aide de signaux (fonctions du temps) ou d'impressions visuelles (images)


dont la nature est complexe et peut tre masque par des perturbations indsirables (bruit de fond, parasites, interfrences).

L'extraction des informations utiles incorpores ces signaux (par al1:Jlyse, fil-trage, rgnration, mesure, dtection, identification) et la prsentation des rsultats sous une forme approprie l'homme ou la machine constitue l'une des tches essen-tielles dvolues au traitement des signaux (fig. 1.7). A cel, on peut ajouter l'labora-tion des signaux permettant l'tude du comportement des systmes physiques ou ser-vant de support pour la transmission ou le stockage d'informations (synthse, modula-tion et changement de frquence, codage pour lutter contre le bruit ou rduire la redondance) .

Elaboration des :;gnaux

Incorpora 1 ion d'informations

Fig. 1.7 Principales fondions du traitement de!> signa.ux.

Imcrprtaton des signaux

Extraction d'informations

Par l'analyse, on cherche isoler les composantes essentielles d'un signal de forme complexe, afin d'en mieux comprendre la nature et les origines. Jl;Jesurer un signal, en particulier alatoire, c'est essayer d'estimer la valeur d'une grandeur caractristique qui lui est associe avec un certain degr de confiance. Le filtrage est une fonction bien connue qui consiste limier d'un signal certalnes composantes indsirables. La rgn-ratioll est une opration par laquelle on tente de redonner sa forme initiale un signal ayant subi diverses distorsions. Par une procdure de dtection, on tente d'extraire un signal utile du bruit de fond qui lui est superpos, L'identification est un procd sou-vent complmentaire qui permet d'effectuer un classement du signal observ. Les tech-niques de corrlation dont il sera fait mention plus Join sont souvent utilises cet effet.

La synthse, opration inverse de l'analyse, consiste crer un signal de forme approprie en procdant, par exemple, une combinaison de signaux lmentaires. Le codage, outre sa fonction de traduction en langage numrique, est utilis soit pour lutter contre le bruit de fond, soit pour tenter de raliser des conomies de largeur de bande

SIGNAL ET INFORMATION 11

ou de mmoire d~ordini.lteur grce une diminution de la redonance du signal ( J .1.8). La modulation et le changement de frquence sont essentiellement des moyens permet-tant d'adapter un signal aux caractristiques frquentielles d'une voie de transmission, d'un filtre d'analyse ou d'un support d'enregistrement.

1.2.3 Commentaire La notion d'information utile mentionne plus haut est troitement lie au con-

texte. Pour une communication tlphonique, elle est essentiellement associe l'in-telligibilit des messages parls changs. Dans le cas d'une observation en radio-astro-nomie, elle est reprsente par la frquence et l'amplitude de l'mission priodique d'un rayonnement lectromagntique. En gophysique, ce sont plutt les paramtres statistiques du signal peru quj sont interprtables. En technique radar Doppler,l'in-formation utile est, d'une part, la dure entre l'mission d'une impulsion sinusodale et la rception de son cho renvoy par une cible et, d'autre part, l'cart de frquence mesur entre l'onde mise et l'onde reue. On estime de cette manire la distance de l'metteur la cible et la vitesse radiale de celle-ci.

1.2,4 langage du traitement des signaux Au plus haut niveau, le langage du traitement des signaux est celui des schma-

blocs, galement familier du spcialiste du rglage automatique et de la thorie des systmes en gnral laquelle le traitement des signaux est apparent.

Un schma-bloc est un assemblage symbolique, reprsent sous forme graphique, de blocs fonctionnels, en principe indpendants, ralisant une fonction donne. L'ex-emple de la figure 1. 8 illustre le principe d'un analyseur de spectre balayage (dcrit la section 12.3).

Fig. 1.8

Le comportement thorique de chaque bloc peut tre dcrit par une ou un en-semble de relations mathmatiques. Les oprateurs fonctionnels dvelopps au chapitre 8 servent de modles aux blocs qui produjsent un signal de sortie dpendant d'une ou plusieurs excitations d'entre.

1.2.5 Exemple et dfinitions: apport de la thorie des systmes linaires On sait (chap. IV.2) que le signal de sortiey(t) d'un systme linaire causal

invariant dans le temps est donn par le produit de convolution (1.6) du signal d'en-tre x (t) et d'une fonction g(t) appele rponse impulsiomlle du systme:

y(t) = x(t) *g(t) = J x(r)g(t- r)dr (1.10)


C'est l'opration de traitement la plus fondamentale et probablement la plus familire. Elle indique, selon la figure 1.5, que la valeur du sigllal de sortie nllstant test obte-Illle par la sommatioll (intgrale == sommation contillue) pondre des l'aleurs passes [pour un systme causal, g(t) = 0 pOUf t < 0] du signal d'excitation x(t). La fonction de pondration est prcisment la rponse impulsonnelle g(t) souvent aussi note h (t) - du systme.

L'exemple le plus simple est celui o la fonction g( t) 1/ T pour 0 < t < Tet est nulle ailleurs. Le signal y (t) exprim par (1.10) correspond alors x (t ,T) , la moyenne glissante - ou courante) en anglais: running average du signal d'entre x (t), calcule sur un intervalle de dure T (fig. 1. 9)

y(t) == x(t,T) t

~ r x( r) dT T r:"T

x(r)

g(to-r)

lIT

0 to -T

T

x(r)g(to -T)

o

o

Fig. 1.9

(1.11)

T

T

fO

r


Un autre exemple simple est celui du filtrage passe-bas effectu par un circuit intgrateur RC du 1er ordre dont la rponse impulsionnelle vaut g(t) :=: (RC) 1 exp [- tl (RC)] pour f ~ 0 et zro pour t < 0 :

t

13

y(1) -= Re L x(r)exp [-(t T)j(RC)] dT (1.12) C'est une moyenne pondre des valeurs passes et prsente du signal x (t),dans

laquelle le circuit introduit un oubli progressif (une illustration en est donne la figure 1.5).

A la convolution (1.10) correspond dans le domaine frquentiel une simple multiplication de la transforme de Fourier (1.3) du signal d'entrex(t) et de celle de la rponse impulsionnelle g(t) qui n'est autre que lafonction de rponse frquen-tielle (ou isomorphe, cf. IV.2.I.12, souvent aussi dnomme fonction de trallsfert dans la littrature internationale) du systme:

Y(f) X(f) G(f) (1.13 ) De cette proprit, on dduit facilement que J'opratioll de convolution est

commufatiJ1e, associatJ'e et distributive:

x(t) * g(t) = g(t) * x(t) [xl(t) +X2(t)] *g(t) [xdt) *g(t)] + [X2(t) *g(t)] [ x (t) * g 1 (t)] * g 2 (t) x (t) * [g 1 (t) '" g 2 (t) ]

(1.14) (1.15) (1.16)

Ces relations restent applicables, moyennant adaptation d'criture, au cas des signaux et systmes bidimensionnels (traitement d'images, chap. XX.S). Ainsi la rela-tion

(1.17) o le double astrisque dnote une convolution deux dimensions, correspond la transformation d'une image il (XJI) par un systme linaire bidimensionnel de rpon-se impulsionnelle g(X1.v). En optique, cette relation exprime l'image que l'on obtient d'un objet en l'observant au travers d'un instrument (par exemple: lentille, objectif) dont le comportement est dcrit par la fonction g(x J') appele profil instrumental (rponse de l'instrument un objet ponctuel ou point lumineux).

Dans le domaine des frquences spatiales, la relation duale de (1.17) liant les transformes de Fourier bidimensionnelles, du type (1.9), respectives est

(1.18 ) o G (u ,l') est la fonction de rpollse frquen tielle blinwllsionl7elle du systme cor-respondant.

1.2.6 Influence de la technologie Lors de la conception d'un systme complexe, chaque bloc du schma d'ensem-

ble devient ul1l11odu/e qui est ralis, selon les besoins, suivant une option matrielle

14 THOIUE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

ou logicielle: lectronique analogique: Il lectronique numrique cble (logique spcialise); ., lectronique numrique programme (processeur universe1 ou il architecture

spciale); autre technologie.

L'volution de la technologie (microlectronique, mcroacoustique ou optique) favorise l'apparition de ce que l'on conviendra d'appeler des processeurs spcialiss - analogiques ou numriques - capables de traiter rupidement et conomiquement une quantit croissante d'informations. Cette tendance actuelle, attise par des besoins nouveaux, conduit un largissement constant des domaines d'application des mtho-des de traitement des signaux.

Si le traitement analogique des signaux a beaucoup bnfici du dveloppement des circuits lectroniques intgrs, c'est surtout dans Je domaine du traitement num-rique que l'volution la plus spectacu1aire a t enregistre. Simultanment, des algo-ritlunes de calcul puissants (tels que la transformation de Fourier rapide) on t vu le jour, qui tendent peu peu donner au traitement numrique une prdominance indiscutable, sauf dans le domaine des trs hautes frquences.

En plus des circuits lectroniques conventionnels, prsents dans le volume VIII et des calculatrices et systmes programmables dcrits dans le volume XIV, la physique applique met disposition du traitement des signaux d'autres outils, moins universels, mais plus performants pour certains types d'applications.

C'est le cas des circuits il transfert de charges ou capacits commutes, cons-titus par un assemblage intgr de condensateurs et d'interrupteurs lectroniques, et celui des dispositifs onde de surface (en anglais: surface acoustic wave devices ou SAW), qui exploitent la vitesse limite de propagation d'ondes lastiques il la surface de certains matriaux pizo-lectriques. Le principe de ce dernier type de dispositifs est illustr par la figure 1.] O. Ils son t utiliss principalement dans les installations radar et de tlvision.

lectrodes

solide pizo-ledriquc

Fig. 1.10 Prindpc du transducteur interdigital (lOT): les lectrodes dpo~cs sur un substrat pizo-lectrique transforment le signal en une onde lastique qui parvient avec des retards dfinis il un rseau d'lectrodes de dimensions variables ralisant une sommation pondre (convolution).

Les systmes de traitement optiques offrent l'avantage d'un mode de calcul parallle analogique qui conduit des vitesses d'excution im:omparablcs, mais une prcision et une souplesse d'emploi limites. L'opration fondamentale utilise


(fig. 1.11) est la transforme de Fourier bidimensionnelle naturellement ralise par une lentille optique travaillan t en lumire cohrente (laser). Ces tec1miques se prtent donc plus particulirement au traitement d'une infonnation reprsente sous forme d'une image ou d'un hologramme. L'informatique reste toutefois l'outil privilgi du traitement d'images.

source lumineuse cohrente

0

pour t ::/= 0 (1.19)

La valeur l'origine est en principe arbitraire, situe entre 1. Par souci de sy-mtrie, on admettra, sauf cas particulier, que cette valeur est nulle par convention.

16 THORIE ET TnAITEMENT DES SIGNAUX

sgn(t)

a --------t - 1

Fig. 1.12

1.3.3 Dfinition : saut unit La fonction saut (OU cheloll) unit peut se dfinir partir de la fonction signe

(fig. 1.13) 1 1 l 0 e(t) = -. + -sgn(t) = :2:2 1

t < 0 t > 0

( L20)

La valeur l'origine est ici arbitrairement comprise entre 0 et L On la fixe par convention K Pour certaines applications, il est prfrable de lui assigner la valeur 1.

-

Fig. 1.13

1.3.4 Dfinition: fonction rampe La fonction rampe peut se dfinir partir de la fonction saut unit (fig. 1.14)

t

rU) = J E( T) dT = t e(t) (1.21) lnversment, le saut unit peut aussi tre dfini par

e(t) = dr(t)jdt pour t '* 0 (1.22)

a Fig. 1.14

Certains auteurs [55] dfinissent une fonction rampe de croissance borne partir de l'intgrale de la fonction rectangulaire introduite au paragraphe suivant.

1.3.5 Dfinition: fonction rectangulaire La fonction rectangulaire normalise (intgrale unit), parfois aussi appele en

mathmatique fonction porte, est note et dfinie de la manire suivante (fig. 1.15)


rect (t') ~ EU' + 1 /2 ) - E(t' - 1 / n ~ l ~ 1 f '1 < 1/ '}. It'I > 1 1 ~

17

(1.23)

o le signe prime indique une J1ariable adimellsiollllelle. La valeur conventionnelle as-signe aux abscisses t' :::: \6 est Y.!..

rcct(t/)

surface unit t /

Fig. l.IS

En introduisant le changement de variable t' :::: tlT, on obtient d'une manire plus gnrale (fig. 1.16) pour une impulsion rectangulaire de dure T, d'amplitude A, centre en t :::: T :

xU) :::: Arect[(t-r)IT] (1.24 ) x(t) = A rect[(t-T)/Tj

A surface A T

o T - TI2 T T + T/2

T T L __

Fig. 1.16

1.3.6 Application Outre sa capacit de reprsenter simplement des signaux de forme rectangulaire,

la fonction rectangulaire intervient frquemment comme facteur multiplicatif pour localiser un segment de dure T d'un signal quelconque (fig. 1.17). Par exemple

x(t,T) :::: x(t) . rect(tIT) ( 1.25) En partan t des relations fonctionnelles (1.4) et (1.5), avec g 1 (t) =

T- 1 rect(tIT) ou g2 (t) :::: rect(tIT) , on obtient respectivement la t'aleul' moyenne x(T), la l'aleul' quadratique (alias nergie normalise, voir 2.3.2) Wx(T) ou la valeur quadratique moyenne (alias puissance normalise) Px (T) du signal x Ct) ha-lues sur l'illlen'alle T:

OC> Tf2 x(T):::: J x(t)g)(t)dt

-ca

1 r x(t)dt T -f/2

( 1.26)

OC> Tf2

= J x 2(t) g2(t) dt = J x 2(t)dt -

18 TH1!.ORlE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

x{t)

X 1(1, n = x(t) reelU/Tl

x:z(t, T) = :c(t) rcct[U-T/2)/Tl

a

Fig. 1.17

De mme, en partant de la relation fonctionnelle (1.6) avec g3 (T) = T- 1 rect [(T - T/2)/TJ, on obtient l'expression de la moyenne glissante, dfinie par la relation (1.11) et illustre par ]a figure 1. 9

r

x( t, T) = x( t) * g 3 (t) = T f x( T) dT t-T

( 1.29)

La valeur moyenne x du signal, mesure sur tout l'axe rel, est la limite de (1.26) T/2

lm T- ....

f J x(t)dt -T/2

(1.30 )

La racine carre de (1.28) est par dfinition la l'aleul' efficace du signal sur J'in-tervalle T

(1.31)

1.3.7 Dfinition: fonction triangulaire La fonctio1l triangulaire llonnalise (intgrale unit et variable t 1 adimension-

neHe) est note et dfinie de la manire suivante (fig. 1.18) 1 ll-ll 11 It'I ~ tri(t ) =

o It'I > 1 Cette fonction correspond aussi la convolution

tri(t') = rect(t') * rect(t') Elle est note A(t') par certains auteurs [23,56].

(1.32)

(L33)


tri (l' )

surface unit f'

-1 0

Fig. 1.18

D'une manire gnrale, en introduisant le changement de variable t l = tlT, une impulsion de fomle triangulaire, d'amplitude maximum A et de base 2 T, centre en t==T, sera note (fig. 1.19)

x(t) == A tri [Ct - T )IT] x(t) = ri tri[(r-r)JTJ

'1 T Fig. 1. [9

1.3.8 Dfinition : impulsion (ou distribution) de Dirac

(1.34 )

L'impulsion de Dirac (t), aussi appele implilsiol1l1nit ou distributiol1 delta, peut tre formellement dfinie ( IV.7 .1.21) parle produit scalaire ( 1.8)

00

x(O) = < x,5 > = I x(t)8(t) dt ( 1.35) -DQ

En d'autres termes, l'impulsion de Dirac (t) est un oprateur d'chantillon-liage qui restitue la valeur x (0) d'une fonction x (t) continue l'origine. Sa dimension est par cOllsquent /,im'erse de celle de la l'ariable d'intgratioll. D'une manire plus gnrale, pour toute fonction x (t) continue en t = to, on a

avec

0

( 1.36)

( 1.37)

(1.38 ) la valeur de l'intgrale pour t = 0 tant en gnral conventionnellement flxe lA. Ceci permet d'admettre galement l'quivalence

(t) = de(t)/dt ( 1.39)


En tenant compte de (1.23), la drive de l'impulsion rectangulaire peut ainsi s'crire

d

dt rect(t) =o(t+ 1/2)-5(t-I/2)

1.3.9 Interprtation

( 1.40)

L'expression (1.36) correspond la limite, prise pour T -'1- 0, de la valeur moyen ne localex(to,T) dex(t), mesure sur un intervalle Tcentr en t to

x( to) lim x(to,T) (1A1) 1'-0

avec (fig. 1 .20 ) to+ TIl

"" 1 . fo,T)= _[ x(t)g(t) dt = - J x(t)dt

T to -T12 (1.42)

o ( 1.43)

--, ,

' ....... 0 _.-/ 10 - TI:' 10 10 + TI2

Fig. 1.20

Ainsi, l'impulsion de Dirac peut tre interprte comme la limite d'une impul~ sion rectangulaire, de surface unit, dont la dure tend vers zro :

1 oCt) = lim - rcct(t/T)

T-O T (1.44 )

En procdant de manire similaire, on peut constater que J'impulsion de Dirac correspond la limite prise par un grand nombre de fonctions de surface unit, telles que T- 1 tri(t/T) par exemple. D'autres cas sont mentionns ux paragraphes 1.3.15 et 1.3.16.

1.3.10 Produit d'une fonction continue par une impulsion de Dirac Soit x(t) une fonction continue en t = 0 ou t = to. Les quations (1.35), (1.36)

et (1.37) entranent les quivalences x(t) o(t) = x(O) 5(t). x (t) 5 (t - t 0) = x (t 0) b Ct - t 0)

(l.45) ( 1.46)


La reprsentation graphjque conventionnelle d'une impulsion de Dirac c . 0 ( - (0) est une flche verticale place en ( (0 de longueur proportionnelle au poids c (fig. 1. 21 ) .

Fig. 1.2 t

1.3.11 Autres proprits On dduit de ce qui prcde les proprits importantes suivantes: G identit

x(t) * o(t) = x(t) translation

x (t) * 0 (t - (0) = x (t - (0) x(t-(t) *5(t-(2) = x(t-(t -(2) o(t-(t) * 0(t-t2 ) = oU-fI -(2)

changement de variable

o (a ( ) = 1 a 1-1 a (t ) avec en particulier, si w = 1rrf

1 o (w) - o(f)

1rr

1.3.12 Rponse impulsionnelle et rponse indicielle. Dfinitions

(1.47 )

(1.48) ( 1.49) ( 1.50)

(1.51 )

( 1.52)

La rponse impulsiOlmelle g( t) d'un systme linaire, dj mentionne au para-graphe 1.2.5, est la rponse une excitation thorique en forme d'impulsion de Dirac. Certains auteurs utilisent d'ailleurs l'appellation image de rponse percl1ssiowzelle. En effet, si l'on remplace x(t) par a (t) dans l'quation (1.10), on obtient par (1.47) l'identit: l'Ct) = g(t).

De la proprit (1.46), on dduit par ailleurs que l'quation gnrale de convo-lution (1.10) est une application du principe de superposition: la rponse il une exci-tation quelconque est la somme (intgrale) des rponses partielles une suite conti-nue d'impulsions de Drac dcales dans le temps dont les poids forment l'image du signal d'excitation.

La rponse indicielle 'Y(t) d'un systme linaire est la rponse une excitation en forme de saut unit (1.20). Compte tenu de la relation (1.39), les rponses indi w cielles et impulsionnelles sont lies par

t

'YU) = J g( T) dT (1.53 )


1.3.13 Dfinition: suite priodique d'impulsions de Dirac Une suite d'impulsions de Dirac se rptant sur l'aJ du temps avec une priode

T (fig. 1 .22,) sera note par concision 0 T (t) avec

or(t) = l o(t -kT) (1.54 ) k=-or:>

Cette suite est parfois appele fonction d'chantillonnage ou peigne de Dirac ( en anglais: comb).

brU)

t

2T -T 0 T :. T 3T 4T ST 6T 7T Fig. 1.22

Par (1.46), on a en particulier

X(t)OT(t)= l x(kT)8(t-kT) ( 1.55) k= _1OCl

Cette expression pennet de reprsenter (chap. 9) l'opration de prlvement priodique d'une suite d'chantillons du signal x (t) :i une cadence d'chantillonnage fe = liT.

1.3.14 Dfinition: oprateur de rptition L'oprateur de rptition rePT {x (t)} est une notation commode utiliser pour

la reprsentation de signaux priodiques

rcp r {x (t)} = l x( t - kT) k= - ro

Par (1.48), "On a l'quivalence repT {xU)} = xU) * 0T(t)

Une illustration en e'st donne sur la figure ] .23.

x(l) = tri(t/T1 )

Tl

Fig. 1.23

(1.56 )

(l.57)

SIGNAL ET INI~OItMATION

1.3.15 Dfinition : fonction sinus cardinal La fonction obtenue en effectuant le rapport d'une fonction sinusodale et de

son argument joue un rle trs TIportant en thorie du signal. Elle porte le nom de sinus cardinal. Sa forme normalise (intgrale unit et variable adTIensionnelle 0:), est note et dfinie de la manire suivante:

23

sin ( ira: sinc(a) ;:;;: (1.58)

1fa

Elle vaut un l'origine, est paire et ses zros sont les valeurs entires de a diffrentes de zro (fig. 1.24). Une tabulation de cette fonction et de son carr est reproduite en annexe au chapitre 15.

sinc( Il')

-s

Fig. 1.24

Compte tenu du dveloppement en srie de la fonction sinus~ on obtient pour le sinus cardinal

sinc(a) ( 1.59)

Les fonctions rect(t) et sinc(f) forment une paire fondamentale de transfor mes de Fourier ( 4.2.4). Il en est de mme ( 4.2.6) des fonctions tri(t) et sinc 2 (j) .

La normalisation (1.58) entrane les proprits suivantes: oc

[ sine ( 0:) da = 1 (1.60 )

(1.61)

et, en posant a = Ti: ce qui revient localiser les zros de ]a fonction aux multiples entiers non nuls def= 1/ T:

"" S Tsinc(Tf)df = (1.62 ) J T sine 2 ( Tf) df = 1 ( 1.63)

d'o, par analogie avec (1.44) lim Tsinc(TJ) = lim Tsinc 2 (Tf) = 5(f) (1.64)

T-+- co


L'intgrale du sinus cardinal (fig. 1.25) est simplement lie au sinus intgral S(u) dfini par

Il

Sj(u) = j si~x dx -' .\: o

- 51T -41T - 31T -5 -.) --3

u'=u;rr 11' l sinc(a) da

o

;r-l Si(u)

Fig. 1.25

1.3.16 Dfinition: impulsion gaussienne

(1.65 )

4 Il'

La loi de Gauss apparat souvent en relation avec des problmes statistiques. Mais ce n'est pas son seul intrt en thorie du signal.

On appelera impulsion gaussieJIne (fig. 1 .26) la fonction normalise (intgrale unit et variable admensionnel1e t')

. ') ,1. ig(t = exp( nt ~ ) (1.66) En posant t' = tlT, o T est une mesure de 1'talement de l'impulsion sur l'axe t

lie la notion d'ecart-(\'pe Ut utilise en statistique par la relation T = y'lrr Ut, on obtient du fait de la normalisation

00 J ig(t')dt' T -1 J ig(tjT)d t d'o aussi

lim T- 1 ig(t/T) T-O

o(t)

( 1.67)

(1.68 )

L'une des proprits remarquables de l'impulsion gaussienne est que ig (t) et ig(j) forment une paire de transformes de Fourier ([22] et exercice 4.6.9).

1 t ;.(1')

t'

-1 0

Fig. 1.26

SIGNAL ET INFORMA TI ON 25

1.4 EXERCICES

1.4.1 Calculer l'intgrale pour - 00 < t < 00 des fonctions x 1 (t) A rect(tILl) et YI (t) A tri(tILl) et les valeurs moyennes.Y" et)' des signauxx2(t) = rePT {XI{t)} et .1'2 (t) ;::: repT {l, 1 (t)}.

1.4.2 Donnerl'expression du signaIx(t) A rect[(t to - T/'2)/T] l'aide de fonc-tions signes seulement. Justifier graphiquement la solution trouve.

1.4.3 Calculer et esquisser graphiquement pour les cas t 0 < t 1 et t 0 > t 1 le produit de convolution Zj(t) Xj(t) * )';(t) pour les cas suivants:

fi x J Ct) = A [0 (t + t 0) + 0 (t - t 0)] et J'tU) Bo(t)+~B[o(t+td+o(t-tl)];

x2 (t) cos(rrtIT) rect(t/T) et Y2(t) =AoT(l)

1.4.4 Vrifier la relation (1.33) analytiquement et graphiquement.

1.4.5 Dterminer le signal obtenu en calculant la moyenne glissante x(t,T1 ) si x(t) = A sin (2rr/o t) et valuer le rsultat pour Tl = To/2 et Tl = k To avec k entier et To = 11/0-

1.4.6 Calculer et esquisser graphiquement le produit de convolution des signaux !Xl 2

x(t) = I ai o(t-iT) 1'=0

et y( t ) = . L bi 0 ( t - jT) J= 0

1.4.7 Calculer la valeur moyenne (1.26), la valeur quadratique (1.27), la valeur qua-dratique moyenne (1.28) et la valeur efficace (1.31) du signal x(t) =A triCt/T) sur l'intervalle Tl = T, T].

CHAPITRE 2

CLASSIFICATION ET MODLES DES SIGNAUX

2.1 SIGNAUX PHYSIQUEMENT RALISABLES ET MODLES THORIQUES

2.1.1 Contraintes exprimentales Un signal exprimental est l'image d'un processus physique et, pour cette raison,

doit tre physiquemellt ralisable. Il est ainsi soumis toute une srie de contraintes: son nergie ne peut tre que borne; son amplitude est ncessairement borne; cette amplitude est une fonction continue, car l'inertie du systme gnrateur

interdit toute discontinuit; le spectre du signal est lui aussi ncessairement born et doit tendre vers zro

lorsque la frquence tend vers l'infIni.

2.1.2 Modles thoriques Sur le plan thorique ( 1.1.10), le modle d'un signal est une fonction, relle

ou complexe, ou une fonctionnelle dpendant par exemple de la variable temps t. Il est avantageux d'attribuer chaque modle une classe spcifique regroupant les si-gnaux jouissant de proprits communes. Par ailleurs, il est souvent judicieux de sim-plifier la reprsentation utilise en choisissant des modles commodes, mais qui ne se-ront pas ncessairement limits par les cont~aintes nonces prcdemment.

C'est ainsi que l'on fait un large usage de modles de signaux nergie thorique infmie, amplitude non borne ou subissant des discontinuits, reprsentables par des distributions (sect. IV.7.1).

La qualit du modle dpend finalement de la qualit de l'approximation faite et de la commodit d'emploi.

2.1.3 Exemples Un signal sinusodal est reprsent par une fonction dfinie sur tout l'a..x.e rel:

son nergie thorique est donc infmie. Le modle usuel de signaux perturbateurs appels bruit de fond (chap. 6) admet

la possibilit, bien qu'avec une probabilit tendant vers zro, d'amplitudes infmies. Les changement d'tats de signaux logiques binaires sont gnralement reprsen-

ts par de simples discontinuits. Une excitation de type percussionnel est symbolise par ]a distribution de Dirac

o (t).

28 THORIE ET TRAlTEI\IENT DES SIGNAUX

2.1.4 Modes de classification Diffrents modes de classification des modles de signaux peuvent tre envisags.

Paroli les principaux, on peut citer: .. classification phnomnologique (sect. 2.2) : on met ainsi en vidence le type

d'volution du signal, son caractre prdtemlin ou son comportement ala toire;

classification nergtique (sect. 2.3) : on spare les modles de signaux satis-faisant une condition d'nergie finie d'autres plus idaliss. puissnnce moyenne finie et nergie infinie;

classification morphologique (sect. 2,4) : celle-ci permet de distinguer les si-gnaux selon le caractre continu ou discret de l'amplitude ct de la variable libre;

classification spectrale: on met en vidence le domaine des frquences dans lequel s'inscrit le spectre du signal;

classification dimensionnelle: on considre les signaux unidimensionnels x(t), les signaux bidimensionnels - ou image - i(x,y), voire les signaux tri-dimensionnels i(x,y. t) reprsentant par exemple l'volution d'une image en fonction du temps.

2.2 SIGNAUX DTERMINISTES OU ALATOIRES 2.2.1 Dfinitions

la premire classification (tableau 2.1) est obtenue en considrant la nature profonde de l'volution du signal en fonction du temps. Elle fait apparatre deux types fondamentaux de signaux:

les signaux dterministes (ou certains, ou encore non alatoires [57]) dont l'volution en fonction du temps peut tre parfaitement prdite par un mod-le mathmatique appropri;

Tableau 2.1

CLASSiFiCATION ET MODLES DES SIGNAUX 29

e les sig11aux alatoires ~ dont le comportement temporel est imprvisible et pour la description desquels il faut se contenter d'observations statistiques.

2.2.2 Commentaire Il est commode, en thorie, de considrer des signaux dterministes. Ils se pr-

tent au calcul puisque dcrits par une formule mathmatique prcise. Ils sont toutefois peu reprsentatifs de signaux observables. On les rencontre essentiellement en labora~ toire, comme signaux de test, ou en relation avec la production d'nergie par machines tournantes.

Un signal de forme dtermine dont la position sur l'axe du temps est inconnue (par exemple: sinusode de phase initiale inconnue) est dj un signal alatoire!

2.2.3 Sous-classes de signalL,,{ dterministes. Dfinitions Parmi les signaux dtenninistes, on distingue: les signaux priodiques, satisfaisant la relation

x(t) = x(t + kT) k entier qui obissent une loi de rptition cyclique rgulire, de priode T;

les signau.x non priodiques, qui ne jouissent pas de cette proprit. Les signaux sinusodaux (fig. 2.2), d'quation gnrale

x(t) = A sin Tf \ ; t + ~ )

[:!Tf ] = Asin T(t + T)

forment le groupe le plus familier de signaux priodiques.

x(t)

A sin ~

priode T

Fig. 2.2

(2.1 )

(2.2)

Les sgnaux pseudo-alatoires (fig. 2.3) forment une catgorie particulire de signaux priodiques dont le comportement rappelle celui d'un signal alatoire (sect. 5.10).

Parmi les signaux non priodiques, il faut distinguer les signaux quasi-priodi-ques (fig. 2.4), qui rsultent d'une somme de sinusodes de priodes incommensura-bles, des signalD: transitoires dont l'existence est phmre (fig. 2.5).


x(t }

priode T

Fig. 2.3 Signal pseudo-alatoire.

x(t) == sin (21l't/Td + sin (2trr/T,J + sin(211'1/TJ )

o

Fig. 2.4 Signal quasi-priodique.

2.2.4 Notation complexe des signaux sinusodaux et concept de frquence ngative n est souvent avantageux de reprsenter une fonction sinusodale par la partie

imaginaire - ou relle pour une notation cn cosinus - d'une exponentielle complexe (sect. 1.8.3) :

A sin ( ~rr 1 + Q ) = lm 1 A exp [j ( ~rr 1 + Q )1 ! (2.3) Une gnralisation de ce procd, applicable des signaux de forme quelconque,

est introduite au chapitre 7. Une autre reprsentation est possible en considrant le signal sinusodal (ou cosi-

nusodal) comme la rsultante de deux phase urs ( 1.8.3.3) ~onjugs d'amplitude A/2 tournant dans des directions opposes avec une pulsation (vitesse angulaire) de w = 21T/T( fig. 2.6). C'est une application directe de la formule d'Euler:

A A jA sin( wt} = - exp (jwt) - exp( - jwt) (2.4)

2 Pour tenir compte du sens de rotation, on parle de frquence positive

(+ w = + 21T[) et ngative (- w - 21Tf). Ce concept de frquence ngative n'a pas de signification physique. Il est utilis pour la reprsentation de fonctions de la frquen-quence (spectre, fonction de rponse frquentielle) o - 00

A

0 1

CLASSiFICATION ET MODLES DES SIGNAUX

[r-(U+b)/2]

x(r) :: rcct b-a

a

JI (t) = exp(-at) (t)

b

o lIa

[ ,-(rI +,~ )/2]

z(' ) A sin ( wt + !l') rect -r,! l)

o ~

Fig. 2.5 Signaux transitoires: x (t) = impulsion rectangulaire; y (t) = impulsion exponentielle dcroissante; z (t) = impulsion sinusoldlc.

Re

Fig. 2.6

31

32 THORIE ET TRAITEMENT DES SlGNAUX

2.2.5 Sous-classes de signaux alatoires. Dfinitions

ries: Les signaux alatoires peuvent, quant eux, tre classs en deux grandes catgo~

les signaux alatoires statiollnaires, dont les caractristiques statistjques sont invariantes dans le temps (fig. 2.7);

CD les signaux alatoires non stationnaires, qui ne jouissent pas de cette proprit (fig. 2.8).

Si les valeurs moyennes statistiques, ou moments, d'un signaI stationnaire s'iden-tifient aux valeurs moyennes temporelles, on dit qu'il est ergodique (sect. 5.1 ).

x(t)

y(t)

Fig. 2. 7 Signal alatoire stationnaire: x Ct) = signal large bande (bruit blanc); y (t) = signal fil-tr pusse-bas.

y(t)

Fig. 2.8 Signal alatoire non stationnaire.

CLASSIFICATION ET MODLES DES SIGNAUX 33

2.2.6 Commentaire Un signal alatoire comportement transitoire est non stationnaire. Le concept de stationnarit est, comme le caractre permanent associ aux si-

gnaux priodiques, une abstraction commode. Il est prcieux dans ]a mesure o l'on peut souvent considrer, en pratique, qu'un signal est stationnaire pe1ldant la dure d 'ob sen'otio n .

2.3 SIGNAUX NERGIE OU PUISSANCE MOYENNE FINIE 2.3.1 Classification nergtique

Une distinction fondamentale peut tre faite entre deux grandes catgories de signaux :

CID les signaux nergie finie; les signaux puissance moyenne fInie non nulle. La premire catgorie comprend tous les signaux de type transitoire, qu'ils soient

dterministes ou alatoires. La deuxime catgorie englobe presque tous les signaux priodiques, quasi-priodiques et les signaux alatoires permanents.

Certains signaux thoriques n'appartiennent aucune de ces deux catgories: c'est le cas par exemple de x(t) = exp(at) pour - co < t < 00,

L'abstraction mathmatique commode qu'est l'impulsion de Dirac 0 (t) n'est pas classable non plus dans ce contexte, pas plus que la suite priodique d'impulsions de Dirac 0 T ( t ) .

2.3.2 Energie et puissance moyenne d'un signal. Dfinitions En lectrotecluque ( 1.5.3.5), la puissance instantane fournie un biple

est dfmie comme le produit des valeurs instantanes de la tension li (t) ses bornes et du courant iU) qui le traverse:

p(t) = u(t) t(t) W = V-A (2.5) Dans le cas d'une rsistance linaire R} respectivement d'une conductance linai-

re G, on a:

pU) 2 l 2 2 Ri (t)=-u (t) = Gu (t) R

w (2.6)

L'nergie dissipe sur un intervalle [t l ,t 2 ], avec t 2 > t l' est l'intgrale de cette puissance instantane. Elle se mesure en joules.

t2 t2 !2 W(t1 ,t2 ) = S p(t)dt =Rf i\t)dt =GJ u\t)dt J (2.7)

il rI tJ

En divisant cette nergie par la dure de l'intervalle, on obtient une puissance moyenne, mesure en watts:

R

(2.8)


Par analogie, on appelle respectivement nergie (normalise) et puissance moyen-ne (normalise) d'un signal rel x(t), calcules sur un intervalle [tI,(2 ], les valeur qua' dratique (1.27) et valeur quadratique moyenne (1.28) suivantes:

h

WA '1 J2 ) f -x 2U )dt (2.9) f}

C2 Px (tb t 2 ) f x 2(t)dt (2.10)

t2 t l ri

La racine carre de (2.10) est la valeur efficace (1.31). C'est la mme dfInition que celle introduite pour les grandeurs priodiques ( 1.8.2.11 ), mais tendue des signaux de forme quelconque.

La puissance moyenne normalise possde donc une dimension gale au carr de celle de x (t). En multipliant encore par l'unit de temps, on obtient la dimension de l'nergie normalise. Six(t) est une tension ou un courant lectrique, (2.9) et (2.10) correspondent l'nergie et la puissance dissipes par une rsistance de 1 Ohm.

L'nergie totale et la puissance moyenne totale d'un signal sont obtenues en consi-drant un intervalle s'tendant tout l'axe rel. Les relations (2.9) et (2.10) sont alors modifies comme suit:

Wx Tx2(t)dt (2.11 ) ca

TI2

lim l f 2 (2.12) P = x (t)dt x T T-Io

CLASSIFICATION ET MODLES DES SIGNAUX 35

2.3.5 Commentaires La fonction x 2 (t) correspond une distribution de l'nergie du signal en fonc-

tion du temps. La puissance moyenne Px(T) est, en d'autres termes, la distribution moyenne de l'nergie sur l'intervalle T choisi.

L'examen des conditions (2.13) et (2.14) montre clairement qu'un signal puissance moyenne fmie non nulle possde une nergie infInie et qu'un signal nergie fm.ie possde une puissance moyenne nulle. Bien videmment, seul ce dernier est physi quement ralisable.

2.4 VARIABLES CONTINUES ET DISCRTES

2.4.1 Classification morphologique. Dfinitions Un signal peut se prsenter sous diffrentes formes selon que son amplitude est

une variable continue ou discrte et que la variable libre t (considre ici comme le temps) est elle-mme continue ou discrte (fig. 2.9). On distingue donc ainsi quatre types de signaux:

" le signal amplitude et temps cont1Us appel couranunent signal analogique; " le signal amplitude discrte et temps continu appel signal quantifi; Il le signal amplitude continue et temps discret appel signal chantillonn; " le signal amplitude et temps discrets appel signal numrique (ou impropre.

ment digital), car il est reprsentable par une suite de nombres ou srie tem-porelle.

AmpHtude Continue Discrte

x(t)

::1 .

l&.

81 o Er-+-------------------------~----------------------~ t:!

o

Fig. 2.9


2.4.2 Modles de signaux analogiques, chantillonns et numriques Le modle analogique d'un signal est une fonction du temps t, o la variable test

continue. Il est not x(t),y(t), etc. Le modle chantillonn d'un signal est une suite de valeurs assignes des

discrets tk = k-At, o k est une variable discrte (nombre entier) et At reprsente le pas d'chantillonnage. Il est notx(tk),y(tk), etc.

Le modle numrique d'un signal correspond au modle chantillonn dont valeur est reprsente par un nombre quantifi. Sous sa forme standardise, il est simple-ment not x(k), y(k), etc.) aprs normalisation du pas At, respectivement de la trelQmmc/\ d'chantillonnage fe(At = fe- 1 = 1). Pour un signal de dure finie ( 2.5.2), l'indice k est un nombre entier gnralement compt entre 0 et N - 1, o N est le nombre total d'chantillons.

2.4.3 Correspondances et diffrences Comme indiqu au paragraphe 2.3.2, tout signal analogique transitoire x(t) est

associ une certaine nergie normalise Wxa = fx 2 (t) dt, mesure par exemple en V 2 s. Pour un signal chantillonn, une correspondance peut tre tablie l'aide de la relation discrte Wxe = Lx2 (tk)"At. Afin de minimiser l'erreur entre les calculs des nergies forme intgrale et discrte, chaque chantillon X(tk) doit tre considr comme situ milieu de l'interval1e At correspondant. En posant At = 1, l'nergie d'un signal num-rique standardis est reprsente par Wxn = '2:x 2 (k).

Au saut unit analogique e(t) correspond la squence unit numrique ECk), tue d'une suite d'chant11ons qui sont nuls pour k < 0 et de valeur unit pour le ~ O. A l'impulsion de Dirac 8 (t) correspond l'impulsion unit numrique 0 (k) qui vaut 1 pour k = 0 et est nulle pour k =1= O. Cette impulsion unit peut aussi tre dfinie par la diffrence 0 (le) = ECk) - e(k - 1). Le signal numrique reet [(le L)/K] = e(k) - e(k o L = K/2 si K est pair et L = (K - 1)/2 si K est impair, est constitu d'une suite de K chantillons de valeur unit compris entre les positions le = 0 et le = K - 1. Les autres chantillons sont nuls.

A l'exponentielle complexe analogique exp(j21mtlT), de frquence discrte Il/T, correspond l'exponentielle complexe numrique exp(j2rmk/N), de frquence discrte n/N. N est ici le nombre d'chantillons constituant une priode fondamentale (n = 1). Le nombre entier 11 est l'indice hannonique. Le modle analogique permet de consi-drer une infinit d'harmoniques, de frquences discrtes fn = nit rparties sur tout l'axe des frquences, de -00 +00, pour -00 < Il < +00. Au contraire, le nombre d'har-moniques distinctes reprsentables par le modle numrique est limit N - 1, car exp (j2rrk/N) = exp (j2rr[N + l]k/N): l'exponentieUe complexe numrique est ... '-J' ........ l'"' L'intervalle principal des frquences fn :::: n/N va donc de 0 l, avec une rptition priodique de priode unit. On observe, de plus, une antisymtrie par rapport la frquence 1/2 puisque exp(j211'[N/2 + 1 ]k/N) = -expG2rrk/N). En traitement num-rique des signaux (rels), il est suffisant de considrer l'intervalle de frquence [0, 1/1].

2.4.4 Classification des systmes de traitement Les systmes de traitement de signaux sont galement classs selon la nature des

signaux sur lesquels ils oprent. On parle ainsi des

CLASSIFICATION DES SIGNAUX 37

., systmes analogiques: amplificateurs, fIltres classiques, multiplicateurs, modu-lateurs de signaux, etc;

ID systmes chantillonns: circuits transfert de charges, fIltres capacits com-mutes, etc;

ft systmes numriques (ou improprement digitaux) : mtres numriques, corr-lateurs, transformateurs de Fourier et autres processeurs spcialiss.

On rencontre aussi des structures hybrides, par exemple: convertisseur analogi-que-numrique.

On observera toutefois que dans les systmes chantillonns, le signal effective-ment utilis correspond gnralement un cas intermdiaire entre le signal analogique et le signal chantillonn: il est produit par une procdure d'chantillonnage (chap. 9) qui maintient l'amplitude au niveau de la dernire valeur prleve entre deux chantil-lons.

2.5 AUTRES CLASSES IMPORTANTES

2.5.1 Classification spectrale. Dfinitions L'analyse spectrale d'un signal conduit fi une classification base sur la distribu-

tion

38

[ -fl

THORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX

-fla fi Fig. 2.13

f Bi

f

Un signal dont le spectre est nul en dehors d'une bande de frquence spcifie B

avec

xp(t) Xi (t)

CLASSIFICATION ET MODLES DES SIGNAUX

Y.![x(t) +x(- t)] !h[X(t) - X(-t)]

x(1)

o

o

Fig. 2.14

2.5.6 Signaux causals Un signal est dit causal s'il est nul pour toute valeur ngative du temps

x(t) == 0 t < 0

39

(2.22) (2.23 )

(2.24) En tenant compte de (2.21), on voit qu~un signal rel causal est tel que (fig.

2.15) (2.25)

2.5.7 Commentaire Exprimentalement, tous les signaux sont causals, c'est--dire commencent en un

instant t = O. C'est par commodit thorique que l'on dfmit gnralement les signaux sur la totalit de l'axe des temps.

Le principe de causalit a dj t trait dans le volume IV, o il est associ au caractre physiquement ralisable d~un systme linaire: la rponse impulsionnelle d'un tel systme est une fonction causale.

40 THORIE ET TRAlTEl\!ENT DES SIGNAUX

x(t)

o

o

Fig. 2.15

2.6 EXERCICES

2.6.1 Les signaux suivants sontHs nergie finie, puissance moyenne finie, ou ni l'un, ni l'autre? Calculer dans chaque cas l'nergie totale et la puissance moyenne totale (a> 0).

A rect(tIT);A sin wt; A sin wt . e(t); e(t); t ( t);A exp ( - at) . e(t); A exp(-at);A tr(tIT).

2.6.2 Etablir l'quation de la puissance moyenne du signal A sn(21T tlTa ) en fonction de l'intervalle de mesure T et dmontrer que la puissance moyenne totale obtenue par la formule (2.12) est identique celle calcule sur une priode To- Pour quelle autre valeur de l'intervalle de mesure obtient-on le mme rsultat?

2.6.3 Dterminer les parties paire et impaire du signaI x (t) = A sin (wt - Cl').

2.6.4 Dmontrer que 1a valeur moyenne de la partie impaire d'un signal rel est tou-jours nuUe.

CHAPITRE 3

REPRSENTATION VECTORIELLE DES SIGNAUX

3.1 ESPACE DE SIGNAUX

3.1.1 Reprsentation discrte des signaux Le principe d'une reprsentation discrte d'un signal x(t) est bas sur le dveIop~

pement de celui-ci en une combinaison linaire de fonctions connues I/J k (t) ; k 1, 2, ... , Il :

Il

xU) l ak t/J/i:(t) (3.1 ) k=1

Les Il coefficients ale constituent une reprsentatioll discrte du signal qui d-pend de l'ensemble des fonctions t/J1c (t) choisies. Ceci constitue le fondement de l'a-nalyse des signaux.

L'intrt d'un tel mode de description est triple: un choix adquat des fonctions l/.J k (t) peut favoriser la mise en vidence de

proprits particulires du signal et faciliter l'tude des transformations qu'il subit au cours de sa propagation dans un systme physique donn, en particu-lier lorsque celui-ci est linaire;

la reprsentation discrte est tout naturellement associe l'image d'un vec-teur dans un espace de dimension 12 (ventuellement infrnie), ce qu i permet d'interprter gomtriquement des notions assez difficiles visualiser autre-ment telles que celles de distance, de produit scalaire, d'orthogonalisation, d'intercorrlation de deux signaux, etc;

la reprsentation discrte est le seul moyen d'aborder le traitement d'un signal par voie numrique (vol. XX).

3.1.2 Notion d'espace vectoriel de fonctions. Dfinitions On sait qu'un espace llectoriel est un ensemble d'lments satisfaisant aux pro-

prits suivantes: la somme de deux lments et le produit d'un lment par un sca-laire (rel ou complexe) sont galement des lments de l'ensemble. Un espace vecto M riel linaire de dimension Il est gnr par une base forme de Il vecteurs linairement indpendants: tout vecteur x de l'espace correspond ainsi une unique combinaison linaire des vecteurs de la base. 11 existe une infrnit de bases possibles.

Un espace vectoriel est norm si tout vecteur x est associe une 11onne. note IIx Il, nombre rel, positif, nul si x est l'origine, qui est une gnralisation de la notion

42 TlitORIE I~T THAI1'EMENT DES SIGNAUX

de longueur. L'espace est dit Intriqut! si tout couple d'lments ex ~l') est associ un nombre d(XJI), rel, positif, nul si x = JI, que l'on appelle la distance de ces lments. La mtrique usuelle est: d{ xJ') = Ilx - y Il.

Une suite infinie {xu} d'lments d'un espace mtrique converge vers un lment x de cet espace si

Hm d( X'I ~ x) = 0

Les diverses mtriques possibles correspondent donc divers modes de conver-gence. Un espace dans lequel toute suite converge est dit complet.

Ces concepts abstraits, introduits en algbre linaire [58 L peuvent tre tendus au cas de fonctions appartenant une famille donne. Tout membre de cette famille, assimilable un vecteur, peut tre exprim comme une combinaison linaire de fonc-tions particulires de la famille qui fonnent une base de l'espace vectoriel (espace fonctioll1lel) envisag. Cette base peut comporter une infnit d'lments: l'espace est alors de dimension infinie.

3.1.3 Reprsentation d'un signal par un vecteur. Dfinitions Un signal est reprsent usuellement par une fonction appartenant une Camille

de fonctions ayant une proprit commune (p. ex. : nergie finie, puissance moyenne finie, etc.). JI est donc possible de se reprsenter abstraitement un signalx(t) comme un .'ecteur dans un espace mtrique adquat auquel on donne le nom d~espace de si-gnaux [49].

Soit un ensemble {I/;" (t)} de 11 fonctions linairement indpendantes formant une base de l'espace des signaux: tout membre de celui~ci correspond une combinai-son linaire unique, du type (3.1), des fonctions t/Jk (t).

La squence ordonne des coefficients {Ct:k } forme un Il~up)e qui dfinit dans l'espace de dimension Il un point (fig. 3.1 ) de coordonnes (Ct: 1 , a2, ... ) il ) par rap-port la base {I/; k ( t) }.

Il existe ainsi une correspondance biunivoque entre des vecteurs de l'espace arbi-traire des signaux et l'espace des n-uples, souvent dnot par RI! (coefficients rels) ou Cil (coefficients complexes).

-------71 / 1

1 1

1 1 1

Fig. 3.1 Reprsentation vectorielle d'un signal (ici pOlir Il :: 3).

HEl'IlF:SENl'ATION VECTORIELLE DES SIGNAUX 43

On dit que le il-upIe a = {ak } est une reprsentation (dans RH ou Cil) de x (r) par rapport )a base {1/1 /, (t) }.

A chaque base correspond une reprsentation vectorielle a particulire de x (t). On dispose ainsi de diffrents modes d'analyse d'un signal. Du choix d'une base dpend la simplicit, l'efficacit et l'utilit d'une telle analyse.

3.1.4 Distance de deux signaux. Dfinitions La distance d(x,y) de deux signaux x(t) ety( r) est une mesure de leur dissem-

blance. Elle est nuUe si les signaux sont identiques. Cette notion joue un rle important en lhorie du signal olt elle est utilise pour

comparer des signaux. En dtection de signaux, en reconnaissance de formes, on calcu-le les distances d'un signal ou d'une forme identifier avec un ensemble de candidats possibles. Le candidat prfr est gnralement celui qui correspond la plus petite distance (principe du maximum de vraisemblance [20, 59]).

Un filtre est un dispositif qui tente de minimiser une certaine dIstance d(x 11') entre un signal incident x( t), entch de composantes ou de perturbations indsirables et un signal de sortie y(t) ayant des proprits dsires.

Pour des vecteurs x = (x l' X2, , XII) et JI = (y 1, Y2' ... , J'1t ) la distance eucli-dienne classique est

(

11 ) 1/2 d(x,y)= IIXj-yi 12

i= 1 (3.2)

La distal1ce euclidienne de deux signaux xU) ety(t), dfinie sur un intervalle de temps T, est par analogie

1/2

d, (x,y) ~ (KIr Ix(t) -y(l) l'dt) (3.3) On l'appelle aussi distance en moyenne quadratique. Le coefficient K est soit

gal il 1, soit gal lIT. La dfinition (3.3) est la plus famiHre et la plus utile des me-sures de distance. Toutefois d'autres df1itions sont parfois utilises, soit parce qu'el-les sont mieux adaptes un contexte donn, soit tout simplement parce qu'eUes im-pliquent une plus grande facilit de calcul. Mentionnons titre d'exemples:

d2(x,y) = Kr Ix(t) -y(t)j dt "T

d3 (x,y) = Kllsgn !x(t)-a I-sgn Iy(t)-blldt T

d4 ( x,y) = sup Ilx(t) - yU)1 ; tE TI

(3.4 )

(3.5)

(3.6)

Dans l'expression (3.5), a ct b sont des constantes, souvent choisies gales la valeur moyenne du signal correspondant dans l'intervalle de dfinition. La notation sup {z(t); tE T} de la relation (3.6) dsigne la valeur ma..ximum de z(t) dans l'inter-valle de dfinition T.

Pour protger des signaux transportant des squences d'information binaire


(mots) contre r effet de perturbations prsentes sur la voie de transmission, on a dve-lopp des codes dtecteurs ou correcteurs d'erreurs. Dans l'tude de tels codes, on uti* lise la distance de Hanunilzg [59]

Il

ds(x,y) l [Ci C;] (3.7) == 1

pour comparer un mot reu Cl (c'"e; .... ,e;,) un candidat possible C = (e l' C2' , Cu ). Les Ci et ci dnotent ici des symboles binaires 0 ou ] et le signe ID l'addition 1110dulo-::~ (fonction Ou-exclusif: V.1.6.1). Cette distance particulire est gale au nombre de symboles par lesquels les deux mots diffrent.

Pour illustrer le concept de distance entre deux signaux et montrer l'influence de la forme de ceux-ci, il est bon de considrer quelques exemples.

3.1.5 Exemple Soit le problme suivant: on dsire comparer deux signaux x (t) = A cos Wo t et

y (t) = x (t - T) = A cos Wo (t - T) afm de dtenniner leur distance en fonction du pa-ramtre de retard T (ou du dphasage e WOT). Une telle situation peut se prsenter, par exemple, dans des problmes de synchronisation (sect. 13.2).

Effectuons la comparaison sur une priode T= 2rr/wo pour - Til ~ T ~ TI2 en considrant simultanment les distances (3.3), (3.4). (3.5) et (3.6) avec ici a b = 0 ct K = liT.

Ona:

Ix(t) y(t)1 = A 1 cos ( '2 7rtIT) - cos [ lrr(t - T )IT] 1 = lA Isin (TrrIT)1 . 1 sin [rr{ 2t - T )IT] 1

d, (x,y) = 2 A 1 sin (1TTIT)1 { T-' [Sin 2[ 1T( 2 t - T )IT] dt } '(2 = V2A 1 sin (rrTIT)1

T

d2 {x,y) = 2Alsin(1TTIT)I' 1 flsin[rr(2t-r)/TJJdt ; Alsin{7rT/T)1 1'1'1

d3 {x,y):::: 4 T- t S dt:::: 4\TIIT o

-TI2~T~TI2

d4 (x'!.v) = 2A Isin{rrTIT)I' sup {lsin[rr(2t-T)IT]I; t E T} = 2 A Isin (rr rlT)1

Le fait de choisir le coefficient K = liT dans les expressions (3.3), (3.4) et (3.5) homognise les diffrentes mesures de distance utilises en ce sens qu'elles ont ici tou-tes la mme dimension que les signaux x (t) et y (t ). On peut ds lors valablement les comparer. C'est ce qui est fait graplquement sur la figure 3.2.

3.1.6 Exemple Considrons les quatre signaux impulsionnels, de dure finie T, reprsents sur la

figure 3.3. Les distances dl (Xi, Xj) et d2 (Xil Xj), calcules ici avec K = liT, donnent

0.5

respectivement:

REPRSENT ATrON VECTORIELLE DES SIGNAUX

1 d(x,!,' rlTi 2-

o

Fig. 3.2

45

TIT

0.5

d,(x"xz) = d t (XJ, X3) = d l (Xl,X4) d t (X2,X4) = d t (X3,X4) = V2 dl(X2~X3) = 2 d 2 (xl,X2) = d 2 (XI,X3) = d Z (Xt,X4) = d 2 (X2,X4) = d 2 (X3,X4) d2 (X2,X3) 2

Bien entendu, on a pour tout i :

o~----------~--~_ T


3.1.7 Exemple Soit dterminer les distances dt (x, y) et d 2 (x, y) entre les deux signaux

x(t) = exp(-at) . eU) ety(t) x(t-r) o E(t) dnote la fonction chelon-unit ( 1.3.3) et il> O. L'intervalle de dfinition est ici infini. On utilisera les mesures de distance (3.3) et (3.4) en posant K 1. Les mesures ainsi obtenues ne sont pas homo-gnes et ne peuvent donc pas tre compares quantativement.

et

Pour r > 0, on a :

{. exp (

Ix(t) -y(l)1 = " exp (

at)c:(t) al) . [exp (ar) - 1]

Pour T < 0, on a :

__ {exP ( -at) c:"(t-T)' exp. (aT) Ix(t) - yU)!

exp ( - a t) [1 exp ( a T ) ]

Ainsi

dt< x,y); {+ [ 1 - exp ( a 1 TI) 1 ) 1/2 "

[l-exp( alTI)] a

3.1.8 Espace L 2 des signaux nergie finie

-oo

REPRSENTATION VECTORIELLE DES SIGNAUX 47

3.1.9 Produit scalaire de signaux. Dfmitions Le produit scalaire de deux l'ecteurs x = (xI, X2' ... ,xn ) et y ::::: (YI ,Y2, ... ,J'Tl)

coordonnes relles ou complexes est dfini par la relation

"

X y L XiYi * i=l

11 est li la norme par l'identit 2

x . x :::::; IIxll

(3.10)

(3.1 1) Par analogie, on dfinit le produit scalaire de deux signaux - fonctions relles

ou complexes du temps - x (t) et y (t) appartenant L 2 (t l' t 2) par f2

< x,y* > ::::: f x(t)y*( t) dt fI

qui est li la norme (3.8) par l'identit < x,x* > = IIxll 2

(3.12)

(3.13) On dmontre que l'espace L2 (t 1, t 2 ) dot d'un produit scalaire induisant une

norme est complet. On donne en mathmatique ce type d'espace le nom d'espace de Hilbert.

Le produit scalaire possde la symtrie hermitienne

< x,y* > < y,x* > :1: (3.14)

3.1.10 Commentaire La notation fonctionnelle utilise dans cet ouvrage, o l'astrisque in-

dique le conjugu complexe, est cohrente avec celle introduite au volume IV en rela~ tion avec le concept de distribution ( IV. 7 .1.13). Dans la plupart des ouvrages de rfrence, le produit scalaire est plus simplement dnot par ou (x,y). La no-tation sera ici rserve au cas de signaux rels.

3.1.11 Dfinition: fonctions orthogonales En gomtrie euclidienne, deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalai-

re est nul. Par analogie, x (t) et y (t) sont des fonctions ortho

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