ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД “ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Затверджую: Декан математичного факультету ____________________________

(підпис) Гоменюк С.І. _

(ПІБ) “____”____________ 2011 р. Голова НМР факультету _ _ Стєганцева П.Г. _

(ПІБ)

Схвалено на засіданні кафедри математичного аналізу

(назва кафедри) Протокол № __1__ від “29”_серпня__2011р. Завідувач кафедри _Гребенюк С.М. _ ______________

(ПІБ) (підпис)

Робоча програма

з дисципліни «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ» _

Форма навчання денна Курс 1 Семестр 1, 2 Організаційно-методична характеристика навчальної

дисципліни Шифр галузі, найменування галузі знань, код напряму, напрям підготовки, освітньо-кваліфікаційний рівень АКАДЕМІЧНА

ХАРАКТЕРИСТИКА Структура

Галузь знань: 0403 – системні науки та кібернетика, напрям підготовки: 6.040302 – інформатика, освітньо-кваліфікаційний рівень: бакалавр

Рік навчання: 1 Семестр: 1; 2 Кількість навчальних тижнів: 17; 16 Кількість годин на тиждень: 4; 4 Статус курсу: фаховий Кількість ECTS кредитів:

українських: європейських:

Кількість годин: Загальна: 288 Лекції: 70 Практичні заняття: 70 Самостійна робота: 74 Індивідуальна робота: 74 Вид підсумкового контролю: екзамен

Форма навчання денна Курс 2 Семестр 3, 4

Організаційно-методична характеристика навчальної дисципліни

Шифр галузі, найменування галузі знань, код напряму, напрям підготовки, освітньо-кваліфікаційний рівень АКАДЕМІЧНА

ХАРАКТЕРИСТИКА Структура

Галузь знань: 0403 – системні науки та кібернетика, напрям підготовки: 6.040302 – інформатика, освітньо-кваліфікаційний рівень: бакалавр

Рік навчання: 2 Семестр: 3; 4 Кількість навчальних тижнів: 17; 16 Кількість годин на тиждень: 4; 4 Статус курсу: фаховий Кількість ECTS кредитів:

українських: європейських:

Кількість годин: Загальна: 270 Лекції: 66 Практичні заняття: 66 Самостійна робота: 73 Індивідуальна робота: 65 Вид підсумкового контролю: екзамен

Робоча програма складена на основі: навчальної програми з курсу «Математичний аналіз» для студентів спеціальності 6.040302 – інформатика, укладеної доцентом Тітова О.О. і затвердженої 28.08.2007р. протокол №1

(назва навчальної програми, автори, дата затвердження) Укладач (і) робочої програми Тітова О.О.. _ (ПІБ викладача (ів)

Запоріжжя 2011

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ

№ модуля, № навч-х тижнів

№ те-ми

Теми лекцій, практичних занять та самостійної роботи Обсяг, годин

Вид модульного і підсумкового контролю та їх

рейтингова оцінка (РО)

Модуль

1

1. Елементи теорії множин. Теорія дійсних чисел Поняття множини. Означення теоретико-множинних операцій. Принцип математичної індукції. Елементи комбінаторики. Зчисленні множини та їх властивості. Теорема про існування вищих потужностей. Властивості раціональних чисел. Нескінченні десяткові дроби та їх упорядкованість. Числові множини, обмежені зверху, знизу. Теорема про існування точних граней. Наближення дійсних чисел раціональними. 2. Теорія границь Поняття функції та способи її задання. Послідовності та їх види. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, зв’язок між ними. Властивості границі послідовності. Монотонні послідовності. Число Ейлера. Принцип стягувальних сегментів. Граничні точки множини та послідовності. Підпослідовності. Верхня та нижня границі. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Критерій Коші збіжності послідовності. Границя функції по Гейне та по Коші. Односторонні границі. Критерій Коші існування границі функції. Арифметичні операції над функціями, які мають границю. 3. Неперервні функції Неперервність по Гейне та по Коші. Арифметичні операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Монотонні функції. Критерій існування оберненої функції. Дві істотні границі та наслідки з них. Класифікація точок розриву функції. Локальні властивості неперервних функцій. Глобальні властивості неперервних функцій. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.

.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до 20

балів;

(1-й півсеместр) Разом по 1-му модулю: 73 До 40 балів

Модуль

2

4. Диференціальне числення Означення похідної. Односторонні похідні. Диференційовність функцій. Диференціал. Геометричний зміст похідної та диференціалу. Дотична. Нормаль. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу. Арифметичні операції з диференційовними функціями. Табличні похідні та диференціали. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. 5. Основні теореми про диференційовні функції Монотонність функції в точці. Локальний екстремум. Теореми Ролля, Лагранжа. Застосування формули скінченних приростів. Теореми Коші, Дарбу. Правила Лопіталя. Формула Тейлора. Оцінки залишкового члена формули Маклорена. 6. Дослідження функцій та побудова графіків Стаціонарні точки. Необхідні та достатні умови екстремуму. Опуклість графіку функції. Точки перегину. Асимптоти графіку функції. Глобальний та крайовий екстремуми.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до

20 балів.

(2-й півсеместр) Разом по 2-му модулю: 73 До 40 балів Разом за 2 модулі: 146 До 80 балів

Екзамен До 20 балів I семестр Разом за семестр До 100 балів

№ модуля, № навч-х тижнів

№ те-ми

Теми лекцій, практичних занять та самостійної роботи Обсяг, годин

Вид модульного і підсумкового контролю та їх

рейтингова оцінка (РО)

Модуль

1

1. Первісна та неозначений інтеграл Означення та властивості первісної функції. Таблиця неозначених інтегралів. Методи інтегрування: заміна змінної та інтегрування частинами. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій. 2. Означений інтеграл Рімана Означення інтеграла. Необхідна умова інтегровності. Верхні та нижні суми Дарбу, їх властивості. Критерій інтегровності функцій. Класи інтегровних функцій. Основні властивості означеного інтеграла. Інтеграл Рімана зі змінною верхнєю межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Теореми про середнє значення. Методи обчислення означених інтегралів. 3. Застосування означеного інтегралу Спрямляємі криві. Обчислення довжини дуги. Квадровані фігури на площині. Критерій квадрованості. Площа плоскої фігури. Об’єм тіла обертання. Площа поверхні тіл обертання. 4. Невласні інтеграли Невласні інтеграли 1 роду. Критерій Коші їх збіжності. Невласні інтеграли 2 роду. Критерій Коші їх збіжності. Достатні ознаки збіжності інтегралів та методи їх обчислення.

.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до 20

балів;

(1-й півсеместр) Разом по 1-му модулю: 62 До 40 балів

Модуль

2

5. Числові ряди Поняття числового ряду. Необхідна умова збіжності. Критерій Коші.Ознаки збіжності знакопостійних рядів. Ознаки збіжності знакозмінних рядів. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди. Теорема Рімана. Нескінченні добутки 6. Функціональні ряди Функціональні послідовності і ряди. Область їх збіжності. Рівномірна збіжність функціональних рядів. Критерій Коші. Достатні ознаки рівномірної збіжності. Інтегрування рівномірно збіжних рядів. Диференціювання функціональних рядів. 7. Степеневі ряди Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Радіус збіжності. Формула Коші-Адамара. Властивості степеневого ряду. Розклад функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів. Формула Стірлінга. Формула Ейлера. 8. Функції багатьох змінних Метричні простори. Означення функції багатьох змінних. Поверхні рівня. Границі функції багатьох змінних в точці. Неперервність функції багатьох змінних в точці та замкненій області. Частинні похідні та диференціал першого порядку. Диференціювання складних функцій. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Формула Тейлора, її застосування. Дослідження функції багатьох змінних на локальний екстремум. 9. Неявні функції Поняття неявної функції. Функціональні визначники. Умовний екстремум. Застосування функцій багатьох змінних в геометрії.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до

20 балів.

(2-й півсеместр) Разом по 2-му модулю: 62 До 40 балів Разом за 2 модулі: 124 До 80 балів

Екзамен До 20 балів IІ семестр Разом за семестр До 100 балів

№ модуля, № навч-х тижнів

№ те-ми

Теми лекцій, практичних занять та самостійної роботи Обсяг, годин

Вид модульного і підсумкового контролю та їх

рейтингова оцінка (РО)

Модуль

1

1. Інтеграли як функції параметрів Інтеграли зі скінченними межами інтегрування та їх властивості. Невласні інтеграли. Рівномірна збіжність. Інтегрування та диференціювання по параметру. Інтеграли Ейлера 1 і 2 порядків, їх властивості. Застосування інтегралів як функцій параметрів. 2. Ряди Фур’є Ортогональні системи функцій. Середнє квадратичне відхилення. Збіжність в середньому. Ряд Фур’є, умови розкладу функцій в ряд Фур’є. Рівномірна збіжність ряду Фур’є. 3. Подвійні інтеграли Означення подвійного інтеграла та його властивості. Зв’язок подвійного інтеграла з повторним. Обчислення подвійного інтеграла по довільній області. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Обчислення площі плоскої фігури та об’єму циліндричних тіл. Обчислення площ поверхонь. Застосування подвійного інтегралу в механіці.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до 20

балів;

(1-й півсеместр) Разом по 1-му модулю: 69 До 40 балів

Модуль

2

4. Потрійні інтеграли. Означення потрійного інтегралу, властивості, методи обчислень, застосування. Заміна змінних в потрійному інтегралі. Невласні кратні інтеграли. 5. Криволінійні та поверхневі інтеграли. Теорія поля. Криволінійні інтеграли 1 типу, властивості, обчислення, застосування. Криволінійні інтеграли 2 типу, властивості, обчислення, застосування. Поверхневі інтеграли 1 типу, властивості, обчислення, застосування. Поверхневі інтеграли 2 типу, властивості, обчислення, застосування. Зв’язок поверхневого, криволінійного і кратного інтеграла. Скалярне та векторні поля, їх характеристики.

РО аудиторної роботи - до 10

балів;

РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів;

РО модульного контролю - до

20 балів.

(2-й півсеместр) Разом по 2-му модулю: 69 До 40 балів Разом за 2 модулі: 138 До 80 балів

Екзамен До 20 балів IІІ семестр Разом за семестр До 100 балів

Модуль

1

1. Основи теорії функцій комплексної змінної. Комплексні числа та дії над ними. Функція комплексної змінної. Аналітичні функції. Зв’язок між аналітичними та гармонічними функціями. Конформні відображення. Інтегрування функцій комплексної змінної. Теорема Коші. Ряди аналітичних функцій. Степеневі ряди, ряд Тейлора.

РО аудиторної роботи - до 10 б; РО самостійної індивідуальної роботи - до 10 б; РО модульного контролю - до

20 балів;

(1-й півсеместр) Разом по 1-му модулю: 66 До 40 балів

Модуль

2

2. Основи теорії функцій комплексної змінної. Ряди Лорана. Ізольовані особливі точки, їх класифікація. Теорія лишків. Обчислення інтегралів за допомогою теорії лишків. 3. Елементи операційного числення. Основні поняття операційного числення. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь.

РО аудиторної роботи - до 10 б; РО самостійної індивідуальної роботи - до 10

балів; РО модульного контролю - до

20 балів.

(2-й півсеместр) Разом по 2-му модулю: 66 До 40 балів Разом за 2 модулі: 132 До 80 балів

Екзамен До 20 балів IV семестр Разом за семестр До 100 балів

КРИТЕРІЇ МОДУЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ Семестровий курс дисципліни «Математичний аналіз» розбито на 2 модулі.

Кожний модуль має ряд поточних контрольних заходів і закінчується підсумковим модульним контролем, обов‘язковим для студента. Підсумковий модульний контроль проводиться під час контрольних тижнів за розкладом, складеним деканатом на підставі пропозицій кафедри, яка викладає дану дисципліну. − За кожний вид поточного і рубіжного (модульного) контролю студент отримує бальні оцінки, які сумуються в межах модулю і виступатимуть надалі складовою загальної бальної оцінки за всі модулі дисципліни. Одержання студентом мінімальної бальної оцінки за кожний з двох модулів є обов’язковою умовою його допуску до заліку з дисципліни.

Поточний контроль здійснюється у кожній академічній групі, полягає у тому, що студенти виконують практичні завдання з кожного модулю у відповідні аудиторні часи та за рахунок часу, відведеного на індивідуальну роботу, а також у години самостійної роботи відпрацьовують індивідуальне завдання практичного матеріалу, яке одержує кожний студент. Це сприяє організації та стимулюванню роботи студентів у часи, відведені навчальним планом на самостійну роботу.

Система бальних оцінок видів поточного і рубіжного контролю за модулями 1. Практичний матеріал. Складається з робіт, об‘єднаних в модулі. Результат виконання і

захисту студентом кожної роботи оцінюється окремо. 2. Бальна система стимулювання активності студентів (“бонуси”). Ця система

додаткових балів вводиться з метою заохочування студентів до планомірної, систематичної роботи по вивченню теоретичного матеріалу і оволодінню ними знаннями і уміннями, передбаченими даною дисципліною, а також з метою стимулювання їх до творчого підходу при розв’язанні практичних завдань. Вона передбачає додаткові бали за:

− відвідування лекційних занять; − захист роботи на першому тижні після видачі завдання.

Загальна бальна оцінка одержується простим сумуванням одержаних студентом балів за всі види контролю та “бонуси”:

Максимально можлива бальна оцінка, яку може набрати студент за всі модулі дисципліни, дорівнює 80 балам, а за окремий модуль, відповідно, по 40 балів.

Модуль зараховується студентові, якщо він набрав не менше 50% від максимальної суми балів за модуль. Для кожного модуля це становить відповідно 20 балів.

Студентові, який не з'явився в продовж навчального семестру на проміжний або рубіжний контроль згідно із встановленим графіком, виставляється незалік з відповідного модуля. Студент, який не отримав заліки з модулів, не допускається до складання іспиту з дисципліни.

Максимально можлива бальна оцінка, яку може набрати студент за іспит дорівнює 20 балам.

Максимально можлива бальна оцінка, яку може набрати студент з дисципліни, дорівнює 100 балам

Підсумкова оцінка - це оцінка, яка визначається шляхом переводу викладачем сумарного балу з дисципліни у традиційну академічну оцінку національної шкали ("відмінно", "добре", "задовільно", "незадовільно", "незадовільно/з повторним курсом"), або за результатами підсумкового модульного контролю (залік, екзамен, захист наукової роботи).

Порядок перерахунку рейтингових показників нормованої 100-бальної університетської шкали оцінювання в традиційну 4-бальну шкалу та європейську шкалу ЕСТS.

Інтервальна шкала оцінок встановлює взаємозв’язки між рейтинговими показниками і шкалами оцінок.

Екзамен Залік

A 90 – 100 (відмінно) 5 (відмінно)

B 80 – 89 (дуже добре)

C 75 – 79 (добре)

4 (добре)

D 65 – 74 (задовільно)

E 60 – 64 (достатньо)

3 (задовільно)

Зараховано

FX 35 – 59

(незадовільно – з можливістю повторного складання)

F 1 – 34

(незадовільно – з обов’язковим повторним курсом)

2 (незадовільно) Не зараховано

ТЕМАТИКА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль 1. Множини. Послідовності. Функції. Тема 1. Елементи теорії множин. Теорія дійсних чисел Поняття множини. Означення теоретико-множинних операцій. Принцип математичної індукції. Елементи комбінаторики. Зчисленні множини та їх властивості. Теорема про існування вищих потужностей. Властивості раціональних чисел. Нескінченні десяткові дроби та їх упорядкованість. Числові множини, обмежені зверху, знизу. Теорема про існування точних граней. Наближення дійсних чисел раціональними. Тема 2. Теорія границь Поняття функції та способи її задання. Послідовності та їх види. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, зв’язок між ними. Властивості границі послідовності. Монотонні послідовності. Число Ейлера. Принцип стягувальних сегментів. Граничні точки множини та послідовності. Підпослідовності. Верхня та нижня границі. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Критерій Коші збіжності послідовності. Границя функції по Гейне та по Коші. Односторонні границі. Критерій Коші існування границі функції. Арифметичні операції над функціями, які мають границю. Тема 3. Неперервні функції Неперервність по Гейне та по Коші. Арифметичні операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Монотонні функції. Критерій існування оберненої функції. Дві істотні границі та наслідки з них. Класифікація точок розриву функції. Локальні властивості неперервних

функцій. Глобальні властивості неперервних функцій. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора. Модуль 2. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Тема 1. Диференціальне числення Означення похідної. Односторонні похідні. Диференційованість функцій. Диференціал. Геометричний зміст похідної та диференціалу. Дотична. Нормаль. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу. Арифметичні операції з диференційованими функціями. Табличні похідні та диференціали. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Тема 2. Основні теореми про диференційовні функції Монотонність функції в точці. Локальний екстремум. Теореми Ролля, Лагранжа. Застосування формули скінченних приростів. Теореми Коші, Дарбу. Правила Лопіталя. Формула Тейлора. Оцінки залишкового члена формули Маклорена. Тема 3. Дослідження функцій та побудова графіків Стаціонарні точки. Необхідні та достатні умови екстремуму. Опуклість графіку функції. Точки перегину. Асимптоти графіку функції. Глобальний та крайовий екстремуми. Модуль 3. Інтегральне числення функції однієї змінної. Тема 1. Первісна та неозначений інтеграл Означення та властивості первісної функції. Таблиця неозначених інтегралів. Методи інтегрування: заміна змінної та інтегрування частинами. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій. Тема 2. Означений інтеграл Рімана Означення інтеграла. Необхідна умова інтегровності. Верхні та нижні суми Дарбу, їх властивості. Критерій інтегровності функцій. Класи інтегровних функцій. Основні властивості означеного інтеграла. Інтеграл Рімана зі змінною верхнєю межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Теореми про середнє значення. Методи обчислення означених інтегралів. Тема 3. Застосування означеного інтегралу Спрямляємі криві. Обчислення довжини дуги. Квадровані фігури на площині. Критерій квадрованості. Площа плоскої фігури. Об’єм тіла обертання. Площа поверхні тіл обертання. Тема 4. Невласні інтеграли Невласні інтеграли 1 роду. Критерій Коші їх збіжності. Невласні інтеграли 2 роду. Критерій Коші їх збіжності. Достатні ознаки збіжності інтегралів та методи їх обчислення. Модуль 4. Ряди. Функції багатьох змінних.

Тема 1. Числові ряди Поняття числового ряду. Необхідна умова збіжності. Критерій Коші.Ознаки збіжності знакопостійних рядів. Ознаки збіжності знакозмінних рядів. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди. Теорема Рімана. Тема 2. Нескінченні добутки Тема 3. Функціональні ряди Функціональні послідовності і ряди. Область їх збіжності. Рівномірна збіжність функціональних рядів. Критерій Коші. Достатні ознаки рівномірної збіжності. Інтегрування рівномірно збіжних рядів. Диференціювання функціональних рядів. Тема 4. Степеневі ряди Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Радіус збіжності. Формула Коші-Адамара. Властивості степеневого ряду.Розклад функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів. Формула Стірлінга. Аналітичне означення тригонометричних функцій. Формула Ейлера. Тема 5. Метричні простори Тема 6. Функції багатьох змінних Означення функції багатьох змінних. Поверхні рівня. Границі функції багатьох змінних в точці. Неперервність функції багатьох змінних в точці та замкненій області. Частинні похідні та дифференціал першого порядку. Умови диференційовності. Диференціювання складних функцій. Частинні похідні вищих порядків та незалежність їх від порядку диференціювання. Диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Формула Тейлора, її застосування. Дослідження функції багатьох змінних на локальний екстремум. Необхідні і достатні умови екстремума. Тема 7. Неявні функції Теорема про існування неявної функції. Функціональні визначники та їх властивості. Функціональна залежність функцій. Умови незалежності. Умовний екстремум. Застосування функцій багатьох змінних в геометрії. Модуль 5. Ряди Фур’є. Кратні інтеграли. Тема 1. Інтеграли як функції параметрів Інтеграли зі скінченними межами інтегрування та їх властивості. Невласні інтеграли. Рівномірна збіжність. Інтегрування та диференціювання по параметру. Інтеграли Ейлера 1 і 2 порядків, їх властивості. Застосування інтегралів як функцій параметрів. Тема 2. Ряди Фур’є Ортогональні системи функцій. Середнє квадратичне відхилення. Збіжність в середньому. Ряд Фур’є, умови розкладу функцій в ряд Фур’є. Рівномірна збіжність ряду Фур’є. Тема 3. Кратні інтеграли Означення подвійного інтеграла та його властивості. Зв’язок подвійного інтеграла з повторним. Обчислення подвійного інтеграла по довільній області. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Обчислення площі плоскої фігури та об’єму циліндричних тіл. Обчислення площ поверхонь.

Застосування подвійного інтегралу в механіці. Означення потрійного інтегралу, властивості, методи обчислень, застосування. Заміна змінних в потрійному інтегралі. Невласні кратні інтеграли. Модуль 6. Криволінійні та поверхневі інтеграли. Тема 1. Криволінійні інтеграли. Криволінійні інтеграли 1 типу, властивості, обчислення, застосування. Криволінійні інтеграли 2 типу, властивості, обчислення, застосування. Тема 2. Поверхневі інтеграли. Поверхневі інтеграли 1 типу, властивості, обчислення, застосування. Поверхневі інтеграли 2 типу, властивості, обчислення, застосування. Зв’язок поверхневого, криволінійного і кратного інтеграла. Тема 3. Теорія поля. Скалярне та векторні поля, їх характеристики. Модуль 7. Основи теорії функцій комплексної змінної Комплексні числа та дії над ними. Функція комплексної змінної. Аналітичні функції. Зв’язок між аналітичними та гармонічними функціями. Інтегрування функцій комплексної змінної. Теорема Коші. Ряди аналітичних функцій. Степеневі ряди, ряд Тейлора, ряд Лорана. Ізольовані особливі точки, їх класифікація. Теорія лишків. Обчислення інтегралів за допомогою теорії лишків. Модуль 8. Елементи теорії операційного числення Основні поняття операційного числення. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Кричевський В.В., Д’яченко Н.М., Тітова О.О., Стреляєв Ю.М, Шашков К.В. Збірник типових розрахункових завдань і вправ з дисципліни „Математичний аналіз” для студентів математичного факультету. – Запоріжжя:ЗНУ, 2006. – 72с.

ЛІТЕРАТУРА

Основна: 1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.-

М.:Наука,1979.-720 с. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ.

Продолжение курса. - М.:Изд-во МГУ,1987.-358 с. 3. Зорич В.А. Математический анализ.-М.:Наука.-Ч.1.-1981.-543 с.,Ч.2.-

1984.-640 с. 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления.-М.:Наука.-Т.1.-1966.-608 с.,Т.2.-1966.-800 с.,Т.3.-1969.-656 с.

5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.-М.:Наука,1990.-624 с.

6. Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу/И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; Под общ. ред. В.А. Садовничего.-М.:Изд-во МГУ,1988.-415 с.

7. Виноградова И.А. и др. Математический анализ в задачах и упражнениях/И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий.-М.:Изд-во МГУ,1991.-351 с.

8. Сборник задач по математическому анализу: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость/Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.-М.:Наука,1984.-592 с.

9. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды/Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.-М.:Наука,1986.-600 с.

10. Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных/Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.-СПб.:Кристалл,1994.-496 с.

Додаткова:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1.-М.:Высш.шк.,1988.-712 с.; Т.2.-М.:Высш.шк.,1988.-576 с.; Т.3.-М.:Высш.шк.,1989.-352 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М.:Наука.-Ч.1.-1982.-616 с.; Ч.2.-1980.-447 с.

3. Никольский С.М. Курс математического анализа.-М.:Наука.-Т.1.-1990.-528 с.; Т.2.-1991.-543 с.

4. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу.-М.:Просвещение,1981.-232 с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.-М.:Наука,1985.-383 с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.:Наука,1989.-674 с.

7. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Диференціальне числення.-К.:Вища шк.,1993.-375 с.

8. Шунда Н.М., Томусяк А.А. Практикум з математичного аналізу: Інтегральне числення. Ряди.-К.:Вища шк.,1995.-541 с.

9. Давидов М.О. Курс математичного аналізу.-К.:Вища шк.-Ч.1. Функції однієї змінної.-1990.-380 с.; Ч.2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння.-1991.-365 с.; Ч.3. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу.-1992.-358 с.

10. Ляшко І.І. та ін. Математичний аналіз: У 2 ч./І.І. Ляшко, В.Ф. Ємельянов, О.К. Боярчук.-К.:Вища шк.-Ч.1.-1992.-494 с.; Ч.2.-1993.-375 с.

11. Математический анализ в примерах и задачах/И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Л.Г. Гай, Г.П. Головчак.-К.:Вища шк.-Ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл.-1974.-679 с.; Ч.2. Ряды, функции нескольких

переменных, кратные и криволинейные интегралы.-1977.-671 с.; Ч.3. Интегрирование дифференциальных уравнений.-1987.-342 с.

12. Справочное пособие по математическому анализу/И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Л.Г. Гай, Г.П. Головчак.-К.:Вища шк.-Ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл.-1978.-696 с.; Ч.2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы.-1979.-734 с.

13. Райхмист Р.Б. Графики функций.-М.:Высш.шк.,1991.-160 с. 14. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому

анализу.-М.:Высш.шк.,1966.-460 с.

ПИТАННЯ ДО ЕКЗАМЕНУ

1 семестр 1. Множини. Операції над множинами. 2. Числові множини. 3. Еквівалентні множини. Потужність множини. Теорема про потужність

проміжної множини. 4. Теорема Шрьодера-Бернштейна про еквівалентні множини. 5. Зчисленні множини. Теореми про їх потужність. 6. Зчисленність множини раціональних чисел і множини алгебраїчних

чисел. 7. Множина дійсних чисел та її властивості. 8. Точна верхня і нижня грані числової множини. Теорема про їх існування. 9. Впорядкованість множини дійсних чисел. Наближення дійсних чисел

раціональними. 10. Операції над дійсними числами. 11. Метод математичної індукції та його застосування. Біном Ньютона. 12. Поняття функції. Способи задання функції. 13. Класифікація функцій. Властивості функцій. 14. Числові послідовності, їх види та способи задання. Верхні і нижні грані

числової послідовності. 15. Збіжні послідовності. Границя послідовності. Необхідні й достатні умови

збіжності послідовності. 16. Нескінченно малі, нескінченно великі послідовності. Зв’язок між ними.

Властивості нескінченно малих послідовностей. 17. Властивості збіжних послідовностей. Теореми про операції над збіжними

послідовностями. 18. Монотонні послідовності. Теорема Вейєрштраса про границю монотонної

послідовності та її застосування. 19. Число е. 20. Теорема Больцано-Вейєрштраса про існування граничної точки,

послідовності. Необхідні умови збіжності числової послідовності. 21. Нижня і верхня границі числової послідовності. Теорема про їх існування. 22. Підпослідовності числової послідовності. Зв’язок їх збіжності з збіжністю

числової послідовності.

23. Критерій Коші збіжності числової послідовності. 24. Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші та їх

еквівалентність. 25. Перша істотна границя та наслідки з неї. 26. Друга істотна границя та наслідки з неї. 27. Границя складної функції. Границя неперервної функції. Методи

знаходження границь. 28. Операції над границями функцій: критерій Коші існування границі

функції в точці. 29. Ліва й права границі функції в точці, їх зв’язок з границею функції. 30. Границя функції на нескінченості і нескінчені границі. 31. Нескінченно малі функції та їх порівняння. 32. Неперервність функції в точці. Різні означення неперервності функції в

точці та їх еквівалентність. 33. Локальні властивості неперервних функцій. 34. Властивості функції, неперервної на сегменті. 35. Елементарні функції та їх властивості. 36. Поняття похідної функції в точці, її геометричний зміст, фізичний зміст.

Односторонні похідні. 37. Диференційованість функції в точці. Необхідні й достатні умови

диференційованості. Зв’язок між диференційованістю і неперервністю функції.

38. Основні формули диференціювання. 39. Основні формули похідних та їх доведення. 40. Диференціювання складної функції. Диференціювання оберненої функції. 41. Диференціювання функцій, заданих параметрично. 42. Логарифмічна похідна та її застосування. 43. Диференціал функції першого порядку, інваріантність його форм,

геометричний зміст та застосування. 44. Похідні й диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. 45. Основні теореми про диференційовані функції (теореми Ферма, Ролля). Їх

геометричний зміст та застосування. 46. Основні теореми про диференційовані функції (теореми Лагранжа, Коші).

Їх геометричний зміст та застосування. 47. Формула Тейлора диференційованих функцій. Залишковий член в формі

Пеано, Лагранжа, Коші. 48. Теореми Лопіталя та її застосування до знаходження границь функції. 49. Формула Тейлора елементарних функції та її застосування. 50. Монотонність функції. Умови монотонності. 51. Локальний екстремум функції. Необхідні й достатні умови екстремуму

функції. 52. Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину, умови їх

існування. 53. Асимптоти графіка функції та методи їх знаходження. 54. Повне дослідження і побудова графіка функції.

2 семестр 1. Первісна і неозначений інтеграл функції та їх властивості. 2. Безпосереднє інтегрування та основні табличні інтеграли. 3. Метод заміни змінної інтегрування та його застосування. 4. Метод інтегрування частинами та його застосування. 5. Розклад раціональної функції на елементарні раціональні функції. 6. Інтегрування раціональних функцій. 7. Метод Остроградського інтегрування раціональних функцій. 8. Інтегрування ірраціональних функцій. Підстановки Ейлера. 9. Інтегрування диференціальних біномів. Теорема Чебишева. 10. Інтегрування тригонометричних функцій. 11. Тригонометричні підстановки, підстановка Абеля. 12. Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. 13. Означення означеного інтеграла. Необхідна умова інтегрованості функції

на відрізку. 14. Суми Дарбу та їх властивості. 15. Необхідні й достатні умови інтегровності функції по Ріману. 16. Властивості означеного інтеграла. 17. Класи інтегрованих функцій по Ріману. 18. Інтеграл з змінною верхнею межею інтегрування та його властивості.

Формула Ньютона-Лейбніца. 19. Теорема про середнє значення означеного інтеграла. 20. Метод підстановки в означеному інтегралі та його застосування.

Інтеграли з симетричними межами інтегрування. 21. Метод інтегрування частинами в означеному інтегралі та його

застосування. Залишковий член формули Тейлора в інтегральній формі. 22. Площа плоскої фігури. Квадровані фігури. Умови квадрованості. 23. Обчислення площ плоских фігур. 24. Довжина дуги та методи її обчислення. 25. Обчислення об’ємів тіл за допомогою означеного інтеграла. 26. Обчислення площі поверхні тіл обертання. 27. Застосування означеного інтеграла в механіці. 28. Невласні інтеграли першого роду. Критерій Коші їх збіжності. 29. Достатні ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду. 30. Невласні інтеграли другого роду. Ознаки їх збіжності. 31. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Головне значення

невласного інтеграла. 32. Методи обчислення невласних інтегралів. 33. Метричні простори. Приклади метричних просторів. Повний метричний

простір. 34. Поняття функції багатьох змінних, область визначення, множина значень.

Поверхні рівня. 35. Границі і неперервність функції багатьох змінних. Властивості

неперервної функції в замкненій області.

36. Диференційованість функції багатьох змінних. Теореми про середнє. Необхідні й достатні умови диференційованості функції багатьох змінних.

37. Диференціювання складної функції багатьох змінних. Диференціал першого порядку та його інваріантність. Теорема Ейлера про однорідні функції.

38. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про незалежність їх від порядку диференціювання.

39. Диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца для знаходження похідних і диференціалів вищих порядків від добутку.

40. Формула Тейлора функцій багатьох змінних та її застосування. 41. Локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Необхідні

умови існування локального екстремуму. 42. Достатні умови існування локального екстремуму. Найбільше і найменше

значення диференційованої функції в замкненій області. 43. Теорема про існування, неперервність і диференційованість функції,

заданої неявно. 44. Теорема про існування, неперервність і диференційованість системи

функцій, заданих неявно. 45. Функціональні визначники, їх властивості та застосування. 46. Умовний екстремум функції багатьох змінних і методи дослідження на

умовний екстремум. 47. Нормальна площина і дотична до просторової лінії. 48. Нормаль і дотична площина до поверхні. 49. Поняття числового ряду, його суми. Необхідні й достатні умови збіжності

числового ряду. 50. Знакопостійні числові ряди. Достатні ознаки їх збіжності (ознаки

порівняння, Даламбера). 51. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів (радикальна і інтегральна

ознаки Коші, ознака Раабе). 52. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца збіжності знакопочережного ряду. 53. Достатні ознаки збіжності знакозмінних рядів. 54. Абсолютно збіжні ряди та їх властивості. 55. Умовно збіжні ряди та їх властивості. 56. Функціональні послідовності. Рівномірно збіжні функціональні

послідовності та їх властивості. 57. Функціональні ряди, області їх збіжності. Абсолютно і рівномірно збіжні

функціональні ряди. Критерій Коші. 58. Достатні ознаки рівномірної збіжності рядів. 59. Неперервність суми функціонального ряду. Теорема Діні. 60. Інтегрування і диференціювання функціональних рядів. 61. Степеневі ряди. Теорема Абеля про радіус і область збіжності степеневого

ряду. 62. Формула Коші-Адамара знаходження радіуса збіжності. Властивості

степеневих рядів.

63. Розклад в степеневий ряд функцій. Единість розкладу. Розклад елементарних функцій: показникової і тригонометричних.

64. Біномінальний ряд та його застосування до розкладу елементарних функцій.

65. Застосування степеневих рядів до знаходження сум, обчислення інтегралів.

66. Застосування ряду Тейлора до наближеного обчислення значень функцій. 67. Формула Стірлінга. 68. Операції над степеневими рядами. Наближене розв’язання

диференціальних рівнянь. 69. Нескінчені добутки. Умови збіжності нескінчених добутків. Абсолютна і

умовна збіжність. 70. Розклад тригонометричних функцій в нескінчені добутки. 71. Формули Ейлера. Аналітичне означення тригонометричних функцій та їх

властивості. 3 семестр

1. Бета-функція. 2. Гама-функція 3. Інтеграли, що залежать від параметра. 4. Ортогональні і ортонормовані системи функцій. Приклади таких систем. 5. Середньоквадратичне відхилення. Збіжність в середньому послідовностей

та її зв’язок з іншими збіжностями. 6. Тригонометричний ряд Фур’є. Інтегральна форма його частинної суми. 7. Коефіцієнти ряду Фур’є та їх властивості. Нерівність Бесселя. 8. Збіжність тригонометричного ряду Фур’є. 9. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур’є. 10. Замкнутість системи тригонометричних функцій на множині кусочно-

неперервних функцій. 11. Властивості замкнутих систем на множині кусочно-неперервних функцій. 12. Розклад в тригонометричний ряд Фур’є періодичних функцій. 13. Розклад в тригонометричний ряд Фур’є на (а, в). Розклад в ряд Фур’є за

синусами, за косинусами. 14. Комплексна форма тригонометричного ряду Фур’є. Кратні

тригонометричні ряди Фур’є. 15. Інтеграл Фур’є. Інтегральні перетворення Фур’є. 16. Означення подвійного інтегралу. Задачі, що приводять до поняття

подвійного інтегралу. Умови існування подвійного інтегралу. 17. Властивості подвійного інтегралу. 18. Методи обчислення подвійного інтеграла: зведення до повторних

інтегралів. 19. Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі. 20. Обчислення площ плоских фігур і об’ємів циліндричних тіл за допомогою

подвійного інтеграла. 21. Поняття площі кривої поверхні та її обчислення подвійним інтегралом. 22. Застосування подвійних інтегралів в механіці.

23. Означення потрійного інтегралу, властивості і умови існування. 24. Методи обчислення потрійних інтегралів. 25. Циліндричні координати, координатні поверхні та координатні лінії в

циліндричних координатах. 26. Сферичні координати, координатні поверхні та координатні лінії в

сферичних координатах. 27. Застосування потрійних інтегралів. 28. Кратні інтеграли, міра n-вимірної області. Методи обчислення кратних

інтегралів. 29. Криволінійні інтеграли І-го типу: означення, властивості і методи

обчислення. 30. Застосування криволінійних інтегралів першого типу. 31. Криволінійні інтеграли другого типу: означення, властивості та методи

обчислення. 32. Формула Гріна та наслідки з неї. 33. Застосування криволінійних інтегралів другого типу. 34. Поверхневі інтеграли першого типу: означення, властивості і методи

обчислення. 35. Застосування поверхневих інтегралів першого типу. 36. Поверхневі інтеграли другого типу: означення, властивості і методи

обчислення. 37. Формула Остроградського-Гауса та її застосування. 38. Формула Стокса та її застосування. 39. Скалярне поле та його характеристики. 40. Векторне поле та його характеристики. 41. Інтегральні характеристики векторного поля: потік і циркуляція та методи

їх обчислення. 42. Градіент скалярного поля та вираження його в різних формах. 43. Дивергенція векторного поля та вираження її в різних формах. 44. Ротор векторного поля та вираження його в різних формах. 45. Потенціальне поле, умови потенціальності. Скалярний потенціал та

методи його знаходження. Квазіпотенціальні поля. 46. Соленоїдальне поле, умови соленоїдальності. Векторний потенціал та

методи його знаходження.