ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Είχαμε πει ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό)

όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη

μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση

μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος (και ανεξάρτητη

της διαδρομής που ακολουθήσαμε).

«Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του

σώματος, η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U(r), τέτοια ώστε:»

00[ ( ) ( )]

P

PW F dr U r U r= = − −

Για ηλεκτρικά φορτία και αφού κάθε κατανομή φορτίου μπορεί να

αναλυθεί σε απειροστά φορτία dq, μας ενδιαφέρει να εστιάσουμε

αρχικά στο έργο κατά την κίνηση ενός σημειακού φορτίου q΄ μέσα στο

πεδίο ενός σταθερού σημειακού φορτίου q.

Η ηλεκτρική δύναμη στο q΄ θα είναι F=q΄· E .

Έργο και δυναμική ενέργεια σε ηλεκτρικό πεδίο

Το παραγόμενο έργο κατά την κίνηση ενός σημειακού φορτίου q΄

κάτω από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου ενός σημειακού φορτίου q

(αρχή συστήματος συντεταγμένων στο q):

0 02 2

0 0

1 1ˆ

4 4

P r

P r

q q q qW r dr dr

πε πεr r

= = =

0

0 0 0

( ) [ ( ) ( )]4 4

q q q qU r U r

πε r πε r

= − − = − −

ΠΡΟΣΟΧΗ: «Επιβιώνει» μόνον η ακτινική συνιστώσα μετατόπισης.

Για κίνηση του q΄ σε σφαίρα σταθερής ακτίνας δεν παράγεται έργο

από την ηλεκτρική δύναμη

ΠΡΟΣΟΧΗ: Συνάρτηση μόνον της αρχικής και τελικής απόστασης από το φορτίο q.

Διατηρητικό

πεδίο

Η διαφορά δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο του χώρου σε ένα άλλο, είναι το

έργο που παράγεται από το (ή αποθηκεύεται στο) πεδίο κατά τη μετακίνηση ενός

σώματος από το ένα σημείο στο άλλο.

Η τιμή δυναμικής ενέργειας σε ένα σημείο του χώρου δεν έχει φυσική

σημασία. Φυσική σημασία έχει η διαφορά δυναμικής ενέργειας ανάμεσα σε

δύο σημεία.

Συνεπώς για να μετράμε την δυναμική ενέργεια μπορούμε να επιλέγουμε

αυθαίρετα ένα «βολικό» σημείο αναφοράς.

Έτσι, για την προηγούμενη περίπτωση επιλέγουμε U(r)=0 για r→ και

έχουμε:

0

1( )

4

q qU r

πε r

=

Επέκταση: Δυναμική ενέργεια του q΄ λόγω συστήματος φορτίων

αλγεβρικό άθροισμα

10

( )4

Ni

i i

qqU r

πε r=

=

Έργο και δυναμική ενέργεια σε ηλεκτρικό πεδίο

q΄qi

Ορισμός του Ηλεκτροστατικού Δυναμικού:

= “δυναμικό", “μεταβολή δυναμικού"

ή «πτώση δυναμικού».

Όπως στο θέμα της ηλεκτροστατικής δύναμης (δύναμη Coulomb),

αποδώσαμε μία ιδιότητα στο χώρο, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου

Ε, ώστε να αποδεσμευθούμε από το δοκίμιο q΄, έτσι και εδώ ορίζουμε

το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε ένα σημείο του χώρου V(P) ώστε:

0 00[ ( ) ( )]

P P

P PW q E dr q E dr U r U r = = = − −

0

00

( )( )[ ] [ ( ) ( )]

P

P

U rU rE dr V r V r

q q = − − = − −

0 0[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]W U r U r q V r V r= − − = − −

Τι εκφράζει το δυναμικό;

Μονάδες:

[V] = [U/q] = Newton·m/Cb = Joule Cb-1 = V (volt), δηλαδή

ενέργεια ανά μονάδα φορτίου:

“Ένα Volt είναι το έργο ανά μονάδα φορτίου (W/q), όταν μετακινούμε

φορτίο q κατά 1 m εντός πεδίου εντάσεως 1 Netwon/Cb”.

Άλλη μονάδα ενέργειας (για μικρές τιμές της):

Ηλεκτρονιοβόλτ (eV).

Η ενέργεια για τη μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σε διαφορά δυναμικού

1 Volt.

1eV=1.6x10-19 Joule

Μετατροπή: μονάδες ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του Volt

[E] = Newton/Cb = Newton·m /(Cb·m) = Volt/m

1 Cb Volt=1 Newton m

Έχοντας την έννοια του δυναμικού:

(a) Δυναμικό στο σημείο P στο πεδίο ενός σημειακού

φορτίου q.

0

1( )

4

qV r

πε r=

(β) Δυναμικό συστήματος φορτίων

10

1( )

4

Ni

i i

qV r

πε r==

όπου θεωρήσαμε ότι για r→ V(r)=0

Επαλληλία δυναμικών (αλγεβρικό άθροισμα,

όπως και πριν με την Δυναμική Ενέργεια)

όπου θεωρήσαμε και πάλι ότι για r→ V(r)=0

qi

Παραγωγή του E από το V

E r E r

B

A

V d dV d = − = −

ExV

x

= −

ˆ ˆ ˆr =dx x +dy y+dz zd

x y zˆ ˆ ˆ[dx (E x)+dy (E y)+dz (E z)]= (E dx +E dy+E dz)dV = − −

Για μετατόπιση κατά x, έχουμε dy, dz=0

Για μετατόπιση κατά y, έχουμε dx, dz=0

Για μετατόπιση κατά z, έχουμε dx, dy=0

E yV

y

= −

E zV

z

= −

ˆ ˆ ˆE x+ y+ zV V V

Vx y z

= − = −

Σχόλιο: για την κίνηση φορτίου σε

ισοδυναμική επιφάνεια οι ηλεκτρικές

δυνάμεις δεν παράγουν έργο (qV

σταθερό). Άρα το Ε είναι πάντα κάθετο

στις ισοδυναμικές επιφάνειες.

Ισοδυναμικές επιφάνειεςΣχόλιο: για την κίνηση φορτίου σε ισοδυναμική επιφάνεια οι ηλεκτρικές δυνάμεις δεν

παράγουν έργο (V σταθερό, qΔV=0). Άρα το Ε είναι πάντα κάθετο στις ισοδυναμικές

επιφάνειες.

Ισοδυναμικές επιφάνειες: επίπεδα

Ισοδυναμικές επιφάνειες:

κύλινδροι, παραπλευρη

επιφανεια (όχι οι βάσεις)

Ισοδυναμικές επιφάνειες:

λοβοί

γραμμές πεδίου

Ισοδυναμικές γραμμές: τομή ισοδυναμικής

επιφάνειας με το επίπεδο απεικόνισης

Παραγωγή του E από το V

ˆ ˆ ˆx+ y+ zf f f

x y z

=

Τελεστής βαθμίδας {grad(ient)} για δράση πάνω σε αλγεβρική συνάρτηση f

E V= −

1 1ˆ ˆˆsin

f f fr

r r r

= + +

F U= −Ισοδύναμο με το συσχετισμό της

Δύναμης με την Δυναμική Ενέργεια που

γνωρίζαμε από τη Μηχανική:

1 ˆˆ ˆf f f

zz

= + +

Καρτεσιανό

Κυλινδρικό

Σφαιρικό

Σύστημα

Συντεταγμένων

( , , )f f r =

( , , )f f z =

( , , )f f x y z=

Παραγωγή του E από το VΌταν έχουμε συντηρητικό πεδίο τότε το δυναμικό

αποτελεί έναν εύκολο τρόπο να υπολογίσουμε και να

περιγράψουμε το πεδίο δυνάμεων.

E V= −

Αντί να αντιστοιχίζουμε σε κάθε σημείο του χώρου τρεις

τιμές Εx, Ey, Ez(Οι οποίες προέκυψαν «δύσκολα» από διανυσματική επαλληλία

των επιμέρους εντάσεων λόγω μίας κατανομής φορτίων).

Αντιστοιχίζω σε κάθε σημείο του χώρου μία και μόνον

τιμή δυναμικού V. (Που προκύπτει απλούστερα από την αλγεβρική επαλληλία των

επιμέρους δυναμικών λόγω μίας κατανομής φορτίων).

Και έχω μία σχέση για να υπολογίζω την ένταση του

πεδίου από τη συνάρτηση δυναμικού

Υπολογίζοντας το Δυναμικό από την Ένταση(1) Αγώγιμη (επιφανειακά) φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q

Υπολογίσαμε ήδη το E(r) με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς 0, V()=0

(ii) Για r < R, E(r) = 0

20 0

1 1( ) ( ) ( )

4 4

r

rr

Q QV r V E dr V r dr

πε πε rr

− = − = = −

σταθερό

0

1( ) ( ) 0 ( ) ( )

4

r

R

QV r V R E dr V r V R

πε R− = − = = =

(i) Για r R

0

1( )

4

QV r

πε r = ως δυναμικό από σημειακό φορτίο

Q στο κέντρο της σφαίρας.

Υπολογίζοντας το Δυναμικό από την Ένταση(1) Ομογενώς (στον όγκο) φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q

Υπολογίσαμε ήδη το E(r) με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς 0, V()=0

0

1( )

4

QV r

πε r =

rR 20

( )4

QE r

r=

σαν πεδίο από σημειακό φορτίο

Q στο κέντρο της σφαίρας.

30

( ) ( )4

R

r

QV r V R r dr

πε R− =

00[ ( ) ( )]

r

rV r V r E dr− − =

0

1( )

4

QV R

πε R=

2 2

30

( ) ( ) ( )2 24

Q R rV r V R

πε R= − + με

3

0

( )4

QE r r

R=

rR

V(r)

r

r

V r

ΔΥΣΚΟΛΙΑ:

Δεν μπορούμε θέσουμε στο άπειρο το σημείο

αναφοράς 0 αφού εάν V(∞) = 0, τότε V(r) = ∞.

Συνεπώς, για να έχει φυσικό νόημα η κατανομή

δυναμικού θεωρήσαμε το δυναμικό μηδέν σε ένα

αυθαίρετο σημείο r0.

Υπολογίζοντας το Δυναμικό από την Ένταση(2) άπειρη, ευθύγραμμη κατανομή φορτίου με λ=σταθ.

Ε(r)

r

0

0

0 0

( ) ( ) ( )2 2

r

r

r V r V r drr r

= − = −

0

0

0 0 0

( ) ( ) ln ( ) ln2 2

rrV r V r V r

r r

− = − =

00lnrr

r

→ ⎯⎯⎯→

r0

Υπολογίσαμε ήδη το E(r) με Gauss.

χ

y

0

ˆ ˆσ

E E y yε

= − = −

( ) (0)V V d V E d V E d = − = =

00[ ( ) ( )]

P

PE dr V r V r = − −

00 0

Δ ( ) (0)y σ σ

V V y V dy y E yε ε

= − = − − = =

Υπάρχει μόνον συνιστώσα κατά y

και είναι σταθερή σε μέτρο

Υπολογίζοντας το Δυναμικό από την Ένταση(2) Ομογενώς φορτισμένα (+σ, -σ) πλακίδια απείρου εμβαδού,

Έχουμε +σ στο y = d και -σ στο y = 0 (στάθμη αναφοράς: V((y=0)) = 0)

Υπολογίσαμε ήδη το E(r) με Gauss. Θεωρώ ως στάθμη αναφοράς 0, V()=0

E

Εύρεση δυναμικού σε απόσταση z από το κέντρο του δακτυλίου.

δηλ. δυναμικό σημειακού φορτίου Q,

για z>>a

2 2 2 20 0

1 1 a(0,0, )

4 4a a

ds ddV z

z z

= =

+ +χ

y

z

φ

ds=adφ

2 2ar z= +

2

2 2 2 20 00

1 a 2 a

4 4a ad

z z

= =

+ +

2 20 0

1 1(0,0, )

4 4a

zQ QV zzz

→= ⎯⎯⎯→+

Υπολογίζοντας την Ένταση από το Δυναμικό(1) Ομογενώς φορτισμένος (λ) δακτύλιος ακτίνα a

2

0

a a 2 adq ds d Q d

= = = = επειδή λ=σταθ. βγαίνει από το ολοκλήρωμα

2 2 3/ 2

0

(0,0, ) 1

4 ( a )z

V z zQE

z z

= − =

+

a

ΠΡΟΣΟΧΗ: Υπολογίσαμε μόνον την μορφή του δυναμικού στην γραμμή (0,0,z). Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε

την συνιστώσα έντασης του πεδίου μόνον κατά z.

Γνωρίζω V=V(x,0) άρα μπορώ να υπολογίσω την συνιστώσα της

έντασης του πεδίου στην κατεύθυνση x:

2 2 20 0 0

1 1 2( ,0) ( )

4 4 ( ) 4

E

x

pq q dV x

πε x d x d πε x d πε x→

= − = ⎯⎯⎯→− + −

2 2 2 30 0

2 2( ) 1 1

4 4( )

x dE Ex

p x pV xE

x πε πεx d x

= − = ⎯⎯⎯→

−

Υπολογίζοντας την Ένταση από το Δυναμικό(2) Δυναμικό κατά μήκος άξονα διπόλου (pe=q·2d)

Συνεπώς

dd x

y

r r1

r2

+q-q

Ε2

Ε1Ε

φ1φ2 φ

pE

30

2 cos

4

Er

p φVE

r πε r

= −

=

Γνωρίζω το V=V(r,φ) άρα μπορώ να

υπολογίσω την ένταση του πεδίου (τις

συνιστώσες Er, Eφ). Εύρεση της

έντασης για 2d

1) Πρώτο φορτίο, προκαλεί:

2) Το δεύτερο φορτίο είναι στο πεδίο του πρώτου:

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων• Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα 2 φορτία στις θέσεις τους;

11

0

1

4

qV

πε r=

2 12 2 1 21

0 21

1

4

q qU U q V U

πε r= = = =

Το έργο που καταβάλουμε για να φέρουμε ένα φορτίο από το άπειρο σε δεδομένη απόσταση από το

άλλο φορτίο. Για την τοποθέτηση του πρώτου φορτίου δεν απαιτείται καταβολή έργου.

Εάν τα φορτία είναι ομόσημα τότε η δυναμική ενέργεια είναι θετική, συνεπώς το έργο του

πεδίου είναι αρνητικό, δηλαδή εμείς καταβάλουμε ενέργεια η οποία «αποθηκεύεται» στο πεδίο.

0U =

Στον τύπο r12 είναι η απόσταση των φορτίων 1 και 2 οπότε

r12= r21. Το σωστότερο θα ήταν |r12| ή |r21| απλά το

παραλείπουμε για συντομία. Συνεπώς για την ενέργεια η

σειρά των δεικτών δεν έχει σημασία δηλ. U21=U12

3) Για 3 φορτία; Φέρνουμε και το τρίτο:

3 1 23 3 1 2

0 31 32

( )4

q q qU q V V

πε r r

= + = +

3 1 3 22 12 3 21 31 32

0 21 31 32

1

4

q q q qq qU U U U U U

πε r r r

= + = + + = + +

Ολική ενέργεια διατάξεως:

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων• Γενίκευση: Δυναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N

σημειακών φορτίων

1

2 1 20

1( ) ( )

4

N i Nj

i i ii j iij

qU q qV ρ r V r dτ

πε r

−

= = =

= = =

ΠΡΟΣΟΧΗ: Vi είναι το δυναμικό στη θέση που θα έρθει το φορτίο qi εξαιτίας

όλων των προηγούμενων φορτίων που έχουν ήδη τοποθετηθεί στο

στιγμιότυπο «κατασκευής» της διάταξης (και πριν να έρθουν τα επόμενα).

στοιχειώδης

όγκος

21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ... ( ... )N N N NU U U U U U U U U U U U U U −= + + + + + + + + + + + + + +

dq

• 1ος τρόπος υπολογισμού, ας πούμε «κατά την κατασκευή»

Δηλαδή η ενέργεια από την αλληλεπίδραση καθενός καινούργιου φορτίου

με το πεδίο που υπάρχει στη θέση του εξαιτίας όλων των προηγούμενων.

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων• Γενίκευση: Δυναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N

σημειακών φορτίων

21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ... ( ... )N N N NU U U U U U U U U U U U U U −= + + + + + + + + + + + + + +

Ο όρος αυτός είναι όμως ουσιαστικά το άθροισμα όλων των ενεργειών

αλληλεπίδρασης μεταξύ όλων των ζευγαριών φορτίων.

0

1

4

i j

ij

q qU

πε r

=

δηλαδή άθροισμα για όλα τα ζεύγη (i,j).

Φυσικά για ij και μετρώντας μόνον μία φορά την ενέργεια

αλληλεπίδρασης του κάθε ζεύγους (αφού Uij=Uji)

Εάν κάναμε όλους τους συνδυασμούς των φορτίων θα είχαμε αθροίσει δύο φορές την ενέργεια

αλληλεπίδρασης του κάθε ζευγαριού. π.χ. μία φορά την U12 όταν κάναμε το συνδυασμό του 1ου

με όλα τα άλλα και μία ακόμη την ίδια ενέργεια U21 όταν συνδυάζαμε το 2ο με όλα τα άλλα.

1 1, 1 10

1 1 12 ( ) ( )

4 2 2

N N N Nj

i i i i ii j i iij

j i

qU q qV U qV ρ r V r dτ

πε r= = = =

= = = = στοιχειώδης

όγκος

dq

ΠΡΟΣΟΧΗ: τώρα το Vi είναι το δυναμικό στη θέση που βρίσκεται το φορτίο

qi εξαιτίας όλων των άλλων φορτίων (προηγούμενων και επόμενων, η

διάταξη είναι ολοκληρωμένη).

• 2ος τρόπος υπολογισμού, ας πούμε «μετά την κατασκευή»

Ενέργεια Διάταξης Φορτίων• Τρεις «τρόποι» υπολογισμού:

1. Κατασκευάζοντας την διάταξη

Vi είναι το δυναμικό στη θέση που θα έρθει το φορτίο qi εξαιτίας

όλων των προηγούμενων φορτίων που έχουν ήδη τοποθετηθεί

στο στιγμιότυπο «κατασκευής» της διάταξης (και πριν να

έρθουν τα επόμενα). Το ολοκλήρωμα είναι 0 όταν ρ(r)=0.

τώρα το Vi είναι το δυναμικό στη θέση που βρίσκεται το

φορτίο qi εξαιτίας όλων των άλλων φορτίων

(προηγούμενων και επόμενων, η διάταξη είναι

ολοκληρωμένη). Το ολοκλήρωμα είναι 0 όταν ρ(r)=0.1

1 1( ) ( )

2 2

N

i ii

U qV ρ r V r dτ=

= =

2

( ) ( )N

i ii

U qV ρ r V r dτ=

= =

2. Μετά το τέλος της κατασκευής της διάταξης

3. Μετά το τέλος της κατασκευής της διάταξης, γνωρίζοντας την ένταση πεδίου Ε(r)

20

1

2U ε E dτ=

Η ενέργεια που καταβάλαμε για να δημιουργήσουμε την κατανομή

«αποθηκεύεται» με τη μορφή πεδίου στον χώρο. Το θέμα θα το

συζητήσουμε όταν μιλήσουμε για την Χωρητικότητα. Αφορά όμως στον

υπολογισμό της ενέργειας συστήματος και τον τρόπο τον παραθέτουμε εδώ.

Προσοχή, το ολοκλήρωμα αφορά σε όλον τον χώρο (οπουδήποτε

έχουμε πεδίο, είτε έχουμε φορτίο είτε όχι).

Υπολογισμός Ενέργειας1. «κατά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q

Είχαμε βρει ότι το δυναμικό στην επιφάνεια ομογενώς

φορτισμένης σφαίρας r είναι:

2 5 2

0 0

4 3

15 20

π ρ R QU

ε π ε R

= =

Κατασκευάζουμε την σφαίρα φλοιό, φλοιό. Σε ένα τυχαίο στιγμιότυπο της κατασκευής έχουμε

σφαίρα ακτίνας r

Είχαμε βρει παραπάνω ότι για rR (εκεί όπου ρ0):

2 22

33 0 00 0

1 1 3 3( ) ( ) ( ) 4

42 2 8 208

3

R Q Q Qr QU ρ r V r dτ πr dr

πε R πε Rπε RπR

= = − =

2

30 0

3( )

8 8

Q QrV r

πε R πε R= −

2 3

30

44

43

3

R QQ ρ πr dr ρ πR ρ

πR

= = =

Υπολογισμός Ενέργειας2. «μετά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q

Κατασκευάζουμε ολόκληρη την σφαίρα και μπορούμε να υπολογίσουμε το δυναμικό V(r) σε όλο

το χώρο, αλλά μας ενδιαφέρει μόνον το δυναμικό εκεί όπου ρ(r)0,

δηλαδή στο εσωτερικό της σφαίρας, αφού αλλιώς το ολοκλήρωμα U μηδενίζεται.

Είχαμε βρει παραπάνω ότι:

2 2 2

0 0 0

3

40 8 20

Q Q QU

πε R πε R πε R= + =

Υπολογισμός Ενέργειας3. «μετά την κατασκευή», ομογενώς (ρ=σταθ.) φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q

Κατασκευάζουμε ολόκληρη την σφαίρα και μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση Ε(r) σε όλο

το χώρο. Το ολοκλήρωμα U αφορά τώρα ολόκληρο τον χώρο, (ουσιαστικά οπουδήποτε έχουμε

Ε μη μηδενικό).

3

0

( )4

QE r r

R=

rR rR 2

0

( )4

QE r

r=

2 2

2 2 20 0 03 2

0 0 0 0

1 1 14 4

2 2 24 4

R

R

Q QU ε E dτ ε r πr dr ε πr dr

πε R πε r

= = +

Ισχύουν όσα γνωρίζουμε από τη Μηχανική, συνυπολογίζοντας στις

δυνάμεις και τις ηλεκτρικές.

Έτσι υπολογίζουμε τα μεγέθη της κίνησης από:

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου

2

2

d rm F

dt =

Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο είναι συντηρητικό (και εάν δεν υπάρχει άλλο μη

συντηρητικό πεδίο δυνάμεων) ισχύει και η αρχή διατήρηση της ενέργειας:

Εολική = Εκινητική + Εδυναμική = σταθερή

Στη δυναμική ενέργεια συνυπολογίζεται και αυτή του ηλεκτρικού πεδίου

U=q·V ενώ συνήθως η βαρυτική ενέργεια είναι αμελητέα και παραλείπεται.

για σταθερή μάζα m.

Ηλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα v0 εισέρχεται σε χώρο σταθερού πεδίου

E που είναι κάθετο προς την ταχύτητα του.

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου

0 0ˆ και x y y y

eE eEa y a t t

m m = − = = + = −

2 2

0 0 0 0 0

1 και =

2x y y

eEx x t y y t a t t

m = + = + + = −

0

xt

=

2

2

0

=eE

y xm

− Παραβολική τροχιά