ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций...

165
ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций четвертого семестра 1. Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса. Опре- деление и некоторые классы функций огрниченной вариации. Необходимые и достаточные условия существования функций ограниченной вариации. Инте- грал Стилтьеса, условия его существования и свойства. Абсолютно непрерыв- ные функции. Теория меры и интеграл Лебега 2. Теория меры. Кольца, полукольца и алгебры множеств. Аддитивные функции множества. Мера и ее свойства. Внешняя мера, теоремы о построении внешней меры по мере "m" и обратно. Стандартное распространение меры с полукольца на сигма-алгебру, единственность распространения. Мера Лебега в евклидовом пространстве R n . Измеримые множества. Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций. Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Теоремы Егорова, Лузина, Фреше. 3. Интеграл Лебега. Интеграл Лебега от ограниченной функции, опре- деление и простейшие свойства. Суммируемые функции. Расширение понятия интеграла Лебега и его свойств. Предельный переход под знаком интеграла, теоремы Лебега, Леви, Фату. Повторные интегралы, теорема Фубини. Элементы функционального анализа 4. Метрические пространства. Определение и примеры. Сходимость в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Сепарабель- ные пространства. Пополнение метрического пространства. Компактные мет- рические пространства. Относительная компактность, теорема Арцела. Отоб- ражения в метрических пространствах. Предел отображения и непрерывность. Непрерывные отображения на компактах. Принцип сжимающих отображений и некоторые его приложения. Линейные нормированные пространства, Банахово пространство. Сходимость в нормированных пространствах. 5. Линейные операторы. Норма оператора. Теорема о непрерыных опе- раторах. Пространство линейных непрерывных операторов L(X;Y). Последо- вательности линейных операторов, сильная и слабая сходимость. Теорема о 3

Transcript of ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций...

Page 1: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР

Содержание лекций четвертого семестра

1. Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса. Опре-

деление и некоторые классы функций огрниченной вариации. Необходимые и

достаточные условия существования функций ограниченной вариации. Инте-

грал Стилтьеса, условия его существования и свойства. Абсолютно непрерыв-

ные функции.

Теория меры и интеграл Лебега

2. Теория меры. Кольца, полукольца и алгебры множеств. Аддитивные

функции множества. Мера и ее свойства. Внешняя мера, теоремы о построении

внешней меры по мере "m"и обратно. Стандартное распространение меры с

полукольца на сигма-алгебру, единственность распространения. Мера Лебега

в евклидовом пространстве Rn. Измеримые множества. Измеримые функции.

Предельный переход в классе измеримых функций. Сходимость почти всюду и

сходимость по мере. Теоремы Егорова, Лузина, Фреше.

3. Интеграл Лебега. Интеграл Лебега от ограниченной функции, опре-

деление и простейшие свойства. Суммируемые функции. Расширение понятия

интеграла Лебега и его свойств. Предельный переход под знаком интеграла,

теоремы Лебега, Леви, Фату. Повторные интегралы, теорема Фубини.

Элементы функционального анализа

4. Метрические пространства. Определение и примеры. Сходимость в

метрических пространствах. Полные метрические пространства. Сепарабель-

ные пространства. Пополнение метрического пространства. Компактные мет-

рические пространства. Относительная компактность, теорема Арцела. Отоб-

ражения в метрических пространствах. Предел отображения и непрерывность.

Непрерывные отображения на компактах. Принцип сжимающих отображений и

некоторые его приложения. Линейные нормированные пространства, Банахово

пространство. Сходимость в нормированных пространствах.

5. Линейные операторы. Норма оператора. Теорема о непрерыных опе-

раторах. Пространство линейных непрерывных операторов L(X;Y). Последо-

вательности линейных операторов, сильная и слабая сходимость. Теорема о

3

Page 2: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

полноте пространства L(X;Y). Распространение линейных операторов, теорема.

Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах. Линейные

функционалы. Теорема Банаха - Хана и ее следствия. Сопряженные операторы.

Вполне непрерывные операторы и их свойства.

6. Абстрактные пространства со скалярным произведением. Гиль-

бертово пространство. Основная теорема H - пространств. Ортонормированные

системы векторов в H. Ряды Фурье в H. Уравнение замкнутости ортонормиро-

ванной системы. Теорема Рисса - Фишера. Полные счетные ортонормированные

системы векторов в H. Изометричность H пространств. Пространства l2 , L, L2

и Lp. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных про-

странствах, теорема Рисса.

Литература.

1. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.

1973

2. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. 1974

3. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу. 1981

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-

нального анализа. М. Наука. 1968

5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормирован-

ных пространствах. Физматгиз. 1959

6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.

Вопросы к экзамену четвертого семестра

1. Функции ограниченной вариации, теоремы 1 и 2.

2. Свойства функций ограниченной вариации, теоремы 1 и 2.

3. Необходимые и достаточные условия существования функций ограниченной

вариации, теоремы 1 и 2.

4. Непрерывные функции ограниченной вариации, теорема 1 и следствие.

5. Непрерывные функции ограниченной вариации, теорема 2.

6. Интеграл Стилтьеса, условия существования - теоремы 1 и 2.

7. Вычисление интегралов Стилтьеса, теорема 1 и следствие.

8. Оценка интеграла Стилтьеса, теоремы 2 - 4.

4

Page 3: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

9. Абсолютно непрерывные функции, теоремы 1 и 2.

10. Кольца, полукольца и алгебры множеств

11. Аддитивные функции множества, теоремы 1 и 2.

12. Мера и ее свойства.

13. Внешняя мера. Теорема 1 (о построении внешней меры).

14. Стандартное распространение меры с полукольца на σ - алгебру, теорема 1.

15. Мера Лебега в Rn, измеримые множества. Теоремы 1 и 2.

16. Измеримые множества, теорема 5 и следствие 2.

17. Измеримые функции, определение и теорема 1.

18. Теорема 2, необходимые и достаточные условия непрерывности функции на

замкнутом множестве в Rn.

19. Арифметические действия над измеримыми функциями, теорема 1.

20. Эквивалентные функции, теоремы 1 и 2.

21. Сходимость по мере, теорема 1.

22. Сходимость по мере, теорема 2 (А. Лебега).

23. Теорема 3 Рисса для последовательности измеримых функций.

24. Теорема Егорова.

25. Теорема Лузина.

26. Интеграл Лебега, определение и теорема 1.

27. Свойства интеграла Лебега, теоремы 1 и 2.

28. Свойства интеграла Лебега, теоремы 4 - 7.

29. Суммируемые функции, определения 1 - 4.

30. Предельный переход под знаком интеграла, теорема 1 (Лебега).

31. Метрические пространства, определение и примеры.

32. Сходимость в метрических пространствах, теоремы 1 - 3 и примеры.

33. Полные метрические пространства, теоремы 1 - 2 и примеры.

34. Сепарабельные пространства, определения и примеры.

35. Пополнение метрического пространства, теорема 1.

36. Пополнение метрического пространства, теорема 2.

37. Компактные метрические пространства, леммы 1 - 3.

38. Теорема Хаусдорфа об условиях компактности.

5

Page 4: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

39. Относительная компактность, теоремы 1 и 2.

40. Непрерывные отображения в метрическом пространстве, определения и тео-

ремы 1 и 2.

41. Принцип сжимающих отображений, теорема 1.

42. Линейные нормированные пространства, определения и примеры.

43. Банахово пространство, теорема 1.

44. Линейные операторы, норма оператора, теорема 1.

45. Последовательности линейных операторов, сильная и слабая сходимости,

лемма 1 и теорема 1.

46. Распространение линейных операторов, теорема 1.

47. Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах: опреде-

ления и теоремы 1-3.

48. Линейные функционалы, теорема Банаха - Хана и следствия.

49. Слабая сходимость в нормированном пространстве, теоремы 1 - 3.

50. Сопряженные операторы, теорема 1.

51. Вполне непрерывные операторы, теоремы 1 и 2.

52. Пространства со скалярным произведением, примеры.

53. Гильбертово пространство, основная теорема.

54. Теорема 1 об ортогонализации линейно независимых векторов.

55. Ряды Фурье в H, теоремы 1 и 2.

56. Ряды Фурье в H, теорема 3 (Рисса - Фишера).

57. Изометричность H - пространств, теоремы 1 и 2.

58. Пространства суммируемых функций L, L2, Lp.

59. Общий вид линейных функционалов в некоторых пространствах: Rn, C[a, b],

H.

6

Page 5: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 25. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ.

ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

Монотонные функции образуют важный класс, но он не замкнут относитель-

но алгебраических операций, то есть сумма, разность, произведение и частное

монотонных функций не обязательно будут монотонными функциями. Напри-

мер, функция f(x) = x−x2 не будет монотонной на отрезке [0, 1]. Более широкий

класс функций, тесно связанных с монотонными функциями, образуют функ-

ции ограниченной вариации. Алгебраические операции не выводят функции из

этого класса, эти функции играют важную роль в математике.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Возьмем разбиение Q отрезка

[a, b] на части точками xi, i = 0, n, a = x0 < x1 < ... < xn = b, и составим сумму

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)|. (1)

Определение 1. Верхняя грань множества V , отвечающая всевозмож-

ным разбиениям Q отрезка [a, b], называется полной вариацией функции f(x)

на отрезке [a, b] и обозначаетсяb∨a

f(x) или V (f, [a, b]).

Если верхняя грань

b∨a

f(x) := supQ

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| (2)

конечна, то функция f(x) называется функцией ограниченной вариации на [a, b]

(или функцией конечного изменения). Если конечная верхняя грань не суще-

ствует, то есть равна +∞, говорят, что функция f(x) имеет неограниченную

вариацию на [a, b].

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a,+∞) и на любом отрезке

[a,A] функция имеет ограниченную вариацию, тогда вариацию функции f(x)

на полубесконечном промежутке определяют как

∞∨a

f(x) := supA>a

A∨a

f(x).

Аналогично для промежутка (−∞, b] вариацию функции f(x) определяют как

b∨−∞

f(x) := supB<b

b∨B

f(x),

7

Page 6: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

если для любого B < b существуетb∨B

f(x).

25.1. Классы функций ограниченной вариации

Теорема 1. Монотонная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет ограниченную

вариацию.

I Достаточно доказать теорему для монотонно возрастающей функции. Ес-

ли функция f(x) возрастает на [a, b], то все разности f(xi)− f(xi−1) не отрица-

тельны на [a, b] и потому

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| = f(b)− f(a).

Отсюда следует утверждение теоремы. JИз этой теоремы ясно, что функция, имеющая ограниченную вариацию, не

обязана быть непрерывной. Другим примером функции с ограниченной вари-

ацией является функция, удовлетворяющая условию Липшица: функция f(x),

заданная на отрезке [a, b], удовлетворяет условию Липшица, если ∃ const L > 0,

что для любых двух точек x и y ∈ [a, b] : |f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|.

Теорема 2. Функция f(x), удовлетворяющая условию Липшица на отрезке

[a, b], имеет ограниченную вариацию.

I Если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица на [a, b], то

|f(xi)− f(xi−1)| ≤ L(xi − xi−1).

Отсюда следует V ≤ L(b − a) и тогда f(x) – функция ограниченной вариации

на [a, b]. JСледствие 1. Если функция f(x) в каждой точке отрезка [a, b] имеет огра-

ниченную производную f ′(x), то она имеет ограниченную вариацию.

I Из формулы Лагранжа следует f(x) − f(y) = f ′(ξ)(x − y), x < ξ < y,

так как |f ′(ξ)| ≤M , то |f(x)− f(y)| ≤M |x− y| и функция f(x) удовлетворяет

условию Липшица на [a, b] и потому имеет ограниченную вариацию. JНепрерывная на отрезке [a, b] функция не обязательно имеет ограниченную

вариацию.

Примером непрерывной функции, не имеющей ограниченной вариации на

8

Page 7: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

отрезке, может служить следующая функция

f(x) =

x cos

π

2x, если 0 < x ≤ 1;

0, если x = 0.

Очевидно, функция f(x) непрерывна на [0, 1], так как limx→0

f(x) = 0. Если за

точки деления отрезка [0, 1] взять

0 <1

2n<

1

2n− 1< . . . <

1

3<

1

2< 1,

то легко проверить, что V = 1 +1

2+ . . .+

1

n, откуда следует

1∨0

f(x) = +∞, так

как гармонический ряд расходится при n→∞.

Теорема 3. Если функция f(x) имеет конечную вариацию на каждом из

отрезков [a, c] и [c, b], где a < c < b, то она имеет конечную вариацию на [a, b].

I Разобьем отрезок [a, b] точками xi, i = 0, n, чтобы точка c входила в число

точек деления. Если xk = c, тогда сумма V представима в виде

V =k∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)|+n∑

i=k+1

|f(xi)− f(xi−1)|, (1)

или, короче, V = V1 + V2, где V1 и V2 – суммы, отвечающие отрезкам [a, c] и

[c, b]. Отсюда

V ≤c∨a

f(x) +b∨c

f(x). (2)

Это неравенство установлено в случае, когда точка c входит в число точек деле-

ния разбиения Q. Но, так как добавление точки деления не увеличивает сумму

в (1), то неравенство (2) верно для любых разбиений отрезка [a, b]. Поэтому

множество V ограничено и существует конечная верхняя грань.JСледствие 2. Если отрезок [a, b] можно разложить на конечное число ча-

стей, на каждой из которых функция f(x) имеет ограниченную вариацию, то

она имеет ограниченную вариацию на [a, b]. В частности, если функция f(x)

кусочно-монотонна на [a, b], и таких частей конечное число, то она имеет огра-

ниченную вариацию на [a, b].

Теорема 4. Если функция f(x) представима в виде f(x) =x∫

a

φ(t) dt, где

φ(t) – некоторая абсолютно интегрируемая на [a, b] функция, то f(x) имеет

ограниченную вариацию на [a, b].

9

Page 8: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Преобразуем сумму

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =n∑

i=1

∣∣∣∣xi∫

xi−1

φ(t) dt

∣∣∣∣ ≤

≤n∑

i=1

xi∫xi−1

|φ(t)| dt =b∫

a

|φ(t)| dt.

Отсюда следует существование верхней грани для V . JЗамечание. Интеграл может быть несобственным, но сходиться. Если φ(t) –

интегрируема на [a, b], но не абсолютно, то f(x) может не иметь ограниченную

вариацию.

25.2. Свойства функций ограниченной вариации

Теорема 1. Если f(x) – функция ограниченной вариации на [a, b], то она

ограничена на [a, b].

I В самом деле, при фиксированном x из [a, b] имеем

V = |f(x)− f(a)|+ |f(b)− f(x)| ≤b∨a

f(x).

Отсюда

|f(x)| ≤ |f(a)|+b∨a

f(x). J

Теорема 2. Сумма, разность, произведение и частное двух функций огра-

ниченной вариации есть функция ограниченной вариации.

I а) Пусть f(x) = g(x) + h(x), где функции g и h имеют ограниченную

вариацию на отрезке [a, b]. Тогда

V (f) =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =n∑

i=1

| g(xi)− g(xi−1) + h(xi)− h(xi−1)| ≤

≤ V (g) + V (h) ≤b∨a

g(x) +b∨a

h(x).

Отсюда следует, что функция f имеет ограниченную вариацию.

б) Пусть f(x) = g(x) · h(x). Тогда

V (f) =n∑

i=1

| g(xi)h(xi)− g(xi−1)h(xi−1)| ≤

10

Page 9: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

≤n∑

i=1

| g(xi)h(xi)− g(xi)h(xi−1)|+n∑

i=1

| g(xi)h(xi−1)− g(xi−1)h(xi−1)| =

=n∑

i=1

| g(xi)||h(xi)− h(xi−1)|+n∑

i=1

|h(xi−1)|| g(xi)− g(xi−1)| =

≤ An∑

i=1

|h(xi)− h(xi−1)|+Bn∑

i=1

| g(xi)− g(xi−1)| ≤ Ab∨a

h(x) +Bb∨a

g(x),

где A, B – постоянные: | g(x)| ≤ A, |h(x)| ≤ B.

в) f(x) = g(x)/h(x), где g и h – функции ограниченной вариации и, сверх

того, |h(x)| ≥ α > 0. Достаточно доказать, что функция φ(x) = 1/h(x) имеет

ограниченную вариацию.

V (φ) =n∑

i=1

∣∣∣∣ 1

h(xi)− 1

h(xi−1)

∣∣∣∣ = n∑i=1

|h(xi)− h(xi−1)||h(xi)||h(xi−1)|

≤ 1

α2

n∑i=1

|h(xi)− h(xi−1)| =1

α2V (h) ≤ 1

α2

b∨a

h(x).

По доказанному в пункте б) функция f ограниченной вариации. JТеорема 3. Если функция f(x) имеет ограниченную вариацию на отрезке

[a, b] и точка c ∈ [a, b], a < c < b, то функция f имеет ограниченную вариацию

на каждом из отрезков [a, c] и [c, b], причем

b∨a

f(x) =c∨a

f(x) +b∨c

f(x). (1)

I Разделим на части каждый из отрезков [a, c] и [c, b]. Тогда весь отрезок

[a, b] разделится на части. Сумму для всего отрезка обозначим V , суммы для

отрезков [a, c] и [c, b] – V1, V2. Очевидно, для данного разбиения V = V1 + V2.

Отсюда следует, что V1 + V2 ≤b∨a

f(x), а значит иc∨a

f(x) +b∨c

f(x) ≤b∨a

f(x).

Докажем противоположное неравенство. Разделим отрезок [a, b] на части,

включив точку c в число точек деления. Раньше мы установили (теорема 3, п.

25.1), что

V ≤c∨a

f(x) +b∨c

f(x) =⇒b∨a

f(x) ≤c∨a

f(x) +b∨c

f(x).

Из двух противоположных неравенств получим равенство (1). J

11

Page 10: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Следствие. Если f(x) есть функция ограниченной вариации на [a, b], то

функция F (x) =x∨a

f(t), где a ≤ t ≤ x, является монотонно возрастающей

функцией от x на [a, b].

I Возьмем x′ < x′′ и вычислим разность

∆F = F (x′′)−F (x′) =x′′∨a

f(t)−x′∨a

f(t) =x′∨a

f(t)+x′′∨x′

f(t)−x′∨a

f(t) =x′′∨x′

f(t) ≥ 0.

J

25.3. Необходимые и достаточные условия

существования функции ограниченной вариации

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) имела ограниченную вариацию

на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы существовала возрастающая функция

F (x) такая, что для любых x′ < x′′ ∈ [a, b] выполнялось неравенство |f(x′′) −

f(x′)| ≤ F (x′′)− F (x′).

I Необходимость. Пусть функция f(x) имеет ограниченную вариацию на

[a, b]. Тогда по следствию F (x) =x∨a

f(t) – монотонно возрастающая функция

на [a, b]. По определению вариации функции имеем для ∀ x′, x′′ ∈ [a, b], x′ < x′′,

|f(x′′)− f(x′)| ≤x′′∨x′

f =x′′∨a

f −x′∨a

f = F (x′′)− F (x′).

Достаточность. Пусть выполнено условие |f(x′′) − f(x′)| ≤ F (x′′) − F (x′),

где F (x) монотонно возрастает на [a, b], тогда

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤n∑

i=1

(F (xi)− F (xi−1)) = F (b)− F (a) =M.

То есть, для любого разбиения V ≤M , значит функция f(x) имеет ограничен-

ную вариацию на [a, b].JТеорема 2. Для того, чтобы функция f(x) имела ограниченную вариацию

на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в форме разности

двух монотонно возрастающих функций на [a, b].

I Достаточность. Достаточность условия следует из доказанных теорем:

монотонно возрастающие функции на [a, b] имеют ограниченную вариацию, а

разность таких функций есть функция ограниченной вариации.

12

Page 11: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Необходимость. Пусть функция f(x) имеет ограниченную вариацию на [a, b].

Тогда функция h(x) =x∨a

f(t) монотонно возрастает. Рассмотрим функцию

g(x) = h(x) − f(x) и покажем, что она монотонно возрастает на [a, b]. Для

∀ x′ < x′′ ∈ [a, b] :

g(x′′)− g(x′) =x′′∨a

f − f(x′′)−x′∨a

f + f(x′) =x′′∨x′

f − [f(x′′)− f(x′)] ≥ 0,

так как из определения полной вариации ясно, что f(x′′)− f(x′) ≤x′′∨x′f . Значит,

g(x) монотонно возрастает, но f(x) = h(x)− g(x). J

25.4. Непрерывные функции ограниченной вариации

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и имеет там ограничен-

ную вариацию, то функция F (x) =x∨a

f(t) также непрерывна на [a, b].

I Нужно доказать, что для любой точки x0 ∈ [a, b] выполнены равенства

limx→x0+0

F (x) = limx→x0−0

F (x) = F (x0).

Покажем, что функция F (x) непрерывна справа в точке x0. Функция f(x) име-

ет ограниченную вариацию на [a, b], следовательно, она имеет ограниченную

вариацию и на [x0, b] :b∨x0

f . Для ∀ ε>0 возьмем разбиение отрезка [x0, b], чтобы

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| >b∨x0

f − ε. (1)

Преобразуем сумму V

V = |f(x1)− f(x0)|+n∑

i=2

|f(xi)− f(xi−1)| ≤ |f(x1)− f(x0)|+b∨x1

f.

Отсюда и из неравенства (1) имеем

b∨x0

f − ε < V ≤ |f(x1)− f(x0)|+b∨x1

f,b∨x0

f −b∨x1

f < ε+ |f(x1)− f(x0)|.

Ввиду непрерывности функции f(x) в точке x0 для данного ε>0, ∃ δ>0, что при

x1−x0 < δ будет |f(x1)− f(x0)| < ε. Таким образом,x1∨x0

f < 2ε и, следовательно,

F (x1) − F (x0) < 2ε при x1 − x0 < δ. Ввиду произвольности ε, это означает

13

Page 12: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

непрерывность функции F (x) в точке x0 справа. Аналогично доказывается, что

эта функция непрерывна в точке x0 слева. JСледствие. Непрерывная функция ограниченной вариации представима в

виде разности двух непрерывных монотонно возрастающих функций.

I Функция f(x) представима в виде f(x) = h(x) − g(x), где h и g – две

монотонные возрастающие функции. Но h(x) =x∨a

f , следовательно, по теореме

1 она непрерывна, а функция g(x) = h(x) − f(x) – непрерывна как разность

двух непрерывных функций. JПусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Возьмем раз-

биение отрезка на части точками xi, i = 0, n, с параметром разбиения λ =

maxi

∆xi, ∆xi = xi − xi−1. Составим суммы

V =n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| и Ω =n∑

i=1

ωi(xi−1, xi),

где ωi – колебание функции f(x) на [xi−1, xi].

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то каждая из сумм V и

Ω стремится при λ→ 0 к полной вариации функции f(x) на [a, b]. В частности,

limλ→0

V = limλ→0

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| =b∨a

f(x). (2)

I Выполнение равенства (2) означает, что для ∀ ε>0 ∃ δ(ε) такое, что для

любых разбиений Q с λ < δ выполняется неравенство∣∣∣∣V − b∨

a

f(x)

∣∣∣∣ < ε.

По определению вариации функцииb∨a

f(x) := supQV . Следовательно, для

∀ ε>0 ∃Q∗, что V ∗ >b∨a

f(x)− ε = A. Объединим разбиения Q и Q∗ и получим

разбиение Q0, которое отвечает сумме V 0. Так как при измельчении разбиения

сумма может лишь увеличиться, то V 0 ≥ V ∗ > A. Если новая точка деления x∗iпопадает в промежуток [xi−1, xi], то слагаемое |f(xi) − f(xi−1)| заменяется на

|f(xi) − f(x∗i )| + |f(x∗i ) − f(xi−1)| и увеличение суммы V при добавлении этой

точки деления не превосходит удвоенного колебание функции f(x) на [xi−1, xi],

то есть величины 2ωi(xi−1, xi). В силу непрерывности функции f(x) на [a, b],

а, следовательно, и равномерной непрерывности, колебание функции на лю-

бом промежутке [xi−1, xi] может быть сделано сколь угодно малым, например,

меньше ε∗.

14

Page 13: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Пусть разбиение Q∗ имеет m точек деления. То есть в Q0 к разбиению Q

может быть добавлено не более m точек. Тогда V 0 − V < 2mε∗. Возьмем ε∗ =V ∗ − A4m

, тогда V 0 − V <V ∗ − A

2. Отсюда

V > V 0 − V ∗ − A2

> V ∗ − V ∗ − A2

=V ∗ + A

2> A.

Это неравенство выполняется при λ < δ, где δ мы выбираем, чтобы сделать

колебания функции меньше ε∗. Из неравенств V >b∨a

f(x) − ε,b∨a

f(x) + ε > V

следует∣∣∣∣V − b∨

a

f(x)

∣∣∣∣ < ε, то есть limλ→0

V =b∨a

f(x). Теперь докажем утверждение

для сумм Ω. Ясно, что Ω ≥ V . Если мы найдем Ω, отвечающую разбиению

Q, а затем добавим новые точки деления, в которых функция f(x) принимает

значения

mi = minxf(x), Mi = max

xf(x), xi−1 ≤ x ≤ xi,

то новая сумма V ∗, отвечающая этому разбиению, V ∗ ≥ Ω. Из двух неравенств

следует limλ→0

Ω =b∨a

f(x). J

25.5. Интеграл Стилтьеса

Здесь мы рассмотрим весьма важное обобщение понятия интеграла Рима-

на – интеграл Стилтьеса.

Пусть на отрезке [a, b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x). Разло-

жим отрезок [a, b] на части точками xi, i = 0, n. В пределах каждого частичного

сегмента [xi−1, xi] выберем по точке ξi и составим сумму

σ =n∑

i=1

f(ξi)[g(xi)− g(xi−1)] =n∑

i=1

f(ξi)∆g(xi),

которая называется интегральной суммой Стилтьеса.

Определение 1. Если при λ = maxi

∆xi → 0 интегральная сумма σ стре-

мится к конечному пределу I, не зависящему от способа разбиения отрезка и

выбора точек ξi, то этот предел называется интегралом Стилтьеса функции

f(x) по функции g(x) и обозначается

b∫a

f(x) dg(x) или (S)

b∫a

f(x) dg(x).

15

Page 14: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Точный смысл определения таков: число I есть интеграл Стилтьеса функции

f(x) по функции g(x), если для ∀ ε>0 ∃ δ = δ(ε) такое, что для всех разбиений,

у которых λ < δ, будет |σ − I| < ε при любом выборе точек ξi.

Очевидно, что интеграл Римана является частным случаем интеграла Сти-

лтьеса при g(x) = x.

Если функция g(x) дифференцируема на [a, b], то интеграл Стилтьеса пре-

вращается в интеграл Римана. Поскольку

∆g(xi) = g(xi)− g(xi−1) = g′(xi)∆xi + o(∆xi).

При переходе к пределу интегральных сумм σ при λ→ 0 величина f(ξi) o(∆xi)

обращается в нульb∫

a

f(x) dg(x) =

b∫a

f(x)g′(x) dx

(для обоснования можно было воспользоваться формулой Лагранжа ∆g(xi) =

g′(xi)∆xi, xi−1 < xi < xi).

Суммы Дарбу - Стилтьеса

Пусть функция g(x) монотонно возрастает на [a, b]. Для фиксированного раз-

биения Q отрезка [a, b] обозначим mi = infxf(x), Mi = sup

xf(x) где x ∈ [xi−1, xi].

Образуем суммы

s =n∑

i=1

mi∆g(xi), S =n∑

i=1

Mi∆g(xi).

Здесь, очевидно, ∆g(xi) ≥ 0. Для данных нижней и верхней сумм Дарбу -

Стилтьеса выполняются все свойства сумм Дарбу - Римана.

1. Для любого фиксированного разбиения Q с отмеченными точками ξi s ≤

σ ≤ S.

По определению нижней и верхней граней: mi ≤ f(ξi) ≤ Mi, умножая эти

равенства на ∆g(xi) ≥ 0 и суммируя по i от 1 до n получим требуемый результат.

2. При измельчении разбиения Q нижняя сумма s может лишь увеличиться,

а верхняя S лишь уменьшиться. Если s и S – суммы, отвечающие разбиению

Q, а s∗ и S∗ – разбиения Q∗, полученные измельчением Q, то s ≤ s∗ ≤ S∗ ≤ S.

3. Каждая нижняя сумма s не превосходит каждой верхней суммы S, хотя

бы они отвечали разным Q.

16

Page 15: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема (необходимое и достаточное условие существование интеграла Сти-

лтьеса). Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема по функции g(x) на

отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для ∀ ε>0 существовало разбие-

ние Q такое, что S − s < ε.

I Доказывается аналогично случаю интеграла Римана. JОбозначим ωi =Mi−mi – колебание функции f(x) на частичном промежут-

ке. Тогда будем иметь

S − s =n∑

i=1

(Mi −mi)∆g(xi) =n∑

i=1

ωi∆g(xi),

и условие теоремы запишется в видеn∑

i=1

ωi∆g(xi) < ε.

Рассмотрим множества нижних и верхних сумм Дарбу - Стилтьеса s и

S, отвечающих различным разбиениям Q. Так как s ограничено сверху

∀S, то существует J∗ = supQs, аналогично, множество S ограничено снизу

∀ s и существует J∗ = infQS. Величины J∗ и J∗ называются нижним и верхним

интегралами Стилтьеса - Дарбу. Эти величины всегда существуют, но не всегда

равны. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции f(x) по

функции g(x) состоит в том, что J∗ = J∗.

25.6. Условия существования интеграла Стилтьеса

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция

g(x) имеет там конечную вариацию, то интеграл Стилтьеса от функции f(x) по

функции g(x) существует.

I Будем считать, что функция g(x) монотонно возрастает на [a, b], так как

каждая функция ограниченной вариации равна разности двух монотонно воз-

растающих функций.

В условии существования интегралаn∑

i=1

ωi∆g(xi) < ε для ∀ ε>0 приращение

∆g(xi) ≥ 0, а колебание функции f(x) в силу ее равномерной непрерывности на

[a, b] может быть сделано сколь угодно малым на частичных отрезках. Пусть

ωi <ε

g(b)− g(a)при всех i, тогда

n∑i=1

ωi∆g(xi) < εn∑

i=1

g(xi)− g(xi−1)

g(b)− g(a)= ε.

17

Page 16: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если у нас g(b) = g(a), то, ввиду монотонности функции g(x), будет g(x) = const

и, согласно определению, интеграл Стилтьеса равен нулю.

Пусть g(x) – произвольная функция ограниченной вариации. Тогда g(x) =

h(x)−φ(x), где h(x) и φ(x) – монотонно возрастающие функции на [a, b]. Функ-

ция f(x) интегрируема по h(x) и по функции φ(x) на отрезке [a, b], следователь-

но, ∣∣∣∣ n∑i=1

ωi∆g(xi)

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

ωi∆h(xi) +n∑

i=1

ωi∆φ(xi) = ε. J

Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], а

функция g(x) удовлетворяет условию Липшица, то функция f(x) интегрируема

по функции g(x).

I Так как функция g(x) удовлетворяет условию Липшица, то для любых

точек x′, x′′ ∈ [a, b] :

|g(x′′)− g(x′)| ≤ L|x′′ − x′|. (1)

1. Пусть функция g(x) монотонно возрастает на [a, b], тогда ∆g(xi) ≤ L∆xi,

∆xi = xi − xi−1. За счет выбора разбиения отрезка [a, b] можно получить нера-

венствоn∑

i=1

ωi∆g(xi) ≤ Ln∑

i=1

ωi∆xi < ε,

которое является следствием интегрируемости функции f(x) на [a, b].

2. Пусть функция g(x) не является монотонной. Так как g(x) имеет огра-

ниченную вариацию, она представима в виде разности двух монотонно возрас-

тающих функций g(x) = h(x) − φ(x). Возьмем h(x) = Lx, φ(x) = Lx − g(x) и

покажем их монотонное возрастание:

а) h(x′′)− h(x′) = L(x′′ − x′) > 0, если x′′ > x′;

б) φ(x′′)− φ(x′) = L(x′′ − x′)− [g(x′′)− g(x′)] ≥ 0 ввиду неравенства (1).

Следовательно, функция f(x) интегрируема по h(x) и φ(x) на отрезке [a, b],

а потому и по функции g(x). JТеорема 3. Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b],

а функция g(x) = C +

x∫a

φ(t) dt, где φ(t) абсолютно интегрируема по Риману в

собственном или несобственном смысле, тогда функция f(x) интегрируема по

g(x) на [a, b].

18

Page 17: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Если функция φ(t) интегрируема по Риману в собственном смысле, то она

ограничена на [a, b] : |φ(t)| ≤ K = const. Следовательно,

|g(x′′)− g(x′)| =

∣∣∣∣∣x′′∫

x′

φ(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤ K| x′′ − x′|

для ∀ x′, x′′ ∈ [a, b]. Таким образом, функция g(x) удовлетворяет условию Лип-

шица. Тогда на основании теоремы 2 функция f(x) интегрируема по функции

g(x) на [a, b].

Это доказательство применимо, когда интегралx∫

a

φ(t) dt – собственный. J

25.7. Свойства интеграла Стилтьеса

1. Линейность относительно функций f(x) и g(x)

b∫a

[c1f1(x) + c2f2(x)] dg(x) = c1

b∫a

f1(x) dg(x) + c2

b∫a

f2(x) dg(x),

b∫a

f(x) d(c1g1(x) + c2g2(x)) = c1

b∫a

f(x) dg1(x) + c2

b∫a

f(x) dg2(x).

Из существования интегралов в правой части следует существование интегра-

лов в левой части, доказывается исходя из определения.

2. Аддитивность

b∫a

f(x) dg(x) =

c∫a

f(x) dg(x) +

b∫c

f(x) dg(x),

где a < c < b. Чтобы доказать это свойство, нужно включить точку c в чис-

ло точек деления отрезка. Из существования интеграла в левой части следует

существование интегралов в правой части. Обратное утверждение не верно.

Пример. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на отрезке [−1, 1], причем

f(x) =

0 при −1 ≤ x ≤ 0,

1 при 0 < x ≤ 1g(x) =

0 при −1 ≤ x < 0,

1 при 0 ≤ x ≤ 1

Функции f(x) и g(x) имеют отличие в нуле, функция g(x) имеет ограни-

ченную вариацию на [−1, 0) и [0, 1]. Существует интеграл0∫

−1

f(x) dg(x) = 0, так

19

Page 18: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

как f(x) = 0; существует интеграл1∫

0

f(x) dg(x) = 0, так как dg(x) = 0. Однако

интеграл на [−1, 1] не существует.

Возьмем разбиение отрезка [−1, 1] на части, чтобы точка 0 не попала в число

точек деления. Легко понять, что в сумме σ останется только одно слагаемое,

отвечающее промежутку, содержащему точку 0 : xi−1 < 0 < xi. Значит, σ =

f(ξi)[g(xi) − g(xi−1)]. В зависимости от того, будет ли ξi ≤ 0 или ξi > 0, сумма

σ будет равна 0 или 1 и, значит, не имеет предела.

3. Интегрирование по частям

Из существования одного из интегралов

b∫a

f(x) dg(x) иb∫

a

g(x) df(x)

вытекает существование другого и равенство

b∫a

f(x) dg(x) =[f(x)g(x)

]∣∣∣ba−

b∫a

g(x) df(x). (1)

I Пусть существует интегралb∫

a

f(x) dg(x). Составим сумму

σ =n∑

i=1

f(ξi)[g(xi)− g(xi−1)].

Ее можно представить в виде

σ =n∑

i=1

f(ξi)g(xi)−n−1∑i=0

f(ξi+1)g(xi) =

= −n−1∑i=1

g(xi)[f(ξi+1)− f(ξi)] + f(ξn)g(b)− f(ξ1)g(a).

Добавим и вычтем в правой части выражение[f(x)g(x)

]∣∣∣ba. Тогда

σ =[f(x)g(x)

]∣∣∣ba−

n∑i=0

g(xi)[f(ξi+1)− f(ξi)].

Мы можем взять в качестве точек разбиения отрезка [a, b] точки ξi, а в качестве

отмеченных точек – точки xi. Тогда в полученном выражении для σ последнее

20

Page 19: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

слагаемое является интегральной суммой от функции g(x) по f(x). Так как

предел сумм σ при λ → 0 существует, то и предел сумм, стоящих в правой

части, также существует. Следовательно, имеет место формула (1).

Из этой формулы получаем, что из интегрирования функции f(x) по функ-

ции g(x) следует интегрирование функции g(x) по функции f(x) и наоборот.

JСледствие. Если функция f(x) имеет ограниченную вариацию, а функ-

ция g(x) – непрерывна, то интеграл Стилтьеса функции f(x) по функции g(x)

существует.

I Результат следует из свойства 3. J

25.8. Вычисление интегралов Стилтьеса

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция

g(x) = C +

x∫a

φ(t) dt, где φ(t) абсолютно интегрируема по Риману, то интеграл

от f(x) по g(x) существует, и имеет место формула

(S)

b∫a

f(x) dg(x) = (R)

b∫a

f(x)φ(x) dx. (1)

I Если функция φ(t) непрерывна, то dg(x) = φ(x) dx и формула (1) очевид-

на.

Существование интеграла Римана в (1) следует из непрерывности функций

f и φ. Существование интеграла Стилтьеса следует из теоремы 3 п. 25.6. Имеем

равенства

(S)

b∫a

f(x) dg(x) = limλ→0

n∑i=1

f(ξi)

xi∫xi−1

φ(t) dt,

(R)

b∫a

f(x)φ(x) dx =n∑

i=1

xi∫xi−1

f(x)φ(x) dx.

Чтобы доказать их равенство, достаточно показать, что разность между инте-

гралом Римана и интегральной суммой Стилтьеса можно сделать сколь угодно

малой за счет выбора разбиения∣∣∣∣∣n∑

i=1

f(ξi)

xi∫xi−1

φ(t) dt−n∑

i=1

xi∫xi−1

f(t)φ(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤21

Page 20: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

≤n∑

i=1

xi∫xi−1

|f(ξi)− f(t)||φ(t)| dt < ε

b∫a

|φ(t)| dt = ε.

Здесь использована оценка |f(ξi) − f(t)| < ε на частичном интервале [xi−1, xi],

так как функция f(t) равномерно непрерывна на [a, b]. JСледствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], а функция g(x) –

непрерывна и имеет производную, кроме конечного числа точек, тогда спра-

ведлива формула (1).

I Имеем

g(x) = g(a) +

x∫a

g′(x) dx.

В точках, где производная g′(x) не существует, она доопределяется произволь-

ным образом. Полагая g′(x) = φ(x), мы получим условия теоремы 1 и формулу

(1). JПример. Рассмотрим функцию Хевисайда

h(x) =

0 если x ≤ 0,

1 если x > 0.

Покажем, что для непрерывной функции f(x) интеграл Стилтьеса по функции

h(x) существует, причем

I =

b∫a

f(x) dh(x) =

0 если 0 /∈ [a, b],

f(0) если 0 ∈ [a, b].

Если точка 0 /∈ [a, b] то ∆h(x) = 0 и I = 0. Если же 0 ∈ [a, b], то в интегральной

сумме остается только одно слагаемое f(ξi)∆h с ∆h = 1 на промежутке xi−1 <

0 < xi. Интегральная сумма σ = f(ξi) при λ→ 0 имеет предел I = f(0).

Оценка интеграла Стилтьеса

Теорема 2 (о среднем значении). Пусть функция f(x) ограничена, а g(x)

монотонно возрастает на [a, b], тогда, если существует интеграл Стилтьеса, то

I =

b∫a

f(x) dg(x) = µ[g(b)− g(a)], (2)

где m ≤ µ ≤M, m = infx∈[a,b]

f(x), M = supx∈[a,b]

f(x).

22

Page 21: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Так как m ≤ f(x) ≤M на [a, b] и функция g(x) монотонно возрастает, то

m[g(b)− g(a)] ≤ σ ≤M [g(b)− g(a)].

Перейдем к пределу в неравенстве при λ→ 0

m[g(b)− g(a)] ≤ I ≤M [g(b)− g(a)].

Если g(b) = g(a), то разделим неравенство на g(b) − g(a) и обозначим µ =

I/[g(b)−g(a)], тогдаm ≤ µ ≤M и получим (2). Если g(b) = g(a), то g(x) = const,

так как g(x) – монотонна и формула (2) очевидна (слева и справа нуль). JСледствие. Пусть f(x) непрерывна, а g(x) монотонно возрастает, тогда су-

ществует точка ξ ∈ [a, b], что

b∫a

f(x) dg(x) = f(ξ)[g(b)− g(a)].

Теорема 3. Если f(x) непрерывна на [a, b], а g(x) имеет ограниченную ва-

риацию, то

I =

b∫a

f(x) dg(x) ≤ µ

b∨a

g(x).

I Обозначим M = supx∈[a,b]

|f(x)|, очевидно |f(x)| ≤M , тогда

|σ| =∣∣∣∣ n∑i=1

f(ξi)[g(xi)− g(xi−1)]

∣∣∣∣ ≤ n∑i=1

|f(ξi)||g(xi)− g(xi−1)| ≤M

b∨a

g(x).

Отсюда следует I ≤Mb∨a

g(x). JТеорема 4. Если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет ограни-

ченную вариацию на [a, b], то для ∀ ε>0 найдется разбиение [a, b], что |σ− I| <

εb∨a

g(x).

I Рассмотрим разность

|σ − I| =∣∣∣∣ n∑i=1

f(ξi)∆g(xi)−n∑

i=1

xi∫xi−1

f(t) dg(t)

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣ n∑i=1

xi∫xi−1

[f(ξi)− f(t)] dg(t)∣∣∣∣ ≤ ε

b∨a

g(x).

23

Page 22: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Ввиду непрерывности, а, следовательно, и равномерной непрерывности функ-

ции f(x), ее колебания на любом промежутке [xi−1, xi] можно сделать меньше

ε. J

25.9. Абсолютно непрерывные функции

Определение 1. Функция f(x), определенная на [a, b], называется абсолют-

но непрерывной на [a, b], если для ∀ ε>0 ∃δ(ε) > 0 такое, что для любой системы

непересекающихся интервалов (xi, xi + hi), i = 1, n, расположенной на [a, b] и

имеющей сумму длин меньше δ, сумма абсолютных величин приращений функ-

ции f(x) на этих интервалах будет меньше ε. То есть из (xi, xi + hi)∩(xj, xj +

hj) = ∅ при i = j иn∑

i=1

hi < δ следуетn∑

i=1

|f(xi + hi)− f(xi)| < ε.

Взяв, в частности, n = 1, будем иметь, что из (x, x + h) ∈ [a, b] и |h| < δ

следует |f(x+ h)− f(x)| < ε. Так что абсолютно непрерывная функция непре-

рывна. Обратное утверждение неверно, так как непрерывная функция f(x) на

[a, b] не всегда будет абсолютно непрерывной.

Укажем один класс абсолютно непрерывных функций – это функции, удо-

влетворяющие условию Липшица на [a, b].

Если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица на [a, b], то она абсо-

лютно непрерывна.

I Из |f(xi + hi)− f(xi)| ≤ Lhi следуетn∑

i=1

|f(xi + hi)− f(xi)| ≤ L

n∑i=1

hi < ε. J

Примером функций, удовлетворяющих условию Липшица, служат функции,

имеющие ограниченную производную.

Арифметические операции не выводят абсолютно непрерывную на отрезке

функцию из этого класса.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) абсолютно непрерывны на [a, b], то

функции f(x)±g(x), f(x)·g(x) и f(x)/g(x), g(x) = 0 также являются абсолютно

непрерывными на [a, b].

I Рассмотрим, например, случай произведения f(x) ·g(x). Оценим величинуn∑

i=1

|f(xi + hi)g(xi + hi)− f(xi)g(xi)| =

24

Page 23: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

=n∑

i=1

|f(xi + hi)g(xi + hi)− f(xi + hi)g(xi) + f(xi + hi)g(xi)− f(xi)g(xi)| ≤

≤n∑

i=1

|f(xi + hi)|| g(xi + hi)− g(xi)|+n∑

i=1

| g(xi)||f(xi + hi)− f(xi)| ≤

≤ Fn∑

i=1

| g(xi + hi)− g(xi)|+Gn∑

i=1

|f(xi + hi)− f(xi)|.

Здесь F = max[a,b]|f(x)|, G = max

[a,b]|g(x)|.

Если взять произвольное ε > 0, то, в силу абсолютной непрерывности функ-

ций f(x) и g(x), найдутся числа δ1 и δ2, что

n∑i=1

|f(xi + hi)− f(xi)| <ε

2F,

n∑i=1

|g(xi + hi)− g(xi)| <ε

2G

приn∑

i=1

hi < δ1 иn∑

i=1

hi < δ2 соответственно. Возьмем δ = minδ1, δ2. Тогда при

n∑i=1

hi < δ получим

n∑i=1

|f(xi + hi)g(xi + hi)− f(xi)g(xi)| < ε

и абсолютная непрерывность произведения доказана. Аналогично рассматри-

ваются другие случаи. JТеорема 2. Функция f(x), абсолютно непрерывная на [a, b], имеет на этом

отрезке ограниченную вариацию.

I Пусть функция f(x) не имеет ограниченную вариацию на [a, b]. Тогда в

любом разбиении отрезка [a, b] найдется хотя бы один отрезок, на котором ва-

риация не ограничена, например, на [xi−1, xi]. Разбив этот отрезок на части,

составим суммуm∑j=1

|f(xj + hj)− f(xj)|. Так как f(x) не имеет ограниченной

вариации, эта сумма будет неограниченной, хотяm∑j=1

hj ≤ xi − xi−1 < δ. Полу-

чили противоречие с условием теоремы – функция f(x) абсолютно непрерывна

на [a, b]. J

25

Page 24: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 1. МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ

Понятие меры в евклидовом пространстве представляет собой естественное

обобщение понятий длины промежутка, площади прямоугольника и объема па-

раллелепипеда. Это понятие необходимо для построения интеграла более обще-

го, чем интеграл Римана. В этой главе мы рассмотрим понятие меры в весьма

общем виде на произвольных множествах. Частным случаем построения меры

в абстрактных множествах будет построение меры Лебега в евклидовом про-

странстве, осуществляемое в следующей главе.

1.1. Некоторые вспомогательные соотношения.

Напомним принцип двойственности теории множеств. Если Bα — произволь-

ные подмножества множества A, а Cα := A \Bα — их дополнения, то

A \∪α

Bα =∩α

Cα; A \∩α

Bα =∪α

Cα. (1)

Дополнение к объединению подмножеств равно пересечению их дополнений,

а дополнение к пересечению подмножеств равно объединению их дополнений.

Доказательство было рассмотрено раньше.

Выведем некоторые соотношения, часто используемые в дальнейшем.

1o. Если множества Ai (i = 1, 2, ...) образуют убывающую последователь-

ность, то есть A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ..., и∞∩i=1

Ai = ∅, то

A1 =∞∪i=1

Ai\Ai+1. (2)

При этом очевидно, что множества Ai\Ai+1 дизъюнктны.

I Ясно, что правая часть (2) включается в A1. Обратно, если x ∈ A1, то

находим наибольший номер i (пусть это будет i = n), при котором x ∈ Ai, тогда

x ∈ An\An+1 и тем самым доказано обратное включение. J

2o. Если множестваAi (i = 1, 2, ...) дизъюнктны, аBn =∞∪

i=n+1

Ai, то∞∩n=1

Bn = ∅.

При этом очевидно, что множества Bn образуют убывающую последователь-

ность.

I Если x ∈ Bn при некотором n, то x ∈ Ak при некотором k > n. Но тогда

x ∈ Ai при всяком i > k и потому x ∈ Bn, если n ≥ k. Таким образом не

26

Page 25: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

существует элемента x, принадлежащего всем множествам Bn. J

3o. Если A =∞∪i=1

Ai, то

A =∞∪i=1

[Ai\

i−1∪j=1

Aj

]. (3)

При этом очевидно, что множества Ai\i−1∪j=1

Aj дизъюнктны.

I Включение правой части равенства (3) в множество A очевидно. Пусть

x ∈ A, тогда существует наименьший номер i, пусть это будет n, при котором

x ∈ Ai. Если n = 1, то x ∈ A1, если n > 1, то x ∈ An\n−1∪j=1

Aj. В обоих случаях x

включается в правую часть формулы (3). JФормула (3) упрощается, если множества Ai образуют возрастающую по-

следовательность, то есть A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Ai ⊂ ... Тогдаi−1∪j=1

Aj = Ai−1 и (3)

принимает следующий вид

A = A1 ∪ (A2\A1) ∪ ... ∪ (Ai\Ai−1) ∪ ... =∞∪i=1

(Ai\Ai−1) . (4)

1.2 Кольца, полукольца и алгебры множеств.

Определение 1. Пусть M – произвольное множество. Непустая совокуп-

ность M некоторых его подмножеств, называется кольцом, если для ∀A, B ∈M

1) A ∪B ∈M, 2) A \B ∈M.

Ясно, что условие 1) по индукции распространяется на любое конечное число

множеств из M, то есть если A =n∪

i=1

Ai и все Ai ∈M, то и A ∈M.

Таким образом, кольцо может быть охарактеризовано как непустая совокуп-

ность подмножеств некоторого множества, замкнутая относительно операций

объединения конечного числа множеств и вычитания.

Примерами кольца могут служить совокупность всех подмножеств множе-

ства M и совокупность, состоящая из одного пустого множества.

а) Всякое кольцо M содержит пустое множество.

Действительно, пусть A ∈M (такие A существуют, поскольку M не пусто).

Тогда A \ A = ∅ и ∅ ∈M.

27

Page 26: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

б) Всякое кольцо M замкнуто относительно операции пересечения конечного

числа множеств.

Достаточно проверить это для пересечения двух множеств. Пусть A, B ∈M.

Тогда из формулы A∩B = A \ (A \B) и определения кольца сразу следует, что

A ∩B ∈M.

Замечание. Из замкнутости относительно операций вычитания и пересе-

чения некоторого класса множеств не следует замкнутости относительно объ-

единения двух множеств, то есть этот класс не является кольцом. Аналогично

дело обстоит и с классом множеств, замкнутых относительно объединения и

пересечения множеств.

Определение 2. Непустая совокупность M подмножеств множества M на-

зывается алгеброй, если

1) из A, B ∈M следует A ∪B ∈M;

2) из A ∈M следует, что и его дополнение C :=M \ A ∈M.

Теорема 1. Для того, чтобы совокупность M подмножеств множества M

была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и чтобы

M ∈M.

I Необходимость. Пусть M – алгебра, тогда для ∀A ∈ M имеем M =

A∪(M\A) и потомуM ∈M. Остается проверить, что M замкнуто относительно

вычитания. Пусть A, B ∈ M, имеем A \ B = A ∩ (M \ B) = M \ [(M \ A) ∪

B]. Последнее равенство следует из принципа двойственности: дополнение к

объединению подмножеств равно пересечению их дополнений. Так как M \A и

B ∈M, то и A \B ∈M.

Достаточность. Пусть M – кольцо и M ∈ M. Тогда для ∀A ∈ M его

дополнение M \ A ∈M и потому M – алгебра. JЗамечание. В условии 1) определения алгебры объединение множеств A ∪

B ∈ M можно заменить их пересечением A ∩ B ∈ M. Действительно, если ∀A

и B ∈M и A ∩B ∈M, то и A ∪B =M \ [(M \A) ∩ (M \B)] ∈M. Здесь также

использован принцип двойственности: дополнение к пересечению подмножеств

равно объединению их дополнений.

В определении кольца такую замену сделать нельзя.

28

Page 27: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Определение 3. Непустая совокупность M подмножеств множества M на-

зывается σ – кольцом, если

1) из Ai ∈M (i = 1, 2, ...) следует, что A =∞∪i=1

Ai ∈M;

2) из A, B ∈M следует, что A \B ∈M.

σ – кольцо замкнуто и относительно образования счетного пересечения мно-

жеств. Действительно, если Ai ∈M (i = 1, 2, ...), а A =∞∩i=1

Ai, то из равенства

A =∞∩i=1

(A1 ∩ Ai) =∞∩i=1

(A1 \ (A1 ∩ Ai)) = A1 \∞∪i=1

(A1 \ Ai)

следует, что A ∈M. Здесь применен принцип двойственности.

Аналогично вводится понятие σ – алгебры.

Определение 4. Непустая совокупность M подмножеств множества M на-

зывается σ – алгеброй, если

1) из Ai ∈M следует, что A =∞∪i=1

Ai ∈M;

2) из A ∈M следует, что C =M \ A ∈M.

Дословно повторяя доказательство теоремы 1 можно установить что для

того, чтобы совокупность M была σ – алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы

она была σ – кольцом и чтобы M ∈M.

Совокупность всех подмножеств множества M – простой пример σ – алгеб-

ры. Совокупность всех счетных подмножеств множества M , а также совокуп-

ность, состоящая из одного ∅ — примеры σ – кольца.

Если дано некоторое множество колец (соответственно алгебр) Mα, состоя-

щее из подмножеств множества M , то их пересечение M =∩α

Mα также кольцо

(соответственно алгебра). Действительно, проверим, например, замкнутость M

относительно объединения.

Пусть A, B ∈M, тогда A, B ∈Mα при ∀α, следовательно, A ∪B ∈Mα при

∀α, а потому A ∪B ∈M.

Аналогично, если Mα — σ – кольца (соответственно σ – алгебры), то их

пересечение тоже σ – кольцо (соответственно σ – алгебра).

Если K – произвольная непустая совокупность подмножеств множества M ,

то всегда существует наименьшее кольцо (соответственно алгебра, σ – коль-

цо, σ – алгебра) M, содержащее K (K ⊂ M). Действительно, таким M будет

29

Page 28: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

пересечение всех колец M′ (соответственно алгебр, σ – колец или σ – алгебр),

состоящих из подмножеств множества M и содержащих K (такие M′ существу-

ют, например, совокупность всех подмножеств множестваM). Эта совокупность

M называется кольцом (соответственно алгеброй, σ – кольцом, σ – алгеброй),

порожденным совокупностью K.

Введем еще одно понятие, более общее чем понятие кольца.

Определение 5. Совокупность M подмножеств множества M называется

полукольцом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) ∅ ∈M;

2) если A, B ∈M то A ∩B ∈M;

3) если A, B ∈ M и B ⊂ A, то существует конечная или счетная совокуп-

ность таких дизъюнктных множеств Cn ∈M, что A \B =∪n

Cn.

Всякое кольцо множеств, очевидно, является и полукольцом. Действитель-

но, если M – кольцо, то ∅ ∈ M, A ∩ B ∈ M, A \ B ∈ M и согласно п. 3o .1.1

представимо в виде объединения дизъюнктных множеств. Обратное не всегда

верно.

Простым примером полукольца может служить совокупность всех проме-

жутков на прямой (включая и вырожденные — состоящие из одной точки и

∅). При этом разность двух промежутков представима или в виде промежутка,

или в виде объединения двух дизъюнктных промежутков.

Отметим некоторые свойства полукольца.

а) Если A,A1, ..., Ap ∈ M (M – полукольцо), то существует не более чем

счетная совокупность таких дизъюнктных множеств Cn ∈M, что

A \p∪

i=1

Ai =∪n

Cn.

Это утверждение, очевидно, представляет усиление условия 3) из определения

5 полукольца.

I Проведем по индукции. Пусть A, A1 ∈M, имеем

A \ A1 = A \ (A ∩ A1), A ∩ A1 ⊂ A,

и так как A ∩ A1 ∈M, то A \ A1 =∪k

Dk, где Dk ∈M и дизъюнктны, совокуп-

30

Page 29: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ность значений k не более чем счетна в силу определения 5. Далее

A \ (A1 ∪ A2) = (A \ A1) \ A2 =∪k

(Dk \ A2).

По уже доказанному каждое из множеств Dk \A2 представимо в виде конечного

или счетного объединения дизъюнктных множеств Ekl ∈M (по индексу l)

Dk \ A2 =∪l

Ekl,

а тогда, благодаря дизъюнктности Dk, все множества Ekl дизъюнктны (по двум

индексам) и притом

A \ (A1 ∪ A2) =∪k,l

Ekl.

Это рассуждение может быть продолжено и дальше Jб) Если некоторое множество A =

∪n

An есть не более чем счетное объеди-

нение множеств An ∈ M, M – полукольцо, то A представимо также в виде не

более чем счетного объединения дизъюнктных множеств Bm ∈M, A =∪

mBm,

причем каждое Bm содержится по крайней мере в одном из An.

I Для доказательства используем п. 3o из §1 и представим множество A в

виде объединения дизъюнктных множеств

A =∞∪n=1

(An \

n−1∪j=1

Aj

).

Затем каждое из множеств An \n−1∪j=1

Aj заменим, согласно предложению а), объ-

единением дизъюнктных множеств Dnk ∈ M. Совокупность всех Dnk не более

чем счетна. Нумеруя их заново, мы и получим требуемые Bm. J(предложение п. 3o п. 1.1 справедливо и для конечного объединения).

1.3. Аддитивные функции множества.

Функция, областью задания которой является некоторая совокупность мно-

жеств, называется функцией множества.

Пусть вещественная функция f задана для всех A из совокупности M неко-

торых множеств. Не исключено, что f(A) может принимать значения +∞ или

−∞, однако для упрощения последующих определений мы предполагаем, что

31

Page 30: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

функция f допускает бесконечные значения только одного определенного зна-

ка, например, только +∞.

Определение 1. Функция f называется счетно-аддитивной, если для любой

конечной или счетной совокупности дизъюнктных множеств Ai ∈ M, объеди-

нение которых A =∪i

Ai тоже принадлежит M, имеет место равенство

f(A) =∑i

f(Ai), (1)

(если хоть одно из слагаемых равно +∞, то и сумма считается равной +∞).

Если равенство (1) обеспечено лишь в случае, когда A — объединение ко-

нечного числа дизъюнктных множеств Ai (A и все Ai из M), то функция f

называется конечно-аддитивной или просто аддитивной.

Пусть теперь область задания M — кольцо множеств. Тогда объединение

любого конечного числа множеств Ai ∈ M тоже принадлежит M. Поэтому,

если известно,что для любых двух дизъюнктных множеств A1 и A2 из M

f(A1 ∪ A2) = f(A1) + f(A2),

то отсюда по индукции сразу получится равенство (1) и для любого конечно-

го числа дизъюнктных множеств Ai ∈ M. Таким образом, функция f будет

конечно-аддитивна.

Свойства счетно-аддитивной функции на кольце.

1o. Аддитивная функция на кольце обладает следующим свойством: если

A, B ∈M, B ⊂ A и значение f(A) конечно, то и f(B) конечно.

I Из аддитивности функции f следует, что f(A) = f(B)+ f(A∅B) (множе-

ство A \ B ∈ M, так как M – кольцо). Если допустить, что f(B) = +∞, то из

предыдущего равенства будет следовать, что и f(A) = +∞, вопреки условию.

J2o Пусть A, B ∈ M, B ⊂ A и предположим, что f(B) конечно. Тогда из

предыдущей формулы следует, что

f(A \B) = f(A)− f(B). (2)

Полагая здесь A = B, находим f(∅) = f(A)− f(A) = 0. Таким образом, равен-

ство f(∅) = 0 непременно имеет место, если существует хоть одно множество

A ∈M, для которого f(A) – конечно.

32

Page 31: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Счетно-аддитивные функции с конечными значениями могут быть охарак-

теризованы с помощью следующей теоремы.

Теорема 1. Для того, чтобы аддитивная функция f с конечными значения-

ми, заданная на кольце M, была счетно-аддитивной, необходимо и достаточно,

чтобы для любой убывающей последовательности множеств Ai ∈M (i = 1, 2, ...)

с пустым пересечением∞∩i=1

Ai = ∅ было limi→∞

f(Ai) = 0.

IНеобходимость. Пусть f – счетно-аддитивная функция на кольце M, и

Ai ∈M, (i = 1, 2, ...) убывающая последовательность множеств с пустым пере-

сечением. Из п. 1.1 следует A1 =∞∪i=1

(Ai \ Ai+1), где множества Ai \ Ai+1 дизъ-

юнктны. Тогда, используя формулу (2), получим

f(A1) =∞∑i=1

f(Ai \ Ai+1) =∞∑i=1

[f(Ai)− f(Ai+1)] =

= limn→∞

n−1∑i=1

[f(Ai)− f(Ai+1)] = f(A1)− limn→∞

f(An).

Следовательно, f(An)→ 0 при n→∞.

Достаточность. Пусть f — аддитивная функция на кольце M. Возьмем

A =∞∪i=1

Ai, где A, Ai ∈M и множества Ai – дизъюнктны.

Докажем, что f(A) =∞∑i=1

f(Ai). Положим Bn =∞∪

i=n+1

Ai. Положим Bn =

∪∞i=n+1, тогда последовательность множеств Bn монотонно убывает и

∞∩n=1

Bn = ∅

(пункт 20 из 1.1) и Bn = A \n∪

i=1

Ai ∈M. Из конечной аддитивности функции f

следует, что

f(A) =n∑

i=1

f(Ai) + f(Bn).

Для убывающей последовательности Bn по условию теоремы f(Bn)→ 0, n→

∞, поэтому

f(A) =∞∑i=1

f(Ai).

Таким образом, счетная аддитивность функции f на M доказана. JТеорема 2. Пусть f – счетно-аддитивная функция, заданная на кольце M.

Если A ∈M и A =∞∪i=1

Ai, где Ai ∈M и образуют возрастающую последователь-

33

Page 32: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ность, то

f(A) = limi→∞

f(Ai). (3)

То же равенство справедливо, если A =∞∩i=1

Ai, где A, Ai ∈ M, Ai образуют

убывающую последовательность и f(Ai) конечно, начиная с некоторого i.

I Рассмотрим случай возрастающей последовательности Ai и допустим

сначала, что все f(Ai) конечны. Тогда из формулы (4) п.1.1 следует, что

f(A) = f(A1

∞∪i=2

(Ai \ Ai−1))= f(A1) + f

( ∞∪i=2

(Ai \ Ai−1))=

= f(A1) +∞∑i=2

[f(Ai)− f(Ai−1)

],

что равносильно (3). Если же f(Ai) = +∞ начиная с некоторого i, то и f(A) =

+∞ и равенство (3) выполняется.

В случае убывающей последовательности Ai можно, не уменьшая общно-

сти, считать, что уже f(A1) конечно. Тогда при исследовании функции f на

той части кольца, которая состоит из подмножеств, содержащихся в A1, мож-

но применить теорему 1. А так как очевидно, что∞∩i=1

(Ai \ A) = ∅, то по этой

теореме f(Ai \ A)→ 0, что опять равносильно (3). J

1.4 Мера и ее свойства.

Следующее определение играет основную роль во всем дальнейшем.

Определение 1. Пусть X – произвольное множество. Мерой в X называ-

ется вещественная неотрицательная счетно-аддитивная функция m, заданная

на некотором полукольце M подмножеств множества X, причем m∅ = 0. (Обо-

значения: mA – мера множества A ∈M)

Мера m называется конечной, если mA < +∞ для ∀A ∈ M. Мера m назы-

вается σ – конечной, если для ∀A ∈M существуют такие An ∈M (n = 1, 2, ...),

что A ⊂∞∪n=1

An и mAn < +∞ для каждого n.

Заметим, что для σ – конечной меры условие m∅ = 0 может быть выведено

из прочих свойств меры. (m∅ = m(∅ ∪ ∅) = 2m∅ ⇒ m∅ = 0) Однако в общем

случае это не так: неотрицательная счетно-аддитивная функция может быть

тождественно равна +∞.

34

Page 33: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если A =∞∪i=1

Ai и множества Ai не пересекаются, то mA =∞∑i=1

mAi. Это сле-

дует из счетной аддитивности меры (в определении 1).

Отметим некоторые свойства меры, легко вытекающие из ее определения.

а) Пусть на полукольце M задано не более чем счетное множество дизъ-

юнктных множеств An ∈ M (n = 1, 2, ...), причем An ⊂ A ∈ M при ∀n, тогда∑n

mAn ≤ mA.

I Действительно, если множеств An конечное число p, то, согласно свойству

а) из п. 1.2, разность A \p∪

n=1

An можно представить в виде

A \p∪

n=1

An =∪k

Ck,

где Ck ∈M и дизъюнктны. Отсюда

mA =

p∑n=1

mAn +∑k

mCk,

следовательно,p∑

n=1

mAn ≤ mA.

Если же множеств An — счетная совокупность, то предыдущее неравенство

справедливо при любом p и, переходя в нем к пределу при p→∞, получим∞∑n=1

mAn ≤ mA. J

Частным случаем свойства а) является так называемая монотонность меры:

если A, B ∈M и B ⊂ A, то mB ≤ mA.

б) Если A, An ∈ M (n = 1, 2, ...), A ⊂∪n

An и совокупность множеств An

конечна или счетна, то

mA ≤∑n

mAn.

I Положим Bn = An ∩ A. Тогда Bn ∈ M и A =∪n

Bn (Bn не обязательно

являются дизъюнктными). Далее введем множества

Dn = Bn \n−1∪k=1

Bk,

Dn не обязательно ∈M.

35

Page 34: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Согласно утверждению 3o из п. 1.1 A =∪n

Dn и при этом Dn – дизъюнктны.

Каждое Dn можно представить в виде

Dn = Bn \n−1∪i=1

Bi =∪k

Cnk,

где Cnk ∈ M (k = 1, 2, ...) и дизъюнктны, и тогда A =∪n,k

Cnk, причем и в этом

объединении все множества Cnk – дизъюнктны. Кроме того, Dn ⊂ Bn, а потому

по предыдущему предложению а)∑k

mCnk ≤ mBn при любом n. Отсюда

mA =∑n

∑k

mCnk ≤∑n

mBn ≤∑n

mAn. J

Доказанное в п. б) свойство называется счетной полуаддитивностью меры. Из

этого свойства сразу вытекает, что если конечное или счетное объединение мно-

жеств меры, равной нулю, входит в M, то его мера тоже равна нулю.

1.5. Внешняя мера.

Здесь рассмотрим функцию, играющую важную роль в теории меры.

Определение 1. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X

называется вещественная неотрицательная функция µ∗, заданная на совокупно-

сти всех подмножеств множества X и удовлетворяющая следующим условиям:

1) µ∗∅ = 0;

2) если E ⊂∪n

En, где совокупность множеств En ⊂ X не более чем счетна,

то µ∗E ≤∑n

µ∗En (счетная полуаддитивность внешней меры).

Из счетной полуаддитивности вытекает, в частности, монотонность внешней

меры: если E1 ⊂ E2, то µ∗E1 ≤ µ∗E2. Обращаем внимание на то, что от внешней

меры не требуется свойства аддитивности, даже конечной.

Далее рассмотрим две теоремы. Первая из них дает способ построения внеш-

ней меры µ∗ по заданной мере m, а вторая — меры m по заданной внешней мере

µ∗.

Теорема 1. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце M, и пусть µ∗ –

функция, определенная для любого множества E ⊂ X по следующему правилу:

1) если для E ⊂ X существует не более чем счетное покрытие из полукольца

M, то есть E ⊂∪n

An, где An ∈ M (n = 1, 2, ...), то µ∗E = inf[∑

n

mAn

], где

нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа;

36

Page 35: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

2) в противном случае, если такого покрытия не существует, то µ∗E = +∞.

Тогда µ∗ – внешняя мера в X, причем µ∗A = mA для ∀A ∈M.

I Выполнение для µ∗ условия 1) из определения внешней меры очевидно.

Условие 2) нуждается в проверке только в случае, если∑n

µ∗En < +∞. В этом

случае зададим ε > 0 и для каждого En подберем покрытие, состоящее из

множеств Ank ∈M, k = 1, 2, ..., так, что∑k

mAnk < µ∗En +ε

2n.

(Возьмем µ∗En ≤ inf[∑

k

mAnk

], тогда добавив µ∗En+ εn найдем покрытие, что

неравенство будет выполнено).

Множества Ank (n, k = 1, 2, ...) в совокупности образуют не более чем счетное

покрытие множества E (напоминаем, что в условии 2) E ⊂∪n

En), причем

µ∗E ≤∑n,k

mAnk <∑n

(µ∗En +

ε

2n

)=∑n

µ∗En + ε.

Вследствие произвольности ε отсюда и получается требуемое неравенство опре-

деления 1. Таким образом, µ∗ – внешняя мера множества X. Равенство µ∗A =

mA для ∀A ∈ M вытекает из следующих соображений. С одной стороны, из

п. б) п. 1.4 (свойства меры) следует, что mA ≤∑n

mAn для любого покрытия

множества A, а потому mA ≤ µ∗A. С другой стороны, совокупность, состоя-

щая из одного множества A представляет его собственное покрытие и потому

µ∗A ≤ mA, тем самым µ∗A = mA. JБудем говорить, что внешняя мера µ∗, построенная в теореме 1, порождена

мерой m.

Введем обозначение: если E – произвольное множество изX, то E ′ = X\E —

его дополнение относительно X.

Определение 2. Пусть µ∗ – внешняя мера в X. Возьмем два множества

A, E ⊂ X. Говорят, что множество A "хорошо разбивает"множество E ⊂ X,

если

µ∗E = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ A′). (1)

Заметим, что по свойству счетной полуаддитивности внешней меры, в формуле

(1) всегда имеет место знак ” ≤ ”. Поэтому, чтобы доказать, что множество A

37

Page 36: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

хорошо разбивает множество E, достаточно установить неравенство

µ∗E ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ A′), (2)

а последнее нуждается в проверке только в случае µ∗E < +∞. Из формулы (1)

видно, если A хорошо разбивает E, то A′ тоже хорошо разбивает E.

Определение 3. Множество A ⊂ X называют µ∗ – измеримым, если оно

хорошо разбивает всякое множество E ⊂ X.

Совокупность всех µ∗ – измеримых множеств в X обозначим Σ. Сужение

внешней меры µ∗ в X на совокупность Σ всех µ∗ – измеримых множеств обо-

значим через µ.

Теорема 2. Совокупность Σ всех µ∗ – измеримых множеств в X является

σ – алгеброй, а функция µ – мерой в X.

I 1) Сначала докажем, что Σ — алгебра, а функция µ – конечно-аддитивна.

Ясно, что самоX и ∅ входят Σ, а потому совокупность Σ не пуста. Кроме того, из

сделанного выше замечания сразу следует, что если A ∈ Σ, то и A′ = X \A ∈ Σ.

Пусть теперь A1 и A2 ∈ Σ, а B = A1∩A2; покажем, что B хорошо разбивает

∀E ⊂ X, то есть B ∈ Σ. Используя что A1 и A2 хорошо разбивают любое

множество E из X, имеем

µ∗E = µ∗(E∩A1)+µ∗(E∩A′

1) = µ∗(E∩(A1∩A2))+µ∗(E∩(A1∩A′

2))+µ∗(E∩A′

1)

С другой стороны

µ∗(E ∩B) + µ∗(E ∩B′) = µ∗(E ∩B) + µ∗(E ∩ (B′ ∩ A1)) + µ∗(E ∩ (B′ ∩ A′1)).

Но B′ ∩A1 = A1 ∩A′2, B

′ ∩A′1 = A′

1 и потому правые части в обоих равенствах

совпадают, следовательно,

µ∗E = µ∗(E ∩B) + µ∗(E ∩B′).

Таким образом, B ∈ Σ и множество Σ является алгеброй (в определении алгеб-

ры объединение множеств можно заменить пересечением).

Пусть A1 и A2 ∈ Σ, A1 ∩ A2 = ∅ и A = A1 ∪ A2. Поскольку множество A1

является µ∗ – измеримым, для ∀E ⊂ X имеем

µ∗(E ∩ A) = µ∗((E ∩ A) ∩ A1)) + µ∗((E ∩ A) ∩ A′1).

38

Page 37: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Но A ∩ A1 = A1, A ∩ A′1 = A2, следовательно,

µ∗(E ∩ A) = µ∗(E ∩ A1) + µ∗(E ∩ A2). (3)

В частности, полагая E = A, находим

µA = µ∗A = µ∗A1 + µ∗A2 = µA1 + µA2.

Аддитивность функции µ доказана.

2) Теперь докажем, что множество Σ является σ – алгеброй, а функция µ –

счетно-аддитивной.

Пусть Ak ∈ Σ, k = 1, 2, ..., и множества Ak – дизъюнктны, а A =∪k

Ak. Для

любого натурального p положим Bp =p∪

k=1

Ak. Так как Σ – алгебра, то Bp ∈ Σ,

тогда для ∀E ⊂ X

µ∗E = µ∗(E ∩Bp) + µ∗(E ∩B′p).

Применяя к первому слагаемому в правой части формулу (3), которая по индук-

ции распространяется на любое конечное число дизъюнктных µ∗ – измеримых

множеств и учитывая монотонность внешней меры µ∗, получим

µ∗E =

p∑k=1

µ∗(E ∩ Ak) + µ∗(E ∩B′p) ≥

p∑k=1

µ∗(E ∩ Ak) + µ∗(E ∩ A′).

Далее, переходя к пределу при p→∞ и используя счетную полуаддитивность

внешней меры µ∗, находим, что

µ∗E ≥p∑

k=1

µ∗(E ∩ Ak) + µ∗(E ∩ A′) ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ A′).

Тем самым мы пришли к неравенству (2), из которого следует, что множество A

хорошо разбивает ∀E ⊂ X, то есть A ∈ Σ. Кроме того, полагая E = A, получаем

µA ≥∑k

µAk, а так как обратное неравенство справедливо по определению

внешней меры, то функция µ – счетно-аддитивна

µA =∑k

µAk.

Остается проверить, что множество Σ является σ – алгеброй. Пусть A =∪k

Ak,

где Ak — любые множества из Σ. Тогда множество A представимо в виде объ-

единения дизъюнктных множеств по формуле

A =∞∪n=1

(An \

n−1∪j=1

Aj

)39

Page 38: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

(см. п. 1.1), причем множества An \n−1∪j=1

Aj ∈ Σ. Следовательно, по уже доказан-

ному, A ∈ Σ и Σ — σ – алгебра. JБудем говорить, что мера µ, построенная в теореме 2, порождена внешней

мерой µ∗.

Некоторые свойства µ∗ – измеримых множеств.

1o. Если µ∗A = 0, то A ∈ Σ. Действительно, в этом случае, благодаря моно-

тонности меры µ∗, неравенство (2) выполняется для ∀E ⊂ X.

2o. Если A ∈ Σ и µA = 0, а E ⊂ A, то E ∈ Σ. Действительно, из монотонности

µ∗ следует, что µ∗E = 0 и остается применить свойство 1o.

3o. Если A1 ⊂ A ⊂ A2, причем A1, A2 ∈ Σ и µA1 = µA2 < +∞, то A ∈ Σ и

µA = µA1 = µA2. Действительно, A\A1 ⊂ A2\A1. Но A2\A1 ∈ Σ и µ(A2\A1) = 0,

а тогда по п. 2o, A \ A1 ∈ Σ и потому A = A1 ∪ (A \ A1) ∈ Σ. Равенство

µA = µA1 = µA2 следует из монотонности меры.

4o. Критерий µ∗ – измеримости множества. Пусть E ⊂ X. Если для ∀ε > 0

существуют такие A, B ∈ Σ, что A ⊂ E ⊂ B и µ(B \ A) < ε, то E ∈ Σ.

I Для любого n подберем An, Bn ∈ Σ так, что An ⊂ E ⊂ Bn и µ(Bn \

An) < 1/n. Положим A =∪n

An, B =∩n

Bn. Тогда A, B ∈ Σ, A ⊂ E ⊂ B и

B \ A ⊂ Bn \ An при любом n. Следовательно, µ(B \ A) ≤ µ(Bn \ An) < 1/n,

тогда µ(B \A) = 0, так как E \A ⊂ B \A. Согласно п. 2o отсюда вытекает, что

E \ A ∈ Σ, а тогда и E ∈ Σ, ибо E = A ∪ (E \ A). J

1.6. Стандартное распространение меры с полукольца на σ – алгебру.

Объединяя оба построения меры µ∗ по m и меры µ по µ∗, разобранные в

предыдущем параграфе, мы осуществим теперь такое распространение меры

m, заданной в множестве X на полукольце M, которое приведет нас к мере µ,

но заданной на более обширной совокупности множеств из X. Описываемый

ниже процесс распространения меры был предложен немецким математиком

К. Каратеодори.

Теорема 1. (Каратеодори). Пусть m — мера в X, заданная на полукольце

M, µ∗ – внешняя мера, порожденная мерой m, µ — мера, порожденная внешней

мерой µ∗. Тогда µ есть распространение меры m с полукольца M на σ – алгебру

Σ µ∗ – измеримых множеств, то есть M ⊂ Σ и mA = µA для ∀A ∈M.

40

Page 39: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В дальнейшем получаемую таким образом меру µ будем называть стандарт-

ным распространением меры m (или распространением по Каратеодори). µ∗ –

измеримые множества будем называть также m – измеримыми.

I В проверке нуждается только включение M ⊂ Σ, так как равенство mA =

µA (для A ∈M) будет тогда вытекать из теоремы 1 предыдущего п. 1.5.

Пусть A ∈M, а E – произвольное подмножество из X. Нужно показать, что

A хорошо разбивает E. Проверим равенство (2) п. 1.5, причем, как отмечено в

предыдущем параграфе, достаточно считать,что µ∗E < +∞.

Опираясь на определение внешней меры µ∗, порожденной мерой m, мы мо-

жем по произвольному ε > 0 подобрать An ∈M (n = 1, 2, ...) так, что

E ⊂∪n

An,∑n

mAn < µ∗E + ε.

Далее имеем очевидное включение:

E ∩ A ⊂∪n

(An ∩ A), E ∩ A′ ⊂∪n

(An ∩ A′).

Множества An ∩A ∈M и образуют покрытие множества E ∩A; следовательно,

µ∗(E ∩ A) ≤∑n

m(An ∩ A). (1)

Множества An ∩ A′ представим в виде разностей An ∩ A′ = An \ (An ∩ A), а

потому при каждом n существуют такие дизъюнктные Cnk ∈ M (k = 1, 2, ..., ),

что An ∩ A′ =∪k

Cnk. При этом

∑k

mCnk = mAn −m(An ∩ A).

Совокупность множеств Cnk образует покрытие множества E ∩ A′, следова-

тельно,

µ∗(E ∩ A′) ≤∑n,k

mCnk =∑n

mAn −∑n

m(An ∩ A). (2)

Складывая (1) и (2), получаем

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ A′) ≤∑n

mAn < µ∗E + ε.

Вследствие произвольности ε отсюда вытекает неравенство (2) предыдущего

параграфа и теорема доказана. J

41

Page 40: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Замечание. Если X =∞∪n=1

An, где An ∈ M и mAn < +∞ при ∀n, то не

только сама мера m σ – конечна, но тем же свойством обладает и ее стандартное

распространение µ. Очевидно, верно и обратное: если µ σ – конечна, то и m σ

– конечна, а X допускает указанное выше представление.

Простейшие свойства m – измеримых множеств уже были отмечены в конце

предыдущего параграфа. В частности, всякое подмножество E m – измеримого

множества A с µA = 0 тоже m– измеримо (и µE = 0). В связи с этим введем

одно общее понятие.

Определение 1. Пусть m — произвольная мера в X, заданная на каком-то

полукольце M. Она называется полной, если из того, что A ∈ M, mA = 0 и

E ⊂ A, вытекает, что E ∈M.

Теперь мы можем сказать, что стандартное распространение любой меры m

всегда оказывается полной мерой.

Отметим одно общее свойство полной меры.

Теорема 2. Пусть область задания M полной меры m в X — σ – алгебра.

Если E ⊂ X и для любого ε > 0 существует такое A ∈M, что E ⊂ A и mA < ε,

то E ∈M и mE = 0.

I Для каждого натурального n подберем множество An ∈M так, что E ⊂

An и mAn < 1/n. Положим A =∞∩n=1

An. Тогда A ∈M (так как M — σ – алгебра)

и mA = 0 по монотонности меры. Но E ⊂ A, и остается сослаться на полноту

меры m. JВернемся к стандартному распространению произвольной меры m (с полу-

кольца M). Заметим, что стандартное распространение может не быть мини-

мальным в том смысле, что σ – алгебра Σm – измеримых множеств может быть

шире, чем σ – алгебра, порожденная полукольцом M. Мы проиллюстрируем

это замечание в следующей главе. Далее покажем, что повторное применение

процесса Каратеодори не дает ничего нового. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Пусть m — мера в X, заданная на каком-то полукольце M,

µ — ее стандартное распространение, µ∗ и ν∗ — внешние меры, порожденные

мерами m и µ соответственно. Тогда µ∗E = ν∗E для любого E ⊂ X.

Отсюда уже непосредственно следует, что совокупность µ – измеримых мно-

42

Page 41: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

жеств совпадает с совокупностью m – измеримых множеств, а тогда стандарт-

ное распространение меры µ совпадает с самой µ.

I Поскольку µ — распространение m (и, в частности, M ⊂ Σ), то ясно, что

ν∗E ≤ µ∗E для ∀E ⊂ X. Следовательно, если ν∗E = +∞, то и µ∗E = +∞ и

ν∗E = µ∗E.

Пусть теперь ν∗E < +∞. Зададим ε > 0. Так как внешняя мера ν∗ по-

рождена мерой µ, то существует такая не более чем счетная система множеств

An ∈ Σ (n = 1, 2, ...), что E ⊂∪n

An и∑n

µAn < ν∗E + ε. Но µAn = µ∗An и по-

тому при каждом n существует не более чем счетная система таких множеств

Bnk ∈M, что An ⊂∪k

Bnk и

∑k

mBnk < µAn +ε

2n.

Отсюда ∑n,k

mBnk < ν∗E + 2ε.

В то же время E ⊂∪n,k

Bnk и потому

µ∗E ≤∑n,k

mBnk < ν∗E + 2ε.

Вследствие произвольности ε,

mu∗E ≤ ν∗E и теорема доказана. J

1.7. Единственность распространения меры.

Если в множестве X задана некоторая мера m (на полукольце M), то воз-

можно, что помимо ее стандартного распространения µ на σ – алгебру Σ m –

измеримых множеств существуют и другие распространения на какие-то другие

σ – алгебры. Однако в пределах σ – алгебры Σ распространение, при некоторых

ограничениях, оказывается единственным.

Справедлива следующая терема, которую мы даем без доказательства.

Теорема . Пусть µ — стандартное распространение меры m с полукольца

M на σ – алгебру Σ, причем мера µ σ – конечна, а ν –мера, представляющая

распространение меры m на некоторую σ – алгебру Σ1 ⊃ M. Тогда µA = νA

43

Page 42: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

для всех A ∈ Σ ∩ Σ1. Если же дополнительно ко всем предыдущим условиям

мера ν полна, то Σ ⊂ Σ1.

Замечание. Условие σ – конечности меры µ в теореме существенно, если

оно не выполнено, то меры µ и ν могут не совпадать.

В заключение дадим еще одну характеристику стандартного распростране-

ния µ меры m с полукольца M, которая годится только для случая, если мно-

жество X покрывается счетной совокупностью множеств An ∈M с mAn < +∞.

В этом случае, как показывает теорема, µ — та полная мера в X, заданная на

некоторой σ – алгебре Σ1 ⊃ M и представляющая распространение меры m,

для которой область задания Σ1 — наименьшая возможная (как мы знаем, в

этом случае Σ1 = Σ).

44

Page 43: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 2. МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ Rn

2.1 n – мерные параллелепипеды

Открытым параллелепипедом называется множество точек пространства

Rn:

∆0 = (a, b) = x ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, n.

Замкнутым параллелепипедом называется множество точек пространства Rn:

∆∗ = [a, b] = x ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, n.

Параллелепипед общего вида (аналог промежутка в R1) будем обозначать сим-

волом ∆ =< a, b >. Очевидно ∆0 ⊂ ∆ ⊂ ∆∗. Замыкание открытого промежутка

∆0 совпадает с ∆∗, то есть ∆0= ∆∗. Допускается, что некоторые ai = −∞, а

bi = +∞.

Будем говорить, что параллелепипеды дизъюнктны, если у них нет общих

точек, и что они не налегают друг на друга, если у них нет общих внутренних

точек.

Напомним, что объемом параллелепипеда ∆ =< a, b > называется произве-

дение v(∆) = Πi=ni=1 (bi − ai), если существует ребро, равное +∞, то v(∆) = +∞.

Можно доказать, что v(∆) – счетно-аддитивная функция от ∆. Однако она

не мера, поскольку параллелепипеды произвольного вида не образуют полу-

кольца. Для построения меры в евклидовом пространстве наиболее удобными

являются параллелепипеды специального вида.

Определение 1. Параллелепипед вида

∆ = [a, b) = x ∈ Rn : ai ≤ xi < bi, i = 1, n

называется ячейкой. В число ячеек входит также ∅, причем v∅ = 0.

Отметим некоторые свойства ячеек:

а) пересечение двух ячеек также будет ячейкой;

б) разность двух ячеек представима в виде объединения конечного числа дизъ-

юнктных ячеек.

Из этих предложений следует, что совокупность всех ячеек пространства Rn

является полукольцом, обозначим его M.

45

Page 44: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема. Функция v, заданная на полукольце M и равная для каждой

ячейки ее объему, является σ – конечной мерой в Rn.

I По определению v∆ ≥ 0 для ∀∆ ∈ M. Функция v является счетно-

аддитивной в Rn, о чем сказано раньше. Наконец, пространство Rn представи-

мо в виде счетного объединения ячеек с конечными объемами, например ячеек

вида ∆p = [−p, p), p = 1, 2, ... J

2.2 Представление открытого множества с помощью ячеек

Мы установим, что всякое открытое множество G ⊂ Rn может быть раз-

ложено (не единственным образом) на дизъюнктные ячейки. Сами ячейки не

являются открытыми множествами.

Теорема 1. Любое открытое множество G ⊂ Rn представимо в виде не

более чем счетного объединения дизъюнктных n – мерных ячеек с конечными

ребрами.

I Для каждого m ∈ N образуем разбиение пространства Rn на ячейки [a, b),

где каждое ai может иметь любое значение вида k/2m, где k – любое целое число

(k = 0,±1,±2,...), а bi = ai + 1/2m. Эти ячейки назовем ячейками m – го ранга.

Ясно, что ячейки одного ранга дизъюнктны, а каждая ячейка (m+1) – го ранга

целиком содержится в одной из ячеек m – го ранга (точнее, ячейки (m + 1) –

го ранга получаются в результате разбиения каждой из ячеек m – го ранга на

2n частей, где n – размерность пространства).

ПустьG – открытое множество в Rn. Будем считать, чтоG = ∅, в противном

случае самоG является ячейкой. Из совокупности ячеек 1 - го ранга выберем все

те, которые целиком содержатся в G, множество этих ячеек обозначим Σ1 (оно

может оказаться пустым). Далее из совокупности ячеек 2 - го ранга выберем

все те, которые целиком содержатся в G и не содержатся ни в одной из ячеек,

включенных в Σ1 (следовательно не пересекаются с ними). Множество этих

ячеек 2 - го ранга обозначим Σ2.

Этот процесс продолжим до бесконечности. В множество Σm включаем все

ячейки m - го ранга, которые содержатся в G, но не входят ни в одну из ячеек

множеств Σ1, Σ2,..., Σm−1.

Пусть H = ∪∞m=1Σm – множество точек из Rn, представляющее объединение

46

Page 45: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

всех ячеек, входящих в Σm. Так как всех ячеек любого ранга – счетное множе-

ство, то и каждое из множеств Σm не более чем счетно, потому и множество

H – объединение не более чем счетного множества ячеек. При этом, по самому

построению, ячейки, из которых образовали множество H, дизъюнктны.

Докажем, что G = H. Включение H ⊂ G очевидно по построению, остает-

ся проверить обратное включение. Пусть точка x ∈ G, тогда и некоторая ε -

окрестность B(x, ε) ⊂ G. Если взять число m так, что√n/2m < ε, то можно

сосчитать, что та ячейка m - го ранга, которая содержит точку x, сама целиком

содержится в B(x, ε), а следовательно и в G. Из всех чисел m, объединенных

тем свойством, что ячейки m - го ранга, содержащие точку x, целиком содер-

жатся в G (мы уже установили, что такиеm существуют), выберем наименьшее,

пусть это будет m = m0. Через ∆0 обозначим ту ячейку m0 - го ранга, которая

содержит точку x. Тогда ячейки m - го ранга при m < m0, содержащие ∆0, не

могут целиком входить в множество G и потому не включены в Σm.

Следовательно, по построению, ∆0 ⊂ Σm0 , а потому ∆0 ⊂ H и точка x ∈ H.

Тем самым включение G ⊂ H, а вместе с ним и равенство G = H доказано. J

2.3 Измеримые множества в Rn

Исходя из меры v, определенной в п. 2.2 на полукольце ячеек M, то есть

объема ячеек, и применяя процесс распространения меры, построим в Rn стан-

дартное распространение меры v.

Определение 1. Стандартное распространение µ объема v называется ме-

рой Лебега в Rn (или просто мерой в Rn). Множества из Rn, для которых мера

µ определена (то есть v – измеримые) называются измеримыми по Лебегу (или

просто измеримыми).

В пространстве Rn могут быть определены и различные другие меры, одна-

ко в этой главе символ µ обозначает именно меру Лебега. Введенная мера µ σ –

конечна, так как Rn представимо в виде счетного объединения ячеек с конеч-

ными объемами. Для всех множеств из пространства Rn определена внешняя

мера µ∗, порожденная мерой v. Ее называют внешней мерой Лебега. При этом,

по построению, мера µ является сужением меры µ∗ на σ - алгебру Σ измеримых

множеств.

47

Page 46: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Поскольку совокупность измеримых множеств является σ - алгеброй, то

объединение и пересечение конечного или счетного множества измеримых мно-

жеств измеримо, разность двух измеримых множеств измерима, в частности

дополнение к измеримому множеству до всего пространства Rn измеримо.

Из общих свойств меры вытекает, что если E ⊂ ∪kEk (в частности E =

∪kEk), где все множества Ek и E измеримы, а объединение конечно или счетно,

то µE ≤ ΣkµEk – счетная полуаддитивность меры. Если же E = ∪kEk, а Ek –

дизъюнктны, то µE = ΣkµEk – счетно-аддитивная мера.

Поскольку мера Лебега получена как стандартное распространение объема

v, то она полна, то есть всякое подмножество множества меры 0 измеримо и

тоже имеет меру 0.

Так как мера Лебега порождена внешней мерой, то для нее справедлив кри-

терий µ∗ - измеримости: если E ⊂ Rn и для ∀ε > 0 ∃ два таких измеримых

множества A и B, что A ⊂ E ⊂ B и µ(B \ A) < ε, то E тоже измеримо. В

дальнейшем этот признак назовем критерием измеримости в пространстве Rn.

По самому построению σ - алгебры измеримых множеств в нее входят все

ячейки. При этом µ∆ = v∆ для любой ячейки ∆.

В дальнейшем будет полезно следующее замечание: если для произвольного

множества E ⊂ Rn его пересечение с ячейками ∆p = [−p, p), p = 1, 2, ..., измери-

мо, хотя бы при всех достаточно больших p (а тогда оно будет измеримо и при

всех p), то и множество E измеримо. Действительно, положим Ep = E ∩p ∆p и

пусть Ep измеримо при всех p ≥ p0. Ясно, что E = ∪∞p=p0

Ep и потому E тоже

измеримо.

Теорема 1. Каждое открытое множество и каждое замкнутое множество

из Rn измеримы.

I Измеримость открытого множества вытекает из измеримости ячеек и Тео-

ремы 1 п. 2.2. Поскольку каждое замкнутое множество есть дополнение к неко-

торому открытому множеству, то оно тоже измеримо. JТеорема 2. Любой параллелепипед ∆ ⊂ Rn измерим, причем µ∆ = v∆.

I Измеримость открытых и замкнутых параллелепипедов вытекает из из

предыдущей теоремы. Проверим, что их мера µ совпадает с объемом v.

48

Page 47: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Рассмотрим сначала открытый или замкнутый параллелепипед ∆ с конеч-

ными ребрами. Возьмем ∀ε > 0. Подберем две ячейки ∆1 и ∆2, для которых

выполнены условия: ∆2 ⊂ ∆ ⊂ ∆1 и v∆1 < v∆+ ε, а v∆2 > v∆− ε. Тогда

v∆− ε < v∆2 = µ∆2 ≤ µ∆ ≤ µ∆1 = v∆1 < v∆+ ε.

Отсюда следует v∆−ε < µ∆ < v∆+ε и вследствие произвольности ε µ∆ = v∆.

Пусть теперь ∆ =< a, b > – произвольный параллелепипед с конечными

ребрами. Введем параллелепипеды ∆0 = (a, b) и ∆∗ = [a, b]. Тогда ∆0 ⊂ ∆ ⊂ ∆∗

и µ∆0 = µ∆∗ = v∆. Согласно свойству 3 п. 1.5 предыдущей Главы отсюда

вытекает, что параллелепипед ∆ измерим и µ∆ = v∆.

Наконец, пусть ∆ – параллелепипед, имеющий бесконечное ребро. Поло-

жим Ep = ∆ ∩ ∆p, где ∆p = [−p, p) – ячейки, определенные раньше. При всех

достаточно больших p параллелепипед и ячейки налегают друг на друга, а то-

гда их пересечение Ep – параллелепипед с конечными ребрами. Следовательно

оно измеримо. Тогда, как отмечено выше, и параллелепипед ∆ измерим. Ясно,

что в ∆ содержатся и некоторая ячейка ∆′ с бесконечным ребром, и так как

µ∆ ≥ µ∆′ = +∞, то и µ∆ = +∞, то есть µ∆ = v∆. JТеорема 3. Конечное или счетное множество точек из Rn измеримо и его

мера равна 0.

I Множество, состоящее из одной точки замкнуто и потому измеримо. Так

как точку можно поместить в параллелепипед сколь угодно малого объема, то

ее мера равна нулю. Из измеримости одноточечных множеств вытекает измери-

мость любого конечного или счетного множества точек. Мера такого множества

равна нулю как сумма мер одноточечных множеств. JОпределение 2. Множество A ⊂ Rn называется борелевым, если оно при-

надлежит σ - алгебре, порожденной совокупностью всех замкнутых множеств

из Rn.

Совокупность всех борелевых множеств из Rn обозначают символом B. То-

гда каждое замкнутое множество F ⊂ B по определению, каждое открытое

множество G ⊂ B, поскольку оно является дополнением к замкнутому множе-

ству. Ясно, что σ - алгебра, порожденная совокупностью всех открытых мно-

жеств G из Rn, совпадает с B.

49

Page 48: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Среди борелевых множеств имеются множества значительно более сложной

структуры, не принадлежащие к числу замкнутых или открытых множеств.

Например, множество, представимое в виде счетного объединения замкнутых

множеств (типа Fσ) будет борелевым. Аналогично, всякое множество, предста-

вимое в виде пересечения счетного множества открытых множеств (типа Gδ)

тоже будет борелевым.

Теорема 4. Все борелевы множества из Rn измеримы.

I Совокупность B всех борелевых множеств из Rn – наименьшая σ - алгеб-

ра, содержащая все замкнутые множества из Rn. Совокупность Σ всех измери-

мых множеств из Rn – тоже σ - алгебра, содержащая все замкнутые множества

из Rn. Следовательно B ⊂ Σ. JЗамечание. Совокупность Σ измеримых множеств далеко не исчерпыва-

ется борелевыми множествами и существуют не борелевы измеримые множе-

ства. Этим подтверждается ранее сделанное замечание о том, что стандартное

распространение меры может не быть минимальным. В пространстве Rn мини-

мальным распространением объема v с полукольца ячеек было бы его распро-

странение на σ - алгебру B борелевых множеств, то есть сужение меры Лебега

на B.

Теорема 5. Внешняя мера Лебега любого множества E ⊂ Rn равна нижней

грани мер всевозможных открытых множеств G, содержащих множество E:

µ∗E = infE⊂G

µG. (1)

I Из монотонности внешней меры следует

µ∗E ≤ µG, если E ⊂ G. (2)

Поэтому, если µ∗E = +∞, то равенство (1) очевидно выполняется. Будем даль-

ше считать, что µ∗E < +∞. Так как внешняя мера µ∗ порождена объемом v,

то по произвольному ε > 0 найдется такая не более чем счетная совокупность

ячеек ∆k, k = 1, 2, ..., что

E ⊂∪k

∆k,∑k

v∆k < µ∗E + ε.

Отсюда, в частности, вытекает, что все v∆k < +∞.

50

Page 49: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Для каждой ячейки ∆k подберем открытый параллелепипед ∆0k так, что

∆k ⊂ ∆0k, а

µ∆0k < v∆k + ε/2k.

Положим G = ∪k∆0k. Тогда множество G – открыто и E ⊂ G, а

µG ≤∑k

µ∆0k <

∑k

v∆k + ε < µ∗E + 2ε.

Сопоставляя это с (2) и учитывая произвольность числа ε, заключаем, что ра-

венство (1) справедливо. JСледствие 1. Для всякого измеримого множества E ⊂ Rn и ∀ε > 0 суще-

ствуют:

а) такое открытое множество G ⊂ Rn, что E ⊂ G и µ(G \ E) < ε;

б) такое замкнутое множество F ⊂ Rn, что F ⊂ E и µ(E \ F ) < ε.

I а) Если µE < +∞, то сформулированный в этом пункте результат непо-

средственно вытекает из Теоремы 5.

В общем случае положим

Ep = E∩p

∆p, где ∆p = [−p, p).

По доказанной теореме существуют такие открытые множества Gp, что Ep ⊂ Gp

и µ(Gp \Ep) < ε/2p. Пусть G = ∪∞p=1Gp, тогда множество G – открытое, E ⊂ G,

а

G \ E ⊂∞∪p=1

(Gp \ Ep),

Следовательно, µ(G \ E) < ε.

б) Эта часть утверждения вытекает из предыдущего путем перехода к допол-

нениям множеств. Действительно, положим E ′ = Rn \ E и подберем открытое

множество G ⊂ Rn так, что E ′ ⊂ G и что µ(G \E ′) < ε. Множество F = Rn \G

– замкнутое; при этом F ⊂ E и E \ F = G \ E ′, следовательно µ(E \ F ) < ε. JСледствие 2. Мера любого измеримого множества E ⊂ Rn равна верхней

грани мер всевозможных замкнутых множеств F , содержащихся в E:

µE = supF⊂E

µF. (3)

51

Page 50: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Аналогично (2) имеем

µF ≤ µE, если F ⊂ E. (4)

Кроме того, если µE < +∞, то по Следствию 1 существует замкнутое мно-

жество F ⊂ E с мерой сколь угодно близкой к µE. Отсюда сразу вытекает

формула (3).

Если же µE = +∞, а F удовлетворяет условию б) из Следствия 1, то µF =

+∞ и формула (3) очевидна. JТеорема 6. Для всякого измеримого множества E ⊂ Rn существуют такие

два множества H типа Fσ и K типа Gδ, что

H ⊂ E ⊂ K, µH = µE = µK и µ(K \H) = 0.

I По Следствию 1 из Теоремы 5 п. а) для ∀m ∈ N существует такое от-

крытое множество Gm ⊃ E, что µ(Gm \ E) < 1/m. Положим K = ∩mGm, тогда

множество K типа Gδ, E ⊂ K и

µ(K \ E) ≤ µ(Gm \ E) < 1/m при ∀m.

Следовательно µ(K \ E) = 0. Аналогично с помощью п. б) Следствия 1 уста-

навливается существование множества H типа Fσ, для которого H ⊂ E, а

µ(E \H) = 0.

Отсюда следует

µ(K \H) = µ(K \ E) + µ(E \H) = 0,

µE = µH + µ(E \H) = µH,

µK = µE + µ(K \ E) = µE.

Таким образом из включения H ⊂ E ⊂ K и равенства µ(K \H) = 0 равенство

µH = µE = µK вытекает автоматически. В то же время из равенства µH = µK

при H ⊂ K равенство µ(K \H) = 0 выполняется только в случае µH < +∞. JСледствие 3. Попутно мы доказали, что всякое измеримое множество E ⊂

Rn представимо в виде объединения некоторого борелева множества типа Fσ и

некоторого измеримого множества меры 0 или борелева множества типа Gδ и

измеримого множества меры 0. То есть E = H ∪ (E \H) и K = E ∪ (K \ E).

52

Page 51: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В заключение отметим без доказательства некоторые принципиальные фак-

ты. Движением в пространстве Rn называется всякое взаимно-однозначное отоб-

ражение Rn на Rn, при котором расстояния между любыми двумя точками

сохраняется. Множества E1 и E2 из Rn называются конгруэнтными, если од-

но из них является образом другого при движении. Можно доказать, что если

два множества E1 и E2 конгруэнтны и одно из них измеримо, то и другое то-

же измеримо, причем µE1 = µE2. Иными словами, мера Лебега инвариантна

относительно движения.

Установлено, что в Rn существуют неизмеримые по Лебегу множества. Бо-

лее того, доказано, что ни в одном из пространств Rn нельзя построить σ -

конечную меру так, чтобы:

а) она была определена для всех множеств из Rn;

б) была инвариантна относительно движения;

в) мера любого параллелепипеда совпадала с его объемом.

В этом утверждении крайне существенную роль играет то, что мы вклю-

чили в определение меры требование счетной аддитивности. Если понятие ме-

ры несколько расширить и допустить, что мера может быть лишь конечно-

аддитивной, то, как доказал С. Банах, в R1 и R2 будут существовать меры,

обладающие свойствами а)-в). Однако при n ≥ 3 в Rn не существует и конечно-

аддитивной меры, удовлетворяющей условиям а)-в). Это доказал Хаусдорф.

53

Page 52: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

В этой главе будет изучен класс функций, играющий важную роль при опре-

делении интеграла. Основное изложение будет проведено для функций на аб-

страктном множестве с мерой. При этом большая часть результатов устанав-

ливается при произвольной мере, и лишь иногда нужно дополнительно предпо-

лагать полноту меры.

Поскольку мера Лебега в евклидовом пространствеRn полна, все доказанное

в этой главе для функций на абстрактном множестве справедливо и в Rn.

3.1 Определение измеримых функций

Пусть X – произвольное множество, Σ – некоторая σ - алгебра его подмно-

жеств и на Σ задана мера µ. Множества из Σ будем называть измеримыми. В

частности, в качестве X может быть взято пространство Rn, за Σ может быть

принята σ - алгебра всех множеств, измеримых по Лебегу, а за µ – мера Лебега.

Будем сначала рассматривать вещественные функции с конечными значе-

ниями, областью задания которых может быть произвольное множество E из

X. В дальнейшем, как правило, это множество будет измеримым.

Определение 1. Пусть функция f(x) задана на множестве E ⊂ X; ее мно-

жествами Лебега называются все множества следующих четырех типов:

1) E(f(x) > a), 2) E(f(x) ≥ a), 3) E(f(x) < a), 4)E(f(x) ≤ a),

где a может быть любым вещественным числом.

Определение 2. Функция f(x), заданная на множестве E ⊂ X, называется

измеримой на этом множестве, точнее Σ – измеримой, если все ее множества

Лебега в Определении 1 при любом a измеримы. Если X = Rn, а Σ состоит

из множеств, измеримых по Лебегу, то измеримые функции f(x) называются

измеримыми по Лебегу.

Заметим, что если функция f измерима на множестве E, то и само множе-

ство E измеримо. Это вытекает из очевидного равенства

E =∞∪n=1

E(f(x) > −n), (1)

поскольку множества, стоящие под знаком объединения, суть лебеговы множе-

ства первого типа функции f(x).

54

Page 53: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если функция f(x) измерима на E, то и множество E(f(x) = a) измеримо

при всех a. Действительно, это множество представимо как пересечение двух

измеримых множеств

E(f(x) = a) = E(f(x) ≥ a)∩

E(f(x) ≤ a).

Теорема 1. Если функция f(x), заданная на множестве E, такова, что ее

множества Лебега какого-нибудь одного типа измеримы при всех a, то эта функ-

ция измерима.

I Пусть лебеговы множества первого типа E(f(x) > a) измеримы при всех a.

Нужно доказать измеримость для функции f(x) лебеговых множеств остальных

трех типов.

Рассмотрим второе множество, записав его в виде

E(f(x) ≥ a) =∞∩n=1

E(f(x) > a− 1

n). (2)

Действительно, включение левой части в правую очевидно. Если же x входит

в пересечение, стоящее в правой части формулы (2), то f(x) > a− 1/n при всех

n, а тогда f(x) ≥ a. Тем самым доказано включение правой части в левую, а

вместе с ним и равенство (2). Из этого равенства и измеримости всех множеств

Лебега первого типа функции f(x) вытекает измеримость множества второго

типа E(f(x) ≥ a).

Выше, с помощью формулы (1), из измеримости лебеговых множеств пер-

вого типа мы вывели измеримость самого множества E. Тогда измеримость

лебеговых множеств третьего и четвертого типов вытекает из измеримости мно-

жеств первых двух типов на основании очевидных соотношений:

E(f(x) < a) = E \ E(f(x) ≥ a),

E(f(x) ≤ a) = E \ E(f(x) > a).

Аналогично доказывается измеримость функции f(x), если допустить из-

меримость ее лебеговых множеств не первого, а какого-нибудь другого типа.

При этом следует заметить, что измеримость множества E может быть выве-

дена из измеримости лебеговых множеств других типов с помощью формул,

аналогичных формуле (1). J

55

Page 54: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если, например, известно, что измеримы все лебеговы множества четвертого

типа, то нужно воспользоваться равенством

E =∞∪n=1

E(f(x) ≤ n).

Свойства измеримых функций

10. Если функция f(x) = c = const на измеримом множестве E, то f(x)

измерима.

I Так как f(x) = const, то

E(f(x) > a) =

E при a < c,

∅ при a ≥ c.

.

Отсюда видно, что все множества Лебега первого типа функции f(x) измеримы.

Тогда по Теореме 1 функция f(x) измерима. J20. Если функция f(x) измерима на множестве E, то она измерима и на

любом измеримом подмножестве E ′ ⊂ E.

I Для лебеговых множеств первого типа функции f(x) на E ′ имеем

E ′(f(x) > a) = E ′∩

E(f(x) > a),

потому ясно, что они измеримы. J30. Пусть функция f(x) задана на множестве E, которое равно конечному

или счетному объединению множеств Ei (E = ∪iEi). Если функция f(x) изме-

рима на каждом множестве Ei, то она измерима и на E.

I При любом a имеем

E(f(x) > a) =∪i

Ei(f(x) > a),

и так как каждое из множеств в правой части измеримо, то и их объединение

измеримо. JЧастным случаем этого свойства является

40. Пусть E = ∪iEi, где все Ei, i = 1, 2, ... измеримы. Если функция f(x),

заданная на E, принимает на каждом Ei постоянное значение, то f(x) измерима

на E.

56

Page 55: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Действительно, это вытекает сразу из свойств 10 и 30. J50. Если множество E ⊂ X измеримо, то его характеристическая функция

hE(x), определенная соотношением

hE(x) =

1 при x ∈ E,

0 при x ∈ X \ E..

тоже измерима на E.

I Это очевидно ввиду свойства 40. J60. Если мера µ полна, то всякая функция f(x), определенная на множестве

E с µE = 0, измерима.

I Поскольку мера µ полна, то всякое подмножество множества E измеримо,

а потому все лебеговы множества функции f(x) измеримы. JТеорема 2. Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна на замкнутом

множестве F ⊂ Rn необходимо и достаточно, чтобы при любом вещественном

a множества F (f(x) ≥ a) и F (f(x) ≤ a) были замкнутыми.

I а) Необходимость. Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом множе-

стве F и E = F (f(x) ≥ a), где a – фиксировано. Возьмем последовательность

точек x(m) ∈ E, имеющую предел x(m) → x0. Так как F замкнуто, то x0 ∈ F ,

а в силу непрерывности функции f(x(m)) → f(x0). Но f(x(m)) ≥ a при всех

m, следовательно, и f(x0) ≥ a, то есть x0 ∈ E. Таким образом множество E

замкнуто.

Аналогично доказывается замкнутость множества F (f(x) ≤ a).

б) Достаточность. Пусть x(m) ∈ F , m = 1, 2, ... и x(m) → x0 (тогда x0 ∈ F .

Зададим произвольное ε > 0 и положим

E1 = F (f(x) ≥ f(x0) + ε), E2 = F (f(x) ≤ f(x0)− ε).

По условию оба этих множества замкнуты, а тогда и их объединение E = E1∪E2

замкнуто. С другой стороны x0 /∈ E, (так определены множества E1 и E2),

потому x0 не может быть предельной точкой множества E. Это значит, что

существует некоторая окрестность точки x0: B(x0, δ) ⊂ F , не содержащая ни

одной точки множества E. Но x(m) ∈ B(x0, δ) при всех m ≥ M и потому из

57

Page 56: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

определения множеств E1 и E2 следует

f(x0)− ε < f(x(m)) < f(x0) + ε

Отсюда, благодаря произвольности ε, и вытекает, что f(x(m)) → f(x0). Непре-

рывность функции f(x) доказана. JСледствие 1. Если множества Fi, i = 1, 2, ..., k замкнуты и дизъюнктны, а

F = ∪ki=1Fi и функция f(x) задана на F и постоянна на каждом из Fi, то f(x)

непрерывна на F .

I Действительно, F как конечное объединение замкнутых множеств – за-

мкнуто. Поскольку функция f(x) постоянна на Fi, каждое из множеств F (f(x) ≥

a) и F (f(x) ≤ a при всех a или представляет объединение некоторых из Fi или

пусто, а потому замкнуто. Следовательно функция f(x) непрерывна на F . JТеорема 3. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом множестве F ⊂

Rn, то она измерима по Лебегу на этом множестве.

I По Теореме 2, если функция f(x) непрерывна на F , то все ее лебеговы

множества второго типа замкнуты, а, следовательно, измеримы (Теорема 1 п.

2.3 предыдущей главы) и по Теореме 1 функция f(x) измерима. JСледствие 2. Функция f(x), непрерывная на каком - нибудь измеримом

множестве E ⊂ Rn, измерима на E.

I Ранее было доказано, что всякое измеримое множество E представимо в

виде объединения E = E1 ∪ E2, где E1 – некоторое борелево множество (типа

Fσ) и E2 – некоторое измеримое множество с µE2 = 0. Множество E1 = ∪∞k=1Fk,

где Fk – замкнуты. По доказанной теореме 3 функция f(x) измерима на каждом

Fk. Тогда ее измеримость на E1 вытекает из Свойства 30. С другой стороны,

функция F (x) измерима на E2 согласно Свойству 60. А тогда f(x) измерима на

E. JПри выводе простейших свойств измеримых функций, кроме свойства 60,

использовано только то, что измеримые множества Σ образуют σ - алгебру,

а значения меры µ при этом не играли роли. Поэтому при введении понятия

измеримой функции достаточно предположить, что в множестве X выделена

некоторая σ - алгебра Σ его подмножеств (которые названы измеримыми). На-

пример, если в качестве множестваX снова взять пространство Rn, а в качестве

58

Page 57: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Σ σ - алгебру B всех борелевых множеств из Rn, то Определение 2 приводит

к понятию B – измеримых функций. Эти функции называют бэровскими, по

имени французского математика Р. Бэра. Из Теоремы 4 п. 2.3 предыдущей гла-

вы следует, что все бэровские функции измеримы по Лебегу. Из доказательства

Теоремы 1 легко видеть, что всякая функция, непрерывная на замкнутом мно-

жестве из Rn , B – измерима на этом множестве.

3.2 Арифметические действия над измеримыми функциями

Мы докажем, что арифметические действия (сложение, вычитание, умно-

жение и деление) над измеримыми функциями не выводят их из этого класса.

Лемма 1. Если функция f(x) измерима на множестве E ⊂ X, то функции

kf(x), где k − const, | f(x)| и f 2(x) измеримы на E. Если, кроме того, f(x) = 0

на E, то и функция 1/f(x) измерима на E.

I а) Рассмотрим функцию kf(x). Если k = 0, то kf(x) = 0, тем самым

функция kf(x) измерима как константа (измеримость множества E вытекает

из измеримости функции f(x)). Если k = 0, то измеримость лебеговых мно-

жеств первого типа функции kf(x) вытекает из измеримости лебеговых мно-

жеств функции f(x) с помощью очевидных равенств:

E(kf(x) > a = E(f(x) > a/k) при k > 0,

E(kf(x) > a = E(f(x) < a/k) при k < 0.

б) Для функции | f(x)| имеем:

E(| f(x)| > a) = E, если a < 0,

E(| f(x)| > a) = E(f(x) > a) ∪ E(f(x) < −a), если a ≥ 0.

Отсюда и вытекает, что все лебеговы множества первого типа функции | f(x)|

измеримы.

в) Для лебеговых множеств первого типа функции f 2(x) имеем:

E(f 2(x) > a) =

E, если a < 0,

E(| f(x)| >√a), если a ≥ 0.

Так как функция | f(x)| измерима, то все эти множества измеримы.

59

Page 58: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

г) Пусть функция f(x) = 0 во всех точках множества E. Легко проверить:

E(1

f(x)> a) =

E(f(x) > 0) ∩ E(f(x) < 1/a), если a > 0,

E(f(x) > 0) ∪ E(f(x) < 1/a), если a < 0,

E(f(x) > 0), если a = 0.

Во всех трех случаях лебеговы множества функции 1/f(x) измеримы. JТеорема 1. Если функции f(x) и g(x) измеримы на множестве E, то функ-

ции f ± g, f · g, f/g (в последнем случае g(x) = 0 на E) тоже измеримы.

I а) Перенумеруем все рациональные числа r1, r2,...,rk,... Это возможно,

так как множество рациональных чисел счетно. Докажем, что для любого ве-

щественного числа a выполняется равенство:

E(f(x) + g(x) > a) =∞∪k=1

E(f(x) > a− rk)∩

E(g(x) > rk). (1)

Пусть точка x принадлежит левой части (1). Это значит, что f(x) + g(x) > a

или g(x) > a − f(x). Благодаря свойству плотности множества рациональных

чисел, найдется такое rk, что

a− f(x) < rk < g(x).

Таким образом точка x входит в одно из множеств правой части, следовательно,

она принадлежит правой части (1). Обратно, если точка x принадлежит правой

части (1), то f(x) > a− rk и g(x) > rk при некотором k, следовательно, f(x) +

g(x) > a, то есть точка x принадлежит левой части (1). Формула (1) доказана.

Измеримость функции f(x) + g(x) вытекает сразу с помощью равенства (1)

из измеримости лебеговых множеств функций f(x) и g(x).

б) Разность f(x)−g(x) можно представить в виде f(x)−g(x) = f(x)+[−g(x)].

По Лемме 1 функция −g(x) = (−1) · g(x) – измерима, а тогда и функция f(x)−

g(x) измерима как сумма двух измеримых функций.

в) Измеримость произведения доказывается с помощью равенства:

f(x) · g(x) = 1

4[f(x) + g(x)]2 − [f(x)− g(x)]2.

Если учесть доказанное в а) и б), а также Лемму 1, то окажется f(x) · g(x) –

измеримая функция.

60

Page 59: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

г) Если g(x) = 0, тоf(x)

g(x)= f(x) · 1

g(x), при этом функция 1/g(x) измери-

ма по Лемме 1 и измеримость частного следует из измеримости произведения

измеримых функций. JСледствие 1. Если функции f(x) и g(x) измеримы на множестве E, то оба

множества A = E(f(x) = g(x)) и B = E(f(x) = g(x)) измеримы.

I Функция f(x)−g(x) измерима на E, тогда множество A = E(f(x)−g(x) =

0) – измеримо. Множество B = E \ A также измеримо. J

3.3 Предельный переход в классе измеримых функций

Мы докажем, что операция предельного перехода не выводит из класса из-

меримых функций.

Лемма 1. Если функции fk(x), k = 1, 2, ... измеримы на E ⊂ X и существу-

ют конечные верхние и нижние грани h(x) = supk fk(x) и g(x) = infk fk(x), то

функции h(x) и g(x) измеримы на E.

I Измеримость множества E(h(x) > a) вытекает из измеримости множеств

E(fk(x) > a) при всех k и очевидного равенства E(h(x) > a) =∪∞

k=1E(fk(x) >

a). Аналогично, измеримость множества E(g(x) < a) вытекает из измеримости

множеств E(fk(x) < a) при всех k и равенства E(g(x) < a) =∪∞

k=1E(fk(x) < a).

А тогда и функции h(x) и g(x) измеримы. JТеорема 1. Если fk(x), k = 1, 2, ... – последовательность измеримых на

E ⊂ X функций и f(x) = limk→∞

fk(x), то функция f(x) также измерима на E.

I Введем на множестве E функции φk(x) = supkfk(x), fk+1(x), ..., кото-

рые по Лемме 1 измеримы. Из сходимости последовательности fk(x) следует

ограниченность последовательности φk(x) в каждой точке x ∈ E. А тогда из-

меримость функции f(x) следует с помощью той Леммы 1 из известного равен-

ства: f(x) = infkφk(x). Докажем эту формулу. Последовательность φk(x)

не возрастает следовательно, limk→∞

φk(x) = inf φk(x). Так как fk(x) → f(x), то

для любого ε > 0: f(x)−ε < fk(x) < f(x)+ε, k > kε, f(x)−ε < φk(x) < f(x)+ε,

f(x)− ε < infk φk(x) < f(x) + ε. JСледствие 1. Если функции uk(x), k = 1, 2, ... измеримы на множестве E и

для любого x ∈ E ряд S(x) =∑∞

k=1 uk(x) сходится, то сумма S(x) измерима на

E.

61

Page 60: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Результат следует из Теоремы 1 п. 3.2 и Теоремы 1 этого параграфа, а

также определения суммы ряда. JИногда возникает необходимость рассмотрения функций, которые могут при-

нимать значения ±∞. Повторяя определения п. 3.1, мы можем ввести понятие

измеримости и для таких функций. При этом в Определении 1 множества Ле-

бега можно по-прежнему считать a – любым вещественным числом, не огова-

ривая, что оно может быть равно ±∞.

Тем не менее, если функция f(x) измерима на E, то оба множества E(f(x) =

+∞) и E(f(x) = −∞) измеримы. Это следует, например, для первого из них из

очевидного равенства E(f(x) = +∞) =∩∞

n=1En(f(x) > n).

Легко проверить, что теоремы и другие предложения, установленные до сих

пор, остаются в силе и для функций, допускающих бесконечные значения, с

одной лишь оговоркой, что в тех случаях, когда речь идет о действиях над

функциями, нужно чтобы эти действия имели смысл. Например, при сложении

функций приходится требовать, чтобы не было точек, в которых функции име-

ют бесконечные значения разных знаков. Существенное исключение составляет

лишь Теорема 1, в формулировке которой нужно предполагать, что множество,

на котором задана рассматриваемая функция, измеримо. Дело в том, что хотя

из измеримости функций с бесконечными значениями, как и раньше, следует

измеримость множества E, но на этот раз, в отличие от функций с конечными

значениями, измеримость множества E не вытекает из измеримости лебеговых

множеств одного типа. Например, пусть функция f(x) задана на измеримом

множестве и равна на нем бесконечности. Для этого множества все его лебего-

вы множества первого типа пусты, а следовательно, измеримы. В дальнейшем

мы не требуем, чтобы функции имели только конечные значения.

Классификация функций по Бэру

Если существует limn→∞

fn(x) = f(x) и функции fn(x) непрерывны, то функция

f(x) не обязательно непрерывна. Класс разрывных функций называется функ-

циями 1-го класса по Бэру, если они являются пределами последовательностей

непрерывных функций. Функции 1-го класса по Бэру – измеримы. Функции,

которые не являются функциями 1-го класса по Бэру, но могут быть пред-

62

Page 61: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ставлены как пределы последовательностей функций 1-го класса, называются

функциями 2-го класса и т.д. Совокупность функций всех классов, называются

бэровскими. Все бэровские функции измеримы.

3.4 Эквивалентные функции, сходимость почти всюду

Определение 1. Говорят, что некоторое утверждение справедливо почти

всюду на множестве E ⊂ X , если множество точек, где оно нарушается, содер-

жится в каком-нибудь множестве меры нуль.

Например, если fk(x) → f(x) при k → ∞ при всех x ∈ E, за исключением

некоторого подмножества E ′ ⊂ E, причем E ′ ⊂ E0 и µE0 = 0, то говорят, что

последовательность fk(x) сходится к функции f(x) почти всюду на E. Будем

писать fk(x)п.в.−−−→ f(x). Если функция f(x) задана на множестве E ⊂ Rn и

множество точек разрыва функции f(x) имеет меру нуль, то функцию f(x)

называют непрерывной почти всюду на множестве E.

Среди функций, допускающих бесконечные значения, особый интерес пред-

ставляют функции, которые принимают бесконечные значения только на мно-

жестве меры нуль. Про такие функции говорят, что они конечны почти всюду.

Если мера µ полна, то Определение 1 упрощается: термин почти всюду в E озна-

чает в этом случае для всех x ∈ E, за исключением некоторого подмножества

E ′ ⊂ E с мерой µE ′ = 0.

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), определенные на множестве

E ⊂ X, называются эквивалентными на этом множестве, если f(x) = g(x) по-

чти всюду на E, записывается f ∼ g. Легко видеть, что отношение эквивалент-

ности обладает свойством транзитивности: если f ∼ g на E, а g ∼ h на E, то и

f ∼ h на E. Если у измеримой, почти всюду конечной функции заменить ее бес-

конечное значение какой-нибудь константой, то получится измеримая функция

с конечными значениями, эквивалентная начальной.

Теорема 1. Если мера µ в множестве X полна, то эквивалентные функции

измеримы или нет одновременно на E ⊂ X.

I Пусть f ∼ g и f(x) измерима на E ⊂ X. Рассмотрим множества E1 =

E(f(x) = g(x)) и E2 = E(f(x) = g(x)). По условию µE2 = 0, тогда множество

E1 = E\E2 – измеримо. Следовательно, функция f(x), а вместе с ней и функция

63

Page 62: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

g(x) измеримы на E1. Кроме того, функция g(x) измерима на E2, так как µE2 =

0, а потому g(x) измерима на E. JЗамечание 1. Без полноты меры µ в X доказанная теорема не верна. На-

пример, пусть E ⊂ X, µE = 0, а подмножество E ′ ⊂ E не измеримо, тогда

функция f(x) = 1, если x ∈ E ′ и f(x) = 0, если x ∈ E \ E ′, очевидно эквива-

лентна измеримой функции g(x) ≡ 0 на E, но функция f(x) не измерима.

Теорема 2. Пусть мера µ полна в X. Если функции fk(x) и f(x) заданы на

множестве E ⊂ X, причем fk(x) измеримы на E и fk(x) → f(x) почти всюду

на E, то и функция f(x) измерима на E.

I Пусть E1 – совокупность всех точек из E, где fk(x)→ f(x), а E2 = E \E1.

Тогда E2 измеримо и µE2 = 0. Так как E – измеримо (все функции fk(x) изме-

римы на E), то и E1 = E \E2 измеримо и, согласно свойству 20 п. 3.1 функции

fk(x) измеримы на E1. Следовательно, по Теореме 1 п. 3.3 функция f(x) тоже

измерима на E1. Кроме того, функция f(x) измерима на E2, поскольку µE2 = 0,

а тогда функция f(x) измерима и на множестве E. JВ частности, этот важный факт верен для функций, измеримых по Лебегу,

в евклидовом пространстве Rn.

Замечание 2. Теорема 2 перестает быть верной, если отказаться от полноты

меры.

3.5 Сходимость по мере

Для простоты изложения будем рассматривать функции с конечными зна-

чениями. Однако все изложенное ниже можно перенести на измеримые почти

всюду конечные функции.

Определение 1. Пусть функции fk(x), k = 1, 2, ... и f(x) измеримы на

множестве E ⊂ X. Говорят, что последовательность fk(x) сходится по мере

на множестве E к функции f(x), если для ∀ ε > 0

µE(| fk(x)− f(x)| ≥ ε)→ 0, k →∞.

Измеримость этих множеств вытекает из равенств, установленных в п. 3.2.

При этом важно, что не только функции fk(x), но и f(x) предполагаются из-

меримыми.

64

Page 63: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В случае, если µE < +∞, предыдущее условие означает, что множество

точек из E1, где | fk(x)− f(x)| < ε, имеет меру, которая при k →∞ становится

сколь угодно близкой к мере всего множества E .

Определение сходимости по мере имеет смысл и для функций, почти всюду

конечных. Однако в этом случае множество E(| fk(x) − f(x)| < ε) может не

быть дополнением к E(| fk(x)− f(x)| ≥ ε). Кроме этих подмножеств в E может

содержаться еще непустое подмножество меры нуль, состоящее из точек, где

разность fk(x)− f(x) не имеет смысла.

Для сходимости по мере используется обозначение fk =⇒ f .

Одна и та же последовательность fk(x) может сходиться по мере к разным

функциям. Например, если fk(x) =⇒ f(x), а f ∼ g и функция g(x) измерима, то

fk(x) =⇒ g(x). Верно и обратное заключение, то есть справедлива следующая

теорема.

Теорема 1. Если fk(x) =⇒ f(x) и fk(x) =⇒ g(x) на множестве E, то f ∼ g

на E.

I Предварительно отметим следующее вспомогательное утверждение: если

f(x) = φ(x) + ψ(x) на множестве E, то для ∀ ε > 0

E(| f(x)| ≥ ε) ⊂ E(|φ(x)| ≥ ε/2) ∪ E(|ψ(x)| ≥ ε/2). (1)

Действительно, если x ∈ E левой части (1), но не входит в правую часть, то

|φ(x)| < ε/2 и |ψ(x)| < ε/2, а тогда | f(x)| < ε, то есть x не входит и в левую

часть.

Обратимся к доказательству теоремы. Пусть E ′ = E(f(x) = g(x)), тогда

E ′ =∪∞

p=1Ep, где Ep = E(| f(x)− g(x)| ≥ 1/p), p = 1, 2, .... Положим еще

E ′pk = E(| fk(x)− f(x)| ≥ 1/2p), (p, k = 1, 2, ...).

E ′′pk = E(| fk(x)− g(x)| ≥ 1/2p), (p, k = 1, 2, ...).

По формуле (1) Ep ⊂ E ′pk ∪ E ′′

pk. Следовательно,

µEp ≤ µE ′pk + µE ′′

pk → 0 при k →∞,

а потому µEp = 0 при ∀ p. Отсюда вытекает, что и µE ′ = 0, то есть f ∼ g. J

65

Page 64: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теперь приступим к выяснению соотношения между сходимостью по мере и

сходимостью почти всюду.

Теорема 2 (А. Лебега). Если последовательность функций fk(x), измери-

мых на множестве E с µE < +∞, сходится почти всюду на этом множестве к

измеримой функции f(x), то fk =⇒ f .

I Возьмем любое ε > 0

Ak = E(| fk(x)− f(x)| ≥ ε), k = 1, 2, ...

Нужно доказать, что µAk → 0, k →∞.

Пусть E ′ – совокупность всех тех точек из E, где последовательность fk(x)

не стремится к f(x). По условию E ′ содержится в множестве меры 0, (точнее

µE ′ = 0 в данном случае). Введем множества

Bk =∞∪p=k

Ap, B =∞∩k=1

Bk.

Так как множества Ak измеримы (измеримы функции | fk − f |), то множества

Bk и B – измеримы. Докажем, что B ⊂ E ′.

Действительно, если x ∈ B, то x ∈ Bk при всех k. А тогда для ∀ k ∃ такое

p ≤ k, что x ∈ Ap. Т.о. существуют сколь угодно большие индексы p, для

которых

| fp(x)− f(x)| ≥ ε,

и отсюда следует, что fk(x) 9 f(x) то есть x ∈ E ′. Тем самым доказано, что

B ⊂ E ′, а тогда µB = 0.

Так как множества Bk образуют убывающую последовательность и µBk ≤

µE < +∞, то µBk → µB, (Теорема 2 из п. 1.3), то есть µBk → 0. Но Ak ⊂ Bk,

следовательно, µAk ≤ µBk, а тогда µAk → 0. Теорема доказана. J

Замечание 1. Фактически мы доказали несколько более сильное утвержде-

ние: если fk(x)→ f(x) почти всюду на E с µE <∞ (fk и f измеримы), а

Bk =∞∪p=k

E(| fp(x)− f(x)| ≥ ε),

где ε > 0, то µBk → 0 при k →∞.

66

Page 65: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Замечание 2. Заключение, обратное к теореме Лебега, неверно: последова-

тельность может сходиться по мере, но при этом не иметь предела ни в одной

точке. Приведем пример в пространстве R1. Пусть отрезок [a, b] разбит на n

равных частей и определены n функций:

φ(m)n (x) =

1 при m−1n≤ x ≤ m

n, m = 1, n;

0 при всех прочих x из [0, 1].

Беря n = 1, 2, .., расположим все функции φ(m)n в виде одной последователь-

ности

φ(1)1 , φ

(1)2 , φ

(2)2 , φ

(1)3 , φ

(2)3 , φ

(3)3 , ... (2)

Кроме того, пусть f(x) ≡ 0 на [0, 1]. Так как

µE(φ(m)n (x) = f(x)) = 1/n,

то ясно, что последовательность (2) сходится к функции f(x) по мере. В то же

время для ∀x ∈ [0, 1] в последовательности (2) встречаются как бесконечное

множество функций, принимающих в этой точке значение 1, так и бесконечное

множество функций, принимающих значение 0. Следовательно, последователь-

ность (2) не имеет предела ни в одной точке.

Замечание 3. В Теореме 2 нельзя отбросить условие µE < +∞, то есть на

множестве E с µE = +∞ из сходимости почти всюду не вытекает сходимость

по мере. Это подтверждается следующим простым примером: пусть функции

fk(x), k = 1, 2, ... определены на интервале E = (0,+∞) ⊂ R1 так, что

fk(x) =

0 при 0 < x ≤ k,

1 при x > k.

Тогда fk(x)→ 0 при всех x ∈ (0,+∞), но µE(fk(x) = 1) = +∞ и потому после-

довательность fk(x) не сходится к функции f(x) ≡ 0 по мере (не выполнены

условия Определения 1).

Теорема 3 (Ф. Рисс). Если последовательность fk(x) =⇒ f(x) на множестве

E, где все функции измеримы, то существует частичная последовательность

fki(x)п.в.−−−→ f(x) на E.

67

Page 66: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Из fk(x) =⇒ f(x) на E следует для ∀ ε > 0

µE(| fk(x)− f(x)| ≥ ε)→ 0, k →∞

Возьмем последовательность чисел εi > 0,∑∞

i=1 εi < +∞, (значит εi → 0). Для

каждого i подберем натуральное число ki так, что

µE(| fki(x)− f(x)| ≥ εi) < εi

При этом можно считать k1 < k2 < .... Таким образом построена частичная

последовательность fki(x). Докажем, что fki(x)п.в.−−−→ f(x) на E. Положим

Ep =∞∪i=p

E(| fki(x)− f(x)| ≥ εi), E ′ =∞∩p=1

Ep

Множества Ep образуют убывающую последовательность, по Теореме 2 п. 1.3

limp→∞

µEp = µE ′. Так как µEp < δp =∑∞

i=p εi, (остаточный член ряда), то µEp →

0, следовательно, µE ′ = 0.

Если x ∈ E \ E ′, то x /∈ Ep при некотором p, тогда при ∀ i ≥ p будет (после-

довательность Ep ↓)

| fki(x)− f(x)| < εi

Поскольку εi → 0, то fki(x)п.в.−−−→ f(x) на E. J

68

Page 67: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

3.6 Теоремы Егорова, Лузина и Фреше

Теорема 1 (Д.Ф. Егорова). Если функции fk(x) измеримы и почти всюду

конечны на множестве E ⊂ X с µE < +∞ и последовательность fk(x)п.в.−−−→

f(x) на E, где функция f(x) измерима и почти всюду конечна, то для ∀ ε > 0

существует такое измеримое множество Eε ⊂ E, что µEε < ε и fk(x) ⇒ f(x) на

множестве E \ Eε.

I Из Теоремы Лебега следует, если fk(x)п.в.−−−→ f(x) на E, то для ∀ δ и

Bp =∞∪k=p

E(| fk(x)− f(x)| ≥ δ),

будет µEp → 0 при p→∞.

Возьмем последовательность чисел εi > 0,∑∞

i=1 εi < +∞. Каждому нату-

ральному i сопоставим натуральное число pi такое, что

µBpi < εi, где Bpi =∞∪

k=pi

E(| fk(x)− f(x)| ≥ εi).

Возьмем ∀ ε > 0 и положим Eε =∪∞

i=i0Bpi , номер i0 выбираем из условия∑∞

i=i0εi < ε. Очевидно Eε ⊂ E и µEε <

∑∞i=i0

εi < ε.

Остается доказать, что fk(x) ⇒ f(x) на E \ Eε . Пусть x ∈ E \ Eε, тогда

x /∈ Bpi . Значит x /∈ E(| fk(x)− f(x)| ≥ εi) при k ≥ pi, так что

| fk(x)− f(x)| < εi при k ≥ pi.

Тем более | fk(x) − f(x)| < ε при k ≥ pi и ∀x ∈ E \ Eε, ибо номер pi зависит

только от ε, но не от x. JДанная теорема показывает, что для измеримых, почти всюду конечных

функций, сходимость почти всюду "не очень сильно отличается от равномер-

ной" .

Последующие результаты будут установлены специально для функций в ев-

клидовом пространстве Rn. При этом µ будет означать меру Лебега.

Теорема 2 (Н.Н. Лузина). Если функция f(x) измерима и почти всюду

конечна на множестве E ⊂ Rn, то для ∀ ε > 0 существует непрерывная на E

функция φ(x), что

µE(f(x) = φ(x)) < ε.

69

Page 68: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Предварительно докажем, что для ∀ ε > 0 существует такое замкнутое

множество F ⊂ E, что µ(E \ F ) < ε и что сужение функции f(x) на F непре-

рывно на этом множестве.

а) Сначала допустим, что функция f(x) ограничена на множестве E, то

есть | f(x)| < M . Возьмем ∀ ε > 0, затем делим отрезок [−M,M ] на 2k равных

частей. Точки деления обозначим

yi = −M +iM

k, i = 0, 2k

Введем множества

Aki = E[yi−1 < f(x) ≤ yi], i = 0, 2k.

Эти множества измеримы как пересечение множеств Лебега и дизъюнктны, а

E = ∪2ki=1Aki. Для каждого измеримого множества Aki существует такое замкну-

тое множество Fki ⊂ Aki, что µ(Aki \ Fki) < ε/k2k+1. Пусть Fk = ∪2ki=1Fki, тогда

E \ Fk = ∪2ki=1(Aki \ Fki) и потому

µ(E \ Fk) < ε/2k. (1)

Теперь определим на Fk функции fk(x), полагая fk(x) = yi при x ∈ Fki,

i = 1, 2k. По Следствию 1 п. 3.1 функции fk(x) непрерывны на Fk. Кроме того,

из определения множеств Aki следует, что при ∀x ∈ Fk

0 ≤ fk(x)− f(x) < M/k. (2)

Положим F = ∩∞k=1Fk, тогда E \ F = ∪∞

k=1(E \ Fk) и по (1) µ(E \ F ) < ε. Кроме

того, для ∀ x ∈ F неравенство (2) справедливо при ∀ k и потому fk(x) ⇒ f(x)

на F . Так как все функции fk(x) непрерывны на F , предельная функция f(x)

будет также непрерывна.

б) Пусть функция f(x) почти всюду конечна на E. Введем функцию g(x) =

arctgf(x). Если считать, что arctg(±∞) = ±π/2, то функция g(x) определена

и ограничена на всем E. Для ∀ a ∈ (−π/2, π/2)

E[g(x) > a] = E[arctg f(x) > a] = E[f(x) > tg a].

70

Page 69: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Последнее множество измеримо как лебегово множество функции f(x). Если

a = π/2, то E[g(x) > a] = ∅; если a = −π/2, то

E[g(x) > a] = E[f(x) = −∞] =∞∪n=1

E[f(x) > −n].

Если a < −π/2, то E[g(x) > a] = E. Таким образом функция g(x) измерима,

| g(x)| ≤ π/2 на всем E и | g(x)| < π/2 почти всюду на E.

Теперь, по доказанному в а), выделим такое замкнутое множество F ⊂ E,

что µ(E \ F ) < ε и сужение функции g(x) на F непрерывно. Но f(x) = tg g(x),

а потому и сужение функции f(x) на F непрерывно.

Поскольку функция f(x) почти всюду конечна на E, множество F ⊂ E

можно выбрать так, что f(x) будет конечна на F . JЗамечание. Можно доказать, что в условиях Теоремы 2 существует не толь-

ко на E, но и во всем Rn функция φ(x). Можно также доказать, что эта теорема

допускает обращение. Таким образом, измеримые функции в Rn тесно связаны

с непрерывными.

Как следствие из теоремы Лузина вытекает следующая теорема.

Теорема 3 (М. Фреше). Если функция f(x) измерима и почти всюду ко-

нечна на множестве E ⊂ Rn, то существует такая последовательность функций

φk(x), непрерывных на всем Rn, что φk(x)п.в.−−−→ f(x) на E.

I Зададим последовательность положительных чисел εi → 0. По Теореме

Лузина для каждого i можно подобрать такую непрерывную функцию gi(x),

что

µE[f(x) = gi(x)] < εi.

Согласно Определению последовательность gi(x) =⇒ f(x) на множестве E. По

Теореме Рисса существует частичная последовательность gik(x), что gik(x)п.в.−−−→

f(x) на E. Остается положить φk(x) = gik(x). J

71

Page 70: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Рима-

ном, состоит в следующем. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Возь-

мем разбиение отрезка с отмеченными точками (Q, ξ) и составим интегральную

сумму Римана

σ(Q, ξ, f) =n∑

k=1

f(ξk)(xk+1 − xk).

Если существует конечный предел сумм σ при стремлении к нулю параметра

разбиения λ = maxk∆xk = xk+1 − xk и предел не зависит ни от способа разби-

ения Q, ни от выбора точек ξk, то этот предел называется интегралом Римана.

Для существования интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция f

была ограничена и непрерывна почти всюду на отрезке [a, b]. Это определение

интеграла предполагает, что малым изменениям аргумента x отвечают малые

изменения функции f , то есть функция f должна быть непрерывной или "по-

чти" непрерывной. Даже очень простые ограниченные функции как, например,

функция Дирихле, оказываются неинтегрируемыми по Риману. Желая обоб-

График функции

щить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил

72

Page 71: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

другой способ построения интеграла, в котором точки x ∈ [a, b] объединяются

в множества ek не по принципу близости на оси 0x (по Риману ek = [xk, xk+1]),

а по признаку близости значений функции f(x) на множестве ek. С этой целью

Лебег разбивает на части не отрезок [a, b], то есть область изменения перемен-

ной, а отрезок [A,B] — область значений функции f(x) : A ≤ f(x) ≤ B.

Пусть y = f(x) и A ≤ y ≤ B. Делим отрезок [A,B] на n частей A = y0 <

y1 < ... < yn = B. Множества ek ⊂ E, где E = [a, b], определяются следующим

образом: ek = E(yk−1 < f ≤ yk). Тогда различным точкам x ∈ ek отвечают

близкие значения функции f(x), хотя сами точки x могут быть весьма далеки

друг от друга на оси 0x. Легко проверить, что множества ek (k = 1, n), попарно

не пересекаются, эти множества измеримы, E =n∪

k=1

ek, µE =n∑

k=1

µek.

Именно такой порядок: сначала разбивается промежуток значений функции,

а уже по нему строится разбиение области задания функции, был положен

Лебегом в основу определения интеграла.

В основу понятия нового типа интеграла естественно положить сумму вида

l =n∑

k=1

yk µek.

4.1 Определенный интеграл Лебега.

Введение понятия меры позволило А. Лебегу дать новое определение ин-

теграла, при котором класс интегрируемых функций оказывается значительно

шире.

В этой главе мы будем изучать интеграл Лебега в произвольном множестве

X с мерой µ (множество с мерой будем называть пространством), но только для

ограниченных функций и только по множествам конечной меры. Как и раньше,

Σ — та σ – алгебра подмножеств из X, на которой задана мера µ, а множества

из Σ называются измеримыми.

Пусть ограниченная функция f(x) задана на измеримом множестве E ⊂ X,

причем µE < +∞. Разобьем множество E произвольным образом на конечное

число дизъюнктных измеримых множеств ek, так что E =n∪

k=1

ek, и положим

Mk = supx∈ek

f(x), mk = infx∈ek

f(x), k = 1, n.

73

Page 72: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Разбиение обозначим буквой Q. Составим две суммы

S(Q, f) =n∑

k=1

Mkµek, s(Q, f) =n∑

k=1

mkµek,

и назовем их верхней и нижней суммами Лебега-Дарбу соответственно.

Основные свойства сумм Лебега-Дарбу аналогичны свойствам сумм Римана-

Дарбу. Рассмотрим два разбиения множества E: Q на множестве ei и Q′ на

множестве e′j. Будем говорить, что разбиение Q′ мельче чем Q, если каждое e′jсодержится в некотором ei, то есть множества e′j получены дальнейшим дроб-

лением множеств ei.

1o. Если разбиение Q′ есть измельчение разбиения Q, то S(Q′) ≤ S(Q) и

s(Q′) ≥ s(Q).

I Так как переход от Q к Q′ может быть осуществим постепенно, то доста-

точно проверить предложение 1o в случае, когда Q′ получается из Q разбиением

одного из множеств ei, например e1, на две дизъюнкные части: e′1 и e′′1. Положим

M ′1 = sup

x∈e′1f(x), M ′′

1 = supx∈e′′1

f(x).

Тогда M ′1, M

′′2 ≤M1, а µe1 = µe′1 + µe′′1. Следовательно,

S(Q′) =M ′1µe

′1+M

′′1µe

′′1+

n∑i=2

Miµei ≤M1(µe′1+µe

′′1)+

n∑i=2

Miµei =n∑

i=1

Miµei = S(Q),

то есть верхняя сумма Лебега-Дарбу не увеличивается при переходе от Q к Q′.

Аналогично доказывается, что нижняя сумма не уменьшается. J2o. Любая нижняя сумма Лебега-Дарбу s(Q′) не превосходит любую верх-

нюю сумму Лебега-Дарбу S(Q′′), даже если они составлены для разных разби-

ений Q′ и Q′′ множества E.

I Неравенство s(Q) ≤ S(Q) для сумм, составленное для одного и того же

разбиения, очевидно. Пусть Q′ и Q′′ два различных разбиения множества E:

Q′ : E =

p∪i=1

e′i, Q′′ : E =

q∪j=1

e′′j .

Составим третье разбиение Q множества E из множеств eij = e′i∩e′′j (пропуская

при этом те eij, которые пусты). Тогда Q мельче, чем Q′ и Q′′, и согласно 1o,

s(Q) ≥ s(Q′′), S(Q) ≤ S(Q′′). Но, так как s(Q) ≤ S(Q), то s(Q′) ≤ S(Q′′). J

74

Page 73: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Из свойства 2o вытекает, что множество всех нижних сумм Лебега-Дарбу

s(Q), соответствующее всевозможным разбиениям множества E, ограничено

сверху любой верхней суммой. Следовательно, существует J∗ = supQs(Q, f) ≤

S(Q, f). Аналогично, множество верхних сумм Лебега-Дарбу ограничено снизу

любой нижней суммой и потому существует J∗ = infQS(Q, f) ≥ s(Q, f). Очевид-

но, J∗ ≤ J∗.

Определение 1. Функции f называется интегрируемой по Лебегу по мере

µ на множестве E, если J∗ = J∗, и в этом случае общее значение граней J∗ и

J∗ называется интегралом Лебега функции f по множеству E и обозначается

(L)∫E

fdµ или (L)∫E

f(x)dµ.

Если E — отрезок [a, b] из R1, а µ — мера Лебега, то употребляют и класси-

ческую запись интегралаb∫a

fdx или (L)b∫a

f(x)dx.

Широкий класс интегрируемых функций дает следующая теорема.

Теорема 1. Если ограниченная функция f измерима на множестве E, то

она интегрируема на E.

I При любом разбиении Q множества E

s(Q) ≤ J∗ ≤ J∗ ≤ S(Q).

Поэтому, чтобы установить равенство J∗ = J∗, достаточно показать, что су-

ществуют разбиения Q множества E, для которых верхняя и нижняя суммы

Лебега-Дарбу сколь угодно близки друг к другу.

Пусть A ≤ f(x) ≤ B для ∀x ∈ E (A и B — конечные величины). Разобьем

промежуток [A, B] на конечное число участков с помощью точек A = λ0 < λ1 <

... < λn = B.

Далее введем множества ei = E(λi−1 ≤ f(x) < λi), (i = 1, n). Каждое

из множеств ei измеримо как пересечение двух лебеговых множеств функции

f(x), ei — дизъюнктны и E =n∪

i=1

ei. Отсюда, в частности, следует, что µE =

n∑i=1

µei. Обозначим черезQ разбиение множества E с помощью множеств ei (если

некоторое из них пусты, мы их пропускаем). Тогда для каждого i λi−1 ≤ mi ≤

Mi ≤ λi, где mi, Mi — нижняя и верхняя грани функции f(x) на ei, и потому

75

Page 74: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Mi −mi ≤ λ, где λ = maxi∆λi = λi − λi−1 (i = 1, n), а

S(Q)− s(Q) =p∑

i=1

(Mi −mi)µei ≤ λ

p∑i=1

µei = λµE.

Вследствие произвольности λ, разность может быть сделана сколь угодно ма-

лой. JВажнейшим частным случаем введенного понятия интеграла Лебега явля-

ется интеграл от функций, заданных в евклидовом пространстве Rn, в котором

в качестве µ выбрана мера Лебега (сам Лебег начинал построение интеграла

в одномерном пространстве). Для функций в евклидовом пространстве из тео-

ремы 1 с помощью теоремы об ограниченности непрерывной функции сразу

выводится следствие.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на ограниченном замкнутом

множестве E ⊂ Rn, то она интегрируема по Лебегу на E.

I При доказательстве используется теорема об измеримости непрерывных

функций. JСледствие 2. Если функция f(x) интегрируема по Риману на ограничен-

ном, замкнутом множестве E ⊂ Rn, то она интегрируема по Лебегу на этом

множестве и интегралы совпадают.

I Интеграл Римана заключен между нижней и верхней суммами Римана-

Дарбу s(Q, f) ≤ (R)∫E

f(x)dx ≤ S(Q, f). Аналогично и интеграл Лебега так-

же будет заключен между этими суммами, так как они представляют частный

случай сумм Лебега-Дарбу. Так как для ∀ε > 0 ∃Q : S(Q, f) − s(Q, f) < ε, то

(L)∫= (R)

∫. J

Известно, что классический интеграл Римана от непрерывной функции по

ограниченной замкнутой области D заключен между суммами Римана-Дарбу.

Суммы Римана-Дарбу представляют частный случай сумм Лебега-Дарбу; они

составляются по тому же принципу, но при этом используются разбиения обла-

сти D не на произвольные измеримые подмножества, а на множества некото-

рого определенного вида (например, тоже области). Следовательно, интеграл

Лебега от некоторой функции подавно заключен между суммами Дарбу. Но

между суммами Дарбу для некоторой функции можно вставить лишь един-

ственное число — ее интеграл Римана, а потому интегралы Лебега и Римана

76

Page 75: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

от непрерывной функции по ограниченной замкнутой области совпадают. К то-

му же заключению можно образом прийти для любой ограниченной функции,

интегрируемой по Риману.

4.2 Простейшие свойства интеграла.

Перейдем к установлению некоторых свойств интеграла Лебега. Все функ-

ции, встречающиеся в дальнейшем под знаком интеграла, предполагаются огра-

ниченными, измеримыми, а интегралы берутся по множествам конечной меры.

Отметим, что если µE = 0, то любая ограниченная функция на E интегрируема

на этом множестве. Это очевидным образом вытекает из определения интегра-

ла. Условимся считать, что интеграл по пустому множеству от любой функции

имеет смысл и равен нулю.

Теорема 1 (оценка интеграла). Если A ≤ f(x) ≤ B и функция f(x) изме-

рима на множестве E, то

AµE ≤∫E

f(x) dµ ≤ BµE. (1)

I Если под Q понимать разбиение множества E, составленное только из

самого E, то s(Q) = mµE, S(Q) = MµE, где m = infx∈E

f(x), M = supx∈E

f(x). Но

A ≤ m ≤M ≤ B, и потому

AµE ≤ s(Q) ≤∫E

fdµ ≤ S(Q) ≤ BµE. J

Следствие 1. Если f(x) ≥ 0 на E, то∫E

f(x) dµ ≥ 0. Вытекает из формулы

(1) при A = 0.

Следствие 2. Если f(x) ≡ k на E, k = const, то∫E

f(x) dµ = kµE. Вытекает

из формулы (1) при A = B = k.

77

Page 76: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема 2 (счетная аддитивность интеграла). Пусть множество E пред-

ставимо в виде конечного или счетного объединения дизъюнктных измеримых

множеств Ek : E =∪k

Ek. Тогда для всякой функции f(x), ограниченной и

измеримой на множестве E,∫E

f(x) dµ =∑k

∫Ek

f(x) dµ. (2)

I Сначала покажем, что равенство (2) справедливо в случае, когда E разбито

на два подмножества: E = E1 ∪ E2, причем E1 ∩ E2 = ∅.

Возьмем произвольное разбиение Q множества E : E =p∪

i=1

ei. Затем поло-

жим

e′i = ei ∩ E1, e′′i = ei ∩ E2, i = 1, p,

и получим разбиения Q′ и Q′′ множеств E1 и E2, соответственно:

E1 =∪i

e′i, E2 =∪i

e′′i

(те из e′i и e′′i , которые пусты, отбрасываются). Тогда

s(Q′) ≤∫E1

f(x) dµ ≤ S(Q′), s(Q′′) ≤∫E2

f(x) dµ ≤ S(Q′′). (3)

Объединяя все множества e′i и e′′i , получим новое разбиение Q∗ множества E,

которое мельче, чем Q. При этом

s(Q∗) = s(Q′) + s(Q′′), S(Q∗) = S(Q′) + S(Q′′).

Отсюда и из неравенств (3), с учетом свойств сумм Лебега-Дарбу, находим, что

s(Q) ≤ s(Q∗) ≤∫E1

f(x) dµ+

∫E2

f(x) dµ ≤ S(Q∗) ≤ S(Q).

Интеграл∫E

f(x) dµ также заключен между этими суммами. Так как суммы s(Q)

и S(Q) можно сделать сколь угодно близкими выбором Q, то∫E

f(x) dµ =

∫E1

f(x) dµ+

∫E2

f(x) dµ.

теперь по индукции легко получить формулу (2) и в случае, когда E разбито

на любое конечное число дизъюнктных измеримых множеств.

78

Page 77: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Переходим к случаю счетного объединения: E =∞∪k=1

Ek. Положим Hp =

∞∪k=p+1

Ek. Тогда

E = E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ep ∪Hp, (4)

причем множества в правой части измеримы. Кроме того, µHp =∞∑

k=p+1

µEk, то

есть µHp равна остатку сходящегося ряда∞∑k=1

µEk = µE. Поэтому µHp → 0.

Так как объединение в формуле (4) конечное, то, по уже доказанному,∫E

f(x) dµ =

p∑k=1

∫Ek

f(x) dµ+

∫Hp

f(x) dµ.

Из теоремы 1 следует, что∫Hp

f(x) dµ→ 0 при p→∞, а потому

∫E

f(x) dµ = limp→∞

p∑k=1

∫Ek

f(x) dµ =∞∑k=1

∫Ek

f(x) dµ. J

Доказанная терема означает, что интеграл∫e

f(x) dµ есть счетно-аддитивная

функция, определяемая на σ – алгебре ΣE всех измеримых подмножеств e ⊂ E.

Если же f(x) ≥ 0 на E, то∫e

f(x) dµ ≥ 0 для ∀e ∈ ΣE, то есть этот интеграл

представляет некоторую новую меру, заданную на ΣE.

Следствие 1. Если E =p∪

k=1

Ek, причем Ek измеримы и дизъюнктны, а

f(x) = Ck на Ek, (k = 1, p, Ck = const), то∫E

f(x) dµ =

p∑k=1

CkµEk.

I Это вытекает сразу из теоремы 2 и следствия 2 из теоремы 1. JСледствие 2. Если E =

∞∪m=1

Em, где множества Em измеримы и образуют

возрастающую последовательность, то∫E

f(x) dµ = limm→∞

∫Em

f(x) dµ.

I Это сразу следует из теоремы для счетно-аддитивной функции f(A) =

limi→∞

f(Ai), если Ai образуют возрастающую последовательность (теорема 2 п.

1.3). JСледствие 3. Если функция f(x) ограничена и измерима на E, причем

f(x) ≥ 0, а измеримое множество E ′ ⊂ E, то∫E′f(x) dµ ≤

∫E

f(x) dµ.

79

Page 78: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Для доказательства достаточно рассмотреть интеграл как меру и вспом-

нить свойство монотонности меры. J

Теорема 3 (линейность интеграла). Для любых функций f(x) и g(x), огра-

ниченных и измеримых на множестве E, и любой постоянной c = const∫E

(f(x)± g(x)) dµ =

∫E

f(x) dµ±∫E

g(x) dµ, (5)∫E

cf(x) dµ = c

∫E

f(x) dµ. (6)

I Проверим равенство (5) для суммы двух функций h = f + g. Пусть Q —

произвольное разбиение множества E на дизъюнктные измеримые множества

ei, E =p∪

i=1

ei,

m′i = inf

x∈eif(x), m′′

i = infx∈ei

g(x), mi = infx∈ei

h(x),

M ′i = sup

x∈eif(x), M ′′

i = supx∈ei

g(x), Mi = supx∈ei

h(x).

Тогда m′i + m′′

i ≤ h(x) ≤ M ′i +M ′′

i при x ∈ ei, и потому для ∀i = 1, p : mi ≥

m′i +m′′

i , Mi ≤M ′i +M ′′

i . Далее имеемp∑

i=1

m′iµei ≤

∫E

f(x) dµ ≤p∑

i=1

M ′iµei,

p∑i=1

m′′i µei ≤

∫E

g(x) dµ ≤p∑

i=1

M ′′i µei.

Следовательно,p∑

i=1

(m′i +m′′

i )µei ≤∫E

f(x) dµ+

∫E

g(x) dµ ≤p∑

i=1

(M ′i +M ′′

i )µei. (7)

Одновременноp∑

i=1

(m′i +m′′

i )µei ≤p∑

i=1

miµei ≤∫E

h(x) dµ ≤p∑

i=1

Miµei ≤p∑

i=1

(M ′i +M ′′

i )µei. (8)

Так как крайние члены в неравенствах (7) и (8) могут быть сделаны за счет

выбора разбиения Q сколь угодно близки друг к другу, то средние члены сов-

падают, и тем самым формула (5) для суммы двух функций доказана.

Переходим к доказательству формулы (6). Пусть сначала c ≥ 0. Тогда∫E

cf(x) dµ = supQs(Q, cf) = sup

Qcs(Q, f) = c sup

Qs(Q, f) = c

∫E

f(x) dµ.

80

Page 79: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если c < 0, то∫E

cf(x) dµ = supQs(Q, cf) = sup

QcS(Q, f) = c inf

QS(Q, f) = c

∫E

f(x) dµ.

Формула для разности двух функций f − g следует из доказанного очевидным

образом. JТеорема 4. Для любой ограниченной измеримой функции f(x) на множе-

стве E ∣∣∣ ∫E

f(x) dµ∣∣∣ ≤ ∫

E

| f(x)| dµ.

I Положим

E1 = E(f(x) ≥ 0), E2 = E(f(x) < 0).

Множества E1 и E2 измеримы, E1 ∩E2 = ∅, E1 ∪E2 = E. По свойству аддитив-

ности интеграла,∫E

f(x) dµ =

∫E1

f(x) dµ+

∫E2

f(x) dµ =

∫E1

| f(x)| dµ−∫E2

| f(x)| dµ.

Следовательно,∣∣∣ ∫E

f(x) dµ∣∣∣ ≤ ∫

E1

| f(x)| dµ+

∫E2

| f(x)| dµ =

∫E

|f(x)| dµ. J

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) ограничены и измеримы на множестве

E и f ∼ g, то ∫E

f(x) dµ =

∫E

g(x) dµ. (9)

I Положим

E1 = E(f(x) = g(x)), E2 = E \ E1.

По условию µE1 = 0, а потому∫E1

f(x) dµ =

∫E1

g(x) dµ = 0.

С другой стороны, f(x) = g(x) на E2, и потому∫E2

f(x) dµ =

∫E2

g(x) dµ.

Отсюда, вследствие аддитивности интеграла, и вытекает равенство (9). J

81

Page 80: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Пример 1. Рассмотрим функцию

f(x) =

1, если x — иррац.,

0, если x — рацион.

f(x) ∼ 1, (L)1∫0

f(x) dµ = (L)1∫0

dµ = 1.

Пример 2. Рассмотрим функцию

f(x) =

x, если x — иррац.,

0, если x — рацион.

(L)1∫0

f(x) dµ = (L)1∫0

x dµ = (R)1∫0

x dx =1

2.

Замечание. Доказанная теорема означает, что изменение значений подын-

тегральной функции на множестве меры нуль (без нарушения ограниченности)

не влияет на величину интеграла. Следовательно, можно рассматривать инте-

грал∫E

f(x) dµ и от измеримой ограниченной функции, которая задана лишь

почти всюду на E, не уточняя, как именно функция доопределяется на осталь-

ной части множества E.

Следствия 1 и 2 из теоремы 1 могут быть усилены. Если f(x) ≥ 0 почти

всюду на E (f(x) ограничена и измерима), то∫E

f(x) dµ ≥ 0.

Аналогично, если f(x) = k почти всюду на E, k = const, то∫E

f(x) dµ = kµE.

Теорема 6. Если функция f(x) ограничена и измерима на E, f(x) ≥ 0 почти

всюду на E и∫E

f(x) dµ = 0, то f ∼ 0.

I Пусть E1 = E(f(x) > 0), E2 = E(f(x) < 0), E3 = E(f(x) = 0). По условию

µE2 = 0, а потому и∫E2

f(x) dµ = 0. Кроме того,∫E3

f(x) dµ = 0, следовательно,

∫E1

f(x) dµ =

∫E

f(x) dµ = 0. (10)

Положим E1 =∞∪

m=1

Hm, где Hm = E(f(x) ≥ 1

m

). Из оценки интеграла следует,

что ∫Hm

f(x) dµ ≥ 1

mµHm при ∀m.

С другой стороны, так как f(x) > 0 на всем E1, то∫E1

f(x) dµ ≥∫Hm

fdµ,

82

Page 81: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

а потому ∫E1

f(x)dµ ≥ 1

mµHm.

Отсюда, в силу (10), вытекает, что µHm = 0 при ∀m, следовательно, и µE1 = 0.

Таким образом, µ(E1 ∪ E2) = 0 а это и значит, что f(x) ∼ 0. JТеорема 7 (почленное интегрирование неравенства). Если функции f(x) и

g(x) ограничены и измеримы на E и f(x) ≤ g(x) почти всюду на множестве E,

то∫E

f(x) dµ ≤∫E

g(x) dµ.

I Так как g(x)− f(x) ≥ 0 почти всюду на E, то∫E

f(x) dµ−∫E

g(x) dµ =

∫E

(g − f) dµ ≥ 0. J

83

Page 82: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 5 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

5.1 Расширение понятия интеграла Лебега

Определение суммируемой функции

В этом параграфе мы распространим понятие интеграла Лебега на случай,

когда подынтегральная функция может быть неограниченной, а множество,

по которому проводится интегрирование, может иметь бесконечную меру. По-

прежнему рассматривается абстрактное множество X с мерой µ, заданной на

σ – алгебре Σ измеримых множеств, причем меру µ будем предполагать σ –

конечной. Сначала введем интеграл от неотрицательной функции.

Определение 1. Пусть функция f(x) измерима и почти всюду конечна на

множестве E ⊂ X. Рассмотрим всевозможные измеримые подмножества e ⊂ E,

имеющие конечную меру и на которых функция f(x) ограничена, и положим∫E

f(x) dµ = supe

∫e

f(x) dµ. (1)

Если∫Ef(x) dµ < +∞, то функция f(x) называется суммируемой по мере µ на

множестве E.

Ясно, что если неотрицательная функция f(x) ограничена, а µE < +∞,

то среди всех интегралов, входящих в правую часть формулы (1), есть наи-

больший, им является интеграл по множеству E. Следовательно, в этом случае

интеграл от функции f(x), определенный формулой (1), совпадает с интегра-

лом, определенным ранее с помощью сумм Лебега-Дарбу. Таким образом, на

множестве с конечной мерой всякая ограниченная неотрицательная измеримая

функция суммируема. На множестве с бесконечной мерой ограниченная функ-

ция может уже не быть суммируемой. Например, если f(x) ≡ c > 0, c = const,

а µE = +∞, то∫Ef(x) dµ = +∞.

Из Определения 1 сразу вытекает, если множество E ′ ⊂ E измеримо, то∫E′f(x) dµ ≤

∫E

f(x) dµ.

Следовательно, если функция f(x) суммируема на E, то она суммируема и на

E ′. Если µE = 0, то всякая неотрицательная измеримая функция f(x) сум-

мируема на E и∫Ef(x) dµ = 0. Действительно, в этом случае все интегралы,

84

Page 83: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

входящие в правую часть равенства (1), равны нулю, поскольку µe = 0, а пото-

му и левая часть тоже обращается в 0. Если f(x) ≡ 0 на E, а E – произвольное

измеримое множество, то∫Ef(x) dµ = 0.

Дадим дополнение к Определению 1 суммируемой функции. Именно, опре-

делим интеграл и для функции f(x) ≥ 0, которая измерима на множестве

E ⊂ X, но µE(f(x) = +∞) > 0. В этом случае будем по определению счи-

тать, что∫Ef(x) dµ = +∞.

Определение 2. Если функция f(x) измерима на множестве E ⊂ X и

f(x) ≤ 0, то полагаем ∫E

f(x) dµ = −∫E

| f(x)| dµ,

(интеграл в правой части определен выше). При этом функция f(x) называется

суммируемой, если интеграл имеет конечное значение, то есть, если функция

| f(x)| суммируема.

Понятие интеграла для функции, принимающей и положительные и отри-

цательные значения вводится следующим образом.

Определение 3. Пусть функция f(x) измерима на множестве E ⊂ X. Раз-

объем E на два множества, полагая

E1 = E(f(x) ≥ 0), E2 = E(f(x) < 0).

Интеграл от функции f(x) по множеству E определяется формулой∫E

f(x) dµ =

∫E1

f(x) dµ+

∫E2

f(x) dµ =

∫E1

| f(x)| dµ−∫E2

| f(x)| dµ. (2)

Нужно иметь в виду, что формула (2) имеет смысл, если хоть один из интегра-

лов конечен:∫E1f(x) dµ или

∫E2f(x) dµ. Если оба интеграла равны бесконечно-

сти, то интеграл∫Ef(x) dµ лишен смысла.

Определение 4. Измеримая функция f(x) называется суммируемой на

множестве E, если она (или | f(x)|, что равносильно) суммируема на каждом из

множеств E1 и E2, то есть если интеграл∫Ef(x) dµ имеет конечное значение.

Ясно, что если функция f(x) суммируема на множестве E, то она суммиру-

ема и на любом его подмножестве. Если µE = 0, то любая измеримая функция

f(x), заданная на E, суммируема и∫Ef(x) dµ = 0. Оба эти замечания вытекают

из того, что такими же свойствами обладают неотрицательные функции.

85

Page 84: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Заметим, что если функция f(x) ограничена и измерима на множестве E с

конечной мерой, то поскольку ее интегралы по E1 и E2 имеют в этой главе те

же значения, что и раньше, интеграл∫Ef(x) dµ, определенный формулой (2),

совпадает с интегралом, определенным в предыдущей главе. Таким образом,

если функция f(x) ограничена и измерима на множестве E с µE < +∞, то

функция f(x) суммируема на этом множестве.

Лемма 1 (счетная аддитивность интеграла от неотрицательной функции).

Пусть множество E представимо в виде конечного или счетного объединения

дизъюнктных измеримых множеств Ej : E =∪j

Ej. Тогда для любой функции

f(x) ≥ 0, измеримой на множестве E∫E

f(x) dµ =∑j

∫Ej

f(x) dµ. (3)

В частности, если множеств Ej — конечное число и функция f(x) суммируема

на каждом Ej, то она суммируема на E.

I Если хоть один из интегралов∫Ej

f(x) dµ = +∞, то и∫E

f(x) dµ = +∞ и

равенство (3) выполняется.

Пусть∫Ej

f(x) dµ < +∞. Возьмем ∀ e ⊂ E с µe < +∞, на котором функция

f(x) ограничена, и положим ej = e∩Ej. Ввиду счетной аддитивности интеграла

Лебега от ограниченной функции∫e

f(x) dµ =∑j

∫ej

f(x) dµ ≤∑j

∫Ej

f(x) dµ.

Переходя к sup по множествам e ⊂ E, получим∫E

f(x) dµ ≤∑j

∫Ej

f(x) dµ. (4)

Докажем противоположное неравенство. Возьмем множества Ej, j = 1, k. За-

дадим ∀ ε > 0 и для каждого j = 1, k подберем измеримое множество ej ⊂ Ej с

конечной мерой, на котором функция f(x) ограничена, так что∫ej

f(x) dµ >

∫Ej

f(x) dµ− ε

k.

86

Page 85: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Положим e =k∪

j=1

ej, тогда e ⊂ E, µe < +∞ и функция f(x) ограничена на e.

При этом ∫e

f(x) dµ >k∑

j=1

∫Ej

f(x) dµ− ε,

илиk∑

j=1

∫Ej

f(x) dµ <

∫e

f(x) dµ+ ε ≤∫E

f(x) dµ+ ε.

Вследствие произвольности ε отсюда вытекаетk∑

j=1

∫Ej

f(x) dµ ≤∫E

f(x) dµ.

Устремляя k →∞ в случае счетного числа множеств, приходим к неравенству∑j

∫Ej

f(x) dµ ≤∫E

f(x) dµ. (5)

Из двух противоположных неравенств (4) и (5) получим (3). JИз леммы 1 вытекает, что при определении интеграла от функции f(x) с

разными знаками, формулу (2) можно заменить равносильной формулой∫E

f(x) dµ =

∫E

f+(x) dµ−∫E

f−(x) dµ, (6)

где

f+(x) =

f(x), если f(x) ≥ 0,

0, если f(x) < 0.

f−(x) =

|f(x)|, если f(x) ≤ 0,

0, если f(x) > 0.

Измеримость функций f+(x) и f−(x) вытекает из измеримости функции f(x)

на E.

Лемма 2 (абсолютная непрерывность неотрицательной функции). Пусть

функция f(x) ≥ 0 и суммируема на E. Тогда для ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, что∫E′f(x) dµ < ε, если E ′ ⊂ E и µE ′ < δ.

I Для ∀ ε > 0 на основании определения интеграла, подберем множество

e ⊂ E с µe < +∞, на котором функция f(x) ограничена и∫e

f(x) dµ >

∫E

f(x) dµ− ε

2.

87

Page 86: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

По лемме 1 ∫E

f(x) dµ =

∫e

f(x) dµ+

∫E\e

f(x) dµ.

Следовательно, ∫E\e

f(x) dµ <ε

2. (7)

Пусть 0 ≤ f(x) < M на e. Положим δ =ε

2M, и пусть E ′ ⊂ E, а µE ′ < δ.

Множество E ′ представим в виде E ′ = E1∪E2, где E1 = E ′∩e, E2 = E ′∩ (E \e).

Тогда по теореме 1 п. 4.2∫E1

f(x) dµ ≤MµE1 ≤MµE ′ <ε

2,

а из (7) следует, что ∫E2

f(x) dµ ≤∫

E\e

f(x) dµ <ε

2.

Таким образом∫E′f(x) dµ < ε. J

5.2 Распространение простейших свойств интеграла

В этом параграфе мы покажем, что почти все результаты, полученные рань-

ше для интегралов от ограниченных функций на множествах конечной меры,

переносятся и на общий случай, то есть на интегралы от функций почти всюду

конечных и по множествам с любой мерой.

Теорема 1. Для того, чтобы измеримая на множестве E ⊂ X функция f(x)

была суммируема на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы функция

| f(x)| была суммируема на E.

I Необходимость. Если функция f(x) суммируема на E, то по Определению

3 функция | f(x)| суммируема на каждом из множеств E1 = E(f(x) ≥ 0) и

E2 = E(f(x) < 0). Тогда по Лемме 1 функция | f(x)| суммируема на E.

Достаточность. Если функция |f(x)| суммируема на E, то она суммируема

на E1 и E2, то есть по Определению 4 функция f(x) суммируема на E. JЭта теорема означает, что каждая суммируемая функция оказывается и

"абсолютно суммируемой" . Тем самым в одномерном случае (то есть в R1)

интеграл Лебега от неограниченных функций или по бесконечным промежут-

кам по своим свойствам существенно отличается от классического несобствен-

88

Page 87: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ного интеграла. Как известно, в классической теории несобственных интегра-

лов функция, заданная в промежутке на прямой, может быть интегрируемой

в несобственном смысле, не будучи при этом интегрируемой абсолютно (в про-

странстве Rn, n ≥ 2 это различие между интегралом Лебега и классическим

несобственным интегралом отсутствует). Для абсолютно интегрируемой функ-

ции легко доказать, что классический несобственный интеграл в R1 совпадает

с интегралом по мере Лебега.

Теорема 2. Если интеграл∫Ef(x) dµ имеет смысл, то

|∫E

f(x) dµ| ≤∫E

| f(x)| dµ. (1)

I Из формулы (2) п. 5.1 сразу следует

|∫E

f(x) dµ| ≤∫E1

| f(x)| dµ+

∫E2

| f(x)| dµ =

∫E

| f(x)| dµ. J

Теорема 3. Пусть функция f(x) суммируема на множестве E. Тогда для

∀ ε > 0 существует такое δ > 0, что

|∫E′f(x) dµ| < ε, если E ′ ⊂ E и µE ′ < δ.

I Эта теорема вытекает из Леммы 2 для неотрицательной суммируемой

функции и неравенства (1), поскольку из суммированности функции f(x) сле-

дует суммируемость функции | f(x)|. JДоказанное свойство интеграла от суммируемой функции называется его

абсолютной непрерывностью.

Теорема 4 (счетная аддитивность интеграла). Пусть множество E ⊂ X

представимо в виде конечного или счетного объединения дизъюнктных мно-

жеств E = ∪kEk. Тогда:

а) если интеграл∫Ef(x) dµ имеет смысл, то и каждый из интегралов

∫Ekf(x) dµ

тоже имеет смысл и при этом∫E

f(x) dµ =∑k

∫Ek

f(x) dµ (2)

б) если функция f(x) суммируема на каждом множестве Ek, то для суммиро-

вания функции на E необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие∑k

∫Ek

| f(x)| dµ < +∞. (3)

89

Page 88: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В частности, условие (3) заведомо выполняется, если множество E разбито на

конечное число множеств Ek, в этом случае из суммирования функции f(x) на

каждом Ek вытекает ее суммирование на всем E.

I а) Используем формулу (6) п.5.1. Так как интеграл∫Ef(x) dµ имеет смысл,

то хотя бы один из интегралов∫Ef+(x) dµ или

∫Ef−(x) dµ конечен. Пусть это бу-

дет второй из них, то есть функция f−(x) суммируема на E. Тогда эта функция

суммируема и на каждом Ek, следовательно все интегралы∫Ekf(x) dµ имеют

смысл (следует из (6) п. 5.1). При этом каждый из них может иметь конечное

значение или быть равен +∞. Тогда и интеграл∫Ef(x) dµ или конечен, или

равен +∞. С помощью Леммы 1 получаем следующие равенства∫E

f(x) dµ =

∫E

f+(x) dµ−∫E

f−(x) dµ =

=∑k

∫Ek

f+(x) dµ−∑k

∫Ek

f−(x) dµ =∑k

∫Ek

f(x) dµ,

из которых следует равенство (2).

б) По Лемме 1 имеем∫E

| f(x)| dµ =∑k

∫Ek

| f(x)| dµ.

Поэтому условие (3) означает суммирование функции | f(x)| на множестве E,

что равносильно суммированию функции f(x) на E. JСледствие 1. Если E =

∪∞k=1Ek, где множества Ek измеримы и дизъюнкт-

ны, а µE < +∞ для ∀ k и f(x) = ck на Ek, ck = const, причем∑∞

k=1 | ck|µEk <

+∞, то функция f(x) суммируема на E и∫E

f(x) dµ =∞∑k=1

ckµEk.

I Следствие вытекает из обеих частей Теоремы 4 JОтметим, что в условии (3) нельзя интегралы от функции | f(x)| заменить

на интегралы от функции f(x) и потребовать, чтобы в случае бесконечного мно-

жества слагаемых ряд∑

k

∫Ekf(x) dµ сходился. Это подтверждает следующий

пример: пусть функция f(x) задана на промежутке (0, 1], причем f(x) = (−1)nn

при1

n+ 1< x ≤ 1

n. Тогда

1/n∫1/(n+1)

f(x) dµ =(−1)n

n+ 1, µ – мера Лебега,

90

Page 89: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

и ряд∑∞

n=1

(−1)n

n+ 1сходится. В то же время

1∫0

| f(x)| dµ =∞∑n=1

1

n+ 1= +∞.

Можно доказать также, что абсолютной сходимости ряда из интегралов∫Ekf(x) dµ в условии (3) тоже было бы недостаточно.

Следствие 2. Из Теоремы 4 вытекает, что если множества Ek образуют

возрастающую последовательность, E =∪

k Ek, а интеграл∫Ef(x) dµ имеет

смысл, то ∫E

f(x) dµ = limk→∞

∫Ek

f(x) dµ.

Теорема 5. Если функции f(x) и g(x) измеримы на множестве E, f ∼ g

и хоть один из интегралов∫Ef(x) dµ или

∫Eg(x) dµ имеет смысл, то и другой

интеграл имеет смысл и при этом∫E

f(x) dµ =

∫E

g(x) dµ

В частности, если функция f(x) суммируема, то и функция g(x) суммируема.

I Если f ∼ g, то f+ ∼ g+ и f− ∼ g−, и по свойству неотрицательных

функций ∫E

f+(x) dµ =

∫E

g+(x) dµ,

∫E

f−(x) dµ =

∫E

g−(x) dµ

(доказывается точно также как Теорема 5 п. 4.2). Отсюда следует, что инте-

гралы∫Ef(x) dµ и

∫Eg(x) dµ имеют смысл лишь одновременно и при этом они

равны. JТеорема 6. Если функция f(x) ≥ 0 почти всюду на E и

∫Ef(x) dµ = 0, то

f(x) ∼ 0.

I Доказательство такое же как и Теоремы 6 п. 4.2 для ограниченной функ-

ции. JТеорема 7. Если функции f(x) и g(x) измеримы на множестве E, функция

g(x) суммируема на E, а | f(x)| ≤ g(x) почти всюду на E, то функция f(x) тоже

суммируема, при этом

|∫E

f(x) dµ| ≤∫E

g(x) dµ.

91

Page 90: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Без доказательства. JТеорема 8. Если функции f(x) и g(x) суммируемы на множестве E, то

функции (f(x)± g(x)) и cf(x) тоже суммируемы, c = const. При этом∫E

(f(x)± g(x)) dµ =

∫E

f(x),.µ±∫E

g(x) dµ,∫E

cf(x) dµ = c

∫E

f(x) dµ

I Без доказательства. JТеорема 9. Если функции f(x) и g(x) суммируемы на множестве E и f(x) ≤

g(x) почти всюду на E, то ∫E

f(x) dµ ≤∫E

g(x) dµ.

I Без доказательства. J

5.3 Предельный переход под знаком интеграла

Пусть на множестве E ⊂ X с µE < +∞ задана последовательность ограни-

ченных измеримых функций fk(x), k = 1, 2, ... и fk(x) ⇒ f(x), где функция

f(x) ограничена и измерима. Если выполняется соотношение

limk→∞

∫E

fk(x) dµ =

∫E

f(x) dµ, (1)

то говорят, что для последовательности fk(x) на E допустим предельный

переход под знаком интеграла.

Предельный переход может не иметь места, даже если fk(x) → f(x) при

∀x ∈ E. Например, рассмотрим последовательность функций на интервале (0, 1)

fk(x) =

k, при 0 < x < 1/k,

0, при 1/k ≤ x < 1.

Тогда fk(x)→ 0 при ∀x ∈ (0, 1), то есть f(x) ≡ 0. В то же время по Следствию

1 из Теоремы 4 о счетной аддитивности интеграла∫ 1

0

fk(x) dµ =

∫ 1/k

0

k dµ+

∫ 1

1/k

0 dµ = k1

k= 1

и соотношение (1) не выполняется.

Сформулируем теорему, дающую достаточное условие предельного перехода

под знаком интеграла.

92

Page 91: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема 1 (А. Лебега). Пусть на множестве E ⊂ X задана последователь-

ность суммируемых функций fk(x), k = 1, 2, ..., которая сходится по мере к

некоторой функции f(x): fk(x) =⇒ f(x). Если существует такая неотрицатель-

ная суммируемая функция φ(x), что | fk(x)| ≤ φ(x) при ∀k и почти всех x ∈ E,

то функция f(x) тоже суммируема на E и

limk→∞

∫E

fk(x) dµ =

∫E

f(x) dµ, (2)

I По теореме Рисса существует подпоследовательность fki(x), которая

сходится к функции f(x) почти всюду на E. А тогда ясно, что | f(x)| ≤ φ(x)

почти всюду на E и по Теореме 7 п.5.2 функция f(x) суммируема.

Зададим ∀ ε > 0. Из определения интеграла следует, что найдется такое

множество E ′ ⊂ E с µE ′ < +∞, что∫E\E′

φ(x) dµ <1

6ε, (3)

(если µE < +∞, то берем E ′ = E). Далее, по Теореме 3 п. 5.2 для данного ε > 0

найдется такое δ > 0, что∫E′′ φ(x) dµ <

16ε, если E ′′ ⊂ E и µE ′′ < δ. Выберем

η > 0 так, что ηµE ′ ≤ 13ε. Из определения сходимости по мере следует, что

существует такой номер K, что при всех k ≥ K

µE ′(| fk(x)− f(x)| ≥ η) < δ

Для каждого k множество E разобъем на три подмножества: E1 = E \ E ′,

E2 = E ′(| fk(x)− f(x)| ≥ η), E3 = E ′(| fk(x)− f(x)| < η).

Так как | fk(x)− f(x)| ≤ φ(x) почти всюду на E, то по (3) и Теореме 7 п. 5.2

при всех k = 1, 2, ...

|∫E1

(fk(x)− f(x)) dµ| <1

3ε.

Если k ≥ K, то µE2 < δ, а тогда, по выбору δ,

|∫E2

(fk(x)− f(x)) dµ| <1

3ε.

Наконец, при всех k

|∫E3

(fk(x)− f(x) dµ| ≤ ηµE3 ≤ ηµE ′ <1

3ε.

93

Page 92: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Таким образом,

|∫E

fk(x) dµ−∫E

f(x) dµ| < ε.

при k ≥ K, что и доказывает равенство (2). J

Замечание 1. Так как переход в подынтегральном выражении к эквива-

лентной функции не влияет на величину интеграла, можно считать, что функ-

ции fk(x) и f(x) имеют во всех точках конечные значения. Это замечание не

имеет принципиального значения, так как сходимость по мере можно рассмат-

ривать и без этого ограничения.

Замечание 2. Из доказательства теоремы Лебега видно, что она остается

в силе, если в ее формулировке сходимость по мере заменить на сходимость

почти всюду (к измеримой функции). Действительно, в доказательстве теоре-

мы достаточно использовать сходимость по мере на некотором множестве E ′ с

µE ′ < +∞ и при этом условии сходимость почти всюду влечет сходимость по

мере.

Следствие 1. Пусть функции fk(x), k = 1, 2, ... ограничены и измеримы

на множестве E ⊂ X с µE < +∞ и существует такая const M > 0, что

| fk(x)| ≤ M при ∀ k и почти всех x ∈ E. Если fk(x) =⇒ f(x) на E (в част-

ности, если fk(x)п.в.−−−→ f(x)), причем функция f(x) ограничена на множестве

E, то справедливо соотношение (2).

Для монотонных последовательностей можно доказать более сильную теоре-

му. Ниже она сформулирована для последовательности неотрицательных функ-

ций.

Теорема 2 (Б. Леви) Если функции fk(x) ≥ 0, k = 1, 2, ... измеримы на

множестве E и образуют неубывающую последовательность (fk(x) ≤ fk+1(x)),

причем fk(x) → f(x) при ∀x ∈ E, а функция f(x) почти всюду конечна на E,

то имеет место равенство (2).

I Так как функции fk(x) ≥ 0, а последовательность fk(x) ↑, то и после-

довательность интегралов ∫Efk(x) dµ ↑, кроме того

∫Efk(x) dµ ≤

∫Ef(x) dµ

при ∀ k. Следовательно limk→∞

∫Efk(x) dµ ≤

∫Ef(x) dµ.

Чтобы получить обратное неравенство, возьмем любое измеримое множе-

ство e ⊂ E с µe < +∞, на котором функция f(x) ограничена. По теореме

94

Page 93: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Лебега ∫e

f(x) dµ = limk→∞

∫e

fk(x) dµ ≤ limk→∞

∫E

fk(x) dµ

Переходя в левой части к sup по множествам e, получим∫E

f(x) dµ ≤ limk→∞

∫E

fk(x) dµ

Равенство (2) доказано. JЗамечание. В теореме Леви можно отказаться от требования, чтобы функ-

ция f(x) была почти всюду конечна на E.

Теорема 3 (П. Фату). Если на множестве E задана последовательность

измеримых, почти всюду конечных функций fk(x) ≥ 0, которая сходится по

мере к некоторой почти всюду конечной функции fk(x) =⇒ f(x), тогда∫E

f(x) dµ ≤ supk

∫E

fk(x) dµ (4)

Это соотношение несколько более слабое, чем (2).

I На основании теоремы Рисса из последовательности fk(x) выделим ча-

стичную последовательность fki(x)п.в.−−−→ f(x) на E. Не умаляя общности можно

считать, что уже fk(x)п.в.−−−→ f(x) на E. Функция f(x) ≥ 0 почти всюду на E, за

счет перехода к эквивалентной функции можно допустить, что f(x) ≥ 0 всюду

на E.

Введем функции

gk(x) = minfk(x), f(x), k = 1, 2, ...

Они измеримы, поскольку измеримы функции fk(x) и f(x), очевидно gk(x) ≤

fk(x) и gk(x)п.в.−−−→ f(x) на E.

Рассмотрим два случая. Пусть сначала функция f(x) суммируема на E.

Тогда по теореме Лебега и замечанию к ней∫E

gk(x) dµ→∫E

f(x) dµ

Но∫Efk(x) dµ ≥

∫Egk(x) dµ при ∀ k и потому

supk

∫E

fk(x) dµ ≥∫E

gk(x) dµ

95

Page 94: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Переходя к пределу при k →∞, получим (4).

Предположим теперь, что функция f(x) не суммируема на E. Выделим под-

множество e ⊂ E с конечной мерой на котором функция f(x) ограничена. По

уже доказанному

supk

∫E

fk(x) dµ ≥ supk

∫e

fk(x) dµ ≥∫e

f(x) dµ

Переходя в правой части к верхней грани по множествам e, получим (4). J

5.4 Повторные интегралы. Теорема Фубини

Условимся обозначать меру Лебега в пространстве Rn через µn. Если (·)y =

(ξ1, ξ2, ..., ξn, ξn+1) ∈ Rn+1, то ее проекцией в пространство Rn будем называть

(·)x = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn, определяемую первыми n координатами (·)y. Обобщая

понятие криволинейной трапеции, введем следующее определение.

Определение 1. Пусть функция f(x) ≥ 0 на множестве E ⊂ Rn. Ее под-

графиком на этом множестве называется совокупность Q всех таких (·)y =

(ξ1, ξ2, ..., ξn, ξn+1) ∈ Rn+1, что если x = (ξ1, ..., ξn) – проекция (·)y в Rn, то:

а) x ∈ E, б) 0 ≤ ξn+1 ≤ f(x).

Иными словами, над каждым x ∈ E "надстраивается в направлении (n+ 1)

оси отрезок [0, f(x)]" и под Q понимается объединение множеств точек всех

этих отрезков.

Теорема 1. Если функция f(x) ≥ 0 и измерима на множестве E ⊂ Rn, то

ее подграфик Q на этом множестве – измеримое множество в Rn+1, причем

µn+1Q =

∫E

f(x) dµn. (1)

I Без доказательства. JЭта теорема дает геометрический смысл интеграла Лебега в евклидовом

пространстве Rn.

Интегралы Лебега по множествам, лежащим в многомерных пространствах,

как и в классическом анализе, могут вычисляться с помощью сведения их к

повторным интегралам. Окончательный результат в этом направлении имеет в

теории интеграла Лебега более законченный вид, чем для интеграла Римана.

Рассмотрим вопрос о вычислении меры множества с помощью интегрирова-

ния меры его сечений. Для упрощения записей будем вести основное рассуж-

96

Page 95: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

дение для множества, лежащего в двумерном пространстве R2. Позже будет

указан способ, которым полученные результаты переносятся в пространство

Rn, n > 2.

Рассмотрим множество E ⊂ R2. Для каждого фиксированного числа ξ1 обо-

значим через E(ξ1) множество всех чисел ξ2, для которых (·)x = (ξ1, ξ2) ∈ E, то

есть E(ξ1) есть сечения множества E прямыми ξ1 = const, (точнее, это проекции

сечений на ось ξ2). Множества E(ξ1) мы будем рассматривать как линейные, то

есть как множества на прямой, и, говоря об их мере, мы будем иметь в виду

меру в пространстве R1.

Теорема 2. Если множество E ⊂ R2 измеримо и µ2E < +∞, то для почти

всех ξ1 сечения E(ξ1) — измеримые линейные множества с конечной мерой,

функция µ1E(ξ1) измерима на R1 и

µ2E =

∫R1

µ1E(ξ1) dξ1. (2)

Замечание. Формула (2) верна и без предположения, что µ2E < +∞, од-

нако в этом случае уже нельзя утверждать, что почти для всех сечений будет

µ1E(ξ1) < +∞. При этом, как и в Теореме 1, функция µ1E(ξ1) измерима на R1.

Следствие. Пусть функция f(x) ≥ 0 задана на измеримом множестве E ⊂

R1 и ее подграфик Q – измеримое множество в R2. Тогда функция f(x) изме-

рима.

Перед тем, как перейти к повторным интегралам, введем некоторые обозна-

чения и термины. Пусть функция f(ξ1, ξ2) задана на множестве E ⊂ R2. Если

при некотором ξ1 сечение E(ξ1) не пусто и измеримо, а для функции f(ξ1, ξ2),

как функции одной переменной ξ2, имеет смысл интеграл по множеству E(ξ1),

мы записываем этот интеграл в виде∫E(ξ1)

f(ξ1, ξ1) dξ2. (3)

Если же ξ1 таково, что E(ξ1) = ∅, то хотя при таком ξ1 функция f(ξ1, ξ2)

не задана ни при одном ξ2, мы условимся, что и в этом случае интеграл (3)

определен и равен 0.

Кроме того, условимся, что утверждение "функция f(ξ1, ξ2) измерима (соот-

ветственно суммируема) по ξ2 на сечении E(ξ1) при почти всех ξ1 ∈ R1" озна-

чает, что для почти каждого ξ1 ∈ R1 справедливо одно из двух: или E(ξ1) = ∅

97

Page 96: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

и измеримо, а функция f(ξ1, ξ2), как функция от ξ2, измерима (соответственно

суммируема) на E(ξ1), или E(ξ1) = ∅.

Теорема 3 (Г. Фубини). Если функция f(ξ1, ξ2) суммируема на множестве

E ⊂ R2, то почти при всех ξ1 она суммируема по ξ2 на сечении E(ξ1) и при этом

справедливо равенство∫E

f(ξ1, ξ2) dµ2 =

∫R1

dξ1

∫E(ξ1)

f(ξ1, ξ2) dξ2 (4)

Внутренний интеграл представляет измеримую и даже суммируемую функцию

от ξ1.

Замечание. Сведение двойного интеграла к повторному по формуле (4)

возможно и без условия суммируемости функции f(ξ1, ξ2), достаточно предпо-

лагать, что интеграл∫Ef(ξ1, ξ2) dµ2 имеет смысл.

При вычислении повторного интеграла в формуле (4) нас фактически инте-

ресуют только непустые сечения E(ξ1). Множество всех ξ1, для которых E(ξ1) =

∅, называется проекцией множества E на первую координатную ось и обозна-

чается Pr1E. Из измеримости множества E в пространстве R2 не вытекает

измеримость множества Pr1E в пространстве R1. Однако, если множество E

таково, что множество Pr1E измеримо, то внешний интеграл по R1 в формуле

(4) можно заменить интегралом по Pr1E, поскольку∫E(ξ1)

f(ξ1, ξ2) dξ2 = 0 при ξ1 /∈ Pr1E.

Тем самым формуле (4) можно придать следующий вид∫E

f(ξ1, ξ2) dµ2 =

∫Pr1E

dξ1

∫E(ξ1)

f(ξ1, ξ2) dξ2.

В частности, если множество E – прямоугольник ∆ =< a, b; c, d >, то∫∆

f(ξ1, ξ2) dµ2 =

∫ b

a

dξ1

∫ d

c

f(ξ1, ξ2) dξ2.

Аналогично получается, что∫∆

f(ξ1, ξ2) dµ2 =

∫ d

c

dξ2

∫ b

a

f(ξ1, ξ2) dξ1.

Отсюда вытекает, что если функция f(ξ1, ξ2) суммируема в промежутке ∆ =<

a, b; c, d >, то ∫ b

a

dξ1

∫ d

c

f(ξ1, ξ2) dξ2 =

∫ d

c

dξ2

∫ b

a

f(ξ1, ξ2) dξ1.

98

Page 97: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В заключение наметим, как обобщается теорема Фубини на случай интегра-

лов в пространствах с любым числом измерений.

Пусть функция f(ξ1, ..., ξn) суммируема на множестве E ⊂ Rn с µnE <

+∞. Разобъем все аргументы на две группы: (ξ1, ..., ξk) и (ξk+1, ..., ξn), k < n.

Для каждого фиксированного набора вещественных чисел (ξ1, ..., ξk) обозначим

через E(ξ1, ..., ξk) множество всех точек (ξk+1, ..., ξn) пространства Rn−k, для

которых

x = (ξ1, ..., ξk, ..., ξn) ∈ E

E(ξ1, ..., ξk) = (ξk+1, ..., ξn) ∈ Rn−k | (ξ1, ..., ξn) ∈ E.

Тогда оказывается, что при почти всех (ξ1, ..., ξk) ∈ Rk или функция f(ξ1, ..., ξn)

суммируема на E(ξ1, ..., ξk) как функция переменных (ξk+1, ..., ξn) или E(ξ1, ..., ξk) =

∅.

При этом справедливо равенство∫E

f(ξ1, ..., ξn) dµn =

∫Rk

dµk

∫E(ξ1,...,ξk)

f(ξ1, ..., ξn) dµn−k,

если, как и выше, условиться, что внутренний интеграл равен нулю в случае,

когда E(ξ1, ..., ξk) = ∅.

В частности, беря k = 1, мы получаем, что∫E

f(ξ1, ..., ξn) dµn =

∫R1

dµ1

∫E(ξ1)

f(ξ1, ..., ξn) dµn−1.

Продолжая эти преобразования, мы получим в конце представление инте-

грала по множеству E в виде повторного интеграла, содержащего n однократ-

ных интегралов. В частности, если множество E есть параллелепипед ∆ =<

a, b >, то формула имеет вид

∫∆

f(ξ1, ..., ξn) dµn =

b1∫a1

dξ1

b2∫a2

dξ2 ...

bn∫an

f(ξ1, ..., ξn) dξn.

99

Page 98: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ГЛАВА 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. Все

понятия предела имеют то общее, что сходимость означает уменьшение "рассто-

яния"между элементами. Наибольшим общим множеством, между элементами

которого определено понятие расстояния, подчиненное некоторым условиям,

является метрическое пространство.

1.1 Определения и примеры

Определение 1. Множество X называется метрическим пространством, ес-

ли каждой паре его элементов x и y поставлена в соответствие неотрицательная

вещественная функция ρ (x, y), называемая расстоянием или метрикой, которая

удовлетворяет трем условиям:

1) ρ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

2) ρ (x, y) = ρ (y, x) (аксиома симметрии);

3) ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y) (аксиома треугольника).

Перечисленные условия называются аксиомами метрики. Если в 3) взять

x = y, то ρ(x, z) ≥ 0.

Метрическим пространством называют пару, состоящую из множества X и

метрики ρ, удовлетворяющую трем указанным условиям. Обозначается метри-

ческое пространство символом (X, ρ). Иногда метрическое пространство обо-

значается одной буквой X, если оговорено, что рассматривается метрическое

пространство.

Элементы метрического пространства принято называть точками.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся метрические пространства.

1. Пространство Rn, состоящее из точек x = (x1, ..., xn), будет метрическим

пространством, если положить

ρ (x, y) =

(n∑

i=1

|xi − yi|2)1/2

Выполнение аксиом расстояния 1) – 3) было показано раньше.

100

Page 99: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

В случае n = 1 мы имеем множество вещественных чисел R1 с расстоянием

ρ (x, y) = |x− y|.

В арифметическом пространстве Rn можно ввести и другие метрики, на-

пример

ρ0(x, y) = maxi=1,n|yi − xi|, ρ1(x, y) =

n∑i=1

|xi − yi|.

Справедливость аксиом 1) – 3) здесь очевидна.

Естественно, что при этом одно и тоже множество превращается в различ-

ные метрические пространства. Поэтому иногда важно иметь разные обозначе-

ния для метрических пространств одного множества.

2. Множество последовательностей чисел x = (x1, x2, ..., xn, ..., ) таких, что

ряд из абсолютных величин сходится∞∑i=1

|xi|p <∞, p ≥ 1, становится метриче-

ским пространством, если ввести функцию расстояния по формуле

ρ (x, y) =

(∞∑i=1

|xi − yi|p)1/p

,

где x = (x1, x2, ..., xn, ...), y = (y1, y2, ..., yn, ...). Это метрическое пространство

обозначается ℓp, p ≥ 1. Из трех аксиом метрики нуждается в проверке лишь 3).

Доказательство проведем для случаев p = 1 и p = 2.

Пространство ℓ1 имеет метрику ρ (x, y) =∞∑i=1

|xi − yi|. Так как

∞∑i=1

|xi − yi| ≤∞∑i=1

|xi|+∞∑i=1

|yi|,

то ряд ρ (x, y) сходится.

ρ (x, y) =∞∑i=1

|(xi − zi) + (zi − yi)| ≤∞∑i=1

|xi − zi|+∞∑i=1

|zi − yi| = ρ (x, z) + ρ (z, y).

Аксиома 3) выполняется.

Пространство ℓ2 имеет метрику

ρ (x, y) =

(∞∑i=1

|xi − yi|2)1/2

.

Для доказательства неравенства треугольника воспользуемся неравенствами

Коши-Буняковского, где перейдем к пределу при n→∞:(∞∑i=1

|xi − yi|2)1/2

(∞∑i=1

x2i

)1/2

+

(∞∑i=1

y2i

)1/2

.

101

Page 100: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Следовательно, ряд сходится и выражение ρ (x, y) имеет смысл.

ρ(x, y) =

[∞∑i=1

((xi − zi) + (zi − yi)

)2]1/2 ≤≤

(∞∑i=1

(xi − zi)2)1/2

+

(∞∑i=1

(zi − yi)2)1/2

= ρ(x, z) + ρ(z, y).

Аксиома 3) выполняется.

3. Метрическим пространством m называется множество, элементами кото-

рого являются ограниченные последовательности x = (x1, x2, ..., xn, ...) с мет-

рикой ρ (x, y) = supi|xi − yi|. Верхняя грань существует в силу предполагаемой

ограниченности последовательности xn. Далее

|xi − yi| = |(xi − zi) + (zi − yi)| ≤ |xi − zi|+ |zi − yi| ≤ supi|xi − zi|+ sup

i|zi − yi|.

Отсюда следует

supi|xi − yi| ≤ sup

i|xi − zi|+ sup

i|zi − yi|.

4. Рассмотрим множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке

[a, b]. Введем метрику, полагая, что ρ (x, y) = maxt∈[a,b]

∣∣x(t) − y(t)∣∣. Так как непре-

рывные на отрезке функции ограничены, то они достигают максимума и функ-

ция ρ (x, y) имеет смысл. Докажем выполнение третьей аксиомы∣∣x(t)− y(t)∣∣ ≤ ∣∣x(t)− z(t)∣∣+ ∣∣z(t)− y(t)∣∣ ≤ maxt

∣∣x(t)− z(t)∣∣+maxt

∣∣z(t)− y(t)∣∣Это неравенство имеет место для ∀ t ∈ [a, b], в том числе для тех t, где функция

слева достигает максимума. Полученное метрическое пространство обозначают

C[a, b].

5. Множество непрерывных функций можно превратить в метрическое про-

странство C1[a, b], полагая

ρ (x, y) =

∫ b

a

∣∣x(t)− y(t)∣∣dt.Так как функция непрерывна, то интеграл существует. Аксиомы 1) и 2) оче-

видны. Докажем третью аксиому∫ b

a

∣∣x(t)− y(t)∣∣ dt ≤ ∫ b

a

∣∣x(t)− z(t)∣∣ dt+ ∫ b

a

∣∣z(t)− y(t)∣∣ dt.102

Page 101: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Другое метрическое пространство непрерывных функций C2[a, b] получим при

ρ (x, y) =

[∫ b

a

(x(t)− y(t)

)2dt

]1/2.

Существование интеграла и выполнение аксиом 1), 2) очевидно. Третья аксиома

доказывается с помощью неравенства Коши - Буняковского в интегральной

форме.

1.2 Сходимость в метрических пространствах

В метрическом пространстве (X, ρ) рассмотрим последовательность элемен-

тов xm, m = 1, 2, ..., не обязательно различных.

Определение 1. Последовательность xm элементов из метрического про-

странства X называется сходящейся к элементу a этого пространства, если

limm→∞

ρ (xm, a) = 0, xm = x.

Такая сходимость называется сходимостью по метрике, элемент a называет-

ся пределом последовательности. Общее определение предела следующее

Определение 2. Элемент a метрического пространства X называется пре-

делом последовательности xm элементов из этого пространства, если для

∀ ε > 0 ∃mε, что для ∀m > mε ρ (xm, a) < ε.

Теорема 1. Последовательность элементов метрического пространства X

может иметь только один предел.

I Пусть последовательность xm имеет два различных предела a и b. Это

означает, что ρ (xm, a)→ 0, ρ (xm, b)→ 0 при m→∞. Для ∀ ε > 0 ∃mε, что при

∀m > mε ρ (a, b) ≤ ρ (a, xm) + ρ (xm, b) < ε. Так как левая часть не зависит от ε,

а ε — произвольное, то неравенство может иметь место только при a = b. JТеорема 2. Если последовательность xm метрического пространства X

сходится к элементу a ∈ X, то и любая ее подпоследовательность xmk схо-

дится к этому элементу.

I Очевидно с использованием определения предела. JТеорема 3 (непрерывность метрики). Метрика ρ (x, y) есть непрерывная

функция своих аргументов, то есть если последовательности xm и ym мет-

рического пространства X сходятся к пределам x и y соответственно, то рас-

стояние ρ (xm, ym)→ ρ (x, y) при m→∞.

103

Page 102: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Для доказательства воспользуемся неравенством

∣∣ρ (x, y)− ρ (z, u)∣∣ ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u),

где x, y, z, u — элементы метрического пространства. Выполнение неравенства

легко проверяется с помощью третьей аксиомы. Тогда для ∀ ε > 0 ∃mε, что для

∀m > mε:∣∣ρ (xm, ym)− ρ (x, y)∣∣ ≤ ρ (xm, x) + ρ (ym, y) < ε. J

Примеры сходимости различных метрических пространств.

1. В пространстве Rn: xm → a⇐⇒ xmi → ai, i = 1, n.

2. Пространство ℓ1: xm → a ⇒ xmi → ai, i = 1, 2, ..., так как из∞∑i=1

|xmi − ai| <

ε ⇒ | xmi − ai| < ε при ∀ i. Обратное утверждение не имеет места, так как из

| xmi − ai| < ε не следует ρ (xm, a) =∞∑i=1

|xmi − ai| < ε.

Пространство ℓ2: xm → a ⇒ xmi → ai для ∀ i, обратное утверждение не вер-

но. Аналогично для ℓp.

3. Пространство m: ρ (x, y) = supi|xi − yi|, xk → a ⇒ xki ⇒ ai относительно i.

Для ∀ ε > 0 ∃kε : ∀ k > kε ρ (xk, a) < ε при ∀ i.

4. Пространство C[a, b] : xk(t) → a(t) ⇒ xk(t) ⇒ a(t) на [a, b]. Если последо-

вательность функций xk(t) сходится по метрике пространства C[a, b], то она

сходится равномерно на [a, b].

В самом деле, если для ∀ ε > 0 выбрать kε так, что ρ (xk, a) < ε при k > kε,

то это означает supt∈[a,b]

∣∣xk(t)−a(t)∣∣ < ε. Для всех k > kε справедливо неравенство∣∣xk(t)− a(t)∣∣ < ε при всех t ∈ [a, b], отсюда и следует равномерная сходимость.

5. Пространство C1 [a, b] : xk(t) → a(t). Отсюда не следует сходимость после-

довательности функций на [a, b] в классическом смысле. Аналогично для про-

странства C2[a, b].

1.3 Открытые и замкнутые подмножества

метрического пространства

Подобно тому, как это было сделано в пространстве Rn, в случае произ-

вольного метрического пространства вводится понятие открытого и замкнутого

множества, окрестности точки, предельной точки и т. д.

Рассмотрим основные понятия. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство.

104

Page 103: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Определение 1. Множество точек метрического пространства (X, ρ)

B(a, r) = x ∈ X | ρ (a, x) < r

называется открытым шаром с центром в точке a и радиуса r.

Множество точек метрического пространства (X, ρ)

B∗(a, r) = x ∈ X | ρ (a, x) ≤ r

называется замкнутым шаром.

Определение 2. Открытый шар B(x, ε) называется ε – окрестностью точки

x ∈ X.

В случае общего метрического пространства понятие шара является удоб-

ным, но его не следует отождествлять с традиционным образом, к которому мы

привыкли в пространствеR3. Например, в пространстве C[a, b] шарB(x0, r) есть

полоса на плоскости (x, y).

Определение 3. Множество G ⊂ X называется открытым в метрическим

пространстве X, если для любой точки x ∈ G найдется шар B(x, ε) ⊂ G.

Из этого определения следует, что само X — открытое в (X, ρ) множество,

пустое множество также является открытым.

Определение 4. Множество F ⊂ X называется замкнутым в метрическом

пространстве X, если его дополнение G = X \ F открыто в X.

Можно доказать, как и в случае Rn, что открытый шар B(a, r) и его внеш-

ность x ∈ X | ρ (a, x) > r есть открытые множества в X, а замкнутый шар

B∗(a, r) является замкнутым множеством в X.

Для открытых и замкнутых множеств в (X, ρ) справедливы утверждения:

а) объединение∪α

Gα любой системы открытых множеств Gα ⊂ X является

множеством, открытым в X;

б) пересечениеn∩

k=1

Gk конечного числа открытых множеств Gk ⊂ X является

множеством, открытым в X;

в) пересечение∩α

Fα любой системы замкнутых множеств Fα ⊂ X является

множеством, замкнутым в X;

г) объединениеn∪

k=1

Fk конечного числа замкнутых множеств Fk ⊂ X явля-

ется множеством, замкнутым в X.

105

Page 104: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Доказательство повторяет доказательство соответствующих утверждений

для пространства Rn.

Определение 5. Любое открытое в X множество G, содержащее точку

x ∈ X, называется окрестностью этой точки в X.

Определение 6. Точка a ∈ X называется предельной точкой множества

E ⊂ X, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек множества

E.

Предельная точка множества E ⊂ X может ему принадлежать или нет.

Теорема 1. Для того, чтобы точка x ∈ X была предельной точкой множе-

ства E ⊂ X, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность

xm точек из E, сходящаяся к точке x.

I Необходимость. Если x — предельная точка множества E ⊂ X, то в

каждой ее окрестности B(x, 1/m) содержится хотя бы одна точка xm ∈ E, xm =

x. Эти точки образуют последовательность xm, сходящуюся к точке x.

Достаточность. Очевидна. JОпределение 7. Объединение множеств E ⊂ X и всех его предельных

точек в X называется замыканием множества E в X и обозначается E.

Теорема 2. Чтобы множество F ⊂ X было замкнутым в X, необходимо и

достаточно,чтобы F = F в X.

I Аналогично случаю пространства Rn. JПонятие внутренней, внешней и граничных точек из X вводится как в про-

странстве Rn.

Определение 8. Метрическое пространство (X1, ρ1) называется подпро-

странством метрического пространства (X, ρ), если X1 ⊂ X и для любой пары

точек a, b множества X справедливо равенство ρ1(a, b) = ρ (a, b).

Всякое открытое множество G1 из пространства X1 ⊂ X имеет вид G1 =

X1 ∩G, где G – множество, открытое в X, а всякое замкнутое в X1 множество

F1 имеет вид F1 = X1 ∩ F , где F — множество, замкнутое в X.

Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метрическом

пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и зависит от про-

странства, которому оно принадлежит.

106

Page 105: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Например, интервал |x| < 1, y = 0 плоскости R2 со стандартной метрикой

является метрическим пространством (X1, ρ1), которое, как и всякое метриче-

ское пространство, замкнуто в себе, ибо содержит все свои предельные точки

в X1. Вместе с тем очевидно, что X1 не является замкнутым множеством в

X = R2.

1.4 Полные метрические пространства

Определение 1. Последовательность xn точек метрического простран-

ства X называется сходящейся в себе или фундаментальной, если для ∀ ε >

0 ∃nε, что для ∀m,n > nε : ρ (xm, xn) < ε.

Определение 2. Метрическое пространство X называется полным, если

каждая фундаментальная последовательность xn сходится, то есть существу-

ет точка x ∈ X: xn → x при n→∞.

Числовая прямая является простейшим примером полных метрических про-

странств.

Теорема 1. Если последовательность точек xn метрического простран-

ства X сходится, то она фундаментальна.

I Пусть limn→∞

xn = x, тогда для ∀ ε > 0 ∃nε: для ∀m,n > nε будет ρ (xm, x) <

ε и ρ (xn, x) < ε. Для этих m и n ρ (xm, xn) ≤ ρ (xm, x) + ρ (x, xn) < 2ε. JВ произвольном метрическом пространстве обратное утверждение не имеет

место. Например, рассмотрим множество рациональных чисел Q с метрикой

ρ (x, y) = |x − y|. Фундаментальная последовательность рациональных чисел

может иметь предел, который не является рациональным числом.

Для полного метрического пространства имеет место признак сходимости

Коши: для того, чтобы последовательность точек xn полного метрического

пространства X была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была

фундаментальной.

Замкнутое подпространство F полного метрического пространства X явля-

ется полным. При переходе от пространства X к его замкнутому подпростран-

ству F ⊂ X свойство полноты сохраняется. Действительно, если последова-

тельность точек xk пространства F сходится в себе, то в силу полноты X

существует точка x ∈ X, что limk→∞

xk = x. Ввиду замкнутости F должно быть

107

Page 106: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

x ∈ F , то есть последовательность xk сходится в F .

Определение 3. Множество E ⊂ X называется ограниченным, если оно

содержится в шаре конечного радиуса.

Теорема 2. Любая фундаментальная последовательность ограничена.

I Пусть xn – фундаментальная последовательность в метрическом про-

странствеX. Следовательно, для ∀ ε > 0 ∃nε, что для ∀m,n > nε: ρ (xm, xn) < ε.

Фиксируем n = N > nε, тогда ρ (xm, xN) < ε для ∀m > nε. Выберем число

A = maxε, ρ (x1, xN), ..., ρ (xm, xN). Для всех элементов последовательности

xm ρ (xm, xN) ≤ A, то есть все элементы последовательности находятся в за-

мкнутом шаре. JПримеры полных метрических пространств.

1. ПространствоRn. Раньше было доказано, что вRn с евклидовой метрикой

ρ всякая фундаментальная последовательность сходится. Полнота пространств

Rn с метриками ρ0 и ρ1 доказывается аналогично случаю евклидова простран-

ства.

2. Пространство последовательностей ℓp является полным.

I Доказательство проведем для случая p = 2. Пусть xm — фундаменталь-

ная последовательность в ℓ2. Это означает, что для ∀ ε > 0 ∃mε, что

ρ2(xm, xn) =∞∑k=1

(xmk − xnk)2 < ε при ∀m,n > mε (1)

Здесь xm = (xm1 , xm2 , ..., x

mk , ...). Из неравенства (1) следует, что при любом k бу-

дет (xmk − xnk)2 < ε, то есть последовательность вещественных чисел фундамен-

тальна и потому сходится. Положим xk = limm→∞

xmk . Обозначим x = (x1, ..., xk, ...).

Нужно показать, что: а)∞∑k=1

x2k < +∞, то есть x ∈ ℓ2; б) limm→∞

ρ(xm, x) = 0.

Из неравенства (1) следует, что для любого фиксированного M

M∑k=1

(xmk − xnk)2 < ε.

Фиксировав m, перейдем к пределу по n→∞

M∑k=1

(xmk − xk) ≤ ε.

108

Page 107: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Это неравенство верно при любом M . Перейдем к пределу при M →∞∞∑k=1

(xmk − xk)2 ≤ ε. (2)

Из сходимости рядов∑

(xmk )2 и

∑(xmk − xk)2 следует сходимость ряда

∑x2k, то

есть утверждение а) доказано. Далее, так как ε произвольно мало, то неравен-

ство (2) означает, что

limm→∞

ρ(xm − x) = limm→∞

√√√√ ∞∑k=1

(xmk − xk)2 = 0,

то есть xm → x в метрике ℓ2. Утверждение б) доказано. J3. Пространство всех ограниченных последовательностей m также полно.

I Доказывается по той схеме, что и выше. J4. Докажем полноту пространства C[a, b] с метрикой ρ (f, g) = max

x

∣∣f(x) −g(x)

∣∣. Пусть xn(t)— некоторая фундаментальная последовательность в C[a, b].

Это означает, что для ∀ ε > 0 ∃nε, что∣∣xm(t)− xn(t)∣∣ < ε при m,n > nε и ∀ t ∈ [a, b]. (3)

Отсюда вытекает, что последовательность xn(t) равномерно сходится. В этом

случае ее предел x(t) будет непрерывной функцией. Устремляя в неравенстве

(3) n → ∞ получим∣∣xm(t) − x(t)∣∣ ≤ ε для ∀ t и m > nε, а это и означает, что

последовательность xm(t) сходится в смысле метрики пространства C[a, b].

5. Можно убедиться, что пространство C2[a, b] не полно.

1.5 Сепарабельные пространства

Как известно, любое вещественное число x ∈ R1 можно рассматривать как

предел последовательности рациональных чисел из Q. Следовательно, любая

точка множества R1 есть предельная точка множества Q. Можно сказать, что

все множество R1 есть замыкание множества Q, то есть R1 = Q. В этом слу-

чае говорят, что множество Q рациональных чисел является всюду плотным в

множестве R1.

Определение 1. Пусть A и B — два подмножества метрического простран-

ства X. Множество A называется плотным в B, если B ⊂ A. В частности,

множество A называется всюду плотным в пространстве X, если A = X.

109

Page 108: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Определение 2. Метрическое пространство X называется сепарабельным,

если в нем существует счетное всюду плотное подмножество.

Можно дать другое определение плотного множества, которое эквивалентно

определению 1.

Определение 3. Множество A ⊂ X называется плотным в множестве B ⊂

X, если для ∀ x ∈ B и ∀ ε > 0 существует точка z ∈ A, что ρ (x, z) < ε.

Утверждение. Определения 1 и 3 плотного множества эквивалентны.

I Пусть множество A плотно в B по определению 3 и точка x ∈ B. Возьмем

последовательность чисел εk → 0, εk > 0. Для ∀ k = 1, 2, ... существуют точки

zk ∈ A : ρ (x, zk) < εk и, следовательно, zk → x. Итак, из множества A можно

извлечь последовательность, сходящуюся к наперед заданному элементу x ∈ B,

то есть ∀x ∈ B представимо в виде x = limk→∞

zk, где zk ∈ A. Следовательно

B ⊂ A. Обратно, если B ⊂ A, то очевидно для ∀x ∈ B существует точка z ∈ A,

что ρ (x, z) < ε. JПочти все пространства, перечисленные в примерах п. 1.1 являются сепара-

бельными, то есть содержат в себе счетные всюду плотные множества.

1. Пространство Rn с метриками ρ, ρ0 ρ1 содержит совокупность точек с

рациональными координатами и потому сепарабельно.

2. Пространство ℓp содержит совокупность последовательностей, в каждой

из которых все члены рациональны и лишь конечное число членов отлично от

нуля. Поэтому все пространства ℓp сепарабельны.

В частности, рассмотрим пространство ℓ2. Пусть x ∈ ℓ2, x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...).

Возьмем последовательность xn = (ξ1, ..., ξn, 0, ...). Очевидно, limn→∞

xn = x. Для

каждой последовательности xn существует последовательность с рациональны-

ми координатами x′n = (r1, ..., rn, 0, ...), сколь угодно близкая к xn. Множество

последовательностей x′n счетно и всюду плотно в ℓ2.

3. В пространстве ограниченных последовательностей m нет никакого счет-

ного всюду плотного множества. Действительно, рассмотрим всевозможные по-

следовательности, состоящие из нулей и единиц. Они образуют множество мощ-

ности континуума (можно установить соответствие между этими последова-

тельностями и подмножествами натурального ряда). Расстояние между точ-

110

Page 109: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ками, определяемое формулой ρ (x, y) = supi| xi − yi|, равно единице. Окружим

каждую из этих точек открытым шаром радиуса 1/2. Эти шары не пересекают-

ся. Если некоторое множество всюду плотно в рассматриваемом пространстве,

то в каждом из шаров должно содержаться хотя бы по одной точке из этого

множества, и, следовательно, оно не может быть счетным.

4. В пространстве C[a, b] существует совокупность всех многочленов с ра-

циональными коэффициентами. Каждая непрерывная функция представима в

виде равномерно сходящейся последовательности полиномов, которые образу-

ют счетное всюду плотное множество в C[a, b].

5. В пространствах C1[a, b] и C2[a, b] имеем аналогичную ситуацию.

Теорема 1. Если множество E содержится в сепарабельном метрическом

пространстве (X, ρ), то E тоже сепарабельное метрическое пространство.

I Множество E ⊂ X, как часть метрического пространства, является метри-

ческим пространством. Под расстоянием от точки x0 ∈ X до множества E ⊂ X

понимают величину ρ (x0, E) = infy∈E

ρ (x0, y).

Пусть E ⊂ X и D = xk — счетное всюду плотное в X множество. Возьмем

числовую последовательность εn → 0, εn > 0, и для ∀ k = 1, 2, ... найдем в E

элемент zk,n такой, что ρ (xk, zk,n) < ρ (xk, E) + εn.

Пусть x ∈ E и ε > 0. Найдется элемент xk ∈ D: ρ (x, xk) < ε. Беря n

настолько большим, чтобы было εn < ε, найдем

ρ (x, zk,n) ≤ ρ (x, xk) + ρ (xk, zk,n) < ε+ ρ (xk, E) + εn < 3ε.

Отсюда следует плотность множества D0 = zk,n в E. J

1.6 Пополнение метрического пространства

Если метрическое пространство E не полно, то его всегда можно включить

некоторым образом (по существу, единственным) в полное метрическое про-

странство.

Определение 1. Наименьшее полное метрическое пространство, содержа-

щее данное метрическое пространство (E, ρ), называется пополнением простран-

ства (E, ρ).

Можно дать другое, более формальное определение пополнения метриче-

111

Page 110: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ского пространства, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Пусть E — метрическое пространство. Полное метрическое

пространство X называется пополнением пространства E если:

1) E является подпространством пространства X, то есть E ⊂ X,

2) E всюду плотно в X, то есть E = X.

Например, пространство вещественных чиселR1 является пополнением про-

странства рациональных чисел Q.

Определение 3. Метрическое пространство (X1, ρ1) называется изометрич-

ным метрическому пространству (X2, ρ2), если существует взаимно-однозначное

отображение f : X1 → X2 такое, что для любых точек a и b ∈ X1 справедливо

равенство ρ2(f(a), f(b)) = ρ1(a, b). Отображение f : X1 → X2 называют в этом

случае изометрией.

Ясно, что введенное отношение изометрии рефлексивно, симметрично и тран-

зитивно, то есть является отношением эквивалентности между метрическими

пространствами.

Приняв соглашение о тождественности изометричных пространств, можно

показать, что, если пополнение метрического пространства существует, то оно

единственно.

Теорема 1 (единственность пополнения). Если метрические пространства

(Y1, ρ1) и (Y2, ρ2) являются пополнением метрического пространства (X, ρ), то

они изометричны.

I Пусть (Y1, ρ1) и (Y2, ρ2) – два различных пополнения метрического про-

странства (X, ρ). Докажем что они изометричны, то есть существует взаимно-

однозначное отображение f : Y1 → Y2 такое, что

1) f(x) = x для ∀x ∈ X,

2) для любых точек y′1, y′′1 ∈ Y1: ρ1(y′1, y′′1) = ρ2(f(y′1), f(y

′′1)).

По определению пополнения: X ⊂ Y1, X ⊂ Y2, X = Y1, X = Y2.

Для любой точки y1 ∈ Y1 существует последовательность xn точек из X,

что xn → y1. Но точки xn входят и в Y2. Так как Y2 полно, а последователь-

ность xn фундаментальна, то xn → y2 ∈ Y2, причем точка y2 не зависит от

выбора последовательности xn, сходящейся к точке y1 ∈ Y1.

112

Page 111: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Положим f(y1) = y2 — это и есть искомое изометрическое отображение про-

странства Y1 на Y2. Действительно, по построению f(x) = x, если x ∈ X. Далее,

пусть y′1, y′′1 — две точки из Y1, тогда

x′n → y′1 ∈ Y1 и x′n → y′2 ∈ Y2,

x′′n → y′′1 ∈ Y1 и x′′n → y′′2 ∈ Y2. Отсюда следует

ρ1(y′1, y

′′1) = lim

n→∞ρ1(x

′n, x

′′n) = lim

n→∞ρ(x′n, x

′′n),

ρ2(y′2, y

′′2) = lim

n→∞ρ2(x

′n, x

′′n) = lim

n→∞ρ(x′n, x

′′n).

Следовательно, ρ1(y′1, y′′1) = ρ2(y′2, y

′′2). Это равенство устанавливает взаимно од-

нозначное отображение f : Y1 → Y2 (различным y1 отвечают различные y2).

JТеорема 2 (существование пополнения). Каждое метрическое пространство

имеет пополнение.

I Пусть (X, ρ) — произвольное метрическое пространство. Две фундамен-

тальные последовательности xn и yn из X называются эквивалентными и

обозначаются xn ∼ yn, если ρ (xn, yn) → 0 при n → ∞. Это отношение

рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Все фундаментальные последовательности из пространства X распадают-

ся на классы эквивалентных последовательностей. Определим пространство

(Y, ρ0) следующим образом. За элементы множества Y примем всевозможные

классы эквивалентных между собой последовательностей пространства X.

Расстояние между точками пространства Y введем по следующему прави-

лу. Пусть y′ и y′′ – два класса эквивалентных последовательностей, выберем в

каждом из классов по одной фундаментальной последовательности x′n ∈ y′ и

x′′n ∈ y′′ . Положим

ρ0(y′, y′′) = lim

n→∞ρ(x′n, x

′′n). (1)

Докажем, что предел в (1) существуют и не зависит от выбора последователь-

ностей x′n и x′′n в каждом классе. Так как эти последовательности фунда-

ментальны, то для ∀ε > 0 при достаточно больших номерах m и n получаем

∣∣ρ(x′m, x′′m)− ρ(x′n, x′′n)∣∣ ≤ ρ(x′m, x′n) + ρ(x′′m, x

′′n) < ε (2)

113

Page 112: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Таким образом, числовая последовательность ρ(x′n, x′′n) удовлетворяет усло-

вию Коши и потому сходится. Значит, предел (1) существует.

Покажем, что он не зависит от выбора последовательностей x′n ∈ y′ и

x′′n ∈ y′′. Путь последовательности x′n, x′n ∈ y′ и x′′n, x′′n ∈ y′′, тогда∣∣ρ(x′n, x′′n)− ρ (x′n, x′′n)∣∣ ≤ ρ (x′n, x′n) + ρ (x′′n, x

′′n) < ε,

так как x′n ∼ x′n, x′′n ∼ x′′n. Отсюда следует

limn→∞

ρ (x′n, x′′n) = lim

n→∞ρ (x′n, x

′′n).

То есть предел последовательности (1) не зависит от выбора последовательно-

стей.

Докажем, что в пространстве Y с метрикой (1) выполнены аксиомы мет-

рики. Аксиома 1) вытекает из определения эквивалентности фундаментальных

последовательностей, аксиома 2) очевидна. Проверим аксиому треугольника.

Так как в пространстве (X, ρ) аксиома выполняется, то

ρ (x′n, x′′n) ≤ ρ (x′n, xn) + ρ (xn, x

′′n) ⇒

limn→∞

ρ (x′n, x′′n) ≤ lim

n→∞ρ (x′n, xn) + lim

n→∞ρ (xn, x

′′n).

То есть ρ (y′, y′′) ≤ ρ (y′, y) + ρ (y, y′′).

Докажем теперь, что Y — пополнение пространства X. Каждой точке x ∈ X

соответствует некоторый класс фундаментальных последовательностей, схо-

дящихся к точке x. При этом, если x = limn→∞

xn, y = limn→∞

yn, то ρ(x, y) =

limn→∞

ρ(xn, yn). Следовательно, поставив каждой точке x ∈ X в соответствие

класс сходящихся к точке x фундаментальных последовательностей, мы изо-

метрично отобразим пространство X в пространство Y . В дальнейшем мы мо-

жем не различать пространство X и его образ в Y и рассматривать X как

подмножество в Y .

Покажем, что X всюду плотно в Y , то есть X = Y . Действительно, пусть

точка y ∈ Y и ε > 0 — произвольное число. Выберем в y некоторую фунда-

ментальную последовательность xk. Пусть N таково, что ρ(xm, xn) < ε для

∀m,n > N . Тогда

ρ (xn, y) = limm→∞

ρ (xn, xm) ≤ ε при n > N

114

Page 113: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

То есть произвольная окрестность точки y содержит некоторую точку xn ∈ X.

Таким образом, замыкание X в Y есть все Y .

Остается доказать, что пространство Y полно. По построению Y любая фун-

даментальная последовательность xn из точек пространства X сходится в Y к

некоторой точке y ∈ Y . Так как X плотно в Y , то для любой фундаментальной

последовательности yn из Y можно построить эквивалентную ей последова-

тельность xn из точек X. Для этого достаточно в качестве точки xn взять лю-

бую точку yn ∈ Y , такую, что ρ(xn, yn) < 1/n. Построенная последовательность

xn фундаментальна и по доказанному сходится к некоторой точке y ∈ Y . Но

тогда и последовательность yn → y. Теорема доказана. J

1.7 Компактные метрические пространства

Определение 1. Множество K метрического пространства (X, ρ) называ-

ется компактным, если из любого покрытия K множествами, открытыми в X,

можно выделить конечное покрытие.

Требование компактности пространства является весьма сильным и выделя-

ет сравнительно узкий класс пространств, в частности, более узкий, чем полные

и сепарабельные пространства.

Раньше было доказано, что множество K пространства Rn является ком-

пактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

В произвольном метрическом пространстве это утверждение уже не име-

ет места. Однако справедливо следующее, если K ⊂ (X, ρ) — компакт, то K

ограниченное и замкнутое множество в X.

В отличие от относительных свойств множества быть открытым или за-

мкнутым в метрическом пространстве, свойство множества быть компактным

абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлющего пространства.

Утверждение 1. Подмножество K метрического пространства (X, ρ) явля-

ется компактом в X тогда и только тогда, когда K является компактом в себе

как в метрическом пространстве.

I Сформулированное утверждение следует из определения 1 компакта и

того обстоятельства, что каждое множество Gk, открытое в K, получается пе-

ресечением K с некоторым множеством Gx, открытым в X. J

115

Page 114: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Пример. Возьмем евклидово пространство (R1, ρ) со стандартной метрикой

и I = x ∈ R1 | 0 < x < 1 — единичный интервал в R1. Метрическое простран-

ство (I, ρ) замкнуто в себе и ограничено, однако это не компакт, так как оно не

является компактом в R1.

Рассмотрим некоторые свойства компактов.

Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если K — компакт в метрическом

пространстве (X, ρ), то K — замкнутое подмножество в X.

I В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить, что лю-

бая точка x0 ∈ X, предельная для K, принадлежит K. Пусть точка x0 /∈ K.

Для каждой точки x ∈ K построим такую ее окрестность G(x), что точка x0

обладает окрестностью, не пересекающейся с G(x). Совокупность G(x), x ∈ K,

всех таких окрестностей образует открытое покрытие K, из которого можно

выделить конечное покрытие G(x1), ..., G(xn). Если теперь Oi(x0) такая окрест-

ность точки x0, что G(xi) ∩ Oi(x0) = ∅, то множество O(x0) =n∩

i=1

Oi(x0) тоже

является окрестностью точки x0, причем G(xi)∩O(x0) = ∅ при i = 1, n. Но это

означает, что K ∩O(x0) = ∅ и точка x0 не может быть предельной для K. J

Лемма 2 (о вложенных компактах). Если K1 ⊃ K2 ⊃ ... ⊃ Ki ⊃ ... —

последовательность непустых вложенных компактов, то пересечение∞∩i=1

Ki не

пусто.

I В силу леммы 1 множества Gi = K1\Ki, i = 1, 2, ..., открыты в K1. Если∞∩i=1

Ki = ∅, то последовательность G1 ⊂ G2 ⊂ ... ⊂ Gn ⊂ ... в совокупно-

сти образует покрытие K1. Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что

некоторый элемент Gm последовательности уже покрывает K1. Но по условию

Km = K1\Gm = ∅. Полученное противоречие завершает доказательство. JЛемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое подмножество

F компакта K само является компактом.

I Пусть Gα — открытое покрытие F . Добавив к нему открытое множество

G = K\F , получим открытое покрытие всего компакта K. Из этого покрытия

можно извлечь конечное покрытие K. Поскольку G ∩ F = ∅, то из системы

Gα выделяется конечное покрытие множества F . JДанное выше определение 1 компактности метрического пространства не

116

Page 115: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

дает эффективного критерия проверки компактности множества. Чтобы сфор-

мулировать удобный признак компактности, нам необходимо следующее опре-

деление.

Определение 2. Пусть M — некоторое множество метрического простран-

ства (X, ρ), а ε > 0 заданное число. Множество A ⊂ X называется ε - сетью для

множества M , если для любого x ∈M найдется хотя бы одна точка a ∈ A, что

ρ (a, x) ≤ ε. В частности, может быть M = X.

Например, целочисленные точки образуют на плоскости R2 ε = 1/√2 – сеть.

Другой пример, на отрезке [0, 1], разделенным на n частей, точки деления об-

разуют ε = 1/n - сеть.

Лемма 4. Если метрическое пространство (K, ρ) — компакт, то для любого

ε > 0 в нем имеется конечная ε - сеть.

I Для каждой точки x ∈ K возьмем открытый шар B(x, ε). Из открытого

покрытия K этими шарами выделим конечное покрытие B(x1, ε), ..., B(xn, ε).

Точки xi, i = 1, n, очевидно, образуют искомую ε - сеть. JБолее удобным для дальнейшего использования является другое определе-

ние компакта, равносильное Определению 1.

Определение 3. Метрическое пространство (K, ρ) называется компактным,

если из любой последовательности его точек можно извлечь подпоследователь-

ность, сходящуюся в K.

Равносильность определений 1 и 3 будет доказана ниже, предварительно

докажем две леммы.

Лемма 5. Если из любой последовательности точек метрического простран-

ства (K, ρ) можно выделить сходящуюся в K подпоследовательность, то для

любого ε > 0 в K имеется конечная ε - сеть.

I Если для некоторого ε > 0 в K не существует конечной ε - сети, то в

K можно построить последовательность xn точек так, что ρ (xn, xi) > ε при

∀n ∈ N и ∀ i ∈ 1, ..., n − 1. Из этой последовательности, очевидно, нельзя

выделить сходящуюся подпоследовательность. JЛемма 6. Если из любой последовательности точек метрического простран-

ства (K, ρ) можно выделить сходящуюся в K подпоследовательность, то любая

117

Page 116: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

последовательность вложенных замкнутых непустых подмножеств из K имеет

непустое пересечение.

I Если F1 ⊃ F2 ⊃ ... ⊃ Fn ⊃ ... — указанная последовательность замкнутых

в K множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим последовательность

xn, из которой извлечем сходящуюся подпоследовательность xnk. Ее предел

a ∈ K по построению будет принадлежать каждому из замкнутых множеств

Fn, n ∈ N. J

Теорема 1. Для того, чтобы метрическое пространство (K, ρ) было компак-

том необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его точек

можно было выделить сходящуюся в K подпоследовательность.

I Необходимость. Пусть K –компакт, а xn – последовательность его то-

чек. Докажем, что из xn можно выделить подпоследовательность, сходящу-

юся к некоторой точке множества K. Если последовательность xn имеет ко-

нечное число значений, то утверждение очевидно, поэтому можно считать, что

последовательность xn имеет бесконечно много различных значений. Для

ε = 1 строим конечную 1 – сеть и берем тот замкнутый шар B∗(a1, 1), кото-

рый содержит бесконечно много членов последовательности xn. По Лемме 3

шар B∗(a1, 1) является компактом, в котором существует конечная 1/2 – сеть

и ее шар B(a2, 1/2), содержащий бесконечно много членов элементов последо-

вательности. Так получается последовательность замкнутых вложенных шаров

B∗(a1, 1) ⊃ B∗(a2, 1/2) ⊃, ..., являющихся компактами и имеющими по Лемме 2

общую точку a ∈ K. Выбирая в шаре B∗(a1, 1) точку xn1 последовательности,

затем в шаре B(a2, 1/2) точку xn2 с номером n2 > n1 и т.д., получим последо-

вательность xnk, которая сходится к точке a ∈ K.

Достаточность. Докажем, что если из любой последовательности xn точек

метрического пространства (K, ρ) можно выделить сходящуюся в K подпосле-

довательность, то (K, ρ) – компакт.

В самом деле, если из некоторого покрытия Gα пространства (K, ρ) нель-

зя выделить конечное покрытие, то построив в силу Леммы 5 конечную ε = 1

– сеть в K, найдем замкнутый шар B∗(a1, 1), который тоже нельзя покрыть ко-

нечным набором множеств системы Gα. Построим в шаре B∗(a1, 1) конечную

118

Page 117: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ε = 1/2 – сеть, найдем в нем шар B∗(a2, 1/2), который не допускает конечного

покрытия множествами системы Gα.

Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых ша-

ров B∗(an, 1/n) в силу Леммы 6 имеет, и как видно по построению, только

одну общую точку a ∈ K. Эта точка покрыта некоторым множеством Gα0 на-

шей системы Gα, и поскольку множество Gα0 открыто, все шары B∗(an, 1/n)

при достаточно больших n должны лежать в Gα0 . Полученное противоречие

доказывает теорему. JТем самым доказана эквивалентность двух определений компактного мет-

рического пространства.

Теорема 2. Компактное пространство является полным.

I Пусть xn — фундаментальная последовательность компактного про-

странства K. Согласно Определению 3 из xn можно выделить сходящуюся

подпоследовательность xnk к некоторой точке x0 ∈ K. Для произвольного k

имеем: ρ (xn, x0) ≤ ρ (xn, xnk) + ρ (xnk

, x0). Оба слагаемых в правой части стре-

мятся к нулю: первое в силу фундаментальности последовательности xn, а

второе — по условию. А потому ρ (xn, x0) → 0, n → ∞, то есть x0 является

пределом всей последовательности xn и полнота пространства K доказана. J

Теорема 3 (Хаусдорфа). Для того, чтобы множество K метрического про-

странства (X, ρ) было компактным, необходимо, а если X — полное простран-

ство, то и достаточно, чтобы при любом ε > 0 в X существовала конечная ε -

сеть для K.

I Необходимость. Пусть условие теоремы выполнено, то есть K — компакт-

ное множество в X. Нужно доказать существование конечной ε - сети для K.

Предположим, что для некоторого ε > 0 не существует конечной ε - сети. Возь-

мем точку x1 ∈ K. Множество, состоящее из одного элемента x1, не образует

ε - сети для множества K, поэтому найдется точка x2 ∈ K, что ρ (x1, x2) ≥ ε.

Множество x1, x2 также не может быть ε - сетью для K, поэтому существу-

ет точка x3 ∈ K: ρ (xi, x3) ≥ ε, i = 1, 2. Рассуждая так и дальше, мы придем

к последовательности точек xn из K: ρ (xn, xm) ≥ ε (m = n). Очевидно, из

этой последовательности нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность,

119

Page 118: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

то есть множество K не компактно, что противоречит условию.

Достаточность. Пусть (X, ρ) — полное метрическое пространство, и для

любого ε > 0 существует конечная ε - сеть для K ⊂ X. Докажем, что K — ком-

пактное множество в X. Возьмем любую последовательность xm элементов

множества K и докажем, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследо-

вательность. Для этого зададим числовую последовательность εn → 0 (εn > 0).

Рассмотрим существующую по условию ε1 – сеть для K. Если построить шары

с центрами в точках ε1 – сети и радиусами ε1, то любая точка множества K

попадет по крайней мере в один из этих шаров. Так как шаров конечное число,

то хотя бы в одном из них окажется бесконечно много элементов последователь-

ности xn. Обозначим этот шар B(z1, ε1). Возьмем ε2 – сеть и шары радиуса ε2

с центрами в ее точках. Как и раньше, в один из этих шаров попадет бесконеч-

но много элементов последовательности xn, содержащихся в шаре B(z1, ε1).

Обозначим этот шар B(z2, ε2).

Продолжая процесс, получим последовательность шаров: B(zn, εn). В пе-

ресечение любого их числа попадет бесконечно много элементов последователь-

ности xn. Ввиду этого, мы можем выбрать xm1 ∈ B(z1, ε1), xm2 ∈ B(z1, ε1) ∩

B(z2, ε2) (m2 > m1), и вообще, xmk∈

k∩i=1

B(zi, εi) (mk > mk−1 > ... > m1).

Так как любые два элемента xmkи xml

(k ≤ l) принадлежат шару B(zk, εk),

то ρ (xmk, xml

) ≤ ρ (xmk, zk) + ρ (zk, xml

) < 2ε. Следовательно, последователь-

ность xmk — фундаментальна, и в силу полноты пространства X сходится к

некоторому элементу x0 ∈ X. J

Следствие 1. Компактное множество K метрического пространства (X, ρ)

сепарабельно.

I Действительно, если εk → 0 и Mk, k = 1, 2, ... конечная εk - сеть в K, то

M =∞∪k=1

Mk будет, очевидно, счетным всюду плотным в данном пространстве

множеством. JСледствие 2. Компактное множество K метрического пространства (X, ρ)

ограничено.

I Пусть M1 = xi — конечная ε = 1 - сеть для K и точка a ∈ X. Обозначим

d = maxiρ (a, xi). Для любого x ∈ K имеем ρ (a, x) ≤ 1+d и следствие доказано.

120

Page 119: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

J

Замечание. Отметим различие понятий сепарабельного и компактного про-

странства. В первом случае требуется наличие счетного множества элементов,

которыми можно было бы безгранично приблизиться к любому элементу про-

странства. Во втором случае мы получаем такую возможность, строя множе-

ство M , которое является объединением εk - сетей. Однако здесь с помощью

одной ε - сети конечного числа элементов, мы можем одновременно аппрокси-

мировать любой элемент пространства, что, вообще говоря, в первом случае не

имеет места.

1.8 Относительная компактность. Теорема Арцела

Определение 1. МножествоM , лежащее в метрическом пространстве (X, ρ),

называется относительно компактным в X (или предкомпактным), если его за-

мыкание в X компактно.

Понятие относительной компактности (в отличие от компактности) связано

с тем пространством (X, ρ), в котором множество рассматривается. Например,

множество рациональных чисел в интервале (0, 1) относительно компактно, ес-

ли рассматривать его как подпространство пространства R1, но оно не будет

относительно компактным как подмножество всех рациональных чисел Q.

Теорема 1. Для того, чтобы множество M , лежащее в полном метрическом

пространстве (X, ρ) было относительно компактным, необходимо и достаточно,

чтобы в X существовала конечная ε – сеть для M .

I Доказательство сразу следует из Теоремы 3 (Хаусдорфа) и того факта,

что замкнутое подмножество полного метрического пространства само полно JЗначение этой теоремы состоит в том, что, как правило, легче установить

существование конечной ε – сети для того или иного множества, чем непосред-

ственно доказать его относительную компактность. Вместе с тем для приложе-

ний в анализе важна именно компактность.

Приложение Теоремы 1 не всегда просто. Для множеств, расположенных

в том или ином конкретном пространстве, можно дать специальные критерии

компактности, более удобные для практического использования. Одним из важ-

121

Page 120: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

нейших метрических пространств является пространство C[a, b]. Для подпро-

странств этого пространства критерий относительной компактности дает тео-

рема Арцела.

Для того, чтобы ее сформулировать нам понадобятся следующие понятия.

Определение 2. Семейство Φ = φ функций φ(x), определенных на от-

резке [a, b], называется равномерно ограниченным, если существует число M ,

что |φ(x)| < M для ∀ x ∈ [a, b] и ∀φ ∈ Φ.

Определение 3. Семейство Φ = φ функций φ(x), определенных на от-

резке [a, b], называется равностепенно непрерывным, если для ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0,

что |φ(x1)− φ(x2)| < ε для ∀x1, x2 ∈ [a, b] таких, что ρ (x1, x2) < δ и ∀φ ∈ Φ.

Теорема 2 (Арцела). Для того, чтобы семейство всех непрерывных функ-

ций, определенных на отрезке [a, b], было относительно компактно в C[a, b],

необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным

и равностепенно непрерывным на [a, b].

1.9 Отображения в метрических пространствах.

Предел отображения

Определение 1. Пусть f : X → Y — отображение метрического простран-

ства (X, ρx) в метрическое пространство (Y, ρy). Говорят, что точка A ∈ Y яв-

ляется пределом отображения f при x → a и пишут limx→a

f(x) = A, если для

любого ε > 0 ∃ δ > 0, что для ∀x ∈ X : 0 < ρx(a, x) < δ ⇒ ρy(A, f(x)) < ε.

Можно дать другое определение предела: в терминах окрестностей или на

языке последовательностей, они вполне аналогичны тем определениям, кото-

рые были даны при рассмотрении отображения в пространстве Rn. Поэтому их

приводить не будем.

Из основных свойств предела отметим единственность предела и существо-

вание предела композиции отображений при определенных условиях.

Определение 2. Колебанием отображения f : X → Y на множестве E ⊂ X

называется величина

ω (f, E) = supx1, x2∈E

ρ(f(x1), f(x2)

).

Имеет место следующий критерий Коши существования предела отображе-

122

Page 121: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ния: для того, чтобы отображение f : X → Y метрического пространства X в

полное метрическое пространство Y имело предел при x → a, необходимо и

достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашелся шар B(a, δ) ⊂ X радиуса δ, на

котором колебание отображения ω (f,B(a, δ)) было меньше ε.

Полнота пространства Y нужна при доказательстве достаточности условия

критерия Коши, само же доказательство критерия аналогично случаю веще-

ственной функции одной переменной.

Непрерывные отображения

Определение 3. Отображение f : X → Y метрического пространства (X, ρx)

в метрическое пространство (Y, ρy) называется непрерывным в точке a ∈ X, ес-

ли для любой окрестности V (f(a)) ⊂ Y точки f(a) ∈ Y найдется окрестность

U(a) ⊂ X точки a ∈ X, образ которой f(U(a)) содержится в V (f(a)). Отображе-

ние f : X → Y называется непрерывным на X, если оно непрерывно в каждой

точке x ∈ X.

Множество непрерывных отображений X в Y обозначается C(X;Y ).

Можно дать другие определения непрерывного отображения в метрических

пространствах: на языке ε− δ и языке "последовательностей".

Определение 4. Отображение f : X → Y непрерывно в точке a ∈ X, если

для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, что для ∀x ∈ X : ρx(a, x) < δ ⇒ ρy(f(a), f(x)) < ε.

Определение 5. Отображение f : X → Y непрерывно в точке a ∈ X, если

для любой последовательности xn, сходящейся к a, последовательность yn =

f(xn) → f(a) ∈ Y .

Если X и Y — числовые множества, то эти определения переходят в извест-

ные определения непрерывности функции математического анализа.

Определение 6. Если отображение f : X → Y метрического пространства

X на метрическое пространство Y взаимно однозначно и взаимно непрерывно

(то есть f и f−1 — непрерывные отображения), то оно называется гомеомор-

физмом, а сами пространства X и Y гомеоморфны между собой.

Частным случаем гомеоморфизма является изометрическое отображение

метрических пространств.

Замечание. Метрические свойства двух гомеоморфных между собой мет-

123

Page 122: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

рических пространств могут быть различны. Так, одно из них может быть пол-

но, а другое — нет. Например, интервал (−π/2, π/2) гомеоморфен всей числовой

прямой (отображение x→ tg x), но при этом прямая — полное пространство, а

интервал — нет.

Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение f : X → Y метрическо-

го пространства X в метрическое пространство Y непрерывно тогда и только

тогда, когда прообраз любого открытого (замкнутого) подмножества Y открыт

(замкнут) в X.

I Поскольку прообраз дополнения есть дополнение прообраза, достаточно

доказать теорему для открытых множеств.

Необходимость. Пусть отображение f непрерывно и Gy — открытое множе-

ство в Y . Докажем, что Gx = f−1(Gy) — открыто в X. Возьмем любую точку

x ∈ Gx и y = f(x). Тогда Gy представляет собой окрестность точки y. По опре-

делению 3 непрерывного отображения найдется такая окрестность U(x) точки

x, что f(U(x)) ⊂ Gy, то есть U(x) ⊂ Gx. Иначе говоря, если x ∈ Gx, то суще-

ствует окрестность U(x) этой точки, содержащаяся в Gx. Это и означает, что

Gx — открыто.

Достаточность. Пусть Gx = f−1(Gy) — открыто в X, если Gy открыто в

Y . Возьмем любую точку x ∈ X и любую окрестность V (y) точки y = f(x).

Поскольку y ∈ V (y), точка x принадлежит множеству f−1(V (y)). Это откры-

тое множество и служит той окрестностью точки x, образ которой y = f(x)

содержится в V (y). Теорема доказана. JИз теоремы следует, что при гомеоморфном отображении f : X → Y мет-

рического пространства X на метрическое пространство Y системы открытых

множеств соответствуют друг другу в том смысле, что Gx ⊂ X ←→ f(Gx) =

Gy ⊂ Y .

Теорема 2 Непрерывное отображение компактного пространства есть ком-

пактное пространство.

I Пусть f : K → Y непрерывное отображение компакта K в метрическое

пространство Y . Рассмотрим какое-либо покрытие Vα пространства f(K) от-

крытыми в Y множествами и положим Uα = f−1(Vα). Множества Uα — открыты

124

Page 123: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

(как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образу-

ют покрытие пространства K. В силу компактности K из этого покрытия мож-

но выбрать конечное покрытие Uk, k = 1, n, множества K. Тогда множества

Vk = f(Uk), k = 1, n, покрывают f(K) ⊂ Y . Таким образом, f(K) — компакт в

Y . IСледствие 1. Пусть K — компактное пространство и f — непрерывная на

нем вещественная функция. Тогда f ограничена на K и достигает там верхней

и нижней граней.

I Функция f есть непрерывное отображение компактаK в пространствоR1.

Образ K вR1 в силу общей теоремы 2 компактен. Но компактное подмножество

из R1 ограничено и замкнуто, а потому не только имеет конечные верхнюю и

нижнюю грани, но и содержит эти грани. JОпределение 7. Отображение f : X → Y метрического пространства X

в метрическое пространство Y называется равномерно непрерывным, если для

любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что на любом множестве E ⊂ X с диаметром

меньше δ колебание ω(f, E) отображения f меньше ε.

На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится теорема

Кантора о равномерной непрерывности.

Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное отображение f : K →

Y метрического компакта K в метрическое пространство Y равномерно непре-

рывно.

I Доказательство теоремы для n-мерного евклидова пространства Rn прак-

тически без изменений переносится на данный случай. JТеорема 4. Взаимно однозначное и непрерывное отображение f : K → Y

компакта K в метрическое пространство Y есть гомеоморфизм.

I Нужно доказать, что из условия теоремы вытекает непрерывность обрат-

ного отображения f−1. Пусть Fk замкнутое подмножество в K, а Fy = f(Fk) —

его образ в Y . Замкнутое подмножество Fk компакта K само является ком-

пактом. Так как отображение f непрерывно, то Fy = f(Fk) тоже компакт, и,

следовательно, замкнутое множество в Y . Отображение f−1 непрерывно по тео-

реме 2. J

125

Page 124: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

1.10 Принцип сжимающих (сжатых) отображений.

В качестве применения понятия полноты метрического пространства рас-

смотрим так называемый принцип сжатых отображений. Он часто применя-

ется для доказательства различных теорем существования и единственности

решений в теории дифференциальных уравнений и в других областях.

Рассмотрим оператор A : X → Y , отображающий метрическое пространство

X в метрическое пространство Y . Если задан некоторый элемент y ∈ Y , то

на соотношение y = A(x) можно смотреть как на уравнение с неизвестным x

и может быть поставлена задача определения всех точек x, в которых A(x)

принимает заданное значение y. В случае, когда элементами пространства X

являются функции, а Y — вещественные числа, уравнение A(x) = y называется

функциональным.

Определение 1. Если A : E → X, то точки x ∈ X, для которых A(x) = x

называются неподвижными точками оператора A.

На равенство A(x) = x можно смотреть как на уравнение и его решение

сводится к отысканию неподвижной точки оператора A. Для отыскания непо-

движных точек часто применяют метод последовательных приближений. Мы

изложим общую схему этого метода, а затем будут указаны некоторые усло-

вия, обеспечивающие его сходимость. Будем полагать, что оператор A задан

на некотором замкнутом множестве F метрического пространства X, непре-

рывен и все его значения также принадлежат множеству F . Возьмем точку

x0 ∈ F и пусть x1 = A(x0). Если бы точка x0 была неподвижной, тогда x1 = x0,

но при произвольном выборе x0, как правило, будет x1 = x0. Далее положим

x2 = A(x1), x3 = A(x2), ..., xn+1 = A(xn). При этом, по условию, если xn ∈ F ,

то и xn+1 ∈ F . Продолжая процесс до бесконечности, получим последователь-

ность точек xn ∈ F, n = 1, 2, ... Если окажется, что существует x∗ = limn→∞

xn (в

этом случае говорят, что процесс сходится), то вследствие замкнутости F будет

x∗ ∈ F . Переходя к пределу в равенстве xn+1 = A(xn) при n → ∞, получим

x∗ = A(x∗), то есть x∗ — неподвижная точка.

Рассмотрим операторы (отображения), для которых неподвижная точка за-

ведомо существует и может быть найдена методом последовательных прибли-

126

Page 125: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

жений (процесс сходится).

Определение 2. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство. Отображение

A : X → X пространства X в себя называется сжимающим (или сжатым), если

для любых двух точек x, y ∈ X выполняется неравенство

ρ(Ax,Ay) ≤ qρ(x, y), 0 < q < 1. (1)

Всякое отображение сжатия непрерывно. Действительно, если xm → x, то в

силу (1) Axm → Ax.

Теорема 1 (Пикара-Банаха — принцип сжимающих отображений). Если

оператор сжатия A : X → X отображает полное метрическое пространство X в

себя, то он имеет единственную неподвижную точку и она может быть получена

методом последовательных приближений при любом начальном значении x0 ∈

X.

I Возьмем произвольное x0 ∈ X. Из формулы xn+1 = A(xn) и условия (1)

получим при любом n: ρ (xn, xn+1) = ρ(A(xn−1), A(xn)) ≤ qρ(xn−1, xn). Повторяя

эту процедуру n раз, находим ρ (xn, xn+1) ≤ qρ(xn−1, xn) ≤ ... ≤ qnρ(x0, x1).

Покажем, что последовательность xn — фундаментальная. Пусть m ≥ n,

тогда

ρ (xn, xm) ≤ qnρ(x0, xm−n) ≤ qn[ρ (x0, x1) + ρ(x1, x2) + ...+ ρ(xm−n−1, xm−n)

]≤

≤ qnρ (x0, x1)(1 + q + q2 + ...+ qm−n−1) ≤ qnρ (x0, x1)1

1− q. (2)

Так как q < 1, то при n→∞ ρ (xn, xm)→ 0.

В силу полноты пространства X фундаментальная последовательность xn

имеет предел: x = limn→∞

xn. Переходя к пределу в равенстве xn+1 = A(xn), полу-

чим x = A(x), то есть x — неподвижная точка оператора A.

Единственность неподвижной точки можно доказать из условия сжатия (1).

Если x и y — две неподвижные точки, то ρ (x, y) = ρ (A(x), A(y)) ≤ qρ (x, y)

откуда следует ρ (x, y) = 0, то есть x = y. JЗамечание 1. Если в неравенстве (2) перейти к пределу при m → ∞, то

получим

ρ(xn, x) ≤ qnρ(x0, x1)1

1− q.

127

Page 126: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Это есть оценка погрешности, получающаяся при замене x на xn. Эта погреш-

ность убывает со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q < 1.

Кроме того, из данной оценки видно, что при одном и том же n точность при-

ближения тем выше, чем ближе x1 к x0, поэтому, если положение точки x при-

близительно известно, то для вычислений выгодно взять x0 вблизи x, тогда и

x1 = A(x0) будет близко от x, следовательно, и от x0.

Замечание 2. Так как замкнутое множество полного метрического про-

странства X само является полным метрическим пространством, то теорема 1

верна и для оператора сжатия, заданного не на всем X, а на его подмноже-

стве F , если множество значений оператора также содержится в F . При этом

за начальную точку процесса последовательных приближений можно принять

любую точку x0 ∈ F .

1.11 Некоторые приложения принципа сжатых отображений

Принцип сжатых отображений может быть применен к доказательству тео-

рем существования и единственности решений для уравнений различных ти-

пов. Одновременно с доказательством существования и единственности реше-

ния уравнения Ax = x принцип сжатых отображений дает и фактический метод

приближенного нахождения этого решения.

1. Пусть функция f определена на [a, b], удовлетворяет условию Липшица

|f(x2) − f(x1)| ≤ L|x2 − x1| с константой L < 1 и отображает отрезок [a, b] в

себя. Тогда f есть сжатое отображение по определению 2 и последовательность

x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), ... сходится к единственному корню уравнения x =

f(x).

В частности, условие сжатости будет выполнено, если функция имеет на

[a, b] производную f ′(x), причем |f ′(x)| ≤ L < 1.

Пусть имеем уравнение вида F (x) = 0, причем F (a) < 0, F (b) > 0 и 0 <

K1 ≤ F ′(x) ≤ K2 на [a, b]. Для отыскания корня введем функцию f(x) = x −

λF (x) и будем искать решение уравнения f(x) = x ⇐⇒ F (x) = 0. Так как

f ′(x) = 1 − λF ′(x), то 1 − λK2 ≤ f ′(x) ≤ 1 − λK1 и нетрудно подобрать λ так,

чтобы можно было действовать методом последовательных приближений. Это

распространенный метод отыскания корня уравнения.

128

Page 127: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

2. Рассмотрим отображение A : Rn → Rn пространства Rn в себя, задавае-

мое системой линейных уравнений

yi =n∑

j=1

aijxj + bi, i = 1, n, (y = Ax+ b).

Если A есть сжатое отображение, то мы можем применить метод последователь-

ных приближений к решению уравнения x = Ax. При каких условиях отобра-

жение A будет сжатым, ответ на вопрос зависит от выбранной метрики.

а) Евклидово пространство Rn, то есть ρ (x, y) =√

n∑i=1

(xi − yi)2. На основа-

нии неравенства Коши-Буняковского имеем

ρ2(y′, y′′) =∑i

(∑j

aij(x′j − x′′j )

)2

(∑i

∑j

a2ij

)ρ2(x′, x′′).

Отсюда получим условие сжатости∑i,j

a2ij ≤ q < 1.

б) Пространство Rn с метрикой ρ0(x, y) = maxi|xi − yi|. Условие сжатости

n∑j=1

|aij| ≤ q < 1, i = 1, n.

в) Пространство Rn с метрикой ρ1(x, y) =n∑

i=1

|xi − yi|. Условие сжатостиn∑

i=1

|aij| ≤ q < 1, j = 1, n.

Каждое из условий достаточно для сжатости отображения y = Ax. Ни одно

из них не является необходимым для применения метода последовательных

приближений.

1.12 Топологические пространства

В теории метрических пространств мы вводили основные понятия — окрест-

ности, предельной точки, открытого множества и другие, с помощью метрики,

заданной в этом пространстве. Можно использовать другой путь, и не вводя

метрику в множестве X, непосредственно определить в X систему открытых

множеств путем аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим простран-

ствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой

хоть и весьма важный, но частный случай.

Определение 1. Множество X называется топологическим пространством,

если в нем выделена любая система τ его подмножеств G. называемая тополо-

гией, удовлетворяющая следующим требованиям:

129

Page 128: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

1) пустое множество ∅ и само X входят в τ ;

2) объединение∪α

Gα любого числа множеств Gα ∈ τ принадлежит τ ;

3) пересечение∩k

Gk конечного числа множеств Gk ∈ τ принадлежит τ .

Множества, принадлежащие системе τ , называются открытыми.

Таким образом, множество X с заданной в нем топологией τ называется то-

пологическим пространством и обозначается (X, τ). Элементы топологического

пространства называются точками.

Задать топологическое пространство — это значит задать некоторое множе-

ство X и в нем топологию τ , то есть указать те подмножества, которые счи-

таются в X открытыми. Ясно, что в одном множестве можно вводит разные

топологии и получать разные топологические пространства.

Множества F = X\G, дополнительные к открытым, называются замкнуты-

ми множествами топологического пространства X. Из аксиом 1) – 3), в силу

соотношений двойственности, вытекает:

1’) пустое множество ∅ и все X замкнуты;

2’) пересечение∩α

Fα любого числа замкнутых множеств Fα ∈ X замкнуто;

3’) объединение∪k

Fk конечного числа замкнутых множеств Fk ∈ X замкнуто.

130

Page 129: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

И ОПЕРАТОРЫ

2.1 Линейные пространства

Понятие линейного или векторного пространства известно из курса алгеб-

ры. Здесь мы просто напомним некоторые понятия линейной зависимости или

независимости векторов, базиса пространства и другие.

Определение 1. Непустое множество элементов L называется линейным

или векторным пространством, если:

1) для любых элементов x и y однозначно определен элемент z ∈ L, называе-

мый их суммой и обозначаемый z = x+ y;

2) для любого числа λ ∈ R1 и любого x ∈ L определен элемент λx ∈ L, назы-

ваемый произведением элемента на число.

Таким образом, в линейном пространстве определены операции сложения

элементов и умножения на число, результатом которых является элемент этого

пространства.

Введенные арифметические операции должны удовлетворять известным из

алгебры условиям, которые называются аксиомами линейного пространства.

Определение 2. Элементы x1, x2, ..., xn линейного пространства L называ-

ются линейно зависимыми, еслиn∑

i=1

λixi = 0, где не все числа λi равны нулю. В

противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Если в пространстве L существуют n линейно независимых элементов, а

любые (n + 1) элементов линейно зависимы, то говорят, что пространство L

имеет размерность n. Если же в пространстве L можно указать систему из

любого конечного числа линейно независимых элементов, то пространство L

называют бесконечно мерным.

Любая система из n линейно независимых элементов n - мерного простран-

ства L называется базисом этого пространства.

Определение 3. Непустое множество E ⊂ L называется подпространством

L, если оно само является пространством по отношению к операциям сложения

элементов и умножения на число, определенным в L.

Очевидно, что пересечение любого множества подпространств из L есть сно-

131

Page 130: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ва подпространство. В самом деле, если L∗ =∩

α Lα, Lα ⊂ L, и x, y ∈ L∗, то и

λx+ µy ∈ L∗ при ∀λ, µ.

Пусть E некоторое множество в L, тогда существует наименьшее линейное

множество L(E), содержащее E. Это будет пересечение всех линейных мно-

жеств, содержащих E. Множество L(E) называется линейной оболочкой мно-

жества E.

Любая система линейно независимых элементов xα ⊂ L называется ал-

гебраическим базисом линейного пространства L, если линейная оболочка этих

элементов L(xα) ⊂ L.

Определение 4. Линейные пространства L и L∗ называются изоморфны-

ми, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соот-

ветствие, которое согласовано с операциями сложения элементов и умножения

на число в L и L∗. Это означает, что из соответствия

x←→ x∗, y ←→ y∗, x, y ∈ L, x∗, y∗ ∈ L∗

следует x+ y ←→ x∗ + y∗, λx←→ λx∗.

Соответствующее взаимно однозначное отображение пространств в этом слу-

чае называется изоморфным.

Примером изоморфных линейных пространств могут служить пространство

Rn и пространство многочленов степени не выше (n− 1).

2.2 Линейные нормированные пространства

Определение 1. Линейное пространство L называется нормированным, ес-

ли каждому элементу x ∈ L поставлено в соответствие вещественное число, на-

зываемое его нормой и обозначаемое || x||, которое удовлетворяет следующим

условиям:

1) ||x|| = 0⇐⇒ x = θ (невырожденность);

2) ||λx|| = |λ| || x|| (однородность);

3) ||x+ y|| ≤ ||x||+ || y|| (неравенство треугольника).

Норма всегда неотрицательна, действительно из 3) при x = −y =⇒ 2||x|| ≥ 0.

Если условие 1) Определения 1 заменить на || x|| ≥ 0 для ∀x ∈ L, то вели-

чина || x|| называется полунормой, а пространство L полунормированным.

Определение 2. Две нормы || x|| и ||x||∗ в линейном пространстве L назы-

132

Page 131: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ваются эквивалентными, если существует такие постоянные C1 > 0 и C2 > 0,

что C1||x|| ≤ || x||∗ ≤ C2|| x|| для ∀x ∈ L.

Можно доказать, что в конечномерном линейном пространстве все нормы

эквивалентны.

Всякое линейное нормированное пространство L становится метрическим

пространством, если для ∀x, y ∈ L положить

ρ (x, y) = ||x− y|| (1)

Поскольку x − θ = x, то ||x|| = ρ (θ, x), то есть норма элемента x равна его

расстоянию от элемента θ.

Справедливость аксиом метрического пространства для метрики (1) непо-

средственно следует из аксиом нормированного пространства. Таким образом

на нормированные пространства переносятся все свойства и понятия метриче-

ского пространства.

Метрика в нормированном пространстве обладает двумя дополнительными

свойствами:

1) она инвариантна относительно переносов

ρ (x+ a, y + a) = || (x+ a)− (y + a)|| = ||x− y|| = ρ (x, y).

2) и однородна

ρ (λx, λy) = ||λx− λy|| = ||λ(x− y)|| = |λ||| x− y|| = |λ| ρ (x, y)

Определение 3. Полное нормированное пространство с метрикой (1) на-

зывается Банаховым пространством или B – пространством. Эти пространства

играют важную роль в функциональном анализе.

Многие из рассмотренных ранее метрических пространств могут быть наде-

лены структурой нормированного пространства.

Предварительно рассмотрим некоторые неравенства.

а) Неравенство Юнга. Пусть 0 < α < 1, тогда функция f(x) = xα−αx+α−

1 ≤ 0 при ∀x ≥ 0.

Пусть α > 0, b > 0, p > 1, p−1+q−1 = 1. Подставив в функцию f(x) значения

x = a/b, α = 1/p, получим неравенство Юнга

a1/p · b1/q ≤ a p−1 + b q−1. (2)

133

Page 132: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

б) Неравенство Гёльдера. Подставив в (2)

a = xpi /n∑

j=1

xpj , b = yqi /n∑

j=1

yqj ,

получимxiyi

(∑j

xpj)1/p (

∑j

yqj )1/q≤ 1

p

xpi∑j

xpj+

1

q

yqi∑j

yqj.

Просуммировав по i от 1 до n, придем к неравенству Гёльдера

n∑i=1

xiyi ≤

(n∑

i=1

xpi

)1/p( n∑i=1

yqi

)1/q

. (3)

в) Неравенство Миньковского. Запишем тождествоn∑

i=1

(xi + yi)p =

n∑i=1

xi(xi + yi)p−1 +

n∑i=1

yi(xi + yi)p−1.

Применив к каждому из членов правой части неравенство Гёльдера и произведя

сокращения, получим неравенство Миньковского[n∑

i=1

(xi + yi)p

]1/p≤

(n∑

i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

yqi

)1/q

. (4)

Существуют интегральные формы неравенств Гёльдера и Миньковского.

Рассмотрим примеры нормированных пространств.

1. Пространство R1 становится нормированным, если положить для ∀ x ∈

R1: ||x|| = | x|.

Пространство Rn с элементами x = (x1, x2 < ..., xn) будет нормированным,

если положить ||x|| =√

n∑k=1

x2k. Формула ρ (x, y) = || x−y|| определяет евклидову

метрику. В этом пространстве можно ввести другие нормы

||x||1 =n∑

k=1

|xn| и || x|| 0 = maxk|xk|

они приводят к известным метрикам ρ 1 и ρ0.

Если для вектора x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn положить

|| x|| p =

(n∑

k=1

|xk|p)1/p

, p ≥ 1, (6)

то мы получим нормированное пространство, которое обозначают Rnp . С по-

мощью неравенства Миньковского можно установить, что || x|| p действительно

является нормой.

134

Page 133: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Можно доказать, что

|| x|| p2 ≤ || x|| p1 , если 1 ≤ p1 ≤ p2,

и ||x|| p → maxkxk = || x|| 0 при p→∞.

Очевидно

||x||0 ≤ || x||p ≤ || x||1 ≤ n||x|| p=∞ при p ≥ 1.

Из Определения 3 следует, что Rnp – Банахово пространство.

2. Пространство ℓp, p ≥ 1 – пространство всех числовых последовательно-

стей, для которых ряд∞∑k=1

| x|p сходится. Для ∀x ∈ ℓp положим

||x||p =

(∞∑k=1

|x|p)1/p

(7)

С помощью неравенства Миньковского можно показать, что ℓp является Бана-

ховым пространством с нормой (7).

3. Пространство C[a, b] всех непрерывных функций на отрезке [a, b]. Опре-

делим норму формулой

|| f(x)|| = maxx∈ [a,b]

| f(x)| (8)

Метрика, соответствующая этой норме, совпадает с рассмотренной ранее, а про-

странство является полным. Таким образом, пространство C[a, b] с нормой (8)

является Банаховым.

Если в C[a, b] ввести другую норму

|| f(x)|| =(∫ b

a

| f(x)|p dx)1/p

, p ≥ 1, (9)

которая сводится к норме (8) при p → ∞, то пространство C[a, b] при 1 ≤ p ≤

+∞ уже не будет полным.

4. В пространстве m ограниченных последовательностей x = (x1, x2, ..., xn, ...)

положим ||x|| = supk|xk|. Условия нормы будут выполнены, метрика совпадает

с рассмотренной ранее.

2.3 Сходимость в нормированном пространстве

Если применить общее определение сходимости последовательности в метри-

ческом пространстве к нормированному пространству, то получим: сходимость

135

Page 134: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

xm → x означает, что || xm − x|| → 0 при m → ∞. Эту сходимость называют

сходимостью по норме. Очевидно, что справедлива теорема о единственности

предела (для полунормы эта теорема вообще говоря не имеет места).

По общим свойствам метрики в метрическом пространстве ρ (x, y) = ||x−y||

– непрерывная функция своих аргументов, то есть, если xm → x, ym → y, то

|| xm − ym|| → || x− y||. В частности, полагая все ym = θ, получим, что ||xm|| →

|| x|| при xm → x (непрерывность нормы). Однако из того, что ||xm|| → ||x|| не

следует, что xm → x (то есть, что ||xm − x|| → 0).

Фундаментальная последовательность xm в нормированном пространстве

X, в соответствии с определением метрики, характеризуется условием || xm −

xn|| → 0 при m,n → ∞. Из теоремы об ограниченности фундаментальной по-

следовательности следует, что нормы элементов любой фундаментальной по-

следовательности в совокупности ограничены.

Условие полноты нормированного пространства X выглядит так: из того,

что || xm − x|| → 0 следует существование элемента x ∈ X, что xm → x при

m→∞.

Свойство непрерывности основных арифметических операций в нормиро-

ванном пространстве.

а) Если xm → x, ym → y, то xm + ym → x+ y.

I || (xm + ym)− (x+ y)|| = || (xm − x) + (ym − y)|| ≤

≤ || xm − x||+ || ym − y|| → 0, m→∞. Jб) Если xm → x, λm → λ, то λmxm → λx.

I ||λmxm − λx|| = ||λm(xm − x) + (λm − λ)x|| ≤

≤ |λm| || xm − x||+ |λm − λ| ||x|| → 0, m→∞. JДля ограниченного множества в линейном нормированном пространстве X

можно дать другое определение, равносильное общему определению в произ-

вольном метрическом пространстве.

Определение 1. Множество E ⊂ X ограничено, если нормы всех его эле-

ментов в совокупности ограничены.

Докажем эквивалентность определений.

I Действительно, если множество E ограничено по общему определению, то

136

Page 135: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

оно содержится в некотором шаре E ⊂ B(x0, r). Следовательно, для ∀x ∈ E

будет ρ (x0, x) = ||x− x0|| ≤ r, а тогда

|| x|| = || (x− x0) + x0|| ≤ ||x− x0||+ ||x0|| ≤ r + ||x0||.

Обратно, если ||x|| ≤ r для ∀x ∈ E, то E ⊂ B(θ, r) и тем самым E ограничено

по общему определению. JМожно дать другое определение эквивалентности норм в линейном норми-

рованном пространстве.

Определение 2. Две нормы в линейном нормированном пространстве X

называются эквивалентными, если из сходимости последовательности xm → x

в одной норме следует сходимость к этому же элементу в другой норме.

Теорема 1. Всякое линейное нормированное пространство содержится и

плотно в некотором B – пространстве.

I Пусть X – линейное нормированное пространство и X∗ – его пополнение

как метрического пространства. С точностью до изометрии X ⊂ X∗. В силу

плотности X в X∗ для ∀ x, y ∈ X∗ существуют последовательности xn и yn из

X такие, что xn → x, yn → y при n → ∞. Покажем, что последовательность

xn + yn сходится. Действительно,

ρ (xm + ym, xn + yn) = || (xm + ym)− (xn + yn)|| ≤

≤ || xm − xn||+ || ym − yn|| = ρ (xm, xn) + ρ (ym, yn)→ 0,

так как последовательности xn и yn – фундаментальные. В силу полноты

X∗ последовательность xn + yn сходится в X∗. Положим по определению

x+ y = limn→∞

(xn + yn).

Аналогично с помощью предельного перехода определим и элемент λx, x ∈

X∗.

Можно доказать, что определенные так алгебраические операции x+ y и λx

для элементов пространства X∗ не зависят от выбора последовательностей xn

и yn из X. Если элементы x, y ∈ X, то легко убедиться, что определенные

нами алгебраические операции совпадают с заданными на X.

Определим теперь норму для ∀ x ∈ X∗. Пусть xn ∈ X и limn→∞

xn = x. Пока-

жем, что последовательность ||xn|| – фундаментальна в X. Для ∀m,n

| ||xm|| − || xn|| | ≤ ||xm − xn|| = ρ (xm, xn) (1)

137

Page 136: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Так как последовательность xn сходится, то она фундаментальна, поэтому

из (1) следует, что и числовая последовательность ||xn|| фундаментальна и

сходится.

Положим по определению ||x|| = limn→∞

||xn||.

Так определенная норма ||x|| не зависит от выбора последовательности xn

из X такой, что xn → x. Легко проверить для ||x|| выполнение аксиом нормы

и что в случае x ∈ X мы получим прежнюю норму. J

Определение 3. Последовательность en, n = 1, 2, ... элементов полного

линейного нормированного пространства B называется его базисом, если любое

конечное число элементов ei линейно независимы и если любой элемент x ∈ B

представим единственным образом в виде

x =∞∑n=1

λnen, где λn ∈ R1. (2)

Эта формула называется разложением элемента x ∈ B по базису en. Таким

образом, если последовательность en является базисом пространства B, то

для каждого x ∈ B существует единственная последовательность чисел λn

такая, что для ∀ ε > 0 ∃nε, что при ∀n > nε

|| x− (λ1e1 + ...+ λnen)|| < ε.

Если Банахово пространство имеет базис из счетного или конечного множе-

ства элементов, то это пространство сепарабельно. Действительно, легко про-

верить, что множество всех конечных линейных комбинаций элементов ука-

занного базиса с рациональными коэффициентами счетно и плотно во всем

пространстве.

Существуют сепарабельные Банаховы пространства, в которых нет счетного

базиса.

2.4 Линейные операторы

Определение 1. Отображение A : X → Y , где X и Y – линейные простран-

ства, называется линейным оператором, если для любых элементов x, x1, x2 ∈ X

и ∀λ ∈ R1 будет

A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2),

A(λx) = λA(x)

Если Y – числовое множество, то отображение A(x) называется линейным

138

Page 137: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

функционалом.

Определение 2. Пусть A : X → Y – линейный оператор, где X, Y – линей-

ные нормированные пространства. Величина

||A|| = supx∈X

||A(x)||Y||x||X

, x = θ (1)

называется нормой линейного оператора. Дальше индексы у норм опускаем.

Пользуясь свойством нормы вектора и оператора равенство (1) запишем в

виде

||A|| = supx =θ||A

(x

||x||

)|| = sup

|| e||=1

||Ae|| (2)

Из Определения 2 следует, если норма оператора конечна, то

||A(x)|| ≤ ||A|| ||x||, x ∈ X (3)

Определение 3. Линейный оператор A : X → Y называется ограниченным,

если существует число M > 0, что для ∀ x ∈ X

||A(x)|| ≤M || x|| (4)

Если норма оператора конечна, то она равна inf M всех чисел M для

которых выполняется неравенство (4).

Таким образом, ограниченными являются только те операторы, которые

имеют конечную норму. В конечномерных линейных пространствах все нор-

мы эквивалентны и конечны. Поэтому любой линейный оператор A : X → Y в

случае конечномерных пространств X и Y ограничен при любом выборе норм

в этих пространствах.

Из формулы (2) ясен геометрический смысл нормы линейного оператора

A : Rn →Rm. В этом случае сфера || e|| = 1 пространства Rn переходит в неко-

торый эллипсоид в Rm, а норма оператора A является наибольшей из полуосей.

В случае пространства бесконечной размерности норма оператора A не обя-

зательно будет конечной.

Так как всякое линейное нормированное пространство является метриче-

ским пространством, то можно говорить о непрерывности линейного оператора.

139

Page 138: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема 1. Если A : X → Y – линейный оператор, X и Y – линейные

нормированные пространства, то следующие условия равносильны:

a) A имеет конечную норму;

b) A – ограниченный оператор;

c) A – непрерывный оператор;

d) A – непрерывен в точке x = θ ∈ X.

I Докажем замкнутую цепочку импликаций a) =⇒ b) =⇒ c) =⇒ d). Ввиду

неравенства (3) очевидно a) =⇒ b). Проверим, что из b) =⇒ c), то есть, что из

(4) =⇒ c). Учитывая линейность оператора A, можно записать

A(x+ h)− A(x) = A(h)

В силу (4) получим оценку

||A(x+ h)− A(x)|| ≤M ||h|| → 0 при h→ 0

из которой следует непрерывность оператора A в точке x ∈ X.

В частности, если x = θ, то из c) =⇒ d). Осталось показать, что из d) =⇒ a).

Если оператор A непрерывен в точке x = θ, то для ∀ ε > 0 найдем δ(ε) > 0 так,

чтобы при max||x|| < δ иметь ||A(x)|| < ε. Тогда для любого единичного

вектора e ∈ X получаем

||A(e)|| = 1

δ||A(δe)|| < ε

δ

То есть ||A|| ≤ ε/δ < +∞ J

Теорема 2. ЕслиX, Y, Z – линейные нормированные пространства иA : X →

Y , B : Y → Z, где A, B – линейные ограниченные операторы, то норма компо-

зиции операторов B · A : X → Z ограничена и ||B · A|| ≤ ||B|| · ||A||.

I Для ∀ x ∈ X имеем

|| (B · A)(x)|| = ||B(A(x))|| ≤ ||B|| ||A(x)|| ≤ ||B|| ||A|| || x||

В силу неравенства (4) получаем требуемый результат. JОбозначим L(X,Y ) – множество всех линейных непрерывных операторов

A : X → Y , для которых положим

(A+B)(x) = A(x) +B(x), (λA)(x) = λA(x)

140

Page 139: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Очевидно, если A,B ∈ L(X,Y ), то (A + B) ∈ L(X,Y ), λA ∈ L(X,Y ). Таким

образом L можно рассматривать как линейное пространство. Его называют

линейным пространством, сопряженным с X.

Теорема 3. Норма линейного оператора A : X → Y является нормой в ли-

нейном пространстве L(X, Y ) всех непрерывных линейных операторов.

I Согласно Теореме 1, для любого непрерывного оператора A ∈ L(X, Y )

определено число ||A|| < +∞. Неравенство (3) показывает, что ||A|| = 0 ⇐⇒

A = θ. Если A и B – два элемента пространства L(X,Y ), то

||A+B|| = supx =θ

|| (A+B)(x)||||x||

= supx =θ

||A(x) +B(x)||||x||

≤ supx =θ

||A(x)|||| x||

+ supx =θ

||B(x)||||x||

= ||A||+ ||B||,

||λA|| = supx=θ

|| (λA)(x)|||| x||

= supx =θ

|λ| ||A(x)||||x||

= |λ| ||A||

Таким образом все аксиомы нормы выполнены. JТеперь под символом L(X,Y ) будем иметь в виду нормированное простран-

ство линейных непрерывных операторов.

2.5 Последовательности линейных операторов

В пространстве линейных операторов L(X, Y ) можно ввести различные ви-

ды сходимости.

Определение 1. Пусть An – последовательность линейных операторов

пространства L(X,Y ): An : X → Y , где X, Y – нормированные пространства.

Последовательность операторов An называется равномерно сходящейся к опе-

ратору A : X → Y , если ||An − A|| → 0 при n → ∞. Эту сходимость называют

также сходимостью по норме или сильной сходимостью и обозначают An =⇒ A,

n→∞.

Определение 2. Последовательность An линейных операторов простран-

ства L(X, Y ) называется точечно сходящейся к оператору A : X → Y , если

limn→∞

An(x) = A(x) для ∀x ∈ X. Точечную сходимость называют также слабой

сходимостью и обозначают An → A, n→∞.

Легко убедиться, что из равномерной сходимости последовательности An ⊂

L(X,Y ) следует точечная сходимость, обратное утверждение не имеет места.

141

Page 140: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Название равномерной сходимости оправдано тем, что если An =⇒ A, то

An(x) ⇒ A(x) относительно x в любом шаре B∗(θ, r), (||x|| ≤ r).

I Действительно, для ∀ ε > 0 выберем n > nε: ||An − A|| < ε/r, тогда

||An(x)− A(x)|| ≤ ||An − A|| || x|| < ε для ∀x ∈ B∗(θ, r)

Обратно, если An(x) ⇒ A(x) равномерно для ∀x ∈ B∗(θ, r), то An(x) ⇒ A(x)

равномерно и при x ∈ B∗(θ, 1), то есть ||An − A|| < ε. J

Лемма 1. Если последовательность An линейных операторов точечно схо-

дится к оператору A : X → Y и нормы операторов An в совокупности ограни-

чены, то предельный оператор тоже линеен и ограничен.

I Для ∀ x, y ∈ X:

A(x+ y) = limn→∞

An(x+ y) = limn→∞

(An(x) + An(y)) =

= limn→∞

An(x) + limn→∞

An(y) = A(x) +B(y),

A(λx) = limn→∞

An(λx) = limn→∞

λA(n(x) = λ limn→∞

An(x) = λA(x).

Линейность оператора A доказана.

По условию ||An(x)|| ≤ C||x|| для ∀n, C > 0 – const. Переходя к пределу

при n→∞, получим

||A(x)|| ≤ C || x|| для ∀x ∈ X J

Теорема 1. Если Y – банахово пространство, то и L(X;Y ) также является

банаховым пространством.

I Пусть An – фундаментальная последовательность операторов в L(X;Y ),

сходящаяся в себе по норме этого пространства: ||Am − An|| → 0, m,n → ∞.

Поскольку при ∀ x ∈ X

||Am(x)− An(x)|| = || (Am − An)(x) ≤ ||Am − An|| || x||,

то ясно, что при ∀ x ∈ X последовательность Anx – фундаментальна в Y .

Так как Y – полное пространство, то эта последовательность имеет предел в

Y , который обозначим limn→∞

An(x) = A(x). Покажем, что A : X → Y – линейный

ограниченный (следовательно непрерывный) оператор. Линейность следует из

равенств

limn→∞

An(λ1x1 + λ2x2) = limn→∞

(λ1Anx1 + λ2Anx2) =

142

Page 141: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

= λ1 limn→∞

Anx1 + λ2 limn→∞

Anx2.

Далее, при ∀ ε > 0 ∃nε, что при ∀m,n > nε

||Am − An|| < ε =⇒ ||Amx− Anx|| ≤ ε||x|| для ∀ x ∈ X

Устремляя в последнем неравенстве m→∞ и пользуясь непрерывностью нор-

мы, получим

||Ax− Anx|| ≤ ε || x||

Таким образом, ||A−An|| ≤ ε и ||A|| ≤ ||A−An||+ ||An|| ≤ ε+ ||An||, оператор

A – ограничен.

Следовательно, мы доказали, что A ∈ L(X;Y ) и ||A− An|| → 0, n→∞, то

есть A = limn∞

An в смысле нормы пространства L(X;Y ). J

Теорема 2 (Банаха – Штейнгауза). Если последовательность линейных опе-

раторов An, определенных на банаховом пространстве B, ограничена в каж-

дой точке x ∈ B, то последовательность норм этих операторов ||An|| также

ограничена.

I Без доказательства. J

2.6 Распространение линейных операторов

Определение 1. Пусть E ⊂ X – некоторое подмножество нормированного

пространства X, а A : E ⊂ X → Y – линейный оператор, заданный на E,

со значениями в нормированном пространстве Y . Если существует линейный

оператор U : X → Y такой, что Ux = Ax для ∀x ∈ E, то оператор U называется

распространением оператора A с пространства E на пространство X.

Ясно, что с расширением области задания оператора A с E на X, его норма

не может уменьшиться, то есть ||A||E ≤ ||U ||X . Если ||A||E = ||U ||X , то говорят,

что распространение осуществлено с сохранением нормы.

Теорема 1. Пусть X – нормированное пространство, E ⊂ X – всюду плот-

ное в X подмножество, A : E ⊂ X → Y – линейный ограниченный оператор

со значениями в банаховом пространстве Y . Тогда оператор A допускает един-

ственное распространение с E на все X и притом с сохранением нормы.

I Так как E всюду плотно в X, то для каждой точки x ∈ X существует

последовательность xn ⊂ E, что x = limn→∞

xn. Поскольку последовательность

143

Page 142: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

xn фундаментальна, то ||xm − xn|| → 0 при m,n → ∞. Из ограниченности

оператора A следует

||Axm − Axn|| = ||A(xm − xn)|| ≤ ||A|| || xm − xn||,

а потому последовательность Axn тоже фундаментальна. Вследствие полно-

ты пространства Y существует y = limn→∞

Axn, y ∈ Y .

Покажем, что элемент y не зависит от выбора последовательности xn.

Пусть x′n – другая последовательность, что x′n → x, тогда x′n − xn → 0 и

Ax′n − Axn = A(x′n − xn) → θ по непрерывности оператора A. Следовательно

limn→∞

Ax′n = limn→∞

Axn = y.

Теперь определим оператор U на всем пространстве X, полагая для ∀x ∈ X

U(x) = limn→∞

A(xn), (1)

где xn ∈ E и xn → x ∈ X. Покажем, что это и есть искомое распространение

оператора A.

Так как для x ∈ E можно принять все xn = x, то из (1) следует U(x) = A(x).

Проверим линейность U :

U(x+ y) = limn→∞

A(xn + yn) = limn→∞

(Axn + Ayn) =

= limn→∞

A(xn) + limn→∞

A(yn) = U(x) + U(y),

U(λx) = limn→∞

A(λxn) = limn→∞

λA(xn) = λ limn→∞

A(xn) = λU(x).

Наконец проверим, что ||U ||X = ||A||E. Пусть x ∈ X, xn ∈ E и xn → x.

Переходя к пределу в неравенстве ||A(xn)|| ≤ ||A|| || xn|| и учитывая непрерыв-

ность нормы, получим ||U(x)||X ≤ ||A||E||x||X , то есть оператор A ограничен

и так как ||U ||X ≥ ||A||E, то ||U ||X = ||A||E.

Докажем единственность распространения оператора U . Пусть V – другое

распространение оператора A с E на X. Если x ∈ X, xn ∈ E и xn → x, то по

непрерывности оператора V

V (x) = limn→∞

V (xn) = limn→∞

A(xn) = U(x),

(для xn ∈ E будет V = A), то есть оператор V совпадает с U . J

2.7 Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах

Определение 1. ПустьX,Y – нормированные линейные пространства. Отоб-

ражение f : E ⊂ X → Y называется дифференцируемым в точке x ∈ E, внут-

144

Page 143: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ренней для E, если существует такое линейное относительно h непрерывное

отображение L(x) : E ⊂ X → Y , что

f(x+ h)− f(x) = L(x)h+ α(x;h), (1)

где α(x;h) = o(h) при h→ θ, x+ h ∈ E Последняя запись означает, что

limh→θ

||α(x;h)||Y||h||X

= 0.

Определение 2. Линейный относительно h оператор L(x) ∈ L(X, Y ), удо-

влетворяющий соотношению (1), называется дифференциалом, касательным

отображением или производной отображения f : E ⊂ X → Y в точке x.

Ввиду требования непрерывности отображения L(x) в Определении 1, из

равенства (1) следует, что отображение, дифференцируемое в точке x ∈ E,

необходимо является непрерывным в этой точке.

Приведенное определение дифференцируемого отображения в нормирован-

ных пространствах почти дословно совпадает с определением для евклидовых

пространств X = Rn, Y = Rm.

Сформулированные ниже теоремы доказываются также как аналогичные

теоремы конечномерных пространств, поэтому мы приводим их без доказатель-

ства.

Теорема 1. Если отображение f : E ⊂ X → Y дифференцируемо во внут-

ренней точке x ∈ E ⊂ X, то его дифференциал L(x) в этой точке определен

однозначно.

Теорема 2. Если отображение f : U → V дифференцируемо в точке x ∈

U ⊂ X, а отображение g : V → Z дифференцируемо в точке y = f(x) ∈ V ⊂ Y ,

то композиция g f этих отображений дифференцируема в точке x, причем

(g f)′(x) = g′(f(x)) f ′(x)

(дифференциал композиции равен композиции дифференциалов).

Теорема 3. Пусть f : U ⊂ X → Y – непрерывное в точке x ∈ U ⊂ X

отображение, имеющее обратное f−1 : V ⊂ Y → X, определенное в окрестности

точки y = f(x) ∈ V и непрерывное в этой точке.

145

Page 144: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Если отображение f дифференцируемо в точке x и его касательное отобра-

жение f ′(x) ∈ L(X;Y ) в этой точке имеет непрерывное обратное отображение

[f ′(x)]−1 ∈ L(Y ;X), то отображение f−1 дифференцируемо в точке y = f(x),

причем

[f−1]′(y) = [f ′(x)]−1.

2.8 Линейные функционалы

Линейный оператор A : X → Y , где X,Y – линейные пространства, причем

Y ⊂ R1 – пространство вещественных чисел, называется линейным функцио-

налом. Функционал часто обозначают как обычную функцию, например f .

Поскольку линейный функционал является частным случаем линейного опе-

ратора, то все утверждения, справедливые для линейных операторов, будут

иметь место и для линейных функционалов.

Определение 1. Непустое множество M элементов линейного множества

X называется линейным многообразием, если оно содержит вместе с элемента-

ми xk, k = 1, 2, .. пространства X и все их линейные комбинации (k может

принимать и конечное число значений).

Если на линейном пространстве задан оператор или функционал,определенный

не на всем X, а на некотором многообразии M ⊂ X, то возникает вопрос о его

продолжении с сохранением свойств на все пространство X. Для линейных опе-

раторов и функционалов данный вопрос решается легко, если исходный опера-

тор задан на линейном многообразии M ⊂ X, всюду плотном в X (Теорема 1 п.

2.6). Если задан линейный непрерывный функционал на многообразии M ⊂ X,

не обязательно всюду плотном в X, то его можно продолжить с сохранением

нормы.

Теорема 1 (Банаха -Хана). Всякий линейный функционал f , определенный

на линейном многообразии M ⊂ X, где X – линейное нормированное простран-

ство, можно продолжить на все пространство X с сохранением нормы, то есть

можно построить линейный функционал F , определенный на X и такой, что:

1)F (x) = f(x) для x ∈M, 2)||F ||X = || f ||M .

I Без доказательства. J

146

Page 145: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство и x0 = θ –

любой фиксированный элемент из X. Тогда существует линейный функционал

f(x), определенный на X и такой, что

1) || f || = 1, 2) f(x0) = ||x0||.

I Рассмотрим множество элементов tx0 = L, где t – любое веществен-

ное число. Множество L является подмножеством X, определенном элементом

x0. На L определим функционал φ(x) следующим образом: если x = tx0, то

φ(x) = t|| x||. Очевидно: 1) φ(x0) = ||x0||, 2) ||φ(x)|| = | t| || x0|| = || x||. От-

сюда следует ||φ(x)|| = 1. Продолжая функционал φ(x) на все пространство

X без увеличения нормы на основании Теоремы 1, получим функционал f(x),

имеющий требуемые свойства. JСледствие 2. Пусть в линейном нормированном пространстве X заданы

линейное многообразие M и элемент x0 /∈M , находящийся на расстоянии d > 0

от M (d = infx∈M || x− x0||). Тогда существует функционал f(x), определенный

на X и такой, что

1) f(x) = 0 для x ∈M , 2) f(x0) = 1, 3) || f || = 1/d.

Второе следствие важно для выяснения вопроса о возможности аппрокси-

мации заданного элемента x0 ∈ X другими элементами xn ⊂ X.

Сопряженное пространство

Определение 2. Совокупность всех непрерывных линейных функциона-

лов, определенных на некотором линейном пространстве E образует линейное

пространство, называемое сопряженным с E и обозначаемое E∗.

Для линейных функционалов из E∗, заданном на нормированном простран-

стве E, сохраняется данное ранее определение нормы

|| f || = supx =θ

| f(x)||| x||

.

Эта норма удовлетворяет всем аксиомам нормированного пространства. Та-

ким образом, пространство E∗, сопряженное к нормированному пространству

E, также является нормированным.

147

Page 146: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Теорема 2. Сопряженное пространство E∗ полно.

I Доказательство аналогично соответствующей теореме для линейных опе-

раторов. JЭта теорема справедлива независимо от того, полно ли исходное простран-

ство E. Кроме того, здесь не требуется заранее условие полноты пространства

Y ⊂ R1 – значений функционала f(x), так как это множество является число-

вым.

Замечание. Если нормированное пространство E не полно, а E – его по-

полнение, то пространства E∗ и E∗ изоморфны.

2.9 Слабая сходимость в нормированном пространстве

Определение 1. Последовательность xn элементов линейного простран-

ства X называется слабо сходящейся к элементу x ∈ X, если для любого

непрерывного линейного функционала f(x) на X числовая последовательность

f(xn) сходится к f(x).

Теорема 1. Всякая слабо сходящаяся последовательность xn в нормиро-

ванном пространстве X ограничена, то есть || xn|| ≤ C > 0.

Теорема 2. Последовательность xn элементов нормированного простран-

ства X слабо сходится к элементу x ∈ X, если:

1) ||xn|| ограничены в совокупности;

2) f(xn) → f(x) для любого функционала f ∈ D, где D – некоторое множе-

ство, линейная оболочка которого всюду плотна в X∗. Линейная оболочка –

наименьшее линейное многообразие, содержащее данные элементы.

Можно доказать единственность предела слабо сходящейся последователь-

ности и, что любая подпоследовательность слабо сходящейся последовательно-

сти сходится к тому же пределу.

Аналогичным образом можно ввести понятие слабой сходимости функци-

оналов: последовательность функционалов fn называется слабо сходящейся

к функционалу f ∈ X∗, если для каждого x ∈ X выполняется соотношение

fn(x)→ f(x).

Для последовательности функционалов имеют место теоремы, аналогичные

теоремам 1 и 2 для последовательностей элементов. ПространствоX здесь пред-

148

Page 147: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

полагается полным, то есть B – пространством.

Теорема 3. Пусть A : X → Y – линейный ограниченный оператор, X,Y

– линейные нормированные пространства. Если последовательность xn ⊂ X

слабо сходится к x0 ∈ X, то последовательность Axn ⊂ Y слабо сходится к

Ax0 ∈ Y .

I Возьмем любой функционал φ ∈ Y ∗. Тогда φ (Axn) = f (xn), где f ∈ X∗.

Аналогично φ (Ax0) = f (x0). Так как xn слабо сходится к x0, то f (xn)→ f (x0),

то есть φ (Axn)→ φ (Ax0). Поскольку φ – произвольный функционал из Y ∗, то

Axn слабо сходится к Ax0. J

2.10 Сопряженные операторы

Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : X → Y , отображающий

линейное пространство X в такое же пространство Y . Пусть g – линейный

непрерывный функционал, определенный на Y , то есть g ∈ Y ∗. Применим функ-

ционал g к элементу y = Ax. Легко проверить, что g(Ax) есть непрерывный

линейный функционал, определенный на X, обозначим его f . Функционал f

есть, таким образом, элемент пространства X∗. Каждому функционалу g ∈ Y ∗

мы поставили в соответствие функционал f ∈ X∗, то есть получили некото-

рый оператор, отображающий Y ∗ в X∗. Этот оператор называют сопряженным

оператору A и обозначают A∗, таким образом A∗ : Y ∗ → X∗.

Обозначим (f, x) = f(x), тогда получим, что

(g, Ax) = (f, x) или (g, Ax) = (A∗g, x).

Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора.

Из определения оператора A∗ вытекают его свойства:

1) оператор A∗ линеен;

2) (A+B)∗ = A∗ +B∗;

3) (λA)∗ = λA∗, λ – некоторое число.

Теорема 1. Оператор A∗, сопряженный с ограниченным линейным опера-

тором A : X → Y , где X и Y – B пространства, также ограничен и ||A∗|| = ||A||.

I В силу свойств нормы оператора имеем

| (A∗g, x)| = | (g, Ax)| ≤ || g|| ||A|| ||x||,

откуда ||A∗g|| ≤ ||A|| || g|| =⇒ ||A∗|| ≤ ||A||.

149

Page 148: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Пусть x ∈ X и Ax = θ, положим y0 = Ax||Ax|| ∈ Y , очевидно, что || y0|| = 1.

По Следствию 1 из Теоремы 1 (Банаха - Хана) существует такой функционал

g, что || g|| = 1 и (g, y0) = 1, то есть (g, Ax) = ||Ax||.

Из соотношений

||Ax|| = (g, Ax) = | (A∗g, x)| ≤ ||A∗g|| ||x|| ≤

≤ ||A∗|| || g|| || x|| = ||A∗|| || x||

получаем ||A|| ≤ ||A∗||, из двух неравенств следует ||A∗|| = ||A||. J

2.11 Вполне непрерывные операторы

Класс операторов, по своим свойствам близкий к операторам, действующим

в конечномерных пространствах, и в то же время весьма важный с точки зрения

приложений, образуют вполне непрерывные операторы.

Определение 1. Линейный оператор A : X → Y , отображающий B – про-

странство X в такое же пространство Y , называется вполне непрерывным, если

он каждое ограниченное множество E ⊂ X переводит в относительно компакт-

ное множество из Y .

В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор

вполне непрерывен, поскольку он переводит любое ограниченное множество

снова в ограниченное множество, а в конечномерном пространстве любое огра-

ниченное множество относительно компактно.

В бесконечномерном пространстве полная непрерывность оператора есть

требование более сильное, чем просто его непрерывность (то есть ограничен-

ность). Например, единичный оператор Ax = x в B - пространстве непрерывен,

но не вполне непрерывен.

Лемма. Если последовательность xnсл.−−→ x0 и относительно компактна,

то она сильно сходится к x0.

I Предположим, что это не так, то есть существует ε > 0, что || xn−x0|| ≥ ε

при сколь угодно больших n (таких номеров бесконечно много). Так как после-

довательность xn относительно компактна, то найдется подпоследователь-

ность xnk, что || xnk

− x′0|| → 0, k → ∞. Поскольку xnk сл.−−→ x′0, то x′0 = x0.

Но по предположению || xnk− x0|| ≥ ε. Это противоречие доказывает Лемму. J

Теорема 1. Вполне непрерывный оператор A отображает слабо сходящуюся

150

Page 149: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

последовательность xn в сильно сходящуюся.

I Пусть последовательность xn слабо сходится к x0. Тогда || xn|| ограни-

чена и xn как ограниченное множество оператором A переводится в относи-

тельно компактную последовательность yn, где yn = Axn. С другой стороны

по Теореме 3 п. 2.9 yn = Axnсл.−−→ Ax0 = y0. Если последовательность yn

сл.−−→ y0

и относительно компактна, то yn → y0. J

Основные свойства вполне непрерывных операторов

Теорема 2. Если An – последовательность вполне непрерывных операто-

ров, отображающих линейное нормированное пространство X в B – простран-

ство Y , сходящаяся по норме к оператору A, то A тоже вполне непрерывный

оператор.

I Для доказательства полной непрерывности оператора A достаточно по-

казать, что для любой ограниченной последовательности xn ⊂ X, || xn|| ≤ C,

из последовательности Axn можно выделить сходящуюся подпоследователь-

ность.

Так как оператор A1 вполне непрерывен, то из последовательности A1xn

можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть x(1)n – такая под-

последовательность, что последовательность A1x(1)n сходится.

Рассмотрим теперь последовательность A2x(1)n , из нее также можно вы-

брать сходящуюся подпоследовательность. Пусть x(2)n такая подпоследова-

тельность последовательности x(1)n , что A2x(2)n сходится. Продолжим этот

процесс до бесконечности. Возьмем затем диагональную последовательность

x(n)n . Каждый из операторов A1, A2, ..., An, ... переводит эту последователь-

ность в сходящуюся. Покажем,что последовательность Ax(n)n тоже сходится.

Тем самым полная непрерывность оператора A будет установлена. Так как про-

странство Y полно, то достаточно показать, что последовательность Ax(n)n –

фундаментальна. Имеем

||Ax(n)n − Ax(m)m || ≤ ||Ax(n)N − Akx

(n)n ||+

+||Akx(n)n − Akx

(m)m ||+ ||Akx

(m)m − Ax(m)

m ||, (1)

Выберем число k так, что ||A− Ak|| < ε/3C, а затем выберем такое nε, что

при всех m,n > nε будет выполнено соотношение

151

Page 150: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

||Akx(n)n − Akx

(m)m || < ε/3

Это возможно, так как последовательность Akx(n)n сходится.

При этих условиях из (1) получаем, что

||Ax(n)n − Ax(m)m || < ε,

при всех достаточно больших m и n. J

Теорема 3. Если A – вполне непрерывный оператор, а оператор B – огра-

ничен, тогда операторы A ·B и B · A вполне непрерывны.

I Если множество M ⊂ X ограничено, то множество B(M) тоже ограни-

чено. Следовательно A(B(M)) относительно компактно. Это и означает, что

оператор A ·B вполне непрерывен. Далее, если множество M ⊂ X ограничено,

то A(M) – относительно компактно, а тогда в силу непрерывности B, множе-

ство B(A(M)) тоже относительно компактно, то есть оператор B · A вполне

непрерывен. JСледствие. В бесконечномерном пространстве X вполне непрерывный опе-

ратор не может иметь ограниченного обратного.

I Действительно, иначе единичный оператор I = A−1A был бы вполне

непрерывен в X, что невозможно. J

Теорема 4. Оператор, сопряженный с вполне непрерывным оператором,

тоже вполне непрерывен.

I Без доказательства. J

152

Page 151: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

ГЛАВА 3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

3.1 Пространства со скалярным произведением

Определение 1. Линейное пространство X называется пространством со

скалярным произведением, если для любых элементов x, y ∈ X определена

функция (x, y) — вещественное число, удовлетворяющее следующим услови-

ям:

1) (x, y) = (y, x)

2) (λ1x1 + λ2x2, y) = λ1(x1, y) + λ2(x2, y)

3) (x, x) ≥ 0; (x, x) = 0 ⇔ x = θ

Замечание. Часто в основу пространства со скалярным произведением кла-

дется комплексное линейное множество. В этом случае скалярное произведе-

ние — комплексное число и условие 1) заменяется на (x, y) = (y, x).

Линейное пространство со скалярным произведением называют также ев-

клидовым пространством.

Из определения пространства со скалярным произведением следует:

a) (x, λ1y1 + λ2y2) = λ1(x, y1) + λ2(x, y2),

b) (x, θ) = (θ, y) = 0,

c) |(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) — неравенство Коши-Буняковского.

I Для его доказательства рассмотрим выражение (x+λy, x+λy) = (x, x)+

λ(x, y)+λ(y, x)+λ2(y, y). По условию 3) (x+λy, x+λy) ≥ 0 при любом λ. Пусть

(y, y) = 0, если y = θ неравенство очевидно. Возьмем λ = −(x, y)/(y, y), тогда

имеем

(x, x)− |(x, y)|2

(y, y)− |(x, y)|

2

(y, y)+|(x, y)|2

(y, y)≥ 0

и неравенство доказано. JЕсли в пространстве со скалярным произведением ввести норму с помощью

формулы

||x|| =√

(x, x), (1)

то оно становится нормированным пространством. Из аксиом нормы только

неравенство треугольника не вытекает из аксиом евклидова пространства. До-

кажем его. Пусть x, y ∈ X, используя неравенство Коши-Буняковского, будем

153

Page 152: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

иметь

||x+ y||2 = (x+ y, x+ y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) ≤

≤ ||x||2 + 2||x||||y||+ ||y||2 =(||x||+ ||y||

)2Извлекая квадратный корень, получим нужный результат.

Так как X — нормированное пространство, оно обладает всеми свойствами

последнего. Отметим еще два предложения, относящиеся специально к про-

странствам со скалярным произведением:

a) Непрерывность скалярного произведения: если xn → x, yn → y, то (xn, yn)→

(x, y).

I С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем

||(xn, yn)− (x, y)|| ≤ |(x, y−yn)|+ |(x−xn, yn)| ≤ ||x||||y−yn||+ ||x−xn||||yn|| → 0

при n→∞, так как сходящаяся последовательность yn ограничена. Jb)

||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2

). (2)

I Действительно, ||x + y||2 + ||x − y||2 = (x + y, x + y) + (x − y, x − y) =

2(x, x) + 2(y, y). JРавенство (2) выражает известное свойство параллелограмма в евклидовом

пространстве: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сто-

рон.

Справедливо следующее утверждение: для того, чтобы нормированное про-

странство было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы в нем для любых

двух элементов x и y выполнялось равенство (2).

Ортогональность элементов евклидова пространства

Элементы x, y евклидова пространстваX называются ортогональными, если

(x, y) = 0. При этом пишут x⊥y. Если фиксированный элемент x ∈ X ортогона-

лен каждому элементу множества E ⊂ X, то говорят, что x⊥E. Если элементы

двух множеств E1 и E2 попарно ортогональны, то множества называют орто-

гональными и пишут E1⊥E2.

Система ненулевых векторов xk ⊂ X называется ортогональной, если

(xi, xj) = 0 при i = j. Векторы ортогональной системы линейно независимы.

154

Page 153: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Определение 2. Система элементов xk нормированного пространства X

называется полной в X, если замыкание линейной оболочки L(xk) = X, то

есть если множество всех линейных комбинаций векторов xk плотно в X.

Система ортогональных векторов xk называется ортогональным базисом

линейного пространства X, если линейная оболочка L(xk) = X. Система век-

торов ek называется ортонормированной, если (ei, ej) = δij.

Некоторые примеры евклидовых пространств

1. Пространство Rn, элементами которого являются системы вещественных

чисел x = (x1, ..., xn), со скалярным произведением (x, y) =n∑

i=1

xiyi представля-

ет собой евклидово пространство. Ортонормированный базис в нем образуют

векторы ek = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где единица стоит на k-ом месте (это один из

бесконечного числа возможных базисов).

2. Пространство ℓ2 с элементами x = (x1, ..., xn, ...), где∞∑i=1

x2i < +∞, и ска-

лярным произведением (x, y) =∞∑i=1

xiyi есть евклидово пространство. Сходи-

мость ряда была доказана раньше, аксиомы скалярного произведения проверя-

ются непосредственно. Ортонормированным базисом являются векторы ek =

(0, ..., 0, 1, 0, ...), где единица стоит на k-ом месте. Эта система векторов яв-

ляется полной. Возьмем любой вектор x = (x1, ..., xn, ...) ∈ ℓ2 и обозначим

x(n) = (x1, ..., xn, 0, ...). Тогда x(n) есть линейная комбинация векторов e1, ..., en

и ||x− x(n)|| → 0 при n→∞.

3. Пространство C2[a, b], состоящее из непрерывных на [a, b] вещественных

функций со скалярным произведением (f, g) =b∫a

f(t)g(t)dt также представляет

собой евклидово пространство. Среди различных базисов можно указать орто-

гональную систему тригонометрических функций

1

2, cosn

2πt

b− a, sinn

2πt

b− a, n = 1, 2, ...

Эта система полна (показано раньше).

3.2 Гильбертово пространство H

Определение 1. Линейное пространство со скалярным произведением, пол-

ное в смысле метрики, порожденной заданным скалярным произведением, на-

зывается гильбертовым пространством и обозначается H.

155

Page 154: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Просто линейное пространство со скалярным произведением часто называ-

ют предгильбертовым пространством. Справедлива теорема.

Теорема 1. Всякое предгильбертово пространство X содержится и плотно

в некотором гильбертовом пространстве H.

I Без доказательства. JСовокупность всех элементов, ортогональных данному множеству E ⊂ H,

являющаяся подмножеством пространства H, называется ортогональным до-

полнением множества E.

Теорема 2 (основная теорема H – пространств). Пусть H1 — замкнутое

подмножество пространства H и H2 его ортогональное дополнение. Любой эле-

мент x ∈ H единственным образом представим в форме x = x(1) + x(2), где

x(1) ∈ H1, x(2) ∈ H2, при этом элемент x(1) реализует расстояние от x до H1, то

есть ||x− x(1)|| = ρ(x,H1).

I Если x ∈ H1, то очевидно x(1) = x, x(2) = θ. Пусть x /∈ H1, обозначим

d = ρ (x,H1). Зададим числа dn = d +1

n, n = 1, 2, ... Из определения d как

нижней грани следует, что при каждом n ∃ xn ∈ H1, для которого

||x− xn|| < dn. (1)

Возьмем любые m и n, в силу равенства (2) §1 имеем

||xn − xm||2 + ||(x− xn) + (x− xm)||2 = 2(||x− xn||2 + ||x− xm||2

). (2)

Так как1

2(xn + xm) ∈ H1, то

||(x− xn) + (x− xm)||2 = 4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− 1

2(xn + xm)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 ≥ 4d2.

Тогда из (2) и (1) находим

||xn − xm||2 < 2(d2n + d2m)− 4d.

Но dn, dm → d, а потому ||xn−xm|| → 0, m, n→∞. То есть, последовательность

xn ⊂ H1 является фундаментальной. Вследствие полноты H ∃x(1) = limn→∞

xn,

при этом x(1) ∈ H1, так как H1 — замкнуто. Переходя к пределу в (1), найдем

||x − x(1)|| ≤ d, а так как для любого элемента из H1, в том числе и для x(1),

должно быть ||x− x(1)|| ≥ d, то

||x− xn|| = d. (3)

156

Page 155: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Покажем теперь, что элемент x(2) = x − x(1) ортогонален H1 и, следовательно,

x(2) ∈ H2, то есть ортогонален любому элементу y ∈ H1. При любом λ элемент

x(1)+λy ∈ H1, так что ||x− (x(1)+λy)||2 ≥ d2. Что можно переписать, используя

(3), в виде

|λ|2(y, y)− λ(x(2), y)− λ(y, x(2)) ≥ 0.

Положив λ = (x(2), y)/(y, y), получим |(x(2), y)|2 ≤ 0, что возможно только в

случае (x(2), y) = 0, то есть x(2)⊥y.

Требуемое представление ∀x ∈ H получено. Докажем его единственность.

Пусть имеем еще одно представление x = x′ + x′′, где x′ ∈ H1, x′′ ∈ H2. Тогда

x′ + x′′ = x(1) + x(2), или x(1)− x′ = x′′− x(2). Элемент (x(1)− x′) ∈ H1, а элемент

(x′′−x(2)) ∈ H2. Следовательно, (x(1)−x′)⊥(x′′−x(2)), тогда x(1)−x′ = x′′−x(2) =

θ, то есть x′ = x(1), x′′ = x(2). JЭлементы x(1) и x(2), однозначно определяемые элементом x ∈ H, называ-

ются проекциями элемента x на подпространства H1 и H2 соответственно.

Следствие. Для того, чтобы система элементов xk ⊂ H была полной в

пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы не существовало ненулевого

элемента, ортогонального каждому элементу системы.

I Необходимость. Если система xk полна в H, то есть L(xn) = H и

x⊥xk, то x⊥H, то есть (x, x) = 0 ⇔ x = θ.

Достаточность. Если xk — неполная система в H, то подпространство

H1 = L(xn) = H и, следовательно, взяв элемент x ∈ H\H1 и разложив его на

сумму x = x(1) + x(2), где x(1) ∈ H1, x(2)⊥H1 будем иметь x(2) = θ и x(2)⊥xk что

противоречит условию. J

157

Page 156: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

3.3 Ортонормированные системы векторов в H

Система векторов xα, α ∈ A называется ортогональной, если любые два

вектора этой системы ортогональны. Если, кроме того, норма каждого вектора

||xα|| = 1, то система xα называется ортонормированной. Если среди векторов

xα нет нулевого, то такая система линейно независима.

Действительно, если бы существовала линейная зависимостьn∑

k=1

ckxαk= 0,

то, умножая скалярно обе части на xαi, мы получим ci||xαi

||2 = 0, следовательно

ci = 0.

От ортогональной системы элементов xα легко перейти к ортонормирован-

ной, для этого нужно разделить каждый элемент на его норму (предполагается,

что среди векторов нет нулевого).

В конечномерном евклидовом пространстве на основе линейно независимой

системы векторов можно построить ортонормированную систему методом ор-

тогонализации Грама-Шмидта. В любом линейном пространстве со скалярным

произведением можно ортонормировать любую линейно независимую систему

векторов.

Теорема 1. Пусть yn — линейно независимая система элементов про-

странства H. Существует ортонормированная система xn: xn =n∑

k=1

λ(n)k yk,

где λ(n)k = 0, n = 1, 2, ...

I Докажем методом математической индукции. Пусть x1 = λ(1)1 y1, где λ(1)1 =

1

||y1||и пусть уже построены ортонормированные элементы x1, ..., xn−1, связан-

ные с y1, ..., yn−1 указанным в теореме соотношением. Пусть H ′n — линейные

оболочки элементов y1, ..., yn−1, а H ′′n — ортогональные дополнения к H ′

n в H.

Так как yn /∈ H ′n, то в разложении yn = y′n + y′′n, где y′n ∈ H ′

n, y′′n ∈ H ′′

n эле-

мент y′′n = 0. Обозначим xn = λ(n)n y′′n, где λ

(n)n =

1

||y′′n||. Тогда будем иметь

||xn|| = 1 и так как xn⊥H ′n и xk ∈ H ′

n при k < n, то xn⊥xk, k < n. Далее,

xn = λ(n)n y′′n = λ

(n)n (yn − y′n) = λ

(n)n yn − λ

(n)n y′n. Ввиду того, что y′n ∈ H ′

n име-

ем y′n =n−1∑k=1

α(n)k yk. Пусть λ(n)k = −α(n)

k λ(n)n при k < n, получим xn =

n∑k=1

λ(n)k yk.

Доказательство теоремы завершено по индукции. JЗамечание 1. Так как λ(n)n = 0, то элементы yn могут быть выражены через

xn : yn =n∑

k=1

γ(n)k xk, (γ(n)n = 1/λ

(n)n ).

158

Page 157: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Замечание 2. Элементы xn определяются элементами yn неоднозначно, но

если предположить, что λ(n)n > 0, n = 1, 2, ..., то система xn определяется

однозначно.

Теорема 2. Ортонормированная система xα сепарабельного пространства

H не более чем счетна.

I Пусть D — счетное плотное в H множество. Для любого xα ∈ H найдем

yα ∈ D : ||xα − yα|| <1

2. При этом различным xα и x′α отвечают различные yα

и y′α. Действительно,

||yα − y′α|| = ||(xα − x′α) + (x′α − y′α) + (yα − xα)|| ≥ ||xα − x′α||−

−(||x′α − y′α||+ ||yα − xα||

)>√2− 1 > 0,

так как ||xα − x′α||2 = (xα − x′α, xα − x′α) = (xα, xα) − 2(xα, x′α) + (x′α, x

′α) = 2.

Таким образом, множество xα эквивалентно части счетного множества D и,

следовательно, не более чем счетно. J

3.4 Ряды Фурье в гильбертовом пространстве H

Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве H дана ортонормиро-

ванная система векторов xk и пусть x ∈ H. Числа ak = (x, xk), k = 1, 2, ...

называются коэффициентами Фурье элемента x по данной ортонормированной

системе xk. Ряд∞∑k=1

akxk, где ak = (x, xk), называется рядом Фурье элемента

x. Образуем подпространство Hn = L(x1, ..., xn) ⊂ H, элементами которо-

го являются всевозможные линейные комбинации первых n элементов данной

ортонормированной системы xk.

Теорема 1. Отрезок ряда Фурье элемента x: sn =n∑

k=1

akxk есть проекция x

на подпространство Hn.

I Так как x = sn + (x − sn), а sn ∈ Hn, то достаточно доказать, что (x −

sn)⊥Hn. Ясно, что x−sn⊥xk, k = 1, n, а тогда (x−sn)⊥L(xk) = Hn, k = 1, n.

JСледствие 1. Используя теорему 1, получаем: для любого элемента z =

n∑k=1

ckxk ∈ Hn, ||x−sn|| = ρ(x,Hn) ≤ ||x−z||. Далее, так как ||x||2 = ||sn||2+ ||x−

sn||2 ≥ ||sn||2, а ||sn||2 =n∑

k=1

|ak|2, то справедливо утверждениеn∑

k=1

|ak|2 ≤ ||x||2 —

159

Page 158: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

неравенство Бесселя. Переходя к пределу при n→∞ имеем∞∑k=1

|ak|2 ≤ ||x||2. (1)

Если для некоторого x ∈ H в (1) имеем знак равенства, то говорят, что для

этого x удовлетворяется уравнение замкнутости.

Теорема 2. Для любого элемента x ∈ H его ряд Фурье всегда сходит-

ся, при этом сумма ряда равна проекции элемента x на подмножество H0 =

L(xk), k = 1, 2, ... Для того, чтобы сумма ряда Фурье была равна элементу

x, необходимо и достаточно, чтобы для x выполнялось условие замкнутости.

I Из неравенства (1) следует, что что ряд∞∑k=1

|ak|2 сходится. Обозначим sn —

частичную сумму ряда Фурье. Имеем ||sn+p− sn|| =n+p∑

k=n+1

|ak|2 → 0 при n→∞.

Отсюда и следует сходимость ряда Фурье.

Пусть S =∞∑k=1

akxk, так как S ∈ H0 и x = S + (x − S) то, как и в теореме

1, можно ограничиться доказательством того, что (x − S)⊥H0, доказывается

аналогично теореме 1.

Если, используя равенство ||sn||2 =n∑

k=1

|ak|2, переписать равенство ||x||2 =

||sn||2 + ||x − sn||2 в виде ||x − sn||2 = ||x||2 − ||sn||2 и перейти к пределу при

n→∞, то теорема будет доказана. JСледствие 2. Если система xk, k = 1, 2, ... полная, то ряд Фурье для

любого элемента x ∈ H сходится к x.

I Если xk — полная система, то H0 = H и проекция любого элемента

x ∈ H на H0 совпадает с x. По теореме 2 ряд сходится к элементу x. JОртонормированная система xk, k = 1, 2, ... называется замкнутой, если

для любого x ∈ H выполняется условие замкнутости

||x||2 =∞∑k=1

|ak|2. (2)

Учитывая предыдущие результаты, можно сформулировать следующее утвер-

ждение.

Следствие 3. Для того, чтобы ортонормированная система xk была за-

мкнута в H, необходимо и достаточно, чтобы она была полной.

I Из теоремы 2 следует, что условие замкнутости удовлетворяется для любо-

го x ∈ H0 и только для них. Следовательно, замкнутость системы равносильна

160

Page 159: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

равенству H0 = H, которое в свою очередь означает полноту данной системы

xk. JТеорема 3. (Рисса-Фишера). Пусть ck — числовая последовательность,

для которой ряд∞∑k=1

|ck|2 сходится. Тогда существует единственный элемент x ∈

H такой, что его коэффициенты Фурье ak = (x, xk) = ck, k = 1, 2, ..., причем

для этого x удовлетворяется условие замкнутости.

I Как и при доказательстве теоремы 2 убеждаемся, что ряд∞∑k=1

ckxk — схо-

дится. Обозначим его сумму x, тогда

an = (x, xn) = limm→∞

(m∑k=1

ckxk, xn

)= cn, n = 1, 2, ...,

так как для m ≥ n будет( m∑

k=1

ckxk, xn

)= cn.

Выполнение условия замкнутости для элемента x следует из теоремы 2,

единственность элемента x также следует из этой теоремы, так как элемент,

для которого выполняется условие замкнутости, должен быть суммой своего

ряда Фурье. J

Обобщенное уравнение замкнутости

Пусть для элементов x, y ∈ H выполнено уравнение замкнутости. Если ak

и bk — последовательности коэффициентов Фурье этих элементов, то (x, y) =∞∑k=1

akbk.

I Действительно, в силу теоремы 2, x =∑akxk, y =

∑bkxk, поэтому

(x, y) = limn→∞

(n∑

k=1

akxk,n∑

k=1

bkxk

)= lim

n→∞

n∑k=1

akbk =∞∑k=1

akbk. J

Если рассматриваемая ортонормированная система xk — полная, то обобщен-

ное уравнение замкнутости справедливо для любых x, y ∈ H.

3.5 Изометричность гильбертовых пространств

Определение 1. Два нормированных пространства X и Y называются ли-

нейно изометричными, если они изоморфны и из x ↔ y, где x ∈ X, y ∈ Y ,

следует ||x|| = ||y||.

Теорема 1. Если сепарабельное гильбертово пространство H бесконечно-

мерно, то в нем имеется полная счетная ортонормированная система векторов.

161

Page 160: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

I Так как H сепарабельно, то в нем имеется счетное плотное множество

D = zn. Полную линейно независимую систему yk построим следующим

образом. Пусть z1 = θ, возьмем y1 = z1, далее в качестве y2 возьмем элемент zn2

с минимальным номером n2 ≥ 2, чтобы y1 и y2 = zn2 были линейно независимы.

Продолжая процесс, придем к искомой системе yk. Действительно, так как

любой элемент из системы zn есть, очевидно, линейная комбинация элементов

yj = znj(nj ≤ n), так чтоD ⊂ L(yk) и, следовательно, L(yk) = H. Применяя

к системе yk процесс ортогонализации, придем к полной ортонормированной

и очевидно счетной системе. JТеорема 2. Любые два сепарабельных бесконечномерных гильбертовых

пространства линейно изометричны.

I Пусть H и H ′ — пространства указанного вида. На основании теоремы 1

существуют счетные полные ортонормированные системы xk и x′k в H и H ′

соответственно. Пусть x ∈ H — произвольный элемент. Обозначим через ak

последовательность коэффициентов Фурье этого элемента. Тогда по следствию

2 теоремы 2 п. 3.4 x =∞∑k=1

akxk, причем∞∑k=1

|ak|2 = ||x||2 < +∞. Применяя в H ′

теорему 3 Рисса-Фишера к последовательности ak, найдем элемент x′ ∈ H ′,

имеющий те же коэффициенты Фурье, что и элемент x ∈ H. При этом x′ =∞∑k=1

akx′k. Этот элемент и сопоставляется элементу x. Указанное соответствие

удовлетворяет условиям изометричности (вместо равенства норм ||x|| = ||x′||

здесь нужно говорить о равенстве скалярных произведений этих элементов).

Не останавливаясь вследствие простоты на проверке сохранения алгебраи-

ческих операций, покажем, что если x, y ∈ H и x′, y′ ∈ H ′ — соответствующие

элементы, то (x, y) = (x′, y′). Так как обе системы xk и x′k полны, для эле-

ментов x, y, а также x′, y′ выполняется обобщенное уравнение замкнутости, то

есть

(x, y) =∞∑k=1

akbk, (x′, y′) =∞∑k=1

akbk,

где ak — последовательность коэффициентов Фурье элементов x или x′, а

bk — последовательность коэффициентов Фурье элементов y и y′. JПример. Пространство ℓ2, элементами которого являются последователь-

ности x = (x1, ..., xn, ...), для которых ряд∞∑k=1

|xk|2 сходится, является гильбер-

162

Page 161: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

товым пространством.

Если x = (x1, ..., xn, ...) и y = (y1, ..., yn, ...) ∈ ℓ2, то в силу неравенства

∞∑k=1

|xk + yk|2 ≤∞∑k=1

|xk|2 +∞∑k=1

|yk|2 < +∞,

так что x+y ∈ ℓ2. Ясно, что элемент λx, где λ — число, принадлежит ℓ2. Таким

образом, ℓ2 — линейное пространство.

Если принять ||x|| =(

∞∑k=1

|xk|2)1/2

, то ℓ2 становится нормированным про-

странством. Можно доказать, что ℓ2 — полное пространство, то есть банахо-

во. Определим скалярное произведение равенством (x, y) =∞∑k=1

xkyk, ||x|| =√(x, x). Из сказанного выше ясно, что ℓ2 — гильбертово пространство.

3.6 Пространство суммируемых функций Lp

1. Пространство L. Рассмотрим совокупность всех функций, заданных и сум-

мируемых на множестве E ⊂ X с мерой µ. Это множество называется множе-

ством суммируемых функций и обозначается L. В множестве L эквивалентные

между собой функции отождествляются. Легко установить, что L — линейное

множество. Введем норму для ∀ f ∈ L

||f || =∫E

|f |dµ

Все аксиомы нормы выполнены, следовательно L — нормированное простран-

ство. Сходимость fk → f по норме пространства L означает∫E|fk − f |dµ → 0.

Эту сходимость называют сходимостью в среднем первого порядка. Из сходи-

мости в среднем fk → f вытекает сходимость по мере fk ⇒ f к той же функ-

ции. Можно доказать, что L — полное пространство, то есть банахово. Если

E ⊂ X ⊂ Rn с мерой Лебега µn, то L — сепарабельное пространство.

2. Пространство L2. Измеримая функция f , заданная и почти всюду конеч-

ная на множестве E ⊂ X с мерой µ, называется суммируемой с квадратом,

если∫Ef 2dµ < +∞. Совокупность всех функций, суммируемых с квадратом

на некотором измеримом множестве E ⊂ X, обозначается L2. Эквивалентные

между собой функции в L2 отождествляются.

Можно доказать, что L2 — линейное множество. Введением в L2 нормы со-

163

Page 162: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

отношением

||f || =(∫

E

f 2dµ

)1/2

L2 становится нормированным пространством. Множество L не включается в

множество L2. Можно доказать, что если µE < +∞, то L2 ⊂ L и для ∀ f ∈ L2

||f ||L ≤√µE ||f ||L2 .

Сходимость fk → f по норме пространства L2 означает, что∫E|fk−f |2dµ→

0. Такая сходимость называется сходимостью второго порядка. Из сходимости

по норме пространства L2 fk → f следует сходимость по мере fk ⇒ f . Если

µE < +∞ и fk → f по норме в L2, то fk → f по норме в L, то есть из сходимости

в среднем 2- го порядка вытекает сходимость в среднем 1- го порядка.

Можно показать, что L2 — полное пространство, то есть банахово. Если

E ⊂ X ⊂ Rn с мерой Лебега µn, то пространство L2 — сепарабельно.

Расстояние (метрика) в L2 будет

ρ(f, g) = ||f − g|| =(∫

E

|f − g|2dµ)1/2

.

Скалярным произведением двух функций f и g из L2 называется выражение

(f, g) =∫Efgdµ. Норма в L2 фактически определена через скалярное произ-

ведение ||f || =√(f, f). Из сказанного выше следует, что L2 — гильбертово

пространство.

3. Пространство Lp. Это совокупность всех функций, измеримых и почти

всюду конечных на E ⊂ X с мерой µ, для которых∫E

|f |pdµ < +∞, p ≥ 1

В множестве Lp отождествляются функции, эквивалентные между собой. Легко

доказать, что Lp — линейное множество. Действительно, если f ∈ Lp, то вклю-

чение λf ∈ Lp очевидно. Пусть f, g ∈ Lp и E1 = E(|f(x)| ≤ |g(x)|

), E2 = E\E1.

Тогда для ∀x ∈ E1 имеем

|f(x) + g(x)|p ≤(|f(x)|+ |g(x)|

)p ≤ 2p|g(x)|p,

следовательно, ∫E1

|f(x) + g(x)|pdµ ≤ 2p∫E1

|g(x)|pdµ < +∞

164

Page 163: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Аналогично, ∫E2

|f(x) + g(x)|pdµ ≤ 2p∫E2

|f(x)|pdµ < +∞

Следовательно,∫E|f(x) + g(x)|pdµ < +∞ и потому f + g ∈ Lp.

Изучение пространства Lp при p > 1 тесно связано с рассмотрением второго

пространства такого же типа Lq, где p−1 + q−1 = 1, такие p и q называются

сопряженными. Имеет место следующее утверждение: если f ∈ Lp, g ∈ Lq, то

произведение f · g суммируемо на E и∫E

|f · g|dµ ≤(∫

E

|f |pdµ)1/p

·(∫

E

|g|qdµ)1/q

.

Это неравенство Гёльдера.

Пусть f, g ∈ Lp (p ≥ 1), тогда(∫E

|f + g|pdµ)≤(∫

E

|f |pdµ)1/p

+

(∫E

|g|pdµ)1/p

.

Это неравенство Минковского.

Если ввести норму для ∀f ∈ Lp соотношением

||f || =(∫

E

|f(x)|pdµ)1/p

,

то неравенство Минковского превращается в неравенство треугольника. Выпол-

нение других аксиом нормированного пространства очевидно, и, следователь-

но, Lp — нормированное пространство. Его называют пространством функций,

суммируемых с p -ой степенью.

Из всех пространств Lp, p ≥ 1, только L2 является гильбертовым.

3.7 Общий вид линейных функционалов

в некоторых функциональных пространствах

1. Линейные функционалы в пространстве Rn.

Пусть f — линейный функционал, определенный на E ⊂ Rn. Элемент про-

странства x ∈ E можно записать в виде x =n∑

k=1

xkek, где ek, k = 1, n — базис

в Rn. Тогда

f(x) = f

( n∑k=1

xkek

)=

n∑k=1

f(xkek) =n∑

k=1

xkf(ek) =n∑

k=1

xkfk.

165

Page 164: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Обратно, выражение вида f(x) =n∑

k=1

xkfk, где fk — произвольные числа, есть

очевидно линейный функционал на Rn. Линейный функционал можно запи-

сать в виде скалярного произведения, если fk рассматривать как компоненты

вектора f(x) = (x, f), где x ∈ Rn.

2. Линейные функционалы в пространстве C[a, b].

Теорема 1. (Ф. Рисс). Всякий линейный непрерывный функционал F ⊂

C[a, b] может быть представлен в виде

F (f) =

∫ b

a

f(x)dg(x), (1)

где g(x) — некоторая функция ограниченной вариации на [a, b].

При этом ||F || =b∨a

g(x).

3. Линейные функционалы в гильбертовом пространстве H.

Теорема 2. Пусть H — вещественное гильбертово пространство. Для лю-

бого непрерывного линейного функционала f на H существует единственный

элемент x0 ∈ H такой, что

f(x) = (x, x0), ∀x ∈ H, (2)

причем ||f || = ||x0||. Обратно, формула (2) определяет такой непрерывный ли-

нейный функционал f , что ||f || = ||x0||. Таким образом, пространства H и H∗

изоморфны.

I Очевидно, для ∀ x0 ∈ H формула (2) определяет линейный функционал на

H. Так как |f(x)| = |(x, x0)| ≤ ||x||||x0||, то этот функционал непрерывен, а так

как f(x0) = ||x0||2, то ||f || = ||x0||. Покажем, что любой непрерывный линей-

ный функционал f на H представим в виде (2). Если f = 0, то полагаем x0 = θ.

Пусть теперь f = 0 и H0 = x ∈ H∣∣ f(x) = 0 — множество нулей функционала

f , так как f — непрерывен, тоH0 — замкнутое линейное подмножество вH. Лю-

бой вектор x ∈ H однозначно представим в виде x = y+λy0, где y ∈ H0, y0⊥H0—

ненулевой вектор. Можно считать ||y0|| = 1. Положим x0 = f(y0) · y0, тогда для

∀ x ∈ H имеем x = y + λy0, y ∈ H0, f(x) = f(y) + λf(y0) = λf(y0), (f(y) = 0),

(x, x0) = λ(y0, x0) = λf(y0) · (y0, y0) = λf(y0). Таким образом, f(x) = (x, x0)

для ∀x ∈ H. Единственность: если f(x) = (x, x′0), x ∈ H, то (x, x0 − x′0) = 0,

следовательно, при x = x0 − x′0, что x0 = x′0. Теорема доказана. J

166

Page 165: ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР Содержание лекций ...pm-pu.ru/wiki-stuff/_media/course/analiz/math_pmf4.pdf · 2014. 5. 26. · Элементы функционального

Литература

Основная литература.

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1,2. М., 1976.

2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч.1, М. 1982, Ч.2, М. 1984.

3. Ильин В.А., Познях Э.Г. Основы математического анализа. Т.1,2. М. 1998.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1,2,3. М., 1988-89.

5. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.,

1973.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального

анализа. М., 1976.

Дополнительная литература.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т.1,2,3. М. 1960.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1,2,5. М., 1961-66.

3. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1,2. М., 1990.

4. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Ч.1. М. 1993. Ч.2. М. 1995.

5. Рудин У. Основы математического анализа. Мир. М. 1976.

6. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Ч.1.

М., 1985, Ч.2. М., 1987.

7. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М. 1967.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. 1974.

167