3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 1)

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК

для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки

02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»,

01.03.02 «Прикладная математика и информатика»,

09.03.03 «Прикладная информатика»,

09.03.04 «Программная инженерия»

Нижний Новгород

2015

4

УДК 512.14+512.622(077)

ББК В142(Я73)

З-15

З-15 ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (ЧАСТЬ 1). Авторы: Чирков А.Ю.,

Киселева Л.Г., Сидоров С.В., Золотых Н.Ю., Шевчук Е.А., Веселов С.И.

Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский

госуниверситет, 2015.- 77с.

Рецензент: к.т.н., доцент Васин Д.Ю.

В данном учебно-методическом пособии собраны задачи по темам: поле

комплексных чисел, многочлены. Приводятся основные определения и

теоремы. К типовым задачам, номера которых помечены *, приведены

подробные решения. Имеется список типовых контрольных работ.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов первого

курса, обучающихся по направлениям «Фундаментальная информатика и

информационные технологии», «Прикладная математика и информатика»,

«Прикладная информатика», «Программная инженерия», а также может быть

использовано школьниками старших классов, занимающихся научной работой

в рамках НОУ.

Ответственный за выпуск:

заместитель председателя методической комиссии факультета ВМК ННГУ,

к.т.н., доцент В.М. Сморкалова

УДК 512.14+512.622(077)

ББК В142(Я73)

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2015

© Чирков А.Ю., Киселева Л.Г.,

Сидоров С.В., Золотых Н.Ю.,

Шевчук Е.А., Веселов С.И.

5

1. Группы, кольца, поля

Бинарной операцией, определенной на множестве G , называется

однозначная функция, ставящая в соответствие каждой паре элементов из G

элемент из того же множества. При записи бинарной операции используется

инфиксная форма, т.е. обозначение операции ставится между аргументами,

например, пишется ba , а не ba, . Множество G с операцией называется

группой, если для всех элементов из множества G выполняются свойства:

свойство ассоциативности: cbacba ;

существование нейтрального элемента e : aaeea ;

существование обратного элемента 1a : eaaaa 11 .

Группа называется коммутативной или абелевой, если выполнено

свойство коммутативности: abba .

Форма записи группы, когда для обозначений операции, нейтрального

элемента и обратного элемента к a используются , e и 1a , соответственно,

называется мультипликативной. В аддитивной форме записи операция

обозначается , нейтральный элемент - 0 , обратный элемент a . Как правило,

аддитивная форма записи используется для абелевых групп.

Множество K с двумя бинарными операциями , называется кольцом, если:

множество K с операцией является абелевой группой;

операция ассоциативна cbacba ;

выполняются законы дистрибутивности cbcacba и

cabacba .

Операции и в кольце называются, соответственно, сложением и

умножением. Кольцо называется коммутативным, если операция умножения

коммутативна, т.е. abba . Нейтральный элемент по сложению в кольце

называется нулем и обозначается 0 .

Произведение нуля на любой элемент кольца равно нулю. Если произведение

ненулевых элементов кольца равно нулю, то эти элементы называются

делителями нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется

целостным кольцом.

Если в кольце есть нейтральный элемент по умножению, то говорят, что кольцо

с единицей. Элемент кольца с единицей, для которого существует обратный

элемент по умножению, называется обратимым.

Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы

относительно операции умножения образуют группу. Ненулевые элементы

поля являются обратимыми. Поле не содержит делителей нуля. Для любого

целостного кольца существует поле, содержащее это целостное кольцо.

Следующие обозначения числовых множеств являются общепринятыми: N -

множество натуральных чисел; Z - кольцо целых чисел; Q - поле

рациональных чисел; R - поле действительных (вещественных) чисел.

6

Упражнения

1.1. Выяснить, образуют ли группу каждое из следующих множеств с

указанной операцией над элементами:

1) N (натуральные числа) относительно сложения;

2) Z (целые числа) относительно сложения;

3) Z относительно вычитания;

4) Z относительно операции , где 1 baba ;

5) Z2 (четные числа) относительно сложения;

6) nZ (целые числа, кратные данному натуральному числу n , где 2n ),

относительно сложения;

7) нечетные числа относительно сложения;

8) Z относительно умножения;

9) Q (рациональные числа) относительно сложения;

10) Q относительно умножения;

11) Q (положительные рациональные числа) относительно умножения;

12) 0\Q (рациональные числа, отличные от нуля) относительно умножения;

13) степени положительного действительного числа ( 1 ), с целыми

показателями относительно умножения;

14) Q относительно деления;

15) множество конечных десятичных дробей относительно сложения;

16) множество конечных десятичных дробей, отличных от нуля,

относительно умножения;

17) множество всех рациональных чисел, знаменатели которых

представляются в виде произведения натуральных чисел из данного конечного

множества M с целыми неотрицательными степенями, относительно

сложения;

18) множество всех положительных рациональных чисел, знаменатели

которых представляются в виде произведения натуральных чисел из данного

конечного множества M с целыми неотрицательными степенями,

относительно умножения;

19) Z относительно операции наибольший общий делитель;

20) множество пар рациональных чисел ba, , где 0a , с операцией

badacdcba ,,, ;

21) множество пар ba, различных по модулю рациональных чисел ( ba ),

с операцией bcadbdacdcba ,,, ;

22) множество 1,0 относительно конъюнкции;

23) множество 1,0 относительно операции (сложение по модулю 2);

24) множество 1,0 относительно дизъюнкции;

25) R (множество вещественных чисел) относительно сложения;

26) множество вещественных чисел на полуинтервале 1,0 относительно

операции , где baba ( - дробная часть );

7

27) множество 1,,1,0 n ( 1, nNn ) с операцией , где

nbaba mod ( namod - остаток от деления a на n );

28) множество всех подмножеств M2 не пустого множества M относительно

операции пересечения;

29) множество всех подмножеств M2 не пустого множества M относительно

операции объединения;

30) множество всех подмножеств M2 не пустого множества M относительно

операции симметрической разности (симметрической разностью двух множеств

называется множество, включающее все элементы исходных множеств, не

принадлежащие одновременно обоим исходным множествам).

1.2. Выяснить, образуют ли группу множество G с операцией (операция

задана таблицей, результат операции расположен на пересечении строки

и столбца ):

1) baG , ,

abb

baa

ba

; 2) baG , ,

bab

baa

ba

;

3) cbaG ,, ,

abcc

bcab

caba

cba

; 4) cbaG ,, ,

abcc

babb

cbaa

cba

.

1.3*. Пусть G - конечное множество, на котором определена ассоциативная

операция . Известно, что уравнения bxa и bax имеют не более

одного решения для любых Gba , . Доказать, что множество G с операцией

образует группу.

1.4. Пусть множество G с операцией образует группу, и Н - подмножество G . Доказать, что множество H с операцией образует группу тогда и только

тогда, когда Hba 1 для любых Hba , .

1.5*. Пусть множество G с операцией образует группу, и Н - конечное

подмножество G . Доказать, что множество H с операцией образует группу

тогда и только тогда, когда Hba для любых Hba , .

1.6. Пусть множество G с операцией образует группу. Доказать:

1) ee 1; 2) 11 nn

aa ;

3) aa 11

; 4) 111 abba ;

5) ababaa nn 11 6) если eabn , то eba

n .

1.7. Доказать, что если в группе квадрат каждого элемента равен нейтральному

элементу, то группа является коммутативной.

1.8. Выяснить, является ли множество с указанными операциями кольцом,

коммутативным кольцом, кольцом с единицей, целостным кольцом, полем

8

(если операции не указаны, то подразумевается обычное сложение и

умножение чисел):

1) Z (целые числа);

2) Z2 (четные числа);

3) множество, состоящее из одного нуля;

4) nZ (целые числа, кратные данному натуральному числу n );

5) Z относительно операций сложения и наименьшее общее кратное;

6) Z с операциями 2 baba и 1 bababa ;

7) числа вида 2ba с целыми a и b ;

8) Q (рациональные числа);

9) числа вида 3ba с рациональными a и b ;

10) числа вида 3 2ba с рациональными a и b ;

11) числа вида 33 93 cba с рациональными a , b и c ;

12) R (вещественные числа);

13) множество конечных десятичных дробей;

14) множество всех рациональных чисел, знаменатели которых

представляются в виде произведения натуральных чисел из данного конечного

множества M с целыми неотрицательными степенями;

15) множество вещественных чисел на полуинтервале 1,0 относительно

операций сложения и обычного умножения, где baba ( -

дробная часть от );

16) множество 1,0 относительно операций (сложение по модулю 2) и

& (конъюнкции);

17) множество 1,0 относительно операций (сложение по модулю 2) и

(дизъюнкции);

18) множество всех подмножеств M2 не пустого множества M относительно

операций симметрической разности (см. задачу 1.1.30) и пересечения;

19) множество всех подмножеств M2 не пустого множества M относительно

операций симметрической разности (см. задачу 1.1.30) и объединения;

20) функции с действительными значениями, непрерывные на отрезке 1,1 ,

относительно обычных сложения и умножения функций;

21) множество пар ba, рациональных чисел с операциями сложения

dbcadcba ,,, и умножения bdacdcba ,,, ;

22) множество пар ba, рациональных чисел с операциями сложения

dbcadcba ,,, и умножения adacdcba ,,, .

1.9. Доказать, что поле не содержит делителей нуля.

1.10. Доказать, что множество 1,,1,0 nZn ( 1, nNn ) относительно

операций сложения и умножения , где nbaba mod)( и

nabba mod)( ( na mod - остаток от деления a на n ), образует кольцо,

которое называется кольцом вычетов по модулю n . Найти все делители нуля в

nZ . Рассмотреть случаи 9,8,7,6,5,4,3,2n .

9

1.11*. Доказать, что конечное целостное кольцо является полем.

1.12*. Доказать, что кольцо вычетов nZ (см. задачу 1.10.) является полем тогда

и только тогда, когда n - простое число.

1.13. Пусть множество K образует кольцо относительно операций сложения и

умножения, и Н - подмножество K . Доказать, что множество H с теми же

операциями образует кольцо тогда и только тогда, когда Hba и Hba

при любых Hba ,

1.14*. Доказать равенство 11

1

6

1

2

1

n

n

nn методом математической

индукции.

1.15. Доказать равенство методом математической индукции ( Nn ):

1) 1

11 12

x

xxxx

nn , при 1x ;

2)

2

2112

1

11121

x

xxnxxnxnxx

nnn , при 1x ;

3)

2

1321

nnn ;

4) 212531 nn ;

5)

6

121941 2

nnn

n ;

6)

3

14122591

22

nnn ;

7)

4

12781

223

nnn ;

8) 1212271 223 nnn ;

9) 212

1

4

1

21

1

24

1

6

1

nnnnn .

1.16. Доказать неравенство методом математической индукции ( Nn ):

1) nxxn

11 , где 0x ; 2) nn

1

3

1

2

11 ;

3) nn

12

1

2

1

1

1222

; 4) 36666

n

;

5) nn

n aaan

aaa

21

21

, где 0,01 naa .

1.17. Доказать, что сторона правильного n2 угольника ( 2n ), вписанного в

окружность единичного радиуса, выражается формулой:

2

2222

n

.

10

2. Суммы

Для записи сумм и произведений приняты определенные соглашения.

Сумму nmm aaa 1 членов последовательности na записывают в виде

n

mj ja . В данной записи символ (большая греческая буква «сигма»)

означает сумму, символ j – индекс суммирования. Внизу, под знаком суммы

(или правее знака суммы) после знака равенства указывается начальное

значение индекса суммирования, вверху, над знаком суммирования (или правее

знака суммы) указывается максимальное значение индекса суммирования.

Например, 60

163

5

4

4

3

3

2

2

1

1

41

j j

j. Диапазон изменения индекса

суммирования может задаваться неравенствами, которые пишутся под знаком

суммы. В этом случае считают, что индекс суммирования принимает только

целые значения из указанного диапазона. Например,

4

31222222 21012

2

jj (заметим, что ту же сумму можно

записать в виде 2

22

jj ).

Пусть M – некоторое множество значений индекса суммирования. Сумма

членов последовательности na с номерами из M записывают в виде

Mj ja . Например, если 7,3,1M , то 8

17

8

7

4

3

2

1

1

Mj j

j.

Пусть M – некоторое конечное множество, f - функция, отображающая

множество M в кольцо K . Сумма значений функции f на всех элементах

множества M записывается в виде Mjjf . Например,

3

7

3

1

2

1

2

11

1

121,0

21

j jj (индекс суммирования в этой сумме -

набор из двух элементов 21, jjj , где 1,0, 21 jj ).

Приведем простейшие свойства сумм:

сумма не зависит от обозначения индекса суммирования

Mk kMj j aa ;

множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно вынести за

знак суммы

Mj jMj j aa ;

Если пересечение множеств M и T пусто, то

TMk kTi iMj j aaa ;

Произведение двух сумм равно сумме всех произведений

Mj kTk jTk kMj j baba ;

11

От перестановки слагаемых сумма не меняется

Tk Mj jkMj Tk jk aa .

Суммы, в которых используется подряд 2 знака суммирования, называются

двойными. Поскольку порядок сумм в записи не важен (от перестановки

слагаемых сумма не меняется), то двойная сумма, в которой диапазон

изменения индексов одинаков в обеих суммах, записывается как одинарная, с

указанием обеих индексов суммирования через запятую, например,

Mkj jkMj Mk jk aa,

. Аналогичное соглашение действует, если сумм

больше двух. Дополнительные ограничения на индексы, если они есть, пишутся

под знаком суммы, например, 32312131xxxxxxxx

ji ji .

Допустим, что члены последовательности na представляются в виде

разности соседних членов последовательности n , т.е. nnna 1 . Тогда,

для вычисления суммы n

mj ja можно воспользоваться формулой Ньютона-

Лейбница mnn

mj ja 1 . Например, из равенства

22

11 22jjjj

j

выводим

22

11 22mmnn

jn

mj

.

Произведение членов числовой последовательности naaa 21 записывают в

виде nj ja

1. В данном обозначении символ означает произведение,

символ j – индекс. Внизу, после знака равенства, указывается начальный

индекс, вверху – конечный индекс. Например, произведение чисел n 21 ,

называемое факториалом числа n (обозначается !n ), может быть записано в

виде nj

j1

. Далее, все соглашения о записи произведения полностью

аналогичны соответствующим соглашениям о записи суммы. Знак суммы

введен Эйлером в 1755г., а знак произведения введен Гауссом в 1812г.

Вычисление произведения положительных чисел логарифмированием сводится

к вычислению суммы (

Mj ja

Mj j ealn

).

Упражнения

2.1. Развернуть в сумму и вычислить:

1) 5

12

ii ; 2)

222

3

ii ;

3) 3

1 1iij

j ; 4) 41 jiij ;

5) 3

1, jiij ; 6)

102простоеj

jj ;

12

7) 51 kjiijk ; 8)

31,0 321kkkk .

2.2. Записать выражение, используя знак суммы:

1) 1231 n ;

2) 222 21 n ;

3) n2221 2 ;

4) ncos2cos1cos ;

5) nln2ln1ln ;

6) nnxxx 221 ;

7) !2

12

n

xxx

n

;

8) !2

1

!421

242

n

xxx nn

;

9) !12

1

!5!3

1253

n

xxxx

nn

;

10) 21222 1321 nn

;

11) 1221 nxxnxnn ;

12) сумму кубов натуральных чисел, не превосходящих n ;

13) сумму квадратов простых чисел, не превосходящих n ;

14) сумму всех произведений двух различных натуральных чисел, не

превосходящих n .

2.3. Вычислить сумму, используя формулу Ньютона-Лейбница:

1)

n

jj

1; 2)

nj

j1

12 ; 3) nj

j1

2 ;

4)

nj

jj1

2 133 ; 5) nj

j1

3 ; 6) n

jj

112 ;

7)

nj

jj1

2 ; 8) 11

312

jn

jj ; 9)

nj

jj1

12 2 ;

10)

nj jj1 1

1; 11)

n

jj

jj

j1

21

1; 12)

n

j

j

jj

j1

1

1

121.

2.4. Доказать следующие свойства сумм:

1)

Mj jMj j aa ;

2)

Mj jMj jMj jj aa ;

3)

TMk kTMk kTi iMj j aaaa ;

4)

Tk Mj jkMj Tk jk aa ;

5)

Mj kTk jTk kMj j baba ;

6)

nji jinj j

nj j aaaa

1122

12 ;

7)

mn

sssn

msk kskmk

kk

nj

jj xbaxbxa

0,min

,0max00.

13

16152015616

151010515

146414

13313

1212

111

6543210\ jn

Рис. 1. Треугольник Паскаля

3. Бином Ньютона

Обобщением формул квадрата суммы 2222 bababa и куба

суммы 3223333 babbaaba на случай произвольной натуральной

степени n является бином Ньютона. Рассмотрим степень двучлена nba ,

где n – натуральное число. После раскрытия скобок и приведения подобных

получим тождество

nj

jjnjn

nbaCba

0, где j

nC - некоторые числа,

называемые биномиальными коэффициентами.

Из равенства 1

nnbababa выводим соотношения 0

10

nn CC ,

11 n

nnn CC , и

jn

jn

jn CCC 1

11 , где nj ,,1 . Рассмотрим таблицу, на

пересечении n -ой строки и j -го столбца которой расположен биномиальный

коэффициент jnC (нумерация столбцов начинается с нуля). Формулы

01

0 nn CC , 1

1 n

nnn CC ,

jn

jn

jn CCC 1

11

позволяют заполнить строку таблицы по

известной предыдущей строке. Заполненная

таблица, до n не превосходящих шести,

приведена рис. 1. Приведенная схема

вычисления биномиальных коэффициентов

носит название «треугольник Паскаля».

Биномиальные коэффициенты имеют

простой комбинаторный смысл, jnC - равно

количеству j элементных подмножеств

n элементного множества. Биномиальный коэффициент вычисляется по

формуле !!

!

jnj

nC j

n

(считаем 1!0 ). Для биномиальных коэффициентов

существует другое обозначение: j

nCj

n

. Бином Ньютона справедлив в любом

коммутативном кольце.

Упражнения

3.1. Раскрыть по биному Ньютона:

1) 51 x ; 2) 61 x ; 3) 42 x ;

4) 512 x 5) 432 x ; 6) 321 xx ;

7) 4cba ; 8) 5cba ; 9) 6cba ;

14

10)

62

xx ; 11)

71

xx ; 12)

61

1

xx .

3.2. Вычислить:

1) 57C ; 2) 5

8C ; 3)

6

8;

4) 1nC ; 5) 2

nC ; 6) 1nnC ;

7) 3nnC ; 8)

nj

jn

j C02 ; 9)

nj

jn

jjn C0

12 ;

10) n

jj

njjn C

032 ; 11)

nj

jn

jjn C0

32 ; 12) kn

nk

kj

jk CC 0 0

.

3.3. Указать член, содержащий 2x :

1) 521 x ; 2) 53 x ; 3) 721 xx ;

4) 6

32

xx ; 6)

5

21

xx ; 6)

42 3

12

xx .

3.4. Найти такое Nn , при котором 172 31

21 nCC n

nn .

3.5. Доказать, что значение выражения 32037 1 nnn , где Nn , делится без

остатка на 16.

3.6. Доказать тождества:

1) jnn

jn CC ; 2) 11

1

jn

jn

jn CCC ;

3) 2122 2

jn

jn

jn

jn CCCC ; 4) nn

jj

nC 20

;

5) 010

jn

jj

nC ; 6)

ks

sk

sjn

kjkn

CCC0

;

7) 10

2

nn

jj

n njC ; 8)

1

12

1

1

0

nj

C nnj

jn .

3.7. Доказать равенство:

1)

ni

inj

jinjincba

jinji

ncba

0 0 !!!

!;

2)

kjinni

inj

kjijink

nhcba

jinkji

nhcba

0 0 0 !!!!

!;

3) kk

k

jk

jn

j

jn

j

jjn

jk

nk

j j aajj

na

1

1

1

2

11

10 0 01

1 !!

!

;

4) 110 0 01

1

2

11 1

k

knn

j

jn

j

jjn

jCk

k

.

3.8. Доказать, что в поле вычетов nZ ( n - простое число) справедливо

равенство nnnbaba .

15

4. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного

числа

Пусть ba, – вещественные числа. Числа вида ibaz , где 12 i

называются комплексными. Комплексное число i называется мнимой

единицей. Представление комплексного числа в виде ibaz называется его

алгебраической формой. Коэффициент a в этом представлении называется

вещественной (действительной) частью комплексного числа и обозначается

zRe . Коэффициент b называются мнимой частью комплексного числа и

обозначается zIm .

Операции с комплексными числами 111 ibaz и 222 ibaz

проводятся по следующим правилам:

212121 bbiaazz ;

212121 bbiaazz ;

1221212121 babaibbaazz ;

22

22

2112

22

22

2121

2

1

ba

babai

ba

bbaa

z

z

.

Формулы сложения и вычитания получаются путем перегруппировки

членов. Формула умножения комплексных чисел получается раскрытием

скобок, заменой 2i на 1 , и приведением подобных. Формула деления

получается умножением числителя и знаменателя дроби на комплексное число

22 iba с последующим раскрытием скобок.

Комплексно сопряженным к числу ibaz называется число

ibaz . Операция комплексного сопряжения сохраняет операции, то есть:

1) 2121 zzzz ; 2) 2121 zzzz ; 3) 2121 zzzz ;

4) 2

1

2

1

zz

zz

; 5) zz ; 6) Rzz .

Упражнения

4.1. Вычислить:

1) ii 321 ; 2) 21 i ;

3) ii 12Re ; 4) ii 5241Im ;

5) ii 5241Re ; 6) ii 561Im ;

7) iii 1321 ; 8) iii 2321 ;

16

9)

4

2

3

2

1Im i ; 10)

6

2

32

2

32Re i .

4.2. Вычислить:

1) i

i

1

21; 2)

i

i

1

2; 3)

4

6

31

31

i

i

;

4)

i

i

2

21Re ; 5)

i43

5Re ; 6)

i

i

21

43Im ;

7)

3

2

1

21Im

i

i

; 8)

41j

ji ; 9)

311j ji

ij.

4.3. Доказать свойства сопряженных чисел 1 - 6.

4.4*. Извлечь корень i43 .

4.5. Извлечь корень:

1) i2 ; 2) i247 ; 3) i2

3

2

1 .

4.6. Найти комплексные корни уравнения:

1) 012 x ; 2) 092 x ;

3) 0522 xx ; 4) 02122 ixx ;

5) 023222 ixix ; 6) 03432 ixix .

4.7. Найти действительные значения x и y из уравнения:

1) iyixi 23785 ; 2) iyixi 51941781 ;

3) iyixi 325625 ; 4) iyixi 31392514 .

4.8. Найти комплексные числа, удовлетворяющие системе уравнений:

1)

izizi

izizi

3111

111

21

21; 2)

iziiz

iziiz

35232

221

21

21;

3)

izizi

izizi

453224

62243

21

21; 4)

82323

622

21

21

zizi

zizi;

5)

3013

202

102

ziiyix

izyx

ziyx

; 6)

iziyix

iizyix

iziyxi

22

22

12

.

4.9. Найти комплексное число z , для которого:

1) izzz 422 ; 2) izzz 3 ;

3) izzz 7 ; 4) iiziz 331 .

4.10. Решить уравнения:

1) 014 x ; 2) 0124 xx ;

3) 0124 xx ; 4) 01234 xxxx .

17

Re(z)

Im(z)

z=a+ib

b r

a

Рис. 2. Комплексная плоскость

5. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма

комплексного числа

Комплексному числу ibaz поставим в соответствие точку плоскости c

координатами ba, , которую обозначим через z (см. рис.2). Для вектора,

соединяющего начало координат, с этой точкой определим понятие длины r и

угла с осью, по которой откладывается вещественная часть. Длину r вектора

назовем модулем комплексного числа и обозначим через z , а угол назовем

аргументом комплексного числа и обозначим zarg . Для нуля аргумент не

определен.

Пусть zr , zarg . Имеют место

соотношения 22 bar , cosra и

sinrb . Подставим полученные выражения

для вещественной и мнимой части

комплексного числа в его алгебраическую

форму, вынесем модуль за скобки и получим

тригонометрическую форму комплексного

числа sincos irz .

Пусть 1111 sincos irz и

2222 sincos irz . Произведение 21zz равно

2121212121 cossinsincossinsincoscos irr . Учитывая, что

косинус суммы 21cos равен 2121 sinsincoscos , а синус суммы

21sin равен 2121 cossinsincos , выводим формулу умножения

комплексных чисел в тригонометрической форме

21212121 sincos irrzz . При умножении комплексных чисел

их модули перемножаются, а аргументы складываются. Частное

комплексных чисел 1z и 2z равно 22

11

2

1

2

1

sincos

sincos

i

i

r

r

z

z

. Умножим

числитель и знаменатель дроби на 22 sincos i , выводим формулу

21212

1

2

1 sincos ir

r

z

z. При делении комплексных чисел,

модуль частного равен отношению модуля делимого к модулю делителя, а

аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Умножив число sincos irz само на себя n раз, получим формулу

Муавра – Лапласа ninrz nn sincos .

Комплексное число )sin(cos irz имеет ровно n комплексных

корней степени n , которые в тригонометрической форме представляются в

18

виде

n

ki

n

krn 2

sin2

cos , где 1,...,1,0 nk . На комплексной

плоскости множество корней из z степени n образует правильный n угольник,

вписанный в окружность радиуса n r с центром в начале координат.

Поскольку справедливо равенство nn n zz 1 , то особый интерес

представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить, что это

множество образует группу относительно операции умножения. Более того,

множество корней степени n представляется как степень одного из корней, т.е.

1,...,1,0

2sin

2cos1 nk

ni

n

kn

. На комплексной плоскости

множество корней степени n образуют правильный n угольник, вписанный в

окружность единичного радиуса.

Корень степени n из 1 называется первообразным, если последовательным

возведением его в степень можно получить все корни степени n из 1. Корень

степени n из 1 вида n

ki

n

k 2sin

2cos является первообразным тогда и

только тогда, когда наибольший общий делитель k и n равен 1.

В заключение, приведем ряд свойств модуля и аргумента комплексного

числа:

zz ;

zz argarg ;

2121 zzzz ;

2121 argargarg zzzz ;

nn zz ;

znzn argarg ;

2

1

2

1

z

z

z

z ;

212

1 argargarg zzz

z

;

2121 zzzz .

19

Упражнения

5.1. Изобразить число на комплексной плоскости и записать его в

тригонометрической форме:

1) i1 ; 2) i ; 3) 5 ; 4) 4 ;

5) i2 ; 6) i1 ; 7) i1 ; 8) i1 ;

9) i3 ; 10) 31 i ; 11) 31 ; 12) 31i

13) i43 ; 14) 0; 15) 1sin1cos i ; 16) 1sin1cos i ;

17) 31 ; 18) i21 ; 19) 1sin1cos i ; 20) 32 ;

21) 22 ; 22) 62 i ; 23)

2arg

; 24) i

13

13.

5.2. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

1) sincos i ; 2) cossin i ; 3) cossin i ;

4) sincos i ; 5) sincos1 i ; 6) sincos1 i ;

7) sincos1 i ; 8) sincos1 i ; 9) cossin1 i ;

10) cossin1 i ; 11) cossin1 i ; 12) cossin

1 i ;

13) sincos

1 i ; 14)

sincos

1 i ; 15)

cossin

1 i ;

16) tgi 1 ; 17) tgi 1 ; 18) itg ;

19) sincos i ; 20) sini ; 21) cos1 i .

5.3. Вычислить:

1)

15

2

1

2

1

i ; 2)

15

2

3

2

1

i ; 3)

17

13

1

1

i

i

;

4)

24

22

31

i; 5) 10

31 i ; 6) 1222 i ;

7)

30

1

3

i

i; 8) ni ; 9) n

i3

31 ;

10) ni

331 ; 11) n

i8

1 ; 12) ni

41 ;

13)

nn

i

i

3

12

; 14) ni sincos ; 15) ni sincos ;

16) ni cossin ; 17) ni cossin ; 18) nitg .

5.4. Доказать, что

ntgi

ntgi

tgi

tgin

1

1

1

1.

20

5.5. Найти комплексное число, для которого:

1) izz 48 ; 2) izz 42 ;

3) izz 39 ; 4) iziz 51 .

5.6*. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие соотношению 2zz .

5.7. Найти комплексные числа, удовлетворяющие соотношению:

1) ziz

2

3

2

1; 2) 331 ziz .

5.8*. Найти геометрическое место точек на комплексной области:

1) 2241 izi ; 2) 3211arg izi .

5.9. Найти геометрическое место точек на комплексной области:

1) 4arg z ; 2) 3arg 2 z ; 3) 321arg zi ;

4) 421arg izi ; 5) 2z ; 6) 3 iz ;

7)

2arg

3

2)1(

z

zi

; 8)

1Re

22)1(

z

izi; 9)

2arg

3

1ImRe

z

zz.

5.10. Доказать свойства модуля и аргумента комплексного числа

1) zz ; 2) zz argarg ;

3) 2121 zzzz ; 4) 2121 argargarg zzzz ;

5) 2

1

2

1

z

z

z

z ; 6) 21

2

1 argargarg zzz

z

;

7) nn zz ; 8) znzn argarg ;

9) 2121 zzzz ; 10) 2121 zzzz ;

11) 2121 zzzz ; 12) 2121 zzzz ;

13) если 1z , то 32 izz ; 14) если 2z , то 951 2 z ;

15) если 5,0z , то 4

31 3 izzi ;

16) 212121 ,min zzzzzz 21 argarg zz .

5.11*. Выразить в виде многочлена от синуса и косинуса:

1) x4cos ; 2) x5sin .

5.12. Выразить в виде многочлена от синуса и косинуса:

1) x3cos ; 2) x3sin ;

3) x5cos ; 4) x4sin .

5.13*. Выразить x5cos в виде многочлена от xcos .

5.14. Выразить в виде многочлена от функции не кратного аргумента:

1) x3cos ; 2) x3sin ;

3) x4cos ; 4) x5sin .

21

5.15*. Представить xtg 5 в виде рационального выражения от xtg .

5.16. Представить в виде рационального выражения от функции не кратного

аргумента:

1) xtg 2 ; 2) xсtg 3 ;

3) xсtg 4 ; 4) xtg 6 .

5.17*. Найти многочлен xarccos4cos .

5.18. Найти многочлен:

1) xarccos3cos ; 2) xarccos6cos ;

3) xarcsin3sin ; 4) xarcsin5sin .

5.19. Найти рациональную функцию xarctg4tg .

5.20*. Представить в виде суммы косинусов и синусов кратных углов с

числовыми коэффициентами xx 34 cossin .

5.21. Представить в виде суммы косинусов и синусов кратных углов с

числовыми коэффициентами:

1) x3cos ; 2) x3sin ;

3) xx 2cossin ; 4) xx cossin2 .

5.22. Пусть .2

sin2

cosn

in

Вычислить следующие суммы:

1) 121 n ; 2) 112 )1(1 nn ;

3) nnnnnn CCCC 2210 ; 4) nn

nn

nnn CCCC )1(2210 ;

5) 12321 nn ; 6) 112 1321 nn

n .

5.23*. Вычислить сумму nj

jx0cos .

5.24. Вычислить сумму:

1)

n

jjx

13cos ; 2)

nj

jx1

5sin ;

3)

n

jj

n jxC0

cos ; 4)

1

11cos

n

jxjj .

5.25. Извлечь корни и изобразить на комплексной плоскости:

1) 3 i ; 2) i22 ; 3) 3 8i ;

4) 4 4 ; 5) 4 81 ; 6) 5 1531 i ;

7)

4

8

12

1

1

i

i

; 8) 7 128 ; 9) 8

3

1

i

i

.

5.26. Найти первообразные корни из 1 степени:

1) 6; 2) 5; 3) 8;

4) 12; 5) 24; 6) 15;

7) 18; 8) 13; 9) 36.

5.27. Выразить в радикалах:

1) 5

2cos

; 2)

5

4cos

; 3)

5

2sin

;

22

4) 5

4sin

; 5)

8cos

; 6)

12sin

.

5.28*. Упростить сумму:

1) 313

njj

nC ; 2)

3113

njj

nC ; 3)

3123

njj

nC ;

5.29. Упростить сумму:

1) 414

njj

nC ; 2)

4114

njj

nC ;

3)

4124

njj

nC ; 4)

4134

njj

nC .

6. Кольцо многочленов

Пусть naaa ,,, 10 - элементы кольца K ( 0na ), x - переменная. Конечная

сумма вида nnxaxaxaa 2

210 называется многочленом (полиномом)

степени n над кольцом K . Множество всех многочленов над кольцом K

обозначим через xK . Любой ненулевой элемент кольца K является

многочленом нулевой степени (0 - единственный многочлен, степень

которого не определена). Многочлены называются равными, если равны их

коэффициенты при одинаковых степенях.

На множестве многочленов xK введем операции сложения и умножения.

Пусть

nj

jj xaxa

0 и

mj

jj xbxb

0.Операция сложения определяется

формулой

mn

jj

jj xbaxbxa,max

0(коэффициенты многочленов, с

номером больше степени многочлена, равны 0). Операция умножения

полиномов определяется формулой

nj

kjmk kj xbaxbxa

0 0.

Обозначим через

mn

jj

j xcxc0

произведение многочленов xbxa . После

приведения подобных получим imni

ij jij xbaxc

0 0

. Таким образом,

найдены формулы для вычисления коэффициентов произведения

ij jiji bac

0, где mni ,...,0 . Множество многочленов xK

относительно операций сложения и умножения многочленов образует кольцо,

получившее название кольцо многочленов.

Пусть xKxbxa , , где K - коммутативное кольцо. Под задачей

деления многочлена xa на многочлен xb над кольцом K будем понимать

задачу построения такого многочлена xKxc , что степень многочлена

xcxbxaxr - наименьшая. Если задача деления имеет единственное

решение, то многочлен xc называется частным от деления, а многочлен xr

называется остатком от деления. Если остаток от деления равен 0, то полином

xa делится на полином xb .

23

12 2 xx

xxx 224 23 12 x

12 2 xx

12 2 xx

22 x

частное

остаток

104 23 xxx

Рис. 3. Деление «уголком»

Достаточным условием

возможности деления многочлена xa на

многочлен xb над кольцом K является

обратимость mb в кольце K ( mb -

коэффициент xb при старшей степени m ).

Пусть степень xa , равна mn . Из

требования минимальности степени остатка

и правила умножения многочленов

выводим, что степень частного xc равна

mn и nmmn abc 1 . Далее, задача деления

многочлена xa на многочлен xb

сводится к аналогичной задаче деления многочлена mnmn xcxbxaxa

~

на xb , причем степень xa~ строго меньше степени xa . Если mn , то

частное равно нулю, а остаток совпадает с делимым многочленом. Таким

образом, частное и остаток от деления определяются однозначно. Алгоритм

деления оформляют «уголком» и

внешне он похож на

аналогичный алгоритм деления с

остатком для целых чисел.

Пример деления «уголком»

многочлена 14 3 xx на

многочлен 12 2 xx приведен

на рис. 3.

Любой ненулевой элемент поля является обратимым, поэтому над полем

определена операция деления с остатком любого многочлена на

произвольный ненулевой многочлен.

Пусть K - коммутативное кольцо с 1. При делении на двучлен ax

можно воспользоваться более компактной схемой деления, называемой схемой

Горнера. В основе этой схемы лежит очевидный факт, что при выполнении

деления «уголком» на каждом шаге меняется только один коэффициент в

текущем «остатке». Поэтому, схему деления «уголком» можно записать в одну

строчку. Пример деления 132 3 xx на двучлен ax по схеме Горнера

приведен на рис. 4.

Определим операцию подстановки Kk в многочлен xa . При

выполнении данной операции, вместо переменной x подставим k , и в

результате выполнения алгебраических операций получим элемент кольца,

который называется значением многочлена и обозначается ka . Если

значение многочлена ka равно 0, то k называется корнем многочлена. Над

коммутативным кольцом с единицей справедлива теорема Безу:

Остаток от деления многочлена xf на двучлен x равен f .

остатокчастное

xf32 2312322

1302

Рис.4 Деление по схеме Горнера

Рис. 4. Деление на двучлен по схеме

Горнера

24

Упражнения

6.1. Перемножить многочлены над указанным кольцом:

1) 232 11 xxxxx над Z ; 2) 232 332 xxxx над Q ;

3) 321 xxx над R ; 4) 221 xx над Z ;

5) 321 xx над Z ; 6) xxx 31211 2 над Z ;

7) 232 11 xxxxx над 2Z ; 8) 22 22322 xxxx над 4Z ;

9) 2332 xx над 6Z ; 10) 221 xx над 2Z ;

11) 321 xx над 3Z ; 12) 22 331221 xxxx над 6Z .

6.2. Найти степень многочлена и коэффициент при его старшей степени над

указанным кольцом:

1) 232 121 xxxxx над Z ; 2) 232 3332 xxxx над Q ;

3) 3222 121 xxxx над Z ; 4) 342 2122 xxx над 3Z .

6.3. Найти частное и остаток от деления xa на xb над указанным кольцом:

1) 1232 234 xxxxxa , 332 xxxb над Q ;

2) 32 23 xxxxa , 123 2 xxxb над R ;

3) 13 23 xxxxa , 123 2 xxxb над C ;

4) 3xxa , ixxb над C ;

5) 4xxa , 21 xxb над Z ;

6) 5xxa , 13 xxxb над 2Z ;

7) 122 234 xxxxxa , 12 2 xxxb над 3Z ;

8) 32 23 xxxxa , 223 2 xxxb над 4Z .

6.4. Поделить с помощью схемы Горнера полином xa на двучлен xb над

указанным кольцом:

1) 2222 234 xxxxxa , 2 xxb над Z ;

2) 9106 234 xxxxxa , 1 xxb над Z ;

3) 2222 234 xxxxxa , 12 xxb над Q ;

4) 624 xxxxa , 2 xxb над R ;

5) 4xxa , ixxb над C ;

6) ixixixixxa 1016337251 234 , ixxb 1 над C ;

7) 1816357258 234 xixixixxa , 2 xxb над C ;

8) 124 xxxxa , 1 xxb над 2Z ;

9) 22 234 xxxxxa , 1 xxb над 3Z .

25

6.5*. С помощью схемы Горнера разложить полином 2553 234 xxxx по

степеням 1x над полем рациональных чисел.

6.6. Разложить полином xa по степеням двучлена xb над указанным

кольцом (по схеме Горнера):

1) 23234 xxxxxa , 1 xxb над Z ;

2) 1234 xxxxxa , 1 xxb над Z ;

3) 22 23 xxxxa , 12 xxb над Q ;

4) 2322 23 xxxxa , 2 xxb над R ;

5) 4xxa , ixxb над C ;

6) ixxixixxa 333414 234 , ixxb над C ;

7) 1234 xxxxxa , 1 xxb над 2Z ;

8) 12 234 xxxxa , 12 xxb над 3Z .

6.7*. С помощью схемы Горнера найти коэффициенты многочлена:

121211222112 xxxxxxxxxxxxxx

123 x .

6.8. Найти коэффициенты многочлена xa над указанным кольцом (по схеме

Горнера):

1) 11251222123 xxxxxxxxxxa над Z ;

2) 2111111 xxxxxiixxxxxa над C ;

3) 101312122

xxxxxxa над Z ;

4) 32231311 xxxxxxxa над Z ;

5) 4322422132121 xxxxxxxa над Z ;

6) 422341121 xxxxxxxa над 3Z ;

7) 123122312 xxxxxxxa над 6Z .

6.9. Найти остаток от деления многочлена 1242580100 xxxxxx на

xb над указанным кольцом:

1) 1 xxb над Z ; 2) 1 xxb над 2Z ;

3) 1 xxb над 3Z ; 4) 1 xxb над Z ;

5) ixxb над C ; 6) 1 xxb над 4Z .

6.10*. Найти остаток от деления многочлена 12 57824 xxxx на двучлен

12 x .

6.11*. Найти остаток от деления многочлена 12391843 xxxxx на

трехчлен 21x .

6.12*. При каких вещественных значениях a и b многочлен baxx 100

делится на трехчлен 12 xx .

6.13. При каких условиях xa делится на xb над кольцом целых чисел:

26

1) 210 xxxa m , 12 xxb ;

2) 11 mmxxxa , 12 xxxb ;

3) 11 mmxxxa , 12 xxxb ;

4) 12 mm xxxa , 12 xxxb ;

5) 23133 pnm xxxxa , 12 xxxb ;

6) 23133 pnm xxxxa , 124 xxxb .

6.14. Найти сумму коэффициентов многочлена

1) 101x ; 2) 2192300199200 223200200 xxxxx .

7. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Многочлен, который делится на многочлены xf и xg называется их

общим кратным. Многочлен, который делит xf и xg , называется их

общим делителем. В кольце многочленов над полем P определены понятия:

наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Общее кратное

многочленов xf и xg , являющееся делителем любого общего кратного

многочленов xf и xg называется наименьшим общим кратным и

обозначается xgxfНОК , . Общий делитель многочленов xf и xg ,

который делится на любой общий делитель многочленов xf и xg

называется наибольшим общим делителем и обозначается xgxfНОД , .

Наибольший общий делитель многочленов и их наименьшее общее кратное

определено с точностью до ненулевого множителя (из поля P ). Если положить

коэффициенты при старших степенях наибольшего общего делителя и

наименьшего общего кратного равными 1, то справедливо равенство

xgxfxgxfНОДxgxfНОК ,, , где - произведение

коэффициентов при старших степенях многочленов xf и xg .

Если наибольший общий делитель многочленов - многочлен нулевой

степени (т.е. равен 1), то многочлены называются взаимно простыми.

Наибольший общий делитель можно найти алгоритмом Евклида,

который основан на равенстве xgxgxuxfНОДxgxfНОД ,, ,

справедливом для любого многочлена xu . Положив xu равным частному от

деления xf на xg , задачу построения наибольшего общего делителя сводим

к аналогичной задаче для многочленов меньших степеней. Алгоритм закончит

работу, когда один из многочленов станет равным 0.

Для многочленов xf и xg найдутся многочлены xu и xv ,

называемые коэффициентами Безу, что степень xu меньше степени xg , а

степень xv меньше степени xf и xgxfНОДxgxvxfxu , . Для

поиска коэффициентов Безу используется расширенный алгоритм Евклида

(см. задачу 7.5).

27

Упражнения

7.1. Доказать свойства:

1) наибольший общий делитель многочленов равен их общему делителю

наибольшей степени;

2) наименьшее общее кратное многочленов равно их общему кратному

наименьшей степени;

3) xgxgxvxfНОДxgxfНОД ,, для любого xv ;

4) 1, xxfНОД тогда и только тогда, когда 0f ;

5) xgxfxgxfНОДxgxfНОК ,, , где - произведение

коэффициентов при старших степенях многочленов xf и xg ;

6) если 1, xgxvНОД , то xgxfНОДxgxfxvНОД ,, ;

7) пусть M - конечное множество чисел. Многочлен

Maax взаимно

простой с xf тогда и только тогда, когда 0af для всех Ma ;

8) если 1, xgxvНОД , то xgxfНОКxvxgxfxvНОК ,, ;

9) если 1, xgxvНОД и 1, xfxvНОД , то 1, xfxgxvНОД ;

10) если 1, xfxgxvНОД , то 1, xgxvНОД и 1, xfxvНОД ;

11) 222,, xgxfНОДxgxfНОД .

7.2. Найти наибольший общий делитель многочленов алгоритмом Евклида

(если поле не указано, то подразумевается поле рациональных чисел):

1) 14 x и 16 x ;

2) 143 234 xxxx и 123 xxx ;

3) 1232412718 234 xxxx и 4956 23 xxx ;

4) 122223918 234 xxxx и 21176 23 xxx ;

5) 12345 xxxx и 2223 234 xxxx ;

6) 3210 xx и 29 xx ;

7) 124 xxx и 12 x над 2Z ;

8) 14 xx и 12 2 x над 3Z .

7.3. Найти наибольший общий делитель многочленов над полем рациональных

чисел:

1) 32321 xxx и 323

421 xxx ;

2) 5321 xxxx и 423 47 xxx ;

3) 32100 xx и 4399 xx ;

4) 1nx и 1mx .

7.4. Найти наименьшее общее кратное многочленов над полем рациональных

чисел:

1) 14 x и 16 x ;

28

2) 1254152 24356 xxxxxx и xxx 34 52 ;

3) 11 xxx и 102351 xxx .

7.5*. Для многочленов с рациональными коэффициентами

1223 2345 xxxxx и 34 24 xx найти наибольший общий делитель и

коэффициенты Безу расширенным алгоритмом Евклида.

7.6. Расширенным алгоритмом Евклида найти наибольший общий делитель

многочленов и коэффициенты Безу:

1) 14 x и 16 x ;

2) 223 23 xxx и 12 xx ;

3) 5275 234 xxxx и 7126 23 xxx ;

4) 12453 234 xxxx и 123 23 xxx ;

5) 1642 234 xxxx и 353 xx ;

6) 12 34 xxx и 122 234 xxxx ;

7) 124 xxx и 13 x над 2Z ;

8) 22 4 xx и 12 3 x над 3Z .

7.7*. Методом неопределенных коэффициентов найти коэффициенты Безу для

взаимно простых многочленов 143 234 xxxx и 222 23 xxx .

7.8*. Найти многочлены )(xa и )(xb минимальной степени, удовлетворяющие

равенству 1)222()()143()( 223234 xxxxxbxxxxxa .

7.9. Найти коэффициенты Безу методом неопределенных коэффициентов:

1) 223 23 xxx и 12 xx ;

2) 14 x и 15 x ;

3) 4321 xxxx и 4321 xxxx

4) 13 xx и 41x над 2Z ;

5) 24 xx и 31x над 3Z .

7.10*. Освободиться от иррациональности в знаменателе 33 4221

1

.

7.11. Освободиться от иррациональности в знаменателе:

1) 33 9321

1

; 2)

33 25521

1

;

3) 231

1

aa , если 031 3 aa ; 4)

321

1

;

5) 3 321

1

; 6)

221

1

.

7.12*. Пусть 1, xgxfНОД . Доказать, что найдутся такие многочлены

xh и xh , для которых

xg

xv

xf

xh

xgxf

1.

29

7.13. Представить в виде суммы дробей:

1) 1

1

xx; 2)

21

1

xxx;

3) 22 1

1

xx; 4)

21

12 xx

;

5)

222 1

1

xx

; 6)

22 11

1

xx

.

8. Интерполяционный многочлен

Задача построения многочлена наименьшей степени, который в заданных

точках, называемыми узлами интерполяции, принимает заданные значения,

называется задачей интерполяции. Решение задачи интерполяции называют

интерполяционным многочленом.

Пусть n ,,, 21 ( 1n ) – узлы интерполяции, а nyyy ,,, 21 -

значения. Положим

nijj ji xxw

,1 , где ni ,,1 . Очевидно, что

0jiw , при ji , и 0iiw . Многочлен

xww

yxf i

ni

ii

i

1

называют интерполяционным многочленом в форме Лагранжа.

Разностью первого порядка многочлена xf в узлах 10 , назовем

10

1010 ,

fff . Индуктивно определим разность порядка k

многочлена xf в узлах k ,,0 через разности 1k порядка по формуле:

k

kkk

fff

0

1100

,,,,,,

. Разность порядка k выражается

через значения многочлена в узлах

ki n

ijj ji

ik

ff

0

,0

0 ,,

, и,

следовательно, разность не зависит от порядка расположения ее аргументов.

Если степень многочлена xf равна n , то разность kxf ,,, 1

порядка k есть многочлен степени kn при kn . Если kn , то разность

порядка k равна нулю. Из определения разности порядка k выводим равенство,

позволяющее выразить многочлен через соответствующие разности

kk xfxxfxfxf ,,,, 112111 . При

решении задачи интерполяции 0,,, 1 nxf , и, значит, получаем

представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона

nn fxxfxfxf ,,, 1112111 .

30

Упражнения

8.1. Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа:

1) 33913

3210

y

x; 2)

32824

3210

y

x;

3) 13

11

iiy

iix

; 4)

1131

11

y

iix;

5) 91131

12345

y

x; 6)

42611062

12321

y

x.

8.2*. Разложить в сумму простых дробей (с помощью интерполяционного

многочлена в форме Лагранжа) 21

22

xxx

x.

8.3. Разложить в сумму простых дробей (с помощью интерполяционного

многочлена в форме Лагранжа):

1) 211 xxx

x; 2)

212

12

xxx

x;

3) 21

22

xxx

xx; 4)

212

13

xxxx

x;

5) 211

12

xxxx

xx; 6)

212

123

xxxx

xx;

7) 41

222

2

xxx

x; 8)

41

222

2

xxx

xx;

9) 1

16

x

x; 10)

1

1

nx.

8.4*. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона

424071

11320

y

x .

8.5. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона:

1) 294321

43210

y

x; 2)

251111

43210

y

x;

3) 4110521

43210

y

x; 4)

846412

32112

y

x;

5) 91131

12345

y

x; 6)

232261

23110

y

x.

8.6. Найти сумму (используя интерполяционный многочлен в форме Ньютона):

1)

nin iS

12

; 2)

nin iS

13

;

31

3)

nin iiiS

111 ; 4)

ni in CS

22 ;

5)

ni in CS

33

; 6) n

i

k

kin CS1

, Nk .

8.7. Многочлен xf при делении на 1x имеет остаток 1, на 2x имеет

остаток 3, на 3x имеет остаток 5, на 4x имеет остаток 6. Найти остаток

от деления xf на 4321 xxxx .

8.8. Показать, что многочлены над числовым полем равны тогда и только тогда,

когда их значения совпадают на любом элементе поля.

9. Неприводимый многочлен, его свойства

Многочлен, с коэффициентами из поля P , называется неприводимым над

полем P , если его нельзя представить в виде произведения многочленов

меньших степеней с коэффициентами из этого поля. Например, многочлен

22 x неприводим над полем рациональных чисел и приводим над полем

вещественных чисел ( 2222 xxx ). Многочлены первой степени

неприводимы над любым числовым полем.

Многочлен над полем P единственным образом раскладывается в

произведение неприводимых над полем P многочленов, с точностью до

перестановки сомножителей и числовых множителей.

Многочлен степени n имеет не более n корней.

Приведем простейшие свойства неприводимых многочленов

Если xh - неприводимый многочлен и произведение xgxf делится

на xh , то один из сомножителей ( xf или xg ) делится на xh .

Если xh - неприводимый многочлен, то либо 1, xhxfНОД , либо

xf делится на xh .

Пусть xhxh k,,1 - неприводимые многочлены и jtk

j j xhxf

1,

kj

nj

jxhxg1

, тогда jj ntk

j j xhgfНОД,min

1,

и

jj ntkj j xhgfНОK

,max1

, .

Множество многочленов из xP , степень которых не превосходит k ,

обозначим через xPk . Пусть xh - неприводимый над полем P многочлен

степени n ( 2n ). На множестве xPn 1 введем операцию :

xhxgxfxgxf mod , где xaxb mod - остаток от деления xb

на xa . Множество xPn 1 относительно операций сложения и образует

поле, являющееся расширением поля P . Говорят, что это поле получено

присоединением к полю P корня xh . Поле, над которым многочлен

раскладывается в произведение линейных множителей, называется полем

32

разложения многочлена. Для любого многочлена xf над полем P

существует расширение поля P , являющееся полем разложения xf .

Упражнения

9.1. Доказать свойство:

1) если произведение многочленов xgxf делится на многочлен xh и

1, xhxfНОД , то xf делится на xh ;

2) если произведение многочленов делится на неприводимый многочлен, то

один из сомножителей делится на него;

3) если многочлен степени n неприводим над полем P , то он взаимно

простой с любым многочленом степени меньше n ;

4) многочлен второй степени неприводим над полем P тогда и только тогда,

когда у него нет корней в поле P ;

5) многочлен третьей степени неприводим над полем P тогда и только

тогда, когда у него нет корней в поле P ;

6) многочлен степени n неприводим над полем P тогда и только тогда,

когда он взаимно простой с любым многочленом над полем P степени не выше

2n ;

7) если многочлен xf - неприводимый над полем P , то многочлен

xf - то же неприводимый над полем P .

9.2. Является ли многочлен неприводимым над полем Q , R , C :

1) 12 x ; 2) 22 x ; 3) 16 x ;

4) 14 x ; 5) 24 x ; 6) 124 xx .

9.3. Является ли многочлен неприводимым над полем вычетов по модулю 2:

1) 12 x ; 2) 12 xx ; 3) 13 xx ;

4) 124 xx ; 5) 134 xx ; 6) 125 xx .

9.4. Является ли многочлен неприводимым над полем вычетов по модулю 3:

1) 22 x ; 2) 22 xx ; 3) 123 xx .

9.5. Выписать все неприводимые многочлены степени n в поле вычетов mZ :

1) 2m , 2n ; 2) 2m , 3n ; 3) 2m , 4n ;

4) 3m , 2n ; 5) 3m , 3n ; 6) 5m , 2n .

9.6. Разложить многочлен xa в произведение неприводимых многочленов над

2Z .

1) xxxa 4 ; 2) xxxa 8 ; 3) xxxa 16 .

9.7. Разложить многочлен xa в произведение неприводимых многочленов над

3Z .

1) 1235 xxxxa ; 2) xxxa 9 ; 3) xxxa 27 .

9.8. Разложить в произведение неприводимых многочленов над C:

1) 1100 x ; 2) 1nx ; 3) 10101 xx ;

33

4) 10101 xx ; 5) nn

xx 1 ; 6) nnxx 1 .

9.9. Присоединить к полю 2Z корень многочлена 12 xx . В полученном

поле разложить этот многочлен на линейные множители.

9.10. Присоединить к полю рациональных чисел корень многочлена 12 x . В

полученном поле разложить этот многочлен на линейные множители.

9.11. Расширить поле рациональных чисел до поля разложения многочлена

13 x .

10. Разложение многочлена над полем рациональных чисел

Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если

наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1. Многочлен с

рациональными коэффициентами единственным образом представляется в виде

произведения положительного рационального числа, называемого

содержанием многочлена, и примитивного многочлена. Произведение

примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Из данного факта

вытекает, что если многочлен с целочисленными коэффициентами приводим

над полем рациональных чисел, то он приводим над кольцом целых чисел.

Таким образом, задача разложения многочлена на неприводимые множители

над полем рациональных чисел сводится к аналогичной задаче над кольцом

целых чисел.

Пусть ini i xfxf

0

- многочлен с целыми коэффициентами и

содержанием 1, а - его рациональный корень. Представим корень многочлена

в виде несократимой дроби b

a . Многочлен xf представляется в виде

произведения примитивных многочленов )(xgabx . Следовательно,

a является делителем 0f (т.к. 00 agf );

b – делителем nf (т.к. 1 nn bgf );

для любого целого k значение kf – целое число, которое делится

без остатка на abk (т.к. kgabkkf ).

Перечисленные свойства позволяют свести задачу отыскания

рациональных корней многочлена к конечному перебору. Похожий подход

используется в разложении многочлена xf на неприводимые множители над

полем рациональных чисел методом Кронекера. Если многочлен xf степени

n приводим, то один из множителей имеет степень не выше 2n . Обозначим

этот множитель через xg . Поскольку все коэффициенты многочленов суть

целые числа, то для любого целого значение Zf делится без остатка на

g . Выберем 21 nm ( - максимальное целое число, не

превосходящее ) различных целых чисел i , где mi ,,1 . Для чисел ig

34

существует конечное число возможностей (число делителей любого ненулевого

числа конечно), следовательно, существует конечное число многочленов,

которые могут быть делителями xf . Осуществив полный перебор, либо

покажем неприводимость многочлена, либо разложим его в произведение двух

многочленов. К каждому множителю применим указанную схему до тех пор,

пока все множители не станут неприводимыми многочленами.

Неприводимость некоторых многочленов над полем рациональных чисел

можно установить с помощью критерия Эйзенштейна.

Пусть xf многочлен над кольцом целых чисел. Если существует

простое число p , что:

все коэффициенты многочлена xf , кроме коэффициента при

старшей степени, делятся на p ;

коэффициент при старшей степени не делится на p ;

свободный член не делится на 2p .

Тогда многочлен xf неприводим над полем рациональных чисел.

Следует отметить, что критерий Эйзенштейна даёт достаточные условия

неприводимости многочленов, но не необходимые. Так многочлен 12 xx

является неприводимым над полем рациональных чисел, но не удовлетворяет

критерию Эйзенштейна.

Многочлен 2nx , по критерию Эйзенштейна, является неприводимым.

Следовательно, над полем рациональных чисел найдётся неприводимый

многочлен степени n , где n любое натуральное число.

Упражнения

10.1. Доказать, что содержание произведения многочленов равно произведению

содержаний многочленов.

10.2. Найти содержание многочлена:

1) 63

42 2 xx ; 2) 6

2

12 2 xx ; 3) 6,0

2

1

3

1 2 xx ;

4) 151

1

ii

xi

; 5) 15

1532

i

iii x ; 6)

ii

xi

ix 2

2

1;

7)

5

33

3

24 xx ; 8)

5

35

3

23 xx ; 9) 35

3

42 2

xxx ;

10)

51

11

ix

i; 11)

51

1i i

x ; 12)

31

1i

i

ix .

35

10.3*. Найти рациональные корни многочлена

6102101110 2345 xxxxx .

10.4. Найти рациональные корни многочлена:

1) 14156 23 xxx ; 2) 4632 23 xxx ;

3) 6131024 23 xxx ; 4) 2418151310 234 xxxx ;

5) 6751112 234 xxxx ; 6) 3660476036 234 xxxx ;

7) 487453 2345 xxxxx ; 8) 3644242112 235 xxxx .

10.5*. Разложить на неприводимые множители над полем рациональных чисел

223 2345 xxxx .

10.6. Разложить на неприводимые множители над полем рациональных чисел:

1) 223 234 xxxx ; 2) 32723 234 xxxx ;

3) 1234 xxxx ; 4) 520218 234 xxxx ;

5); 2572 235 xxxx 6) 27342 2345 xxxxx .

10.7. Доказать неприводимость многочлена над полем рациональных чисел

(используя критерий Эйзенштейна):

1) 61268 234 xxxx ; 2) 6151292 235 xxxx ;

3) 1120166 234 xxxx ; 4)

1

1

x

x p

, где p - простое;

10.8*. Доказать, что уравнение 33 24 не имеет решения в

рациональных числах.

10.9. Доказать, что многочлен xf с целыми коэффициентами не имеет целых

корней, если 0f и 1f - нечетные числа.

10.10. Пусть многочлен xf с целыми коэффициентами принимает значения

по модулю равные 1 при двух целых значениях и . Доказать, что

многочлен не имеет рациональных корней, если 2 . Если же 2 ,

то рациональным корнем может быть только 2

.

10.11. Доказать неприводимость многочленов над полем рациональных чисел:

1) 121 nxxx ;

2) 121 nxxx , где n ,,, 21 - различные целые числа;

3) 122

22

1 nxxx , где n ,,, 21 - различные целые

числа.

10.12. Пусть p - простое число и многочлен xZxf , у которого

коэффициент при старшей степени не делится на p , - приводим над полем

рациональных чисел. Показать, что тогда многочлен xf приводим над полем

вычетов pZ .

10.13. Пусть p - простое число и многочлен xZxf , у которого

коэффициент при старшей степени не делится на p , - неприводим над полем

36

вычетов pZ . Доказать, что тогда многочлен xf неприводим и над полем

рациональных чисел.

10.14. Доказать, что многочлен 1nx неприводим над полем рациональных

чисел тогда и только тогда, когда kn 2 , для некоторого .0k

11. Формальная производная, ее свойства

Пусть )(xf - многочлен над коммутативным кольцом с единицей K .

Рассмотрим многочлен от двух переменных xfyxf как многочлен от

переменной y над кольцом xK . По теореме Безу, многочлен xfyxf

делится на y без остатка ( 00 xfxf ). Обозначим через ),( yxF

многочлен y

yfyxf )()( . Производной многочлена )(xf назовем многочлен

)0,(xF и обозначим ее через )(xf . Приведем свойства производной:

xgxfxgxf

;

xfxf ;

xfxgxgxfxgxf

.

Если )(xf делится на kx и не делится на 1

kx , то говорят, что

корень многочлена )(xf кратности k . Если корень многочлена )(xf

кратности k , то - корень его производной кратности не ниже чем 1k .

Производную порядка k от многочлена xf обозначим xf k . Будем

считать, что xf 0 - исходный многочлен. При вычислении производных

высокого порядка от произведения справедлива формула Эрмита,

напоминающая бином Ньютона xgxfCxgxf rjjr

rrj

j

0.

Пусть xf - многочлен с коэффициентами из числового поля P .

Построим многочлен xfxfНОД

xfxg

,, коэффициенты которого

принадлежат P . Многочлен xg раскладывается на такие же

неприводимые множители, что и xf , причем кратность каждого

множителя равна 1.

Для многочлена степени n над числовым полем P справедлива формула

Тейлора

jnj

j

xj

fxf

0 !

. В частности, отсюда вытекает

возможность вычисления значения производной j -го порядка в точке по

37

схеме Горнера. Выполнение условий 0if , при 1,,0 ki и

0kf равносильны тому, что - корень xf кратности k .

Рассмотрим обобщение задачи интерполяции. Требуется найти

многочлен наименьшей степени, у которого в каждом узле интерполяции

заданы значения многочлена и значения его производных до некоторого

порядка. Пусть k ,,1 - узлы интерполяции. В каждом узле j ( kj ,,1 )

заданы значения jif , где 1,,0 jsi . Существует единственный

многочлен, удовлетворяющий заданным условиям, степень которого меньше

kj js

1. Этот многочлен называется многочленом Эрмита. Он ищется в виде

xwxxf jkj

sm

mjjm

i

1

10

, где nsk

jnn nj xxw

,1 ,

kj ,,1 . Используя свойства производной, выводим

xwxrm

mCxf

rij

srm

rmjjm

kj

ir

ri

i i

11 0 !

! . Поскольку

0tijw ( при jt и 1,,0 tsi ), то

tri

ttrir

rit

i wrCf !0

.

Так как 0ttw , то tt

ti

twi

f

!0 ,

и

10 !!

1 ir

tri

ttrti

ttit

ri

w

i

f

w

, при 1,,1 tsi . Полученные

формулы позволяют рекуррентно вычислить все неопределенные

коэффициенты jm в многочлене Эрмита.

Упражнения

11.1. Доказать свойства производной:

1) xgxfxgxf

;

2) xgxfxgxf

;

3) xgxfxgxfxgxf

;

4) xfxf ;

5) 1 nn nxx ;

6)

nj

jj

nj

jj xjx

11

0 ;

7) xgxgfxgf

;

38

8) Если xf делится на xg , то

2xg

xgxfxgxf

xg

xf

;

9) xgxfCxgxf ikiki

ik

k 0

.

11.2. Найти производную многочлена xf , заданного над кольцом K :

1) 12 xxxf над 2Z ; 2) xxxf 3 над 3Z ;

3) 1232 246 xxxxf над 4Z ; 4) 123 346 xxxxf над 6Z .

11.3. Разложить многочлен xa по формуле Тейлора в точке :

1) 2553 234 xxxxxa , 1 ;

2) 5xxa , 1 ;

3) 6xxa , i .

11.4. С помощью схемы Горнера вычислить значение многочлена и всех его

производных в точке :

1) 273 24 xxx , 1 ; 2) 5x , 1 ;

3) 5x , i ; 4) ixxix 3334 24

, i .

11.5. Отделить кратные множители:

1) 122 2345 xxxxx ;

2) 84104 2345 xxxxx ;

3) 275492836 23456 xxxxxx ;

4) 278163193135 234567 xxxxxxx .

11.6. Определить кратность корня :

1)

!0 j

fxxf

jjkj

;

2)

fxffxfx

2.

11.7*. Построить многочлен Эрмита, если 11 f , 21 f , 72 f , 11 f .

11.8. Найти многочлен наименьшей степени, дающий в остатке

1) x2 при делении на 21x и x3 при делении на 32x ;

2) 12 xx при делении на 41x и x3 при делении на 32x .

11.9*. При каких cba ,, многочлен 1234 cxbxaxx имеет 1 корнем не

ниже третьей кратности?

11.10. При каких ba, многочлен имеет кратный корень:

1) baxx 3 ; 2) baxxn ;

3) baxx nn 1 ; 4) baxx kn .

11.11. Показать, что многочлен baxx nm , где 0b не имеет корней

кратности выше 2.

39

11.12. Показать, что многочлен nj

j

j

x0 !

не имеет кратных корней.

12. Формулы Виета, симметрические полиномы.

Пусть многочлен nnn xxx

1110 имеет корни n ,,, 21 . Из

равенства nnn

n xxxxx 1

1110 , сопоставив

коэффициенты при равных степенях, выводим формулы Виета

njj jjin

i in in 1 11

1 .

Многочленом от n переменных называется функция вида

nn

n n

in

is

i

s

i iin xxxxf 11

1 1 10 01 ,, . Слагаемое вида ni

ni

xx 11

называется мономом. Моном nin

ixx 1

1 назовём старшим, если набор его

степеней nii ,,1 лексикографически максимален. Обозначим через f набор

степеней старшего монома. Имеет место gfgf (сложение

наборов производится по компонентам), gvfvgfv ,max . Многочлен

от нескольких переменных называется симметрическим, если он не меняется

при любой перестановке переменных. Если моном nin

ixx 1

1 входит в

симметрический многочлен f , то все мономы, получающиеся из nin

ixx 1

1

перестановкой переменных, так же входят в f , причем с тем же самым

коэффициентом. Поэтому при задании симметрических многочленов

достаточно указать только те мономы, степени которых удовлетворяют

неравенствам niii 21 (остальные получаются перестановкой

переменных). В частности, симметрический многочлен kxx1 имеет вид

njj jjk k

xx 1 11

.

Многочлены

njj jjii i

xx 1 11

, где ni ,,1 , называются

элементарными симметрическими многочленами.

По формулам Виета, коэффициенты многочлена с точностью до знака

суть значения элементарных симметрических многочленов от его корней.

Заметим 0,,0,1,1

i

iv . Для любого симметрического многочлена f

степени nfv ,,1 , справедливы неравенства n 21 .

Степень nnnnn

13221

121 равна

40

nnnnnnv

,,112113221

. Из этих фактов вытекает

основная теорема алгебры симметрических многочленов: любой

симметрический многочлен единственным образом представляется в виде

полинома от элементарных симметрических многочленов.

Упражнения

12.1. Расписать формулы Виета для многочлена степени n :

1) 2n ; 2) 3n ; 3) 4n ; 4) 5n .

12.2. По заданным корням найти коэффициенты многочлена:

1) 3,1 21 xx ; 2) 2,1,2 321 xxx ;

3) 4,3,2,1 4321 xxxx ; 4) .32

,21

2

1

кратностиx

кратностиx

.

12.3*. Выразить симметрический многочлен

31 ji jiji xxxx через

элементарные симметрические многочлены.

12.4. Выразить через элементарные симметрические многочлены:

1) 32133

32

31 3 xxxxxx ; 2)

31

22ji jiji xxxx ;

3)

31223

14

ji jii i xxx ; 4)

31 ji ji xx ;

5)

4122

ji ji xx ; 6)

412

ji ji xx ;

7)

41 ji ji xx ; 8)

412

ji ji xx .

12.5. Выразить симметрический многочлен от n переменных через

элементарные симметрические многочлены:

1) 21x ; 2) 3

1x ;

3) 22

21 xx ; 4) 4

1x ;

5) 3231 xxx ; 6) 2

231

51 2 xxx .

12.6. Вычислить значение симметрической функции от корней многочлена

xf :

1) 23

22

21 xxx , 153 23 xxxf ; 2) 5

352

51 xxx , 153 xxxf ;

3) 22

31 xx , 123 34 xxxxf ; 4)

4

12

1i ix , 14 xxxf .

12.7. Пусть 321 ,, xxx - корни многочлена baxxxf 3 . Найти многочлен,

корнями которого являются:

1) 21 xx , 31 xx , 32 xx ;

2) 221 xx , 231 xx , 232 xx ;

3) 21x , 2

2x , 23x ;

4) 2121 xcxxx , 3131 xcxxx , 3232 xcxxx ;

41

5) 332

21 xxx , 3322

1 xxx , где 2

3

2

1i .

12.8. Написать многочлен, корнями которого являются квадраты корней

многочлена:

1) baxx 2 ; 2) baxx 3 ;

3) baxx 4 ; 4) baxx 34 ;

5) baxxn ; 6) baxx nn 1 .

12.9. Многочлен n

iin

i xa0

имеет корни nxx ,,1 . Какие корни имеют

многочлены:

1)

ni

inii xa

01 ; 2)

ni

ii xa

0;

3)

ni

ii

xi

f0 !

; 4)

ni

inii xba

0.

12.10. Определить так, чтобы:

1) один из корней многочлена xx 73 равнялся удвоенному другому;

2) сумма двух корней многочлена xxx 72 23 равна 1.

12.11. Доказать равенство

nk

kk

nj j txt

1111 .

12.12. Пусть

nj

kjk xs

1. Доказать формулы Ньютона

011 111

11

kk

kk

kk sss .

12.13. Вычислить значения симметрических многочленов k от корней степени

n из 1.

12.14. Вычислить значения симметрических многочленов

nj

kjk xs

1 от

корней степени n из 1.

12.15. Решить над полем комплексных чисел систему уравнений:

1)

24

0

0

33

32

31

23

22

21

321

xxx

xxx

xxx

; 2)

1

0

1

323121

32133

32

31

23

22

21

xxxxxx

xxxxxx

xxx

,

3)

11

611

6

323121

13

12

11

321

xxxxxx

xxx

xxx

, 4)

3

2

2

213

312

321

xxx

xxx

xxx

.

12.16. Для многочленов baxxxf 2 и qpyyyg 2

с корнями 21, xx и

21, yy соответственно, выразите через qpba ,,, их результант

22122111, yxyxyxyxgfR .

42

13. Основная теорема алгебры, и ее следствия. Вещественные

корни, теорема Штурма

Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен над полем

комплексных чисел имеет хотя бы один комплексный корень.

Следовательно, многочлен над полем комплексных чисел разлагается в

произведение линейных множителей. Разложение единственно с

точностью до перестановки сомножителей.

Над полем вещественных чисел многочлен раскладывается в

произведение неприводимых многочленов степени 1 и 2. Разложение

единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Последовательность многочленов xfxfF k),...,(0 называется

последовательностью многочленов Штурма, если она удовлетворяет

следующим условиям:

любые два соседних многочлена не имеют общих корней;

если – корень )(xf j , при 0j , то 0)()( 11 jj ff ;

последний многочлен не имеет вещественных корней;

если в окрестностях корня многочлена xf0 сам многочлен

возрастает, то 01 f , а если убывает, то 01 f .

Для последовательности многочленов F и числа определим величину

w , равную количеству перемен знака в числовой последовательности

afaf k),...,(0 (нули игнорируем). Число различных корней многочлена )(0 xf

на отрезке , равно )()( ww .

Пусть многочлен )(xf не имеет кратных корней. Построим

последовательность многочленов: xfxf 0 , xfxf 1 , и далее, где xf j

- остаток от деления xf j 2 на xf j 1 умноженный на 1 .

Данная последовательность многочленов будет последовательностью

многочленов Штурма. Для задания отрезка, содержащего все вещественные

корни многочлена )(xf полезен следующий факт:

Если

10

)(nj

jj

n xfxxf и jnj f 0max1 , то корни многочлена

)(xf по модулю не превосходят .

Упражнения

13.1. Разложить многочлен на линейные множители над полем комплексных

чисел:

1) 23 xx ; 2) 44 x ;

3) 16 x ; 4) 1234 xxxx ;

43

5) 1nx ; 6) nnxx 11 .

13.2. Разложить многочлен на неприводимые множители над полем

вещественных чисел:

1) 23 xx ; 2) 44 x ;

3) 644 24 xx ; 4) 1234 xxxx ;

5) 16 x ; 6) 276 x ;

7) 12 nx ; 8) nnxx 11 .

13.3. По заданным корням построить многочлен наименьшей степени а) с

рациональными коэффициентами, б) с вещественными коэффициентами, в)с

комплексными коэффициентами:

1) i - корень кратности 2, простые корни 1, 2, 3;

2) 1 – корень кратности 2, простые корни i21 , 2, 3;

3) корни 2 , i , 1;

4) корень i2 ;

5) корень i3 2 .

13.4*. Отделить вещественные корни многочлена 1334 2345 xxxxx .

13.5. Отделить вещественные корни многочлена:

1) 133 xx ; 2) 1223 xxx ;

3) 13 24 xx ; 4) 9124 34 xxx ;

5) 1234 xxxx ; 6) 3555 245 xxxx .

13.6. Определить число вещественных корней многочленов:

1) qpxx 3 ; 2) qpxxn ;

3) baxaxx 255 235 ; 4)

nj

j

j

xxf

0 !;

5)

nj

j

j

xxf

11 ; 6)

10

nj

jn xnxxf .

14. Контрольные работы

1. Вычислить сумму, используя формулу Ньютона-Лейбница:

1)

nj

j

jj

j1 2

213

; 2)

nj

j

jj14

4

1

1

1; 3)

nj

jj1 2323

1

1;

4)

nj j0 1

11ln ; 5)

2

1sin

2

1sin

0

nj

j ; 6)

nj

jj1

1

1;

44

7)

nj

j

jj122

1

1

4; 8) jn

jj

j

11 2

21

ln ; 9)

nj

j jj1

21

ln2 ;

10) jnj

j 20

2 ; 11) jn

jj 2

02 2 ; 12) 1

021

jnj

j ;

13)

nj

jj

j1 22 1

12; 14)

jnj jj

31

1

31

; 15)

nj

j

jj12

1

1

2;

16) jnj

j 30

; 17) jnj

j 30

2

; 18) nj

j j0

33 ;

19)

nj

j

jj13

1

1

3; 20)

n

j j

j

j

j1

11

ln ; 21)

nj

j

jj

j1 12

243;

22) jnj

j 20

243 ; 23)

nj

jj1

32 ; 24)

n

jj

021cos ;

25)

n

jj

j

j0

21

ln2 ; 26)

n

jj

jj15

1

1

5; 27)

n

j j

j

j

j0

11

ln ;

28)

n

j jj

jjj

1

2

1

21; 29)

n

j

jj

1

12 1222

; 30)

n

j jj1 1coscos

1sin.

2. Раскрыть по биному Ньютона:

1)

5

21

xx ; 2)

4

21

xx ; 3)

4

44

xx ;

4) 42 22 xx ; 5) 42 34 xx ; 6) 42 2 xx ;

7) 42 32 xx ; 8) 323 133 xxx ; 9) 52 44 xx ;

10) 52 44 xx ; 11) 323 133 xxx ; 12) 323 8126 xxx ;

13)

52 1

xx ; 14)

4

44

xx ; 15)

42

4

1

xx ;

16)

42

4

1

xx ; 17)

101

xx ; 18)

91

xx ;

19) 32 1 xx ; 20) 32 1 xx ; 21) 323 1 xx ;

22) 52 12 xx ; 23) 42 144 xx ; 24) 323 8126 xxx ;

25)

62 1

xx ; 26)

42 2

xx ; 27)

3

2

133

xxx ;

28)

3

2

133

xxx ; 29)

3

2

8126

xxx ; 30)

3

2

16128

xxx .

45

3. Вычислить:

1)

51 1

145Re

j ji

i; 2)

51 1

514Im

j ji

i; 3)

5

1

514j ij

i;

4)

51

514j ij

ij ; 5)

51

145Re

j ij

ij ; 6)

51 1

514Im

j ji

ij ;

7)

51

2 1Im

j ij

j; 8)

51

2 1j ij

j; 9)

51

2 1Re

j ij

j;

10)

51

2

1

1Re

j ji

j; 11)

51

2

1

1Im

j ji

j; 12)

51

2

1

1j ji

j;

13)

3

1

35

1

3

i

i

i

i; 14)

3

1

31

2

3Re

i

i

i

i; 15)

3

1

31

2

3Im

i

i

i

i;

16)

3

31

2

21

31Im

i

i

i

i; 17)

3

1

35

1

3

i

ii

i

i; 18)

3

1

31

2

31Re

i

i

i

i;

19)

3

1

3

2

31Re

i

i

i

i; 20)

3

31

2

21

3Im

ii

i; 21)

31

21

31

21

3

ii

i

i

i;

22)

3

21

31

43

7

i

i

i

i; 23)

3

31

22

21

42Im

i

i

i

i; 24)

3

1

3

21

31Re

i

i

i

i;

25)

6

21

3Im

i

i; 26)

6

21

3Im

i

i; 27)

6

21

3Im

i

i;

28)

4

76

83

61

53Im

i

i

i

i; 29)

3

43

52

71

43Re

i

i

i

i; 30)

5

22

55

2

15

i .

4. Извлечь корень, сделать проверку:

1) i815 ; 2) i815 ; 3) i815 ;

4) i815 ; 5) i6011 ; 6) i6011 ;

7) i6011 ; 8) i6011 ; 9) i158 ;

10) i1160 ; 11) i158 ; 12) i1160 ;

13) i158 ; 14) i1160 ; 15) 122 i ;

16) i1160 ; 17) 122 i ; 18) i158 ;

19) 122 i ; 20) i3 ; 21) 122 i ;

22) i3 ; 23) 122 i ; 24) 122 i ;

46

25) i409 ; 26) i409 ; 27) i409 ;

28) i409 ; 29) i8413 ; 30) i8413 .

5. Найти комплексные корни уравнения, сделать проверку:

1) 0522 xx ; 2) 062 xx ;

3) 0322 xx ; 4) 01022 xx ;

5) 0522 xx ; 6) 0522 ixx ;

7) 0522 ixx ; 8) 07122 ixix ;

9) 055232 ixix ; 10) 08122 ixix ;

11) 055232 ixix ; 12) 0542 ixix ;

13) 0543 2 ixix ; 14) 0342 ixix ;

15) 07122 ixix ; 16) 0342 2 ixix ;

17) 0544 2 ixix ; 18) 08122 ixix ;

19) 0342 ixix ; 20) 06322 ixix ;

21) 0542 ixix ; 22) 06322 ixix ;

23) 031322 ixix ; 24) 0542 2 ixix ;

25) 031212 ixiix ; 26) 022 ix ;

27) 012 ixix ; 28) 0422 ixix ;

29) 0422 ixix ; 30) 02122 ixx .

6. Найти действительные значения x и y из уравнения, сделать проверку:

1) iyixi 23785 ; 2) iyixi 24387 ;

3) iyixi 1323137135 ; 4) iyixi 14532 ;

5) iyixi 22351815 ; 6) iyixi 173171587 ;

7) iyixi 432527 ; 8) iyixi 31392514 ;

9) iyixi 51941781 ; 10) iyixi 325625 ;

11) iyixi 8125141813 ; 12) iyixi 18533412 ;

13) iyixi 353725 ; 14) iyixi 23725 ;

15) iyixi 2152343 ; 16) iyixi 655784 ;

17) iyixi 512514185 ; 18) iyixi 7195345 ;

19) iyixi 527755 ; 20) iyixi 512514185 ;

21) iyixi 4172354 ; 22) iyixi 612311710 ;

23) iyixi 1323137135 ; 24) iyixi 23213573 ;

25) iyixi 1311158107 ; 26) iyixi 1311158107 ;

27) iyixi 1317159107 ; 28) iyixi 139518817 ;

29) iyixi 171129514 ; 30) iyixi 138151167 .

47

7. Найти комплексные числа, удовлетворяющие системе уравнений, сделать

проверку:

1)

izizi

izizi

3111

111

21

21 ; 2)

izizi

izizi

3111

111

21

21 ;

3)

iizzi

izizi

6461

2271

21

21 ; 4)

iziiz

iziiz

35232

221

21

21 ;

5)

iziiz

iziiz

35232

221

21

21 ; 6)

izizi

iizzi

4322

2221

21

21 ;

7)

izizi

izizi

3111

111

21

21 ; 8)

82323

622

21

21

zizi

zizi;

9)

izizi

zizi

42322

4121

21

21 ; 10)

iziiz

iziiz

31232

221

21

21 ;

11)

izizi

izizi

3111

111

21

21 ; 12)

43322

2221

21

21

zizi

zizi;

13)

izizi

izizi

3111

111

21

21 ; 14)

iziiz

iziiz

35232

221

21

21 ;

15)

05322

2321

21

21

zizi

zizi; 16)

iziiz

iziiz

33232

221

21

21 ;

17)

izizi

izizi

247122

2241

21

21 ; 18)

2522

431

21

21

zizi

izzi;

19)

izizi

izizi

2111

111

21

21 ; 20)

49122

2251

21

21

zizi

izizi;

21)

25122

2131

21

21

zizi

zizi; 22)

iziiz

iziiz

32232

211

21

21 ;

23);

iizzi

izizi

4651

2261

21

21 24)

23522

8231

21

21

zizi

zizi;

25)

izizi

izizi

15243

710432

21

21 ; 26)

izizi

izizi

128243

1515432

21

21 ;

27)

izizi

izizi

22243

46432

21

21 ; 28)

izizi

izizi

22243

64432

21

21 ;

29)

izizi

izizi

15347

75473

21

21 ; 30)

izizi

izizi

21457

210735

21

21 .

8. Найти комплексное число, для которого выполняется равенство, сделать

проверку:

48

1) izz 48 ; 2) izz 42 ; 3) izz 48 ;

4); izz 42 5) izz 42 ; 6) izz 48 ;

7) izz 42 ; 8) izz 48 ; 9) izz 39 ;

10) izz 31 ; 11) izz 39 ; 12) izz 31 ;

13) izz 31 ; 14) izz 39 ; 15) izz 31 ;

16) izz 39 ; 17) izz 1218 ; 18) izz 128 ;

19) izz 525 ; 20) izz 51 ; 21) izz 812 ;

22) iizz 39 ; 23) iziz 761 ; 24) iizz 525 ;

25) iizz 218 ; 26) izz 25 ; 27) iizz 2418 ;

28) iizz 218 ; 29) izz 2418 ; 30) iizz 71 .

9. Найти геометрическое место точек на комплексной области,

удовлетворяющих условиям:

1)

2arg2

21

z

z

; 2)

2arg

222z

iz; 3)

2arg

2

iz

iz;

4)

3arg2

32

z

z

; 5)

21arg

22

iz

iz; 6)

01Re

2

zi

z;

7)

01Im

21

zi

z; 8)

0Re

22z

iz; 9)

0Im

312z

iz;

10)

013Re

2

zi

iz;

11)

2arg2

411

z

izi

; 12)

01Im

2

zi

iz;

13)

21arg

21

zi

iz; 14)

011Re

21

zi

iz; 15)

02Im

31

zi

iz;

16)

22arg

6

5534

iz

zi

; 17)

3

21arg

3

5543

iz

zi

; 18)

21arg0

31

zi

zz

;

19)

21arg0

3

zi

iziz

; 20)

01Re

212zi

iz; 21)

121Re

21

zi

iz;

22)

12Im

21

zi

iz; 23)

11Re

21

zi

iz; 24)

zi

iz

1arg2

22

;

49

25)

21arg

92

iz

iz; 26)

21arg

163

iz

iz; 27)

21arg

162

iz

iz;

28)

3

21arg

2

252

iz

iiz

; 29)

1arg2

362

z

iz

; 30)

1arg0

2532

iz

iz.

10. Найти комплексные числа, удовлетворяющие соотношению:

1) zz ; 2) zz 2 ; 3) zz 3 ;

4) 2zz ; 5)

3zz ; 6) 1 zz ;

7) zz 1 ; 8) zz ; 9) ziz ;

10) ziz ; 11) zz 2 ; 12) ziz 2;

13) ziz 12 ; 14) ziz 12 ; 15) ziz

2

3

2

1;

16) ziz

2

3

2

1; 17) ziz

2

3

2

1; 18); ziz

2

3

2

1

19) zz 3 ; 20) 2zz ; 21) 3zz ;

22) ziz 12 ; 23); ziz 312 24) ziz 312 ;

25) ziz

2

1

2

3; 26) ziz

2

1

2

3; 27) ziz

2

1

2

3;

28) ziz

2

1

2

3; 29) ziz

2

1

2

3; 30) ziz

2

1

2

3.

11. Найти многочлен (рациональную функцию):

1) xarccos7cos ; 2) xarctgtg 11 ; 3) xctgarcctg 11 ;

4) xctgarcctg 10 ; 5) xarccos11cos ; 6) xarcsin11sin ;

7) xarctgtg 10 ; 8) xarctgtg 6 ; 9) xarccos10cos ;

10) x

x

arcsincos

arcsin8sin; 11)

x

x

arcsincos

arcsin10sin; 12)

x

x

arcsincos

arcsin6sin;

13) xctgarcctg 6 ; 14) xarccos6cos ; 15) xctgarcctg 9 ;

16) xctgarcctg 8 ; 17) xctgarcctg 7 ; 18) xarctgtg 9 ;

19) xarctgtg 8 ; 20) xarctgtg 7 ; 21) xarcsin7sin ;

22) xarcsin9sin ; 23) xarccos9cos ; 24) xarccos8cos ;

50

25) x

x

arccos6cos

arcsin5sin; 26)

x

x

arccos5cos

arcsin5sin; 27)

x

x

arccos5cos

arcsin7sin;

28) x

x

arccos7cos

arcsin5sin; 29)

x

x

arccos3cos

arcsin9sin; 30)

x

x

arccos6cos

arcsin9sin.

12. Выразить через косинусы и синусы кратных углов:

1) x8sin ; 2) xx cossin7 ; 3) xx 26 cossin ;

4) xx 35 cossin ; 5) xx 44 cossin ; 6) xx 53 cossin ;

7) xx 62 cossin ; 8) xx 7cossin ; 9) x8cos ;

10) x7sin ; 11) xx cossin6 ; 12) xx 25 cossin ;

13) xx 34 cossin ; 14) xx 43 cossin ; 15) xx 52 cossin ;

16) xx 6cossin ; 17) x7cos ; 18) x6cos ;

19) xx cossin5 ; 20) xx 24 cossin ; 21) xx 33 cossin ;

22) x6sin ; 23) xx 42 cossin ; 24) xx 5cossin .

25) xx 75 cossin ; 26) xx 84 cossin ; 27) xx 47 cossin ;

28) xx 76 cossin ; 29) xx 86 cossin ; 30) xx 73 cossin .

13. Найти gfgf 2 :

1) 23

132

23

34

xxg

xxxf; 2)

1

1

23

234

xxxg

xxxxf;

3) 122

22

23

24

xxxg

xxxf; 4)

12

132

3

234

xxg

xxxf;

5) 332

142

23

34

xxg

xxxf; 6)

232

12

23

24

xxxg

xxxf;

7) 1

1

24

234

xxxg

xxxxf; 8)

13

1

3

234

xxg

xxxxf;

9) 12

12

34

234

xxxg

xxxxf; 10)

123

12

34

234

xxxg

xxxxf;

11) 132

12

24

234

xxxg

xxxxf; 12)

233

122

23

34

xxxg

xxxf;

13) 432

432

23

234

xxxg

xxxf; 14)

123

232

23

34

xxxg

xxxf;

51

15) 1

1

234

234

xxxxg

xxxxf; 16)

12

2

234

234

xxxxg

xxxxf;

17) 432

1

24

234

xxxg

xxxxf; 18)

123

3

234

234

xxxg

xxxxf;

19) 12

133

234

34

xxxg

xxxf; 20)

132

243

4

34

xxg

xxf;

21) 123

2

234

23

xxxxg

xxxf; 22)

12

12

234

234

xxxxg

xxxxf;

23) 132

132

234

34

xxxxg

xxxf; 24)

123

132

34

4

xxg

xxf;

25) 459113

1514752

245

234

xxxxg

xxxxf; 26)

459483

1514752

2456

234

xxxxxg

xxxxf;

27) 45583

159737

245

235

xxxxg

xxxxf; 28)

45911

153453

245

234

xxxxg

xxxxf;

29) 125573

15141133

245

234

xxxxg

xxxxf; 30)

559213

1714332

245

345

xxxxg

xxxxf.

14. Найти частное и остаток от деления xa на xb , сделать проверку:

1)

33

1232

2

234

xxxb

xxxxxa; 2)

2

222

23

234

xxxxb

xxxxxa;

3)

xxxb

xxxxxa

3

2346 22; 4)

22

132

2

23

xxxb

xxxxa;

5)

12

22

2

234

xxxb

xxxxxa; 6)

122

4

xxxb

xxa;

7)

12

4

xxxb

xxa; 8)

2

22

23

235

xxxb

xxxxxa;

9)

1

23

23

36

xxxb

xxxa; 10)

23

35 2

xxxb

xxxa

;

11)

1

222

2

234

xxb

xxxxxa; 12)

2

3

3

345

xxb

xxxxxa;

52

13)

1

2

2

356

xxb

xxxxxa; 14)

13

7

xxxb

xxa;

15)

12

6

xxxb

xxa; 16)

12

222

2

234

xxb

xxxxxa;

17)

23

22623

2

234

xxxb

xxxxxa; 18)

133 23

6

xxxxb

xxa;

19)

123

6

xxxxb

xxa; 20)

12

6

xxxb

xxa;

21)

12

6

xxxb

xxa; 22)

123

6

xxxxb

xxa;

23)

22

222

23

235

xxxxb

xxxxxa; 24)

2

222

23

45

xxxb

xxxxa;

25)

161135

1743215

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

26)

1617632

5471210

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

27)

171355

1743725

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

28)

167113

1274312

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

29)

27935

7432135

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

30)

16954

7411812

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa.

15. С помощью схемы Горнера разложить xa по степеням xb :

1)

ixxb

xxxxxa

1232 234

; 2)

ixxb

xxxxxa

12234

;

3)

ixxb

xxxxxa

1234

; 4)

1

1232 234

xxb

xxxxxa;

53

5)

1

1232 234

xxb

xxxxxa; 6)

1

223 234

xxb

ixxxixxa;

7)

1

1232 34

xxb

xxixxa; 8)

1

1231 34

xxb

xxixxa;

9)

1

121 234

xxb

xxixxa; 10)

1

121 234

xxb

ixxixxa;

11)

1

122 34

xxb

xixxxa; 12)

ixxb

xxixxa

1231 34

;

13)

ixxb

xxixxa

1231 34

; 14)

ixxb

ixxixxa

121 235

;

15)

ixxb

ixxixxa

121 234

; 16)

ixxb

ixxixxa

1

121 234

;

17)

ixxb

ixxixxa

1

121 234

; 18)

ixxb

xxa

1

4

;

19)

ixxb

xxa

1

4

; 20)

ixxb

xxa

1

4

;

21)

ixxb

xxa

1

5

; 22)

ixxb

xxa

1

5

;

23)

ixxb

xxa

1

5

; 24)

ixxb

xxa

1

5

.

25)

2

743215 2345

xxb

xxxxxxa; 26)

2

743215 2345

xxb

xxxxxxa;

27)

ixxb

xxxxxxa

21

97432 2345

; 28)

ixxb

xxxxxxa

2

74325 2345

;

29)

ixxb

xxxxxxa

23

97432 2345

; 30)

ixxb

xxxxxxa

3

74312 2345

.

16. Для многочленов xa и xb найти НОД и коэффициенты Безу, сделать

проверку:

1)

1

3

23

24

xxxxb

xxxa; 2)

12

432

23

234

xxxxb

xxxxa;

3)

13

583

23

234

xxxxb

xxxxa

;

4)

12

4

23

34

xxxxb

xxxxa;

54

5)

122

522

23

234

xxxxb

xxxxxa; 6)

123

6273

23

234

xxxxb

xxxxxa;

7)

13

522

23

234

xxxxb

xxxxxa; 8)

132

6232

23

234

xxxxb

xxxxxa;

9)

133

72563

23

234

xxxxb

xxxxxa; 10)

14

6323

23

234

xxxxb

xxxxxa;

11)

142

7352

23

24

xxxxb

xxxxa; 12)

143

83853

23

234

xxxxb

xxxxxa;

13)

15

7434

23

234

xxxxb

xxxxxa; 14)

152

8472

23

234

xxxxb

xxxxxa;

15)

153

941143

23

234

xxxxb

xxxxxa; 16)

16

8545

23

234

xxxxb

xxxxxa;

17)

162

95922

23

234

xxxxb

xxxxxa; 18)

163

1051433

23

234

xxxxb

xxxxxa;

19)

17

9656

23

234

xxxxb

xxxxxa; 20)

172

1061132

23

234

xxxxb

xxxxxa;

21)

173

1161723

23

234

xxxxb

xxxxxa; 22)

18

10767

23

234

xxxxb

xxxxxa;

23)

182

1171342

23

234

xxxxb

xxxxxa; 24)

183

127203

23

234

xxxxb

xxxxxa;

25)

2

37432

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa; 26)

2

17432

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

27)

23

3741312

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

28)

2

3714132

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

29)

67

31743210

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa;

30)

25135

31748125

234

2345

xxxxxb

xxxxxxa.

17. Избавиться от иррациональности в знаменателе, сделать проверку:

55

1) 33 252531

1

; 2)

33 2551

1

; 3)

33 25254

1

;

4) 33 3662

1

; 5)

33 3665

1

; 6)

33 36265

1

;

7) 33 4971

1

; 8)

33 4972

1

; 9)

33 492776

1

;

10) 33 100102

1

; 11)

33 10021033

1

; 12)

33 100102

1

;

13) 33 10031061

1

; 14)

33 10051086

1

; 15)

33 1211124

1

;

16) 33 1211125

1

; 17)

33 12121149

1

; 18)

33 1441225

1

;

19) 33 1441224

1

; 20)

33 1441226

1

; 21)

33 1441236

1

;

22) 33 144212511

1

; 23)

33 144312716

1

; 24)

33 144312715

1

;

25) 33 14412210

1

; 26)

33 14412312

1

; 27)

33 1691325

1

;

28) 33 1691336

1

; 29)

33 1691326

1

; 30)

33 1691321

1

.

18. Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа по данной

таблице его значений, произвести проверку:

1) 31311

2112

y

x; 2)

25511

3210

y

x; 3)

16004

3210

y

x;

4) 8131011

4325

y

x; 5)

813105

4321

y

x; 6)

7412

3210

y

x;

7) 2618169

8421

y

x; 8)

210128

4321

y

x; 9)

75812

9410

y

x;

10) 122370

1012

y

x ; 11)

022472

1012

y

x ; 12)

122574

1012

y

x;

13) 2228

1012

y

x; 14)

2422

3210

y

x; 15)

7832

3210

y

x;

16) 11612

2101

y

x ; 17)

3513

2101

y

x ; 18)

1412

2101

y

x;

56

19) 33321

2112

y

x; 20)

52419

2112

y

x; 21)

20141

3210

y

x;

22) 9401

2112

y

x ; 23)

3137

2112

y

x ; 24)

7313

2112

y

x ;

25) 032108

1321

y

x; 26)

10426

2011

y

x ; 27)

31951

0211

y

x ;

28) 1702

0211

y

x; 29)

2811

2432

y

x; 30)

0613

1102

y

x.

19. Представить дробь в виде суммы дробей, сделать проверку:

1) 111

12

2

xxx

xx; 2)

11

1222

xxx

x;

3) 11212

142

2

xxx

x; 4)

xxxx

x

211

12

;

5) xxxx

x

121

22

; 6)

211

122

2

xxx

xx;

7) xxxx 111

12

; 8) 111 2

2

xxx

x;

9) xxxx

x

12112

14

; 10)

11

122

xxx

x;

11) 2211

133

xxxx

xx; 12)

xxxxx 2211

24

;

13) 112

12 xxx

; 14) 23231212 xxxx

x;

15) 2321213

1

xxxx; 16)

23113

22 xxx

x;

17) 23112

12

xxx

x; 18)

23231

12

3

xxx

x;

19) 232112

13

xxxx

x; 20)

23231

12 xxxx

;

21) 1211

3

xxxx; 22)

23112

1

xxxx

x;

23) 2323131

5

xxxx; 24)

23141

12

xxx

x;

57

25) 4321

13

xxxx

x; 26)

4321

13

xxxx

x;

27) 421

12

xxx

x; 28)

31214

12 xxx

;

29) 121214

12 xxx

; 30) 4321

13

xxxx

x.

20. Построить интерполяционный многочлен в форме Ньютона по данной

таблице его значений, произвести проверку:

1) 711119

21012

y

x ; 2)

301015

21012

y

x ;

3) 111111

21012

y

x; 4)

101227

21012

y

x;

5) 511123

21012

y

x; 6)

921019

21012

y

x;

7) 911335

21012

y

x; 8)

1321231

21012

y

x;

9) 1731127

21012

y

x; 10)

1721443

21012

y

x;

11) 2131339

21012

y

x; 12)

2541235

21012

y

x;

13) 2531551

21012

y

x; 14)

2941447

21012

y

x;

15) 3351343

21012

y

x; 16)

3341659

21012

y

x;

17) 3751555

21012

y

x; 18)

4161451

21012

y

x;

19) 4151767

21012

y

x; 20)

4561663

21012

y

x;

21) 4971559

21012

y

x; 22)

4961875

21012

y

x;

23) 5371771

21012

y

x; 24)

5781667

21012

y

x;

25) 37137123

32012

y

x; 26)

122404

54321

y

x;

58

27) 1014714

32101

y

x; 28)

3214193122

46532

y

x;

29) 37336154

04321

y

x; 30)

145852

32101

y

x ;

21. Найти рациональные корни многочлена, произвести проверку:

1) 1220333824 234 xxxx ; 2) 3696434624 234 xxxx ;

3) 12166 234 xxxx ; 4) 12165412 234 xxxx ;

5) 62496 234 xxxx ; 6) 27586 234 xxxx ;

7) 2489625224 234 xxxx ; 8) 247127624 234 xxxx ;

9) 121420256 234 xxxx ; 10) 12342296 234 xxxx ;

11) 816810 234 xxxx ; 12) 44576 234 xxxx ;

13) 3687834836 234 xxxx ; 14) 3681973636 234 xxxx ;

15) 186112812 234 xxxx ; 16) 186112812 234 xxxx ;

17) 41146 234 xxxx ; 18) 61076 234 xxxx ;

19) 1857197236 234 xxxx ; 20) 3687834836 234 xxxx ;

21) 62256 234 xxxx ; 22) 8221110 234 xxxx ;

23) 4426 234 xxxx ; 24) 10146116 234 xxxx ;

25) 1512123130 234 xxxx ; 26) 3068633730 234 xxxx ;

27) 3028611730 234 xxxx ; 28) 3032851730 234 xxxx ;

29) 106142910 234 xxxx ; 30) 102422110 234 xxxx .

22. Разложить многочлен на неприводимые многочлены над полем

рациональных чисел:

1) 12432 234 xxxx ; 2) 2553 234 xxx ;

3) 12544 234 xxxx ; 4) 23632 234 xxxx ;

5) 23843 234 xxxx ; 6) 1224 234 xxxx ;

7) 65932 234 xxxx ; 8) 22343 234 xxxx ;

9) 2774 234 xxx ; 10) 8292 234 xxxx ;

11) 22343 234 xxxx ; 12) 42874 234 xxxx ;

13) 8832 234 xxx ; 14) 44103 34 xxx ;

15) 444 234 xxx ; 16) 65122 234 xxxx ;

17) 44863 234 xxxx ; 18) 694 24 xxx ;

19) 71522 234 xxxx ; 20) 44823 234 xxxx ;

21) 34944 234 xxxx ; 22) 815152 24 xxx ;

23) 4843 34 xxx ; 24) 3444 24 xxx ;

25) 61876 234 xxxx ; 26) 61256 234 xxxx ;

27) 661346 234 xxxx ; 28) 661396 234 xxxx ;

59

29) 615116 234 xxxx ; 30) 6756 234 xxx .

23. С помощью схемы Горнера вычислить значение многочлена и всех его

производных в точках a) 1x , b) 1x , c) ix 1 :

1) 253 234 xxxx ; 2) 51392 234 xxxx ;

3) 821153 234 xxxx ; 4) 122 34 xxx ;

5) 37332 234 xxxx ; 6) 7181223 234 xxxx ;

7) xxxx 334 33 ; 8) 1352 234 xxxx ;

9) 512643 234 xxxx ; 10) 1464 234 xxxx ;

11) 15972 234 xxxx ; 12) 49353 234 xxxx ;

13) 2795 234 xxxx ; 14) 3111592 234 xxxx ;

15) 23373 234 xxxx ; 16) 310126 234 xxxx ;

17) 51721112 234 xxxx ; 18) 1683 234 xxx ;

19) 413157 234 xxxx ; 20) 72327132 234 xxxx ;

21) 1612103 234 xxxx ; 22) 516188 234 xxxx ;

23) 92933152 234 xxxx ; 24) 2915113 234 xxxx ;

25) 1234 xxxx ; 26) 1234 xxxx ;

27) 122 234 xxxx ; 28) 132 234 xxxx ;

29) 4424 234 xxxx ; 30) 842 24 xxx ;

24. Отделить кратные множители многочлена:

1) 2112530207 23456 xxxxxx ;

2) 2456 554 xxxx ;

3) 1242 23456 xxxxxx ;

4) 23363 2356 xxxxx ;

5) 136332 3456 xxxxx ;

6) 148543 23456 xxxxxx ;

7) 2510453 23456 xxxxxx ;

8) 1254723 23456 xxxxxx ;

9) 27283 23456 xxxxxx ;

10) 1649124 23456 xxxxx ;

11) 15210754 23456 xxxxxx ;

12) 1366934 23456 xxxxxx ;

13) 37214574 23456 xxxxxx ;

14) 92410201544 23456 xxxxxx ;

15) 14781145 23456 xxxxxx ;

60

16) 23961235 23456 xxxxxx ;

17) 321141325 23456 xxxxxx ;

18) 4132145 23456 xxxxxx ;

19) 16312965 23456 xxxxxx ;

20) 2714875 23456 xxxxxx ;

21) 3816785 23456 xxxxxx ;

22) 321141325 23456 xxxxxx ;

23) 23961235 23456 xxxxxx ;

24) 16312965 23456 xxxxxx ;

25) 8201815156 23456 xxxxxx ;

26) 820182325122 23456 xxxxxx ;

27) 8461123122 23456 xxxxxx ;

28) 310121743 23456 xxxxxx ;

29) 31012523 23456 xxxxxx ;

30) 41315843 23456 xxxxxx ;

25. Построить интерполяционный многочлен Эрмита:

1) 11,11,21,31,31 fffff ;

2) 41,51,21,01,11 fffff ;

3) 11,11,21,51,51 fffff ;

4) 112,21,41,51,41 fffff ;

5) 132,11,41,61,51 fffff ;

6) 152,01,41,71,61 fffff ;

7) 51,31,61,71,51 fffff ;

8) 41,21,61,81,61 fffff ;

9) 31,11,61,91,71 fffff ;

10) 71,41,10,10,91,61 ffffff ;

11) 61,31,20,10,101,71 ffffff ;

12) 51,21,30,10,111,81 ffffff ;

13) 91,51,101,111,71 fffff ;

14) 81,41,101,121,81 fffff ;

15) 71,31,101,131,91 fffff ;

16) 10,81,121,111,61 fffff ;

17) 10,91,121,101,51 fffff ;

18) 10,101,121,91,41 fffff ;

19) 151,91,141,131,71 fffff ;

20) 161,101,141,121,61 fffff ;

61

21) 171,111,141,111,51 fffff ;

22) 21,21,10,10,31,01 ffffff ;

23) 61,31,20,10,21,11 ffffff ;

24) 71,41,30,10,11,21 ffffff ;

25) 51,11,601,201,51,11 ffffff ;

26) 41,41,01,01,00,30 ffffff ;

27) 21,961,361,81,11,01 ffffff IV ;

28) 1201,721,121,41,31,11 VIV ffffff ;

29) 102,20,301,21,21,11 ffffff ;

30) 201,171,40,70,01,51 ffffff .

26. Найти значение симметрического многочлена f от корней многочлена

14 xxxg :

1)

4

1

21j

jj xxf ; 2)

4

1

21j

jj xxf ; 3)

4

1

21j

jj xxf ;

4)

4

1

21j

jj xxf ; 5)

4

1

22j

jj xxf ; 6)

4

1

22j

jj xxf ;

7)

4

1

22j

jj xxf ; 8)

4

1

22j

jj xxf ; 9)

4

1

221j

jj xxf ;

10)

4

1

221j

jj xxf ; 11)

4

1

221j

jj xxf ; 12)

4

1

221j

jj xxf ;

13)

4

1

2221j

jj xxf ; 14)

4

1

2221j

jj xxf ; 15)

4

1

2221j

jj xxf ;

16)

4

1

2221j

jj xxf ; 17)

4

1

222j

jj xxf ; 18)

4

1

222j

jj xxf ;

19)

4

1

222j

jj xxf ; 20)

4

1

222j

jj xxf ; 21)

4

1

222j

jj xxf ;

22)

4

1

222j

jj xxf ; 23)

4

1

222j

jj xxf ; 24)

4

1

222j

jj xxf :

25)

4

1

31j

jj xxf ; 26)

4

1

31j

jj xxf ; 27)

4

1

31j

jj xxf ;

28)

4

1

321j

jj xxf ; 29)

4

1

321j

jj xxf ; 30)

4

1

321j

jj xxf .

27. Отделить вещественные корни многочлена:

62

1) 3410 24 xxx ; 2) 362423 234 xxxx ;

3) 8126689 234 xxxx ; 4) 4483643 234 xxxx ;

5) 389 24 xxx ; 6) 1382610 234 xxxx ;

7) 4844883 234 xxxx ; 8) 7423023 234 xxxx ;

9) 1728263 24 xxx ; 10) 540164 234 xxxx ;

11) 7603343 234 xxxx ; 12) 81208449 234 xxxx ;

13) 676228 234 xxxx ; 14) 326122 234 xxxx ;

15) 81569089 234 xxxx ; 16) 6881212 234 xxxx ;

17) 31062 234 xxxx ; 18) 8623243 234 xxxx ;

19) 65268 234 xxxx ; 20) 3466 34 xxx ;

21) 1441483 234 xxxx ; 22) 6164 34 xxx ;

23) 1362186 234 xxxx ; 24) 11808123 234 xxxx .

25) 2156565 234 xxxx ; 26) 2156565 234 xxxx ;

27) 88115032 234 xxxx ; 28) 88115032 234 xxxx ;

29) 7711412 234 xxxx ; 30) 7711412 234 xxxx ;

15. Решения

1.3. Пусть nggG ,,1 . Поскольку уравнение bxa имеет не более одного

решения, то элементы множества na gagaG ,,1 попарно различны.

Количество элементов в aG и G совпадает и GGa , значит, GGa .

Следовательно, уравнение bxa имеет ровно одно решение. Аналогично,

множество agagG na ,,~

1 равно G , и, следовательно, уравнение

bax имеет ровно одно решение. Решение уравнения axa обозначим

через e . Умножив на b справа обе части тождества aea , приходим к

равенству babea . В силу единственности решения уравнения

baxa , выводим, что при любом Gb выполнено bbe . Умножив

последнее равенство на b слева, получим bbbeb . В силу

единственности решения уравнения bbbx , выводим beb . Тем самым

существование нейтрального элемента установлено.

63

Обозначим через g решение уравнения exa . Тогда

aaeagaaga . Уравнение axa имеет единственное

решение, поэтому eag . Таким образом, g - обратный элемент к a , т.к.

eagga .

1.5. По определению групповой операции, ее результат определен и

принадлежит группе. Следовательно, если множество H с операцией образует

группу, то для любых Hba , имеем Hba .

Обратно, пусть для произвольных Hba , справедливо Hba . Поскольку

равенство cbacba справедливо для всех элементов из G , то оно

справедливо и для всех элементов из H . Тем самым ассоциативность операции

в H установлена. Пусть Ha . Построим максимальную по количеству

членов последовательность kaaaa ,,,, 32 , образованную не повторяющимися

элементами H . Поскольку множество H - конечно, то последовательность

конечна. По построению, 1ka равен элементу последовательности

ja

( kj 1 ). Из равенства jk aa 1, умножив обе части на Ga 1

, выводим

1 jk aa . Следовательно, элемент 1ja последовательности не принадлежит,

что возможно только для 1j . Но тогда Heak . Тем самым установлено

существование в H нейтрального элемента. Умножив равенство eak на 1a

получим 11 aa k. То есть, при 2k , обратный элемент к a принадлежит H .

Если 1k , то Haea 1.

1.11. Пусть K - конечное целостное кольцо, Ka , и 0a . Построим

максимальную по количеству членов последовательность kaaaa ,,,, 32 ,

образованную не повторяющимися элементами K . Поскольку множество K -

конечно, то последовательность конечна. По построению, 1ka равен элементу

последовательности ja ( kj 1 ). Из равенства

jk aa 1, умножив обе части

на b , выводим 011 bababbaa jkjkj . Равенство произведения нулю

64

означает, что один из сомножителей равен нулю. Этот сомножитель заведомо

не равен ja , и, следовательно, bba jk 1

, то есть jka 1 - единица кольца, а

элемент jka - обратный к a .

1.12. Если mkn , то 0km и в кольце вычетов nZ есть делители нуля. То

есть, если n - не простое число, то nZ - не поле. Пусть n - простое число.

Допустим, нашлись m и k отличные от нуля, что 0km . По определению

операции произведение mk делится на n без остатка. Из простоты числа n

следует, что один из сомножителей делится на n , но тогда этот сомножитель

равен нулю. Таким образом, при простом n , кольцо вычетов nZ - конечное

целостное кольцо, и, следовательно, является полем (см. задачу 1.11).

1.14. Поскольку 11

1

2

1

, то утверждение при 1n (основание индукции)

доказано. Пусть утверждение верно для 1n (предположение индукции), т.е.

n

n

nn

1

1

1

6

1

2

1

. Покажем справедливость утверждения для n

(индуктивный переход). Справедливо

nnnn 1

1

2

1

1

1

6

1

2

1

11

11

1

1

n

n

nnn

n

nn, что и требовалось доказать.

4.4. Искомые корни будем искать в виде iyxz . Из равенства

iiyx 432

, приравняв вещественные и мнимые части, получаем систему

уравнений

42

322

xy

yx. Из второго уравнения системы выразим yx 2 и

подставим в первое уравнение. Получим уравнение 34 22 yy . Умножив

полученное уравнение на 2y , получим биквадратное уравнение

043 24 yy , которое заменой переменных 2yt сводится к квадратному

уравнению 0432 tt . Корни этого уравнения - 11 t и 42 t . Последний

корень посторонний, поскольку квадрат вещественного числа неотрицателен.

65

Решениями уравнения 12 y являются 1y . Далее, находим x , и получаем

ответ iz 21 и iz 22 .

5.6. Из равенства 2zz выводим 2

zz , и, следовательно, 0z или 1z . В

первом случае 0z - решение. Во втором случае, положим sincos iz .

Из уравнения 2sin2cossincos ii выводим k 22 ,

где 2,1,0k . Отсюда находим 34;32;0 . Ответ: ;2321;1;0 iz

2321 i .

5.8. 1. Поскольку iziizi 311241 и модуль произведения равен

произведению модулей, то искомое множество точек описывается

неравенством 131 iz , и, следовательно, является кругом радиуса 1 с

центром в точке i31 .

2. Поскольку iziizi 111 и аргумент произведения равен сумме

аргументов, то 32arg1arg izi . Далее 41arg i , и,

следовательно, 125arg iz . Множество точек на комплексной области,

аргумент которых равен 125 , образуют луч, исходящий из нуля и

образующий угол с вещественной осью 125 . Поскольку iz лежит на этом

луче, то ответом является луч, исходящий из точки i , образующий угол с

вещественной осью 125 .

5.11. 1. Положим xixz sincos . По формуле Муавра – Лапласа находим

xixz 4sin4cos4 и xixxixz 4sin4cos4sin4cos4 . Сложим оба

равенства, получим 444cos2 zzx . Поскольку xixz sincos1 , то

44sincossincos4cos2 xixxixx . Раскроем правую часть равенства по

биному Ньютона, приведем подобные и поделим обе части равенства на 2.

Получим ответ xxxxx 4224 sinsincos6cos4cos .

66

2. Положим xixz sincos . Из равенства 5sincos5sin5cos xixxix ,

предварительно раскрыв правую часть по биному Ньютона, приравняв мнимые

части, находим xxxxxx 5234 sincossin10cossin55sin .

5.13. xxxxxxixx 42355sincos5sincos10cossincosRe5cos .

Поскольку xx 22 cos1sin , то xxxx 235 cos1cos10cos5cos

xxxxx cos5cos20cos16cos1cos5 3522 .

5.15.

xxxx

xxxxx

xix

xix

x

xxtg

cossin5cossin10cos

sincossin10cossin5

sincosRe

sincosIm

5cos

5sin5

4325

5234

5

5

.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x5cos , получим

xtgxtg

xtgxtgxtgxtg

42

53

5101

1055

.

5.17. Из представления 4224 sinsincos6cos4cos (см. задачу

5.11.1), и основного тригонометрического тождества 22 cos1sin ,

выводим 1cos8cos84cos 24 . Положив xarccos , находим

188arccos4cos 24 xxx .

5.20. Положим xixz sincos . Тогда xixz sincos1 ,

1cos2 zzx и

1sin2 zzxi . Следовательно, 314134 22cossin zzizzxx

1283333 7531357 zzzzzzzz . Так как nxzz nn cos2 ,

то 64cos33cos35cos7coscossin 34 xxxxxx .

5.23. Положим xixz sincos . Тогда 2cos jj zzjx , и

n

jjx

0cos

21112121 12 zzzz nnn

njj . Знаменатель дроби представим в

тригонометрической форме: 2sin2sin1cos1 2 xxixz

2sin2cos2sin22cos2sin2 xixxxxi . Аналогично выводим

212sin212cos212sin2112 xnixnxnz n. Умножим

67

111

2011

02111

223211

45531

Рис. 5. Разложение по степеням 1x

и поделим комплексные числа в тригонометрической форме, получим

равенство 2sin212sin1112 xxnzzz nn , а, значит,

212sin212sincos0

xxnjx

n

j.

5.28. Положим i2

3

2

1 и

30

3nj

kjnk CS , где 2,1,0k . Множество

2,,1 образовано кубическими корнями из 1. Раскрыв по биному Ньютона,

получим 21011 SSSn

, 22

101 SSSn ,

212

021 SSS

n , а по формуле Муавра-Лапласа:

n1

3sin

3cos

ni

n и

3sin

3cos1 2 n

inn

. Находим решение системы

линейных уравнений

3sin

3cos

3sin

3cos

2

212

0

22

10

210

ni

nSSS

ni

nSSS

SSS n

:

3

3cos22

0

n

S

n

,

3

3

4cos22

1

n

S

n

,

3

3

2cos22

3

n

S

n

.

6.5. Разделим многочлен

4553 234 xxxx на 1x по схеме

Горнера. Затем разделим частное на

1x , и т.д.. Процесс закончим, когда

частное станет равным числу. Все

вычисления можно оформить в виде

таблицы (рис.5), согласно которой:

223214553 23234 xxxxxxxx , 232 23 xxx

021 2 xxx , 2122 xxxx , 11 xx . Из этих равенств

68

212

11

10

31

12

4-1

55-1

155-1

2404-1

31048-2-1

Рис. 6. Вычисление коэффициентов

выводим 4553 234 xxxx 20211111

232

2

23

2

xxx

xx

x

xxxx .

Раскрыв скобки, получим

212114553234234 xxxxxxx .

6.7. Искомый многочлен обозначим через xf . Остаток от деления xf на

2x равен 1 , а частное, которое обозначим через xg , равно

112211 xxxxxxx 311 xxx . Если известны

коэффициенты xg , то опираясь на схему Горнера можно вычислить

коэффициенты многочлена xf . Задача

свелась к аналогичной проблеме для

многочлена меньшей степени.

Вычисления удобно представить в виде

таблицы (рис.6), заполнение которой

начинается снизу. Ответ:

310482 2345 xxxxxxf .

6.10. Остаток от деления на многочлен второй степени имеет степень не выше

первой, и, следовательно, представляется в виде: xxr . Обозначим

частное от деления через xg . Справедливо равенство 12 57824 xxxx

xrxgx 12 . Подставим в обе части равенства 1x , получим систему

уравнений

2

4

, из которой находим 1 , 3 . Ответ: 3 xxr .

6.11. Остаток от деления на многочлен второй степени имеет степень не выше

первой, и, следовательно, представляется в виде: xxr . Обозначим

частное от деления через xg . Справедливо равенство

xrxgxxxxxx 2391843 112 . Взяв производные от обеих

69

частей равенства, получим 2391843 281742 xxxx

xrxgxxgx 1212

. Подставив 1x в оба этих равенства,

получим систему уравнений

51

3

, из которой находим 51 ,

48 . Ответ: 4851 xxr .

6.12. Многочлен baxx 100 делится на трехчлен 12 xx тогда и только

тогда, когда корни трехчлена являются корнями многочлена. Найдем корни

трехчлена: 23212,1 ix . Поскольку 23212321100

ii , то

получим равенство 023211 bia , и, значит, 1a , 0b .

7.5. Составим таблицу 1034

01122324

2345

xx

xxxxx. Вычтем из первой

строки вторую строку, умноженную на частное от деления

многочленов 1223 2345 xxxxx на 34 24 xx (равное 1x ). В

результате получим таблицу 1034

112224

23

xx

xxxx. Вычтем из второй

строки первую строку, умноженную на частное от деления многочленов

34 24 xx на 22 23 xxx (равное 2x ). Получим таблицу

121

112222

23

xxxx

xxxx. Поскольку 22 23 xxx делится без

остатка на 12 x , то наибольший делитель равен 12 x . Коэффициенты Безу

расположены в той строке, где расположен наибольший общий делитель

(вторая строка). Справедливо равенство xxxxxx 21223 2345

1134 2224 xxxxx (подчеркнутые многочлены – коэффициенты

Безу).

7.7. Коэффициенты Безу обозначим через xu и xv . Справедливо равенство

1222143 23234 xxxxvxxxxxu , причем степень xu

меньше 3, а степень xv меньше 4. Будем искать коэффициенты Безу в виде:

70

2210 xxxu и 3

32

210 xxxxv . Подставив в равенство и

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему из 7

уравнений и 7 неизвестных:

0

023

0223

022234

02224

0224

12

32

2312

123012

0123012

012012

0101

00

. Ее

решение 10 , 21 , 12 , 10 , 01 , 32 , 13 . Ответ:

221 xxxu и 3231 xxxv .

7.8. Положим 143 234 xxxxxf и 222 23 xxxxg . В задаче

7.7 найдены коэффициенты Безу, 12)( 2 xxxu и 13)( 23 xxxv , т.е.

такие многочлены, что 1 xgxvxfxu . Умножим обе части последнего

равенства на ,12 x получим 1)()()1()()()1( 222 xxgxvxxfxux или

1)()123()()122( 2234534 xxgxxxxxfxxx . Представим

многочлен при )(xf в виде: )142()(122 234 xxxgxxxx

(поделив его на )(xg остатком) Следовательно,

.1)()123()())142()(( 223452 xxgxxxxxfxxxxg Раскрыв

скобки и перегруппировав слагаемые, имеем

1)())(123()()142( 223452 xxgxxfxxxxxfxx или после

упрощения ,1)()162()()142( 2232 xxgxxxxfxx т.е.

,142)( 2 xxxa .162)( 23 xxxxb

Предположим, что найдутся многочлены, которые обозначим, соответственно,

)(~ xa и )(~

xb , удовлетворяющие условиям задачи. Можно считать, что степень

)(~ xa - не больше степени )(xg , а степень )(~

xb - не больше степени )(xf . Из

равенства )(~

)(~1)()( 2 xgxbxfxaxxgxbxfxa выводим

71

1

4

10

3

1

01

43,,,,

321

145

01

1014,,,

531

19114

21

3319

03

333,,

111

2419

31

40233

23

740

02

17,

42407

11320

54321

4321

321

21

xxxxxf

xxxxf

xxxf

xxf

xf

x

Рис. 7. Таблица разностей

)(~

)(~ xgxbxbxfxaxa . Поскольку многочлены )(xf и )(xg

взаимно просты, то это равенство возможно только в том случае, когда

многочлен xaxa ~ делится на )(xg , а xbxb~

- на )(xf . Поскольку

степень xaxa ~ строго меньше степени )(xg , то 0~ xaxa , и,

аналогично xbxb~

.

7.10. Наибольший общий делитель многочленов 23 x и 122 xx равен 1.

Найдем коэффициенты Безу, и получим равенство

132254312 322 xxxxxx . Подставив в него 3 2x , выводим

1524431224 3333 , или, 13333 122452443

.

7.12. Поскольку многочлены взаимно просты, то найдутся коэффициенты Безу

xh и xv , для которых 1 xgxhxfxv . Поделив обе части равенства

на произведение xgxf , выводим требуемое утверждение

xf

xh

xg

xv

xgxf

1.

8.2. Многочлен 22 xxf является решением задачи интерполяции,

определяемой условиями 20 f , 11 f , 22 f . Записав

интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, получим равенство

122122 xxxxxxx , разделив обе части которого на

произведение 21 xxx выводим 2

1

1

11

21

22

xxxxxx

x.

8.4. Построим таблицу разностей (рис.7):.

72

411

10313

31012

111210

11121

f

Рис. 8. Коэффициенты xf

Напишем интерполяционный многочлен в

форме Ньютона 21031 xxxxf

132324 xxxxxxx .

Вычислим коэффициенты xf по схеме

Горнера (см. рис. 8)

, получим ответ

432 21 xxxxxf .

10.3. Знаменатель рационального корня многочлена - натуральное число, и

является делителем коэффициента при старшей степени, т.е 10, и. принадлежит

множеству 10,5,2,1 . Числитель рационального корня многочлена - делитель

свободного члена, т.е. 6, и, следовательно, принадлежит множеству

6,3,2,1 . Таким образом, рациональными корнями многочлена могут

являться только следующие рациональные числа

10

3,

10

1,

5

6,

5

3,

5

2,

5

1,

2

3,

2

1,6,3,2,1 . Если

-

рациональный корень многочлена xf , то для любого целого j значение jf

делится на j . Поскольку 251 f (т.е. 1 - не корень многочлена), в

списке чисел, подозрительных на рациональные корни, остаются только те, для

которых делитель 25. Приведем новый список:

5

6,

2

3,

2

1,6,2 . Далее,

находим 4342 f и оставим в списке те числа, для которых 2 делитель

434. В результате получим список

2

3. Далее, 0

8

915

2

3

f и 0

2

3

f .

Таким образом, многочлен имеет единственный рациональный корень 2

3

кратности 1.

10.5. Поскольку многочлен xf степени 5, то один из множителей, который

обозначим через xg , имеет степень не выше 2. Для нахождения многочлена

второй степени достаточно знать его значения в 3 точках. Поскольку, при

целом j значение jf делится на jg , и 31 f , 20 f , 71 f , то

73

223242111222

31111331

22211120

77111111

22222

xxxxxxxxxxxg

g

g

g

Pис. 9. Список возможных делителей

3,11 g , 2,10 g , 7,11 g . Не нарушая общности, можно

считать, что 01 g (иначе, умножим xg на -1). Таким образом, 7,11 g .

Выразим коэффициенты xg через его значения:

02

11

2

1021 2 gxgg

xggg

xg

(интерполяционный

многочлен в форме Лагранжа). Поскольку, количество возможных наборов

велико (2*4*4=32), воспользуемся тем, что 130312 gggg

является делителем 502 f и 103132 gggg является

делителем 1262 f (таких наборов только 7). В таблице на рис.9 приведем

все 7 наборов значений xg в точках -1, 0, 1, удовлетворяющие указанным

условиям.

Непосредственной проверкой, среди этих 7 многочленов находим делитель

223 2 xx . Тем самым получили разложение 223 2345 xxxx

1223 32 xxxx . Каждый из множителей неприводим над полем

рациональных чисел, так как нет рациональных корней.

10.8. Допустим, что при некоторых рациональных , выполняется равенство

33 24 . Рассмотрим многочлен xxxf 2 . Так как 023 f , то

наибольший общий делитель многочленов 23 x и xf отличен от 1 (делится

на 3 2x ), что противоречит неприводимости над полем рациональных чисел

многочлена 23 x . Следовательно, допущение не верно.

11.7. Многочлен Эрмита ищем в виде 12121 xxxxf

211122

xxxx . Тогда 121 1 f , 221 21 f ,

74

143111111

122527230211

123012011

11010011

.2

22

44

331

11

34213312

2

2132

2

3

321321

примfxxx

Рис. 10. Вычисление методом неопределенных коэффициентов

732 f , 1121 f . Отсюда находим коэффициенты 2

11 ,

4

52 ,

2

7 ,

12

1 , а после приведения подобных, выводим

13 xxxf .

11.9. Что бы кратность корня (-1) была не ниже 3 достаточно выполнения

условий: 01 f , 01 f , и 01 f . Эти условия приводят к системе

уравнений

1226

423

0

ba

cba

cba

, решение которой 2a , 0b , 2c .

12.3. Положим

31 ji jiji xxxxf . После раскрытия скобок,

симметрический многочлен f представится в виде суммы мономов от 3 до 6

степени. Обозначим через jf сумму таких мономов из f , для которых j -

сумма степеней всех переменных. Очевидно, что jf - симметрический

многочлен. Далее, 23

22

216 xxxf , 3231213215 2 xxxxxxxxxf , старший

моном 4f - 22

21 xx , а 3f - 2

21 xx . Среди наборов степени 4 лексикографически

меньше 0,2,2 имеется только набор 1,1,2 , поэтому, 3122214 f .

Среди наборов степени 3 лексикографически меньше 0,1,2 только набор

0,1,1 , следовательно, 342133 f . Тем самым установлено, что

3421331222132

23 2 f . Чтобы найти неопределенные

коэффициенты возьмем конкретные значения переменных, сосчитаем на них

значения элементарных многочленов и приравняем значение многочлена и его

представления. Данные удобно свести в таблицу (см. рис.10):

75

Таким образом, 321312232

23 2 f .

13.4. Составим ряд Штурма: 1334 23450 xxxxxxf ,

361245 23401

xxxxxfxf , 2634 232 xxxxf (остаток от

деления xf0 на xf1 , умноженный на (-1)), 223 23 xxxf (остаток от

деления xf1 на xf2 , умноженный на (-1)), 124 xxf (остаток от деления

xf2 на xf3 , умноженный на (-1)), 15 xf . Составим таблицу (рис.11), в

первом столбце которой выписаны многочлены ряда Штурма, в первой строке –

значения 0x , внутри таблицы – знаки 0xf j , в последней строке – количество

перемен знака в столбце. Количество вещественных корней на промежутке

ba, равно bWaW . Все корни многочлена лежат на промежутке 5,5 , и

их количество равно 5. Корни расположены в интервалах

2

3,2 ,

1,

2

3,

0,1 , 1,0 , 2,1 .

00123455

1

12

223

2634

361245

1334

521012

325

0

2

23

234

2345

xW

x

xx

xxx

xxxx

xxxxx

Рис. 11. Локализация корней методом Штурма

76

Литература

1. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука,

1968. 302с.

2. Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие. Под ред. Кострикин А.И. М.:

Факториал, 1995. – 454с.

77

Содержание

1. Группы, кольца, поля………………………...………………..…………..……3

2. Суммы………………………...………………..…………..…………………… 8

3. Бином Ньютона ………………………...………………..…………..……….. 11

4. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа…...13

5. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного…….......

числа…………………………………………………………………………....15

6. Кольцо многочленов……..………..……………………………….………….20

7. Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель……..………....24

8. Интерполяционный многочлен……………………………………………….27

9. Неприводимый многочлен, его свойства…………………………………….29

10. Разложение многочлена над полем рациональных чисел………………....31

11. Формальная производная, ее свойства……………..…………………...…..34

12. Формулы Виета, симметрические полиномы……………………...……….37

13. Основная теорема алгебры, и ее следствия. Вещественные корни, ………...

теорема Штурма………..……………………………………………………...40

14. Контрольные работы……………..………………………………….…….....42

15. Решения……………..……………………………..………………..………...61

Литература………………………………...………………..…………..………...75