,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^...

39

Transcript of ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^...

Page 1: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

�������������� �������������������������������������� ����!"�#�"!$�% &����������!(')����*+�

,.-�/10325476�8�9�:./;03:./�6<8�9�=7>;032?03=.=@:�AB2?6�CED�2?:.F

G�HJILKJM�NPOQK?R F;SQTVUXW�YZWP[]\_^J[a`b[]cVdeWJU_YgfJhJT i�[]^j[]hkfQl_[m\nYponT `b[)YZhJ^jYZUrqQl_WQosdZosTVtuosSJ[avde\rqwdZx�yez|{r}L~m�3}Ly&�b�rybz���}m���Lz|�b�P�e�7� �e����z|~L}��k�e�|�k��TVhwS�YZc x�v3WJc�YZhJ[]U�YZhQ^��Ef�YZ\sos[]\sv3WQc�YZhJ[]U��F1SJ[�c�YpososTVt][XW�YposSJU�YZ\s[�UsWP[mt]T i�[]^g�bqgYXi�hQT on[�Un[ao<dZx@\nfJcV[]U;onS�Ypo<YZ\n[��PdZonS&osTVl_[�YZhJ^UsW�YZt][&SJdel_de�e[]hJ[]defJU���YZhJ^jS�Ym`b[gYgWJ\sT `QTVcV[]�e[]^j^JTV\n[]taosTVdeh"dZx�TVhJt]\n[mYZUn[e���|F1SJ[aqjYZ\n[osSJ[]h)[]UsUn[]hEosT�YZcVc q&�av3^QTVl_[mhQUnTVdeh�YZc�de�k�s[]taonUm� ��F1SJ[1onSJ[]de\rq�\n[]cVTV[]U.dehuY�UsWP[mt]T i�t��n�e[]\nhJ[]cl_[aosSJdk^Q��onSJYpo@WQ\nd�`kTV^J[]U YZhXTVl_WPde\sonYZhboB^J[]tmdel_WPdeUsT onTVdeh�dZx�onSQ[1YZcV�e[m�Q\LYZTVt7�e[]hJ[]\LYposTVhJ�x|fJhJtaosTVdehJU�TVhE`bdec `b[]^���YZU�¡�[]cVcBYZU<dehwY_�e[]hJ[]\nTVt�UsosfJ^Qq¢dZx7UnTVhQ�efJc�YZ\nT osTV[]U�dZx�YZhwYZUsUndEt]T vYpos[]^5YZcV�e[]�J\nYZTVtXt]fJ\s`b[e��,7dehJUs[]�kfJ[]hJt][]U�YZ\n[�WJ\n[]t]TVUn[�t]del_WJfQonYZ�JcV[X[]UsosTVl�Ypos[mU£x¤de\�osSJ[hEfJlX�P[]\�dZx�c�YporonTVt][�WJYponSJU¥dZx1Y��eT `b[]h�cV[]hJ�ZosS¦fJhJ^J[]\<`eYZ\sTVdefJU�t]dehJUsos\LYZTVhbosU��|�J\sTV^J�e[]U��[a§ktmfQ\nUnTVdehQU��El_[mYZhJ^J[]\nUL� YZU ¡�[]cVcPYZU7Y<tLS�YZ\nYZtaon[]\nTV¨mYposTVdeh�dZx©osSJ[1cVTVl_T oBc�Ym¡;U7YZUsUndEt]T�Ypon[]^osd_Un[a`b[]\LYZc©��YZUnTVt�W�YZ\nYZl_[aon[]\nU1dZx W�YposSJU��

ª7«�¬�­¯®±°�²s³e´)µ�²n¶b­¯·m¸;¹�²s·sº#»�­P¼©½�·rº@­P¼B¾¯¿�Às«J°u¿e«w»�­P¼©½�·rºB²¤¼¯Á?¿kÂ

ÃpÄ1Å7Æ7Ç£È;É;Ê@Å�ËÌÇ;ÄÍXÎ5ÏjÐ|Ñ�ÒnÒsÓrÔZÕ�Ö Ñ�ÒÌ×"ؤÙ�Ú5ÛQÏPÜ�Ý�ؤÜ"ÏPÞ¤Þ ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|Ø|Ý]ΦÏgá.â±Þ¤Î?ß±â©Ü ÏPÞBޤؤÜBÛuâ±ã.ÝpäBÛ)åBؤÙpæbàpÛbÝpÛ¢çXÏPà�Ý�ÛEè

Ù�ؤϱܦáBÞ�ÏPÜ Û�é�ê&é�ë�ì�äBÛ�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ�á Ï�Ýpä Ù�Ý�â&í.Û�æbâ©Ü ÙmØ�å¯Ûkà�ÛQåwäBÛkà�Û_ÏPàpÛ�Ùmá.ÛkæEØ�î ÛQå¦í?ΦÏ)î Ü Ø�ÝpÛ�Ù�ÛbÝâ±ã�ÙmؤÚ$áBÞ|Û5àpïBÞ|ÛQÙEð�Ý]Î?áBØ�æEϱÞ|ޤαñ.ãÌàpâ±ÚòÛkÏ©æZä�á.â±Ø¤Ü©ÝQñ.Ý�äBÛkà�Û5ؤ٢Ï�î@ÜBØ�ÝpÛ5Ù�ÛbÝ&âPã�ϱÞ|Þ¤â�ó�ÏPíBÞ¤ÛwÚ$â�ô±ÛQÙÝpä Ï�ݣϱà�Û�í.âPÝpä�õ]ÝpØ|Ú$ۥؤܠå¯Ûká@ÛkÜ å¯ÛkÜ©ÝZöuϱܠå#õ�Ù�á Ï±æEÛ�Ø|Ü@å¯ÛEá.ÛEÜ åBÛEÜ�Ýpö ë�ì�äBàpâ±ï ß±äBâ©ï¯Ý�Ý�äBØ�Ù;ÙmÝ�ï@å¯Î±ñóXÛgÏPÞ�Ùmâ$ϱÙpÙmï Ú5Û¢ÝpäBÛgÛb÷¯Ø�Ù]ÝpÛEÜ æEÛ¢â±ã<Ù�â±Ú$Û&áBàpØ|ô?ؤÞ|Ûkß±ÛQå�ø�Ó3ùpÕpÔEÒnÓrú�û ú]ü&Ó3û.ÔEù�ÕZÑJýEÕ�þ3ÝpäBÛgäBâ±àpؤÿEâ±ÜBèÝZÏPÞ;ÏP÷?Ø�ÙkñBÙ�ÏJÎ��eñ@Ùmâ$Ýpä Ï�Ý�á ÏPÝ�ä Ù�í@ÛQæbâ±Ú$ÛgÛQÙ�Ù�ÛEÜ�Ý�Ø�ÏPÞ¤Þ¤Î"ÙmؤÚ$Ø|Þ�ÏPà�Ý�â�â±Ü Ûbèaå¯Ø|Ú$ÛkÜ Ùmؤâ±Ü@ÏPÞ�â±í��]ÛkæeÝZÙEñܠϱÚ$ÛEޤαñ�ó�ÏPÞ��?Ù)â±Ü�Ý�äBÛ$Þ¤Ø|Ü Û±ë��¯ï æZä�øPÓ3ù�ÕZÔbÒaÕZø�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ5á Ï�Ýpä Ù&Ø|Ü�ÝpÛEàpô±ÛEܠۦؤÜ�Ú�ÏPÜ?Î�ϱà�ÛQϱÙ)âPãÚ�Ï�ÝpäBÛEÚ�ÏPÝ�Ø�æEÙ¢ÏPÜ å�æbâ±Ú$áBïBÝ�ÛEà&ÙpæbؤÛEÜ æEÛ±ëwì�äBÛkÎ�á Þ¤ÏJÎ�Ï�à��â©Þ|Û©ñ@ãÌâ©à)ؤܠÙmÝpϱܠæbÛ©ñ.ؤÜ�áBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]ÎÝpäBÛEâ©à�Î$þrÙ�ïBÚ�Ù�âPã å¯Ø�Ù�æEà�ÛEÝ�Û�àpϱܠå¯â±Ú ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤ÛkÙ�eñ�ÙmÝpÏ�ÝpؤÙmÝ�Ø�æEÙXþÌÜ â±Ü¯èLá ÏPàZÏPÚ$ÛEÝ�àpؤæ<ÝpÛkÙmÝpÙ�eñJãÌâ©à�Ú�ÏPÞÞ�ÏPÜBß©ï ÏPß©Û�Ý�ä ÛEâ±àpαñ�àZÏPÜ@å¯â±Ú ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|â©ÜwâPã@áBޤϱܠÏPà�å¯Ø�ÏPß©àpϱÚ�Ù�þrϱÜBؤÚ$ϱޤÙ<ϱܠåwá.â±Þ¤Î±â©Ú5ؤÜBâ?ÛkÙ�eñÝpäBÛwÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤÙXâ±ã�å¯Î?ܠϱÚ5Ø�ægåBÏPÝpÏ$Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï à�ÛQÙEñBϱܠå��ïBÛkïBÛEؤÜBß5Ý�ä ÛEâ±àpÎjÚ$â¯å¯ÛEÞ�Ùkë�aÜ5áBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]Î&ÝpäBÛEâ©à�ΩñPÞ�Ï�ÝmÝpؤæEÛ�á Ï�Ýpä Ù�å¯ÛkÙpæbàpؤí@Û�Ý�äBÛ_Ûkô±â©Þ|ï¯ÝpØ|â©Ü¦â±ã.Ù�ïBÚ�Ù<âPã@ؤܠå¯Ûká@ÛkÜ å¯ÛkÜ©Ýå¯Ø�ÙpæbàpÛbÝ�Û�àpϱܠå¯â±Ú(ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤ÛkÙkñ�ãÌâ±à�Ø|Ü ÙmÝpϱܠæbÛ©ñ�ÝpäBÛ�Ù�ï æEæEÛkÙpÙmؤâ±Ü+â±ãwαâ©ïBà"ß�ÏPؤܠÙ"Ø|ã¦Ï åBØ|Û�ؤÙàpÛEá.ÛkÏPÝ�ÛkåBÞ|Î�ækϱÙmÝ&ϱܠå�Ωâ±ïBà&æEϱáBØ�ÝZÏPÞ<Ø�Ù&Ø|Ü æEà�ÛQϱÙ�Ûkå�í?Î� #ó_ä ÛEÜ�ãrϱæbÛ5Ü?ïBÚ¦í.ÛEà� �Ù�äBâ�ó�Ù)ïBá1ë� Ý]Î?áBؤækÏPÞ��ïBÛkÙmÝ�ؤâ±Ü�Ø|Ü�Ý�äBØ�Ù&æbâ±Ü�ÝpÛb÷?Ý¢Ø�Ù)Ý�äBÛ�ãÌâ±Þ¤Þ¤â�ó_Ø|ÜBß@ð��5ÕbÒaÕbù��5Ó3û.Õ5ÒÌ×BÕ¢Ö.ù�ú��pÑ��bÓ3Ð�Ó3Ò���úmü$Ñ� Ð�� Ô������Ñ���Õ! )Ó3û�ÒÌ×BÕ)ýEÕEûBýEÕ)Ò3× Ñ�Ò�"�ÑPÒ�ÏPÜ?Î�ÒsÓ#��Õ%$"�ÒÌ×BÕ�Ö Ñ�ùeÒnÓrÑ�Ð���Ñ�Ó3û#Ó�ý¢ÑPÒ�ФÕpÑ�ýeÒ�ÑJýuÐ|ÑPù���ÕgÑJýÒÌ×BÕ � �$ÕZÑ�û&��Ñ�Ó3û' ")(*�$,+��?ï@æZä-©ï ÛkÙmÝ�ؤâ±Ü Ù)ÏPàpÛgØ|Ü åBÛEÛkå�ϱåBå¯àpÛkÙpÙ�Ûkå�í?Î�æEޤϩÙ�Ù�ؤækÏPÞ£áBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]ÎÝpäBÛEâ©à�Ωñ.ó_Ø|Ý�ä ÍXà�â�ó_ܠؤϱÜ�Ú$âPÝ�ؤâ±Ü�ÛEÜ�Ý�Ûkà�ؤÜBß"Ý�äBÛ$ߩϱÚ$Û±ë/.�â�óXÛEô©ÛEàQñ@í?Î�å¯ÛQÙmؤ߱Ü;ñ1Ù]Ýpâ?æZä@ϱÙmÝ�Ø�æáBàpâ¯æbÛQÙ�Ù�ÛkÙuâ±ÜBÞ¤Î#áBà�â�ô?Ø�å¯Û�Ïjî àZÙ]Ý�ènâ©àpå¯Ûkà)Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�ægÝpäBÛEâ©à�Ωñ.ó_ä Ø|Þ¤Û5Ù�â±Ú$Û�áBïBàpÛEÞ¤Î#åBؤÙpæbàpÛbÝpÛáBä ÛEÜBâ©Ú5ÛkÜ Ï5à�ÛkÚ�ÏPؤÜ�â©ï¯Ý_âPã<à�ÛQϱæZä"â±ã£ÝpäBØ�Ù�Ý�äBÛkâ±àpαë

0 �e�3},1J6�fQ�efJUso32�4Q�52�6�6Q�e�7 }98�:.�e{rye���e�Py$�J�Q{r�e�a}m�<;�2¯YporonTVt][�W�YposS���YZh�YZc qEonTVt5tmdel��JTVh�Yposde\nTVt]U��¥�e[]hJ[]\nYponTVhJ��x¤fJhQt]osTVdeh����e[]\nhJ[]cl_[aonSJdE^��JYZcV�e[m�Q\LYZTVt<x|fJhJtaonTVdeh©��UnTVhJ�efQc�YZ\nT o3quYZh�YZc qkUnTVUm�J�e[]hJ[]\LYZcVTV¨][]^&��YZcVcVdZo;WJ\sde�JcV[]l&��,�YponYZc�YZh&hkfQlX�P[]\nU��=

Page 2: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

* >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU��ÝZÏ�Ý�Ø�ÙmÝ�Ø�æEÙkñ<Ý�äBâ©ïBß±ä ÜBâ±Ý�â©ïBà¦áBàpؤÚ$ϱà�Î�Ú$âPÝ�ؤô�Ï�ÝpØ|â©Ü�Ø|Ü�Ý�äBØ�Ù¦á@ÏPá.ÛEàQñ�Ø�Ùwä Ø¤ÙmÝ�â©à�Ø�æEϱÞ|Þ¤Î�ϱÜ

â±Ý�äBÛkà�ؤÚ$á@â©àmÝZÏPÜ�Ý�Ùmâ©ïBàZæbÛ âPã5áBà�â©íBÞ¤ÛEÚ�Ù�à�Ûkß©ÏPàZå¯Ø¤ÜBß�Þ¤ÏPÝmÝ�Ø�æbÛ á ÏPÝ�ä ÙkëWV�Û Ú�ÏJÎ Ú$ÛkÜ©ÝpØ|â©ÜÝpäBÛYX&â±Þ¤Ú$â±ß©â±àpâ�ô©è<�?Ú$ؤà�ÜBâ�ô�ÝpÛkÙmÝ�Ø¤Ü ÜBâ±ÜBèná Ï±àpϱÚ$ÛbÝ�àpØ�æ�ÙmÝpÏPÝ�Ø�Ù]ÝpؤækÙ�Ýpä Ï�Ý#ÏPؤÚ$Ù�Ï�Ý�åBؤÙpæbÛkà�ܯèؤÜBß�ó_äBÛEÝ�äBÛkà�Ý]óXâ�àpϱܠå¯â±Ú ô�ÏPàpؤÏPÝ�ÛkÙ�ä@ÏJô±Û&Ý�ä Û¦Ù�ϱÚ$Ûwå¯Ø¤ÙmÝ�àpؤíBï¯Ý�ؤâ±Ü�þsÙmÛkÛ±ñ@Û±ë ß ë¤ñ[Z \I]P^_�eë � Ù)ÏÚ�Ï�Ý�Ý�Ûkà�â±ã ãrÏ©æeÝkñPÝ�äBÛ�Ûkϱà�Þ¤Îgí.â�â��¯Ù£â©Ü�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ�á ÏPÝ�ä$æbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤæk٣ϱܠåwÞ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ�á Ï�Ýpä5ÙmÝpÏPÝ�Ø�Ù]èÝpؤækÙ�í�Î�`�â±ä Ï±Ü�Ý]ÎjÏPÜ åbauϱàpÏJÎ�ÏPÜ ÏMZ c�]?ñKc5d�^;Ù�á.ÛkæbØ|î@ækÏPÞ¤Þ|Î"åBàpÏJó Ù�â±Ú$Û&âPã£Ý�äBÛkØ|à_Ú$â±Ý�ؤôJÏPÝ�ؤâ±Ü ÙãÌàpâ±Ú Ù�ï æZäe�ïBÛkÙmÝ�ؤâ±Ü Ùkë�aÜ�åBؤÙpæbàpÛbÝpÛ¦Ú�Ï�ÝpäBÛEÚ�Ï�ÝpؤækÙEñ�ϱÞ|Þ<Ùmâ©àmÝZÙ�â±ã�æbâ±Ü@Ù]ÝpàpϱØ|ÜBÛQå�Þ�Ï�ÝmÝpؤæEÛ¦á ÏPÝ�ä Ù¢Ù�ÛEàpô±ÛwÝpâ�å¯ÛQÙ�æEà�ؤí.ÛϱáBá ÏPàpÛEÜ�ÝpÞ|΢æbâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷¢â±íI�]ÛQæeÝZÙEë�ì�ó�â±èLÙ�â±à�Ý�ÛQåuá.ÛEàpÚ¦ï¯ÝZÏ�ÝpØ|â©Ü Ù;ϱà�Û<ãÌâ©à;ؤܠÙ]ÝZÏPÜ æEÛ¥ÛP�ïBؤô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý1Ýpâá ÏPÝ�ä Ù�Ú�ϱå¯Û)âPã1äBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ.ÏPÜ å$ô©ÛEà�Ý�Ø�æEÏPÞ.Ù]ÝpÛEá Ù�Ý�ä@Ï�ÝXæEâ±ÜBÜ ÛkæeÝ�Ý�äBÛ)â±àpØ|ß©Ø|Ü$Ýpâ�Ϧá@â©Ø|Ü�Ý�Þ¤Î?Ø|Ü ßâ©Ü$Ý�äBÛ�Ú�ϱØ|Ü"åBؤϱ߱â±Ü@ÏPÞgf+Ù�ï æZä�ãrϱæeÝZÙ�ϱà�ÛuåBØ|àpÛkæbÝ�Þ¤Î�àpÛEÞ¤ÛEô�ÏPÜ�Ý¥ÝpâgÝ�ä Û)ÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Ø�Ù�âPã7Ý�ä ÛuÚ$ÛEàpß±ÛEèÙ�â±à�ÝwÏPÜ å Ù�äBÛEÞ¤Þ�Ùmâ©àmÝwÏPޤ߱â©à�Ø|Ý�ä Ú$ÙhZ \�i ñ[jkdBñ�]�\5^nëeluίæ��á Ï�Ýpä ÙgÝpä Ï�ݦϱà�ÛjæEÞ|â�ÙmÛkÞ|Î�à�ÛkÞ¤ÏPÝ�Ûkå�Ýpâå¯Ø�ÏPß©â±Ü Ï±Þ©á@Ï�Ý�ä@Ù�å¯ÛkÙpæbàpØ|í.ÛXÝ�àZÏJô±ÛkàpÙpÏPÞ?ÙmÛB�ïBÛEÜ æEÛkÙ�âPã7ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ?ÏPÜ@å¦íBؤܠϱà�ÎgÝpà�ÛkÛkÙPm�Ý�ä ÛEΦí.ÛEÞ¤â±Ü ßÝpâ5ó_ä@Ï�Ý�n_ؤâ±àZåBÏPÜ�ä Ï±Ù�Ü@ÏPÚ$Ûkå"Ý�äBÛ�õeçXÏ�ÝZÏPÞ�ÏPÜ�åBâ±Ú�ÏPؤܠöBñ?Ýpä Ï�Ý_Ø�ÙEñBÝ�äBÛgâ©à�íBØ|Ý_âPã<Ù]Ýpà�ï æbÝ�ïBàpÛkÙæEâ±ïBÜ�Ý�ÛQå í?Î ÝpäBÛ�çXÏ�ÝZÏPÞ�ÏPÜ Ü�ï Ú¦í.ÛEàZÙEñ =o5p =[q

* oo%r ë+ì�äBÛ#ó�ÛQÏPÞ|Ý�ä�âPã&áBà�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙ$ÙmïBàpàpâ±ïBÜ å¯èؤÜBß&luίæ��á Ï�Ýpä ÙwæEϱÜ�í.Ûjá.ÛEàZæbÛkØ|ô©Ûkå�ó_äBÛEÜ Ûb÷BϱÚ5ؤÜBؤÜBß#ÛEØ|Ý�äBÛkàts¢â±ï Þ¤åGu ÙgÚ$â±Ü â±ß±àZÏPá ävZ \'w�^Ýpä Ï�Ý&Þ|Ø�ÙmÝpÙ)x�\Ry�à�ÛEãÌÛEàpÛEÜ æEÛkÙ)â±à)ãÌà�â©Ú{z�÷¯ÛEàZæbØ�ÙmÛ�jBë�wPd�ؤÜ|��ÝpϱÜBÞ|ÛkÎ@u Ù)í@â?â��}Z ]kxB^�ó_äBâ©Ù�Û�ÙmÝpÏPÝ�ÛbèÚ$ÛEÜ�ݦϱÞ|â©ÜBÛ5Ù�á Ï±Ü Ù&Ú$â±àpÛ�Ýpä ÏPÜ�ÝpÛEÜ�ãÌïBÞ¤Þ�á Ï±ß±ÛkÙkëh`�â±àpÛ5ß±ÛEÜ ÛEàZÏPÞ¤Þ|Ωñ�Ý�àpÛEÛQÙgæbâ±Ü@Ù]ÝpàpϱØ|ÜBÛQå�í?Îå¯Ûkß±àpÛEÛQÙ~f+Û±ë ß ë¤ñ?Ý�Ûkà�Ú Ý�àpÛEÛQÙ�ؤÜ#ãÌà�ÛkÛwÚ�ÏPß±Ú�Ï©ÙEñBâ±ã�Ø|Ü�Ý�Ûkà�ÛQÙ]Ý)Ø|Ü#ãÌâ©à�Ú�ÏPÞ£ÙmÛkÚ$ϱÜ�Ý�Ø�æEÙ/Z jk��^�f ÏPàpÛ�?ÜBâ�ó_Ü"Ý�â5í@Û&íBØ �]ÛkæbÝ�ؤô±ÛEÞ¤ÎjÛB©ï Ø|ô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�Ý�â���1ï'�JÏ©ÙmؤÛEó_Ø�æbÿ¢óXâ±àZåBÙEñ�ÝpäBÛEÚ�Ù�ÛEÞ¤ô±ÛkÙXØ�Ùmâ©Ú$â±àpáBäBØ�æ�ÝpâÞ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛuá@Ï�Ý�ä@Ù�â±ã;ϦÙ�á@ÛQæbØ�ÏPÞ@ãÌâ±àpÚbmI�;âPÝ�ä@ÏPؤà�Û�u Ù�í@â?âk�$âk�.ÛkàpÙ�Ïwß±â?â¯å�å¯ÛQÙ�æEà�ؤá¯Ý�ؤâ±Ü"ó_Ø�ÝpäBØ|Ü"Ý�äBÛãÌàZÏPÚ$ÛEóXâ±à��$âPã�æbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤækÙXâ±Ü�ó�â©àpåBÙ�Z ckx?ñ7ç�ä ÏPá1ëGw�w�^Lë�;ÏPÝmÝpؤæEÛ�á ÏPÝ�ä Ù&ϱޤÙ�â"ؤÜ�Ý�ÛEàpô±ÛkÜBۦؤÜ�ÝpäBÛ�ÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤÙuâPã�åBÎ�Ü@ÏPÚ$ؤækÏPÞ¤Þ|Î�Ûkô±â©Þ|ô?ؤÜBß"ÙmÝ�àpï æeÝpïBà�ÛQÙEñϱܠå�ñ<ϱÙwÙ�ï æZä1ñ�Ý�ä ÛEÎ ÙmïBà�ãrϱæEÛ�Ø|Ü ÝpäBÛ�æEâ±Ü�Ý�ؤÜ?ïBâ±ï@ÙwϱÙgóXÛEÞ¤Þ�Ï©Ùwå¯Ø�Ù�æEà�ÛEÝ�Ûjá@ÏPà�ÝpÙgâ±ãXÝpäBÛ�ÝpäBÛbèâ©à�Ωë��)Ü Ý�ä Û�å¯Ø¤ÙpæbàpÛbÝpÛ�ÙmØ�å¯Û±ñXóXÛ�ä@ÏJô±Û&��Þ¤Ï5�]â±Þ¤ÛbÝPu Ù�æbâ©Ú¦íBؤܠÏPÝ�â±àpØ�ÏPÞ�Ý�äBÛkâ±àpÎ�âPãgæbâ©Ü©ÝpØ|Ü?ïBÛQåãÌàZϱæbÝ�ؤâ±Ü Ù/Z x5d�^£Ú$âPÝpØ|ô�Ï�ÝpÛkå�í?Îe�BàZÏPÜ��æEâ±Ü�u Ù�ÝpäBÛEâ©à�Î�âPãgõmä Ø¤ÙmÝ�â©à�ؤÛkÙpö5âPã¥å¯Î?Ü ÏPÚ$Ø�æwåBÏPÝpÏjÙmÝ�àpï æeèÝpïBà�ÛQÙ�Z yRx?ñ[ykj�^¥â±à)X&Ü?ï¯Ý�ä�u Ùgå¯Î?ܠϱÚ5Ø�æ$Ù]Ýpâ±àZÏPß©Û�ÏPÞ¤Þ¤â?ækÏ�ÝpØ|â©Ü�Ú$â¯å¯ÛEÞ�þsÙmÛkÛeZ \�jBñ�x¯ë�x¯ë�xB�@wPy5^;ãÌâ±àÝpäBÛ¢ÙmÝpÏPÝ�ÛkÚ5ÛkÜ�ÝXâ±ã�Ý�äBÛ¢áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ Ï±Ü å-Z yk�¯ñ']5c�^.ãÌâ©àXÙ�â±Þ¤ï¯ÝpØ|â©Ü Ù��bë � ÙXà�ÛkߩϱàpåBÙ�æbâ©Ü©ÝpØ|Ü?ïBâ©ï Ù�Ï©Ù]èá.ÛkæbÝpÙkñ?Ý�äBÛ)XgÏPàpÞ¤Ø|ܯè~`�æBs¢à�Ûkß±â±à�Ý�äBÛkâ±àpÎ�âPã;í Ø|à�Ý�ä¯èaå¯ÛQÏ�Ý�ä�áBàpâ¯æbÛkÙpÙ�ÛkÙ¢þÌâPã�ó_äBØ�æZä�Z yky¯ñ'cki�^1â5�7ÛEàÞ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛbèLá ÏPÝ�ä#á@ÛkàpÙ�á.ÛkæeÝpØ|ô©ÛkÙ�eñBØ|ÝpÙ�ÛEÞ|ã�æbÞ¤â©Ù�ÛEÞ¤Î"àpÛEÞ�Ï�Ý�ÛQåjÝpâ�ô�ÏPàpØ|â©ï Ù��ïBÛEïBÛkØ|Ü ß$Ý�äBÛkâ±àpÎ"Ú$â¯å¯ÛEÞ�ÙEñؤÜ?ô±â±Þ¤ô±ÛQÙ�Þ¤ÏPÝmÝpؤæEÛwá Ï�Ýpä Ù_Ýpä Ï�Ý&å¯ÛkÙpæbàpؤí@ۦϱÜ�Ø|Ü�ÝpÛEàpÛkÙmÝ�ؤÜBßjæbâ©Þ|Þ¤ÛkæbÝ�ؤâ±Ü�âPã�Ûkô±ÛEÜ�ÝZÙ¦þ3ÝpäBÛwÛkÚ¦í.Ûkå?èå¯ÛQå�`�ϱà9�©â�ô�æZä Ï±Ø|Ü��eë�ì�äBÛ�à�ÛQæbÛEÜ�Ý$í@â?â���í?Î}�@ÏJαâ±Þ¤Þ¤Û�ÕbÒ¦ÑPÐ�+ â±Ü�àZÏPÜ åBâ±Ú óXϱÞ��¯Ù�Ø|Ü Ý�äBÛ�ï Ï±àmÝpÛEà�ènáBÞ�ÏPÜ Û�Z xkj�^1Ø�Ù�äBؤÙmÝ�â©à�Ø�æEϱÞ|Þ¤Î$Ú$âPÝ�ؤô�Ï�ÝpÛkå�í�ÎjÙ�ï æZäb©ï ÛEïBÛkØ|ÜBß�Ý�ä ÛEâ±àpÎM�ïBÛkÙmÝ�ؤâ±Ü@Ù�Z xkc�^nëV�â±àZå à�ÛkáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝpÏPÝ�ؤâ±Ü Ùgâ±ãuÞ�Ï�ÝmÝpؤæEÛ"á ÏPÝ�ä Ù5ÏPÞ�Ù�â�áBàpâ�ô?ؤå¯Û"Ú$ϱÜ?Î�ÛE÷¯Ï±Ú$áBÞ|ÛQÙ¦â±ãuæbâ©Ü©ÝpÛb÷?ÝmèãÌàpÛEÛ#Þ�ÏPÜBß©ï ÏPß©ÛkÙkë�ì�äBØ�Ù�Ù�ؤå¯Û�â±ãuÝpäBÛ�æbâ©Ø|Ü Ø�Ù�æbÞ¤â©Ù�ÛEÞ¤Î�à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ÛQå�Ýpâ�ÛkÜ æbâ¯å¯Ø¤ÜBß�Ù$âPã¢Ý�àpÛEÛkÙ$í?ÎóXâ±àZåBÙkñ.Ù�â"Ýpä Ï�Ý)l)Î?æ��á@Ï�Ý�ä@Ù5þÌÝ�ä ÏPÝwÏPàpÛ�ϱÙpÙ�â?æEؤÏPÝ�ÛQå#Ý�â�ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ£Ý�àpÛEÛQÙ)ϱܠå�íBؤܠϱà�Î#Ýpà�ÛkÛkÙ�ϱܠå&`�âPÝpÿ,�?ؤÜ�á Ï�Ýpä Ù5þ3Ý�ä@Ï�Ý)ÛkÜ æbâ¯å¯Û�ïBܠϱà�Î�èLíBØ|Ü@ÏPàpÎjÝ�àpÛEÛQÙ���áBÞ�ÏJÎ�ϱÜ�ÛkÙ�á@ÛQæbØ�ÏPÞ¤Þ|Î#ؤÚ5á.â±à�ÝpϱÜ�Ýà��â±Þ¤Û±ë<ì�äBÛ¢Ý�äBÛkâ±àpÎ�âPã£æEâ±Ü�Ý�ÛE÷?ÝmènãÌà�ÛkÛ)Þ�ÏPÜBß©ï ÏPß©ÛkÙXÏPÜ å"áBï Ù�ä å¯â�ó_Ü�ÏPï¯Ýpâ±Ú�Ï�ÝZÏwÝpäBÛEÜ#æbâ©Ú¦íBؤÜBÛkÙÜBØ�æbÛkÞ|Î5ó_Ø|Ý�ä�ÝpäBÛ¢ç�äBâ©Ú$Ù9�?Î�è~�¯æZä��ï¯Ý�ÿkÛEÜ?í@Ûkà�ß©ÛEà<ÝpäBÛEâ©à�ÛkÚ$Ù�ZgwB�Bñ!]5y�^Lñ±ÝpâgÝ�äBÛ)Û��7ÛkæbÝ�Ý�ä@Ï�Ý�Ú�ÏPÜ?ÎÝ]Î?á.ÛkÙ�âPã.á Ï�Ýpä Ù<æEÏPÜ5í.ÛgÑXÖ.ùeÓrú�ùeÓ£à�ÛQæbâ©ß±ÜBؤÿEÛQå¦Ï±Ù�ϱåBÚ5Ø|ÝmÝpØ|ܠߢߩÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß)ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ù�Ý�ä@Ï�Ý�ÏPàpÛϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æPë�z�÷BÏPÚ$áBÞ¤ÛkÙ¢ÏPàpÛ¦áBàpâ�ô?ؤåBÛkå�í?Î&�;ϱí@ÛkÞ|Þ¤Û5ϱܠå&�¥ÛkävZ \�d¯ñ�ck��^nñ�`�ÛEàpÞ|ؤÜBØ�ÕbÒuÑPÐ�+�Z c5j�^nñϱܠå�l)ï æZäBâ©Ü�Z xkxB^Lë�þ_�aÜ�à�ÛEÝ�ïBàpÜ1ñ?ÛEÜ?ïBÚ$ÛkàpÏPÝ�ؤô±Û)ÙmÝ�ï@å¯Ø|ÛQÙ�à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ÛQå�Ý�â$æbâ©Ü�Ý�Ûb÷?Ý�èsãÌàpÛEÛ)ޤϱÜBß±ï Ï±ß±ÛQÙækÏPÜwÙ�â±Ú$ÛbÝpØ|Ú$ÛkÙ;áBàpâ�ô�Ø�å¯Û�ÙmÝ�àpï æbÝ�ïBàZÏPÞ©Ø|ܯãÌâ©à�Ú�ÏPÝ�ؤâ±Ügâ±Ügß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤâ±ÜgÚ$ÛkæZä@ÏPÜBØ�ÙmÚ�Ù£ÏPÜ å¢ãÌâ©à�Ú�ÏPÞÞ�ÏPÜBß©ï ÏPß©ÛkÙXϱÙ�Ø�Ù_ÛEô?Ø�å¯ÛEÜ@æbÛkå�í?ÎjÝpäBÛwÏPܠϱÞ|Î�ÝpؤæuÝ�äBÛkâ±àpÎjâPã<ؤÜBäBÛEàpÛEÜ�Ý�ÏPÚ�íBؤ߱ïBØ|Ý]ÎjâPã�Z y�w�^Lë ���Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|Ωñ�í.ÛkækÏPï Ù�Ûuâ±ã1Ý�ä ÛuàpؤæZä"æEâ±Ú�íBØ|Ü@Ï�Ý�â©à�Ø�æEÙ�Ùmï à�àpâ±ïBÜ@å¯Ø|Ü ßgÝ�äBÛkÚ#ñ�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ¢á Ï�Ýpä Ù�Ø|Ü�Ý�Ûkàmèô©ÛEÜBÛ&Ï�Ý�Ú�ÏPÜ?Îjá Þ¤Ï©æbÛkÙXؤÜ�Ý�äBÛgàZÏPÜ åBâ±Ú ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|â©Ü"â±ã�ÙmÝ�àpï æeÝpïBà�ÛQå"â©íI�]ÛkæbÝpÙkë¥ì�äBÛ&áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚÝpäBÛEàpÛ"Ø�ÙwÝpâ�åBàpÏJó Ï�æbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱޥâ±íI�]ÛQæeÝ5ãÌà�â©Ú Ùmâ©Ú5Û�æbÞ�ϱÙpÙ/��ñ¥Ï±Ü å�å¯â Ùmâ�ïBÜBØ|ãÌâ±àpÚ$Þ|ÎÏPÝ&àZÏPÜ@å¯â±Ú ϱÚ$â±ÜBß�Ù]ÝwÏPÞ¤Þ¥â©íI�]ÛkæbÝpÙ&âPã_Ù�Ø|ÿkÛ���ؤÜ���ë��?Ý�àpâ±ÜBß�å¯ÛQæbâ±Ú$á.â©ÙpÏPíBؤޤØ�Ý]Î�áBàpâ±á.ÛEà�Ý�ؤÛkÙ

Page 3: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £â±ã;á Ï�Ýpä Ù�ï Ù�ï ÏPÞ¤Þ¤Î�Ú$Ïk�±Û¢àpϱܠå¯â©Ú ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�ؤâ±Ü"á@â�Ù�Ù�Ø|í Þ|Û¢Ø|Ü�Þ¤â�ó á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞ@ÝpØ|Ú$Ûjþrï Ùmï@ÏPÞ¤Þ|Îó_Ø|Ý�ä"Ϧæbâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷¯Ø|Ý]Î�í.ÛbÝ]óXÛEÛkÜ�¤$þ_�[��ÏPÜ å�¤$þ_� * �¥�eë�ç�â©Ü ÙmÛB�ïBÛEÜ�Ý�ޤαñ?ÏPÜ?Î5ÛkÏ©ÙmؤÞ|Î$æbâ©Ú$áBï¯ÝpϱíBÞ¤ÛíBØ �]ÛkæbÝ�ؤâ±Ü$í.ÛbÝ]óXÛEÛEÜ�ÏgæEޤϩÙ�Ù��#ÏPÜ å5ÏgæbÞ�ϱÙpÙ<âPã�ÙmؤÚ$áBÞ¤Û_ÛEÜBâ©ïBß±ä$Þ�Ï�ÝmÝpؤæEÛ_á Ï�Ýpä Ù�ؤܠå¯ï æEÛkÙ¥Ï&àZÏPÜBèå¯â©Ú ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|â©Ü¦ÏPޤ߱â©à�Ø|Ý�äBÚ ãÌâ©à3��ë�X&ÜBâ�ó_ܦÛE÷¯Ï±Ú$áBÞ|ÛQÙ�Ø|Ü æEÞ|ï@å¯Û�ÝpäBÛ�àpϱܠå¯â©Ú ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�ؤâ±Ü¦âPãÝ]óXâ�å¯Ø|Ú$ÛkÜ Ùmؤâ±Ü@ÏPÞ1å¯Ø�ÏPß©àpϱÚ$ÙXÞ¤Ø��©Û&á@â©Þ|Ωâ±Ú$Ø|Ü â�ÛQÙ_ÏPÜ å�ÏPÜ Ø|Ú�ÏPÞ�Ùkë��Bâ±à_ؤܠÙmÝpϱܠæbÛ©ñ?Ý�äBÛ/l)ÛEÞ¤ÛkÙmÝmè¦)Ø|ÛkÜBÜBâPÝ5Ú$ÛbÝ�ä â?åBâ±Þ¤â±ß±Î�âPã�Z�wPi�^�ϱÞ|Þ¤â�ó�Ùwï Ù¦Ý�â�ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�Û"á ÏPàZÏPÞ¤Þ|ÛkÞ|â©ß±àZÏPÚ á.â±Þ¤Î±â©Ú$Ø|ÜBâ?ÛQÙwؤÜÞ¤Ø|Ü ÛkÏPà�ÝpØ|Ú$Û�mBÝ�ä Ûwà�Û¥�]ÛkæbÝ�ؤâ±Ü#Ú$ÛbÝ�ä â?å Ù_âPã�Ý�äBÛ�õ9��Þ|â©à�ÛkÜ æbÛ/�¯æZä â�â©Þ¤öeZ i�^£Ú�Ïk�±Û&Ø�Ý)á@â�Ù�Ù�Ø|í Þ|Û&Ýpâß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�Û�ô�ÏPàpØ|â©ï Ù<Ý]Î?á@ÛQÙ¥â±ã�åBØ|àpÛkæbÝ�Ûkå$Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ¢ÏPÜBؤÚ�ÏPÞ�Ù�Ø|ÜjϦÙmïBàpáBàpؤÙ�ؤÜB߱ޤΦÛ,§�æEØ|ÛkÜ�Ý�Ú�ÏPÜBÜBÛkàkëì�äBÛ�å¯ÛQÙmؤ߱Ü�âPã_Ù�ï æZä�ϱÞ|ß©â±àpØ�ÝpäBÚ�٢ؤÙgæEÞ|ÛQÏPàpÞ|Î�åBÛEá.ÛEÜ å¯ÛkÜ�Ýwâ±Ü�Ý�äBÛ�í Ï©ÙmØ�æ$æbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤækÙ¢âPãÞ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ&á Ï�Ýpä Ù�ó_äBؤÞ|Û¢ÝpäBÛgæbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBߦá.ÛEà�ãÌâ±àpÚ�ÏPÜ æEۢϱܠÏPޤίÙmÛQÙ�àpÛEÞ¤Î�â±Ü�î ÜBÛ&áBàpâ±í@ÏPíBؤÞ|Ø�ÙmèÝpؤæ&ÛQÙ]ÝpØ|Ú�Ï�ÝpÛkÙ�â±ã<æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æuá à�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙ�âPã<á Ï�Ýpä Ù,m@ÙmÛkÛ/�1â±ï@æZä ÏPàZåGu ÙXæEâ±Ü�Ý�àpؤíBï¯Ý�ؤâ±Ü¨Z c5y�^ãÌâ©à�ÏwÜ ÛkÏ�Ý�Ûb÷BÏPÚ$áBÞ¤Û)ϱܠå$Ý�ä Ûuá Ï±á@Ûkà�Z \�^.ãÌâ±à�ÏPޤ߱ÛEí àpϱؤæXÝpÛkæZäBÜBØL�ïBÛkÙ�àpÛEÞ�Ï�Ý�ÛQå5Ý�â¦Ý�äBÛ)áBà�ÛQÙmÛkÜ�Ýá Ï±á@Ûkàkë�aÜ ÝpäBؤ٦Ø|Ü�Ýpà�â¯å¯ï æbÝ�ؤâ±Ü1ñ<óXÛ"æEϱÜBÜBâ±Ý�å¯â�Ú$â±àpÛ$Ý�ä@ÏPÜ ÙpæbàZÏ�ÝZæZä�ÝpäBÛ"Ù�ïBà�ãrϱæbÛ"âPã�Ùmï@æZä à�Ø�æZäæEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�â©à�Ø�ÏPÞnñ¯áBàpâ±í Ï±íBØ|Þ¤Ø�Ù]Ýpؤæ±ñ ÏPÜ å�ϱÞ|ß©â±àpØ�ÝpäBÚ$ؤægÏ©Ùmá.ÛkæbÝpÙ_â±ã�Þ¤ÏPÝmÝ�Ø�æbÛ¦á Ï�Ýpä ÙEë � æEæbâ©àpåBØ|ÜBß©Þ|ÎóXÛgæbï¯ÝuÙ�äBâ±à�Ý_â±ïBà_å¯Ø�Ùpæbï ÙpÙmؤâ±Ü�âPã<Ú$âPÝpØ|ô�Ï�ÝpØ|â©Ü Ù_Ï�Ý_ÝpäBØ�Ù�á@â©Ø|Ü�Ýkë

©�ª�«k¬�­|«�®�¯<°�­b¬�±�¬G­�²I³ ì�äBؤÙ�á ÏPá.ÛEàuÏ©Ù�Ù�ÛEÚ�íBÞ¤ÛkÙ�æEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�â©à�Ø�æEÙXâPã�óXâ±àZåBÙ_ÏPÜ@å#á Ï�Ýpä ÙEñÙ�â±Ú$Û$ÏPޤ߱ÛEí àpÏ�âPã�ãÌâ±àpÚ$ϱÞ<á@â�óXÛEàgÙ�ÛEàpØ|ÛQÙEñ;ϱܠå�æbâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷�ÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤÙkët´uÜ å¯ÛEàwÝ�äBØ�ÙgÏPÜBß©Þ|Û©ñ1óXÛí.ÛEÞ¤Ø|Ûkô±ÛXÝ�ä Û_ÛEÜ�Ý�Ûkà�áBàpØ�ÙmÛXÝ�â&í.Û_â±àpØ|ß©Ø|Ü@ÏPÞnë�µ)ïBØ|Ý�Û�Ï¢Þ¤âPÝ¥Ø�Ù<âPÝ�ä ÛEàpó_ؤÙ�Û ��Ü â�ó_Ü�àpÛEß�ÏPàZå¯Ø|Ü ßuáBàpâ±í¯èϱíBØ|Þ¤Ø�Ù]Ýpؤæ¢áBàpâ±á.ÛEà�Ý�ؤÛkÙ�â±ã�á ÏPÝ�ä Ùkñ Ï©ÙXÝ�äBÛQÙmÛgàpÛEáBàpÛkÙ�ÛEÜ�Ý�Ù�ïBÚ�Ù�âPã<àpϱܠå¯â±Ú ôJϱà�Ø�ÏPí Þ|ÛQÙEë � æEæbâ©àpå¯èؤÜB߱ޤαñ?â©ïBà�Ýpà�ÛQÏ�ÝpÚ5ÛkÜ�Ý�ækÏPÜ"í.Û±ñ�Ýpâ5Ù�â±Ú$Û¢Ûb÷?Ý�ÛkÜ©ÝQñ?à�Ûkß©ÏPàZå¯ÛQåjϱÙXϦá@ÏPàZÏPÞ¤Þ|ÛkÞ@â±ã;áBàpâ±í Ï±íBØ|Þ¤Ø�Ù]ÝpؤæbèϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ)Ú$ÛEÝ�äBâ¯åBÙ�ؤÜ�Ý�äBÛgàpÛkϱÞ|Ú â±ã�ÛkÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�Ý�ؤô±Û&æbâ©Ú¦íBؤܠÏPÝ�â±àpØ�æEÙkë�aÜb�¯ÛkæeÝpØ|â©ÜbxBñ�óXÛ)Ù�äBâ�ó Ýpä Ï�ÝXÝ�äBÛ&æbâ©ïBÜ�Ý�ؤÜBߦߩÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBßwãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü ÙXâPã1á ÏPÝ�ä ÙXâPã£ôJϱà�ؤâ±ï@ÙÙ�â±à�ÝpÙ£ÏPàpÛ�ؤÜ�ô�ϱà�Ø�ÏPíBÞ¤ÎjÑ�Ð ��ÕB�bù�ÑPÓrÔ�ü�¯û.ÔEÒsÓrúPûBýeë£ì�äBØ�Ù<ÏPޤ߱ÛkíBàpϱؤæ�æZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEà£Ø¤Ù�áBàpÛkåBؤæbÝpÏPí Þ|Û�ÙmؤܠæEÛÝpäBÛuóXâ±àZå5ÛEÜ æEâ?åBØ|ÜBß�Ù¥â±ã�Ý�äBÛ)â±íI�]ÛQæeÝ�æEâ±Ü Ù�ؤåBÛEàpÛkå�ÏPàpÛ�æbÞ¤Ûkϱà�Þ¤Î5à�ÛQæbâ±ß©ÜBؤÿkÏPí Þ|Û�í?Î�å¯ÛbÝpÛEàpÚ5ؤÜBØ�Ù]èÝpؤægá ï Ùmä@å¯â�ó_Ü�ÏPï¯Ýpâ±Ú�Ï�ÝZÏBñ@äBÛEÜ æEÛ�ϱà�Ûwå¯ÛEÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBؤÙmÝ�Ø�æ¦æEâ±Ü�Ý�ÛE÷?ÝmènãÌà�ÛkÛgޤϱÜBß±ï Ï±ß±ÛQÙEë .�â�óXÛEô©ÛEàQñãÌâ©à¢å¯Ø¤àpÛkæeÝpÛkå�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ5á Ï�Ýpä Ùkñ�ó�Û5å¯ÛEÚ$â±Ü@Ù]ÝpàpÏPÝ�ÛwÝpä Ï�ÝgÏ"ÙmÝ�àpâ±Ü ß�ÏPޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æ"ø±ÕZÔZú��uÖBú�ýEÑk�EÓ3Ð�Ó3Ò��áBàpÛEô�ϱØ|Þ�ÙgÝpä Ï�Ý$ؤÙ�â±íBÝpÏPؤÜBÛQå í?Î Ï�Ùmá.ÛkæEØ�î.æ�Ý�ÛQæZäBÜBØL�ïBÛ±ñ�ÝpäBÛ � �©Õbùeû7Õbж�$ÕEÒÌ×BúQøK �þÌäBØ�ÙmÝ�â±àpØ�æEÏPÞàpÛEÚ�ÏPà��¯Ù<ÏPàpÛXß©Ø|ô©ÛEÜ$Ï�Ý�ÝpäBÛ_ÛEÜ å5â±ãG�?ÛQæeÝpØ|â©ÜhxBë x��<ÏPÜ å5Ø�Ù<ÜBâPÝ�æEÞ|ÛQÏPàpÞ|Φô�Ø�Ù�Ø|íBÞ¤Û_â±Ü�æEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�â±èàpؤϱÞBÏPÜ å�ß±àZÏPÚ$Ú�Ï�ÝpؤækÏPÞ¯å¯ÛQÙ�æEà�ؤá¯Ý�ؤâ±Ü@ÙEë��)ïBà�áBïBàpá.â©Ù�ÛXؤÜ5Ý�äBØ�Ù�á Ï±á@Ûkà�ؤÙ�Ý�âwÏPàpàpØ|ô©Û�ÛEô©ÛEÜ�Ý�ï@ÏPÞ¤Þ|ÎÏPÝgÏ#æEâ±Ú$áBÞ¤ÛbÝ�Û�æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpØ|ÿQÏ�Ý�ؤâ±Ü�âPã�ÝpäBÛjÙ�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPàgÙ]Ýpà�ï@æeÝ�ï à�Û$âPã�ؤܩÝpÛEàpô±ÛkÜBØ|Ü ß�ß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤâ±ÜãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù)þ·�?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü�yR�·f+í�Î5ô?Ø|à�Ý�ï ÛuâPã�ÝpäBÛuÚ$ÛEÝ�äBâ¯å�â±ã�ýZÓ3û!�5�¯Ð¤Ñ�ùeÓ3Ò·�$ÑPû.Ñ�Ðg�JýZÓ�ýeñ?ÝpäBؤÙ�Þ¤Ûkϱå Ù¥Ýpâô©ÛEàpÎ�áBà�ÛQæbØ�ÙmÛjÏ©ÙmÎ?Ú$á¯ÝpâPÝ�Ø�æ5Ø|ÜBãÌâ±àpÚ$ÏPÝ�ؤâ±Ü�â±Ü�Ý�ä Ûjæbâ±ï Ü©ÝpØ|Ü ß-©ï@ÏPÜ�Ý�Ø|Ý�ؤÛkÙ&ؤÜ?ô±â±Þ¤ô±ÛQå�ë � ÝgÝ�ä Ø¤ÙÞ¤ÛEô©ÛEÞBÏPÞ�Ù�â ñ�ÝpäBÛ�å¯ÛkæEâ±Ú$á.â©ÙpÏPíBؤÞ|Ø|Ý]ΦߩàpϱÜ�Ý�Ûkå¦í?ÎwÝ�ä Û��±ÛEàpÜBÛkÞBÚ$ÛbÝ�ä â?å5Ø�Ù¥æbÛkÜ�Ý�àZÏPÞBϱ٥Ø�Ý¥ÛkÜ ÏPíBÞ¤ÛkÙï ÙXÝpâjå¯ÛbÝpÛEàpÚ$Ø|ÜBÛ&ÝpäBÛwÞ¤â¯æEÏ�ÝpØ|â©Ü�ϱܠå�Ü Ï�ÝpïBàpÛ¢â±ã<åBâ±Ú$Ø|Ü@ÏPÜ�ÝuÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý�ؤÛkÙkë�ì�äBÛEÜ;ñ â±Ü@æbÛ¢Ý�äBÛÙ�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPà¢Ù]Ýpà�ï æbÝ�ïBàpÛ5âPã�æbâ©ïBÜ�Ý�ؤÜBß�ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�ؤÜBß�ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü Ù¢ä Ï±Ù)í@ÛkÛEÜ�Ûb÷?Ý�àZϱæbÝ�ÛQå�ñ.Ý�ؤ߱ä�Ý¢ÛQÙ]ÝpØ�èÚ�Ï�ÝpÛkÙ)â±Ü�á à�â©í ÏPíBؤޤØ�Ý]Î#å¯Ø�Ù]Ýpà�ؤíBï¯ÝpØ|â©Ü Ùuâ±ã¥á ÏPàZÏPÚ$ÛEÝ�ÛEàZÙ_ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó ÛkÏ©ÙmؤÞ|Î7ð�Ù�ÛEÛ��?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü-\"ãÌâ±à&ÏÙpÏPÚ$áBÞ¤Û¦â±ã¥ó_ä Ï�ÝgæEϱÜ�í@Û$å¯â©ÜBÛ±ë)�?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü�c�Ù9�±ÛbÝZæZäBÛkÙuÛb÷?Ý�ÛkÜ Ù�Ø|â©Ü Ù�ÝpâjÝpäBÛ�ÛkÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�Ý�ؤâ±Ü�âPãæEÛEà�ÝpÏPؤÜ&Ý]Î?á@ÛQÙ;â±ãBáBÞ�ÏPܠϱà;â±í��]ÛkæeÝZÙ;á à�â�ô?Ø�å¯Ûkå¢ÝpäBÛEÎgÙpÏ�Ý�Ø�ÙmãÌÎ&ÏuÙ]Ýpà�â©ÜBßuå¯Ø¤à�ÛQæeÝpÛkå¯ÜBÛQÙ�Ù�æbâ©Ü å¯Ø|Ý�ؤâ±Ü1ë

w±ë�¸�¹¯Å7Å�ËÌÊ�º�»�¹¯ÅG¼[½h¹;Ä1È¿¾[ºBÄ[ºBÆ@¹¯Å�Ë3Ä[¾ÁÀ?É1Ä;Ê@Å�ËÌÇ;Ä3½ì�äBØ�Ù�Ù�ÛkæeÝpØ|â©Ü#áBà�ÛQÙmÛkÜ�ÝpÙ�ÝpäBÛgô�ÏPàpØ|ÛEÝ�ؤÛkÙ_â±ã�Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛgá ÏPÝ�ä Ù�Ýpâ�í@Û�Ù]Ýpï å¯Ø¤Ûkå#ϱÙ_óXÛEÞ¤Þ;Ï©Ù�Ý�äBÛkØ|à

æEâ±Ú$á ÏPÜ Ø|â©Ü"ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ܠߦãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@ÙEëÂbÃRÄ�Å�Æ_ÇBÆÉÈ�ÅËÊ�Ì)Í�ÓgÎ#Ñ�Ï�û Ó3ÒaÕ&ýEÕEÒ�úmü�ÐJÕZÔEÒLúPùZýwúmü�é ê�é "GÑvÒÔÓ�þ�Õ =�Ö�×,= � ÖPØ,Ø,ØPÖ þ�ÕRÙ Ö�× Ù��ÚI+�ÛÞ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ¦á@Ï�Ý�ä úPù)ó�ÏPÞ�� ù�ÕEÐ|Ñ�ÒnÓ#ÐJÕjÒLú�Ñ Ó�ý$Ñ�ýEÕÜ,� Õbû7ÔpÕ�Ð�Ò þÉÝ =�ÖPØ,Ø,Ø,Ö Ý o ��ý�� ÔZ×�ÒÌ×BÑPÒ)ÕZѱÔZ×�ÝBÞÓ�ýgÓ3ûMÑ�+�ß7×BÕ��©ÕZú5�$ÕEÒsùeÓrÔ�ù�ÕZÑPÐ�Ó�àQÑ�ÒnÓrú�û ú]ü¦Ñ"Ð|Ñ�ÒnÒnÓrÔpÕ�Ö Ñ�ÒÌ×eÐ�Ò þÉÝ =�ÖPØ,ØPØ�Ö Ý o �¦Ó�ýgÒ3× ÕwýEÕÜ,� Õbû7ÔpÕ

Page 4: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

á >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUâãRä�å�ãRæ�çPã�è5é�êRâ�ë<â âãRä�å�ãRæ�ç,ì%í

î ã�ïðBã�ñòì~ë�óô ðPã�õ[öé�ç,÷�øRù�ú!ç�ì<ê ô#û öü ô_ýkþ�ÿ ö�� ÿÿ � ý���ôòÿ ö

� ë<ågä�æPâ ô�� ö� ô_ý ö� ü� ô_ý ö�� ý �� � ��� ���� ô_ý ö� � ô_ý ö

ïðPãRñòì~ë�óô ðBã�õ�� ö � â�ç,ã!ä�â9ë ô�� ö� ô_ýkþ�ÿ ö�� ÿÿ � ý���ôòÿ ö ��� ��� ô·ÿ � � � ô_ý ö~öâ��kï î ë<ñ~å�ðPã ô! ö" ô_ý ö� �� ô_ý ö�� ô � ÿ ö �$# �% #&� ý ��� ��� � � ô_ý ö'�Ë_¾;É1ÆGº)(+* ì�äBÛ�ãÌâ±ï àwÝ]Î?á@ÛQÙwâ±ã�á Ï�Ýpä ÙEð5ó�ÏPÞ��?Ùkñ;í à�Ø�å¯ß±ÛQÙEñ�Ú$Ûkϱܠå¯ÛEàZÙkñ

ÏPÜ å�ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü Ù�ϱܠåjÝpäBÛwæbâ©à�àpÛkÙ�á.â±Ü å¯Ø¤ÜBß5ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ÜBß�ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ùkë

úmü�Ö ú�Ó3û@Òrý)þ-,�. Ö , =5Ö,Ø,ØPØ�Ö , o �uý�� Ôp×"ÒÌ×BÑPÒ�,�.�Ò þÉ� Ö �R�¢ÑPû.ø0/&/1/1/32,�Þ54 = ,GÞ�Ò�ÝBÞR+�ß7×BÕ�Ü�� ÑPû ÒnÓ3Ò���� Ó�ýù�ÕsübÕEùeù�ÕZø�Òaú"ÑJýgÒÌ×BÕ)ÙmؤÿEÛ�ú]ügÒÌ×BÕ_ÖBÑPÒ3×'+�aÜ#Ý�ä Û¦ÙmÛB�ïBÛEÞnñ óXÛwÙmä@ÏPÞ¤Þ;Ø�å¯ÛEÜ�Ý�Ø|ãÌÎ#Ï$Þ¤ÏPÝmÝ�Ø�æbÛ¦á Ï�Ýpä�ó_Ø�Ýpä#Ý�äBÛwá.â±Þ¤Î?ß±â©Ü ÏPÞ�Þ¤Ø|ܠۦϱå¯Ú$Ø|ÝmÝpØ|ÜBß, . ÖPØ,Ø,ØPÖ , o Ï©Ùgô±ÛkàmÝpؤæEÛkÙkëjì�äBÛjÛkÞ|ÛkÚ5ÛkÜ�ÝpÙgâ±ã%Ñ ÏPàpÛjæEϱÞ|Þ¤Ûkå ýeÒLÕaÖ@ýjâ©à76��I��Ö.ýeñ�ϱܠå�ó�ÛjϱޤÙ�âàpÛbãÌÛkà�Ýpâ$Ý�äBÛgô©ÛkæbÝ�â±àZÙ /8/+/+/32, Þ54 = , Þ Ò¿Ý Þ Ï±ÙXÝpäBÛwÙ]ÝpÛEá Ù�âPã�Ï5á Ï±àmÝpؤæEïBÞ�ÏPà_á ÏPÝ�ä1릥ÏPàpؤâ±ï Ù�æbâ±Ü@Ù]ÝpàpϱØ|Ü�ÝpÙ¥ó_Ø|Þ¤Þ@í.ÛuؤÚ$á@â�ÙmÛQå�â±Ü�á@Ï�Ý�ä@ÙEë��aÜjá Ï±àmÝpؤæEïBÞ�ÏPà¥óXÛuàpÛkÙmÝ�àpؤæbÝ�Ï�Ý�Ý�ÛkÜ©ÝpØ|â©ÜÝpäBà�â©ïBß±ä â±ï¯Ý7Ý�ä Ø¤Ù;á ÏPá.ÛEà;Ý�â¦ø�Ó3ùpÕpÔEÒaÕpø�Ö Ñ�ÒÌ×�ý�å¯ÛEî ÜBÛkå&í?ÎuÝ�äBÛ�ãrϱæeÝ�Ýpä Ï�Ý£Ø�ã;þ�Õ Ö× �.Þ¤Ø|ÛQÙ1ؤÜ�ÑuñQÝ�äBÛkÜÜBÛQæbÛQÙ�ÙpÏPàpØ|Þ¤Î�â±ÜBÛ$Ùmä â±ïBÞ�å�ä ÏJô©ÛtÕ:9 � ë)�aÜ�â±Ý�äBÛkà¢óXâ±àZåBÙkñ.Ï�ÙmÝ�ÛEá�ÏPÞ¤óXÏJίÙuÛEÜ�ÝpϱØ|Þ�Ù¢áBà�â©ß±àpÛkÙpÙϱÞ|â©ÜBß�Ý�ä Û¦äBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ�Ï�÷¯Ø¤Ù)ÏPÜ å�Ý�äBÛ�ß±ÛEâ©Ú$ÛbÝ�àpØ�ægà�ÛQÏPÞ¤Ø|ÿQÏ�ÝpØ|â©Ü�âPã�Ý�ä Û�á ÏPÝ�ä�Ü@Ï�Ý�ï àpϱÞ|Þ¤Î�ޤؤô±ÛkÙؤÜ"ÝpäBÛgä Ï±Þ�ã<áBÞ�ÏPÜBÛgé<; . ê�é_ë�þsì�äBؤÙ_æEâ±Ü ÙmÝ�àZÏPؤÜ�Ý_à�ïBÞ¤ÛkÙXâ©ï¯Ý�á Ï�Ýpä Ù�Þ¤Ø��©Û)ÝpäBÛgâ±Ü ÛkÙ�â¯æEæEïBà�àpؤÜBßؤÜ>=@?â±Þ¤Î©Ï'u Ù�õ�å¯àpïBÜ���ϱàpå"áBà�â©íBÞ¤ÛEÚ�ö�Ï©Ù�å¯ÛkÙpæbàpØ|í.Ûkå�ؤÜ"ÝpäBÛgÏ�ÝmÝpàpÏ©æeÝpØ|ô©Û)í.â?âk�?Þ|ÛEÝ_âPã�l)â�Î?Þ|Ûgϱܠå�?Ü ÛEÞ¤Þ�Z�wPd5^·m�Ø�Ý�ÏPÞ�Ùmâ�Ø|Ú$áBÞ¤Ø|ÛQÙ�Ý�ä ÏPÝ�ÝpäBÛ�á@Ï�Ý�ä@Ù�ÙmÝ�ï åBØ|ÛQå æEϱÜ�í.Û"Ýpà�ÛQÏ�Ý�ÛQå ÛkÙpÙ�ÛEÜ�Ý�Ø�ÏPÞ¤Þ|ΠϱÙ�wbèå¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�ؤâ±Ü Ï±Þ�â±íI�]ÛQæeÝpÙkë��¦ì�äBÛ&ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó_ؤÜBß�æbâ±Ü@å¯Ø�ÝpØ|â©ÜBؤÜBß©Ù�ÏPàpÛ¢Ý�â$í.Ûwæbâ±Ü@ÙmØ�å¯ÛEàpÛkå�þÉ��ؤ߱ïBàpÛ�wB�bëÂbÃRÄ�Å�Æ_ÇBÆÉÈ�ÅBAGÌ�Û�íBàpؤåBß±ÛgÓ�ý�Ñ�ÖBÑPÒ3×DC£×BúJýEÕ¢Õbû7øFE¤Ö ú�Ó3û@ÒG, o Ð�ÓrÕeýuúPû�Ò3× ÕIH�EmÑPΩÓ�ý�+ Û Ú$Ûkϱܠå¯ÛEàÓ�ý¢ÑuÖ Ñ�ÒÌ×�ÒÌ×BÑ�Ò�Ð�ÓrÕeý¢Ó3û�ÒÌ×BÕ�Ü�� ÑPùeÒLÕEù�Ö7Ð|Ñ�û7Õ_é ; ._ê$é ; .!+¶Û)û$Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü�Ó�ý&ÑuÖBÑPÒ3×�ÒÌ×BÑPÒ�Ó�ý¢Ñ�ÒÒÌ×BÕwýEÑ���Õ¦ÒnÓ#��Õ�ÑM�$ÕZÑ�û7ø±ÕEù�Ñ�û7ø�Ñ��bùeÓrøP�©Õ5J�Ó3Ò�ÒÌ×!�?ýwÔZú�û û7ÕZÔbÒsýgÒ3× Õ�úPùeÓg�PÓ3û�ÒLú�Ñ¢Ö ú�Ó3û@Ò�Ð���Ó3ûR�úPû�Ò3× ÕKHLEmÑ,ΩÓ�ý�Ñ�û7ø�Ó3ûKÐJúPÐ�ÐJÕbýwû.ú&ÖBúPÓ3û Ò<C�Ó3Ò3×�û.Õò��Ñ�ÒnÓ#ÐJÕNM�O�ÔZúkúPù�ø�Ó3û7Ñ�ÒaÕP+Û übÑ5��Ó3Ð��#ú]ü�Ö Ñ�ÒÌ×�ýgÓ�ý&ýEÑ�Órø"ÒLú��pÕuÙmؤÚ$áBÞ¤Û"Ó üwÕZѱÔZ×�ÑPÐ3Ð|úFC�ÕZøjýeÒLÕaÖ�Ó3û�ÑQP_��Õ�Ï¥û@Ó3ÒsÓrúPûBRTS�Ó�ýúmü�Ò3× Õ;übúPù�� þ¥w Ö�× �UC�Ó3Ò3× ×WV é�+YXeûjÒÌ×?Ó�ýuÔZÑJýEÕ�"LC�ÕuÑPÐVýEú�Ñ��P�Eù�Õ,ÐkÓrÑPÒLÕ Ñ Ñ�ý�Ñ�ÒÔÓ × = Ö,ØPØ,Ø,Ö× Ù ÚI+�aÜjÝpäBÛ&ÙmؤÚ$áBÞ|Û&æEÏ©ÙmÛuÝ�äBÛgÙ�Ø|ÿkÛuâ±ã£Ïwá ÏPÝ�ä�æbâ±Ø¤Ü æEؤå¯ÛQÙXó_Ø�Ýpä"Ø|ÝpÙ�Ùmá@ÏPÜ"ϱÞ|â©ÜBßwÝpäBÛ)ä â±àpØ|ÿkâ±Ü�ÝpϱÞå¯Ø¤àpÛkæeÝpØ|â©Ü1ñ©Ý�ä ÏPÝXØ�ÙEñ?Ø|ÝpÙ¢Ð|ÕEûR�±Ò3ׯë¥ì�äBÛ)Ý�ÛEàpÚ$Ø|Ü â±Þ¤â±ß±Î5âPã£íBà�Ø�å¯ß©ÛkÙkñ©Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙkñ�ϱܠåjÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@ÙØ�Ù#æZäBâ©Ù�ÛEÜ+Ýpâ í.Û æbâ©Ü ÙmØ�ÙmÝ�ÛEÜ�Ý#ó_Ø�Ýpä ÝpäBÛ Ù]ÝZÏPÜ åBϱàpå â±ÜBÛ Ï±åBâ±á¯ÝpÛkå+Ø¤Ü ÍXàpâ�ó_ÜBØ�ÏPÜ Ú$âPÝpØ|â©ÜÝpäBÛEâ©à�Î@m¯ÙmÛkÛ±ñBÛ©ë ß@ë|ñ�Z j�x�^nëì�äBÛ¥Ú�ϱØ|Üwâ©íI�]ÛkæbÝ�ؤô±Û�â±ã�ÝpäBØ�Ù;á Ï±á@Ûkà1Ø�Ù1Ýpâ�ÛEÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�ÝpÛ�Ûb÷BϱæbÝ�ޤ΢ϩÙ�óXÛEޤީϱ٣ϱÙ�Î?Ú5áBÝ�âPÝpؤækÏPÞ¤Þ|Î

á ÏPÝ�ä Ùkñ í à�Ø�å¯ß±ÛQÙEñ@ÏPÜ å#Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙkñ¯Ý�ä Ø¤Ùuó_Ø�Ýpä�Ùmá.ÛkæEؤϱޣÏ�Ý�Ý�ÛkÜ©ÝpØ|â©Ü#Ý�âjÙ�Ø|Ú$áBÞ¤ÛgãrϱÚ5ؤޤØ|ÛQÙEë��)Ü æEÛ

Page 5: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ ZÝpäBÛ�Ù�ÛbÝ#âPã¦ÙmÝ�Ûká Ù"Ø�Ù"îB÷¯Ûkå�ñ)ó�Û�Þ|ÛEÝ>[ ÏPÜ å]\ åBÛEÜBâ±Ý�Û�ÝpäBÛ ÙmÛEÝ�âPãwá@Ï�Ý�ä@Ù�ϱܠå+íBàpؤåBß±ÛkÙàpÛkÙ�á@ÛQæeÝpØ|ô©ÛEÞ¤Î�þ-[ í@ÛkØ|ÜBß�àpÛEÚ$Ø|ܠؤÙpæbÛkÜ©Ý5âPãjõ�óXϱÞ��¯ö���m¥óXÛ�å¯ÛkÜBâPÝpÛ�í?Î_^ ÏPÜ åa` Ý�äBÛ#Ù�ÛbÝ$âPãÚ$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙ�ÏPÜ@å�ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@Ù¢þb` í@ÛkØ|ÜBß�àpÛEÚ$ؤÜBØ�Ù�æEÛEÜ�Ý_âPã)õ�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü ö��bës¢Ø¤ô±ÛEÜ�ÏwæbÞ�ϱÙpÙ��#âPã1á ÏPÝ�ä Ùkñ�ó�Û�Þ¤ÛbÝ%� o å¯ÛEÜBâ±Ý�Û_ÝpäBÛ)Ù�ïBí7æbÞ�ϱÙpÙ�â±ã�á Ï�Ýpä Ù¥Ýpä Ï�ÝXä ÏJô±Û�Ù�ؤÿEÛ���ñϱܠå�ñ7ó_äBÛEÜ ÛEô±Ûkà)ϱáBáBàpâ±áBàpؤÏPÝ�Û©ñ'� o&c d�e � o ÝpäBâ©Ù�ÛwÝpä Ï�Ý&ä ÏJô©Ûgî Ü Ï±Þ�ô©ÛEà�Ý�Ø�æEϱޣÏPí@Ù�æEؤÙpÙ�Ï�þrÏPÞ�Ù�â�?ÜBâ�ó_Ü Ï©Ù õmî Ü Ï±Þ¢Ï±Þ�ÝpØ�Ýpï å¯ÛköR�jÛB�ï ÏPÞ¢Ý�âgf7ë V+Ø|Ý�ä Ý�äBÛ æbâ©Ü�ô©ÛEÜ�Ý�ؤâ±Ü+â±ã¦ï Ù�Ø|Ü ß ÙmÝpÏPÜ@åBÏPàZåãÌâ©Ü©ÝZÙ&Ý�â�åBÛEÜBâ±Ý�ÛjæEϱàpåBØ|ܠϱÞ|Ø|Ý�ؤÛkÙ&â±ã�ÝpäBÛ"æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBØ|ÜBß#Ù�ÛbÝpÙ"þ3Ý�ä ÛEÚ�ÙmÛkÞ|ô©ÛkÙgØ¤Ü æEϱÞ|Þ¤Ø|ß©àpϱáBäBØ�æÙmÝ]Î?Þ|Û��eñFh o Ò æEÏPàZå1þ_� o �1ÏPÜ åih o Ò ækÏPàZå�þ#� o&c d �bñkÝpäBÛ�æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBØ|ÜBßgþrâ±àZå¯Ø|Ü@ÏPàpÎI�G��ÕEû.ÕEù�Ñ�ÒnÓ3ûR�ü�¯û7ÔbÒnÓrú�û ý$þ·s��%u Ù��ÏPàpÛ)ÝpäBÛEÜh$þ-jR�Xð�Òlk

oh o j o Ö h$þ-j Ö$m ��Òlk o&c d h onc d m d j o Ø

ì�äBØ�Ùwá@ÏPá.ÛEàwØ�ÙwÛkÜ©ÝpØ|àpÛEޤΠå¯ÛEô©âPÝ�ÛQå�Ý�â�æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpØ|ÿkØ|ÜBß�ÝpäBÛkÙ�Ûjß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|Ü ß�ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü ÙEð�Ý�ä ÛEÎϱà�Û¢ÛEØ|Ý�äBÛkà�àZÏ�Ý�ؤâ±Ü@ÏPÞ7ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù¦þ-oÔ�Xâ±à�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æuãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ù¦þqp Ö�rhÖ$s �bë � Ù�ó�ÛgÙ�ä ÏPÞ¤Þ;Ù�ÛEÛ±ñÏ�Ù]Ýpà�â©ÜBß�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ¦åBÛkæbâ©Ú$á@â�ÙmØ|Ý�ؤâ±Ü�áBà�Ûkô�ÏPؤޤÙ)ó_äBØ�æZä1ñ;ϱÙ)â±á á@â�ÙmÛQå�Ý�â#â±Ý�äBÛkà&ϱáBáBàpâ©Ï©æZäBÛkÙkñàpÛEÜ åBÛEàZÙ�ÝpäBÛ5ækÏPÞ�æbïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü�â±ã¥Ý�äBÛMs��¶u Ù)Û,�.ÛQæeÝpØ|ô©Û±ë�z�ô±ÛEÜ�Ú5â©à�Û5ؤÚ5á.â±à�ÝpϱÜ�Ý�ޤαñ.Ý�äBÛ�å¯ÛQæbâ©Ú�èá.â©ÙpÏPíBؤޤØ�Ý]Î5âPã�s��¶u ÙXÚ$Ïk�±ÛQÙ¥Ø|ÝXá.â©ÙpÙmؤíBÞ¤Û�Ýpâ¦Ûb÷?ÝpàpÏ©æeÝ�ÝpäBÛEؤà_ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpÛ±ñ?ÏPÜ å"Ø|Ü�ÝpïBàpÜÙ�â±Þ¤ô±Û)Ý�äBÛwæEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü@å¯Ø|Ü ß5Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ¢ÛEÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�ÝpØ|â©Ü�áBàpâ±í Þ|ÛkÚ$Ù�ؤÜ�Ï5ó_äBâ±Þ¤Þ|Î�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãrÏ©æeÝ�â©à�ÎãrÏ©ÙmäBؤâ±Ü;ët ­8u-v'°G¯9­xwv¬G±�¯¥°Gy�³ � â±àwÙ�ÛEô©ÛEàZÏPÞ<ÏPáBáBÞ¤Ø�æEÏ�ÝpØ|â©Ü Ùkñ�Ø�ÝwØ�Ù&ï Ù�ÛbãÌïBÞ<Ýpâ#Ï©Ù�Ù�â¯æbØ�Ï�ÝpÛ�C�ÕEÓg�QׯÒrý$ÝpâÙ�Ø|Ü ß±Þ¤ÛjÙ]ÝpÛEá Ùkë��aÜ ÝpäBؤÙ�æEÏ©ÙmÛ©ñ1Ý�ä Û"ÙmÛEݦâPã_ÙmÝ�ÛEá@Ù�Ñ Ø�Ùwæbâ©ïBáBÞ¤Ûkå�ó_Ø�Ýpä�Ï�Ù�Î?ÙmÝ�ÛkÚ â±ãXóXÛEؤ߱ä�ÝpÙzËÒÔÓ|{ = ÖPØ,ØPØ�Ö { Ù Ú©ñ�ó_Ø�Ýpä@{ Þ 9v�wÝ�äBÛ¢ó�ÛkØ|ß©ä�ÝXϱÙpÙ�â?æEؤÏPÝ�ÛQå5Ý�â#þÉÕ Þ Ö�× Þ � V Ñ�m?ÝpäBÛ)óXÛEؤ߱ä�ÝXâPãÏ"á Ï�Ýpä�Ø�Ù)Ý�äBÛkÜ�å¯ÛEî ÜBÛkå�ϱÙuÝ�ä Û¦Ö7ù�úQø�� ÔEÒuâPã�Ý�äBÛ5ó�ÛkØ|ß©ä�ÝpÙ)âPã�Ø|ÝpÙ&ؤܠå¯Ø¤ô?ؤå¯ï@ÏPÞ�Ù]ÝpÛEá Ùkëwì�äBÛkÜÝpäBÛ��ï Ï±Ü©ÝpØ�Ý]Î}h o ñ¯Ù]ÝpØ|Þ¤Þ@àpÛbãÌÛkà�àpÛkå�Ýpâ�ϱÙuû'�I�h�ZÕbù)úmü�Ö Ñ�ÒÌ×�ýuþrâPã;Ù�Ø|ÿkÛ��[�eñ�àpÛEáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝpÙ¥Ý�äBÛuÝ�â±ÝpÏPÞóXÛEؤ߱ä�Ý;â±ã ÏPÞ¤Þ©á ÏPÝ�ä Ù£âPã Ù�ؤÿEÛ ��ë��?ï æZäwóXÛEؤ߱ä�ÝpÛkågá ÏPÝ�ä Ù�æbâ�ô©ÛEà;Ù�ÛEô©ÛEàZÏPÞ±Ù�Ø|Ý�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü Ù£âPãBؤÜ�Ý�ÛEàpÛkÙmÝkðþb~~�uæbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ�á Ï�Ýpä Ù)Ø|Ü�ÝpäBÛ�ÙmÝpϱܠåBϱàpå�Ù�ÛEÜ Ù�ۦϱí@â�ô©Ûgó_äBÛEÜ�ÛQϱæZä�{ Þ Ò wkm<þ!~�~<�_á ÏPÝ�ä Ùó_Ø|Ý�ä�æbâ©Þ|â©ïBàpÛkå¦ÙmÝ�Ûká Ùkñ±Û±ë ß ë¤ñ3{%Þ�ÒËx)Ú$ÛkϱܠÙ�Ý�ä@Ï�Ý�Ý�ä Û�æbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBߢÙmÝ�Ûká�þÉÕkÞ Ö�× ÞB��ä@ϱÙ�Ý]óXâá.â©ÙpÙmؤíBÞ¤Û�æbâ±Þ¤â±ï à�ÛQå�ؤܠæEϱà�Ü@Ï�Ý�ؤâ±Ü@Ù5þsÙ�ÏJÎ�íBÞ|ï ÛjÏPÜ å�αÛkÞ|Þ¤â�ó���m�þ!~�~�~<����{%Þ�Ò w�æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü å ÙÝpâ"Ï$áBàpâ±í Ï±íBØ|Þ¤Ø�Ù]ÝpؤægÚ$â¯å¯ÛkÞ;âPã�á ÏPÝ�ä Ùuó_äBÛEàpÛ±ñ.Ï�ÝuÛQϱæZä�ÙmÝpϱ߱۱ñ@Ù]ÝpÛEá þ�Õ5Þ Ö× ÞP�_Ø�ÙuæZäBâ�ÙmÛkÜ#ó_Ø�ÝpäáBàpâ±í@ÏPíBؤÞ|Ø|Ý]Î}{%Þ©ë

xBë7���!¾[º1�.Æ@¹;ËÌÊ}½EÅ�Æ@ɣʠÅ�É1ÆGºK½�¹;Ä1È Å@¼[º:��ºBÆ�Ä�º1����º¯ÅG¼;Ç;È�aÜ Ý�ä Ø¤Ù�ÙmÛQæeÝ�ؤâ±Ü;ñ_ó�Û�æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpØ|ÿkÛ�ÝpäBÛ�ß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß�ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ùjâ±ã&Ý�äBÛ�ãÌâ©ïBàjÝ]Î?á.ÛkÙ"âPã

å¯Ø¤àpÛkæeÝpÛkå�á ÏPÝ�ä Ù�þÌïBÜ æEâ±Ü ÙmÝ�àZÏPؤÜBÛQå�ñ�íBà�Ø�å¯ß©ÛkÙkñXÚ$ÛQÏPÜ å¯ÛkàpÙkñ_ÏPÜ å ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@Ù��bë �Bâ©à"ÛQϱÙ�Û�âPãÛE÷?á.â©Ù�Ø|Ý�ؤâ±Ü1ñ<óXÛ"àpÛkÙmÝ�àpؤæbÝ�Ï�Ý�Ý�ÛEÜ�ÝpØ|â©Ü Ý�â�ÙmؤÚ$áBÞ|Û�ãrÏPÚ$ؤÞ|ؤÛkÙ�âPã�á@Ï�Ý�ä@ÙwÝpØ|Þ¤Þ �¯ÛkæeÝpØ|â©Üvc¯ñ�ó_ä ÛEàpÛóXÛgíBàpØ|Û�� Î�å¯Ø�Ùpæbï ÙpÙ�Ý�ä ÛwÚ$â±àpÛgß±ÛEÜ ÛEàZÏPÞ1å¯Ø¤à�ÛQæeÝpÛkå�Ú$â?åBÛEÞ�ÙEë¶�LÝ�ó_Ø|Þ¤Þ;í.Û¦Ù�ÛEÛkÜ�Ýpä Ï�Ý¢Ï�Ùmá.ÛkæEØ�î@æϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ�æEïBàpô±Û±ñ1Ý�äBÛ õpæZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEàpØ�Ù]Ýpؤæ5æbïBàpô±ÛQö"á Þ¤ÏJίÙgÏ�æbÛkÜ�Ý�àZÏPÞ�à��â±Þ¤Û±ëh�aÜ�Ý�äBØ�ÙwÙ�ÛkæbÝ�ؤâ±Ü1ñ�ÏÚ$â¯å¯Ø�æbïBÚ âPã�ÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤÙXØ�Ù_Ø|Ü�Ýpà�â¯å¯ï æEÛkå"ãÌâ±à�æEâ±Ü?ô±ÛkÜBØ|ÛkÜ æbÛ©ñ¯íBï¯Ý�Ø|ÝuØ�Ù�Þ|ؤÚ$Ø�ÝpÛkå�Ý�â5ÝpäBÛwô?ؤæEØ|Ü Ø�Ý]Îâ±ã�j�ÒË�BñBÏPÜ@å�æEâ±Ü Ù�ÛP�ïBÛkÜ©ÝpÞ|Ωñ?Ø�Ý�Ø�Ù�ޤϱà�ß©ÛEÞ¤Î$ÛP�ïBؤôJϱÞ|ÛkÜ�ÝXÝpâ5ãÌâ±àpÚ$ϱÞ1ÙmÛkà�ؤÛkÙXÚ�ÏPÜ Ø|áBï Þ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü Ù = ë

= A�decVcVdm¡;TVhJ��YX\s[]l�YZ\n�X�bq)Y�\s[]x|[]\n[][e�Q¡�[�hJdZon[�osS�Ypo£YZh�YZc qEonTVt]T o3q)tmdehQUnTV^J[]\LYposTVdehJU;TVh_onSJTVU;Un[]taosTVdeh¢t]defJcV^�P[£cVde�eTVtmYZcVc q�^JTVUnWP[]hJUn[]^_¡;T onS8�kUs[][���[]UnUs[]c�� U.W�YZWP[]\I� ������x¤de\.Y�WJ\ndeWP[]\@x|\LYZl_[a¡�de\s�±�B>;d�¡�[a`b[]\��bosSJ[<YZfkonSJde\sU$�x¤[][]cVTVhJ��TVU;onSJYpo<WJfJ\s[]c q&YZcV�e[]�J\nYZTVt�WQ\ndEdZx¤Um�JonSQdefJ�eS&x¤[mYZUsTV�JcV[e��on[]hJ^&osd_�P[�cV[]UnU1os\LYZhJUsW�YZ\n[]hbo��L�&de\n[¥TVl_WPde\svoLYZhbosc qE�±YZhJYZc qkosTVt]T o3q&t]dehJUnTV^Q[m\nYponTVdehQU�^J[a`b[]cVdeWP[m^wSJ[]\s[�Un[]\s`b[�YZU<Y�fJUn[ax|fJc¯WJ\n[]W�YZ\nYponTVdeh)x¤de\;defJ\X�nhJdehJcVdEt�YZcV�on\s[mYponl_[]hbo£dZxBUsTVhJ�efJc�YZ\sT onTV[]U1TVh)osSJ[�hJ[a§Eo�Us[mtaosTVdeh��

Page 6: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

� >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

2 4 6 8 10 12 14 16

–10

–5

0

5

10

2 4 6 8 10

'�Ë_¾;É1ÆGº���* �BàZÏPß©Ú$ÛEÜ�ÝpÙ�âPãjÝpäBÛ ÙmïBí Þ¤ÏPÝmÝ�Ø�æbÛQ٠ϱæEæEÛkÙpÙmؤíBÞ¤Û�ãÌàpâ±Ú Ý�ä Ûâ±àpØ|ß©Ø|Ü í?Î Ý�äBÛ luίæ� óXϱÞ�� þ#Ñ Ò Ó / w ÖT� wkÚ���ÏPÜ åÔl)ï æZäBâ©Ü�u Ù�æEÞ|ïBí@Ùþ#Ñ Ò / x Ö�� yIÚ��bë�ì�ä Û¢á.ÛEàpؤâ?å Ù�ÏPàpÛ�x$ϱܠåec¦àpÛkÙ�á.ÛkæeÝpØ|ô©ÛEޤαë

ÂbÃRÄ�Å�Æ_ÇBÆÉÈ�ÅB�[Ì7�£ÕbÒ'Ñ Ò Ó × = ÖPØ,Ø,Ø�× Ù Ú��pÕ¢Ñ&ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ�ýEÕbÒ�ú]ü�6��I�uÖ@ý"�C�Ó3Ò3×izËÒ Ó�{ = Ö,ØPØ,Ø,Ö { Þ ÚÒÌ×BÕ�ÔZú�ùeù�ÕbýnÖBúPû.øPÓ3ûR�¢ý��JýeÒLÕ,� ú]üYC�ÕbÓg�J×?ÒsýNP�{ ÞN� w¢Ó3û�ÒÌ×BÕ¶�¯û�C�ÕbÓg�J×?ÒaÕZø¢ÔZÑ�ýbÕ�Sk+�ß7×BÕ�æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEà�èØ�Ù]Ýpؤæ)á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ�ú]ü%Ñ Ó�ýgø©ÕÉÏ�û.ÕZø�ÑJý&ÒÌ×BÕ�Ö ú�Ð���û7ú��5ÓrÑ�Ð1Ó3û m3Ö$m 4 = P]Ñi�£Ñ��¯ù�ÕEû Ò.Ö ú�Ðg��û.ú��5ÓrÑ�Ð S,�þ m �Xð�Ò ÙkÞ$  = {%Þ m�¡-¢�Ø�£ÕbÒY£�Ò / Ú$Ø|Ü Þ × Þ Ñ�û7ø}¤-Ò Ú�Ï�÷ Þ × Þ �ZÕjÒ3× Õ�ÒqC�ú�Õ9ΩÒnù�Õ,�$Õ�Ð�ÕEùeÒsÓrÔZÑ�ÐXÑ��uÖ.Ð�Ó3Ò·� ø±Õbý"ú]üjÑ�ûK�6��I�uÖK"�Ñ�û7øjÑJýZý��I��Õ&Ò3ׯù�ú��k�J×Bú5�¯ÒL£ Ö ¤}9v��+�ß7× ÕuæZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ�æbï à�ô©Û�úmü¢Ò3× ÕgÐ|ÑPÒsÒnÓrÔZÕXÖ Ñ�ÒÌ×�ýø©ÕbÒaÕbù��5Ó3û.ÕZø�����Ñ Ó�ý&ÒÌ×BÕ_Ö.ФÑ�û.Õ5Ñ�Ð �©ÕB�bùpÑ�ÓrÔ�Ô,�¯ù�ÐJÕ5ø±Õ�Ï¥û7Õpø�����ÒÌ×BÕ5ÕÜ�� ÑPÒsÓrúPûþ¥wB� w / j�,�þ m ��Ò�� Ö ú�ù¦ÕÜ,�¯Ó#ÐJÑPÐ|Õbû@ÒsÐg� m�¥ / j.þ m�¥ ,�þ m �¥��ÒË� Øß7×BÕ�Ü�� ÑPû ÒnÓ3Ò��D¦ þ-j Ö$m �¢ð�Ò m ¥ / j m ¥ ,�þ m �5Ó�ýjÑ�ÐVýEú#ù�ÕsübÕEùeù�ÕZø#ÒLú�Ñ�ý5ÒÌ×BÕ)�±ÛEàpÜBÛkÞuÑ�û.ø�§�Ü�� Ñ3EÒnÓrú�û þ<w��¦ÑJýgÒÌ×BÕ��±Ûkà�ÜBÛkÞ7ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü3+#+� Ù�ó�ÛwÙ�ä ÏPÞ¤Þ1Ù�ÛEÛ¢Ý�äBÛwæZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ)ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�á Þ¤ÏJίÙ_Ï�æbÛkÜ�Ý�àZÏPÞ�à��â±Þ¤Û±ñ�Ý�äBÛ�ÙmÛQæbâ±Ü@åjãÌâ©à�Úí.ÛEؤÜBß5Ý�äBÛgÛkÜ�Ý�ؤà�Û&ô±ÛkàpÙ�ؤâ±Ü�þÌÝ�ä ÏPÝuØ�ÙEñBÏ�ãÌâ±àpÚ ó_Ø|Ý�ä â±ï¯Ý�ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Û¢á@â�óXÛEàZÙ��bëV�ÛuÏPÞ�ÙmâgÜ ÛEÛkå�ÝpâgØ|Ü�Ý�àpâ¯å¯ï æEÛ_Ý�ÛQæZäBÜBØ�æEÏPÞ@æbâ±Ü@å¯Ø�ÝpØ|â©Ü Ù�â©Ü5á.ÛEàpؤâ?åBؤæEØ�ÝpØ|ÛQÙEë��aÜjÏgæbâ©Ø|ܯènÝ�â�Ù�Ù�ؤÜBßß�ÏPÚ$Û�þ#Ñ Ò Ó / w ÖT� wkÚ���ãÌâ±àwؤܠÙmÝpÏPÜ@æbÛ±ñ�Ï#íBàpØ�å¯ß±Ûjâ©à¦ÏPÜ ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü�â±Ü Þ|Î�Ûb÷¯Ø�Ù]ÝZÙgãÌâ±à¦ÛEô±ÛkÜÞ¤ÛEÜBß±Ý�ä ÙPm?æbâ±Ü@ÙmÛB©ï ÛEÜ�Ý�ޤαñ©ó_ä Ï�ÝXؤÙ�â±í Ù�ÛEàpô±ÛQå�â±ã1Ïgàpϱܠå¯â©Ú á ÏPÝ�ä"ÏPÝ¥Ý�ؤÚ$Û���å¯ÛEá.ÛEÜ@åBÙ�â©Ü$Ý�äBÛàpÛkÙ�ؤåBïBÛgæbÞ�ϱÙpÙ�â±ã���Ú$â?åBïBÞ|â�x�þ��£Ø¤ß±ï à�Û/xk�bëÂbÃRÄ�Å�Æ_ÇBÆÉÈ�Å©¨3ÌtÛª�;Ñ5�¯ù�Õbû@Ò�ýEÕbùeÓrÕbý�«£þbj!��Ò¬� o ; 4�­ « o j o Ó�ý¦ýEÑ�Órø�ÒLú�Ñ©ø��5Ó3Ò�á.ÛEàpØ|â¯å>® Ó üÒÌ×BÕEù�Õ¦Õ�ΩÓ�ýeÒrý¦Ñ0�£Ñ��¯ùpÕbû@Ò¥ýEÕbùeÓrÕbýK¯ Ñ�û7ø"ÑPû�Ó3û ÒaÕò�©ÕEù × ý�� Ôp×�Ò3× Ñ�Òþ·xk� «;þ-jR��Ò©j ¡ ¯�þbj3°5��mÒÌ×BÕ"Ð|Ñ�ù·�©ÕbýeÒ�® ý�� Ôp× Ò3× Ñ�ÒwÑ�ø©ÕpÔZú5��Ö úJýeÓ3ÒnÓrú�û±P�²5S�×BúPÐ|øJý�Ó�ýjÔZÑPÐ3Ð|ÕZø�ÒÌ×BÕ�á.ÛEàpØ|â¯å úmü³« Ñ�û.ø�Ó�ýø©Õbû7ú�ÒaÕpø����gá.ÛEàJþ-«��,+hß7×BÕ¦ýEÕEùeÓrÕeýN« Ó�ýwÔZÑPÐ3Ð|ÕZø¦Ï±á@Ûkà�ؤâ¯å¯Ø¤æjÓ ü_á@ÛkàQþq«K��Ò wR+Û ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ³C�Ñ�Ð ��ø©ÕÉÏ�û.ÕZø��,��ÒÌ×BÕwýbÕEÒ_ú]ü�6��I�uÖ@ý Ñ Ó�ý&ýEÑ�Órø$×BÑ5ÐJÕ)á.ÛEàpØ|â¯åD® Ó ü&ÒÌ×BÕ5ÔZ×BÑ�ùpѱÔ�EÒaÕbùeÓ�ýeÒnÓrÔ�Ö ú�Ðg��û.ú��5ÓrÑ�Ð�,�þ m �u× ÑJý�Ö ÕbùeÓrúQøK®�+Û ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ³C�Ñ�Ð �jÓ�ý&ýEÑ�Órø"Òaú��ZÕ�àpÛkåBï æbÛQå Ó ügÒ3× Õ���ÔZø"úmügÒ3× ÕI6��I�uÖ@ýgÓ�ý�ÕÜ�� ÑPÐ1Òaú´Rk+�aÜ�ó_ä Ï�Ý¢ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó�Ùkñ�óXÛ5Ù�ίÙ]ÝpÛEÚ�Ï�ÝpؤækÏPÞ¤Þ|Î#àpÛkÙmÝ�àpؤæbÝ&ÏPÝmÝ�ÛkÜ�Ý�ؤâ±Ü�Ý�â�ù�ÕZø�� ÔZÕZø>C�Ñ�Ð ��ý¢Ù�Ø|Ü@æbÛ±ñ�ï áÝpâ#Ï#ޤؤÜBÛkϱàwæZä ÏPÜBß©Û�â±ã�ϱí ÙpæbØ�Ù�ÙpÏBñ;ϱÜ?Î�óXϱÞ���æEÏPÜ�í.Û�à�ÛQå¯ï æbÛQå�ëM�Bâ©àwؤܠÙ]ÝZÏPÜ æEÛ±ñ�ÝpäBÛjó�ÏPÞ��¯Ù

Page 7: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ (

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4u

(τ,ρ)

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–4 –3 –2 –1 1 2 3u

1v

2u

1u

–4

–2

2

4

u

–0.4 –0.2 0.2 0.4z

'�Ë_¾;É1ÆGº¶µ�* s¢àZÏPáBä@٠ϱÙpÙmâ¯æbØ�Ï�ÝpÛkå Ý�â�Ý�äBÛ Ù�ÛbÝ â±ãY�]ïBÚ$á Ù Ñ ÒÓ / x Ö / w Ö � Ö w Ö x Ö y�Ú©ñ�ó_Ø|Ý�ä æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ$á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞY,�þ m �tÒ m 4 * �m 4 = � w �·m��gm * �gm £ Ø ì£â±á;ð&Ý�äBÛjß©àpϱáBä Ù&â±ãU,�þ m �&ϱܠå wx¸F,�þ m �uãÌâ©àà�ÛQÏPÞ m ë<Í�â±ÝmÝpâ±Ú#ð1ÝpäBÛ�Ý�äBàpÛEÛ_àpÛkϱޯíBàZÏPÜ æZäBÛQÙ<âPã.Ý�äBÛ�æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ�æbïBàpô±Û©ñâ±ÜBÛ�ޤϱà�ß©Û�âPã¯â±àZå¯ÛEàLj 4 =º¹ £ ñ�ϱܠå¢Ý]ó�â)ÙmÚ�ÏPÞ¤Þ±â±ã¯â±àZå¯ÛEà�»¼j =$¹ * þÌÝ]ó�â)æbâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷íBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�âPã�â±àZå¯ÛEàK½F¾ *�¿ÁÀ ¹ £ j 4 =$¹ £ ϱà�Û&ÜBâ±Ý_Ù�äBâ�ó_ÜK�bë

æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBØ|ÜBßXÝpâ<Â Ò Ó / y ÖT� y�Ú<ϱà�Û¥Ý�àZÏPÜ ÙmãÌâ±àpÚ$Ûkå�þÌï á@â©Ü¦Ùmä à�ؤÜ��?Ø|Ü ß�Ý�äBÛ�ô±ÛEà�Ý�Ø�æEϱީÏP÷?Ø�Ù1í?ÎÏ¢ãrÏ©æeÝ�â©à¥âPã =£ �<ؤܩÝpâ&Ý�äBÛ)à�ÛQå¯ï æEÛkå�ãÌâ±àpÚ Ñ ÒÔÓ / w ÖT� w5Ú�ë¥þ � á@Ûkà�ؤâ¯å¯Ø¤æuóXϱÞ��¯Ù�ϱà�Û�ãÌàpâ±Ú Ý�äBÛkØ|àå¯ÛEî ÜBØ|Ý�ؤâ±Ü ÏPï¯Ýpâ±Ú�Ï�ÝpؤækÏPÞ¤Þ|Î àpÛkåBï æbÛQå�ë ��Ã_ÕEùeÓrúkøPÓrÔBC�Ñ�Ð ��ý�Þ|ؤô±Û#â±Ü Ù�ïBíBÞ�Ï�ÝmÝpؤæEÛkÙkð�Ý�äBÛ�ó�ÏPÞ��¯ÙÏ©Ù�Ù�â¯æbØ�Ï�Ý�ÛQågÝpâ�Ñ Ò Ó / w ÖT� w5Ú&þÉl)ίæ�¦ó�ÏPÞ��?Ù�£ÏPÜ åDÄ Ò Ó / w Ö � ÖT� wkÚ)þÉ`�âPÝ�ÿP�?Ø|Ü$ó�ÏPÞ��?Ù�£ÏPàpÛÜ ÏPÝ�ïBàZÏPÞ¤Þ¤Î5àpÛkåBï æbÛQå�ñ¯íBï¯Ý�l)Î?æ��ó�ÏPÞ��¯Ù�ϱà�Û¢á.ÛEàpØ|â¯å¯Ø�æuó_Ø|Ý�ä�®�Ò x"þsÙmؤܠæbÛ m ,�þ m ��ÒÔw �Åm * �eñó_äBؤޤÛ�`�â±Ý�ÿ,�?ؤÜ"ó�ÏPÞ��¯Ù�ÏPàpÛ)ϱá@Ûkà�ؤâ¯å¯Ø�æ5m�õ9l)ï æZäBâ±Ü[u ÙXæbÞ¤ïBí Ùpö¦ÙmÝ�ï åBØ|ÛQåjí.ÛEÞ¤â�ó ÏPÜ å�å¯Ûbî Ü Ûkåjí?ÎÑvÒÔÓ / x Ö�� yIÚ¢ä ÏJô±Û¢á@Ûkà�ؤâ¯å³®�Ò c�þrÙ�Ø|Ü@æbÛ m * ,�þ m ��Ò w �Æm Z �eñ ÛbÝpæ±ëa�â±Ý�Ø�æbÛ&Ýpä Ï�ÝQñBØ�ã<óXÛ¢ó_àpØ|Ý�Ûþ�y�� ,�þ m ��Ò ÙkÞ$  = { Þ m ¡b¢ Ö { ÞDÇÒË� Ö�× Þ V é ÖÝpäBÛgá@Ûkà�ؤâ¯å"â±ã�, þrϱܠå�âPã;ÝpäBÛwÙ�ÛbÝ�âPã��]ïBÚ$á Ù Ñ �Xؤٮ�Ò á.ÛEàJþb,/��Ò ß©æEå&þ × * / ×,=�ÖPØ,Ø,Ø,Ö�× Ù / ×,= � Ø� Þ¤Ù�â ñ�í?Î�ÝpäBÛ)ÙmÝ�àpâ±Ü ßgãÌâ±àpÚ â±ã�Ý�äBÛ)Ý�àpØ�ÏPÜBß©Þ|Û�ؤÜBÛB©ï@ÏPÞ¤Ø�Ý]Ωñ±ãÌâ©àXϱÜjÏPá.ÛEàpØ|â¯å¯Ø�æN,�þ m �bñ±ÝpäBÛ¦ýeÒnùeÓrÔbÒؤÜBÛP�ï Ï±Þ|Ø|Ý]ÎjäBâ©Þ¤å Ù�Ø|ÜþÉ\R� È ,�þ m �|È&Ég,�þ$È m È � ãÌâ±à�ϱÞ|Þ mÊVÌËÆÍ<Î¼Ï . Ø

Page 8: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

Ð >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU�LÝ�áBàpâ�ô±ÛQÙXæEâ±Ü?ô±ÛkÜBؤÛEÜ�Ý�Ýpâ�à�Ûkó_à�Ø|Ý�Û,�þ m ��Ò Ñkd  �4 ¥ ® d m d Øz¥÷¯Ï±Ú$Ø|Ü ÏPÝ�ؤâ±Üjâ±ã;ÝpäBÛgϱÙ�Î�Ú$á¯ÝpâPÝpؤæ)à�Ûk߱ؤÚ$ÛkÙXæbâ±Ü@ÙmØ�Ù]ÝpÛEÜ�Ý�ó_Ø�Ýpä"ÝpäBÛgæZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEàpØ�Ù]ÝpؤæuÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü

ÜBÛQÏPà<j�Ò��wÙ�äBâ�ó�Ù¥Ý�ä ÏPÝ�Ý�ä ÛuÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü"ækÏPÜ�â©ÜBÞ|Î$í.Û)ÙpÏ�ÝpؤÙmî Ûkå$Ø|ã;â©ÜBÛ�âPã�ÝpäBÛ�Ý]óXâ¦àpÛEÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü Ùkñþ·ck� ® Ñ j m ÑWÒ w â±à ®�4 ¥ j m 4 ¥ Ò w þbj 2 ��� ÖØ�Ù�ÙpÏ�ÝpؤÙmî ÛQå�ë�ì�äBÛ)æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ_ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Üjí.ÛEؤÜBß5âPã;å¯Ûkß±àpÛEÛ¼£ � ¤5Ø¤Ü m ؤÙ%�?ÜBâ�ó_Ü�Ýpâ�ä ÏJô©Ûß©ÛEÜBÛkà�Ø�æEϱÞ|Þ¤ÎÅ£ � ¤�à�â?â±ÝpÙPm¥Ý�ä ÛkÙ�Û�æEâ±Ü ÙmÝ�Ø|Ý�ï¯ÝpÛ"ÝpäBÛ|�bù�ÑPû.ÔZ×BÕbý�â±ã)Ï�Ù�ؤÜBß±Þ¤Û�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æjæbï à�ô©Ûå¯ÛEî ÜBÛQå�í?Î�þ¥wB��ϱܠå�æEϱÞ|Þ¤Ûkå�Ý�äBÛ#Ôp× Ñ�ù�Ñ©ÔbÒaÕbùeÓ�ýeÒnÓrÔjÔ,�¯ù�ÐJÕEëuì�äBÛkÜ1ñ�ϱÙuÙ�ïBß©ß±ÛkÙmÝ�ÛQå�í�Î þ�c��eñ7â±Ü ÛÛE÷?á.ÛkæbÝpÙkñ?Ø|Ü"Ý�äBÛ&æbâ©Ú5á Þ|ÛE÷"å¯â±Ú�ÏPؤÜ�þÌãÌâ±à7j¦Ü ÛkÏPà ���bñn£jõ�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ@í àpϱܠæZäBÛkÙpö&Ýpä Ï�Ý�ó�Û)ó_à�Ø|Ý�Û&ϱÙm = Ö,ØPØ,ØPÖºm ¥ ÏPÜ å>¤ õ�ޤϱà�ß©Û)íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙpö�Ý = � m ¥ p = Ö,ØPØ,ØPÖ Ý Ñ � m ¥ p Ñ Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãÌÎ?ؤÜBß�þÉ��ؤ߱ïBàpÛ)y��þ�j�� m Þ þbj!� Ò ½ *�¿!Ó Þ54 =�Ô À ¹ ¥ þÕ® 4 ¥ � =$¹ ¥ j =º¹ ¥ Ö Ý d þbj!� Ò ½ *�¿!Ó = 4 d Ô À ¹ Ñ þÕ® Ñ � 4 =$¹ Ñ j 4 =$¹ Ñ Ø� â±à�å¯ÛEÝ�Ûkà�Ú$ؤܠϱæEαñ.úPû.Õ¢ù�ÕbýeÒsùeÓrÔEÒsý)Ñ�ÒnÒLÕEû ÒnÓrú�û�ÒLú¦ÒÌ×BÕ&ÔZú��uÖ.Ð|Õ�Î)Ö.ФÑ�û.Õ)ýeÐ�Ó3Ò�ÑPÐ|ú�û!�5Ò3× Õ¢û.Õò��Ñ�ÒnÓ#ÐJÕù�ÕZÑPУÑ,ΩÓ�ýeñBó_äBØ�æZä�ϱÞ|Þ¤â�ó�Ù�ï ÙXÝpâ$ÝpÏPÞ���ãÌàpÛEÛkÞ|Îjâ±ã£ÝpäBÛgؤܠå¯Ø¤ô�Ø�å¯ï Ï±Þ�íBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�Ø|Ü�ÝpäBÛwÙmÛB�ïBÛEÞnëì�äBÛ&ؤܯãÌâ±àpÚ�ÏPÞ�å¯Ø�Ù�æEï Ù�Ù�ؤâ±Ü�Ù�ïBÚ$Ú�ÏPàpØ|ÿkÛkå"í�Î�þÉj���Ø�ÙXô�ؤܠå¯Ø�æEÏPÝ�ÛQå"í?Î�ÝpäBÛgæbÞ�ϱÙpÙmØ�æEϱޠÝpäBÛEâ©à�Î

â±ã auÛEó�Ý�â©Ü¯èÖ=¥ïBØ�ÙmÛkï¯÷�ÛE÷¯á ÏPÜ Ù�ؤâ±Ü Ù<f�ÝpäBÛ$ãÌïBÜ å ÏPÚ$ÛEÜ�ÝpϱÞ�àpÛkÙ�ïBÞ|ÝwØ|Ü ÝpäBÛ"ÛkÞ|ÛkÚ5ÛkÜ�ÝpÏPàpÎ�ÝpäBÛEâ©à�Îâ±ã¢ÏPޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æ�æEïBà�ô©ÛkÙ�Ý�ä@Ï�Ý"å¯ÛEÝ�ÛEàpÚ$Ø|Ü ÛkÙjæEâ±Ü ÙmÝ�àpï æeÝpØ|ô©ÛEÞ¤Î�ÏPÞ¤Þ�Ý�äBÛ�á.â©ÙpÙ�Ø|íBÞ¤Û#í@Ûkä ÏJô?Ø|â©ïBàZÙ$âPãÙ�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü@Ù_âPã�á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ;ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü@ÙEë��Bâ©à)ϱÜ�Ûb÷¯á@â�ÙmØ|Ý�ؤâ±Ü;ñ óXÛwà�ÛEãÌÛEàuÝ�âjâ©ÜBÛwâPã<ÝpäBÛ¦Ú�ÏPÜ?ÎÛE÷¯æEÛEÞ¤Þ|ÛkÜ�Ý�í@â?âk�¯Ùuâ±Ü�Ý�äBÛ�í Ï±Ù�Ø�æ¢Ý�äBÛkâ±àpÎ"âPã¥Ï±Þ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ&æbïBàpô±ÛQÙEñ@Û±ë ß ë¤ñ[Zgw©ñ'\!cB^në7=�à�ÛQæbØ�ÙmÛkÞ|Ωñ¯Ý�äBÛß©ÛEÜBÛkàpϱޠÝpäBÛEâ©à�Î5Ý�ÛQϱæZäBÛQÙXï Ù�Ý�ä ÏPÝXÝpäBÛgÙmÚ�ϱÞ|Þ7íBàZÏPÜ æZä ÛkÙXÏPàpÛ)æbâ©Ü��]ïBß�Ï�Ý�Û¢âPã£ÛkϱæZä�âPÝpäBÛEà_Ï�Ý��BñϱܠåjÙ�Ø|Ú$ؤޤϱà�Þ¤Î5ãÌâ±à�Ý�äBۢޤϱà�ß©Û�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ�ÏPÝK× ë�ì�äBØ�Ù�Ú$ÛkϱܠÙ�Ý�ä ÏPÝ�ÝpäBÛEàpÛ)ÛE÷¯Ø¤ÙmÝ�ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù<Øϱܠå}٠ϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ�Ï�Ý �wÏPÜ åjÜBâ±ÜBÿkÛEàpâ&Ý�äBÛkà�Û©ñ¯Ùmï æZä$Ýpä Ï�ÝQñ?Ø|Ü"ÏwÜBÛEؤ߱ä?í.â±ïBàpäBâ?â¯å$âPã[�Bñ�â±Ü Û�ä Ï±Ùþò]5� m ÞPþ-jR� Ò Ú Þ54 = j =$¹ ¥ ئþ�Ú Þ54 = j =$¹ ¥ � Ò mG= þb½ *�¿!Ó Þ54 =�Ô À jR� Ö Ú|Ò©½ *�¿ÁÀ ¹ ¥Ý d þ-jR� Ò Û = 4 d j 4 =$¹ Ñ Ù�þ!Û d 4 = j =$¹ Ñ � Ò Ý = þ-½ *�¿bÓ d 4 =ºÔ À jR� Ö Û Òܽ *$¿ÁÀ ¹ Ñ Ø�aÜ5ÙmïBÚ$Ú�ÏPàpαñQÝpäBÛ m Þ Ï±Ü å)ÝxÝ<â±àpß©ÏPÜ Ø|ÿkÛ�Ý�äBÛkÚ�ÙmÛkÞ|ô©ÛkÙ£Ø|Ü�Ý�â)Ý]óXâ"õ�æEίæbÞ¤ÛkÙpö_âPã�£�ÏPÜ å0¤¢ÛEÞ¤ÛEÚ$ÛEÜ�ÝpÙàpÛkÙ�á@ÛQæeÝpØ|ô©ÛEÞ¤Î�m�ãÌâ©à"ÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæ�åBÛbÝpϱØ|Þ�Ùkñ�óXÛ�à�ÛEãÌÛEà�Ýpâ}.�ؤÞ|Þ¤Ûku ÙjæEà�Ø�Ùmá áBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü�í Ï©ÙmÛQå â©ÜÚ$â±Ü â?åBà�â©Ú¦ÎjÏPÜ@å�ϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ¢æEâ±Ü�Ý�ؤÜ?ï Ï�ÝpØ|â©Ü�ؤÜ|Z \�\�^Lëì�äBÛ5íBàZÏPÜ æZä m = å¯Ûbî Ü Ûkå�ÜBÛkϱà���í?Î þ�j��)Ø�Ù)àpÛkϱޣá.â©Ù�Ø|Ý�ؤô±Û�ϱܠå�Ø�Ù&æEϱÞ|Þ¤Ûkå�Ý�äBÛ¦Ö.ùeÓ3û7ÔbÓ Ö Ñ�Ð

þsÙmÚ�ÏPÞ¤Þ#�gíBàZÏPÜ æZä;ë�ì�äBÛ"ß©àpϱáBä âPã�í àpϱܠæZäBÛkÙwؤÙ�â±í¯ÝZÏPؤÜBÛkå�í�ΠؤÜ�Ý�ÛEàZæZä Ï±ÜB߱ؤÜBß#Ý�ä Û�Ï�÷¯ÛQÙwؤÜÝpäBÛ)ß©àpϱáBä�âPã�wF¸F,�þ m �bñ©ó_Ø|Ý�ä mG= ÏPáBá.Ûkϱà�ؤÜBߦϩ٥ÝpäBÛ¢à�ÛQÏPÞ á.â©Ù�Ø|Ý�ؤô±Ûuí àpϱܠæZäjÜBÛQÏPà�Ý�äBÛ¢â±àpØ|ß©Ø|Ü[mÙ�ÛEÛ)��Ø|ß©ïBàpÛ�y�ãÌâ±à�ϱÜ�ÛE÷BÏPÚ$áBÞ¤Û±ë�V�Û&Ù�ä Ï±Þ|Þ�áBàpâ�ô±Û¢Ø¤Ü&�¯ÛkæeÝpØ|â©Üby�Ýpä Ï�Ý�ؤÜ�Ï5áBàpâ±á.ÛEà�Ù�ÛEÜ@ÙmÛ m�=õpå¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpÛkÙpö�ϱÞ|Þ7ÝpäBÛgâPÝpäBÛEà�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ�íBàpϱܠæZäBÛQÙEëxBë�w©ëYÞ ß+à!á�âiß�Å�ãaä�å�Æbã�æKÃ&â�Ì�V�ÛuÙ]ÝZÏPà�Ý¥ó_Ø�Ýpä�Ý�ä Û�ÛkÏ©ÙmÎ5æEϱÙ�Û_âPã�ïBÜ@æbâ±Ü@Ù]ÝpàpϱØ|ÜBÛQå5óXϱÞ��¯Ù¥Ï±Ü åíBàpØ�å¯ß±ÛQÙEë;ì�ä Ø¤Ù�ÏPÞ¤à�ÛQϱå¯Î)Ú�Ï5�±ÛQÙ1ï Ù�Û�â±ã¯Ý�äBÛXæZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæ�æEïBàpô±Û�ϱܠågÙmâ©Ú$Û�âPãBØ|ÝpÙ£íBàZÏPÜ æZä ÛkÙkëçiè Ã!È+å�Ã&é Ê�Ì�ß.× Õ��EÓ#ÐJÑPùeÓrÑ�ÒaÕ��©ÕEû.ÕEù�ÑPÒsÓ3û!�<ü�¯û.ÔEÒsÓrúPû�Pbêië�Í�Sgú]ü7Ö Ñ�ÒÌ×�ýWPqC�Ó3ÒÌ×Wj��$ÑPù9��Ó3û!�)ýZÓ�àQÕÑPû.ø m �$ÑPù9��Ó3û!��Ï�û.ÑPУÑ�Ð�ÒnÓ3Ò·� ø±Õ�S$ùpÕbÐ|ÑPÒsÓ#Ð�Õ�ÒLú�Ñ$ýeÓ#�uÖ.Ð|ÕwýEÕbÒ_ú]ü¢ýeÒaÕLÖ.ý¶ÑìC�Ó3Ò3×�Ôp× Ñ�ù�Ñ©ÔbÒaÕEùeÓ�ýZÒnÓrÔÖ ú�Ð���û7ú��5ÓrÑ�Ð�,�þ m �&Ó�ý¦Ñ�ù�ÑPÒsÓrúPû.ÑPЩü�¯û.ÔEÒnÓrú�û�+UXbÒ�Ó�ý��PÓ#Ð�ÕEû¨�,�þ�i�� o þ-j Ö$m ��Ò ww / j�,�þ m � Øß7×BÕ@ë Í ú]ü��EùeÓrø,��ÕeýwÓ�ý¦ÑPû�Ñ�Ð �©ÕB�bùpÑ�ÓrÔ�ü�¯û.ÔEÒnÓrú�ûb�±Ó#Ð�Õbû¨���þ�d�� pjþ-jR��Ò©j ¥kÞ$  = mGíÞ þbj!�m Þ þbj!� Ò©j ¤¤�j Þ|â©ß)þ mG= þbj!��î�î|î m ¥ þbj!�¥� Ö

Page 9: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ ïC£× Õbù�ÕgÒ3× Õ¦Õ�ÎeÖ7ù�ÕbýpýeÓrúPûBý)Ó3ûKÐJúPÐ�Ð�Õ�ÑPÐ3Ð�Ò3× Õ¢ý��$ÑPÐ3Ð3�bùpÑ�û.ÔZ×BÕbý m = ÖPØ,ØPØ,Öºm ¥ úmü)ÒÌ×BÕ�Ôp× Ñ�ù�Ñ©ÔbÒaÕEùeÓ�ýZÒnÓrÔÔ,�¯ù�ÐJÕ�P�RTSk+>ë�ÕEû.ÕEù�Ñ�Ð3Ð���"_ÒÌ×BÕ�ë Íðo d úmü_Ö Ñ�ÒÌ×�ý¦ÒaÕEù���Ó3û7Ñ�ÒnÓ3ûR��Ñ�Ò�ÑPÐ�ÒsÓ3Ò·� ø±Õ�f�Ó�ý"7übúPù / ×ñÉf�Éò£�"þ¥wP��� o d þbj!��Òðj ¥kÞ$  = mGíÞ þbj!�m Þ þbj!� d�p = Ò / jf ¤¤8j óô ¥kÞ$  = m ÞPþ-jR� 4 dxõö ÖÑPû.ø�übúPù / ¤}Éðf@É � ׿"þ¥wkwB� o d þbj!��Ò / j�ÑkÞ$  = Ý íÞ þbj!�Ý Þ þ-jR� d�p = Ò jf ¤¤8j óô ÑkÞ$  = ÝBÞ©þbj!� 4 dxõö ÖC£× Õbù�Õ�Ý = Ö,Ø,ØPØ�Ö Ý Ñ ÑPù�ÕwÒÌ×BÕ¦Ð|ÑPù��©Õ��Eù�Ñ�û7Ôp× Õeý,+þ��Bâ±àNo . ñ?Ý�äBÛwÙ�ÛkæEâ±Ü å"ãÌâ±àpÚ Ø�Ù�Ý�â$í.Û&ÝpÏ5�©ÛEÜ�Ø|Ü�ÝpäBÛgÞ|ؤÚ$Ø�Ý¢ÙmÛkÜ ÙmÛif 2 � ë �ÃXùpúkúmü�+��?ÛEÝ�{ o þ m ��Ò Z j o ^!o þbj Öºm �eñQÝ�äBÛ �;ϱïBàpÛEÜ�Ý£á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ©Ý�ä ÏPÝ�åBÛkÙpæbàpØ|í.ÛkÙ;Ý�äBÛXá.â©ÙpÙmؤíBÞ¤ÛϱÞ�ÝpØ�Ýpï å¯ÛkÙgϱܠå�ÝpäBÛ�Ü?ïBÚ¦í.ÛEà&â±ã�ó�ÏJÎ?Ù)Ýpâ�àpÛkÏ©æZä�Ý�ä ÛEÚ Ø¤Ü�� ÙmÝ�ÛEá@ÙEëtV�Û�ä ÏJô©Û³{U.?þbj!��Ò w±ñ{ = þ-jR��Ò÷,�þ m �eñ;ϱܠåB{ okp = þ-jR��Ò÷,�þ m �Ö{ o þbj!�eñ1Ù�â�Ý�ä ÏPÝ�{ o þ-jR��Ò÷,�þ m � o ãÌâ±àgÏPÞ¤Þ���ë�ì�äBÛå¯ÛEÝ�Ûkà�Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü�â±ã�o þbj Öºm ��Ø|Ü þ�i���ãÌâ±Þ¤Þ¤â�ó�Ù�ãÌàpâ±Úk

o ; . ,�þ m � o j o Ò ww / j�,�þ m � Öó_äBÛkà�Û�ÝpäBÛuÙ�ïBÚ æbâ±Ü?ô©ÛEàpß±ÛkÙ<ϱܠå$à�ÛkáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝpÙ�ϱÜjÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æXãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü�â±ã7í.âPÝpäjÏPàpß±ïBÚ$ÛkÜ©ÝZÙ<ãÌâ±àÈ jGÈGÉ wx¸3,�þ$È m È �eë��)í Ù�ÛEàpô±ÛwÝ�ä ÏPÝ)ÝpäBÛ$à�ÛQÙmïBÞ|Ý�ؤÜBß�ÙmÛkà�ؤÛkÙ)ؤÙ)ÛEÜ�ÝpØ|àpÛ�ؤÜBj�íBï¯Ý&âPã�Ý�äBÛ��;ϱïBà�ÛkÜ�ÝÝ]Î?á.Û¢Ø¤Ü m þÌØ|ÝuؤÜ�ô©â±Þ¤ô±ÛQÙXϱà�í Ø�Ýpàpϱà�Î$ÜBÛkß©Ï�ÝpØ|ô©Û&á@â�óXÛEàZÙXâPã m �eë�Bâ©àwá.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û m ñ;Ý�äBÛ�àZϱå¯Ø¤ï Ùgâ±ã�æEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛ�â±ã7o þ-j Ö$m �)ô?ؤÛEóXÛkå ϱÙgÏ�ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü â±ãUjØ�ÙgÛb÷BÏ©æeÝ�Þ¤Î}wF¸F,�þ m �eë � Þ¤Ù�â ñ�í?Î�å¯â©Ú5ؤܠϱܠæbÛ�â±ã�æEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ÝpÙjþrâ±ÜBÛ�ä@ϱÙip oùø ,�þ<wB� o �eñ£Ý�äBÛàZϱå¯Ø¤ï ÙuâPã�æbâ©Ü?ô±ÛEàpß±ÛkÜ æbÛgâ±ãYpjþ-jR�uϱÙuÏjãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü�â±ãújjØ�Ù&Ï�Ý)Þ¤ÛkÏ©Ù]Ýtwx¸F,�þ¥wB�bë&ç�â±Ü@ÙmØ�å¯ÛEà)ÜBâ�óÈ jGÈGÉ]û?ñ�ó_äBÛEàpÛ³û�ð�Ò =* ,�þ¥wB� 4 = ë¢ì�äBÛkÜ1ñ1Ù�Ø|Ü æEÛ�wF¸F,�þ m ��Ø�Ù&æbâ±Ü�ÝpØ|Ü?ïBâ©ï Ùuϱܠå�ïBÜBؤÚ$â¯åBÏPÞ�ãÌâ±àmaV þÉ� ÖT� ×v�wþró_äBÛEàpÛ0, í í þ m �¼9 � ñ7Ù�âjÝpä Ï�Ý�, Ø�Ù)æEâ±Ü?ô±ÛE÷'��ÏPÜ@å|wx¸3,�þÉ����Ò wx¸3,�þq×v� Ò �BñÝpäBÛEàpÛgÛb÷¯Ø�Ù]ÝZÙ�ÏPÜ#ؤܩÝpÛEàpô�ÏPÞ�þ-ü Ö$ý ��Ù�ï æZä�Ý�ä ÏPÝ�ãÌâ±àWü ø m ø ý ñ@â±ÜBÛgä@ϱÙ)wF¸F,�þ m �U9gû?ë¶`�â±àpÛß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|ޤαñQí?΢á.â©Ù�Ø|Ý�ؤô�Ø|Ý]ÎgâPã¯ÝpäBÛ�æbâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝZÙEñJÝpäBÛ¥ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±ÜDo þbj Öºm ��Ø�Ù<ÙmÛkÛEÜgÝpâuí.ÛXϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æؤÜ"ÝpäBÛgáBàpâ¯å¯ï æeÝuåBâ±Ú�ÏPؤÜ

þ-j Ö$m � V Ó�jÊÈ�È jGÈ�É·ûRÚwêYÓ m ÈnüaÉ)È m È&É ý Ú Øì�ä?ï Ùkñ?í�Î�çXϱï æZä?Î@u Ù�ãÌâ±àpÚ¦ïBÞ�ϦϱáBáBÞ¤Ø|ÛQå�Ýpâ¦ÝpäBÛ¢ãÌïBÜ æeÝpØ|â©ÜÌo þ-j Ö$m �uþÌô?ؤÛEóXÛkåjÜ â�ó ϱÙXÏwãÌï Ü æeèÝpØ|â©Ü�â±ã m ϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ)ؤÜ�Ï$æbàpâ�ó_ÜK�eñ¯â©ÜBÛ&ä Ï±Ù *p"þbj!��Ò Z m . ^�o þ-j Ö$m ��Ò wxF~�þ:ÿ�� ���   Ó�� p�� Ôb¹ * o þbj Öºm � ¤ mm Øì�Ï5�±Û´j�ÙmÚ�ϱÞ|Þ�ÛEÜBâ©ïBß±ä1ñ<Ù�â#Ý�ä ÏPÝ5ÏPÞ¤Þ¥ÝpäBÛjÞ�ÏPàpß±Û�íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙ&Ýpä Ï�Ý�ÛkÙpæEÏPá.Û�Ýpâ�Ø|ÜBî ÜBØ|Ý]Î�Þ¤Ø|Û

â©ï¯ÝpÙ�ؤåBÛgâPãNÈ m È ø þbü �Æý �$¸5x�Ñ�û.ø�ÝpäBÛ¦Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ;íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ�ϱà�ÛwϱÞ|Þ;åBؤÙmÝ�ؤܠæeÝQë�ì�äBÛEÜ;ñ@â©ÜBÞ|Î"Ý�äBÛÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ�íBàpϱܠæZäBÛQÙ�àpÛEÚ�ϱØ|Ü�Ø|Ü@ÙmØ�å¯Û±ñ@ÏPÜ å�ñBÙ�ؤܠæbÛ&ÝpäBÛEàpÛgÏPàpÛ¢â©ÜBÞ¤Î"ÙmؤÚ$áBÞ¤Ûgá@â©Þ|ÛQÙEñ¯â©ÜBÛ&ä Ï±Ù

þ¥wBxk� n_ÛQÙ�   � ¢ � wm þ<w / j8,�þ m �9�� Ò / wj m Þ , í þ m Þ � Øì�äBÛ�Ø|Ü�ÝpÛEß±àZÏ�ÝpØ|â©Ü�æbâ©Ü�Ý�â±ï àuØ�Ù¢Ù�äBàpïBÜ���Ý�âe�Bñ7ó_äBØ�æZä�Ø�Ù)Þ|Ûkß±Ø|Ý�ؤÚ$ÏPÝ�Û$ÙmؤܠæEÛ�o þbj Öºm �_àpÛEÚ�ϱØ|Ü Ù¤$þ¥wB�eñ¯Ï±Ü åjàpÛkÙ�ؤåBïBÛkÙ�ÏPàpÛ�ÝpÏk�±ÛkÜjØ|Ü�Ýpâ�ϱækæbâ©ïBÜ�Ýkë<ì�äBÛ)àpÛkÙ�Ø�å¯ïBÛ�ÝpäBÛEâ©à�ÛkÚ Ý�äBÛkÜ"߱ؤô±ÛQÙYp"þbj!�¥Ï±Ù*� ["l�YZ�e[�fJUn[�dZx�osSJ["tmdehb`b[]hEosTVdeh�YZc�hJdZonYponTVdeh x|de\¦tmdE[ �_t]TV[]hEosU$dZxu[]hEosTV\n["YZhJ^ 2?YZfJ\n[]hbo5Us[m\sTV[]U91� ���F��� ��� � ���/1 � � � �

Page 10: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

= . >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUÏjÙ�ïBÚ�âPã¥àpÛkÙ�ؤåBïBÛkÙ_â±ã�Ý�äBÛ¦ãÌâ±àpÚ þ¥wBx���â�ô±ÛkàuÏPÞ¤Þ£Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ;íBàZÏPÜ æZä ÛkÙkë�ì�ä ÛwãÌâ±àpÚ¦ï Þ¤Ï�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Ø|î ÛkÙÝpâ þÉd��"ÙmؤܠæEÛ�å¯Øg�7ÛEàpÛEÜ�ÝpؤÏPÝ�ؤâ±Ü+âPã&ÝpäBÛ�æZä Ï±àpÏ©æeÝ�Ûkà�Ø�ÙmÝ�Ø�æ�ÛB�ï Ï�ÝpØ|â©Ü Ù�äBâ�ó�Ù$Ýpä Ï�Ý>, í þ m � 4 = Ò/ j * m�í ãÌâ±à�ÏPÜ?Îjí àpϱܠæZä m ëì�äBÛwÙpÏPÚ$Û&áBàpâ?æEÛkå¯ï à�ۢؤÙuÏPáBáBÞ¤Ø�æEÏPí Þ|Û¢Ý�âo d þ-jR� � Z m d ^!o þbj Öºm ��Ò wxF~�þ:ÿ � ���   Ó�� p�� Ô-¹ * o þ-j Ö$m � ¤ mm d�p = Øì�äBÛ&ؤÜ�Ý�ÛEß©àpÏPÝ�ؤâ±Ü#æbâ©Ü©Ýpâ±ïBà_ækÏPÜ�í@ÛwÙ�äBàpïBÜ���Ýpâ�ÿEÛEàpâ5áBà�â�ô?Ø�å¯Ûkå"Ý�ä ÛgØ|Ü�Ý�Ûkß±àZÏPÜ å�þÌó_äBØ�æZä#ؤÙ�âPãâ©àpå¯Ûkà m ¥ 4 d 4 = �£àpÛEÚ�ÏPؤܠ٣í@â©ïBÜ å¯ÛQå�Ï©Ù m 2 �Bñ�ó_äBØ�æZä�Ü ÛkæbÛQÙ�Ù�Ø|ÝpÏ�ÝpÛkÙ�f ø þ-£ / w��eë;ì�äBÛ�àpÛkÙ�ïBÞ|Ýâ±ã;þ<wP�R�7ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó�Ù;ϱߩÏPؤÜ&ãÌàpâ±Ú Ï�àpÛkÙ�ؤåBïBÛ�æEϱޤæEïBÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü¦Ø|Ü?ô±â©Þ|ô?ؤÜBß�Ù�Ú$ϱÞ|Þ�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙkë�þrì�äBÛXáBàpâ?âPãÙ�äBâ�ó�Ù�Ý�äBÛ¢ãÌâ±àpÚ¦ï Þ�� Ýpâ�í.Û&ô�ÏPޤؤå"Ø|Ü#Ï�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ7ÛEÜBâ©ïBß±ä�ÜBÛEؤ߱ä?í.â±ïBàpäBâ?â¯å�âPã1ÝpäBÛ&â±àpØ|ß©Ø|Ü;ë�ì�äBÛØ�å¯ÛEÜ�ÝpØ�ÝpØ|ÛQÙ�ÏPàpÛ�Ý�ä ÛEÜ�Ñ_ÖBú�ýZÒaÕEùeÓrú�ùeÓ�ô�ÏPޤؤå$Ï©Ù�ؤåBÛEÜ�Ý�Ø|Ý�ؤÛkÙ�í@ÛEÝ]ó�ÛkÛEÜ5ãÌâ±àpÚ�ÏPÞ;þÌãÌàpÏ©æeÝpØ|â©Ü ÏPÞ#�<á.â�ó�ÛkàÙ�ÛEàpØ|ÛQÙEë��V+äBÛkÜÌf�9 / ¤ ñ¯ó_äBØ�æZä�æEâ�ô±ÛkàpÙ�Ý�äBÛgækϱÙ�Û5þ¥wkwB��âPã<ÏPÜ�ÏPàpíBØ�Ýpàpϱà�Î$á.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û f�ñ?Ý�äBÛ&àpÛkÙ�ؤå¯ï ÛækÏPÞ�æbïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü�Ø�ÙwæEâ±Ú$áBÞ¤ÛbÝ�ÛQå í?Î�ÛE÷�ÝpÛEÜ åBØ|ÜBß�Ý�äBÛ"æEâ±Ü�Ý�â©ïBà&Ý�â�Ï�ޤϱà�ß©Û�æbؤàpæEÞ|ÛjÏPÝD×Ám�Ø¤Ü Ý�ä Ø¤ÙækϱÙ�Û±ñ�Ý�äBÛgÞ�ÏPàpß±Û&íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙ�æbâ©Ü�Ý�àpØ|íBïBÝ�Û±ëì�äBÛ�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ<æZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà.â±ã+pjþbj!�7ÏPÜ@å¢Ý�äBÛYo d þ-jR�.î@Ü ÏPÞ¤Þ|Î)à�ÛQÙmï Þ�ÝZÙ7ãÌà�â©Ú ÝpäBÛ¥óXÛEÞ¤Þ�èò�?ÜBâ�ó_ÜãrÏ©æeÝgÝ�ä@Ï�Ý�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ�ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ùwϱà�ÛjæEÞ|â�ÙmÛQå�ïBÜ@å¯ÛEà5ÙmïBÚ�Ùkñ£á à�â¯å¯ï æbÝpÙkñ£Ï±Ü å Ú¦ïBÞ|Ý�ؤáBޤؤækÏ�ÝpØ|ô©Û

ؤÜ?ô±ÛEàZÙ�ÛkÙkë �ì�äBÛ�©ï@ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]ÎÊpjþbj!� � o:.©þbj!�_Ø�Ù)ÛP�ïBؤôJϱÞ|ÛkÜ�Ý�Þ¤Î�ß©Ø|ô©ÛEÜ�Ï©Ù_Ý�ä Û�å¯Ø�ÏPß©â±Ü Ï±Þ;âPã�ÏjíBØ|ô�ϱà�Ø�Ï�ÝpÛ

àZÏ�ÝpØ|â©Ü ÏPÞ.ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü1ñ pjþbj!��Ò©ko� Z j o m ¥ o ^ ww / j m ¥ ,�þ m ��� j o Ö

ϱܠå�Ï©Ù�Ùmï æZä�Ø|Ý�Ú¦ï ÙmÝ�í@ÛgϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æPð<ÙmÛkÛ�=´?â±Þ¤Î©Ï'u ÙXá Ï±á@Ûkà)Z j�y�^1âPã¶wPdRxIw&ÏPÜ å�Z y!]P^�ãÌâ±à�åBÛEô±ÛkÞ�èâ©áBÚ$ÛEÜ�ÝpÙ�àpÛEß�ÏPàZå¯Ø|Ü ß�å¯Ø�ÏPß©â±Ü Ï±Þ¤ÙXâPã<àZÏ�Ý�ؤâ±Ü@ÏPÞ.ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ùkë����¹���»+��º±(1* �¥Õbû@ÒsùpÑ�Ð��bÓ3û7ú��5ÓrÑ�Ð�Ñ�û7ø�ÒnùeÓ3û.ú5��ÓrÑPÐ�ûK�I���ZÕEùZý,+�ì�äBÛQÙmÛ�ÏPàpÛjá.ÛEàpä ÏPá ÙwÝ�äBÛÚ$â©ÙmÝ_ãrÏPÚ$â©ï Ù�ÛE÷¯Ï±Ú$áBÞ|ÛQÙEñ@ϱÙpÙmâ¯æbØ�Ï�ÝpÛkå�Ý�â$ÝpäBÛ¦Ù�ÛbÝZÙ�ÑÁÒ Ó / w ÖT� wkÚ&ϱܠå�Ä Ò Ó / w Ö � ÖT� wkÚ©ëì�äBÛ¢æbâ©à�àpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBßwá.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ù�ϱà�ÛN,���þ m ��Ò m 4 = �:m ϱܠå@, �uþ m ��Ò m 4 = � w �:m ë��aÜÝpäBؤÙXæEÏ©ÙmÛ©ñ±ÝpäBÛ&æZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEàpØ�Ù]Ýpؤæ�æEïBàpô±Û�Ø�Ù�â±ã£å¯Ûkß±àpÛEÛ�x¦ÏPÜ åjÝ�äBÛkà�Û)ؤÙ�â±ÜBÞ¤Î$â±ÜBÛ¢ÙmÚ�ϱÞ|Þ.íBàZÏPÜ æZä1ñܠϱÚ$ÛEޤΠm � = þ-jR��Ò w /"! w / \8j *x3j Ö m � = þbj!��Ò w / j /#! w / x j / y8j *x3j Øì�äBÛgϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æuß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß�ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ù_â±ã�íBàpØ�å¯ß±ÛQÙXϱà�Û¢ÝpäBÛEÜp$��þbj!� Ò w! w / \�j * Ò w � x j * � j j á � x5� j � � ]5� j Ð � xkc�xIj = . � î|î�îp%��þ-jR� Ò w! w / x j / y8j * Ò w � j � y j * � ]Ij £ � wPd j á � c�w�j Z � î�î|î ÖÝpäBÛwæbâ?Û�§jæEØ|ÛkÜ©ÝZÙ�í@ÛkØ|Ü ß £'&)(�*,+.-/-0-/102 ¨�ϱܠå &3(�*4+5-0- A+¨�A76

Z j o ^!p � þ-jR��Ò Z $ o ^aþ<w � $ * � o � � x5�� � Ö Z j o ^�p � þbj!��ÒÔZ $ o ^aþ<w � $ � $ * � o Øì�äBÛ�Ü ÏPÚ$ÛQÙuâ±ã�æbÛkÜ©Ýpàpϱޣí Ø|ÜBâ©Ú$ؤϱÞ�ϱܠå#Ý�àpؤÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ü�ï Ú¦í.ÛEàZÙ)ϱà�Û5ÙmïBß©ß±ÛQÙ]ÝpÛkå�í?Î�Ý�äBÛ5ï Ù�ï ÏPÞÛE÷?á@ÏPÜ Ù�Ø|â©Ü ÙXâPã�þ<w � $ * � o ϱܠå þ<w � $ � $ * � o ð£ /1[ax¤[]\s[mhQtm[]U.osd¥:.098�WPdeTVhbo.osd)8kcVdbYZhJ[�� U;:��P~98b~m� �a�Q}nybz|�_�=<;>a����}@?E}m{BA©}DC�EJ}m�P~L}��I� F6��3�bdZx±¡;SJTVtLS_Y�`b[]\sUnTVdehYZcVUnd�[]§kTVUsosU;TVh)WJ\sTVhEoú� Fk�Ö�3�

Page 11: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ =9=Gÿ H I JÿKHMLON�PQH IDRÿSHUTVI JWHXTVI R HYIDZÿ[H]\^I J HM_ONa`bHU\VI Z HcIDdGÿ H G N HeIfJÿ Hhg�IiHhjON�PkHhg�IDlmHeIDRÿ HnTVIoHnp�IfJqH'rsN�tkHnpVI R HnT�IfuvHeI Zÿ[Hw\VI�H�ÿ í I J H�ÿxp�I lyH Gsz N�`{H�ÿxpVI u ÿ í I Z Hw\^If|}HeI d�LݢؤÙ)ÜBâPÝZÏPíBÞ¤ÛgÝpä Ï�Ý)Ý�äBÛQÙmÛ5æEϱÙ�ÛkÙuó�Ûkà�Û�ÏPÞ¤à�ÛQϱå¯Î�æbâ±Ü@ÙmØ�å¯ÛEàpÛkå#í?Î&z¥ï Þ|ÛkàtZ x�\�^<ó_äBâ"ϱޤÙ�âjß©ÏJô©Û

Þ¤Ø|Ü ÛkÏPà�àpÛkæEïBà�àpÛEÜ@æbÛkÙ&þró_Ø�Ýpä�á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú5Ø�ÏPÞ1æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ�XÙ�ÏPÝ�Ø�Ù]î@Ûkå�í�Î>p%�o ë �xBë xBëw~ Ã&ß�Å�ã�Ã8åFâÊß'ÅLã ÃO�B�O��åFâBÆÉÈ�ÅLâ�Ì��aÜ ÝpäBØ�ÙwÙmÛQæeÝpØ|â©Ü1ñ;óXÛjæbâ©Ü ÙmØ�å¯ÛkàgÚ5ÛQÏPÜ åBÛEàZÙEñ;Ý�ä ÏPݦؤÙá ÏPÝ�ä Ù�Ý�ä ÏPÝ)ÜBÛkô±Ûkàuß±â"í@ÛkÞ|â�ó Ý�ä Û¦äBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ;ÏP÷¯Ø¤Ùkëuì�äBÛ�Ú5ÛQÏPÜ åBÛEàZÙ_ó_äBâ©Ù�Ûgî Ü@ÏPÞ<ÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï å¯ÛØ�Ù ��ϱà�Û¢æEÏPÞ¤Þ¤ÛkåjÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@ÙEñ?ؤÜ�ϱækæbâ©àpåBϱܠæbÛ)ó_Ø�Ýpäbl)Ûbî@ÜBØ�ÝpØ|â©ÜexBñ¯ÏPÜ åjÝ�äBÛkÎ�Ý�ïBàpÜ"â©ï¯Ý�Ý�â5í@ÛÝpäBÛgâ±íI�]ÛQæeÝZÙ�ó_Ø�Ýpä�ÝpäBÛgàpؤæZäBÛQÙ]Ý�æEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�â©à�Ø�ÏPÞ.áBàpâ±á.ÛEà�Ý�ؤÛkÙkëV�Û�æbâ©Ü�Ý�ؤÜ�ï Ûwó_Ø�Ýpä�ÏjÙ�Ø|Ú$áBÞ¤Û¦Ù�ίÙ]ÝpÛEÚ�âPã¥á ÏPÝ�ä Ù)å¯Ûbî Ü Ûkå�í?Î�Ý�äBÛ5ÙmÛEÝuâPãG�]ïBÚ$á Ù�Ñuñ.á@â�Ù]èÙ�Ø|í Þ|Î�ÛkÜ å¯â�óXÛkå�ó_Ø�Ýpä�óXÛEؤ߱ä�ÝZÙEë$ì�äBÛ$ÜBÛEó ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ÜBß�ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ùwó_Ø|Þ¤Þ¥ÏPß�ÏPؤÜ�ؤÜ�ô©â±Þ¤ô±Û�Ý�äBÛæZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ�æEïBàpô±Û5Ý�â©ß±ÛbÝpäBÛEàgó_Ø|Ý�ä Ø|ÝpÙwÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ�ÏPÜ@å�Þ�ÏPàpß±Û$íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙkëh�1ÛbÝ�ÜBâ�ó s o&c d í@ÛÝpäBÛ¦Ü?ïBÚ�í@Ûkà)â±ã¥Ú5ÛQÏPÜ åBÛEàZÙ�âPã�Ù�ؤÿEÛ�þrØsë Û±ë¤ñ7Þ|ÛkÜBßPÝpäK��� Ý�ä ÏPÝ)ÛEÜ@å�Ï�Ý&ÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï å¯Û}f7ë¢ì�äBÛ�æEâ±àpà�ÛEèÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß�Í�s���Ø�Ù s þ-j Ö$m ��ð�Ò]k onc d s o&c d m d j o Öó_äBØ�æZä�Ø�ÙuÜ â�ó ÏPÜ�ÛkÜ©ÝpØ|àpÛ�Ù�ÛEàpؤÛkÙ�ؤÜ�í.âPÝpäBj�ÏPÜ å m ë&Í�Î�ÝpäBÛ5æEâ±Ú�íBØ|Ü@Ï�Ý�â©à�Ø�ÏPÞ£â±àpØ|ß©Ø|Ü�â±ã�Ý�äBÛáBàpâ±í Þ|ÛkÚ�ñ s þbj Öºm ��Ø�ÙuíBؤô�ÏPàpؤÏPÝ�ۦϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ&ãÌâ±àDÈ m È ø w�ϱܠåÆÈ jGÈ�É wF¸F,�þ<w��eë�V�Û�ϱޤÙ�â�Ú�Ï5�©Ûï Ù�Û&âPã£Ý�äBÛgá.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ù'� o þ m ��Ý�ä ÏPÝ�å¯ÛkÙpæbàpØ|í.Û¢Ý�äBÛgá.â©ÙpÙ�Ø|íBÞ¤Ûgá.â©Ù�Ø�ÝpØ|â©Ü Ù_Ï�ã3ÝpÛEà���ÙmÝ�Ûká Ù�ϱܠåó_àpØ�ÝpÛþ¥wPy�� s þbj Öºm ��Ò k

o ; . � o þ m �ºj o Ò kd ; . s d þ-jR� m d Øç�â©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ|ޤαñQÝpäBÛ_Ü Ï�ÝpïBàZÏPÞ¯å¯ÛkæEâ±Ú$á.â©Ù�Ø�ÝpØ|â©Ü�Ø�Ù�Ý�äBÛ_â©ÜBÛ�í Ï±Ù�Ûkå�â±Ü�Ý�ä ÛXÞ�ϱÙmÝ¥Ù]ÝpÛEá�ϱå å¯Ûkå�ë� â±à�Ý�ä Û%� o þ m �eñ¥õpϱåBå¯Ø¤ÜBß�Ï$ÙmÞ¤Ø�æbÛkö5Ø�ÙXÝ�àZÏPÜ Ù�Þ�Ï�Ý�ÛQå"í?Î�ÝpäBÛgàpÛkæbï à�àpÛEÜ æEÛ±ñþ¥w,\R� �x.©þ m ��Ò w Ö � o5p = þ m ��ÒÜ,�þ m ��� o þ m � / Ó m�� . Úx,�þ m ��� o þ m � Øì�äBÛkà�Û©ñ�Ý�äBÛ&ÜBâ±ÝpÏ�ÝpØ|â©Ü-Ó m ��� ÚV��þ m �¥Ú$ÛQÏPÜ Ù�Ý�ä Û&Ù�ïBÚ â±ã£ÏPÞ¤Þ7Ý�ä Û¢Ú$â©ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ù�ó_Ø|Ý�ä#Ûb÷¯á.â±ÜBÛkÜ�ÝÞ¤ÛkÙpÙXÝ�ä Ï±Ü�û�Ý�ä@Ï�ÝuÏPá á@ÛQÏPà�Ø|Ü�ÝpäBÛ/�;ϱïBà�ÛkÜ�Ý_Ù�ÛEàpؤÛkÙw��þ m �eðþ¥wBck� Ó m ��� Ú óô p��kÞ$ I4�­ � Þ m Þ õö ð�Ò � 4 =kÞ$ �4�­ � Þ m Þ Øì�äBÛkÜ1ñ¯Ú¦ï Þ�ÝpØ|áBÞ¤Î?Ø|Ü ß$Ý�äBÛ&ÝpÛEàpÚ$Ù�âPã;ÝpäBÛgàpÛkæbï à�àpÛEÜ æEÛ)í?Î@j o ϱܠå#Ùmï Ú5Ú$ؤÜBß�Î?Ø|ÛkÞ¤å Ùþ¥wPj�� s þ-j Ö$m ��ÒÔw � j�,�þ m � s þ-j Ö$m � / j�Ó m � . Ú�þ!,�þ m � s þbj Öºm �¥� Öó_äBÛkà�Û�Ó m � . Ú¦Ø�Ù_Ýpâjí.Û¦ïBÜ åBÛEàZÙ]Ýpâ�â¯å�Ï©ÙuÏPá áBÞ|ؤÛkå�ÝpâjÝpäBÛ m ènÛE÷?á@ÏPÜ Ù�Ø|â©Ü#âPã s þbj Öºm ��Ø¤Ü þ<wBy��eëì�äBÛ�àpÛEÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü þ<wPjR�$Ø�Ù�Ý�ä Û"ü�¯û.ø©Ñ���Õbû@ÒLÑPÐ;ü�¯û.ÔEÒsÓrúPû.ÑPТÕÜ�� ÑPÒsÓrúPû åBÛbî ÜBؤÜBß Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙkë �LÝàpÛkÏ©åBÙuÏ©Ù�ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó�ÙEð$õ � á ÏPÝ�ä�Ø�Ù¢ÛEØ|Ý�äBÛkàuÝpäBÛ5ÛEÚ$á¯Ý]Î#á Ï�Ýpä�â©àuØ|Ý&æEâ±Ü Ù�ؤÙmÝpÙ)âPã�Ï�Ù]ÝpÛEá�þbj�,�þ m �å¯ÛQÙ�æEà�ؤí.ÛkÙuÝ�äBÛ�á@â�Ù�Ù�Ø|í Ø|Þ¤Ø�ÝpØ|ÛQÙ��)ϱå å¯Ûkå�Ý�â�Ï"á Ï�Ýpä�ÛE÷¯æEÛEá¯Ý)Ý�ä ÏPÝ)ÝpäBÛ$Ù]ÝpÛEá ÙuÝ�ä ÏPÝ¢óXâ±ï Þ¤å#ÝZÏ5�©ÛÝpäBÛ)ó�ÏPÞ��$í@ÛkÞ|â�ó Þ|Ûkô±ÛEÞG��þ3ÝpäBÛ)â©á@ÛkàpÏPÝ�â©à�Ó m � . Ú���ÏPàpÛ�Ýpâ�í.Û¢ÝpÏ5�©ÛEÜjâ©ï¯Ýpö ë�a�â�ógñn, ؤÜ�ô©â±Þ¤ô±ÛQÙâ©ÜBÞ|Î�Ϧî@ÜBØ�ÝpÛgÜ?ïBÚ¦í.ÛEà_â±ã�ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Û&á@â�óXÛEàZÙkñ?Ù�â5Ý�ä ÏPÝ

þ¥w�]5� s þbj Öºm �bþ¥w / j�,�þ m �¥��Ò w / j ¥ 4 =kd  �. û d þ m � s d þ-jR� Ö

Page 12: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

= * >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUãÌâ©à�Ùmâ©Ú$Û}�;ÏPï à�ÛkÜ©Ý�á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ù�û d þ m ��Ý�ä ÏPÝ�ÏPàpÛ Ø¤Ú5Ú$ÛQå¯Ø¤ÏPÝ�ÛkÞ|Î æbâ©Ú5á ï¯ÝpϱíBÞ|Û ãÌàpâ±Ú ,ô?Ø�Ï�þ¥wPjR�eðþ¥wPi�� û d þ m �Xð�Ò Ó m � . Ú q ,�þ m � m d r � 4 d 4 =kÞ$ �4 ¥ ®IÞ m Þ p�d Øçiè Ã!È+å�Ã&é¶AGÌ�Í£ú�ùgÑ�ýeÓ#��Ö7Ð|Õ&ýEÕEÒ�ú]üuýeÒLÕaÖ@ý"�ÒÌ×BÕNêië Í ú]ü���ÕZÑ�û.ø©ÕbùZý�P�C�Ó3Ò3×�je��Ñ�ù9�PÓ3ûR��ýZÓ�àQÕÑPû.ø m ��Ñ�ù9�PÓ3ûR�tÏ¥û7Ñ�Ð�ÑPÐ�ÒsÓ3Ò·� ø±Õ�S#ù�ÕbФÑ�ÒnÓ#ÐJÕ"ÒLú�Ñ�ýeÓ#��Ö7Ð|Õ�ýEÕEÒ¢úmü�Ö Ñ�ÒÌ×bÑ Ó�ýjÑ�Ð �©ÕB�bùpÑ�ÓrÔB+>XbÒ�Ó�ý�±Ó#ÐJÕEû�Ó3û�ÒLÕEù���ýgúmügÒ3× Õgý���Ñ�Ð3УÑPû.ø"Ð|Ñ�ù·�©Õ��bùpÑ�û.ÔZ×BÕbý�ú]ü&ÒÌ×BÕ5ÔZ×BÑ�ùpѱÔEÒLÕEùeÓ�ýeÒsÓrÔ�Ô,�¯ù�ÐJÕ5ú]ü¶Ñ ���þ¥wPd�� s þbj Öºm ��Ò�� ¥Þ$  = þ m / m Þ±þ-jR�9�m ¥ þ¥w / j8,�þ m �9� Ò / w® Ñ j Ñ�Ý   = w

þ m / Ý Ý þbj!�¥� ØXbû$ÖBÑPùeÒsÓrÔ,�¯Ð|ÑPùwÒ3× Õ´ë Í ú]üwÕ�Î?Ô��¯ùZýeÓrúPûBý" r þbj!��Ò s þbj Ö ����"<ýbÑPÒsÓ�ý_ÏXÕeýþ·x5��� r þbj!��Ò þ / wB� ¥ 4 =®�4 ¥ j ¥�Þ$  = m Þ þbj!��Ò þ / wB� Ñ 4 =® Ñ j Ñ�Ý   = wÝ Ý þbj!� ØÃXùpúkúmü�+uì�äBÛ�á.â±Ø¤Ü�ݦØ�ÙgÝ�ä@Ï�ÝgÝ�ä Û�ãÌïBÜ åBϱÚ$ÛEÜ�ÝpϱÞ�ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü Ø¤Ü Ø�ÝZÙ&ãÌâ±àpÚ þ¥w�]k�¢Þ|â?âk�¯Ù&ß©à�â�Ù�Ù�Þ|ÎïBÜ@å¯ÛEàZå¯ÛbÝpÛEàpÚ$Ø|ÜBÛQå Ï©Ù5Ø�ÝjؤÜ?ô±â±Þ¤ô±ÛQÙ�þ-£ � wB��ïBÜ'��Ü â�ó_Ü ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù,m�Ýpâ�ó_Ø|ÝkñXÝpäBÛ#íBØ|ô�ϱà�Ø�Ï�ÝpÛs þ-j Ö$m �_ϱܠå�ÝpäBÛ¦ï ÜBØ|ô�ϱà�Ø�Ï�ÝpÛMÓ s d þ-jR��Ú ¥ 4 =d  �. ë¢ì�ä Û�Ú�ÏPؤÜ�Ø�å¯ÛkÏ"âPã�Ï"Ú$ÛbÝ�ä â?åY�?ÜBâ�ó_Ü�ϱÙuÝ�äBÛõ��±ÕEùeû.ÕEÐ'��ÕbÒÌ×BúQøbö@þrÙ�ÛEÛ¢ÏPÞ�ÙmâgäBØ�ÙmÝ�â±àpØ�æEÏPÞ ÜBâPÝpÛkÙ¥í.ÛEÞ¤â�ó��¥æEâ±Ü Ù�Ø�Ù]ÝZÙ�Ø|Ü"íBØ|Ü@å¯Ø|Ü ß³j¦Ï±Ü å m ؤÜ"Ù�ï æZäÏ5ó�ÏJÎ$Ý�ä ÏPÝ_Ý�äBÛgÞ¤Ûbã3Ý�ä Ï±Ü å#ÙmØ�å¯Û&ô�ÏPÜBØ�Ù�äBÛkÙkë�aÜ å¯ÛkÛkå�ñ�Ù�ïBí ÙmÝ�Ø|Ý�ï¯ÝpۥؤÜjþ<w�]k�7ÏPÜ?ÎuÙ�Ú�ÏPÞ¤ÞPíBàZÏPÜ æZä&âPã�Ý�ä Û�æZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæ£ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü1ë£ì£Ïk�±ÛNÈ jGÈ�ÉwF¸F,�þ<w���ϱܠå�àpÛkÙmÝ�àpØ�æeÝ�j"Ýpâ�Ï�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ<ÜBÛEؤ߱ä?í.â±ïBàpäBâ?â¯å�âPã�Ý�äBÛ$â©à�ؤ߱ؤÜ�ؤÜ�Ù�ï æZä�Ï�ó�ÏJÎ�Ý�ä ÏPÝkðþb~~�<ϱÞ|ÞBÝ�äBÛuÙ�Ú�ÏPÞ¤ÞBíBàZÏPÜ æZä ÛkÙ�ÏPàpÛ�å¯Ø�Ù]ÝpØ|Ü@æeÝPm7þ!~�~<��ϱÞ|Þ¯ÝpäBÛ�Ù�Ú$ϱÞ|Þ@íBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãÌÎÌÈ m Þ þbj!��È&É w±ëì�äBÛkÜ"ÝpäBÛgÙmï í Ù]ÝpØ�Ýpï¯Ý�ؤâ±Ü�Ø�Ù_ÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æEϱÞ|Þ¤Î$Þ|Ûkß±Ø|Ý�ؤÚ�Ï�Ý�Ûgϱܠå�ñ�ÝpÏk��ؤÜBß$ÏPÞ¤Þ1ÙmÚ�ϱÞ|Þ7íBàZÏPÜ æZä ÛkÙXØ|Ü�ÝpâÏ©æEæbâ©ïBÜ�ÝkñPØ|Ý�áBàpâ�ô?ؤåBÛkÙ�ÏgÙ�Î?ÙmÝ�ÛkÚ â±ã�£�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü@Ù<Ø|Ü$ÝpäBÛ_ïBÜ��?ÜBâ�ó_Ü5ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù s . Ö,ØPØ,Ø�Ö�s ¥ 4 = ðþ·xIwB�

��������� ��������m ¥ = / j ¥ 4 =kd  �. m ¥ = û d þ m�= � s d Ò �

ëëë

m ¥¥ / j ¥ 4 =kd  �. m ¥¥ û d þ m ¥ � s d Ò � Øì�äBØ�Ù&ÙmίÙmÝ�ÛkÚ Ø¤Ù&ÜBâ©Ü Ù�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPà)ãÌâ±à¢Ý�äBÛ$àpÛkÏ©Ùmâ©Ü�Ý�ä ÏPÝgØ�ÝZÙ¢åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤܠÏPÜ�ÝgØ�Ù¢Ï�ô�ÏPàpؤϱÜ�Ý¢â±ã¥Ý�äBÛ¦¥Ï±Ü å¯ÛEàpÚ$â±Ü åBÛuå¯ÛbÝpÛEàpÚ$Ø|ܠϱÜ�ÝXÏPÜ@å5Ý�äBÛ¢ÙmÚ�ÏPÞ¤Þ.íBàpϱܠæZäBÛQÙ�ÏPàpÛ�æbÞ¤Ûkϱà�Þ¤Î$ÏPÞ¤Þ.å¯Ø�ÙmÝ�ؤܠæeÝQë<ì�ä Ø¤Ù�â±í¯èÙ�ÛEàpô�Ï�Ý�ؤâ±Ü¦Ø¤Ù<ÛkÜBâ±ïBß©äwÝpâ �]ï ÙmÝ�Ø|ãÌÎwÝpä Ï�Ý<ÛkÏ©æZä¦â±ã Ý�ä Û s d ؤÙ<ÏPÜ$ÏPޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æ<ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü$Ûb÷¯áBàpÛkÙpÙmؤíBÞ¤ÛàZÏ�ÝpØ|â©Ü ÏPÞ¤Þ|Î�ؤÜ�Ý�Ûkà�Ú�Ù�âPã£Ý�äBÛwϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ)íBàpϱܠæZäBÛQÙ m Þ ë�aÜ ÙmÝ�ÛQϱå#âPã�áBï àpÙ�ïBؤÜBß�Ø|Ü#ÝpäBÛ�åBØ|àpÛkæbÝ�ؤâ±Ü#âPã¥å¯ÛEÝ�ÛEàpÚ$Ø|Ü@ÏPÜ�ÝpϱޣæEϱޤæEïBÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü@ÙEñBóXÛgÚ�Ï5�©Ûwï Ù�ÛäBÛkà�Ûgâ±ã<Ï"æbï¯ÝpÛwâ±í Ù�ÛEàpô�Ï�ÝpØ|â©Ü�â±ã�`�Ø|àpÛEؤÞ|Þ¤ÛwÍXâ±ï Ù��ïBÛbÝ�èò`l?ÛEÞ¤â±ï þÌؤÜ�Ý�àpâ?åBï æbÛQå�ؤÜ}Z�wPy�^<ÏPÜ å#ÛkÚ�èáBÞ¤â�αÛQåjؤÜ�Ý�äBÛgá Ï±àpϱÞ|Þ¤ÛEÞ7á Ï±á@Ûkà�Z \�^#�bë¥ì�äBÛ/�ï ÏPÜ�ÝpØ�Ý]Îþ·xkxk� ��þ-j Ö$m ��ð�Ò m�¥ / j ¥ 4 =kd  �. m�¥ û d þ m � s d

Page 13: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ = £Ø�Ù�í?Î þ·xIwB�$Ï�á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ø¤Ü m ó_äBâ©Ù�Û�àpâ�â±ÝpÙ�ϱà�Û#áBàpÛkæEؤÙ�ÛEޤΠϱÞ|Þ_ÝpäBÛ m Þ ë ì�äBÛ�Þ¤ÛkÏ©å¯Ø|Ü ßÚ$â±Ü â±Ú$ؤϱÞ7âPã�Ý�äBØ�Ù_á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ�ؤ٠m ¥ ñBÙmâ5Ýpä Ï�Ý_ÝpäBÛgá@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞ7ãrϱæeÝpâ±àpØ|ÿkÛkÙ_Ï©Ùþ·x5y�� ��þ-j Ö$m ��Ò ¥�Þ$  = þ m / m ÞPþ-jR�9� Øì�äBÛkÜ1ñ�Ý�äBÛ�æbâ©Ü Ù]ÝZÏPÜ�ÝwÝpÛEàpÚ Ø�Ù¦ÏPݦÝpäBÛ�ÙpÏPÚ$Û�ÝpØ|Ú$ÛjÝpäBÛ"á à�â¯å¯ï æbÝ�þ / wB� ¥ m�= î�î|î m ¥ ϱܠå�Ý�äBÛ�ï Ï±Ü©ÝpØ�Ý]Î / j|®�4 ¥ s .©ñ¯Ï±ÙXØ�Ù�ÏPáBá Ï±à�ÛkÜ�Ý�ãÌàpâ±Ú Ý�äBÛgå¯ÛEî ÜBØ|Ý�ؤâ±Ü�þ�xkx���ϱܠå$ÝpäBÛ¢ãÌâ±àpÚòþ¥wPiR�¥â±ã1Ý�äBÛæEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ÝpÙkë�ì�äBÛ&ãÌâ±àpÚ âPã s . ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó�Ùkë��Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|Ωñ¯Ý�äBÛgàpÛkÙ�ïBÞ|Ý�ãÌâ±à�Ý�ä ÛwÍ s�� s þbj Öºm �Xå¯ÛEàpØ|ô©ÛkÙ�ãÌàpâ±Ú þ¥w�]k��Ú�Ï©å¯Û&ÛEÜ�Ý�ؤà�Û©ñs þ-j Ö$m ��Ò ��þbj Öºm �m ¥ þ<w / j8,�þ m �9� ÖϱܠåjãÌàpâ±Ú Ý�äBÛ&ãrÏ©æeÝ�â©à�ؤÿkÏPÝ�ؤâ±Ü�þ�x5yR�eë �� Ü Ø|Ú$Ú$Ûkå¯Ø�Ï�ÝpÛ"æbâ©à�â©Þ|Þ�ÏPàpÎ�â±ã_ì�ä ÛEâ±àpÛEÚ�Ùhw�ÏPÜ å}x#Ø�ÙgÝpäBÛjß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß#ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü�â±ã_ϱÞ|Þ

á ÏPÝ�ä Ù_ϱܠå�Ú$ÛkÏPÜ@å¯ÛEàZÙXØ|àpà�ÛQÙmá.ÛkæbÝ�ؤô±Û&âPã£Ý�äBÛkØ|à�î Ü ÏPÞ1ϱÞ�ÝpØ�Ýpï å¯Û©ë� È�å�ÈGàbà-ßnå� Ê�Ìeß7× Õ���ÕEû.ÕEù�Ñ�ÒnÓ3ûR�)ü�¯û.ÔEÒsÓrúPûBý¦ú]ü�Ñ�Ð3Ð?Ö Ñ�ÒÌ×�ý�ÑPû.ø"ÑPÐ3Ð[��ÕZÑ�û.ø©ÕbùZý¦ÑPù�Õo þ-j Ö wB��Ò ww / j8,�þ¥wB� Ö s þbj Ö w���Ò ww / j8,�þ¥wB� ¥�Þ$  = þ<w / m Þ þbj!�¥��Ò / w® Ñ j Ñ�Ý   = ww / ÝxÝ�þbj!� Ø� Ù�â±Ú$ÛEó_ä ÏPÝ�å¯ÛEÛká@Ûkà�æbâ±Ü@ÙmÛB©ï ÛEÜ æEÛ¢Ø�Ù_Ï�å¯Ø¤à�ÛQæeÝ_àpÛEÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü�í.ÛbÝ]óXÛEÛEÜ�Ý�ä Û�s��%u Ù_â±ã£Ûb÷BæEïBàmèÙ�Ø|â©Ü Ù�ÏPÜ å�íBàpØ�å¯ß±ÛQÙXÝ�ä ÏPÝ�â©í¯ÝpϱØ|Ü@Ù�í�Î�æbâ©Ú5á@ÏPàpØ|ÜBß�z �ï ÏPÝ�ؤâ±Ü Ù&þ�d���ÏPÜ@å�þ·x5���bë� È�å�ÈGàbà-ßnå��A�Ì ß7×BÕ&��Õbû7ÕbùpÑ�ÒnÓ3ûR�#ü�¯û.ÔEÒnÓrú�ûBý ú]ü��EùeÓrø,��ÕbýòP!p S ÑPû.ø Õ9Î?Ô,�¯ùZýeÓrú�ûBýòP r S Ñ�ù�Õù�ÕEÐ|ÑPÒLÕZø��,� p"þbj!� Ò w � j ¤¤8j þrÞ|â©ß r þ-jR�9��Ò w � j r³í þ-jR�r þbj!�r þbj!� Ò ÛE÷¯á � ÿ#�. þ-p"þ_$¥� / wB� ¤�$$�� Ø�aÜjÝpäBÛgÙ�ϱÚ$Ûuô±ÛkØ|Ü;ñBæbâ±Ü@ÙmØ�å¯ÛEàXá ÏPÝ�ä ÙXó_äBâ�ÙmÛ)Ø|Ü�Ý�Ûkà�Ú$ÛQå¯Ø¤ÏPÝ�Û&Ù]ÝpÛEá ÙXÚ�ÏJÎ$í@Û&ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Û±ñ�íBï¯Ýó_Ø|Ý�ä�Ï�î Ü Ï±Þ1ÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï å¯Û&Ýpä Ï�Ý�Ø�Ù$� �Bë¥ì�äBÛkØ|à�Í�s���Ø�Ùo p þbj Öºm ��ð�Ò �kd  �. o d þbj!� m d Øì�äBÛkÜ1ñ@æEâ±Ú$á Ï±à�Ø�Ùmâ©Ü�â±ã<Ý�äBÛ¦ãÌâ±àpÚ$Ù�Ø|Ü?ô±â©Þ|ô?ؤÜBß�Þ�ÏPàpß±Û&íBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�ãÌâ±à o d ϱܠå s þbj Öºm ��ÏPÜ@å�ÏÝpà�Ø|Ý�ÛgæEϱޤæEïBÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü#Ù�äBâ�ó�ÙXÝ�ä ÏPÝo p þ-j Ö$m � Ò w � j ¤¤�j þÌÞ¤â±ß s þ-j Ö$m �9�s þ-j Ö$m � Ò Ûb÷¯á � ÿ �. þqo p þ_$ Ö$m � / wB� ¤�$$'� Ø��Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|Ωñ@ó_Ø|Ý�ä s d þ-jR�_í@ÛkØ|ÜBß"Ý�äBÛ�ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ÜBß$ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü�âPã¥Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙ�Ý�ä ÏPÝuÛEÜ å�Ï�ݢϱÞ�ÝpØ�èÝpï å¯ÛWf7ñ�â±Ü Û_ä Ï±Ù s d þ-jR��Ò Z m d ^ s þbj Öºm �eë��?ؤܠæbÛ s þ-j Ö$m ��Ø�Ù�ÏwàpÏPÝ�ؤâ±Ü Ï±Þ?ãÌïBÜ æeÝpØ|â©ÜjâPã m ó_Ø|Ý�ä�Ï

Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Û�áBàpâ?åBï æeÝ�Ûb÷¯áBàpÛkÙpÙ�Ø|â©Ü¦Ø¤Ü¦ÝpÛEàpÚ$Ù<â±ã ÝpäBÛ�ޤϱà�ß©Û�íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙkñ�Ø�ÝZÙ<Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü�ó_Ø�Ýpä$à�ÛQÙmá.ÛkæbÝÝpâ m Ø�Ù_ÛQϱÙ�Ø|Þ¤Î"ϱækæbÛQÙ�Ù�Ø|í Þ|Û¢ô?ؤÏ$Ï5á ÏPà�Ý�Ø�ÏPÞ7ãÌàZϱæbÝ�ؤâ±Ü#å¯ÛkæEâ±Ú$á.â©Ù�Ø�ÝpØ|â©Ü1ñBÏPÜ å�â©ÜBÛ¢î Ü åBÙkð� È�å�ÈGàbà-ßnå�g�[Ìeß7× Õ���ÕEû.ÕEù�Ñ�ÒnÓ3ûR�)ü�¯û.ÔEÒsÓrúPû�úmü)�$ÕZÑPû.ø±ÕEùZýgÒLÕEù��5Ó3û.Ñ�ÒnÓ3ûR��Ñ�Ò�Ñ�Ð�ÒnÓ3Ò·� ø±Õ f�Ó�ý

s d þ-jR��Ò w® Ñ j Ñk Ý   =/� Ý Ý 4 d 4 =Ý Ö � Ý ð�Ò �Þ�  Ý wÝ Þ / ÝxÝ Ø

Page 14: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

= á >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU�?â©Ú5Û#â±ã)ÝpäBÛkÙ�Û#à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü Ù�Ï©å¯Ú$Ø�Ý�âPãgæbâ©Ú¦íBؤܠÏPÝ�â±àpØ�ÏPÞXØ|Ü�Ý�Ûkà�á à�ÛEÝpÏ�ÝpØ|â©Ü Ù$Ùmï@æEæbؤܠæbÝ�ޤΠå¯Ø�Ù]è

æEï Ù�Ù�Ûkå�ؤÜ&�¯ÛkæeÝpØ|â©Ü�\@ë�w©ë����¹���»+��º:��* êuÑPÐ3Ð|ú�Ò£Ö.ùpúk�EÐ|Õ��t"3���±Ô��&ÖBÑPÒ3×?ý"�Ñ�û.ø[��ú�Ò_à��PÓ3û�Ö Ñ�ÒÌ×�ý,+�ì�äBÛkÙ�Û&ÏPàpÛuÝpäBÛgÚ$â©ÙmÝãrϱÚ5â©ï Ù�áBàpâ±í Þ|ÛkÚ$Ù¥Ø|Ü$ÝpäBÛuÏPàpÛkÏ ñ±ÏPÜ@å5Ý�äBÛkÎ5ϱà�Û�æEÞ|â�ÙmÛkÞ|Î�à�ÛkÞ¤ÏPÝ�Ûkå�Ýpâ�z�÷BÏPÚ$áBÞ¤Û)w±ë<ì�äBÛ�í@ÏPÞ¤Þ|â±ÝáBàpâ±í Þ|ÛkÚ Ï±Ù9�¯Ù<ãÌâ±à�Ý�äBÛuáBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]Ωñ±Ø¤Ü"Ï¢Ý]óXâ¦æEϱܠå¯Ø�åBÏ�ÝpÛ_ÛEÞ¤ÛkæeÝpØ|â©Ü�í@ÛEÝ]ó�ÛkÛEÜ´Ø ÏPÜ å}Ù Ýpä Ï�ÝÛkô±ÛEÜ�Ýpï ÏPÞ¤Þ|Î�à�ÛQÙmï Þ�ÝZÙ_Ø|Ü�Ï�Ý�ؤ۱ñ â±ã Ø å¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|Ü ß@Ù Ý�ä à�â©ïBß±äBâ©ï¯Ý_Ý�ä Ûwá@â©Þ|Þnë�n_ÛkæEâ±àZå¯Ø¤ÜBß$Ý�äBÛå¯Ø��7ÛEàpÛEÜ æEÛuí.ÛbÝ]óXÛEÛEÜjÝ�äBÛ&Ù�æEâ±àpÛkÙ�âPã�Ø ÏPÜ å´Ù ϱÙ�Ý�ؤÚ$Û)Ûkô±â±Þ¤ô±ÛQÙEñ©ó�Û)Ú$â?åBÛEÞ.Ý�äBÛ)áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ Ï±ÙÝpäBÛgæbâ±ï Ü©ÝpØ|Ü ß�â±ã£Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü ÙXϱÙpÙmâ¯æEؤÏPÝ�Ûkå"ó_Ø�Ýpä�ÑvÒÔÓ / w ÖT� w5Ú�ë£ì�äBÛgæZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ�æbï à�ô©ÛØ�Ù_ÝpäBÛwâ±Ü ÛwÛb÷BÏPÚ$ؤÜBÛkå#ؤÜ-z�÷BϱÚ5á Þ|ÛhwwؤÜ�æEâ±ÜBÜBÛQæeÝpØ|â©Ü�ó_Ø|Ý�ä�æbÛEÜ�ÝpàpϱÞ1íBؤÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ£æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙϱܠåjÝpäBÛ�s���â±ã�ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@Ù�Ø�Ùr � þ-jR��Ò w /"! w / \8j *x j * Ò k

o ; . w� � w � x����� j * o Öó_äBÛkà�Û�Ý�äBÛ æEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ =o5p =3q

* oo¶r ϱà�Û�Ý�äBÛ çXÏ�ÝZÏPÞ�ÏPÜ Ü?ïBÚ�í@ÛkàpÙ þ &3(�*]+.-/-0- Ê -02 �bë �Bâ±àÄ ÒÔÓ / w Ö � Ö�� w5Ú©ñ©â±ÜBÛ¢î Ü@åBÙ�Ù�Ø|Ú$ؤޤϱà�Þ¤Îr � þ-jR��Ò w / j / ! w / x3j / y j *x j * Ò ko ; .0� o j o Ö

ó_äBÛkà�Û¢ÝpäBÛwæbâ?Û�§jæEØ|ÛkÜ©ÝZÙ_ÏPàpÛuÝpäBÛ/`�â±Ý�ÿ,�?ؤÜ#Ü�ï Ú¦í.ÛEàZÙgþ &3(�*�+5-0- Ê -0- 6��eë �����¹���»+��ºaµ�*�������©ÑJýeÓrÕ5C�ÓrÔà)Ö Ñ�ÒÌ×�ý$Ñ�û.ø�Ònù�ÕZÕ�ÔZúkø©Õeý,+gç�â±Ü Ù�Ø�å¯ÛEà�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|Þ¤Î�Ïjî ÜBØ|Ý�Û5ÙmÛEÝ �Ýpä Ï�Ý&æbâ±Ü�ÝZÏPؤܠ٠/ w5ϱÙuÙ�ؤÜBß±Þ¤Û¦ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Ûwô�ÏPÞ¤ïBÛ©ë)ì�äBÛ5æbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBßjá ÏPÝ�ä Ù¢ÏPàpÛ/�?ÜBâ�ó_Ü�ϱÙ��1ï'�JÏ©ÙmؤÛEó_Ø�æbÿ$á ÏPÝ�ä Ùkë��¯ÛbÝ%¡�þ m �wð�Ò m ,�þ m �bñ�ó_äBØ�æZä�Ø�ÙgÏ"á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞnë�ì�äBÛkà�Û$Ø�Ù¢â±ÜBÞ¤Î�â±Ü ÛÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ�íBàpϱܠæZä#Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãÌÎ?ؤÜBßþ·x�\R� m = þbj!��ÒÜj�¡�þ m = þbj!�¥� Öϱܠå#Ý�ä Û�s�� â±ã�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ù�Ø�Ù =� °�¢¤£ m = þbj!�eët��1ï���Ï©ÙmؤÛEó_Ø�æbÿ�á Ï�Ýpä Ù¢âPã�Ý]Î?á@Û[� ÛkÜ æbâ¯å¯Û¦Ý�àpÛEÛkÙó_äBâ�ÙmÛgÜ â?åBÛ¦å¯ÛEß©à�ÛkÛkÙ_ϱà�ÛwæEâ±Ü ÙmÝ�àZÏPؤÜBÛkå�ÝpâjÞ|ؤÛwؤÜ|w � �¢ñBÝpäBؤÙuí?Î�ô?ؤàmÝpïBÛgâPã¥Ï�óXÛEÞ¤Þ�èò�?ÜBâ�ó_ÜæEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBÛEÜ æEÛbZ ckxBñ�ç�ä Ï±á1ë�w�w�^Lë�þsì;àZÏJô±ÛkàpÙ�Û¦ÝpäBÛ�Ýpà�ÛkÛjØ|Ü áBàpÛEâ©àpåBÛEàwÏPÜ@å â±ï¯ÝpáBï¯Ý�Ï�ÙmÝ�Ûkáâ±ã<¤ / w$ó_äBÛEÜ Ï�ÜBâ¯å¯Û$âPãXâ±ï¯ÝZå¯ÛEß©à�ÛkÛ�¤�Ø�Ù&ÛEÜ@æbâ±ï Ü©ÝpÛEàpÛkå�ë��|�aÜ�Ý�ä Ø¤Ùgó�ÏJαñ�Ø|ÝgؤÙgÙ�ÛEÛkÜ�Ýpä Ï�Ýz%©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü þ·x�\!�jß©Ø|ô©ÛkÙ�ÝpäBÛ|s�� âPãwÝpà�ÛkÛkÙ�æbâ±ï Ü©ÝpÛkå ϱæEæEâ±àZå¯Ø¤ÜBß Ý�â Ý�äBÛ�Ü?ïBÚ¦í.ÛEà#â±ãwÝ�äBÛkØ|àÜBâ¯å¯ÛQÙEñXÏPÜ�âPÝpäBÛEàpó_ؤÙ�Û�æbÞ�ϱÙpÙmØ�æEϱÞ�à�ÛQÙmïBÞ|Ý-Z c�cB^Lë ÍXÎ��£ÏPß©àpϱÜBß±Û�Ø|Ü?ô±ÛkàpÙ�ؤâ±Ü1ñ�Ý�äBÛ#Ü?ïBÚ¦í.ÛEà"âPãÝpà�ÛkÛkÙ_æbâ©Ú$áBà�Ø�Ù�Ûkåjâ±ã���ÜBâ¯å¯ÛkÙ�ؤ٦¥

o Ò w� Z { o 4 = ^§¡�þ!{�� o Öó_äBÛkà�Û$¡�ækÏPÜ"í.Ûgå¯Ø¤à�ÛQæeÝ�Þ¤Î�ؤܩÝpÛEàpáBàpÛbÝ�ÛQå"Ï©Ù�ÝpäBÛgæZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæuá@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞ@â±ã;Ý�ä Û&ϱÞ|Þ¤â�óXÛkåÜBâ¯å¯Û�þrâ±ï¯Ý��]å¯Ûkß±àpÛEÛkÙkë �����¹���»+��º©¨�* ª�Ñ�Ð ��ý�C�Ó3ÒÌ×�ýeÒLÕaÖ@ý$Ó3û¨Ó / x Ö / w Ö � Ö�� w Ö�� x!Ú!+)ì�äBØ�٢ؤ٢â±ï à)î@àpÙmÝ¢ÛE÷BÏPÚ$áBÞ¤ÛؤÜ?ô±â±Þ¤ô?Ø|Ü ß�ؤÜBäBÛkà�ÛkÜ©ÝpÞ|Î"Ú5â©à�Û¢Ýpä ÏPÜ#â±Ü Û¢í àpϱܠæZä1ë�ì�äBÛgæZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæ)ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�ؤÙm * / j.þ<w �Æm��Æm * �Æm £ �am á � Ò�� Øì�äBÛ¢Ý]óXâ�ÙmÚ�ÏPÞ¤Þ�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ_ÏPàpÛ&æbâ±Ü5�]ïBß©ÏPÝ�ÛgÏPÜ å�ß©Ø|ô©ÛEÜ"í?ÎmG= þbj!� Ò � j =$¹ * � =* j � ZÐ j £ ¹ * � j * � *9£ == * Ð j Z ¹ * � y j � � î�î�îm * þbj!� Ò / j =$¹ * � =* j / ZÐ j £ ¹ * � j * / *9£ == * Ð j Z ¹ * � y j � � î�î�î Ø

Page 15: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ = Zì�äBÛkÜ1ñ¯í?Î�þ·x5���bñ?Ý�äBÛ&î@àpÙmÝ�ãÌÛEó Ý�ÛEàpÚ�Ù_âPã r þbj!��ÏPàpÛ¢ÛkϱÙ�ؤÞ|Î"åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛkå#Ï©Ùr þ-jR��Ò / wj m = þ-jR� m * þ-jR��Ò w � j � y8j * � d j £ � y�x3j á � wBxk� j Z � \!]�y8j � � wBd�x�c3j ( � î|î�î Ø�?ؤÚ$Ø|Þ�ÏPàpޤαñ?ãÌâ±à_Ú$ÛQÏPÜ å¯ÛkàpÙkñ¯â±Ü Û¢ä@ϱÙs þ-j Ö wB��Ò þ¥w / m�= þ-jR�9�bþ<w / m * þ-jR�9�w / c3j Ò w � y8j � w�x3j * � c�w|j £ � xkxkj j á � wP��x�c3j Z � \!]5x5\8j � � î�î�î Ø�LÝ�Ø�Ù¦Ý�äBÛkÜ Ï�Ü ÏPÝ�ïBàZÏPÞ¶©ï ÛkÙmÝ�ؤâ±Ü Ý�â�ϱÙ9��ãÌâ©à�ÏPÜ ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î@Ûkå å¯Ø¤à�ÛQæeÝpÞ|Î�í?Î r þ-jR�â©à s þ-j Ö wB�eëtn_ÛEß�ÏPàZå¯Ø|Ü ß"Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü Ùkñ�ÏPÜ�ÛB�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�Ú�ÏJÎ�í@Û$â©í¯ÝpϱØ|ÜBÛQå�í?Î�ÛEޤؤÚ5ؤܠÏPÝ�ؤâ±Ü�âPãm = Öºm * ãÌàpâ±Ú ÝpäBÛwÙmίÙmÝ�ÛkÚj rð�Æm = m * ÒË� Ö m * = / j@þ¥w �Æm * = �am £ = �Æm á = �%ÒÁ� Ö m ** / j@þ¥w �am * m ** �am £* �Æm á * ��Ò�� Øz�Ø�ÝpäBÛEà�à�ÛQÙmï Þ�ÝZÏPÜ�ÝpÙ"â±à&s¢àB�â©íBÜBÛEà�í Ï±Ù�ÛkÙ�å¯â Ý�äBÛ��]â±í1ë �Bâ©à�ؤܠÙmÝpϱܠæbÛ©ñuàpÛkÙ�ïBÞ�ÝZÏPÜ�ÝpÙ"߱ؤô±Û�Ï

á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ¯ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü$âPã�å¯Ûkß±àpÛEÛ)wBx¢ÙpÏ�ÝpؤÙmî Ûkå5í?Î r þbj!�eë�ì�äBÛ_á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱޯãrϱæbÝ�â©à�ؤÿEÛQÙ_þ3Ý�ä Ø¤ÙØ�Ù;ÛE÷¯á@ÛQæeÝ�ÛQåwϱ٣óXÛ�å¯Ø�ågÜBâ±Ý�ؤÚ$á@â�ÙmÛXæbâ±Ü@å¯Ø�ÝpØ|â©Ü Ù£Þ|Ø��±Û m = ÇÒ m * Ø|ÜgÝpäBÛXáBà�â¯æEÛkÙpÙ��bë3z¥ô©ÛEÜ�Ý�ï@ÏPÞ¤Þ|ΩñØ|Ý�ؤÙXãÌâ©ïBÜ å�Ý�ä@Ï�Ý r þ-jR�XÙpÏ�Ý�Ø�Ùmî ÛkÙ_Ï5á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ�ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�âPã�å¯ÛEß©à�ÛkÛ�\@ðþ·xkck� j á M á / j * þ¥w � j!�ÖM £ � j@þ·x � j!�ÖM * / þ<w � jR��M � w�ÒÁ� ØV�ÛwÙmä@ÏPÞ¤Þ�Ûb÷BÏPÚ$ؤÜBÛgÙmäBâ©àmÝpÞ|Î�Ï�Ú�ï æZä�í@ÛEÝmÝ�Ûkà�ó�ÏJÎ�Ý�â$á.ÛEà�ãÌâ±àpÚ Ùmï@æZä�æEâ±Ú$áBï¯ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü@ÙEë �����¹���»+��º¬«�* ��� ÔZ×Bú�û;­ ý"ÔEÐ��'�eý"ÑPû.øY�¯û.ø±ÕEù�øPÓrÑ,��ú�û.ÑPÐ1Ö Ñ�ÒÌ×�ý,+�ì�äBÛ$ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó_ؤÜBß�áBàpâ±í Þ|ÛkÚ áó�ϱ٥æEâ±Ü Ù�Ø�å¯ÛEàpÛkå$í?Îhluï@æZäBâ±Ü-Z xkxB^�þÌï Ü å¯ÛEà�ϦåBØg�7ÛEàpÛEÜ�Ý�ãÌâ©à�Ú�ïBÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü��eð�Û ÔEÐ��'�gúpÖ ÕEûBý)Ó3û#ÒÌ×BÕÕ,ÐJÕEû Ó3û!�jÑ�û7øjÔEÐ|úJýEÕbý¢Ó3û�ÒÌ×BÕ���ú�ùeû@Ó3ûR�R+7Ã_ÕZúpÖ.ФÕ�ÑPùeùeÓ#ÐJÕt���)Ö Ñ�Ó3ùZýwÑ�û.ø5ФÕpÑ5ÐJÕwÓ3û�ÒÌ×?ù�ÕZÕbýbú5�$Õbý,+ªj×BÑPÒ�Ó�ýuÒ3× Õ�ÖBú�ýZýZÓÉ�EÐ|Õ&ûK�I���ZÕEù)ú]ü�ýEÔpÕEû.ÑPùeÓrúJý<üZù�ú�� ø5�?ý¥��Òaú$ø±Ñ3C�û�Ñ�ý�ýEÕZÕbûgüZù�ú5� Ò3× ÕgÔbÐ��'�/­ ýÕEû Ònù���®¿� â±à�Ø|Ü ÙmÝpϱܠæbÛ©ñ�챆 ÛEô©ÛEÜ�ÝwÚ�ÏJÎ�í.Û � x þÌÝ]ó�â�ÛkÜ©ÝpÛEà��eñ � x þ3Ý]óXâ�Ú$â±àpÛ�ÛEÜ�ÝpÛEà��eñ / yþÌÝ�äBàpÛEÛ�Þ|ÛQÏJô±ÛB�bñ � x+þÌÝ]ó�â@ñ)ÏPß�ÏPØ¤Ü ÏPàpà�ؤô±Û��eñ / y þrÏPÜ@å Ý�äBÛ æbÞ¤ïBí æbÞ¤â©Ù�ÛkÙ�eë a)Ï�ÝpïBàpϱÞ|Þ¤Î�Ý�äBÛá.â±áBï Þ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü Ø|Ü@ÙmØ�å¯Û$Ý�ä Û"æbÞ¤ïBí Ø�ÙgÜBÛEô©ÛEàgÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Û�ÏPÜ å Ï#í ï ÙmؤÜBÛQÙ�Ù&ÜBؤ߱ä�Ý�ÙmÝpϱàmÝZÙ&ó_Ø�Ýpä Ý�äBÛÛkÚ5áBÝ]Î æbÞ¤ïBí+ÏPÜ å ÛEÜ@åBÙ$ó_Ø�Ýpä�Ý�äBÛ�ÛkÚ5áBÝ]Î æbÞ¤ïBí1ë ì�äBÛ#ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|ؤÿEÛQå�áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�Ý�äBÛkÜ ækÏPÞ¤Þ¤ÙãÌâ©àgÝ�äBÛ�Ü?ïBÚ¦í.ÛEà�âPã�Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü Ù&ó_Ø|Ý�ä ÙmÝ�Ûká Ù�ÛbÝMÓ / £ Ö ¤'Ú�þÌó_äBÛkà�Û�luï æZä â±Ü�u Ù¦ækϱÙ�Ûjؤٰ¯Ñ ÒÓ / y ÖT� xIÚ�â©àkñQÛP�ïBؤô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�Þ¤Î&í?ÎuÝpØ|Ú$Û�àpÛEô©ÛEàZÙ�ϱÞsñ,ÑvÒ Ó / x ÖT� y�Ú��bë�V�Û�Ï©Ù�Ù�ïBÚ$Û¥äBÛkà�Û�ó_Ø�ÝpäBâ±ï¯ÝÞ¤â©ÙpÙ�âPã�ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ¤Ø|Ý]Î�Ý�ä ÏPÝW£gÏPÜ@å>¤�ÏPàpÛwæbâ©áBà�ؤÚ$ÛgØ|Ü�ÝpÛEß±ÛkàpÙkñ Ù�â$Ý�ä ÏPÝ�Ý�ä Û¦ÙmίÙmÝ�ÛkÚ âPã�á ÏPÝ�ä ÙuؤÙàpÛkå¯ï@æbÛkå1ëì�äBÛ#æZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæjá@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú5Ø�ÏPÞ�Ø�ÙD,�þ m ��Ò m 4 ¥ �Üm Ñ Ï±Ü å ÝpäBÛb�±ÛEàpÜBÛkÞ�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü ؤÙÛB©ï Ø|ô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�Ý�â m�¥ ÒÜj@þ¥w �am;± � ó_Ø|Ý�ä ½�Ò©£ � ¤ Ø

ì�ä?ï Ùkñ�Ý�äBÛ¢á@Ûkà�ؤâ¯åjØ�ÙU½�Ò©£ � ¤�ÏPÜ åjÝ�äBÛ¢äBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ7Ï�÷¯Ø�Ù�Ø�ÙXâ±ÜBÞ¤Î$Ý�â©ï æZäBÛkå�Ï�Ý�áBÞ�ϱæbÛQÙ¥Ýpä Ï�Ýϱà�Û"Ï�Ú¦ïBÞ|Ý�ؤáBÞ¤Û�â±ãN½�ë¨�?ÛEÝDj|Ò $ ¥ ñ�ó_äBÛkà�Û�$wؤÙ5Ï�Þ¤â¯æEϱÞ�ïBÜ Ø�ãÌâ©à�Ú$ؤÿEؤÜBß�á Ï±àpϱÚ$ÛbÝ�Ûkà�ÏPÝ��Bëì�äBÛkÜ1ñ7Ý�ä Û��ï Ï±Ü©ÝpØ�Ý]ÎÌM�þ_$¥�gð�Ò m = þ_$ ¥ �)Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î ÛQÙ)Ý�äBÛ5ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±ÜÊM&ÒÔ$bþ¥w � M ± � =$¹ ¥ Ö ó_äBؤæZä�ؤÙ�£ÏPß±àZÏPÜ ß±ÛkϱÜ1ë£ÍXÎ��£ÏPß©àpϱÜBß±Û)Ø|Ü?ô±ÛkàpÙ�ؤâ±Ü�Z \Rx�^nñBâ©ÜBÛ¢î Ü åBÙþ·x5j�� M�þÉ$¥��Ò k

o ; = w� � �L¸3£þÉ� / wB��¸F½^� $ o Ø

á 6;x|os[]\uosSJTVUuW�YZWP[]\)S�YZ^��±[][]h#UsfJ�Jl_T oron[]^���,7SJ\nTVUronT�YZh5²<\LYporos[mhbosS�YZcV[]\¢WPdeTVhEos[]^�fJU_ondj/1[axs��� 4������bq�gYZULYZ�edn8QYpondJ�J^�YponTVhQ��x¤\sdel ��³��x³Q�@03h)osS�Ypo;W�YZWP[]\���8QYpond_^Q[m\sT `b[]U;^QTV\n[]taonc q�defJ\;[]�kfJYponTVdeh¦�L2�Fe���Equl�Ypos\nT §�e[]hJ[]\LYposTVhJ�5x|fJhJtaonTVdeh�l_[aonSJdE^JUuYZhJ^"WJ\ndm`QTV^Q[mU_`ZYZcVf�YZ�JcV[wYZ^J^JT osTVdeh�YZc£\n[]UnfJc osU�\n[]�bYZ\n^QTVhJ�5fJhQ^J[]\n^JT�YZ�edeh�YZcW�YposSJU£TVh)YXUron\sTVW��

Page 16: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

=º� >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUþsÍ�ÎjæEâ±Ü?ô±ÛkÜ�Ý�ؤâ±Ü1ñ q ­ ¡ r ÒÁ��Ø�ã × Ø�Ù�Ü â±ÜBؤÜ�Ý�ÛEß©àpϱÞsë��/�;ÛbÝ<Ú í.Û¢Ï�áBàpØ|Ú$Ø|Ý�ؤô±Û £ZÝ�ä�à�â?âPÝXâPã;ï ÜBØ�Ý]Î@mÝpäBÛEÜ�ϱÞ|Þ�ÝpäBÛjíBàZÏPÜ@æZäBÛkÙwÏ©å¯Ú$Ø�Ý5ÏPÜ Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü Ù�Ø|Ú$ؤޤϱàgÝ�â:M7þ-jR�bë��aÜ åBÛEÛkå1ñ�í?Î�æbâ±Ü5�]ïBß©Ï©æbαñâ©ÜBÛ&ä Ï±Ù m Þ p = þÉ$ ¥ � ÒgM�þ�Ú Þ $¥��Ò k

o ; = M o Ú o Þ $ o Öó_äBÛkà�Û M o Ò Z $ o ^�M�þ_$¥��Ø�Ù�߱ؤô±ÛkÜ#í�Î�þ�x5jR�eë�ì�ä ÛEÜ1ñ¯ÝpäBÛwÜ?ïBÚ�í@Ûkà_âPã<Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü Ù�ؤÙuÏ5æEâ±Ü?ô±â©Þ|ïBèÝpØ|â©Ü1ð

þ / wB� ¥ 4 = r o Ò ko £ pµ´¶´¶´ p�oO·   ¥ Ó o5p =�Ô M o £ M o¹¸ î|î�îºM o · Ú . o £ p = o¹¸¥p�´¶´¶´ p Ó ¥ 4 =ºÔ o · Ø�LÝ�æEϱÜ�í@Û#æZäBÛQæ�±Ûkå Ý�ä ÏPÝ r o ؤÙ$ÏPïBÝ�â±Ú�ÏPÝ�Ø�æEÏPÞ¤Þ¤Î�ÿkÛEàpâ�ïBÜBÞ¤ÛkÙpÙ�� � ��þÌÚ$â¯å̽��"þsÙmÛkÛ�ϱޤÙ�â

ÝpäBÛ�å¯Ø�Ùpæbï ÙpÙmؤâ±Ü â©Ü�á.ÛEàpØ|â¯å¯Ø�æbØ|Ý�ؤÛkÙ¦Ø|Ü¿�?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü}yBë y�í.ÛEÞ¤â�ó��eëY�aÜ Ùmï Ú5Ú�ϱà�Ωñ£ÝZÏ5�?ؤÜBßÊÚ ÏPÜ?ÎáBàpؤÚ5Ø|Ý�ؤô±Û�£ZÝpä#à�â?âPÝ_â±ã£ïBÜBØ|Ý]αñ@ÏPÜ å#Ù�ÛbÝmÝpØ|Ü ß���Þ�Ò w � ½�ºPÞPñ��-Òܽ�º7ñ¯óXÛ&î Ü åþ·x�]5�r ±f» Ò k» £ pµ´¶´¶´ » ·   ¥ » ww � º = ½ � þ<w � º = ½��$¸F£º = � î|î�î ww � º ¥ ½ � þ<w � º ¥ ½��$¸3£º ¥ � Ú . » £ p = » ¸�p Ó ¥ 4 =ºÔ » · Ø�aÜ�á ÏPà�Ý�Ø�æbï Þ¤Ï±àkñ?ãÌâ©àK£�ÒÔw±ñBÜ â$Ù�ïBÚ$Ú�Ï�ÝpØ|â©Ü�Ø�Ù_ÜBÛkÛkå¯ÛQå�ϱܠå

ww � ��½ � w � ��½� �ß©Ø|ô©ÛkÙXÝ�ä ÛgÜ�ï Ú¦í.ÛEà�â±ã<ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@Ù�â±ã�Þ¤ÛEÜ ßPÝ�ä&� ÏPÜ@å"Ý]Î?á.ÛhÓ / w Ö ½ / w5Ú�ñBó_äBØ�æZä#ؤÙ�ϱޤÙ�â5Ý�äBÛÜ?ïBÚ�í@Ûkà;âPã1½kèaÏPàpÎ�Ý�àpÛEÛQÙ1ä ÏJô?ؤÜBß��$Ø|Ü�ÝpÛEàpÜ ÏPÞ©ÜBâ¯å¯ÛkÙ�þÉz�÷BϱÚ5á Þ|Û yR�eë3�Lã+£�Ò xXÝpäBÛ�ãÌâ±àpÚ¦ï Þ¤Ïwþ·x�]k�Î?ؤÛEÞ�åBÙ_Ï$ÙmؤÜBß±Þ¤Ûgæbâ©Ü�ô©â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü;ë�� â±à ÑvÒÔÓ / x Ö yIÚ�ñ±ÝpäBÛgà�ÛQÙmï Þ�Ý_Ø�Ùr Z o Ò * ok»  �. þ / wB� »w � csº � þ<w � csº'�$¸5xº � ww � c þ�x5� / º�� � þ<w � cBþ�x5� / º��9�$¸5xx5� / º � ÖÝpâ5í.Ûwæbâ©Ú$á ÏPàpÛkå"Ý�â

þ·x5i�� r Z o Ò ok ¿  �. wc5� � ~ � w � c�� � w� / ~3� � c�� � x3~~ � Öó_äBØ�æZäYl)ï æZäBâ©Ü�â±í¯ÝZÏPؤÜBÛkå�ãÌà�â©Ú �ïBØ|Ý�Û$Ùmá.ÛkæEØ�î.æ¦Ù�ÛEàpØ|ÛQÙ�Ú�ÏPÜBؤáBïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü Ùkë��aÜ�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ1Ø|ã¥Ý�äBÛ�]ïBÚ$á�Ø|Ü�Ý�äBÛ$ÜBÛkß©Ï�ÝpØ|ô©Û¦å¯Ø¤à�ÛQæeÝpØ|â©Ü�Ø�Ù / £�ñ.ãÌâ©à�Ú�ïBÞ¤Ï�þ�xR]5�uؤ٢Ï�þ-£ / w��LènãÌâ±Þ�å�æbâ©Ü�ô©â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü�âPãíBؤÜBâ©Ú5Ø�ÏPÞ1æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙkël)ï æZäBâ±Ü[u Ù¢æbÞ¤ïBí Ù¢æEϱÜ�ÏPÞ�Ùmâ"í@Û5Ø|Ü�ÝpÛEàpáBà�ÛEÝ�ÛQå�ϱÙ��¯û.ø±ÕEù�øPÓrÑ,��ú�û.ÑPÐ.ÖBÑPÒ3×?ýeëgç�â©Ü ÙmØ�å¯Ûkà)á ÏPÝ�ä Ù

ؤÜ$Ý�äBÛ¢é�; . ê5é�; . Þ�Ï�Ý�Ý�Ø�æbÛ)ó_äBâ©Ù�ÛuÏPÞ¤Þ¤â�ó�ÛQå5ÙmÝ�Ûká ÙXÏPàpÛ_âPã�Ý]Î?á@Û)ÛEØ|Ý�äBÛkàU§_Ñ�ýeÒuþÌäBâ©à�ؤÿEâ©Ü�ÝpÏPÞ#��â±à¼�ú�ùeÒÌצþrô±ÛkàmÝpؤækÏPÞ#�eñ�ó_Ø|Ý�ä�Ï)ÙmÝ�àZÏPؤ߱ä�Ý<Þ|ؤÜBÛ�í Ï±à�àpØ|Ûkൽ�ë��LÝ�ؤÙ�Ï©Ù�Ù�ïBÚ$ÛkåwÝ�ä ÏPÝ3½ á Ï±ÙpÙmÛQÙ£Ý�äBàpâ±ïBß©äÝpäBÛ¦â©à�ؤ߱ؤÜ�ÏPÜ å#ä Ï©ÙuÏ"àpÏPÝ�ؤâ±Ü Ï±Þ;ÙmÞ¤â±á.Û±ñ ° ¾ ø w©ëuì�äBÛwÜ?ïBÚ�í@Ûkà)â±ã<ó�ÏJίÙ'��Ù c o â±ã<àpÛkÏ©æZäBؤÜBßá.â±Ø¤Ü�Ý5þ@¿ Ö �[��í?Îbauâ±à�Ý�ä�ϱܠå&z�Ï©Ù]Ý)ÙmÝ�Ûká ÙuÝ�äBÛkÜ�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î@ÛkÙuÏ"à�ÛQæbïBàpàpÛEÜ æEÛgâPã�Ý�ä Û�ÙpÏPÚ$ÛgÝ]Î?á@ÛÏ©Ùú=�ϱÙpæEϱÞ�u Ù�Ý�àpØ�ÏPÜBß©Þ|Û�í ï¯Ý�ó_Ø|Ý�äjí.â±ï Ü åBÏPàpÎ$æbâ±Ü@å¯Ø�ÝpØ|â©Ü Ùkë�� â±à�ؤܠÙmÝpϱܠæbÛ©ñ±ÝpäBÛ)ækϱÙ�Û�âPã;Ù�Þ|â©á@Û�wß©Ø|ô©ÛkÙXà�Ø�Ù�Û)Ýpâ5Ý�äBÛgâ©à�ؤ߱ؤܠÏPÞ.ãÌâ©à�Ú�ïBÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü¨Z c5\�^;â±ã;Ý�ä Û��pÑPÐ3Ð|ú�Ò£Ö7ù�úk�EÐ|Õ,� þ�z�÷BÏPÚ$áBÞ¤Û/xk�eë�Lã&â±ÜBÛ�Ú$ÛkϱÙ�ïBàpÛkÙ$Ï�Ý�ÛQϱæZä ÙmÝ�Ûká âPã¢Ï�á ÏPÝ�ä Ý�äBÛ�ô©ÛEà�Ý�Ø�æEÏPÞ_å¯Ø�ÙmÝpÏPÜ@æbÛ�Ý�â#½�ñ�ÝpäBÛEÜ1ñ�Ý�ä Ø¤Ùå¯Ø�ÙmÝpÏPÜ@æbÛ"ækÏPÜ â±Ü Þ|Î�ÛEô±â©Þ|ô©Û�í?Î � ° ¾ ãÌâ±à5Ï�äBâ±àpؤÿEâ±Ü�ÝZÏPÞ�ÙmÝ�Ûká�ÏPÜ å / w�ãÌâ©à¦Ï�ô©ÛEà�Ý�Ø�æEÏPÞ�Ù]ÝpÛEá1ëì�ä?ï ÙkñBïBá#Ýpâ�à�ÛQÙ�ækÏPÞ¤Ø|ÜBß@ñ Ù�ï æZä�ÏPÜ#ïBÜ å¯ÛkàpåBؤϱ߱â±Ü@ÏPÞ�á ÏPÝ�ä�Ø�Ù_ÛP�ïBؤô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý_Ý�â"Ïhl)ï æZäBâ©Ü#á Ï�Ýpäâ±ã�Ý]Î?á@Û�Ó /'À Ö�� ®�Ú©ë ì�äBÛ�Ü?ïBÚ¦í.ÛEàZÙÁ��Ù c o ϱà�Û"Ý�äBÛkÜ�ϱÚ5ÛkÜ ÏPí Þ|Û"Ý�â�Ý�äBÛ�ÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Ø�Ù¦â±ã�Ý�äBÛá Ï±á@Ûkà�Ù�Ø|Ü@æbÛ�ÝpäBÛEؤà�å¯ÛbÝpÛEàpÚ5ؤܠÏPÝ�ؤâ±Ü�Ø�Ù�ÛB©ï Ø|ô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�Ý�â�æEâ±ïBÜ�ÝpØ|ÜBߦÚ5ÛQÏPÜ åBÛEàZÙ�ÏPÜ@å�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ùkë� â±à_ؤܠÙ]ÝZÏPÜ æEÛ±ñ¯äBÛkà�Û&Ø�Ù�Ï�ÝpϱíBÞ|Û&â±ã�ô�ÏPÞ¤ïBÛQÙXãÌâ±à�Ù�Þ|â©á@Û *£ ð

Page 17: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ = (��FxF �e�fÂxÂ�º��4 ��FxF F4�F2�� 4�4 �º��4 2�ÂJ� �x³�6³ 2�� Â5� F6 �¥6xà �fÂ�³2 à ³ �f 2�6 2�F �xà ÂxÂ

� 2 �  à 4 F � ³� � � � � � � � � � �

ì�äBÛ$Ù�ÛP�ïBÛEÜ@æbÛ5âPã�Ü?ïBÚ�í@Ûkàp٢ؤÜ�ÝpäBØ�ÙgÏPàpàpÏJÎ�Ý�ä ÏPÝwæbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å#Ý�â�Ý�ä Û5Ü?ïBÚ�í@ÛkàgâPã�ó�ÏJί٢âPãÝpâ±ï æZäBؤÜBß5Ý�ä Ûgí@â©ïBÜ åBϱà�Î�Þ¤Ø|Ü ÛgؤÙwþ &3(�*�+5- 6 -01 ¨[ÊI�

w Ö x Ö xky Ö yR]�] Ö ]5xkxkd Ö wBc�w,\�d'w Ö y�ykj'wBc5d�i Ö ]k]�j�y�ck�kdky Ö wPik\�jkjRx5�Rc5i�w Ö î�î|îó_äBØ�æZä$áBàpÛkæbØ�Ù�ÛEޤΦæbâ©Ø|Ü æEؤåBÛkÙ�ó_Ø|Ý�ä$ÝpäBÛuÙ�ÛP�ïBÛEÜ@æbÛ_âPãGl)ï æZäBâ±Ü$Ü?ïBÚ�í@ÛkàpÙkñ�Ó r Z o Ú o ; . ñ±Ø¤Ü�þ�xki��eën_ÛkÞ¤ÏPÝ�Ûkå�ÛEÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�ÝpØ|ô©Û¦àpÛkÙ�ïBÞ|ÝpÙ¢ä ÏJô±Û�í@ÛkÛEÜ�â±í¯ÝZÏPؤÜBÛkå�í�Î-l)ïBàZÏPÜ åvZ xky�^�ؤÜ�Ý�ä Û$æEâ±Ü�Ý�ÛE÷?Ýâ±ã@ÝpäBÛjõ¥�?Þ�ÏPÚ�ö¢à�ÛQæbïBàpàpÛEÜ æEÛ�Ýpä Ï�Ý�ϱà�Ø�Ù�ÛkÙ<ؤÜjæbâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷¯Ø|Ý]ÎwÝpäBÛEâ©à�Ωë�`�â©ä ÏPÜ�Ý]Î�Z c�]?ñ©á1ëRxkx�^@ÛEô±ÛkÜ�ïBâ±Ý�ÛkÙ¢àpÛkÙ�ïBÞ|ÝpÙ¢âPã�ì�Ï5�U?Ï©æEÙ)à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ؤô±ÛwÝpâ#ïBÜ å¯Ûkàpå¯Ø�ÏPß©â±Ü Ï±Þ£á@Ï�Ý�ä@Ù)ï Ü å¯ÛEàgÏ�Þ|ؤÜBÛ$âPã�ÏPàpíBØ|Ý�àZÏPàpÎÙ�Þ|â©á@Û©ë �� ÙuÝ�ä Û�Þ�ϱÙmÝuÛb÷BϱÚ5á Þ|Û5ÙmäBâ�ó�ÙkñBÝpäBÛ$å¯ÛkæEâ±Ú$á@â�Ù�ϱíBؤÞ|Ø|Ý]Î�Ï5�.â©àpåBÛkå#í?Î�Ý�äBÛt�±ÛEàpÜBÛkÞ;Ú$ÛbÝpäBâ¯åáBàpâ�ô?ؤåBÛkÙ�Ïuß©àpÏ©Ùmáwâ©Ü¦ÝpäBÛ_Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï àpϱÞ?æEâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷¯Ø|Ý]ÎgâPã.Ù�ïBÚ$Ú�Ï�Ýpâ±àpÎ&ãÌâ±àpÚ¦ïBÞÄ� Ûb÷¯áBàpÛkÙpÙ�Ø|ÜBßuÝ�äBÛÜ?ïBÚ�í@Ûkà£â±ãBóXϱÞ��¯ÙkñQÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@ÙEñJÛbÝZæPë��Bâ±Þ¤Þ¤â�ó_Ø|ÜBßgç�â±Ú¦Ý�ÛbÝ Zgw�c?ñ�á1ë5xIwBj�^LñkóXÛXâ±í Ù�ÛEàpô±Û<Ýpä Ï�Ý�Ý�äBÛõ�àpϱÜ��¯ö�þråBÛbî ÜBÛQå ϱ٢Ý�ä Û�Ú5ؤÜBؤÚ�ÏPÞ¥Ü?ïBÚ�í@ÛkàwâPã�ÙmïBÚ$Ú�Ï�ÝpØ|â©Ü Ù�¢âPã�ÝpäBÛ�Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü�ãÌâ©à�Ú�ïBÞ�ÏؤÜ"ÝpäBÛ&ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ�æEÏ©ÙmÛ¢Ø�ÙXÏPÝ_Ú5â�Ù]ÝK£Pþ ÀK/ wB� / w&Ø�ã�,�þ m �Xæbâ±Ú$áBàpØ�ÙmÛQÙ À Ý�Ûkà�Ú�Ùkë�� â±à_ؤܠÙmÝpÏPÜ@æbÛ±ñçXÏPÝpÏPÞ�ÏPÜ�Ü�ï Ú¦í.ÛEàZÙ5þ�þb£ Ö À ��Ò þ<w Ö xk�9�uϱà�Û5âPã�àpϱÜ��&�Bñ�`�â±Ý�ÿ,�?ؤÜ�Ü?ïBÚ�í@ÛkàpÙ$þmþ-£ Ö À ��Ò þ<w Ö y��9�ϱܠåjÝpäBÛ/l)ï æZäBâ±Ü#Ü?ïBÚ�í@ÛkàpÙ r o âPã�þ�xki��&þÌä@ÏJô�ؤÜBß#þb£ Ö À � Ò þ�x Ö xk�9��ϱà�Û&â±ã£àZÏPÜ��-w©ñ¯ÛbÝZæPë©�«/Ũ­ «K² u-v+u Æ�y «�® ¯¥°�­ÈÇ�­�²sÆ�­¤ÉÊÅ|­R¯<°�«&w@³ V+ä Ï�Ý#óXÛ�ܠϱÚ$Ûkå+äBÛkà�Û�Ý�ä Û õ9�±ÛEàpÜBÛkÞÚ$ÛbÝpäBâ¯åBö�ä Ï±Ù)í@ÛkÛEÜ�á ÏPà�Ý¢â±ã¥Ý�ä Û¦ãÌâ©Þ��?Þ¤â±àpÛ¦âPã�æEâ±Ú�íBØ|Ü@Ï�Ý�â©à�Ø�ÏPÞ¤Ø�Ù]ÝZÙ_ãÌâ±àgÙ�â±Ú$ÛwÝpØ|Ú$Û©ë/z�ÏPàpÞ¤Ø|ÛkààpÛbãÌÛkà�ÛkÜ æbÛQÙ�ï@Ùmï Ï±Þ|Þ¤Î"å¯ÛQÏPÞ�ó_Ø|Ý�ä#ÝpäBÛwæEÏ©ÙmÛ¢âPã�Ï�ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü ÏPÞ;ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�â±ã;ÝpäBÛ&ãÌâ±àpÚ¦ þ-j Ö$m � s þbj Öºm ��ҩئþ-j Ö$m � � Ù"þ-j Ö$m ��Ë�þbj!�þró_Ø�Ýpä s Ö Ë Ý�äBÛ¦ïBÜ��?ÜBâ�ó_Ü#ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù�eñ@ó_äBÛEÜ#ÝpäBÛEàpÛgØ�Ù�â±Ü Þ|Î�â±ÜBÛwÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ1íBàZÏPÜ æZä1ñ mG= ñ@Ù�ï æZäÝpä Ï�ÝW¦ þbj Öºm�= þbj!�¥� Ò �Bë¶�aÜ#Ý�ä ÏPÝ)æEÏ©ÙmÛ©ñ ÏjÙ�Ø|Ü ß±Þ¤ÛwÙmïBí@Ù]ÝpØ�Ýpï¯Ý�ؤâ±Ü�åBâ�ÛQÙ�Ý�ä Û��]â±í1ñ7ÏPÜ@åÌË�þbj!�%Ò/ Ø�þbj Öºm�= �$¸3Ù"þbj Öºm�= �bë �)Ü Û�æbÞ¤Ûkϱà"Ùmâ©ïBàZæbÛ�âPã&ÝpäBؤÙ"ؤÙjÝ�äBÛ�Ûb÷¯ÛEàZæbØ�ÙmÛ�Ù�ÛkæbÝ�ؤâ±Ü âPã&ÝpäBÛ�î àZÙmÝÛQå¯Ø�ÝpØ|â©Ü þÌؤÜÔwPdkj�i���âPã)X&Ü?ï¯Ý�ä[u Ù�í.â?âk� Z \Rj�^Lð�Ý�äBÛ�å¯ÛbÝZÏPؤÞ|ÛQå�Ù�â±Þ¤ï¯ÝpØ|â©Ü Ýpâ}z�÷¯ÛEàZæbØ�Ù�Û&xBë xBë�w��\�þsÙmÛkÛYZ \Rj¯ñ<á1ë�c5ykj��IckyR]B^¥Ï±Ü å ÏPÞ�Ùmâ-z¥÷�ë�x¯ë�x¯ë�w±ë�wkw��)áBà�ÛQÙmÛkÜ�ÝpÙwÏ+õ�ÜBÛEó Ú$ÛbÝpäBâ¯å ãÌâ±à5Ùmâ©Þ|ô?ؤÜBßÝpäBÛ"í Ï±Þ|Þ¤âPÝ�áBà�â©íBÞ¤ÛEÚ�öBñ£ãÌâ±à�ó_äBؤæZä�Ý�äBÛ"æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ$ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü Ø�Ù��ï Ï©å¯àpÏPÝ�Ø�æPëY�?ÛkÛ�ϱޤÙ�â�¢å¯Þ¤Î?ÿ,�©â'u Ù)Ù�áBÞ¤ÛEÜ å¯Ø�å�ÙmïBàpô±ÛkÎ|Z j'wPñ3�?ÛQæPë�wBcBë \k^£ãÌâ©àgÏ�åBؤÙpæbï ÙpÙ�Ø|â©Ü�âPãXÏ�á.ÛEí íBÞ|ؤÜBß#ߩϱÚ$Û5ϱܠå=�à�â¯å¯Ø¤ÜBß±ÛkàPu ÙjàpÛkæEÛEÜ�Ý�Ü âPÝ�Û¿Z j5\�^gãÌâ©à�챆 â±àpؤ߱ؤܠÏPÞ&ÏPáBá Þ|Ø�æEÏPÝ�ؤâ±Ü+Ýpâ�Ï �ï Ï±å¯àZÏ�Ýpؤæ�áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚϱà�Ø�ÙmؤÜBß�ãÌâ±Ú ©ï ÛEïBÛkØ|ÜBß5ÝpäBÛEâ©à�Ωëì�äBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞ Ú5ÛEÝ�äBâ¯å$ؤÜ�Ø�ÝZÙ¥Ú$â±àpÛ_ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ¯ô©ÛEàZÙmؤâ±Ü5ó�ϱÙ�ï Ù�Ûkå$àpÛkæEÛEÜ�Ý�ޤΦؤÜjÏ¢ãÌÛEó ïBÜ áBïBí¯è

ޤؤÙ�äBÛQåwóXâ±à��?Ù£í?΢Ý�äBÛ_ÏPïBÝ�äBâ©àpÙkñ�Ø|Ü@æbÞ¤ï å¯Ø¤ÜBߢϢÙ�Î?ÙmÝ�ÛkÚ�Ï�Ý�ؤÿkÏPÝ�ؤâ±ÜgÝpâ¢åBØ|àpÛkæbÝ�Ûkå¦Þ¤ÏPÝmÝpؤæEÛXá@Ï�Ý�ä@Ù£í?ÎÍ�ÏPÜ@å¯ÛEàpØ|Ûkà<Ø|Ü$äBØ�Ù<Ú$ÛEÚ$â±Ø¤à�Z x�^në��aÜ å¯Ûká@ÛkÜ å¯ÛkÜ©ÝXæbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ�å¯Ûkô±ÛkÞ|â©áBÚ$ÛEÜ�ÝpÙ�ÏPÝ�Ý�äBÛ_ÛkÜ å5âPãÝpäBÛ_ޤϩÙ]Ý�æEÛEÜ�Ý�ï à�Î5ÏPàpÛ�åBïBÛ_Ý�âwÍXâ©ï Ù9�ïBÛEÝmè~`l?ÛkÞ|â©ï�ÏPÜ@å�=<ÛEÝ9�©âÎÍÙ�Û,�&ó_äBâ�ÙmÛ_àpÛkæEÛEÜ�Ý�á ÏPá.ÛEà¥âk�.ÛkàpÙÏ�á.ÛEÜ ÛbÝ�àZÏ�ÝpØ|Ü ß�á.ÛEàZÙmá.ÛkæbÝ�ؤô±Û"â©Ü Ý�ä Û�Ù�ïBíI�]ÛQæeÝ�â±ã�Ú¦ïBÞ|Ý�Ø�å¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�Ø|â©Ü ÏPÞXó�ÏPÞ��?Ùkñ<à�ÛQæbïBàpàpÛEÜ æEÛkÙkñϱܠå��±ÛEàpÜBÛkÞ¤Ù�Z�wPy�^Lë��aÜ5ãrϱæeÝQñ�Ï©Ù<Ø|Ü@å¯Ø¤ækÏ�ÝpÛkå$Ûkϱà�ޤؤÛEàQñ±Ï&à�ÛkÚ�ÏPà��wâPã�ÍXâ±ï Ù��ïBÛbÝ�èò`l?ÛEÞ¤â±ï¦ä@ϱÙ�í.ÛEÛkÜï Ù�Ûkå"Ý�âjÙ�ؤÚ5á Þ|Ø|ãÌÎ"â©ïBà_áBàpâ�â±ã£â±ã�ì�äBÛkâ±àpÛEÚ x�þrÙ�ÛEÛwϱޤÙ�âeZ \k^�ãÌâ±à�ÏPÜ âPÝ�ä ÛEà�ÏPá áBÞ|Ø�æEÏPÝ�ؤâ±ÜK�bëì�ä ÏPÝXáBàpâ±í@ÏPíBؤÞ|Ø�ÙmÝpÙ�ä Ï±å���Ü â�ó_Ü"ÏwÞ¤âPÝ_ÙmؤܠæEÛuÝpäBÛ)ÛQÏPàpÞ|ÎewBd�c5�'u Ù�à�Ûkߩϱàpå¯Ø¤ÜBßwàpÛEÞ�Ï�ÝpÛkåM�ïBÛQÙ]è

ÝpØ|â©Ü Ù�ؤÙ�Ú�ÏPÜBØ|ãÌÛkÙmÝ�ïBá.â±Ü¦àpÛkÏ©å¯Ø¤ÜBß&ç�ä Ï±á¯Ý�ÛkàµÏ��¥�£âPã@�BÛEÞ¤Þ¤ÛEàZÙ,uJí.â�â��MZ xki�^Lë3�LÝ�ÏPáBá.ÛkϱàpÙ£Ýpä Ï�Ý<â±ïBàáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü�á ÏPàZÏPÞ¤Þ|ÛkÞ¤Ù)ؤÜ�Ù�â±Ú$Û5óXÏJίÙ)ó_ä Ï�Ý&ؤ٢â©í¯ÝpϱØ|ÜBÛQå�í?Î#ÝpäBÛ5ãrÏPÚ$â±ï Ù�V+ؤÛEÜBÛkàmè~.�â©á¯ã

Page 18: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

=ºÐ >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUϱáBáBàpâ©Ï±æZä;ð�à�ÛEãÌÛEà¢Ø|Ü�á Ï±àmÝpؤæEïBޤϱàuÝpâ�Ý�äBÛ$Ûb÷BϱÚ5á Þ|Û5â±Ü�í@â©ïBÜ å¯ÛQå�ϱà�Ø|Ý�äBÚ$ÛEÝ�Ø�æ5åBؤÙmÝ�àpØ|í ï¯Ý�ؤâ±Ü ÙؤÜ�Z x5iBñ¯á1ë�\��!]P�!\��ki5^në��?ï æZä�Ý�ÛQæZäBÜBØL©ï ÛkÙXáBàpâ�ô±Û¢Ø|Ü�Ý�ïBàpÜ#ô�ÏPÞ¤ï ÏPíBÞ¤Û¢Ø|Ü�Ý�ä Û)ÝpäBÛEâ©à�Î"âPã��ïBÛkïBÛbèؤÜBß$ÙmίÙmÝ�ÛEÚ�Ùkð�Ù�ÛEÛ©ñ?Û±ë ß ë¤ñ�n_â±í.ÛEà�ÝPu ÙXí@â?âk�&Z jkj�^�ãÌâ©à_ÏPÜ"Ï©æEæbâ©ïBÜ�Ýkë�ì�äBÛ&ÙmÎ?Ü�Ý�ä ÛkÙ�ؤÙXí?ÎM� ÏJΩâ±Þ¤Þ|Û©ñ�]Ï©ÙmÜBâ©ß±â©à�â¯åBÙ9�?Øsñ7ÏPÜ å�`�ϱÞ|ίÙ�äBÛEô}Z x5j5^¥Ûb÷¯á@â�ÙmÛQÙ)Ý�äBÛjå¯ÛkÛEá�àpϱÚ$Ø�î@ækÏ�ÝpØ|â©Ü Ù¢âPã�ÝpäBÛ$Ý�ä ÛEâ±àpÎ�ؤÜÝpäBÛ�ä Ï±àpå¯Ûkà¥æEÏ©ÙmÛ_â±ã7ó�ÏPÞ��¯Ù<Ø|ÜjÏ�©ï@ÏPà�Ý�ÛEà�á Þ¤Ï±ÜBÛwû.úPÒ�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãÌÎ?ؤÜBßwå¯Ø¤à�ÛQæeÝ�ÛQå¯ÜBÛQÙ�Ù�àpÛkÙmÝ�àpØ�æeÝ�Ø�æeÝpØ|â©ÜþÌÝ�ä?ï Ùkñ.Ï õ�áBïBàpÛköMx�èLå¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�ؤâ±Ü Ï±Þ1áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚM�eñ.íBï¯Ý)Ý�äBÛkØ|à)Ú$ÛbÝ�ä â?å Ù�â±Ü Þ|Î#ÏPáBá Þ|Î�Ý�â"ÜBÛkϱà�ÛQÙ]Ý�èÜBÛkØ|ß©ä?í@â©ïBà�Ú5â�ô©ÛkÙkë�ì�äBÛ&í@â?âk��Z xkj�^;Ø|ÝpÙ�ÛEÞ|ã<å¯àZÏJó�Ù�Ùmâ©Ú$Û¢â±ã£Ø|ÝpÙ_ؤܠÙ�áBؤàpÏPÝ�ؤâ±Ü�ãÌà�â©Ú Ý�äBÛgÛQÏPàpÞ|Îá Ï±á@Ûkà�Z xkc�^<ó_ä ÛEàpÛ�Ï"Ù�â±á äBؤÙmÝ�Ø�æEÏPÝ�ÛQå�ï Ù�Û¦â±ã¥Ý�äBÛ��±Ûkà�Ü ÛEÞ�Ú5ÛEÝ�äBâ¯å�ÏPÞ¤à�ÛQϱå¯Î�áBÞ�ÏJÎ?Ù¢Ï"æEÛEÜ�Ý�àZÏPÞà��â±Þ¤ÛwþrϱÚ5â©ÜBß©ÙmÝ¥âPÝpäBÛEà¥Ý�ÛkæZä ÜBØ��ïBÛQÙ¥Þ¤Ø��©Û�æbâ©Ü��]ïBß©Ï©æbÎ5ÏPÜ åhn_ؤÛEÚ�ϱÜBÜ!�!.uØ|Þ¤í.ÛEà�Ý�áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�Ù��m?ÙmÛkÛϱޤÙ�â�ÝpäBÛ�à�ÛEãÌÛEàpÛEÜ æEÛkÙ;Ý�â��£Þ�Ï�Ý�Ý�âgÏPÜ@å�`�ϱÞ|ίÙ�äBÛEô@u Ù;óXâ±à��¯Ù;ؤÜbZ j�w±ñ�á1ëIwBxk�ki�^¯ÏPÜ@ågÝ�ä ÛXä Ø¤ÙmÝ�â©à�Ø�æEϱÞæEâ±Ú$Ú$ÛEÜ�ÝpÙ�ؤÜ|Z xkj¯ñ¯á1ë�¦��¥�LèDÏ��ò^LëxBë y ë � ÈGé"ÐÑ�3Ç|ß�ÇPÆÉÈ�Å�ß1à ß1âVÐ%ä�kÇ|â�Ì�V�Û"å¯Ø�Ùpæbï ÙpÙgÜBâ�ó Ï#ó�ÏJÎ�Ý�â�åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛ"å¯Ø¤àpÛkæeÝpÞ|Î�Ý�äBÛÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü@Ù¥Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î@Ûkå$í?ΦÝpäBÛ)ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æXãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù�ÛEÜ@æbâ±ï Ü©ÝpÛEàpÛkå$Ù�âgãrÏPàQë�ÍXÛQæEÏPï@ÙmÛ�â±ã£ç�â±àpâ±Þ|èÞ�ÏPàpÎ�x¯ñ£ó�Ûh�?ÜBâ�ó Ý�ä ÏPÝwíBàpؤå¯ß©ÛkÙwϱܠå�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ù&ÏPàpÛ5Ý�ؤ߱ä�Ý�Þ¤Î�æEâ±ïBáBÞ¤Ûkå1ñ�ϱܠå�Ý�äBÛjækϱÙ�Û�âPãÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü ÙXó_ؤÞ|Þ;í@Ûwå¯ÛEÝpϱØ|Þ¤Ûkå�äBÛEàpÛ±ë�LÝ�ؤÙ#Ï©Ù�Ù�ïBÚ$Ûkå Ýpä Ï�Ý#ÝpäBÛ�æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ�á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�,�þ m �jØ�Ù�îB÷¯Ûkå�ë ì�äBÛEÜ1ñ¢ó_ä ÏPÝØ�Ù�ÜBÛEÛQå¯Ûkå Ø|Ü ô?Ø|Ûkó âPã5ì�äBÛEâ©à�ÛkÚ x�Ø�Ù�Ý�äBÛ ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î ÛQå í?Î Ý�ä Û�á à�â¯å¯ï æbÝ{Ò Òm�= î�î|î m ¥ âPã�£¢å¯Ø�Ù]ÝpØ|Ü@æeÝ�àpâ�â±ÝpÙXâPã<Ϧá.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ7âPã<å¯ÛEß©à�ÛkÛ¼£ � ¤@ë � Ù�àpâ?âPÝZÙXϱà�ۢؤÜ�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞõ�ïBÜ å¯Ø�Ù]ÝpØ|Ü ß±ïBØ�Ùmä@ÏPíBÞ¤Ûkö ñ�óXÛ&Ûb÷¯á.ÛkæeÝuÏ5á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�âPã�å¯Ûkß±àpÛEÛ q ¥ p Ñ¥ r ÝpâjæEϱܠæbÛkÞBÒjëì�Ï5�±Û�Ï�á.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ�Ó�þ m �5âPãgå¯Ûkß±àpÛEÛ̽�Ø¤Ü Ë þ-jR�,Z m ^�ÜBâ©à�Ú�ÏPޤؤÿEÛkå í?ÎÔÓ�þ�����Ò w�ϱܠåÏ©Ù�Ù�ïBÚ$Û)Ø|Ýuä Ï©Ù_å¯Ø�Ù]ÝpØ|Ü æbÝ�à�â?â±ÝpÙ m = Ö,ØPØ,Ø,Ö$m ± ë�� â±à_ï Ùkñ1½�Ò©£ � ¤@ñ Ï±Ü åÓ�þ m ��Ò / wj�® 4 ¥ þ m ¥ / j m ¥ ,�þ m �¥� ÖΩÛbÝ¥ÏPÜBâ±Ý�äBÛkà<à�ÛEãÌâ±àpÚ¦ïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü¦âPã.Ý�ä Û¶�©ÛEàpÜBÛEÞnë�V�ÛXî àZÙ]Ý�åBÛEô±ÛkÞ|â©áwÝpäBÛ�æbâ©Ú5á ï¯ÝpÏPÝ�ؤâ±Ü Ï±Þ¯áBà�â¯æEÛkÙpÙó_äBÛkÜ�£�Ò xBñ@Ù�â5Ý�ä ÏPÝ�Ý�äBÛ¦ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�ãÌâ±à�Ò Ò m�=�m * ó_Ø�Ýpä mG=�Öºm * Ý]ó�âjå¯Ø�ÙmÝ�ؤܠæeÝuàpâ?âPÝZÙ�âPã)ÓØ�Ù_Ùmâ©ïBß±ä�ÝQë�V�àpØ�ÝpÛiü Ö ü í ãÌâ±à_ß±ÛkÜBÛEàpØ�æuàpâ?âPÝpÙ�â±ãµÓ$ë¥ì�ä ÛEÜ1ñ Ù�ؤܠæbÛ Ó�þ�����Ò w±ñ¯â±Ü Û¢ä@ϱÙÓ�þ m ��Ò � �ÖÕ w / mü × Öó_äBؤޤۢó_ä@Ï�Ý�óXۢܠÛEÛkå�Ýpâ$åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛgØ�ÙØ$þ m ��Ò �Ù � c �OÚ�Û Õ w / mü�ü í × Øþ � Ù�ïBÚ â±à&áBàpâ¯å¯ï æbÝ¢â�ô©ÛEà/Óxü Ö ü í Ú$Ú5ÛQÏPÜ Ù&Ï�ÙmïBÚ â©à)á à�â¯å¯ï æbÝ¢â�ô©ÛEà&ÏPÞ¤Þ£ï ÜBâ±àZå¯ÛEàpÛkå�á ÏPؤàpÙâ±ã�ø�Ó�ýeÒnÓ3û.ÔEÒ�ÛEÞ¤ÛEÚ$ÛEÜ�ÝpÙkë��tauâ�ógñ?ÝpÏk�±Û&Þ|â©ß©Ï±à�Ø|Ý�äBÚ�Ùkë �)ÜBÛ&ä Ï±Ù

Þ¤â±ß � wÓ�þ m �� Ò ko ; =ÝÜ o m o� ó_Ø�Ýpä Ü o ð�Ò]k � wü o

Þ¤â±ß � wØ5þ m � � Ò ko ; =ÝÜ Ó�* Ôo m o� ó_Ø�Ýpä Ü Ó�* Ôo ð�Ò kÙ � c � Ú Û wü o ü í o Ø

ì�äBÛkÜ1ñBÏ�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Ûgæbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ.àpÛkÏ©Ùmâ©ÜBؤÜBß5Ù�äBâ�ó�Ù�Ý�ä@Ï�ÝkÙ � c �sÚÄÛ wü o ü í o Ò wx kÓ�� c �OÚ Ô wü o ü í o / wx k � wü * o ÖÙ�â5Ý�ä ÏPÝþ·x5d�� Ü Ó�* Ôo Ò wx Ü *o / wx Ü * o Ø

Page 19: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ = ïì�äBÛwåBÛEß±àpÛEÛ&â±ãµØ ؤÙ'Þ5ð�Ò q ±* r Ñ&Ö7ùeÓrú�ùeÓpñ�ÏPÜ å{Ø ækÏPÜ#í@Û¦à�ÛQæbâ�ô±Ûkà�ÛQå$ãÌàpâ±Ú ÝpäBÛ&ãÌâ±àpÚ¦ï Þ¤Ï�þEõ¥�Ï±Ú ÏPÞ¤óXÏJίÙ�Ý�ä ÛgÛb÷¯á@â©ÜBÛEÜ�ÝpؤϱÞ�âPã£Ú�Î"Þ¤â±ß�ÏPàpØ�ÝpäBÚ{ß öR�þ�yk��� Ø$þ m ��ð�ÒÔÓ m�à0á ÚÊânÛb÷¯á�ã / ák

o   = wx þ Ü *o / Ü * o � m o�#ä�å Öó_äBÛkà�Û�Ó m à�á ÚÑ��Ú5ÛQÏPÜ Ù_Ý�äBÛgÝpà�ï Ü æEÏPÝ�ؤâ±Ü#âPã<Ý�ä Û¦ÙmÛkà�ؤÛkÙ�Ûb÷¯á ÏPÜ@Ùmؤâ±Ü�âPã)��ó_Ø�Ýpä�ÏPÞ¤Þ�Ý�Ûkà�Ú�ÙuâPãå¯Ûkß±àpÛEÛ ø Þ¦Ø|Ü@æbÞ¤ï å¯Ûkå þsÙmÛkÛ¢Ý�äBÛwϱܠÏPÞ¤â±ß©â±ï Ù�ÜBâPÝZÏ�ÝpØ|â©Ü�þ¥wBck�9�eëì�äBۢ߱ÛkÜBÛEàZÏPÞ@ãÌâ±àpÚ¦ïBÞÄ��ãÌâ±àU£¼9¿x¦ÏPàpÛuÛQϱÙ�Ø|Þ¤Î5ãÌâ±ïBÜ å"ãÌàpâ±Ú Ý�äBÛ¢ï Ù�ï ÏPÞ7àpÛEÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü Ù�í.ÛbÝ]óXÛEÛkÜÛkÞ|ÛkÚ5ÛkÜ�ÝpÏPàpÎ�ÏPÜ@å�á.â�óXÛEàgÙmï Ú Ù�Î�Ú$Ú$ÛbÝpà�Ø�æ5ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ùkë��?ÛEݳHIÞ�Ò¬ü 4 oÞ ëMV+ä ÏPÝwؤÙgÙ�â±ïBß©ä�ÝØ�Ù�áBÞ�ÏPؤÜBÞ|Î�ϦãÌâ©à�Ú�ïBÞ�Ï�ÛE÷¯áBà�ÛQÙ�Ù�ؤÜBßwÝpäBÛwÙmï ÚÖæ ¥ â±ã�ÏPÞ¤Þ1áBàpâ¯å¯ï æbÝpÙUHIÞ £ î�î|îºH�Þ · ÝpÏ5�©ÛEÜ�â�ô±Ûkà�ϱÞ|Þå¯Ø�ÙmÝ�ؤܠæeÝ5ý��'�eýEÕEÒrý)Ó� = Ö,ØPØ,Ø�Ö ¥ Ú$ó_äBÛEÜ�Ý�äBÛ$á.â�ó�Ûkà¢Ù�ïBÚ�Ù$ç d ð�Ò � Þ H dÞ ÏPàpÛ��?ÜBâ�ó_Ü;ë&ì�ä ÛEÜ1ñâ©ÜBÛ&ä Ï±Ùgþrí�Î"Ûb÷¯á@â©ÜBÛEÜ�ÝpؤϱޤÙ�â±ã�Þ¤â±ß�ÏPàpØ�ÝpäBÚ�ÙXϱߩϱØ|ÜK�þ�y�wB� æ ¥ Ò Z $ ¥ ^ � Þ þ<w � $ÖH Þ ��Ò Z $ ¥ ^QÛb÷¯á óô kd ; = þ / w�� d 4 = ç d $ df õö Øì�ä?ï Ùkñ�æ ¥ Ø�Ù�Ï�æEâ±Ú$áBï¯ÝZÏPíBÞ¤Ûjá.â±Þ¤Î�Ü â±Ú$ؤϱÞ�ؤÜÔç =�ÖPØ,Ø,Ø,Ö ç ¥ ñ�â©í¯ÝpϱØ|Ü Ûkå�ãÌàpâ±Ú Ûb÷?Ý�àZϱæbÝ�ؤÜBß#Ý�äBÛæEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ݶZ $ ¥ ^?ؤÜwÝpäBÛXÛb÷¯á@â©ÜBÛEÜ�ÝpؤϱޱãÌâ©à�Ú â±ã;þÉy�w���Ýpä Ï�Ý<óXÛ�ó_àpØ�ÝpÛ�ϱÙ3æ ¥ þ=ç =5Ö,Ø,ØPØ�Ö ç ¥ �eë�l)Ûbî ÜBÛî Ü@ÏPÞ¤Þ|Î Ü Ó ¥ Ôo ð�Ò kÙ Þ £ c¶è¶è¶è c Þ · Û m 4 oÞ £ î|î�î m 4 oÞ · ÖÝpäBÛwÙmï Ú í@ÛkØ|Ü ß�â±Ü#ÏPÞ¤Þ;Ùmï í ÙmÛEÝpÙ�â±ã�£)ÛEÞ¤ÛEÚ$ÛEÜ�ÝZÙEë¥ì�äBÛkÜ#ó�Û&ä ÏJô©ÛÜ Ó ¥ Ôo Òvæ ¥ þ Ü o Ö Ü * o Ö î|î�î Ö Ü ¥ o � Ø� â±à_ؤܠÙ]ÝZÏPÜ æEÛ±ñ?ÝpäBÛ&ãÌâ±àpÚ¦ïBÞÄ� ϱܠÏPÞ¤â±ß©â±ï Ù�Ý�â�þ·x5dR�¥ãÌâ©àK£�Ò�y Ö \$ÏPàpÛ)ãÌâ©ïBÜ å�Ý�â$í.Ûþ�y�xk� Ü Ó�£ Ôo Ò =� Ü £o / =* Ü o Ü * o � =£ Ü £ oÜ Ó á Ôo Ò =* á Ü áo / =á Ü *o Ü * o � =£ Ü o Ü £ o � =Ð Ü ** o / =á Ü á o Øì�äBÛQÙmÛ5æbâ±Ü@ÙmØ�å¯ÛEàZÏ�ÝpØ|â©Ü Ù_ß©Ø|ô©Ûwà�Ø�Ù�ÛgÝ�â"Ï�ÙmؤÚ$áBÞ¤Û�ÏPޤ߱â©à�Ø|Ý�ä Ú ãÌâ±à¢æbâ©Ú5á ï¯Ý�ؤÜBßjÝpäBÛ¦á.â±Þ¤Î?ÜBâPèÚ$Ø�ÏPÞ1æEϱܠæbÛkÞ|Þ¤Ûkå�í?ÎjÝpäBÛgáBàpâ?åBï æeÝ_âPã�ÏPÞ¤Þ1Ù�Ú$ϱÞ|Þ�í àpϱܠæZäBÛkÙkë+ àbæ�È+å�Æ_Ç è éoé-Ì$�¥ú5��Ö@�¯ÒLÕbýjÒ3× ÕwÖBúPÐ���û.ú5��ÓrÑPеØ$þ m � VðË þ-jR�,Z m ^gúmü�ø©Õ·�±ù�ÕZÕyÞ-Ò q ± ¥ r ý�� Ôp×ÒÌ×BÑPÒ)Ø$þ9Ò���Ò ��"UC£× ÕbùpÕ$Ò Ò mG= î|î�î m ¥ Ò þ / wB� ¥ 4 = j|® ¥ r þbj!�5Ó�ý�ÒÌ×BÕ¢Ö.ù�úQø�� ÔEÒ¢úmü5ÑPÐ3Ð<ý��Ñ�Ð3Ð�Eù�Ñ�û7Ôp× Õeý�úmüwÒÌ×BÕ$ÔZ×BÑ�ùpѱÔEÒLÕEùeÓ�ýeÒsÓrÔjÔ,�¯ù�Ð�ÕP+_ì�ä ÛwØ|Ü áBï¯Ý)Ø�Ù�ÝpäBÛ¦æZä Ï±àpÏ©æeÝ�Ûkà�Ø�ÙmÝ�Ø�æ)á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ£âPãÙmÝ�Ûká ÙEñ1,�þ m �bëw±ë��?ÛbÝ�ïBá+ÝpäBÛ�Ù�Î?Ú¦í.â±Þ¤Ø¤æ#ãÌâ©à�Ú�ïBÞÄ� â±ãgÝ]Î?á@Û þ·x5dR�jÏPÜ@å þÉy�x���ÏPá áBà�â©áBàpؤÏPÝ�Û#ãÌâ±à"Ý�äBÛ

߱ؤô±ÛkÜ ô�ÏPÞ¤ïBÛ�âPãW£�ë ì;â�Ý�äBØ�Ù5Û��7ÛkæbÝkñ�á.ÛEà�ãÌâ±àpÚ Ý�ä Û#Ù�Î?Ú¦í.â±Þ¤Ø¤æ"Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü âPã�þ�y�w��ó_Ø�Ýpä,æ ¥ þêç =�ÖPØ,Ø,Ø,Ö ç ¥ ��å¯ÛEÜBâ±Ý�ؤÜBß5Ý�äBÛwæEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�Ý�âPã�$ ¥ ؤÜ"ÝpäBÛgÛb÷¯á.â±ÜBÛkÜ�Ý�Ø�ÏPÞ�ãÌâ©à�Ú#ëx¯ë_ì£Ïk�±Û¦Ý�äBÛ$ÜBâ©à�Ú�ÏPޤؤÿEÛkå-�±ÛEàpÜBÛkÞµÓ�þ m ��Ò þ / j|® ¥ � 4 = þ m ¥ / j m ¥ ,�þ m �¥�bët�?ÛbÝ$ÞMÒ q ± ¥ rÏPÜ å#å¯ÛEÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛ¢Ý�äBÛgÛE÷?á@ÏPÜ Ù�Ø|â©Ü

Þ|â©ß � wÓ�þ m �¹� Ò ¥Dáko   = Ü o m o� � ¤$þ m ¥Dá p = � Ø

yBë�n_ÛkæEâ�ô±ÛkànØ$þ m ��ãÌàpâ±Ú ÝpäBÛ&Ý�àpïBÜ ækÏ�ÝpÛkå�ÙmÛkà�ؤÛkÙØ$þ m ��ð�ÒÔÓ m à0á Ú5âsÛE÷?á�ã / áko   = æ ¥ þ Ü o Ö Ü * o Ö,Ø,ØPØ,Ö Ü ¥ o � m o�°ä�å Ø

Page 20: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

* . >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU.uϱÞ�ãXÏjå¯â±ÿkÛEÜ�ؤܠÙmÝ�àpï æeÝpØ|â©Ü Ù)Ø|Ü�Ï�ÙmÎ?Ú�í@â©Þ|Ø�ægÚ�ÏPÜBؤáBïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü�Þ�ÏPÜBß©ï ÏPß©ÛwÏPàpÛ¦Ùmï�§�æEØ|ÛkÜ�Ý)Ýpâ

ÝpàpϱܠÙmÞ�Ï�ÝpÛ�Ý�äBÛ�ϱÞ|ß©â±àpØ�ÝpäBÚ#ëË�aÜ+æbâ©Ü�Ý�àZϱÙmÝ5Ýpâvs¢à��â±íBÜBÛkà�í Ï±Ù�Ø�Ù�â±àjàpÛkÙ�ïBÞ|ÝpϱܩÝ"ækÏPÞ�æbïBÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü ÙkñÝpäBÛ¦áBàpâ¯æbÛQÙ�Ùuؤ٢Û�§jæEØ|ÛkÜ©ÝQñ7ó_äBÛEÜBÛkô±Ûkà�Ý�ä Û5å¯Ûkß±àpÛEÛwâ±ã�Ý�äBÛ5àpÛkÙ�ïBÞ�Ý¢à�ÛkÚ�ÏPؤܠÙ�àpÛkÏ©Ùmâ©Ü ÏPíBÞ¤Û±ë��Bâ±àؤܠÙmÝpÏPÜ@æbÛ±ñ�óXÛ$æbâ±ï Þ¤å�Ùmï@æEæbÛQÙ�ÙmãÌïBÞ¤Þ|Î�åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛ$á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$Ø¤Ï±Þ¤Ù Ø âPãXå¯ÛEß©à�ÛkÛt\!c�Ò q = .* r Ø¤Ü ÏÚ�Ï�Ý�Ý�Ûkà_âPã�ÙmÛQæbâ±Ü@åBÙXâ±Ü�Ï5Ú$Ï©æZäBؤÜBÛ&ó_Ø�Ýpä#Ïhck�k�k`Y.�ÿgæbÞ¤â¯æ�.ëë�Æ ª�«!­�ì ª8u¥­OÆ�¯�y|«B®�±/É v�­Îík²B±�u¥ªM®sî�Æ�ªR¯�u¥«/Æ�y�³ � Ù)Ø�Ý&ؤÙ)óXÛEÞ¤Þ3�?ÜBâ�ó_Ü}Z�w,\�^Lñ�ÏPÜ?Î�ÏPޤ߱ÛEèíBàZÏPØ�æ�ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü{�<þbj!�¥ÙpÏ�ÝpؤÙmî ÛkÙXÏwޤؤÜBÛkϱàXå¯Ø��7ÛEàpÛEÜ�Ý�Ø�ÏPÞ.ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±ÜÊï)þ=�G��ÒË�wó_Ø|Ý�ä�æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙÝpä Ï�Ý�ÏPàpÛ"àZÏ�ÝpØ|â©Ü ÏPÞ�ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù$â±ã�Ý�äBÛ#ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤Û±ë�ì�äBØ�Ù5Ø|Ü Ý�ï à�Ü Ý�àZÏPÜ Ù�Þ¤ÏPÝ�ÛQ٦ؤÜ�Ý�â Ï�Þ¤Ø|Ü ÛkÏPààpÛkæEïBà�àpÛEÜ@æbÛ"ó_Ø|Ý�ä á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�æbâ?Û,§�æEØ|ÛkÜ�ÝpÙ$ؤÜv� ãÌâ±à5Ý�ä Û-©ï@ÏPÜ�Ý�Ø|Ý�ؤÛkÙ&Z j o ^@��ë+ì�ä?ï ÙEñ�Ý�äBÛæEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�Ý�âPã�ؤܠå¯ÛE÷��#â±ã;ÏPÜ?Î�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æXãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±ÜjØ�Ù�æEâ±Ú$áBï¯ÝZÏPíBÞ¤ÛuؤÜjÏgÜ?ïBÚ¦í.ÛEà�âPã1â©á@ÛkàpÏPèÝpØ|â©Ü Ù�Ýpä Ï�Ý;Ø�Ù1ޤؤÜBÛkϱà;ؤÜ)��ë�þrì�ä Û�áBàpâ¯æbÛkåBïBà�Û�Ø�Ù1ؤÚ$áBÞ¤ÛEÚ$ÛEÜ�Ý�ÛQågؤÜ��¯ÏPÞ¤ô?΢ϱܠå%ð.ؤÚ5Ú$Ûkà�Ú�ÏPÜ Ü�u Ùñ�òOó�ô á Ï±æ��ÏPß©Û�Z jR]B^në��$ì�äBØ�Ù_à�ÛkÚ�ÏPà��jÏPáBáBޤؤÛkÙ�Ýpâ$ϱÞ|Þ1Ý�äBÛgß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBߦãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü Ù�æbâ©Ü Ù�ؤå¯Ûkà�ÛQåؤÜ#Ý�äBØ�Ù)á ÏPá.ÛEàQë��Bâ±à)Ø|Ü@Ù]ÝZÏPÜ æEÛ±ñ@Ý�äBÛwÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü#ß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß$ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü r þ-jR��æbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBßÝpâ�ÝpäBÛ�Ù�ÛbÝjâPã%�]ïBÚ$á ÙeÓ / x Ö / w Ö � ÖT� w Ö�� x!Ú�þÉz¥÷BÏPÚ$áBÞ¤Û&\R�5Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î@ÛkÙ�ÏPÜ�ؤÜBäBâ±Ú$â©ß±ÛEÜ ÛEâ±ï@Ùå¯Ø��7ÛEàpÛEÜ�Ý�Ø�ÏPÞ�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü�âPã<â±àZå¯Ûkà yþ�yky�� j £ þ�c j � \!�bþ·c3j � wB�bþ-j / wB� * þ�c j / w�� * ¤ £ r¤�j £ � î�î�î � þ / wB�k� j * � ckj j / \R��ÒË� Öϱܠå"Ø|ÝpÙuæbâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝZÙ_æEÏPÜ�í.Ûgâ±í¯ÝZÏPؤÜBÛkå�ãÌàpâ±Ú Ï5àpÛkæbï à�àpÛEÜ æEÛ)â±ã£â©àpå¯Ûkà�jBñþ�y5\R� xBþ_� � ]5�bþÉ� � iR�bþ�x5� � wPyR� r okp � � î�î|î � jRxkcBþÉ� � wB�Eþ_� � x��bþ_� � y�� r o ÒË� Ø

yBë õ.Ë3Ä[¾£É���¹;Æ�½EÅ�Æ@É;Ê@Å�É1ÆGº'½V�Û�Ü â�ó Ûb÷BÏPÚ$ؤÜBÛ"á ÏPÝ�ä Ùkñ¥íBàpØ�å¯ß±ÛQÙEñ�Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙ5ÏPÜ å Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ùwï Ü å¯ÛEà5ÝpäBÛ�ϱÜBß±Þ¤Û�âPã

Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æEÙkë � Ù£Ø�Ù�ó�ÛkÞ|ÞR�?ÜBâ�ó_Ü1ñJÝpäBÛXÏ©ÙmÎ?Ú$á¯ÝpâPÝ�Ø�æ�í@Ûkä ÏJô?Ø|â©ïBà£â±ã@æbâ©ïBÜ�Ýp٣ؤÙ<æEÞ|â�ÙmÛkÞ|Î&àpÛEÞ�Ï�Ý�ÛQåÝpâ)ÝpäBÛ�Ù�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPà�Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï à�ÛXâPã.Ý�äBÛ_æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBØ|ÜBߢ߱ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|Ü ßuãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù�Z yk\Bñkj�w�^në<ì�ä ÏPÜ'�?ÙÝpâ�Ý�äBÛ�ãrÏ©æeÝpâ±àpØ|ÿQÏ�Ý�ؤâ±Ü@Ù1Ï��7â±àZå¯Ûkå)í?ÎuÝpäBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞPÚ$ÛEÝ�äBâ¯å�ñQÝ�ä Û�ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�ãÌâ±àpÚ�Ù�âPã¯Ø¤Ü�Ý�ÛEàpô±ÛkÜBؤÜBßß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBß"ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü Ù&í@ÛQæbâ©Ú5Û�Ú�ϱܠÏPß©ÛkÏPí Þ|Û©ë5ì�äBØ�Ù&á Ï±àmÝgâPãXÝ�ä ÛjÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤ٢Ú�Ï5�©ÛkÙ¢ï Ù�Û�âPãß©Þ|â©í ÏPÞBá à�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙ¥âPã1í àpϱܠæZäBÛkÙ¥ãÌâ±Þ¤Þ|â�óXÛkå$í?Î5Þ|â¯ækÏPÞ7ÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤÙ�ؤÜ�ÝpäBÛ)ô?Ø�æbؤÜBØ|Ý]Î5â±ã1Ï��ï ÏPÜ�ÝpØ�Ý]ÎækÏPÞ¤Þ|ÛQåjÝpäBÛ�õ�ÙmÝ�àpï æeÝpïBàZÏPÞ7àpÏ©å¯Ø¤ï Ù�ö}ö.ë÷%Ã�éùéÆßËÊ�Ì��£ÕbÒ7,�þ m ���pÕ�ÒÌ×BÕwÖ ú�Ð���û7ú��5ÓrÑ�Ð�ÑJýZýEúkÔEÓrÑ�ÒaÕZø�ÒLú�Ò3× Õ"ýZÒaÕaÖ@ý�ú]ü�Ñ�ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ>C�ÑPÐ ��+ß7×BÕEû�"¥ÒÌ×BÕEù�Õ5Õ9ΩÓ�ýeÒsýwÑM�¯û ÓÉÜ,� ÕgûK�I���ZÕEùwø@"�ÔpÑPÐ3Ð|ÕZøjÒÌ×BÕ)ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpϱÞ1æbâ©Ü Ù]ÝZÏPÜ�Ý,"<ý�� ÔZ×#ÒÌ×BÑ�Ò, í þ9ø'�%ÒÁ� Ö ø>9 � Øß7×BÕ)ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpϱÞ�àpÏ©å¯Ø¤ï ÙwÓ�ý��,�"ø±Õ�Ï¥û Ó3ÒnÓrú�û�Ò3× ÕtÜ,� Ñ�û@ÒsÓ3Ò·�öjð�Ò w,�þ@ø'� ØÃXùpúkúmü�+�l)Øg�7ÛEàpÛEÜ�ÝpؤÏPÝ�ؤÜBß5Ý]ó_ؤæEÛ , ϱÙ�ß©Ø|ô©ÛEÜ"Ø¤Ü þÉyR�eñBóXÛgÙmÛkÛuÝpä Ï�ÝN, í í þ!H��79 ��ãÌâ±à�ϱÞ|Þ�H�9¿�Bëì�ä?ï ÙkñXÝ�äBÛ�à�ÛQÏPÞ_ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±ÜðHúù2 ,�þbH��jؤÙ�Ù]Ýpà�Ø�æeÝpÞ|Î�æbâ±Ü?ô©Ûb÷�ë �¯Ø|Ü æEÛ�Ø|Ý�ÙpÏ�Ý�Ø�Ùmî ÛkÙ´,�þ����&Ò,�þ � ×���Ò � × ñ7Ø�Ý¢Ú¦ï ÙmÝ)ä ÏJô©Û¦Ïjï ÜBØ��ïBÛ�á@â�ÙmØ|Ý�ؤô±Û¦Ú5ؤÜBؤڦïBÚ ÏPÝmÝZÏPؤÜBÛkå�ÏPÝ¢Ù�â±Ú$Û ø�ñ1ϱܠå, í þ@ø'� ÒË�Bë ���Ýpà�ï æbÝ�ïBàZÏPÞ@æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�ÝpÙ�Ñ_Ö.ùeÓrúPùeÓ�ޤؤô±Û�Ø|ÜjÏ¢î@ÛEÞ�å�â±ã7åBÛEß±àpÛEÛ7½¦ð�Ò©£ � ¤&â�ô±Ûkà�Ý�äBÛ�í@ϱÙ�Û�î@ÛEÞ�åâ±ã�óXÛEؤ߱ä�ÝZÙEëY.uâ�ó�Ûkô±Ûkàkñ;ãÌâ±à$ÙmÎ?Ú$Ú$ÛbÝ�àpØ�æ�óXϱÞ��¯Ù�þb,�þ m �tÒ�,�þ m 4 = �¥�bñ�Ý�ä ÛEÎ ÏPï¯Ýpâ±Ú�Ï�ÝpؤækÏPÞ¤Þ|Î

àpÛkå¯ï@æbÛ5Ý�â�Ý�ä Û�ôJϱÞ|ï Ûyø|Ò w�ÏPÜ å4ö�í.Ûkæbâ©Ú$ÛkÙgÏPïBÝ�â±Ú�ÏPÝ�Ø�æEÏPÞ¤Þ¤Î�Ï�Ú$ÛkÚ¦í.ÛEàwâ±ã�Ý�ä Û$î ÛEÞ�å�âPãæEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ�â±ã�,$ë�aÜh�?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü�xBñPóXÛ�ä ÏJô©Û�å¯ÛEî ÜBÛQåwÝpäBÛ�áBà�ؤܠæEØ|á Ï±Þ©í àpϱܠæZä m�= þ-jR�;ÜBÛkϱà�Ý�äBÛXâ±àpØ|ß©Ø|Ü�í?ÎgÚ5ÛQÏPÜ Ùâ±ã�Ø|ÝpÙ)Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü#Ï�Ý��Bë V�Û�ÙmäBâ�ó äBÛkà�ÛgÝpä Ï�ÝuÝ�äBØ�Ù�íBàZÏPÜ@æZä#ÙpÏ�ÝpؤÙmî ÛQÙ�Ï�ï Ù�ÛbãÌïBÞ�å¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©ÜáBàpâ±á.ÛEà�Ý]Î$ãÌâ±à�� ø j ø ö.ë�ç�ã]ë'��ؤ߱ïBàpÛ�\�ãÌâ©à�ÏPÜ#ؤÞ|Þ¤ï ÙmÝ�àZÏ�Ý�ؤâ±Ü;ë

Page 21: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ * =

1 1|u |, |v |

2 3|v |, |v | 1v

1u 2|u |

0.5

1

2

2.5

u

0.1 0.2 0.3z'�Ë_¾;É1ÆGºû¨�* � àpÛEÜ@å¯ÛEàpØ|Ü ß�âPã_Ý�ä Û"Ú$â¯å¯ïBÞ¤ï Ù¦â±ã�Ý�äBÛ"î ô±Ûjí àpϱܠæZäBÛkÙ¦âPãÝ�äBÛ$æZä Ï±àpÏ©æeÝ�Ûkà�Ø�ÙmÝ�Ø�ægæbïBàpô±ÛwؤÜ�ÝpäBÛ¦ÛE÷BÏPÚ$áBÞ¤Û¦âPã ��ؤ߱ïBàpÛty"Ø|Þ¤Þ¤ï Ù]ÝpàpÏPÝ�ÛQÙ_Ý�ä Ûå¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü#áBà�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙXâPã�Ý�äBÛgáBàpؤܠæbؤá ÏPÞ1Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ1ÏPÜ å�Þ�ÏPàpß±Û¢íBàZÏPÜ æZäBÛQÙEë÷%Ã�éùéÆßBA�Ì)Í£ú�ù�ÑPû ÑZÖBÕEùeÓrúQø�ÓrÔDC�ÑPÐ ��"XÒ3× Õ�Ö7ùeÓ3û.ÔEÓ ÖBÑPÐ�ý��Ñ�Ð3Ð��bùpÑ�û.ÔZ× m = þbj!�wÓ�ý�ÑPû.Ñ�Ðg��ÒsÓrÔ$ú�ûÒÌ×BÕ#úpÖ ÕEû Ó3û@ÒLÕEù�ÐJÑPÐLj V þ�� Ö ö!�P+ÊXeÒgø±ú5��Ó3û7Ñ�ÒaÕeýjýeÒnùeÓrÔbÒnÐ���Ó3û ��úkø5�¯Ð��?ý"Ñ�Ð3ÐXÒ3× Õ�úPÒ3× Õbùjý��Ñ�Ð3Ð�Eù�Ñ�û7Ôp× Õeý" m * þ-jR� Ö,Ø,ØPØ,Ö$m ¥ þbj!�"¥ÒÌ×?ù�ú5�k�Q× ú��¯ÒXÒ3× Õ¢× Ñ�Ð üTEmÔEÐ|ú�ýbÕZø�Ó3û ÒaÕEù�ÐJÑPÐ+j V þÉ� Ö ök^<+ÃXùpúkúmü�+uÍXÎ$Ý�ä Û&åBؤÙpæbï ÙpÙ�Ø|â©Ü"âPã��1ÛkÚ5Ú�Ï�w±ñ�Ý�ä Û)ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü�wF¸F,�þ-jR�¥Ø¤Ù�æbâ©Ü�Ý�ؤÜ�ï â±ï Ù�Þ|Î�ؤܠæEà�ÛQϱÙmè

ؤÜBßjãÌâ©àWj V Z � Ö ø!^Lë�.uÛEÜ æEÛwÝ�ä Û�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü�þrØ|Ü m �Nj�Ò wF¸F,�þ m �_Ï©å¯Ú$Ø�ÝZÙ)Ï"ïBÜBØL©ï Û¦á.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©ÛÙ�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü;ñ©ÙpÏJÎ m p þ-jR�bñ±Ýpä Ï�Ý�ؤÙ�Þ|ÛQÙ�Ù<Ýpä ÏPÜ[ø�ó_ä ÛEÜ´j V Z � Ö ö�^në<ì�äBØ�Ù¥á.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û�Ùmâ©Þ|ïBÝ�ؤâ±Ü m p þbj!�Ú�ï Ù]Ý_æbâ©Ø|Ü@æbØ�å¯Û)ó_Ø|Ý�ä�Ý�ä Û)íBàZÏPÜ@æZä m = ÏPÝ � p þrÙ�Ø|Ü@æbÛ)Ý�äBÛ&Ûb÷¯á Ï±Ü Ù�Ø|â©Ü Ù�ÏPÝ � p ÏPàpÛ�ÝpäBÛgÙ�ϱÚ$ÛB�eë� Þ¤Ù�â ñ±Ý�äBÛ¢ÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æ�ô±ÛkàpÙ�ؤâ±Ü$âPã7Ý�ä ÛuؤÚ5á Þ|Ø�æbØ|Ý�ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±ÜjÝ�äBÛkâ±àpÛEÚ ß±ï Ï±àpϱܩÝpÛEÛQÙ�Ý�ä ÏPÝ¥Ý�äBÛ)á@â�Ù]èØ|Ý�ؤô±Û�Ù�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü m p þbj!�<à�ÛkÚ�ÏPؤܠÙ�ÏPܠϱÞ|Î�Ýpؤæ_ϱÞ|ޠϱÞ|â©ÜBß�j V þÉ� Ö ö!�bñ©Ù�â&Ý�ä ÏPÝ�Ý�äBÛuáBà�ؤܠæEØ|á Ï±Þ Ù�Ú$ϱÞ|ÞíBàZÏPÜ@æZä m = ÏPÜ åwÝ�äBÛ�á@â�ÙmØ|Ý�ؤô±ÛXÙmâ©Þ|ï¯ÝpØ|â©Ü m p Ú¦ï ÙmÝ<æEâ±Ø¤Ü æbØ�å¯Û�Ý�äBàpâ±ïBß©äBâ±ïBÝ;Ý�ä Ø¤Ù£Ø|Ü�ÝpÛEàpôJϱÞsë�ç�â±Ü¯èÙ�ÛP�ïBÛkÜ©ÝpÞ|Ωñ mG= þrâ±àpØ|ß©Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|Îjâ©ÜBÞ¤Î"å¯Ûbî@ÜBÛkå#ÜBÛQÏPà�� p �_Ø|Ü æEà�ÛQϱÙ�ÛkÙ�ãÌàpâ±Ú ��Ýpâ[ø#Ï©ÙnöjؤܠæbàpÛkÏ©ÙmÛQÙãÌàpâ±Ú ��Ýpâ[ö@ëa�ÛE÷?Ýkñ±Ï)ß±ÛkÜBÛEàZÏPÞ©ãrϱæbÝ<ϱí@â©ï¯Ý�á.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞ�Ù;ó_Ø|Ý�ä5á.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©ÛXæEâ�Û,§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ£ÛEÜ�Ý�ÛkàpÙ£ÝpäBÛ�ß�ÏPÚ$Û±ðØ|ã�,�þ m ��Ø�Ù�ÏPá.ÛEàpؤâ?åBؤæ±ñ?Ý�äBÛkÜ�â©ÜBÛ&ä Ï±ÙXãÌâ©à_á@â�ÙmØ|Ý�ؤô±Û ûþ�y�ck� È ,�þbûx½ ¿Äü ��ÈnÉ·,�þ!û5� ãÌâ©à�ÏPÞ¤ÞBý Ç� � þÌÚ$â¯å&xFþ[� ÖÏ©Ù�Ù�ÛEÛkÜ�ãÌàpâ±Ú Ý�ä Û�ÙmÝ�àpâ±ÜBß�ãÌâ±àpÚ âPã�ÝpäBÛ�Ý�àpؤϱÜBß±Þ¤Û"ؤÜBÛP�ï Ï±Þ|Ø|Ý]αë}��Ø|÷ùj�Ò�H;ñ�ó_Ø�ÝpäòH�àpÛkÏPÞá.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û�ÏPÜ@åðHQÉþö@ñ¢ÏPÜ å Þ|ÛEÝ�{ í.Û ÏPÜ ÏPàpíBØ|Ý�àZÏPàpÎ�Ù�â±Þ¤ï¯ÝpØ|â©Ü+âPãgÝ�ä Û��©ÛEàpÜBÛEÞ)ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Üw / H�,�þb{���Ò �5Ý�ä ÏPÝuØ�ÙuÏ�Ý)Ú5â�Ù]Ý'ø�ؤÜ�Ú$â¯å¯ïBÞ¤ï Ùuϱܠå û.úPÒXÛB�ï ÏPÞ�Ýpâ m�= þ!H@�wþrØsë Û±ë¤ñ@Ü âPÝ�àpÛkÏPÞϱܠå"á.â©Ù�Ø|Ý�ؤô±ÛB�bë¥ì�äBÛEÜ;ñBâ±ÜBÛ&ä Ï©Ù�í?Î�Ý�äBÛwÙmÝ�àpØ�æeÝ�ؤÜBÛP�ï Ï±Þ|Ø|Ý]ÎjØ¤Ü þ�y�c��H�Ò w,�þ m = þbH��9� Ò w,�þb{�� 9 w,�þ$È {0È � Öó_äBØ�æZä�Ø|Ú$áBÞ¤Ø|ÛQÙ´È {�È�É m�= þbH��&Ù�Ø|Ü@æbÛbwx¸F, ؤÙ&ؤܠæbàpÛkÏ©ÙmؤÜBß�Ø|Ü�Ý�ä Û5àpÛEß©Ø|â©Ü�æEâ±Ü Ù�ؤåBÛEàpÛkå�ñ�Z � Ö ø!^nëì�ä?ï Ùkñ ÜBÛQÏPà�� p ÏPÜ@å�ÙmؤܠæbÛwÝ�äBÛ�ÜBâ±ÜBá à�ؤܠæbؤá Ï±Þ£Ù�Ú$ϱÞ|Þ�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ m * ÖPØ,Ø,Ø,Öºm ¥ ϱà�ÛwÚ�Ï5�]â±àpØ|ÿkÛkåí?Î4ø�Ø|Ü Ú5â¯å¯ï Þ|ï Ù�þ3ÝpäBÛEÎ�ÝpÛEÜ å Ýpâ��R�eñ�Ý�äBÛkÎ Ú¦ï ÙmÝ5ÙpÏ�ÝpؤÙmãÌÎÜÈ m Þ±þ!H��|ÈYÉ mG= þ!H��bë � åBå¯Ø|Ý�ؤâ±Ü¯èϱÞ|ޤαñ.Ý�ä Û5å¯â©Ú$Ø|Ü ÏPÝ�ؤâ±Ü�á à�â©á@ÛkàmÝ]Î�æEϱÜBÜBâ±Ý¢æbÛQϱÙ�ÛgÝ�â�äBâ©Þ¤å�â±Ü þ�� Ö öI�eðuí�Î�æEâ±Ü�Ý�ؤÜ?ïBØ�Ý]Î#â±ã¥Ý�äBÛÚ$â¯å¯ïBÞ¤ï Ù)âPã�ϱÜ�Î#íBàZÏPÜ@æZä1ñ ÝpäBØ�Ù)óXâ±ï Þ¤å�Ø|Ú$áBÞ¤Î#Ý�ä ÏPÝ m�= þbH��)Ø�ÝZÙmÛkÞ�ã�à�ÛQϱæZäBÛQÙ_Ý�ä Û�ô�ÏPÞ¤ïBÛyø�ãÌâ±àÙ�â±Ú$Û}HðÉÿö@ñ�Î?Ø|ÛkÞ¤å¯Ø¤ÜBß�Ï�æEÞ|ÛQÏPàwæEâ±Ü�Ý�àZϱå¯Ø�æeÝpØ|â©Ü1ë�l)â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü Ú¦ï ÙmÝwî Ü Ï±Þ|Þ¤Î�æEâ±Ü�Ý�ؤÜ?ïBÛ�Ýpâ

Page 22: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

*�* >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUäBâ©Þ¤å#ÏPÝ'ö@ñ Ù�ؤܠæbÛgâ±Ý�äBÛkà�ó_Ø�ÙmÛ©ñ?Ý�äBÛkà�ÛgóXâ±ï Þ¤å�í.Û¦Ï$æbâ±Ü�ÝpàpÏ©å¯Ø¤æbÝ�ؤâ±Ü�ó_Ø�Ýpä#Ý�äBÛwÙmÝ�àpâ±Ü ß�Ýpà�Ø�ÏPÜ ß±Þ¤ÛؤÜBÛP�ï Ï±Þ|Ø|Ý]Î�þ�y�ck�bë ���Ýpà�â©ÜBß±Ûkàjå¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü�á à�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙ�ÏPàpÛ�ؤÜ�ãrϱæbÝ�å¯ÛEàpؤôJϱíBÞ¤Û�ãÌàpâ±Ú ÙmؤÚ$Ø|Þ�ÏPà�ï@ÙmÛQÙ�âPã¢Ý�äBÛ

ÙmÝ�àpâ±ÜBߢÝpà�Ø�ÏPÜBß©Þ|ÛuØ|ÜBÛB�ï ÏPÞ¤Ø�Ý]Ωñ±ïBÜ@å¯ÛEà�Ý�äBÛ¢ÏPá.ÛEàpØ|â¯å¯Ø�æbØ|Ý]Î�æEâ±Ü å¯Ø|Ý�ؤâ±Ü�þsÙmÛkÛuÏPÞ�Ù�âMZ y5^ ãÌâ±à�å¯ÛbÝZÏPؤޤÙ�eë� â±à}È j�È ø ö@ñ�â©ÜBÛ¦ä Ï©ÙEð�È m Þ þbj!��È�É m = þ$È j�È ��ãÌâ±à� �Ò x Ö,Ø,ØPØ�Ö £5m1ÏPÞ�Ùmâ@ñIÈ m = þbj!��È�É¬È Ý = þ-jR�|È.Ù�ÏPãÌÛÏPÝYjtÒ¬ö.ë��?ؤÚ5á Þ|Î�áBïBÝkñ�Ý�äBÛ¢áBàpØ|Ü@æbؤá ÏPÞ.ÙmÚ�ÏPÞ¤Þ.íBàpϱܠæZä m = Ø�Ù¥ÝpäBÛ"õ�ޤϱà�ß©ÛkÙmÝpö&âPã;ϱÞ|Þ Ý�äBÛ&Ù�Ú$ϱÞ|ÞíBàZÏPÜ@æZäBÛkÙkë�aÜY�?ÛQæeÝ�ؤâ±Ü&\@ñ Ø|Ýuó_ؤÞ|Þ�ÏPÞ�Ùmâ�áBàpâ�ô±Û&ä Ï±Ü å¯Î�Ý�â�ä ÏJô©ÛwÏJô�ÏPؤޤϱíBÞ|Û¢ÝpäBÛ�æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü åBØ|ÜBß5áBàpâ±á¯èÛkàmÝpØ|ÛQÙ�â±ã£Þ�ÏPàpß±Ûuí àpϱܠæZäBÛkÙkë��Bâ±à�ؤܠÙmÝpÏPÜ@æbÛ±ñ�ÝpäBÛ&áBà�ؤܠæEØ|á Ï±Þ7ޤϱà�ß©ÛuíBàZÏPÜ æZä;ñ�Ý = ñ?ؤÙ�ؤÜ�Ï5ÙmؤÚ$Ø|Þ�ÏPàÙ�ÛEÜ Ù�Û�ÝpäBÛ�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ|ÛQÙ]ݦâ±ã�ÏPÞ¤Þ�Þ�ÏPàpß±Û�íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙkë-s¢ÛEÜBÛkàpϱÞ|ޤαñ�Ý�ä Û�å¯â©Ú5ؤܠÏPÝ�ؤâ±Ü áBàpâ±á.ÛEà�Ý�ؤÛkÙ¦âPãÞ�ÏPàpß±Û�í àpϱܠæZäBÛkÙXÏPàpÛ)æEâ±ïBÜ�ÝpÛEàpá ÏPà�ÝpÙ�âPã1ÝpäBâ©Ù�Ûuâ±ã£ÙmÚ�ϱÞ|Þ7íBàZÏPÜ æZä ÛkÙkñ�Ï©Ù�ækÏPÜ"í.Û&ÙmÛkÛEÜ"í?Î$Ú$Ø|Ú5èØ�æ�?Ø|ÜBß)Ý�ä Û�ϱà�ß©ïBÚ$ÛEÜ�ÝpÙkë � Þ�ÝpÛEàpÜ Ï�ÝpØ|ô©ÛEޤαñPâ©ÜBÛXækÏPÜ�Ø|Ü�Ý�àpâ¯å¯ï æEÛ�åBï ÏPÞ¤Ø�Ý]Î7ð3�LãG,�þ m �;ؤÙ�Ï��;ϱïBà�ÛkÜ�Ýá.â±Þ¤Î?ÜBâ±Ú$Ø�ÏPÞnñBÝ�ä ÛEÜ��,�þ m ��Òl,�þ m 4 = �_Ø�Ù)ækÏPÞ¤Þ|ÛQå#Ø�ÝZÙ)åBï ÏPÞnë��LÝ)Ø�Ù�ÝpäBÛEÜ�ÛkϱÙ�Î�Ý�â"Ù�ÛEÛgÝpä Ï�Ý)Ý�äBÛÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ7ϱܠå�ޤϱà�ß©Û)íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙkñ �m ÞgÏPÜ å � Ý Ý âPã£Ý�äBÛgå¯ï Ï±Þ1ÏPàpÛ&à�ÛQÙmá.ÛkæbÝ�ؤô±ÛEÞ¤Î$Ý�ä Û¢Ø¤Ü?ô±ÛkàpÙ�ÛkÙXâPã£Ý�äBÛÞ�ÏPàp߱ۦϱܠå�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ<íBàpϱܠæZäBÛQÙuâ±ã¥Ý�äBÛ$áBàpؤÚ$ϱÞsð �m Þ Ý Þ Ò w5ϱܠå � ÝxÝ m Ý�Ò w±ëtluï Ï±Þ|Ø|Ý]Î#Ý�ä?ï Ù¢ÛE÷�èæZä Ï±ÜBß±ÛQÙ¥Ù�Ú$ϱÞ|Þ.ÏPÜ åjޤϱà�ß©Û_íBàpϱܠæZäBÛQÙEë�þnç�â©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ|ޤαñ�å¯ï Ï±Þ|Ø|Ý]Î�Ú�ÏJÎ$í.ÛuàpÛkÏPޤؤÿEÛkå$ÛkØ�ÝpäBÛEàÏ©Ù¢Ï�Ù�Î�Ú$Ú$ÛbÝpà�Î�ÏPÞ¤â±ÜBß"Ý�äBÛ$äBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ�Ï�÷¯Ø�Ù&ÏPáBáBޤؤÛkå�Ýpâ�Ù]ÝpÛEá Ùkñ1â±à&í?Î#Ý�ä Û$Ý�ؤÚ5ÛEènàpÛEô©ÛEàZÙ�ϱÞÝpàpϱܠÙ]ãÌâ©à�Ú�ÏPÝ�ؤâ±Ü�Ý�ä ÏPÝ5æZä Ï±ÜBß±ÛQÙwÏ#á Ï�Ýpä�ؤܩÝpâ�ÏPÜ âPÝ�ä ÛEàwá ÏPÝ�ä�â©í¯ÝpϱØ|Ü Ûkå í?Î�àpÛkÏ©å¯Ø¤ÜBß�Ù]ÝpÛEá Ùí Ï©æ�?óXϱàpåBÙkë��y ë�w©ë��0å�Æbã�æKÃ&âÅß�ÅLã ä�B�s�LåFâPÆ�ÈKÅ�â�Ì�V�Û"î àZÙmÝ5ϱå å¯à�ÛQÙ�ÙwÝ�äBÛ�Ø|Ú$á.â±à�ÝpϱܩÝ5áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ âPã�ÛQÙ]ÝpØ�èÚ�Ï�ÝpØ|Ü ß�Ý�äBÛ"Ü�ï Ú¦í.ÛEàZÙwâPã_íBàpØ�å¯ß±ÛQÙwÏPÜ å ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@ÙEë#ì�äBÛ"å¯Ø�Ùpæbï ÙpÙmؤâ±Ü Ú�Ïk�±ÛkÙwï ÙmÛ"âPã�Ý�äBÛÏ©Ù�Ù�ïBÚ$á¯Ý�ؤâ±Ü�Ý�ä@Ï�Ý_Ý�ä ÛgóXϱÞ���Ø�Ù_àpÛkå¯ï æEÛkå�ÏPÜ å�ÏPá.ÛEàpؤâ?åBؤæ±ëçiè Ã!È+å�Ã&é �[Ì��¥ú�û ýeÓrø±ÕEù�Ñ�ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ�ý�JýeÒaÕ�� úmü@C�ÑPÐ ��ý�ÒÌ×BÑ�ÒgÓ�ý�ÑpÖ ÕbùeÓrúQø�ÓrÔB+g�;ÕEÒhø �ZÕ�ÒÌ×BÕýeÒnù�� ÔbÒ·�¯ù�Ñ�Ð_ÔZú�û ýZÒaÑ�û@Ò¦ø±ÕEÒLÕEù��5Ó3û.ÕZø}�,�Ì, í þ@ø'�bÒ ��"�ø±9 ��+ ß.× Õ�ûK�I���ZÕEù#úmüe�EùeÓrø,��Õbý�úmüýeÓ�àQÕ�� Ñ©ø��5Ó3Òrý�Ñ�Ôpú5��Ö7Ð|ÕEÒLÕ$ÑJý����uÖ.Òaú�ÒnÓrÔ$Õ9ÎbÖ Ñ�ûBýeÓrúPûþ�ykj�� p o Ò�� . ,�þ@ø'� o! xFþG� Õ w � Õ =� � Õ *� * � î�î�î × Ö � . Ò wø � ,�þ@ø'�, í í þ9ø'� Øß7×BÕ¦û'�I�h�ZÕbùwúmü¦Õ9Î?Ô,�¯ùZýeÓrú�ûBý¦úmü¢ýZÓ�àQÕ�� ýEÑ�ÒnÓ�ý#ÏXÕeýþ�yR]5� r o Ò�� . ,�þ9ø'� ox ! þG� £ � w � × =� � × *� * � î|î�î � ÖC£× Õbù�Õ@PLÒ3× Õ m Þ Ñ�ù�Õ¦ÒÌ×BÕwý��Ñ�Ð3Ð��bùpÑ�û.ÔZ×BÕbý"úC�Ó3ÒÌ× m = ÒÌ×BÕXÖ7ùeÓ3û.ÔEÓ ÖBÑPÐ��Eù�ÑPû.ÔZ×�Sþ�yki�� � . Ò þ / w�� ¥ 4 =® 4 ¥

� x ,�þ@ø'� £, í í þ9ø'� Ò = þ9ö!� Ö Ò = þ-jR�Xð�Ò ¥�Þ$  * m Þ þqjR� Ö öjð�Ò w,�þ@ø'� ØÍXÎ��;ÛEÚ$Ú�Ï�xBñ?Ý�äBÛwæEâ±Ü ÙmÝpϱÜ�ÝhÒ = þ9ö!�_ؤÙ�ÛB©ï Ø|ô�ÏPÞ¤ÛEÜ�ÝpÞ|Î"æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpØ|ÿkÛkå�ϱÙÒ = þ@öI� Ò �� �� �� c � Ó Ô  �� ¢¤£�� ØÃXùpúkúmü�+uì�äBÛ)à�ÛQÙmï Þ�Ý�ãÌâ±àXíBà�Ø�å¯ß©ÛkÙ�ؤÙ%�?ÜBâ�ó_Ü"ϱÙ�Ø|Ý�Ø�Ù�ÛB�ïBØ|ô�ϱÞ|ÛkÜ©Ý�Ý�â¦Ý�äBÛ¢Þ|â¯ækÏPÞ.Þ|ؤÚ$Ø�ÝXÝ�äBÛkâ±àpÛEÚ

ãÌâ©à�Ù�ïBÚ�Ù�âPã<å¯Ø�Ù�æEà�ÛEÝ�Û¢àpϱܠå¯â±Ú ô�ϱà�Ø�ÏPíBÞ¤ÛkÙ�Z \��¯ñ@ç�ä@ÏPá¯ÝpÛEà�d�^Lñ?âPã�ó_äBؤæZä�Ý�ä Û)î@àpÙmÝ_áBà�â?â±ã;ß±â?ÛkÙí Ï©æ�$Ý�âM�£ÏPáBÞ�ϱæEÛ Z Ø|Ü|Z cIw�^Lë��Bâ©à�æbâ©Ú5á Þ|ÛEÝ�ÛEÜ ÛkÙpÙEñBóXÛ&íBàpØ|Û�� Î"Ù9�±ÛbÝZæZä"ÝpäBÛwÏPàpß±ï Ú5ÛkÜ�ÝXäBÛkà�Û©ëZ�� fQT on[�\n[]l�YZ\n�pYZ�Jc qb�PTVh&SJTVU������}��b{az|}��e�P�b� 8e��z C�EJ}�yb}��;�P{r���s���]z|� z|���}��L�©TVh$�º�Q�¥2Q�<2?YZWJc�YZt][�[a§kWJ\n[]UnUs[]U�onSQ[WJ\nde�QcV[ml YZU¢Y$,1YZfQtLSEq�t]dk[ �_t]TV[]hEo)x¤de\slXfJc�YwWJ\s[mUs[]hEos[]^��Eq�T onUuA�defJ\sTV[m\�Us[m\sTV[]U)t]defJhbon[]\sW�YZ\so���YZh�YZc qEosTVtx¤fQhJtaonTVdehJU1YZ\s[<hJdZo�qb[ao1TVhb`b[mhbos[m^)�Eq),�YZfJtnSEq�� �XYZhJ^uWJ\ndEt][][m^QU1¡;T osSuY�ULYZ^Q^JcV[�WPdeTVhbo;YZ\n�efJl_[]hbo�[a§QWJ\s[]UnUn[]^

Page 23: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ *9£��ÝZÏPà�Ý5ãÌàpâ±Ú ÝpäBÛ�ãrϱæbÝ�Ýpä Ï�Ý$Ý�ä Û�Ü?ïBÚ�í@Ûkà$âPã)í à�Ø�å¯ß±ÛQÙ¦â±ã)Þ¤ÛEÜBß±Ý�äv� Ø�ÙbZ m . ^�,�þ m � o ë ÍXÎ

çXϱï æZä?Î�u Ù�æbâ?Û�§jæEØ|ÛkÜ©Ý�ãÌâ©à�Ú�ïBޤϠñ¯â±ÜBÛ&ä Ï©Ùp o Ò wxF~�þÊÿ�� ,�þ m � o ¤ mm Öó_äBÛkà�Û"Ý�äBÛ�æbâ©Ü©Ýpâ±ïBà�� ؤÙ5ÏPÜ?Î á@â�ÙmØ|Ý�ؤô±ÛkÞ|Î â©à�ؤÛEÜ�Ý�ÛQå Þ¤â�â©á ÏPí.â±ïBݦÝ�ä Û�â©à�ؤ߱ؤÜ1ë�ì�ä Û�á.â©Ù�Ø�èÝpØ|ô©Û"àpÛkÏPÞXá.â±Ø¤Ü©ÝÁø Ø�Ù$Ï�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Û#Ù�Ï©åBå¯Þ¤Û�á.â±Ø¤Ü�Ý5â±ãN,�þ m �"þräBÛEÜ æEÛ�â±ãW,�þ m � o �bñ�Ù�â�Ýpä Ï�Ý5Ý�äBÛæZäBâ©Ø¤æEÛ_âPã7Ý�ä ÛuæbؤàpæEÞ|Û³È m ÈkÒ ø�ϩ٥ؤܩÝpÛEß©àpÏPÝ�ؤâ±Ü$æbâ±Ü�Ýpâ±ïBà�Ù�ïBß©ß±ÛkÙmÝpÙ¥Ø�ÝZÙmÛkÞ�ã�í?ΦÝpäBÛuÙpϱåBåBÞ|ÛEèná.â±Ø¤Ü�ÝÚ$ÛbÝpäBâ¯å ZgwBj�^në ÍXÎ ÝpäBÛ�ÏPá.ÛEàpؤâ?åBؤæEØ�Ý]Î æEâ±Ü åBØ�ÝpØ|â©Ü1ñ<,�þ m �5Ø�Ù$ïBÜBØL�ïBÛEޤΠÚ�ÏP÷?ؤÚ�ÏPÞ_Ø¤Ü Ú5â¯å?èïBÞ¤ï Ù$ÏPÞ¤â±Ü ß�ÝpäBÛ�æbâ±Ü�Ýpâ±ïBà$Ï�Ý m Ò øGm�ÙmÛkÛ�þÉ\R�eë�ì�äBÛEàpÛbãÌâ©à�Û©ñ�Ý�ä Û�ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó_ؤÜBß�ÙpϱåBåBÞ|ÛEèná.â±Ø¤Ü�ÝϱáBáBàpâJ÷?ؤÚ�Ï�ÝpØ|â©Ü Ù�ϱà�Û¶�]ï ÙmÝ�Ø|î ÛQå�ðp o Ò wxF~�þÊÿ�� ���   ,�þ m � o ¤ mmÒ wxF~�þÊÿ ±! #"%$ ± ¢ "%$ ÛE÷¯á � � � Þ|â©ßú,�þ@ø'� � wx , í í þ@ø'�,�þ@ø'� þ m / ø'� * � ¤$þmþ m / ø'� £ � �'� ¤ mmÒ ,�þ@ø'� oxFþ;ø ÿ p��4 � ½ 4 o#&(' ¸ ¹ * ¤k$¿Ò ,�þ@ø'� oø ! xFþG��« Ö «�Ò , í í þ9ø'�,�þ@ø'� ØÍXÎjÝpäBÛwï Ù�ï Ï±Þ;áBàpâ¯æbÛkÙpÙkñ¯Ý�äBÛ�æbâ±Ü�Ýpà�ؤíBï¯ÝpØ|â©Ü�Ø�Ù_î@àpÙmÝ�Þ|â¯ækÏPÞ¤Ø|ÿkÛkå�ÜBÛkϱà'ø�ñ@ÝpÏ5�?ؤÜBß$ãÌâ±à)Ø|Ü@Ù]ÝZÏPÜ æEÛ) Ò þÌÞ¤â±ß �[�$¸ ! ��ñXÏPÜ å Þ|â¯æEϱÞ�Ûb÷¯á ÏPÜ@Ùmؤâ±Ü Ù$ϱà�Û�ÏPáBáBޤؤÛkåGmXÝ�ä ÛEÜ Ý�äBÛ�æbâ©Ü�Ý�â±ï à5Ø�Ù5Ûb÷?Ý�ÛkÜ å¯ÛQåí Ï©æ�gÝ�âgÎ?ؤÛEÞ�å$Ïgæbâ±Ú$áBÞ¤ÛbÝpÛ�s&ÏPï ÙpÙ�ؤϱÜ�ؤÜ�Ý�ÛEß©àpϱÞsë<ì�äBØ�Ù¥ÙmÝ�àpÛkÏPÚ$Þ¤Ø|Ü Ûkå5ô±ÛkàpÙ�Ø|â©Ü¦â±ã@ÝpäBÛ�Ú$ÛbÝpäBâ¯åØ�Ù¢Ý�äBÛkÜ Ûb÷?Ý�ÛkÜ å¯ÛQå�Ýpâ�Ï�ãÌïBÞ|ÞXϱÙ�Î?Ú5áBÝ�âPÝpؤæ$ÛE÷¯á ÏPÜ Ù�ؤâ±Ü�Ø|Ü�Ý�ä Û�ï Ùmï@ÏPÞ¥ó�ÏJÎ}Z \Ry¯ñ�á1ë�\'wBd�^Lñ;Ù�âÝpä Ï�ÝwþÉy�j��XàpÛkÙ�ïBÞ|ÝpÙkëì�äBÛ#Ù�Ï©åBå¯Þ¤Û�á.â±Ø¤Ü�Ý5Ú$ÛEÝ�äBâ¯å Ý�ä?ï Ù5áBàpâ�ô�Ø�å¯ÛQÙ�챆 ÛkÏ©ÙmÎ Ï©æEæbÛQÙ�Ù¦Ý�â�Ý�ä Û�ÛkÜ�ï Ú5ÛkàpÏPÝ�ؤâ±Ü âPã

íBàpØ�å¯ß±ÛQÙEë¥ì�äBØ�Ù_ß©Ø|ô©ÛkÙ�ؤܠå¯Ø¤à�ÛQæeÝ�Þ¤Î"ô�ϱÞ|ï Ï±íBޤۢؤܯãÌâ©à�Ú�Ï�ÝpØ|â©Ü#â±Ü�Ý�äBÛwÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ1íBàZÏPÜ æZä ÛkÙXÝ�ä@Ï�ÝuæEϱÜí.Û¦ÝpàpϱܠÙ�Þ¤ÏPÝ�Ûkå�Ø|Ü�Ýpâ"ÝpäBÛ�ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à¢ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpÛ�â±ã¥Ý�äBÛMs��©p"þbj!�eë���ؤàpÙmÝkñ7ÝpäBÛ$à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü�Ýpä Ï�Ýå¯ÛEÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛkÙXÝpäBÛgíBàZÏPÜ æZäBÛQÙXâPã�Ý�äBÛwæZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æuæEïBà�ô©ÛgæEÏPÜ�í.ÛgáBï¯Ý�ïBÜ åBÛEà_ÝpäBÛ&ãÌâ±àpÚ

þ�ykd�� j�Ò w,�þ m � Øì�äBØ�Ù$Ùmä â�ó�Ù¦Ýpä Ï�ÝjÏ�íBàZÏPÜ æZä�æE챆 í.Ûkæbâ©Ú$Û�ؤܯî Ü Ø�ÝpÛ�â±ÜBÞ¤Î�Ï�Ý´jvÒ ��m�Ø¤Ü ãrÏ©æeÝ$Ý�äBÛ�æEâ±àpà�ÛEèÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß�Ù�â±Þ¤ï¯ÝpØ|â©Ü Ùuß©Ø|ô©Û�àpØ�ÙmÛ�áBà�ÛQæbØ�ÙmÛkÞ|Î�Ýpâ"ÝpäBÛ�Þ�ÏPàpß±Û�íBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�Ý = Ö,ØPØ,Ø�Ö Ý Ñ ëwÍXÎ�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞáBàpؤܠæbؤáBÞ¤ÛkÙ�þ3Ý�ä Û�ؤÜ?ô±ÛEàZÙ�Û"âPãuÏ±Ü Ï±Ü ÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ�ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü�Ï�Ý�Ï�á.â±Ø¤Ü©Ý$ó_äBÛkà�Û�Ý�äBÛ#å¯Ûkà�ؤô�Ï�Ý�ؤô±Û�ؤÙÜBâ©ÜBÿEÛkà�â5Ø�ÙuÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæB�eñ¯ÝpäBÛgàpÛEÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü þÉy�d��XØ�Ù_ؤÜ�ô©ÛEà�Ý�ؤíBÞ¤ÛwÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æEϱÞ|Þ¤ÎjؤÜ�Ï5Ý�äBÛwÜ ÛEؤ߱ä?í@â©ïBà�èäBâ?â¯å#âPã�ϱÜ?Î�á.â±Ø¤Ü�Ý � Ùmï æZä�Ý�ä ÏPݼ, í þ � � ÇÒ �Bë � æEæEâ±àZå¯Ø|ܠ߱ޤαñ@Ï�ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý]Î�þrØ|Ü�Ý�äBÛ5ÙmÛkÜ Ù�Ûâ±ã�ÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæ)ãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù������?ýeÒ�â¯æEæEïBà�Ï�Ý�ϱÜ�Î"ôJϱÞ|ï Û+*$Ùmï æZä�Ý�ä@Ï�ÝN, í þ,*k�%Ò�� ë� Ý m Òbø�ñ£ó_Ø|Ý�ä"ø�Ý�ä Û"Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï àpϱޥæbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ýkñ£â±ÜBÛ�ä Ï©Ùi, í þ@ø'�/Ò �#í?Î�æbâ±Ü@Ù]Ýpà�ï æbÝ�ؤâ±Ü1ñó_äBØ¤Þ¤Û , í í þ@ø'�79 � ë<ì�ä ÛEÜ1ñ¯ÝpäBÛgÞ¤â?ækÏPÞ7ãÌâ©à�Ú â±ã�þ�ykdR�eñ¯àpÛkϱå ÙþÉ\���� j�Ò ö / wx , í í þ@ø'�Eþ m / ø'� * � ¤$þmþ m / ø'� £ � Ø öjð�Ò w,�þ@ø'� Øì�äBØ�Ù�Ø�Ù_à�ÛQϱå¯Ø¤Þ¤Î�Ø|Ü?ô±ÛkàmÝpÛkå�ñ¯Î?ؤÛEÞ�å¯Ø¤ÜBß$Ý]ó�â5Þ¤â?ækÏPÞ1Ù�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü@Ù

þÉ\'wB� m þ-jR��Ò ø0» � x ,�þ9ø'�, í í þ9ø'��- w / j&¸�ö � î|î�î þbj 2 ö 4 � ØYZUBYZhXYZWQWJcVTVtmYponTVdeh�dZxJonSQ[��n2¯YZWJc�YZt][�l_[aonSJdE^J�;onS�YpoB¡1YZU¯UsWP[mt]T i�tmYZcVc q�^J[a`b[]cVdeWP[m^�x¤de\?osS�Ypo dEtmtmYZUsTVdehu�|ULYZ^J^QcV[WPdeTVhEo;TVhbon[]�e\LYZcVU1¡;TVcVc©dehQc q)[]l_[]\n�e[�S�YZc x|v3Ypv3t][mhbosfJ\squc�Ypos[m\.� �a�

Page 24: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

* á >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU�aÜ�á@ÏPà�Ý�Ø�æbïBÞ�ÏPàQñBÝpäBÛ�á à�ؤܠæbؤá Ï±Þ£íBàZÏPÜ@æZä m = þbj!�_ä Ï©ÙuÏ"Ù��ï ÏPàpÛwàpâ?âPÝ)Ù�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Î@m.Ø�Ý¢ÝpÏk�±ÛQÙuϱÙô�ÏPÞ¤ïBÛ¢Ý�ä ÛwÙ]Ýpà�ï æbÝ�ïBàZÏPÞ1æEâ±Ü ÙmÝpϱÜ�Ýnø#Ï�Ý�ÝpäBÛgáBÞ�ϱæbÛö�Ò w,�þ@ø'� Øϱܠå¢Ý�äBÛ / ! åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©ÜwÚ¦ï@Ù]Ý�í@ÛXϱå¯â©á¯Ý�ÛQå&Ø|Ü�þ_\'w���Ù�Ø|Ü æEÛ m�= þ-jR�7ؤܠæEà�ÛQϱÙ�ÛkÙ;Ï©Ù�j 2 ö 4 ðþÉ\Rxk� m�= þbj!��Ò ø / � x ,�þ@ø'�, í í þ9ø'�/- w / jn¸ö � î�î|î þ-j 2 ö 4 � Øa�ÛE÷?Ýkñ7ãÌâ±à j ÇÒ �Bñ�ÏPÞ¤Þ<ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à�Ø|Ý�ؤÛkÙ)âPã¥ÝpäBÛ$Ùmâ©Þ|ï¯ÝpØ|â©Ü Ù)âPãuþÉy�d��bñ1ÙmؤܠæbÛ¦Ý�äBÛkÎ�æbâ©à�àpÛkÙ�á@â©Ü å

Ýpâ�î@ÜBØ�ÝpÛ$ôJϱÞ|ï ÛkÙ&âPã m ñ£æEÏPÜ�â±Ü Þ|Î�í.Û5î ÜBØ|Ý�Û�íBàZÏPÜ@æZä�á.â±Ø¤Ü©ÝZÙ+*�ó_Ø�Ýpä Ï�Þ¤â¯æEϱÞ�ÛE÷¯á ÏPÜ Ù�ؤâ±Ü�âPãÝpäBÛwãÌâ©à�Ú{Õ�. �¿× .©þbj / *k� =º¹ � ãÌâ±à&Ùmâ©Ú5Û�àpϱÚ$Ø�î@ækÏ�ÝpØ|â©Ü�Ø|Ü åBÛb÷Êû@9 w±ë$þrì�äBØ�٢ؤÙ)ÛkÏ©ÙmؤޤÎ#Ù�ÛEÛkÜå¯Ø¤àpÛkæeÝpÞ|Î�í?Î�Ï�Ù�ïBØ|ÝpÏPí Þ|Û�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|ؤÿkÏPÝ�ؤâ±Ü�âPãwþ_\R���&ÏPÜ@å1þ_\KwB�¢ïBá.â±Ü ÝZÏ5�?Ø|Ü ß�Ø|Ü�Ý�â�Ï©æEæEâ±Ü�ÝgÝ�äBÛî àZÙmÝ�Ü â±ÜBÿkÛEàpâ5å¯Ûkà�ؤô�Ï�ÝpØ|ô©Û¢â±ã¶wF¸F,/�bëV�Û�æEÏPÜ5ÜBâ�ó�æbâ±ÜBãÌà�â©Ü©Ý�Ý�ä Û_à�ÛQÙmïBÞ|Ý�âPã<þ_\Rx��£ó_Ø�Ýpä�ÝpäBÛ�Ý�ä Û�Ùpϱå å¯Þ|Û�á.â±Ø¤Ü�Ý¥ÛkÙmÝ�ؤÚ$ÏPÝ�ؤâ±Ü#þÉy�j��eñàpÛEÚ$ÛEÚ�í@Ûkà�ؤÜBß�Ý�ä ÏPÝ�â±ÜBÛ&ä Ï©Ù�í?Î�þÉdR�p"þbj!��Òðj ¤¤8j Þ|â©ß)Òjþbj!� Ö Ò"þ-jR�Xð�Ò þ m = þbj!��î�î|î m ¥ þ-jR�9� Ø��ؤàpÙmÝkñ¹Òjþ-jR�1Ý�ä@Ï�Ý�ؤÙ�ÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæ�ÜBÛQÏPà���Ú¦ï@Ù]Ý<à�ÛkÚ�ÏPؤÜ�ÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæ¥Ý�äBàpâ±ï ß±äBâ©ï¯Ý;ÝpäBÛ_å¯Ø¤Ù9�´È j�È&ÉÔö@ñÙ�Ø|Ü@æbÛ�â±Ý�äBÛkà�ó_Ø�Ù�Û<pjþ-jR�;óXâ±ïBÞ�ågí.ÛXÙ�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPà£ãÌâ±à<Ùmâ©Ú$Û�ô�ÏPÞ¤ïBÛ�Ø|Ü Ù�Ø�å¯Û�ÝpäBÛ�å¯Ø¤Ù9�wÏPÜ@ågÝ�ä Ø¤Ù�óXâ±ïBÞ�åæEâ±Ü�Ý�àZϱå¯Ø�æeÝgÝpäBÛ"Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ$ß±àpâ�ó�Ý�ä+þÉy�j��¢Ýpä Ï�Ý�ؤ٦âPãXÝ]Î�á.Û�,�þ9ø'� o ãÌâ©à0p o ëeauÛb÷?Ýkñ�Ò�þbj!�ækÏPÜBÜBâ±Ý�ä ÏJô±Û�ÏPÜ?Î"þsÏPޤ߱ÛEí àpϱؤæB�;Ù�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Îgâ±Ý�äBÛkà<Ý�ä Ï±Ü}j�Ò öwâ©Ü¦ÝpäBÛ�æbؤàZæbÞ¤Û�È j�È5Ò ö.ñ©Ù�Ø|Ü@æbÛ±ñí?Î�Ù�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Î�ϱܠÏPޤίÙmØ�Ù � ñ�Ý�ä Ø¤ÙgóXâ±ï Þ¤å�ÛEÜ�ÝpϱØ|Þ<ÝpäBÛ�áBàpÛkÙ�ÛEÜ æEÛ�â±ã�â©ÙpæbؤޤޤÏPÝ�ؤÜBß"ÝpÛEàpÚ�Ù&Ø|Ü�Ý�äBÛÏ©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ&Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü�â±ãúp o ñ7ÏPß�ÏPؤÜ#æEâ±Ü�Ý�àZϱåBؤæbÝ�ؤÜBß�þÉy�j��eë � Þ¤Ù�â ñ0Ò"þ-jR�_ækÏPÜ�â©ÜBÞ|Î�ä ÏJô©ÛwÏíBàZÏPÜ@æZä5á.â±Ø¤Ü�Ý�â±ã7àZÏPÚ$Ø|î@æEÏPÝ�ؤâ±Ü�ؤܠå¯ÛE÷�û/ÒËxwÏ�ÝYjtÒ ö@ñ?Ù�Ø|Ü æEÛuâ±Ý�äBÛkà�ó_Ø�ÙmÛ�Ù�â±Ú$Û_ÝpÛEàpÚ âPã7Ý�äBÛãÌâ©à�Ú � 4 = p =º¹ � óXâ±ï Þ¤å5ä ÏJô©Û_í@ÛkÛEÜ�áBàpÛkÙ�ÛEÜ�Ý�ؤÜ$Ý�äBÛuÛb÷¯á ÏPÜ@Ùmؤâ±Ü$âPã�p o ë��£Ø¤Ü Ï±Þ|ޤαñ©Ý�äBÛ)å¯Û5�@ÏPÝ�ÛQåáBàpâ¯å¯ï æbÝµÒ = þ-jR��Ò m * þbj!��î�î|î m ¥ þ-jR�£Ú�ï Ù]Ý�í.Û_ÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æXÏ�Ý�öwÙmؤܠæEÛ�â±Ý�äBÛkà�ó_Ø�ÙmÛ©ñ�í@ÛkØ|Ü ß&ækÏPá Ï±íBÞ¤Ûâ©ÜBÞ|Î�âPã�ä ÏJô?Ø|Ü ß#Ï#í àpϱܠæZä á@â©Ø|Ü�Ýwó_Ø|Ý�ä àZÏPÚ$Ø�î.æEÏ�ÝpØ|â©Ü�ؤܠå¯ÛE÷|xBñ;â©ÜBÛ�ó�â©ïBÞ�å�àpÛkÏ©æZä�Ï�æEâ±Ü¯èÝpàpÏ©å¯Ø¤æbÝ�ؤâ±Ü#àpÛEߩϱàpåBØ|ÜBß5ÝpäBÛwÞ¤ÛkϱåBØ|ÜBß�æbâ?Û�§jæbؤÛEÜ�Ýuâ±ãIp o þrÏ©ÙuæZäBÛQæ�±ÛQå"ãÌàpâ±Ú�æbâ©Ú5á@ÏPàpØ|ÜBß�þ�ykjR�ϱߩÏPؤܠÙmÝ�ÝpäBÛwæbâ©Ü Ù�ÛP�ïBÛEÜ@æbÛkÙXâ±ã�þÉ\Rxk��â©Ü#æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ�eë�aÜ âPÝpäBÛEàgóXâ±àZåBÙkñ7Ý�äBØ�ÙwÙ�ÛP�ïBÛEÜ@æbÛ$âPã�Ø|Ü@å¯Ø|àpÛkæbÝwÏPàpß±ïBÚ$ÛEÜ�ÝZÙ¢Ù�äBâ�ó�Ù¢ÝpäBÛ$ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó_ؤÜBß ( ðYß7×BÕÖ7ù�úkø5� ÔbÒ�ú]ü¦ÑPÐ3Ð;ÒÌ×BÕ¦û.úPû�Ö.ùeÓ3û7ÔbÓ Ö Ñ�Ð;ý��$ÑPÐ3Ð��Eù�Ñ�û7Ôp× ÕeýþÉ\�y�� Ò = þ-jR��Ò m * þbj!��î�î|î m ¥ þ-jR�Ó�ý¦Ñ�û7Ñ�Ð���ÒnÓrÔ$Ñ�Ò�Ñ�Ð3Я֠ú�Ó3û@Òrý¦úmügÒ3× Õ�ÔEÐ|ú�ýbÕZø�ø�Ó�ý9��È j�È ø öG+�LÝ¥Ø�Ù<ÜBâ�ó ϱÜ�ÛQϱÙ�ÎwÚ�Ï�ÝmÝpÛEà<Ýpâ&æEâ±Ú$áBÞ¤ÛbÝpÛ�Ý�äBÛ_ÛQÙ]ÝpØ|Ú�Ï�ÝpÛ�âPã ÝpäBÛ_Ü?ïBÚ¦í.ÛEà�â±ã.ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@Ù£í?ÎÙ�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]ÎwϱܠÏPޤίÙmØ�Ù�ÏPá áBÞ|ؤÛkå�Ýpâjþ�x5�R��Ø|Ü�ì�äBÛkâ±àpÛEÚ x¯ë<ì�äBÛ_ïBÜBØL�ïBÛ�å¯â±Ú$ؤܠÏPÜ�Ý�Ù�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Îâ±ã r þ-jR�XÚ�ï Ù]Ý_í.ÛwÏ�ÝNj�Òûö�ó_äBÛEàpÛ&Ý�ä ÛgÞ|â¯æEϱÞ�Ûb÷¯á Ï±Ü Ùmؤâ±Ü�þ_\!xk��߱ؤô±ÛQÙ

r þbj!� Ò r þ9ö!� / � . - w / j&¸�ö Ö � . Ò þ / wB� ¥ 4 =® 4 ¥ ö Ò = þ9ö!� � x ,�þ@ø'�, í í þ@ø'� Ö� 8ETVhJ�efJc�YZ\nT o3quYZhJYZc qQUsTVUú� ��ÂJ��4Q�Ö�¯YZcVcVdm¡£U�fQU1osdXos\LYZhJUrx¤[]\1Y�UnTVhJ�efJc�YZ\1[]cV[]l_[]hEo1dZx?osSJ[<x|de\nl+�r�10%��2�3B�54JTVhonSQ[_[]§kW�YZhJUsTVdeh5dZx;Y)x|fJhJtaosTVdeh � ���k��Ypo�Y¢UsTVhJ�efJc�YZ\sT o3q+3�TVhbondgY)tmde\s\n[]UnWPdehJ^QTVhJ�gYZUsqkl_WQosdZonTVtX[mcV[]l_[]hbo�dZxonSQ[;x|de\nl63 # ��7 # 4 # � 298@�,0;:±� TVh�onSJ[£[a§QW�YZhQUnTVdeh_dZx�osSJ[;t]dk[ �_t]TV[]hEo�� � � � � �Ä�E� Ypo7TVhQi�hQT o3qE� 0�o.TVU7YZWJWJcVTVtmYZ�JcV[fJhJt]dehJ^JT osTVdeh�YZcVc q�osd�YZcV�e[m�Q\LYZTVt<x|fJhJtaonTVdehQU��( 6£h�YZc os[m\sh�YposT `b[¢YZ\s�efJl_[]hEo���YZUn[]^$deh$osSJ[�\n[ai�hQ[ml_[]hboXdZx£^Jdel_TVh�YposTVdeh5\s[]c�YponTVdehJU�[a`bde�e[m^"Ypx�on[]\¥onSQ[WJ\ndEdZxBdZxB2?[]l_l�Y 2XTVU1W±deUsUnTV�JcV[��QUn[][¥4�YZhJ^J[]\nTV[]\º� U1osSJ[]UnTVUú� ����x|de\1^J[aoLYZTVcVUm�

Page 25: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ *$Zó_Ø|Ý�ä"Ò = ß©Ø|ô©ÛEÜ�í?Î þ_\Ry��eë � ãÌïBÞ¤Þ¥ÛE÷?á@ÏPÜ Ù�Ø|â©Ü�â±ã m = þ-jR�)ؤÜ�á.â�óXÛEàZÙuâ±ã&þ¥w / j&¸�ö!� =º¹ * í@ÛkØ|ÜBßÏJô�ÏPؤÞ�ÏPíBÞ¤Û±ñ Ï±Ü å Ò = þ-jR��í.ÛEؤÜBß�ÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�ægâ©Ü#Ý�äBÛ�ó_äBâ±Þ¤ÛwâPãWÈ j�È ø ö.ñ@Ý�äBÛ�áBà�â?â±ã<â±ã�þÉyR]k��Ø�Ù)ÏPÝÞ�ϱÙmÝ�æbâ±Ú$áBÞ¤ÛbÝpÛkå�ë �����¹���»+��º=<�* Û¢ý�����Ö7ÒLúPÒsÓrÔbý5úmüwÒnù�ÕZÕ�ÔZúQø±Õbý�+uì�äBÛ¦ækϱÙ�ÛgâPã�óXϱÞ��¯Ù_ó_Ø|Ý�ä�â©ÜBÞ¤Î�â©ÜBÛ&Ý]Î?á@Û�âPãå¯ÛQÙ�æEÛEÜ åBØ|ÜBß�ÙmÝ�Ûká�ÛB©ï@ÏPÞ7Ý�â / w&æbâ©à�àpÛkÙ�á.â±Ü åBÙ�Ýpâ�Ýpà�ÛkÛgæbâ¯å¯ÛkÙkñ Ï©ÙXåBؤÙpæbï ÙpÙ�Ûkå�Ø|Ü&z�÷BϱÚ5á Þ|Û)yBë�aÜ5Ý�ä Ø¤Ù�ô©ÛEàpÎwÙmá.ÛkæEؤϱޠæEÏ©ÙmÛ©ñ�Ý�ä ÛEàpÛXØ�Ù�â©ÜBÞ|Φâ±ÜBÛ_Ù�Ú$ϱÞ|Þ íBàpϱܠæZä1ñ±Ï±Ü å¦Ý�äBÛ�s���âPã.Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü Ù<ؤÙr þ-jR��Ò m = þbj!�$¸BþÕ® = 4 j!�eë��Bâ©àXϱá@Ûkà�ؤâ¯å¯Ø¤æuóXϱÞ��¯Ùkñ±ÝpäBÛ¢à�ÛQÙmïBÞ|ÝgþÉyR]k��â±ã;ì�äBÛEâ©à�ÛkÚ y ñ?â±àXáBޤϱØ|Ü Þ|ÎÝpäBÛgÛkÙmÝ�ؤÚ�Ï�Ý�Û�þÉ\'wB�bñ¯ß±Ø¤ô±ÛQÙ�ï ÙþÉ\k\R� ø ð , í þ9ø'� ÒË�

r o Ò w®�4 = w! xFþG� £ � ,�þ@ø'� £, í í þ@ø'� ,�þ@ø'� o Ø�aÜ�Ý�Ûkà�Ú�Ù<âPã@Ý�àpÛEÛQÙEñJÝpäBÛ_áBàpØ|Ü æEØ|á@ÏPÞ¯íBàZÏPÜ æZä m = þbj!�£Ø¤Ù<áBàpÛkæEؤÙ�ÛEÞ¤Î&Ý�ä Û�s���âPã@Ý�àpÛEÛkÙ<æEâ±àpà�ÛQÙmá.â±Ü å¯èؤÜBß�Ý�â5Ý�äBÛgå¯Ûkß±àpÛEÛ¢ÙmÛEÝ�w � Ñ ó_Ø�Ýpä#ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�ؤÜBß�á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú5Ø�ÏPÞB¡�þ m �Xð�Ò m ,�þ m ��ϱܠå�â±ÜBÛ¢ä Ï±Ù¥þ-jR� ÒÜ®�4 = j r þbj!� Ò mG= þbj!�eëgì�äBÛ�ÛkÙmÝ�ؤÚ$ÏPÝ�Û#þ_\�\R��ÝpäBÛEÜ�æbâ©Ø|Ü æEؤåBÛkÙ)ó_Ø�Ýpä�Ý�ä Û�óXÛEÞ¤Þ�èò�?ÜBâ�ó_ÜÏ©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ¢ÛkÙmÝ�ؤÚ$ÏPÝ�Û&âPã�Ý�ä ÛgÜ�ï Ú¦í.ÛEà

¥o â±ã;Ýpà�ÛkÛkÙ�âPã�Ù�Ø|ÿkÛ���ñ

þÉ\Rck� ø ð ¡£þ9ø'� / ø7¡ í þ@ø'� ÒË�¥o Ò w! x3þG� £ � ¡�þ@ø'�¡ í í þ@ø'� � ¡�þ@ø'�øU� o Ö

ó_äBØ�æZä�óXÏ©ÙXî àpÙmÝ�å¯Ø�Ù�æEâ�ô±ÛEàpÛkå"í?Î�`�ÛEؤà�ÏPÜ@åb`�â�â©Ü�Z ckc�^në �� Ù$Ù�â?â±Ü Ï©Ù0£:9 w±ñ<ÝpäBÛEàpÛ�ϱà�Û�ÙmÛkô±ÛkàpϱÞ�Ù�Ú$ϱÞ|ÞXíBàZÏPÜ æZä ÛkÙkñ¥ÏPÜ å�ñ�ؤÜ�ÝpäBØ�Ù5ækϱÙ�Û±ñ<ÝpäBÛ�ϱÞ�èß©ÛEíBàZÏPØ�æ$æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ý}Ò = þ@öI�gؤÜ�Ý�Ûkà�ô©ÛEÜBÛQÙEë&a�ï Ú5Ûkà�Ø�æEϱÞ|ޤαñ£Ý�ä Ø¤Ù�æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ý�æE챆 í@Û�å¯ÛbÝpÛEàpÚ5ؤÜBÛQåÛQϱÙ�Ø|Þ¤Î�Ï©Ù�Ø|Ý)â±Ü Þ|Î�Ø|Ü?ô©â±Þ¤ô±ÛkÙXÝpäBÛ¦á à�â¯å¯ï æbÝuâPã<ÝpäBÛ�Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ£Ù�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü Ù�Ý�â�ÝpäBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞ;ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©ÜÝZÏ5�±ÛkÜ�ÏPÝ�jeÒúö@ë � ޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æEÏPޤޤαñ1Ù�Ø|Ü æEÛ[Ò = þ@öI�¢Ø¤Ù¢ÝpäBÛ$áBà�â¯å¯ï@æeÝgâPãU£ / w�Ù�â±Þ¤ï¯Ý�ؤâ±Ü Ù)Ýpâ#ϱÜϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ"ÛB�ï Ï�ÝpØ|â©Ü â±ã&å¯Ûkß±àpÛEÛÌ£ � ¤@ñXØ|Ý"Ø�Ù�ÏPÜ+ÏPޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æ"Ü?ïBÚ�í@Ûkà�âPãgå¯ÛEß©à�ÛkÛ#ÏPÝjÚ$â©ÙmÝq ¥ p Ñ¥ 4 = r â�ô±Ûkà?>�þ9ö!� � >$þ@ø'�XÝpä Ï�Ý�Ø�Ù_æbâ©Ú$áBï¯ÝpϱíBÞ¤Û¢í?Î"Ý�äBÛ¢Ý�ÛQæZäBÜBØL�ïBÛkÙ_â±ã��?ÛQæeÝpØ|â©ÜexBë y#þÌï á@â©ÜæZä Ï±ÜB߱ؤÜBßi£�Ýpâ³£ / w_Ø¤Ü � Þ|ß©â±àpØ�ÝpäBÚ n��eë!.�â�óXÛEô±Ûkàkñ�ÙmؤܠæEÛ'øjØ�Ù�Ïwå¯â©ïBíBÞ¤Ûuàpâ?âPÝ�â±ã.ÝpäBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü�Ø|Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ý�Ø�Ï�ÝpÛkå�Ï�ÝijbÒúö.ñ�ãÌïBà�Ý�äBÛkàwÙmؤÚ$áBÞ¤Ø�î@ækÏ�ÝpØ|â©Ü ÙgϱækæbàpïBÛ±ë5ì�äBؤÙ&ÛE÷¯áBޤϱØ|Ü@ÙuÝpä Ï�ÝæEâ±Ü ÙmÝpϱܩÝZÙ¢Ø|Ü?ô±â©Þ|ô?ؤÜBß"àZϱåBؤækÏPÞ�٢ϱà�Û5âPã3ÝpÛEÜ�Ý�â#í.Û�â±í Ù�ÛEàpô±ÛQå�ó_äBÛEÜ Ï±Ü ÏPޤίÙmؤÜBß"á à�â©íBÞ|ÛkÚ�Ù&âPãàpÛEÞ�Ï�ÝpØ|ô©ÛEÞ¤Î�Þ|â�ó õ�æbâ©Ú$áBÞ|ÛE÷¯Ø�Ý]ίöBë<ì�äBÛgÜBÛE÷?Ý�Ûb÷BÏPÚ$áBÞ¤Û&ؤÙXÝ]Î?áBØ�æEϱÞ�âPã�Ý�äBØ�Ù�ÙmÝpÏ�ÝpÛ&âPã�Ï���ÏPؤàpÙkë����¹���»+��ºA@G* Û¢ý�����Ö7ÒLúPÒsÓrÔbý�ú]üXÒ3× Õ Ó / x Ö / w Ö � Ö w Ö x!Ú�EmÕ9Î?Ô,�¯ùZýZÓrúPûBý,+7ì�äBÛ�ó�ÏPÞ��¢Ø¤Ü�Ý�àpâ¯å¯ï æbÛQåؤÜ�z�÷BϱÚ5á Þ|Û�\¦Ø�ÙXÙ�Î?Ú$Ú5ÛEÝ�àpؤæ±ñ�ϱܠåjÞ¤Ø��±Û�ãÌâ©àXϱÜ?Î$Ù�Î?Ú$Ú5ÛEÝ�àpؤæuóXϱÞ���Ù�ίÙ]ÝpÛEÚ#ñ±ÝpäBÛ&Ù]Ýpà�ï æbÝ�ïBàZÏPÞæEâ±Ü ÙmÝpϱܩÝ�ؤÙ�ÛP�ï Ï±ÞuÝpâ w�ó_äBؤÞ|Û�Ý�äBÛ ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpϱÞ)àZϱåBØ|ï Ù�Ø�Ù"ÝpäBÛ�àpÏPÝ�ؤâ±Ü Ï±ÞuÜ?ïBÚ¦í.ÛEàQñ�ö ÒwF¸F,�þ<w���Ò =Z ë<ì�ä ÛuáBàpâ¯å¯ï æeÝ�âPã�Ý�ä ÛuÜBâ©ÜBáBàpØ|Ü æEØ|á@ÏPÞ@Ù�Ú�ÏPÞ¤Þ íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙ¥ÏPÝ)ö5à�ÛQå¯ï æbÛQÙ�Ýpâ m * þ@öI�eëì�äBØ�Ù¶©ï@ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]Î�Ø�Ù&ÑuÖ.ùeÓrú�ùeÓ�â©ÜBÛuâ±ã�Ý�äBÛ)à�â?â±ÝpÙ�âPã;ÏPÜ�ÛB�ï Ï�ÝpØ|â©ÜjâPã;å¯Ûkß±àpÛEÛ�\�þÉz �ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�þ·xkc��ؤܠÙmÝpÏPÜ�ÝpؤÏPÝ�Ûkå#ÏPÝNjtÒvö!�bñ íBï¯Ý¢ÙmؤܠæbÛ&ÝpäBØ�Ù�ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�ä Ï±ÙuÏPÞ¤à�ÛQϱå¯Î�ø�Ò wgϱÙuÏ�å¯â±ïBí Þ|Ûgàpâ?âPÝkñÝpäBÛgÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü#Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î ÛQå"í?Î m * þ9ö!�XØ�Ù_ؤÜ"ãrÏ©æeÝ�â±ã<å¯Ûkß±àpÛEÛ)x�þÌØ|Ýuؤ٠m * � y m�� w�Ò��R��Ùmâ5Ý�ä@Ï�Ým * þ9ö!�%Ò / y x � wx ! c ÖϱܠåjÝpäBØ�Ù��ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]ÎjØ�Ù_áBàpÛkæEؤÙ�ÛEÞ¤Î�Ò = þ@öI�XâPã�þÉy�i��eë¥ì�ä?ï Ùkñ¯óXÛwæEÏPÜ#æbâ©Ü æbÞ¤ï å¯Ûgϱܠå"ß©ÛbÝ�ÛQϱÙ�Ø|Þ¤Îr o Ò c\ þÉy / ! ck� c o! þG� £ � w � ¤$þ w� � � Ø

Page 26: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

* � >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUì�äBÛ&�ï Ï±Þ|Ø|Ý]Î�âPã)Ý�äBÛ�Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ#ÏPáBáBàpâJ÷¯Ø|Ú�ÏPÝ�ؤâ±Ü�áBàpâ�ô?ؤåBÛkå�í?Î ÝpäBÛ#î àZÙ]Ý$ÝpÛEàpÚ�ؤÙew�wCBó_äBÛkÜ-�¨Ò wP�jϱܠå|w©ë x�B ó_äBÛkÜ-�}Ò wP���Bñ.ó_äBÛEàpÛgÝ�ä Û r o ϱà�Û�æbâ±Ü?ô©ÛEÜBؤÛEÜ�Ý�Þ¤Î#å¯ÛbÝpÛEàpÚ5ؤÜBÛQåí?Î�þÉyk\R�eë�ì�äBÛ¢ÛkÙmÝ�ؤÚ�Ï�ÝpÛuØ�ÙXϱޤÙ�â�æEâ±Ü Ù�Ø�Ù]ÝpÛEÜ�Ý�ó_Ø|Ý�ä"Ý�äBۢܠÏ�ÝpïBàpÛuâPã;Ý�äBÛ&ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý]Î$Ï�Ýnö�Ò =Zâ±ã;Ý�ä Ûwå¯Øg�7ÛEàpÛEÜ�ÝpؤϱÞ�ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�þ�ykyR�eë �y ë xBë�DWßIÇ è â:ß�Å�ã é}Ã&ß�Å�ã�Ã8åFâ�Ì�a�â�ó Ý�ä ÏPÝgÝ�äBÛ�í ïBÞ���âPã�Ý�äBÛ�óXâ±à���ؤÙgåBâ±ÜBÛ©ñ£Ï±Ù�Î?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æÛQÙ]ÝpØ|Ú�Ï�ÝpÛkÙ�â±ã?Ý�äBÛ¥í@ϱÙ�ؤæ�æEâ±ïBÜ�ÝpÙ1âPã¯á Ï�Ýpä Ù1ϱܠå&Ú$ÛkÏPÜ@å¯ÛEàZÙ7ãrÏPޤޱϩÙ1Ï_àpØ|á.Û<ãÌà�ï Ø�ÝQë�ì�äBÛ�à�ÛQÙmïBÞ|Ý�ãÌâ±àïBÜ@æbâ±Ü@Ù]ÝpàpϱØ|ÜBÛQåjá ÏPÝ�ä Ù�ؤÙXÝpà�ؤô?ؤϱÞsñBÙ�Ø|Ü@æbÛ¢Ý�äBÛgÜ?ïBÚ�í@Ûkà_âPã<á@â�Ù�Ù�ؤíBØ|Þ¤Ø|Ý�ؤÛkÙXãÌâ±à�Ù�ؤÿEÛ���Ø�Ù7,�þ<w��<o7ñÏ$ãrÏ©æeÝ&æbâ±Ü@ÙmØ�Ù]ÝpÛEÜ�Ýuó_Ø|Ý�ä�Ý�äBÛ5ÙmؤÚ$áBÞ|Û�á@â©Þ|Û�âPãúo þbj Ö w��¶Ò þ<w / j�,�þ<w��¥� 4 = ë��Bâ±à)Ú$ÛkÏPÜ@å¯ÛEàZÙEñÝpäBà�ÛkÛ�ækϱÙ�ÛkÙ¢ÏPàpÛwÝ�â�í@Û�å¯Ø�ÙmÝ�ؤÜBß±ïBØ�Ù�äBÛkå�åBÛEá.ÛEÜ å¯Ø¤ÜBß#ïBá.â±Ü�Ý�äBÛ5ô�ÏPÞ¤ïBÛ¦â±ã�Ï��ï Ï±Ü�Ý�Ø|Ý]Î#ækÏPÞ¤Þ|ÛQåÝpäBÛwå¯àpØ�ã3ÝQëÂbÃRÄ�Å�Æ_ÇBÆÉÈ�Å�EGÌÌë�Ó#Ð�Õbû Ñ"ýeÓ#��Ö7Ð|ÕDC�ÑPÐ �>C�Ó3ÒÌ×�ÔZ×BÑPù�ѱÔEÒaÕbùeÓ�ýeÒnÓrÔ¢Ö ú�Ð���û7ú��5ÓrÑ�Ð�,�þ m �"�ÒÌ×BÕ&å¯àpØ�ã3ÝÓ�ý��,�"ø±Õ�Ï¥û Ó3ÒnÓrú�û�Ò3× ÕtÜ,� Ñ�û@ÒsÓ3Ò·� Þ)ÒÜ, í þ<w�� Ø�aÜjÝpäBÛ¢ïBÜ?ó�ÛkØ|ß©ä©ÝpÛkåjækϱÙ�Û±ñ�Ý�ä Û¢å¯àpØ|ã3ÝXØ�Ù�Ý�ä?ï Ù�Ý�äBÛ&Ùmï Ú âPã£Ï±Þ|Þ@Ý�äBÛ&á.â©ÙpÙmؤíBÞ¤Ûuô�ÏPÞ¤ïBÛQÙ�â±ã1Ý�äBÛ�]ïBÚ$á Ùkñ�ó_äBØ�æZä�æEâ±Ü ÙmÝ�Ø|Ý�ï¯ÝpÛkÙgϱÜ�ؤܠå¯Ø�æEÏ�Ýpâ±à¢âPã¥ÝpäBÛ õ]ÝpÛEÜ å¯ÛkÜ æbίöjãÌâ±à¢Ý�äBÛ5ó�ÏPÞ��#Ý�â�ß±â"ï á�â±àå¯â�ó_Ü;ë[�aÜwÝpäBÛXáBà�â©í ÏPí Ø|ޤؤÙmÝ�Ø�æ�ækϱÙ�Û)þ-,�þ<wB�%Ò wB�bñJÝ�äBÛ_å¯àpØ|ã3Ý�àpÛEáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝZÙ;ÛE÷¯Ï©æeÝpÞ|΢Ý�ä Û�ÛE÷?á.ÛkæbÝ�ÛQåÚ$â�ô±ÛkÚ$ÛEÜ�ÝwØ|Ü�Ý�äBÛ´M�èaå¯Ø¤à�ÛQæeÝ�ؤâ±Ü â±ã�ÏPÜ?Î�Ù�Ø|Ü ß±Þ¤Û"Ù]ÝpÛEá1ë-� â±à5Ï�ÙmÎ?Ú$Ú$ÛbÝpà�Ø�æ�ó�ÏPÞ��.ñ£Ý�ä Û�å¯àpØ�ã3ÝØ�ÙhÞ�ÒË�Bñ¯ó_ä Ø|Þ¤Û$ø�Ò w±ëçiè Ã!È+å�Ã&éñ¨3Ì{�¥ú�ûBýeÓrø©Õbù$Ñ�ýeÓ#�uÖ.Ð|Õ�ÑZÖBÕEùeÓrúkøPÓrÔDC�Ñ�Ð �k+eß7×BÕ5û'�I�h�ZÕbù¦úmüXÖ Ñ�ÒÌ×�ý5úmügÐ|ÕEûR�±Ò3×M��"Z j o ^!o þbj Ö w��"¥Ó�ýK,�þ<w�� o Õ9Î?Ñ©ÔbÒnÐ��k+GF7ÕEÒÒ = þbj!�Xð�Ò ¥�Þ$  * þ<w / m ÞPþ-jR�9� Øß7×BÕ�Ñ�ý�����Ö7ÒLúPÒsÓrÔ5ûK�I���ZÕEù�ú]ü��$ÕZÑ�û7ø±ÕEùZý5ø±ÕaÖ Õbû7øJý5úPû�ÒÌ×BÕ¦ýeÓg�Pû�úmüwÒÌ×BÕ$ø�ùeÓ üZÒ)Þ�Ò), í þ¥wB�5ÑJýübúPÐ3Ð|úFC<ý(HÞ�ÒË� ð Z j o ^ s þ-j Ö wB� Ò ºF. ,�þ¥wB� o! þG� Õ w � £ =� � £ *� * � î|î�î ׺ . ð�Ò � x ,�þ<w��, í í þ¥wB� Ò = þ9ö!� Ö ö�Ò©,�þ@ø'� 4 = Ò©,�þ<w�� 4 = m޳ɿ� ð Z j o ^ s þ-j Ö wB� Ò º ¾. ,�þ@ø'� ox ! þG� £ � w � £ í =� � £ í*� * � î�î|î �º ¾. ð�Ò / � x ,�þ9ø'� £, í í þ@ø'� Ò = þ9ö!�,�þ@ø'� / ,�þ¥wB� Ö ö�Ò©,�þ@ø'� 4 = mÞ³9¿� ð Z j o ^ s þ-j Ö wB� Ò � . ,�þ¥wB� o � º ¾. ,�þ@ø'� ox ! þG� £ � w � £ í í=� � £ í í*� * � î�î|î �� . ð�Ò þ<w / m = þ@ö = �9� Ò = þ9ö = � Ö ö = ð�ÒÜ,�þ¥wB� 4 = Øì�äBÛ_ãÌâ©à�Ú�ïBÞÄ��ä ÏJô©Û�ϱÜ$Ø|Ü�Ý�ï Ø�ÝpØ|ô©Û�Ú$ÛkÏPÜ Ø|ÜBß@ë3�aÜ5ÝpäBÛuæEÏ©ÙmÛ�â±ã7Ï&á.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û�å¯àpØ�ã3ÝQñ©Ï¢ãÌàZϱæeÝpØ|â©Ü

æEÞ|â�ÙmÛ�Ý�â � .�âPã@ϱÞ|Þ�Ý�ä Û¢þrïBÜ æbâ©Ü ÙmÝ�àZÏPؤÜBÛkå'�;ó�ÏPÞ��?Ù£Ø�Ù�Ï)Ú$Ûkϱܠå¯ÛEàQñ�ؤÜ�ϱækæbâ©àpåBϱܠæbÛ¥ãÌâ±à�Ý�äBÛ�ó�ÏPÞ��¯ÙÝpâ)ä ÏJô©ÛXÏ)Ü ÏPÝ�ïBàZÏPÞ�Ý�ÛkÜ å¯ÛkÜ æbÎ&Ýpâ¢ß©â)ï á1ë�� â±à<ÜBÛkß©Ï�ÝpØ|ô©Û�å¯àpØ|ã3Ýkñ±Ú$â�Ù]Ý<á Ï�Ýpä Ù�Ý�ÛkÜ å¦Ý�â¢ß±â&å¯â�ó_ÜϱܠåjÝpäBÛ&áBàpâ±á.â±à�Ý�ؤâ±Ü"â±ã£Ú$Ûkϱܠå¯ÛkàpÙ�Ø�Ù�Ûb÷¯á.â±ÜBÛkÜ©ÝpؤϱÞ|Þ¤ÎjÙ�Ú$ϱÞ|Þnñ¯àpâ±ïBß©äBÞ|Î�Þ¤Ø��±Û�þb,�þ9ø'�$¸F,�þ¥wB�9� o ë� â±à&ÿEÛkà�â�å¯à�Ø|ã3Ýkñ1Ý�äBÛ$áBàpâ±á.â±à�Ý�ؤâ±Ü�í@ÛQæbâ±Ú$ÛQ٢ϩ٢ޤϱà�ß©Û�ϱÙ�wF¸ ! ��ñ1ó_äBؤÞ|Û5Ý�ä Û5ó�ÏPÞ��¯Ù�ÝpÛEÜ å�Ýpââ�Ù�æEØ|Þ¤Þ¤ÏPÝ�Û¢ÜBâPÝ_Ýpâ?â�ãrϱà�ãÌà�â©Ú ÝpäBÛgäBâ±àpؤÿEâ±Ü�ÝZÏPÞ7Ï�÷¯Ø¤Ùkë

Page 27: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ * (ÃXùpúkúmü�+uì�äBÛgå¯Ø�Ùpæbï ÙpÙmؤâ±Ü�Ø�Ù_í Ï±Ù�Ûkå�â±Ü�Ý�ä Û&ãÌâ±àpÚ¦ïBÞ�Ï5âPã�ç�â©à�â©Þ|Þ�ÏPàpÎewgà�Ûkó_à�Ø|ÝmÝpÛEÜ#ϱÙs þbj Ö w���Ò w / m�= þbj!�w / j8,�þ¥wB� Ò = þ-jR� Ö Ò = þbj!��ð�Ò ¥�Þ$  * þ<w / m Þ þbj!�¥� Ø

�LÝ�Ù�ïI§jæbÛkÙ�Ýpâ5ÛE÷BÏPÚ$Ø|Ü ÛuÝpäBÛ&á@â�ÙmØ|Ý�ؤâ±Ü�âPã1ÝpäBÛgÿEÛkà�â�Ù�ϱܠå�ÝpäBÛwå¯â©Ú5ؤܠϱܩÝ_Ù�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Î$âPã£Ý�äBÛÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�Ýpâ±à�ؤÜ�à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü5Ý�â�wx¸F,�þ¥wB�£Ýpä Ï�ÝXؤÙ�ÏPÞ¤óXÏJίÙ�Ï&ÿEÛkà�âgâ±ã7Ý�äBÛ¢å¯ÛEÜBâ©Ú$Ø|Ü ÏPÝ�â©àkë�Í�Î5áBàpâ?âPãϱà�ß©ïBÚ$ÛEÜ�ÝpÙ�Ù�Ø|Ú$ؤޤϱà�Ýpâh�1ÛEÚ$Ú�Ïhx¯ñ?ÝpäBÛ/�ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]Î Ò = þbj!�eñBí.ÛEؤÜBß�Ï$ÙmÎ?Ú$Ú$ÛbÝpà�Ø�æ)ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü#âPãÙ�Ú�ÏPÞ¤ÞBíBàZÏPÜ æZäBÛQÙ�ÛkÏ©æZä$âPã1ó_äBØ�æZä�ؤÙ�å¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpÛkå$í?Î m = ñ�Ú¦ï@Ù]Ý�àpÛEÚ�ϱØ|ÜjϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æXÝ�äBàpâ±ïBß©äBâ±ïBÝÈ jGÈ ø ö.ë�aÜ�ÝpäBÛ�ækϱÙ�Û%ÞhÒ �Bñ7â±Ü Û¦ä Ï©ÙN, í þ<wB��ÒÔ�Bñ�ø&Ò w±ñ7ÏPÜ å ö�Ò wx¸3,�þ@ø'��Ò wF¸F,�þ¥wB�eë¢ì�ä?ï ÙEñþ¥w / m�= ��æEâ±Ü�Ý�àpؤíBï¯Ý�ÛQÙ�Ï¢ÝpÛEàpÚ â±ã.ÝpäBÛ�ãÌâ©à�Ú�þ<w / jn¸öI� =$¹ * ÏPÝYj�Òûö¦ó_äBؤÞ|Û�Ý�äBÛ¢å¯ÛEÜBâ©Ú$Ø|Ü ÏPÝ�â©àþ¥w / j8,�þ¥wB�9��ä Ï±Ù)ÏjÙ�Ø|Ú$áBÞ¤Û¦ÿkÛEàpâ$Ý�äBÛkà�Û©ë�s¢Þ|â©í ÏPޤޤαñ@Ý�äBÛ5ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à�Ø|Ý]Î"â±ã s þ-j Ö wB��Ø�ÙuÝ�ä?ï Ù)âPãÝ]Î?á.Û�wF¸ ! ñBÏPÜ@å"ÝpäBÛgàpÛkÙ�ïBÞ�Ý�ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó�ÙEë�Bâ©à"Ï ÜBÛkß©Ï�ÝpØ|ô©Û�å¯àpØ�ã3ÝQñ_Ú5ÛQÏPÜBؤÜBßÆ, í þ<w��ÊÉ � ñ�â±ÜBÛ�Ú�ï ÙmÝjä ÏJô±ÛÌøì9 w±ñ_Ù�Ø|Ü æEÛÊ, í þ m �ؤܠæbàpÛkÏ©ÙmÛQÙ�ãÌà�â©Ú / × Ý�â � × ó_ä ÛEÜ m àpϱÜBß±ÛQÙ�ãÌà�â©Ú � p Ý�â � × ëÁV+Ø�Ýpä öÁÒ wF¸F,�þ@ø'�þÌÝ�äBÛjÙmÝ�àpï æeÝpïBàZÏPÞ�àZϱå¯Ø¤ï Ù�)ϱܠå�ö = ð�ÒWwx¸F,�þ¥wB�bñ1â±ÜBÛ5ÝpäBÛEÜ ä Ï©Ù�ö = É]ö.ëh�aÜ�ÝpäBØ�ÙwæEÏ©ÙmÛ©ñ�Ý�äBÛáBàpÛbãrÏ©æeÝpâ±à�þ¥w / j�,�þ<wB�9� 4 = ä Ï©Ù)Ï"á@â©Þ|Û5Ï�Ý�ö = m7ÝpäBØ�Ù)á.â±Þ¤Û¦Ø�Ù)äBâ�ó�Ûkô±ÛkàuæEϱܠæbÛkÞ|Þ¤Ûkå�í?Î�ÏjÿkÛEàpâؤÜ"ÝpäBÛ&Ü?ïBÚ$ÛEàZÏ�Ý�â©à�Ø|Ü åBï æbÛQå"í?Î�ÝpäBÛgÜ?ïBÚ$ÛEàZÏ�Ý�â©à¢þ¥w / m�= þbj!�¥�¢þsÙmؤܠæbÛ m�= þ9ö = ��ÒÔw��eñBÙ�â¦Ýpä Ï�Ýö = ؤÙ_Ï5àpÛEÚ$â�ô�ÏPíBÞ¤Û¢Ù�ؤÜBß±ïBÞ�ÏPàpØ|Ý]Î�âPã s þ-j Ö wB�bë¥ç�â©Ü Ù�ÛP�ïBÛEÜ�ÝpÞ|Ωñ?Ý�äBÛwå¯â©Ú$Ø|ܠϱÜ�Ý_Ù�ؤÜBß±ïBÞ�ÏPàpØ|Ý]Î�âPãs þ-j Ö wB��ؤÙ�ÏPÝhö@ñBó_ä ÛEàpÛ s þ-j Ö wB��Ø�Ù�âPã�Ý�äBÛwÙ��ï ÏPàpÛbèLà�â?â±Ý�Ý]Î?á@Û©ë�Bâ©àgÏjá.â©Ù�Ø�ÝpØ|ô©Û5å¯àpØ|ã3Ýkñ1â©ÜBÛ¦Ú�ï Ù]Ýgä ÏJô©Û%ø_É w±ñ�Ù�â"Ýpä Ï�Ý¢Ý�äBÛ$áBàpÛbãrÏ©æeÝpâ±à¢Ø|Ü åBï æbÛQÙ¢Ï"á@â©Þ|ÛÏPÝnö = ð�ÒÔwF¸F,�þ¥wB��í@ÛEãÌâ±àpÛ Ò = â©à)w / m�= í@ÛQæbâ©Ú5ÛwÙ�ؤÜBß±ïBÞ�ÏPàQë¥ì�äBÛwϱà�ß©ïBÚ$ÛEÜ�Ý�æEâ±Ü æEÞ|ï@å¯ÛkÙ_í?ÎõpÙmïBíBÝ�àZϱæeÝpØ|Ü ß5Ù�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�ÝpØ|ÛQÙ�ö ñ¯ÙmؤܠæbÛ¢ÝpäBÛ&ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü1ñ

s þ-j Ö wB� / Ò = þ@ö = �bþ¥w / m = þ@ö = �¥�w / j�,�þ<w�� Ö ö = ð�Ò w,�þ<w�� ÖÜBâ�ó ä Ï±Ù_Ï$å¯â©Ú$Ø|ܠϱÜ�Ý_Ù�ؤÜBß±ïBÞ�ÏPàpØ|Ý]Î�âPã�Ý�äBÛwÙ��ï ÏPàpÛbèLà�â?â±Ý�Ý]Î?á@ÛwÏPÝhö@ë �ì�äBÛ¢Ûkϱà�Þ¤Ø|Ûkà�å¯Ø�Ù�æEï ÙpÙmؤâ±Ü"ϱí@â©ï¯Ý�ÝpäBÛ&ÏPޤ߱ÛEí àpϱؤæ_æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEà�â±ã;ϱÙ�Î?Ú5áBÝ�âPÝpؤæ)æbâ©Ü Ù]ÝZÏPÜ�ÝpÙ�ÏPá¯è

áBޤؤÛkÙkð3�ï ÏPÜ�ÝpØ�ÝpØ|ÛQÙ£Þ¤Ø��±Û Ò = þ@ö = ��ÏPÜ å Ò = þ@öI��æEÏPÜ5í.Û�åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛkå�í?Φϱå ÏPá¯ÝpØ|ÜBß � ޤ߱â©à�Ø|Ý�ä Ú nâ±ã��?ÛkæbÝ�ؤâ±Ü&x¯ë yBë��?äBâ©ïBÞ�åjÝpäBÛgå¯ÛEß©à�ÛkÛkÙXâPã1ÝpäBÛwÏPޤ߱ÛkíBàZÏPØ�æ�Ü?ïBÚ¦í.ÛEàZÙXØ|Ü?ô©â±Þ¤ô±Ûkåjí@ÛQæbâ±Ú$Û¢ãrÏPؤàpÞ|ÎÞ�ÏPàpß±Û©ñ�â©ÜBÛgæEϱÜ�ϱÞ|ó�ÏJίÙ�àpÛkÙ�â±à�ÝXÝ�â�Ü?ïBÚ$ÛEàpؤækÏPÞ�ÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Ø�Ù_ϱÙ�Ý�äBÛgÜ Ûb÷?Ý�Ûb÷BÏPÚ$áBÞ¤Û&Ø|Þ¤Þ¤ï Ù]ÝpàpÏPÝ�ÛQÙEë����¹���»+��º�I�* ��� Ô���5Ö ÕEùeÓrúkø�ýjÓ3û øPÓrÕ�ÔZÑ�ýZÒnÓ3ûR�R+��aÜ�Z j�y¯ñ�á1ë�\Rc�^nñ�=´?â©Þ|Î�Ï"ؤÜ�Ý�àpâ?åBï æbÛQÙ&Ý�äBÛãÌâ©Þ|Þ¤â�ó_Ø|ܠߦáBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ#ð � §Xûi6EÕEÒLÑPû Ò�x5� ø?JÕeýLKÑ�ФÑ_übú�Ó�ý"XúPû$ÖBÕ,�¯Ò�ú��bÒaÕbû@Ó3ù¦ø�Ó M=JÕEù�ÕEû ÒaÕeý¢ýEú����$Õbýø©Õ&Ö ú�Ó3û@Òrý"ø±Õ�x��NKÑ-wBx�� +>�;Õ�ÔZÑJý�Ð|ÕgÖ.Ð��?ý¢Ö7ù�úk�ZÑk�EÐ|Õ#ÕbýZÒ&ÔZÕbÐ��¯Óuø©Õh]�� ÖBúPÓ3û Òsý�+e�OJÕeýeÓg�±û.úPûBýÖ Ñ�ùNØ o Ð|Õ�û7ú��h�bù�Õ$ø©Õ�Ôpú5���EÓ3û.ÑPÓ�ýEú�ûBý$úPK��ýEÕuÖ.ùpúkø5�¯Ó3Ò_ÔZÕEÒQJÕ�ÐRJÕbû7Õ���ÕEû Ò~+< M�aÚ�ϱ߱ؤÜBÛ&Ý�ä ÏPÝ¢ÏPÝÛQϱæZä âPã�� à�â©ïBÜ åBÙgÝ]ó�â�åBؤæEÛ"ÏPàpÛjæEÏ©Ù]Ý�ϱܠå�Ý�ä Û"Ù�æEâ±àpÛ�âPã�Ý�ä Û"àpâ±ïBÜ å�Ø�ÙgÝpäBÛ�Ù�ïBÚ âPã�Ý�äBÛÝ]óXâ�å¯Ø�æbÛku Ùwô�ϱÞ|ïBÛQÙEëÌ=´?â©Þ|Î�Ï�Ý�ä?ï Ù¦æEâ±Ü Ù�Ø�å¯ÛEàZÙ&Ý�ä ÛjÜ?ïBÚ¦í.ÛEà�âPã_óXÏJίÙ�Ø o þsÏPÜ å�áBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]ÎØ o ¸�ykj o �XâPã<à�ÛQϱæZäBؤÜBß5Ý�äBÛgí@ÏPÞ�ÏPÜ æEÛkå#Ù�æEâ±àpÛ�]���ÏPÝ_Ý�äBÛ¦ÛEÜ å�âPã�Ï$ߩϱÚ$Û¢â±ã<åBؤæEÛwæbâ±Ü@ÙmØ�Ù]ÝpØ|Ü ßâ±ã � àpâ±ïBÜ@åBÙEëÊ=@?â±Þ¤Î©Ï#áBàpâ¯æbÛkÛkåBÙgí?Î ÏPÜ Ø¤Ü�Ý�ÛEß©àpϱÞ�àpÛEáBàpÛkÙ�ÛEÜ�ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü þÌá à�ÛQæbØ�ÙmÛkÞ|Î�âPã�Ý�ä ÛjÝ]Î?á@Ûï Ù�Ûkå$ؤÜ$Ý�ä ÛuáBàpâ?âPã�âPã1ì�äBÛkâ±àpÛEÚ w��<ãÌàpâ±Ú ó_äBØ�æZä�äBÛuæbâ©Ü æbÞ¤ï å¯ÛQÙ�Ýpä Ï�Ý�Ý�äBÛ�s��_Ø�þbj!�<ä Ï±Ù¥Ý�äBÛæZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàXâPã�ÏPÜ#ÏPޤ߱ÛEí àpϱؤæuãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü1ñBí ï¯Ýuå¯â?ÛkÙ�ÜBâ±Ý�Ú�Ï5�±Û¢ÝpäBÛwæEϱޤæEïBÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü�Ûb÷¯áBޤؤæEØ�ÝQëÍXÎwæbÛkÜ©Ýpà�ؤÜBߢÏPàpâ±ïBÜ ågÝ�äBÛXÚ$ÛkÏPÜ5Ù�æEâ±àpÛ�â±ã@Ï�àpâ±ïBÜ@å�ñ�ó_äBØ�æZä¦ÛP�ï Ï±Þ¤Ù�]?ñ�Ø|Ý<ؤÙ�ÛkÏ©Ùmؤޤ΢àpÛkϱÞ|ؤÿEÛQå

Ýpä Ï�Ý�Ý�ä ÛgáBà�â©íBÞ¤ÛEÚ Ø�Ù�ÛP�ïBؤô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�Ý�âjÏ5ó�ÏPÞ��jó_äBâ©Ù�ÛgæZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæuá@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞ�ؤÙ,�þ m ��Ò m 4 Z q w �amD�am * �am £ �Æm á �Æm Z r * Ø�;ÛbÝ p o í.Û¦ÝpäBÛ¦Ü?ïBÚ�í@Ûkà)â±ã¥íBà�Ø�å¯ß©ÛkÙkë¦þrì�äBÛ��ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]Î�p o Ø�Ù)Ûb÷BϱæbÝ�Þ¤Î>=@?â±Þ¤Î©Ï�u ÙKØ o ë �Y.�ÛEàpÛ±ñ£�Ò / cBñF¤tÒ � c�mPÏPÞ�Ùmâ�øMÒ w�Ï©Ù1ÝpäBÛ�ó�ÏPÞ��¢Ø¤Ù�ÙmÎ?Ú$Ú$ÛbÝpà�Ø�æPñ�ÏPÜ@å ötÒ wx¸�y�jBë;ì�ä Û�ϱÙ�Î?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æ

Page 28: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

* Ð >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUÜ?ïBÚ�í@Ûkà_âPã£í à�Ø�å¯ß±ÛQÙ�ؤÙuÙmؤÚ$áBÞ|Î p o Ò j î,y�j o! x * î,y îBc¼î�]�þG� Öó_äBØ�æZä�ؤÙ_Ü âPÝ�ä Ø|ÜBß$íBïBÝuÏPÜ�ÏJô�Ï�Ýpϱà�â±ã£ÝpäBÛgÞ¤â?ækÏPÞ�Þ¤Ø|Ú$Ø|Ý�ߩϱï Ù�Ù�Ø�ÏPÜ"Þ�ÏJógëç�â±Ü@ÙmØ�å¯ÛEàXÜBÛE÷�ÝXÝ�ä Û)Ú$â¯å¯Ø|î@æEÏPÝ�ؤâ±Üjâ±ãL=´?â©Þ|Î�Ï�u Ù¥áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ ó_äBÛkà�Û)ó�Û&ϱÙ9��ãÌâ±àXÝ�äBÛ¢Ü?ïBÚ¦í.ÛEà

â±ãjõmÞ¤ï æ�?Î?ö�ߩϱÚ5ÛQÙEñ�ؤÜ�ÝpäBÛ#ÙmÛkÜ ÙmÛ"Ý�ä ÏPÝ$ÏPÝ$ϱÜ?Î�ÝpØ|Ú$Ûb$gÝ�ä Û�Ùpæbâ©à�Û�ؤÙ5Ï�Ý$Þ|ÛQϱÙmÝh]�$eë�ì�äBؤÙØ�ÙuÛB�ïBØ|ô�ϱÞ|ÛkÜ©Ý)Ý�â�î Ü å¯Ø¤ÜBß"Ý�äBÛ5Ü?ïBÚ¦í.ÛEà&âPã¥Ú$ÛQÏPÜ å¯ÛkàpÙkë�z�÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü ÙuÙ�ïBà�ãrϱæbÛ¦Ø�ã�óXÛ�ãÌïBàmÝpäBÛEàؤÚ$á@â�ÙmÛ�Ý�äBÛ5î Ü@ÏPÞ�Ù�æEâ±àpÛ¦Ýpâ�í.Û�]���ÛE÷BϱæeÝpÞ|Ωë/V�Û5ä@ÏJô±Û%ø�Ò w$ÏPÜ@å ö-Ò =£ � ë��)ÜBÛ$Ùmä â±ïBÞ�åÝpäBÛEÜ#Ûb÷BϱÚ5ؤÜBÛ¢Ý�ä Û)�±ÛEàpÜBÛkÞ�ÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�ÏPÝKj�Ò ö.ñm Z / wykj m Z ,�þ m ��ÒË� ÖÏ©Ù_Ý�ä Ø¤Ù¢ß±Ø¤ô±ÛQÙuϱÞ|Þ£Ý�äBÛ5ô�ÏPÞ¤ïBÛkÙ)âPã�ÝpäBÛ$ÙmÚ�ÏPÞ¤Þ�íBàpϱܠæZäBÛQÙ_Ý�ä ÛEàpÛ±ë�V�Û¦î Ü å�Ýpä Ï�Ý¢Ý�ä ÛEàpÛ�ÏPàpÛMwB�àpâ?âPÝpÙkñ�ÏPÚ$â±Ü ß©ÙmÝ�ó_äBØ�æZä%ø�Ò w�Ø�Ù<Ï&å¯â±ïBí Þ|ÛXà�â?â±Ýkë£ì�ä ÛXÛkØ|ß©ä�Ý�â±Ý�äBÛkà�ß©â)í?Îgá Ï±Ø|àZÙ£âPã.æEâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷æEâ±Ü��]ïBß�Ï�ÝpÛkÙkñ�ó_Ø|Ý�ä* ØÒ / � Ø y�jkyki'w � � Ø xkxkd�x�\ú~ Ö * í ØÒÁ� Ø �kjRx5��i � � Ø \!]5j�xkxI~ Ö* í í ØÒ / w Ø dkjR]�\�j � w Ø xkykd!]�jI~ Ö * í í í ØÒ�� Ø xkjkd�wBd � x Ø �kjk\!]�j ~ Øì�äBÛkÜ1ñ¥ÝpäBÛ&�ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]Î#Ò = þ9ö!��Ø�Ù5åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤÜBÛkå Ü?ïBÚ$ÛEàpؤækÏPÞ¤Þ|Î�Ï©Ù�Ý�äBÛ#áBàpâ¯å¯ï æeÝ�â±ã�Ý�äBÛ�àpâ?âPÝZÙâ±ã�Ú5â¯å¯ï Þ|ï Ù�Þ¤ÛkÙpÙgÝ�ä@ÏPÜ°ø¿Ò w±ñ<Ü ÏPÚ$ÛkÞ|ΩñR* *R* í * í ë�V�Û�î Ü å#Ò = þ@öI� ØÒ � Ø \!x5j5\RiBñ�Ùmâ�Ýpä Ï�ÝÝpäBÛ�æEâ±Ü ÙmÝpϱܩÝ)Ø|Ü�ÝpäBÛ�Ï©ÙmÎ?Ú$á¯ÝpâPÝ�Ø�ægãÌâ©à�Ú�ïBÞ�Ï$ãÌâ±à)Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü Ù�æEϱÜ�í.Û�å¯ÛEÝ�ÛEàpÚ$Ø|Ü Ûkå#Ýpâ"ß±àpÛkÏPÝÏ©æEæbï àpÏ©æbÎ7ð

þÉ\�j�� r o Ò h]î ykj o! � £ Ö h ØÒË� Ø y�c5i�j�c�\!xIw�wkw[y�\!c!wPi�i�jIw�]5x Ø�aÜ$ÝpäBÛ)ÙpÏPÚ$Û_ô±ÛkØ|Ü;ñ©óXÛuå¯ÛEÝ�ÛEàpÚ$Ø|Ü Û Ò = þ@öI��Ò þ¥w / *k�Eþ<w / *5�Eþ<w / * í �Eþ<w / * í ��Ý�âwí.Û Ò = þ@öI� ØÒx Ø w�wPj�w�c¯ñ�ÏPÜ å wy�j o Z j o ^ s þbj Ö wB� Ò h í! � Ö h í ØÒÁ� Ø d�yk�!]!w3ckdkjkdk\ iR]�]�dkd�x5��x!wBjß©Ø|ô©ÛkÙ�Ý�äBÛgá à�â©í ÏPíBؤޤØ�Ý]Îjâ±ã�Ï5Þ¤ï æ�?ÎjߩϱÚ5Û�þsÏ$Ú5ÛQÏPÜ åBÛEà��eë �=´?â©Þ|Î�Ï�u ÙjÛE÷¯Ï±Ú$áBÞ|Û�Ø�Ù"ؤÜ�Ý�ÛEàpÛkÙmÝ�ؤÜBß Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï àpϱÞ|ޤαë �Bâ©à�ؤܠÙmÝpϱܠæbÛ©ñ�Ý�ä Û�ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü æEâ±Ü¯èÙmÝpϱܩÝKh Ø|Ü þ_\Rj���Ø|Ü?ô©â±Þ¤ô±ÛkÙwÒ = þ9ö!��Ýpä Ï�Ý_Ø�Ù_Ï�àpâ?âPÝ�âPã<Ï5Ù�ÛEÞ|ã3èLà�ÛQæbؤáBà�â¯ækÏPÞ.á@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú5Ø�ÏPÞ�S_þbM��XâPãå¯Ûkß±àpÛEÛ)wBjjþ3ãÌâ©ïBÜ å�í?Î � ޤ߱â±àpØ|Ý�äBÚ n+ÏPÜ@å$ãrϱæbÝ�â±àpؤÿkÏ�ÝpØ|â©ÜK�eñ©Ø�ÝZÙmÛkÞ�ã1ÛB�ïBØ|ô�ϱÞ|ÛkÜ©Ý�Ý�â�Ïwà�ÛQÙmâ©Þ|ô©ÛEÜ�Ýâ±ã�å¯Ûkß±àpÛEÛ)i�Ý�ä ÏPÝ_Ý�ïBàpÜ Ù�â±ïBÝ_Ý�â$í@Ûgؤàpà�ÛQå¯ï æbؤíBÞ¤Û±ñS_þ!M���Ò M Ð ¯S_þbM � M 4 = �¯S_þ_ÝI�tÒ Ý Ð / w�]�Ý ( / w�ckx5Ý � � y5\kÝ Z / ckcIwPÝ á / wBxk��cky5Ý £ � ik��yki5Ý * � y�ikj�d�x�Ý � wBxkjkj5\ ÖíBïBÝ�ÏPޤ߱ÛkíBàZÏXÙmÝ�â©á Ù�ÝpäBÛEàpÛ±ë3�aÜwæbâ©Ü©ÝpàpÏ©Ù]ÝQñQϱܠÏPÞ¤Î?ؤÙ1í Ï±Ù�Ûkå&â©Ü&Ý�äBÛ�åBÛkæbâ©Ú$á@â�Ù�ϱíBØ|Þ¤Ø|Ý]΢å¯Ûkô±â©Þ|ô?ؤÜBßãÌàpâ±Ú ÝpäBÛ)�±Ûkà�Ü ÛEÞ�Ú$ÛbÝpäBâ¯å�á à�â�ô?Ø�å¯ÛkÙ�ãÌïBÞ¤Þ|Î�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]ãrÏ©æeÝpâ±àpÎ�Ü�ï Ú5Ûkà�Ø�æEϱÞ1ÏPÜ Ù�óXÛEàZÙEëy ë y ë�D�Ã8å�Æ�È�ã3Æ=�kÆÉÇPÆÉÃ&â�Ìuì�äBÛ$å¯Ø�Ù�æEï Ù�Ù�ؤâ±Ü�ϱí@â�ô©Ûwä Ï±Ù)í.ÛEÛEÜ�æbâ©Ü å¯ï æbÝ�Ûkå�ïBÜ å¯ÛkàuÝpäBÛ$ϱÙpÙmïBÚ$á¯èÝpØ|â©Ü�â±ã&ϱá@Ûkà�ؤâ¯å¯Ø�æbØ|Ý]αë � Ù�ó�Û�ÛE÷¯áBޤϱØ|Ü ÜBâ�ógñ_Ù�Ø|Ú$ؤޤϱà�à�ÛQÙmï Þ�ÝZÙ�äBâ±Þ�å ãÌâ±à5Ö ÕbùeÓrúQø�ÓrÔ�ó�ÏPÞ��¯ÙáBàpâ�ô?ؤåBÛkå�Ù�ïBØ�ÝZÏPíBÞ¤Û�æEâ±ÜBß©à�ï ÛEÜ æEÛ�æbâ©Ü å¯Ø|Ý�ؤâ±Ü Ù¢ÏPàpÛwؤÚ$á@â�ÙmÛQå�â±Ü�Ý�äBÛ5Ø|Ü@å¯Ø¤æEÛkÙ)âPã�æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙâ±ã¥ß±ÛEÜ ÛEàZÏ�Ý�ؤÜBß�ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü1ë�� â±à¢à�ÛQϱÙ�â±Ü ÙuÛb÷¯áBÞ�ÏPؤÜBÛkå�Ï�ã3Ý�Ûkà�l)Ûbî@ÜBØ�ÝpØ|â©ÜY\@ñ@óXÛwãÌàpÛEÛkÞ|Î�ϱÙpÙ�ïBÚ$ÛÝpäBÛwÙmÛEÝ_âPã��]ïBÚ$á Ù�Ý�â$í.ÛwÏ�Ý�Þ¤ÛkÏ©Ù]Ý_àpÛkå¯ï æEÛkå�ñBÏ©ÙXÝ�äBØ�Ù_ؤÚ$áBÞ|ؤÛkÙ�ÜBâ$Þ|â�Ù�Ù�ؤÜ#ß±ÛEÜ ÛEàZÏPÞ¤Ø�Ý]Ωëì�Ï5�±ÛgÏ$Ù�ÛbÝ�Ñ æbâ©à�àpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß�Ý�â$á@Ûkà�ؤâ¯å�®;ë�V�ÛwÙ¥�©ÛbÝpæZä�Ý�ä Ûwå¯Ø¤Ùpæbï@Ù�Ù�Ø|â©Ü�ؤÜ�Ý�äBÛwækϱÙ�Û&âPã

ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü Ùkñ±ó_Ø|Ý�ä r þbj!�<ÝpäBÛ&æbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß�s��Xë?ì�ä ÛEÜ1ñ r þ-jR��ؤÙ�á.ÛEàpØ|â¯å¯Ø�æ�ó_Ø|Ý�ä�á@Ûkà�ؤâ¯åi®;ñÚ$ÛkϱÜBؤÜBß"Ýpä Ï�ÝgØ|Ýgؤ٢âPã�Ý�äBÛ�ãÌâ±àpÚ r þ-jR��Ò ¯r þbj ° �uãÌâ©à&Ù�â±Ú$ÛÔ¯r þbj!��Ý�ä ÏPÝ&Ø�Ù&ÏPܠϱÞ|Î�Ýpؤæ5Ï�Ý/�Bë

Page 29: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ *$ïì�äBÛ¦ãÌâ±àpÛEß©â±Ø¤ÜBß"å¯Ø�Ù�æEï ÙpÙmؤâ±Ü�â±ã�Ù�Ú$ϱÞ|Þ�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙuæEâ±Ü�Ý�ؤÜ?ïBÛkÙuÝ�â#ÏPá áBÞ|Î�Ï©ÙuÞ¤â±ÜBß�ϱÙDÈ j�È.Ù]ÝZÏJίÙؤܠÙ�ؤå¯ÛuÝ�äBÛ¢å¯Ø�Ù¥��È j�È&ÉÔö@ñ¯ÏPÜ@å$Ý�äBÛ)Þ|â¯ækÏPÞ@ϱܠÏPޤίÙmØ�Ù�þÉ\Rxk�¥âPã m = æbâ©Ü�Ý�ؤÜ�ï ÛkÙ�Ýpâ¦äBâ©Þ¤å"ϱÙúj 2 ö@ë.uâ�ó�Ûkô±ÛEàQñ Ø|ÝwÏPáBá.ÛkϱàpÙ)ÜBâ�ó Ýpä Ï�Ý¢Ý�äBÛkà�Û$ÏPàpÛN® æbâ©Ü��]ïBß�Ï�Ý�Û5å¯â±Ú$ؤܠÏPÜ�ÝgÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý�ؤÛkÙ)Ï�Ý¢Ý�äBÛá.â±Ø¤Ü�ÝpÙ ö5Þgð�Òûö�T Þ Ö T�Ò©½ *$¿ÁÀ ¹ ° Ø�aÜ åBÛEÛkå1ñ r þbj!��ÙpÏ�Ý�Ø�Ùmî ÛkÙ r þbj!��Ò r þ5T&j!�eñ7ó_äBؤޤÛ�z%©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü�þÉ\Rx���å¯ÛQÙ�æEà�ؤí@ÛQÙ_ÝpäBÛ�í.ÛEä@ÏJô�ؤâ±ï àâ±ã m = þbj!�&Ï�Ý$ö Þ ï á@â©Ü æZä@ÏPÜBß©Ø|ÜBßÌj�ؤÜ�Ý�â�j&¸UT Þ ëjì�ä ÛEÜ1ñ�ÛkÏ©æZä�â±ã�Ý�ä Ûi® ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±àgÛEÞ¤ÛEÚ$ÛEÜ�ÝpÙæEïBÚ¦ïBÞ�Ï�ÝpÛ�ϱܠå�æbâ©Ü�Ý�àpØ|íBïBÝ�Û��]â©Ø|Ü�ÝpÞ|Î#Ýpâ�Z j o ^ r þbj!�_á à�â�ô?Ø�å¯Ûkåe� � � Ú5â¯å�®;ë/�)ÜBÛ�î Ü åBÙ)ؤÜÝpäBؤÙ�ó�ÏJÎ r o Ò ® � . ,�þ9ø'� ox ! þG� £ Ö �&ÒÆ®0º Ö º V é ; .ó_äBÛkà�Û � .gØ�ÙgþrÙmÝ�ؤÞ|Þ#��ß©Ø|ô©ÛEÜ"í?Î�þÉykiR�eëì�äBÛuϱܠÏPޤίÙmØ�Ù<ÛkÏ©ÙmؤޤΦϱåBϱá¯ÝpÙ�Ý�â&Ý�ä Û�âPÝpäBÛEà�Ý]Î?á.ÛkÙ�â±ã�á Ï�Ýpä Ù¥æbâ©Ü Ù�ؤå¯Ûkà�ÛQå�ñ±Ï±Ü å$ؤÙ�ÙmïBÚ$Ú�Ï�èàpØ|ÿkÛkå#í?Î�ÏjÙ�Ø|Ú$áBÞ¤Û¦àpïBÞ¤Û±ð�Í;úPù5Ñ�ý��JýeÒLÕ,� ú]üY6��I��Ö.ý5ú]ü�Ö ÕbùeÓrúQø¼®�"�Ò3× Õ�ÑJý����uÖ.Òaú�ÒnÓrÔ_übú�ù�� úmüÒÌ×BÕ�ÔZú��¯û@Ò�úmü¦Ó3û7ø±Õ�Î��Ë���?ýeÒ �ZÕ5ù�ÕbýeÒsùeÓrÔEÒaÕpø�Òaú#Ñjý��¯Ó3ÒaÑk�EÐ|Õ�ÔZú�û!�Pù�� ÕEû.ÔZÕ�ÔEÐ|ÑJýZý5úmü�� Ú$â¯å�®Ó3û#ú�ù�ø©Õbù�übú�ù)ú��!6EÕZÔEÒrýuÒaú¦Õ�ΩÓ�ýeÒrýTJ£ÒÌ×BÕEû�Ò3× Õ¢ÔZúPùeù�ÕeýnÖ ú�û7ø�Ó3ûR��Ñ�ý�����Ö7ÒLúPÒsÓrÔ<übúPù��t�¯Ð|ѦÓ�ý)úk�EÒaÑ�Ó3û.ÕZøüZù�ú5� ÒÌ×BÕ5ÕbýZÒnÓ#��Ñ�ÒaÕ�úmü&Ò3× Õ�ÑZÖBÕEùeÓrúkøPÓrÔjÔZÑJýEÕ¦Ò3ׯù�ú��k�J×e���¯Ð�ÒnÓ Ö.Ð�ÓrÔZÑ�ÒnÓrú�û|�,�"Ñ�übѱÔEÒaú�ù�úmüI®;ë����¹���»+��ºWV�* Û&ý���uÖ.Òaú�ÒnÓrÔbý)ú]ü%��ÕEû.ÕEù�Ñ�Ð�Ó�àQÕZø��/� ÔZ×BúPû;­ ý�ÔEÐ��'�bý,+�V�Ûuà�ÛEÝ�ïBàpܦÝpâ�z�÷BϱÚ5á Þ|Û�c¯ëì�äBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞ�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü�Ø�Ù�w / j.þ m 4 ¥ �am Ñ ��ÒË�Bñ¯ó_ä Ø¤æZä#߱ؤô±ÛQÙ�Ý�äBÛwÙmÝ�àpï æeÝpïBàZÏPÞ1æbâ©Ü ÙmÝpÏPÜ�Ýø�Ò Õ £¤ × =$¹ ± Ö ½�Òð£ � ¤ Øì�äBÛ¦á@Ûkà�ؤâ¯å�ؤÙ)ÛP�ï Ï±Þ1Ýpâ�½�ëuì�äBÛ�Ü�ï Ú¦í.ÛEà¢âPã¥Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü Ù_â±ã¥Þ|ÛkÜBßPÝpä-� ؤÙ)ÜBâ©ÜBÿEÛkà�âjâ©ÜBÞ¤Î�Ø|ã� � � þÌÚ$â¯å̽���ϱܠå�Ø�ÝuÙpÏ�ÝpؤÙmî ÛQÙ¢þró_Ø�Ýpä�û)Ò ö ± �

r ±�» ÒOX ¥ c Ñ û 4 »¥ c Ñ º 4 £ ¹ * Ö û ¥ c Ñ Ò £ ¥ ¤ ѽ ± ÖãÌâ©à¢Ù�â±Ú$Û$æbâ±Ú$áBïBÝpÏPí Þ|Û5æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ý X ¥ c Ñ ë¦ì�äBØ�Ù)ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|ؤÿEÛQÙ_ÝpäBÛ�ÛQÙ]ÝpØ|Ú�ÏPÝ�Û5âPã%l)ï æZäBâ©ÜvZ xkxB^ó_äBâ�å¯ÛbÝpÛEàpÚ5ؤÜBÛQå X * c £ í?Î#Ïjá ÏPà�Ý�Ø�æbïBÞ�ÏPà)ß±àZÏPÚ$Ú�ÏPàuæEâ±Ü ÙmÝ�àpï æbÝ�ؤâ±Ü�ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó�ÛQå#í?Î#Ï"Ùmá.ÛkæEØ�î@æϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ�ÛkÞ|ؤÚ$Ø|Ü ÏPÝ�ؤâ±Ü1ë �

\ ëZY�¹3½EËÌÊ}»�¹;Æ@¹���ºBÅ@º Æ�½�¹;Ä1È·�©Ë��)Ë�ÅÆ�k¹�[�½ì�äBÛuÙ�ؤÜBß±ïBÞ�ÏPà¥ÙmÝ�àpï æbÝ�ïBàpÛ�âPã7í Ï©ÙmØ�æ�ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ÜBß&ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü Ù¥â±ã.á ÏPÝ�ä Ùkñ�íBà�Ø�å¯ß©ÛkÙkñPÚ$ÛkÏPÜ@å¯ÛEàZÙEñ

ϱܠåjÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü ÙXØ�Ù�ó�ÛkÞ|Þ7ÛQÙ]ÝZÏPíBޤؤÙ�äBÛQå"í?Î��?ÛQæeÝpØ|â©Üby ë��)Ü�Ý�ä Û¢â±Ý�äBÛkà�ä ÏPÜ å1ñBÚ�ÏPÜ?Î�á ÏPàZÏPÚ$ÛEèÝpÛEàZÙ&õ�å¯ÛQæbâ±Ú$á.â©Ù�Ûkö¢æbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ|ޤαñ�Ù�â¢Ý�ä ÏPÝ�Ý�äBÛkØ|à%s��¶u Ù�ÏPàpÛ�Ûb÷¯áBàpÛkÙpÙmؤíBÞ¤Û�ؤÜ5Ý�ÛEàpÚ�Ù�âPã@Ý�äBÛí Ï©ÙmØ�æ&ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|Ü ß�ãÌï Ü æeÝpØ|â©Ü ÙEñ.â±àuÛP�ïBؤôJϱÞ|ÛkÜ�Ý�ޤαñBÝpäBÛEÎ�Þ¤Ø|ÛwؤÜ\>$þbj Ö.] m m = Ö,ØPØ,Ø�Ö$m ¥ ��ãÌâ©àuÙmâ©Ú$ÛÙ�ÛbÝ ] âPã�Ú�ϱà9�©ÛEàZÙEët�aÜ�ÝpäBØ�Ùgá ÏPá.ÛEàQñ1óXÛ$â±ÜBÞ¤Î�Ûb÷¯äBؤíBØ|ÝgãÌÛEó Ù�ϱÚ5á Þ|Û�æEÏ©ÙmÛQÙ&âPã�ÏPáBáBÞ¤Ø�æEÏ�ÝpØ|â©Üâ±ã;Ý�ä Ø¤ÙuÚ5ÛEÝ�äBâ¯å¯â©Þ|â©ß±Î©ë � Ù_á.â±Ø¤Ü©ÝpÛkå�í?Î�=�äBØ|ޤؤáBá@Û/n�â±í.ÛEà�ݦþÌáBàpØ|ô�ÏPÝ�Ûwæbâ©Ú$Ú¦ïBÜBØ�æEÏPÝ�ؤâ±ÜK�bñ?Ý�äBÛó_äBâ©Þ|Û�æbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ�èaÏPÜ@ÏPޤΩÝpؤæ"ÏPáBá Ï±àpÏPÝ�ï Ù¦Þ¤Ï±à�ß©ÛEޤΠá ÏPàZÏPÞ¤Þ|ÛkÞ¤Ù�ó_ä ÏPÝ5áBàpâ±í@ÏPíBؤÞ|Ø�ÙmÝpÙ5å¯â�í?ÎÚ$Ûkϱܠ٥â±ãGV+Ø|ÛkÜBÛEà�èò.uâ±á¯ã1å¯ÛQæbâ©Ú5á.â©Ù�Ø|Ý�ؤâ±Ü Ù)þ3Ý�ä Ø¤Ù�ؤÙ�ÏPܠϱÞ|â©ß±â©ï Ù<Ý�âwÝ�äBÛ¢ÙmÛká ÏPàZÏ�ÝpØ|â©Ü5í.ÛbÝ]óXÛEÛkÜÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ;ÏPÜ å�Þ�ÏPàpß±Û&íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ��ϱܠå#ì£Ï±ïBí.ÛEàpؤϱÜ�ÝpäBÛEâ©à�ÛkÚ�ÙgþÌؤܠÙ]ÝpÛkÏ©å#âPã�ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à�Ø|Ý]Î"ÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Ø�ÙÝpä Ï�Ý�Ï��7â±àZåB٣߱àpÛkÏ�ÝpÛEà�ϱÙ�Î�Ú$á¯ÝpâPÝpؤæXϱækæbïBàZϱæEÎuÝpäBà�â©ïBß±ä5æbâ©Ú5á Þ|ÛEÝ�Û�ϱÙ�Î�Ú$á¯ÝpâPÝpؤæ�Ûb÷¯á ÏPÜ@Ùmؤâ±Ü Ù�eë

Page 30: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

£ . >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIU\@ë�w©ë + å� è Ã&â³ß�Å�ã°��ÈKÅ@Ç�ßÝ�5Ç�âkÌ)l)Ûbî ÜBÛ¢ÏPÜjϱàpæZä�ϱÙ�ÏPÜ�Ûb÷BæEïBàpÙ�ؤâ±Ü�âPã1Ù�Ø|ÿkÛi9v�wó_äBâ©Ù�Û�â±Ü Þ|ÎæEâ±Ü�ÝpÏ©æeÝ�ó_Ø�Ýpä�ÝpäBÛgäBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ7Ï�÷¯Ø�Ù�ؤÙ_ÏPÝ�Ø|ÝpÙ�ÛEÜ å�á@â©Ø|Ü�ÝZÙ�ÏPÜ å�Þ¤ÛbÝZ^ í@Û&ÝpäBÛgÙmÛEÝ�âPã�ϱàpæZä ÛkÙkëì�äBÛgÙ�ÛbÝK` âPã�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ù�Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î@ÛkÙXÝ�ä Ûwæbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ.ÛB�ï Ï�ÝpØ|â©Ü` ÒÒ`_ Ó�^�Ú Öó_äBÛkà�Û _ å¯ÛEÜBâ±Ý�ÛQÙ¢Ý�äBÛjæEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�â©à�Ø�ÏPÞ�æbâ©Ü ÙmÝ�àpï æeÝpØ|â©Ü�Ýpä Ï�ÝgãÌàpÛEÛkÞ|Î�ãÌâ±àpÚ$ÙgÙ�ÛP�ïBÛkÜ æbÛQÙEëjÍXÎóXÛEÞ¤ÞG�?ÜBâ�ó_Ü�Ú$ÛQæZä ÏPÜBØ�Ù�Ú$ÙXÝpäBØ�Ù�Ý�àZÏPÜ Ù�Þ�Ï�Ý�ÛQÙ�å¯Ø|àpÛkæbÝ�Þ¤ÎjؤܩÝpâ$Ý�äBÛ�s�� ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±ÜþÉ\!]5� r þbj!��Ò ww / Ø�þbj!� Ö â±àQñ?ÛP�ïBؤô�ÏPÞ¤ÛEÜ�Ý�ޤαñ Ø�þbj!��ÒÔw / wr þ-jR� Øì�äBÛgÙ�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPà�ãÌâ©à�Ú â±ã�Ø�þbj!��Ý�äBÛkÜ�àpÛkÏ©åBÙ�ؤÚ5Ú$ÛQå¯Ø¤ÏPÝ�ÛkÞ|Î7ðr þbj!� Ò r þ@öI� / � . - w / jn¸ö Ö Ø¤Ú$áBÞ¤Î�ؤÜBß Ø�þbj!� Ò � w / wr þ@öI�s�·/ � .r þ9ö!� * - w / jn¸ö Øì�ä?ï Ùkñ¯Ý�ä ÛgÜ�ï Ú¦í.ÛEà�â±ã�ϱàpæZä ÛkÙUØ o Ø�Ù�ϱÙ�Î?Ú5áBÝ�âPÝpؤækÏPÞ¤Þ|Î"áBà�â©á@â©àmÝpØ|â©Ü ÏPÞ7Ýpâ[ö 4 o � 4 £ ¹ * ñBäBÛkÜ æbÛϱޤÙ�â¦Ýpâ$Ý�äBÛgÜ?ïBÚ�í@Ûkà_âPã�Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü Ù r o ël)Ûbî ÜBÛ)Ï&ô±ÛEà�Ý�ÛE÷¦âPã1ϱÜ5ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü5ÜBâ±Ý¥ÛP�ï ÏPÞBÝ�âgâ±Ü Û_âPã.Ý�äBÛ�ÛkÜ å5á@â©Ø|Ü�ÝZÙ�Ý�âgí.ÛuÏjÔZú�û@ÒLÑ©ÔbÒØ|ã¥Ø�ÝZÙ&ÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï å¯Û5Ø�Ù�� ë¢ì�äBÛkÜ1ñ�ئþ-jR� d�p = ؤÙ)Ý�ä Û�s�� âPã�Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Ü Ù_ä ÏJô?ؤÜBß>f�æEâ±Ü�ÝpÏ©æeÝZÙEë��Bâ±àϱÜ�Î5îB÷¯ÛQå>f7ñ?ÝpäBÛ¢ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±ÜÌØ d�p = ä@ϱÙ�ÏPß�ÏPؤÜ�Ï5ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à�Ø|Ý]Î$âPã;ÝpäBÛgÙ9�ï Ï±à�Û)à�â?â±Ý�Ý]Î?á.Û)Ýpä Ï�ÝØ�Ù_ÏPÚ$ÛEÜ@ÏPíBÞ¤Û¢Ý�âjÙ�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]ÎjϱܠÏPޤίÙmØ�ÙEë � Ü#ÛQϱÙ�Î"æEϱޤæEïBÞ¤ÏPÝ�ؤâ±Ü�Ý�äBÛkÜ#߱ؤô±ÛkÙkðçiè Ã!È+å�Ã&éaEGÌ�ß7× Õ)Ö.ù�ú��ZÑk�EÓ3Ð�Ó3Ò���ÒÌ×BÑPÒuÑ�ù�Ñ�û7ø±ú5� Õ9Î?Ô,�¯ùZýeÓrú�û�ú]ü¦ýeÓ�àkÕ)�+× ÑJý f�ÔZú�û@ÒLÑ©ÔbÒsý¦Ó�ýübúPù¦Ñ�û'��Ï�Î?Õpø0f ú]ügÒÌ×BÕ�übú�ù��

wr þ9ö!� * þqf � w�� � w / wr þ@öI�¹� d � ¤ � w�h� Øß7×BÕwû'�I�h�ZÕbùgú]ügÔZú�û@ÒLÑ©ÔbÒsý¢Ó�ý&ÒÌ×!�?ý&Ñ�ý�����Ö7ÒLúPÒsÓrÔZÑ�Ð3Ðg��ø�Ó�ýeÒnùeÓÉ���¯ÒaÕZø$Ð�Ó��©ÕgÒÌ×BÕ&ý��I� úmü¢Ò-C�ú$Ó3û7ø±Õ�EÖ Õbû7ø±ÕEû Ò��©ÕZú���ÕEÒsùeÓrÔ�ù�ÑPû.ø±ú5� Ð�Ñ�ùeÓrÑ��bФÕeý³C�Ó3ÒÌ×�Ö Ñ�ùpÑ���ÕbÒaÕbù�w / r þ9ö!� 4 = +<Xbû$Ö Ñ�ùeÒnÓrÔ��¯Ð|ÑPù"Ø o Ò wr þ@öI� * r o Øì�äBÛ�æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�Ý r þ@öI�gØ�ÙwÛE÷¯áBà�ÛQÙ�Ù�ؤíBÞ|Û�Ø¤Ü ÝpÛEàpÚ$Ù¦âPã�Ý�ä Û��ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]Î©Ò = þ@öI�gÏPÜ@å ؤ٦Ý�ä?ï Ù�Ï

æEÞ|â�ÙmÛ¢à�ÛkÞ¤ÏPÝ�ؤô±Û&âPã � .¦Ø|Ü�Ý�àpâ¯å¯ï æEÛkå�Ø|Ü�ì�äBÛkâ±àpÛEÚ y ëë�Æ ¯¥°G­�²�­¤É_±K¯ºu¥«/ÆÈíB­R¯!b/­�­OÆÿík² uºwnv�­ yY±/Æ wÁ­�c@ªOî[²8yFu¥«/Æ�y�³ V�ÛwíBàpØ|Û�� Î#å¯Ø¤Ùpæbï@Ù�Ù_ä ÛEàpÛÏwæEâ±Ü ÙmÝ�àpï æbÝ�ؤâ±Ü�Ýpä Ï�ÝXà�ÛkÞ¤ÏPÝ�ÛkÙ�Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ù�Ýpâ�ϱàpæZäBÛQÙEë�ç�â±Ü Ù�Ø�å¯ÛEàXÏwíBàpؤåBß±Ûuϱܠå�Þ¤ÛbÝn¿ þró_Ø�Ýpä¿ ø ���<í.Û�ÝpäBÛ�Ú$ؤÜBØ|Ú�ϱÞ@ÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï@å¯Ûuâ±ã�ϱÜ?Φô±ÛkàmÝpÛb÷�ë � Ü?Î�Ü â±ÜBÛkÚ5áBÝ]Î�íBàpØ�å¯ß±Û ý å¯ÛQæbâ©Ú5á.â©Ù�ÛkÙïBÜ Ø��ïBÛkÞ|Î�ؤÜ�Ý�â�Ï�óXϱÞ��Qd = â±ãXÙ�Ø|ÿkÛÌ� w5ãÌà�â©Ú ��Ý�âÌ¿ Ý�ä@Ï�Ýwâ±Ü Þ|Î�àpÛkÏ©æZäBÛkÙ¢Þ¤ÛEô©ÛEÞ�¿�Ï�ÝgØ|ÝpÙàpØ|ß©ä�Ý)ÛEÜ@å�ñ�ãÌâ±Þ¤Þ¤â�ó�ÛQå�í?Î�ÏPÜ�Ûb÷BæbïBàZÙ�Ø|â©Üfe�þ3ÝpäBؤÙ&Ø�Ù¢Ý�ä Û�á Ï±àmÝ&ó_äBÛkà�Û5â±ÜBÛ5ó�ÏPÜ å¯ÛkàpÙ¢ÏPàpâ±ï Ü åíBïBÝ�ÏPí.â�ô±Û�Þ¤ÛEô±ÛkÞÝ¿&�eñ©ãÌâ±Þ¤Þ|â�óXÛkå5í?Î�Ï&á ÏPÝ�ägd * â±ã�Ù�ؤÿEÛ$�¿�¢ãÌà�â©Úú¿ Ýpâ��¢Ý�ä@Ï�Ý�â©ÜBÞ|ΦÝ�â©ï æZäBÛkÙÞ¤ÛEô©ÛEÞÑ¿ ÏPÝ)Ø|ÝpÙ¢í@Ûk߱ؤÜBÜBؤÜBß ëgÍXÎ#à�ÛQÏPàpàpϱÜBß±ÛkÚ$ÛEÜ�ÝkñBâ©ÜBÛ�ækÏPÜ�ó_àpØ|Ý�Û ý Òhe�î?þ,d * È d = �eñ�ó_ä ÛEàpÛÝpäBÛ�ß±Þ¤ïBÛkØ|ÜBߦâPã�d * d = Ø�Ù�ϱÜjÏPàZæZä$ϱܠå5Ý�ä Ûuí Ï±à��±ÛkÛEá Ù¥Ý�àZϱæ�¦â±ã�ó_äBÛEàpÛ_Ý�ä ÛuÙmá Þ|Ø|ÝmÝpØ|ÜBß5Ùmä â±ïBÞ�åâ¯æEæEïBàQë<ì�ä Ø¤Ù_æEâ±Ü ÙmÝ�àpï æeÝpØ|â©Ü�Ø�Ù_ؤÞ|Þ¤ï ÙmÝ�àZÏ�ÝpÛkå�í�ÎjÝ�äBÛ&ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó_Ø|Ü ß$åBؤϱ߱àZÏPÚ#ð

εφ φ1 2

Page 31: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £ =�aÜ�âPÝ�ä ÛEà5ó�â©àpåBÙkñ<Ý�ä Û#Ù�ÛbÝ$âPã¢ÜBâ±Ü ÛEÚ$á¯Ý]Î íBàpؤåBß±ÛkÙ�Ø�Ù5æEâ±Ú�íBØ|Ü@Ï�Ý�â©à�Ø�ÏPÞ¤Þ¤Î�Ø�Ù�â±Ú$â±àpáBäBØ�æ�Ýpâ

ÝpäBÛ$áBà�â¯å¯ï@æeÝwâPã�Ý�äBÛjÙ�ÛbÝwâ±ã�ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü Ù¢í?Î�ÝpäBÛjÙmÛEÝwâPã�ÏPàZæZäBÛkÙ¢ó_Ø|Ý�ä Ï#ÙmáBÞ¤Ø|ݦÙ]ÝpÛEá�Ý�ä ÏPÝwؤÙå¯Ø�ÙmÝ�ؤÜBß±ïBØ�Ù�äBÛkå�ë<ì�äBØ�Ù�æEâ±Ü ÙmÝ�àpï æeÝpØ|â©Ü�Ø�Ù�ÝpäBÛEÜ�Ü âPÝ�ä Ø|ÜBßgí ï¯Ý¥Ý�ä Ûuæbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱޯà�Û�� Ûb÷5âPã.Ý�äBÛØ�å¯ÛEÜ�ÝpØ�Ý]Î

þÉ\�i��íBàpØ�å¯ß±ÛQÙi jlk mp"þbj!� / w�Ò Ûb÷Bæbï àpÙ�Ø|â©Ü Ùi jlk mr þbj!� î Ùmá Þ|Ø|ÝuÏPàZæZäBÛkÙi jnk m� j ¤¤�j ئþ-jR� � Ö

ó_äBØ�æZä1ñ¯Ø¤Ü#ô�ؤÛEó âPã_þ_\I]5��ؤÙ�ÛP�ïBؤôJϱÞ|ÛkÜ�ÝXÝpâpjþ-jR� / w�Ò r þ-jR�Iî�j ¤¤�j � w / wr þ-jR�¹� Ò©j rií þ-jR�r þ-jR� Øþsì�ä�ï@ÙEñ.æbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤækÙ�âPã¥ÏPàZæZäBÛkÙ�ß©Ø|ô©ÛkÙ_í@ϱæ�#ç�â©à�â©Þ|Þ�ÏPàpÎ�x¯ë��b�?ï æZä�àpÛEÞ�Ï�Ý�ؤâ±Ü@Ù�ÏPàpÛ&ïBíBØL©ï Ø�èÝpâ±ï Ù&Ø¤Ü Ý�äBÛ$ÝpäBÛEâ©à�Î�âPã�á Ï�Ýpä ÙEñ;Ý�äBÛ"Ú5â�Ù]ÝgãrϱÚ$â±ï Ù&â©ÜBÛkÙ&í.ÛEؤÜBß-�?ÜBâ�ó_Ü�í?Î�Ý�ä Û�Ü ÏPÚ$ÛkÙwâPã�?á Ø�ÝpÿEÛEà�ÏPÜ åh�?á Ï±à�àpÛ � Ü åBÛEàZÙmÛkÜ1ð£Ù�ÛEÛ�X&Ø|ÝmÝpÛEÞ·u ٥ϱáBá.ÛEÜ å¯Ø|÷5Ý�âMZ y�cB^@ϱܠå��1â±Ý�ä Ï±Ø|àpÛku Ù<í@â?â���Z ckx?ñ�?ÛQæPë�c¯ë y�^�ãÌâ©à$Ï�Ù�ïBÚ$Ú$ϱà�Ωë�n�ϱÜBÛEÎ@u Ù5æEޤϩÙ�Ù�Ø�æ�Z j�cB^uϱܠåvs¢ÛQÙ�Ù�ÛEÞ·u Ù�á@ÏPá.ÛEàZÙbZ ykiBñ�ykd�^_Ú�Ï5�©Ûï Ù�Û¦â±ã�Ù�Ø|Ú$ؤޤϱà)Ø�å¯ÛkÏ©Ù�þmÓ3û ÒaÕbù�Ñ�Ð�ÓrÑ�ñ�ÝpäBÛ�õpæbίæbÞ¤Û¦Þ¤ÛEÚ$Ú�ϱöR��ؤÜ�æEâ±Ú�íBØ|Ü@Ï�Ý�â©à�Ø�ÏPÞ;áBà�â?â±ãrÙuâ±ã¥Ý�äBÛ�£ÏPß±àZÏPÜ ß±ÛgؤÜ�ô©ÛEàZÙmؤâ±Ü#ãÌâ©à�Ú�ïBÞ�ÏBë/�)ÜBÛ�â±ã�Ý�äBÛ$Ú�ÏPÜ?Î�æbâ©Ü Ù�ÛP�ïBÛEÜ@æbÛkÙuâPã¥ÝpäBØ�Ù)â©à�í Ø�Ý¢âPã�Ø�å¯ÛkÏ©ÙEñØ�Ù�ãÌâ±à�ؤܠÙ]ÝZÏPÜ æEÛ"ÝpäBÛ�á.â©ÙpÙmؤíBؤÞ|Ø|Ý]Î âPã&ÏPܠϱÞ|ίÙ�Ø|ÜBß�Ý�äBÛ�Ü?ïBÚ�í@Ûkà$âPãuÝpØ|Ú$ÛQÙ�Ï�í à�Ø�å¯ß±Û#Ï�Ý�ÝpϱØ|Ü ÙØ|ÝpÙuÚ5ؤÜBؤڦïBÚòô�ÏPÞ¤ïBÛwí?Î#ϱåBϱá¯Ý�ؤÜBß$ÝpäBÛ�å¯ÛQæbâ©Ú5á.â©Ù�Ø|Ý�ؤâ±Ü þ_\Ri��_ϱܠå�æbÞ¤â©Ù�ÛEÞ¤Î"Ú$ؤÚ5Ø�æ�?Ø|Ü ß�Ý�äBÛáBàpâ?âPã7âPã;ì�äBÛkâ±àpÛEÚ c¯ë��1â©ï æZä ÏPàZåGu Ù�ÏPܠϱÞ|ίÙ�ÛkÙ�ؤÜYZ c5y�^7áBàpâ�ô?ؤå¯Û_Ú�ϱÜ�Î$ÙmÝ�àpØ��?ؤÜBßgØ|Þ¤Þ¤ï Ù]ÝpàpÏPÝ�ؤâ±Ü Ùâ±ã�Ù�ï æZä�ϱÜ#Ø|Ü�Ý�Ûkà�á Þ¤ÏJÎ�í.ÛbÝ]óXÛEÛkÜ�á à�â©í ÏPíBؤޤؤÙmÝ�Ø�æ&ÏPÜ å�æbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ7áBà�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙEë

\@ë xBë�o�Æ�ÅLß1àYß1à_ÇBÆ_Ç �Lã�Ã�È�pUßÊé}Ã&ß�Å�ã3Ã�å!Ì)ì�ä Û¶Ï�û.Ñ�Ð;ÑPÐ�ÒnÓ3Ò�� ø©Õ¢âPã£Ï�á Ï�Ýpä"Ø�Ù�Ý�äBÛ&ÏPí ÙpæbØ�ÙpÙ�ϦâPãØ|ÝpÙ_ÛkÜ å#á.â±Ø¤Ü©ÝQë¶� â±à�ï Ü æbâ©Ü Ù]ÝpàpϱØ|Ü Ûkå�á Ï�Ýpä ÙkñBÝ�ä Ûwï Ù�ï ÏPÞ1Þ¤â¯æEϱÞ;ÏPÜ å#æEÛEÜ�Ý�àZÏPÞ1ޤؤÚ5Ø|Ý�ÝpäBÛEâ©à�ÛkÚ$ÙãÌâ©à5å¯Ø�ÙpæbàpÛbÝ�Û�àZÏPÜ å¯â©Ú ôJϱà�Ø�ÏPí Þ|ÛQÙ�ϱáBáBÞ¤Î�Z \R�BñXç�ä Ï±á¯Ý�Ûkàhd�^Lñ�Ùmâ�Ý�ä@Ï�Ý5Ý�äBÛ#Þ¤Ø|Ú$Ø|Ý$Þ�ÏJógñ�ÏPã3Ý�ÛEàÜBâ©à�Ú�ϱÞ|ؤÿkÏPÝ�ؤâ±Ü1ñkؤÙ�s&ÏPï ÙpÙmØ�ÏPÜ;ñkÝpäBÛ¥ïBÜ@å¯ÛEàpÞ|Î?ؤÜBß_ÝpÛkæZäBÜBâ©Þ|â©ß±Î)í@ÛkØ|ÜBßuáBޤϱØ|Ü Þ|΢Ý�ä Û�Ù�Ï©åBå¯Þ¤Û¥á.â±Ø¤Ü©ÝÚ$ÛbÝpäBâ¯å�ë�V�Û�æbâ©Ü ÙmØ�å¯Ûkà�ÜBâ�ó Ú$ÛQÏPÜ å¯ÛkàpÙkë ì�äBÛ�àZÏPÜ åBâ±Ú�ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤Û�Ï©Ù�Ù�â¯æbØ�Ï�ÝpÛkå Ý�â î ÜBØ|Ý�ÛϱÞ�ÝpØ�Ýpï å¯Û¢ó_äBÛEÜ"ÝpÏ5�©ÛEÜjâ�ô©ÛEà�Ý�äBÛ&ÙmÛEÝXâ±ã;ÏPÞ¤Þ7Ú5ÛQÏPÜ åBÛEàZÙ¥âPã£Þ|ÛkÜBßPÝpä���Ø�Ù�åBÛEÜBâ±Ý�Ûkå"í?Î ] o ñBϱܠåØ|ÝuÙ�ÏPÝ�Ø�Ù]î@ÛkÙ =�àkþ ] o Ò]f���Ò Z j o m d ^ s þbj Öºm �Z j o ^ s þbj Ö wB� ØV�ÛwÙ]ÝZÏ�ÝpÛ±ðçiè Ã!È+å�Ã&é 6[Ìvß.× Õ�Ï¥û7Ñ�ТÑPÐ�ÒnÓ3Ò�� ø©Õ�úmü�Ñ ù�ÑPû.ø±ú5� �$ÕZÑ�û7ø±ÕEù�úmü�ýeÓ�àQÕ���ѱø��5Ó3Òsý�Ñ Ð�Ó#��Ó3ÒøPÓ�ýZÒnùeÓÉ�,�¯ÒsÓrúPû�"úC�Ó3ÒÌ×#ÒÌ×BÕ¦Ð�Ó#�5Ó3Ò�Ð|Ñ3C �ZÕbÓ3û!��øPÓrÔbÒaÑ�ÒaÕZø��,��ÒÌ×BÕ�ÐJÑPÐ�� Õ�úmügÒÌ×BÕ¦øPùeÓ üZÒ�Þ�+þ!~<��Í;úPùgÑjû.Õò��Ñ�ÒnÓ#ÐJÕ�ø�ùeÓ üZÒ�"�޳ɿ�I"�ÒÌ×BÕwÐ�Ó#��Ó3Ò_ø�Ó�ýeÒnùeÓÉ���¯ÒnÓrú�û�Ó�ý¦Ñjø�Ó�ýEÔEù�ÕbÒaÕ5ú�û.Õ�Ôp× Ñ�ù�Ñ©ÔbÒaÕEù�E

Ó�àQÕZø�Ó3û�ÒLÕEù��¦ýwú]üwÒ3× ÕwÐ|ÑPù���Õt�Eù�Ñ�û7Ôp× Õeý(HޤؤÚo�q � =�àkþ ] o ÒÜf��%ÒÔZ m d ^�Û�þ m � Ö C£×BÕEù�Õ Û�þ m � Ò þ¥w / ø'� *þ m / ø'� * �Ý$; * w / ÝxÝJþ@öI�m / Ý Ý þ9ö!� Ø

þ!~�~<�NXbû�ÒÌ×BÕ5ÔpÑ�ýEÕ�úmü�àQÕbù�ú�ø�ùeÓ üZÒ�"�Þ)Ò���"<ÒÌ×BÕ¦û.úPù��$ÑPÐ�Ó�àQÕZøjù�ÑPû.ø©ú��WÐJÑPùeÓrÑk�EÐ|Õ] or ! � Ö r Ò � , í í þ<wB�,�þ¥wB� Ö

ÔZú�ûKÐJÕEù���ÕeýgÓ3û�Ð|ÑFC+Òaú"Ñ�suÑ���ФÕbÓg�J×�øPÓ�ýeÒsùeÓÉ�,�¯ÒsÓrúPû ø©ÕÉÏ�û.ÕZø��,��ÒÌ×BÕ5ø±ÕEûBýeÓ3Ò���HG½ 4�t ¸ ¹ * HÞ¤Ø|Úo�q%� =¥à � ] or ! � ø H � ÒÔw / ½ 4�t ¸ ¹ * Ø

Page 32: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

£�* >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUþ!~�~�~<�KXeû�Ò3× Õ�ÔZÑ�ýbÕ5ú]üwÑgÖ úJýeÓ3ÒsÓ#Ð�Õ$ø�ùeÓ üZÒ�"�Þ09 ��"<ÒÌ×BÕwýeÒLÑPû.ø©Ñ�ù�øPÓ�àkÕZø�ÐJÕEùZýeÓrú�û ú]ü ] o "] o / � �u ! � Ö � Ò , í þ<w��,�þ<wB� Ö u * Òþã , í í þ<wB�,�þ¥wB� � , í þ<wB�,�þ¥wB�Ê/ � , í þ<w��,�þ<w�� � * ä Ö

ÔZú�ûKÐJÕEù���ÕeýgÓ3û�Ð|ÑFC+Òaú"ÑÊë_Ñ5�?ýZýZÓrÑPûYÐ�Ñ�ùeÓrÑ��bÐ|Õ?v þ�� Ö wB�(HÞ¤Ø|Úo�q%� =¥à � ] o / � �u ! � ø H � Ò w! x3þ ÿ t4 � ½ 4�w ¸ ¹ * ¤ M Ø�aÜ�Ý�äBÛwækϱÙ�Û&âPã�Ï5ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Ûgå¯àpØ�ã3ÝQñ¯Ý�äBÛgޤؤÚ5Ø|Ý�ؤÜBßjå¯Ø�ÙmÝ�àpØ|íBïBÝ�ؤâ±Ü�ϱå¯Ú$Ø|ÝpÙ_ϱÜ�ÛE÷¯áBÞ|Ø�æbØ|Ý_ãÌâ±àpÚZ m d ^�Û�þ m ��Ò ø 4 d þb£5. � £ = f�� � kÝ$; * £ Ý Ý Ý þ@öI� 4 d Ö

ãÌâ©àuÏjÙ�ÛbÝ)â±ã¥æbâ±Ü@Ù]ÝZÏPÜ�ÝpÙK£Þ&Ýpä Ï�Ý&æEϱÜ�í@Û�Ú$Ï©å¯ÛwÛE÷?á Þ|Ø�æbØ|Ýuí?Î�Ïjá ÏPà�Ý�Ø�ÏPÞ;ãÌàpÏ©æeÝ�ؤâ±Ü#ÛE÷?á@ÏPÜ Ù�Ø|â©Üâ±ãLÛ�þ m �bëÃXùpúkúmü�+¦þb~~���Bâ©à)Ï�ÜBÛEß�Ï�ÝpØ|ô©Û¦å¯àpØ�ã3ÝQñ�â±ÜBÛ5å¯Ø|àpÛkæbÝ�Þ¤Î�ÙmäBâ�ó�ÙuÝ�ä@Ï�Ý¢Ý�äBÛ�áBà�â©í ÏPí Ø|Þ¤Ø�Ý]Î#ß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBßãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü�â±ã ] o ÏPÝ m æEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛkÙ�á.â±Ø¤Ü©Ý]ó_Ø�Ù�ÛgÝ�â"Ï$ޤؤÚ5Ø|ÝuÝpä Ï�Ý¢áBàpÛkæbØ�Ù�ÛEÞ¤Î"ÛP�ï Ï±Þ¤ÙKÛ�þ m �eñ@Ý�äBÛæEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛ�äBâ±Þ�å¯Ø¤ÜBß�ãÌâ©à m)V þÉ� Ö wB�bë�ÍXÎ Ý�ä Û"ãÌïBÜ@åBÏPÚ$ÛEÜ�ÝZÏPÞ_æbâ©Ü©ÝpØ|Ü?ïBØ|Ý]Î�Ý�äBÛkâ±àpÛEÚ Z x�]�ñá1ëRx5ik�5^¯ãÌâ±à¥á à�â©í ÏPíBؤޤØ�Ý]Îwß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBߢãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü Ù�þ-=%s��¶u Ù��bñ±ÝpäBؤ٥ÛEÜ�ÝpϱØ|Þ�Ù¥æbâ©Ü?ô±ÛEàpß±ÛkÜ æbÛXؤÜ5Þ�ÏJóâ±ã;Ý�ä Ûwæbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß5åBؤÙpæbàpÛbÝpÛ&åBؤÙmÝ�àpØ|í ï¯Ý�ؤâ±Ü ÙkëV�Û5Ü â�ó îB÷�Ï�ôJϱÞ|ï Û�â±ã m ÝpÏ5�©ÛEÜ�ÏPàpíBØ�Ýpàpϱà�ؤޤÎ�Ø¤Ü þ�� Ö wB�)ÏPÜ å�Ý�àpÛkÏ�ÝpÛkå�ϱÙ&Ï"á@ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEàQëì�äBÛ�=¶s���âPã ] o Ø�Ù Z j o ^ s þ-j Ö$m �Z j o ^ s þbj Ö w�� Öó_äBÛkà�Û s þ-j Ö$m ��Ø�Ùjß©Ø|ô©ÛEÜ�í�Î ì�äBÛkâ±àpÛEÚ xBëË�aÜ Ý�ä Û�æEÏ©ÙmÛ#âPãwÏ ÜBÛkß©ÏPÝ�ؤô±Û�å¯àpØ�ã3Ý"óXÛ&�?ÜBâ�óãÌàpâ±Ú Ý�ä Û�áBàpâ?âPã�â±ã)ì�äBÛEâ©à�ÛkÚ \�Ýpä Ï�ÝÁø¿Ò Ý = þ@öI��Ù�ÏPÝ�Ø�Ù]î ÛQÙ%øl9 w�ó_äBØ|Þ¤Û�Ý�äBÛ#àZϱå¯Ø¤ï Ù�âPãæEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛuâPã s þbj Ö w���æEâ±Ø¤Ü æbØ�å¯ÛQÙ�ó_Ø�Ýpä�ÝpäBÛwÙmÝ�àpï æeÝpïBàpϱÞ�àpÏ©å¯Ø¤ï Ùnö@ë¥ì�ä ÛEÜ1ñ?ÝpäBÛ/�ï ÏPÜ�Ý�Ø|Ý]ÎÒ = þbj Öºm ��Ò Ñ�Ý�; * wm / ÝxÝJþbj!�Ø�٣ϱܠÏPÞ¤Î�Ý�Ø�æ�ؤÜwÝpäBÛ�æbÞ¤â©Ù�Ûkå¦åBؤÙ9�´È j�È ø ö@ð1í.ÛEؤÜBß&Ï)Ù�Î?Ú$Ú5ÛEÝ�àpؤæ¥ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü5âPãBÝpäBÛ�Ü â±ÜBáBàpؤܠæbؤá ÏPÞÞ�ÏPàpß±Û�í àpϱܠæZäBÛkÙkñ±Ø|Ý�ä Ï±Ù�ÜBâ�ϱÞ|ß©ÛEíBàZÏPØ�æ_Ù�Ø|ÜBß©ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]Î�Ý�äBÛkà�Û�m?߱ؤô±ÛEÜjÝ�äBÛ¢ÏPÞ¤à�ÛQϱå¯Î��?ÜBâ�ó_Ü"å¯â©Ú�èؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü�àpÛEÞ�Ï�ÝpØ|â©Ü Ù�í.ÛbÝ]óXÛEÛEÜ�Ý�ä Ûgޤϱà�ß©Û¢í àpϱܠæZäBÛkÙ&þ��1ÛEÚ$Ú�ÏMxk�bñ?Ý�äBÛ�å¯ÛEÜBâ©Ú$Ø|Ü ÏPÝ�â©àpÙ�æEϱÜBÜBâ±Ýô�ÏPܠؤÙ�ä1ë�LݦÝpäBÛEÜ ÙmïI§jæEÛkÙgÝpâ�ÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Û$Ý�ä ÛjãrϱæbÝ�â©à¦æbâ©Ü©ÝZÏPؤÜBؤÜBß�Ý�ä Û"áBàpØ|Ü@æbؤá ÏPÞ¥Þ�ÏPàpß±Û�í àpϱܠæZä|Ý = ëì�äBØ�ÙXãrϱæbÝ�â©à_ä Ï±Ù_Ï5íBàZÏPÜ æZä�á.â±Ø¤Ü©ÝuÏPÝhö@ñBó_ä ÛEàpÛ

wm / Ý = þbj!� Ò wm / ø � wþ m / ø'� * � x ,�þ@ø'�, í í þ9ø'� - w / jn¸ö Ö

Ï©Ù5ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó�Ù�å¯Ø¤àpÛkæeÝpÞ|Î ãÌà�â©Ú þÉ\Rxk�$ϱܠå Ý�äBÛ#ãrÏ©æeÝjÝpä Ï�ÝMÝ = ؤÙjæEâ±Ü��]ï ß©Ï�ÝpÛ�Ý�â m = Ï�Ý@jÁÒ ö@ë�?ؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý]ÎwÏPÜ@ÏPÞ¤Î?Ù�Ø�Ù;ÝpäBÛEÜ5߱ؤô±ÛQÙ�Ø|Ü ÙmÝpϱÜ�Ý�Þ¤ÎgÝ�äBÛ�ãrÏ©æeÝ<Ý�ä@Ï�Ýkñ±ãÌâ±à�Ù�â±Ú$Û�ÜBâ±ÜBÿkÛEàpâ¢æEâ±Ü ÙmÝpϱÜ�ÝIh5ñZ j o ^ s þbj Öºm � Ò h ö 4 o � 4 £ ¹ * �&þ m � Ö ó_äBÛEàpÛi�&þ m ��Ò w

þ m / ø'� * Ò = þ@ö Öºm � ÖϱܠåjÝpäBÛgàpÛkÙ�ïBÞ�Ý�ãÌâ©Þ|Þ¤â�ó�Ù_Ï�ã3ÝpÛEà_ÜBâ©à�Ú�ÏPޤؤÿkÏ�ÝpØ|â©Ü"í?Î�Z j o ^ s þbj Ö w��eë�Bâ©à_Ý�ä Ûgà�ÛkÚ$ϱØ|Ü Ø|ÜBß5Ý]óXâ�æEϱÙ�ÛkÙkñ¯Ø|Ýuó_Ø|Þ¤Þ1áBàpâ�ô±Û&æbâ©Ü?ô±ÛEÜ Ø|ÛkÜ©Ý�î àZÙmÝ_Ý�â$ÛkÙmÝ�ؤÚ�Ï�Ý�Û&ÝpäBÛwÚ$ÛkϱÜô�ÏPÞ¤ïBÛ�þÌÛE÷¯á@ÛQæeÝpÏPÝ�ؤâ±Ü&z�þºî �9��âPã ] o ñþÉ\�d�� z�þ ] o ��Ò Z j o ^ s�í� þbj Ö w��Z j o ^ s þbj Ö wB� Ö

Page 33: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £9£ó_äBÛkà�Û s�í� ؤܠå¯Ø�æEÏPÝ�ÛkÙ5å¯Ø��.Ûkà�ÛkÜ�Ý�Ø�Ï�Ý�ؤâ±Ü ó_Ø�Ýpä àpÛkÙ�á@ÛQæeݦÝpâ m ë��;â±ß�ÏPàpØ�ÝpäBÚ$ؤæjåBØg�7ÛEàpÛEÜ�Ý�Ø�Ï�ÝpØ|â©Üß©Ø|ô©ÛkÙ

þ·c5��� s í� þ-j Ö wB��Ò s þ-j Ö wB�]ÑkÝ   = ww / Ý Ý þbj!�ãÌàpâ±Ú ó_ä Ø¤æZä�â±ÜBÛwÏPÝmÝZÏPؤܠÙ_ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý�ؤÛkÙXÛQϱÙ�Ø|ޤαëþ!~�~<���aÜ�ÝpäBÛ5ækϱÙ�Û¦â±ã�Ï"ÿkÛEàpâ�å¯àpØ|ã3Ýkñ�ÝpäBÛ�ô�ϱÞ|ïBÛ5âPã�Ý�äBÛ�ÙmÝ�àpï æeÝpïBàpϱÞ�æEâ±Ü ÙmÝpϱÜ�Ý¢Ø�Ù øKÒtw5ϱܠå

ÝpäBÛ)àZϱåBØ|ï Ù�âPã�æbâ±Ü?ô©ÛEàpß±ÛEÜ@æbÛ_âPã s þbj Ö wB�¥Ø¤ÙwötÒ wx¸3,�þ@ø'��Ò wx¸F,�þ¥wB�bë�ì�äBÛkÜ1ñ?Ý�ä Û¢Ù�Ø|Ü ß±ïBÞ�ÏPàpØ�Ý]ÎÏPÝ)ö�â±ã s�í� þ-j Ö wB��æEâ±Ú¦í Ø|ÜBÛQÙ�ÏwãrϱæeÝpâ±à�wx¸ - w / jn¸öwÝ�ä ÏPÝ�ϱà�Ø�ÙmÛQÙ<ãÌàpâ±Ú s þbj Ö w���ÏPÜ å�ϱÜBâPÝpäBÛEàÙ�Ø|Ú$ؤޤϱà5ãrϱæeÝpâ±à�Ý�ä ÏPÝjÏPàpؤÙ�ÛkÙ�ãÌàpâ±Ú Ý�ä Û�ÝpÛEàpÚ þ<w / Ý = þbj!�¥� 4 = ë ì�äBØ�Ù�ÙmؤÜBß©ïBޤϱà�Ø|Ý]ΠؤÙ�Ýpä�ï@ÙEñÝpâ�î àZÙ]Ý5â±àZå¯ÛEà5ϱÙ�Î�Ú$á¯ÝpâPÝpؤækÙEñ�Ù�Ø|Ú$ؤޤϱàwÝ�â�Ï�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Û"á.â±Þ¤Û±ë � æEâ±Ú$áBï¯ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü í@ϱÙ�Ûkå�ϱߩÏPؤÜâ©Ü#þÉ\Rx��;àpÛEô©ÛkϱޤÙ�Ýpä Ï�Ý�ÝpäBÛ�Ú$ÛkϱÜ5ô�ϱÞ|ïBÛ_â±ã ] o ؤ٥âPã7Ý�äBÛ_â©àpåBÛEà�âPã ! ��ëI=¥àpÛkæbØ�Ù�ÛEޤαñ�â±Ü Û�î Ü åBÙr þ ] o � Ò ryx þG�x Ö r Ò � , í í þ¥wB�,�þ<w�� Øþ�a�âPÝpÛ&Ý�ä ÏPÝ - þL¸kx¦Ø�Ù�ÝpäBÛgÚ$ÛkÏPÜ�âPã�Ý�ä ÛwÙ]ÝZÏPÜ åBϱàpå�n�ÏJÎ?Þ|ÛkØ|ß©ä�åBؤÙmÝ�àpØ|í ï¯Ý�ؤâ±Ü1ë��ì�äBÛ5ãÌâ±àpÚ¦ï Þ¤Ï"âPã�ç�â©à�â©Þ|Þ�ÏPàpÎby"Ý�ä ÛEÜ ÙmïBß©ß±ÛQÙ]ÝZÙ�Ýpä Ï�Ý s d þbj!�uÙ�äBâ©ïBÞ¤å�í@Ûkä ÏJô±Û5ô±Ûkà�Î#Ú�ï æZäÞ¤Ø��©Û%Ý d= ñ©Ø|Ú$áBÞ¤Î?Ø|ÜBߢÝpä Ï�Ý<Ý�ä Û�æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙ�Ù�äBâ©ïBÞ¤å�àpÛkÙ�ÛEÚ¦í Þ|Û©ñ�ïBá¦ÝpâgÙ�ækÏPÞ¤Ø|ÜBß@ñJÝ�äBÛ�æEâ?Û�§jæbؤÛEÜ�ÝpÙؤÜ�ÝpäBÛ�Þ�ÏPàpß±Û5á@â�óXÛEàMZ j o ^aþ<w / ! w / j�� d ë��?ï æZä Ï#ÙmØ|Ý�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�ؤÙ��?ÜBâ�ó_Ü�Ý�â#í.Ûjæbâ©Ü å¯ï æEØ|ô©ÛÝpâ-n�ÏJÎ?Þ|ÛkØ|ß©ä�Þ�ÏJó�ÙkðwØ�Ý5ؤ٦æbâ�ô±Ûkà�ÛQå�ÛE÷?Ý�ÛEÜ@Ùmؤô±ÛkÞ|Î�Ø|Ü}l)à�Ú$â±ÝpÏ�ϱܠå|�?â±àpؤÏ'u Ù¦Ù]Ýpï å¯Î¿Z x�w�^XϱܠåàpÛEô?Ø�ÙmØ|Ý�ÛQå�Ø|ÜjÝ�äBÛ¢á ÏPá.ÛEà�Z c�^òm?Ù�ÛEÛ&ÏPÞ�Ù�â�Z xk��^Lë��aÜ�á ÏPà�Ý�Ø�æbï Þ¤Ï±à�ì�äBÛkâ±àpÛEÚWwuâ±ã%Z x�w�^7߱ؤô±ÛkÙ�ï Ù�Ý�äBÛæEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛwØ|Ü�å¯Ø�Ù]Ýpà�ؤíBï¯ÝpØ|â©Ü�Ýpâ"ÝpäBÛhn�ÏJÎ?Þ|ÛkØ|ß©ä�Þ¤ÏJógñ7ó_äBؤޤÛ$Ï�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤Û5Ï©åBÏPáBÝpÏ�ÝpØ|â©Ü�â±ã¥Ý�äBÛàpÛkÙ�ïBÞ|ÝpÙwâ±ã � á á@ÛkÜ å¯Ø|÷ Í Ø¤Ü Z cB^_áBàpâ�ô?ؤå¯ÛQÙwæbâ©à�àpÛkÙ�á.â±Ü å¯Ø¤ÜBß�åBÛEÜ Ù�Ø�Ý]Î ÛQÙ]ÝpØ|Ú�Ï�ÝpÛkÙ�þrÏ õmÞ¤â?ækÏPÞ�öÞ¤Ø|Ú$Ø|Ý�Þ¤ÏJó��bë�V�Ûgâ©Ú5Ø|Ý_Ý�ä Û&Ý�ÛkåBØ|â©ï Ù_íBï¯Ý�àpâ±ïBÝ�ؤÜBÛgå¯ÛbÝZÏPؤޤÙkëþ!~�~�~<���Bâ©à¥Ï)á.â©Ù�Ø|Ý�ؤô±Û�å¯àpØ�ã3ÝQñ±áBàpâ±í@ÏPíBؤÞ|Ø�ÙmÝ�Ø�æ�ؤÜ�Ý�ïBØ|Ý�ؤâ±Ü$ؤܠå¯Ø�æEÏPÝ�ÛkÙ�Ý�ä ÏPÝ�Ý�äBÛkà�Û�ϱà�Û�àpÛEÞ�Ï�Ý�ؤô±ÛkÞ|Î

ãÌÛkó æZä ÏPÜ@æbÛkÙ1ãÌâ±à�Ï�ó�ÏPÞ��¢Ý�â)ÛEô±Ûkà�æEâ±Ú$Û�ï Ü å¯ÛEà�ÝpäBÛ�Ü ÛEß©ÏPÝ�ؤô±ÛXÏ�÷¯Ø¤Ùkñ�ÏPÜ åwó_äBÛEܦÝ�äBØ�Ù�ä ÏPáBá.ÛEÜ@ÙEñØ|Ý�â±ÜBޤΠÝ�ÛkÜ åBÙ5Ýpâ åBâ Ù�â�ÛkÏPàpޤΠØ|Ü�Ý�ä Û�ä Ø¤ÙmÝ�â©à�Î â±ãuÝ�ä Û�óXϱÞ��7ë ç�â©Ü Ù�ÛP�ïBÛEÜ�ÝpÞ|Ωñ¥Ý�ä Û#î Ü ÏPÞϱÞ�ÝpØ�Ýpï å¯ÛwÙ�äBâ±ïBÞ�å�í@Ûgâ©ÜBÞ|Î"Ú$ϱà�ß©Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|ÎjÏ5�.ÛQæeÝ�ÛQå�í�ÎjÝ�äBÛgÚ$Ûkϱܠå¯Ûkà�æbâ±Ü@å¯Ø�ÝpØ|â©ÜBؤÜBß ë�aÜgÝpäBؤÙ�æEÏ©ÙmÛ©ñkâ©ÜBÛ�ä@ϱÙBøÌÉ w�ÏPÜ ågÝ�äBÛ�àpÏ©å¯Ø|ï@Ù1âPãBæEâ±Ü?ô±Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛ�âPã s þbj Ö w��7ؤÙ�ö = Ò wx¸3,�þ<w��ó_äBؤޤÛ�ÝpäBÛ�Ù]Ýpà�ï@æeÝ�ï àpϱÞXàZϱåBØ|ï Ù$ÙpÏ�ÝpؤÙmî ÛkÙyö]9Wö = ë ÍXÎ�å¯Ûbî Ü Ø�ÝpØ|â©Ü1ñ�â©ÜBÛ#ä Ï±Ù�Ý = þ@ö = ��Ò w±ëç�â©Ü ÙmÛB�ïBÛEÜ�Ý�ޤαñ�ÝpäBÛ&ãÌïBÜ æbÝ�ؤâ±Ü s�í� þ-j Ö wB��Ø|Ü þ·c5���XÏ©å¯Ú$Ø�ÝZÙ�Ï$å¯â±ïBí Þ|Ûgá.â±Þ¤ÛgÏ�Ý'ö = ñBó_Ø|Ý�äs í� þbj Ö w�� Ò s þbj Ö w�� wÝ í= þ9ö = �bþ-j / ö = � ØÙ�â5Ý�ä ÏPÝgþrâ±ÜBÛgä@Ï±Ù Ý í= þ9ö = ��Ò / þ@ö * = , í þ<wB�9� 4 = �bñ

z�þ ] o ��Ò Z j o ^ s�í� þbj Ö w��Z j o ^ s þbj Ö w�� ÒÁ� , í þ<w��,�þ<wB� � ¤$þ¥wB� Ø�aܦÝ�äBÛ�áBàpâ±í Ï±íBؤÞ|Ø�Ù]Ýpؤæ�æEÏ©ÙmÛ©ñJÝ�äBÛ_æbâ?Û,§�æEØ|ÛkÜ�Ý�â±ã'�jؤܦÝpäBÛ�ÛkÙmÝ�ؤÚ$ÏPÝ�ÛXà�ÛQå¯ï æEÛkÙ£Ý�â)Ý�äBÛ_å¯àpØ|ã3Ýkñ±Ï±Ü åÝpäBؤÙ�ÛkÙmÝ�ؤÚ�Ï�Ý�Û)å¯â?ÛkÙ�ϱ߱àpÛEÛ�ó_Ø|Ý�ä�ÝpäBÛ�áBàpâ±í Ï±íBؤÞ|Ø�Ù]Ýpؤæ_ϱà�ß©ïBÚ$ÛEÜ�Ý�Ù9�±ÛbÝZæZäBÛkå�ϱí@â�ô©Û±ë��?Ø|Ú$ؤޤϱà�ޤαñÝpäBÛgô�ÏPàpؤϱܠæbۢؤÙXãÌâ©ïBÜ å�Ý�âjÙpÏ�ÝpؤÙmãÌÎ

¦¥ÏPà ] o Ò ã , í í þ<w��,�þ<wB� � , í þ<w��,�þ<w��Ì/ � , í þ¥wB�,�þ<w���� * ä � � ¤$þ¥wB� Ø��Ø|Ü@ÏPÞ¤Þ|Ωñ©ÝpäBÛ)s&ÏPï ÙpÙmØ�ÏPÜ"Þ¤ÏJó+Ø�Ù�ÛQÙ]ÝZÏPíBÞ¤Ø�ÙmäBÛQå$ãÌàpâ±Ú Ý�äBÛ¢á.â�ó�ÛkàmèaÙmï Ú ãÌâ©à�Ú âPã�ç�â±àpâ±Þ¤Þ¤Ï±à�Î�y

ïBá.â±Ü#ÏPá áBÞ|Î?ؤÜBß"çXÏPï æZä?Î@u Ù_æbâ?Û�§jæbؤÛEÜ�Ý�ãÌâ±àpÚ¦ï Þ¤Ï ë��)Ü Û¢ä@ϱÙZ j o ^ s d þ-jR��Ò wxF~�þ:ÿ � � �  �� £ � = þbj!�~Ý = þ-jR� 4 d 4 = ¤8jj o5p = � Ø o&c d Ö

Page 34: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

£ á >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUì�äBÛ)ÛEàpà�â©à�Ý�Ûkà�ÚbØ o&c d Ýpä Ï�Ý�ÏPàpؤÙ�ÛkÙ¥ãÌà�â©Ú ϱÞ|Þ Ý�äBÛ¢ÜBâ©ÜBáBàpØ|Ü æEØ|á@ÏPÞ í àpϱܠæZäBÛkÙ�ؤÙ�Ûb÷¯á.â±ÜBÛkÜ�Ý�Ø�ÏPÞ¤Þ|ÎÙ�Ú�ÏPÞ¤Þ|ÛkàgÝ�ä Ï±Ü"ö 4 o= í@ÛQæEÏPï@ÙmÛjâ±ã�Ý�äBÛ�å¯â±Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü áBà�â©á@ÛkàmÝpØ|ÛQÙgâPã)wF¸�Ý = þ-jR��þsÙmÛkÛjÝpäBÛjáBàpâ?âPãâ±ã��;ÛEÚ$Ú�Ï-x¯ñ�â±Ü æEÛjÚ$â±àpÛB�bë�ì�äBÛ"Ú$ϱØ|Ü Ø¤Ü�Ý�Ûkß±àZÏPÞ¥Ø�ÙgÝpäBÛEÜ Ýpà�ÛQÏ�Ý�ÛQå í?Î�Ý�ä Û�ÙpϱåBå¯Þ¤Û�á.â±Ø¤Ü©ÝÚ$ÛbÝpäBâ¯åwؤÜwÝpäBÛ�àpϱÜBß±Û�æEâ±Ü Ù�Ø�å¯ÛEàpÛkå�ñ fhÒ � � � ¤$þ ! �[�;ó_Ø�Ýpä � ð�Ò©, í þ<wB��¸F,�þ¥wB�eë�ì�äBÛ�Ù�Ï©åBå¯Þ¤Ûá.â±Ø¤Ü�ÝuâPã�Ý�äBÛ�Ø|Ü�ÝpÛEß±àZÏPÜ@å"Ø�ÙuÏPÝ�ö = ñ ô©ÛEàpÎ"ÜBÛQÏPàpÞ|ΩëXì�äBÛ�s&ϱï ÙpÙmØ�ÏPÜ�å¯ÛkÜ ÙmØ|Ý]Î�Ý�äBÛkÜ�æbâ±Ú$ÛQÙ_â±ï¯ÝãÌàpâ±Ú Ï$ÙmÝpϱܠåBÏPàZå�Ù�Ï©åBå¯Þ¤Û¢á.â±Ø¤Ü�Ý�á@ÛkàmÝpïBàpí Ï�ÝpØ|â©Ü�ϱܠÏPޤίÙmØ�ÙEë �

cBëZz5Ë3ÆGº@Ê ÅGºBÈ�Å�[$Ç�{�È£Ë���ºBÄ[½kËÌÇ£ÄG¹����)Ç£È[º+�R½ì�äBÛ �±Ûkà�Ü ÛEÞ�Ú5ÛEÝ�äBâ¯å�ؤÙ�ß©ÛEÜBÛkàpϱÞ|Þ¤Î&ó�ÛkÞ|ÞBÙ�ïBØ|Ý�ÛkåwÝ�â&áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�Ù£ó_äBÛEàpÛ�ÏPÞ¤Þ©ÝpäBÛ��]ïBÚ$á Ù�ÏPàpÛXâPã

ÝpäBÛ�ãÌâ©à�ÚòþÉÕkÞ Ö× ÞP��ó_Ø|Ý�ä�ÕkÞ$�v� ë��aÜjÝ�äBØ�Ù�ækϱÙ�Û±ñ�ÛkÏ©æZäjæZäBâ±Ø�æbÛ�â±ã;ÏwÙmÝ�ÛEá"Ø|Ú$áBÞ¤Ø|ÛQÙ�á à�â©ß±àpÛkÙpÙmؤâ±ÜϱÞ|â©ÜBߦÝpäBÛgäBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ�Ï�÷¯Ø�ÙEë �)ÜBÛgæEâ±Ü Ù�ؤåBÛEàZÙXÝ�äBÛ&Ýpà�ؤô�ÏPàpؤÏPÝ�Û)s��s þbjKmºH Ö M���ð�Ò k

o&c ° c ¾ s o&c ° c ¾ j o H ° M ¾ Öó_äBÛkà�Û s o&c ° c ¾ Ø�Ù"Ý�äBÛ�Ü�ï Ú¦í.ÛEà"â±ãwÚ$ÛkÏPÜ@å¯ÛEà�á Ï�Ýpä Ù"Ø¤Ü é ; .�ê é ; .jó_Ø|Ý�ä ÙmؤÿEÛ þrÜ?ïBÚ¦í.ÛEàâ±ã�Ù]ÝpÛEá Ù�"ÛP�ï ÏPÞ¢Ýpâv� Ýpä Ï�Ý�æbâ©ÜBÜBÛQæeÝ�Ý�äBÛ�â±àpØ|ß©Ø|Ü Ý�â Ý�äBÛ á.â±Ø¤Ü©Ý#âPã5æbâ?â±àZå¯Ø¤Ü Ï�ÝpÛkÙ�þÕ® Ö À �eëì�äBÛ�óXϱÞ�� ؤÙ"Ý�ä?ï Ù�å¯Ø¤à�ÛQæeÝpÛkå+ؤÜ+Ý�ä Û�Ù�ÛEÜ Ù�Û�â±ã/�¯ÛkæeÝpØ|â©Ü w±ë � Ù�ó�Û�ÜBâ�óòÛb÷¯áBÞ�ÏPؤÜ1ñuÙ�ï æZäÛkÜ�ï Ú5ÛkàpÏPÝ�ؤâ±Ü�áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�Ùkñ�ÝpäBâ±ï ß±ä�ãÌâ±àpÚ¦ïBÞ�Ï�ÝpÛkå�Ø¤Ü Ý]ó�â±èLå¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�ؤâ±Ü Ï±Þ�Ù�á Ï©æbÛ±ñ_ϱà�Û�ؤÜ�ãrϱæeÝãrÏk�±Û�wbèaå¯Ø¤Ú5ÛkÜ Ù�Ø|â©Ü ÏPÞ7áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�Ù_ϱÚ5ÛkÜ ÏPí Þ|Û¢Ý�â5ÝpäBÛ)�±Ûkà�ÜBÛkÞ�Ú$ÛbÝ�ä â?å1ë�aÜ ÝpäBÛ å¯Ø¤à�ÛQæeÝpÛkå ækϱÙ�Û±ñ&Ý�ä Û Ú$ÛbÝpäBâ¯å âPã õ�Ï©åBå¯Ø¤ÜBß Ï Ù�Þ|Ø�æbÛQö+ÛEÜ@æbâ±ï Ü©ÝpÛEàpÛkå Ø¤Ü z �ï ÏPèÝpØ|â©Ü Ùgþ<wP\R�XÏPÜ å þ¥wPj���ß©Ø|ô©ÛkÙXà�Ø�Ù�Û)Ýpâ$Ý�äBÛ&ãÌï Ü åBÏPÚ$ÛkÜ©ÝZÏPÞ�ÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Üþ·cIwB� s þ-j'm$H Ö MI�Eþ<w / j8,�þbH Ö MI�9��ÒÔw / j'Ó|M � . ÚXþ!,�þ!H Ö M�� s þ-j'm$H Ö M��9� Öó_äBÛkà�Û¢ÝpäBÛwæZä ÏPàZϱæbÝ�Ûkà�Ø�Ù]Ýpؤæuá@â©Þ|Î?ÜBâ©Ú$ؤϱÞ�ؤÙ_Ü â�ó,�þ!H Ö M��Xð�Òlk Þ H ­ ¢ M ¡ ¢�Öó_äBØ�æZä�ؤÙ�ÛkÜ�Ý�ؤà�Û#ؤܷH+í ï¯ÝjâPã)�;ϱïBà�ÛkÜ�Ý�Ý]Î?á.Û�ó_Ø�Ýpä�àpÛkÙ�á.ÛkæeÝ�Ýpâ_M.ë ì�ä Û�á ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEàZÙ5âPãÙ�Ø|ÿkÛ�þrÚ$ϱà9�©Ûkå�í?Î}j!�¥ÏPÜ@åjäBâ©à�ؤÿEâ©Ü©ÝZÏPÞ.å¯Ø¤Ù�áBÞ�ϱæEÛEÚ$ÛEÜ�Ý¢þrÚ�ÏPà��±Ûkåjí�Î}H@��ϱà�Û)í@â©ïBÜ å"í�Î$Þ¤Ø|Ü ÛkÏPàؤÜBÛP�ï Ï±Þ|Ø|Ý�ؤÛkÙkñ�ϱܠå â±ÜBÛ�âPã)Ý�äBÛkÚ æE챆 í.Û�Ý�àpÛkÏ�ÝpÛkå�ϱÙ�Ý�ä Û�í Ï±Ù�ؤæ�ô�ÏPàpؤϱíBÞ¤Û±ñ�ÝpäBÛ�âPÝpäBÛEà�ϱÙϱÜ�ϱï¯÷¯Ø|ޤؤϱà�Î�á@ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEà_â±à_Ûkô±ÛkÜ"ÝpäBÛwæbâ©Ü Ù]ÝZÏPÜ�Ý)w±ë¥ì�äBÛkÜ1ñ¯ÝpäBۦϱå ÏPá¯ÝZÏ�Ý�ؤâ±Ü�âPã�Ý�äBÛ)�©ÛEàpÜBÛEÞÚ$ÛbÝpäBâ¯å¦æEâ±Ü Ù�ؤÙmÝpÙ�ؤÜb�EÓ3û.øPÓ3ûR�wÝ�äBÛ �;ϱïBà�ÛkÜ�Ý�ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤Û±ñJäBÛkà�Û<M7ñJÝ�â)Ý�äBÛ�í Ï©ÙmØ�æ¥ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤Û�æZäBâ�ÙmÛkÜþbH�â±àKj!��í?Îþ·ckxk� w / j8,�þbH Ö MI��Ò�� ØauÛEó�Ý�â©Ü�u Ù�á.â±Þ¤Î?ß±â©Ü�Ý�äBÛkÜ�Ù�äBâ�ó�Ù�Ý�ä ÏPÝkñ?ãÌâ±à�Ý�ä Û¢í.â±ï Ü åjÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü;ñ©ÝpäBÛ¢Ü�ï Ú¦í.ÛEà�âPãuõpÙmÚ�ϱÞ|Þ�öàpâ?âPÝpÙwâPã�Ý�äBÛ��±Ûkà�ÜBÛkÞ¥ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�æEâ±Ø¤Ü æbØ�å¯ÛkÙ¦ó_Ø�Ýpä Ý�ä ÛjÚ�Ï�÷¯Ø|Ú�ïBÚ ÜBÛEß�Ï�Ý�ؤô±Û"ô±ÛEà�Ý�Ø�æEϱÞ�Ù�á ÏPÜ1ñܠϱÚ$ÛEޤαñ�£wð�Ò¬È]Ú5Ø¤Ü Þ × Þ È�ñ@ϱܠå�Ý�äBØ�Ù�Ü?ïBÚ�í@ÛkàuØ�Ù�áBàpÛkæEؤÙ�ÛEÞ¤ÎjÝpäBÛwÜ?ïBÚ�í@ÛkàuâPã�ïBÜ'��Ü â�ó_Ü�ãÌï Ü æeèÝpØ|â©Ü Ù�Ø¤Ü Ý�äBÛ�àpØ|ß©ä�Ý"ÙmØ�å¯Û�âPãjþ·cIwB�bëËV�Û�Þ¤ÛbÝ m Þ àpÛEá à�ÛQÙmÛkÜ©Ý$ÝpäBÛkÙ�Û�ÙmÚ�ϱÞ|Þ�í àpϱܠæZäBÛkÙkë ì�äBÛÝpà�ÛQÏ�Ý�Ú$ÛkÜ©ÝXâPã;ó�ÏPÞ��¯Ù�ϱܠåjí à�Ø�å¯ß±ÛQÙ�Ï©åBÏPáBÝpÙ�ÛkϱÙ�ؤÞ|Î5ãÌàpâ±Ú ó_ä ÏPÝ�ä Ï©Ù�í.ÛEÛkÜ�å¯â©ÜBÛ¢ÛkÏPàpÞ¤Ø|Ûkàkë�n_Ûbèß�ÏPàZå¯Ø|Ü ß�ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü Ù_ϱܠå�Ú$ÛkÏPÜ@å¯ÛEàZÙEñ@ÙmïBí@Ù]ÝpØ�Ýpï¯Ý�ؤâ±Ü�â±ã£ÝpäBÛ m Þ ÝpäBÛEÜ�Ù�äBâ�ó�ÙXÝ�ä Û&ãÌâ±Þ¤Þ|â�ó_ؤÜBß ðß7×BÕ�ë�Í ú]ü�Õ9Î?Ô,�¯ùZýeÓrú�ûBý�Paø©ÕÉÏ�û.ÕZøe����Ï¥û7Ñ�Ð�Ñ�Ð�ÒnÓ3Ò·� ø±Õg|�S�Ñ�û7ø�Ò3× Õiê�ë Í úmü���ÕZÑ�û7ø±ÕEùZý�P]ø±Õ�EÏ�û.ÕZøY�,�tÏ�û.Ñ�Ð�Ñ�Ð�ÒnÓ3Ò·� ø±Õ5� �FS�ø±ÕaÖBÕEû.ø�ù�ÑPÒsÓrúPû.ÑPÐ3Ð�� úPû ÒÌ×BÕ�Ð�Ñ�ùeÓrÑ��bÐ|Õbý�j Ö H Ñ�û7ø�ÒÌ×BÕ"ýEÕEÒgúmüý���Ñ�Ð3Ð3�Eù�Ñ�û7Ôp× Õeý)Ó m Þ�Ú�úmügÒÌ×BÕ5ÑJýZýEúkÔEÓrÑ�ÒaÕZø � �±ÕEùeû.ÕEУÕÜ,� Ñ�ÒnÓrú�û' jþ·ckx���+����¹���»+��º÷(~}�* �1× ÕeýZý-��ú�Ð�Õeý�úmü@�;Ñ��ZÕbÐ3Ð|Õ ÑPû.ø��@Õp×'+ �aÜ Ý]óXâ á ÏPá.ÛEàZÙ-Z \�d¯ñ c5��^Lñ��;Ï�èí.ÛEÞ¤Þ|Û�ϱܠå-�¥Ûkä å¯ÛEô©ÛEÞ¤â±á�ϱÜ�ؤÜ�Ý�Ûkà�ÛQÙ]ÝpØ|ÜBß�Ù�ÛbÝgâPã�å¯ÛkæEâ±Ú$á.â©Ù�Ø�ÝpØ|â©Ü Ù)ãÌâ±àgß±ÛkÜBÛEàZÏPޤؤÿEÛkåY�?ÜBØ|ß©ä�ÝÚ$â�ô±ÛQÙ$â±Ü+Ï�æZäBÛQÙ�Ù�í.â©ÏPàZå�ë ì�äBÛ�Ù]ÝZÏPÜ å ÏPàZå ô©ÛEàZÙmؤâ±Ü�âPã&ÝpäBÛ�áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ Ø�ÙEð ��úPûBýeÓrø±ÕEù�ÒÌ×BÕé ; .�ê�é ; . ÔZ×BÕbýpý,�ZúQÑ�ù�ø�+��¦ú3C ��Ñ�û'� ýEÕ�Ü,� ÕEû.ÔZÕeý�úmü̧�ÑJýeÒò�Zú5�¯û.ø|��û@Óg�QׯÒh�$ú5ÐJÕbý�þ_Ñ Ò

Page 35: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £$ZÓ?þ<w Ö xk� Ö þ<w Ö / x�� Ö þ·x Ö wB� Ö þ�x Ö / wB��Ú��jÑPù�Õ#ÒÌ×BÕEù�ÕwüZùpú�� þ�� Ö �R��ÒLú þÉ� Ö �R��® ÍXÎ å¯ÛEî ÜBØ|Ý�ؤâ±Ü1ñ�Ý�äBÛÚ$â�ô±ÛQÙ�ÏPàpÛ)ÜBâ±ÝuÏPÞ¤Þ|â�óXÛkåjÝ�â�ؤÜ?ô±â±Þ¤ô±Û¢á.â±Ø¤Ü©ÝZÙ�ó_Ø�Ýpä#ÜBÛEß�Ï�Ý�ؤô±ÛgæEâ�â©àpåBØ|Ü ÏPÝ�ÛQÙEë� Ù_Ù�ؤÿEۢؤÙ�ÜBâ±ÝXÜ ÛEÛkåBÛkå�ñ¯óXÛuÝZÏ5�©ÛWH�ϱÙ�ÝpäBÛ&Ø|Ü åBÛEá.ÛEÜ å¯ÛkÜ�Ý�ôJϱà�Ø�ÏPí Þ|Û¢ÏPÜ å�ÙmÛEÝUj�Ò w±ë�ì�äBÛ�©ÛEàpÜBÛEÞ7ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�ؤÙ_Ý�äBÛkÜ

w / þbH+M * � H+M 4 * � H * M � H * M 4 = � ÒÁ� ØÙ�âjÝpä Ï�Ý¢Ý�äBÛ�æZä Ï±àpÏ©æeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æwæbï à�ô©Û¦Ø�Ù¢Ï��ï ÏPà�Ý�Ø�æPëwì�äBÛ5ô±ÛkàmÝpؤækÏPÞ<ÙmÎ?Ú$Ú$ÛbÝpà�Î#âPã�Ý�äBÛ$Ú$â�ô±ÛQÙؤÚ$áBÞ|ؤÛkÙ�Ýpä Ï�Ý�ÝpäBÛ��±Ûkà�Ü ÛEÞ¯ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü$æEϱÜ5í.Û_àpÛEó_àpØ�Ý�Ý�ÛEÜ$ϱÙ�Ï&æEâ±Ú¦í Ø|Ü ÏPÝ�ؤâ±Ü5âPã.Ý]ó�â)�ï Ï©å¯àpÏPÝ�Ø�æÛB©ï@Ï�Ý�ؤâ±Ü@ÙEñ

w / H�þ-o * � HGo / xk��ÒÁ� Ö o ð�ÒðM � wM Øì�äBÛkà�Û&àpÛkÙ�ïBÞ|ÝpÙXÝ�ä@Ï�Ý_Ý�ä Û&ãÌâ±ïBà_íBàZÏPÜ@æZäBÛkÙXâPã�Ý�ä ÛwæZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEàpØ�Ù]ÝpؤæuÛP�ï Ï�ÝpØ|â©Ü�ϱà�Û&ß©Ø|ô©ÛEÜ�í�ÎM ¾ þ-oÔ� Ò wx Õ o » - o * / \ × Ö o ¾ þbH�� Ò wxFH Õ / H * » - H á � i H * � \ H × Ø�LÝ&ÏPáBá.ÛkϱàpÙ�Ý�ä ÏPÝuÝ�ä Û¦Ý]óXâ"Ù�Ú$ϱÞ|Þ�íBàZÏPÜ æZä ÛkÙ m�=�Ö$m * æbâ±àpàpÛkÙ�á@â©Ü å�Ý�âjÝZÏ5�?ؤÜBß"â©áBá@â�ÙmØ|Ý�Û�Ùmؤ߱ܠÙؤÜ�ÝpäBÛ5åBÛbÝ�Ûkà�Ú$ؤܠÏ�ÝpØ|â©Ü Ù¢âPãúM�þqoÔ�uϱܠåBo þbH��eñ£ÏPÜ å�â±ÜBÛ�î Ü åBÙ)ãÌâ©à)ÝpäBÛhs��+âPã�ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@ÙþrØsë Û±ë¤ñBá ÏPÝ�ä ÙXÝpÛEàpÚ5ؤܠÏPÝ�ؤÜBß�Ï�ÝuÏPÞ|Ý�Ø|Ý�ï@å¯Û/���bñ¯Ø|Ü�æbâ©Ú$áBÞ|ÛEÝ�ÛwϱܠÏPÞ¤â±ß©Î$Ý�â5Ý�äBÛwÙ�ؤÚ5á Þ|Ûgó�ÏPÞ��7ñr þbH�� Ò / wH þ m = þbH�� m * þ!H@�¥�ÁÒ / wH M 4 þqo p þ!H��9�Iî5M p þ-o 4 þ!H@�¥�Ò w � H * � yIH á � x�H Z � w�x�H � � w,\ H ( � c5\ H Ð � ikj H ï � î�î�î Øì�äBØ�ÙXؤÙXÝpäBÛgÙmÛB�ïBÛEÜ æEÛ�þÉÕ o ��âPã¶Z \�d�^;ÏPÜ å�ÏPÞ�Ùmâ &3(�*,+5-0- EGAGA - ë�l)ÛkæEâ±Ú$á.â©ÙpÏPíBؤÞ|Ø|Ý]ÎjàpÛEÜ åBÛEàZÙÛQÙmá.ÛkæEؤϱÞ|Þ¤Î�ÛkÏ©ÙmÎ#ÝpäBÛ�ϱÙ�Î�Ú$á¯ÝpâPÝpؤæ5ÏPܠϱÞ|ίÙ�ؤ٢â±ã�Ý�ä Û5Ü?ïBÚ�í@ÛkàgâPã�ÛE÷BæbïBàZÙmؤâ±Ü@٢ϱܠå�âPã�æEâ±àpà�ÛEèÙ�á@â©Ü å¯Ø¤ÜBß"á@ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEàZÙEë)`�â©à�Û�ß±ÛEÜ ÛEàZÏPÞ���Ü Ø|ß©ä©Ý&Ú$â�ô±ÛQÙuæEϱÜ�í.Û¦Ýpà�ÛQÏ�ÝpÛkå�Ù�ؤÚ5ؤÞ�ÏPàpÞ|Î#í?Î#Ý�äBÛ�©ÛEàpÜBÛEÞ�Ú5ÛEÝ�äBâ¯å�ë��aÜ á@ÏPà�Ý�Ø�æbïBÞ�ÏPàQñ�Ý�äBÛ�ÛP�ï ÏPÝ�ؤâ±Ü�ÙpÏ�Ý�Ø�Ùmî Ûkå í?Î�Ý�ä Û�ÛE÷¯æEïBàZÙmؤâ±Ü ß©ÛEÜBÛkàpÏPÝ�ؤÜBßãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@ÙgÝ�ÛkÜ åBÙ&Ýpâ�í.ÛjâPã�Ï�å¯Ûkß±àpÛEÛ$Ûb÷¯á.â±ÜBÛkÜ©ÝpؤϱÞ�ؤÜa£�m¥ÙmÛkÛ-Z \RdBñ3ck��^Lëb.uÛEàpÛ±ñ£Ý�äBÛM�©ÛEàpÜBÛEÞÚ$ÛbÝpäBâ¯ågÎ?Ø|ÛkÞ¤å Ù£Ïuà�ÛQå¯ï æeÝpØ|â©ÜgÝ�â¢ÏPÜwÛB�ï Ï�ÝpØ|â©ÜgâPã@å¯Ûkß±àpÛEÛ%x £�ñJó_äBØ�æZäwÛEô©ÛEÜwàpÛkå¯ï@æbÛkÙ1Ý�â¢Ï�àpÛkÙ�â±Þ|èô©ÛEÜ�Ý�âPã;åBÛEß±àpÛEÛW£�ó_äBÛEÜ"Ù�Î?Ú$Ú5ÛEÝ�àpÎ$ؤÙ�ÝpÏk�±ÛEÜ�ؤÜ�Ý�â¦Ï©æEæEâ±ïBÜ�Ý�ô?Ø�ÏgÝ�ä Û¼o èLá ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEàpØ|ÿQÏ�ÝpØ|â©Ü1ëì�äBØ�Ù�Ø|Þ¤Þ|ï@Ù]ÝpàpÏPÝ�ÛkÙXÏ5Ùmä Ï±à�ájæEâ±Ü�Ý�àZϱÙmÝ�í.ÛbÝ]óXÛEÛkÜ�Ý�ä Û)ÛE÷?á.â±Ü ÛEÜ�Ý�Ø�ÏPÞ.íBÞ¤â�ó�ènïBá"Ø|Ü�æbâ±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞæEâ±Ú$áBÞ¤Ûb÷¯Ø�Ý]Î�ÏPÜ å"Ý�äBÛgޤؤÜBÛkϱà�æZä ÏPàZϱæbÝ�ÛEàXâPã�Ý�ä ÛwÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æ&æbâ©Ú5á Þ|ÛE÷?Ø|Ý]αë �

jBë��¢Ç;Ä£Ê���É[½kËÌÇ;Ä�aÜ�ÝpäBØ�Ù�á@ÏPá.ÛEàQñ�ó�Û�ä ÏJô±Û"ϱØ|Ú$ÛQå Ï�Ý5Ø|Þ¤Þ¤ï Ù]ÝpàpÏPÝ�ؤÜBß�ÝpäBÛ#ÏPܠϱÞ|Î�Ý�Ø�æ�ÝpàpÏ©æeÝZÏPíBؤÞ|Ø|Ý]Î âPã�Ú�ÏPÜ?ÎwEèLå¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�ؤâ±Ü Ï±Þ;á ÏPÝ�ä�á à�â©íBÞ|ÛkÚ�ÙEñ�Ïjí.â?â±Ü�âPã�Ý�ä Ût�©ÛEàpÜBÛEÞ�Ú$ÛbÝ�ä â?å1ëwì�äBÛ�àpÛkåBï æeÝpØ|â©Ü�Ø|Ü�Ý�äBÛ

Ï©ÙmÎ?Ú$á¯Ý�â±Ý�Ø�æeèaÏPܠϱÞ|Î�Ýpؤæ¢æbâ©Ú5á Þ|ÛE÷?Ø|Ý]Îjâ±ã;Ý�ä ÛgáBà�â©íBÞ¤ÛEÚ Ø�Ù_âPã3ÝpÛEÜ�Ù�á@ÛQæeÝpÏ©æbïBÞ�ÏPàQñ¯Ï±Ù�ÛE÷?ÛkÚ$áBÞ|Ø|î ÛQåí?Î|luï@æZäBâ±Ü�u Ù5æbÞ¤ïBí Ù5â±à�Ý�äBÛe�;ϱí@ÛkÞ|Þ¤Ûbè·�¥ÛEä���Ü Ø|ß©ä©Ý5Ú$â�ô±ÛkÙkë_=�ÏPàZÏPÚ$ÛbÝpÛEàZÙ&Ý�ä ÏPÝ$ϱà�Û"ÛkϱÙ�ؤÞ|ÎàpÛkÏ©åBÏPíBÞ¤Û�â©Ü á ÏPÝ�ä Ù�Þ¤Ûkϱå Ý�â�ß±ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|ÜBß�ãÌïBÜ æeÝpØ|â©Ü Ù�ó_äBâ©Ù�Û ÙmؤÜBß±ï Þ¤Ï±à�Ø|Ý�ؤÛkÙ�ÏPàpؤÙ�Û�Ù�Ø|Ú$áBÞ¤ÎãÌàpâ±Ú Ý�äBÛ�í àpϱܠæZäBÛkÙ$â±ã&Ï æZä@ÏPàZϱæeÝpÛEàpؤÙmÝ�Ø�æ#æbïBàpô±Û#â±ã¢Þ¤â�ó�åBÛEß±àpÛEÛ©ë ì�äBÛ�Ú$ÛEÝ�äBâ¯å+ÏPá áBÞ|ؤÛkÙÝpâ�ÏPÞ¤Þ¶wbèaå¯Ø|Ú$ÛkÜ Ùmؤâ±Ü@ÏPÞ�áBà�â©íBÞ¤ÛEÚ�Ù)Ï©ÙuóXÛEÞ¤Þ<ϱÙuÝ�âbx�èLåBØ|Ú$ÛEÜ@Ùmؤâ±Ü Ï±Þ£á à�â©íBÞ|ÛkÚ�ÙuáBàpâ�ô?ؤåBÛkå�Ý�ä ÛEÎàpÛEÚ�ÏPØ¤Ü å¯Ø¤àpÛkæeÝpÛkå�ë|� â±à$Ï�Ý�ä â±àpâ±ïBß©ä å¯Ø�Ù�æEï Ù�Ù�ؤâ±Ü�â±ã_Ý�äBÛ#ÏPޤ߱ÛkíBàpϱؤæjá@â�óXÛEà5âPã_ÝpäBÛ��©ÛEàpÜBÛEÞÚ$ÛbÝpäBâ¯å�ñ�óXÛ�àpÛbãÌÛkà¢â©Ü æbÛ�Ú$â±àpÛ¦Ýpâ"ÝpäBÛ5ÙmÝ�ï@å¯Î�í?Î�ÍXâ±ï Ù��ïBÛbÝ�èò`l?ÛEÞ¤â±ï�ÏPÜ@å:=<ÛbÝ��±â�ô/ÍÙ�Û,�YZ�wPy�^nëþsì�äBÛ��±ÛEàpÜBÛkÞ@ÝpÛkæZäBÜ Ø��ïBÛ&Ø�Ù_ÏPÞ�Ùmâ5à�ÛkÚ$Ø|ÜBØ�ÙpæbÛEÜ�Ý�âPã<ì;ï¯Ý�Ý�Û�u Ù��ï Ï©å¯àZÏ�Ý�Ø�æ�Ú$ÛEÝ�äBâ¯å�Ú¦ï æZä�âPã�ï Ù�ÛؤÜ�Ý�ä Û)ÛkÜ�ï Ú5ÛkàpÏPÝ�ؤô±Û_ÝpäBÛEâ©à�Î5âPã£áBޤϱܠÏPà�Ú�ÏPá Ù�Z \!xB^òm?Ù�ÛEÛ¢ÍXâ±ï Ù��ïBÛbÝ�èò`l?ÛEÞ¤â±ï�u Ù�á Ï±á@Ûkà�Z�wkw�^.ãÌâ±àÏ5á.ÛEàZÙmá.ÛkæbÝ�ؤô±Û±ë��ì�äBÛ�ækϱÙ�ÛXâ±ã.ï Ü å¯Ø¤à�ÛQæeÝ�ÛQåhxJèaå¯Ø|Ú$ÛkÜ Ùmؤâ±Ü@ÏPÞ¯áBàpâ±íBÞ¤ÛEÚ�ÙkñPó_äBÛkà�Û�â±Ü Û�ækÏPÜ$ß±â&í Ï©æ�¦ÏPÜ@å¦ãÌâ©àmÝpä

ؤÜ"ÏPÞ¤Þ@ãÌâ±ïBà�æEϱàpå¯Ø¤Ü Ï±Þ@å¯Ø¤à�ÛQæeÝpØ|â©Ü ÙEñ�Ø�Ù�ϱáBáBàpÛkæbØ�ÏPí Þ|Î5ä ÏPàZå¯Ûkàkë�z¥ô©ÛEÜ�ؤÜ�Ý�äBÛ&æEÏ©ÙmÛuâPã1Ú$â�ô±ÛkÚ5ÛkÜ�Ýâ±ã ÏPÚ$áBÞ¤Ø�Ýpï å¯Û ø w±ñ5�@ÏJαâ©Þ|Þ¤Û)ÕEÒ;Ñ�Ð�+�Ù�äBâ�ó ؤÜ�Z x5j�^�Ý�ä ÏPÝ�ýeÒaÑ�ÒnÓrú�û7Ñ�ù��gÙmâ©Þ|ïBÝ�ؤâ±Ü Ù;Ø|Ü?ô±â©Þ|ô©Û¥ÛEÞ¤Þ¤Ø|á¯ÝpؤæãÌïBÜ@æeÝ�ؤâ±Ü@Ù)ϱܠå�ؤܩÝpÛEß©àpϱޤÙkë��?â©Ú5Û5å¯Ø¤à�ÛQæeÝ�ÛQå�á ÏPÝ�ä�á à�â©íBÞ|ÛkÚ�Ù�ؤÜ�å¯Ø¤Ú$ÛEÜ Ù�Ø|â©Ü�äBؤ߱äBÛkàuÝpä ÏPÜ�x

Page 36: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

£ � >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUækÏPÜ#äBâ�óXÛEô±Ûkà_Ù]ÝpØ|Þ¤Þ;í.Û�Ù�ï æEæEÛkÙpÙ]ãÌï Þ|Þ¤ÎjÝpà�ÛQÏ�Ý�ÛQå�í�Î#Ù�á@ÛQæbØ|î@ægæbâ©Ú¦íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ1å¯ÛkæEâ±Ú$á.â©Ù�Ø�ÝpØ|â©Ü Ù,mÙ�ÛEÛhZ�wBxB^1ãÌâ©à�ÏPÜ�Ûb÷BÏPÚ$áBÞ¤Û±ë� ¯<² u�ísî�¯9­v¯9«�� ±7î3² u¥ª�­���u��I±�¯³ � ÙgØ�ÙwÏPáBá@ÏPàpÛEÜ�ÝgãÌà�â©Ú ÝpäBÛ�íBؤíBÞ|ؤâ±ß©àpϱáBä?Î�âPãXÝ�ä Ø¤Ùá Ï±á@ÛkàkñQÚ�ÏPÜ?Îuá@ÏPá.ÛEàZÙ1å¯Ø¤à�ÛQæeÝ�ޤ΢à�ÛkÞ|ÛkôJϱÜ�Ý�Ý�â�â©ïBà;ÙmÝ�ï å¯Î¢ä ÏJô©Û�í@ÛkÛEÜgáBïBí Þ|Ø�Ùmä ÛkågؤÜ&Ý�äBÛ��]â±ïBàpÜ ÏPÞß7×BÕZúPù�ÕbÒnÓrÔZÑ�ÐÑ�¥ú��uÖ��¯ÒaÕbù�F7ÔEÓrÕbû7ÔpÕ�ÏPÞ¤â±ÜBߢÝpäBÛ�αÛQÏPàZÙEë3V�Ûuâ�ó�Û�Ú¦ï@æZä$ãÌâ±à�ÝpäBؤÙ�Ý�âgÝpäBÛ�z�åBØ�Ýpâ±à�èؤܯèmç�äBØ|ÛEã]ñ `�ϱïBà�Ø�æbÛba�ؤô�Ï�Ýkëv.�Ø�Ù�â©á@ÛkÜBÜBÛQÙ�Ù5âPã)Ú5ؤܠå ä Ï±Ù�í.ÛEÛEÜ�Ï�æEâ±Ü ÙmÝpϱÜ�Ý�äBÛkÞ|á�Ø|Ü Ý�äBÛÛkÚ5Ûkà�ß©ÛEÜ æEÛ_ÏPÜ å$Ù�ä ÏPáBؤÜBß&ïBá�â±ã7Ù�ïBí¯èaæbâ©Ú5Ú�ïBÜBØ|Ý�ؤÛkÙ�ó_Ø|Ý�ä Ø|Ü$ÝpäBÛEâ©à�ÛEÝ�Ø�æEÏPÞBæEâ±Ú$áBï¯ÝpÛEà�ÙpæbؤÛEÜ@æbÛ±ëz¥÷¯Ï±Ú$áBÞ|ÛQÙ�ÏPàpÛgÝpäBÛ�s � � ç���` þ�s¢ÛkÜBÛEàZÏ�ÝpØ|â©Ü�âPã�n�ϱܠå¯â±Ú ç�â±Ú�íBؤܠÏ�Ýpâ±àpؤϱÞ��)íI�]ÛkæbÝpÙ��ϱܠå� âPã � þ � Ü ÏPޤίÙmØ�Ù�â±ã � Þ|ß©â±àpØ�ÝpäBÚ�Ù��$æEâ±Ú$Ú¦ï ÜBØ�ÝpØ|ÛQÙ�ó_äBØ�æZä ä ÏJô±Û#ß±àpÛkÏPÝ�Þ¤Î�í.ÛEÜBÛEîBÝmÝpÛkå ãÌàpâ±ÚÙ�á@ÛQæbØ�ÏPÞ�ؤÙpÙ�ïBÛkÙ¢âPãXìuç �7ñ.Ý�äBØ�Ù&Ï�Ý¢Ý�äBÛ5Ø|Ü?ô�ÏPàpØ�ÏPíBÞ¤Î#ÛEÜ æEâ±ïBàZÏPß©Ø|ÜBß"Ø|ÜBØ|Ý�Ø�Ï�ÝpØ|ô©Û�â±ã%`�ϱïBà�Ø�æbÛ©ë��aÜô?ؤÛEó â±ã£ÝpäBØ�Ù�ÏPÜ å�â±ã�`�ϱïBàpؤæEÛku Ù�Þ|â©ÜBßPèaÙ]ÝZÏPÜ åBØ|ÜBß5ؤܩÝpÛEàpÛkÙmÝ_Ø|Ü�Ù�Ø|Ú$ؤޤϱà�å¯Ø�Ù�æEà�ÛEÝ�Û&ß±Ûkâ±Ú$ÛbÝpà�Ø�æEϱÞâ©íI�]ÛkæbÝpÙgþrÙ�ÛEÛ©ñ¯Û±ë ß ë¤ñ[Z j¯ñ�]�ñ'd ñGw�]P^_�eñ ó�Û)�?ؤܠå¯Þ¤Î"å¯ÛkåBؤækÏ�Ý�Û&ÝpäBØ�Ù�Ù]Ýpï å¯Î"Ý�â$äBؤÚ�ë���(�/���#��������� �#�A��� N������ ê�å�ñ�é�ðPë<øMé�ç,ñ�ñ î úRúIð,ë~ì<â�ä�å�ãeúRç,ë~ì � èMì<êRâ���� �O� ë<ðBæPë¥ç ��� â�ð� �ì<ê�â¡;¢ î ã!äkâ�ë�ïðBã�ì~ë¥ç,ï�ì�ã î � � â�ëZ��� �¤£<ÿl¥�¥�¥(£<ÿa\�ÿl¦^pYô¨§P©«ªy¬®­�£,¯1� ö9ó � ê�âtç î ì<ê�ðPë<ñ�ç,ë<â/æPë¥ç�ì<â9  î ÷�ì<ð� ê�å�÷gå�ú�úIâ®°%ð � â�ë~ìy Lð,ë � ç,ã5è/å�ã�ñ~ågæPê�ì�  î ÷�ä�å�ñ~ï î ñ~ñ~ågðPãRñ ðBã�úkë<ð � ç � å�÷�å�ñòì<å�ï�ç,ñ~úIâï�ì<ñ ð� Gë¥ç,ã!ä�ð � é�ç,÷gø5ñçPñ�é�â�÷g÷@çPñ�ì<ð ­ å�ë<âå�÷g÷�âG±�ð î ñ!² î â�ì £³­=´â÷�ð î ç,ã!ä�ç,ãhçPã�ðBã�è � ð î ñ�ë<â9 Lâ�ë<â�â� �ðPë¶ç�ï�ç,ë<â9  î ÷Kñ~ï�ë î ì<å�ã�è�ð( ì<êRâ�ú!çPúIâ9ë�ì<ê!ç,ì�æ,ë<â�ç,ì<÷�è�êRâ÷�úIâ�ä î ñ�å � úkë<ð(µBâ�ð î ë�ú�ë<âñ~â�ã5ì¥ç�ì<å�ðBãKó � ê!çPã�ø5ñ?¶!ã!ç,÷�÷�èMì<ð ª ê�ë<å�ñòì<ågçPã· ë¥ç,ì~ì<âã�ì<êRçP÷�â�ëy Lð,ë�µPçP÷ î ç � ÷�â � å � ÷�ågðPæPë¥ç,úRêRå�ï�ç,÷Kë<â � ç�ë<ø5ñó

¸/º�À!ºBÆGºBÄ;Ê�º'½�e��8±� v98±�B6£�JSbqEYZhJ�ZYZ\m�;¹�� ?E}9�m{r�ez¤~�?b}L�e��}m��{~8h<a�e{¢�a~mz¤}m����z��L���u�e�Py$}��^?ez|�P}L}m{a�L�@6�l_[]\nTVtmYZh}�gYposSJ[]l�YponTVtmYZc8kdEtmTV[ao3qb�¯��³x³�6Q�2Q�£,.qQ\sTVc?4�YZhJ^J[]\sTV[m\m�«º �e�®�mz��P�e�3�ez|{r}_�e�P�e� 8e��z C�EQ}�»¥�a�E�P� z¤~L�e��z|�e�$�xEn¼����e{r~]�Q}����e�9�}��b���bz�{r}��L�©9�� :;� 6��Ql_[ml�vdeTV\��C½£hJT `b[]\nUsT o�¾[�=@YZ\sTVU1¿<0L��CefJc qw��³x³��Q��Q� � º �e�®�]z|�P�e�3�ez�{s}��e�P�e� 8e�¤z�C�EJ}<yb}��;~a�J}m�Xz����1}��Byb}��1~n�b{a��}��L�b=@S�� 9��posSJ[]UnTVUm�(½£hJT `b[]\sUnT o�¾[7= YZ\nTVUÀ¿<0L�CefJhJ[ 2�6�6Q�e�ÂJ�£,.qQ\sTVck4�YZhQ^J[]\nTV[]\��T�&TV\n[]TVcVcV[ 47defJUn�EfJ[aosv��Á¾[mcVdef©�Z6�c�YZTVh�9�[]hJTVUs[e�Z=.SQTVcVTVWJWP[@ABc�Yp�rdecV[ao��Z9<YZhJTÃÂ[]cV[��<YZ\s^Qqb�bYZhJ^9�del_TVhJTV�EfJ[I��defkqbdefQvÌ47[mYZfJtLS�YZl_WQU��«Ä1}m�P}�{r�e��z|�^?�< Ek�P~���z|�e�����=<�?b}��P}m{s�e��z��^?��¤{s}n}��L�QF¯[mtnSJhJTVtmYZc¯/1[mWPde\ro6�2B,1D�� A F�v3F;/�v_6Q�avL��Fk�e6£cVt]del�v3ABF5=.\sdZ�r[mtaom�bA�[]�J\nf�YZ\rq%2�6�6Q�e�,2�4�W�YZ�e[]U��b6£tmt][]WQos[]^Xx¤de\BWJfQ�JcVTVtmYponTVdehTVh 0 z|�a~m{r}��3}yŦ�e�|�Q}����e��z|~��n�ÃQ�£,.qQ\sTVc.4�YZhJ^Q[m\sTV[]\��?=@SJTVcVTVWJWP[�ABc�Yp�rdecV[ao��+��TVcVcV[]U)8ktnS�YZ[�Æ©[]\m� YZhJ^D�&TVtLS#Â[mcV[h8kde\nT�YQ�ÀÇ1�e�Pyb�b� �X�a�±�5È�~L�m�b�� }m�a~�z��^?¢�a�byEyJ� }��,È£�Lz��^?�Ek� �e{az��L8&�e�P�e� 8e�Lz��,È<�e�Py�¹¥z�{~8��J�Q}��P�e��}m�P�e�?=.\s[]WJ\nTVhbo��8�gYZ\stLS�2�6�6Q�e�¤ÂVF_W�YZ�e[]U��6�t]t][]WQon[]^&x|de\1WJfJ�JcVTVtmYposTVdeh¢TVh�Ç1�e�Pyb�b�¬A±��{ EQ~��ÄEk{r}��PÉf¹�� ?b�b{az��|�k�X�n�4Q�1:.cV[]h�Y�4�YZ\nt]fJt]t]T���8QYZ\LY�47\nfJhQ[]orosT��16�cV�P[]\sosd59�[]c;2?fJhJ�edJ�£YZhJ^��gYZfJ\sTVtm[¢8£T `ZYpo���Ç�}L~L�e���L��{ EQ~���z|�e���=<yez|�a~m{r}��3}��a}����/<L{r�e� �|�k{r}L}��e{¥���e{r}ËÊ¥�Ì{r��8e�L�J6£cV�ede\nT osSJl_U1YZhJ^¢t]del_WJcV[a§kT o3qg��/1del_[e��2�6�6�6b�L�O8kWJ\sTVhJ�e[]\��47[]\ncVTVh��B2�6�6�6Q�PWJW��©��³x³ÍÌP2Q�¥6Q�Fk�1:.cV[]h�Y_4�YZ\stmfQtmt]T��P6£cV�±[]\rond�9�[]c?2�fJhJ�edJ�8�gYZfJ\nTVt][�8£T `ZYpo���YZhJ^w/;[]hJ¨]d_=@TVhJ¨mYZhJT���Ç1}L~n�b���n��{ EJ~m��z|�^?¢~n�b���Î }�¼¥�k�b� 8b�e�Xz��P��}m��<L{r�e� �Q�b{az Ï��e���3�e�B�e�Py Î }�{a��z|~L�e�J�P{r�5Ðm}L~m��z|�b���n��F1SJ[]de\n[aonTVtmYZcB,7del_WJfkon[]\�8kt]TV[]hJt][?ÑCÒ~Ò�s��³x³�4b�L�PhJdJ�52Q�x��2Q��Ì|��ÂVFk��Q�1:.cV[]h�Y�4�YZ\nt]fJt]t]T���/1[]hJ¨]d$=.TVhQ¨�YZhQT��;YZhJ^#/1[]hJ¨]d�8kWJ\sfJ�ehJdecVT��Z���Q}�{r�e�PyE�e�c?b}��P}m{s�e��z|�e���=<gyez�{r}L~��3}ny�e��z|�X�b� �L�PF1SJ[]de\n[aosTVt�YZc¯,�del_WQfQon[]\�8kt]TV[]hJt][®ÑCÓ~Ô¦�r��³x³�ÂE�L�PhJdJ�52Q�F�����ÍÌ|�xÃ�6Q�³Q�;9<YZhJT�Â[]cV[<47[mYZfJ�EfJTV[]\����gYZfJ\sTVtm[�8£T `ZYpo�� ¾:.\sTVt�/1[]l_TVc�YQ�EYZhJ^N�&TV�e[�/1de�JUndeh©���¯z�� z��^?�ÕÎ?xEQ{r}����ê<��|�Q}��P� �e�P}:@z��|�¢�L:@���n�e{a�L�P,�del_WQfQoLYposTVdeh�YZc1��[]del_[aos\sqb��F1SJ[]de\sq)YZhJ^)6�WJWJcVTVtmYposTVdehJU¤Ò¦�s��³x³xÃb�L�PhJdJ�?�e�©��ÌP2xÃQ�

�¥6Q�;Ce[�YZh�47[m\sUsos[]c?�¤[]^�� �L� AR�}�{az|}��¤<a�e{a��}���� }m�L�E2?03F1= �l½£hJT `b[]\nUsT o3q�dZx©= YZ\sTVU��J��³�FT�Q�P�|=.\ndEt][][m^QTVhJ�eU.dZx©Y38ktLSQdkdec��¿<TV[]fQ§nÌk47defJtmYZf��PA�\LYZhQtm[e�?��³�FxFe�L��e�e���&TV\n[]TVcVcV[�47defQUn�EfJ[aosv!�W¾[]cVdef��ËÖ��W×Ì�L�b�X},Øe<DEQ�P~m��z¤�e�P�e��}DC�EJ�e��z|�e�����b{az��Lz��^?¦z��j}���EQ�X}�{r�e��z Î }&~L�e�?�mz��P�b��3�e{az¤~m�L�J=@\n[]WJ\sTVhEom��2�6�6Q�e��¥2Q���&TV\n[]TVcVcV[£47defJUn�EfJ[aosv��Á¾[mcVdef¢YZhJ^¢6£hEosSJdehbq&CJ�x��fQoronl�YZhJh©�1���Q{r}L}m�rybz���}m���Lz|�b�P�e�¯�a}m� <L�r� Î �ez¤yez��^?u~L�e� Î }�¼�Q�e� 8�?E�e���L�;=.SbqQUsTVtmYZc</1[]`kTV[a¡+:£��8EonYponTVUronTVtmYZc<=@SEqkUnTVt]Um��=.c�YZUsl�YZU��7ABcVfJTV^QU��1YZhJ^�/;[]c�Ypos[]^�03hbon[]\s^JTVUnt]T vWJcVTVh�YZ\rq�F¯deWJTVt]U���F1SJTV\s^�8k[]\sTV[mU�Ò~Ò¦�r��³x³�Fe�a�PhQdJ�54Q�JW�YZ\ro;6���/[4���2��ÍÌk/[4���2�4Q�

�º�Q���&TV\n[]TVcVcV[147defJUs�kfJ[aorv!�Á¾[]cVdef�YZhJ^K�gYZ\n�ed¥=B[aon�edm`UÙUn[]�±��Ú z|�P}L�e{£{s}n~�EQ{a{r}m�P~L}��[:@z��|�u~n�b���n�3�e���7~L�m}ÜÛj~�z|}������!»�|�Q}��eEQ� �¤z Î �b{az|�e�3}�~L�e�a}m�P9�TVUstm\s[aon[ �gYposSJ[]l�YponTVt]U¤Ó~Ó�Òg�L2�6�6�6b�L�PhJdJ�?�av��Q��ÃQ��Ì F�ÃQ�

Page 37: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £ (�fÂJ�12?defJTVU1,7del�on[aom�ݺ �e� ~�EQ�E�±{r�e��z C�EQ}�yb}���~L�m}ÜÛ"~mz¤}m�����£yE}��P��8e� �e{�y�Þ Ek�P}/<]�e�P~��¤z¤�e�g�e� ?1�}��]{az�C�EJ}m�Q:@hJUn[]TV�ehJ[avl_[]hEo��gYposS«¾[]l�YponTV�EfJ[e� Ñ�ß��r��³�4�ÂE�a�k2�4�F.ÌP2�F6Q�

��ÃQ� �~¹;y Î �e�P~L}Ly¢~n�b�?�mz��P�e�3�e{az¤~m�L�P/1[mTV^Q[mc��J9�de\n^Q\n[]tLSbo��?��³�FaÂJ��¥4Q�;8��8���P^J[�47\nfQT �sh��~¹¥�ò8e�£�±���b�¤z¤~��X}��|�Q�myb��z|���e�P�e� 8e�Lz��L��9�d�`b[]\��¯��³��Q�e�©6�\s[]WJ\nTVhbo�dZx osSJ[�osSJTV\n^&8£de\sosS>£decVc�YZhJ^)[]^JT onTVdeh©����³�F6¢��i�\nUro£[]^JT osTVdeh��?��³xÃ��b�L�

��Fk�16�cV�P[]\sosd¢9£[mc 2?fJhQ�edJ�1�gYZfJ\nTVt][X8£T `eYpom�¯YZhQ^5/1[]hJ¨]d¢=.TVhQ¨�YZhQT��¤���Q})��Ek�®�n}m{_�=<_~n�b� Î }�¼��Q�e� 8b�b��z|�P�m}��{r}L~L�e���L��{ EQ~���z��m� }Î<L{s�e� ���J}mz|{7�b{a���J�ê?E�e�P�e�e�P{r�,Ð]}L~m��z¤�e���L�Z=.\ndEt][][m^QTVhJ�eUBdZxJonSQ[G4ponSX,7dehQx|[m\s[]hJt][7deh�A�de\sl�YZc=Bd�¡�[]\08k[]\nTV[]U.YZhQ^X6�cV�e[]�J\nYZTVt;,7delX�JTVh�Yposde\nTVt]U��¤8£[a¡�47\nfJhJUr¡;TVtL�±�e8�CJ�J��³x³�ÂE�L�e`bdec��J��Ã�Fk����³x³�4Q�EWJW���4xÃÍÌFT�Q�

�º�Q���gYZ\nTV[av3=@TV[m\s\n[£9�[]cV[]Uso£YZhJ^¼��¾[m\nYZ\n^Z¿<TV[]hJhJdZom��¹�� ?b}��]{s�ez|~�� �b�^?xEJ��?E}m�¥�e�Py��k�e� 8b�e�Xz��P��}m�X}m��EQ�X}�{r�e��z¤�e���F1SJ[]de\n[aonTVtmYZc ,7del_WJfQos[]\�8kt]TV[mhQtm[RàUá5�r��³���ÂE�a�¯�¥4x³ÍÌP2�6�4Q�

��³Q�1=B[]os[]\ ���±9�dmqQcV[�YZhJ^wCJ�±2¯YZfJ\nTV[e8khQ[mcVc���Ç��e�PyE�e� :.�e� âZ�X�e�Py&}m� }L~m��{az|~��P}��L:@�e{³âe�L� �gYposSJ[]l�YponTVtmYZcB6�UrvUndEt]T�YponTVdeh)dZx@6£l_[]\nTVtmYQ� YZUsSJTVhJ�Zosdeh��±9�,�����³���ÂJ�2�6Q���&TVtLS�YZ[]cE9�\nl_dZonYQ�9¹¥�ò8e�£�P�3�e��z¤~;yez|�n��{azÃ�fEQ��z|�e���.�e�Py¥�<�wEk� ��z Î �e{az|�e�3} 0 �b{.�s��El¼��X}��|�Q�my�z|�X}���EQ�X}�{r�e��z|�b��P{s�(�]� }����L�±CedefJ\nhJYZc?dZx@,7delX�JTVh�Yposde\nT�YZc©F1SJ[]de\sqb�¹8k[]\sTV[mU;6\ã�Ô¦�s��³x³�ÂE�L�¯�¥4x³ÍÌP�º��ÂJ�2Q�e���&TVtLS�YZ[]c©9�\nl_dZonY¥YZhJ^N�&TVtLS�Â[]cV[�8kde\sT�YQ��>L����?b}����e�Py��P{s}mz|�X��?E}���z|�){s�e�Pyb�e� ���a�b�Pz|�^?e�L�s8k036�� CedefJ\rvh�YZc?deh¢9�TVUnt]\n[aos[ �gYponSQ[ml�YposTVt]UyÑ�ߦ�s��³x³�Fe�L�PhJdJ�52Q��2�Â�4ÍÌP2�4x³Q�2�2Q�1=.SJTVcVTVWQW±[u9�fQtLSJdeh��RÖ��j�|�Q}g}���EQ�X}�{r�e��z|�b���e�Py ?E}m�P}�{r�e��z|�b�"�=<n?b}��P}�{r�e� z Ï�}Ly 0 8b~!â�:.�e{rye�L��9�TVUst]\n[aon[�gYponS©��Ó~Ó~ÒX�L2�6�6�6b�L�ehJdJ�b�av!�Q�k�¥2Q��ÌP�º�xÃQ�eA�de\nl�YZcpW±dm¡�[]\¯Un[]\nTV[]U�YZhJ^�YZcV�e[m�Q\LYZTVt tmdel��JTVh�Yposde\nTVt]U.�|F¯de\ndehbondJ�D<8��©��³x³��b�a�2��Q���gYZ\nT�YZhJhQ[¥9�fJ\LYZhQ^��~¹��ò8e���P�3�e��z|~��¥�=<<�|�Q}åäÃâZ� �e��æ¥{r}L~�Ek{a{r}��P~L}m��=.\s[mWQ\nTVhbo���2�6�6Q�e�2�ÂJ�12.�?:@fJcV[]\���Ö;�m�a}m{ Î �e��z|�b�P}m���e�P�e� 8e��z|~L�b}��¯8£d�`kT�,7del_l_[]hboLYZ\sTVT 6£tmYZ^��Ý8kt]T���03l_W±[]\m�©=B[aos\ndeWPdecVT oLYZhJYZ[çÑ~Ñ�s��F4xÃb�L�¯�¥2�Â9ÌP�fÂ5�Q�2xÃQ�L��fQq�APYmqbdecVcV[1YZhJ^X/;defQ^Jdec xP0ÌYZUnhJde�ede\sdk^QUn�ET��À��:@��~L�xEp�P� }Ly£�±{r�m~L}��n�a�e{a�!»��|�Q}£{r}LyxEJ~m��z|�b�u�3�¥�èÇ<z|}��X�b�����é z��ê�n}m{a�©�P{r�(�m� }��X�~ë±[]T onUstLSJ\sT x|o@x�ìfJ\ YZSQ\nUntnSJ[]TVhJcVTVtLSJ�e[]T osUsosSJ[]de\nTV[�fJhJ^®¿@[]\s¡1YZhJ^kon[ ��[]�JTV[aos[yá#Ôg�r��³�F�³b�a�hJdJ�3�Q�x��2xÃÍÌ|�xÃQ�e�2�4Q�L��fQqjAPYmqbdecVcV[e�1/1defJ^Jdec x<0ÌYZUnhJde�ede\sdk^JUs�kT��;YZhQ^í¿.YZ^JTVl �gYZc qQUsSJ[a`©�;Ç1�e�Pyb�b� :.�e� âe�¢z��#�|�Q} C�EQ�e{a�3}�{a��P� �e�P}��s8EWJ\nTVhJ�e[]\rvÿ.[]\sc�YZ�J��47[]\ncVTVh��±��³x³x³Q�2�Fk� �©A�[]cVcV[]\��À¹��$z�����{r�my�EQ~���z|�e���3���P{r���s���]z|� z|��8g�|�Q}L�e{~8w�b�Pygz������]�b�P� z|~L�e��z|�e���L�¯onSQTV\n^w[]^��V��`bdec�� �e�¯CedeSJh TVcV[aqb�?��³�4��Q�2��Q� �~¹��gz�����{r��yxEQ~���z|�e���3�¥�P{r���s���]z|� z|��8u���J}n�b{~8u�e�Py)z������a�b�P� z|~L�e��z|�b���n��`bdec���2Q�PCedeSJh TVcV[aqb�?��³�Fk�e�2x³Q�1=.SJTVcVTVWQW±[gABc�Yp�rdecV[ao��Zº �e�®�]z|�P�e�3�e{az|�b�¥�e���k}L~m���¦�ê<w~L�e����z���EJ}Ly <a{r�b~��¤z¤�e���L��9�TVUnt]\s[]os[³�gYponSQ[ml�YposTVt]U�à�Ó�s��³���6b�L�¯�¥2xÃÍÌP�¥4Q�e���6Q� �/���J}¥} Î �e� Ek��z¤�e�g�=<��L:@���L�3�b~!âZ�£z��î�s��Ek�Pyb}Lyu�¤�Q�b~L}��e�Py�{s�e�Pyb�e�¿:@�b� âe�£z|�¢����{az¤�e�^?e� }��|�gYposSQv[]l�YponTVtmYZc?A�defJhQ^�YponTVdehQU�dZx.,7del_WJfQos[m\�8kt]TV[]hJt][_��CJ� ��\sfJUn�pYQ�P4��P/1d�`ZYZh��PYZhJ^¢C�� TV[]^J[]\nl�YZhQh��J[]^JUm� �a�2?[]taonfJ\s[�8£dZos[mU£TVhg,7del_WJfQos[]\µ8EtmTV[]hJt][e�P`bdec���2����Q�O8kWQ\nTVhJ�e[]\�¿.[]\nc�YZ�J����³���4Q�P=.\ndEt][][m^QTVhJ�eU�dZxBosSJ[_�¥2ponS�&AB,B8�8bqQl_WPdeUnTVfQl&�J47\nYponTVUsc�Ym`eYQ�Q6�fJ�efQUso¥��³���4Q�PWJW��x��2xÃÍÌ|��Â�6Q��Q�e� ��¹��P�b� 8e��z|~¥�X��yb}m� ���e�Py��e�®�mz ?�Ekz|��8��=<<~L�e���3}�¼e�Ãïê<a{r}L}¥� �e�^?�EQ��?E}��n�QF1SJ[]de\n[aosTVtmYZc¯,7del_WJfQos[]\B8kt]T v[]hJt][Rá�ð��r��³���Fe�L�k2����ÍÌ|��6x³Q���2Q�1=.SJTVcVTVWQW±[¢A c�Y��sdecV[aom��Ce[mYZh#A�\nYZhÀñt]deh��<YZhQ^#Ce[mYZhW¿.fQTVcVcV[ml_TVh©��A©}DC�EQ}��P~L}��=<w�a�k}�{r�e��z¤�e���¦�e�P�e� 8e�Lz��e<]�e{y�8e�P�b��z¤~XyE�e�3�u�L��{ EQ~��ÄEk{s}m�L��CedefJ\sh�YZc?dZxB6£cV�ede\nT osSJl_UèÑ&�r��³���6b�a�¯�e�e��ÌP�fÂJ�e����Q�1=.SJTVcVTVWQW±[£ABc�Yp�sdecV[ao;YZhJ^uAPYZ�J\sTVtm[I��fJTVcVcV[]l_TVh��/�?�Q}�<]�e{a���e�?���J}n�b{~8��=<Ë�mz�{a�|�k�r�b�Pye�ryb}L�e�|���P{s�m~L}m�L�a}��5È1� �e�����z|~L}��Q�e�|�¢~L�e�®�]z|�P�e�3�e{az|~��,È.�e�Py�~L�e����z���EJ}Ly�<L{r�E~m��z|�b���n�Q6£^Q`eYZhJt][]U1TVh_6�WJWQcVTV[m^_=@\nde��YZ�QTVcVT o3qZà�Óg��2�6�6�6b�a�F�Ã�6ÍÌ FxFT�Q���ÂJ�1=.SJTVcVTVWQW±[@ABc�Yp�sdecV[ao YZhJ^�6�hJ^Q\n[a¡}�5�ZD�^Jc qk¨m�edJ�VA±z|�^?xEQ� �e{az��L8��e�P�b� 8e�Lz��1�ê<7?E}m�P}�{r�e��z��^?0<DEQ�P~��¤z¤�e���L�x8k036��CedefJ\nh�YZc�deh¢6�cV�e[]�J\nYZTVt¥YZhJ^&9£TVUnt]\n[aos[ �&[]osSJdE^JU�à��s��³x³�6b�L�PhJdJ�52Q��2Q�¥4ÍÌP2�Â�6Q��xÃQ�;9���A�dbYponYQ��Ú��)���}m{az¤}�?��}m�y�}�{r�e��{az|~L}�}�¼]�k�e�P}�����z|}���� }_yb�e���¥� }m���±{r�(�m��ò}��X}���y�Þ³�}m��EQ�A�}�{r�e��z|�b���Î8±� �5� 8±�x�&dehQvon\s[mYZcó½£hJT `b[]\sUnT o3q�=.\s[]UnU��©��³�FaÂJ���4Q�;Ce[�YZh¢A�\LYZhÀñt]deh�� é z|�n�3�ez|{r}��¥yb}«Õ.~]�kz¤}m{a�L�P/16�0Ì/1D�03hQx¤de\sl�Ypo��QF1S«¾[]de\���Ñ�Ó¦�r��³�FT�b�L�PhJdJ�?�e�Â�³ÍÌP4�2Q���Fk�;>�YZ\s\sq&A�fQ\nUsos[]hk�P[]\n�J�À¹<� ?E}9�m{r�ez¤~Ñ< Ek�P~���z|�e����� Î }m{;Õ@��z��3}�Õ.}�� ye�L�?CedefJ\nh�YZc dZx�6£cV�e[m�Q\LYGÔj�r��³�4�Fe�a��2�Fk��Ì2�FxFk����Q�103\LY³�5����[]UsUn[]c��;¹°<]�b~����b{az Ï��e��z|�e�%<]�e{)<a�e{a���e�;Ú@�xEk{s}m���X�a}m{az¤}m�¢�e�Py�� �e���¤z¤~L}_�k�e�|��}���EQ�X}�{r�e��z|�b���£CJ�,7delX�JTVh��kF1SJ[]de\sq 8k[]\��J6ôÓUõ��r��³���6b�L�PhJdJ�3�Q�F��2Q��Ì|����Fk��x³Q� �#¹ �P�e�P~L�e�X�eEQ�3�e��z Î }w?E}m�P}�{r�e� z Ï��e��z¤�e�5�b�PyZö(ïk�e�P�e� �ê?g�ê<����J}PÚ@��?e{s�e�^?b}�z�� Î }m{a�Lz|�b�n<a�b{a�eEQ� �b�F¯\LYZhJUnYZtaonTVdehJU£dZx¯onSQ[�6�l_[]\nTVtmYZhW�gYponSJ[]l�YposTVtmYZcÝ8kdEtmTV[ao3qîÓ�Ò~Ôg�s��³���6b�L�±hJdJ��2Q��Â�ÃxÃÍÌVÂ5��2Q�Â�6Q�;4���¿��F��hQ[m^Q[mhQ�ed_YZhJ^u6��Q8�� ²<decVl_de�ede\nd�`±�UÚ z|��z|�.ybz��L��{az���Ek��z|�b���Î<]�e{��DEk�X���=<<z|�Pyb}r�Q}m�PyE}m���7{r�e�PyE�e�Î �e{az|���]� }m�L��6�^Q^JTVUndehQv []UscV[]qb�?��³�4��Q�

Page 38: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

£ Ð >@?BA�C@D@EGFIHKJLFIHMC@D@E�N�?PORQ5C@S�TGQ5FIUÂJ�e�;>�� �F��defJcV^©�~Ç�}��a}L�e{r~]���]zÃ�]� z|�D?e{s�a�J�P8u�b�¢�L:.����Ek�®�n}m{<�a}DC�EJ}m�P~L}��L�k03h�Ŧ�e�|�Q}����e��z|~L�PŦ�e�P�e�^?E�e� z¤�b}����³�Fk�e�?�|6�t]del_WJ\s[mSQ[mhQUnT `b[��JTV�JcVTVde�e\nYZWJSbq)deh¢47[]cVc?YZhJ^&,1YponYZc�YZh&hEfJlX�P[]\nUL�a�Â�2Q�10ÌYZhg= �8��defQcV^J[]hwYZhJ^w9<Ym`kTV^i�5�PCbYZtL�EUndeh��;º �e�®�mz��P�e�3�e{az¤�e� }���Ek��}m{s�e��z|�e���?CedeSJh TVcV[aqb�±8£[a¡�-@de\n�P���³����Q�Â5�Q�1=B[]os[]\�>;[mhQ\nTVt]T��/¹1�b�P� z|}Ly��b�Py¦~L�e���¹Ek�3�e��z¤�e�P�e�;~L�e���P� }�¼5�e�P�b� 8e�Lz��L�B`bdec���2Q� CedeSJh TVcV[aqE�@8;[]¡ -@de\n�P���³�FaÂJ�ÂxÂJ�1:£�E>;TVcVcV[b��¹��P�e� 8e�¤z¤~/<DEQ�P~��¤z¤�e�¢���J}n�b{~8e�Q47c�YZTVUn^Q[mcVc�=@fJ�JcVTVUsSJTVhJ��,7del_W�YZhbqE� YZc osS�YZl&�P��³�4�2Q��2è¿.decVfQl_[mUm�Â�ÃQ�1A�\LYZhJt][]U$²<TV\r¡1YZh���º@�e�£�±� }�¼��e� ?b}��]{s�ez|~�~�Ek{ Î }��n�<2?dehJ^QdehÊ�gYponSJ[]l�YposTVtmYZcw8Edkt]TV[ao3q,8EosfJ^J[]hbogF¯[a§kosU��hJdJ�52��Q��,1YZl��J\nTV^Q�e[y½£hJT `b[]\sUnT o3qu=.\s[mUsU��±��³x³�2Q�Â�4Q�;9�deh�YZcV^¥:£��²<hEfQosS�� ���Q}£�e{a���ê<7~L�e�£�sEk�3}�{¯�P{r�ê?b{r�e�X�Xz��^?b���Z\s^�[]^��V�p`bdec��b��1©A�fJhJ^�YZl_[]hboLYZcE6�cV�ede\sT onSJl_Um�6�^J^QTVUndehQv []UncV[aqb�?��³x³�Fk�ÂVFk� �+���J}"�e{a�&�=<�~L�e���¹EQ�3}m{g�P{s�ê?b{r�e�X��z|�^?e�K�Z\n^�[]^��V�¥`bdec���2B1�8k[]l_TVhEfJl_[]\nTVtmYZc¥6�cV�ede\sT onSJl_Um�6�^J^QTVUndehQv []UncV[aqb�?��³x³��Q�Â5�Q� �«���Q}��e{a�1�=<�~L�e�£�sEk�3}�{;�P{r�D?e{s�e���Xz��^?b��2ZhJ^&[]^��V�J`bdec��x�B1;8Ede\sosTVhJ��YZhJ^$8E[�YZ\stLSJTVhJ�J�P6£^J^JTVUsdehQv [mUscV[aqE����³x³��Q�Â�³Q�;CbYZtm�EfJ[]U¥2¯YZ�P[]cVcV[�YZhJ^g-@[mdehQ�&8�YZhg-@[]S�� 0 8b~!â��Q�e�|�k�X�ê<RâZ��z¶?p�Q�;��� Î }��L��9�TVUnt]\s[]os[X6£WJWJc��8�gYposS��óÓCá�s��³��x³b�L�khJdJ���av!�Q�P2Q�º�ÍÌP2�2Q�e�QABTV\sUso��&dehEos\n[mYZc±,7dehQx|[]\n[]hJt][£dehu,7del��JTVh�Yposde\nTVt]U.YZhQ^u,�del_WQfQon[]\08kt]TV[]hJt][b���³���Fk�Ã�6Q� ��Ä1}m�P}�{r�e� z Ï�}Ly 0 8b~!â��Q�e�|�k�L�±9£TVUnt]\n[aos[ �gYponSJ[]l�YposTVt]U�õ�Ó¦�r��³x³�6b�L�¯��ÌP4Q�ÃQ�e�1=.TV[]\n\s[av98kTVl_deh¥2¯YZWJc�YZt][e�/�?�;�}��e{az¤}��e�P�e� 8e��z C�EQ}<yb}��B�P{r���s���]z|� z|���}��<;�÷B�e��;�>,ÈO>9>a� ¾:@^JT osTVdehJU.CbYZt]�EfJ[]U��<YZ��Y]qE�= YZ\nTVU��±��³x³xÃQ�±/1[mWQ\nTVhbo£dZx¯osSJ[��º�Q��³_YZhJ^¦�º��2�6�[]^JT onTVdehQU��Ã�2Q���5�B2?dZosS�YZTV\n[e�?º �e�®�]z|�P�e�3�e{az|~��)�b�b:.�e{rye�L��:.hQt]qkt]cVdeWP[m^QT�Y�dZxI�gYposSJ[]l�YposTVtmU�YZhJ^jT onU�6£WJWJcVTVtmYposTVdehJU��`bdec�����Fk��6£^J^JTVUsdeh�Ì [mUscV[aqE�¯��³����Q�Ã��Q�L��fQq�2?defQtLS�YZ\n^©�;¹¥�ò8e�£�P�3�e��z¤~��P{r�a�Q}m{a��z|}��&�=<)�a�e�X}%Ek�PyE}m{rybz|��?E�e�P�e��:@�e� âe�n?E}m�P}�{r�e��z|�b���e� ?E�e{az��|�k�X�L�F1SJ[]de\n[aonTVtmYZc ,7del_WJfQos[]\�8kt]TV[mhQtm[PÓ�Ñ�õ¦�r��³x³x³b�a�±hJdJ��2Q�52�Â�³ÍÌP2�4�2Q�Ã�ÂJ�1:£��2?fJtmYZU��y�����}��b{az|}&yb}��Rø¥�e�®�]{s}m�L�+�<YZfQosSJTV[]\sv�¿<TVcVc�YZ\n^©�?= YZ\nTVUm�.�º�x³Q�e� /1[mWQ\nTVhbon[]^¦�Eq¦6���47c�YZhJtLSJYZ\n^��= YZ\nTVU���³�4Q�e�ÃxÃQ�16��+�&[]TV\�YZhQ^jC�� ���&dkdeh©�PÖ��j�|�Q}g�e� ��z��ÄEQyE}w�=<u�P�myb}��uz|�"{r�b�Pyb�e� ��{r}L}��L�7,�YZh�YZ^JT�YZh"CedefJ\nhJYZc;dZx�gYponSQ[ml�YposTVt]U¤à~ß��r��³�FT�b�L�s³x³�F.ÌP�¥6Q��ÃQ�Ã�4Q�;9�deh�Ypos[]cVc�YW�&[]\ncVTVhQT��±9��8���©/;de�e[]\nUm�©/;[]hJ¨]d 8kWJ\nfQ�ehJdecVT��?YZhQ^i�5�?,7[]t]TVcVT�Y�¿.[]\s\nT���ùB�Pyb}m{syez|��?E�e�P�e�7� �e�����z|~L}£�k�e�|�k� : z��|��Ek��{r}��L��{az|~���}Lyu�n�3}s�P�L�J9�TVUnt]\n[aos[�6�WJWQcVTV[m^W�gYposSJ[]l�YponTVt]U��P,�del��JTVh�Yposde\nT�YZc±6�cV�ede\sT onSJl_Um�D�WQosTVl_TV¨�YposTVdeh)YZhJ^w,7del_WJfQos[]\Ñ8EtmTV[]hJt][Rð Ñ&�r��³x³x³b�a�PhJdJ�©�av!�Q�?��³�F.ÌP2Q�º�Q�Ã�Fk��8k\nT&��deW�YZc1�&deS�YZhbo3qb��Ú?�e���¤z¤~L}£�Q�e�|�g~L�xEQ����z��^?)�e�Py¢�a�b�P� z|~L�e��z¤�e���L�±6£t�YZ^Q[ml_TVt�=@\n[]UnU � >£YZ\nt]defJ\so£47\nYZtm[Ced�`eYZhQd�`kTVtLSg=.fJ�QcVTVUnSJ[]\nUb�3�J8;[a¡�-.de\s�±�©��³�F�³Q��=.\sde��YZ�JTVcVT o3quYZhJ^��gYposSJ[]l�YposTVt�YZcÎ8EoLYposTVUsosTVt]U��Ã��Q� ��º@�e�?�mz��P�b���b{az|�e���e���k}L~����7�ê<7�a�e��};{r�b�Pyb�e�¨:@�e� âe�n�b/£YZhQ^Jdel�¡1YZcV�kU7�¤47fJ^�YZWP[]Usom�J��³x³��b�L�EC/¾YZhJdeU47dec qEYZTn�gYposS��¹8kdEte�V�P47fJ^�YZWP[]Usom�?��³x³x³Q�PWJW©��2xÃx³ÍÌP2�FT�Q�Ãx³Q�1F��9¿X�Z8�YZ\nYmqEYZh�YQ��Ú��e����z|~L}@�k�e�|��~n�b�?�mz��P�e�3�e{az¤~m�[: z��|���n�3�e��z|�n��z¤~n�b�J�]�b�P� z|~L�e��z|�e���L��½£hJT `b[]\nUsT o3q¥dZxPF¯de\ndehbond=.\s[mUsU��QF¯de\ndehbondJ�±D�hbom�V����³�F�³Q�4�6Q���gYZfJ\nTVt][�8£T `ZYpo�� Ú��e�^?E��?E}m�X�e� ?1�}��]{az�C�EJ}m���DEk{X� }��X��?b���)� z��m{r}�}��1� �}m���e����z C�EJ}uyb}��¥�a~a���}����e�_yb}��P{r�b�?b{r�e�X�X}��e6£fQondel�YponYQ�Zc�YZhQ�ef�YZ�e[]U@YZhQ^�WQ\nde�e\LYZl_l_TVhQ���¤=@\ndEte�x8Eqkl_WPdeU��V��/1dkt]�EfJ[]hJt]defJ\som����³�F2b�a�e8£de\sosS>£decVc�YZhJ^©�J6�l_Uron[]\s^�YZl&�P��³�FT�Q�PWJW���2x³��ÍÌ|��6��Q�4Q�e�16��x�5�PD�^Jc qk¨]�edJ�~¹¥�·8e���P�3�e��z|~�}���Ek��}�{r�e��z|�e�¦�X}��|�Q�mye�L�±>�YZhJ^Q�±dEde�udZx@,�del��JTVh�Yposde\nTVt]U���/��3��\nYZS�YZl&��5�3��\.ìdZonUstLSJ[]c��PYZhJ^)2.�J2?dm`1¾YZUs¨e�P[m^QU�� �L�Q`bdec��J0r0L��:@cVUn[a`QTV[]\m�J6�l_Uron[]\s^�YZl&�P��³x³xÃQ�PWJW����¥6�4��ÍÌP�¥2�2x³Q�4�2Q�;CeTVl =.T osl�YZh��Cú;{s��: ��z¤�e�g�X�b�¤z¤�e��È1�m{az|ya?b}!È.}�¼b~�Ek{a�Lz¤�e��È.�e�Py���}L�e�Pyb}�{¥~a�Q�b{r�b~���}�{az Ï�}Ly��¥8��a�e���P� z��^?u�e�z|�Pyb}r�Q}m�PyE}m���;EQ��z <]�e{a�+��z���}m�L�J:@cV[]t]os\ndeh©�PCJ�J=.\sde��YZ���Uá��s��³x³x³b�L�PhJdJ�?�e�e�x���XWJW��?�|[]cV[]t]os\ndehQTVtp�L�4��Q�L���?=?¾dec qEYQ�/AsEQ{_� }��X���}�{az|}��_}m����z9ò}�{r}���yE�e����� �w�L�b����})}��L��EQ�P}�<a�e�P~���z|�e���e� ?1�}��]{az�C�EJ}��B:@hJUn[]TV�ehJ[]l_[]hbol�YponS�¾[ml�YposTV�EfJ[?ÑlûóÓg�s��³�2Q��ÌP��³�2�2b�L�����ÍÌVÂVFk�4�ÂJ�;>£[]cVlXfko�=@\ndE^JTVhJ�e[]\��ËÖ��j�n< Ek�P~���z|�e�P�b� �rybz ü£}m{s}m�P~L}&}DC�EJ�e��z|�e���=<®ÇÑEQ��8b�e��ÈèŦ�e{a{az��a�e��ÈGº@�e{a� z|�ýÏ�È��e�PyÇ<z|�e{ryE�e���^8/¾[]l_TVh�YZTV\s[@2�dZonS�YZ\sTVhJ�eTV[]h�^Q[�,7delX�JTVhJYpondeTV\s[�á�ã���2�6�6Q���L�bW�YZWP[m\ 4�Â�4eYQ�aÂ�W�YZ�e[]U��¤[]cV[]taon\sdehJTVt��a�4xÃQ�L���b8��e/£YZhJ[aqb��þ¤EQ�P~��¤z¤�e�P�e�±~L�e���k�b�nz|��z|�e�X�k�e���3}�{a���£�e�Py£�k��:.}m{��a}m{az¤}m�;{r} Î }�{a�nz¤�e���bF¯\LYZhQULYZtaonTVdehQU.dZxPonSQ[6�l_[]\nTVtmYZhW�gYponSQ[ml�YposTVtmYZcÎ8kdEt]TV[ao3qîðUá5�r��³�4�6b�a�¹ÂxÂJ��ÌVÂ�ÃQ�e�4�4Q�1=.SJTVcVTVWQW±[</;de�P[]\som�#Ç��}��a}n��El¼¢}��UÕ@� }��¥y�Þ �e���3}�����}�»£�A�}��|�Q�myb}��;�±{r�(�n�(�mz�� z��L�3}m�L�3�gYposS«¾[]l�YponTV�EfJ[]U�ÿ�6�WQWJcVT vtmYponTVdehJUm�J`bdec��3�xÃQ��8kWJ\nTVhQ�e[m\m�J= YZ\nTVUm��2�6�6�6Q�4�Fk�;47\nfJhQdw8kYZc `kq�YZhJ^_= YZfJc#ë±TVl_l_[]\nl�YZhJh©��ÄÝþËù øË»?�RŦ�a�P� }1�Q�b~!âe��?E}/<]�e{<���J}<�X�e��z �¹EQ� �e��z¤�e�w�=<;?E}m�P}�{a��e��z|�^?��e�Py��Q�e� �e�P�e�Xz|~;<DEQ�P~m��z¤�e���;z|�¢�e�P} Î �e{az¤�(�m� }��E6£,�� F¯\LYZhJUnYZt]osTVdehJU�dehK�gYposSJ[]l�YponTVtmYZcO8kdZx�o3¡1YZ\n[ÓUß��s��³x³�ÂE�L�PhJdJ�52Q�©�¥4��ÍÌP�¥4�Fk�4��Q���gYZULYZ�ed 8QYposdJ��Ä1}m�P}�{r�e��z|�^?3<DEQ����z|�e���;<a�e{��|�Q}���EQ�?�n}�{��ê<�� �e����z|~L}��Q�e�|�k�®�s}��L:@}L}����L:@�X�Q�e{r�e�|� }��@� z��P}��:@z��|�&�u{r�e��z|�e�P�b�¯z��P~�� z|�P}m�F�gYposSJ[]l�YponTVtmY�CbYZWPdehJTVtmY®àUá5�r��³��x³b�a�PhJdJ���e���¥2��ÍÌP�º��Fk�

Page 39: ,.-/10325476 8 9 :./;03:./6;032?03=.=@: …algo.inria.fr/flajolet/Publications/BaFl01.pdf9 /, / \ ^ . G · · - -\) 9 o

C@D@C@Q��GU'J#>Y>KT�� A�JLD@CRU�TGH�JL>K¡/TGO�Q5C!U'U'J#>'F&N�CRUK¢G¡ £$ï4x³Q�;/;de�P[]\soÁ8k[]^J�e[a¡;TVtL��YZhJ^ =.SQTVcVTVWJWP[�A c�Y��sdecV[aom�®¹�� z�����{r��yxEJ~m��z|�b� �3���|�Q}"�b�P�e� 8e�Lz|�j�=<��e� ?E�e{az��|�k�X�L�6�^J^QTVUndehQv []UncV[aqu=.fQ�JcVTVUnSJTVhQ��,7del_W�YZhEqb�©��³x³�4Q�F6Q�;8��kCJ�Q6�� 8kcVdbYZhJ[e�����Q}X�e���Ì� z��P}¥}��P~¥8b~�� �a�k}Lyez¤�u�=<�z|���3}§?E}�{£�a}DC�EJ}��P~n}��L�B2�6�6�6Q�J=@fJ�JcVTVUnSQ[m^�[]cV[]taon\sdehJTVtmYZcVc qYpo������������������ ����������������� ������� ���������� �!����������"�#��� �������k�Fk�e�;8��©CJ��6��¤8kcVdbYZhJ[�YZhQ^y8ETVl_dehg=.cVdef�Ʊ[e�è���Q}�}��P~98b~m� �a�k}Lyez¤�w�=<Xz|���3}§?E}�{��a}DC�EJ}��P~n}��L�©6�tmYZ^J[]l_TVt�=.\n[]UsU����³x³xÃQ�F2Q�;/¥�Q= ��8EonYZhJcV[aqE�O:���EQ�X}�{r�e��z Î }�~L�e�®�]z|�P�e�3�e{az|~��L�Q`bdec���0s0L�P,1YZl��J\nTV^Q�e[è½£hQT `b[m\sUnT o3qu=.\s[]UnU��©��³x³��Q�FT�Q�;CJ�±`ZYZhw2?[][mfb¡�[]hj�¤[]^�� �L� é �e�Py��s���9âw�=<X�|�Q}L�e{r}���z|~L�e�@~L�e���¹EQ�3}m{��a~mz¤}m�P~L}��P`bdec��©4�1±A�de\nl�YZc1�&dE^J[]cVU�YZhJ^8k[]l�YZhEosTVt]U��J8£de\sosS&>;decVc�YZhJ^��©��³x³�6Q�FaÂJ�16�hJ^Q\n[a¡",7SJT�,7SJTVS�-.YZdJ�(¹��u�b�P�e� 8e�Lz|�1�=<7��$&%(')%©���L�ÄA��J}m�|� �a�e{a���ECJ�p6£cV�ede\nT osSJl_U«ÑX�r��³���6b�L�khQdJ�Q�e�Q�fÂ9Ì^Ã�6Q�F�ÃQ� �C¹<�¦�e�P�e� 8e�Lz��¥�=<¥�_�X}����e{~8u�e�|� ��~n�b�¤z¤�e�¦�a~]�Q}��X};<a�e{�z����P� }���}m����z��^?��L�3�b~�âe�L��8k036�� CbdefQ\nh�YZcdehg,7del_WJfQosTVhJ��Ñ�ߦ�r��³��Q���L�©hQdJ��2Q�3�x³��ÍÌVÂ�6��Q�,.qQ\sTVc?4�YZhJ^Q[m\sTV[]\��J6£cV�ede\nT osSJl_U�=.\sdZ�r[mtaom�J0Ì8£/;036��P/;dEt]�kfQ[mhQtmdefQ\som�OFT�Q��Ã�6�2?[�,7SJ[]Unh�Y]q��|A�\LYZhJt][��L�:1�Ì�X�bz��¯�bybye{s}m�L�1+*�,��.-�/& �0��� �1����.-�����23-4 ��.-��5 6��57 �������������/�8��& 9-4 ��.-��5 �6����:��� �1����.-����

=.SQTVcVTVWJWP[<ABc�Yp�sdecV[aom��6�cV�ede\sT onSQl_U�=.\ndp�s[]tao��Q0Ì8�/1036��P/1dEtm�EfJ[]hJt]defJ\ro��OFT�Q��Ã�6�2?[�,7SJ[]Ush�Ymq¦�¤A�\nYZhJt][��a�:1�Ì�X�bz��¯�bybye{s}m�L�1<;���-�/�-4�����5 >=�/���!���/�����23-4 ��.-��5 �6��57 �������������/�8��& 9-4 ��.-��5 �6����6�/���!���/����