CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Transforme de Laplace

Dfinitions et notationsSoit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[. On appelle transforme de Laplace de f lapplication (lorsquelintgrale converge),L f(x) =

+0

extf(t)dt.

Pour tout ensemble A, lapplication 1A dsigne la fonction caractristique de A (i.e 1A(x) = 1 si x A et 0 sinon).

Premire partieTransforme de Laplace

Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[ telle que M > 0,a R,t 0, |f(t)| Meat.1: Montrer queL f est dfinie et continue sur ]a,+[.2: Montrer queL f est de classe C 1 sur ]a,+[ et dterminer (L f).3: Montrer queL f est de classe C sur ]a,+[ et dterminer (L f)(k) pour tout k N.

Deuxime partieInjectivit de lapplication f 7 L (f)

Soit f : [0,+[ R continue et borne sur [0,+[ et soit x > 0 et (Xn)nN une suite de variables alatoires telle quen N, Xn E

(1x

).

1: Donner, pour tout n N, la loi de la variable alatoire Sn =nk=1

Xk.

2: Donner, pour tout n N, la loi de la variable alatoire Snn .3: Montrer que

(Snn

)nN converge en probabilit vers x.

4: En dduire que(f(Snn

))nN converge en probabilit vers f(x).

5: Soit > 0 et on pose n N, An =(f (Snn ) f(x) ).

5 - 1: Montrer que n N, An est un vnement etf (Snn ) f(x) 1An + f(1 1An).

5 - 2: En dduire que limn+E

(f

(Snn

))= f(x).

6: Montrer que f(x) = limn+

nn(1)n1(n 1)!xn (L f)

n1(nx

).

7: Conclure que si h et g sont deux fonctions relles continues et bornes sur [0,+[ telles queL g = L h alors h = g.

Troisime partieComportement au voisinage de 0

Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[.1: On suppose que lintgrale

+0

f(t)dt converge et on pose F : x [0,+[ 7 x0

f(t)dt.

1 - 1: Montrer queL f est bien dfinie sur [0,+[ et que x > 0,L f(x) = +0

etF(t

x

)dt.

1 - 2: Montrer que F est borne sur [0,+[.1 - 3: En dduire queL f est continue sur [0,+[.2: Application : Soit g(x) =

+0

extsin t

tdt.

2 - 1: Montrer que g est de classe C 1 sur ]0,+[ et calculer g.2 - 2: Calculer lim

x+ g(x) et conclure une expression sans intgrale de g sur ]0,+[.

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2 - 3: Dduire que +0

sin t

tdt =

pi

2(Intgrale de Dirichlet).

3: On suppose que f(x) =+

(1x

)et queL f est dfinie sur ]0,+[.

3 - 1: Montrer que x > 0, x

0

f(t)dtL f(1

x

) 1x x0

1 e txtx

|tf(t)|dt+ +x

etx

t|tf(t)|dt.

3 - 2: En dduire que siL f admet une limite en 0+ alors +0

f(t)dt converge et on a +0

f(t)dt = limx0+

L f(x).

3 - 3: Montrer que ce rsultat est faux si on ne suppose pas que f(x) =+

(1x

)(considrer le cas f(x) = sinx).

Quatrime partieComportement au voisinage de +

Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[. On suppose que f est continue en 0, f(0) 6= 0 et x0 [0,+[ telque t 7 ex0tf(t) soit intgrable sur [0,+[.1: Montrer que x x0,L f(x) = 1

x

10

etf(t

x

)1[0, x0x ]

(t)dt+

+x0

extf(t)dt.

2: Montrer que limx+

10

etf(t

x

)1[0, x0x ]

(t)dt = f(0).

3: Montrer que limx+

+x0

extf(t)dt = 0.

4: En dduire queL f(x) +

f(0)x .

5: Application : Montrer que +0

extsin t

tdt

+1

x.

Cinquime partieHolomorphie de la transforme de Laplace

Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[ et telle que M > 0, R,a R,t a, |f(t)| Met.On considre lapplication g(x, y) =

+0

exiyf(t)dt et U = {(x, y) R2/x > }.1: Soit x > . Montrer que la fonction u(y) = g(x, y) est drivable sur R. En dduire que gy existe sur U .2: Soit y R. Montrer que la fonction v(x) = g(x, y) est drivable sur ]0,+[. En dduire que gx existe sur U .3: Montrer que g est de classe C 1 sur U .

4: En dduire que Lf(z) = +0

eztf(t)dt est holomorphe sur le demi-plan {z C/ } et dterminer (L f).

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