Ecole Nationale dElectronique et des Anne universitaireTlcommunications de Sfax. 2014-2015

TD Probabilits N2

Exercice 1 :1. Soit la fonction G dfinie par : G(y) = 0 si y ],2[, G(y) = 1

6si y [2,4[, G(y) = 2

6

si y [4,6[, G(y) = 12si y [6,8[ et G(y) = 1 si y [8,+[.

(a) Montrer que G est une fonction de rpartition dune variable alatoire Y .(b) Y est une variable alatoire discrte ou continue? Justifier.(c) Calculer P (3

2< Y 9

2) et P (4 Y < 6).

2. Soit X une variable alatoire discrte prenant les valeurs 2, 4, 6, 8.(a) Calculer la loi de probabilit de X schant que :

P (X < 6) = 13, P (X > 6) = 1

2et P (X = 2) = P (X = 4).

(b) Dterminer la fonction de rpartition FX de X.3. Que peut-on dire des variables alatoires X et Y ?

Exercice 2 :On considre trois ds bien quilibrs, numrots de 1 6. On lance les trois ds, on lit lestrois nombres a,b,c apparaissant sur les faces suprieures et on calcule la somme S = a+ b+ c.

1. Aprs plusieures lancs, Ali avait remarqu que la somme 10 tait obtenue plus souventque la somme 9, alors que ces deux sommes se dcomposent exactement de 6 manires,par exemple: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 3 + 3 + 3 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5.Trouver une expliquation!

2. Soit la variable alatoire S somme des nombres obtenus a+ b+ c.a) Ecrire S lensemble des valeurs de S.b) Trouver la loi de S.c) Calculer E(S).

3. On note X la valeur absolue de la diffrence des nombres ports sur le d 1 et 2.a) quelle est la loi de probabilit de X.b) Dterminer la fonction de rpartition de X.c) Calculer E(X), V (X) et (X).

Exercice 3 :Considrons le jeu suivant: on lance un d plusieurs fois. Supposons que pour une mise de undinard on gagne un dinard si le rsultat obtenu est pair, 2 dinards si le rsultat obtenu est 1ou 3, et on perds 3 dinards si le rsultat obtenu est 5. Quel peut-tre le gain moyen? Est-ilintressant de jouer ce jeu!

Exercice 4 :Soit X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent respectivement les lois:

1. de Poisson P (1) et P (2), calculer la probabilit de lvennement X + Y = 2.

1

2. binomiales B(3,1/3) et B(4,1/2), calculer la probabilit pour que X = Y .3. uniformes U{1,...,4} et U{1,...,5}, calculer la probabilit de lvennement X.Y = 4.

Exercice 5 :Pour calibrer le sucre blanc en fonction de la taille de ses cristaux, il faut que le sucre soitbien sec. Or, dans 5 pour cent des cascelui-ci est trop humide et lopration ne peut pas treeffectue. On considre lexprience alatoire qui consiste faire 10 calibrages successifs indpendantes. Soit X la v.a, nombre de calibrages possibles.

1. Chercher la loi de X.2. Calculer la probabilit pour que tous les calibrages puissent tre effectus.3. Calculer la probabilit pour que huit calibrages au moins puissent tre effectus.

Exercice 6 :Une urne contient 2 boules blanches et n2 boules rouges. On effectue des tirages sans remisedans cette urne jusqua obtenir une boule blanche. Soit X le rang de sortie de la premireboule blanche.

1. On suppose n = 5(a) Dterminer la loi de X(b) Calculer son esprance E(X) et sa variance V (X).

2. On suppose n 3.(a) Dterminer la loi de X.

(b) On rappelle quen

k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, dterminer E(X) lesprance de X.

(c) Soit Y le nombre de boules rouges restant dans lurne aprs le tirage de la bouleblanche. Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ).

Exercice 7 :Soit Y une variable alatoire reprsentant la dure de vie dun composant lctronique, expri-me en heures. Sa fonction densit est donne par

f(y) =

{ cy3

si y > 9

0 si y 9

1. Dterminer les valeurs prises par Y .2. Y est-elle une variable alatoire discrte ou continue? Justifier.3. Calculer la valeur de la constante c.4. Dterminer la fonction de rpartition FY de Y.5. Quelle est la dure moyenne de fonctionnement du composant.6. Dterminer E(Y 2).7. La variable Y admet elle une variance? si oui la dterminer.8. Quelle est la probabilit que le composant fonctionne durant au moins 20 heures.9. On pose Z = Y 2. Calculer la fonction de rpartition de Z puis dduire la fonction densit

de Z.

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