T. Thangaï LP Le Verger

Suites numériques

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Sommaire

• Suites arithmétiques– Exemple 1– Définition– Calcul d’un terme– Exemple 2– Terme de rang n– Somme n premiers termes– Exemple

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Sommaire

Suites géométriques– 1. Définition – 2. Terme de rang n– 3. Somme des n premiers termes– Application

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Suites arithmétiques

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I.   I.   DéfinitionDéfinition

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• Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite.

• Le premier terme ou terme de rang 1 est noté U1 ;

• la raison est notée r.

• Le terme de rang n est noté Un ;

• le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un -1

• Dans ces conditions :

• Un = Un -1 + r.

• Par exemple : U2 = U1 + r ; U3 = U2 + r, etc.

 

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II. II. Calcul d’un Terme de rang Calcul d’un Terme de rang nn

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U1 U2 U3 U4

U1 U2 = U1 + r U3 = U1 + 2 r U4 = U1 + 3 r

Plus généralement, on remarque que:

Un = U1 + (n ‑1) r

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III. III. Somme des n premiers termes d’une Somme des n premiers termes d’une suite arithmétiquesuite arithmétique

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ExempleExemple

On donne une suite arithmétique de premier terme U1

et de raison r 1. Calculer en fonction de U1 et U7 :

2. On constate donc que: U1 + U7 = U2 + U6 = U3 + U5 = U4 + U4 = U5 + U3 = U6 + U2 = U7 + U1

U2 + U6 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7

U3 + U5 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7

U4 + U4 = U1 + (U4 + 3 r)= U1 +U7

U5 + U3 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7

U6 + U2 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7

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3. Pour calculer la somme S7 des 7 premiers termes de cette suite arithmétique en fonction de U1 et r,

On écrit S7 de 2 façons différentes:

S7 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7

S7 = U7 + U6 + U5 + U4 + U3 + U2 + U1

2×S7 = (U1 + U7) + (U2 + U6) + (U3 + U5) + (U4 + U4) + (U5 + U3) + (U6 + U2) + (U1 + U7)

2×S7 = 7× (U1 + U7)

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D’où: 1 7

7

( )7

2

U US

On démontre que pour tout nombre entier n > 1la somme des n premiers termes d’une suite

arithmétique de premier U1 et de raison r est donnée par la relation:

1( )

2n

n

U US n

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Suites géométriquesSuites géométriques

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Une suite géométrique est une suite de nombres, tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient

en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison de la suite.

Le premier terme est noté U1 ; La raison est notée q.

Le terme de rang n est noté Un ; Le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un - 1

Dans ces conditions : Un = Un -1 ×q.

Par exemple : U2 = U1 × q

U3 = U2 × q, etc

1. Définition 

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Voir exemple : activité suite géométrique

(séance informatique)

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Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U1 et de la raison q

2. Terme de rang n d’une suite géométrique :

On a donc :

Un = Un -1 ×q

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Un = Un -1 ×q

Écrire les termes U2 à U7 de cette suite en fonction de U1 et de q

U2 = U1 × qU3 = U2 × q

U4 = U3 × qU5 = U4 × q

U6 = U5 × qU7 = U6 × q

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Sachant que tous les termes de cette suite sont non nuls, donner le résultat du produit membre à membre des expressions suivantes

U2 = U1 × qU3 = U2 × q

U4 = U3 × qU5 = U4 × q

U6 = U5 × qU7 = U6 × q

U7 = U1 × q6 = U1 × q7 - 1

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U1 U2 U3 U4

U1 U2 = U1 ×q U3 = U1 ×q2 U4 = U1 ×q3

×q ×q ×q

et plus généralement: Un = U1 ×q(n ‑1)

On admet donc que:

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On considère une suite géométrique de premier terme U1 et raison q( ). 1q Soit S6 la somme des 6 premiers termes de cette

suite géométrique :

S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6

1.  Montrer que: q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7

q S6 = q×U1 + q×U2 + q×U3 + q×U4 +q× U5 + q×U6

= U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7

3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique :

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2.     Montrer que:

S6 – q× S6 = U1 - U7 = U1 – U1×q6

Pour cela, on a:

S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6

q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7

S6 – q S6 = U1 - U7 Ou encore

S6 ×(1– q ) = U1 – U1×q6 = U1×(1 - q6 )

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3.  Montrer que:

6

6 1

1

1

qS U

q

On a : (1 – q)× S6 = U1 (1 – q6 ) donc:

6

6 1

1

1

qS U

q

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La somme Sn d’une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q(q 1) est donnée par la relation :

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ……… + Un =

Remarque :

Si q = 1, alors Sn = n×U1

1

11

nqU

q

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Application

Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite

géométrique de premier terme 1 et de raison .1

2

6

6 1

1

1

qS U

q

61

12

11

12

6

11

212

6

6

2 1 632

2 32