Post on 13-Jan-2017
SCALAPROGRAMMATION FONCTIONNELLE CONCEPTS ET MISE EN ŒUVRE
Dr Mustapha Michrafy
M. MICHRAFY
Contact de l’auteur :datascience.km@gmail.com
datascience.km@gmail.com1
Contexte
Cette étude a été présentée dans le cadre du séminaire « Data Science principes, outils et applications » au laboratoire Cermsem.
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Plan• Objectif• Prérequis• Tout est fonction• Fonction pure • Fonction anonyme• Fonction d’ordre supérieur• Clôture• Fonction partielle• Récursivité• Curryfication
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Objectif
Cette étude vise à présenter laprogrammation fonctionnelle sous Scala.
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Prérequis• Connaissance du langage Scala• Notion de récursivité
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Tout est fonction• Dans le paradigme fonctionnel, tout est fonction.• Un traitement complexe est composé de plusieurs
fonctions
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Fonction en scala• En scala, une fonction est un objet qui peut être affecté à
une variable.• La définition d’une fonction peut être effectuée n’importe
où dans un fichier source.• La définition d’une fonction en scala nécessite l’utilisation
du mot clé def suivi du nom de la fonction, de zéro, d’un ou de plusieurs arguments d’entrée, le type de retour et le corps de la fonction
def add(x:Int, y:Int) : Int = {return x+y;}
Nom de la fonctionArguments d’entrée
Valeur de retourCorps de la fonction
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Appel à une fonction en scala• L’appel d’une fonction se fait via son nom, suivi par les
arguments d’entrée entre parenthèses et séparés par un virgule.• Si la fonction ne demande pas d’argument d’entrée, l’appel se
fait seulement avec son nom, et optionnellement suivi par une paire de parenthèses vides ().
def add(x:Int, y:Int) : Int = {return x+y;}
Add(8,17) Appel de la fonction add
Définition de la fonction add
def hello() =
hello()
hello
Définition de la fonction hello
Appel de la fonction hello avec ()
Appel de la fonction hello sans ()
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Fonction pure• Une fonction pure est une fonction qui respecte les 2
critères suivants :1. La fonction est déterministe, c-à-d renvoie toujours la même
valeur pour les mêmes arguments2. La fonction ne retourne que la valeur résultat, sans effet de bord.
• Les fonctions arithmétiques sont des fonctions pures
• Les fonctions mathématiques sont des fonctions pures
• Toute fonction à effet de bord n’est pas une foncti on pure
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Fonctions mathématiques
Fonction Sin def sin(x:Double) : Double = Math.sin(x)
Fonction
identitédef identite(x:Double) : Double = x
Fonction
constantedef constante(x:Double) : Double = 7
Fonction
affinedef affine(x:Double) : Double = 3*x+5
Formulation syntaxique en scala
Nom de la fonction
Argument d’entré et son type
Expression de retour
Type de retour
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Fonctions mathématiques scalascalascalascala> defdefdefdef sin(x : Double) : Double sin(x : Double) : Double sin(x : Double) : Double sin(x : Double) : Double = = = = Math.sinMath.sinMath.sinMath.sin(x)(x)(x)(x)
sin: (x: Double)Doublescalascalascalascala> sin(80)
res0: Double = -0.9938886539233752scalascalascalascala> def identite(x : Double) : Double = {return x;}
identite: (x: Double)Doublescalascalascalascala> identite(80)
res1: Double = 80.0scalascalascalascala> def constante(x : Double) : Double = 13
constante: (x: Double)Doublescalascalascalascala> constante(80)
res2: Double = 13.0scalascalascalascala> def affine(x : Double) : Double = 3*x + 5
affine: (x : Double)Doublescalascalascalascala> affine(80)
res3: Double = 245.0
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Signature de la fonction
Fonction anonyme : principe• Une fonction anonyme en scala permet de définir une
fonction sans déclarer le nom de la fonction
• Une fonction anonyme est similaire à une lambda expression et permet de créer des fonctions à la volée
• Une fonction anonyme peut être utilisée :• pour initialiser une variable• comme argument d’une fonction• comme valeur de retour d’une fonction
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Fonction anonyme : syntaxe• La syntaxe d’une fonction anonyme commence par une
liste d’arguments séparés par des virgules et entourés par des parenthèses. Observons l’exemple suivant :
scala> val add = (x:Int, y:Int) => x+y
La fonction anonymeAdd est initialisé par la fonction anonyme
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Fonction anonyme : invocation
scala> val add = (x:Int, y:Int) => x+yadd: (Int, Int) => Int = <function2>
scala> add(7,8)res4: Int = 15
Invocation de la fonction anonyme
Définition de la fonction anonyme
Comment les fonctions anonymes sont-elles créées ?
Pourquoi <fonction2>?
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Fonction anonyme : constructionscala> val add1:(Int, Int) => Int = (x:Int, y:Int) => x+y
add1: (Int, Int) => Int = <function2>= <function2>= <function2>= <function2>scala> add1(1,10)
res0: Int = 11scala> val add2: Function2[Function2[Function2[Function2[Int,Int,IntInt,Int,IntInt,Int,IntInt,Int,Int] ] ] ] = ((((x:Intx:Intx:Intx:Int, y:Int) => , y:Int) => , y:Int) => , y:Int) => x+yx+yx+yx+y
add2: (Int, Int) => Int = <function2><function2><function2><function2>scala> add2.applyapplyapplyapply(1,10)
res1: Int = 11
• Une fonction anonyme est instanciée par un objet de type « fonction »
• L’objet étend le type FonctionNFonctionNFonctionNFonctionN, N désignant l’arité de la fonction anonymes
• L ’objet FonctionN dispose d’une méthode « apply »
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Fonction comme variable• En scala et dans le paradigme fonctionnel en général,
nous pouvons utiliser une fonction comme variable.
scala> val valImpair = (n:Int) => 2*n + 1valImpair: Int => Int = <function1>
scala> valImpair(10)res3: Int = 21
La variable valImpair a pour valeur la fonction <function1>
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Fonction comme argument : déclaration
• Il est aussi possible de définir une fonction qui prend en entrée une fonction
• Ce principe est similaire au pointeur de fonction en C/C++ ou aux interfaces fonctionnelles en Java
• Il suffit de déclarer la signature de la fonction
defdefdefdef nomFonctionnomFonctionnomFonctionnomFonction(fctfctfctfct:([:([:([:([paramsparamsparamsparams]) => ]) => ]) => ]) => typeRetourtypeRetourtypeRetourtypeRetour, arg:type, ...) : typeRetourtypeRetourtypeRetourtypeRetour = {....}
Fonction comme argument d’une autre fonction
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Fonction comme argument : exemplescala> scala> scala> scala> def operationoperationoperationoperation(op:(op:(op:(op:(Int,IntInt,IntInt,IntInt,Int)=>Int)=>Int)=>Int)=>Int, x:Int,y:Int) : Int = op(x,y)
operation: (op: (Int, Int) => Int, x: Int, y: Int)Int
scala> scala> scala> scala> def addaddaddadd(x:Int,y:Int):Int = x+yadd: (x: Int, y: Int)Int
scala> scala> scala> scala> def produitproduitproduitproduit(x:Int, y:Int):Int = x*yproduit: (x: Int, y: Int)Int
scala> scala> scala> scala> operationoperationoperationoperation(addaddaddadd,7,8)res4: Int = 15
scala> scala> scala> scala> operationoperationoperationoperation(produit,produit,produit,produit,7,8)res5: Int = 56
operation a la fonction op comme argument
Les fonctions add et produit ont la même signature que op
Appel de la fonction operation avec addcomme paramètre
Appel à la fonction operation avec produit comme paramètre
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Fonction comme valeur de retour• Il est aussi possible d’avoir une fonction comme valeur de
retour d’une fonction
• Dans ce cas, la fonction doit avoir une valeur de retour de type fonction ou une fonction anonyme
• Il préférable d’utiliser les accolades pour la lisibilité.
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Fonction comme valeur de retourscala> scala> scala> scala> def fabriqueFctAffinefabriqueFctAffinefabriqueFctAffinefabriqueFctAffine(a:Int ,b:Int) : (Int)=>Int
| = {(x:Int)=> a*x+b} fabriqueFctAffine: (a: Int, b: Int)Int => Int
scalascalascalascala> def diag = fabriqueFctAffinefabriqueFctAffinefabriqueFctAffinefabriqueFctAffine(2,3) diag: Int => Int
scalascalascalascala> diag(1) res0: Int = 5
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La fonction fabriqueFctAffine renvoie une fonction affine ayant pour coefficients les arguments a et b fournis en entrée
diag est la fonction définit par : �� → ��� → 2� � 3
Signature de la fonction fabriqueFctAffine
Signature de la fonction diag
La fonction composée• La fonction composée (notée o en mathématique) est la
fonction qui prend en entrée deux fonctions et retourne la fonction composée des deux
• Soient deux fonctions F et G, pour définir FoG, il est nécessaire que l’ensemble {G(x), x dans Domaine(G)} inclut dans Domaine(F) :
∶ �1 → 2, � ∶ �2 → 2��������� ∶ �1 ∁�2
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La fonction composée
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F(x) = x*x
G(x) = x+1
FoG(x) = F(G(x))
= F(x + 1) = x*x+1
Formulation mathématique
Opérateur o
scala> scala> scala> scala> def FFFF(x : Int) : Int = x*xF: (x: Int)Intscala> scala> scala> scala> def GGGG(x : Int) : Int = x + 1G: (x: Int)Int
scala> scala> scala> scala> defdefdefdef compose(Fcompose(Fcompose(Fcompose(F:(Int)=>(Int), G:(Int)=>(Int)) : (Int)=>(Int) = (Int)=>F(G(Int))compose: (F: Int => Int, G: Int => Int)Int => Intcompose: (F: Int => Int, G: Int => Int)Int => Intcompose: (F: Int => Int, G: Int => Int)Int => Intcompose: (F: Int => Int, G: Int => Int)Int => Int
Compose(F,G) = FoG
Clôture : principe• Une clôture ou fermeture est une fonction dont la valeur
de retour dépend de la valeur d'une ou plusieurs variables déclarées à l'extérieur de cette fonction
• Les clôtures permettent d’encapsuler une partie du contexte d’exécution dans une fonction
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Clôture : exemplescala> val a = 2
a: Int = 2scala> val b = 3
b: Int = 3scala> def affine(x:Int,y:Int):Int = aaaa*x + bbbb
affine: (x: Int, y: Int)Intscala> affine(1,1)
res7: Int = 5
a, b sont déclarées en dehors de la portée de la fonction affine
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Fonction partielle• En figeant les valeurs d’un sous-ensemble des
paramètres d’une fonction connue, on obtient une fonction partielle (projection, spécialisation)
scala> scala> scala> scala> def produit(x:Int, y:Int):Int = x*yproduit: (x: Int, y: Int)Int
scala> scala> scala> scala> val partialyProduit = produit(2,_:Int)produit(2,_:Int)produit(2,_:Int)produit(2,_:Int)partialyProduit: Int => Int = <function1<function1<function1<function1>>>>
scala> scala> scala> scala> partialyProduit(7)res10: Int = 14
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Fonction récursive• Une fonction récursive est une fonction qui peut s’appeler
elle-même.
• La récursivité reproduit le formalisme de la relation de récurrence en mathématique
• La récursivité doit satisfaire deux conditions :• Un ou plusieurs cas d’arrêts qui ne font pas appel à la fonction• Définir le cas général en fonction des états antérieurs
• La récursivité est un principe fondamental en programmation fonctionnelle, permettant de remplacer les boucles.
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Fonction récursive : intérêt• Pour des structures de données récursives, il est bien
plus facile d'écrire des algorithmes récursifs qu'itératifs
• Certains algorithmes sont extrêmement difficiles à écrire dans un style itératif
• Dans certains cas, les fonctions récursives permettent d’écrire des programmes très lisibles, et aussi de concevoir des algorithmes dont l'analyse ou la preuve sera facilitée.
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Fonction récursive : Calcul PGCD
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a = kb + r et 0 ≤ r < b
a si b=0PGCD(b,r) PGDC(a,b)=
Algorithme d’Euclide
appel à PGCD(42,24). Appel a PGCD(24,18).. Appel à PGCD(18,6)…Appel à PGCD(6,0)….retour 6
scalascalascalascala> > > > defdefdefdef pgcdpgcdpgcdpgcd((((a:Int,b:Inta:Int,b:Inta:Int,b:Inta:Int,b:Int) : ) : ) : ) : IntIntIntInt ={={={={| | | | if(bif(bif(bif(b==0) a==0) a==0) a==0) a| | | | else else else else pgcdpgcdpgcdpgcd((((b,b%ab,b%ab,b%ab,b%a))))| }| }| }| }
pgcd: (a: Int, b: Int)Intscalascalascalascala> pgcd(42,24)res0: Int = 6
Fonction récursive : pile d’exécution• Chaque appel d’une fonction récursive est associé à un
contexte d’exécution propre• Ce contexte d’exécution est composé de :
• l'adresse mémoire de l'instruction qui a appelé la fonction• les valeurs des paramètres et des variables définies par la fonction
• La récursivité implique une allocation dynamique de la mémoire.
• La pile d’exécution fonctionne selon le principe LIFO• La pile ayant une taille fixe, une mauvaise utilisation de la
récursivité peut entraîner son débordement.
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Fonction récursive : pile d’exécution appel à fact(4). 4*fact(3) = ?. appel à fact(3). . 3*fact(2) = ?. . appel à fact(2). . . 2*fact(1) = ?. . . appel à fact(1). . . . 1*fact(0) = ?. . . . appel à fact(0). . . . retour de la valeur 1. . . . 1*1. . . retour de la valeur 1. . . 2*1. . retour de la valeur 2. . 3*2. retour de la valeur 6. 4*6retour de la valeur 24
scalascalascalascala> > > > def fact(n : Int) : Int| = if(n==0) 1 else n*fact(n-1)
fact: (n: Int)Intscalascalascalascala> > > > fact(4)res2: Int = 24
1 si n=0n*fact(n-1)fact(n)=
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La récursivité : terminale ou non ?
Deux types
Terminale Non Terminale
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• Une fonction f est récursive terminale, si tous les appels récursifs invoquent f au plus une fois et sont de la forme return f(…)
• Une fonction récursive terminale a un coût en mémoire constant (pas d’empilement des appels récursifs).
• Il est toujours possible de transformer une fonction récursive non terminale en une fonction terminale en introduisant des accumulateurs comme arguments d’entrée
Récursivité : Transformationdef factNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminal(n:Int):Int ={
if(n==0) 1 else n+factNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminal(n-1)
}
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def factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n:Int, m:Int) : Int ={if(n==0) melse factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n-1,m*n)
}
Transformation Terminale
Fonction récursivenon terminale
Fonction récursiveterminale
accumulateur
Récursivité : fonctions enveloppe et auxiliaire• Une fonction enveloppe est une fonction qui encapsule
une fonction ou plusieurs (nommée fonction enveloppée ou auxiliaire).
• Les fonctions enveloppes peuvent être utilisées pour initialiser les arguments d’une fonction récursive terminale
• La réécriture d’une fonction en récursivité terminalenécessite l’introduction d’un argument ou plusieurs et dontl’initialisation dépend de l’implémentation. La solutionconsiste à implémenter une fonction récursive terminalecomme une fonction auxiliaire d’une fonction principale
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Récursivité : réécriture d’une fonctiondef factNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminal(n:Int):Int ={
if(n==0) 1 else n+factNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminalfactNonTerminal(n-1)
}
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def factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n:Int, m:Int) : Int ={if(n==0) melse factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n-1,m*n)
}
Transformation Terminale
def factfactfactfact(n : Int) : Int = {def factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n:Int, m:Int) : Int ={
if(n==0) melse factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n-1,m*n)
}factTerminalfactTerminalfactTerminalfactTerminal(n,1(n,1(n,1(n,1))))
}
Réécriture de la fonction
Définition de la fonction auxiliaire
1
2
Appel à la fonction auxiliaire avec deux arguments dont un est initialisé à 1
Récursivité : Primalité d’un nombre• Un nombre p est premier s’il admet que deux diviseurs 1
et n• Tout nombre pair est non premier à l’exception de 2• Pour améliorer les performance, il suffit de tester
seulement les nombre entre 2 et √�.• Comme un nombre premier est toujours impair – à
l’exception de 2- il suffit de tester les nombre impairs entre 3 et √�.Mais ceci est utile pour un algorithme itératif
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Récursivité : Primalité d’un nombre
def isPrimAuxisPrimAuxisPrimAuxisPrimAux((((p:Intp:Intp:Intp:Int, d:Int) , d:Int) , d:Int) , d:Int) : Boolean={if(d*d <= p){
if(p%d==0) falseelse isPrimAux(p,d+1);
}else true
}
def isPrimisPrimisPrimisPrim((((p:Intp:Intp:Intp:Int) ) ) ) : Boolean ={def isPrimAux(p:Int, d:Int):Boolean ={
if(d*d <= p){if(p%d==0) falseelse isPrimAux(p,d+1);
}else true
}isPrimAux(p,2)
}
d=2
isPrim(p) =
si d*d <= psi d/p alors fauxsinon estPrim(p,d+1)
sinon vrai
Algorithme pour tester la primalité
1
2
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Récursivité: fonction d’ordre sup.• n et m deux entiers, n < m• Calculer A et B :
- � � ∑ ����� - � ∑ � ����
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Similarité : la somme
!: �� → ��! � � �
#: �� → ��# � � �
� � $ !%�&�
���, � $ # �
�
���
Réécriture de A et B
Ecrire une fonction sum qui prend en entrée une fonction f
Idée
'() !, �,) � 0'�� + )! � � '() !, � � 1,) '����
Relation de récurrence .
Récursivité: fonction d’ordre sup.• n et m deux entiers, n < m• Calculer A et B :
- � � ∑ ����� - � ∑ � ����
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!: �� → ��! � � �
#: �� → ��# � � � � � $ !%�&
�
���, � $ # �
�
���
'() !, �,) � 0'�� + )! � � '() !, � � 1,) '����
def sumsumsumsum(ffff: Int => Int, a: Int, b: Int): Int ={if (a > b) 0 else f(a) + sum(f, a + 1, b)
}
val A = sum(x=>x)val B = sum(x=>x*x)
def sumCompactesumCompactesumCompactesumCompacte(f: Int => Int): (Int, Int) => Int = {def sum(a: Int, b: Int): Int =if (a > b) 0 else f(a) + sum (a + 1, b)sum
}
Calcul de A et B
Récursivité : stratégie d’implémentation
• Un algorithme récursif peut donner lieu à plusieurs implémentations.
• Ce cas se présente lorsque le problème est composé de plusieurs sous-problèmes de même nature. Ceci est similaire au principe de diviser pour régner ou aux algorithmes relevant de la programmation dynamique.
• L’implémentation dépend à la fois de la :• La Stratégie du parcours ou de construction• L’initialisation des paramètres
• Une mauvaise implémentation peut pénaliser le temps de calcul.
Analysons la suite de Fibonacci
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Récursivité : Fibonacci, version naïve
Fibonacci(n)=
0 si n = 01 si n =1Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
Suite de fibonacci
def fibonaccifibonaccifibonaccifibonacci(n:Int) : Int = {if(n < 2) nelse fibonaccifibonaccifibonaccifibonacci(n-1) + fibonaccifibonaccifibonaccifibonacci(n-2)
}
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Récursivité : analyse de l’algorithme Fibonacci 7
6 5
4 35 4
4 3 3 2 3 2 2 1
1 03 2 2 1 2 1 2 1 1 0
1 01 01 01 02 1
1 0
1 0
• Chaque nœud désigne un terme de la suite de fibonacci• Les nœuds -portant les valeurs 2 à 7- sont des appels récursifs• Les nœuds verts désignent les termes 0 et 1 de la suite fibonacci• On constate le calcul redondant généré par l’algori thme « naïf »de fibonacci .
Arborescence de Fibonacci(7)
7
0
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Récursivité : algorithme constructif de fibonacci• Le problème consiste à ne pas recalculer le même terme
de fibonnaci plusieurs fois.• Remarquons que le terme n de Fibonacci nécessite le
calcul des termes de n-1 à 0.• Par conséquent, pour éviter le calcul redondant, nous
pouvons calculer le terme n en commençant par calculer le terme 0,1, 2 …. via la relation de récurrence.
• Pour calculer le terme n sans redondance, il faut mémoriser les termes n-1 et n-2.
• Nous avons besoin aussi d’un test d’arrêt, ce qui est le terme n.
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Récursivité : Fibonacci, algorithme constructif
p, a1,a0 trois entiers
Fibonacci(n,p,a1,a0) =
n si n<2Fibonacci(n,p+1,a1+a0,a1) si p<na1+ a0 sinon
a0 = 0, a1=1 ( a0 et a1 2 termes consécutifs de fibonacci)
p=2, ( p varie de 2 à n)
Relation de récursivité
Etape d’initialisation
• C’est un algorithme constructif.• A chaque étape, l’algorithme conserve les deux états m-1, m-2• Les deux états consécutifs sont stockés dans a0 et a1• Les termes 0 et 1 sont utilisés dans la phase d’initialisation• Le terme n de Fibonacci est la somme de a0 et a1
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Récursivité : Fibonacci, algorithme constructif
p, a1,a0 trois entiers
Fibonacci(n,p,a1,a0) =n si n<2Fibonacci(n,p+1,a1+a0,a1) si p<na1+ a0 sinon
2
10
3
1
4
2
5
3
4
65
7
n=7, p=2, a0=0, a1=1
def fibonaccifibonaccifibonaccifibonacci(n:Int):Int={def fibfibfibfib(n:Int, p:Int, a0:Int, a1:Int) : Int ={
if(n<2) nelse{if(p<n) fibfibfibfib(n, p+1, a1+a0,a1)else a1+a0
}}fib(n,2,1,0)
}
Plus de calcul redondant
0
7
Chaque ligne désigne les termes
consécutifs
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Curryfication : principe
• La curryfication désigne l'opération transforme unefonction à plusieurs arguments à une fonction à unargument qui retourne une fonction prenant le reste desarguments. Elle permet de convertir une fonction avecplusieurs paramètres en créant une chaîne de fonction,chacun attendant un seul argument.
• En mathématique, on peut définir une fonction à plusieursvariables alors que le Lambda-calcul se limite à desfonctions avec une seule variable. Une correspondance« curryfication » bijective a été définie entre les fonctionsLambda-calcul et les fonctions multivariées
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Curryfication : Transformation• A chaque fonction multivariées, on associe une fonction avec
une seule variable. La curryfication s’appuie sur les définition des fonctions partielles
,����� → ���, - → � � -
!. ∶ �� → �� → ��� → !. - � � � -
Curryfication
! ∶ �������� → ���, -, / → � � - � /
!.: ��0�� → ����� → ��-, / → � � - � /
!.,1 ∶ �� → %�� → ��&/ → � � - � /
� → !.- → !.,1
Fonctions de curryfication
� → !.
2
1
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Curryfication : méthode add
scala> def add1add1add1add1(x:Double, y:Double):Double = x + yadd1add1add1add1: (x: Double, y: Double)Double
scala> def add1Curry = (x : Double) => (y : Double) => x + yadd1Curry: Double => (Double => Double)
scala> def add2add2add2add2(x:Int,y:Int,z:Int) : Int = x+y+zadd2: (x: Int, y: Int, z: Int)Int
scala> def add2Curryadd2Curryadd2Curryadd2Curry(x:Int) : Int => (Int => Int) = y => (z => x + y + z)add2Curryadd2Curryadd2Curryadd2Curry: (x: Int)Int => (Int => Int)
Curryfication
Curryfication
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Références bibliographiques• Beginning Scala, par David Pollak, 2015• Programming in Scala, par Martin Odersky and al., 2011• Programming Scala, par Dean Wampler, Alex Payne, 2014• Functional Thinking par Neal Ford, 2014• Functional Programming in Scala, par Paul Chiusano,
Rúnar Bjarnason, 2014
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Dr Mustapha MichrafyDataScientist, ATOS
Contact : datascience.km@gmail.com
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