Rappel sur les Rappel sur les phénomènesphénomènes de propagation de propagation d'ondes mécaniquesd'ondes mécaniques

CT04CT04

Onde : perturbation dynamique de toute quantité physique

rendant compte de l’état d’un milieu (dit de propagation), succeptible de se propager dans l’espace au cours du

temps

I – Introduction - I – Introduction - 1) Définition d'une Onde1) Définition d'une Onde

Domaines : • Acoustique• Ondes Hertziennes (Radio, Télé,…)• Contrôle Non Destructif par Ultrasons, Rx

I – Introduction - I – Introduction - 1) Définition d'une Onde1) Définition d'une Onde

Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long

d’une corde

A t=t0 :impulsion

en x=x0

y

xx0

I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème

Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long

d’une corde

A t>t0 :impulsion

en x>x0

y

xx0

I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème

Exemple : Propagation d’une impulsion transversale le long

d’une corde

A t=t’0 :impulsion en x=x’0

x'0

y

xx0

I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème

Ce qui se passe en x=x’0 à t=t’0 ==

Ce qui s’est passé en x=x0 à t=t0

I – Introduction - I – Introduction - 2) Position du problème2) Position du problème

C’est à dire :

y(x’0,t’0) == y(x0,t0)(position du maximum)

Il y a euPropagation du phénomène (la mouvement

transversal)

Rmq :x’0 et t’0 quelconques ==>x’0 ==> x t’0 ==> t

I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité

La perturbation à mis t-t0

pour parcourirx-x0

Donc à la Célérité :

0

0

ttxxc

−−=

C’est à dire :x-x0 =c(t-t0)

==> x-ct=x0-ct0 =cst (condition/y=maxi)

I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité

x-ct s’appelle le propagateur de l’onde dans la direction et les sens des x croissants avec la

célérité c(Rmq : sens inverse ==> x+ct)

Attention : ne pas confondre :* c : célérité (vitesse de l’onde)

* v : vitesse (des déplacements de matière)c>>v

Célérités : ordres de grandeur :son (onde mécanique) : air=340 m/s, eau=1500 m/s

matériaux denses=2000 à 6000 m/slumière (air ou vide) : 3 108 m/s

I – Introduction - I – Introduction - 3) Célérité3) Célérité

Vitesses : ordre de grandeur :son : quelques µm

ultrasons : quelques nm(ne concerne que les ondes mécaniques)

Les ondes électromagnétiques peuvent (aussi) se propager dans le vide

I – Introduction - I – Introduction - 4) Milieu de propagation4) Milieu de propagation

Les ondes mécaniques (son, ultrasons) nécessitent un milieu +ou- dense pour se

propager==> le milieu de propagation

Il n’y pas de son dans le vide

Défaut => modification du milieu => détection

Les ondes harmoniques : ondes dont le profil /x et t est sinusoïdal

II – Les ondes harmoniques - 1II – Les ondes harmoniques - 1) Définition) Définition

Fonction y(x,t)=f(x-ct):on définit k : nombre d’onde (~m-1) tel que :

y(x,t)=Ycos(k(x-ct)) (par ex.)

y(x,t)=Ycos(kx-kct)

kc = ω : pulsation (~rd/s)

y(x,t)=Ycos(kx-ωt)

On définit :la longueur d’onde : λ=2π/k (~m)

la période : T= 2π/ω (~s)d’où la fréquence :f=1/T=ω/2π (~Hz)

II – Les ondes harmoniques - 2II – Les ondes harmoniques - 2) Paramètres) Paramètres

λ : récurence spatialeT : récurence temporelle

II – Les ondes harmoniques - 2II – Les ondes harmoniques - 2) Paramètres) Paramètres

λ : récurence spatiale

y

x

λ

T : récurence temporelle

y

t

T

y(x,t0)à t0 fixé

y(x0,t)à x0 fixé

III – Les ondes mécaniques - 1III – Les ondes mécaniques - 1) Définition) Définition

Dans les fluides, on considère la propagation d’une surpression (p, en Pa) dans une colonne de

gaz

x x+dxx x+dx x+u(x) x+dx+u(x+dx)

T20rTpc 00

0 ≈γ=ρ

=

III – Les ondes mécaniques - 2III – Les ondes mécaniques - 2) OL) OL

Dans les milieux solides, on considère la propagation des contraintes (p, en Pa) et

déplacement normaux dans la cas d'ondes Longitudinales

ρ= Ec

III – Les ondes mécaniques - 3III – Les ondes mécaniques - 3) OT) OT

Ainsi que la propagation des déplacement transversaux dans la cas d'ondes Transversales

(pas de variations de volume)

ρGc =

III – Les ondes mécaniques - 2III – Les ondes mécaniques - 2) OL) OL

En résumé, dans les milieux solides, plusieurs types d'ondes sont donc possibles

IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale

A chaque fois que l’onde ultrasonore rencontre un défaut, une partie de l’énergie incidente est

réfléchie, une partie est transmise

On étudie l’interface plane entre deux milieux

Et on cherche les coefficients de :

réflexion :rp, v ou E

transmission : tp, v ou E

IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale

On étudie l’interface plane entre deux milieux

xO

onde incidente

onde réfléchie

onde transmise

connu

inconnu

inconnu

IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale

Une quantité fondamentale : l’impédance caractéristique

z=ρc (masse volumique x célérité) (unité : rayl)

Les coefficients s’expriment en fonction de z

Et on cherche les coefficients de :

réflexion : rv = vr(0,t)/vi(0,t)transmission : tv = vt(0,t)/vi(0,t)

IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale

vitesses (vibratoire,particulaire)

21

21v zz

zzr+−=

21

1v zz

z2t+

=

pression (contraintes normales)

12

12p zz

zzr+−=

12

2p zz

z2t+

=

IV – Réflexion/Transmission - 1IV – Réflexion/Transmission - 1) incidence normale) incidence normale

Energie (flux de puissance)

2

12

12E zz

zzR

+−=

( ) 221

21E zz

zz4T+

=

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

Un faisceau d’ondes n’arrive pas toujours en incidence normale ==> Quel est l’influence de

l’angle d’incidence ?

z

O

onde incidenteonde réfléchie

onde transmise

x

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

les angles des directions des ondes obéissent à la loi de Snell-Descartes

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

vitesses (vibratoire,particulaire)

2

2

1

1

2

2

1

1

v zz

zz

r

θ+

θ

θ−

θ=

coscos

coscos

2

2

1

1

1

1

v zz

z2t

θ+

θ

θ=

coscos

cos

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

Energie (flux de puissance)

2

1

1

2

2

1

1

2

2

E zz

zz

R

θ+

θ

θ−

θ=

coscos

coscos2

1

1

2

2

2

2

1

1

Ezz

zz4T

θ

+θ

θθ=

coscos

coscos

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

Un moyen simple d’appréhender le phénomène : la courbe des lenteurs : m=1 / V

Pour les milieux isotropes, la vitesse de dépend pas de la direction : m=1 /

V = cst

m

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

1er cas : VL2<VL1

Snell-Descartes

==>

θ2 < θ1

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

2er cas : VL2>VL1

Snell-Descartes

==>

θ2 > θ1

IV – Réflexion/Transmission - 2IV – Réflexion/Transmission - 2) incidence oblique) incidence oblique

2er cas : VL2>VL1

Il existe donc une limite pour θ1 au delà duquel θ2 n’existe pas :

c’est l’incidence critique

2L

1L

2L

1Lc V

V2V

V =π=θ sinsin

Onde incidente Longitudinale

OL

OLOT

OT

IV – Réflexion/Transmission - 3IV – Réflexion/Transmission - 3) entre solides) entre solides

Onde incidente Transversale

OL

OLOT

OT

IV – Réflexion/Transmission - 3IV – Réflexion/Transmission - 3) entre solides) entre solides

Milieu a : eau

V - Exemple : Interface eau/aluminiumV - Exemple : Interface eau/aluminium

Milieu b : aluminium

OL

OLOT

ρa = 1000 kg/m3

VLa = 1500 m/s

ρb = 2700 kg/m3

VLb = 6320 m/s

VTb = 3080 m/s

INTRODUCTIONINTRODUCTION0 < θ0 < θ00 < θ < θ’’00

OL

OLOT

Tant que θ est inférieur au 1er angle critique, deux ondes

sont transmises :

une OL

une OT

INTRODUCTIONINTRODUCTIONθθ’’00 < θ < θ00 < θ < θ""00

OL

OLOT

Quand θ est supérieur au 1er angle

critique, une onde Transversale est transmise et une

onde Longitudinale devient évanescente: l ’onde Longitudinale

reste en surface

INTRODUCTIONINTRODUCTIONθθ00 > > θθ""00

OL

OLOT

Quand θ est supérieur au 2ème angle critique, les deux ondes L et T

deviennent évanescentes et restent alors à la

surface du milieu de transmission : c ’est

la réflexion totale

INTRODUCTIONINTRODUCTION

Module

Coefficient de Réflexion : rCoefficient de Réflexion : rvv=A=Arr/A/A00

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60 . 7

0 . 7 5

0 . 8

0 . 8 5

0 . 9

0 . 9 5

1C o e ff i c i e n t d e R e fl e x i o n : A m p l i t u d e

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4C o e ff i c i e n t d e R e fl e x i o n : P h a s e

Phase

'0θ "

0θ

Saut de 2π

'0θ "

0θ

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3C o e f f i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n L : P h a s e

INTRODUCTIONINTRODUCTION

Module

Coefficient de Transmission en ondes longitudinales : tCoefficient de Transmission en ondes longitudinales : tVLVLl=Al=ATlTl/A/A00

Phase

Saut de π

'0θ "

0θ

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n L : A m p l i t u d e

'0θ "

0θ

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n T : P h a s e

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 60

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5

4C o e ff i c i e n t d e T r a n s m i s s i o n T : A m p l i t u d e

INTRODUCTIONINTRODUCTION

Module

Coefficient de Transmission en ondes transversales : tCoefficient de Transmission en ondes transversales : tVTVT=A=ATtTt/A/A00

Phase

Saut de 2π

'0θ "

0θ'0θ "

0θ