I. Définition

II. Énergie de déformation

III. Théorèmes énergétiques

F2F1

état final

état initial déformation élastique de la poutre

I. Définition

Théorème de l’énergie cinétique + = 0

travail des forcesextérieuresWext

travail des forcesintérieuresWint

Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext

Exemple : cas d’une sollicitation de traction

- effort de traction variable

- proportionnalité entre l’effort et l’allongement

Hypothèses :

Aire du triangle OAB

Travail de l’effort de traction

xFWext .21

- Équilibre d’un tronçon de longueur dx

Soit l’allongement du tronçon dx dx

dxFdWd 21

Loi de HOOKE

Énergie de déformationélémentaire

ESFdx

dx

dxESF

dWd

2

21

l

d dxESF

W0

2

21

soit

SdxESF

SF

W

l

d 0

21

D ’une manière générale

struct

ijij

V

ijijd SdxdVW 21

21

II. Énergie de déformation

Effort normal : traction/compression

Effort tranchant : Ty ou Tz

Moment fléchissant : My ou Mz

Moment de torsion : Mx

struct

d dxESN

W2

21

struct

y

d dxS

TW

2

21

struct

z

zd dx

EIM

W2

21

struct

xd dx

IM

W0

2

21

effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion

dx I

M

2

1 dx

I

M

E2

1 dx

S

T

2

1 dx

S

N

E2

1W

0

2x

z

2z

2y

2

d

III. Théorèmes énergétiques

III.1. Théorème de Clapeyron

Fi

Cj Fi

Cj

Déplacements Ui

Rotations j

Travail desforces extérieures jjiiext C

2

1UF

2

1W

III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti

2 26

alalEIP

yC

2A al al2

EI6

Py

P

ex

ey

AB

a

C

P

ex

ey

AB

l

C

S1 S2

Flèche dans la section S1

due à la charge P en S2

Flèche dans la section S2

due à la charge P en S1

==

III.3. Théorème de Castigliano

Théorème : le déplacement du point d’application d’une force dans sa direction

(ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation

par rapport à cette force (ou à ce couple) :

B

i

d UFW

Fi

A B C

III.4. Théorème de Ménabréa

Structure hyperstatiqued ’inconnues surabondantes Ri

Wd = f(Ri)

0

i

d

RW

Théorème : la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à

chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points

d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent

pas (i = 0)

III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé

Poutre sur 2 appuis

Flèche en G ?

Théorème deCASTIGLIANO

P

A BC G

Q = 1

ex

ey

- charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G)

- détermination de l’équation de la déformée

GUQW

y

Q

d

0

Pour une meilleure compréhension voir corrigés en pdf

Quelques Compléments intéressants

Moment Statique

Le moment statique S d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe.

Sy = z dA Sz = y dA

Centre de gravité

Le centre de gravité G d ’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point est nul.

Centre de gravité

Propriétés :Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe.

A défaut d ’axes de symétrie:

- Choisir un axe de référence Oxy

- Calculer le moment statique S de la section par rapport à cet axe

- Calculer l ’aire totale de la section

- Utiliser la propriété du moment statique Sy = Zg . A

Centre de gravité

Exemple:

Zg = (A1.d1 +A2.d2+A3.d3) / (A1+A2+A3)

Zg = (Σ des Moments statiques) /(Σ des surfaces)

Les moments d’inertie Iz and Iy d’une aire sont

Iz = y 2dA Iy = z 2dA

y

z

dy

y

MOMENTS D’INERTIE

Etudions le cas d’un rectangle

Moment d ’inertie ou quadratique

Moment quadratique de section connues:

Rectangle

Par rapport à un axe passant par G

Iy = (b.h3)/12

Iz = (h.b3)/12

bb

hhyy

zz

GG

Moment d ’inertie ou quadratique

Définition: Le moment d ’inertie d ’une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égale au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe. Il est toujours positif et s ’exprime en mm4

Moment d ’inertie ou quadratique

Moment quadratique de sections connues:

Cercle

Iy = Iz = (π.D4) /64

Couronne

Iy = Iz = (π.(D4-d4))/64 yy

zz

yy

zz

Moment d ’inertie ou quadratique

Théorème de Huygens: Le moment d ’inertie d ’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d ’inertie de la section par rapport à l ’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l ’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

y

x

Moment d’inertie polaire

JO = r 2dA

La distance depuis O jusqu’a l’élément d’aire dA et r. on sait que r 2 =x 2 + y 2 , on peut écrire la relation

JO = Ix + Iy

x

yr

A

dA

O

Compléments

Le rayon de gyration d’une surface A selon l’axe x est défini par kx, où Ix = ix ^2 . A. Similairement on peut trouver ky selon l’axe y

ix =

2

Ix

Aiy =

Iy

AiO =

JO

A

Compléments

Ce théoreme peut etre utilisé pour le moment d’inertie polaire.

JO = JC + Ad 2

d

c

Le théoreme de l’axe parallele est utilisé trés efficacementpour calculer le moment d’inertie d’une aire composée selon un axe donné.

o

Compléments

x

y

x’

y’

O

Le produit d’inertie d’une aire A est défini comme

Ixy = xy dA

Ixy = 0 si la surface A est symmetrique selon un ou plusieurs axes.

Le théoreme de l’axe parallele pour le produit d’inertie est

Ixy = Ix’y’ + xyA

Compléments

x

y

x’

y’

O

Les relations entre les momentssont:

Ix’ = + - Ixy sin 2Ix + Iy

2Ix - Iy

2cos 2

Iy’ = - + Ixy sin 2Ix + Iy

2Ix - Iy

2cos 2

Ix’y’ = sin 2 + Ixy cos 2Ix - Iy

2

Compléments

29

Approche système: Méthode des fonctions de singularité

30

31

32

33

34

36

The M-file can be written asfunction beam(x) xx = linspace(0,x); n=length(xx); for i=1:nuy(i) = -5/6.*(sing(xx(i),0,4)-sing(xx(i),5,4)); uy(i) = uy(i) + 15/6.*sing(xx(i),8,3) + 75*sing(xx(i),7,2); uy(i) = uy(i) + 57/6.*xx(i)^3 - 238.25.*xx(i);end plot(xx,uy)function s = sing(xxx,a,n) if xxx > as = (xxx - a).^n; elses=0; endThis function can be run to create the plot,>> beam(10)

37

Visite Labo 1A:Présentation UF / activités d’enseignementsPrésentation DMSM / Activités de recherche