FLORENTIN SMARANDACHE Où se trouve la faute dans

ce raisonnement par reccurence?

In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.

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OU SE TROUv"h LA :;:'1I.UTE D.àlJS CE RAISmTNEI2il\fT

ft un UOl1.cou:rs d' e~ltré( en f28ulté on [, posi le problème suivo,nt

Il Tr01.o..ver les po:CJ~lômes p(x) ù coei'ficients réels tels <l'.le :x:P(:;c-1) == (~:-3)r(x) ~ pour tout x riel. Il

Quelq1.~cs car.ë~id.ê.ts ont cru. pouvoir démontrer par récurrence Que les pol~'~Î.ô;':0~ de J' énOclCG sOLt ceux qui vérifient 12, proprijt~ sui V2"~'C(; g ?(x) = 0 pou:' tout entier l1.2.turel.

E:!l ei~fs~? :ï.is81lt··ils? si on pose x== 0 do,ns cette rc;lation, il en r.';::mLc ~.",J(; O,P(-l) == ·-3,F(O)? clo::J.c p(O) = O. De même, é1vec }: = l, on a g

- :~(,,\ ? v f ,) '.,.. .1.,1 \......} == -'"' ..... Dl \J.. ,QO.l.1v

On SUPl;ose que 10, propri·:jtj ost vrcio P(n-l) =- C, cO:; C' :,:'e~~cic c"'" qu t il on

pel) == 0, etc ••• pour (n-1), càd ~uo est pour n ~

puisque p(n-l) O? il on

~ g :.Ji les c<::..c'ldiclats ~v2-icl1.t 0sso,yé le ro,l1G n == 3? ils ~u-r:1.iel1.t trouvé ~

3?F(2) P(3) c,.:~ Ir.:' p(3).

c. r (3) ~:G;1.C (J == O. p(3) , cc qui n'entraîne paS. Que ; 2~ ~~f:~ cette éc~lit~ ost vraie ~our tout réel

LI 8rr,;ur .. ~,,_. -.'.c't cl"l1c 0.0 r::c J.' imYJlication ~

11(n=-3).P(n) = n.F(~î.-IJ o ~ pen) = On n'est p:=,.s juste.

On peut trouver facil(;8c:'l-~ <lue ?(x) = x(x-l)(x-2)k,kE.lR..