Post on 03-Apr-2015
O
Le décor :
- un cercle de centre O
O
A
B C
Le décor :
- un triangle ABC inscrit
O
A
KB C
I
Le décor :
- la bissectrice de l’angle A
O
A
KB C
L
H
I
Le décor :
- les projetés orthogonaux
de K sur [AB] et [AC]
O
A
KB C
L
H
I
La demande :Prouver que les deux triangles gris réunis
ont la même aire
que le triangle
jaune…
O
A
KB C
L
H
I
ou aussi :
que le quadrilatère AHIL
a la même aire
que le triangle
ABC…
O
A
KB C
L
H
I
soit finalement :
que le triangle
ALI
a une aire égaleà la moitié de
celle de ABC
O
A
KB C
L
H
I
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
P
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
P
on se ramène au triangle AKP
en considérant le point P, projeté orthogonal de I sur [AC]
O
A
KB C
L
H
I
on fait alors glisser le côté droit
P
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
Ppour se ramener au triangle EKC
E
jusqu’à [EC]
( on a EC = AP et aussi AE = PC )
on fait alors glisser le côté droit
de [AP]
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
on trace [EA’] où A’ désigne le milieu
de [BC]
Si [AK] et [EA’] sont bien
parallèles, alors…
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
P
E
A’
le triangle AA’C !!!
qui recouvre bien la moitié du triangle ABC
le triangle EKC peut être échangé
contre
O
A
KB C
L
H
I
O
A
KB C
L
H
I
P
O
A
KB C
L
H
I
P
E
O
A
KB C
L
H
I
E
A’
En résumé
Ces 4 triangles ont la même aire, à savoir : la moitié de celle de ABC
encore faut-il prouver que [AK] et
[EA’] sont parallèles …
O
A
KB C
I
A’P
O
A
KB C
I
A’P
O
A
KB C
I
A’P
O
A
KB C
I
A’P
O
A
KB C
I
A’P
O
A
KB C
I
A’P
B’
A’
O
A
KB C
I
P
B’
A’
E
O
A
KB C
L
H
A’
I