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Remerciements ......................................................................................................................3
Résumé ..................................................................................................................................5
Abstract .................................................................................................................................7
Synthèse ................................................................................................................................9
Overview ............................................................................................................................. 13
Introduction ......................................................................................................................... 21
I. Les régimes de retraite par répartition .......................................................................... 23
A. Définitions et quelques propriétés ....................................................................................... 23 1. Premier étage : le régime de base obligatoire ......................................................................................... 24 2. Deuxième étage : les régimes complémentaires obligatoires ................................................................. 25 3. L’épargne retraite collective et individuelle ............................................................................................ 25
B. Historique des régimes de retraite par répartition en France ................................................ 25
C. Présentation de quelques régimes de retraite par répartition ............................................... 26
D. La retraite par répartition : la solidarité française ................................................................. 27
E. La situation actuelle des régimes de retraite par répartition ................................................. 28
F. L’étude de l’équilibre d’un régime de retraite par répartition ................................................ 28
G. Les leviers permettant de parvenir à l’équilibre .................................................................... 30
II. Contexte de l’étude....................................................................................................... 33
A. L’analyse et la mise en forme des données ........................................................................... 33 1. L’analyse des données ............................................................................................................................. 33 2. La mise en forme ..................................................................................................................................... 36
B. Les hypothèses actuarielles .................................................................................................. 36 1. L’inflation ................................................................................................................................................. 36 2. Profils de carrière ..................................................................................................................................... 36 3. Rendement des actifs du régime ............................................................................................................. 36
C. Les hypothèses de comportements sociaux .......................................................................... 37 1. Turnover .................................................................................................................................................. 37 2. Table de mortalité ................................................................................................................................... 37 3. Taux de nuptialité et différence d’âge homme-femmes ......................................................................... 37
D. Les hypothèses de projection de population ......................................................................... 37
E. Le logiciel LASER .................................................................................................................. 40
F. La projection de flux financiers du régime ............................................................................ 41
III. Les méthodes d’échantillonnage ................................................................................... 43
A. L’échantillonnage aléatoire simple sans remise (EASSR) ........................................................ 43
B. L’échantillonnage stratifié .................................................................................................... 44
C. La formule de Krejcie & Morgan ........................................................................................... 47
IV. La classification non supervisée ................................................................................. 52
A. Les mesures d’éloignement .................................................................................................. 52 1. La mesure de similarité ............................................................................................................................ 52 2. La mesure de dissimilarité ....................................................................................................................... 53 3. La distance ............................................................................................................................................... 53
B. Les critères d’homogénéité .................................................................................................. 53 1. L’inertie .................................................................................................................................................... 53 2. Le théorème de Huygens ......................................................................................................................... 56
C. La mise en forme des données ............................................................................................. 57
D. L’algorithme des K-means ................................................................................................... 58 1. Principe .................................................................................................................................................... 58 2. L’algorithme ............................................................................................................................................. 59 3. Avantages et inconvénients ..................................................................................................................... 61 4. Le choix du nombre de classes 𝐾 ............................................................................................................. 62
E. L’algorithme des K-medoïdes .............................................................................................. 63 1. Principe .................................................................................................................................................... 63 2. L’algorithme ............................................................................................................................................. 63 3. Avantages et inconvénients ..................................................................................................................... 67
V. Résultats et analyses .................................................................................................... 69
A. Mesure d’erreur .................................................................................................................. 69
B. Etude préalable ................................................................................................................... 70
C. Méthode de programmation ................................................................................................ 73 1. Le logiciel R .............................................................................................................................................. 73 2. La fonction 𝐾-means ............................................................................................................................... 73 3. Le programme .......................................................................................................................................... 73 4. Le calcul des pondérations ...................................................................................................................... 74
D. Etude sur la variation du nombre de classes ......................................................................... 75 1. Evolution du 𝑅2 en fonction du nombre de classes ................................................................................ 75 2. Evolution du nombre d’individus en fonction du nombre de classes ...................................................... 77 3. Etude de l’erreur par rapport à la réserve ............................................................................................... 78 4. Différence de temps de calcul 𝐾-means / 𝐾-médoïdes .......................................................................... 78 5. Résultats relatifs au nombre de classes de la méthode des 𝐾-médoïdes ............................................... 79 6. Premier test sur la variabilité des résultats ............................................................................................. 80 7. Conclusion................................................................................................................................................ 81
E. Etude sur les paramètres d’échantillonnage ......................................................................... 82 1. Le nombre de classes retenu ................................................................................................................... 82 2. Variation du niveau d’erreur de la formule de Krejcie & Morgan ........................................................... 82 3. Conclusion................................................................................................................................................ 85
F. Contrôle de l’erreur autour de l’approximation des réserves ................................................ 86 1. Les intervalles de confiance empirique ................................................................................................... 87 2. Le Bootstrap ............................................................................................................................................. 88 3. Application ............................................................................................................................................... 88 4. Conclusion................................................................................................................................................ 90
Conclusion ........................................................................................................................... 93
VI. Bibliographie ............................................................................................................ 97
VII. Annexes .................................................................................................................. 100
A. Annexe 1 : La table du Khi-deux ......................................................................................... 100
B. Annexe 2 : La table de Krejcie & Morgan ............................................................................ 101
C. Annexe 3 : La complexité des algorithmes .......................................................................... 102
D. Annexe 4 : La démonstration du quantile empirique ........................................................... 103
𝑇 𝑛𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖
𝑡 𝑖 𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡
𝑖 𝑡 𝐼𝐸
𝑇
𝐼𝐸 =∑ ∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖
𝑡𝑛𝑖=1
𝑇𝑡=1
∑ ∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑛
𝑖=1𝑇𝑡=1
.
𝑡
𝐼𝐸 =∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖
𝑡𝑛𝑖=1
∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑛
𝑖=1
.
𝑇
𝑇
𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑇 = ( ∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖𝑇
𝑛
𝑖=1
− ∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑇
𝑛
𝑖=1
) + 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑠𝑇−1 + 𝐼𝐹𝑻
𝑇 𝐼𝐹𝑇
𝑇 − 1
a. Le périmètre des actifs cotisants
-
-
-
b. Le périmètre des radiés
c. Le périmètre des pensionnés
Catégorie Hommes Femmes Total
Cadres 1273 989 2262
Non Cadres 16908 13141 30049
Contractuels 2164 3249 5413
Radiés 25154 23162 48316
Retraités 6667 4335 11002
Réversataire 212 2235 2447
Orphelins 22 22 44
Total 52400 47133 99533
Catégorie Effectif Age moyen Salaire annue
moyen
Nombre moyen de
points acquis
Cadres / Non cadres homme
18181 39 ans 23 440 € 1884 points
Cadres / Non cadres femme
14130 39 ans 19 704 € 1527 points
Contractuels hommes
2164 42 ans 18 264 € 1583 points
Contractuels femmes
3249 39 ans 17 530 € 1355 points
Total 37724 39 ans 21 235 € 1687 points
Catégorie Effectif Age moyen Nombre moyen
de points acquis
Radiés hommes
25154 44 ans 531 points
Radiés femmes
23162 43 ans 405 points
Total 48316 44 ans 471 points
Catégorie Effectif Age moyen Montant de
pension moyen
Retraités hommes
6667 70 ans 10 101,11 €
Retraités femmes
4335 69 ans 6 272,67 €
Réversaitaires hommes
212 72 ans 4 036,15 €
Réversataires femmes
2235 73 ans 4 036,15 €
Total 13449 70 ans 7 763,60 €
Catégorie Effectif Age moyen Montant de
pension moyen
Orphelins hommes 22 18 ans 1 552 €
Orphelins femmes 22 19 ans 1 175 €
Total 44 19 ans 1 363 €
HYPOTHESES Hypothèses prises
HYPOTHESES DE CALCUL
Date de calcul 01/01/2014
Inflation 1,50%
HYPOTHESES ECONOMIQUES
Valeur du salaire de référence 20,31 €
Valeur de service du point 1,69 €
Taux de revalorisation des pensions (inflation incluse)
1,50%
Taux de revalorisation du salaire de référence (inflation incluse)
1,50%
Taux de revalorisation de la valeur de service (inflation incluse)
1,50%
Evolution du plafond (inflation incluse)
1,50%
Répartition Cadres/Non cadres 7% de cadres
Taux de rendement net des actifs du régime 1,80%
Prise en compte des périodes non cotisées Abattement de 1,5 % des cotisations (via la valeur d'achat)
HYPOTHESES DE COMPORTEMENTS SOCIAUX
Turnover Tables par âges et par catégories
Tables de mortalité TH 00-02 (vie) pour les hommes, TF 00-02 (vie) pour les femmes
Ages de départ à la retraite 80% à 62 ans, 20% à 60 ans
Taux de nuptialité 70%
Différence d'âge H-F 4 ans
HYPOTHESES DE PROJECTION DE POPULATION
Evolution global des effectifs d'actifs 2% cadres et non cadres, 1% contractuels
Dérive du salaire d'entrée (inflation incluse)
2,00%
Départ à la retraite 80% à 62 ans, 20% à 60 ans
Horizon de projection 2044
Cadres Hommes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
25 1 3 610 € 17,29%
30 1 3 950 € 82,71%
Total 3 891 € 100,00%
Cadres Femmes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
25 2 3 610 € 19,67%
30 2 3 950 € 80,33%
Total 3 883 € 100,00%
Non cadres Hommes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
21 1 1 680 € 53,00%
25 1 1 930 € 47,00%
Total 1 798 € 100,00%
Non cadres Femmes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
21 2 1 680 € 53,00%
25 2 1 930 € 47,00%
Total 1 798 € 100,00%
Contractuels Hommes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
21 1 1 500 € 45,86%
25 1 1 360 € 54,14%
Total 1 424 € 100,00%
Contractuels Femmes
Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids
21 2 1 400 € 49,15%
25 2 1 240 € 50,85%
Total 1 318 € 100,00%
0
50
100
150
200
250
300
350
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Cotisations patronales Cotisations salariales Intérêts financiers
Ressources Prestations Réserves
𝑈 𝐻 𝐻
𝐻 𝑈 𝑁ℎ
𝑁 = ∑ 𝑁ℎ
𝐻
ℎ=1
.
1E-55
1E-51
1E-47
1E-43
1E-39
1E-35
1E-31
1E-27
1E-23
1E-19
1E-15
0 51
01
52
02
53
03
54
04
55
05
56
06
57
07
58
08
59
09
51
00
10
51
10
11
51
20
12
51
30
13
5
10-15
10-19
10-23
10-27
10-31
10-35
10-39
10-43
10-47
10-51
10-55
𝑛ℎ ℎ
𝑛 = ∑ 𝑛ℎ
𝐻
ℎ=1
.
𝐻 𝑠ℎ, ℎ ∈ 1; … ; 𝐻 𝑠
𝑠 = ⋃ 𝑠ℎ
𝐻
ℎ=1
.
𝑠
ℙ(𝑠) = ∏ ℙ(𝑠ℎ)
𝐻
ℎ=1
= ∏1
(𝑁ℎ𝑛ℎ
)
𝐻
ℎ=1
.
Strate Taille de la strate
1 30
2 10
3 60
4 37
𝑠
1E-38
1E-35
1E-32
1E-29
1E-26
1E-23
1E-20
1E-17
1E-14
1E-11
1E-08
0,00001
0,01
0 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
10-2
10-5
10-8
10-11
10-14
10-17
10-20
10-23
10-26
10-29
10-32
10-35
10-38
Ω
𝑆 Ω × Ω → ℝ+
- ∀𝑖 ∊ Ω, 𝑆(𝑖, 𝑖) > 0
- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑆(𝑖, 𝑗) = 𝑆(𝑗, 𝑖)
- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑆(𝑖, 𝑖) ≥ 𝑆(𝑖, 𝑗).
𝐷 Ω × Ω → ℝ+
- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝐷(𝑖, 𝑗) = 𝐷(𝑗, 𝑖)
- ∀𝑖 ∊ Ω, 𝐷(𝑖, 𝑖) = 0
𝑑 Ω × Ω → ℝ+
- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑑(𝑖, 𝑗) ≥ 0
- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑑(𝑖, 𝑗) = 0 ⇔ 𝑖 = 𝑗.
- ∀(𝑖, 𝑗, 𝑘) ∊ Ω3, 𝑑(𝑖, 𝑘) ≤ 𝑑(𝑖, 𝑗) + 𝑑(𝑗, 𝑘).
𝑖 𝑗𝑥𝑖,𝑘 𝑘 𝑖
𝑑2(𝑖, 𝑗) = ∑(𝑥𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘)2
𝑘
.
𝑛𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 𝑔𝑥
𝑔𝑥 =1
𝑛∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
.
𝐼𝑇 = ∑ 𝑑2(𝑥𝑖, 𝑔𝑥)
𝑛
𝑖=1
.
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥5
𝑥9
𝑥4
𝑥10
𝑥6
𝑥8
𝑥7
𝑔𝑥
𝑛 𝐾 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝐾
𝑔𝐶1, 𝑔𝐶2
, … , 𝑔𝐶𝐾
a. L’inertie intra-classe
𝐼𝑊 𝑊
𝐼𝑊 = ∑ ∑ 𝑑2(𝑥𝑖 , 𝑔𝐶𝑘)
𝑖∈𝐶𝑘
𝐾
𝑘=1
.
𝑋 𝑛 𝑝
𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)𝑖∈1,…,𝑛
𝑗∈1,…,𝑝
𝑥𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑗
𝜎𝑗
= (𝑥𝑖𝑗 − 𝑗
𝜎𝑗)
𝑖∊1,…,𝑛
𝑗∊1,…,𝑝
.
𝐾𝐾 𝐾
𝐾 𝐶1, … , 𝐶𝐾 𝑔1, … , 𝑔𝐾
𝛱 = 𝐶1, … , 𝐶𝐾 𝐾
𝑑
𝐾𝛱
𝑓 = ∑ ∑ 𝑑(𝑗, 𝑔𝑘)
𝑗∈𝐶𝑘
𝐾
𝑘=1
.
1 𝐾
𝐿𝑡𝑖 𝑖 𝑡
𝐾
𝑡
𝑡
𝑀𝑡 = ∑ ∑ 𝑑(𝑗, 𝑔𝑘𝑡 )
𝑗∈𝐶𝑘𝑡
𝐾
𝑘=1
𝑡 |𝑀𝑡 − 𝑀𝑡−1| < 𝜀 𝜀
𝐾
Individu Age Salaire
1 25 20 000 €
2 30 25 000 €
3 45 35 000 €
4 23 20 000 €
5 55 30 000 €
6 50 60 000 €
7 38 25 000 €
8 39 30 000 €
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
𝐾
𝑂(𝐾. 𝑛. 𝑡) 𝑛𝑡
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
𝐾 𝐾
𝐾
𝑓 = ∑ ∑ 𝑑(𝑖, 𝑚𝑘)
𝑖 ∈𝐶𝑘
𝐾
𝑘=1
.
𝐶𝑘 𝑘 𝑚𝑘
𝐾
𝐾
𝐾
a. PAM (Partition Around Medoids)
𝐾𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝐾
𝑡
(𝑚𝑘, 𝑖) 𝐶𝐺𝑘𝑖
𝐶𝐺𝑘𝑖 = ∑ 𝑑(𝑚𝑘, 𝑖) − 𝑑(𝑚𝑘, 𝑗)
𝑗∈𝐶𝑘
𝐶𝑘 𝑘 𝐶𝐺𝑘𝑖 𝑖𝑘 𝑚𝑘
(𝑚𝑘, 𝑖) 𝐶𝐺𝑘𝑖
𝐶𝐺𝑘𝑖 < 0 𝑚𝑘 𝑖
Individu Age Salaire
1 25 20 000 €
2 30 25 000 €
3 45 35 000 €
4 23 20 000 €
5 55 30 000 €
6 50 60 000 €
7 38 25 000 €
8 39 30 000 €
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
𝑂(𝐾(𝑛 − 𝐾)2)
b. CLARA (Clustering LARge Application)
40 + 2𝐾
𝑡 𝑡 ∈ 1, … ,5
40 + 2𝐾
0 €
10 000 €
20 000 €
30 000 €
40 000 €
50 000 €
60 000 €
70 000 €
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
50
100
150
200
250
300
350
400
20
14
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
20
21
20
22
20
23
20
24
20
25
20
26
20
27
20
28
20
29
20
30
20
31
20
32
20
33
20
34
20
35
20
36
20
37
20
38
20
39
20
40
20
41
20
42
20
43
20
44
Cotisations patronales Cotisations salariales Intérêts financiers
Ressources Prestations Réserves
Catégorie Nombre de ligne à
traiter
Actifs non cadre 8865
Actifs cadre 8865
Contractuels 3209
Retraités et réversataires 197
Radiés 390
Orphelins 44
TOTAL 21570
𝑅2
𝑅2
𝑅2
𝑅2
𝐾 𝑅2
𝐾
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
𝑅2
𝑅2
𝑅2
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
𝐾
𝐾 𝐾
𝐾𝐾
𝐾 𝐾
𝐾
𝐾 𝐾
𝐾 𝐾
𝐾 𝐾
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%
1,80%
2014 2017 2020 2023 2026 2029 2032 2035 2038 2041 2044
𝐾
𝐾
𝐾 𝐾
𝐾𝐾
𝐾
𝐾
𝑅2
0
10
20
30
40
50
60
70
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
K-means K-medoïdes
𝑅2
𝑅2
0,0000%
0,5000%
1,0000%
1,5000%
2,0000%
2,5000%
3,0000%2
01
4
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
20
21
20
22
20
23
20
24
20
25
20
26
20
27
20
28
20
29
20
30
20
31
20
32
20
33
20
34
20
35
20
36
20
37
20
38
20
39
20
40
20
41
20
42
20
43
𝑒
0
50
100
150
200
250
300
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
1,40%
1,60%
5% 0.5% 4% 3,50% 3% 2,50% 2% 1,50% 1%
𝑅2
0,0000%
0,0500%
0,1000%
0,1500%
0,2000%
0,2500%
0,3000%
0,3500%
0,4000%
20
14
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
20
21
20
22
20
23
20
24
20
25
20
26
20
27
20
28
20
29
20
30
20
31
20
32
20
33
20
34
20
35
20
36
20
37
20
38
20
39
20
40
20
41
20
42
20
43
20
44
a. Quantile d’une variable aléatoire
𝛼 𝛼 ∊ [0,1] 𝑞𝛼 𝑋
ℙ(𝑋 ≥ 𝑞𝛼) = 1 − 𝛼
b. Quantile empirique
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 𝑛𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛)
𝑋(1) ≤ 𝑋(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑋(𝑛)
𝑋(1) = min𝑖=1,…,𝑛
𝑋𝑖 𝑋(𝑛) = maxi=1,…,n
𝑋𝑖
𝛼 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑋([𝑛𝛼]+1)
∀𝑥 ∊ ℝ, [𝑥] 𝑥
lim𝑛→∞
𝑋([𝑛𝛼]+1) = 𝑞𝛼 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑠û𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
c. Intervalle de confiance empirique
𝛼
𝐼𝐶𝑛,𝛼 = [𝑋[𝑛(1−𝛼)
2]+1
; 𝑋[𝑛(1+𝛼)
2]+1
]
𝛼 = 95%
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032 2034 2036 2038 2040 2042 2044
0,00%
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
1,20%
20
14
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
20
21
20
22
20
23
20
24
20
25
20
26
20
27
20
28
20
29
20
30
20
31
20
32
20
33
20
34
20
35
20
36
20
37
20
38
20
39
20
40
20
41
20
42
20
43
20
44
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%2
01
4
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
20
21
20
22
20
23
20
24
20
25
20
26
20
27
20
28
20
29
20
30
20
31
20
32
20
33
20
34
20
35
20
36
20
37
20
38
20
39
20
40
20
41
20
42
20
43
20
44
P
0,999 0,995 0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01
DD
L
1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635
2 0,002 0,010 0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210
3 0,024 0,072 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345
4 0,091 0,207 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277
5 0,210 0,412 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086
6 0,381 0,676 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812
7 0,598 0,989 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475
8 0,857 1,344 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090
9 1,152 1,735 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666
10 1,479 2,156 2,558 3,059 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209
11 1,834 2,603 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725
12 2,214 3,074 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217
13 2,617 3,565 4,107 4,765 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688
14 3,041 4,075 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141
15 3,483 4,601 5,229 5,985 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578
16 3,942 5,142 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000
17 4,416 5,697 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409
18 4,905 6,265 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805
19 5,407 6,844 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191
20 5,921 7,434 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566
21 6,447 8,034 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932
22 6,983 8,643 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289
23 7,529 9,260 10,196 11,293 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638
24 8,085 9,886 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980
25 8,649 10,520 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314
26 9,222 11,160 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642
27 9,803 11,808 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963
28 10,391 12,461 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278
29 10,986 13,121 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588
30 11,588 13,787 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892
𝑥 ℙ(𝑋 > 𝑥) = 𝑃 𝑋𝑛
Niveau de confiance = 95% Niveau de confiance = 99%
N e = 5% e = 2,5% e = 1% e = 5% e = 2,5% e = 1%
10 10 10 10 10 10 10
20 19 20 20 19 20 20
30 28 29 30 29 30 30
40 36 39 40 38 39 40
50 44 48 50 47 49 50
60 52 58 60 55 59 60
70 59 67 70 63 68 70
80 66 76 79 71 78 80
90 73 85 89 79 87 90
100 80 94 99 87 96 99
150 108 137 148 122 142 149
200 132 177 196 154 186 198
250 152 215 244 182 229 246
300 169 251 291 207 270 295
350 183 285 338 229 309 343
400 196 318 384 250 348 391
450 207 348 430 268 385 438
500 217 377 475 285 421 485
1000 278 606 906 399 727 943
2000 322 869 1655 498 1141 1785
3000 341 1016 2286 543 1408 2541
4000 351 1110 2824 569 1596 3223
5000 357 1176 3288 586 1734 3842
6000 361 1223 3693 598 1840 4406
7000 364 1260 4049 606 1925 4923
8000 367 1289 4365 613 1993 5397
9000 368 1313 4646 618 2050 5835
10000 370 1332 4899 622 2098 6239
𝑒
𝑂
𝑂(𝑛)
Complexité Temps Temps pour
n = 10 Temps pour
n = 50 Temps pour
n = 1 000 Exemple de problème
Constante 𝑂(1) 10 ns 10 ns 10 ns Accès tableau
Logarithmique 𝑂(log(𝑛)) 10 ns 20 ns 30 ns Recherche dichotomique
Linéaire 𝑂(𝑛) 100 ns 500 ns 10 µs Parcours de liste
Quadratique 𝑂(𝑛2) 1 µs 25 µs 10 ms Parcours de tableau en 2
dimensions
Cubique 𝑂(𝑛3) 10 µs 1,25 ms 10 s Parcours de tableau en 3
dimensions