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Sommaire
Introduction .................................................................................................. 1
1. CE QUE LES TEXTES OFFICIELS DISENT DES PROBLÈMES ........... 3
1.1. Qu’est-ce qu’un problème ? .............................................................. 3
1.2. Les problèmes dans les programmes ............................................... 4
1.3. Comment enseigner la résolution des problèmes ? .......................... 6
2. LES APPORTS DE LA RECHERCHE ..................................................... 7
2.1. La didactique des mathématiques..................................................... 7
2.2. La psychologie cognitive du raisonnement ....................................... 9
2.3. La pédagogie explicite .................................................................... 10
3. LA DÉMARCHE POINT PAR POINT ..................................................... 12
3.1. Lire et comprendre le problème ...................................................... 13
3.1.1. Déchiffrer rapidement : travailler la fluence .............................. 13
3.1.2. Comprendre un énoncé de problème : acquérir une culture ..... 14
3.1.3. Se représenter une situation : raconter... ................................. 15
3.2. Traiter mathématiquement le problème .......................................... 16
3.2.1. Automatiser : libérer la mémoire de travail... ............................ 16
3.2.2. Catégoriser : faire un schéma ................................................... 17
3.2.3. Trouver l’opération : choisir en fonction du modèle .................. 18
3.3. Une progression dans les difficultés ................................................ 20
4. DÉROULEMENT DE L’EXPÉRIMENTATION ....................................... 20
4.1 En début d’année ............................................................................. 20
4.2. À mi-parcours .................................................................................. 22
4.3. Fin de l’expérimentation .................................................................. 24
5. BILAN DE L’EXPÉRIMENTATION ........................................................ 25
5.1. Situation de départ .......................................................................... 25
5.2. Situation au second et dernier test ................................................. 27
CONCLUSION ........................................................................................... 28
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 1
Introduction
J’enseigne dans un groupe scolaire situé dans la deuxième circonscription de
Nouvelle-Calédonie. L’école se trouve dans un quartier déjà ancien de Nouméa, et les
élèves sont assez représentatifs du « melting-pot » calédonien. Nous avons
globalement des classes de bon niveau, des élèves curieux et ouverts, des parents
attentifs aux progrès de leurs enfants et emplis de bonne volonté.
Voilà plusieurs années que l’équipe d’enseignants dont je fais partie, lors de la
mise en place des projets d’école, mène des actions qui visent l’amélioration des
performances de nos élèves en matière de résolution de problèmes : des apprentissages
par situation-problème, des défimaths en équipes dans chaque classe, du CP au CM2,
des problèmes pour chercher…
Je tente également dans ma classe différentes approches de l’apprentissage de
l’abstraction, en testant diverses formes de schémas ou en tentant de catégoriser les
problèmes à la manière de VERGNAUD, dans le Moniteur de mathématiques1.
Pour autant, chaque année, nous constatons que cette compétence est une des plus
faiblement maîtrisées dans les classes de CM2. Ainsi, en 2013, cette compétence
n’était réussie qu’à hauteur de 62 % par nos CM2 (44% au niveau de la Nouvelle-
Calédonie). Au niveau national, la note de la DEPP n°19 du 27 mai 2014 fait état d’un
recul des performances (de 33 à 18 %) en résolution de problème de 1999 à 2013, chez
les élèves de CE2. La note de France Stratégie2, qui analyse en profondeur les résultats
de PISA 20123, indique qu’en plus de l’accroissement des inégalités scolaires liées à
1 Le Moniteur de Mathématiques Résolution de problèmes Cycle 3 Fichier pédagogique Jean-Luc BRÉGEON, François HUGUET, Hervé PÉAULT, Luce DOSSAT, André MYX, sous la direction de Gérard VERGNAUD éditions Nathan 2 France Stratégie est l’ancien Commissariat Général à la Stratégie et à la Prospective, et dépend du Premier Ministre. 3Site de France Stratégie http://www.strategie.gouv.fr/blog/2014/05/note-augmenter-nombre-bons-eleves/
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l’origine sociale, la France voit également chuter le nombre de ses bons élèves en
mathématiques à 12,9% contre 17,5 % en Allemagne.
Pour améliorer à la fois les capacités de mes élèves à résoudre des problèmes et
leur envie de découvrir des solutions, j’ai décidé de chercher d’autres voies
d’enseignement, du côté de l’enseignement explicite4 en particulier.
L’efficacité de cette approche est souvent avancée, parfois débattue. Je l’utilise
principalement pour l’enseignement des savoir-faire « automatisables » (multiplier,
conjuguer au présent de l’impératif...) car j’en vois les effets au niveau des
apprentissages et de la confiance en eux de mes élèves. Mais peut-elle être aussi
efficace en matière de résolution de problèmes numériques, une compétence complexe
qui met en jeu de nombreux savoir-faire de tous ordres, eux-mêmes souvent tributaires
d’autres compétences, également complexes ?
Il m’a semblé intéressant, en m’appuyant sur mes différentes expériences, de
réfléchir de façon plus approfondie à une approche cohérente et efficace de
l’apprentissage de la résolution de problèmes.
Comment améliorer la capacité des élèves de CM1 à résoudre efficacement les
problèmes numériques grâce à un enseignement explicite de stratégies ?
Je fais donc l’hypothèse que des modalités d’apprentissage structurées et
progressives de stratégies, tant en mathématiques qu’en maîtrise de la langue française
permettraient d’améliorer la capacité à résoudre des problèmes numériques de mes
élèves de CM1.
4 « Approche mettant l’accent sur la planification et la transmission de l’information de l’enseignant vers les élèves ; se caractérise notamment par le modelage, par l’enseignant, du savoir ou de l’habileté à apprendre, par l’organisation de nombreuses pratiques guidées et par la communication de nombreuses rétroactions en vue de soutenir le processus d’apprentissage. » in Enseignement explicite et réussite des élèves La gestion des apprentissages de C. GAUTHIER, S. BISSONNETTE, M. RICHARD, De Boeck éditions, 2013, p. 300
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 3
Afin de vérifier cette hypothèse, je me propose de mettre en place cet apprentissage
dans ma classe, et d’évaluer mes élèves en début puis en fin d’expérimentation. Les
élèves de l’autre CM1 de mon école serviront alors de groupe-témoin, avec les mêmes
évaluations.
Bien sûr, cette étude, au vu de la taille de l’échantillon d’élèves représentés, ne
prétend en aucun cas donner des réponses exhaustives et définitives sur le sujet. Mais
peut-être pourrai-je récolter quelques pistes de recherche sur les effets d’un tel
enseignement en matière de résolution de problème.
Je vais commencer par examiner les directives institutionnelles et les apports de la
recherche en matière de résolution de problèmes. Après un exposé rapide des
invariants de la pédagogie explicite, je détaillerai point par point les principales étapes
que l’élève doit franchir pour résoudre un problème. Pour chacune, je décrirai la mise
en place d’un enseignement explicite, structuré et progressif de stratégies adaptées. Je
tenterai de rendre compte de mes réflexions et adaptations au fil de l’expérimentation.
Je ferai ensuite le bilan de ces actions et j’essaierai de tirer des conclusions de cette
expérience.
1. CE QUE LES TEXTES OFFICIELS DISENT DES PROBLÈMES
1.1. Qu’est-ce qu’un problème ?
Le mot « problème » nous vient du grec. πρόβλημα signifie « ce qu’on a devant
soi, obstacle, tâche, sujet de controverse ». On le voit, le concept a peu varié depuis
EUCLIDE.
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De nos jours, Jean BRUN5 définit d’ailleurs ainsi la résolution de problème : « Un
problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre,
demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce
but ».
Le problème numérique use de nombres pour traiter de quantités, de nombres de...,
d’âges et de mesures diverses. Simple ou complexe, il exige une compréhension fine
de la situation de départ et de ce qui est demandé, une sélection des données utiles et
de leur traitement, généralement au moyen d’opérations.
1.2. Les problèmes dans les programmes
Les programmes de 2012 pour la Nouvelle-Calédonie indiquent, qu’au cycle 2, « la
résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à
construire le sens des opérations ». Un peu plus loin, il est précisé que « du CE2 au
CM2, dans les quatre domaines du programme6, l’élève enrichit ses connaissances,
acquiert de nouveaux outils et continue d’apprendre à résoudre des problèmes ».
Apprendre à résoudre des problèmes doit donc bien être activement enseigné. Et
au-delà de l’enseignement de la logique, qui fut un temps privilégié (logique des
classes ou sériations des mathématiques « modernes »), ces programmes posent
maintenant clairement la question de l’accès à la complexité et de la relation entre
l’acquisition d’automatismes et la résolution de problèmes mathématiques7, question
que je me propose d’étudier ici.
5 Jean BRUN est professeur en didactique des mathématiques à la Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Éducation de Genève. Ses travaux ont pour thème l'étude des rapports entre le développement cognitif et l'enseignement des mathématiques en prenant en compte la situation d'enseignement, et ce, aux niveaux de la scolarité des élèves de 6 à 12 ans. Il est cité par Roland CHARNAY, Résolution de problèmes arithmétiques à l’école, Hatier pédagogie, page 23. 6 Les domaines de résolution de problèmes mentionnés dans les programmes sont les suivants : Nombres et calculs, Géométrie, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données. 7 Ressources pour faire la classe Le nombre au cycle 2. http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 5
La résolution de problèmes « s’exerce à tous les stades de l’apprentissage ». Cet
apprentissage doit « développer le goût de la rigueur et du raisonnement », et c’est
également à cette appétence pour la recherche de solutions que je compte m’intéresser.
Les éléments de mathématiques constituent, avec la culture scientifique et
technologique, le troisième pilier du socle commun. Celui-ci donne des précisons
essentielles sur les compétences liées à la résolution de problèmes : rechercher, extraire
et organiser l’information utile, calculer, raisonner, présenter la démarche ou les
résultats obtenus… Les savoir-faire mis en œuvre sont également détaillés : reformuler
un énoncé avec ses propres mots, recenser des informations, choisir une démarche,
contrôler des résultats…
Cet apprentissage requiert une progressivité des compétences à acquérir,
expliquent les programmes : on commence par des problèmes très simples à une
opération, puis à une et plusieurs étapes (au CM1) et de plus en plus complexes
(CM2)… Il semble donc raisonnable d’envisager un apprentissage progressif du
traitement de l’énoncé et de sa traduction en termes d’opérations.
Le Plan Sciences et Technologies à l’École8 reprend le concept de l’innumérisme9
et le considère comme un « handicap social et professionnel comparable à
l’illettrisme ». Il prend acte de la convergence d’enquêtes pourtant différentes
(DEPP10, PISA) qui attestent toutes « d’une baisse des performances accompagnée
d’un glissement vers le bas en matière de mathématiques » et préconise « l’acquisition
des automatismes qui sont les outils de la compréhension, la réflexion guidée par le
8 Site du Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche. http://www.education.gouv.fr/cid54824/une-nouvelle-ambition-pour-les-sciences-et-les-technologies-a-l-ecole.html# Qu’est ce que l’innumérisme ? 9 « Les élèves ou les adultes qui sont en situation d’innumérisme ne sont pas en capacité de mobiliser les notions élémentaires de mathématiques, du calcul et des modes de raisonnement qui leur sont ou leur ont été enseignés. » Normand BAILLARGEON. 10 La DEPP (Direction de l'Evaluation, de la Prospective et de la Performance) évalue la performance des politiques conduites dans les domaines de l'éducation et de la formation.
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maître dans la résolution de problèmes, le développement du goût du calcul et du
plaisir de la recherche de solutions ».
Ainsi, un enseignement explicite de stratégies, étayé par la mise en mémoire
d’automatismes mathématiques, devrait permettre plus d’équité dans ma classe en
matière d’accès au plaisir des mathématiques.
1.3. Comment enseigner la résolution des problèmes ?
On l’a vu, la compétence « résoudre des problèmes relevant des quatre opérations »
fait partie de la compétence 3 du palier 2 du socle commun11. Pour Bernard REY12,
elle s’inscrit dans la catégorie des « compétences avec mobilisation ».
Elle requiert effectivement de mobiliser connaissances, capacités et attitudes : ne
pas se décourager, choisir et mobiliser des procédures déjà plus ou moins maîtrisées en
matière de compréhension du problème (lexique, représentation mentale de la
situation), de stratégie de tri des informations pertinentes, de traitement de cette
situation en termes mathématiques, de maîtrise d’un algorithme de calcul, de choix de
l’unité, de rédaction d’une réponse cohérente, de vérification de la plausibilité de la
solution…Et s’il est évident que la maîtrise de procédures de base est essentielle pour
résoudre un problème, elle n’est pas suffisante.
Pour Jean JULO13, utiliser les connaissances et procédures adéquates dans une
situation donnée n’est pas une évidence. Ce sont des processus cognitifs déterminants
et spécifiques, à la fois en matière de représentation et de stratégie, qui vont permettre
de traiter cette situation. En tout état de cause, Jean JULO réfute l’idée que résoudre
11Site Eduscol : http://cache.media.eduscol.education.fr/file/socle_commun/99/7/Socle-Grilles-de-reference-palier2_166997.pdf 12 Transcription du débat public organisé par le GFEN 28 et animé par Bernard REY à l'IUFM de Chartres le samedi 12 décembre 2009 : Apprendre... à l'épreuve des compétences. http://www.gfen.asso.fr/fr/b._rey_apprendre_a_l_epreuve_des_competences 13 Jean JULO, Des apprentissages spécifiques en résolution de problèmes ?: http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/69/69n4.pdf
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« intelligemment » un problème ne puisse s’apprendre et qu’il faille simplement se
reposer sur l’intuition des élèves ou sur un mécanisme acquis par une longue pratique.
Rejoignant l’hypothèse des “situations fondamentales” de BROUSSEAU (1986), il
estime que l’élaboration de schémas permet l’élaboration d’une meilleure
représentation cognitive du problème. La catégorisation de ces représentations est ainsi
plus facile, et mobilisable à meilleur escient.
2. LES APPORTS DE LA RECHERCHE
2.1. La didactique des mathématiques
La question des rapports entre apprentissage et résolution de problèmes est
complexe. Elle concerne en premier chef la didactique des mathématiques car elle est
étroitement liée à l’organisation des connaissances propres à cette discipline.
Trois grands courants didactiques14 ont surgi après le bouleversement de la réforme
dite des « mathématiques modernes », entrée en vigueur en 1970 et rejetée dès 1973 :
- Guy BROUSSEAU introduit la notion de contrat didactique dont l’efficacité
dépend de la compréhension mutuelle des attentes des élèves et de l’enseignant. Dans
sa théorie des situations didactiques, il estime que la connaissance n’a de raison de
s’installer que si elle est réellement utile.
- Gérard VERGNAUD est psychologue et sa théorie des champs conceptuels offre
notamment une classification très intéressante des différents problèmes numériques.
Chaque champ recouvre un ensemble de concepts et de théorèmes. Les différents
champs conceptuels de VERGNAUD sont résumés dans les annexes 1 à 4.
14 Claire MARGOLINAS, INRP UMR ADEF Marseille, Essai de généalogie en didactique des mathématiques http://hal.inria.fr/docs/00/44/37/09/PDF/Margolinas_RSSE_2005.pdf
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- Yves CHEVALLARD est auteur de la théorie anthropologique du didactique
(TAD) qui occupe aujourd’hui une place éminente en didactique des mathématiques. Il
s’intéresse à la transposition didactique qui transforme les savoirs savants des
mathématiciens en savoirs « enseignables », à la portée des élèves.
La recherche française en didactique des mathématiques a ceci de particulier
qu’elle prend très au sérieux la recherche fondamentale, mais pas directement la
réussite des élèves. Bien sûr, les didacticiens postulent que les avancées de cette
recherche permettront de « déduire les mesures méthodologiques les plus aptes à
provoquer les acquisitions »15 et certains comme VERGNAUD publient des manuels,
mais leurs recherches mettent le professeur « entre parenthèses ». Ce qui les intéresse,
c’est l’identification d’une situation didactique qui réunit l’élève et le savoir, au moyen
d’une « situation de contrat ». Donc, « dans les années 80, le rôle du maître est
envisagé comme suit : 1/ Le maître serait tout d’abord actif, il parlerait à la classe et
présenterait le problème. Ce serait la phase de dévolution16. 2/ Le maître ne dirait plus
rien, le problème étant devenu celui des élèves. Ce serait la phase adidactique, quasi-
isolée du maître. 3/ Le maître interviendrait à nouveau pour institutionnaliser le
savoir 17».
Plus récemment, des travaux (ceux du COREM18 par exemple) ont mis en évidence
le fait que le professeur ne pouvait se taire, y compris dans les situations adidactiques,
15 BROUSSEAU, 1975, cité par PERRIN-GLORIAN, 1994. 16 La dévolution est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage ou d’un problème à résoudre. Cette dévolution se traduit chez l’élève par la maîtrise de compétences méthodologiques, l’acceptation des rôles sociaux ; elle lui permet de se prendre en charge. 17 Claire MARGOLINAS, INRP UMR ADEF Marseille, Essai de généalogie en didactique des mathématiques http://hal.inria.fr/docs/00/44/37/09/PDF/Margolinas_RSSE_2005.pdf 18 Le COREM est le Centre d’Observation et de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques fondé par Guy Brousseau en 1972.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 9
et qu’il devait accompagner l’élève dans ses efforts. Ils estiment que « l’élève n’est pas
seul à être contraint par le problème posé, et que le professeur l’est aussi. »19
2.2. La psychologie cognitive du raisonnement
Les recherches récentes en psychologie cognitive mettent en question la théorie de
PIAGET. Le nouveau-né apparaît maintenant équipé d’excellentes capacités
numériques qui lui permettent de distinguer deux objets de trois objets, voire quatre,
ou de faire la différence entre deux et trois sons20. Le bébé est capable de raisonner sur
un mode probabiliste et ne se limite pas à un fonctionnement sensori-moteur. En outre,
les études convergent pour montrer que l’intelligence se construit non par paliers mais
de manière saccadée et non linéaire, avec de brusques avancées, des erreurs, et des
retours en arrière21. En effet, notre cerveau, quand il raisonne, pense trop vite, cédant à
des intuitions présentes dès la petite enfance, réalise qu’il se trompe, s’arrête, corrige
ses erreurs et reconfigure de façon quasi-darwinienne ses circuits neuronaux en
inhibant l’ancien ou l’habituel. .
Daniel KAHNEMAN 22 a mis en relief l’existence de nos deux systèmes de
raisonnement : le système 1, généralement vainqueur, est rapide, automatique et
intuitif, sujet aux stéréotypes et aux influences de cadrages, générateur de biais
cognitifs ou sémantiques23. L’autre, le système 2, est lent mais logique et réfléchi.
Olivier HOUDÉ établit qu’un troisième système (le système 3 donc) assure
l’inhibition des automatismes fulgurants du système 1 quand l’application de la
19 Ibid., page 9 20 Stanislas DEHAENE, La bosse des maths 15 ans après, éditions Odile Jacob page 69. 21 Olivier HOUDÉ, Le raisonnement, éditions PUF, »Que sais-je ? » page 41. 22 Ibid. 23 Voici une illustration courante d’un biais sémantique où les enfants ont tendance à accepter une solution non valide mais crédible. Si on dit « 1) Les éléphants sont des mangeurs de foin. 2) Les mangeurs de foin ne sont pas lourds. Est-ce que cela veut dire que 3) Les éléphants sont lourds ? » Les enfants répondent que oui mais rien dans les premières propositions ne leur permet de le déduire logiquement. La difficulté est ici d’apprendre à inhiber le contenu sémantique de la troisième proposition (la forte croyance des enfants quant au poids des éléphants, bien ancrée) pour se focaliser sur l’articulation logique des deux premières propositions. Exemple tiré de Olivier HOUDÉ, Le raisonnement, page 50.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 10
logique du système 2 est nécessaire. Inutile de répéter plus que de raison les règles
logiques de l’addition-qui-réunit ou de la soustraction-qui-enlève, c’est ce système 3,
géré par le cortex préfrontal, qu’il faut exercer. Ce cortex particulier filtre les réponses
impulsives et permet la flexibilité cognitive, adapte et réajuste réponses et
comportements. Il est également en charge de la mémoire de travail et des fonctions
exécutives comme l’initiative qui conduit à planifier une tâche. C’est dire son
importance en matière de raisonnement.
Mais il est en construction jusqu’à l’adolescence, et tous les élèves de CM1 n’en
sont pas au même stade d’avancement. Ainsi certains peinent-ils à se représenter le
problème, à trier les données utiles. Ils usent de fixité fonctionnelle, tentant de
retrouver une solution déjà utilisée, mais peu appropriée à cette situation-là...
Pour les aider, il faut leur apprendre à utiliser le système 3. La psychologie
expérimentale est claire là-dessus : ni la confrontation répétée à des situations
demandant l’inhibition du système 1, ni l’explication stricte de principes logiques
(apprentissage « froid » pour les anglo-saxons) ne sont satisfaisants. Seules des alertes
exécutives verbales sur le risque d’erreur et la nature du piège perceptif à éviter
(apprentissage « chaud ») permettent l’inhibition des stratégies d’appariement.
Il résulte de ces remarques que la résolution de problème doit être enseignée
explicitement. Au vu de la complexité de cette compétence, comment dès lors peut se
dérouler cet enseignement pour être efficace et permettre à tous les élèves d’accéder au
raisonnement ?
2.3. La pédagogie explicite
Issue de l’idée de déterminer les éléments qui font l’efficacité d’un enseignement,
la pédagogie explicite est née dans les années 70, aux États-Unis. Sans doute faut-il y
voir les effets d’un pragmatisme très anglo-saxon.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 11
Au fil des années, des études montrent que des approches pédagogiques différentes
dans leurs stratégies, mais dont certains éléments sont communs, favorisent la réussite
scolaire des élèves. Des méga-analyses24 d’envergure recensent ainsi les facteurs ayant
une influence sur les progrès des élèves. Une des dernières publiées et des plus
impressionnantes 25 , indique que le premier facteur de progrès d’un élève est
l’enseignant, suivi de près par le « curriculum » (que je traduirais par programme) et
juste après par les méthodes d’enseignement. Le milieu familial n’arrive qu’en
cinquième position et Siegfried ENGELMANN, une des figures de la pédagogie
explicite, a l’habitude de dire : « Si les élèves n’apprennent pas, c’est que je n’enseigne
pas ».
En enseignant des stratégies, la pédagogie explicite refuse la dichotomie entre sens
et technique, et enseigne les deux de concert, l’un s’aidant de l’autre pour se
construire, et vice-versa. La pédagogie explicite associe systématiquement le travail
d’une habileté particulière, jusqu’à sa maîtrise experte, et sa contextualisation (savoir
dans quelles occasions précises j’aurai à m’en servir).
Cette synergie nécessaire entre sens et technique est corroborée par les travaux
récents de chercheurs comme Denis BUTLEN26 qui établissent que l’accès au sens
24 Une méga-analyse est une synthèse de synthèse de recherches. Elle compile généralement plus d’une centaines de méta-analyses (chacune d’entre elles analyse des centaines d’écrits de recherche). Ainsi la dernière méga-analyse de John HATTIE présente une synthèse de 900 méta-analyses ayant étudié l’impact de différents facteurs sur le rendement des élèves. Elle a nécessité 15 années de travail, représente la synthèse de plus de 60 000 recherches portant sur 240 millions d’élèves. 25 John HATTIE, Visible Learning for Teachers, Maximizing Impact on Learning 2012 cité par Clermont GAUTHIER, Steeve BISSONNETTE et Mario RICHARD dans Enseignement explicite et réussite des élèves, p. 17 26Denis BUTLEN et Monique PÉZARD ont étudié les difficultés rencontrées en mathématiques par les élèves issus de milieux défavorisés. Leurs recherches montrent que le concept de nombre se construit en relation étroite avec les algorithmes opératoires de calcul. Plus les faits numériques sont mémorisés, mieux les élèves peuvent mobiliser des procédures plus adaptées, plus économiques et (paradoxalement) échapper aux automatismes. Pour cela, il est nécessaire de s’assurer de la mémorisation et d’institutionnaliser à la fois la procédure et son domaine d’efficacité. En matière de raisonnement, les élèves entraînés au calcul mental voient leur processus de reconnaissance de l’opération accéléré. http:///D:/Mes%20documents/Dropbox/ECOLE/Dossier%20Cafip/MEMOIRE/79_Butlen_Pezard.pdf
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 12
peut aussi se faire par l’acquisition de techniques. C’est ce qu’il nomme « le paradoxe
de l’automatisme ».
La démarche explicite (cf. annexe 5), qui explique le but à atteindre et le contexte
dans lequel cet apprentissage à venir pourra être utilisé avec profit, qui le relie à des
savoirs déjà mémorisés, montre par l’exemple, explique et rectifie patiemment la
stratégie jusqu’à sa maîtrise et la rappelle ensuite fréquemment, à intervalles réguliers,
ressemble de façon troublante aux apprentissages propres aux sociétés ancestrales.
Les élèves issus de nos sociétés océaniennes en particulier, souvent perdus dans les
apprentissages moins guidés, sont rassurés dans ce cheminement encadré, et par un
enseignant qui leur montre comment « penser » une stratégie nouvelle, sans « piège ».
3. LA DÉMARCHE POINT PAR POINT
Comprendre un problème relève de stratégies de lecture, de catégorisation et
d’abstraction mathématique. L’enseignement explicite doit viser à la transmission de
telles stratégies et à la mise en mémoire de ces savoirs et habiletés par l’élève. Il se
situe dans une démarche d’enseignement-apprentissage.
Le modelage (de l’anglais « modeling », ou transmission d’un modèle) a pour but
de développer la métacognition de l’élève. En mettant un « haut parleur » sur sa
pensée, l’enseignant rend explicite son raisonnement jusque-là implicite, que l’élève
s’appropriera ensuite. Il explique oralement aux élèves les questions qu’il se pose face
à une tâche et les stratégies retenues pour la réaliser : Quoi faire ? Où ? Quand ?
Pourquoi le faire ? Comment ?
La pratique guidée qui vient ensuite vise à la mise en mémoire de la stratégie et des
connaissances qui lui sont nécessaires. Par de courts exercices, des questions/réponses
puis des exercices écrits, l’enseignant vérifie, corrige abondamment (ces « feedbacks »
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 13
sont essentiels), s’assure de la compréhension des élèves. Sa part dans l’exécution de
la tâche décroît peu à peu tandis que celle des élèves augmente. Ensuite la pratique
autonome permet à chaque élève de montrer ce qu’il a appris. L’étayage de
l’enseignant, l’aide visuelle, orale, ou gestuelle sont prolongés pour certains élèves
jusqu’à ce qu’ils accèdent à cette pratique autonome. Des réactivations ultérieures
fréquentes, sous forme de plans de travail ou de révisions, permettent d’ancrer
durablement les apprentissages en mémoire à long terme.
3.1. Lire et comprendre le problème
L’habileté du lecteur à se rappeler la syntaxe d’une phrase et à en saisir l’idée
repose sur sa mémoire de travail, plus encore en matière de lecture de problème, où le
texte doit être compris avec précision.
Si elle diffère suivant les individus, il n’est malheureusement pas possible
« d’agrandir » cette mémoire de travail27. Mais les connaissances et savoir-faire qui ont
transité par elle et sont effectivement stockés en mémoire à long terme, généralement
au moyen d’un entraînement efficace, peuvent être rappelés instantanément et lui
évitent de s’encombrer inutilement. Ainsi, le décodage rapide des mots peut être
utilement exercé.
3.1.1. Déchiffrer rapidement : travailler la fluence
Des chercheurs comme le professeur ZORMAN et son équipe28 au sein du groupe
Cogni-sciences de l’Université Pierre Mendès-France de Grenoble ont constaté que le
27 In L’apprentissage de l’abstraction, Britt-Mari BARTH collection RETZ, 1987, Edition revue et augmentée en 2001. 28 In Entraînement de la fluence de lecture pour les élèves de 6e en difficulté de lecture, Michel ZORMAN, Christine. LEQUETTE, Guillemette POUGET, Marie-Françoise DEVAU, Hélène SAVIN, http://www.cognisciences.com/IMG/Fluence_ANAE.pdf
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 14
succès de compréhension de la lecture est largement déterminé par la capacité de lire
des mots simples ou à décoder. Ils définissent usuellement une lecture fluente comme :
« Précise, assez rapide, réalisée sans effort et avec une prosodie adaptée qui
permet de centrer son attention sur la compréhension. » Elle réconcilie les élèves avec
l’acte de lire et « facilite la compréhension en libérant des ressources d’attention pour
la compréhension du texte ».
Dans ma classe, je décide de mettre en place des ateliers d’entrainement à la
fluence, durant les temps d’échange du rallye-lecture, 5 fois par semaine, avec des
ateliers de 4 élèves. Le nombre de mots correctement lus par minute est évalué sur
trois essais. Chaque élève peut s’entraîner chez lui, et suivre sa progression en
rapidité de déchiffrage.
3.1.2. Comprendre un énoncé de problème : acquérir une culture
Comprendre ce qu’on lit, c’est en construire un modèle mental 29 . La
compréhension d’un problème fait bien sûr appel aux capacités de déchiffrage de
chacun, mais le vocabulaire employé, les attentes explicites ou non, la précision et
l’importance de certains mots rendent la tâche sensiblement différente.
Chaque mot compte et la lecture rapide à la recherche d’indices, possible ailleurs,
est moins pertinente ici. Le sens de certains mots propres aux problèmes arithmétiques
de l’école primaire peut être source de confusions (« Les colliers coûtent 500 francs
pièce », « Elle a acheté 4 douzaines d’œufs » « Karl achète 7 calots à 1 euro
l’un »…).
Un apprentissage explicite de ces tournures, la fréquentation régulière de
problèmes multiples, qui parlent de situations variées, le débat qui s’organise
29 In JOHNSON-LAIRD, 1983, 1993 cité par Michel FAYOL Stratégies de lecture et résolution de problèmes arithmétiques
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 15
collectivement ou en ateliers autour de l’interprétation de ces textes, permettent une
acculturation, et l’installation d’une forme de fluence en matière de résolution. Celle-ci
résulte particulièrement de la traduction plus rapide de termes spécifiques en concepts
mathématiques.
La pratique autonome de dix problèmes par semaine (exemple en annexe 10)
permet de travailler une forme de fluence en matière de problème, d’acculturer en
quelque sorte les élèves à cette écriture et ce vocabulaire particulier. Les sous-
entendus tacites sont ainsi mieux compris, les automatismes revus et réévalués. De la
même façon que dans les « Reading Workshops30 », ce mode de travail me permet de
circuler et de repérer les élèves en difficulté, d’offrir à chacun un « feedback »
rapide, de créer des groupes de besoin.
3.1.3. Se représenter une situation : raconter...
BOSSUET disait « L’imagination aide beaucoup l’intelligence ». Mes élèves,
parfois tributaires d’une technique de lecture hésitante, ont besoin de pouvoir se
représenter la situation décrite par l’énoncé. La démarche du « conte guidé »31 me
paraît appropriée à la représentation d’un problème, et ce avant la traduction de celui-
ci en schéma.
Le conte guidé l’est par l’enseignant32, qui questionne un élève (ou plusieurs) sur
sa représentation de l’ « histoire ». Par ses questions, le guide aide à dépeindre la scène
du problème, en y rajoutant des détails si besoin, pour que l’énoncé fasse réellement
30 Les « Reading Workshops », ou ateliers de lecture, nous viennent d’outre-Atlantique et la méthode a été popularisée par Gail BOUSHEY et Joan MOSER, dans leur livre : The CAFE Book, Stenhouse Publishers, Portland. Après une mini-leçon qui apporte une procédure en matière de compréhension, de déchiffrage ou de fluence, elles préconisent une lecture quotidienne individuelle, librement choisie dans une riche bibliothèque de classe, avec une libre installation des élèves. L’enseignant s’entretient avec chaque élève, tour à tour, fait le point sur ses avancées et ses goûts, lui montre des stratégies pour progresser dans sa lecture. 31 Alain CROUAIL explique cette technique dans « Rééduquer dyscalculie et dyspraxie Méthode pratique pour l’enseignement des mathématiques » éditions Masson pages 145 à 172. 32 ...ou par un élève, plus tard dans l’année.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 16
sens. L’énoncé, ainsi interprété, confronte et enrichit les représentations de chacun, et
aide à construire cette culture littéraire propre aux problèmes.
Si le conte guidé est systématique en début d’année, dès le mois de mai, je ne
l’utilise plus qu’en cas de difficulté, et dans les « worked examples ».
Se représenter le problème implique également d’avoir une idée claire de ce qui est
demandé. La question doit pouvoir être reformulée en termes compréhensibles par tous
et être rappelée souvent pour aider à la planification de la recherche.
En gardant à l’esprit ce que l’on cherche et en se représentant mieux la situation,
l’élève peut maintenant chercher dans le problème les données dont il a besoin. Puis le
traduire en termes mathématiques.
3.2. Traiter mathématiquement le problème
3.2.1. Automatiser : libérer la mémoire de travail...
« Le calcul est un raisonnement » disait mon professeur de mathématiques. Au-
delà de la maîtrise des différentes techniques opératoires, progressivement maîtrisées
et automatisées via des entraînements réguliers, j’insiste sur le calcul mental.
De fait, celui-ci « enrichit les conceptions numériques des élèves »33. Sa pratique
régulière étoffe les procédures de calcul, permet de mieux s’approprier les différentes
propriétés des opérations, et « accroît la familiarisation de l’élève avec les nombres et
les opérations »34. Surtout, comme le souligne BUTLEN, plus l’élève a automatisé de
procédures, plus il a le choix et opte pour la plus adaptée à la situation, plus il a la
possibilité de s’affranchir de cette automatisation et d’élaborer d’autres stratégies.
Dans ma classe, le calcul mental est quotidien (progression en annexe 7). Durant
la mini-leçon du lundi, j’explique la stratégie à utiliser dans un cas bien précis, et
33 D. BUTLEN, M. PEZARD IUFM de Créteil Equipe Didirem Repères IREM N°41 octobre 2000 34 Ibid.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 17
nous y travaillons toute la semaine. La pratique guidée est assez courte, et collective,
mais répétée avant chacune des quatre pratiques autonomes chronométrée, car la
rapidité est garante de l’automatisation visée. Le cinquième exercice chronométré
est une évaluation de cette automatisation.
3.2.2. Catégoriser : faire un schéma
Yves CHEVALLARD estime que la constitution d’une « petite machine de
connaissances » via une théorisation adaptée, est profitable aux apprentissages35. Et on
sait que l’ « expert » en résolution de problèmes se caractérise par sa capacité à
catégoriser les dits problèmes36 et raisonne par analogies.37
Un schéma suffisamment signifiant peut être à la fois une aide conceptuelle et un
modèle représentatif d’une catégorie de problèmes, qui permettra au cerveau de
l’apparier à d’autres, déjà vus, de construire un raisonnement plus adaptable à des
situations nouvelles et d’étendre le champ d’application d’un concept. Son élaboration
exige une compréhension fine du texte du problème, en termes de tout et de parties en
particulier, et témoigne d’un chemin déjà bien avancé dans l’abstraction.
J’ai fait le choix de catégoriser les problèmes d’une manière sensiblement
différente de celle de Gérard VERGNAUD, peut-être plus parlante pour mes élèves
(cf. annexes 1 à 4). Ce classement est sans doute imparfait en termes
mathématiques. Il ne prend par exemple pas en compte la donnée temporelle très
présente dans la théorie des champs conceptuels, mais il a le mérite de donner des
repères clairs et simples aux élèves. Il s’inspire librement de la « méthode
35 In Yves CHEVALLARD Les processus de transposition didactique et leur théorisation, page 18 http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_processus_de_transposition.pdf 36 SCHOENFELD & HERMANN, 1982, cités par Jean JULO Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/69/69n4.pdf 37 Douglas HOFSTADTER, Emmanuel SANDER L’analogie, cœur de la pensée, éditions Odile Jacob 688 p.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 18
Singapour », qui permit à ce petit état de se classer deuxième aux évaluations
PISA38 de 2012 et premier au TIMSS39 de 201140 .
Cette schématisation simplifiée symbolise sous forme de barres horizontales les
données du problème. La reconnaissance du « tout » et des « parties » y est
essentielle, et fait l’objet d’un apprentissage progressif (voir annexe 6). PIAGET a
souligné combien distinguer une partie d’un tout est une difficulté majeure pour un
enfant. Cependant, cette distinction s’apprend explicitement, par la diversité des
situations proposées, et au travers des « exemples-oui », « exemples-non » de Britt-
Mari BARTH.
Il faut noter que dans certains cas, le schéma peut perturber la compréhension
de l’élève et être « toxique ». Dès lors, c’est sur la représentation mentale du
problème, la mise en images de la situation qu’il faut s’appuyer41.
3.2.3. Trouver l’opération : choisir en fonction du modèle
Pour Stanislas DEHAENE, l’innumérisme reflète une particularité de notre
cerveau : la compartimentation du savoir mathématique en de multiples circuits
partiellement autonomes. C’est la communication entre ces différents modules qui
permet de s’améliorer en mathématiques42. L’expert en mathématiques passera des
chiffres aux mots, des mots aux quantités, et sélectionnera parmi des modèles
mémorisés celui qui convient le mieux à la situation. Le rôle de l’école est alors non
38 Le programme PISA, « Program for International Student Assessment » en anglais, ou « Programme International pour le Suivi des Acquis des élèves » en français est un ensemble d'études menées par l'OCDE pour mesurer des performances des systèmes éducatifs de différents pays. 39 Le TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) fournit des données tous les quatre ans sur le niveau en mathématiques et en sciences des élèves des grades 4 et 8 (CM1 et 4ème). 40http://www.francetvinfo.fr/societe/education/education-de-qui-la-france-peut-elle-s-inspirer-pour-reussir_472732.html 41 In Alain CROUAIL, Rééduquer dyscalculie et dyspraxie éditions Masson page 125, chapitre « Les schémas : toxicité de l’afférence visuelle » 42 In Stanislas DEHAENE, La bosse des maths, éditions Odile Jacob, pages 153 à 156
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 19
seulement d’enseigner la technique de l’arithmétique, mais surtout d’apprendre à tisser
des liens entre la mécanique des calculs et le sens de ceux-ci.
Pour cela, écrit DEHAENE, nous devons aider nos élèves à se construire une
« riche bibliothèque de modèles mentaux de l’arithmétique », par des manipulations de
matériel type Montessori dans les petites classes, par des schémas pour les plus grands.
Un problème résolu déjà présent en mémoire à long terme est pris comme un tout
unique dans la mémoire de travail. Résumée sous la forme d’un schéma et mémorisée,
la résolution d’un problème peut permettre d’en résoudre un nouveau par analogie,
mécanisme très économe et efficace en termes de mémoire de travail. Plus ces schémas
sont mémorisés et étayés d’exemples évoquant des contextes différents, plus
l’expertise de l’élève s’accroît...
Toutefois, il semble qu’il faille considérer ces outils comme des instruments
provisoires, qui pourront être utilisés un moment et abandonnés plus tard. De fait, chez
les élèves en réussite, ils ne servent que transitoirement, quitte à être repris à l’occasion
d’un problème plus « résistant ».
Une fois le schéma élaboré, une seule opération est possible :
la recherche d’un tout implique une addition ou une soustraction,
celle d’une partie, une soustraction ou une division. La notion
d’égalité des parties signe la présence d’une multiplication ou
d’une division, tandis que leur inégalité sera plutôt le signe d’une
addition ou d’une soustraction.
L’association schéma-opération semble être un élément déclencheur de réussite
et s’acquiert assez vite pour la majorité des élèves, mais ne doit pas être purement
mécanique. La verbalisation du raisonnement est primordiale : « Je cherche un tout,
j’additionne les différentes quantités de billes.../ Si un boulon pèse 20 grammes, 7
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 20
boulons pèsent 7 fois plus... /Je cherche une partie, je calcule la différence entre
l’âge de Michel et celui d’Anaïs... ».
Mettre en mots son raisonnement aide à clarifier sa pensée, à se détacher des
automatismes et à gagner en fluence en matière de raisonnement.
3.3. Une progression dans les difficultés
La pédagogie explicite est structurée et progressive. Pour ne pas occasionner de
surcharge cognitive chez l’élève, l’enseignement explicite procède de manière
progressive en morcelant les étapes, partant du simple pour aller vers le complexe
(c’est la « stratégie des petits pas »). L’enseignant doit donc décomposer un savoir
complexe en plusieurs séances.
Dans cette optique, j’ai bâti une progression en matière de problèmes numériques
propre au CM1 (cf. annexe 6). La complexité s’accroît au fil de l’année, non seulement
avec les procédures étudiées, mais également avec les nombres en jeu, de plus en plus
grands, avec le prélèvement des données sur des supports différents (diagrammes,
tarifs...) et sur le contexte des problèmes, de plus en plus diversifié, ce qui en augmente
également la difficulté.
4. DÉROULEMENT DE L’EXPÉRIMENTATION
4.1 En début d’année
Dès le début, se pose le problème de l’aide à apporter aux élèves en difficulté.
La pédagogie explicite est par essence aidante. Les aides sont majoritairement
préventives. Elles visent l’automatisation d’algorithmes de calcul, le repérage de mots
clés ou le travail systématique sur les « pièges » posés par les problèmes « réticents »
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 21
ou « proliférants »43. Par son enseignement de procédures, les outils visuels retirés peu
à peu, les « feed back » fréquents, elle étaye également avec force les stratégies et les
savoirs des élèves. Cependant, l’apparente réussite globale d’un groupe classe ne
saurait faire oublier les difficultés rencontrées par les élèves pour lesquels ces
dispositifs ne suffiraient pas.
Le repère visuel de la stratégie résumée point par point sur un affichage, à côté du
TBI, peut être utile, de même qu’un rappel plastifié des schémas et des opérations qui
leur correspondent (cf. annexe 9), scotché sur le bureau. Ces aides visuelles, parfois
soutenues par un tutorat contractualisé, sont maintenues jusqu’à ce que l’élève les
estime inutiles. Pour quelques élèves, ce n’est pas suffisant.
Rapidement, la classe se scinde en trois groupes : sur 23 élèves, un tiers lit,
comprend, résout sans grande difficulté la plupart des problèmes. Ce sont
généralement les meilleurs lecteurs. Ils mémorisent rapidement les différentes
situations, s’y réfèrent, retrouvent facilement les problèmes isomorphes.
Quatre à cinq élèves sont encore hésitants. Avec une aide ponctuelle, souvent un
schéma, parfois une simple lecture du problème à haute voix de ma part, ils trouvent la
solution. La dizaine d’élèves restants ont plus de difficulté et renoncent souvent à
chercher sans aide. Leurs blocages sont multiples, majoritairement liés à la
compréhension du problème.
43 Je reprends ici la distinction faite par Catherine TAUVERON sur différentes types de textes « résistants », et qui peut également, d’une certaine façon, s’appliquer aux textes de problèmes. Les textes de problèmes « réticents » seraient ceux qui usent de l’implicite ou de formulations plus complexes, en particulier dans la chronologie ou dans la formulation précise de ce qui est recherché (« Un commerçant reçoit une livraison de 14 cartons d’œufs. Chaque carton contient des boîtes de 12 œufs. Le livreur indique qu’il y a 2 016 œufs en tout. Combien y a-t-il de boîtes d’œufs dans chaque carton ? » ). Les textes « proliférants » contraignent à un tri préalable dans les informations multiples qu’ils apportent.
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Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 23
problèmes, même ceux dont la forme me paraissait pourtant familière, et n’avoir donc
rien fait, ou juste une ligne d’une opération au hasard.
Le fait est que ces élèves ont « fait » peu de problèmes en autonomie jusque-là, tant
ils ont été aidés par moi ou « tutorés » par leurs pairs. Ils ont conscience de leurs
difficultés, et craignent l’échec, la mauvaise réponse, préférant ne rien écrire. JULO le
signale: « faire » un problème est un pas primordial dans l’apprentissage. Comment
leur donner suffisamment confiance en eux pour les y amener, et avec succès si
possible, pour ne pas se décourager aussitôt après leur tentative ?
Par ailleurs, neuf élèves de la classe se représentent et résolvent les problèmes
rapidement, et cinq autres y parviennent tant bien que mal. Les difficultés qu’ils
rencontrent sont majoritairement des erreurs de calcul, des étourderies au niveau des
rédactions de phrases réponses, une addition écrite impulsivement en lisant « de plus »
par exemple, ou une inversion de l’ordre des nombres au niveau de la soustraction.
J’estime que ces dernières erreurs devraient être résolues avec une aide ponctuelle
et explicite (retour sur le sens de la soustraction, apprentissage systématique, comme le
préconise Olivier HOUDÉ, de stratégies d’interprétation permettant de réduire les
réponses « impulsives »...) et avec une obligation de poser effectivement les opérations
lors des entraînements suivants.
La technique opératoire de la multiplication est bien avancée, et mes élèves
divisent tous sans difficulté dans la limite des tables. Je décide de poursuivre malgré
cet échec et mets en place en cette dernière semaine de mai les mini-leçons (recherche
d’un tout, puis recherche d’une partie) sur les problèmes multiplicatifs. Les élèves en
difficulté passent presque tous ce cap sans sourciller, reconnaissent et résolvent avec
fierté les problèmes multiplicatifs impliquant une multiplication, mais les problèmes
additifs complexes restent un obstacle : généralement, ils sont laissés de côté. Plus
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 24
rarement, ils sont résolus par un résultat faux issu d’une opération du type 5 000 – 250
– 1 200 – 875, ce qui témoigne bien d’une compréhension effective du problème mais
laisse apparaître une difficulté d’ordre technique.
J’opte alors pour une aide individualisée qui permette de faire prendre conscience à
chacun de ses progrès et de ses failles, et de la façon de « penser » le problème. En
concertation avec l’élève, j’y consigne par écrit un constat des réussites et difficultés
majeures, ainsi qu’une aide méthodologique individualisée sous forme de consignes
afin de guider l’élève dans ses résolutions ultérieures (cf. annexe 13).
La base de cette aide consiste maintenant en « exemples travaillés »45 : je pense à
haute voix, décris point par point ma propre démarche de résolution de ce problème et
le résous devant l’élève. Je suis scrupuleusement la stratégie mise en place, je déjoue à
haute voix les pièges en déroulant le fil de ma pensée, je fais des analogies avec des
problèmes déjà résolus, et les schémas qui y sont associés.
Je ne montre pas seulement comment « faire » le problème, mais comment le
penser. Quand l’élève se sent prêt(e) à poursuivre seul(e), il (elle) prend le relais et
finit ce problème, ou le suivant.
4.3. Fin de l’expérimentation
Lundi 4 août, les deux classes de CM1 ont eu une heure pour faire le second test.
Je note de beaux progrès chez des élèves moyens voire faibles en début d’année, mais
relève des erreurs d’étourderie (oubli d’une donnée, lecture trop rapide d’un énoncé...)
ou de calcul.
Une élève me tend une feuille quasi blanche, avant que le temps ne soit écoulé,
refusant de poursuivre, et me disant, désespérée « qu’elle ne sait pas ». Elle fait partie
45 Les « worked examples effects » ont été étudiés par SWELLER et COOPER (1985 et 1987) à propos de l’apprentissage de manipulations algébriques et leur transfert à des exercices différents, puis par CARROLL (1994) qui établit leurs bons résultats auprès d’étudiants faibles ou en difficultés mathématiques.
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Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 26
Le premier test, fait dans ma classe, sans aucune aide, la première semaine de la
rentrée, donne une idée des difficultés rencontrées par les élèves en matière de
problèmes.
Les non-réponses sont celles où l’élève n’avait rien écrit. Les problèmes de lecture
désignent les questions mal lues (calculer le nombre de tours restants au lieu de la
distance qui reste à parcourir) ou les données oubliées (non prise en compte des 48
pièces de Barbe Noire). Les erreurs de calcul sont la catégorie où je range les
opérations judicieusement choisies, mais mal calculées (15 - 6 = 18 par exemple). Quant
à l’ « âge du capitaine », il s’agit de tous ces problèmes où l’élève tente une solution
un peu de manière expérimentale, estimant qu’en mixant les nombres de manière
aléatoire, il pourrait trouver un résultat vraisemblable qui me satisfasse (48 chambres +
5 lits + 290 enfants = 343 lits, donc oui, il y aura assez de lits pour 290 enfants). Les
autres erreurs sont diverses, et concernent principalement les erreurs de raisonnement
(additionner quand il faudrait soustraire par exemple).
La moitié des problèmes concernent les situations additives ou multiplicatives
simples, propres au CE2, l’autre moitié relève de problèmes plus complexes, parfois
vus en CE2 mais habituellement proposés en CM1 (cf. annexe 11).
La différence entre les deux CM1 est assez sensible. Bien sûr, les élèves sont
différents et malgré la volonté de créer des classes équivalentes en termes de
« niveau » lors de la répartition des élèves, sur une vingtaine d’entre eux, un ou deux
plus intéressés par les mathématiques, ou, à l’inverse, plus en difficulté, ont pu générer
cette différence entre nos deux classes. Peu importe, il s’agit là d’un point de départ,
certes imparfait, mais qui donne une idée d’où nous « partons ».
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Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 28
CONCLUSION
Cette expérimentation n’a porté que sur 46 élèves et n’a duré que 5 mois. Il serait
certainement intéressant d’expérimenter une telle démarche sur un cycle entier, et sur
un temps scolaire plus long, mais pour l’heure, en tirer des conclusions définitives est
d’évidence délicat.
La multiplicité des compétences à l’œuvre en matière de résolution de problème ne
peut sans doute se contenter d’une réponse simpliste aux différentes difficultés des
élèves. L’automatisation du calcul mental ne suffit pas, le conte guidé, la résolution
régulière de problèmes, l’interprétation et la catégorisation via les schémas non plus.
Pourtant tous ces éléments peuvent être une aide précieuse, et aucun ne peut être
négligé.
Plus encore, il semble que la pédagogie explicite, par sa progressivité, la guidance
rassurante qu’elle offre, la mise en mémoire de stratégies, peut aider nos élèves dans
leur apprentissage du raisonnement mathématique, et améliorer notre enseignement en
matière d’équité et d’efficacité.
Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 29
Bibliographie
- BARTH Britt-Mari, L’apprentissage de l’abstraction, collection RETZ, 1987,
Edition revue et augmentée en 2001.
- BRÉGEON Jean-Luc, HUGUET François, PÉAULT Hervé, DOSSAT Luce,
MYX André, VERGNAUD Gérard (dir.), Le moniteur de mathématiques, Résolution
de problèmes Fichier pédagogique, éditions Nathan, 2001.
- CROUAIL Alain, Rééduquer dyscalculie et dyspraxie, Méthode pratique pour
l’enseignement des mathématiques, Issy-les-Moulineaux, éditions Masson, 2008.
- DEHAENE Stanislas, La bosse des maths, 15 ans après, Paris, 2010, éditions
Odile Jacob.
- GAUTHIER Clermont, BISSONNETTE Steve, RICHARD Mario, Enseignement
explicite et réussite des élèves La gestion des apprentissages, Bruxelles, éditions De
Boeck, 2012.
- HERVÉ Pascal, ouvrage publié sous la direction de Rolland CHARNAY, La
résolution de problèmes numériques à l’école, Paris, éditions HATIER Pédagogie,
2005.
- HOUDÉ Olivier, Le raisonnement, Paris, 2014, Presses Universitaires de France,
Collection Que sais-je ?
Sitographie
- BUTLEN Denis et PEZARD Monique, Une contribution à l’étude des rapports
entre habiletés calculatoires et résolution de problèmes numériques à l’école
élémentaire et au début du collège.
http://spirale-edu-revue.fr/IMG/pdf/Bulten_et_Pezard_Spirale_31_2003_.pdf