Post on 20-Oct-2018
1
Postdoc au PPMD :Laboratoire de Physicochimie des Polymères et des Matériaux Disperses – ESPCIFinancement : Projet Européen Napoleon
Modélisation et simulation numérique d’écoulements comportant des singularités
intervenant aux jonctions ou interfaces entre différentes phases ou matériaux
2
De nombreux écoulements sont affectés par des singularités de vitesse (ou de champs dérivés), Cavité entraînée, Ligne de contact mobile, Écoulements thermocapillaires (pont liquide) …
Singularité discontinuité d’un champ ou d’une de ses dérivées (à l’ordre n)
Singularités de contact solide/fluide
Ligne de contact mobiled’
gravité
Écoulementvisqueux
d
Pont liquide
Écoulementvisqueux
Gradientthermique
Fluxthermique
Écoulement visqueux
Cavité entraînée (coin)
Singularité de vitesse Singularité de vitesse Singularité de Vorticité
3
Singularités et spectral
Activité de recherche effectuée au LIMSI durant ma thèse
Groupe Dynamique des Transfert et Instabilités (aujourd’hui Convection et Rotation).
Directeur de thèse : Claudine Dang-Vu Delcarte Professeur Paris XI Orsay
4
Outils numériques
• Discrétisation spatiale par collocation spectrale Chebyshev
• Discrétisation temporelle Adams-Bashforth/Euler retardé ordre 2
• Formulation en variables primitives : vitesse/pression
• Découplage vitesse pression par la méthode de projection/diffusion :
• Gestion de conditions de Robbins avec coefficients constants :
• Gestion de conditions de Robbins avec coefficients variables par un
algorithme itératif (ECCOMAS 2001) :
• Gestion de conditions mixtes en dérivées par un algorithme direct
( J. Comput. Phys. 2004) :
)(. τγβα =∂∂+n
uu
)()().( τγτβτα =∂∂+n
uu
)(.2
2
τγβτ
α =∂∂+
∂∂
n
uu
0→⋅∇N
Vr
5
Prise en compte de conditions aux limites
fauu =−∆
)(τγη
βα =∂∂+ u
u
équation de Helmholtz
conditions aux limites mixtes non uniformes
équation séparable + conditions aux limitesne dépendant que de
× × × × × × × × × ×
η∂∂u
)()()( τγη
τβτα =∂∂+ u
u × × × × × × × × × ×
ητβ
∂∂u
)(
×
×
×
×
u)(τα
conditions aux limites mixtes
conditions aux limitesdépendant de et :couplage des directions
algorithme itératif Congrès ECOMMAS CFD 2000application à la cavité entraînée : glissement variable
)(2
2
τγη
βτ
α =∂∂+
∂∂ uu conditions aux limites
mixtes en dérivées(uniformes) × × × × × × × × × ×
η∂∂u
×
×
×
×
2
2
τα
∂∂ u
×
×
algorithme direct J. Comput. Physics 2004
Viscosité d’interface + glissement Congrès ISTP14 2003
6
Écoulements thermocapillaires
7
0)( <∂= uVRot z
r
0)( ≥∂= vVRot x
r
Singularité de vorticité du modèle thermocapillaire
Gradient thermique ⇒ Tension superficielle ⇒ Cisaillement : θθσ xxzu −∂∝∂∝∂ )(
0≠∂ uz
0=∂ uz
0=u
⇒
⇐ θxz Mau ∂−=∂ .et
-
+
zone devorticité positive
zone devorticité négative
0<∂ θx
Cisaillement non-nul dans le coin
• le long de la surface libre, les C.L. imposent :
• le long des parois verticales,les C.L. n’autorisent que :
8
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Coin froidCisaillment Maximum
0.00E+00
Vorticité
Modèle singulier de canalMa = 1500, Pr = 1.Canal thermocapillaire
,x
Maz
u
∂∂−=
∂∂ θ
,0=v .0=∂∂z
θ
==
0
0
v
u
2
1=θ
==
0
0
v
u
2
1−=θ
,0=u ,0=v .0=∂∂z
θ
Température
9
Caractéristiques de la singularité
Profil de vitesse
Sur lasurface libre
• forts gradients de vitesse
• sauts de vorticité dans les coins
• la divergence ne décroît pas
10
100
1000
10 100 1000
Infin
ite n
orm
of D
iv V
Number of Chebyshev modes
Max |Div V|
Profil de vorticité
X-1 -0.5 1
-dU
/dz
-1 -0.5 0 1
-15000
-10000
-5000
0
5000
0.5
Oscillations parasites
10
• forts gradients de vitesse
• sauts de vorticité dans les coins
• la divergence ne décroît pas
Modèle de canal non filtré
11
Régularisation polynômiale
VMaxr
⋅∇Ω
1e-006
1e-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10 100 1000
Nor
me
infin
ie d
e D
iv V
Nombre de modes Chebyshev N
Pr Ma Nreg
0,01 500 2
aN-3.98
0,01 500 4
1 1500 4
aN-3.99
100 500 4
aN-3.97
aN-3.99
La divergencedecroît en N-4
Ma = 1500, Pr = 1, Nreg= 4, Nx = Nz = 150.
,)1( 22Nregxx
Maz
u −∂Θ∂−=
∂∂
,0=w .0=∂Θ∂z
==
0
0
w
u
2
1=Θ
==
0
0
w
u
2
1−=Θ
,0=u ,0=w .0=∂Θ∂z
Température
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Fonction de courant
12
Conditions aux limites
Interfacial viscosity + slip conditionspublished in ISTP14 2003 Symposium proceedings
)(1wuuls
z
u −=∂∂ −
wulsÉquilibre entre le cisaillement et le défaut de vitesse du au glissement
Conditions de glissement (Navier)
Régularisation de la ligne de contact mobile.
Glissement :Dussan: J. Fluid Mech., 774, pp. 665-684, (1976).
Modèle d’interface et glissement :Shikhmurzaev: Int. J. Multiphase flow, 19 , p. 589, (1993).
Dérivées tangentielle et normale associées
)(2
2
xz
u
x
u γβα =∂∂+
∂∂
Taux de contractionde l’interface
algorithme spectral directJ. Comput. Physics 2004
Simulation numérique avec les C.L. étendues :Régnier, Parmentier, Lebon, and Platten: Int. J. Heat Mass Transfer, 1438, pp. 2539-2548 (1995);
Viscosité interfaciale :Scriven: Chemical Engineering Science, 12, pp. 98-108, (1970);
Boussinesq: Annales de chimie et de physique, 29, pp. 349-362, (1913).
2
2
x
uVi
xMa
z
u
∂∂+
∂∂−=
∂∂ θ
Condition de Marangoni étendue
13
Régularisation par glissement
VPr.pDt
VD rrr
∆+∇−=0=u
θxz Mau ∂−=∂ .0=∂ uz
vlsvx1−−=∂
Le glissement n’agit pas sur la bonne composante
0<∂ θx
14
Viscosité interfaciale
recirculation
0=v 00
0.=∂⇒
=∂=∇
uv
Vx
z
rr
0=∂ uxVPr.p
Dt
VD rrr
∆+∇−=
0=u
uViMau xxz2.. ∂+∂−=∂ θ
0=∂ uz
θxxx Vi
MaupPr ∂=∂=∂− 21
courbure + divergence nulle
0<∂ θx
15
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Coin froidCisaillement maximum
Viscosité d’interface
0.00E+00
Fonction de courant
Vorticité
Ma = 1500, Pr = 1, Vi = 10-1.
,2
2
x
uVi
xMa
z
u
∂∂+
∂∂−=
∂∂ θ
,0=v .0=∂∂z
θ
==
0
0
v
u
2
1=θ
==
0
0
v
u
2
1−=θ
,0=u ,0=v .0=∂∂z
θ
Température
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
X
Z
0.9 0.925 0.95 0.975 10.4
0.425
0.45
0.475
0.5
0.00E+00
16
Report de la singularité
Profil de vitesse
• gradients de vitesse adoucis
• vorticité améliorée
• la divergence ne décroît pas
Sur lasurface libre
10
100
1000
10 100 1000
Infin
ite n
orm
of
Div
V
Number of Chebyshev modes
Max |Div V|
Profil de vorticité
X-1 -0.5 0 0.5 1
-4000
-3000
-2000
-1000
2000
1000
0
-dU
/dz
Oscillations parasites
17
Divergence non nulle
0=v
0≠∂ ux
0.0
0≠∇⇒
=∂≠∂
Vv
u
z
xrr
avec du glissement
0≠∂ vzet 0. =∇V
rr
vlv sx1−=∂
VpDt
VD rrr
∆+∇−= Pr
0=u
uViTMau xxz2.. ∂+∂−=∂
0=∂ uz
TVi
Maup xxx ∂=∂=∂− 21Pr
uv xz −∂=∂ ⇒⇒⇒⇒
18
X
Z
0.9 0.925 0.95 0.975 10.4
0.425
0.45
0.475
0.5
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Viscosité d’interface et glissement
0.00E+00
VorticitéCoin froid
Cisaillement maximum
Ma = 1500, Pr = 1, Vi = 1, ls = 5.10-3.
,2
2
x
uVi
xMa
z
u
∂∂+
∂∂−=
∂∂ θ
,0=v .0=∂∂z
θ
vx
vls =
∂∂
0=u
2
1=θ
,uz
uls =
∂∂
,0=v .0=∂∂z
θ
Température
vx
vls −=
∂∂
2
1−=θ
0=u
Fonction de courant
X
Z
-1 -0.5 0 0.5 1-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.00E+00
19
Plus de regularité
Profil de vitesseProfil de vorticité
• gradients de vitesse adoucis
• vorticité régularisée
• la divergence decroît en ~ N-2
0.1
1
10
100
10 100 1000
Infin
ite n
orm
of
Div
V
Number of Chebyshev modes
Max |Div V|y = 10.2 x N^-1.96
Sur lasurface libre
20
Conclusions
• Singularité indépendante de l’angle imposé
• Qualification des propriétés de régularisation de différents modèles physiques
• Identification d’un modèle levant la singularité de vorticité des écoulements
thermocapillaires confinés
• Sens et ordre de grandeur des échelles locales données par le modèle
• Nécessité de confirmations expérimentales
• Autres hypothèses à discuter : écoulement compressible, fluide non-newtonien
• Publications : JCP 2004 et EJMBF 2008 (à paraître)
21
Cavité entraînée
22
Fonction de courant
Cavité entraînée régularisée
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
,)1( 22nxu −= .0=v
,0=u
.0=v
,0=u
.0=v
,0=u .0=v
Re= 2000, n = 16
Vorticité
23
Comportement de la divergence
0
0.25
0.5
0.75
1
0.95
1
2
1
40− 1
4− 1
2
uN
Position horizontale x sur le couvercle
N = 1
N = 2
N = 3
N = 4
N = 8
N = 16
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
1
0 50 100 150 200 250D
iv=
max
Ω
|∇·~ V|
Nombre de modes Chebyshev N
Nreg
1
rs
rs rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rsrs rs rs
rsrs
rsrs
rsrs
rsrs
rsrs
rs
2
+
++ +
++
++
++
++
++ + + + + + + + + +
+
3
rs
rs
rs
rsrs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rsrs rs rs rs rs rs
rs
4
++
++ + +
++
++
++
++
++
++
++ + + +
+
8
bc
bc
bc
bc
bc bc bcbc
bcbc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bcbc
bcbc
bc
bc
bc
16
utut
ut
ut
ut
ut
ut ut
ut ut utut
utut
utut
utut
utut
utut
ut
ut
Polynôme de régularisation Évolution de la divergence
24
Cavité entraînée glissante
Fonction de courant Vorticité
Re= 1500, ls = b/L = 10-2
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
,1=∂∂+z
ulsu .0=v
.0=∂∂+x
vlsv
,0=u
.0=∂∂−x
vlsv
,0=u
,0=∂∂−z
ulsu .0=v
25
0
100
200
300
400
500
600
700
0 50 100 150 200 250
Div
=m
ax
Ω
|∇·~ V|
Nombre de modes Chebyshev N
ls10−3
rs
rs
rs
rs
rs
rs
rsrs
rsrs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs
rs
10−2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
10−1
rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs
rs
La singularité est toujours présente
etn
vvls
∂∂= τ
τ /n
v
∂∂ τ
τv⇒ tendent vers zero dans les coins à la même vitesse.
n
vvls
∂∂−= τ
τ /)1( ne s’annule pas dans les coins !⇒
Parois fixes :
Couvercle :
τv
Évolution de la divergence
26
Glissement « étendu »
∞→b
0=∂∂=z
uu
b bU
UU Glissement fonction de la contrainte :
Thompson, Troian: Nature, 389 , pp. 360-362, (1997).
Craig, Neto, Williams : Phys. Rev. Lett., 87 5, pp. 054504(1-4), (2001).
∂∂=z
ufb
b dépend du cisaillement :
Simplification du modèle :
)1(' 211 Nxbb −= −−
27
Cavité entraînée glissement non uniforme
1e-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10 100 1000
Nombre de modes Chebyshev $N$
$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$
VMaxr
⋅∇Ω
28
Profils de vitesse pariétaux
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
$\fracA_L2$$\fracA_L4$$0$$-\fracA_L4$$-\fracA_L2$
$Z$
$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
$\frac12$$\frac14$$0$$-\frac14$$-\frac12$
$X$
$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$
-0.16
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
$\frac12$$\frac14$$0$$-\frac14$$-\frac12$
$X$
$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
$\fracA_L2$$\fracA_L4$$0$$-\fracA_L4$$-\fracA_L2$
$Z$
$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$
couvercle
mur droit
fond
mur gauche
29
1414
14
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5 21111111111987654321
14
1414
1
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5 11111987654321
1414
14
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5 21111111111987654321
1414
14
X
Z
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Écoulements à Re = 1500
ls = 10-4ls = 10-3
ls = 10-1ls = 10-2
30
Conclusions
• Le glissement de Navier ne suffit pas à régulariser
• Utilisation d’un glissement étendu (condition mixte non uniforme)
• La longueur de glissement joue le rôlr d’une longueur de filtrage pour les
petites échelles
• Publications : Actes d’ECCOMAS CFD 2000 et un article en cours de
rédaction
31
Ligne de contact mobile :démouillage d’un solide
Activité de recherche effectuée en Israël Technion à Haïfa département de génie chimique
Responsable : Len Pismen, Professeur émerite
32
Instabilités de ligne de contact mobile
⇒
formation de gouttes
formation de doigts
Lipson & Leiserson
Oron, Davis, Bankoff Sur, Witelski, Behringer
plan incliné plaque se retirant d’un bain
évaporation d’eau sur du mica
33
Approximation de lubrification :équation de diffusion du 4èmeordre
+ évaporation 3)(
3hhk =
mobilité du film
dhps edQhQh −− −= 2)( 2γ
potentiel de Sharma
1h0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 5 10 15 20 25
)( 1hbhs +×µ)( is hbh+×µ)(hγ
2hih
[ ] )()(. 01 µµβµη −−∇−∇−=∂ −
4434421
rr
rJ
t hkh )('20 hh γσµ +∇−=
potentiel chimique
34
h
référentiel en mouvement
Passage au référentiel mobile
[ ] )()(. 02 µµεµ −−
∂∂+∇−∇−=∂x
hchkht
rr
),,( tyctxhh −=
)('2 hh γµ +−∇= hehh −− −= χγ 2)( 2
L
l
T
T
L
l ==ε
8)4(3 24 ee ≤≤ χ
)()(
)(3 ±
∞±±±
±∞
±±±
−=∂
−=∂
hhh
hhh
xxx
x
λλ
35
Conclusions
• Pas d’instabilité observée avec notre code 2D
• Pas d’instabilité observée avec un code de stabilité linéaire 1D Fourier (mode
à mode)
• Etude analytique de la stabilité du front sous l’approximation de
quasistationarité
• Domaine d’existence de la bistabilité très limité, calcul numérique couteux
36
Digitation visqueuse dans les fluides rhéofluidifiants
Activité de recherche effectuée au Laboratoire de Physique de la Matière Condensée de l’Ecole Polytechnique
Responsables : Mathis Plapp, Hervé Henry chercheurs CNRS
Collaboration : Anke Lindner, Laboratoire PMMH à l’ESPCI, maître de conférences Paris VII
37
38
Viscous fingering in Hele-Shaw Cell
W
b
x
y
V0
L =L/W
39
Fluides non newtoniens
Solution de PEO Ignès-Mullol et al.
Suspensions d’argile Van Damme et al.
Cristaux liquides
40
Modèle d’interface discontinue
Interface discontinue : Ben Amar,Corvera-Poiré
2,12,122,112
PVb
∇=−rrµ
02,1 =⋅∇ Vrr ⇒⇒⇒⇒ 02,1 =∆P
Conditions à l’interface :
nPb
nPb
Un
rrrr⋅∇−=⋅∇−= 2
2
2
11
2
1212 µµ
+=−
2112
11
rrPP σ
41
Modèle de champ de phase pour les fluides newtoniens
Basé sur la formulation de R. Folch et al.de la loi de Darcy en Hele-Shawet sur la généralisation de C. Misbah et al.qui s’applique à Stokes
φτφφκφφφφτ ∇⋅−∇+∇+−=∂rrr
VWWt )(2223
Loi de Darcy continue (prend les 2 fluides en compte)
⇒⇒⇒⇒ SP =∇⋅∇
µ
rrφσκµ ∇−∇=−
rrrPV
b2
12
0=⋅∇ Vrr tension de surface
Modèle de champ de phase advecté
2
1
2
121
φµφµµ −++=
Interpolation of fluids properties
φφκ
∇∇∇−= r
rr.⇒⇒⇒⇒ S
P =∇⋅∇µ
rrφσκµ ∇−∇=−
rrrPV
b2
12
0=⋅∇ Vrr tension de surface
42
unn
r⋅++−∝ ˆκκv
φτφφκφφφφτ ∇⋅−∇+∇+−=∂rrr
VWWt )(2223
Ginzburg-Landau non conservée annule advection
W
vn
Champ de phase advecté
43
Formulation adimensionnée
⇒⇒⇒⇒xcBpvcrrrr φφκφ +∇−∇=+− )1(
0=⋅∇ vrr
xc
c
cB
c
p rrr
rr
r⋅
+∇−
+∇⋅∇=
+∇⋅∇
φφ
φφκ
φ 111
0212 VW
Bµ
σ=
( ) nxcBpvcrrrrr ⋅+∇−∇=+− φφκφ)1(
Equation de Poisson pour la pression
Conditions aux limites
µµ
µµµµ ∆=
+−= 2
21
21c
(1)
φc+⋅∇1
)1(r
)1(×∇r
Redonne Folch et al.ψω −
r
Donne la formulation vitesse-pression
• extension au problème 3D de Darcy ou Navier-Stokes• extension aux fluides rhéofluidifiants
• formulations potentielles en 3D difficiles à résoudre
44
Quelques résultats en newtonien
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
B=0.005 C=0.9 =0.02 x= y=0.01
45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co9.dat’ u 1:3’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co99.dat’ u 1:3
’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co999.dat’ u 1:3
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
λ
B
c =0.9, ε = 0.020c =0.9, ε = 0.016c =0.9, ε = 0.010
Influence de l’épaisseur d’interface Influence du contraste de viscosité
BB
Courbes de sélection
W
ldoigt=λ
46
Modèle de champ de phase pour les fluides rhéofluidifiants
⇒⇒⇒⇒φσκµ ∇−∇=−
rrrPV
b2
12
0=⋅∇ Vrr S
P =∇⋅∇µ
rr
Basé sur la formulation de M. Shelley et al.De la loi de Darcy’s en Hele-Shaw pour les rhéofluidifiants.
Loi de Darcy continue
2
1
2
1)( 21
φµφµµ −++∇= Pf
Fluide rhéofluidifiant général (1)
⇒⇒⇒⇒ SP
P =∇
∇⋅∇)(µ
rr
47
Forme adimensionnée
⇒⇒⇒⇒xBpvrrrr
)()( φζφκφχ +∇−∇=−
0=⋅∇ vrr
xBp rr
rr
rr
⋅∇−∇⋅∇=∇⋅∇)(
)(
)()( φχφζ
φχφκ
φχ
( ) nxBpvrrrrr ⋅+∇−∇=− )()( φζφκφχ
Equation de Poisson pour la pression
Conditions aux limites
(1)
2
1)1)(1)((1)(
φφφχ ++−∇++= cpfc
2
1)1)(1)((1)()(
φφφχφξ ++−∇+=−= cpfc
De même que M. Shelley, on utilise une viscosité rhéofluidifiante effective : 2
2
1
1)(
p
ppf
∇+
∇+=∇
α
0µµα ∞=
48
Viscosité effective sans dimension
49
Variation du contraste de viscosité
C’
50
Quelques résultats en rhéofluidifiant
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
−0.4
−0.3−0.25
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2 0.250.3
0.4
0.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=0.005 C=0.99 =0.02 x= y=0.01=0.99
51
Courbes de sélection
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
newtonianalpha=0.9alpha=0.3
alpha=0.15
52
Conclusions
• Modélisation quantitative de l’instabilitée de Saffman-Taylor dans un canal
• Mise au point d’une formulation en champ de phase pour les fluides
rhéofluidifiants
• Comparaisons avec les expériences de Anke Lindner en cours
• Extension aux fluides viscoélastiques
• Extension aux géométries circulaires
• Passage au problème de Darcy 3D
• Publications : un article en cours de rédaction sur les résultats obtenus en
rhéofluidifiant
53
Modélisation de matériaux adhésifs
Activité de recherche effectuée au Laboratoire de Physicochime des Polymères et des Matériaux Dispersés de l’ESPCI
Responsables :
PPMD-ESPCI Costantino Creton, directeur de recherche CNRS
PMC-Polytechnique Mathis Plapp, Hervé Henry, chercheurs CNRS
Collaboration : Anke Lindner, PMMH - ESPCI, maître de conférences Paris VII
54
Propriétés méchaniques des Adhésifs
Polymère 1(fluide viscoélastique1)
Polymère 2(fluide viscoélastique 2)
Microstructure
Réponse au cisaillementRéponse à l’étirement
55
Ecoulement de Stokes à deux phases viscoélastiques
2,12,12,12,1 )( Pv spt ∇−+⋅∇=∂rrr σσρ 0=⋅∇ v
rr
( )Tppp vv
rrrr ∇+∇=+∇
ησστ
vvv ppT
pptprrrrrr ∇⋅−⋅∇−∇⋅+∂=
∇σσσσσ
( )Tss vv
rrrr ∇+∇=ησ
Modèle Oldroyd B
Conditions aux limites
21 vvrr =
nIdPnIdPn spsp
rrr)()()( 21222111 κκσσσσ +−−+⋅=−+⋅
56
Conclusions
• Dans la continuité du projet Saffman-Taylor
• Utilisation du champ de phase pour les viscoélastiques du type Oldroyd-B