Micromoteur de modélisme

Schéma cinématique

Représentation 3D

Système réel

Q1. Donner le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du dispositif de transformation de mouvement.Q1. Donner le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du dispositif de transformation de mouvement.

Mouvement d’entrée

Mouvement de sortie

Paramètre d’entrée :

Paramètre de sortie :

( )x t position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0

( )t position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0

Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.

( )x f

Fermeture géométrique :

0OO OA AB BO ��������������������������������������������������������

Donc : 1 2 0 0e x L x x x

1x

or : 0 0cos sinx y ����������������������������

et 2x

0 0cos sinx y ����������������������������

En projection

0

0

sur x

sur y

��������������

��������������.cos .cos 0

.sin .sin 0

e L X

e L

On cherche une relation entre , il faut donc chercher à éliminer (paramètre « in-termédiaire ») de ces 2 relations…

et x

x1 y1

x0

y0

C

S

-S

C

x2 y2

x0

y0

C

S

-S

C

Fermeture géométrique : 0OO OA AB BO ��������������������������������������������������������

Donc :

1 2 0 0e x L x x x

1x

or :

0 0cos sinx y ����������������������������

et 2x

0 0cos sinx y ����������������������������

En projection

0

0

sur x

sur y

��������������

��������������.cos .cos 0

.sin .sin 0

e L X

e L

A partir des équations obtenues par projection, on isole les cosinus et sinus on isole les cosinus et sinus des angles qui ne nous intéressent pas des angles qui ne nous intéressent pas et on élève au carréet on élève au carré puis on utilise la relation de trigonométrie 2 2cos sin 1

Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.

( )x f

Fermeture géométrique : 0OO OA AB BO ��������������������������������������������������������

Donc :

1 2 0 0e x L x x x

1x

or :

0 0cos sinx y ����������������������������

et 2x

0 0cos sinx y ����������������������������

En projection

0

0

sur x

sur y

��������������

��������������.cos .cos 0

.sin .sin 0

e L X

e L

(1)

(2)

(1) cos cos

(2) .sin .sin

L X e

L e

2 2(1) (2) 2 2 2( cos ) .sinX e e 2 2 2 2cos .sinL L 2L

Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement. ( )x f

2 2(1) (2) 2 2 2( cos ) .sinX e e 2 2 2 2cos .sinL L 2L

2 2 2 2.sin ( cos )L e X e

2 2 2.sin ( cos )L e X e car L e

2 2 2cos .sinX e L e

X e L e2 2 2cos .sin 0car X est toujours

Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement.Q2. Déterminer, à l’aide d’une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position du dispositif de transformation de mouvement. ( )x f

Q3. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème d’Al-Kashi (Pythagore généralisé) Q3. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème d’Al-Kashi (Pythagore généralisé)

Théorème d’Al-Kashi2 2 2 2 cosL e X e X 2 2 20 2 cosX e X e L

2 2 2 24 cos 4 ( )e e L car L e0

Donc :2 2 2 22 cos 4 cos 4 ( )

2

e e e L

X

Q3. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème d’Al-Kashi (Pythagore généralisé) Q3. Retrouver ce résultat à l’aide du théorème d’Al-Kashi (Pythagore généralisé)

Théorème d’Al-Kashi2 2 2 2 cosL e X e X 2 2 20 2 cosX e X e L

2 2 2 24 cos 4 ( )e e L car L e0

Donc :2 2 2 22 cos 4 cos 4 ( )

2

e e e L

X

2 2 2 2cos cos ( )e e e L X 0car X est toujours

Même résultat qu’à la question Q2 !

or2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

cos sin

cos sin

e e e

e e e

2cose e 2 2 2sin (e e 2 )LX e L e2 2 2cos .sin

Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.

La cylindrée d’un moteur correspond au volume balayé par le volume balayé par le piston lorsqu’il passe de la position piston lorsqu’il passe de la position « point mort bas » (position « point mort bas » (position extrême basse) au « point mort extrême basse) au « point mort haut » (position extrême haute).haut » (position extrême haute).Si le moteur possède plusieurs cylindres, il faut multiplier ce volume par le nombre de cylindres.

Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.

La cylindrée d’un moteur correspond au volume balayé par le volume balayé par le piston lorsqu’il passe de la position piston lorsqu’il passe de la position « point mort bas » (position « point mort bas » (position extrême basse) au « point mort extrême basse) au « point mort haut » (position extrême haute).haut » (position extrême haute).Si le moteur possède plusieurs cylindres, il faut multiplier ce volume par le nombre de cylindres.

2 2 2cos .sinX e L e

PMH

PMB

course c

course c

Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.

La cylindrée d’un moteur correspond au volume balayé par le volume balayé par le piston lorsqu’il passe de la position piston lorsqu’il passe de la position « point mort bas » (position « point mort bas » (position extrême basse) au « point mort extrême basse) au « point mort haut » (position extrême haute).haut » (position extrême haute).Si le moteur possède plusieurs cylindres, il faut multiplier ce volume par le nombre de cylindres.

Cyl course

c

pistonS c

21,2 2,2

2pistonR c

39,95cm

Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.Q4. Déterminer la cylindrée du micromoteur.

c

c

Avait-on réellement besoin de déterminer la loi entrée-sortie et de tracer la courbe correspondante pour déterminer la cylindrée ?

e=c/2

Q5. Déterminer, à l’aide du résultat de la question Q2, la loi entrée-sortie en vitesse En déduire le vecteur vitesse en fonction de Q5. Déterminer, à l’aide du résultat de la question Q2, la loi entrée-sortie en vitesse En déduire le vecteur vitesse en fonction de 3/0BV

��������������

3/0BV ��������������

0X x��������������

2

02 2 2

cos sin( sin )

.sin

ee x

L e

��������������

2 2 22 cos .sinQ X e L e

Rappel : 1( ) ' 'n nu n u u

( , )x f , ,Let e

Donc :

X 2

2 2 2

2 cos sin( sin )

2 .sin

ee

L e

Fin