Post on 17-Jul-2018
Mécanique des fluidesRappels
Jean-Martial Cohard
Jean-martial.cohard@hmg.inpg.fr
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Mécanique des fluides :Plan du cours
I- GENERALITE
II- RAPPEL DE STATIQUE1- Principe fondamentale de la statique2- efforts sur les parois immergées
III- RAPPEL D’HYDRODYNAMIQUE1- notion de flux – conservation de la masse2- équations intrinsèques3- Relation de Bernoulli4- Théorème des quantités de mouvement5- Cas des fluides réelles6- Notion d’Analyse dimensionnelle
IV- ECOULEMENT A SURFACE LIBRE – REGIME PERMANENT1- Introduction2- Géométrie3- Formule de Chezy, …
V- ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE1- Charge spécifique2- Ligne d’eau3- Le ressaut hydraulique4- Passage d’obstacle
VI- INTRODUCTION AUX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX1- Loi de Darcy
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Mécanique des fluides :Généralités
Qu’est ce qu’un fluide
les gaz :Molécules libres
(mouvement brownien)
les solides : Agencement cristalin des
molécules
les fluides :État intermédiaire
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Mécanique des fluides :Introduction
Particule fluide
Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de moléculesSuffisamment petit pour qu’on ne puisse distinguer des hétérogénéités.
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Mécanique des fluides :Généralités
Effort sur une particule fluide
S
∂SS : domaine matériel de masse m∂S : surface qui délimite S
F = m f; avec f : densité massique d’effortT = S t ; avec t : densité surfacique d’effort
F
T
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Mécanique des fluides :Généralités
Force de pesanteur
S
P
P = m . gf = g
L’énergie potentielle massique associée ep est tel que :
dep = -g dl = -g dz ez = g dzSoit :ep = g.z + cte
Réciproquement :g = -grad ep = -grad(g.z)
ez
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Mécanique des fluides :Généralités
Vecteur contrainte
AdA
M
endF
dMTorseur des actions exercées sur A :{dF; dM}
On défini le vecteur contrainte :t (M, en) = dF/dA
Contrainte normale :σn = t . en
Contrainte tangentielle :σt et = t - σn en dA
M
σn.endFen
σt.et
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Mécanique des fluides :Généralités
Qu’est ce qu’un fluide
Déformation + état d’équilibre
Application d’une force de cisaillement
Comportement des solides Comportement des liquides
Déformation …
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Mécanique des fluides :Généralités
Fluide newtonien
Fluide épaississant
Fluide solidifiant stablePlastique
Plastique de Binghamτxy
τ0
pente = μ
dU/dy
Qu’est ce qu’un fluideComportement des fluides et autres ….
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Mécanique des fluides :Généralités
Compressibilité
Variables : ρ, P, T
Pour un gaz : Loi des gaz parfaits :
p/ ρ = R.T/M ; avec R = 8,32 J.K-1.kg –1
Ou équation de Van der Waals : p.M/(ρ.R.T) = 1+ ρ.C(T) + ρ 2.D(T) + …
L’air est en général considéré comme un gaz parfait incompressible si U ≤ 100 m.s-1
ρ = cte
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Mécanique des fluides :Généralités
Compressibilité
Pour un liquide :
(ρ - ρ 0)/ ρ 0 = - β.(T-T0) + χ.(p - p0)
Avec β est le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de compressibilité
- χ dp = dρ/ ρ0 ≈ 0
Pour l’eau : β = 1/5000 °K-1; χ = 1/22400 bar –1 (5. 10-10 Pa-1)
Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, chant des baleines …) à la vitesse c tel que :
c2 = (∂p/ ∂ρ)T=cte
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Mécanique des fluides :Généralités
Compressibilité
Coef. De compressibilité
Célérité du sonc (m/s)
Air 1,00E-05 330
eau 5E-10 1420
Nombre de Mach : Ma = U/cFluide incompressible pour Ma << 1
Dans le cadre de ce cours on supposera l’eau et l’air comme des fluides incompressibles :
ρair = 1,3 kg/m3
ρeau = 103 kg/m3
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Mécanique des fluides :Généralités
Notion de Pression
Contrainte normale résultant des chocs des molécules sur les parois. L’intensité de cette contrainte est caractérisée parun scalaire : la pression
- Défini en chaque point du fluide- C’est une grandeur locale- Fluide en mouvement ou pas- Besoin d’une surface pour être révélée
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Mécanique des fluides :Généralités
AdA
M
en
dF
dM
dF = - p en dAσn = - p
en est la normale sortante
La pression s’exprime en N. m -2 = kg.s-2.m –1
F = ∫A - p en dA
P
Force de Pression
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Mécanique des fluides :Généralités
Pa bar mm CE mm Hg atm
Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06
bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01
mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 9,68E-05
mmHg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03
Atmosphère 1,01E+05 1,01E+00 1,033.104 7,60E+02 1,00E+00
Conversion des unités de Pression
Pabs est la pression absoluePeff est la pression effective mesurée par rapport à la pression atmosphérique (Patm)
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Mécanique des fluides :Généralités
Viscosité
z
Pour un fluide réel en mouvement, il y a glissement et frottement entre le fluide et les parois solides mais également glissement et frottement entre les couches de fluide
u(z)z
u(z)
Fluide parfait Fluide réel
≠ de gaz parfait
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Mécanique des fluides :Généralités
u0
h
F = μ u0/hParoi fixe
Viscosité
Paroi mobilez
Pour maintenir la vitesse u0, il faut exercer sur la paroi mobile une force F tel que
μ est la viscosité dynamiqueElle s’exprime kg.m-1.s-1, l’unité SI est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s
F
Le travail F*Δl fourni est dissipé en chaleur
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Mécanique des fluides :Généralités
Viscosité; fluide Newtonienz
u + duu
x
dAdF
dF
Le fluide est soumis à une contrainte de cisaillement
σt et = dF / dA
σt = μ ∂u/∂y
Les fluides qui vérifient cette relation linéaire entre la contrainte et le gradient de vitesse sont des fluides newtonien
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Mécanique des fluides :Généralités
Viscosité
On définit également la viscosité cinématique ν = μ / ρ [poise]
Masse volumique (kg/m3)
Viscositédynamique (kg/(m.s))
Viscositédynamique (m2/s)
Air 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05
eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06
Ordre de grandeur
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Equation fondamentale de la statique
Etude des fluides au repos;pas de mouvement relatif entre les particules fluide
σt = 0
ρfz.dV
(p+dp).dx.dy
p.dx.dyy
z
x
dxdy
dz
p.dx.dy - (p + dp).dx.dy + ρ.fz.dx.dy.dz = 0dp/dz - ρ.fz = 0
∂p/∂z - ρ.fz = 0
De même dans les autres directions, il vient
grad p - ρ.f = 0
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Propriété du PFS
rot grad p - rot ρ.f = 0 = rot f
Si il y a équilibre alors :
Alors il existe une fonction ep tel que :
- grad ep = f
ep est l’énergie potentielle
grad p + ρ.grad ep = 0
Les équipotentielles et les isobares sont confonduesLes isobares sont des surfaces d’égale masse volumiqueLes isobares sont aussi des surfaces isothermes
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Cas de la pesanteur : loi de l’hydrostatique
Le fluide a une masse volumique uniformeLe seul champ de force est le champ de pesanteur
f = g = - grad(g.z)
Léquation de la statique devientgrad(p + ρ.g.z) = 0
L’équation de l’hydrostatique s’écrit
p + ρ.g.z = cte = pg
pg est la pression motrice
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
loi de l’hydrostatique
p + ρ.g.z = cte = pg
* La différence de pression Δp entre 2 points A et B ne dépend que de la différence d’altitude Δz = zB – zA
Δp = - ρ.g. Δz
A
B
zzA
zB
* Principe de Pascal : les fluides transmettent la pressionzB = zA pB = pA
F/S = f/s
A BzA zB
F fS
s
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
loi de l’hydrostatique
p + ρ.g.z = cte = pg
* La pression augmente linéairement avec l’altitude
Patm
P(z)
z
* Pour une surface libre p = patm .C’est une surface isobare ⊥ à g et plus généralement ⊥ à l’accélération locale
Fluide au repos
Patm
g
Fluide en écoulement : U = cte
Patm
gaU
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Force de pression
dF = - p en dAavec p(zA) + ρ.g.zA = patm +ρ.g.zh
p(zA) = patm +ρ.g.(zh – zA) = cte
F = ∫A - p en dA = - p (zA) z ∫A dA= - p (zA) z A
Patm
P(z)
z
FAzA
z=0
zh
Patm
P(z)
z
FAzA
z=0
zB
dF = - p en dAavec p(z) + ρ.g.z = patm ; vrai pour z <0
p(z) = patm - ρ.g. z
F = ∫A - p en dA = - x ∫A p (z) dA= - (A.patm – 0,5.ρ.g.l.(zA
2-zB2)).x
x
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Pression effective
On défini la pression effective : peff = p – patmElle est plus simple à mesurer
On peut quasiment toujours travailler avec la pression effective plutôt qu’avec la pression réelle p car la pression
atmosphérique est quasiment toujours présente
Patm
z
dF due à patmAz=0
x
dF due à peff
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Mécanique des fluides :Statique des fluides
Centre de poussée
Patm
P(z)
z
FAzA
z=0
zB
x
Mc = ∫A CM ^ dF = 0
Mc = ∫A CM ^ - p en dA = 0
CM ^ dF = (z-zC) z ^ -p.x.dA = -p.(z-zC).y.dA
peff(z) = - ρ.g.z
Mc = ∫A -(-ρ.g. z ).(z-zC).y.dA = 0
∫z (z2- z.zC).dz = 0[z3/3 – zc.z2/2]AB = 0zC = zA+2.(zB- zA)/3
CzC
Le centre de poussé est le point C tel que le moment des forces de pression en C est nul
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Notion de flux
A
dA
Men
u
La quantité B convectée pendant dt par l’écoulement à travers la surface dA est contenue dans un cylindre dV de base dA et de hauteur :
u.dt.cos(u.en) = u.en dt
Soit dV = u.en dt.dA
La quantité transportée par unité de temps est appelée flux de B à travers dA
dΦB = ρ.b. u.en dt.dA
où b est la densité massique de B
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Notion de flux
A
dA
Men
u
Débit masse : b = 1
dqm = ρ. u.en.dA
Si u = cte sur A et ⊥ à A alors qm = ρ. U.A
Flux de quantité de mouvementb = u
dΦqdm = ρ.u. u.en.dA= u.dqm
dΦqdm s’exprime en N/m2
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Vitesse particulaire
u u+du
u u+dut+dt
t
ds = u.dt
M N
u
u+du
u
u+dut+dt
t
ds = u.dt
M N
Ecoulement permanent non-uniforme :accélération convective
Ecoulement uniforme non-permanent : accélération locale
du = ∂u/∂t. dt + ∂u/∂s. ds
as = du/dt = ∂u/∂t + ∂u/∂s.ds/dt = ∂u/∂t + u.∂u/∂s
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Conservation de la masse
ρ.dV
u(x)
yz
x
dxdy
dz u(x+dx)
dqm(x) = ρ. u(x).dy.dzdqm(x+dx) = ρ. u(x+dx).dy.dz
Dans la direction x la variation de masse pendant le temps dt est :
∂m/∂t = ∂(ρ.dV)/∂t =dV. ∂ρ/∂t = - ∂(ρ.u )/∂x.dx.dy.dz= - ∂(ρ.u)/∂x .dV
De même dans les autres directions
∂ρ/∂t = - div (ρ.u)
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Conservation de la masse
Pour un écoulement permanent :∂ρ/∂t = 0 = div (ρ.u)
Pour un fluide incompressible :ρ = cte
div u = 0
Cas d’un tube de courant
∫A1 ρ.u1.e1 dA = ∫A2 ρ.u2.e2 dA = cte
x
z
A1
u1
u2
A2
e2
e1
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Dynamique des fluides parfaits
Pas de viscositéν = μ = 0
zu(z)
zu(z)
Fluide parfait Fluide réel
C’est une bonne approximation tant que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe à proximité d’une paroi, d’un sillage,
d’une zone de mélange …
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Équation d’Euler
Le principe fondamentale de la dynamique pour un fluide parfait s’écrit :
ρ du/dt = - grad p + ρ.f
ρ (∂u/∂t + u.grad u) = - grad p + ρ.f
Pour f = - grad (gz)
ρ du/dt = - grad pg
ρfz.dV
(p+dp).dx.dy
p.dx.dyy
z
x
dxdy
dzux(t)
L’équation d'Euler est une équation différentielle du premier ordre une seule condition à la limite est nécessaire : la condition d’imperméabilitéaux frontières de l’écoulement.
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Equations dynamiques intrinsèques
s0
sen
eteb
R : rayon de courbure C : centre de courbure
trajectoire
u = u etet
du/dt = du/dt et + u2/R en= -ρ-1 grad pg
= ∂u/∂t + u.grad u
Il vient∂u/∂t + u. ∂u/∂s = -ρ-1 ∂ pg /∂s équation tangentielle
u2/R = -ρ-1 ∂ pg /∂r équation normale
u(s)
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Conséquence de l’équation normale
ρ.u2/R = - ∂ pg /∂r
u(s)
Rpg
rivière
pg
- - -
+ + +
arrachement , creusement
R = ∝
∂ pg /∂r = 0pas de variation de pression
patm
patm
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Relation de Bernoulli
u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂zu.grad u = u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z = grad(u2/2) – (rot u)^u
u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z
ρ (∂u/∂t + grad(u2/2) – (rot u)^u) + grad (p + ρ.g.z) = 0
Pour un écoulement irrotationnel : rot u = 0
Sur une ligne de courant : (rot u)^u).ds = (u^ds).rot u = 0
Il vient alors :
ρ.∂u/∂t + grad(ρ u2/2 + p + ρ.g.z) = 0
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Relation de Bernoulli
Pour un écoulement permanent : ∂u/∂t = 0
En intégrant l’équation précédente :
ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte
Ec + Ep = Et = Cte
Conservation de l’énergie totale
Ec EpM1
M2
ρ u12/2 + p1 + ρ.g.z1 =
ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Hypothèse de la relation de Bernoulli
ρ u2/2 + p + ρ.g.z = Cte
Fluide parfaitFluide incompressibleécoulement permanentÉcoulement irrotationnel ou sur une ligne de courantÉcoulement dans le champs de pesanteur f = ρ.g
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Ligne de charge, ligne piezométrique
Hz
Ligne piézométriquep/ρ.g
U2/2.g
Plan de charge
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Cas des écoulements en conduite de fluides réellesEcoulement laminaire
r
u(r)D=2R
Ud2Ud4Ud
- Les lignes de courant sont rectilignes- Vitesse relative nulle à la paroi- u ne dépend que de r- u(r) = 2.Ud.(1-(r/R)2)- Q = ∫Su.en.dS - Ud = Q/S = Q/πR2
- Ud est la vitesse débitante- Umax = 2.Ud
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Cas des écoulements en conduite de fluides réellesEcoulement turbulent
r
umoy(r) D=2R
Ud
- Les lignes de courant se mélangent- Vitesse relative nulle à la paroi- Ud = Q/S = Q/πR2
- Ud est la vitesse débitante- Umax = α.Ud ; avec α ≈ 1,05- En pratique, les écoulements en conduite sont turbulents, on prendra α = 1
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Que devient la relation de Bernoulli
ρ grad(u2/2) = - grad p + ρ.f + force de frottement
viscositéProfil de vitesse
non uniforme dans la section
ρ.α.u2/2 + p + ρ.g.z + Δpperte = Cte
S1
S2
Pour un écoulement turbulent :ρ u1
2/2 + p1 + ρ.g.z1 = ρ u22/2 + p2 + ρ.g.z2 + Δpperte
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Convection Thermique
Nombre de REYNOLDS
μρ D V Re ××=
Rapport entre les force d’inertie et les force de frottement :Re petit : frottement prépondérant Re grand : inertie prépondérante
ρ : masse volumique du fluide [kg/m3],v : vitesse moyenne du fluide [m/s],D : plus petite dimension géométrique du problème [m],μ : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].
laminaire critique laminaireturbulent
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Conservation de la quantité de mouvement
D
∂D end(m.u)/dt = d (∫D ρ.u.dv) /dt
= (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫D ρ.u.grad u .dv
= (∫D ∂ (ρ.u)/∂t dv + ∫∂D ρ.u.u.en.ds
= Σ Fext→D
Pour un écoulement permanent :
∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D
∫∂D ρ.u.u.en.ds est le flux de quantité de mouvement à travers dD
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Conservation de la quantité de mouvementEx : écoulement à débit constant dans un tuyau horizontal
ud
Q = ud.S
S De2e1
e3
ud
∫∂D ρ.u.u.en.ds = Σ Fext→D
P2P1
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Analyse dimensionnelle
Soit un système physique Φ décrit par n paramètres physique gidimensionnels (grandeurs physiques)
Φ(g1, g2 ,.... , gn) = 0Soit p le nombre de grandeurs fondamentales (m, t, T°, L)
Alors le problème peut s’exprimer en fonction de n-p variables sans dimension Gj de la forme :
F(G1, G2 ,.... , Gn-p)avec
Gj = g1α1. g2
α2 ..... gnαn
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Analyse dimensionnelleEx : traînée d’une pile de pont
DU F
F = g( 0 = Φ (F, n = p =
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Mécanique des fluides :Hydrodynamique
Cf = f(Re)
U = 1m/s; D = 2m; μ = 10-3 Pl Re = Cf = F=
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Définition
P
Écoulement en chargeLa section de l’écoulement
est celle de la conduite
Patm
Écoulement à surface libreIl existe une surface de
séparation entre le liquide et l’air
La section de passage dépend du débit
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
exemples
doc.Ph.Bois
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Distribution des vitesses
zu(z)
yu(y)
yu(y)zFrottement à la surface
Frottement au fond du canal
Frottement sur les parois
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Géométrie
Section mouillée S : section de l’écoulement moyen limitée par les parois et la surface libre
Périmètre mouillé χ :Contour mouillé (sans la surface libre) ; zone de frottement solide
Sχ
Rayon hydraulique :
RH = section mouillée / périmètre mouillé = S/χ
DH = 4 * RH
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Géométrie cas du canal rectangulaire
y
b
y
S = Χ =RH =DH =
Que devient RH si y << b
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Géométrie
zu(z)
θ
Pente de fond : i = sinθ ≈ θ
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Nombre de FroudeParamètre adimensionnel caractéristique des écoulement à surface libre
Fr = U/√(gh)
Rapport entre énergie cinétique et énergie potentielle
Si Fr > 1 Ec > Ep Régime torentiel
Si Fr < 1 Ec < Ep Régime fluvial
Si Fr = 1 Régime critique
Ec / Ep = 0,5*m*U2 / ∫ρgz dv
= 0,5.ρ.V.U2/0,5.ρ.g.h2.S = Fr2
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Propagation des ondes
X0
V=0
-C = - gh+C = + ghLes ronds dans l’eau
0V = V < gh
point d’impact
V
Les ondes peuvent remonter le courant
V > gh
Vpoint d’impact
Les ondes ne peuvent pas remonter le courant
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Ecoulement Uniforme et permanent
Ecoulement uniforme : la section mouillée reste constante le long de l’écoulement.Ecoulement permanent : ∂./∂t = 0.
Exemple : pour un canal prismatique de grande longueur.S(x) = Cte h = Cte
zu(z)
θ
La surface libre est alors un plan parallèle au fond de pente i,
U = Cte la ligne de charge // au fond
Ligne de charge
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Formule de CHEZY (1775)y
U
θ
y
b
S
g
g.sinθ
τparoi
τair
Force motrice : ρ.V.g.sinθ = ρ.l.S.g.sinθForce résistante : - τparoi .χ.l = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l
(frottement) - τair .b.l = 0,5.ρ.C’f.U2.b.l
l
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Formule de CHEZY
U = Cte ΣF = 0
ρ.l.S.g.sinθ = 0,5.ρ.Cf.U2.χ.l + 0,5.ρ.C’f.U2.b.l
U2 = 2.g/(Cf+C’f.b/χ).S/χ.i
On appelle C, coefficient de Chezy :
f f
2gC =C + C' b χ
Alors : HU = C R i
[C] = m1/2.T-1
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Formule de CHEZY
HU = C R i
En général C’f.b/χ << Cff
2gC =C
30 < C < 100 (MKS)
Cf grand frottement grandC petit
Cf grand frottement petitC grand
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Débitance d’un canal
HU = C R i
( ) i=H HQ = U.S = S.C R i S.C R
Par définition la débitance K d’un canal est :K = S.C.√RH
Alors : Q = K. √i
K dépend de la géométrie par S et RH et par la nature des parois par CfK ne dépend pas de la profondeur d’eau !!!
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Coefficient de frottement
yu(y)
En général Re est grand régime turbulent rugueuxCf = Cte
Profil externe : U = yα
Profil logarythmique : U = a.lny + ba ≈ 1/κ ≈ 2,5; b ≈ 5
Sous couche visqueuse,Profil linéaire : U = y.τparoi/μ
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Bazin, Manning, …
Dans la littérature les formules empiriques abondent …
Formule de Bazinγ H
87C =1+ R
γ caractérise la nature des parois (cf table)
Formule de Manning (Strickler)
η ou Ks caractérise la nature des parois (cf table)
η1/6 1/6
H s H1C = R = K R
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Exemple : canal trapézoïdal
l
h 45°
l = 4mBerge revétu de bétonPente de fond : i = 0,3m/kmh = 1,6 m
Calculer la débitance du canal, la vitesse et le débit pour un écoulement uniforme
S = χ =RH =Bazin : γ = 0,16 C =K =Q = U =
Tracer la courbe de tarage Q(h) de ce canal
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Exemple : canal trapézoïdal
0,005,00
10,0015,0020,0025,0030,0035,0040,00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00h (m)
Q m
3/s
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Ecoulement graduellement varié
Hypothèses : les lignes de courant sont rectilignes (localement)la hauteur d’eau n’est pas constanterépartition hydrostatique de la pression dans une sectionles profils de vitesse sont identique à ceux de l’écoulement
uniforme
x
y
U
θ
P(y)
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Ligne de charge, ligne d’eau, …
y
U
θ = i
Ligne de charge
j
En x la charge est définie par : H = p/ρg + z + U2/2g= h(x) + z(x) + U2/2g
z(x)
h(x)
U2/2gPatm = 0
dh/dx = ?
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Charge Spécifique
La cote du fond étant donnée, il est plus simple d’étudier la charge comptée à partir du fond, c’est ce qu’on appelle la charge spécifique Hs:
H = Hs + zHs = h(x) + U2/2g = h(x) + Q2/(2gS2)
dHs/dh = 1 + d(Q2/(2gS2) )/dh= 1 - Q2/(gS3) dS/dh= 1 - Fr2
Ep Ec
h
Hs
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Charge SpécifiquedHs/dh = 0
= 1 + Q2/(gS3) dS/dh
hm = S/LdS = L.dh
Q2L/(gS3) = U2/ghc = Fr2 = 1
Hs(h) atteint un minimum pour h = hchc est appelée hauteur critique
h
Hs
hc
Hc
SL
h = hm
hc = [Q2/(gL2)]1/3
Hs(hc) = 3.hc/2
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Fonction du débit, de la section
Hs = h(x) + Q2/(2gS2)
h
Hs
hc
Hc
h
Hs
hc
Hc
Q L
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Exemple : Passage d’un seuil
h
Hs
hc
Hc
hnQ Hs + zf = H0 = Cte
zf Hs
A Bhn
Q hc
Régime fluvial : h diminue
A
B
C D
hnQ
hc
Régime torrentiel : h augmente
C
D
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Fonction du débit, de la section
Hs = h(x) + Q2/(2gS2) Q = S.[2.g.(Hs - h(x))]1/2
hHs
hc = 3Hs/2
Hc
QQmax
Régime fluvial
Régime torrentiel
Pour une section donnée, le débit est maximum pour h = hc
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eauy
U
i
Ligne de charge
j
z(x)
y(x)
U2/2g
Pente de fond : i = - dz/dx
Perte de charge : j = - dH/dx
H = z + p/ρg + U2/2g
= z(x) + h(x) + U2/2gOn à donc entre 2 sections :
dH/dx = dz/dx + dy/dx + d(U2/2g)/dx
-j = -i + dHs/dx
Or dHs/dx = dHs/dh . dh/dx
= (1 - Fr2).dh/dx
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
Profil de vitesse identique à ceux de l’écoulement uniforme j = Q2/(S2.C2.RH) = Q2/(S2.Ks
2.RH4/3)
dh/dx = (i - Q2/(S2.Ks2.RH
4/3))/(1 - Fr2)
Pour la section rectangulaire :
dh/dx = (i - Q2/(L2.h2.Ks2.h4/3))/(1 - Fr2)
Équation différentielle en h
S
hLS
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Profondeur normale, pente critique, …
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
Si h=cte = hn dh/dx = 0 i = j(hn est la profondeur normale)
on retrouve le cas de l’écoulement uniforme
i = Q2/(S2.Ks2.RH
4/3)
Pente critique ic: i tel que h = hc
ic = Q2/(S2.Ks2.RH
4/3)Fr2 = 1 = Q2L/(gS3)
ic = gS/(L.Ks2.RH
4/3)
i < ic (hn > hc) : canal de pente faible
y
U
i
Ligne de charge
h(x)hc
y
U
i
Ligne de charge
h(x)hc
i > ic (hn < hc) : canal de pente forte
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
Il faut traiter les cas Fr < 1 et Fr > 1
Cas fluvial et torrentiel
y
U
i
Ligne de chargej
z(x)
h(x) hc
y
U
i
Ligne de chargej
z(x)
h(x) hc
y
U
i
Ligne de chargej
z(x)
h(x)hc
Cas fluvial Cas torrentiel
Mais aussi i < j et i > j y
U
i
Ligne de chargej
z(x)
h(x)
hc
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau : canal de faible pente
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
hn > hch 0 hc hn ∝
i - j - - 0 + i
1 - F2 - 0 + + 1
dh/dx + ∝ - 0 + i
y
Q
θ = ihc
hn
M1
M2M3
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau : canal de faible pente
Exemplesy
Q
θ = i
hc
hn
y
Q
θ = i
hc
hn
M1
M2
M3S2 h’n
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau : canal de forte pente
dh/dx = (i - j)/(1 - Fr2)
hn < hc
y
Q
θ = ihn
hc
S1
S2
S3
h 0 hn hc ∝
i - j - 0 + + i
1 - F2 - - 0 + 1
dh/dx + 0 - ∝ + i
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
ligne d’eau : canal de forte pente
Exemples
y
Q
θ = i
hn
hc
S1
S2
y
Qθ = i
hn
hc
S3
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Le ressaut
Le régime fluvial ou torrentiel ne dépend que d’une seule condition à la limite (éq. diff. Du 1er ordre). Si au 2 extrémités d’un canal les conditions sont incompatibles alors il y aura un changement de régime.
h
Hs
hc
Hc
AB
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Le ressaut : passage fluvial torrentiel
Exemple : cas d’un changement de pente
La profondeur h(x) diminue. L’écoulement étant convergent, il n’y à pas de perte de charge.
Qhc
hnM2 S2
h’nB
A
h
Hs
hc
Hc
AB
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Le ressaut : passage torrentiel fluvial
La profondeur h(x) augmente. L’écoulement diverge, apparition d’une très grande de perte de charge.
Le ressaut est un écoulement très fortement varié
h
Hs
hc
Hc
ABΔH Q hc
h’n
M3
hnA
B
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Equation du ressaut
Q hc
h’n
M3
hn
S1 S2
Application de la conservation de la quantité de mouvemententre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeableshypothèse de fluide parfait (frottements au fond négligés)
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Equation du ressaut
Q hc
h’n
M3
hn
S1 S2
ρ.Q.Q/S2 - ρ.Q.Q/S1 = ρ.g.h1.S1/2 - ρ.g.h2.S2/2
pour une section rectangulaire S = L.hQ2/g.L2 (h2
-1 – h1-1) = 0,5.(h1 – h2)
Après calcul, en notant que hc3 = Q2/g.L2 :
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Perte de charge du ressaut
Q hc
h’n
M3
hn
S1 S2
Application de la conservation de l’énergie (relation de bernoulli)entre les sections S1 et S2 forces de pesanteur négligeablesprise en compte d’une perte de charge singulièrepas de perte de charge régulièrepente de fond négligeable entre S1 et S2
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Perte de charge du ressaut
Q hc
h’n
M3
hn
S1 S2
ρ.g.h1+ 0,5.ρ.(Q/S1)2 = ρ.g.h2 + 0,5.ρ.(Q/S2)2 + ΔH
pour une section rectangulaire S = L.hΔH = (h1 – h2).[1 – (Q2/2.g.L2).(h2 + h1).(h1.h2)-2]
Après calcul, en notant que 2.hc3 = h1.h2.(h1+h2) :
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Localisation du ressaut
Q
hc
h’n
M3
hn
S1 S2
Conjuguée de la torrentielle
Conjuguée de la fluviale
Le ressaut se fixe de telle sorte que h1 (amont) et h2 (aval) soient conjuguées, c.a.d. qu’ils vérifient tous les deux l’équation du ressaut.
Si on suppose que le ressaut a une longueur nulle (idéal), alors il se place à l’intersection de :
- la courbe fluviale et de la conjuguée torrentielle- la courbe torrentielle et de la conjuguée fluviale
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Le ressaut
le jet du robinet dans l'évierdivergent: le débit par u. de largeur diminue
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Transition réservoir canal
A
hHs
hc = 3Hs/2
Hc
QQmax
Régime fluvial
Régime torrentiel
Régime permanentA
B
B’
CQhc
hnB
AHs
Qhc
hn
B’
AHs
S2
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Transition réservoir canal
Qhc
hn
Hs M1
M2
Qhc
hn
Hs
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Franchissement d’un ouvrage : section contractée
QB
A
h
Hs
hc
Hc
Section contractée
Section naturelle
ABB’
A’En régime fluvial- abaissement de la ligne d’eau entre A et B- accélération- érosion !
En régime torentiel- élèvation de la ligne d’eau entre A et B
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Franchissement d’un ouvrage : section contractée
Q
Il faut prendre en charge les pertes de charge singulières
( )
( )
2
2
02
12
con amconvergent con con
con avdivergent div div
V VH K K
g
V VH K K
g
−Δ = ≈
−Δ = ≈
Au niveau du convergent :(en C)
Au niveau du divergent :(en D)
C D
h
Hs
hc
Hc
Section contractée
Section naturelle
ABB’
A’
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Franchissement d’un ouvrage : section contractée, endiguement
Q
h
Hs
hc
Hc Section naturelle
hc hnh’c
Tracer les position relative de h’n et h’c
Placer les points A, B, C, D sur le graphe Hs, h et tracer les lignes de remous
A
BC
B’C’
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Franchissement d’un ouvrage : section contractée, étranglement
Q
h
Hs
hc
Hc Section naturelle
hc hnh’c
A
B C
B’
C’M3
D
D
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Les seuils ou déversoir
Bassin
CanalQ
H
h= hc= 2/3 H
Les seuils servent à mesurer ou à réguler le débit ou encore à contrôler les niveaux d’eau
Le débit dépend de l’excès de hauteur par rapport au niveau du seuil H
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___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Les seuils ou déversoir
En régime dénoyé : Hh= hc= 2/3 H
Q
23
cc
c
Q ghBh
h H
α=
=
HQ( )
( ) ( )
2
2
2
12
noyé amont aval
noyé
amont aval
amont seuil
VH y y Kg
Qy y K
g B y yα
Δ ≅ − =
⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟−⎝ ⎠
En régime noyé :
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Les seuils ou déversoir
En régime dénoyé :
En régime noyé :
( )( )
( )
322
0,4 0,05
0,2
dénoyé amont seuil
amont seuil
seuil
amont seuil
s s
s
s
Q K L g h h
h hK
h
L L h h
= −
−= +
= − −
( )( )1
22noyé amont seuil amont avals sQ K L g y y y y= − −
Pour un déversoir triangulaire à 90° :
( )2,52,50
dénoyé amont seuilQ h h= −
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
h
Hs
hc
Hc
A Bhn
Q hc
A
B
Mécanique des fluides :Ecoulements à surface libre
Les seuils ou déversoir
1 - Calculer la hauteur de seuil maximal Zfmax en dessous de laquelle on retrouvera un écoulement fluvial à la sortie du seuil.2 - Que se passe t’il si Zfmax est supérieur à H0-Hs(hc) ? montrer que l’écoulement passe d’un régime fluvial à un régime torrentiel en dérivant 2 fois H0 par rapport à x.3 - Le canal précédent rencontre un seuil de hauteur 0,5 m. Calculer la hauteur h0 nécessaire à l’amont pour que l’écoulement franchissent le seuil ainsi que la hauteur h1 à la sortie du seuil. 4 - La pente du canal étant identique à l’amont et àl’aval l’écoulement va donc retrouver la hauteur hn = 2 m. Pour cela un ressaut hydraulique va apparaître en aval du ressaut. Faire un schéma représentant la ligne d’eau de cet écoulement au passage du seuil et du ressaut. 5 - Calculer la perte de charge au passage du ressaut.
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