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MathématiquesExercices de première année

Conseils

1. Pour vérifier que les exercices sont bien compris, il ne sert à rien de lireses corrections. Il faut être capable d’expliquer l’exercice, de le refairejuste et sans aucune aide extérieure !

2. Les définitions et les résultats du cours (dont le QuickQuiz) doivent êtreconnus sur le bout des doigts !

3. Il est important de respecter les points suivants en rédigeant :

⋆ chaque étape importante doit être expliquée en français ;

⋆ les résultats utilisés doivent être cités (Pythagore, Viète, etc) ;

⋆ PO : la rédaction doit être propre (qualité de l’écriture, orthographe);

⋆ AM : l’alignement et la mise en page doivent être corrects (bonnelisibilité, exercice non dispersé sur plusieurs pages) ;

⋆ Rm : la syntaxe mathématique doit rigoureusement être respectée.

Nomenclature

z Exercices élémentaires : doivent pouvoir être faits sans aucune difficulté.

♥ Objectifs de base qu’il faut maîtriser en 3 minutes. Ils seront testés dansles contrôles de devoirs. Un générateur aléatoire de contrôles de devoirsest disponible sur

http://www.vive-les-maths.net/

� Exercices de réflexion : nécessitent de maîtriser les objectifs de base, maisaussi de trouver une stratégie afin de pouvoir les résoudre. Ces exercicesservant de révision pour les TÉs, il est suggéré d’indiquer ceux qui sontterminés en cochant la case X.

♠ Exercices de compléments théoriques : à considérer comme faisant partiedu cours et à réviser en tant que tel !

Table des matières

Thèmes des exercices de première année

1.1 Révisions de l’école secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Factorisations de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Techniques de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Zéros et factorisation de polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 OS scientifique : le nombre imaginaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . 91.6 Exercices récapitulatifs de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Équations de degré 1 et représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8.1 Vecteurs et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8.2 Droites remarquables dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3 Intersection de droites, projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.4 Exercices de recherche de stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.1 Les valeurs les plus importantes des fonctions trigonométriques . . . . . . 231.9.2 Exercices d’applications de la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9.3 Exercices d’applications de la trigonométrie pour réviser . . . . . . . . . . 29

1.10 Fonctions affines et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.11 Autres applications de la formule de Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.11.1 Équations bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.11.2 Équations du deuxième degré camouflées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.12 Problèmes d’optimisation du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12.1 Problèmes d’optimisation pour réviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.13 Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.15 Tableaux de signes et résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.16 Exercices d’application des exponentielles et des logarithmes . . . . . . . . . . . . 411.17 Factorisation de polynômes de degré plus grand que deux . . . . . . . . . . . . . 421.18 Résolution d’équations (racines et valeurs absolues) . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.19 Résolution d’équations (exponentielles et logarithmes) . . . . . . . . . . . . . . . 431.20 Exercices récapitulatifs (équations et fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.21 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.22 Parité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.23 Fonctions injectives, surjectives, bijectives et réciproques . . . . . . . . . . . . . . 481.24 Graphes de fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.25 Trigonométrie : formules d’additions des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.26 Notions de statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliographie 57

Cours de MathématiquesMaths première année : exercices MAT

Lycée cantonal de Porrentruy

1.1 Révisions de l’école secondaire

Multiplication de polynômes

Exercices réflexes R1 sur http://www.vive-les-maths.net/

Le but des exercices qui suivent est d’être à l’aise avec la multiplication des polynômes, ce quipermettra de vérifier les calculs effectués avec des techniques plus avancées telles que la divisioneuclidienne de polynômes et la factorisation de polynômes par le schéma de Horner.

Voici des rappels sur les propriétés de la multiplication.

1. Multiplication de deux monômes.

axm · bxn = ab xm+n

2. Distribution de la multiplication sur l’addition.

a (b+ c) = ab+ ac (a+ b) c = ac+ bc

− (b+ c) = −b− c (a+ b) (−1) = −a− b

3. Associativité de la multiplication.à ne pas confondre avec la distribution de la multiplication sur l’addition.

a (b · c) = (a · b) c = abc

z Exercice 1 : l’avantage des polynômes

Effectuer les développements des expressions suivantes.

a) (4a− b+ 3c)(d + 2e− f)

b) (4x2 − x+ 3)(x2 + 2x− 1).

Indiquer la différence fondamentale entre ces deux calculs.

z Exercice 2 : multiplication de polynômes de tête

1. Sans calculs intermédiaires, effectuer le développement (−3x3 + 2x2 − 2x− 5)(−3x − 1).

2. Répondre aux questions suivantes en faisant le moins de calcul possible.

(a) Quels sont le terme constant et le coefficient dominant de (3x3−5x2+3)(3x2+x−5) ?

(b) Quels sont les coefficients de x3 et de x4 de (2x3 − 2x2 − x+ 5)(5x2 − x+ 5) ?

z Exercice 3 : multiplication de polynômes de tête

1. Sans calculs intermédiaires, effectuer le développement (−3x3+5x2+5x+3)(−x2+3x−5).

2. Sans calculs intermédiaires, effectuer le développement (−3x4 + 3x3 + 4x+ 1)(x− 1)

3. (a) Quel est le terme constant de (−x4 + 5x3 − x2 − 5x− 5)(5x+ 4) ?

(b) Quel est le coefficient de x de (−x3 + 2x2 − 2x− 2)(−3x2 − 4x+ 5) ?

(c) Quel est le coefficient de x2 de (3x4 + 5x3 + 4x2 + 5x+ 4)(x+ 5) ?

(d) Quel est le coefficient de x3 de (3x3 − 5x2 + 2x− 5)(−3x2 + 2x− 3) ?

(e) Quel est le coefficient de x4 de (−2x4 − 3x3 + 4x2 − 3x+ 1)(−2x− 1) ?

(f) Quel est le coefficient dominant de (2x4 + 3x3 − x2 + 4x+ 4)(5x − 1) ?

Version 4.500 page 1 S. Perret

Lycée cantonal de PorrentruyMaths première année : exercices MAT

Cours de Mathématiques

Factorisation de polynômes

Rappelons comment on peut mettre un facteur en évidence.

ab+ ac = a (b+ c) ac+ bc = (a+ b) c

Cette façon de faire n’est pas nouvelle puisqu’on utilise, à l’envers, la distribution de la multipli-cation sur l’addition. Il est donc conseillé de toujours vérifier que la mise en évidence à bien étéeffectuée en faisant dans sa tête la distribution.

Le but des exercices qui suivent est de s’entraîner à factoriser à l’aide des identités remarquables.

a2 ± 2ab+ b2 = (a± b)2 a2 − b2 = (a+ b)(a− b)

La factorisation sert à résoudre des équations, à trouver le domaine de définition d’une fonctionet ses zéros, et finalement, à faire le tableau de signes d’une fonction.

Pour factoriser, il faut prioriser une mise en évidence à une distribution.

Si le terme constant d’un polynôme est nul, on factorise par (une puissance de) x.

Un polynôme avec un nombre pair de monômes peut se factoriser par groupement.

z Exercice 4 : factorisation à l’œil et avec les identités remarquablesActiverQQ5

a) (x+ 1)(x3 − 1)− (x+ 1)(16x − 1) b) 81x6 − 72x4 + 16x2 c) 4x3 + x2 − 4x− 1

z Exercice 5 : factorisation à l’œil et avec les identités remarquables

a) (5x− 1)(9x2 + 2)− (5x− 1)(1 − 6x) b) 4x3 + 5x2 − 36x− 45

c) (4x2 − 2)(2x + 5) + (20x + 27)(2x + 5) d) x11 − 8x9 + 16x7

e) (3x+ 1)(3x − 8)2 − (3x+ 1)(65 − 48x) f) 125x3 + 75x2 − 80x− 48

g) (5x− 1)2(5x− 3)− 10(1 − x)(5x− 3) h) 81x7 − 18x5 + x3

z Exercice 6 : factorisation à l’œil et avec les identités remarquables

a) (4x− 5)(4x3 − 3)− (9x− 3)(4x− 5) b) 16x11 − 8x9 + x7

c) (x− 5)2(x+ 3)− 2(17 − 5x)(x+ 3) d) 50x3 − 125x2 − 32x+ 80

e) (5x− 1)(5x+ 2)2 − 5(4x+ 1)(5x − 1) f) 81x12 − 72x10 + 16x8

g) 2(3x+ 5)(8x2 + 25) − 5(8x+ 5)(3x + 5) h) 5x3 − 3x2 − 80x+ 48

S. Perret page 2 Version 4.500

Simplification de racines

Le but des exercices qui suivent est de s’entraîner à simplifier des fractions et des racines carrées.

Lorsque a est positif ou nul,√a est le nombre positif ou nul qui vérifie x2 = a

(ab)n = an bn√a = a

√a b =

√a√b

√a2 b = a

√b si a est positif

z Exercice 7 : Simplification de racines carrées

Simplifier les expressions avec des racines carrées suivantes.

a)√24−

√6 b)

√80 c)

√63 −

√7 d)

√2 e)

Simplification de fractions avec des racines

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de simplifier les solutions des équa-tions du deuxième degré, et les fractions qui vont apparaître lors des calculs d’angles entre deuxvecteurs (en deuxième année).

Le but des exercices qui suivent est de s’entraîner à simplifier des fractions et des racines carrées.

a · nm · n =

si m et n nesont pas nuls

na− nb

n · (a− b)

n · c =a− b

si n et c nesont pas nuls

La simplification des fractions ne fonctionne que pour les multiplications.

Lorsqu’il y a une addition, il est conseillé de factoriser avant de simplifier.

♥ Exercice 8 : Simplification de fractions et de racines (5 minutes) ActiverQQ6

ActiverOB4

1. Simplifier les fractions et racines suivantes, en éliminant les racines du dénominateur.

a)3√

15√30

6 +√108

♥ Exercice 9 : Simplification de fractions et de racines (3 fois 5 minutes)

8√6√10

8 +√48

4√21

8√15

1.2 Factorisations de fractions algébriques

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations, de trouverle domaine de définition d’une fonction et ses zéros, et finalement, de faire le tableau de signesd’une fonction.

Pour additionner des fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur.

Lorsque ce n’est pas le cas, on amplifie les fractions (en factorisant leurs dénominateurs).

an+ bm

mn− b

mn2− bm

an− bm

Divisier par un nombre revient à multiplier par son inverse.

expressionab

= expression · ba

si a et b nesont pas nuls

♥ Exercice 10 : factorisations - fractions algébriques (3 fois 5 minutes)ActiverQQ4

ActiverOB5

1. Factoriser l’expression3(x− 2)

x+ 4− (x− 2)2

x2 + 8x+ 16.

2. Factoriser l’expression4x3 + 4x2 − 9x− 9

4x2 + 12x+ 9.

3. Factoriser l’expression

x− 1

(x− 1)2− 2x+ 5

x− 1

♥ Exercice 11 : factorisations - fractions algébriques (6 fois 5 minutes)

1. Factoriser l’expression(x+ 2)2

(8x+ 7)(x+ 4)− x+ 2

(x+ 4)2.

2. Factoriser l’expression(x+ 3)(x− 4)

7− 14x− x+ 3

x− 4.

3. Factoriser l’expression(x+ 3)(x+ 2)

(x+ 4)2− x+ 3

(x+ 2)(x+ 4).

4. Factoriser l’expression5(x+ 3)

x− 6− (x+ 3)2

x2 − 12x+ 36.

5. Factoriser l’expression

7x− 2

(x+ 3)2− 9x+ 4

6. Factoriser l’expression49x3 + 98x2 − 9x− 18

49x2 + 42x+ 9.

1.3 Techniques de démonstration

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de prouver des résultats (théorèmes).Il met en avant trois différentes techniques de démonstration :

Preuvedirecte

Démontrer l’implication «P =⇒ Q» de manière directe consisteà supposer que P est vrai et en déduire que Q est vrai

Preuvepar contraposée

Démontrer l’implication «P =⇒ Q» par contraposée consisteà démontrer de manière directe l’implication «non Q =⇒ non P»

Preuvepar l’absurde

Démontrer l’implication «P =⇒ Q» par l’absurde consisteà supposer que la conclusion Q est fausse (erreur intentionnelle)et à chercher une contradiction (ainsi Q ne peut pas être fausse)en utilisant le fait que P est vraie

Il permet de revenir sur les identités remarquables et sur les ensembles de nombres :

N représente les nombres naturels {0, 1, 2, 3, 4, . . .}Z représente les nombres entiers {0,±1,±2,±3,±4, . . .}Q représente les fractions (le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers)Le symboles ∈ et 6∈ signifient respectivement «appartient à» et «n’appartient pas à»

les nombres pairs2Z = {2k : k ∈ Z}

les nombres multiples de 33Z = {3k : k ∈ Z}

les nombres multiples de 44Z = {4k : k ∈ Z}

Il permet aussi de se souvenir des restes de divisions :

Si n 6∈ 3Z, alors soit n = 3k + 1, k ∈ Z (son reste de division par 3 vaut 1),soit n = 3k + 2, k ∈ Z (son reste de division par 3 vaut 2)

Pour les preuves qui suivent, le principe suivant est fondamental.

Il est facile de faire apparaître une puissance (procéder par preuve directe).Il est difficile de faire disparaître une puissance (procéder par contraposée).

♥ Exercice 12 : techniques de démonstration (2 fois 5 minutes) ActiverQQ1

ActiverQQ2

ActiverQQ3

ActiverOB3

1. Soit n ∈ Z. Montrer l’équivalence n2 ∈ 2Z ⇐⇒ n ∈ 2Z.

2. Soit n ∈ Z. Montrer l’équivalence n 6∈ 2Z ⇐⇒ n2 6∈ 2Z.

♥ Exercice 13 : techniques de démonstration (2 fois 5 minutes)

1. Soit n ∈ Z. Montrer l’implication n2 ∈ 3Z =⇒ n ∈ 3Z.

2. Soit n ∈ Z. Montrer l’implication n3 ∈ 2Z =⇒ n ∈ 2Z.

1. Soit n ∈ Z. Infirmer l’implication n2 ∈ 4Z =⇒ n ∈ 4Z et démontrer sa réciproque.

2. Soit n ∈ Z. Infirmer l’implication n3 ∈ 4Z =⇒ n ∈ 4Z et démontrer sa réciproque.

Pour les preuves qui suivent, voici ce qu’il faut savoir.

Un nombre est irrationnel lorsqu’il n’est pas rationnel (ne s’écrit pas comme une fraction).Il n’est pas évident de démontrer qu’un nombre est irrationnel de manière directe.

On effectue une preuve par l’absurde en examinant ce qu’il se passesi on suppose, par l’absurde, que ce nombre est rationnel.

1. Démontrer que√2 6∈ Q en utilisant, sans le démontrer, le fait que n2 ∈ 2Z =⇒ n ∈ 2Z

pour tout n ∈ Z.

2. Démontrer que√3 6∈ Q en utilisant, sans le démontrer, le fait que n2 ∈ 3Z =⇒ n ∈ 3Z

pour tout n ∈ Z.

3. Démontrer que 3√4 6∈ Q en utilisant, sans le démontrer, le fait que n3 ∈ 2Z =⇒ n ∈ 2Z

pour tout n ∈ Z.

Pour les preuves qui suivent, voici ce qu’il faut savoir et être capable de démontrer.

Lorsqu’on multiplie deux nombres successifs, on obtient toujours un nombre pair.

1. Démontrer l’implication n 6∈ 2Z =⇒ 2n2 − 2 ∈ 16Z.

2. Démontrer l’implication n 6∈ 2Z =⇒ 3n2 − 3 ∈ 24Z.

1. Démontrer l’implication n2 + 3n 6∈ 18Z =⇒ n 6∈ 3Z.

2. Démontrer l’implication n2 + 4n 6∈ 32Z =⇒ n 6∈ 4Z.

Pour les preuves qui suivent, voici ce qu’il faut savoir.

Lorsque le produit de deux nombres entiers vaut 1, alors

soit les deux nombres valent 1,

soit les deux nombres valent −1,

1. Soit y ∈ N. Montrer que l’équation 4x2 + 1 = 9y2 n’admet aucune solution dans N.

2. Soit y ∈ N. Montrer que l’équation 9y2 + 1 = 16x2 n’admet aucune solution dans N.

L’exercice qui suit permet de réviser les trois différentes techniques de démonstrations présentéesdans cette section.

� Exercice 19 (temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

Démontrer que√5 est irrationnel.

1.4 Zéros et factorisation de polynômes de degré 2

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations, de trouverle domaine de définition d’une fonction et ses zéros, et finalement, de faire le tableau de signesd’une fonction.

Rappelons une définition importante.

Les zéros d’un polynôme p sont les solutions de l’équation p(x) = 0.

Le discriminant est un nombre associé aux polynômes du deuxième degré qui discrimine lesdifférentes situation concernant les zéros et la factorisation de ce polynôme.

Le discriminant associé au polynôme p donné par p(x) = ax2 + bx+ c

se note ∆ et est défini par la relation ∆ = b2 − 4ac.

Voici la formule, appelée, dans ce cours, formule de Viète, qui permet de trouver le ou les deuxzéros du polynôme p donné par p(x) = ax2 + bx+ c lorsque le discriminant est nul ou positif.

ax2 + bx+ c = 0Viète⇐⇒

∆=b2−4acx =

−b±√∆

Les trois cas discriminés (distingués, séparés sont deux synonymes) sont :

∆ > 0 le polynôme p a deux zéros notés x1 et x2le polynôme p se factorise : p(x) = a(x− x1)(x− x2)

∆ = 0 le polynôme p a un zéro noté x1 (penser que√0 = 0)

le polynôme p se factorise : p(x) = a(x− x1)2 (penser que x1 = x2)

∆ < 0 le polynôme p n’a pas de zéros réelsle polynôme p est irréductible dans R (il ne se factorise pas plus dans R)

La technique qui permet d’écrire un polynôme de degré 2 sous sa forme canonique, le calculrapide des discriminants et la factorisation d’un polynôme dont les zéros sont connus peuventêtre entrainés à l’aide des

Exercices réflexes R4, R5 et R7 sur http://www.vive-les-maths.net/

z Exercice 20 : calcul de discriminants (2 minutes)

Calculer les discriminants des polynômes de degré 2 suivants.

a) 3x2 − 6x− 2 b) x2 + 6x+ 6 c) 3x2 − 5x+ 4 d) −3x2 − x+ 1

z Exercice 21 : forme canonique (3 minutes)

Écrire les polynômes du deuxième degré suivants sous leur forme canonique.

a) x2 − 4x− 5 b) x2 − x+ 2 c) x2 + 3x− 4

♥ Exercice 22 : tout sur la formule de Viète (3 fois 5 minutes) ActiverQQ9

ActiverQQ10

ActiverOB6

1. Trouver les zéros des polynômes suivants en utilisant la méthode la plus simple possible.

a) 92x

2 + 4x− 12 b) 3x2 − 4 c) 4x2 − 3x

2. Calculer les discriminants ∆1, ∆2 et ∆3 des trois polynômes suivants et factoriser lespolynômes qui sont factorisables dans R.

p1(x) = 5x2 − 2x+ 1 p2(x) = −4x2 + 2x+ 3 p3(x) = 2x2 + 4x+ 2

3. Factoriser le polynôme suivant en passant par sa forme canonique et vérifier ses zéros grâceà la formule de Viète.

p(x) = 2x2 − 2x− 1

♥ Exercice 23 : résolution d’équations du deuxième degré (3 fois 5 minutes)

a) 6x2 + 5x b) 2x2 − 3 c) 6x2 + 5x− 1

a) 5x2 + 6x+ 1 b) 3x2 + 5x c) 4x2 − 5

a) 3x2 − 5 b) 34x

2 + 6x+ 9 c) 3x2 + 2x

♥ Exercice 24 : factorisation de polynômes de degré 2 (3 fois 5 minutes)

p1(x) = 5x2 − 4x− 1 p2(x) = 2x2 − 4x+ 4 p3(x) = 3x2 − 6x+ 3

p1(x) = −34x

2 + x+ 5 p2(x) =14x

2 + x+ 1 p3(x) =34x

2 − 2x+ 3

p1(x) =12x

2 + x+ 12 p2(x) =

2 − 2x− 12 p3(x) =

2 − 2x+ 52

♥ Exercice 25 : sur la piste de la preuve de la formule de Viète (3 fois 5 minutes)

p(x) = 2x2 − 6x+ 3

p(x) = −2x2 + 4x+ 1

p(x) = 4x2 − 4x− 3

1.5 OS scientifique : le nombre imaginaire des nombres complexes

Les mathématiciens n’aiment pas les limitations : si un polynôme du deuxième degré n’a pas dezéros, c’est parce que la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas (ce qui arrive exclusivementlorsque le discriminant est négatif). Pour que des zéros existent, il suffirait que −1 ait une racinecarrée, mais il n’existe aucun nombre réel avec cette propriété (comme démontré dans le cours delogique). À l’époque de la Renaissance (au XVIe siècle), des mathématiciens italiens ont décidéd’introduire un nouveau nombre qui n’est pas un nombre réel pour jouer le rôle d’une racinecarrée de −1. Ce nombre est appelé nombre imaginaire, est noté i et est défini par la relation

i2 = −1

En ajoutant le nombre i aux nombres réels on obtient l’ensemble des nombres complexes

C = {a+ bi : a ∈ R et b ∈ R}, C contient les nombres réels (a+ bi est réel ssi b = 0).

z Exercice 26 : calculs élémentaires avec des nombres complexes

1. Effectuer les calculs suivants.

a) (2 + 5i)− (4− 3i) b) (7− 2i)(5 − 3i) c) (2 + 5i)(4 − 3i)

2. Déterminer les deux racines carrées de −1.

3. Déterminer et simplifier les deux racines carrées des nombres suivants.

a) −4 b) −8 c) −9 d) −16 e) −27 f) −36 g) −49 h) −75

4. Factoriser les polynômes suivants.

a) x2 − 1 b) x2 + 1 c) 4x2 − 9 d) 4x2 + 9

La formule de Viète reste valable dans les complexes (il faut juste éviter d’utiliser le symbole√

lorsque, sous ce symbole racine, il n’y a pas un nombre réel positif ou nul.).

ax2 + bx+ c = 0Viète⇐⇒

∆=b2−4acx =

−b± r

2aoù r est une racine carrée de ∆

Le troisième cas discriminé par le discriminant devient

∆ < 0 le polynôme p a deux zéros complexes, notés x1 et x2le polynôme p se factorise dans C : p(x) = a(x− x1)(x− x2)

z Exercice 27 : tout sur la formule de Viète dans les nombres complexes

p(x) = 2x2 + 6x+ 9

a) 2x2 − 2x+ 5 b) 72x

2 + 3x c) 4x2 + 5

3. Calculer les discriminants ∆1, ∆2 et ∆3 respectifs des trois polynômes suivants.Puis factoriser tous les polynômes dans C.

p1(x) = 4x2 − 8x+ 5 p2(x) = 4x2 − 12x+ 9 p3(x) = 3x2 + 8x+ 5

1.6 Exercices récapitulatifs de factorisation

Il s’agit maintenant d’être capable d’appliquer ce qui a été appris dans les OB04, OB05 et OB06.

Factoriser les expressions suivantes.

a)(x2 − 2x+ 4)(x4 − 2x2 + 1)

(2x− 5)2 − (2− x)2b)

(x− 4)(x− 1)2

x− 5− (x− 1)3

2x− 1

c)(2x+ 3)(4x2 − 3)3

2x− 1− (4x2 − 3)4

4x+ 1d)

6x5 − 3x4 + 8x3 − 28x+ 48

(x2 + 1)2− 4x

x− 3

5x− 2

f)(x− 2)2(5 + 6x− 5x2)

x3 − x− (4 + 4x2 − 2x3)(x− 2)2

Réponses

a)(x− 1)2(x+ 1)2(x2 − 2x+ 4)

(x− 3)(3x − 7)

La factorisation est terminée puisque x2−2x+4 est irréductible dans R, car son discriminant,qui vaut 4− 16 = −12, est négatif !

b)(x− 1)2

x− 3+√13

x− 3−√13

(x− 5)(2x − 1)

c) − 4x(x+ 1)(2x − 5)(2x−

√3)3 (

2x+√3)3

(2x− 1)(4x + 1)

Résultat intermédiaire : on passe par le polynôme du troisième degré −8x3 + 12x2 + 20x.

d)(x− 2)(x + 2)(2x − 3)(x2 + 4)

(x2 + 1)2

La factorisation est terminée puisque x2 + 1 et x2 + 4 sont irréductibles dans R, car leursdiscriminants sont négatifs (ils valent respectivement −4 et −16). On peut aussi justifiercette irréductibilité en signalant que x2 + 1 et x2 + 4 ne s’annulent pas (puisque x2 + 1 > 1et x2 + 4 > 4, car x2 > 0 (dans R)).

e)(4x+ 1)(6x − 5)

(x− 3)2(5x− 2)2

f)2(x− 2)2

x− (1 +√2))(

x− (1−√2))(

x2 +√102

x− 4√402

x+4√402

x(x− 1)(x+ 1)

Résultat intermédiaire : on passe par le polynôme 2x6 − 4x5 − 2x4 − 5x2 + 10x+ 5.

La factorisation est terminée, car x2 +√102 est irréductible dans R.

1.7 Équations de degré 1 et représentations graphiques

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations, dedessiner des droites, de se rendre compte qu’il y a un lien entre la résolution d’équations etles points d’intersection des graphes de deux fonctions.

Le graphe d’une fonction f (définie sur les nombres réels R) est un ensemble de points.

Gf ={(x; y) ∈ R2 : x ∈ R et y = f(x) ∈ R

{(x; f(x)) ∈ R2 : x ∈ R

Une droite est le graphe d’une fonction affine.

droite d’équation y = f(x)avec f(x) = mx+ h

où m = pente =déplacement vertical

déplacement horizontalet h = hauteur = f(0)

♥ Exercice 29 : recherche du point d’intersection de deux courbes (2 fois 5 minutes) ActiverOB101. Déterminer, par calcul, le point d’intersection des graphes des fonctions f et de g définies

par f(x) = −32x+ 2 et g(x) = −2

3x+ 5, puis vérifier ce calcul sur le repère de gauche.

2. Déterminer, par calcul, le point d’intersection des graphes des fonctions f et de g définiespar f(x) = 2

3x− 1 et g(x) = −34x+ 2, puis vérifier ce calcul sur le repère de droite.

2 4 6−2−4−6

♥ Exercice 30 : recherche du point d’intersection de deux courbes (2 fois 5 minutes)

5x− 3 et g(x) = 23x+ 1, puis vérifier ce calcul sur le repère de gauche.

2x− 4 et g(x) = 43x− 1, puis vérifier ce calcul sur le repère de droite.

2 4 6−2−4−6

1.8 Géométrie

1.8.1 Vecteurs et droites

Le but des exercices qui suivent est d’être à l’aise avec les vecteurs, car ils sont utiles enphysique pour décrire les forces, les vitesses et les accélérations. Ils sont aussi fondamentauxpour comprendre les notions de représentations paramétriques de droites (ou de plans en 3D).

On additionne deux vecteurs en les mettant bout à bout.

Multiplier un vecteur par un nombre positif change sa longueur.Multiplier un vecteur par −1 change son sens.

z Exercice 31 : vecteursActiverQQ42

Voici trois vecteurs ~v1, ~v2 et ~v3.

1. Dessiner sur une feuille quadrillée les vecteurs :

a) ~v1 + ~v2 b) ~v1 + ~v2 + ~v3

c) ~v1 − ~v2 d) 12~v3 − 2~v1

2. Vérifier les réponses en calculant les composantes de ces vecteurs (1 carré pour 1 unité).

Deux vecteurs sont parallèles si l’un est un multiple de l’autre.

z Exercice 32 : vecteurs parallèlesActiverQQ43 Parmi les vecteurs suivants, trouver tous ceux qui sont parallèles.

(√3√5

(√21√2

Le lien entre entre un vecteur et un point est donné par l’équivalence−−→OP =

)⇐⇒ P (x; y) où O(0, 0) est l’origine du plan.

z Exercice 33 : vecteurs et pointsActiverQQ44

ActiverQQ45

On considère quatre points dans le plan : A, B, C et D.

3 6 9 12 15 18−3

1. Placer les points P1, P2 et P3 définis par les relations vectorielles suivantes.

a)−−→OP 1 =

−−→OB +

−→AC b)

−−→OP 2 = 2

−−→OD + 2

−→OA c)

−−→OP 3 =

−−→OC −−−→

2. Déterminer, par calcul, les coordonnées des points P1, P2 et P3.

z Exercice 34 : trouver des points grâce à des vecteurs

1. Expliquer comment utiliser les vecteurs pour

(a) trouver le point B en connaissant le point A et le vecteur−−→AB ;

(b) trouver le point D en connaissant le point C et le point milieu M du segment [CD] ;

(c) trouver le point S de sorte que PQRS soit un parallélogramme en connaissant lespoints P , Q et R.

2. Appliquer les méthodes découvertes ci-dessus lorsque A(5; 6) et−−→AB =

(−32

); C(1; 3) et

M(−2; 5) ; P (5; 6), Q(2; 8) et R(10; 5).

z Exercice 35 : représentations paramétriques d’une droite

On imagine deux mouvements rectilignes. En physique, les vecteurs ~v et ~w décrits ci-dessous sontdes vecteurs vitesses. Si les coordonnées des points étaient en mètres et les instants des secondes,les composantes des vecteurs vitesses seraient en mètres par seconde.

• Un point P se déplace le long d’une droite selon le déplacement donné par le vecteur ~v =(

Aux instants t = 0, t = 1, t = 2 et t = −1, il est respectivement en P0(4; 7), P1, P2 et P−1.

• Un point Q se déplace le long d’une droite selon le déplacement donné par le vecteur ~w =(−9

Aux instants t = 0, t = 1, t = 2 et t = −1, il est respectivement en Q0(10; 3), Q1, Q2 et Q−1.

L’exercice consiste à

1. dessiner les points définis ci-dessus sur le repère suivant avec deux couleurs différentes ;y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24−2−4−6−8

2. déterminer une manière de décrire les coordonnées des points P et Q à chaque instant t ;

Ce sont deux représentations paramétriques différentes pour la même droite !

3. déterminer l’instant t pour lequel les points P et Q sont au même endroit et cet endroit.

z Exercice 36 : représentations cartésiennes de droites

1. Dessiner sur le repère ci-dessous les solutions des équations suivantes en couleurs.

d1 : 2x+ y = 10 d2 : 3x+ 4y = 24 d3 : 5x− 3y = 47

d4 : x = 20 d5 : y = 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24−2−4−6−8

2. D’une équations de la forme ax+ by = c, on lit le vecteur(ab

(a) Dessiner les tels vecteurs qui correspondent à chacune des droites d1, d2, d3, d4 et d5.

(b) Déterminer le lien entre chacun de ces vecteurs et leur droite respective.

♠ Exercice 37 : vecteurs, points et bases

Dans un repère orthonormé, on considère A(0; 7), B(14; 0), ~v1 =(21

)et ~v2 =

(−32

1. Décrire le vecteur−−→AB dans la base B = {~v1, ~v2}.

2. Dans cette base, déterminer les coordonnées des points A et B.

Voici le repère muni de la base orthonormée (par rotation et symétrie, on peut toujours dessinerun repère muni d’une base orthonormée comme celui munit de la base canonique).

4 8 12−4b

−−→AB

~e2 ~v1~v2

1.8.2 Droites remarquables dans le plan

Rappelons les propriétés des droites que sont les médiatrices, les médianes, les hauteurs et lesbissectrices.

z Exercice 38 : médiatrice à la règle et au compas

La médiatrice m[AB] se construit à l’aide des sommets du segment [AB] ;

est perpendiculaire à−−→AB et passe par le milieu de [AB] ;

est l’ensemble des points qui sont à même distance des points A et B ;

est l’axe de symétrie du segment [AB] ;

passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

En n’utilisant qu’une règle et un compas, dessiner la médiatrice du segment [AB].

z Exercice 39 : médiane à la règle et au compas

La médiane mA se construit à l’aide des sommets du triangle ABC ;

passe par le sommet A et le milieu de [BC] ;

coupe le triangle ABC en deux triangles de même aire ;

passe par le centre de gravité du triangle ABC.

En n’utilisant qu’une règle et un compas, dessiner la médiane du triangle ABC qui passe par C.

z Exercice 40 : hauteur à la règle et au compas

La hauteur hA se construit à l’aide des sommets du triangle ABC ;

passe par le sommet A et est perpendiculaire à−−→BC ;

coupe le triangle ABC en deux triangles rectangles ;

passe par l’orthocentre du triangle ABC.

En n’utilisant qu’une règle et un compas, dessiner la hauteur du triangle ABC qui passe par A.

z Exercice 41 : bissectrice à la règle et au compas

La bissectrice intérieure bA se construit à l’aide des sommets du triangle ABC ;

passe par le sommet A et coupe l’angle en A en deux angles égaux ;

est un axe de symétrie des droites (AB) et (AC) ;

passe par le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

La bissectrice extérieure est perpendiculaire à la bissectrice intérieure ;c’est l’autre axe de symétrie des droites (AB) et (AC).

Les deux bissectrices forment l’ensemble des points équidistants des droites (AB) et (AC).

En n’utilisant qu’une règle et un compas, dessiner la bissectrice du triangle ABC qui passe par A.

La construction de la bissectrice intérieure bA montre qu’on trouve un vecteur directeur

en additionnant deux vecteurs respectivement parallèles à−−→AB et à

−→AC de même longueur.

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de déterminer les représentationsparamétrique et cartésienne des droites, qui sont la base de toute la géométrie analytique (justeaprès les vecteurs). Il sert aussi de rampe de lancement pour la géométrie en 3D.

Voici un résumé des notions fondamentales qui permettent d’écrire les représentations paramé-trique et cartésienne des droites.

Point P0(x0; y0)

représentation paramétrique

d :{x = x0 + λd1y = y0 + λd2

, λ ∈ R

vecteurdirecteur~d =

vecteur normal

(d2−d1

)= ~n =

représentation cartésienne

d : ax+ by = ax0 + by0

Ces notions peuvent être entrainées à l’aide des

Exercices réflexes R10 à R15 sur http://www.vive-les-maths.net/

Les coordonnées du point milieu M du segment [AB] s’obtiennent ainsi (moyenne arithmétique)

A(xA; yA) et B(xB; yB) =⇒ M(xA+xB

2 ; yA+yB2

La longueur d’un vecteur est donnée par Pythagore et se note∥∥(ab

)∥∥ =

√a2 + b2 .

♥ Exercice 42 : médiatrice dans un triangle (5 minutes) ActiverQQ46

ActiverQQ47

ActiverQQ51

ActiverOB26

Soit A(−6; 4) et B(2;−2) et C(4;−5) trois points.

On considère la médiatrice du triangle ABC qui passe parle sommet C ou le milieu du segment [AB].

Dessiner cette médiatrice sur le schéma ci-contre et établirses représentations paramétrique et cartésienne.

♥ Exercice 43 : hauteur dans un triangle (5 minutes)

Soit A(2; 5) et B(1;−3) et C(7;−2) trois points.

On considère la hauteur du triangle ABC qui passe parle sommet A ou le milieu du segment [BC].

Dessiner cette hauteur sur le schéma ci-contre et établirses représentations paramétrique et cartésienne.

♥ Exercice 44 : médiane dans un triangle (5 minutes)

Soit A(2; 5) et B(4;−3) et C(7;−2) trois points.

On considère la médiane du triangle ABC qui passe parle sommet C ou le milieu du segment [AB].

Dessiner cette médiane sur le schéma ci-contre et établirses représentations paramétrique et cartésienne.

♥ Exercice 45 : bissectrice dans un triangle (5 minutes) ActiverQQ49Soit A(2;−3), B(3;−5) et C(4; 8) trois points.

On considère la bissectrice intérieure du triangle ABC quipasse par le sommet A ou le milieu du segment [BC].

Dessiner cette bissectrice sur le schéma ci-contre et établirses représentations paramétrique et cartésienne.

♥ Exercice 46 : tangente à un cercle (5 minutes)ActiverQQ52 On considère le point A(−3; 2) et le cercle C centré en C(−5; 1) de rayon

Montrer que le point A est sur le cercle et donner des représentations paramétrique et cartésiennede la tangente au cercle passant par le point A.

1.8.3 Intersection de droites, projections orthogonales

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations ou dessystèmes d’équations et de se rendre compte qu’il y a un lien entre la résolution d’équations etles points d’intersection de deux droites (penser à l’OB10).

Il est vraiment nécessaire de s’assurer la maîtrise des

Exercices réflexes R10 à R15 sur http://www.vive-les-maths.net/

♥ Exercice 47 : calcul d’intersection (4 fois 5 minutes)

1. Calculer le point d’intersection des droites suivantes.

x = 1 + 3λy = 2 + 4λ , λ ∈ R et d2 :

{x = 5 − 7µy = 6 − 8µ , µ ∈ R

d1 : 4x − 3y = −2 et d2 : 8x − 7y = −2

x = −2 + 3λy = 2 + λ , λ ∈ R et d2 :

{x = 3 + µy = 7 − 3µ , µ ∈ R

d1 : x − 3y = −8 et d2 : 3x + y = 16

z Exercice 48 : trop facile pour les contrôles de devoirs

x = 1 + 3λy = 2 + 4λ , λ ∈ R et d2 : 8x − 7y = −2

♥ Exercice 49 : projections orthogonales d’un point sur une droite (4 fois 5 minutes)ActiverOB27 1. Calculer la projection orthogonale du point A(17; 1) sur la droite suivante.

x = 4 + 2λy = 1 + 3λ , λ ∈ R

2. Calculer la projection orthogonale du point A(17; 1) sur la droite suivante.

d : 3x − 2y = 10

3. Calculer la projection orthogonale du point A(26;−9) sur la droite suivante.

x = 3 + λy = 2 − 5λ , λ ∈ R

4. Calculer la projection orthogonale du point A(26;−9) sur la droite suivante.

d : 5x + y = 17

z Exercice 50 : il n’y a pas toujours un point d’intersection

On considère les droites d1, d2 et d3 suivantes.

{x = 1 + 3λy = 2 + 4λ

, λ ∈ R d2 : 4x− 3y = −2 d3 : 4x− 3y = 7

Calculer l’(ensemble d’)intersection des droites d1 et d2 ; d2 et d3. Déduction ?

1.8.4 Exercices de recherche de stratégies

Il s’agit maintenant d’être capable d’appliquer ce qui a été appris sur les points, vecteurs, droiteset les intersections de droites afin de pouvoir résoudre, à l’aide des outils développés dans lesOB26 et OB27, des problèmes nouveaux qui nécessitent de trouver une stratégie originale.

On considère les points A(4; 5) et B(1;−1).

Déterminer, par calcul, l’intersection entre le segment [AB] et la droite d : 2x− 5y = 8.

On considère les points A(−4; 31), B(10; 13) et C(4; 4).

1. Déterminer, par calcul, le point symétrique du point A par rapport au point B.

2. Déterminer, par calcul, le point symétrique du point A par rapport à la droite (BC).

On considère le triangle ABC dont le sommet A est le point A(0;−6).La médiane passant par C est mC : 17x + 6y = 64 et la hauteur en C est hC : 2x+ y = 9.

Déterminer, par calcul, les sommets B et C du triangle.

On se donne les points P (−1;−1), Q(7; 3) et la droite dont une représentation paramétrique est

{x = 2 + λy = 3 + 3λ

, λ ∈ R

1. Déterminer, par calcul, le ou les points R appartenant à la droite d tels que PQR est untriangle rectangle d’hypoténuse PR.

2. Déterminer, par calcul, le point S de sorte que PQRS soit un parallélogramme.

On considère le triangle ABC décrit par les indices suivants :

1. le sommet A a les coordonnées A(−4; 4) ;

2. la droite (AB) est d’équation cartésienne 2x+ 9y = 28 ;

3. la projection orthogonale du point B sur la droite (AC) est P (−52 ;−1

4. la médiatrice du segment AC passe par le point D(6; 4).

Déterminer, par calcul, les sommets du triangle ABC.

On considère le triangle ABC, rectangle en A, dont le sommet A est le point A(−8; 15).

La médiane passant par B est mB : 4x − 7y = −85 et la médiatrice du segment [AC] estmAC : −3x+ 2y = 28.

Déterminer, par calcul, les sommets B et C du triangle.

On considère le triangle ABC, dont on connait les informations suivantes :

1. le milieu de [AC] est M(0;−3) ;

2. la hauteur qui part du somment B coupe le segment [AC] au point H(6;−11) ;

3. la médiane issue de B est parallèle au vecteur( 7−1

4. la droite (BC) est orthogonale au vecteur(913

Déterminer, par calcul, les sommets A, B et C du triangle.

On considère le triangle ABC décrit par les indices suivants.

1. Le point A est d’abscisse −15 et d’ordonnée 12.

2. Le point B est d’abscisse −25 et d’ordonnée −18.

3. La bissectrice intérieure au sommet B est perpendiculaire au vecteur ~v =(

4. Le triangle est rectangle au sommet A.

Calculer les coordonnées du sommet C du triangle.

ématiq

année

:exercic

Lycée

cantonalde

Porrentruy

z Exercice 59 : les différentes visions des droites

points

un point,un vecteur

directeur

une représentationparamétrique

un point,un vecteur

normal

une représentationcartésienne

la pente,la hauteur

la représentationgraphique

A(−3; 1),

B(3; 3)

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0(4; 2),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0(−2; 3),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

( ) 3x− 4y = −10m =

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

m = − 3

2 4 6−2−4−6

Version

4.500page

Perret

Lycée

cantonalde

Porrentruy

année

:exercic

ématiq

z Exercice 60 : les différentes visions des droites

points

un point,un vecteur

directeur

une représentationparamétrique

un point,un vecteur

normal

une représentationcartésienne

la pente,la hauteur

la représentationgraphique

A(3; 4),

B(−3; 1)

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0(−4; 3),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

x = 2 + 4λ

y = 1 − 3λ, λ ∈ R

P0( ; ),

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

( ) 4x− 3y = 4m =

2 4 6−2−4−6

A( ; ),

B( ; )

P0( ; ),

y =λ ∈ R

P0( ; ),

2 4 6−2−4−6

S.Perret

Version

1.9 Trigonométrie

1.9.1 Les valeurs les plus importantes des fonctions trigonométriques

Les définitions fondamentales sont

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan.

Les angles en radians, notés α, sont définis par la relation α =longueur d’arc

Si l’angle est orienté dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre,il est positif ; sinon, il est négatif.

Lorsque le rayon vaut 1, les angles en radians sont égaux à la longueur d’arc.

Le point du cercle trigonométrique donnée par un angle α est appelé (cos(α); sin(α)).

La relation la plus importante de la trigonométrie est

cos2(α) + sin2(α) = 1 pour tout angle α ∈ R (Pythagore)

On utilise un nombre pair de carrés pour le rayon afin de voir les angles multiples de π6 .

0 = 2ππ

3π6 = π

9π6 = 3π

2π6 = π

32π3 = 4π

4π3 = 8π

610π6 = 5π

Les multiples de π6

Pour les angles α multiples de π6 (qui sont différents

des multiples de π2 ) :

1. on place le point (cos(α); sin(α)) sur le cercle.

Lorsqu’on prend un nombre pair de carrés pourle rayon du cercle, on peut démontrer que le pointest sur le quadrillage ;

2. on voit sur le schéma la coordonnée qui vaut ±12

et son signe ;

3. l’autre coordonnée vaut ±√32 et son signe se voit

sur le schéma.

Grâce à cos2(α)+sin2(α) = 1, on sait que si une

coordonnée vaut ±12 , l’autre vaut ±

√32 .

0 = 2ππ

2π4 = π

6π4 = 3π

Les multiples de π4

Pour les angles α multiples de π4 (qui sont différents

des multiples de π2 ) :

1. on place le point (cos(α); sin(α)) sur le cercle.

Le point est sur une des diagonales ;

2. puisque que le point est sur une diagonale, sescoordonnées sont les mêmes au signe près ;

3. les deux coordonnées valent ±√22 et leur signe se

voit sur le schéma.

Grâce à cos2(α) + sin2(α) = 1, on sait que si lescoordonnées sont égales à x au signe près, alorsl’équation devient 2x2 = 1 et donc x = ±

√22 .

Un point sur le cercle trigonométrique se décrit à l’aide d’un seul nombre, appelé angle, noté α.Le cercle trigonométrique est donc un objet mathématique de dimension 1. Les fonctions trigo-nométriques servent à décrire les coordonnées des points du cercle trigonométrique.

(cos(α); sin(α))

(1; tan(α))

On peut décrire la deuxième coordonnéed’un point sur la droite tangente au cercledonnée par l’équation x = 1 à l’aide del’angle α. On définit ainsi la tangente del’angle α.

En utilisant une homothétie, on prouve laformule suivante.

tan(α) =sin(α)

cos(α)

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de visualiser des angles en radians,des coordonnées de points du cercle trigonométrique et d’utiliser le théorème de Pythagore.

♥ Exercice 61 : cosinus, sinus et tangente d’angles particuliers (4 fois 5 minutes)ActiverQQ12

ActiverQQ13

ActiverQQ14

ActiverOB14

1. a) Trouver les valeurs exactes des fonctions trigonométriques suivantes.

et tan

b) Si sin(α) = 45 , que vaut cos(α) ?

−3π

et tan

−3π

b) Si cos(α) = 34 , que vaut sin(α) ?

et tan

−7π

et tan

−7π

b) Si cos(α) = 23 , que vaut sin(α) ?

et tan

1.9.2 Exercices d’applications de la trigonométrie

La trigonométrie est utilisée dans la vie de tous les jours dans des situations diverses. On utilisedes rapporteurs plus perfectionnés afin de mesurer les angles, comme des théodolites électroniquesqui ont une marge d’erreur de moins de 0.02◦ (voir image de gauche). On peut aussi se fabriquerun appareil de mesure appelé astrolabe (voir image de droite).

Problèmes avec des vecteurs

z Exercice 62 : addition de vecteurs (tiré de [SC00])

La figure ci-dessous à gauche représente le bras d’un robot. Ce bras peut pivoter aux articulationsP et Q. Le bras supérieur, représenté par le vecteur ~a, fait 37.5 centimètres de long et l’avant-bras, y compris la main, représenté par le vecteur ~b a une longueur de 42.5 centimètres. Calculerles coordonnées du point R qui représente la main.

Quelques instants plus tard, le bras supérieur est pivoté de 85◦ et l’avant-bras subit une rotationsupplémentaire de 35◦, comme le montre la figure ci-dessous à droite. Calculer les nouvellescoordonnées du point R.

� Exercice 63 (tiré de [SC00] ; temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

La figure montre deux remorqueurs qui amènent un navire dans un port le long d’une direction l.Le remorqueur le plus puissant génère une force de 20 000 Newton sur son câble, le plus petitune force de 16 000 Newton.

Calculer l’angle θ montré sur la figure pour que le navire avance dans la direction l.

Problèmes avec des triangles rectangles et quelconques

Un triangle possède six caractéristiques (trois angles et trois longueurs de côtés). Il faut en

connaître au moins trois (qui ne sont pas les trois angles ; l’une des caractéristiques connuespeut être un angle droit) pour pouvoir espérer trouver les trois autres.

Dans la plupart des problèmes ci-dessous, il faut faire une esquisse la plus simple possible etse demander comment on peut trouver au moins trois caractéristiques d’un triangle. Parfois, ilfaudra résoudre des systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Les formules suivantes permettent de trouver les caractéristiques manquantes d’un triangle.

1. On considère le triangle rectangle ci-contre.

Pythagore : b2 = a2 + c2

cos-adj-hyp : cos(α) = cb

ou cos(γ) = ab

sin-opp-hyp : sin(α) = ab

ou sin(γ) = cb

tan-opp-adj : tan(α) = ac

ou tan(γ) = ca

2. On considère le triangle quelconque ci-contre.

Somme des angles : α+ β + γ = 180◦

Théorème du sinus :

sin(α)

sin(β)

sin(γ)

Théorème du cosinus : a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)

b2 = c2 + a2 − 2ca cos(β)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)

z Exercice 64 : utilisation élémentaire des formulesActiverQQ15

1. Combien de triangles de côtés 2 et 1 dont l’angle opposé au côté de longueur 1 vaut 30◦

peut-on dessiner ? Déterminer toutes leurs caractéristiques.

z Exercice 65 : problème élémentaire sur un triangle rectangle (tiré de [SC00])

Un bûcheron se trouvant à 60m de la base d’un séquoia observe que l’angle entre la base et lesommet de l’arbre est de 60◦.

Calculer la hauteur de l’arbre.

À partir d’un point P au sol, l’angle d’élévation du sommet d’une tour est de 26◦. En avançantde 25.0 mètres en direction de la tour, il passe à 53◦.

Calculer la hauteur de la tour.

Le Pentagone, dont on voit une photo ci-dessous, est le plus grand bâtiment administratif aumonde, si l’on considère la surface occupée. La base du bâtiment a la forme d’un pentagonerégulier, dont chaque côté mesure 281 mètres. Déterminer l’aire de la base du bâtiment.

La figure ci-dessous représente l’écran d’un jeu vidéo d’arcade dans lequel des canards se déplacentdu point A vers le point B à la vitesse de 7 cm/s. Des balles tirées depuis le point O ont unevitesse de 25 centimètres par seconde. Si un joueur tire dès qu’un canard apparaît en A, queldevrait être l’angle de tir ϕ pour atteindre la cible du premier coup ?

La figure ci-dessous représente un téléphérique transportantdes passagers d’un point A, qui se trouve à 2.0 km du pointB situé au pied de la montagne, à un point P au sommet dela montagne. Les angles d’élévation de P aux points A et Bsont respectivement de 21◦ et 65◦.

1. Calculer la distance entre A et P .

2. Calculer la hauteur de la montagne.

La Station Spatiale Internationale est une station spatiale placée en orbite terrestre basse, occu-pée en permanence par un équipage international qui se consacre à la recherche scientifique dansl’environnement spatial. Lorsque la station se trouve à 359 kilomètres d’altitude, un astronauteregarde l’horizon terrestre avec un angle α est de 71.2◦.

Utiliser cette information pour calculer le rayon de la terre.

� Exercice 71 (tiré de [Dob14] ; temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

Un triangle ABC est donné par b = 35.2, c = 26.2 et α = 123.2◦.

Calculer la longueur du segment [AP ], où P est le point d’intersection entre la bissectrice del’angle B̂AC et le côté [BC].

Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35◦ avec la verticale.

Sachant que le satellite gravite à 1000 kilomètres de la surface de la Terre, quelle est la distanceséparant le satellite de l’observateur ? (Rayon de la Terre : 6370 km)

♠ Exercice 73 : sur les triangles isocèles

On considère un triangle quelconque.

Montrer que si deux angles sont les mêmes, alors les côtés correspondants sont de même longueur ;et réciproquement.

♠ Exercice 74 : critères pour détecter les triangles rectangles

On considère un triangle quelconque pour lequel les noms des arêtes, des sommets et des anglesrespectent la convention vue dans le cours.

On sait que

1. Le triangle est rectangle en C =⇒ a2 + b2 = c2 (Pythagore).

2. Le triangle est rectangle en C =⇒ sin(α) = ac

ou sin(β) = bc

(sin-opp-hyp).

3. Le triangle est rectangle en C =⇒ cos(α) = bc

ou cos(β) = ac

(cos-adj-hyp).

4. Le triangle est rectangle en C =⇒ tan(α) = ab

et tan(β) = ba

(tan-opp-adj).

Montrer les réciproques, puis trouver un contre-exemple pour la réciproque de 4, si on met ouau lieu de et.

1.9.3 Exercices d’applications de la trigonométrie pour réviser

La figure ci-contre représente un appareillage permettant de simuler des conditions de gravitésur d’autres planètes. Une corde est attachée à un astronaute manœvrant sur un plan incliné quiforme un angle θ avec l’horizontale.

Les accélérations de la pesanteur de la terre, de la lune et de marssont respectivement g ∼= 9.81m

s2, glune

∼= 1.62ms2

et gmars∼= 3.71m

1. Si l’astronaute pèse 80 kilogrammes, calculer les composantesde la force de pesanteur dans la base {~v1, ~v2}.

2. Calculer l’angle (au centième de degré près) du plan incliné quipermet de simuler une marche sur la lune.

3. Faire de même pour mars.

z Exercice 76 : utilisation élémentaire des formules

1. Combien de triangles de côtés 7 et 10, avec un angle compris entre ces deux côtés de 30◦,peut-on dessiner ? Déterminer toutes leurs caractéristiques.

Un cône droit a un rayon de 5 centimètres.

Calculer l’angle d’ouverture du cône qui correspond à un volume de 328 cm3.

En observant le sommet T d’une montagne à partir d’unpoint P au sud de la montagne, l’angle d’élévation vautα = 30◦.

L’observation à partir d’un point Q, situé à 16 kilomètres àl’est de P , donne un angle d’élévation β = 20◦.

Déterminer la hauteur h de la montagne.

La figure ci-contre représente une cathédrale située ausommet d’une colline. En observant le sommet de lacathédrale depuis le pied de la colline, l’angle d’élévationest de 48◦. Si on l’observe à 60 mètres de la base de lacolline, l’angle d’élévation est de 41◦. La pente de lacolline forme un angle de 32◦.

Calculer la hauteur de la cathédrale.

À partir d’un point A situé 8.20 mètres au-dessus du sol, l’angle d’élévation du sommet d’unbâtiment est de 31◦ et l’angle de dépression de la base du bâtiment est de 12◦.

Calculer la hauteur du bâtiment.

Un hélicoptère est en vol stationnaire à 300 mètresau-dessus du sommet d’une montagne qui culmine à1560 mètres, comme le montre la figure. Du sommetde cette montagne ou de l’hélicoptère, on peut voir undeuxième pic, plus élevé. Vu de l’hélicoptère, son anglede dépression est de 43◦ vu du petit sommet, son angled’élévation est de 18◦.

1. Calculer la distance séparant les deux sommets.

2. Calculer l’altitude du sommet le plus élevé.

On doit percer un tunnel pour une nouvelle autoroute à travers unemontagne de 80 mètres de haut. À une distance de 60 mètres dela base de la montagne, l’angle d’élévation est de 36◦. Sur l’autreface, l’angle d’élévation à une distance de 45 mètres est de 47◦.

Calculer la longueur du tunnel au mètre près.

Lorsqu’un satellite est à une certaine altitude a de l’équateurd’une planète de rayon R, il va être en orbite équatorialesynchrone, cela signifie que pour un observateur situé surl’équateur, le satellite parait immobile.

Pour la Terre, on a a = 35789 km et R = 6378 137 m.

On considère un satellite qui est sur une orbite équatorialesynchrone autour de la Terre selon le schéma ci-contre.

1. Calculer l’angle θ, puis la hauteur h.

2. Calculer le pourcentage de la surface de la Terre que le satellite peut couvrir.

Rappel : l’aire de la calotte sphérique de hauteur h vaut 2πRh et l’aire de la sphère vaut 4πR2.

Un géomètre, situé à une altitude de 912 mètres, observe une antenne de communication située surune colline en face de lui. Il mesure, au moyen d’un théodolite, les angles d’élévation du sommetet du pied de l’antenne valent respectivement 17.15◦ et 14.03◦. Si la hauteur de l’antenne est de35 mètres, à quelle altitude se trouve le pied de cette dernière ?

� Exercice 85 (tiré de [Mül17] ; temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

Vous venez de plaquer l’ex-amour de votre vie en l’abandonnant sur la jetée de Kanduhulhudhoo(altitude de ses yeux humides : 4 m) et ramez irrésistiblement vers le large (altitude de vos yeuximpitoyables : 1 m).

À quelle distance du rivage échapperez-vous à son regard déchirant en disparaissant de sonhorizon ?

1.10 Fonctions affines et quadratiques

Exercices réflexes R8 et R9 sur http://www.vive-les-maths.net/

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de dessiner des graphes et de com-prendre les expressions fonctionnelles des droites et des paraboles (penser aux OB10 et OB29).

Il est fondamental de bien comprendre ce qui suit (il y a bien plus à comprendre qu’il n’y paraît) !

On considère une droite de pente a dont un point est (x0; y0).On considère un autre point (x1; y1) de la droite. Cette dernière est décrite par l’équation

y = y0 + a(x− x0) où a =y1 − y0x1 − x0

=déplacement vertical

déplacement horizontal

On considère une parabole de demi-courbure a dont le sommet est (x0; y0).On considère un autre point (x1; y1) de la parabole. Cette dernière est décrite par l’équation

y = y0 + a(x− x0)2 où a =

y1 − y0(x1 − x0)2

=déplacement vertical

dépl. horizontal au carré

♥ Exercice 86 : fonctions affines et quadratiques (4 fois 5 minutes) ActiverQQ181. Dessiner le graphe des fonctions f(x) = −2

3x+ 1 et g(x) = x2 + 6x+ 11.

2. Dessiner le graphe des fonctions f(x) = 52x− 3 et g(x) = −x2 + 4x+ 1.

3. Dessiner le graphe des fonctions f(x) = 32x− 1 et g(x) = 1

2x2 − 1.

4. Dessiner le graphe des fonctions f(x) = −23x+ 1 et g(x) = −1

2x2 + 5.

♥ Exercice 87 : fonctions affines et quadratiques (2 fois 5 minutes) ActiverQQ23

ActiverOB8

1. À partir des graphes sur le repère de gauche, déterminer les expressions fonctionnelles ded(x) et de p(x). Les expressions seront développées au maximum.

2. À partir des graphes sur le repère de droite, déterminer les expressions fonctionnelles ded(x) et de p(x). Les expressions seront développées au maximum.

2 4 6−2−4−6

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

2 4 6−2−4−6 b

♥ Exercice 88 : fonctions affines et quadratiques (2 fois 5 minutes)

1. À partir des graphes sur le repère de gauche, déterminer les expressions fonctionnelles ded(x) et de p(x). Les expressions seront développées au maximum.

2. À partir des graphes sur le repère de droite, déterminer les expressions fonctionnelles ded(x) et de p(x). Les expressions seront développées au maximum.

2 4 6−2−4−6

1.11 Autres applications de la formule de Viète

La formule de Viète permet de résoudre d’autres types d’équations dans lesquelles des équationsdu deuxième degré se camouflent (notamment les équations bicarrées pour lesquelles ♥ = x2).

a♥2 + b♥+ c = 0Viète⇐⇒

∆=b2−4ac♥ =

−b±√∆

On peut toujours factoriser comme appris précédemment :

Si ♥1 et ♥2 sont les deux zéros de a♥2 + b♥+ c,alors on a la factorisation a♥2 + b♥+ c = a(♥−♥1)(♥ −♥2).

Voici des propriétés utiles des exponentielles et des logarithmes.

am · an = am+n

(am)n = am·na0 = 1

a−n = 1an

loga(b) est la puissance à laquelleon élève la base a pour obtenir le nombre b

1.11.1 Équations bicarrées

a) Résoudre x4 − 5x2 + 6 = 0 b) Résoudre 2x4 + 9 = 9x2

c) Factoriser x4 + 5x2 − 36 d) Factoriser 4x4 + 3x2 − 1

1.11.2 Équations du deuxième degré camouflées

� Exercice 90 (temps estimé pour les TEs : 40 minutes)ActiverQQ7

ActiverQQ8

Résoudre les équations du deuxième degré camouflées suivantes (angles entre 0 et 2π).

a) x6+8 = 9x3 b) 22x+2 + 31·2x = 23 c) log2(x2− 11

4 x) = 0 d) 2 cos2(x) = cos(x)+1

e) 3x8 = 10x4+8 f) 32x+3 + 4·3x+1 = 7 g) log3(x2− 27

9 h) 2 sin2(x)+5 = 11 sin(x)

1.12 Problèmes d’optimisation du deuxième degré

Les optimisations, en première année, sont basées sur le principe des fonctions quadratiquessuivant.

Une fonction quadratique p(x) = ax2 + bx+ c atteintson optimum (maximum ou minimum) en

x =−b

Lorsque la courbure est positive,le graphe de la fonction quadratiqueest une parabole orientée vers le haut

et un minimum se trouvedans le domaine d’intérêt

Lorsque la courbure est négative,le graphe de la fonction quadratiqueest une parabole orientée vers le bas

et un maximum se trouvedans le domaine d’intérêt

Un optimum peut aussi apparaître au bord du domaine d’intérêt.

� Exercice 91 (tiré de [Cha97] ; temps estimé pour les TEs : 10 minutes) ActiverQQ19Comme chaque printemps, Eugène modifie l’emplacement de son jardin potager. Cette année, il

décide de l’implanter le long de la façade de la maison de sorte qu’il forme un rectangle. Cettefaçade est rectiligne et mesure 30 mètres de long. Pour y parvenir, il dispose d’une clôture de22 mètres de long. Quelles dimensions faut-il donner à ce jardin pour qu’il ait une aire maximale ?

� Exercice 92 (tiré de [Fav16] ; temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

On considère les fonctions définies par f(x) = −14x

2 + 3x− 5 et g(x) = −25x+ 4.

1. Dessiner les représentations graphiques du graphe de ces fonctions.

2. Déterminer, par calcul, les points d’intersection des deux graphes.

3. Calculer la longueur du segment vertical de longueur maximale qui relie un point du graphede f à un point de celui de g, ces deux points ayant une abscisse comprise entre celles despoints d’intersection.

Les dépenses en communication d’une grande société ont évoluées durant les années 90 selon laformule suivante.

d(x) = −35x

2 + 5x+ 130

où x = 0 correspond à 1990 et d(x) aux dépenses en milliers de francs. Rappelons que 9.9 = 10.Dans ces années là, déterminer :

1. le jour pour lequel les dépenses ont été les plus élevées et quelles ont été ces dépenses.

2. le jour pour lequel les dépenses ont été les plus faibles et quelles ont été ces dépenses.

On souhaite monter une pizzeria. On sait que si l’on aménage 120 places, on obtiendra un profitmensuel de 48 francs par place. De plus, pour chaque place au delà de 120, le profit mensuel parplace diminue de 25 centimes. Combien de places doit-on aménager si l’on veut obtenir un profitmensuel maximal ? Quel sera dans ce cas ce profit maximal ?

Calculer la distance la plus courte entre le point A(0; 5) et la parabole qui est le graphe de lafonction p(x) = x2 − 8.

1.12.1 Problèmes d’optimisation pour réviser

Optimiser le produit de deux nombres positifs ou nuls dont la somme vaut 36.

Optimiser la somme des carrés de deux nombres positifs ou nuls dont la somme vaut 36.

Optimiser la longueur du segment vertical reliant les paraboles dans la zone grisée.

2 4 6 8−2

b b b x

� Exercice 99 (tiré de [HA07] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

L’administrateur d’une salle de spectacle pouvant accueillir 2 000 personnes sait qu’en fixant leprix du billet à 25$ pour un spectacle, il y aura salle comble. Par contre, pour toute augmentation,de 1$ du prix du billet, il y aura une diminution des ventes de 50 billets. Déterminer, par calcul, àquel prix l’administrateur devrait vendre les billets pour que le revenu de leur vente soit maximalet également le revenu maximal résultant de leur vente.

� Exercice 100 (tiré de [BV16] ; temps estimé pour les TEs : 5 minutes)

Calculer la hauteur des bords d’une gouttière formée en pliant à angle droit les deux bords d’unebande de zinc de 32cm de large et de 5m de long de sorte que sa capacité soit maximale.

Deux rues se coupent à angle droit en un point I. L’une a la direction nord-sud, l’autre la directionest-ouest. Une voiture venant de l’ouest passe en I à 10 heure précise à la vitesse constante de20 kilomètres par heure. Au même instant, une autre voiture, située à 2 kilomètres au nord ducroisement, se dirige vers le sud à 50 kilomètres à l’heure. Déterminer, par calcul, à quelle heureces deux voitures sont les plus proches l’une de l’autre (à vol d’oiseau) et cette distance minimale.

� Exercice 102 (tiré de [Kha17] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

Calculer la longueur maximum d’un segment parallèle à l’axe des ordonnées qui joint un pointde la droite d’équation y = x+ 2 et un point de la parabole d’équation y = x2 pour x ∈ [−1, 2].

� Exercice 103 (tiré de [Kha17] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

Soit le triangle rectangle ABC avec [AC] de longueur 8 et [BC] de longueur 10.Calculer l’aire du plus grand rectangle qui peut être construit à l’intérieur du triangle ABC.

� Exercice 104 (tiré de [Mül17] ; temps estimé pour les TEs : 20 minutes)

Une ficelle de 4 mètres est coupée en deux morceaux : avec l’un des deux morceaux, on formeun cercle ; avec l’autre, un triangle équilatéral. Déterminer, par calcul, où il faut couper la ficellepour que la somme des deux aires des domaines obtenus soit : a) minimale ; b) maximale.

On considère la parabole définie par p(x) = 9− x2.

Déterminer le périmètre optimal d’un rectangle, dont les côtés sont parallèles aux axes desordonnées et des abscisses, inscrit dans la forme délimitée par les axes, le graphe de p et la droiteverticale d’équation x = 2.

Une entreprise produit des pièces métalliques pour les voitures. Le coût de production journaliervarie en fonction du nombre x de pièces produites, il est donné par C(x) = 1

10x2 − 10x+ 1500.

1. Quel est le coût de production pour une quantité de 20 pièces par jour ?

2. Pour quel nombre de pièces le coût de production journalier est-il le plus bas ? Quel estalors ce coût ?

3. Pour quelle quantité de pièces le coût est-il égal à 1′610 CHF?

4. Quel est le coût lorsque la production est arrêtée ?

5. Si chaque pièce fabriquée est vendue 15 CHF, pour quel nombre de pièces le bénéficejournalier est-il le plus haut ? Quel est alors ce bénéfice ?

On considère un triangle dont un sommet coïncide avec le centre d’un cercle de rayon 6 et dontles deux autres sommets appartiennent au cercle.

Calculer la base et la hauteur du triangle dont l’aire est maximale, et donner cette aire maximale.

On considère un rectangle inscrit dans un triangle isocèle dont la base vaut 27 centimètres et lahauteur vaut 18 centimètres.

Déterminer les dimensions qui optimisent l’aire du rectangle.

Une fenêtre se compose d’un rectangle surmonté d’un triangle équilatéral. Le périmètre de cettefenêtre est égal à 5 mètres.

Déterminer les dimensions de la fenêtre qui donne un éclairement maximal.

� Exercice 110 (tiré de [Jav17] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

On fait tourner un rectangle dont le périmètre vaut 60 cm autour de l’un de ses axes de symétrie.

Déterminer les dimensions du rectangle pour que le corps de révolution ainsi obtenu ait :

1. la plus grande aire latérale ;

2. la plus grande aire totale.

1.13 Fonctions exponentielles et logarithmes

Le but des exercices qui suivent est d’être à l’aise avec les exponentielles et les logarithmes (lesdeux notions parlent de la notion de puissance). Il est très importants de connaître les graphesde ces fonctions, car les principales difficultés posées par ces fonctions peuvent être résolues parla simple connaissance de leurs graphes !

Voici des propriétés utiles des exponentielles et des logarithmes.

a0 = 1a−n = 1

n = n√am = n

√am loga(b) est la puissance à laquelle

on élève la base a pour obtenir le nombre b

z Exercice 111 : calculs d’exponentielles et de logarithmes

1. Résoudre les équations suivantes de tête.

a) 2x = 18 b) 3x = 1

81 c) 4x = 2 d) 4x = 8 e) 9x = 13 f) 10x =

√1010

2. Calculer les logarithmes suivantes de tête.

a) log(1000) b) log2(2100) c) log( 1

100 ) d) log4(12) e) log100(1000) f) log2(4

3. Résoudre les équations suivantes de tête.

a) log(x) = 0 b) log(x) = 6 c) log3(x) = −2 d) log100(x) =52 e) log8(x) = −1

z Exercice 112 : graphes des exponentielles et des logarithmesActiverQQ22 Dessiner les graphes des fonctions exp2(x) = 2x et log2(x) sur un repère et les graphes des

fonctions exp3(x) = 3x et log3(x) sur un autre repère. Donner leur domaine de définition.

1.14 Les homographies

Cet objectif de base permet de faire une introduction à la théorie des asymptotes qui sera vue endeuxième année tout en apprenant à dessiner des graphes classiques : des hyperboles.

Quand x devient très grand,b devient négligeable par rapport à ax etd devient négligeable par rapport à cx.

=⇒ limx→±∞

cx+ d= lim

x→±∞

cAsymptote horizontale y = a

Quand on divise un nombre non-nulpar un nombre de plus en plus petit,

le résultat devient de plus en plus grand.=⇒ lim

x→−d

cx+ d= ±∞

Asymptote verticale x = −dc

♥ Exercice 113 : graphes d’homographie (5 fois 5 minutes)ActiverQQ20

ActiverOB9

1. Dessiner le graphe de la fonction d’expression fonctionnelle f(x) =x− 1

2. Dessiner le graphe de la fonction d’expression fonctionnelle f(x) =9− 2x

x− 3.

3. Dessiner le graphe de la fonction d’expression fonctionnelle f(x) =3x

4. Dessiner le graphe de la fonction d’expression fonctionnelle f(x) =2x+ 1

x− 2.

1.15 Tableaux de signes et résolution d’inéquations

Les tableaux de signes servent entre autres à résoudre des inéquations. Ils permettent de rapide-ment savoir si la fonction est positive, négative ou nulle (ou si elle n’est pas définie). C’est uneapplication directe de la règle des signes. Ils permettent d’entrainer la visualisation des graphesdes fonctions élémentaires utilisées pour décrire la fonction dont il faut faire le tableau de signes.

z Exercice 114 : résolution d’inéquations du 1er degré

Résoudre les inéquations suivantes (donner l’ensemble des solutions à l’aide d’intervalles).

a) 2x < 2 b) 4x+ 4 > x− 3 c) −2x+ 1 6 0 d) −x2 > 4

♠ Exercice 115 : le principal piège des inéquations

Résoudre les inéquations suivantes algébriquement et graphiquement.

x− 1

x+ 36 0 et (x− 1)(x+ 3) 6 0

z Exercice 116 : tableaux de signes de fonctions élémentaires

Esquisser les graphes des fonctions suivantes et établir leur tableau de signes.

f1(x) = x f1(x) + 1 = f1(x+ 2) =

2 4−2−4

f2(x) = 2− x f2(x)− 1 = f2(x− 1) =

2 4−2−4

f3(x) = −x2 f3(x) + 2 = −f3(x+ 2) =

2 4−2−4

f4(x) = x2 − 2x− 3 f4(x) + 4 = −f4(x)− 5 =

2 4−2−4

f5(x) = 3− 3x f6(x) = log2(x+ 2) f7(x) = (x+ 2)3

2 4−2−4

f(x+1)+2 = f(x)+2 = f(x−1)+2 =

2 4−2−4

f(x+ 1) = f(x) = f(x− 1) =

2 4−2−4

f(x+1)−2 = f(x)−2 = f(x−1)−2 =

2 4−2−4

z Exercice 119 : tableaux de signes de fonctions élémentairesActiverQQ16

ActiverQQ21

cos(x)− 3 sin(x) + 2

2π 3π

22π−

2−π−

2−2π

2π 3π

22π−

2−π−

2−2π

z Exercice 120 : tableaux de signes : facteurs et changement de signes

Voici quatre fonctions suffisamment factorisées pour faire leurs tableaux de signes. Surligneren les facteurs qui provoquent un changement de signes (ainsi les facteurs qui ne sontpas surlignés ne provoquent aucun de changement de signes), puis établir leur tableau de signes.

a) f1(x) =(x− 2)2 (x+ 1)

x3 (x+ 2)6 (x− 3)5b) f2(x) =

x2 (5x+ 3) (x+ 6)4

(x3 − 8) (5 − 3x)3

c) f3(x) =(3− 9x) (x2 + 4)

(x2 + 4x− 5) (3x + 2)2d) f4(x) =

(x3 − 1) log2(2x+ 2)

(5x− 8) (cos(x)− 2)

Résolution d’inéquations grâce au tableau de signes

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de faire des tableaux de signes.

Pour cet objectif, après avoir fait un tableau de signes, il faut donner l’ensemble de solutions enutilisant une réunion d’intervalles (il faut comprendre que «+» signifie «positif», comme «>0»et que «60» signifie «négatif ou nul», qui est donc vrai soit quand la valeur est négative, soitquand elle est nulle).

♥ Exercice 121 : résolution d’inéquation (6 fois 5 minutes)ActiverOB11 Résoudre les inéquations suivantes.

a)(x2 + 3) (3 − 2x)

(2x− 1) (x+ 3)26 0 b)

(x2 + 4) (2 − 3x)

(x3 − 2) (x + 2)26 0 c)

(3− x) (x− 4)2

(2x − 4) (3x4 + 2)> 0

d)(5x+ 2)2 (1− 2x)

(cos(x)− 2) (x − 1)36 0 e)

log(x) (2 − x)

(x− 3)3 (x2 + 1)> 0 f)

(5x+ 4)4 (3x + 1)

(x− 3) (4 − x)3> 0

1.16 Exercices d’application des exponentielles et des logarithmes

Le but de ces exercices est de montrer l’importance des fonctions exponentielles et logarithmespour modéliser et résoudre des problèmes d’autres disciplines.

Lorsque qu’une quantité Q0 est multipliée par a tous les T instants (si a = 12 , on dit que T est

la demi-vie), la fonction dépendant du temps t qui décrit l’évolution de cette quantité Q est uneexponentielle en base a.

Q(t) = Q0 · at

� Exercice 122 (tiré de [CRM05] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

1. On considère une colonie de 100 bactéries dont la population p(t) double toutes les 10secondes. Calculer la population après 10 et 110 secondes et le temps, en minutes, qu’ilfaudra pour que cette population atteigne le million de bactérie.

2. Un capital de 10 000 francs est placé sur un compte à 1%. Déterminer, par calcul, le nombred’années nécessaires pour que ce capital double.

3. Une forêt s’étend exponentiellement. Elle occupe aujourd’hui 72 342 mètres cubes. Il y a12 ans, elle occupait 48 228 mètres cubes. Calculer le volume qu’elle occupait il y a 5 anset celui qu’elle occupera dans 7 ans.

La datation par le carbone 14 est une méthode de datation basée sur la mesure de l’activitéradioactive du carbone 14, noté 14C en chimie, contenu dans de la matière organique dont onsouhaite estimer l’âge, c’est-à-dire le temps écoulé depuis sa mort. Cette méthode de datationfonctionne bien pour des matériaux organiques qui sont morts entre 6 et 35 mille ans auparavant.La demi-vie du carbone 14 est estimée à environ 5 730 ans.

Un spectromètre de masse a permis d’établir que la quantité de carbone 14 sur le crâne d’unhumain retrouvé dans une grotte est de 20% de celle qui est mesurée dans l’atmosphère actuel-lement. Calculer son âge.

L’échelle de Richter donne la magnitude M d’un tremblement de terre. On peut relier l’énergie Edégagée par un séisme à la magnitude par la formule à log(E) = 3

2M + 4.32.

1. Comparer l’énergie du tsunami dans l’océan indien de décembre 2004 qui a atteint unemagnitude de 9.3 sur l’échelle de Richter à celle du séisme qui a touché Haïti en janvier2010 (qui causa entre 50 et 300 mille morts) dont la magnitude fut d’environ 7.

2. Quand la magnitude sur l’échelle de Richter augmente de 1, Calculer l’impact de cetteaugmentation sur l’énergie dégagée par ce séisme.

Le modèle qui décrit, en fonction du temps t, le nombre n de personnes atteintes d’une grippe,qui s’est propagée à partir d’un individu à une population de 1 000 personnes, est supposé êtredonné par

n(t) =1000

1 + 999 · 10−0.17t

1. Calculer le nombre de personnes qui ont été atteintes par la grippe après 20 jours.

2. Déterminer le nombre de jours pour que 600 personnes aient été atteintes par la grippe.

1.17 Factorisation de polynômes de degré plus grand que deux

Exercice réflexe R6 sur http://www.vive-les-maths.net/

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations et defactoriser des polynômes.

♥ Exercice 126 : évaluation et factorisation de polynômes (2 fois 5 minutes)ActiverQQ11

ActiverOB7

1. Évaluer le polynôme p(x) = 3x3 − 22x2 + 1 en x = 7 de deux manières différentes.

a) Par division euclidienne. b) Grâce au schéma de Horner.

2. On considère le polynôme p(x) = 2x4 − 12x2 − 17x− 3.

a) Que dit le lemme de Gauss (précisément pour ce polynôme) ?

b) Sachant que p(3) = 0, effectuer une étape de factorisation sur p(x).

♥ Exercice 127 : évaluation de polynômes (4 fois 5 minutes)

1. Évaluer le polynôme p(x) = 2x3 − 27x+ 4 en x = 4 de deux manières différentes.

2. Évaluer le polynôme p(x) = 4x3 − 9x2 − 12 en x = 3 de deux manières différentes.

3. Évaluer le polynôme p(x) = 5x3 + 14x2 − 5 en x = −3 de deux manières différentes.

4. Évaluer le polynôme p(x) = 6x3 − 25x− 7 en x = −2 de deux manières différentes.

♥ Exercice 128 : lemme de Gauss et factorisation (4 fois 5 minutes)

1. On considère le polynôme p(x) = 3x4 + 4x3 + 9x+ 2.

b) Sachant que p(−2) = 0, effectuer une étape de factorisation sur p(x).

2. On considère le polynôme p(x) = 5x4 + 13x3 + 19x+ 3.

b) Sachant que p(−3) = 0, effectuer une étape de factorisation sur p(x).

3. On considère le polynôme p(x) = 7x4 − 29x2 + 3x− 2.

4. On considère le polynôme p(x) = 5x4 − 13x3 − 17x− 3.

1.18 Résolution d’équations (racines et valeurs absolues)

Le but de ces exercices est d’apprendre à résoudre des équations qui contiennent des racinescarrées et des valeurs absolues.

|a| =√a2 =

{a si a > 0

−a si a 6 0

élever au carré peut ajouter une solution

x = 2h=⇒ x2 = 4

Ainsi, si pour résoudre une équation, on doit élever au carré, il faut absolument vérifier lessolutions obtenues dans l’équation de départ.

Résoudre les équations : a) 2(x+ 4) +√

x(x+ 6) = 16 b) 2x −√2x+2 − 19 = 4

Résoudre de deux manières différentes les équations : a) |x| = 2x− 1 b) |x+ 3| = |x+ 1|+ 1Mettre les solutions trouvées en relation avec l’intersection de deux graphes de fonctions.

1.19 Résolution d’équations (exponentielles et logarithmes)

Le but de ces exercices est d’apprendre à résoudre des équations qui contiennent des exponentielleset des logarithmes.

ax = ay ⇐⇒ x = y

enlever un logarithme peut ajouter une solutioncar le logarithme d’un nombre négatif ou nul n’existe pas

loga(x) = loga(y)h=⇒ x = y

On a aussi les formules.

Multiplication Exponentielle Logarithme

a+ a+ . . .+ a︸︷︷︸

a apparaît n fois

= a · n a · a · . . . · a︸︷︷︸

a apparaît n fois

= an ax = b ⇐⇒ x = loga(b)

a ·m+ a · n = a · (m+ n) am · an = am+n loga(m) + loga(n)h= loga(m · n)

a ·m− a · n = a · (m− n) am/an = am−n loga(m)− loga(n)h= loga(m/n)

(a ·m) · n = a · (m · n) (am)n = am·n loga(mn)

h= n · loga(m)

Attention, si pour résoudre une équation, on utilise une des relations ci-dessus marquée dusymbole h, il faut absolument vérifier les solutions obtenues dans l’équation de départ (car deslogarithmes de nombres négatifs ou nuls pourraient apparaître alors qu’ils n’existent pas !).

� Exercice 131 (tiré de [CRM05] ; temps estimé pour les TEs : 30 minutes) ActiverQQ26

ActiverQQ27

Résoudre les équations suivantes.

a)(3x−1

)3= 9 · 3x−2 b) 3x + 9x = 90 c) log(x+ 2) + log(x− 1) = log(18)

d) 27x+2 = 35x+8 e) log9(x) =18 log3(x

2 + 2) f) log3(35 − x2) = 3 log3(5− x)

Résoudre le système :

{log(x)− log(y) = 1xy = 2

1.20 Exercices récapitulatifs (équations et fonctions)

Résoudre, avec la meilleure méthode, les équations suivantes.

a) (x2 − 1)(2x2 − 3x) = 0 b) 20x2 − 11x = 3 c) 2x4 + 7x2 + 3 = 3x3 + 9x

d) x4 + 2 = 4x2 e) 3x5 + x4 = 6x3 + 2x2

Établir les tableaux de signes des fonctions suivantes.

a) p1(x) = x3 − 3x+ 2 b) p2(x) = 2x3 − 5x2 + 1

c) p3(x) = 2x4 + 3x3 + 3x2 + x d) p4(x) = 2x3 − 7x2 + 12x− 9

e) f(x) =(x+ 2)(4x − 5)

1− x− (x+ 2)(19x − 47)

(x− 3)2

Résoudre les inéquations suivantes.

a) x6 + 3x3 > −2 b)x4 + x3 + x2 − 2

4− x2< − 1

2− xc)

x3 + x2 + 4x+ 4

(3− x) (x+ 2)2>

3− x

On se donne deux expressions fonctionnelles.

f(x) =x+ 1

x− 2et g(x) = x+ 2

1. Donner les (plus grands) domaines de définition de f et de g.

2. Calculer a) f(0) b) g(34 ) c) f(4) +1

g(0)d)

g(5)e) f

(2x+ 1

x− 1

3. Faire les tableaux de signes associés aux fonctions suivantes.

a) f(x+ 1) b) f(x2) c) g(f(x) + 2x) d) f(f(x3 − 3))

Résoudre. √5 + x+

√5− x =

12√5 + x

Résoudre de deux manières différentes l’équation

|2x+ 1| = 1 + |x+ 2|Mettre les solutions trouvées en relation avec l’intersection de deux graphes de fonctions.

Résoudre les systèmes d’équations suivants.

+ 6y = −11x

+ y2 = 72

{x2 − y2 = −52xy = 12

1.21 Équations trigonométriques

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de résoudre des équations quicontiennent une fonction trigonométrique.

L’angle ϕ décrit ci-dessous s’obtient en réfléchissant comme à l’OB14, mais à l’envers.

cos(α) = z sin(α) = z tan(α) = z

π − ϕ

ϕ+ π

(1; z)

α = ϕ+ 2πkα = ±ϕ+ 2πk ou α = ϕ+ πk

α = π − ϕ+ 2πk

où ϕ = cos−1(z) où ϕ = sin−1(z) où ϕ = tan−1(z)

avec k ∈ Z

pour cos et sin, k représente le nombre de tourspour tan, k représente le nombre de demi-toursle signe de k indique dans quel sens on tourne

♥ Exercice 140 : équations trigonométriques (6 fois 5 minutes) ActiverOB151. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation cos(2x+ 5) = 1

2. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation cos(3x− 4) = −√32 .

3. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation sin(5x+ 2) =√22 .

4. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation sin(3x− 1) = 12 .

5. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation tan(4x+ 1) = 1√3.

6. Trouver l’ensemble de toutes les solutions de l’équation tan(4x− 3) = −1.

Résoudre les équations trigonométriques suivantes.

a) cos(2x) = 0 b) 2 tan(5x− 2) =√12 c) 4 sin2(x)− 8 sin(x) + 3 = 0

d) cos(x) = sin(x) e) 2 sin2(x) = cos(x) + 1 f) 4 cos3(x) + 8 sin2(x)− cos(x) = 6

♠ Exercice 142 : la méthode du point fixe

Déterminer, graphiquement et numériquement, la solution (unique ?) de l’équation cos(x) = x.

1.22 Parité des fonctions

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de mettre en relation destransformations géométriques (symétries du graphe d’une fonction) et algébriques (commentproduire ces symétries sur les expressions fonctionnelles) et d’entrainer l’argumentation (contre-exemple pour montrer qu’une propriété est fausse ; démonstration pour montrer qu’elle est vraie).

On dit que f est paire si, pour tout x ∈ D, on a f(−x) = f(x) .Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des y .

On dit que f est impaire si, pour tout x ∈ D, on a f(−x) = −f(x) .Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine .

Si on pense que la fonction Si on pense que la fonction

est paire ou impaire n’est ni paire, ni impaire

e On montre algébriquement que

f(−x) = f(x)

ou que f(−x) = −f(x)

pour tout x ∈ D

D’abord on cherche un défaut

de symétrie dans D ou Z.

Si on ne trouve pas, on

cherche un contre-exemple

Esquisser les graphes des fonctions suivantes afin de visualiser l’effet des signes introduits.

f(−x) = f(x) = x2 − 4x+ 5

2 4−2−4

−f(−x) = −f(x) =

2 4−2−4

♥ Exercice 144 : parité d’une fonction (11 fois 5 minutes) ActiverQQ24

ActiverOB12

1. Déterminer la parité des fonctions suivantes en argumentant correctement !

f(x) = x(cos(x)− x2

)g(x) = x(x− 1)2

f(x) = x3 − 3x2 − x g(x) = x4 − 3x2 + 1

f(x) = x(sin(x)− x3

)g(x) =

(x− 2)2

f(x) =2x − 2

2x + 2g(x) =

2x − 1

2x + 1

f(x) =sin(x)− x3

x2g(x) =

1− x3

f(x) = −x3 + 5x2 + x g(x) = −x5 + 5x3 + x

f(x) =cos(x)− x2

x3g(x) =

1− x3

f(x) = x3 + x2 − x g(x) = x5 + x3 − x

f(x) =cos(x)

sin(x)− x3

x2g(x) =

x2 + x

x− 2

f(x) =4−x − 4x

x2 − 4g(x) =

x− 2

x3 + 1

f(x) = x3 − x2 − x g(x) = x4 − x2 − 1

1.23 Fonctions injectives, surjectives, bijectives et réciproques

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de comprendre ce qu’est une fonctionet quand on peut faire aller la fonction à l’envers pour obtenir la fonction réciproque.

Voici une reformulation de ce qu’est une fonction.

f : D → A; x 7→ f(x) est une fonctionsi pour chaque x ∈ D, il existe un unique y ∈ A, noté y = f(x)(y = f(x) signifie que x et y sont en relation par la fonction f

On veut faire aller la fonction à l’envers.

Pour chaque y ∈ A, on cherche x ∈ D tel que y = f(x)f est dite injective, si on en trouve au plus un ;

f est dite surjective, si on en trouve au moins un ;f est dite bijective, si on en trouve exactement un.

Si f : D → A est une fonction bijective,alors f−1 : A → D; y 7→ f−1(y) est une fonction

où, pour chaque y ∈ A, on définit f−1(y) comme l’unique x ∈ D tel que f(x) = y

Pour retomber sur nos habitudes, on préfère noter f−1 : A → D; x 7→ f−1(x)

♥ Exercice 145 : injectivité, surjectivité et fonctions réciproque (8 fois 5 minutes)ActiverOB13 1. On considère la fonction f : [0,+∞[ → [3,+∞[ ;x 7→ 4x2 + 3.

Décrire la fonction réciproque de la manière dont f est décrite ci-dessus.

2. On considère la fonction f : R → [1,+∞[ ;x 7→ 9x2 + 1.

Montrer que la fonction f est surjective, mais pas injective.

3. On considère la fonction f : R \ {−53} → R;x 7→ 2x−1

3x+5 .

Montrer que la fonction f est injective, mais pas surjective.

4. On considère la fonction f : R → [0,+∞[ ;x 7→ (3x+ 5)4.

Montrer que la fonction f est surjective, mais pas injective.

5. On considère la fonction f :[72 ,+∞

[→ R;x 7→ (7− 2x)6.

6. On considère la fonction f : R → R;x 7→ (3x+ 5)3.

7. On considère la fonction f : R → R;x 7→ −2 · 3x + 4.

8. On considère la fonction f :]−5

3 ,+∞[→ R;x 7→ log2(3x+ 5).

� Exercice 146 (temps estimé pour les TEs : 25 minutes) ActiverQQ25On considère les quatre fonctions suivantes.

a) f1 : D1 → A1; x 7→ x2 b) f2 : D2 → A2; x 7→ −54x+ 4

c) f3 : D3 → A3; x 7→ x2 − 2x+ 3 d) f4 : D4 → A4; x 7→ 2x

1. Déterminer les plus grands domaines possibles (D1 &A1, D2 &A2, D3 &A3, D4 &A4) enprivilégiant les nombres positifs de sorte que les fonctions soient bijectives.

2. décrire les fonctions réciproques f−11 , f−1

2 , f−13 , f−1

3. Dessiner les graphes en couleurs sur les repères ci-dessous.

Pour f1 et f−11 : Pour f2 et f−1

0 1 2 3 4

2 4 6−2−4−6

Pour f3 et f−13 : Pour f4 et f−1

2 4 6−2−4−6

On considère la fonction suivante.

f : D → A; x 7→ 3x− 1

1. Déterminer les plus grands domaines possibles (D&A) en privilégiant les nombres positifs desorte que la fonction soit bijective.

2. décrire la fonction réciproque f−1.

3. Dessiner les graphes en couleurs sur le repère ci-dessous.

1 2 3−1−2−3

On considère la fonction suivante.

f : D → A; x 7→ 2x− 3

1. Déterminer les plus grands domaines possibles (D&A) en privilégiant les nombres positifs desorte que la fonction soit bijective.

2. décrire la fonction réciproque f−1.

3. Dessiner les graphes en couleurs sur le repère ci-dessous.

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

1.24 Graphes de fonctions trigonométriques

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de mettre en relation destransformations géométriques (translations, symétries axiales, homothéties et étirements dugraphe d’une fonction) et algébriques (comment produire ces symétries sur les expressionsfonctionnelles) et d’entrainer la notion de périodicité d’un graphe.

Même si on peut dessiner les fonctions de cet objectif en reliant des points calculés comme àl’OB14, on peut aussi utiliser des transformations géométriques.

Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques(c’est-à-dire qu’une translation horizontale de 2π ne change pas le graphe de la fonction)

La fonction tan est π-périodique(c’est-à-dire qu’une translation horizontale de π ne change pas le graphe de la fonction)

Remplacer f(x) par −f(x) revient à effectuer une symétrie axiale d’axe y = 0.

Remplacer f(x) par af(x) revient à effectuer un étirement vertical d’un facteur a, a > 0.(si a = 2, on a une contraction d’un facteur 2, si a = 1

2 , on a un étirement d’un facteur 2)

Remplacer f(x) par f(x) + c revient à effectuer une translation verticale de c.

Remplacer f(x) par f(x+ α) revient à effectuer une translation horizontale de −α.

Remplacer f(x) par f(−x) revient à effectuer une symétrie axiale d’axe x = 0 (OB12).

Remplacer f(x) par f(ax) revient à effectuer un étirement horizontal d’un facteur a, a > 0.(si a = 2, on a une contraction d’un facteur 2, si a = 1

2 , on a un étirement d’un facteur 2)

Il est bon d’avoir en tête les graphes des fonctions cos(x) et de sin(x).y

2π 3π

22π 5π

23π−π

2−π− 3π

2−2π− 5π

2−3π

Et celui de tan(x) dont les asymptotes verticales correspondent aux zéros de la fonction cos(x).y

2π 3π

22π 5π

2−π

2−π− 3π

2−2π− 5π

♥ Exercice 149 : graphes de fonctions trigonométriques (3 fois 5 minutes) ActiverOB161. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = cos(2x) + 1 .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

2. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = 3 cos(x− π2 ) .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

3. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = 3 sin(x− π2 ) .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

♥ Exercice 150 : graphes de fonctions trigonométriques (3 fois 5 minutes)

1. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = 2 sin(x+ π2 ) .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

2. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = tan(π2 − x) .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

3. Dessiner le graphe de la fonction de R dans R définie par f(x) = tan(12x) + 1 .

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

1.25 Trigonométrie : formules d’additions des angles

Les exercices qui suivent montrent comment on peut établir des formules utiles en physique, maisaussi en mathématiques (notamment pour établir certains résultats de deuxième et troisièmeannées).

En utilisant le fait que, pour tout α, β ∈ R, on a :

cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β)

Trouver une formule similaire pour

a) cos(α− β) b) sin(α− β) c) sin(α+ β)

Rappel : on a les formules de symétrie cos(π2 − γ) = sin(γ) et sin(π2 − γ) = cos(γ).

� Exercice 152 (temps estimé pour les TEs : 15 minutes) ActiverQQ17Soit α ∈ R.

Trouver une formule pour exprimer les expressions suivantes à l’aide de cos(α) et sin(α).

a) cos(2α) b) sin(2α) c) cos(3α) d) sin(3α)

Calculer les valeurs suivantes et donner les résultats sous forme simplifiée (pas de racines audénominateur).

a) cos(5π12 ) b) sin(5π12 ) c) tan(5π12 )

d) cos( π12 ) e) sin( π

12 ) f) tan( π12 )

Trouver des formules pour exprimer tan(α+ β) et tan(α− β) pour tout α, β ∈ R en fonction detan(α) et tan(β).

1.26 Notions de statistiques

Cet objectif de base développe les compétences liées aux statistiques descriptives que sont lesparamètres de position (moyenne arithmétique, médiane, mode), les paramètres de dispersion(étendue, variance, écart type), les histogrammes et les boîtes à moustaches et de réfléchir auxdensités de distribution sous-jacentes qui font partie des statistiques inférentielles (déduction ducomportement d’un caractère à partir de mesures sur un échantillon).

Paramètres de position

Moyenne arithmétique : x = 1n

∑xi.

Médiane : en ordonnant les xi, soit la valeur centrale,soit la moyenne des deux valeurs centrales.

Mode : la ou les valeurs les plus fréquentes.

Paramètres de dispersion

Étendue : la plus grande valeur moins la plus petite.Variance : s2n = 1

∑(xi − x)2.

Écart type : sn, la racine carrée de la variance.

On regarde le nombre de livres achetés (c’est le caractère étudié) par différentes populationsd’élèves. Pour chaque population, dessiner l’histogramme, décrire la forme de la distributionassociée, calculer tous les paramètres de position et de dispersion associés et dessiner la boîte àmoustaches correspondante.

a)élève numéro 1 2 3 4 5nb de livres 5 1 3 9 7

b)élève numéro 1 2 3 4 5 6nb de livres 5 5 5 5 5 5

c)élève numéro 1 2 3 4 5nb de livres 4 9 3 5 4

d)élève numéro 1 2 3 4 5 6nb de livres 8 2 1 9 1 9

Que peut-on dire de la moyenne arithmétique ?

� Exercice 156 (temps estimé pour les TEs : 10 minutes)ActiverOB1 On jette un dé bien équilibré une douzaine de fois et on obtient les résultats suivants.

lancé numéro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12numéro obtenu 6 4 4 2 1 4 2 6 5 3 2 3

1. Dessiner l’histogramme correspondant et décrire la forme de la distribution sous-jacente entrouvant une explication (mathématique) qui justifie ce choix !

2. Déterminer les paramètres de position.Justifier brièvement par un calcul ou par un raisonnement.

3. Déterminer les paramètres de dispersion.Justifier brièvement par un calcul ou par un raisonnement.

4. Calculer les quartiles et dessiner la boîte à moustaches correspondante.

L’expérience consiste à jeter trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée et à compter lenombre de fois qu’elle tombe sur pile ; on obtient les résultats suivants.

expérience numéro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10numéro obtenu 1 3 3 2 0 2 0 3 1 2

2. Déterminer les paramètres de position. Justifier par un calcul ou un raisonnement.

3. Déterminer les paramètres de dispersion. Justifier par un calcul ou un raisonnement.

L’expérience consiste à jeter une pièce de monnaie bien équilibrée jusqu’à ce qu’elle tombe surpile et à compter le nombre de jets effectués ; on obtient les résultats suivants.

expérience numéro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10numéro obtenu 4 2 4 1 1 3 1 1 4 1

2. Déterminer les paramètres de position. Justifier par un calcul ou un raisonnement.

3. Déterminer les paramètres de dispersion. Justifier par un calcul ou un raisonnement.

♥ Exercice 159 : statistiques descriptives (4 fois 5 minutes)

1. Voici les résultats obtenus en jetant un dé non pipé.

lancé numéro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10numéro obtenu 2 3 3 1 3 1 6 4 2 5

Dessiner l’histogramme associé et déterminer les paramètres de position et de dispersion.

Dessiner la boîte à moustaches correspondante à ces données.

Bibliographie

[BV16] F. Borlon-Vangénéberg : M(a)th’ notes de cours. http://borlon.net/maths/,2009 - 2016.

[Cha97] Michel Chastellain : Le potager d’aloïs. Math Ecole, 180:8, décembre 1997.

[CRM05] CRM : Notions élémentaires. Commission romande de mathématique, Éditions duTricorne, 2005.

[Dob14] Damien Dobler : Cours de mathématiques. Cours mis à la disposition de ses élèvesau Lycée cantonal de Porrentruy, Jura, Suisse, juillet 2014.

[Fav16] Jean-Pierre Favre : Cours préparatoire de mathématiques. Haute école d’ingénierieet de gestion du canton de Vaud, http://www.heig-vd.ch/, http://goo.gl/KyVRer,été 2016.

[HA07] Josée Hamel et Luc Amyotte : Calcul Différentiel. Éditions du renouveau pédago-gique inc. (ERPi) au Québec (Canada), 2007.

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[Kha17] Khan academy. https://fr.khanacademy.org/, 2006 - 2017.

[Mül17] Didier Müller : Nymphomath. http://nymphomath.ch, mai 2004 - juin 2017.

[SC00] Earl W. Swokowski et Jeffery A. Cole : Trigonométrie avec Géométrie analytique.Lep, loisirs et pédagogie, et GREME, groupe romand d’experts pour les moyens d’en-seignement, 2000.

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