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CT 57(année scolaire 2001/2002)

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUXLes systèmes articulés (treillis)

JM CHATEL

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Les systèmes triangulés (Treillis)Plan de la séance

1 - Généralités

2 - Degré d ’hyperstaticité

3 - Stabilité d ’une structure triangulée

4 - Exemples de triangulation de poutres

5 - Détermination des efforts normaux dans les barres

6 - Exercices d ’application

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1 - Généralités

1.0 - Historique

Les systèmes triangulés (ou treillis) ont été pendant longtemps le type classique de la construction métallique et de la charpente en bois.

- ponts de chemin de fer (GARABIT),

- tour EIFFEL,

- halles diverses (La Vilette, …),

- couvertures de gares (gare saint-Lazare,...),

- etc ...

Exemples :

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1 - Généralités

1.1 - Définition

Un système triangulé est un système composé de barres droites articulées à leurs extrémités.

Les points de concours de plusieurs barres sont appelés des nœuds.

L

S

Sa

b

La longueur des barres est grande par rapport à leurs dimensions transversales.

L >> (a ou b)

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1 - Généralités

1.2 - Hypothèses de calcul

Le poids propre des barres est négligé.

Toutes les charges sont appliquées aux noeuds.

F1 F2

F3

Les fibres moyennes des barres sont concourantes aux nœuds (théoriquement en même point).

Toutes les barres sont articulées aux nœuds.

Les barres ne sont soumises qu’à un effort normal (N) de compression ou de traction.

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1 - Généralités

1.3 - Structure réelles

Membrure inférieure

Membrure supérieure

Montant

Diagonale

Articulation théorique

Articulation réelle Gousset

- le gousset est petit devant la longueur des barres

Le calcul reste valable si :

- les fibres moyennes sont concourantes en un même point A

A

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2 - Degré d ’hyperstaticité

2.1 - Liaisons externes

Elles correspondent aux liaisons du système considéré avec l ’extérieur.Il en existe trois types :

- la liaison « appui simple »

(engendre une inconnue statique)

Liaison du type : L1

- la liaison « rotule »

(engendre deux inconnues statique)

Liaison du type : L2

- la liaison « encastrement »

(engendre trois inconnues statique)

Liaison du type : L3

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2 - Degré d ’hyperstaticité

2.2 - Liaisons internes

Elles correspondent aux liaisons internes entre les barres composant la structure.

Il en existe trois types :

- l ’ appui simple   nœud de type n1

Engendre une liaison de type L1 sur chaque barre

- la rotule   nœud de type n2

Engendre une liaison de type L2 sur chaque barre

n2 n2

L2 L2

L2L2

- l ’encastrement   nœud de type n3

Engendre une liaison de type L3 sur chaque barre

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2 - Degré d ’hyperstaticité

2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (1/3)

Les inconnues du système sont les différentes liaisons (externes et internes).

À chaque liaison de type Li correspondent (i) inconnues

Nombre d ’inconnues :

Nombre d ’équations :

Par application du PFS nous aurons :

- 3 équations par barre

- (i) équations par nœud de type ni

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2 - Degré d ’hyperstaticité

2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (2/3)

Degré d ’hyperstaticité :

Le degré d ’hyperstaticité correspond à la différence entre le nombre d ’équations et le nombre d ’inconnues.

Système hypostatique nb d ’équations > nb d ’inconnues

Système isostatique nb d ’équations = nb d ’inconnues

Système hyperstatique nb d ’équations < nb d ’inconnues

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2 - Degré d ’hyperstaticité

2.3 - Calcul du degré d ’hyperstaticité (3/3)

Exemple :

Calculer le degré d ’hyperstaticité de la structure

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3- Stabilité d ’une structure triangulée

(b) nombre de barres

(n) nombre de noeudsSoit

Cette structure triangulée est stable à condition que l ’équation suivante soit vérifiée : b = 2.n - 3

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4 - Exemples de triangulation de poutres

Poutre de type

WARREN

Poutre de type

HOWE

Poutre de type

PRATT

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5- Détermination des efforts normaux dans les barres

5.1 - Méthode des nœuds (1/2)

Méthode :

Cette méthode permet de calculer les efforts développés dans toutes les barres.

1 - vérifier que le système est isostatique

2 - déterminer les réactions aux appuis

3 - isoler un premier nœud et écrire l ’équilibre statique en faisant apparaître les réactions des barres sur le nœud et le chargement extérieur

Exemple:

P = 10 kN

L

L

L

1 32

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Calculer les efforts dans les barres

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5- Détermination des efforts normaux dans les barres

5.1 - Méthode des nœuds (2/2)

Méthode graphique (Crémona):

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5- Détermination des efforts normaux dans les barres

5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER ») (1/2)

Cette méthode permet de calculer directement un effort dans une barre quelconque d ’un système articulé isostatique.

Méthode :

1 - vérifier que le système est isostatique,

2 - déterminer les réactions aux appuis,

3 - déterminer la barre dont il faut calculer l ’effort,

4 - couper la structure (en coupant au maximum 3 barres),

5 - écrire que la résultante en moment (par rapport un point judicieusement choisi) est nulle,

6 - interpréter les résultats.

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5- Détermination des efforts normaux dans les barres

5.2 - Méthode des coupures (dite de « RITTER ») (2/2)

Exemple:

P = 10 kN P = 10 kN

L L

L

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6 - EXERCICES

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Ponts sur le Vecchio (Corse)