LES PLANS D’EXPÉRIENCES

Marc DANZARTAgroParisTech, site de Massy

1 Avenue des Olympiades91744 MASSY CEDEXTel : (33) 1 69 93 50 27Fax : (33) 1 69 93 51 74

marc.danzart @ agroparistech.fr

Hypothèse

Expérience

Résultatexpérimental

Modèle

Résultats probables

Résultats improbables

Risques

LA DÉMARCHE STATISTIQUE

Contraintes

LES PLANS D’EXPÉRIENCES

Hypothèse

Expérience

Résultatexpérimental

Modèle

Résultats probables

Résultats improbables

Risques

Satisfaire des contraintes

De coûtDe tempsD'organisation...

LES PLANS D’EXPÉRIENCES

La confusion d'effets

Pdt 1

Pdt 2

Pdt 3

Pdt 4

Pdt 5

Pdt 6

Pdt 7

Pdt 8

Sujet n° 1

Sujet n° 2

Sujet n° 3

Sujet n° 4

Sujet n° 5

Sujet n° 6

Sujet n° 7

Sujet n° 8

Sujet n° 9

Sujet n° 10

LES DANGERS

50 100 150 20045

50

55

60

65

70

75

Temps de cuisson (mn)

Re

nd

em

en

t

200 210 220 230 240 250 26020

30

40

50

60

70

80

Température (°C)

Re

nd

em

en

t

topt = 123.6 mn

On fixe donc t à 125 mn puis onétudie l’effet de la température

On étudie l’effet du temps decuisson sur le rendement

OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

Temps de cuisson (min)

Te

mp

éra

ture

(°C

)

50 100 150 200

200

210

220

230

240

250

260

255 ° C

55 min

Optimum apparent73.4

Optimum réel91.2

Rendement = 70

Rendement = 80

Rendement = 90

OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

0

0

1

0

0

2

3

Tarage dela balance

Pesée del'objet n° 1

Pesée del'objet n° 2

Pesée del'objet n° 3

m0

m1

m2

m3

LA PESÉE … Version 1

0

0

1

0

0

2

3

1 2 3 1 3

1 22 3

Pesée n° 1

Pesée n° 2

Pesée n° 3

Pesée n° 4

P0

P1

P2

P3

LA PESÉE … Version 2

la pesée ... calcul des poids

VERSION 1 VERSION 2

1

2

3

OBJET

m1

m2

m3

P + P - P - P0 1 2 3

4m1 =

P + P - P - P0 2 1 3

4m2 =

P + P - P - P0 3 1 2

4m3 =

LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS …

La pesée ... les précisions

VERSION 1 VERSION 2

1

2

3

OBJET

2

2

2 2

2

2

La pesée "originale" conduit à une précision près de3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle

LA PESÉE : LES PRÉCISIONS …

y = a + b x +

Var ( y(x) ) = (1 + + )1n

(x-x.)2

(x -x.)2

i

2^

La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori :

LES DANGERS

Y = X + E

Vecteur desrésultats Matrice du

plan d'experienceVecteur desparamètres

Vecteur deserreurs

= (X'X) X'Y-1 Si X'X est inversible

= (X'X+H'H) X'Y-1

Si X'X n'est pas inversibleH représente la matrice des contraintes

^

^

LE MODÈLE LINÉAIRE

= (X'X) X'Y-1^

Var( )= (X'X) -1^ 2

La corrélation entre les paramètres est prévisible àl'avance et dépend de la structure expérimentale

Un bon plan minimise la matrice (X'X)-1

Minimisation du déterminant D-optimalité

LE MODÈLE LINÉAIRE

Détecter les facteurs influents

Optimiser un process

Optimiser un mélange

Comparer un grand nombre de produits

Plans de Plackett-Burman Méthode Taguchi...

Plans Central compositePlans de Box-Benhken...

Plans de SchefféExtreme vertices designs...

Blocs incomplets équilibrés...

LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANSD’ EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE

LES PLANS FACTORIELS COMPLETS

TOUTES LES COMBINAISONS DES

NIVEAUXDES FACTEURS SONT

TESTÉES

LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST

DONC ÉGALAU PRODUIT DES

NOMBRES DES NIVEAUX

Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais

111111222222333333

111222111222111222

123123123123123123

Exp. n° 1Exp. n° 2Exp. n° 3Exp. n° 4Exp. n° 5Exp. n° 6Exp. n° 7Exp. n° 8Exp. n° 9Exp. n° 10Exp. n° 11Exp. n° 12Exp. n° 13Exp. n° 14Exp. n° 15Exp. n° 16Exp. n° 17Exp. n° 18

Facteur n° 1

Facteur n° 2

Facteur n° 3

CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES INTERACTIONS D‘ ORDRE ÉLEVÉ

IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISER LE NOMBRE D'ESSAIS

DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS

LES PLANS FRACTIONNÉS

Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeursappelées respectivement

niveau bas noté -niveau haut noté +

Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveauxSi le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies

dans la plage de variation du facteur

LES MATRICES DE HADAMARD (1)

essai n° 1

essai n° 2

essai n° 3

essai n° 4

essai n° 5

essai n° 6

essai n° 7

essai n° 8

LES MATRICES DE HADAMARD (2)

Fact

eur n

° 1Fa

cteu

r n° 2

Fact

eur n

° 3Fa

cteu

r n° 4

Fact

eur n

° 5Fa

cteu

r n° 6

Fact

eur n

° 7

Facteur n° 1

Variable étudiée

Niveau - Niveau +

1

LES MATRICES DE HADAMARD (3)

Facteur n° 2

Variable étudiée

Niveau - Niveau +

2

Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié

LES MATRICES DE HADAMARD (4)

Hadamard (5)

n = 4

n = 8

n = 12

n = 16

n = 20

Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4

LES MATRICES DE HADAMARD (5)

Le chewing-gum

Nouveau procédé : extrusion

Nouvelle composition : les polyols remplacent les sucres

11 paramètres à optimiser simultanément

Type de vis de l’extrudeurVitesse de rotation de la visTempérature de la gomme...Pourcentage de XylitolPourcentage de Mannitol...

Création d’un nouveau produit :Le chewing-gum light

LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k

Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux,on étudie des fractions du plan complet 3p.

Pour cela on construit d’abord un plancomplet à 2 facteurs. Ce plan comporte9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal !

1 11 21 32 12 22 33 13 23 3

Facteurde base

n° 1

Facteurde base

n° 2

Si l’on souhaite étudier plus de 2 facteursil faut ajouter des colonnes équilibrées(3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonalesaux précédentes

A cet effet on étudie la famille des carrés latinsorthogonaux 3x3.

LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k

1 11 21 32 12 22 33 13 23 3

Facteurde base

n° 1

Facteurde base

n° 21 2 32 3 13 1 2

1 2 33 1 22 3 1

Chacun des deux carrés latinssert à construire une colonne !

CL1 CL2

1 12 33 22 23 11 33 31 22 1

Facteurn° 3

Facteurn° 4

Il n’est pas possible d’étudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! …car il n’existe pas d’autre carré latin orthogonal aux deux carrés existants.Il faudra alors au moins 27 essais !!

CD BD AD

= = =

11

-1-1-1-111

1-11

-1-11

-11

1-1-111

-1-11

-111

-11

-1-11

AB AC BC ABC

-1-1-1-11111

-1-111

-1-111

-11

-11

-11

-11

A B C

11111111

I

Essai 1Essai 2Essai 3Essai 4Essai 5Essai 6Essai 7Essai 8

DBCD ACD ABD

LA PRISE EN COMPTE DES INTERACTIONS

OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM

MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE

CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES

PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉ et ISOVARIANCE PAR ROTATION

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )

Facteur n° 2

Facteur n° 1

2 points de l'hypercube

2p points du parallèlotope étoilé

2 points centraux

p

Soit n = 2 + 2.p + 2essais au total

p

Chaque facteur est utilisé à5 valeurs différentes

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )

Chaque facteur est étudiéà 5 niveaux

La valeur minimum N1=minLa 1ère valeur intermédiaire N2

La valeur moyenne N3=moy.La 3ème valeur intermédiaire N4

La valeur maximum N5=Max

Plan Central compositeà 3 facteurs

N2 moy. - (moy.-min)p

p=

N4p

p=

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 )

moy. + (moy.-min)

moy.moy.moy.moy.moy.moy.minMaxN2

N2

N2

N2

N4

N4

N4

N4

moy.moy.moy.moy.minMaxmoy.moy.

N2

N2

N4

N4

N2

N2

N4

N4

moy.moy.minMaxmoy.moy.moy.moy.

N2

N4

N2

N4

N2

N4

N2

N4

Equation polynomiale du modèle :

Y = a0 + a1.Pv + a2.E/S + a3.(Pv)² + a4.(E/S)² + a5.Pv.E/S

-2

0

2

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )

020 40 60 80 100

120140

40

90

140

200

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

5,8

6

Log CF

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (1)

020 40 60 80 100

120140

40

90

140

200

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Log Rdt

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (2)

020 40 60 80 100

120140

40

90

140

200

1,31,41,51,61,71,81,9

22,12,2

Log CTh

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (3)

400 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

Log CF

400 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

Log Rdt

4050

0 20 40 60 80 100 120 140

60708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

Log CTh

NETTOYAGE DE SALADE (4)

0 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (5)OPTIMISATION MULTIVARIABLE

Chaque facteur est étudiéà 3 niveaux

minimum minmoyenne moyMaximum Max

Plan de Box-Benhkenà 3 facteurs

minminMaxMaxminminMaxMaxmoymoymoymoymoymoy

minMaxminMaxmoymoymoymoyminminMaxMaxmoymoy

moymoymoymoyminMaxminMaxminMaxminMaxmoymoy

PLANS DE BOX BENHKEN

Le nombre d’expériences est égal à 2p² - 2p + 2

Produit n° 1

Produit n° 2 Produit n° 3

Réseau Simplex centre de Scheffé

LES PLANS DE MÉLANGE (1)

PLANS DE MÉLANGE ( 2 )

y = a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1² + a5c2² + a6c3² + a7c1c2 + a8c1c3 + a9c2c3

L’équation habituelle

Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !)Ceci est dû à la contrainte c1 + c2 + c3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 %

y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3

On ajuste donc le modèle suivant :

c1 (c1 + c2 + c3) = c1 c1² = c1- c1 c2 - c1 c3

Il n’y a pas besoinDes termes carrés

a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 = (a0+a1)c1 + (a0+a2)c2 + (a0+a3)c3 Il n’y a donc pasbesoin de constante

Cépages

Cépagen° 3

Cépagen° 1

Cépagen° 2

26

2224

20

20

1816

14

18

16

14

12

M.SergentD.Mathieu

R. Phan-Tan-Luu(1985)

OPTIMISATION D’UN VIN PARMÉLANGE DE CÉPAGES

Plans avec contraintes

Ingrédientn° 1

LES PLANS DE MÉLANGE (3)

Ingrédientn° 2

Ingrédientn° 3

FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHEAUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES.

CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION

DE PLANS D-OPTIMAUX

WYNNFEDOROVWHEELERMITCHELLWELCH

LES PLANS D-OPTIMAUX

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1)

p produits sont étudiés avec un panel de s sujets.k est le nombre de produits testés par chaque sujetr est le nombre de répétitions par produits (nombre de sujets testant un produit donné)

est le nombre de fois où un couple de produits est noté (nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés)

On peut montrer queles deux conditionssuivantes sont nécessaires :

p.r = s.k (*)

= (**)r.(k-1)

p-1

Sujet 1

Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

1 2 3 4 5 6 7

Produits

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)

7 5 9

10 11 12

7 6 14

14 16 15

14 11 17

16 15 17

14 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetn° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

Somme totale par produit

Moyennes

24 33 39 42 30 33 48

Traitement statistique des résultats des BIE

8 11 13 14 10 11 16

7 5 9

10 11 12

7 6 14

14 16 15

14 11 17

16 15 17

14 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetn° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1

La somme totale de ces notes,notée T1, est égale à 81

7 5 9

10 11 127 6 14

14 16 15

14 11 17

16 15 17

14 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetann° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

La somme totale de ces notes,notée T2, est égale à 108

Par conséquent, les sommes par produitdoivent être corrigées pour obtenir des

comparaisons non biaisées !

!

Traitement statistique des résultats des BIE

Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2

La somme corrigée pourle produit i est égale à : gi Si -

Ti

k

g1 = 24 - 81/3 = - 3 pour le produit 1

g2 = 33 - 108/3 = - 3 pour le produit 2

Traitement statistique des résultats des BIE

=

gi ir E

=

E est appelé coefficient d’efficacité.

E = k(p-1)

p(k-1)

La moyenne corrigée pourle produit i est égale à :

avec

CONTRAINTES

UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER 20 (environ)

UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION 14 boxes

UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE 20 sujets au maximum

UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS 15 demi-journées

UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour

.......

BIE (3)

Sujet 1

Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

A D I J P R S

Produitspour une session donnée

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

Produits

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Sessions

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRESA DEUX ETAGES

A B C D

AB CD

A BC D

ABCD

Ordre de présentationdes produits

Sujet n° 1

Sujet n° 2

Sujet n° 3

Sujet n° 4

PLANS POUR MAÎTRISER L’ORDRE DE PRÉSENTATIONDES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS

P1 P2 P10 P3 P9 P4 P8 P5 P7 P6

P2 P3 P4 P10 P5 P9 P6 P8 P7

P3 P4 P2 P5 P1 P6 P10 P7 P9 P8

P4 P5 P3 P6 P2 P7 P1 P8 P10 P9

P5 P6 P4 P7 P3 P8 P2 P9 P1 P10

P6 P7 P5 P8 P4 P9 P3 P10 P2 P1

P7 P8 P6 P9 P5 P10 P4 P1 P3 P2

P8 P9 P7 P10 P6 P1 P5 P2 P4 P3

P9 P10 P8 P1 P7 P2 P6 P3 P5 P4

P10 P1 P9 P2 P8 P3 P7 P4 P6 P5

P1

Sujet 1

Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 10

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

Sujet 8

Sujet 9

Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 Jour 6 Jour 7 Jour 8 Jour 9 Jour 10

Carrés latins de Williams

Conseils

• Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude

• Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs

• Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible

• valider concrètement les résultats trouvés

QUELQUES CONSEILS

Clairement définir les objectifs

Lister les facteurs influents

Choisir le domaine de variation

Lister l’ensemble des contraintes

Construire le plan d’expériences

LA DEMARCHE EXPERIMENTALE

Conjecture

Plan d’expériences

Expérimentation

Analyse des résultats

Conclusions

L’APPROCHE EXPÉRIMENTALE

Précision

Efficacité

Flexibilité

LES PLANS D’EXPÉRIENCES PERMETTENT

BIBLIOGRAPHIE

Gilles et Marie-Christine SADOLes plans d’expériencesAFNOR Technique

Yves TOURBIER, et AlLes plans d’expériencesPresses Romandes

Jacques GOUPYLes plans d’expériencesDUNOD

BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S.Statistics for experimentersJohn Wiley & Sons 1978

KEMPTHORNE O.The design ans analysis of experimentsJohn Wiley & Sons 1952

CORNELL J.A.Experiments with mixturesJohn Wiley and Sons 1981

BARKER T.B.Quality by experimental designsMarcel Dekker 1985

DAVIES O.L.The design and analysis of industrial experimentsOliver & Boyd 1985