Le nombre d'or et Fibonacci - | Institut de ... · Pr´ehistoire Protohistoire Temps modernes...

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Temps modernesUtilisations originales

Le nombre d’or et Fibonacci

Pierre Arnoux et Anne Siegel

Aout 2004, Bordeaux

Pierre Arnoux et Anne Siegel Le nombre d’or et Fibonacci

Pentagone et nombre d’orIrrationaliteSeries geometriquesEquationRemarques et exercice

Le pentagramme

I magique

I se retrouve partout dansla nature

I et hors de la nature

I est le symbole d’une tresancienne secte

I sous sa forme usuelle

I ou sous sa forme etoilee

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Les pythagoriciens !

Le pentagramme

I magique

Le pentagramme

I magique

Un nombre naturel...

Pour les pythagoriciens, le rapport des mesures sur le pentagoneest si naturel qu’il ne peut etre que rationnel !

Trouver pq ∈ Q tel que φ = D

C = pq ?

C = p(D/q) D = q(D/q)

Trouver un petit segment telle que lecote et la diagonale soient tous deuxdes multiples entiers de ce segment ?

Un nombre naturel...

Pour les pythagoriciens, le rapport des mesures sur le pentagoneest si naturel qu’il ne peut etre que rationnel !

Trouver pq ∈ Q tel que φ = D

C = pq ?

C = p(D/q) D = q(D/q)

Trouver un petit segment telle que lecote et la diagonale soient tous deuxdes multiples entiers de ce segment ?

Irrationnalite

TheoremeLe rapport φ de la diagonale par le cote d’un pentagone est unnombre irrationnel appele nombre d’or.

(et probablement le plus ancien connu)

I Le pentagone contient unplus petit pentagone

I On introduit les mesures c etd des petits cotes

I Symetries dans le pentagone

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

d = D − C c = 2C − DUne mesure commune a C et D estcommune a c et d et donc nulle

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

φ = DC = d

c = pq

(c + d)p − (c + 2d)q = 0cp − dq = 0

dp − cq − dq = 0dc = q

p−q = pq

q2 = p(p − q)p divise q

Irrationnalite

I C = c + d D = c + 2d

I Non rationnel

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I Pentagone de cote C0 etde diagonale D0

I Nouveau pentagone dediagonale D1 = C0.

I On itere la construction

I Passage a la limite

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

Serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φn = φ2

I C1 = D0 − C0 = D1φ = C0

I Cn = C0φn

I∑∞

n=0C0φn = D−1

= φC−1 = φD0 = φ2C0

(Autre) serie geometrique

Prop∑∞n=0

1φ2n+1 = 1

Equation algebrique

TheoremeLe nombre d’or φ, rapport de la diagonale au cote du pentagoneregulier, est l’unique racine positive du polynome X 2 − X − 1.

I φ2 = φ + 1

I Valeur exacteφ = 1+

2 ≈ 1, 618 . . .

I Developpement en racines

I Developpement enfractions continues

Equation algebrique

I φ2 = φ + 1

2 ≈ 1, 618 . . .

Equation algebrique

I φ2 = φ + 1

2 ≈ 1, 618 . . .

√1 +

√1 + . . .

u0 = 1 ∈ Run+1 =

√1 + un

x 7→√

1 + x contractante surR+

lim un = φ

Equation algebrique

I φ2 = φ + 1

2 ≈ 1, 618 . . .

Propφ = 1

1+ 11+...

Diverses remarques

I Le pentagone apparaıtdans diverses autresfigures geometriques

I Les puissances de φ sontdes combinaisons de 1 etφ.

Diverses remarques

φ2 = 1 + φφ3 = φ2 + φ = 1 + 2φ

Diverses remarques

ExerciceTrouver les coefficients an etbn tels que φn = an + bnφ.

Leonardo de PiseSuite de FibonacciDefinitionBiologieProprietes algebriquesCalcul explicite

Leonardo de Pise

I fils de Guglielmo Bonacci: filius Bonacciou Fibonacci

I ne en 1270 ; meurt en 1340

I voyage en Algerie et autour de lamediterranee

I apprend les techniques de l’ouzbekAl-Khwarizmi

I publie son livre de l’abaque

Le contenu de ses livres correspondait a un DEA de mathfinancieres ; ces techniques sont maintenant enseignees en CM2 !

Leonardo de Pise

Croissance demographique

I an 0: un couple de lapins nait

I an 1: le couple est depose sur une ıle

I an 2: le couple engendre un couple

I an 3: le premier couple engendreencore un couple ; le second grandit

I an 4: les deux couples engendrentchacun un nouveau couple ; le couplede l’an 3 grandit

I les lapins sont immortels

Suite de Fibonacci

DefinitionOn appelle suite de Fibonacci la suite (Fn)n∈N definie par F0 = 0,F1 = 1 et, si n ≥ 0,

Fn+2 = Fn + Fn+1.

I Fn est le nombre de couples de lapins present sur l’ıle dansl’annee n apres les naissances.

I L’annee n + 2, il y aI tous les lapins de l’annee precedente (Fn+1) ;I les bebes engendres par les adultes, qui sont vieux d’au moins

deux ans (Fn) ;

I Fn+2 = Fn+1 + Fn

Suite de Fibonacci

Fn+2 = Fn + Fn+1.

deux ans (Fn) ;

I Fn+2 = Fn+1 + Fn

Suite de Fibonacci

Fn+2 = Fn + Fn+1.

deux ans (Fn) ;

I Fn+2 = Fn+1 + Fn

Fibonacci dans la nature

Les vegetaux composes presentent des spirales qui sont organiseessuivant les nombres de Fibonacci

I fleurs (ou pommes de pin)I les marguerites non

abimees ont toujours21 petales

I les paquerettes en ont8 ou 13

I 34 spirales dans un senset 55 dans l’autre

I arbres et ananas

Premieres proprietes

I Lien avec le nombre d’or

I Nombreuses formules

I Nombres premiers entreeux

I φn = Fnφ + Fn−1

I recurrence

I FnFn+2 − F 2n+1 = (−1)n

I recurrence

I FnFn+2 − F 2n+1 = (−1)n

I recurrence

I FnFn+2 − F 2n+1 = (−1)n

Croissance

Les nombres de Fibonacci ont une croissance proportionnelle aunombre d’or

Proplimn→∞

Fn= φ

I rn = Fn+1

Fn= 1 + 1

rn−1

I x 7→ 1 + 1x preserve [1, 2] et est contractante sur cet intervalle

I rn converge vers un point fixe de x 7→ 1 + 1x .

Les rn sont les meilleures approximations rationnelles de φ

Croissance

Proplimn→∞

Fn= φ

I rn = Fn+1

Fn= 1 + 1

rn−1

Croissance

Proplimn→∞

Fn= φ

I rn = Fn+1

Fn= 1 + 1

rn−1

Croissance

Proplimn→∞

Fn= φ

I rn = Fn+1

Fn= 1 + 1

rn−1

Croissance

Proplimn→∞

Fn= φ

I rn = Fn+1

Fn= 1 + 1

rn−1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I Suites du type de Fibonacci : un+2 = un + un+1

I Determinee par ses deux premieres valeurs

I La somme de deux suites du type de Fibonacci est encore unetelle suite

I Deux suites gn et hn non proportionnelles les engendrenttoutes(u0 = Ag0 + Bh0, u1 = Ag1 + Bh1 =⇒ un = Agn + Bhn)

I Pour que gn = rn, il faut r2 = 1 + r

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

Calcul Explicite

TheoremeFn = φn

√5− φ

avec φ = − 1φ .

I r = φ ou r = φ = 1−√

52 = − 1

FormalisationAlgebre LineaireComportement asymptotique

Formalisation

I Prestidigitation ?I Que se passerait-il pour un+2 = 2un − un+1

I Principe de superpositionI La somme de deux solutions est encore une solution

I Calcul du terme suivant ?I Depend des deux precedents

I Considerer deux termes a la fois !

Formalisation

Preuve moderne

I Application lineaire surdes vecteurs

I “Suite” geometrique:calculer les puissancesd’une matrice

I Diagonaliser

I Expression generale

I Suite de Fibonacci

(1 11 0

) (un+1

Preuve moderne

I Diagonaliser

(1 11 0

)n (u1

Preuve moderne

I Diagonaliser

I polynome caracteristique :X 2 − X − 1

I valeurs propres : φ et φ

I vecteurs propres :

)I matrice diagonalisable

Preuve moderne

I Diagonaliser

(φ φ1 1

1 11 0

)P−1

Prop(1 11 0

(φn 0

)P−1

φn+1√

5− φ

φn√

5− φ

φn√

5− φ

φn−1√

5− φ

Preuve moderne

I Diagonaliser

(1 11 0

(Fn+1 Fn

Fn Fn−1

Comportement de la suite de Fibonacci

I Soit Pn =

)= MnP0.

I Dans la nouvelle base, les coordonnees de Pn sont(Xn

(φnX0

)I Hyperboles : XnYn = (−1)nX0Y0

I Les points Pn alternent sur deux hyperboles et se rapprochenttres rapidement de la droite dilatante.

I Soit Pn =

)= MnP0.

(φnX0

I Soit Pn =

)= MnP0.

(φnX0

I Soit Pn =

)= MnP0.

(φnX0

Developper des nombres entiersLe developpement de ZeckendorffExempleConduire aux USLitteratureAnnexe

Developper des nombres entiers

I Nous ecrivons lesentiers en base 10

I Les informaticiensecrivent les nombres enbase 2

I Decomposer unnombre en base deFibonacci

I Eviter lessimplifications

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

I Suite des puissances de 21,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

I 213 = 8192 ≤ 8529 < 16384 = 214

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

I 28 = 256 ≤ 8529−213 = 337 < 512

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

I 26 = 64 ≤ 337− 28 = 81 < 128

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

I 81− 64 = 17 = 16 + 1

8529 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ 10 + 5 ∗ 102 + 8 ∗ 103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

Preuve

II Nous ecrivons lesentiers en base 10

8529 = 8∗1+2∗10+5∗102 +8∗103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

8529 = a0F0 + a1F1 + · · ·+ anFn ?

(ak , ak+1) 6= (1, 1)Sinon akFk + ak+1Fk+1 peut etreremplace par Fk+2

8529 = 8∗1+2∗10+5∗102 +8∗103

8529 = 20 + 24 + 26 + 28 + 213

8529 = a0F0 + a1F1 + · · ·+ anFn ?

(ak , ak+1) 6= (1, 1)Sinon akFk + ak+1Fk+1 peut etreremplace par Fk+2

Developpement de Zeckendorff

TheoremeTout entier k ∈ N peut s’ecrire de facon unique k =

∑Nn=2 εnFn,

ou (εn)n∈N est une suite finie de zeros et de uns qui ne contientpas deux 1 consecutifs.

I k ∈ N, N maximal telque FN ≤ k

I k − FN < FN−1

I Existence dudeveloppement pourtout entier k < FN

I Unicite

N existe car Fn est une suite d’entiersstrictement croissante pour n > 1, et tenddonc vers l’infini

∑Nn=2 εnFn,

I k − FN < FN−1

I Unicite

Sinon, k ≥ FN + FN−1 = FN+1

∑Nn=2 εnFn,

I k − FN < FN−1

I Unicite

Vrai pour N = 3 car F2 = 1 et F3 = 2

Si vrai pour k < FN

Soit FN ≤ k < FN+1

k − FN < FN+1 − FN = FN−1

k − FN =∑N−2

n=2 εnFn

k =∑N−2

n=2 εnFn + FN

Developpement sans deux 1 consecutifs

∑Nn=2 εnFn,

I k − FN < FN−1

I Unicite

∑N−1n=2 εnFn < FN si deux 1 ne sont jamais

consecutifs

Vrai pour n = 3: F2 < F3

Si vrai pour NSoit k =

∑Nn=2 εnFn avec εnεn+1 = 0, ∀n < N

Si εN = 0 alors k < FN < FN+1

Si εN = 1 alors εN−1 = 0k = FN +

∑N−2n=2 εnFn < FN + FN−1 = FN+1

∑Nn=2 εnFn,

I k − FN < FN−1

I Unicite

Si k =∑N1

n=2 εnFn =∑N2

n=2 αnFn

Soit N maximal tel que les deuxdeveloppements sont distinctsFN +

∑N−1n=2 εnFn =

∑N−1n=2 αnFn

Alors FN ≤∑N−1

n=2 αnFn < FN

Impossible

Developpement

DefinitionLe developpement en base de Fibonacci est appele ledeveloppement de Zeckendorff. Si k =

∑Nn=2 εnFn, on notera aussi

k = (εNεN−1 . . . ε2)F

Le developpement de 8529 est