Le filtrage d’images

Objectifs du filtrage

Le terme filtrage englobe une multitude d’algorithmes qui visent l’un ou l’autre des objectifs suivants : a) La localisation des pixels où un changement plus ou moins abrupt des valeurs numériques de

l’image est observable; ces pixels sont associés à la présence d’objets soit ponctuels ou linéaires ou à la présence des frontières d’objets surfaciques. Nous parlons d’arêtes, des lignes, ou des spots, et de filtres de détection d’arêtes, de lignes ou de spots;

b) L’élimination des variations spatiales non significatives des valeurs numériques de l’image; ces variations sont dues au bruit radiométrique ou sont associées à la présence d’objets sans importance pour l’analyse subséquente. Nous parlons alors des filtres de lissage;

c) La restauration du contenu radiométrique d’une image en éliminant les effets de floue, des traînées et d’autres phénomènes introduits lors de l’acquisition des images. Nous parlons alors des filtres de restauration d’images; ou

d) L’accentuation des arêtes afin de faciliter la perception visuelle des objets. Nous parlons alors des filtres de rehaussement d’arêtes.

a) arête b) spot c) ligne d) ligne+arête

Nomenclature

Nomenclature

Les fréquences spatiales

Catégories

• Filtres dans le domaine spatial• Filtres dans un autre domaine que le

spatial (ex. domaine des fréquences)• Filtres morphologiques

Filtres dans le domaine spatial

• Filtres de lissage (passe bas)• Filtres de détection d’arêtes (passe haut)• Filtres de détection de lignes/de points

Voisinage 8

Voisinage 4

Filtres de lissage (passe bas)Application majeure:

nettoyage du bruit aléatoire

• Filtres linéaires: moyenneur, gaussien

• Filtres non-linéaires: ex. médian, divers filtres dits adaptatifs

• Hypothèse de base: une valeur qui diffère beaucoup des valeurs de son voisinage immédiat c’est le plus souvent du bruit

• Prendre en compte les valeurs de tendance centrale dans le voisinage, aide à supprimer le bruit.

Filtres linéaires

(masques de convolution)

Filtre de convolution spatiale

m11

m12

m13

m21

m22

m23

m31

m32

m33

Masque M (3 x 3)

Image A

X

Image B

X

333323231313

323222221212

313121211111

22

***

***

***

mamama

mamama

mamama

b

335723471337

325622461236

315521451135

46

***

***

***

mamama

mamama

mamama

b

m11

m12

m13

m21

m22

m23

m31

m32

m33

Masque M (3 x 3)

Image A

X

b22 = a11*m11 + a12*m12 + a13*m13 +

a21*m21 + a22*m22 + a23*m23 +

a31*m31 + a32*m32 + a33*m33

Image B

X

b46 = a11*m11 + a12*m12 + a13*m13 +

a21*m21 + a22*m22 + a23*m23 +

a31*m31 + a32*m32 + a33*m33

Filtres linéaires

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

49

1

NjNi

jim ji ..2,1;,..2,1

2

1exp

2

22

,

N=arrondi (2*σ2+1)

044,0105,0177,0211,0177,0105,0044,0

105,0251,0421,0501,0421,0251,0105,0

177,0421,0707,0841,0707,0421,0177,0

211,0501,0841,0000,1841,0501,0211,0

177,0421,0707,0841,0707,0421,0177,0

105,0251,0421,0501,0421,0251,0105,0

044,0105,0177,0211,0177,0105,0044,0

850,16

1

σ2 = 3

Filtres linéaires

Uniforme

(b) Filtre circulaire (R=2.5)a) Filtre rectangulaire (J=K=5)

a) Filtre pyramidal (J=K=5)

a) Filtre conique (R=2.5)

Triangulaire

Filtres non linéaires

- Médian

- Adaptatif

La valeur du pixel central est remplacée par la moyenne de la sous-région avec la variance minimale

Ok ! mais je rends l’image floue en même temps…. Pourquoi? Parce qu’on réduit l’amplitude des arêtes, les contrastes entre objets…. Alors….

Cherche à ajuster l’action du filtre, dote le avec un peu d’intelligence, de finesse…Faits le comprendre qu’il y a une arête ou une cible importante dans le voisinage du pixel ….

Filtre adaptatif de Nagao

1

1 1

1

1

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

1

1 11

1

11 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

11

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1

Remplace le pixel central par la moyenne de l’opérateur avec la plus faible variance

Exemple: bruit dû au scannage des photos

Image originale Image originale lissée par filtre gaussien Image originale lissée par filtre adaptatif

L’histogramme de l’image montre que des valeurs aberrantes ont été introduites lors de la production de l’orthophotographie. Ces valeurs ont une distribution uniforme dans l’ensemble de l’échelle des niveaux de gris.

Le filtre gaussien 5x5 réduit significativement le bruit mais en même temps baisse l’amplitude des arêtes rendant l’image « floue ». Le filtre a été appliquée 2 fois pour comparer le résultat avec le filtre adaptatif.

Le filtre adaptatif des Nagao et Matsuyame après deux itérations. Le bruit est significativement réduit et le contraste entre les objets bien préservé.

Détail (zoom 2X) Détail (zoom 2X) Détail (zoom 2X)

Les filtres adaptatifs

Filtre de détection d’arêtes/de lignes

• Gradient• Autres

Arête: notion fondamentale

Les arêtes sont des zones de quelques pixels de large marquant une transition entre deux régions homogènes de brillance ou de texture différente

Lignes : Définition dépend de l’échelle de travail

Les lignes sont des zones de peu de pixels de large entre deux arêtes en proximité physique

Points (spots): Définition dépend de l’échelle de

travail

Variation très localisée de la brillance de l’image

Test: trouvons arêtes, lignes, points

Gradient

Sx=

101

202

101

4

1 Sy

121

000

121

4

1

+1 VN

+4 VN

+3 VN

-2 VN

-2 VN

- 3 VN

gx = + 8 VN

gy = -7 VN

g ~ 11 VN

+

-

-

+

c) Magnitude et angle d’orientation du gradient

x

y

yx

g

gji

ggjig

1

22

tan),(

),(

a) La somme des différences dans la direction des colonnes nous donne la composante gx du

gradient. Le signe de la différence est utilisé pour calculer l’angle d’orientation du gradient (schéma c). Dans cet exemple cette somme équivaut à +8VN

b) La somme des différences dans la direction des lignes nous donne la composante gy du gradient. Le

signe de la différence est utilisé pour calculer l’angle d’orientation du gradient (schéma c). Dans cet exemple cette somme équivaut à –7VN

Dans cet exemple la magnitude est égale à environ 11VN. Compte tenu des signes des composantes le gradient est orientée sud-est. L’angle est environ 3190

Image SPOT-MSP (bande PIR)

Magnitude du gradient selon les masques de Sobel

Angle d’orientation du gradient, plus la valeur est brillante plus l’angle approche les 3600.

Est:

335

305

335

Nord-Est:

355

305

333

Nord :

555

303

333

Nord-Ouest

553

503

333

Ouest:

533

503

533

Sud-Ouest:

333

503

553

Sud:

333

303

555

Sud-Est:

333

305

355

Le facteur de normalisation de chacun des masques est 1/15

KIRCH

Points d'inflexion

Passage par zéro

(a) une arête en échelon

(b) dérivée première de la fonction image

(c) dérivée seconde de la fonction image

010

141

010

4

1

111

181

111

8

1

212

141

212

8

1

Image originale Points d’inflexion des arêtes après application d’un filtre laplacien (voir texte); la brillance varie en fonction de l’amplitude des arêtes (logiciel PCI).

Passages par zéro: algorithme de Marr

1111111

1111111

1111111

6666666

1111111

1111111

1111111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1111116

1111161

1111611

1116111

1161111

1611111

6111111

6111111

1611111

1161111

1116111

1111611

1111161

1111116

Le facteur de normalisation est 1/42.

01110

15,05,05,01

15,0165,01

15,05,05,01

01110

16

1

1111111

1111111

1111111

6666666

1111111

1111111

1111111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1116111

1111116

1111161

1111611

1116111

1161111

1611111

6111111

6111111

1611111

1161111

1116111

1111611

1111161

1111116

Le facteur de normalisation est 1/42.

Max des 4 filtres

01110

15,05,05,01

15,0165,01

15,05,05,01

01110

16

1

Détection de points

Le rehaussement d’arêtes

1. Masques de convolution

2. Rehaussement spéciaux

Le rehaussement d’arêtes

1. Masques de convolution

0 1 0

1 5 1

0 1 0

1 1 1

1 9 1

1 1 1

Masques de convolutionImage originale: sans étirement; étirement linéaire; étirement r.carrée

Réh. d’arêtes: sans étirement; étirement linéaire; étirement r.carrée

Le rehaussement d’arêtes

2. Rehaussements spéciaux: rehaussement par soustraction d’une image lissée

),(12

)1(),(

12),( jiF

c

cjiF

c

cjiG L

Rehaussements spéciauxImage originale Image lissée (9x9 gaussien)

Soustraction (c=0.6)

Catégories

• Filtres dans le domaine spatial• Filtres dans un autre domaine que le

spatial (ex. domaine des fréquences)• Filtres morphologiques

Un tour de magie????

La théorie du signal

Un exemple simple

Un exemple simple

.

.

Un exemple simple

Transformées unitaires 2-D

),;,(),(),(

),;,(),(),(

1

0

1

0

1

0

1

0

vukjBvuFkjf

vukjAkjfvuF

N

u

M

v

N

j

M

k

FBf

fAF

Unitaire

La matrice A est unitaire TAA *1

Une matrice A réel unitaire est orthogonale: TAA 1

1 AB

Fourier (image carrée NxN)

vkujN

ivkujN

vkujN

ivukjB

vkujN

ivkujN

vkujN

ivukjA

2sin

2cos

2exp),;,(

2sin

2cos

2exp),;,(

Exemple

1

0

2exp)(1

)(N

xN

uxjxfN

uF

1

0

2exp)()(N

uN

uxjuFxf

4432)( xf

25.344324

1)3()2()1()0(

4

10exp)(

4

1)0(

3

0

ffffxfFx

jeeeexj

xfFj

jj

x

2

4

14432

4

1

4

2exp)(

4

1)1( 2

320

3

0

014

14432

4

1

4

4exp)(

4

1)2( 320

3

0

jeeeexj

xfF jjj

x

jeeeexj

xfFj

jj

x

2

4

14432

4

1

4

6exp)(

4

1)3( 2

932

30

3

0

Un exemple

FFT – partie réelle/partie imaginaire

FFT – partie magnitude/phase

Filtrage – PCI

MASQUE UTILISATEUR

FRÉQUENCE DE COUPURE

Butterworth (passe bas ou passe haut)

Gaussien (pb ou ph)

FFT – filtre wedge

FFT-inverse

Filtre passe-bas Gaussien (FC=0,0625)

Filtre passe-haut Gaussien (FC=0,0625)

Transformée de Walsh (ondes carrées +1/-1)

Walsh passe-bas gaussien

Transformée inverse

Walsh Fourier

Domaine spatial

),(),(),( yxwyxsyxg r

La porteuse:Une Sinusoïde complexe

L’enveloppe: une fonction gaussienne

La porteuse

))(2(exp(),( Pyvxujyxs oo

Fréquences spatialesDéphasage

La gaussienne

Catégories

• Filtres dans le domaine spatial• Filtres dans un autre domaine que le

spatial (ex. domaine des fréquences)• Filtres morphologiques

Morphologie mathématique

- Application à des images binaires- Application à des images N&B

Images binaires: Modus operandi

111

111

111

XX

XX

XX

1

1

1

X = sans effet

000

000

000

Les éléments structurants

• Exemple 3x3

Opérations: Érosion

111

111

111

Élément structurant

miss

misshit

Si « hit » ---output = 1

= 1

= 2

Si « miss »---output = 0

Opérations: Dilatation

000

000

000

Élément structurant

hit

miss

Si « hit » ---output = 0

= 1

= 2

Si « miss »---output = 1

Opérations: Ouverture

Érosion= 1

= 2

Dilatation

N x Érosion

N x Dilatation

Opérations: Fermeture

Dilatation= 1

= 2

Érosion

N x Dilatation

N x Érosion

Opérations: Délimitation

Érosion= 1

= 2

- =

Opérations: Squelettisation

XX

XX

XX

1

1

0

XXX

XXX

110

XX

XX

XX

0

1

1

Processus itératif avec érosion selon des éléments structurants directionnels (voir Parker 1997)

XXX

XXX

011

Images N&B

Érosion, x (0, -255) Dilatation, x (0, +255)

Ouverture + Fermeture– même principe que dans le cas binaire

Opérations

• Érosion et Dilatation• Ouverture et Fermeture• Transformations « Chapeau haut de

forme » et « puit »• Gradient morphologique• Détection d’arêtes « bassin versant »

Top-hat

Image originale Image dilatée Image érodée Gradient morphologique:

Dilatée - érodée

Image lissée par filtre gaussien

Originale - lissée

Bassin versant