III. Fonctions numériques et III. Fonctions numériques et modélisation modélisation (intégration,équations (intégration,équations différentielles,…)différentielles,…)

II. Nombres entiers, rationnels, II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels et complexes ; suites de réelsréels

I. Bases de logique , théorie I. Bases de logique , théorie des ensemblesdes ensembles

LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRESLE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES

III. Fonctions numériques III. Fonctions numériques et modélisationet modélisation• Limite d’une fonction en un point de R ou de Limite d’une fonction en un point de R ou de

la droite réelle achevée la droite réelle achevée • Continuité d’une fonction en un point et sur Continuité d’une fonction en un point et sur

un ensembleun ensemble• Opérations sur les fonctions continues Opérations sur les fonctions continues • Fonctions strictement monotones sur un Fonctions strictement monotones sur un

intervalle intervalle • Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle • Quelques fonctions classiques et leurs Quelques fonctions classiques et leurs

inverses inverses • Aires, intégration, primitives Aires, intégration, primitives • Équations différentiellesÉquations différentielles

Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée

D D R R R R

ff

DD

__a a D D

f admet une limite f admet une limite finiefinie ll R au point R au point aa si et seulement si, pour si et seulement si, pour toutetoute suite suite (x(xnn))nn de de points de D : points de D : lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn = = ll

Cas 1Cas 1

Pour tout Pour tout >0, >0,

il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :

(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))|f(x) – |f(x) – ll | < | <

f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R au point R au point aa

Le cas particulier où le Le cas particulier où le point point aa est un point de D est un point de D

• f : D ----> R f : D ----> R

• a point de D a point de D

• limlimaa f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(a))nécessairement f(a))

f est continue en af est continue en a

Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée

D D R R R R

ff

DD

__a a D \ D D \ D

f tend vers + l’infinif tend vers + l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :

lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =+ l’infini =+ l’infini

Cas 2Cas 2

Pour tout A >0,Pour tout A >0,

il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :

(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) > A f(x) > A

f tend vers + l’infini au point f tend vers + l’infini au point aa

Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée

D D R R R R

ff

DD

__a a D \ D D \ D

f tend vers - l’infinif tend vers - l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :

lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =- l’infini =- l’infini

Cas 3Cas 3

Pour tout A >0, Pour tout A >0,

il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :

(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) < - A f(x) < - A

f tend vers - l’infini au point f tend vers - l’infini au point aa

Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée

D D R R R R

ff

DD

__ +infini+infini D \ D D \ D

f tend vers f tend vers ll lorsque x tend vers + lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour infini si et seulement si, pour toutetoute suite (xsuite (xnn))nn de de points de Dpoints de Dlim (xlim (xnn))nn = +infini lim (f(x = +infini lim (f(xnn))))nn = =ll

Cas 4Cas 4

Pour tout Pour tout >0, >0,

il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :

(x appartient à D et x > B(x appartient à D et x > B))

|f(x) – |f(x) – ll | < | <

f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R en + l’infini R en + l’infini

Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée

D D R R R R

ff

DD

__ +infini+infini D \ D D \ D

f tend vers + infinif tend vers + infini lorsque x tend lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour vers + infini si et seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de points de D de points de D

lim (xlim (xnn))nn = +infini lim (f(x = +infini lim (f(xnn))))nn =+ infini =+ infini

Cas 5Cas 5

Pour tout A >0, Pour tout A >0,

il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :

(x appartient à D et x > B)(x appartient à D et x > B)

f(x) > A f(x) > A

f tend vers + l’infini lorsque x tend f tend vers + l’infini lorsque x tend vers + l’infini vers + l’infini

Pour tout A >0,Pour tout A >0,

il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :

(x appartient à D et x > B)(x appartient à D et x > B)

f(x) < - A f(x) < - A

f tend vers - l’infini lorsque x tend f tend vers - l’infini lorsque x tend vers + l’infini vers + l’infini

Composition des limites Composition des limites (1)(1)

D R D R E RE R

ff ggf(D) f(D) E E

__a a D D __

limlimaa f= f=ll E E __

limlimll g=L g=L R R

limlimaa (g o f) = L (g o f) = L

Composition des limites Composition des limites (2)(2)

D R D R E RE R

ff ggf(D) f(D) E E

__a a D D __

limlimaa f=+infini f=+infini E E __limlim+infini+infini g=L g=L R R

limlimaa (g o f) = L (g o f) = L

Composition des limites Composition des limites (3)(3)

D R D R E RE R

ff ggf(D) f(D) E E

__+ infini + infini D \ D D \ D

__limlim+ l’infini+ l’infini f=+infini f=+infini E E

__limlim++infiniinfini g=L g=L R R

LimLim+l’infini+l’infini(g o f) = L(g o f) = L

Attention aux formes indéterminées !Attention aux formes indéterminées !

Lim (aLim (a00 x xpp + a + a11 x x p-1p-1 + … + a + … + app) =) =

+ l’infini si a+ l’infini si a00 > 0 > 0

- l’infini si a- l’infini si a00 < 0 < 0

xx22 – x – x

(log x) /x = (1/x) (log x) /x = (1/x) xx log x log x

????

quand x tend vers + quand x tend vers + l’infinil’infini

Attention aux formes indéterminées !Attention aux formes indéterminées !

(a(a00 x xpp + a + a11 x x p-1p-1 + … + a + … + app))1/k1/k = =

aa001/k1/k x xp/kp/k ( 1 + (a( 1 + (a11/a/a00) x) x-1 -1 + … )+ … )1/k1/k

P(x)/Q(x)P(x)/Q(x)

(P(x))(P(x))1/k1/k – Q(x)– Q(x) , , k dans N*, en + k dans N*, en + l’infinil’infini

????

bb00 x xqq + b + b11 x xq-1q-1 + … + b + … + bq q = = bb00 x xqq (1+ (b (1+ (b11/b/b00)x)x-1-1 + …) + …)

Rappel de règles Rappel de règles concernant les limites concernant les limites de suitesde suites

Limite Limite à droiteà droite en un en un point apoint a

• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa

++:= {x dans D ; x >a}:= {x dans D ; x >a}

• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa++ admet admet

pour limite pour limite ll au point a au point a

Limite Limite à gaucheà gauche en un point en un point aa

• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa

--:={x dans D ; x <a}:={x dans D ; x <a}

• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa-- admet admet

pour limite pour limite ll au point a au point a

« Une fonction « Une fonction monotone monotone (c’est-à-dire (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert intervalle ouvert ]a,b[ ]a,b[ (borné ou non) (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite admet une limite à gauche et à droite en tout pointen tout point  de   de ]a,b[]a,b[»»

Fonction continue en un Fonction continue en un point (rappel)point (rappel)

• f : D ----> R f : D ----> R

• xx00 point de D point de D

• limlimx0x0 f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(xnécessairement f(x00))))

Continuité Continuité à droiteà droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(xf(x00))))

Continuité Continuité à gaucheà gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à

f(xf(x00))))

Fonctions continues sur un Fonctions continues sur un segment [a,b]segment [a,b]

I. Une fonction f I. Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) et à valeurs réelles est à la et à valeurs réelles est à la fois fois minorée minorée et et majoréemajorée sur sur [a,b].[a,b].

II. Les deux bornes II. Les deux bornes inf inf [a,b][a,b] f f et et supsup[a,b][a,b] f f sont atteintes par f en des points de sont atteintes par f en des points de [a,b][a,b]

Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiaires intermédiaires

Une fonction f Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) prend (sur ce segment) au moins prend (sur ce segment) au moins une fois toute une fois toute valeur intermédiairevaleur intermédiaire y du segment y du segment [[infinf [a,b][a,b] f , f , supsup [a,b][a,b] f] f] . .

Preuve par l’absurde !Preuve par l’absurde !

Fonctions strictement monotones et Fonctions strictement monotones et continues sur un intervallecontinues sur un intervalle (1)(1)

I intervalle de RI intervalle de R

m=inf {f(x), x dans I}m=inf {f(x), x dans I}

M = sup {f(x), x dans I}M = sup {f(x), x dans I}

f(I) intervalle de R f(I) intervalle de R (du même type)(du même type)

II

f(I)f(I)

f : I f : I f(I) bijective f admet une application inverse f f(I) bijective f admet une application inverse f-1-1 : : f(I) f(I) I I

Fonctions strictement Fonctions strictement monotones sur un intervallemonotones sur un intervalle (2)(2)

IIf(I)f(I)

yy

ff-1-1(y(y--) ) f f-1-1(y) (y) f f-1-1(y(y++))== ==

f continuef continue

ff-1-1 continue continue

ff-1-1 strictement monotone (même type que f) strictement monotone (même type que f)

Fonction réciproque d’une Fonction réciproque d’une fonction strictement fonction strictement monotone monotone f : I f : I J=f(I) J=f(I)

[[(x (x I) et (y=f(x)) I) et (y=f(x))]]

[[(y (y J) et (x=f J) et (x=f-1-1(y))(y))]]

Graphe (f) = Graphe (f) = {{(x,y) (x,y) I I xx J ; y =f(x) J ; y =f(x)}}

Graphe (fGraphe (f-1-1) = ) = {{(y,x) (y,x) J J xx I ; y=f(x) I ; y=f(x)}}

(x(x00,y,y00))

(y(y00,x,x00))

Droite ‘miroir’Droite ‘miroir’y=x y=x

Dérivabilité en un point et Dérivabilité en un point et sur un intervallesur un intervalle

• f définie dans un intervalle f définie dans un intervalle ouvertouvert contenant un point donné xcontenant un point donné x00

• f(xf(x00+h) = f(x+h) = f(x00) + a(x) + a(x00) h + h) h + h (h) (h) pour tout h de valeur absolue pour tout h de valeur absolue assez petite assez petite

• défini dans un intervalle ]-défini dans un intervalle ]-

,,[ (privé de 0) et lim[ (privé de 0) et lim00 = 0 = 0

Interprétation Interprétation géométriquegéométrique

(x(x00+h, f(x+h, f(x00+h))+h))

(x(x00, f(x, f(x00))))

y=a(xy=a(x00)(x-x)(x-x00)+ f(x)+ f(x00))

Dérivabilité en un point Dérivabilité en un point

Continuité en ce pointContinuité en ce point

Isaac NewtonIsaac Newton(1643-1727)(1643-1727)

Opérations sur les Opérations sur les fonctions dérivablesfonctions dérivables

f et g dérivables en xf et g dérivables en x00

f+ g dérivable en xf+ g dérivable en x0 0 , (f+g)’(x, (f+g)’(x00)= )=

f’(xf’(x00)+g’(x)+g’(x00))

fg dérivable en xfg dérivable en x0 0 , (fg)’(x, (fg)’(x00)= f’(x)= f’(x00) g(x) g(x00)+g’(x)+g’(x00) )

f(xf(x00))

Dérivabilité de x Dérivabilité de x x xnn

n > 0n > 0

(x(x00+h)+h)nn = x = x00nn + + n xn x00

n-1n-1 h + o(h) h + o(h)

n > 0 et xn > 0 et x00 non nul non nul

(x(x00+h)+h)-n-n = x = x00-n-n -- n xn x00

n-1n-1 h + o(h) h + o(h)

Règle de LeibnizRègle de Leibniz

f définie au voisinage de xf définie au voisinage de x00 et dérivable en x et dérivable en x00

g définie au voisinage de f(xg définie au voisinage de f(x00) et dérivable en f(x) et dérivable en f(x00))

g o f dérivable en xg o f dérivable en x00 car : car :

(g o f) (x(g o f) (x00+h) = g (f(x+h) = g (f(x00+h)) +h))

= g = g ((f(xf(x00) + h f’(x) + h f’(x00) + o(h)) + o(h)))

= g(f(x= g(f(x00)) + h )) + h g’(f(xg’(f(x00)) )) xx f’(xf’(x00)) + o(h) + o(h)

(gof)’(x(gof)’(x00))

G.W. von LeibnizG.W. von Leibniz (1646-1716)(1646-1716)

Opérations sur les Opérations sur les fonctions dérivablesfonctions dérivables

f et g dérivables en xf et g dérivables en x0 0 et g(xet g(x00) non nul) non nul

f/g dérivable en xf/g dérivable en x0 0 et et

f’(xf’(x00) g(x) g(x00) - g’(x) - g’(x00) f(x) f(x00))(f/g)’(x(f/g)’(x00) = ______________________) = ______________________

(g(x(g(x00))))22

Dérivabilité de la fonction Dérivabilité de la fonction inverseinverse

Soit f une fonction strictement monotone Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I sur I

On suppose f’ On suppose f’ 0 sur I (f’>0 ou f’<0) 0 sur I (f’>0 ou f’<0)

ff-1-1 : f(I) : f(I) I est dérivable sur f(I) I est dérivable sur f(I)

1 1 (f(f-1-1)’(y)’(y00) = --------------) = -------------- f’ ( ff’ ( f-1-1 (y (y00))))

y= yy= y00 + f’(x + f’(x00) (x-x) (x-x00) )

(x(x00,y,y00))

(y(y00,x,x00))

x= yx= y00 + f’(x + f’(x00) (y-x) (y-x00))

Remarque : un énoncé Remarque : un énoncé admisadmis

Une fonction dérivable sur un intervalle Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée ouvert I , de dérivée identiquement nulle identiquement nulle sur I sur I , est constante sur I., est constante sur I.

Attention cependant Attention cependant Aux escaliers du diable !Aux escaliers du diable !

La fonction exponentielleLa fonction exponentielle

x x kk

k k !!

k=0k=0

k=nk=n

exp (x)exp (x)

exp (xexp (x11+x+x22) = exp (x) = exp (x11) ) xx exp (x exp (x22))

lim (elim (exx/x/xnn) = + l’infini) = + l’infinien +l’infini en +l’infini

lim (elim (exx x xnn) = 0) = 0en - l’infini en - l’infini

La méthode d’EulerLa méthode d’Euler

exp ’ = expexp ’ = exp

uu00 = 1 = 1

uun+1n+1-u-unn = = uunn

1/N 1/N

Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)

Dérivée « discrète »Dérivée « discrète »

(1+ x/N)(1+ x/N)NN ---> exp (x) ---> exp (x)lorsque N tend vers + l’infinilorsque N tend vers + l’infini

La fonction logarithme La fonction logarithme (1)(1)

x x R et y = exp (x) R et y = exp (x)

y y et x = log (y) et x = log (y)

log (ylog (y11 y y22) = log (y) = log (y11) + log (y) + log (y22))

limlim00 (|y| log |y|) =0 (|y| log |y|) =0 limlim+infini+infini (log y /y) =0 (log y /y) =0

La fonction logarithme La fonction logarithme (2)(2)

• log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 }

• (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a}

Remarque : pour tout entier n Remarque : pour tout entier n de Z de Z différent de -1, on a surdifférent de -1, on a sur R \{a} R \{a} : :

(y-a)(y-a)n+1n+1

[[ ]]’’ =[ y ---> (y-a) =[ y ---> (y-a)nn]] n+1 n+1

Les fonctions puissanceLes fonctions puissance

• (a(axx11) ) xx

22 = a = a xx11xx

22 • aaxx

11+x+x

22 =a =axx11 xx a axx

22

• (ab)(ab)xx = a = axx xx b bxx

• aa-x-x = (1/a) = (1/a)xx

x x R R a axx := exp (x log a) := exp (x log a)

a > 0a > 0

[ x [ x a axx]’ = [x ]’ = [x log(a) log(a) xx a axx]]

La fonction cosinus La fonction cosinus

x x 2k2k

(2k) !(2k) ! k=0k=0

k=nk=n

cos (x)cos (x)(-1)(-1)kk

(suites adjacentes)(suites adjacentes)

x x R R

cos 0 = 1cos 0 = 1cos 2 <-1/3cos 2 <-1/3

:= 2 inf{x>0, cos x=0}:= 2 inf{x>0, cos x=0} cos s’annule en au cos s’annule en au moins un point de [0,2]moins un point de [0,2]

La fonction sinus La fonction sinus

x x 2k+12k+1

(2k+1) (2k+1) !!

k=0k=0

k=nk=n

sin (x)sin (x)(-1)(-1)kk

(suites adjacentes)(suites adjacentes)

x x R R

Relations entre fonctions Relations entre fonctions trigonométriquestrigonométriques

• cos (xcos (x11 + x + x22) = cos (x) = cos (x11) cos (x) cos (x22) – sin (x) – sin (x11) sin ) sin (x(x22) )

• sin (xsin (x11+ x+ x22) = cos (x) = cos (x11) sin (x) sin (x22) + sin (x) + sin (x11) cos ) cos (x(x22) )

• cos’ = - sin cos’ = - sin

• sin’ = cossin’ = cos

• coscos22 x + sin x + sin22 x =1 x =1

• cos (x+ 2cos (x+ 2)=cos x )=cos x

• sin (x+2sin (x+2) = sin x) = sin x

(cos (x), sin (x)) (cos (x), sin (x))

( pour( pour x x [0, [0,

22[)[) paramétrage bijectif du paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de cercle de centre (0,0) et de rayon 1rayon 1

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inversesinverses

• Arcos : [-1,1] --- > [0, Arcos : [-1,1] --- > [0, ] ] • Arcsin : [-1,1] --- > [-Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2 , /2] /2] • sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y (1-y22))-1/2-1/2]]

• sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y - (1-y22))-1/2-1/2]]

Arcsin (y) + Arcos (y) = Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y /2 pour y [-1,1] [-1,1]

La fonction tangenteLa fonction tangente

tan x := sin (x) / cos (x)tan x := sin (x) / cos (x)

tan’ = 1 + tantan’ = 1 + tan22

La fonction Arctan (Arc-La fonction Arctan (Arc-tangente)tangente)

x x ]- ]-/2 , /2 , /2[ et y =tan (x)/2[ et y =tan (x)

y y R et x= Arctan (y) R et x= Arctan (y)

1 11 1Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- 1 + tan1 + tan22 (Arctan y) 1 + y (Arctan y) 1 + y22

Quelques relations Quelques relations importantesimportantes

• cos (t) = 2 coscos (t) = 2 cos22 (t/2) -1 (t/2) -1 = (1-u= (1-u22)/(1+u)/(1+u22))

• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u= 2u/(1+u22))

t t ]- ]-, , [ [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan uu= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

1-u1-u22 2u 2u--------- , ------- --------- , -------

1+u1+u22 1+u 1+u22

(-1,0)(-1,0)

11

(0,0)(0,0)

Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un pointUn paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

Les fonctions Les fonctions hyperboliqueshyperboliques

• cosh x : = (ecosh x : = (exx+e+e-x-x)/2 , x )/2 , x R R

• sinh x : = (esinh x : = (exx – e – e-x-x)/2 , x )/2 , x R R

coshcosh22 x – sinh x – sinh22 x = 1 x = 1

cosh’ = sinh sinh’ = coshcosh’ = sinh sinh’ = cosh

Intersection d’un plan et d’un cône : Intersection d’un plan et d’un cône : hyperbolehyperbole, , ellipseellipse ou ou paraboleparabole

ellipseellipse

hyperbolehyperbole(2 (2

branches)branches)

les Coniquesles Coniques

xx22 – y – y22=1 , x>0=1 , x>0

x = cosh t , t x = cosh t , t RR

y = sinh t , t y = sinh t , t R R

Le paramétrage de la demi-hyperboleLe paramétrage de la demi-hyperbole

La fonction argsinh : R La fonction argsinh : R RR

x x R et y = sinh x R et y = sinh x y y R et x=argsinh y R et x=argsinh y

argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+yargsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y22))-1/2-1/2

sinh sinh xx = y = y {{ XX = e = exx

XX22 – 2y – 2y XX - 1 =0 - 1 =0

xx = argsinh y == argsinh y = log [y + (1+ylog [y + (1+y22))1/21/2]]

variable variable auxiliaireauxiliaire

La fonction argcosh : La fonction argcosh : {y ; y {y ; y 1} 1} {x ; x {x ; x 0} 0}

xx0 et y = cosh x0 et y = cosh x y y 1 et x=argcosh y1 et x=argcosh y

argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (yargcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y22 -1) -1)-1/2 -1/2 , y > , y > 1 1

cosh cosh xx = y = y {{ XX = e = exx

xx 00 (donc X (donc X 1)1)

XX22 – 2y – 2y XX +1 =0 +1 =0

xx = argcosh y == argcosh y = log [y + (ylog [y + (y2 2 -1)-1)1/21/2]]

variable variable auxiliaireauxiliaire

La fonction tangente La fonction tangente hyperboliquehyperbolique

• tanh : x tanh : x R R tanh x := sinh x / cosh x tanh x := sinh x / cosh x

• tanh’ : x tanh’ : x R R 1 – tanh 1 – tanh22 x = (cosh x) x = (cosh x)-2-2

x x R et y = tanh x R et y = tanh x y y ]-1,1[ et x= ]-1,1[ et x= argtanh yargtanh y

argtanh’ y = 1/(1-yargtanh’ y = 1/(1-y22) )

= (1/2) = (1/2) xx 1/(y+1) - (1/2) 1/(y+1) - (1/2) xx 1/(y-1) , y 1/(y-1) , y ]-1,1[ ]-1,1[

argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 1/2 , y , y ]-1,1[ ]-1,1[

Notion d’intégraleNotion d’intégrale : :

Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble borné A du plan ? borné A du plan ?

-Les méthodes « probabilistes » Les méthodes « probabilistes » (Monte Carlo) (Monte Carlo)

-Les méthodes numériques Les méthodes numériques

--Les formules exactesLes formules exactes

Le cas des unions de Le cas des unions de rectanglesrectangles

Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »

Méthode de Monte Carlo Méthode de Monte Carlo

Un exemple d’ensemble fractal Un exemple d’ensemble fractal

(de la difficulté de mesurer (de la difficulté de mesurer tout et n’importe quoi !)tout et n’importe quoi !)

Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan

*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A) *(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)

On peut « mesurer » A si et seulement si : On peut « mesurer » A si et seulement si :

Pour tout Pour tout >0 , il existe une union de pavés R>0 , il existe une union de pavés R telle que : telle que :

* (A * (A R R) < ) <

aire (A) = inf (aire (A) = inf (*(unions de pavés contenant A))*(unions de pavés contenant A))

aa bb

(b-a)/N (sup(b-a)/N (supIk Ik f – inff – infIk Ik f) f) 0 0

Le cas des fonctions continues positives sur un segment Le cas des fonctions continues positives sur un segment [a,b] [a,b]

(b-a)/N (f(x(b-a)/N (f(xN,1N,1)+ f(x)+ f(xN,2N,2)+…+ f(x)+…+ f(xN,NN,N)) )) aire de {(x,y) ; 0 aire de {(x,y) ; 0y y f(x)} f(x)}

xxN,2N,2xxN,1N,1

IIkk

kk

Définition de l’intégrale Définition de l’intégrale d’une d’une fonction continue sur [a,b]fonction continue sur [a,b]

f = sup (f,0) – sup (-f,0) = ff = sup (f,0) – sup (-f,0) = f++ - f - f--

[a,b] [a,b]

f(t) dt f(t) dt := aire {(x,y); 0 := aire {(x,y); 0 y y f f++(x)} – aire {(x,y) ; 0(x)} – aire {(x,y) ; 0 y y f f--(x)}(x)}

aa

bb

f(t) dt f(t) dt

++--

++

Le cas des fonctions à Le cas des fonctions à valeurs complexesvaleurs complexes

• f = Re (f) + i Im (f)f = Re (f) + i Im (f)

aa

bb

f(t) dt = f(t) dt = aa

bb

Re (f(t)) dt +i Re (f(t)) dt +i aa

bb

Im (f(t)) dtIm (f(t)) dt

Propriétés de l’intégralePropriétés de l’intégrale

aa aa aa

bb bb bb

((f(t)+ f(t)+ g(t)) dt = g(t)) dt = f(t) dt + f(t) dt + g(t) dt g(t) dt

f f g sur [a,b] f(t) dt g sur [a,b] f(t) dt g(t) dt g(t) dt aa

bb

aa

bb

linéarité linéarité

monotonie monotonie

|| aabb

f(t) dtf(t) dt || aa

bb

| f(t) | dt | f(t) | dt

Relation de Chasles Relation de Chasles

aa aa cc

bb cc bb

f(t) dtf(t) dt = =f(t) dt f(t) dt + + g(t) dtg(t) dt

xx

yy

yy

xx

avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt

lorsque y < x lorsque y < x

(f continue sur I , a, b, c étant trois points de I) (f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)

Le théorème Le théorème « fondamental » de « fondamental » de l’analysel’analyse

Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I . La fonction : de R et a un point de I . La fonction :

x x I I F(x) := f(t) dt F(x) := f(t) dt aa

xx

est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur Iest dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I

F primitive de f sur IF primitive de f sur I

aa

bb

f’(t) dt = f(b) – f(a) f’(t) dt = f(b) – f(a)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur Iouvert I, de dérivée continue sur ISoit [a,b] un segment inclus dans I ; alors : Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :

Application 1 : la formule Application 1 : la formule d’intégration « par d’intégration « par parties »parties »

Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : si [a,b] est un segment de I :

aa

bb

f’(t)f’(t) g(t)g(t) dt dt = = f(b)f(b) g(b)g(b) – – f(a)f(a) g(a)g(a) - - aa

bb

f(t)f(t) g’(t)g’(t) dt dt

Application 2 : la formule Application 2 : la formule de changement de de changement de variables variables

Soit Soit II et et JJ deux intervalles ouverts de R deux intervalles ouverts de R

Soit u : Soit u : II JJ , , strictement monotonestrictement monotone, dérivable et , dérivable et de dérivée continue sur de dérivée continue sur [a,b] c I[a,b] c I avec avec cc := u( := u(aa), ), dd:= u(:= u(bb) ; ) ;

alors: alors:

c=u(c=u(aa))

d=u(d=u(bb))

f(s)f(s) ds ds = = aa

bb

f( u(t)) u’(t) dtf( u(t)) u’(t) dt

pour toute fonction continue f : J pour toute fonction continue f : J R R

Quelques exemples Quelques exemples d’application de ces d’application de ces méthodesméthodes

• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques

• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliqueshyperboliques

• Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle rationnelle

• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn exp ( exp ( t) t)

• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn cos ( cos ( t) ou t t) ou t t tnn sin ( sin (t) t)

• Fonctions du type x Fonctions du type x F(x, (ax F(x, (ax22+bx+c)+bx+c)1/21/2))

Expressions rationnelles en Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques les lignes trigonométriques • cos (t) = 2 coscos (t) = 2 cos22 (t/2) -1 (t/2) -1

= (1-u= (1-u22)/(1+u)/(1+u22))

• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u= 2u/(1+u22))

t t ]- ]-, , [ [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan uu= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

aa

bbP(cos t, sin t)P(cos t, sin t)

Q(cos t, sin t)Q(cos t, sin t)

dtdt

1- u1- u22

------------1+u1+u22

1- u1- u22

------------1+u1+u22

2u2u------------1+u1+u22

2u2u------------1+u1+u22

2du2du------------1+u1+u22

tan (a/2)tan (a/2)

tan (b/2)tan (b/2)

[a,b] c ]-[a,b] c ]-, , [ [ u = tan (t/2) u = tan (t/2) t = 2 Arctan ut = 2 Arctan u

P (cos P (cos , sin , sin ) = a) = a00 + (a + (ajj cos (k cos (kjj ) + b) + bjj sin sin (k(kjj))))

j=1j=1

j=Nj=N

Linéarisation des polynômes trigonométriquesLinéarisation des polynômes trigonométriques

dd aa00 aaj j sin (ksin (kjj ) – b) – bjj cos (k cos (kjj ) ) ------------------------------------------------------------------ kkjj

aa

bbP( cosh t , sinh t )P( cosh t , sinh t )

Q(cosh t, sinh t )Q(cosh t, sinh t )

dtdt

u +(1/u)u +(1/u)-------------------- 22

u+(1/u)u+(1/u)-------------------- 22

u-(1/u)u-(1/u)---------------- 22

u-(1/u)u-(1/u)------------------ 22

dudu------------ uu

exp (a)exp (a)

exp(b)exp(b)

[a,b] c R [a,b] c R u = exp (t) u = exp (t) t = log ut = log u

Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliqueshyperboliques

Intégrales abéliennesIntégrales abéliennes

• a > 0a > 0 ,, < 0 < 0

• a > 0 , a > 0 , = = >0 >0

• a < 0 , a < 0 , > 0 > 0

F ( x , axF ( x , ax22 + bx + c ) + bx + c ) aa [ [(x+b/2a)(x+b/2a)22 - - /4a/4a22]] VV dxdx

x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) sinh u/2a) sinh u

x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cosh u/2a) cosh u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) cosh u/2a) cosh u

x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cos u/2a) cos u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) sin u/2a) sin u

bb22- 4 ac- 4 ac

Primitives de fractions Primitives de fractions rationnellesrationnelles

P(x) R(x) P(x) R(x) ---- = a---- = akk x xkk + ----- + -----Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)

k=0k=0

k=Nk=N

deg R < deg (Q)deg R < deg (Q)

dxdx aakk x xk+1k+1 ------------------ k+1k+1 dxdx

Cas particuliersCas particuliers : deg (Q) = 1 et : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2deg (Q) =2

??

x + x +

a xa x22 + bx + c + bx + c a (x –xa (x –x11) (x-x) (x-x22))

Premier cas : bPremier cas : b22-4ac >0-4ac >0

|| ||

uu11 uu22

------ + ------------- + ------- x-xx-x11 x- x x- x22

dxdx

uu11 log |x-x log |x-x11|| uu22 log |x-x log |x-x22||

x + x +

a xa x22 + bx + c + bx + c a (x –xa (x –x00))22

Second cas : bSecond cas : b22-4ac = 0-4ac = 0

|| ||

xx00 + + ------- + ---------------- + --------- a(x-xa(x-x00) a (x- x) a (x- x00))22

dxdx

log |x-xlog |x-x00||------------------------------ a a

- (- (xx00 + + ))------------------------------ a (x-xa (x-x00) )

x + x +

a xa x22 + bx + c + bx + c a a [[((x +(b/2a)x +(b/2a)))2 2 + ( + (22/4a/4a22))]]

Troisième cas : bTroisième cas : b22-4ac = --4ac = - < 0 < 0

|| ||

x + (b/2a) x + (b/2a) vv uu ------------------- + ------------------ ------------------- + ------------------ (x +(b/2a))(x +(b/2a))22 + ( + (22/4a/4a22)) (x+(b/2a))(x+(b/2a))22 + ( + (22/4a/4a22))

dxdx

uu log log [[ (x+(b/2a)) (x+(b/2a))22 + +

((22/4a/4a22))]] ------------------------------------------------------------------------ 2 2

2a2avv x + (b/2a) x + (b/2a) ---- Arctan 2a --------------------- Arctan 2a -----------------

Equations différentiellesEquations différentielles

F ( t , y(t) , y’(t)) = 0 , t F ( t , y(t) , y’(t)) = 0 , t II

F ( t , y(t) , y’(t) , y’’ (t)) = 0 , t F ( t , y(t) , y’(t) , y’’ (t)) = 0 , t II

TempsTemps positiopositionn

vitessevitesse

accélérationaccélération

ordre 1ordre 1

ordre 2ordre 2

Equations linéaires Equations linéaires d’ordre 1d’ordre 1

y’ (t) = a(t) y(t) + b(t) , t y’ (t) = a(t) y(t) + b(t) , t I I

(a et b fonctions continues de I dans R ou C)(a et b fonctions continues de I dans R ou C)

Condition « initiale » : y(tCondition « initiale » : y(t00) = y) = y00

(t(t00 I , y I , y00 R ou C) R ou C)

++

L’approche numérique : L’approche numérique : méthode d’Eulerméthode d’Euler

• Se fixer des conditions initiales tSe fixer des conditions initiales t00, y, y00

• Choisir un pas de temps Choisir un pas de temps

• Choisir T = « durée de vie » tel Choisir T = « durée de vie » tel que [tque [t00, T] soit inclus dans I, T] soit inclus dans I

uu,0,0 = y = y00

uu,n+1,n+1 = u = u,n,n + + (( a(t a(t00 + n + n) u) u,n,n + b(t + b(t00+n+n))) ) (tant que t(tant que t00 + n + n T)T)

approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))

Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :

- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a et b fonctions continues de I dans R (ou C)- a et b fonctions continues de I dans R (ou C)

- t- t00 I y I y00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :

Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :

y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 (condition initiale) (condition initiale)

Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale courbe intégrale de l’équation différentielle de l’équation différentielle

y’(t)= a(t) y(t) + b(t) y’(t)= a(t) y(t) + b(t)

passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00))

L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation homogèneétape 1 : résolution de l’équation homogène

y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)

A (t) = a(t) dtA (t) = a(t) dt tt00

tt

fonction auxiliaire : fonction auxiliaire : YY(t) = y(t) exp (-A (t))(t) = y(t) exp (-A (t))

YY’ = 0’ = 0YY = constante = constante

y (t) = y (t) = CC exp (A (t)) exp (A (t))

1 degré de 1 degré de libertéliberté

L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation

complètecomplète y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)

y (t) =y (t) = C(t)C(t) exp (A (t))exp (A (t)) variation de la constantevariation de la constante

((C’(t) + a(t) C(t)C’(t) + a(t) C(t)) ) exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t)exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t)

C’ (t) = b(t) exp (-A (t))C’ (t) = b(t) exp (-A (t))

C(t) = C + C(t) = C + b(u) exp (-A(u)) b(u) exp (-A(u))

dudu

tt

tt00

yypart part (t)(t) = = exp(A(t))exp(A(t))

Le bilan finalLe bilan final Solutions de l’équation y’(t)=a(t) y(t)+ b(t) :Solutions de l’équation y’(t)=a(t) y(t)+ b(t) :

y(t) = exp(A(t)) y(t) = exp(A(t)) (( CC + + b(u) exp(-A(u)) du b(u) exp(-A(u)) du ))tt00

tt

Condition initiale : y(tCondition initiale : y(t00) = y) = y0 0

zz00

avec condition initiale : y(tavec condition initiale : y(t00) = y) = y00

zz00=y=y0 0 exp(-A(texp(-A(t00))=y))=y00

Les équations de J. Les équations de J. BernouilliBernouilli

y’(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)]y’(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)]

(( R \ {0,1}) R \ {0,1})

Condition initiale : y(tCondition initiale : y(t00) = y) = y00 > 0 > 0

Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] 1-1-

z’(t) = (1-z’(t) = (1-) a(t) z(t) + (1-) a(t) z(t) + (1-) b(t)) b(t)

z(tz(t00) = y) = y001-1-

Equations linéaires Equations linéaires d’ordre 2d’ordre 2

y’’ (t) = a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) , t y’’ (t) = a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) , t I I

(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)

Conditions « initiales » : y(tConditions « initiales » : y(t00) = y) = y00 y’(ty’(t00)=v)=v00

(t(t00 I , y I , y00 , v , v0 0 R ou C) R ou C)

++

Un exemple de motivation : une Un exemple de motivation : une cellule electronique d’ordre 2cellule electronique d’ordre 2

f(t) = Uf(t) = UAA –U –UBB (t) (t) y(t) = Uy(t) = Ucc –U –UDD (t) (t)

Lc Lc y’’ (t)y’’ (t) + R c + R c y’(t)y’(t) + + y(t)y(t) = f(t) = f(t)

i i

(U(UAA – U – UC C ) (t) = R i(t) + L di/dt c (U) (t) = R i(t) + L di/dt c (UCC-U-UDD)’ (t) = i (t))’ (t) = i (t)

L’approche numérique : L’approche numérique : méthode d’Eulerméthode d’Euler • Se fixer des conditions initiales tSe fixer des conditions initiales t0 0 , y, y0 0 , v, v00

• Choisir un pas de temps Choisir un pas de temps

• Choisir T = « durée de vie » tel Choisir T = « durée de vie » tel que [tque [t00, T] soit inclus dans I, T] soit inclus dans I

uu,0,0 = y = y0 0 ,, uu,1,1=y=y00 + + v v00

uu,n+2,n+2 = u = u,n,n ((22 b(t b(t00+n+n) –) – a(t a(t00+n+n)-1)-1)) + u+ u,n+1,n+1 (( a(t a(t00 + n + n) + 2) + 2) + ) + 22 c(tc(t00+n+n))

(tant que t(tant que t00 + n + n T) T)

approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))

Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :

- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)- a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)

- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :

Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :

y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t dans I dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)

Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle

y’’(t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) y’’(t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t)

passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00

Le cas « à coefficients Le cas « à coefficients

constants »constants » Hypothèses : Hypothèses :

- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b - a , b R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C) R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C)

- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :

Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :

y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)

Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle

y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t)

passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00

L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation étape 1 : résolution de l’équation homogènehomogène

y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t R R

a , b a , b C C

XX22 – a X – b = 0 (équation caractéristique) – a X – b = 0 (équation caractéristique)

y(t) = exp ( y(t) = exp ( ww t) solution ? t) solution ? ??

ww22 – a w – b = 0 – a w – b = 0

cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK

cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) OK t exp (w t) OK

= (X- w= (X- w11) (X-w) (X-w22))

L’attaque du problème : L’attaque du problème : résolution de l’équation homogène (cas complexe résolution de l’équation homogène (cas complexe (2))(2))a , b complexes + a , b complexes + conditions initiales (yconditions initiales (y0 0 , v, v00 C) C)

cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK

cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0

ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) t exp (w t) OKOK

yy11(t)(t)

yy11(t)(t)

yy22(t)(t)

yy22(t)(t)

CC11 y y11(t(t00) + ) + CC22 y y22(t(t00) = y) = y00

CC11 y’ y’11(t(t00) + ) + CC22 y’ y’22(t(t00) = v) = v00

système de Cramer !système de Cramer ! solution (Csolution (C11,C,C22))unique !!unique !!

L’attaque du problème : L’attaque du problème : l’équation homogène dans le cas réel l’équation homogène dans le cas réel (1)(1)

y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t R R

a , b a , b R RXX22 – a X – b = 0 (équation caractéristique) – a X – b = 0 (équation caractéristique)

cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b > 0 + 4 b > 0 11 et et 22 réels réels distinctsdistincts y = y = CC11 exp( exp(11t) + t) + CC22 exp ( exp (22 t) OK t) OK

cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0

racine réelle racine réelle doubledouble y = y = CC11 exp( exp( t) + t) + CC22 t exp ( t exp ( t) OK t) OK

= (X- = (X- 11) (X-) (X-22))

cas 3 : acas 3 : a22 + 4 b < 0 + 4 b < 0 y = exp(y = exp( t) (t) (CC11 cos( cos(t) + t) + CC22 sin ( sin ( t)) OK t)) OKracinesracines +/- i +/- i

= a/2 >0 : oscillations = a/2 >0 : oscillations amplifiéesamplifiées

= a/2 <0 : oscillations = a/2 <0 : oscillations amortiesamorties

inf(inf(jj)>0 : « explosion »)>0 : « explosion »

sup(sup(jj)<0 : « extinction »)<0 : « extinction »

>0 : « explosion »>0 : « explosion »

<0 : « extinction »<0 : « extinction »

L’attaque du problème : L’attaque du problème : résolution de l’équation homogène (cas réel résolution de l’équation homogène (cas réel (2))(2))a , b réels + a , b réels + conditions initiales (yconditions initiales (y0 0 , v, v00 R) R)

cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b > 0 + 4 b > 0 y = y = CC11 exp( exp(11t) + t) + CC22 exp ( exp (22 t) OK t) OK

cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0 y = y = CC11 exp( exp( t) + t) + CC22 t exp ( t exp ( t) t) OKOK

yy11(t)(t)

yy11(t)(t) yy22(t)(t)

CC11 y y11(t(t00) + ) + CC22 y y22(t(t00) = y) = y00

CC11 y’ y’11(t(t00) + ) + CC22 y’ y’22(t(t00) = v) = v00

système de Cramer !système de Cramer ! solution (Csolution (C11,C,C22))unique !!unique !!

yy22(t)(t)

cas 3 : acas 3 : a22 + 4 b < 0 + 4 b < 0

y = y = CC11 exp( exp( t) cos (t) cos ( t) + t) + CC22 exp ( exp ( t) sin ( t) sin ( t) OK t) OKyy11 (t) (t) yy22 (t) (t)

Recherche d’une solution Recherche d’une solution particulière de l’équation « avec particulière de l’équation « avec

second membre »second membre »

I . Méthode de « variation des constantesI . Méthode de « variation des constantes

y’’(t)=a y’(t) + b y(t) + c(t)y’’(t)=a y’(t) + b y(t) + c(t)

y(t) = Cy(t) = C11 y y11(t) + C(t) + C22 y y22(t)(t)CC11(t)(t) CC22(t)(t)

+ c(t)+ c(t)

OK dès queOK dès que : :

{{C’C’11 y y11 + + C’C’22 y y22 = 0 = 0 C’C’11 y’ y’11 + + C’C’22 y’ y’22 = c = c

système de Cramer !système de Cramer !

Solution unique (CSolution unique (C11’,C’,C22’)’)

yy22 (u) c(u) (u) c(u) CC11’(u) = - ------------------’(u) = - ------------------ (y(y11 y y22’ – y’ – y22 y y11’)(u)’)(u)

yy11 (u) c (u) (u) c (u) CC22’(u) = ------------------’(u) = ------------------ (y(y11 y y22’ – y’ – y22 y y11’)(u)’)(u)

CC11(t)(t) tt00

tt

dudu

tt00

tt

CC22(t)(t) dudu

yypartpart(t)(t)

Bilan : la solution du Bilan : la solution du problème de Cauchyproblème de Cauchy (cond. (cond. initiales : yinitiales : y00,v,v00))

y (t) =y (t) = C C11 yy11(t) +(t) + C C22 yy22 (t) + (t) + tt00

ttc(t) c(t) ((yy11(u)(u) yy22 (t) (t) – – yy22 (u) (u) yy11 (t) (t)))------------------------------------ du ------------------------------------ du yy11(u) y(u) y22’(u) – y’(u) – y22(u)y(u)y11’(u) ’(u)

CC11 yy11(t(t00)) ++ C C22 yy22 (t (t00) =) = y y00

CC11 yy11’(t’(t00)) ++ C C22 yy22’(t’(t00)) == v v00

solution générale de solution générale de l’équation l’équation

y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0

solution particulière de solution particulière de l’équation l’équation

y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)

RemarqueRemarque II. Une autre méthode pour la recherche d’une II. Une autre méthode pour la recherche d’une solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)

Si le second membre c est de la forme :Si le second membre c est de la forme :

P(t) exp(P(t) exp(t) , t) , C C

P(t) cos (P(t) cos (t) , t) , R R

P(t) sin (P(t) sin (t) , t) , R R

OnOn cherche une solution particulière de la forme :cherche une solution particulière de la forme :

yypartpart(t) = Q (t) exp ((t) = Q (t) exp (t), deg (Q) t), deg (Q) deg (P) +2 deg (P) +2

(par exemple par identification)(par exemple par identification)

Fin du Chapitre 3Fin du Chapitre 3