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brette@ccr.jussieu.fr

Mathématiques des Modèles Impulsionnels de Neurones

Romain BretteINSERM U483

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Le neurone

Les neurones communiquent par impulsions électriques (potentiels d’action).

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Modèles impulsionnels

Impulsions → impulsions

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Modèles impulsionnels

Variable continue → impulsions(encodeur)

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Formulation générale

1) Une équation différentielle:

2) Un mécanisme de réinitialisation:

impulsion quand V > seuil

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Exemples

Modèle de Lapicque (1907):

L. Lapicque, J physiol pathol gen 9, 620-635 (1907)

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Exemples

Modèle à conductances synaptiques:

))(()( 0 ii

i EVtgVVdt

dV

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Modèles à fuite

with

i.e. V→f(V,t) est décroissante

Modèle à conductances synaptiques:

Le modèle de Lapicque (1907):

Exemples:

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L’application impulsionnelle

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L’application impulsionnelle

: temps d’une impulsion temps de l’impulsion suivante

Dynamique en temps continu du modèle impulsionnel= dynamique en temps discret de l’application impulsionnelle

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La fréquence de décharge

La fréquence de décharge

)(lim)(

t

ntF

n

dépend-elle de la condition initiale t ?

non si φ est croissante

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est-elle croissante ?

est localement croissante en t si f(0,t)>0 est localement décroissante en t if f(0,t)<0

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est croissante sur son image (modèles à fuite)

t

Si t est dans l’image de :f(1,t)≥0

et V→f(V,t) décroissante (fuite)implique: f(0,t)>0

Donc: est localement croissante en t

En fait: est strictement croissante sur son image

Conséquence:la fréquence est indépendante de la condition initiale

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Continuité de l’application impulsionnelle

est continue en t if f(1,(t))>0

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Continuité de l’application impulsionnelle

intervalle sans impulsions

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Dérivée de l’application impulsionnelle

Théorème des fonctions implicites:

Exemple: modèle de Lapicque

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Stimulations périodiques

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Stimulations périodiques

avec f(V,t+T)=f(V,t)

Alors φ(t+T)= φ(t)+T

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Homéomorphismes du cercle

Or φ est strictement croissante sur son image (modèle à fuite):

c’est le relèvement d’un homéomorphisme du cercle (si continue)ou d’une application du cercle conservant l’orientation (sinon)

Nombre de rotation = inverse de la fréquence de décharge(pour T=1)

(Poincaré, Denjoy)Nombre de rotation rationnel: orbite périodique stableNombre de rotation irrationnel: orbite dense dans le cercle ou dans un Cantor

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Accrochage de phaseNombre de rotation rationnel: « accrochage de phase »

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Application impulsionnelle continue vs. discontinue

φ discontinue => accrochage de phase p.s. (Veerman)φ C1 => orbite dense avec proba>0 (Herman)

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Conjectures

• Si φt est une famille continue d’applications du cercle conservant l’orientation (continue avec la topologie de Hausdorff sur les graphes), alors pour presque tout t, le nombre de rotation de φt est rationnel.

• Si φ a un nombre de rotation rationnel, alors φ+petit bruit a une seule orbite stable (dans la limite bruit petit).

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Fiabilité neuronale

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Reproductibilité des temps d’impulsion

Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, 1503-1506 (1995)

La réponse du neurone à un courant constant n’est pas reproductible

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Reproductibilité des temps d’impulsion

Z. Mainen, T. Sejnowski, Science 268, 1503-1506 (1995)

La réponse du neurone à un courant variable est reproductible

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Reproductibilité des impulsions

dynamique instable

dynamique stable /convergence

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Lien avec la synchronisation

Des neurones qui reçoivent le même stimulus dynamique se synchronisent, même s’ils sont au départ dans des états différents.

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Fiabilité et discontinuités de l’application impulsionnelle

intervalle sans impulsions

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Fiabilité et discontinuités de l’application impulsionnelle

- zones colorées: zones interdites- zone blanche: zone atteignable par une solution- trajectoire discontinue: exemple de solution du modèle

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Première piste

Proportion de trous dans φn([0,t]) =

t nnnnn

tt 0

)'()0()()0()(

1

Proportion de trous dans φn([0,+∞[) =

Idée: montrer que

Remarque:

où λ(t) = exposant de Lyapunov

)'(1 n

0)'( nn

nttn )(~)()'log(

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Autres pistes

On considère le problème sur l’axe du potentiel (V);on observe l’évolution de la distribution de V au cours du temps:• entropie• produit d’applications du cercle aléatoires (V(tn)V(tn+1))• EDP de transport

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Détection de coïncidences

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Détection de coïncidences

Un neurone est sensible aux fluctuations de son entrée, i.e., la fréquence de décharge en réponse à un courant I(t) est plus grande que celle en réponse à un courant constant de même moyenne.

Et dans les modèles impulsionnels?

Comparer les fréquences de décharge de

)(Vfdt

dV

et ),()( tVgVfdt

dV avec <g(V,•)>=0 pour tout V(F fonction croissante de λ ?)

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Modèles impulsionnels stochastiques

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Un modèle stochastique simple

dWdtVdV )(Ex. 1:

φ(t)-t = temps d’arrêt(intervalle entre deux impulsions successives)

• Distribution de φ-id en fonction des paramètres ?• Fiabilité ? (à ω fixé)• Distribution de V (lien avec EDP de Fokker-Planck)

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Un modèle stochastique plus compliqué

Ex. 2:

gdt

dg

EVgVdt

dV

)(

avec gg+δ aléatoirement selon un processus de Poisson(g(t)=« shot noise »)

• Mêmes questions• Quelle est la fonction de corrélation entre les impulsions postsynaptiques (en V) et présynaptiques (en g) ?

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Simulation numérique

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Modèles à conductances exponentielles

Avec gigi + δij à l’instant tij.

Objectif: calculer rapidement la suite des temps d’impulsions

Idem avec un bruit ξ(t) ajouté à gi(t).

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Méthodes expérimentales

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Mesures in vivo

),( tVfdt

dVC

On veut déterminer:• C (capacité membranaire)

• V

f

(conductance moyenne)

sans trop perturber le système

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Mesures in vivo

)(),( tItVfdt

dVC

Idée: on injecte un petit courant:

I(t) est constant sur un pas de temps [tn,tn+1] (de durée h)On choisit In = variables aléatoires i.i.d.

Alors: )(2

)( 222

22

1 hohV

f

C

Ih

C

IItV nn

Problème: il faudrait évaluer pour plusieurs valeurs de h

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Mesures in vivoIdée: dans [tn,tn+1], on injectesoit In=In-1 avec probabilité psoit In= variable aléatoire indépendante avec probabilité (1-p)

Alors si on note Np={n|In-1≠In=In+1=…=In+p-1≠In+p}:

)()(2

)( 222

22

hophV

f

C

Iph

C

IItV

pNnpn

Problèmes:• comment choisir p ?• comment estimer optimalement C et la conductance ?• comment estimer l’erreur ?

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Publications

Résultats généraux:Brette, R. Dynamics of one-dimensional spiking neuron models. J Math Biol 48, 38-56 (2004).

Nombre de rotation pour des applications discontinues:Brette, R. Rotation numbers of discontinuous orientation-preserving circle maps. Set-Valued Analysis 11, 359-371 (2003).

Fiabilité:Brette, R. & Guigon, E. Reliability of spike timing is a general property of spiking model neurons. Neural comput 15, 279-308 (2003).

Simulation numérique:Brette, R. Event-driven simulation of integrate-and-fire neurons with exponential synaptic conductances. Submitted (2004).