Post on 21-Jun-2022
Estimation d’etat et diagnostic de systemes a
parametres incertains – Approche intervalle
Jose Ragot(1), Didier Maquin(1),Kamel Benothman(2), Mohamed Benrejeb(3)
(1)Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN)(2)Ecole Nationale d’Ingenieurs de Monastir (ENIM)
(3)Ecole Nationale d’Ingenieurs de Tunis (ENIT)
STA’06, Hammamet, 17-19 cecembre 2006
Plan de l’expose
1 Contexte de l’estimation d’etat
2 Representation intervalle des systemes
3 Principe de l’observateur intervalle
4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes
5 Conclusion & perspectives
Plan de l’expose
1 Contexte de l’estimation d’etat
2 Representation intervalle des systemes
3 Principe de l’observateur intervalle
4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes
5 Conclusion & perspectives
Plan de l’expose
1 Contexte de l’estimation d’etat
2 Representation intervalle des systemes
3 Principe de l’observateur intervalle
4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes
5 Conclusion & perspectives
Plan de l’expose
1 Contexte de l’estimation d’etat
2 Representation intervalle des systemes
3 Principe de l’observateur intervalle
4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes
5 Conclusion & perspectives
Plan de l’expose
1 Contexte de l’estimation d’etat
2 Representation intervalle des systemes
3 Principe de l’observateur intervalle
4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes
5 Conclusion & perspectives
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Contexte de l’estimation d’etat
Differentes structures d’observateur
Observateur de Luenberger
Filtre de Kalman
Observateurs a entrees inconnues
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees
Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees
Observateurs intervalles
Representation des incertitudes et hypotheses
Mesure imprecisey = y + ε
Hypothese statistique : loi a support infini
p(ε) =1
σ√
2πexp
(
− ε2
2σ2
)
p(y) =1
σ√
2πexp
(
−(y − y)2
2σ2
)
Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie
| ε |≤ δ
y − δ ≤ y ≤ y + δ
Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure
Representation des incertitudes et hypotheses
Mesure imprecisey = y + ε
Hypothese statistique : loi a support infini
p(ε) =1
σ√
2πexp
(
− ε2
2σ2
)
p(y) =1
σ√
2πexp
(
−(y − y)2
2σ2
)
Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie
| ε |≤ δ
y − δ ≤ y ≤ y + δ
Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure
Representation des incertitudes et hypotheses
Mesure imprecisey = y + ε
Hypothese statistique : loi a support infini
p(ε) =1
σ√
2πexp
(
− ε2
2σ2
)
p(y) =1
σ√
2πexp
(
−(y − y)2
2σ2
)
Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie
| ε |≤ δ
y − δ ≤ y ≤ y + δ
Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure
Representation des incertitudes et hypotheses
Mesure imprecisey = y + ε
Hypothese statistique : loi a support infini
p(ε) =1
σ√
2πexp
(
− ε2
2σ2
)
p(y) =1
σ√
2πexp
(
−(y − y)2
2σ2
)
Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie
| ε |≤ δ
y − δ ≤ y ≤ y + δ
Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure
Representation des incertitudes et hypotheses
Mesure imprecisey = y + ε
Hypothese statistique : loi a support infini
p(ε) =1
σ√
2πexp
(
− ε2
2σ2
)
p(y) =1
σ√
2πexp
(
−(y − y)2
2σ2
)
Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie
| ε |≤ δ
y − δ ≤ y ≤ y + δ
Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure
Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain
Caracteristique d’un capteur incertain
x
y y = g . x + h
g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1
h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3
Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain
Caracteristique d’un capteur incertain
x
y y = g . x + h
g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1
h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3
Approche directe
1.9 ≤ g ≤ 2.1
1.9 x ≤ g . x ≤ 2.1 x x > 0
3.7 ≤ h ≤ 4.3
1.9 x + 3.7 ≤ y ≤ 2.1 x + 4.3y − 4.3
2.1≤ x ≤ y − 3.7
1.9
Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain
Caracteristique d’un capteur incertain
x
y y = g . x + h
g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1
h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3
Approche directe
1.9 ≤ g ≤ 2.1
1.9 x ≤ g . x ≤ 2.1 x x > 0
3.7 ≤ h ≤ 4.3
1.9 x + 3.7 ≤ y ≤ 2.1 x + 4.3y − 4.3
2.1≤ x ≤ y − 3.7
1.9
Probleme : discernabilite de deux grandeurs
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
Modele lineaire en les parametres
y = xT θ, x ∈ IRn
Mesures avec erreurs additives sur y
yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N
Objectif et contrainte
a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.
Ragot J., Maquin D., Adrot O., Parameter uncertainties characterisation for linear
models. 6th IFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety of
Technical Processes, Safeprocess’2006, Bejing, China, Aug.30–Sept.1, 2006.
Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?
• Formulation LMI de l’estimation des bornes
yk = xTk θ + εk =⇒ | yk − xT
k θ |≤ δy =⇒
{
yk − xTk θ ≤ δy
−yk + xTk θ ≤ δy
−xT1 −1
. . .−xT
N −1xT1 −1
. . .xTN −1
(
θδy
)
≤
−y1
. . .−yN
y1
. . .yN
• L’identification consiste a determiner l’ensemble des parametresconsistants avec les mesures et les bornes du bruit ou desperturbations.
• Extension : on peut prendre en compte θ ∈ [θ− θ+]
Systeme dynamique incertain a representation intervalle
Systeme du premier ordre
xk+1 = [a].xk + b.uk , x0
yk = [c].xk
A chaque instant, les valeurs de a et c sont inconnues, mais leursbornes sont connues. La simulation doit donc etre faite enconsiderant l’etat comme un intervalle :
[xk+1] = [a].[xk ] + b.uk
[yk ] = [c].[xk ]
Si [a] est positif, les deux bornes sont definies par :{
x−
k+1 = 12x−
k
(
(a− + a+) − (a+ − a−)sgn(x−
k ))
x+k+1 = 1
2x+k
(
(a− + a+) + (a+ − a−)sgn(x+k )
)
Cas general : [xk+1] = [A].[xk ] + [B].[xk ]
Idee generale : construction d’ensembles admissibles
Systeme dynamique
x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)
Bornes sur l’etat (modele)
{
0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48
Mesurey(1) = [0.815 0.95]
⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95
Idee generale : construction d’ensembles admissibles
Systeme dynamique
x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)
Bornes sur l’etat (modele)
{
0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48
Mesurey(1) = [0.815 0.95]
⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95
Idee generale : construction d’ensembles admissibles
Systeme dynamique
x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)
Bornes sur l’etat (modele)
{
0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48
Mesurey(1) = [0.815 0.95]
⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95
Idee generale : construction d’ensembles admissibles
Contraintes
0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.480.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95
0 0.2 0.4 0.6 0.80.3
0.4
0.5
0.6
Fig.: Ensemble admissible
Observateur intervalle : cas non lineaire general
Systeme S :
{
xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv
yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw
Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk
Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk
Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}
Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)
D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)
Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy
x ,k+1
Observateur intervalle : cas non lineaire general
Systeme S :
{
xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv
yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw
Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk
Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk
Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}
Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)
D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)
Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy
x ,k+1
Observateur intervalle : cas non lineaire general
Systeme S :
{
xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv
yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw
Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk
Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk
Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}
Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)
D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)
Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy
x ,k+1
Observateur intervalle : cas non lineaire general
Systeme S :
{
xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv
yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw
Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk
Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk
Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}
Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)
D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)
Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy
x ,k+1
Observateur intervalle : cas non lineaire general
Systeme S :
{
xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv
yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw
Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk
Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk
Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}
Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)
D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}
Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)
Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy
x ,k+1
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle : exemple
Modele
xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]
yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]
Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]
Mesures : y1 = 0.60
Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]
Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50
D+x ,0 = [0.60 0.68]
Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]
Observateur intervalle sur horizon d’observation
• Modele du systeme a l’instant k :
xk+1 = [A]xk + [B]uk
• Instant k :
x−
k = minx0,A,B
(Akx0 + Ak−1Bu0 + ... + Buk−1), A ∈ [A], B ∈ [B]
x+k = max
x0,A,B(Akx0 + Ak−1Bu0 + ... + Buk−1), A ∈ [A], B ∈ [B]
• L’algorithme fournit l’enveloppe exacte des etats
• La complexite des calculs croıt avec le temps
• Le calcul en “temps reel” de l’enveloppe peut etre delicat
• Remarque : estimation sur horizon glissant
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele
Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement
(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.
(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk
(2) Caracteriser le domaine des sorties
Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}
(3) Caracteriser les domaines des etats :
Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2
Tester la vacuite de Dyx,k,i
(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :
Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy
x,k,i i = 0, 1, 2
(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :
D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2
Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple
Systeme a surveiller avec plusieurs modes de fonctionnement
Mi
{
y(k) = X (k)θi (k)θi (k) = θ0,i + Tiη(k), | η(k) |≤ 1
(1)
Application numerique
θ0(k) =
(
2.53
)
+
(
0.1 0.2 −0.20.3 0.1 0.2
)
η(k)
θ1(k) =
(
3.54
)
+
(
0.1 0.20.3 0.1
)
η(k)
θ2(k) =
(
13
)
+
(
0.1 −0.1 0.20.1 0.1 0.1
)
η(k)
(2)
Probleme : connaissant y(k) et X (k) comment reconnaıtre lemode de fonctionnement ?
Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
Modèle 0, sortie y01
0 10 20 30 400
5
10
Modèle 0, sortie y02
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
2
Modèle 1, sortie y11
0 10 20 30 400
2
4
6
8
Modèle 1, sortie y12
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
2
Modèle 2, sortie y21
0 10 20 30 400
5
10
Modèle 2, sortie y22
Fig.: Sorties estimees par les trois modeles et sortie mesuree.
Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2Résidu sortie y
01(k) du modèle 0
0 5 10 15 20 25 30-4
-2
0
2
4Résidu sortie y
02(k) du modèle 0
0 5 10 15 20 25 30-2
0
2
4Résidu sortie y
11(k) du modèle 1
0 5 10 15 20 25 30-2
0
2
4
6Résidu sortie y
12(k) du modèle 1
0 5 10 15 20 25 30-3
-2
-1
0
1Résidu sortie y
21(k) du modèle 2
0 5 10 15 20 25 30-4
-2
0
2Résidu sortie y
22(k) du modèle 2
Fig.: Residus issus des trois modeles.
Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
01
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
02
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
11
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
12
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
21
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1Indicateur τ
22
Fig.: Indicateurs de mode de fonctionnement
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure
Conclusion & perspectives
Conclusion
Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes
Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures
Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision
Perspectives
Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement
Analyse de l’influence des bruits de mesure