Epistémologie, histoire et révolution numérique, 5 décembre 2011

L’ordinateur quantique :rêve ou réalité ?

Yves LEROYER

Un ordinateur … un peu simpliste

Information binaire : BIT

Le bit dans un ordinateur

Le bit « classique » : mémoire DRAM- condensateur déchargé bit = 0- condensateur chargé bit = 1

0.1 nanomètre

un ATOME

Le noyau

Orbitesélectroniques(couches, sous-couches)

Énergie ~ 1 eV

Le bit dans un ordinateur quantique

électron

État fondamentalqubit = |0 >

Le bit dans un ordinateur quantique

État excitéqubit = |1 >

Impulsions laser« écriture/lecture »

La différence entre bit et qubit ?

Schrodinger

HeisenbergBohr

La mécanique quantique …

De Broglie

La différence entre bit et qubit ?

| > = |0 > + |1 > est un état possible du qubit

Lecture

|0 >

|1 >

et complexes

Naissance de l’information quantique

Bennett et Brassard

R.P. Feynman

D. Deutsch L. Grover

Les idées

P. Shor

Naissance de l’information quantiqueLes développements technologiques

Progrès desnanotechnologies

Plan de l’exposéPlan de l’exposé

Introduction

La cryptographie quantique

Le calcul quantique

Perspectives

la CRYPTOGRAPHIEla CRYPTOGRAPHIE

Alice Bob

Message secret

Eve

CODAGE

• clé secrète : transmission de la clé (?)

• clé publique : inviolabilité (?)

la CRYPTOGRAPHIE (suite)la CRYPTOGRAPHIE (suite)

La cryptographie quantique=

transmission sécurisée de clé secrète

CODAGE• Clé secrète : 0010110… • Transmission classique : impulsions électriques dans une ligne • Transmission quantique : photons polarisés dans une fibre optique

Photon = « grain » de lumière (Planck, Einstein,…)

c’est une particule qui :

• se déplace à la vitesse de la lumière

• possède deux états quantiques de polarisation | x > et | y >

DigressionDigression

Polarisation d’un photonPolarisation d’un photon

| x >

| y >

cos () | x > + sin () | y > On peut tourner la base de polarisation

Mesure de la polarisation dans la base { | x > ; | y > }

• si le photon est polarisé | x > on trouve | x > à coup sûr• si le photon est polarisé | y > on trouve | y > à coup sûr

• si le photon est polarisé cos() | x > + sin() | y > on trouve• | x > avec probabilité cos2()• | y > avec probabilité sin2()

et dans les deux cas le photon conserve la polarisation mesurée

DigressionDigression

Polarisation d’un photonPolarisation d’un photon

Bit 0 : codage | >Bit 1 : codage | >

CODAGE (suite)

Photon polarisé ou : base

Retour à la CRYPTOGRAPHIERetour à la CRYPTOGRAPHIE

Identique au codage « classique »

| > =(| > + |>)/√2| > =(| > - |>)/√2

Bit 0 : codage | > ou | >Bit 1 : codage | > ou | >

CODAGE (suite)

polarisé ou : base Photon polarisé ou : base

la CRYPTOGRAPHIE la CRYPTOGRAPHIE quantiquequantique

Au hasard

ALICEMessage : 0 1 1 0 1Base : Codage

BOBBase : Lecture Décodage 0 1 0 0 1

Réconciliation non oui non oui oui

Clé 1 0 1

PROTOCOLE BB84

la CRYPTOGRAPHIE (suite)la CRYPTOGRAPHIE (suite)

Bit 0 : codage | > ou | >Bit 1 : codage | > ou | >

EVE (espion) intercepte : une chance sur quatre d’induire du bruit (non clonage quantique)

PROTOCOLE BB84 (suite)

la CRYPTOGRAPHIE (suite)la CRYPTOGRAPHIE (suite)

Purification :Alice et Bob échangent publiquement une partie des bits de la clé

0.751000=10-180

PROTOCOLE BB84 (suite)

Beveratos et al Phys. Rev. Lett. 89 (2002)

la CRYPTOGRAPHIE (suite)la CRYPTOGRAPHIE (suite)

L’ordinateur

• la mémoire

• le calcul

• entrer les données / lire les résultats

Le CALCUL QUANTIQUELe CALCUL QUANTIQUE

L’ordinateur quantique

• la mémoire = ensemble de qubits

• le calcul = évolution de l’état quantique des qubits

• entrer les données / lire les résultats = initialiser / mesurer

Le CALCUL QUANTIQUELe CALCUL QUANTIQUE

La mémoire : exemple d’un registre à deux qubits

Le CALCUL QUANTIQUELe CALCUL QUANTIQUE

| 0 >A

Qubit A| 1 >A

| 0 >B

Qubit B| 1 >B

• Etats du registre: | 0 >A | 0 >B = |00>| 0 >A | 1 >B = |01>

| 1 >A | 0 >B = |10>| 1 >A | 1 >B = |11>

• Etat quelconque (mécanique quantique) :| > = |00> + |01> + |10> + |11>

• Exemples | > = ½ (|00> + |01> + |10> + |11>) = (|0> + |1>)/√2 ( |0> + |1>) /√2 |> = (|00> + |11>)/√2 état intriqué

|> = (|00> + |11>)/√2

DigressionDigression

sur les états intriquéssur les états intriqués

• L’état individuel de chaque qubit n’est pas défini

• Si on mesure l’un des deux qubitsl’état de l’autre est instantanément défini

→ « téléportation quantique»

• Paradoxe Einstein, Podolski, Rosen (EPR) 1935• Inégalités de Bell, 1964• Expérience d’Alain Aspect, 1982

Le calcul : évolution de l’état quantique du registre

Quelles sont les portes logiques quantiques?

états à un qubit : |0> + |1> → |0> + |1>

→ opérateur unitaire (linéaire réversible)

Exemple : porte de Hadamard H

H|0> = (|0> + |1>)/√2H|1> = (|0> - |1>)/√2

Le CALCUL QUANTIQUE - suiteLe CALCUL QUANTIQUE - suite

Le calcul : évolution de l’état quantique du registre

Exemple à deux qubits : le C-NOT (NOT contrôlé)

C|00> = |00>C|01> = |01>C|10> = |11>C|11> = |10>

Exemple 3 : on combine les deux

CH1|00> = C (|0> + |1>)/√2 |0> = C (|00> + |10>)/√2 = (|00> + |11>)/√2 Etat intriqué

Le CALCUL QUANTIQUE - suiteLe CALCUL QUANTIQUE - suite

Algorithme de Deutsch

f : (0,1) (0,1) est-elle• équilibrée (E)

ou • constante (C) ?

f \ x 0 1

f1 0 0 C

f2 0 1 E

f3 1 0 E

f4 1 1 C

Le CALCUL QUANTIQUE - suiteLe CALCUL QUANTIQUE - suite

On définit l’opérateur Uf

Uf |xy> = |x y+f(x)>

H2H1Uf H1H2 |01>

Si f est constante |01> Si f est équilibrée |11>

= { [(-1)f(0) + (-1)f(1)] |0> + [(-1)f(0) - (-1)f(1)] |1> } |1 >

Une seule évaluation de f !

Algorithme de Shor

Le CALCUL QUANTIQUE - suiteLe CALCUL QUANTIQUE - suite

Décomposition « rapide » d’un entier N en facteurs premiers(N ≈ 2n)

Meilleur algorithme classique : O[exp(2n1/3 log(n)2/3]

Principe : Factorisation de N

↓

Période de la fonction x ax mod N

↓

Transformation de Fourier quantique

FFT (classique) : O(n en)

QFT (quantique) : O(n2) gain exponentiel

Algorithme de Shor

Le CALCUL QUANTIQUE - suiteLe CALCUL QUANTIQUE - suite

yexxxxxn

n

y

xyi

nn

12

0

22

212

1...

F

10...10102

121 niii

neee

Transformée de Fourier quantique N ≤ 2n

n opérations au lieu de N

L’ordinateur quantique : une réalité ?

Conclusions et perspectivesConclusions et perspectives

2001 : I. Chuang et al (Stanford, USA) met en œuvre l’algorithme de Shor sur un ordinateur à 7 qubits … et réussit à factoriser 15 !!!

2011 : R. Blatt et al (Innsbruck) réalise l’intrication de 14 qubits

L’ordinateur quantique : un rève ?

• Comment atteindre 1 Giga-qubit ?

• Existe-t-il une barrière technologique ?

La balle est dans le camp des physiciens