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8/17/2019 Enveloppes Minces
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-16 ~
C h a p i t r a i ?
C O U C H E S cniax.1}: u j ^ G C U ; Ï i^ - cw:: ; ;„ ;. : > . ; . ?cac2; ST/ZJZS
I?
~
1 ̂ r̂ô GgMEMIg *
Nous étudions dans ce chapitre les
enveloppes
minces,
les
enveloppes
épûiaocB
soumises à des pressions intérieures et extérieures, les disques en rota-
tion d'épaisseur
constante
ou noii *
Schématisons
l e problème : -
Les forces étant radiales ot
uniformément réparties,
les contraintes
ot
les déformations sont
•symétrig.uog
par rapport à 0 »
En
particulier, il y a
symétrie par rapport à un diamètre quelconque D *
IT«
1 * î
-
St̂ ^
des
.coni;raintes ~
Considérons un point P du tube ou du disque et définissons un sys-
tème
d
axes rectangulaires
P r t z de la
façon suivante
;
Pr , rayon OP de la section droite passent par P
Pt , tangente
en au
cerclo
(
0,
OP)
Pz
f
parallèle à l
f
a^:e do révolution du corps
[M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.
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1 - On admet
que
la
direction
Pz est
principale
des contraintes » . La
contrainte
principale
N
est
telle
que
:
/
N
; £ 0 tub©
\
H • .s
0
disque
~~>
PS
étant principale, les contraintes relatives aux facettes ( P
,
t ) et
( P
,
r ) sont dans le plan P r
t
»
r : < L X
_
^ _
./ » 2 -
Etudions
J Z Î
v
• * • * » >
* -
P © s t normale
à la
facette
par
symétrie
* G
1
est donc
une
contrainte
u
principale H
et
P
est
ime
direction
principale
u îï
- H ne dépend que de 0 P = = r
t »
3
-
P et P, étant deux directions principales, Pr est la 5° direction prin-
Si w
•
cipalo *
La contrainte principale
N
dépend
de r *
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~
l
6
~
I?* 1 * 2 - Etude des déformations. —
1 - OP = r devient
QP
f
« r *
u
OP
4
» r
4 -
d r devient
du
OP
f
,
=
r +
dr *
u +
~^-~
dr
1
dp
L'allongement relatif
do
PP, ,
est
donc
i
£
r
- — |
( i
)
dr
2
- » la
longueur
do la
circonférence
( 0, QP ) est 2 fj r ?
après déformation ,
elle
est 2 { 1
(
r
- f
u )
?
1
T
allongement
relatif
dans
la direction
tangenie
le e s t donc
t _^ _ _
^
f
r̂ rirn
r
T
3 -On adopte les hypothèses
suivantes
pour
l'allongeront
relatif
dans
la
direc-
tion
des
génératrices
*
£ =
a
= été
"tube
/ ~ \
_JB
——
3 /
£^
-: ^
C te disque
IV
̂2 - I3TVEI£P^HIHC^
.
C
f
est un tube dont 1
épaisseur est petite vis à vis du diamètre
intérieu
Traitons
ccmi:io
exenple
le
cas d'un tû s c n z m •* •
H T » 2.
1 «
Contrainte transversale H.
' ' * C
Hypothèse
- l
f
épaisseur
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. 1 - 19 -
p . d .
^xe i
H
=
( 4
t
2e
'
.
IV «
2*2 -
Contraintelongitudinale s ïï
' ' * • •
J : L : I U
'
««'j'
1
*
1
'-*' *^^
2
i
* Considérons
1
équilibre d e
toute
l a
partie
f • . : , . , . . . . .
- .
>.
/V̂
située à gauche d e l a section droite passant
n K ~ " > t r A
•
P
ar
°
i i
H d .
2
1 __ _
%e ̂-
H
t
Xf
1
d
ie
" '
/W
P
i
d
f
où
p. d.
M ' i
;
H
m
J£™_L.
(
5
)
j^ r _r_vL-
z
4 e
1
A
2
-
L
Y.
2.2
^̂ Faiâ ĝ jB̂ cont î̂ * .Oo&d.^^ * «
L'état de
contrainte
en P est
triaxial (Cf 4 « 1 * l )
Nous connaissons
N,
, (4) et H^ (5) » Quant à I , sa valeur
est - p , . Sur le diamètre intérieur et zéro sur le diamètre extérieur *
Sn général on peut admettre que N est négligeable vis à
vis
de H. et N *
r t z
O n
a donc ; ,
p. d.
/
ÎX
T
_
T V _ 3-g 2-
x
i -
J
t - ~r—
^ e
p. d.
} i« i
»
-J£2_~ï ' - '
^2
fl
a ^
^
4
e
• v
K
3
=
N
r
°
Si on
admet
que le
tube résiste
.lorsque la contrainte
principale
majeure
H
ne dépasse pas la
limite d
1
élasticité
ou la
résistance pratique
en
traction atSi l
l
on tient compte d
T
un coefficient de sécurité, il vient (Cf
cîiap
5
K < R
1
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~ 20 -
Epaisseur de cal cul qu'il faut corriger
en fonction
- de la nature de la
construction
(rivure,
soudure)
- de la corrosion «
Voyons
par exemple coraent il y a lieu de modifier (6)
cpour
tenir compte d*une
rivure
«
Cc^f^i€;ient .dé .rirurt * • > • '
On
considère un petit
élément
obtenu en coupant par l'axe des rivets , soit
d s le
diamètre
des rivets
*
pas
* de la rivure.
Ii'équation
d
1
équilibre
de I?,
2*
1
devient î
p.
â2L
.
d
o<
*
a
m
2
H
x 0 x ( a -
d)
x
â̂ l
X
°
2 2
, „ . .
^ ^
- . , ,
.,
H „
_J£L_-i ̂ ( 4> )
, a -
d\
2
e (
—.
)
d
f
Q ,
« u n ( 5
•s . u ^ . i a n , . ;
est
appelé coĉ icient,. d < ^ rivytre
a ' *
Dana le cas d'une rivuro (6)
prend
la fo rme 5
)
p
e
d
e ss —;u***~ -f 2 à 4
j a m
(corrosion)
f -
\
Application ; Calculer l'épaisseur d
f
un corps de bouilleur dans les conditions
suivantes
i
-
p
abs
» 8 kgp/cm2
R
t
» ôkgp/ia^
d
±-
°'
8m
^ç a o 65 3 K M pour
la
corrosion
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«.
21
~
O n obtient
5 0 = 7 * 3 »
Ktam
IV*
2. 4
.
Variation
de
volume -
Le champ dos contraintes est défini par le groupe du § IV.2*3»
Les allongements principales: sont obtenus
en
appliquant la loi de
Hooke
généralisée ( 111.3*3)
f
£
t
• £ • t •
-7
[
H
t - v
*
]
|£a- &. •-7 JA -V »
t
l
Par
conséqtient,
la
génératrice
de
longiioiir
h devient
. h (i+L.)
La
longueur de la circonférence intérieure rt 4.
*
derient :
i ̂
<
+
^ - t
w
Le volime du cylindre V
«
—~x h devient :
2
4
r i
*
2
( 1 4 - e j
v «
l
J^
-L
x
ï i ( 1 +
l
a
)
d'où l'augaentation relative
de
volume
^̂ 11
= 1 '+
2
C
"
:
Y » * .
r?
« 2
.
5 - Argiea u en rotation —
Applique
la
foraule (4)
ou
p. est
la
force
de.
masse
par
unité
« L v x
de
surface,
soit
:
2
n
- re^V
̂
a,
/2
.
P
ie
-
̂^
d'où
:
,2
2 2
=
P^ ̂V.
f
eo
r
)
*
4^
l
ou :
N, = » ' . P
T
2
v
'
viti;
-
s
- li---.'.i»3
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IY
3
MgELQPP]̂ ^ EPAISSÊ ^
1^ » 3» 1
~
Hise_
^̂ é̂ m̂ ^
rit
dî
jgi^].èBe
Dans les enveloppes épaisaea on no peut plus
considérer
les contraintes ïï
et
c
K
constantes dans l
1
épaisseur de la paroi
Isolons un petit élément
a a
1
b
b
r
d
f
ouverture
d
c
^
et de
largeur unité et cherchons 1
équation
rn
. . d
f
éffiiilffire
—
La somae algébrique de la projection des forces sur
l'aze
de
l'élément
est
nulle
N » r do£ « » force appliquée sur la paroi interne de l'élément »
(H
- f ^-«
3?
, dr ) ( r - f
dr
)d
< « £ •
1
=
force
appliquée
sur la
paroi
externe
2 de l'élément »
do/
2
1,
t
d r * 1 * ...L̂ X̂ s = s
force
appliquée sur
les
parois
2 latérales «
D'où l
1
équation
̂M
N
» r d
c
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a M
Soit
N.
- I - r —-£- = 0
I
r d
*
R
jLP.a r.
::
.
r
;i u
e
* *
Pour les enveloppes minces, nous écrirons
H
r
- -
P
ie
d
intérieur
r = ——~—«,——~
2
d H. ~£v A
»
r
«
P
ie
d
£? e
r
r i *
£•
d'où l'équation
I, + p. - -i- x ~Ï2~
= 0
t i* 2 •
e
f
comparable
si p. est négligeable
devant
les autres termes avec (4:) de
I \ T * 2 ^ 4 *
xe
11
faut joindre à l'équation d'équilibre ( 7 ) , les relations entre contraintes
et défortiations .
Utilisons las foraules de LâliE ( 1 0 )
III,J.3
.
\
.. Xe
+2/-i-e
r
<
i
t
- X a +
/4
l
t
i
z
« X e
+ /
,
£
z
\
L^s
$_ , Ç ,
*
C sont donnes
par les
formules
(l), (2)
?
- (3) de 17*1,2 »
j» ^̂'t ^*- Z
Ces allongements ont pour valeurs :
C
du r u /^ r « ,
î^ « «±u
v =2 ̂ *
^- gs. - a -
Cte
r
,
^-t ^̂ r
êr r
S'étant fonction que de u en portant ïï ,
H
dans ( 7 ) nous obtenons une
r
* u
équation différentielle
en u i
Après
calculs, il vient
:
d
ji... +J.. *L
-
ĝ
» 0 (8)
d
2 r dr r
r .
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- 24 -
17.,
3» 2 - FQBH^g^DE_LAMg^«
- On peut
écrire
(8)
sous
la
forme
.:
d
f
1
à
N
1
n
~Ji~ — ~ ~~ ( r
u
) =
0
dr L
r
dr
- J
Intégrons une lèro fois :
L
JL.
r u . ) -
r d r
4
d
(
ru) _
„
~- U.
4»
dr
1
Intégrons
une
2èiae
fois
:
d
,
où
L.»
s
.̂
+
l£
(
9 )
1
2 r
Cette valeur do u
permet
de calculer .N , • ï^. N
g
, en fonction de r ,
C et C p . - En
effet
î
.„ ô = ^ _
+
f
" — r
*•--t "̂Z
C
1
C
2
°1
G
2/
«
J_ ̂ +J_ + + a
2
/&
2
/2
/£
/r
| 0 ̂ 0
+
a
D'où
l'osiorassion
dos contraintes
H
r
= A ( c
r
+
a )
+ 2 ̂ ( L
.J.)
r
N
t
= )( C
1
4 - a ) +
2yU
(2l. + -̂)
Hz
-
A
(c,
+-A.)
4 -
^y^<
cv
En faisant
xm changement do
variable,
il
vient
:
~i .
A
-~4
r
r
2
I
t
A
.
+
-f- 10)
r
'
H
«
G
:
2
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«25
-
Détenainatiga
de A .B
8
G ;
.
1) \
S8
'
r
p
1
r- fc j
d'où - p = A
-.
JL (a)
R
2
R
1
2)\ -
-p
2
r.E
2
- B U
«
A -
i-
(b)
K
\ F
3}
G
«
—
P
étant
la
force
longi-
• S
tudinale
dans le tufce
et S sa
section droite
*
1
1
1
lous poserons
«-*^
= h ^ v « — * » h ~-* «
h
r 2 2
^
̂ ^
(a) .>
f -
PI
= A - B
h
1
(b) j > j - P
2
«
A - B h
2
(a)
- (b) ^
>
-
PI
+ p
2
« B (
hg
- 1̂ )
- >
d'où
B
=
~i
Z~~
h
l
h
2
et -p
t
b
2
+ p
2
̂ =
A ( ̂
-h
2
)
A
_ P i
\ P
2
h
1
h
1 ^
[M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.
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Porter en absisses 11 »
* *~ ,
en ordonnées les
contraintes
N ,
N.
% Dans
2
r
ce
système
d
f
a}ces
, r N et
H
sont représentés
par
des droites *
.Chorcitoris
deux
points
de la
droite représentative
de
H
»
Nous savons
que
pour
k
» ît
t
_v H
r
« -
P
1
y point
E
&
*
fcg
>
»
r
« -P
2
'
^_
v
point F
E F
représente
la
variation
de I en
fonction
de h
*
r
Pour obtenir
^, , remarquons que N.
»
H quand
h « 0
j c
l
est
le
point
A
•
t
t
r
-26
-,
Formules de LM S :
p h ~ p
h
p
-
p
2
~
N =
-i~=~ ^— L
-
~i~ =-—.
H
r
h
1 -
h
2
h
1 - ̂ ;
(
10')
p h
2
- p
h
p -
p
»
...'....
^
:
8/17/2019 Enveloppes Minces
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P j -̂ , h
2
Nous avons -~» = -~-~
d'on
x ~ —
z h
2
Ix,
-J^
j> s-
Cr la
contrainte N. nax
est égale à If,
nax
= 2 x
4 - p,
;
soit
t /
i » i
h
0
P
1
(ho + ̂
)
t
=
2
^ ,
—•̂ * P , - - -5—i
h
l
~
"2
h,
-
l^
La
condition
de résistance
o s b
s
ï ï
t <
R
t
d'où
PI
( h
2
+ h
1
)
<
R
t
(̂ - h
2
)
h
2
(
PÎ
- R
t
) <
'̂
( R
t
-
l
)
-27-
La p o n - c o de la
droite
H étanb opposée à cello de
î l
, la
construction
s'en
t «
r
déduit aiséncnt «
^̂
5
*
4
- g ÎCULIER̂ p
1
̂ J>__P
2
Raisonnons stir l
époro
î
p -
étant très grande
par
rapport
à Pp , on pout
négliger p
* La
plus
gronde
contrainte principale
ose
alors H. poior h
~
h, *
[M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.
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28
-
1
R
R
4 ~
P
R
0 t / ÏL- P
cô o h
= L _>
J_
)
/
JLJL_> «L
>
\/JL_A.
R
2 R
2 \-
P
2
R
1
^
R
t ~
p
l
o
= Sp
~ ^
nous
âonno
/"
a. + p ' -,
« > M v^-^
1
-
i
\ -
» i
On voit donc gu
f
il existe une prussion limite î
* -C
R
t
Poirr
axismontor
cette
pression,
il
faudra .frcttor
lo
tube
*
S é é