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Eléments deRésistance des Matériaux

T. Ciblac

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Rappels sur la Résistance Des Matériaux

• Définition• Hypothèses de la RDM• Notion de poutre• Sollicitations et efforts de la RDM• Diagramme des efforts de la RDM• Flambement• Contraintes déduites des efforts• Comportement des matériaux en fonction des contraintes :

déformations, contraintes limites• Comparaison des contraintes calculées avec les

contraintes limites, notion de coefficient de sécurité

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Résistance des matériaux

Définition :

La résistance des matériaux (ou RDM) est un outil de calcul des contraintes et déformations des poutres (solides dont la longueur est beaucoup plus importante que les dimensions transversales) permettant ainsi leur dimensionnement.

La RDM s’appuie sur la mécanique des milieux continus à laquelle s’ajoutent des hypothèses complémentaires simplificatrices.

Remarque : La théorie des plaques est l’étude des solides longs en voiles minces et s’inspire de la théorie des poutres.

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POUTREDéfinition : Elément structural allongé généré par le déplacement d’une figure plane A.

• G (centre de gravité de A) parcourt une courbe donnée appelée fibre moyenne.

• Le plan de A est orthogonal à la fibre moyenne

• Les dimensions de A sont petites vis-à-vis de la longueur parcourue

Remarque : cette définition ne fait pas d’hypothèse sur la position que doit avoir une poutre ni sur sa

rectitude. Elle peut être horizontale, verticale, inclinée, droite ou courbe.

[ Studer - Frey ]

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Hypothèses et principes de la Résistance Des Matériaux

Hypothèses sur le matériau : • Élastique linéaire (déformations réversibles et proportionnelles aux

contraintes).• Homogène (même nature du matériau dans tout le solide).• Isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions).

A ces hypothèses sur le comportement s’ajoutent des principes fondamentaux de la RDM, vérifiés expérimentalement, et contribuant àsimplifier la formulation mathématique du problème.

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Principes de la Résistance Des Matériaux

• Principe de superposition des effets des forces : Les effets élastiques (contraintes, déformations et déplacements) en un point d’une poutre soumise à plusieurs forces extérieures sont la somme des contraintes, déformations et déplacements produits en ce même point par chaque force prise isolément.

[ Studer - Frey ]

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Principes de la Résistance Des Matériaux

• Principe de Saint-Venant : Dans une section éloignée des points d’application des forces concentrées (forces données ou réactions d’appuis), les contraintes et les déformations ne dépendent que de la résultante et du moment résultant du système de forces.

• Principe de Navier-Bernoulli :Après déformation de la poutre, les sections normales à la fibre moyenne restent planes et normales à la fibre moyenne.

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Domaine pratique de validité des hypothèses de la Résistance Des Matériaux

• Dimensions transversales de la poutre petites par rapport à sa longueur : L’élancement (=hauteur de la section/ longueur) entre deux appuis successifs, pour une poutre droite est le plus souvent compris entre 1/5 et 1/40.Un élancement trop grand impliquerait des déformations trop importantes pour être négligées (fils). Pour les arcs on peut toutefois aller jusqu’à 1/100 compte tenu des faibles moments fléchissants.

• Rayon de courbure de la fibre moyenne grand par rapport aux dimensions transversales:Au moins 5 fois la hauteur des sections droites.

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Sollicitations

[Meistermann]

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Principe de la coupe

[ Studer - Frey ]

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Efforts internes : application du principe de la coupe

[Meistermann]

Les efforts internes au niveau de la coupure assurent l’équilibre de la poutre.Dans la matière les efforts internes sont mobilisés par le matériau (forces intermoléculaires) jusqu’à une certaine limite de résistance.Si l’on représente graphiquement pour chaque section les efforts le long de la fibre moyenne on obtient les diagrammes des efforts.

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Convention de signe

+x

y

Nous définissons les efforts de la RDM comme étant les résultantes des forces et moments en G de la partie droite (2) de la coupure sur la partie gauche (1).

Gauche (1) Droite (2)

Repère local de la poutre Les conventions de signes sont fixées de manière conventionnelle.Nous allons définir ici les efforts de la RDM suivant la convention utilisée dans le logiciel RDM6.L’axe x est tangent à la fibre moyenne.Le signe des efforts est donné par référence au trièdre de référence.

O

Origine

Section S

Efforts de la RDM : F et M

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Efforts normaux : N

[Meistermann]

Suivant la convention de signe utilisée, le signe de l’effort normal N est : + : traction- : compression

Câble tendu Mur en maçonnerie

Diagrammes des efforts normaux

+

x

y

Repère local de la poutreCas de la traction

O

Section S

O O

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Efforts tranchants : V

Console Poutre simpleCharge linéaire uniforme Charge linéaire uniforme

Diagrammesdes efforts tranchants

[Meistermann]

Efforts tranchants : efforts agissant perpendiculairement à la fibre moyenne

Le signe des efforts est défini suivant la convention précédente et en fonction de l’origine indiquée sur le dessin.

x

y

O

x

y

O

--

+

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Moments fléchissants : M

[Meistermann]Console Poutre simpleCharge linéaire uniforme Charge ponctuelle

Diagrammesdes momentsfléchissants

+

x

y

O

Le signe des efforts est défini suivant la convention précédente et en fonction de l’origine indiquée sur le dessin.

x

yO

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Efforts tranchants : V

-+

+

x

y

O

+

x

y

O

On remarque que le moment fléchissant est extrémal quand l’effort tranchant est nul.

[ Studer - Frey ]

+-

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Efforts intérieurs et déformations

[ Studer - Frey ]

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Contraintes

Les efforts traduisent les conditions globales d’équilibre du solide.

Or, pour évaluer la résistance des matériaux, ce sont les contraintes qui sont utiles.

Une contrainte se définit sur un petit élément de surface par le rapport entre les efforts appliqués à celle-ci et son aire.

Unité : Pascal : 1 Pa = 1 N/m2

Il faut donc déduire les contraintes des efforts de la RDM pour évaluer la capacité de résistance des matériaux de la structure.

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Contraintes sur une section

[ Studer - Frey ]

Contrainte normale

τ : Contrainte de cisaillement

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Contraintes déduites des efforts

[ Studer - Frey ]

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Contrainte et déformations :Traction ou compression uniaxiale

Déformation :

ε = ΔL/L

L = longueur initiale (m)

ΔL = variation de longueur (m)

ε est sans dimension (car m/m=1)

Contrainte :

σ = N/A

N = Effort normal (N : Newton)

A = Aire de la section (m2)

σ est homogène à une pression son unité est

le Pa. (1 Pa = 1 N/ m2)

N

LA

Les unités sont données dansle système international.La contrainte normale σ est aussi notée σx x

y

O

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Relation entre contraintes et déformations :Elasticité linéaire

Loi de Hooke :

« Ut tensio sic vis »(« Telle extension telle force »)

σ = E ε

σ = contrainte

ε = déformation

E = module d’élasticité

= module d’Young

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Flexion pure :déformations et reprise du moment fléchissant sur une section

[Meistermann]Valeurs pour une poutre de section rectangulaire

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Flexion pure : déformations

[ Studer - Frey ]

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Flexion pure : évaluation des allongements ou raccourcissements des fibres, moment d’inertie.

[ Studer - Frey ]

Elasticité linéaireLa section reste plane

Cas où M<0

Déformations / Contraintes / Force élémentaire

En calculant la somme des moments des forces élémentaires pour chaque fibre on obtient (avec notre convention de signe) :

M = - E/r (Σ y2 ΔA) = -E/r IAvec I = Σ y2 ΔA : moment d’inertie par rapport à Gz noté aussi Iz

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Flexion pure : répartition des contraintes normales dans une section

[ Studer - Frey ]

Avec la convention de signe définie précédemment on a la répartition des contraintes normales sur la surface : σ = - M y / I

Cas où M<0

+ >0 traction

<0 compression

M : moment fléchissant par rapport à Gz noté aussi Mz,y : coordonnée en y par rapport à GI : moment d’inertie par rapport à Gz noté aussi Iz

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Flexion composée : effort normal N et flexion M

Avec la convention de signe définie précédemment on a la répartition des contraintes normales sur la surface : σ = N/A - M y / I

Flexion(cas où M>0 )

traction

σ <0 compression

A : Aire de la section

G G+ =

σ >0 traction

G G+ =

compression

Effort normal

compression

compression traction

traction

Flexion composée

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Bilan des contraintes intérieures

[ Studer - Frey ]

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Flambement (ou flambage)

[ Studer - Frey ]

Instabilité à la compression des pièces élancées : Phénomène brutal et dangereux.

La pièce ne se raccourcit plus dans le sens de la compression : elle ne s’écrase pas mais fléchit sous l’effet d’un léger excentrement de l’effort normal.

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Flambement (ou flambage)

[ Salvadori ] valeurs en b et c corrigées[ Gordon ]

Exemple de charge critique en fonction des liaisons et de L

P : charge critique d’EULER

0.5 kg

8 kg

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Comportement du matériaux :Relation entre contraintes et déformations, rupture

[ Studer - Frey ]

Matériau ductile

Domaineélastique

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Comportement du matériaux :Relation entre contraintes et déformations, rupture

[ Studer - Frey ]

Matériau fragileEx : béton, pierre,

brique, verre

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Valeurs de propriétés mécaniques de matériaux non métalliques

[ Studer - Frey ]

Attention :

1 kN/cm2 = 107 Pa

= 10 MPa

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Contraintes limites pour le pré-dimensionnement

[ Studer - Frey ]

Attention :

1 kN/cm2 = 10 MPa

Contrainte limiteTraction / Compression

Flambement

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Bibliographie

• Frey Fançois et Studer Marc-André, Introduction à l’analyse des structures. Presses polytechniques et universitaires romandes, 2008.

• Pirard A. La statique graphique, 3ème édition, Dunod, 1967.

• Meistermann Alfred, Basics Systèmes porteurs, Editions Birkhauser, 2007.

• Mouterde Rémi et Fleury François, Comprendre simplement la résistance des matériaux, Editions le Moniteur, 2007.

• Torroja Eduardo, Les structures architecturales. Leur conception. Leur réalisation. 2ème édition. Eyrolles, 1971.

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RDM6

• Adresse du site internet :

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi

• Rappel convention de signe :Effort normal en compression : négatifContrainte normale en compression : négative

• Code couleur des diagrammes :Rouge : signe négatifVert : signe positif