Post on 04-Apr-2015
Du sens des opérations à l’algébrisationde problèmes dits concrets
Quel niveau de culture se fixer pour la fin du collègeet par quels chemins s’en rapprocher ?
Séminaire de l’ADIREM, Roscoff, 19 & 20 mars 2005
« Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ;et 21 boves depascant 10 jugera consimilis prati in 9 septimanis ;
quæritur quot boves despacant 24 jugera in 18 septimanis ? »
Isaac Newton, Arithmetica universalis (1707)
1.— « Niveau de culture »2.— Arithmétique / Algèbre
3.— Dialectiques…
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Education …
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« Ce que l’élève doit emporter de l’école avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, c’est un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […]. Mais ce qui reste des études bien faites, c’est un jugement éclairé et sain, un cœur ouvert aux sentiments élevés, l’amour du travail et des vertus domestiques, force et sauvegarde des familles et des nations. »
(1882)
« A l’occasion de la fête nationale, un bureau de bienfaisance a réparti 125 fr entre les vieillards, puis fourni aux nécessiteux 275 pains … »
(Cours moyen 1921)
« Une jeune fille dont la mère était malade ne s’est pas couchée du lundi matin 4 heures au mercredi minuit … »
(Cours moyen 1921)
« Un ménage d’ouvriers laborieux a dépensé 172 fr par mois. Le père n’a que 120 fr d’appointements par mois ; mais la mère, en prenant soin de sa maison a gagné encore 50 fr par mois ; et une jeune fille, qui a travaillé 25 jours dans ce mois, … »
(1887)
Hier :
« Un particulier laisse à ses héritiers les 2/3 de sa fortune. Il en donne le 1/5 aux pauvres, et il ordonne que le reste soit placé à 4 % pendant trois ans au profit du bureau de bienfaisance. Au bout de trois ans, le bureau se trouve ainsi possesseur d’une somme de 784 francs ; on demande la fortune du défunt, la part des héritiers et la part des pauvres. »
« Une barrique de vin est remplie aux 5/8 et il manque 85,5 litres pour la remplir tout à fait. Le vin qu’elle contient est réparti dans des bouteilles de 3/4 de litre qui sont vendues 2,6 francs l’une. Quel a été le bénéfice réalisé par le vendeur si le litre lui revient à 2,20 francs ? »
(1887)
« Un ouvrier consomme tous les jours de l’eau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait d’une somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en s’abstenant de liqueurs alcooliques ? » (1920)
André Harlé. Irem de Picardie 1987
… / …
« Maîtriser des compétences et non accumuler et mémoriser des connaissances »
« Choisir dans les programmes les contenus et les procédures permettant de rencontrer les objectifs de compétences transversales »
« Les compétences transversales sont celles qui ne sont pas propres à une discipline, mais au contraire transcendent les disciplines particulières »
« Construire le citoyen… »
« Construire la personne… »
Aujourd’hui :
Agir, imaginer et réaliser des projets
Traiter l’information
Observer, repérer, analyser, induire, déduire…
Appliquer ses connaissances dans des situations nouvelles, identifier et utiliser à bon escient le langage spécifique de chaque discipline« Nationaux et républicains, c’est-à-dire s’imposant à tous sur l’ensemble du territoire, mais aussi dans les établissements français à l’étranger, les nouveaux programmes du collège ont été voulu exigeants. Ils visent à permettre […] une large information au service d’une action commune. Il s’agit de construire une France forte, unie et solidaire par ses valeurs et par sa culture, une France ouverte et accueillante, capable de dialoguer avec les peuples et de coopérer avec les autres nations. »
Jean-Pierre Chevènement (1985)
— Aptitude à rechercher, analyser, synthétiser et critiquer l’information.— Réalisation de soi, dans la coopération avec les autres, à travers des projets où l’initiative des élèves soit réellement sollicitée.— Connaissance de l’environnement naturel, culturel, socio-économique, incluant les questions de l’avenir professionnel et de l’orientation scolaire.— Préparation à la vie citoyenne en commençant par la participation effective à la gestion de l’établissement et aux régulations de ses conflits dans le respect du droit commun…
Collectif pour le collège unique (2003)
Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix. Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage de voix obtenu par chacun des candidats.
On estime qu’une hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple d’hirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours.
« On sait tous qu’il y a des années à moustiques et d’autres sans, des années à coccinelles et d’autres sans !
On se propose d’étudier l’évolution d’une population animale à l’aide d’une fonction numérique f définie par ƒ(x) = kx(1 – x), k étant un paramètre réel qui dépend de l’environnement. Dans la suite on s’intéresse à la population de coccinelles…
( Banque d'exercices TS : n° 18 ) 2003 - 2004
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du « niveau de culture » …… ou du « bagage »
« Ensemble des connaissances acquises qui permettent de développer le sens critique, le goût, le jugement. »
Petit Robert
« [Les élèves] emportent de l’enseignement public, d’abord une somme de connaissances appropriées à leurs futurs besoins, ensuite et surtout de bonnes habitudes d’esprit, une intelligence ouverte et éveillée, des idées claires, du jugement, de la réflexion, de l’ordre et de la justesse dans la pensée et dans le langage. »
(1882)
brevet supérieur…
tests OCDE (PISA) (15 ans)…
« Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines. »
Newton, Arithmétique universelle, 1707.
A B
C
Nombres, structures, axiomes, vecteurs…
transformations
Règle de trois, cas d’égalité, …
Modélisation, …
« […] il devrait être possible, au niveau de la classe de quatrième et de troisième, de donner une justification convaincante et quasiment rigoureuse de la formule d’aire de la sphère à l’aide du seul théorème de Thalès, par projection de la sphère sur un cylindre. »
Calcul infinitésimal…
1.— « Niveau de culture »2.— Arithmétique / Algèbre
3.— Dialectiques…
« … partout le souci de marquer que l’enseignement doit être concret, simple, progressif. C’est sur des faits qu’il faut s’appuyer, et c’est à des faits qu’il faut appliquer le calcul et les idées … »
(1882)
« La plupart de nos élèves devront, dès qu’ils nous aurons quittés, gagner leur vie par leur travail et nous voulons les munir des connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier. »
(1923)
II.a — L’exemple de la proportionnalité :de la règle de trois à la linéarité
II.b — La mise en équation :inconnues, indéterminées et variables
1895
1895
1895
1895
1895
1895
8
7
72
…
1895
35
435
28,40
…
7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?
Une automobile a parcouru 223 km en 2 h 30 mn ,a) combien aurait-elle parcouru, à la même vitesse, en 3 h 10 mn ?b) Combien lui faudrait-il de temps pour parcourir 400 km ?
J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?
1682. Bertrand-François Barrême (1638-1703)
€
R=(A×B)C
7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?
€
R=11,90×5
7« … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles …
… et divisez ce qui viendra par le premier … »
€
RB
=AC
Euclide, Livre I, Proposition 43 : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes, autour de la diagonale, sont égaux entre eux.
R
B
AC
R x C
B x A
€
xB
=AC
x C = B.Ax x = C
x.C = B.A
x C = B Ax x = B C
35
435
28,40
…
17,32
…
x C = 435 x 28,40x… = 35
1557
La question du sens :
7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ?
— Le retour à l’unité :
Prix d’une rose euros7
11,90
Prix de 5 roses 5 x euros7
11,90
« J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 . A quelle note sur 20 correspond ce résultat ? »
Mais…
La question du sens :
— L’utilisation d’une fraction :
a) Je sais que je dois modifier 15,5 en le multipliant par une fraction obtenue avec les deux autres nombres :
Résultat cherché = x 15,5…
…
J’ai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23 .A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?
b) J’ai le choix entre 20/23 et 23/20 … mais comme j’aurai moins sur 20 que sur 23, je choisis celle qui est inférieure à 1
Donc : Résultat cherché = x 15,523
20
La question du sens :
— fractions et pourcentages :
1895
— déterminant :35
435
28,40
…
17,32
…
— importance des unités …
x C = 5 x 11,90x… = 7
x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses
xeuros = x 11,90 eurosx C = 5
7
x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses
xeuros = x 11,90 eurosx C = 5
7Prix unitaire : euros / roses
711,90
Prix de 5 roses : 5 x7
11,90
x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses
xeuros = x 11,90 eurosx C = 5
7Prix unitaire : euros / roses
711,90
Prix de 5 roses : 5 x7
11,90
7
11,90
5
…
15
…euros
roses 7
11,90
5
…
15
…
x C = 5roses x 11,90eurosx… euros = 7roses
7roses x xeuros = 5roses x 11,90euros
x C = 5roses x 11,90eurosX xeuros = 7roses
II.a — L’exemple de la proportionnalité :de la règle de trois à la linéarité
II.b — La mise en équation :inconnues, indéterminées et variables
1895
7 ? 5 6 2
… … … 8
… … …
… …
101
« L’arithmétique ne marche jamais que du connu à l’inconnu ; l’algèbre, au contraire, marche souvent de l’inconnu au connu, de sorte que, de quelque manière qu’elle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C’est par ce moyen qu’on résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par l’arithmétique seule. »
Newton, 1707
« Une couturière fabrique des chemises à 14,50 fr pièce et des pantalons à 23,10 fr pièce. Cette semaine elle a touché 217 fr,en ayant fabriqué 12 pièces en tout. Combien a-t-elle fabriqué de chemises et de pantalons ? »
« Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant qu’elle contient 31 billets, combien contient-elle de billets de chaque sorte ? »
Solution raisonnée : Solution algébrique :
Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros,
C’est-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus,
Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5 .
Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a :
x + y = 31 10x + 5y = 240{
x
x + 7
13
La différence des longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est 7 cm et l’hypoténuse mesure 13 cm. Quels sont ces côtés ?
x 2 + (x + 7) 2 = 169
x 2 + 7x – 60 = 0
(x – 5)(x + 12) = 0
(x – 5)(x + m) = 0
Newton 1707
Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines.
On a trois prés d’une qualité égale, et dans lesquels on suppose que l’herbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut nourrir pendant le temps h .
Réponse :bdfgh – acegh – bcdgf + acefg
befh —bceh
Digression :La méthode de « fausse position »
Arithmeticae praticae methodus facilis per Gemmam Frisium (1557)
Maryvonne Spiesser. Irem de Toulouse
« Trouver un nombre tel que si on soustrait les 2/3 de ce nombre, il reste 3/4 . »
x – x =23
34
(1 – )x = 23
34
« si x = 6, le premier membre vaut 2 …
x = 13
34
…
« donc 6 donne 2 , alors combien
faut-il pour obtenir ? …34
« … je fais une règle de trois. »
Les fonctions de type : y = ax
7
10,50
15
22,50
25
37,50y
x 5
7,50
…
…
x
y
ƒ(x) = ƒ(x)
x a
x
y y = x32
y = – x23
– 5
(– 5) x ( – ) = 5 x23
23
fonctions de type : y = ax et équations de droites
x
y y = a x + b
fonctions de type : y = ax + b et équations de droites
Une poule et demie pondent un œuf et demi en un jour et demi.Combien neuf poules pondent-elles en neuf jours ?
Si un écrivain peut, en 8 jours, écrire 15 feuilles, combien faudra-il d’écrivains pour en écrire 405 en 9 jours ?
Exercices d’applications :
Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines.
1895
durée
distance
1895
1.— « Niveau de culture »2.— Arithmétique / Algèbre
3.— Dialectiques…
Le sens de la linéarité
— fractions
— pourcentages
— fonctions linéaires
— modélisation…
« 12 bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… »
« 36 bœufs paissent l’herbe de 10 arpents 4 semaines… »
« la fonction exponentielle en Terminale S… »
« la chute des corps avec frottement… »
« force de frottement proportionnelle à la vitesse… »
y” = g
y” = g – k y’
y” = g – k [y’] 2
?
« force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse… »
III.a — Les deux voies : concret / abstraitIII.b — Un exemple autour de la lecture d’énoncés
« Notre enseignement n’utilise pas encore pleinement ce fait historique, le plus important peut-être de l’histoire des sciences : l’invention de la numération décimale. »
La mesure des grandeurs, Lebesgue (1931 - 1935)
Lebesgue (1935) :
— acquisition du sens des opérations sur les nombres entiers dans les problèmes concrets,
— extension aux nombres réels comme développements décimaux illimités,
— insistance sur les règles de calcul concernant les quotients :
€
a×bc
=abc
€
a(c/b) =ab
c
€
(c/a)b = c
ab
€
(c/a)(b/d) =cd
ab
…les maths modernes
« En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle.
Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. »
« La multiplication est une opération commutative. Les Instructions de 1945 parlent en plusieurs endroits de "nombres concrets". Cette expression, qui est proprement antinomique, car un nombre ne saurait être concret, a porté grand tort à la commutativité de la multiplication. Il n'y a pas à distinguer multiplicande et multiplicateur ; si on les distingue souvent, c'est parce qu'on pense plus à ces "nombres concrets", 3 sacs de 7 oranges, 15 barriques de 228 litres, qu'à des nombres. L'emploi de ces mots ne se justifie pas. »
« […] l’acquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres,…) n’est pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de grammaire des ensembles et de logique. Les enfants sauront compter et calculer plus tard peut-être que ne l’imposent les programmes actuels, mais ils le sauront mieux. »
APMEP. Charte de Chambéry, octobre 1968
Exemples :
— importance des structures,
— mise de l’accent sur les divers ensembles de nombres, leur définition et leurs filiations : N, Z, D, Q, R, C,
— définition de la soustraction et de la division de manière entièrement littérale :
« a divisé par b » est le nombre x tel que : b x x = a
« On dispose d’une planche de 85 cm et on veut faire 6 étagères de même longueur, comment faut-il couper la planche ?
Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, 1887
Contre-réforme de 1985
« … La pulsion empiriste, […] se traduit […] par une poussée vigoureuse du numérique, par l’éparpillement et l’évanouissement de l’apprentissage des outils algébriques, par l’insistance naïve sur le concret, et par le recours constamment réaffirmé à des “activités” dont l’enseignement cherchera, à bon droit, mais fréquemment en vain, la substance. »
« [L’attitude de suspicion envers l'algèbre] se survit jusqu'à aujourd'hui dans notre système d'enseignement […], où la vogue de l'étude des word problems — les problèmes "à énoncés" — est une autre forme du trop long refus de voir changer les outils de la pensée et, pour cela, la pensée elle-même. Ainsi l'Occident poursuit-il, depuis plus de trois siècles, un interminable travail de deuil. »
La recherche dont nous rapportons ici quelques étapes vise précisément à accomplir ce travail de renoncement à ce qui est mort et bien mort : car il est des morts qu'il faut encore tuer. […] Le mot d'ordre est ici celui de la modélisation mathématique… »
… / …
Inspection générale 2004
Inspection générale 2004
Inspection générale 2004
€
3b+4
b= 7b
€
8×ab=8a
b
Retour aux problèmes …
Retour aux nombres concrets…
Retour aux grandeurs…
« […] la modélisation d’une situation de la vie courante, par exemple par un système d’équations […] correspond au passage du cadre des grandeurs au cadre numérique. Ce type de passage, ainsi que le retour au cadre et à la situation de départ, présentent des difficultés importantes pour les élèves […] »
Les enjeux du travail sur les grandeurs.Document d’accompagnement du nouveau programme de 3ème
Exemple : calculer le volume d’un réservoir parallélépipédique de 2,3 m de longueur, 57 mm de hauteur et 2,5 cm de largeur :
V = 2,3 m x 57 mm x 2,5 cm = 2,3 (100 cm) x 57 (0,1 cm) x 2,5 cm
V = 230 cm x 5,7 cm x 2,5 cm = 3277,5 cm3
« C’est en effet une théorie mathématique des unités (et des grandeurs) qui fait actuellement défaut dans la culture de l’enseignement des mathématiques (et des sciences physiques aussi bien). »
III.a — Les deux voies concret / abstraitIII.b — Un exemple autour de la lecture d’énoncés
« J’ai 23 billes dont 7 sont bleues. Les autres billes sont noires Combien ai-je de billes noires ? »
« Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation. Le système étudié — l’ensemble des billes que je possède — est décrit par 3 variables : “le nombre total de billes”, “le nombre de billes bleues”, “le nombre de billes noires”. Les valeurs de ces paramètres définissent un état du système. Nombre de problèmes, élémentaires ou non, sont alors, à l’instar de celui-ci, du type suivant : connaissant les valeurs de certaines variables, trouver les valeurs des autres variables. La connaissance de ces dernières valeurs s’obtient par la considération des relations qui gouvernent l’ensemble des variables. »
« L’établissement du modèle fait appel ici à un outil général de la physique, l’analyse dimensionnelle. En posant que la période T est donnée par une égalité de la forme T = MxLyPzƒ(A), on obtient le système des trois relations x + z = 0 ; y + z = 0 ; – 2z = 1, qui, avec l’égalité de départ et la relation “générale” P = Mg, constitue un modèle du système. »
« Un travail mathématique élémentaire sur ce modèle “brut” conduit à la relation fondamentale T = ƒ(A)√ L/g. Etc. »
« Ce à quoi l’on s’intéresse (pour des raisons que nous laisserons de côté), c’est la période T du pendule ; celle-ci devrait pouvoir s’exprimer en fonction des variables précédentes uniquement. »
« Le cas du pendule simple »
« En regardant attentivement le mouvement du pendule […] on peut se convaincre que si les frottements sont négligeables, les seules grandeurs caractéristiques du problème sont […] le poids P, la masse M, la longueur L et l’angle A du pendule par rapport à la verticale. »
« 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? »
« Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation :
En considérant attentivement le problème on peut se convaincre que les seules grandeurs caractéristiques sont le prix connu P, le nombre N de roses initiales et le nombre N’ de roses finales.
Ce à quoi l’on s’intéresse devrait pouvoir s’exprimer en fonction des variables précédentes uniquement et se traduire par une expression de la forme : PxNy(N’)z. Faisons appel à l’analyse dimensionnelle… »
Fonctionnement des problèmes par l’entrée :« qu’est-ce que ça raconte ?»
Michèle Muniglia. Irem de Lorraine
« Damien a la grippe. Pour le soulager, sa grand-mère lui fait une infusion. Pour cela, elle mélange 20 grammes de romarin qui coûte 0,02 euros le gramme avec 3 feuilles de menthe de son jardin pesant 9,6 grammes. Quel est le prix du romarin ? »
Poids totaldu romarin :
20 g
Prix d’un grammede romarin :
0,02 €
Nombre totalDe feuilles
de menthe : 3
Poids total desfeuilles de menthe :
9,6 g
Colonne du romarin Colonne de la menthe
Ligne des poids Poids total du romarin : 20 g Poids total de la menthe : 9,6 g
Ligne des prixunitaires
Prix d’un gramme de romarin : 0,02 €
Ligne des nombres Nombre total de feuilles dementhe : 3
Colonne du romarin Colonne de la menthe
Ligne des poids Poids total du romarin : 20 g Poids total de la menthe : 9,6 g
Ligne des prixunitaires
Prix d’un gramme de romarin : 0,02 €
Ligne des nombres Nombre total de feuilles dementhe : 3
Quel est le prix du romarin ?
Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 € le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 € et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79 €.
colonne desenfants
colonne desfraises
colonne dupantalon
colonne dupull-over
Ligne desnombres
Nombre (total)d’enfants : 3
Ligne despoids
Poids totaldes fraises :
1,5 kgLigne des prix
unitairesPrix d’un
kilode fraises :
4,88 €
Prix dupantalon :
37,96 €
Prix dupull-over :
22,79 €
Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ?
Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 € le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 € et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79 €.
colonne desenfants
colonne desfraises
colonne dupantalon
colonne dupull-over
Ligne desnombres
Nombre (total)d’enfants : 3
Ligne despoids
Poids totaldes fraises :
1,5 kgLigne des prix
unitairesPrix d’un
kilode fraises :
4,88 €
Prix dupantalon :
37,96 €
Prix dupull-over :
22,79 €
Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ?
Question 2 : que dépense-t-elle chez le marchand de vêtements ?
Typologie fondée sur la « forme » du tableau :
Importance capitale des unités
— échiquier ligne : addition - soustraction
— échiquier colonne : multiplication - division(s)
« Douze bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ;21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger l’herbe de 24 arpentsen 18 semaines. »
On s’intéresse à la quantité d’herbe fournie par chaque pré :
La mesure de cette production est ici faite dans l’unité :
Bœuf x Semaine (BS)
Exemples :
— le premier pré fournit en 4 semaines : 12 x 4 = 48 BS d’herbe,
— le second pré fournit en 9 semaines : 21 x 9 = 189 BS d’herbe…
« Des élèves décident de fabriquer et de vendre des gâteaux. Pour chacun ils utilisent 250 g de farine à 0,90 € le kg, 250 g de sucre à 1,20 € le kg, 250 g de beurre à 3,95 € le kg et 4 œufs à 1,50 € la douzaine. Le premier lundi, ils vendent 12 gâteaux de 8 parts chacun au prix de 0,75 € la part. Ces élèves voudraient tirer un bénéfice d’au moins 300 €. S’ils continuent à vendre autant de gâteaux chaque lundi, pendant combien de semaines doivent-ils poursuivre cette opération ? »
Colonne dela farine
Colonnedu sucre
Colonnedu beurre
Colonnedes œufs
Colonnedes gâteaux
Colonnedu bénéfice
Ligne desprix
unitaires
Prix d’unkg de farine :
0,90 €
Prix d’unkg de sucre :
1,20 €
Prix d’unkg de beurre :
3,95 €
Prix d’unedouzaine d’œufs :
1,50 €
Prix d’unepart de gâteau :
0,75 €
Ligne despoids
Poids total defarine : 250 g
Poids total desucre : 250 g
Poids totalde beurre : 250 g
Ligne desnombres
Nombre totald’œufs : 4
Nombre total degâteaux : 12
Ligne desnombres
par gâteau
Nombre total depts par gâteau : 8
Ligne desmontants
Montant (total)du bénéfice :
300 €
Colonnedes cahiers
Ligne des prix Prix total descahiers : 7,20 €
Ligne des nombres Nombre total decahiers : 6
Ligne des nombresen particulier
Nombre particulier deCahiers : 4
Le cas des problèmes de proportionnalité
« A la coopérative, un paquet de 6 cahiers coûte 7,20 € . Kevin veut en acheter quatre. Quelle sera sa dépense ? »
Colonnedes cahiers
Colonne descahiers de Kevin
Ligne des prix Prix total descahiers : 7,20 €
Ligne des nombres Nombre total decahiers : 6
Nombre decahiers de Kevin : 4
« 12 bœufs paissent l’herbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… »
« 36 bœufs paissent l’herbe de 10 arpents 4 semaines… »
Mars
19
Conclusion ?…
… / …
« Cependant l’arithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de l’algèbre, que leur réunion seule forme la science du calcul. »
Newton, 1707