Diversité de l'activité de l élève algorithmique et calcul ...

Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel

Diversité de l’activité de l élèvealgorithmique et calcul formel

Académie Aix-Marseille

version du 9 mai 2011

Plan de l’exposé

1. Les instructions officielles2. Algorithmique : une progression possible au lycée3. Des exemples en algorithmique4. Le calcul formel : pourquoi ?5. Des exemples intégrant du calcul formel

Plan de l’exposé

Plan de l’exposéLes instructions officielles

Progression algo

Exemples algoExemples pris dans les nouveaux livresRechercher une valeur approchée d’une solution à uneéquation.Rechercher une valeur approchée d’un irrationnelStatistique et probabilité

Calcul formel : pourquoi ?

Exemples calcul formelOutil de vérificationPrise en charge d’un calculUn lieu de points

1. Analyse

3. Statistique probabilité

Les programmes en résumé

Progression algo

Structure d’un algorithme

Structured’un algorithme Comprendre Modifier CréerEntrée - traitement - sortie Seconde Seconde SecondeAffectation Seconde Seconde SecondeTest " Si ... alors " Seconde Seconde SecondeBoucle "Pour ... de ... à ..." Seconde Seconde PremièreBoucle "Tant ... que ..." Seconde Seconde Première

Évaluation d’un algorithme

Évaluation d’un Sensibilisation Se poseralgorithme sur des exemples la question

Terminaison Seconde PremièreValidation Seconde PremièrePerformance- de l’algorithme Première Terminale- du programme Terminale •

Progression algo

Hyperbole (programme 2011)

Transmath (programme 2011)

Rechercher une valeur approchée d’une solution àune équation.

• Balayage en seconde• Dichotomie en première• Newton en terminale

Dichotomie

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], qui changede signe entre a et b. Le principe de dichotomie permet endivisant à chaque étape l’intervalle de moitié, en considérant lemilieu c, de trouver une valeur approchée d’une racine de f à εprès.Pour atteindre la précision ε , arbitrairement petite, il suffitd’itérer ce processus n fois, où n est le plus petit entier tel|a−b|

2n ≤ ε.On peut aussi dire que n est le plus petit entier supérieur ouégal à log2(

|a−b|ε ).

Dichotomie

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], qui changede signe entre a et b.Entrées : a réel, b réel, a < b, f fonction continue sur [a,b] telleque f (a) ∗ f (b) ≤ 0, ε un nombre réel arbitrairement petit.Traitement :tant que b − a > ε faire

c ← a + b2

si f (a) ∗ f (c) > 0 alors a← c sinon b ← crésultat a

Sortie : un nombre réel qui approche une racine de f à ε près.

Dichotomie

Organisation de l’étude possible• On donne l’algorithme aux élèves et on demande ce qu’il

fait.• Il est fort possible qu’ils n’aient pas d’idée. On propose aux

élèves de le faire fonctionner "à la main" sur une fonctionet des bornes données.

• les élèves le rendent exécutable par une machine et le fontfonctionner.

• On revient sur la question (si elle n’est pas réglée) : quefait cet algorithme ?

Dichotomie

Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel

• Algorithme de héron pour la recherche d’une valeurapprochée de la racine carrée d’un nombre

• Recherche de la valeur approchée de π

Algorithme de Héron

Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carréed’un nombre A revient à résoudre l’équation x2 − A = 0.Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré de Ac’est trouver un carré dont l’aire soit A. En prenant un rectanglede côté arbitraire a0 et de même aire, il est nécessaire que lalongueur de l’autre côté soit bo = A

ao. Mais ce rectangle n’est

pas carré (en général). Pour le rendre "plus carré", il suffit deprendre un rectangle dont la longueur est la moyennearithmétique des deux côtés précédents soit

ao + bo

et dont l’aire reste A. En itérant infiniment le processus, ontransforme petit à petit le rectangle en carré de même aire.

L’algorithme peut s’écrire de deux façons :1. en calculant simultanément deux suites (technique proche

du principe) ;a← 2b ← 1e← précision souhaitée tant que a− b > e faire

a← (a + b)/2b ← 2/a

résultat√

2 est compris entre b et a

2. en ne calculant qu’une seule suite 1 ; l’étude de cette suiteétant un classique de la classe de terminale S.

1. Cf APMEP Bulletin 486 Étude d’un très vieil algorithme par CatherineCombelles

Codage avec Scilab

Résultat avec Scilab

Codage avec Python

Statistique et probabilité

Voir atelier spécifique statistique probabilité• Intervalle de fluctuation• Simulation de la loi géométrique tronquée• Triangle de Pascal• Simulation de la loi binomiale

Progression algo

Fonction du calcul formel en lycée

Le calcul formel prend sa place dans le cadre de la résolutiond’un problème (d’une démarche d’investigation), uniquementcomme un recours simple, utilisant peu d’instructions, etuniquement au moment où l’en a besoin, comme• outil de calculs numérique exact ou avec une précision

aussi grande que l’on veut,• outil de vérification,• outil pour prendre en charge un calcul que l’on ne sait pas

faire,• outil de généralisation (utilisation des affectations),• algorithmique dans un système de calcul formel

Progression algo

Des exemples utilisant le calcul formel

• Un problème classique d’optimisation : optimiser le volumed’une casserole

• Démontrer les formules de Descartes (optique)• Un problème de lieu de points

Problème de la casserole.

Optimiser de la matière première

On veut fabriquer une casserole cylindrique en aluminium aumoyen d’une feuille de métal de surface donnée S. On veutcalculer le rapport qu’il doit exister entre la hauteur h et le rayonx pour que le volume soit maximal. On suppose qu’il n’y aaucun déchet de métal, que son épaisseur reste constante, etqu’il n’y a pas de couvercle.

Problème de la casserole.

Si on note x le rayon et h la hauteur, on aLa surface totale est S = πx2 + 2πhx .Le volume d’exprime par V (x) =

(S − πx2)

En dérivant V ′(x) =S2− 3πx2

2On en tire S = 3πx2

En égalisant les deux expressions de S, on a h = x

Problème de la casserole

Établir les lois de Descartes

Démontrer la lois de Descartes pour la réfraction qui s’énonceainsi sur le site wikipedia.fr :

1. le rayon réfracté est dans le plan d’incidence2. la relation liant les indices de réfraction n1 et n2 de chacun

des milieux et les angles incident θ1 et réfracté θ2 sont liéspar la relation dite de Snell-Descartes :

n1 · sin(θ1) = n2 · sin(θ2)

La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime lechangement de direction d’un faisceau lumineux lors de latraversée d’une paroi, séparant deux milieux différents. Chaquemilieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière,modélisée par son indice de réfraction n qui s’exprime sous laforme

où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est lavitesse de la lumière dans le vide.

Le rayon lumineux se déplace à la vitesse v1 du côté de A et àla vitesse v2 du côté B. Le temps de trajet est

Le problème consiste à minimiser la fonction définie sur [0, c]par :

f (x) =

√x2 + a2

√(c − x)2 + b2

La dérivée est

f ′(x) =2x

2v1√

x2 + a2+

2(x − c)

2v2√

(c − x)2 + b2

Un élève de première S ne dispose pas de la dérivée de lacomposée de deux fonctions (cf nouveau programme). Lecalcul formel peut donc être utile afin d’obtenir cette dérivée.L’usage d’un outil de calcul formel peut donc être fort utile dansce cas là.

On a doncx

x − cv2BM

nous en déduisons que

A′MAM

=B′MBM

ou encoreA′MAM

=B′MBM

c’est à diren1 sin i1 = n2 sin i2

Un problème de tangentes

On considère la parabole P d’équation y = ax2 + bx + c surlaquelle on choisit deux points A et B d’abscisses opposés etnon nulles. Les tangentes d1 et d2 à P en A et B se coupent enun point I. Sur quel lieu de points se situe le point I ?

Expérimentation sur un exemple

Expérimentation avec un logiciel de calcul formel : on choisitdes valeurs pour a, b et c. Dans l’idéal chaque regroupementd’élèves réuni autour d’un ordinateur choisit un triplet différent.On réalise la figure afin d’obtenir un résultat expérimental.

Expérimentation sur un exemple

Expérimentation sur un exempleOn démontre la conjecture pour les valeurs de a, b et c choisies.f (x) = x2 + 0,5x + 2 d’où f ′(x) = 2x + 0,5.La tangente d1 en A(m, f (m)) a pour équation

y = (2m + 0,5)(x −m) + m2 + 0,5m + 2

La tangente d2 en B(−m, f (−m)) a pour équation

y = (−2m + 0,5)(x + m) + (−m)2 − 0,5m + 2

On cherche le point d’intersection entre ces deux droites :

I(x , y) ∈ d1∩d2 ⇐⇒{

y = (2m + 0,5)(x −m) + m2 + 0,5m + 2y = (−2m + 0,5)(x + m) + (−m)2 − 0,5m + 2

ce qui implique que :(2m + 0, 5)(x −m) + m2 + 0, 5m + 2 = (−2m + 0, 5)(x + m) + (−m)2 − 0, 5m + 2⇐⇒ 4mx = 0⇐⇒ x = 0

Cas général

• Le cas général peut s’expérimenter en utilisant lescurseurs de GeoGebra.

• La démonstration peut se réaliser en utilisant un logiciel decalcul formel.

Cas général

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