Des rapportsDes rapports

entre musiqueentre musique

et mathématiqueset mathématiques

Des rapportsDes rapports

entre musiqueentre musique

et mathématiqueset mathématiques

François NICOLAS

fnicolas@ens.fr / fnicolas@ircam.fr

www.entretemps.asso.fr

École européenne supérieure de l’image(11 décembre 2007)

Des rapports entre musique et mathématiques (Angoulème, 11 décembre 2007) fnicolas@ens.fr / fnicolas@ircam.fr 2

Sensible / intelligible (1) :les illusions rationnelles

Sensible / intelligible (1) :les illusions rationnelles

sensible:musique

intelligible:mathématiques

concave!

convexe!

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l’apparaîtrepar rapportà l’essence?

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Sensible / intelligible (2) :L’indiscernabilité du caractère irrationnel de √2

Sensible / intelligible (2) :L’indiscernabilité du caractère irrationnel de √2

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« irrationnel »: une réalité projetable dans le sensiblemais inévaluable dans le sensible…

⇒L’intelligence doit-elle se méfier du sensible?

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Sensible / intelligible (3):deux pensées radicalement hétérogènes

Sensible / intelligible (3):deux pensées radicalement hétérogènes

• « Tout le réel est rationnel. » Hegel

⇒ les mathématiques comme ontologie

(c’est-à-dire intelligibilité de l’être en tant qu’être)

• « Il y a aussi des vérités du sensible. » Badiou

⇒ les arts comme vérités du sensible

(soit la musique comme vérité de l’écoute)

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Sensible / intelligible (4):homogénéisations !

Sensible / intelligible (4):homogénéisations !

• Pythagore, positivisme… : l’art doit obéir à la scienceLe paradigme de toute pensée serait (devrait être!) la pensée

scientifique

⇒ l’Art-Science

• Romantisme, Heidegger… : la pensée doit prendre modèle sur l’art.

« La science ne pense pas. » Heidegger

Le paradigme de la pensée est à trouver dans les arts.

Au total, deux pôles hérités du XIX° siècle!

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Des affinités électives entremusique et mathématiques

(pourtant hétérogènes!)

Des affinités électives entremusique et mathématiques

(pourtant hétérogènes!)

• Partage d’écriture

• Partage d’un souci logique

• Et non pas spécifiquement nombres ou figures :L’ontologie (les lois de l’être en tant qu’être) vaut

pour les étants sonores comme pour n’importe quels étants…

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Deux pensées « à la lettre »Deux pensées « à la lettre »

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Les rapports mathématiques-musique :trois exemples

Les rapports mathématiques-musique :trois exemples

I. Exemple de calcul musical :Calculer les séries arc-en-ciel (dodécaphoniques tous

intervalles)

II. Exemple en composition musicale :Comprendre le produit renversement rétrogradation ⊗

comme une bande de Möbius

III. Exemple en théorie musicale :Théoriser l’audition musicale à partir de la théorie

mathématique de l’intégration

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Accord « arc-en-ciel »Accord « arc-en-ciel »

Ex. IEx. I

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Exemples d’accords «  arc-en-ciel  »Exemples d’accords «  arc-en-ciel  »

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Suite lyrique d’Alban BergSuite lyrique d’Alban Berg

Exemple trivialExemple trivial

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1 accord «  arc-en-ciel  » sur 20 0001 accord «  arc-en-ciel  » sur 20 000

• Il y a 479 001 600 accords possibles.

• Sans les transpositions, cela ne fait plus que 39 916 800 accords.

• Parmi ceux-là, il n’y a que 1928 accords de type « arc-en-ciel ».

Soit environ 1 / 20 000.

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Canon de MozartCanon de Mozart

Ex. IIEx. II

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Passage II (pour trois flûtes, 1985 – Éd. Jobert)Passage II (pour trois flûtes, 1985 – Éd. Jobert)

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Structure du canon (Passage II)Structure du canon (Passage II)

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Pour comprendrele rapport entrestructure écriteet effet auditif

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Bandede

Möbius

Bandede

Möbius

Renversement⊗

rétrogradation⇒

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+inorientable !

partition⊗

écoute

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extrinsèque

intrinsèque

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Exemple III

Comment théoriser l’audition musicale

comme compréhension globale

d’un morceau de musique,

différente de la perception locale

d’un objet sonore ?

Exemple III

Comment théoriser l’audition musicale

comme compréhension globale

d’un morceau de musique,

différente de la perception locale

d’un objet sonore ?

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Intégrale mathématiqueIntégrale mathématique

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Intégrales deRiemann Lebesgue

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Trois auditions…Trois auditions…

La troisième est la bonne !

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Trois momentsTrois moments

• Le moment Grec (VI°-III° siècle av. J.-C.)

• Le moment classique (XVII°-XVIII° siècle ap. J.-C.)

• Aujourd’hui (depuis 1945…)

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Aujourd’hui : trois logiquesen matière de théories de la musique

Aujourd’hui : trois logiquesen matière de théories de la musique

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Aujourd’hui (1) :la music theory américaine

(Krenek → Babbitt → Lewin →…) comme applications musicologiques

Aujourd’hui (1) :la music theory américaine

(Krenek → Babbitt → Lewin →…) comme applications musicologiques

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Aujourd’hui (2) :les théories mathématiques de la musique comme formalisations mathématiciennes

Aujourd’hui (2) :les théories mathématiques de la musique comme formalisations mathématiciennes

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Des rapports entre musique et mathématiques (Angoulème, 11 décembre 2007) fnicolas@ens.fr / fnicolas@ircam.fr 27

Aujourd’hui (3) :mamuphi

comme expérimentations musiciennes par raisonances

Aujourd’hui (3) :mamuphi

comme expérimentations musiciennes par raisonances

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www.entretemps.asso.fr/mathsYves André