Delaunay Generalites Od

De la geometrie algorithmique

au calcul geometrique

l’exemple

de la triangulation de Delaunay

Definition, proprietees, premiers algorithmes

Geometrie algorithmique

Probleme geometrique

Analyse des performances

Borne inferieureBorne superieureComplexite asymptotique

Analyse dans le cas le pireAnalyse en moyenne

Definition de

la triangulation de Delaunay

L’exemple

L’exemplerecherche de plus proche voisin

Voronoı L’exemplerecherche de plus proche voisin

Voronoı L’exemple

Voronoı

Delaunay

L’exemple

Voronoı

Delaunay

Le probleme emblematique de la geometrie algorithmique

L’exemple

Voronoı

Probleme du plus proche voisin

Voronoı

Cellule de Voronoı

Vi = q;∀j 6= i|qpi| ≤ |qpj|

LA propriete de

Voronoı

Propriete du cercle vide

Voronoı

Delaunay

Voronoı

Delaunay

Quelques applications de

graphe des plus proche voisins

Applications “theoriques”

q plus proche voisin de p

alors pq arete de Delaunay

plus grand cercle vide

Recherche a rayon fixe

Arbre couvrant de longueur minimale

Applications

Reconstruction

Applications

Maillage

Reconstruction

Applications

Maillage / Remaillage

Reconstruction

Applications

Reconstruction

Applications

Reconstruction

Plainfication de trajectoires

Proprietes de

Relation d’Euler

c: nombre de cellules (inclus ∞)

a: nombre d’aretes

n: nombre de sommets

n− a + s = 2

Relation d’Euler

1− 3 + 3 = 2

n− a + s = 2

Relation d’Euler

n− a + s = 2

0− 1 + 1 = 0

Relation d’Euler

n− a + s = 2

1− 1 + 0 = 0

Nombre d’aretes orienteesdans une triangulation

2a = 3c + k

k: taille cellule ∞

Relation d’Euler

c− a + n = t + 1− a + n = 2

Triangulation

2a = 3t + k

t = 2n− 2− k

a = 3n− 3− k

Propriete : le plus petit angle est maximal

Maximise dans l’ordre lexicographique

Optimalite locale vs globale

locallementDelaunay

mais pas globalementDelaunay

Theoreme

Localement Delaunay partout

Globalement Delaunay

⇐⇒

Demonstration:

Soit t localement mais pas globalement Delaunay

Demonstration:

Comme le nombre de points est fini

Optimalite locale et plus petit angle

Cas de 4 points

Lemme:Pour 4 points en position convexeDelaunay ⇐⇒ maximise le plus petit angle

Cas de 4 points

δ le plus petit angle

Cas de 4 points

≤ δ

TheoremeDelaunay ⇐⇒ maximise le plus petit angle

Demonstration:

Triangulation max pour ordre des angles

Demonstration:

=⇒ Max dans chaque quadrilatere

Demonstration:

=⇒ localement Delaunay

Demonstration:

=⇒ localement Delaunay

=⇒ globalement Delaunay

Demonstration:

Predicats pour

Algorithmes geometriques

Prendre des decisionsrepose sur des predicats geometriques

Entree de taille constante

Sortie discrete (signe)

Predicats

Predicat d’orientation

∣∣∣∣∣∣∣∣xq − xp xr − xp

yq − yp yr − yp

∣∣∣∣∣∣∣∣

Predicats

Predicat de cocyclicite

∣∣∣∣∣∣∣∣xq − xp xr − xp xs − xp

yq − yp yr − yp ys − yp

(xq−xp)2+(yq−yp)

2 (xr−xp)2+(yr−yp)

2 (xs−xp)2+(ys−yp)

∣∣∣∣∣∣∣∣

Π : x2 + y2 = z

p = (xp, yp)

p? = (xp, yp, x2p + y2

C : x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0

C† : z − 2ax− 2by + c = 0

p ∈ ∂C

p? ∈ C†

p ∈ C

p? au dessous de C†

p 6∈ C

p? au dessus de C†

Predicat d’orientation 3D

Predicat de cocyclicite

PredicatsPredicat : cercle le plus a droite p1

r1 = p2

6 points

polynome de degre 24

Predicats

Problemes de robustesse

Paradigme du calcul exact

Arithmetique arrondie

Pas de coherence entre les resultats arrondis

Structures de donnees pour

la triangulation (de Delaunay)

Geometrie

(x, y)

connectivite

Geometrie

(x, y)

Representationbasee triangles

triangle :

trois sommets

triangle :

trois sommets

triangle :

trois voisins

trois sommets

triangle :

trois voisins

numerotation : voisin oppose au sommet

sommet :

sommet :x, yun triangle

tourner autour d’un sommet

t = v->triangle;

i tel que t->v[i] == v;

t = v->triangle;

t = t->n[ i+1 mod 3 ];

t = v->triangle;

t = t->n[ i+1 mod 3 ];

tourner dans l’autre sens

t = v->triangle;

t = t->n[ i-1 mod 3 ];

Representationbasee (demi) aretes

(x, y)

Representation

tourner autour d’un sommet

basee (demi) aretes

Representation

basee (demi) aretes

Representation

e = v->edge;

basee (demi) aretes

Representation

e = v->edge;

e = e->twin->next->next;

basee (demi) aretes

Representation

tourner dans l’autre sens

basee (demi) aretes

Representation

basee (demi) aretes

Representation

e = v->edge;

basee (demi) aretes

Representation

e = v->edge;

e = e->next->twin;

basee (demi) aretes

Borne inferieure pour

Borne inferieure pour Delaunay

Delaunay sert a trier

Borne inferieure pour Delaunay

Delaunay sert a trier

Ω(n log n)

Premiers algorithmes pour

Algorithme incrementral

en conflit

pas en conflit

Trouver les triangles en conflit

Supprimer les triangles en conflit

Trianguler le trou

Un nouveau triangle est de Delaunay

Complexite

O(n) pour chaque insertion

Complexite

Ω(n2)

Complexite

Ω(n2)

Insertion

Strategies de localisation

Insertion

Marche rectiligne

n) en moyenne

Insertion

Marche par visibilite

Insertion

n) ???? en moyenne

Insertion

Jump & walk

Insertion

Jump & walk

Insertion

Jump & walk

O( 3√

n) en moyenne

Complexite

O(n√

n) en moyenne

O(n 3√

n) en moyenne

Complexite

Ω(n2) dans le cas le pire

O(n√

n) en moyenne

O(n 3√

n) en moyenne

Bascule de diagonales

Complexite

Algorithme en O(n2)

Complexite

Une arete basculee n’est

jamais reconstruite

(les nouvelles aretes

sont toujours dessous)

Algorithme en O(n2)

Bascule de diagonales et algorithme incremental

Localisation

LocalisationNon localement Delaunay

Bascule

LocalisationNon localement Delaunay ?Bascule ?

Bascule

] aretes creees

] triangles crees

O(degre( ))

C’est tout pour aujourd’hui

Delaunay Generalites Od

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