DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

1

Décomposer une image sur une base d'ondelettesImages et Filtres: APP3

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

2

Introduction• Technique inventée par Alfred Haar

en 1909.

• Compression sans pertes (quantification/seuillage perte irréversible)

• Consiste à décomposer une image en plusieurs images de résolution inférieure.

• Espaces d'approximations de plus en plus grossiers : .

• Espaces "capturant" les détails perdus entre chaque niveau d'approximation : .

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

3

Axes d’étude

I. Ondelettes de Haar

II. Transformée de Haar 1D

III. Transformée de Haar 2D

IV. Compression d’image

V. Détection de contours

VI. Débruitage d’une image

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

4

𝜑0,0

𝜑1,0

𝜑0 , 𝑖

𝜑1 ,𝑖

𝜓 0,0

𝜓 1,0

𝜓 0 ,𝑖

𝜓 1 ,𝑖

𝜑𝑛 ,𝑖 (𝑥 )=¿ 𝜓𝑛 ,𝑖 (𝑥 )=¿

I. Ondelettes de Haar

I

II

III

IV

V

VI

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

5

II. Transformée de Haar 1D (méthode 1)

Signal numérique unidimensionnel de taille n=8= :

ETAPE 1: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur

ETAPE 2: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur

ETAPE 3: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur

TH d’ordre 1

TH d’ordre 2

TH d’ordre 3

I

II

III

IV

V

VI

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

6

II. Transformée de Haar 1D (méthode 2)

ETAPE 1: avec

ETAPE 2: avec

ETAPE 3: avec

Donc on a directement:

Avec

TH d’ordre 2

TH d’ordre 1

TH d’ordre 3

I

II

III

IV

V

VI

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

7

Image numérique:

• Méthode 1: on réitère la transformée de Haar sur chacune des lignes et colonnes de et on obtient

• Méthode 2: on trouve directement .

Avec cette méthode on a directement la transformée de Haar inverse:

Signal unidimensionnel

III. Transformée de Haar 2D

I

II

III

IV

V

VI

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

8

Moyenne Moyenne de détails

Détails de moyenne Détails

Organisation suite à la TH d’ordre 1

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

9

Moyenne(moyenne)

Moyenne de détails

(moyenne)

Moyenne(moyenne de

détails)

Moyenne de détails

(moyenne de détails)

Détails de moyenne

(moyenne)

Détails(moyenne)

Détails de moyenne

(moyenne de détails)

Détails(moyenne de

détails)

Moyenne(détails de moyenne)

Moyenne de détails

(détails de moyenne)

Moyenne(détails)

Moyenne de détails

(détails)

Détails de moyenne(détails de moyenne)

Détails(détails de moyenne)

Détails de moyenne(détails)

Détails(détails)

Organisation suite à la TH d’ordre 2

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

10

IV. Compression d’image

Exemple de transformée de Haar à l’ordre 2 d’une image.

Les coefficients d’approximation (moyenne) sont filtrés avec un filtrage passe-bas.

Les coefficients de détail sont filtrés avec un filtrage passe-haut.

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

11

IV. Compression d’image

1. Transformée de Haar

2. Suppression des hautes fréquences (pertes irréversibles)

3. Transformée de Haar inverse

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

12

IV. Compression d’image

Image d’origine Image compressée

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

13

V. Détection de contours

Les informations sur le contour sont contenues dans la moyenne du détail et dans le détail de la moyenne.

On ajoute alors ces deux matrices pour former la matrice contours.

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

14

V. Détection des contours

On retrouve l’image contenant les informations des contours

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

15

VI. Débruitage d’une image

• On bruite notre image en simulant un bruit blanc gaussien de moyenne nulle.

• On crée une fonction de seuillage dont le paramètre détermine le minimum de la matrice.

• C’est-à-dire que toutes les valeurs seront nulles.

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

16

VI. Débruitage d’une image

Image bruitée Image débruitée

I

DAV

ID-L

AG

DIM

-PER

ETTI-

PIE

RSO

N-U

GO

LIN

I

17

Conclusion

• En comparaison avec la DCT, la compression par ondelettes de Haar offre une plus grande finesse au niveau de l’analyse du signal et permet de mieux s’adapter aux propriétés locales de l’image.