CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Crochet de Lie

Définitions et notationsDans tout le problème, K = R ou C, E un K-espace vectoriel non nul et ∀u, v ∈ L (E), on note [u, v] = uv − vu (Crochet deLie).

Première partiePropriétés du crochet de Lie

1: Montrer que ∀u, v, w ∈ L (E), [u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0 (Identité de Jacobi).2: Montrer que ∀u, v, w ∈ L (E), [u, vw] = [u, v]w + v[u,w].3: Montrer que si E est de dimension finie alors ∀u ∈ L (E), x 7→ ux− xu n’est pas surjective.4: Soit u, v ∈ L (E) et on suppose que ∃α, β ∈ K tels que [u, v] = αidE + βu. Montrer que ∀n ∈ N∗, [un, v] = nαun−1 +nβun, en déduire l’expression de [P (u), v] pour tout P ∈ K[X].5: Soient u, v ∈ L (E) tels que [u, v] = idE .5 - 1: Montrer que E est de dimension infinie.5 - 2: Montrer que u et v n’ont pas de polynômes minimaux.6: On suppose que E est de dimension finie et soit u, v ∈ L (E).6 - 1: Montrer que si rg([u, v]) = 1 alors [u, v] est nilpotent.6 - 2: Montrer que si ∃α ∈ K∗, [u, v] = αu alors u est nilpotent.

Deuxième partieRéduction de [u, v] avec u, v ∈ L (E)

On suppose dans cette partie que E de dimension finie non nulle et soit u, v ∈ L (E) de polynômes caractéristiques scindés.1: On suppose que [u, v] = 0.1 - 1: Montrer que u et v ont un vecteur propre commun.1 - 2: Montrer que si u et v sont diagonalisables alors E admet une base formée de vecteurs propres communs à u et v (on ditque u et v sont codiagonalisables).2: On suppose que ∃α, β ∈ K avec β 6= 0 tels que [u, v] = αidE + βu.2 - 1: Montrer que αidE + βu est nilpotent.2 - 2: En déduire que si u est diagonalisable alors u = −αβ idE .3: On suppose que ∃α ∈ K tel que [u, v] = αu+ v et soit w = αu+ v.3 - 1: Montrer que uw − wu = w. En déduire que kerw est non nul et stable par u.3 - 2: Montrer que u et v ont un vecteur propre commun.4: Montrer que si ∃α, β ∈ K tels que [u, v] = αu+ βv alors u et v ont un vecteur propre commun.5: Montrer que si ∃α, β, γ ∈ K tels que [u, v] = αidE + βu+ γv alors u et v ont un vecteur propre commun.6: On suppose que [u, v] = uv. Montrer que u et v ont un vecteur propre commun.

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