LES METHODES ASYMPTOTIQUES DE L’ELECTROMAGNETISME

AU SERVICE DE L’INGENIEUR

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PLAN DU COURS

Rappel sur les antennes et la propagation des ondes Bases théoriques des méthodes asymptotiques L’Optique Géométrique : direct, réfléchi, transmis La Théorie Uniforme de la Diffraction

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La Théorie Uniforme de la Diffraction L’onde de surface La diffusion Les matériaux Les algorithmes

LES MATERIAUX

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LES MATERIAUX

PLAN Caractéristiques des matériaux L’affaiblissement linéique L’effet de peau Lois des mélanges Matériaux :

Air, vide, eau, glace, terre

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Air, vide, eau, glace, terre Les forêts Le béton, les matériaux du bâtiments Les métaux, les ferrites, les méta-matériaux

Couche de matériau homogène Couche de matériau à gradient d’indice Les grilles (modèle de Casey)

Caractéristique du vide Permittivité et perméabilité

Relation avec la célérité 82 3.10C 1 C

mFo /1036 19 mHo /104 7

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Relation avec la célérité

Impédance d’onde

82 3.10C 1 ooC

OhmsZoo 377120

Caractéristiques d’un matériauCaractéristiques d’un matériau Permittivité, perméabilité et indice de réfraction

Si conductivité s non nulle j s '''

'''rjror

'''rjror

rrn

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Si conductivité s non nulle

Tangente de perte : rr

RéelImagtan

orr rj

s '''

MHzrr fj /18000' s

Loi des mélanges homogènesLoi des mélanges homogènes Mélange homogène de N matériaux dont on

connaît la fraction volumique n r r' jr" r 1

N

iiireqr

1)()( 1

1)(

N

ii

susceptibilité

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Exemple : modèle CyberCom1 de forêt 0.16 % de feuilles, 0.03 % de branches, 0.3 % de troncs r = 40-j 10 pour tous les constituants de la forêt

05.019.105.019.01003.003.016.011040 jjj reqr

Autres lois des mélanges (2 phases)Autres lois des mélanges (2 phases)ε * = ε ' − jε '' est la permittivité complexe du milieu hétérogène,εm = εm ' − jεm'' est la permittivité de la matriceεc = εc ' − jεc '‘ la permittivitédes inclusions conductrices.

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Le terme φ est la concentration volumique des inclusions.

Inclusions

MatriceL’application d’une formule dépend de la forme des inclusions

Affaiblissement linéiqueAffaiblissement linéique Les pertes induites par la traversée du milieu d'épaisseur d

sont directement liées à la partie réelle du facteur :

On démontre (si =1) :

exp j 2 rr d exp d exp jd Décroissance exponentielle

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On démontre (si r=1) :

r" 2ko2

ko2r' + 2 Si on connaît la permittivité et l’affaiblissement linéique, on en déduit la permittivité imaginaire ou la conductivité

)10ln(20

/ mdBen Népers/m '21

2rr

0222 2''42'222 roro kk Eq° du second degré

Effet de peauEffet de peau Pour un métal, la conductivité est très grande s>>r’. L’onde pénètre voire traverse si l’on considère une très

petite épaisseur. On définit la distance de peau dp pour que le rapport .dp = 1 (division de l’amplitude du champ par e=2.73)

2Dis

tance

de pea

u en m

m Exemple du cuivre

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sopd 2

pdd

d ee

sMHzp fd 5.0

Distan

ce de

peau e

n mm

Fréquence en kHz

Exemple du cuivres = 5.9 107 S/m

Le vide et l’air

Pour le vide, r = 1 Pour l’air, r ~ 1

6.77 sn r Indice de réfraction

Co-indice de réfraction

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26 6006.7710)1( T

sTpnN Co-indice de réfraction

p=la pression totale en millibarsT=la température absolue en kelvinss=grammes d’eau par kilogramme d’air

Au dessus de la mer, N=300 r =1.00060009

Source : L. Boithias

Réfraction dans l’air On dérive la loi de Descartes

En posant j=/2-q~0 et en dérivant selon la hauteur h, la trajectoire est donnée par l’équation différentielle suivante:

0tan qqd

ndn

jq1q2

n1n2

h1h2

cten qsin.

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trajectoire est donnée par l’équation différentielle suivante:

La trajectoire est alors une parabole telle que :dh

hdnhndh

d )()(

1jj

)(2)( 2 oo hhh jj

0)( dhhdn

où jo est l’angle de départ et ho la hauteur

Dans l’air

Réfraction dans l’air

Terre réelle Terre « radio dite 4/3 »

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Terre réelle Ro=6378 kms Terre « radio dite 4/3 »

R=4/3.Ro=8504 kms

Dh(x)x x=dx=0

Rxdxxh 2).()( D Rotondité

hehr

rekms hhd 1.4 Visibilité LOS

La terre, l’eau et la glaceLa terre, l’eau et la glace

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La permitivité et la conductivité d’un sol dépend fortement de l’eau et du sel qu’il contient.Plus il est humide, plus elles seront élevées. Plus il est salé, plus il est conducteur. Source : courbes du CCIR

L’eau : effet de la température Malmberg & Marriott (1956) Effet de la température T sur l’eau

3624' 10.410.110.398.940008.074.87 TTTr La permittivité complexe

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La permittivité complexe baisse avec la température

La forêtLa forêt© Thèse J.F. Legendre DGA-INSA 1995

ModèleVariation(f)

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Valeurs

Exemple : bibliothèque de TDGExemple : bibliothèque de TDG--CELARCELARSursol

Sol

GWAGENN ©LEGENDRE J.-F. V4.0 – décembre 2015 Slide N° 17© Thèse J.F. Legendre DGA-INSA 1995

Le bétonLe béton

Source : RPS (RadioPlan)

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La permittivité complexe dépend de l’état de séchage du béton.Moins il est sec, plus elle sera grande en module.

Source :Caractérisation de matériaux en ultra-large bandeEcole d’automne ultra-large bande – GDR ONDES – 23/27 OCTOBRE 2006F. Sagnard (IETR Rennes / ESYCOM), G. EL ZEIN (IETR Rennes)

Les matériaux en milieu indoorLes matériaux en milieu indoor

Source : RPS (RadioPlan)

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La permittivité complexe varie beaucoup selon le type de matériau de construction et de ses constituants.

Source :Caractérisation de matériaux en ultra-large bandeEcole d’automne ultra-large bande – GDR ONDES – 23/27 OCTOBRE 2006F. Sagnard (IETR Rennes / ESYCOM), G. EL ZEIN (IETR Rennes)

Les métauxLes métaux Conductivité du cuivre = 5.82 107 S/m Les métaux présentent une conductivité plus ou

moins élevée. Classement Distance de peau du cuivre

1. Acier Distance de peau (Cu)- conducteur

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1. Acier2. Laiton3. Nickel4. Aluminium5. Cuivre6. Argent

Fréquence distance en mm50 Hz 9.3860 Hz 8.5710 kHz 0.66100 kHz 0.211 MHz 0.06610 MHz 0.021

Distance de peau (Cu)

+ conducteur

- conducteur

Les matériaux ferro-magnétiques La perméabilité r des matériaux ferro-magnétiques est

générallement très grande (250 à 150000 ) Température caractéristique, « de Curie » Tc, au-dessus

de laquelle ils perdent leur propriété ferro-magnétique Ferrites = céramiques ferromagnétiques (Tc~125 à 350 °C)

GWAGENN ©LEGENDRE J.-F. V4.0 – décembre 2015 Slide N° 21Ex: Ferrite zinc-manganèse

http://f5zv.pagesperso-orange.fr/RADIO/RM/RM24/RM24B/RM24B13.html

Les méta-matériaux Matériau composite artificiel qui présente des propriétés électromagnétiques qu'on ne retrouve pas dans un matériau naturel Théorie en 1967 – Mise en oeuvre en 2006 Une permittivité et une perméabilité négatives Matériau “main gauche”

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Matériau “main gauche” La réfraction part à “gauche” Trièdre (s,E,H) inversé Amplifie les ondes évanescentes E

H

HE

Couche de matériau homogèneCouche de matériau homogèneÉpaisseur d

1+rg

1-rr

rdje g 2INCIDENT

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1-r

1-r

1-rgg

1-rg

-r

-r

-rr

REFL

EXION

TRANSMISSION

Couche de matériau homogèneCouche de matériau homogène Le coefficient de transmission T est la somme des

contributions :...)1.()..()..().1()1.().1( rrrrrrT gggg

nn rrT 222 ).(.).1( gg xxx nn

11lim 1Note :

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nrrT

0).(.).1(

gg xx nn 1lim1

Note :

222

221222

1)1(

)(1)(1lim)1( g

gg

gg rr

rrrT n

n

Si matériau très dissipatif g<<1 g)1( 2rT Perte de réflexion aux interfaces Perte par absorption

Couche de matériau homogèneCouche de matériau homogène Le coefficient de réflexion R est la somme des contributions :

...)1.().().1()1.()..().1( 34 rrrrrrrR gggnn rrrrR 2222 ).().1( gg x

xx nn 1

1lim 1Note :

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nrrrrR

0).().1(

gg xx nn 1lim0

Note :

222

2212222

11

)(1)(1lim)1( g

gg

gg rrrrrrrR n

n

Si matériau très dissipatif g<<1 rR

Couche de matériau homogèneCouche de matériau homogèneddrT dB

r2 Imag(2log201log20

dBdB rR

Perte par réflexion

Perte par absorption en dB/m

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Epaisseur dFréquence f

Zone d’interférences

Couche de matériau : cas des métauxCouche de matériau : cas des métaux

d

rImag(2log20

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Source :Catalogue DUBOIS (CEM)

www.jacquesdubois.com/pdf/catalogue.pdf

21log20 r

TriTri--Couche matériauCouche matériau--airair--matériaumatériau Le coefficient de trans. T est la somme des contributions :

........... cocococcoc TRRTTTT gggg

2222 . ocnn TRTT ggg

go

REFL

EXION

djo e

g 2

TRAN

SMISS

ION

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2222

02

1.oc

ocncnon

oc RTRTT g

ggg

Cas du parpaing Il existe des fréquences de résonnance où la transmission T peut devenir minimum.

r

REFL

EXION

d

TRAN

SMISS

ION

Ecran de Dallenbach

METAL

oo

ZZZZR

Un diélectrique (ex: téflon) présente une épaisseur d égale au quart de la longueur d’onde de résonnance.Courbe 1 : une résonnanceCourbe 2 : deux résonnances car r augmenteCourbe 2 : une droite car r r

d

rr ,

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© Stage J.F. Legendre INNOMAT-INSA 1991Outil MLAYER

rrod

4

Ecran de SallisburyUn film métallique d’épaisseur t et de conductivité s est placé devant un diélectrique (ex: téflon) et d’épaisseur d égale au quart de la longueur d’onde de résonnance.On obtient une absorption si :

st , 3771

tsZMETALo

oZZZZR

d

rr ,

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© Stage J.F. Legendre INNOMAT-INSA 1991Outil MLAYER

Matériau à gradient d’indiceMatériau à gradient d’indice Soit un matériau où un gradient d’indice r(z) est créé

par la géométrie (ex: pyramide) ou par la variation de permittivité, selon la profondeur z.

Exemples :http://www.siepel.com/siepel-france/produit/mesures-champ-proche-lointain

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Matériau à gradient d’indiceMatériau à gradient d’indice Billes de verre expansé chargées en carbone Même absorption que les pyramides polyuréthane Classement M0 (900°)

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© Photo J.F. Legendre - CERNIX

Matériau à gradient d’indiceMatériau à gradient d’indice On suppose r(z=0)=1 (à la surface air/matériau) Soit r = coef. de réflexion avec r(z=h) Le coefficient de transmission est donné par :

rT 1g).(2 rR g

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Le coefficient de réflexion est donné par : où :

Pour des chambre anéchoïdes, r~-1 (feuillard de cuivre) et g2 est l’atténuation des pyramides absorbantes.

dzzjdzdN

i

dzdzj rd

r ee

g

0

2/

1

2

).(2 rR g

Exemple - les pyramides absorbantes

10 cm

10 cm

© Stage J.F. Legendre INNOMAT-INSA 1991Outil MLAYER

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Méthodes de mesures des matériauxMéthode réflexion/transmission (destructive)

Coaxial

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Guide d’onde Coaxial

© Stage J.F. Legendre INNOMAT-INSA 1991Outil MLAYER

Méthodes de mesures des matériauxMéthode réflexion en chambre anéchoide

• Mesurer la réflectivité R d’un échantillon avec ou sans plaque métallique• Trouver par dichotomie ou par la méthode du gradient les valeurs de r et r

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© Stage J.F. Legendre INNOMAT-INSA 1991Outil MLAYER

© Photo INSA-IETR

Méthodes de mesures des matériauxMéthode réflexion ou de puissance réfléchie « angulaire »

BANC COTREMO

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Source :Caractérisation de matériaux en ultra-large bandeEcole d’automne ultra-large bande – GDR ONDES – 23/27 OCTOBRE 2006F. Sagnard (IETR Rennes / ESYCOM), G. EL ZEIN (IETR Rennes)

Les grillages : principesLes grillages : principesPolar V

Polar HOnde incidente

Onde réfléchie

La grille est une plaque en BF réflexion maximale

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Onde transmise

La grille est une plaque en BF transmission minimaleL’onde passe par les trous en HF transmission maximale

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de CaseyInductance

1/21ln2 sw arso

S eaL

sa

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Résistance (en continu - DC)

ws

SwraR s 2sa

fildu 2 diamètrers

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de Casey Cas parfaitement conducteur (sw ) Polarisation horizontale

q

qq 221 cos/21cos/2log20

oSoS

dB ZLZLSET

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Polarisation Verticale

qqqq

222221

2212

cos/2sin1sin1/2log20

oS

oSdB ZL

ZLSET

OhmsZooo 377120

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de Casey SE1(q) décroît quand q augmente SE2(q) croît quand q augmente

SE1(q) et SE2(q) décroissent avec une pente de -20 dB/décade lorsque la pulsation augmente

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-20 dB/décade lorsque la pulsation augmente

La fréquence de coupure pour q=0° correspond à l’égalité suivante :

1/2 oS ZL

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de Casey Efficacité d’un grillage sans perte

Polarisation horizontale

dB

SE1q0SE1q75

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Polarisation verticale

SE2q0SE2q75

oS ZL /2

Fréquence de coupure

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de Casey Cas conductivité finie (sw<< ) Les formulations précédentes restent valables

mais ont une limite supérieure lorsque la fréquence diminue

cos/2log20lim qq oS ZRSE

GWAGENN ©LEGENDRE J.-F. V4.0 – décembre 2015 Slide N° 43

Efficacité de blindage optimale pour des fréquences inférieures à :

1cos/2cos/2log20lim 10 q

qq oSoS

ZRZRSE

qq cos/2/2log20lim 20 oS

oSZR

ZRSE

SS

LRmin

Les grillages : modèle de CaseyLes grillages : modèle de Casey Cas d’un grillage en AluminiumAluminium

Calcul de la fréquence min. Calcul de l’efficacité max.

kHzf 20min cmas 1 mmrw 5.0 normale) (incidence 0q

dBSE 115max

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dBSE 115max

kHzf 20min

Pente en -20 log(f) 20minmaxmax10

SEff

Les grillages : exempleLes grillages : exemple Sac de sable (r=3) entouré de grillage

grille

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Simulation via la FDTDGuide d’onde rempli du matériau Outil : CST Microwave Studio

bastion-wall grillesable

© DGA MIww.dailymail.co.uk/news/article-2027998/Segway-tycoon-Jimi-Heselden-killed-scooters-leaves-340m-will.html

Les grillages : exempleLes grillages : exemple

-15

-10

-5

0

5

Perte

en dB

Variation de la reflexion (S11) en dBAvec la grille

1log20 rR

dBR 0

GWAGENN ©LEGENDRE J.-F. V4.0 – décembre 2015 Slide N° 46

-40

-35

-30

-25

-20

-15

100 1000

Perte

en dB

fréquence MHz

Sans la grille

11log20

rrR

© DGA MI

Les grillages : exempleLes grillages : exemple

-20

-10

0

Perte

en dB

Variation de la transmission (S21) en dB

Sans la grille

dRT mdB /21log20

sableRT 21log20

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-60

-50

-40

-30

100 1000

Perte

en dB

fréquence MHz

Avec la grille

dRT mdBgrillessable /21log20

© DGA MI