Cours d'algorithmique 1 - Intranet 1 6 novembre 2006 Cours dAlgorithmique Marc Gengler...

Cours d'algorithmique 1 - IntranetCours d'algorithmique 1 - Intranet 116 novembre 20066 novembre 2006

Cours d’AlgorithmiqueCours d’AlgorithmiqueMarc GenglerMarc Gengler

Marc.Gengler@esil.univ-mrs.frMarc.Gengler@esil.univ-mrs.fr

Alexandra Bac - Henry Kanoui - Alain SamuelAlexandra Bac - Henry Kanoui - Alain Samuel

24h de cours24h de cours24h de TD24h de TDdes devoirsdes devoirsun projetun projet… … et un et un examenexamen

6 novembre 20066 novembre 2006 Cours d'algorithmique 1 - IntranetCours d'algorithmique 1 - Intranet 22

• Trier et chercherTrier et chercher• Listes et arbresListes et arbres• Le back-trackLe back-track• Arbres équilibrésArbres équilibrés• Récursivité et induction sur la structureRécursivité et induction sur la structure• Divide and conquerDivide and conquer• MinimaxMinimax• DérécursionDérécursion• Divers problèmes particuliersDivers problèmes particuliers• Logique de HoareLogique de Hoare• Programmation dynamiqueProgrammation dynamique• Complexité et calculabilitéComplexité et calculabilité

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

BibliographieBibliographie

• Tout ce qui contientTout ce qui contient– algorithmes, algorithms.algorithmes, algorithms.

• InternetInternet– souvent, c’est très (trop) simplifié,souvent, c’est très (trop) simplifié,– et pas toujours correct.et pas toujours correct.

• Mes choixMes choix– Introduction to Algorithms, Leiserson et al.Introduction to Algorithms, Leiserson et al.– Algorithms, Sedgewick.Algorithms, Sedgewick.– Fundamental Algorithms, Knuth.Fundamental Algorithms, Knuth.– des anciens cours ;-)des anciens cours ;-)

• D’autres choixD’autres choix– Introduction à l’algorithmique, Leiserson et al.Introduction à l’algorithmique, Leiserson et al.

chez Dunod.chez Dunod.– Initiation à l’algorithmique et aux structures de Initiation à l’algorithmique et aux structures de

données, Courtin et Kowarski.données, Courtin et Kowarski.

L ‘ O R I G I N EL ‘ O R I G I N E

D U M O TD U M O T

A L G O R I T H M EA L G O R I T H M E

Al KhwarizmiAl Khwarizmi

• Célèbre mathématicien à Bagdad,Célèbre mathématicien à Bagdad,

vers 780-850.vers 780-850.

• « Kitâb « Kitâb al-jabral-jabr wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la transposition et de la réduction : résolution systématique de transposition et de la réduction : résolution systématique de l’équation du second degré.l’équation du second degré.

• Traduit en latin au 12Traduit en latin au 12ee siècle par Gherardo di Cremona sous siècle par Gherardo di Cremona sous le titre le titre « « Dixit Dixit AlgorismiAlgorismi ». ».

vers 780-850.vers 780-850.

• « Kitâb « Kitâb al-jabral-jabr wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la transposition et de la réduction : résolution systématique de transposition et de la réduction : résolution systématique de l’équation du second degré.l’équation du second degré.

• Traduit en latin au 12Traduit en latin au 12ee siècle par Gherardo di Cremona sous le siècle par Gherardo di Cremona sous le titre titre « « Dixit Dixit AlgorismiAlgorismi ». ».

• Aussi : « Kitâb al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind ». Livre de Aussi : « Kitâb al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind ». Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des indiens.l'addition et de la soustraction d'après le calcul des indiens.

• http ://trucsmaths.free.fr/alkhwarizmi.htmhttp ://trucsmaths.free.fr/alkhwarizmi.htm

• http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL016.htmhttp://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL016.htm

X^2X^2 + + 8 * x8 * x = 33 = 33

X^2X^2

2 * X2 * X

1616 + + X^2 X^2 + + 8 * X8 * X = 33 + = 33 + 1616

X^2X^2

2 * X2 * X44

( X + 4 )^2 = 7^2( X + 4 )^2 = 7^2

D I V E R SD I V E R S

A L G O R I T H M E SA L G O R I T H M E S

D ED E

T R IT R I

Les tris sur tableauxLes tris sur tableaux----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Tableau d’entrées 0 à n-1.Tableau d’entrées 0 à n-1.• Entiers naturels, mais n’importe quel Entiers naturels, mais n’importe quel

ensemble ordonné peut convenir.ensemble ordonné peut convenir.• Les répétitions sont possibles.Les répétitions sont possibles.

Les hypothèses :Les hypothèses :

Le but :Le but :

• Ordonner le tableau par valeurs non Ordonner le tableau par valeurs non décroissantes.décroissantes.

• Tableau d’entrées 0 à n-1.Tableau d’entrées 0 à n-1.• Entiers naturels, mais n’importe quel Entiers naturels, mais n’importe quel

ensemble ordonné peut convenir.ensemble ordonné peut convenir.• Les répétitions sont possibles.Les répétitions sont possibles.

Les hypothèses :Les hypothèses :

Le but :Le but :

• Ordonner le tableau par valeurs non Ordonner le tableau par valeurs non décroissantes.décroissantes.

• En général, l’ordre est imposé par le monde En général, l’ordre est imposé par le monde extérieur.extérieur.

• Je peux trier des personnes :Je peux trier des personnes :

– d’après l’âge,d’après l’âge,– d’après le poids,d’après le poids,– d’après la taille,d’après la taille,– d’après l’ordre lexicographique des patronymes,d’après l’ordre lexicographique des patronymes,– . . .. . .

Quelle relation d’ordre ?Quelle relation d’ordre ?

Situation initialeSituation initiale

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

Situation initialeSituation initiale

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

Situation finaleSituation finale

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

Situation finaleSituation finale

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

Les tris que nous Les tris que nous regardons en cours :regardons en cours :

• Tri par échanges.Tri par échanges.

• Tri par insertions.Tri par insertions.

• Tri bulles.Tri bulles.

• Tri par fusion.Tri par fusion.

D’autres tris en TD.D’autres tris en TD.

T R IT R I

P A RP A R

E C H A N G E SE C H A N G E S

Tri par échange --- situation intermédiaireTri par échange --- situation intermédiaire

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

Non triées etNon triées etplus grandesplus grandes

i-1i-1

Tri par échange - suiteTri par échange - suite

• Les entrées de 0 à i-1 sont triées.Les entrées de 0 à i-1 sont triées.

• Elles sont plus petites que les entrées suivantes.Elles sont plus petites que les entrées suivantes.

• Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées.Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées.

Les hypothèses Les hypothèses ::

Tri par échange - suiteTri par échange - suite

A faire pour mettre en place l’entrée i :A faire pour mettre en place l’entrée i :

• Chercher l’indice j du minimum à partir de i.Chercher l’indice j du minimum à partir de i.

• Echanger les éléments i et j.Echanger les éléments i et j.

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

<- échange -<- échange ->>

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

Tri par échange --- propriété invarianteTri par échange --- propriété invariante

• Nous avions une certaine situation sur l’intervalle [ 0 .. i-1 ] :Nous avions une certaine situation sur l’intervalle [ 0 .. i-1 ] :– les éléments jusqu’à i-1 sont triés,les éléments jusqu’à i-1 sont triés,– ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.

• Nous retrouvons la même situation sur l’intervalle [ 0 .. i ] :Nous retrouvons la même situation sur l’intervalle [ 0 .. i ] :– les éléments jusqu’à i sont triés,les éléments jusqu’à i sont triés,– ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés.

• Cette propriété est donc invariante avec i, on l’appelleCette propriété est donc invariante avec i, on l’appelle

Tri par échange --- le codeTri par échange --- le code

for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ )

{ind_min = i;

for ( j=i+1 ; j<n ; j++ )

if ( t[j] < t[ind_min] )

ind_min = j;

aux = t[i];

t[i] = t[ind_min];

t[ind_min] = aux;

for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ )

{ind_min = i;

for ( j=i+1 ; j<n ; j++ )

ind_min = j;

aux = t[i];

t[i] = t[ind_min];

t[ind_min] = aux;

Fini si i == n-1 Fini si i == n-1 !!

for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ )

{ind_min = i;

for ( j=i+1 ; j<n ; j++ )

ind_min = j;

aux = t[i];

t[i] = t[ind_min];

t[ind_min] = aux;

Fini si i == n-1 Fini si i == n-1 !!

En effet, il nousEn effet, il nousreste une seulereste une seule

valeur qui est plus valeur qui est plus grande que les grande que les

valeurs précédentes valeurs précédentes !!

for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ )

{ind_min = i;

for ( j=i+1 ; j<n ; j++ )

ind_min = j;

aux = t[i];

t[i] = t[ind_min];

t[ind_min] = aux;

Chercher Chercher l’indicel’indice

du plus petit.du plus petit.

for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ )

{ind_min = i;

for ( j=i+1 ; j<n ; j++ )

ind_min = j;

aux = t[i];

t[i] = t[ind_min];

t[ind_min] = aux;

Echange, même si i == Echange, même si i == ind_min.ind_min.

Tri par échange --- la complexitéTri par échange --- la complexité

• Ont fait n-1 fois, pour i de 0 à n-2 :Ont fait n-1 fois, pour i de 0 à n-2 :

• Un parcours de [i..n-1].Un parcours de [i..n-1].

• Il y a donc un nombre de lectures qui vaut :Il y a donc un nombre de lectures qui vaut :

(n-i) = 0 (n-i) = 0 (n^2)(n^2)i=0..n-2i=0..n-2

Tri en complexité quadratique.Tri en complexité quadratique.

T R IT R I

P A RP A R

I N S E R T I O NI N S E R T I O N

Tri par insertion --- situation intermédiaireTri par insertion --- situation intermédiaire

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

Non triées etNon triées etquelconquesquelconques

i-1i-1

Tri par insertion - suiteTri par insertion - suite

////////////////////////////////////////////

Tri par insertion - suiteTri par insertion - suite

A faire pour mettre en place l’entrée i :A faire pour mettre en place l’entrée i :

• Si elle est plus grande que les précédentes : RIEN !Si elle est plus grande que les précédentes : RIEN !

• Si elle est plus petite que certaines précédentes : Si elle est plus petite que certaines précédentes : l’insérer plus à gauche en décalant d’autres entrées.l’insérer plus à gauche en décalant d’autres entrées.

////////////////////////////////////////////

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

i-1i-1

Plus Plus grande :grande :Rien à Rien à faire !faire !

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

i-1i-1

Plus Plus grande :grande :Rien à Rien à faire !faire !

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

i-1i-1

Plus petit :Plus petit :L’insérer à L’insérer à gauche.gauche.

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

TriéesTriées

Plus petit :Plus petit :L’insérer à L’insérer à gauche.gauche.

• Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ?Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ?

• Lequel est-ce ??????????????????Lequel est-ce ??????????????????

• Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ?Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ?

• Lequel est-ce ??????????????????Lequel est-ce ??????????????????

• Les éléments déjà traités sont triés,Les éléments déjà traités sont triés,

• les autres sont dans le désordre et sans les autres sont dans le désordre et sans rapport particulier (ni plus grands, ni plus rapport particulier (ni plus grands, ni plus petits) aux premiers.petits) aux premiers.

Tri par insertion --- le codeTri par insertion --- le code

for ( i=1 ; i<n ; i++ )

{cont = 1;

j = i;

while ( j>0 && cont )

{if ( t[j] < t[j-1] )

echange(t, j-1, j);

cont = 0;

j--; } }

for ( i=1 ; i<n ; i++ )

{cont = 1;

j = i;

{if ( t[j] < t[j-1] )

echange(t, j-1, j);

cont = 0;

j--; } }

Pour tous, sauf le premier quiPour tous, sauf le premier quiest forcément à sa place …est forcément à sa place …

for ( i=1 ; i<n ; i++ )

{cont = 1;

j = i;

{if ( t[j] < t[j-1] )

echange(t, j-1, j);

cont = 0;

j--; } }

On échange aussi On échange aussi longtempslongtemps

que le prédécesseur existeque le prédécesseur existeet qu’il est plus grand queet qu’il est plus grand que

l’élément en question. l’élément en question.

for ( i=1 ; i<n ; i++ )

{cont = 1;

j = i;

{if ( t[j] < t[j-1] )

echange(t, j-1, j);

cont = 0;

j--; } }

On arrête les échanges dès On arrête les échanges dès queque

le prédécesseur est au plus le prédécesseur est au plus aussi grand que l’élémentaussi grand que l’élément

en question.en question.

Tri par insertion --- la complexitéTri par insertion --- la complexité

• Ont fait n-1 fois, pour i de 1 à n-1 :Ont fait n-1 fois, pour i de 1 à n-1 :

• Jusqu’à i échanges au maximum (peut-être moins).Jusqu’à i échanges au maximum (peut-être moins).

• Le nombre d’échanges peut donc atteindre :Le nombre d’échanges peut donc atteindre :

i = 0 i = 0 (n^2)(n^2)i=1..n-1i=1..n-1

Tri en complexité quadratique.Tri en complexité quadratique.

T R IT R I

P A RP A R

B U L L E SB U L L E S

Tri bulleTri bulle

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

SituationSituationnormalenormale

SituationSituationanormale :anormale :Une bulleUne bulle

Tri bulle : on échange l’ordre dans la bulleTri bulle : on échange l’ordre dans la bulle

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

SituationSituationnormalenormale

La bulleLa bullea disparua disparupar échangepar échange

Tri bulle - principe des Tri bulle - principe des algorithmesalgorithmes

• Tant qu’il y a des bulles,Tant qu’il y a des bulles,

• on en choisit une et on la fait monter.on en choisit une et on la fait monter.

L’idée :L’idée :

Tri bulle : évolution des bullesTri bulle : évolution des bulles

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

De nombreuses optimisations :De nombreuses optimisations :

• Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible.Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible.

• Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant.peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant.

Tri bulle : évolution des bullesTri bulle : évolution des bulles

ValeursValeurs

0 1 2 3 …0 1 2 3 … n-n-11

Régions qui peuventRégions qui peuventêtre ignorées lorsêtre ignorées lorsdu prochain passage.du prochain passage.

De nombreuses optimisations :De nombreuses optimisations :

• Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible.Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible.

• Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant.peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant.

• Faire alternativement monter et descendre des bulles.Faire alternativement monter et descendre des bulles.

• … … et puis d’autres trucs !et puis d’autres trucs !

Tri bulle - complexitéTri bulle - complexité

• Le tri bulle a une complexité quadratique, car il existe des Le tri bulle a une complexité quadratique, car il existe des instances pour lesquels il faut 0 (n^2) échanges.instances pour lesquels il faut 0 (n^2) échanges.

• Par contre, pour de nombreuses instances, le nombre des Par contre, pour de nombreuses instances, le nombre des échanges est bien plus petit.échanges est bien plus petit.

• Le tri bulle est bien adapté, comme d’autres tris, pour Le tri bulle est bien adapté, comme d’autres tris, pour rétablir l’ordre dans un tableau presque trié (léger désordre rétablir l’ordre dans un tableau presque trié (léger désordre produit par quelques insertions d’éléments par exemple).produit par quelques insertions d’éléments par exemple).

D I F F E R E N T E SD I F F E R E N T E S

N O T I O N SN O T I O N S

D ED E

C O M P L E X I T EC O M P L E X I T E

Différentes notions de complexitéDifférentes notions de complexité

• Complexité du meilleur cas :Complexité du meilleur cas :– inintéressante, car ce n’est pas le cas typique.inintéressante, car ce n’est pas le cas typique.

• Complexité du cas moyen :Complexité du cas moyen :– intéressante, mais difficile à établir,intéressante, mais difficile à établir,– est-ce que mes instances du problème sont dans la moyenne ?est-ce que mes instances du problème sont dans la moyenne ?

• Complexité du pire cas :Complexité du pire cas :– donne une limite supérieure pour le nombre d’opérations,donne une limite supérieure pour le nombre d’opérations,– celle-ci peut être atypique,celle-ci peut être atypique,– souvent assez facile à calculer,souvent assez facile à calculer,– mais, c’est la COMPLEXITE utilisée PAR DEFAUT.mais, c’est la COMPLEXITE utilisée PAR DEFAUT.

T R IT R I

P A RP A R

F U S I O NF U S I O N

Principe du tri par fusionPrincipe du tri par fusion

• Couper le tableau en deux (mentalement et de Couper le tableau en deux (mentalement et de façon non violente),façon non violente),

• trier récursivement chaque partietrier récursivement chaque partie

• et fusionner les deux parties triées (cf. cours et fusionner les deux parties triées (cf. cours d’Introduction à la programmation).d’Introduction à la programmation).

Tri récursifTri récursifdes deuxdes deuxmoitiés.moitiés.

Fusion desFusion desdeux suites.deux suites.

Complexité du tri par fusionComplexité du tri par fusion• Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments.Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments.

• Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a copie.copie.

• Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ).Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ).

• La fusion se fait en 0( n ).La fusion se fait en 0( n ).

Complexité du tri par fusionComplexité du tri par fusion• Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments.Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments.

• Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a copie.Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a copie.

• Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ).Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ).

• La fusion se fait en 0( n ).La fusion se fait en 0( n ).

• Donc f(n) = 0(n) + 2 * f(n/2)Donc f(n) = 0(n) + 2 * f(n/2)

= 0(n) + 2 * ( 0(n/2) + 2 * f(n/4) )= 0(n) + 2 * ( 0(n/2) + 2 * f(n/4) )

= 2 * 0(n) + 2^2 * f(n/2^2)= 2 * 0(n) + 2^2 * f(n/2^2)

= 3 * 0(n) + 2^3 * f(n/(2^3))= 3 * 0(n) + 2^3 * f(n/(2^3))

= k * O(n) + 2^k * f(n/(2^k))= k * O(n) + 2^k * f(n/(2^k))

= 0(n * log n) + 2^(log n) * f(n/(2^(log n)))= 0(n * log n) + 2^(log n) * f(n/(2^(log n)))

= 0(n * log n) car f(n/(2^(log n))) = f(1) = 0= 0(n * log n) car f(n/(2^(log n))) = f(1) = 0

Tri en complexité n log n.Tri en complexité n log n.

R E C H E R C H ER E C H E R C H E

D A N S D E SD A N S D E S

T A B L E A U XT A B L E A U X

T R I E ST R I E S

Recherche dans des tableaux triésRecherche dans des tableaux triés----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• On utilise l’ordre pourOn utilise l’ordre pour– anticiper l’abandon dans une recherche linéaire,anticiper l’abandon dans une recherche linéaire,– guider la recherche : recherche par dichotomie.guider la recherche : recherche par dichotomie.

petipetitt

grandgrandmoyenmoyen

00 n-1n-1(n-1)/2(n-1)/2

X < moyenX < moyen

petipetitt

00 n-1n-1(n-1)/2(n-1)/2

X < moyenX < moyenOui !Oui !

Chercher X dansChercher X dans[ 0 .. (n-1)/2- 1 ][ 0 .. (n-1)/2- 1 ]

petipetitt

00 n-1n-1(n-1)/2(n-1)/2

X < moyenX < moyenOui !Oui !

Chercher X dansChercher X dans[ 0 .. (n-1)/2- 1 ][ 0 .. (n-1)/2- 1 ]

Non !Non !Chercher X dansChercher X dans[ (n-1)/2 .. n-1 ][ (n-1)/2 .. n-1 ]

Recherche par dichotomie - Recherche par dichotomie - complexitécomplexité

• 1 test -> n/2 éléments.1 test -> n/2 éléments.

• 2 tests -> n/4 éléments.2 tests -> n/4 éléments.

• 0( log n) tests -> 1 élément.0( log n) tests -> 1 élément.

• Est-ce bien lui ? Donc un test en plus.Est-ce bien lui ? Donc un test en plus.

• Il existe des arguments théoriques (théorie de Il existe des arguments théoriques (théorie de l’information) qui montrent que l’on ne peut l’information) qui montrent que l’on ne peut pas faire mieux.pas faire mieux.

d = 0;

f = n-1;

While ( d < f )

if ( d == f-1 )

if ( x == t[d] )

f = d;

d = f;

{m = (d+f)/2;

if ( x < t[m] )

f = m-1;

d = m; }

Return ( x == t[d] ); Résultat.Résultat.

Cas général.Cas général.

Intervalle de 2 éléments.Intervalle de 2 éléments.

Initialisation.Initialisation.

Di-chotomie - Tri-chotomie - etc.Di-chotomie - Tri-chotomie - etc.

• Di-chotomie :Di-chotomie :– 1 test -> 2 intervalles de n/2 éléments.1 test -> 2 intervalles de n/2 éléments.– Donc, 1 * log_2 (n) + 1 tests.Donc, 1 * log_2 (n) + 1 tests.

• Tri-chotomie :Tri-chotomie :– 2 tests -> 3 intervalles de n/3 éléments.2 tests -> 3 intervalles de n/3 éléments.– Donc, 2 * log_3(n) + 1 tests.Donc, 2 * log_3(n) + 1 tests.

• K-chotomie :K-chotomie :– k-1 tests -> k intervalles de n/k éléments.k-1 tests -> k intervalles de n/k éléments.– Donc, (k-1) * log_k(n) + 1 tests.Donc, (k-1) * log_k(n) + 1 tests.

Optimal si k = 2 ! ! !Optimal si k = 2 ! ! !

Soyons critiques !Soyons critiques !----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------• Tableau trié :Tableau trié :

– Recherche efficace Recherche efficace – Insertions et suppressions pénibles Insertions et suppressions pénibles

• Liste triée :Liste triée :

– Insertions et suppressions efficaces Insertions et suppressions efficaces – Recherche pénible Recherche pénible

• Liste triée :Liste triée :

– Insertions et suppressions efficaces Insertions et suppressions efficaces – Recherche pénible Recherche pénible

• Hashage sur tableaux & arbres de recherche équilibrés :Hashage sur tableaux & arbres de recherche équilibrés :

– Toutes les opérations sont efficaces Toutes les opérations sont efficaces

H A S H A G EH A S H A G E