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Cours Du Bton Arm I: Centre Universitaire de Bchar
1
Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire
Ministre de l'enseignement suprieur et de la recherche scientifique
Centre Universitaire de Bchar
Dpartement de Gnie Civil et d'Architecture
Support du cours
Bton Arm ITEC185
Fait par : Mr BARAKA Abdelhak
Anne universitaire 2005-2006
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SommairePrsentation 11
Chapitre I : Introduction en bton arm
I- Gnralits 13
II- Avantages et inconvnients du bton arm 13
1- Avantages 13
2. Les inconvnients du bton arm 14
Chapitre II : Scurit Rglementation
I- Gnralits 16
II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) 16
III- Thorie probabiliste de la scurit 16
IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91 16
1. Etat limite ultime (E.L.U) 17a- Etat limite ultime dquilibre statique de louvrage 17
b- Etat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de construction 17
c- Etat limite ultime de stabilit de forme .. 17
2. Etat limite de service (E.L.S) . 17
a- Etat limite de service de compression de bton 17
b- Etat limite de service douverture des fissures 17
c- Etat limite de service de dformation 17
V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) .. 17
VI- Actions et sollicitations . 18
1- Les actions 18
a- actions permanentes (G) 18
b- actions variables (Q) 18
c- actions accidentelles (F A) 18
2- Les sollicitations 18
3-Les combinaisons d'actions 18
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a- Etats limites ultimes (E.L.U) 19
b- Etats limites de services (E.L.S) 19
Chapitre III : Les composants du Bton Arm
I- Le bton 21
1-Dfinition 21
2- Caractristiques physiques et mcaniques du bton 21
A- Masse volumique 21
B- Dformations du bton indpendantes des charges appliques 21
1-Dformation thermique 21
2- Le retrait hygromtrique 21
3- Facteur et influence du retrait 22
c- dformation du bton sous actions courte dure ( < 24 H ) 22
1- Rsistance la compression 22
a- Essai de compression . 22
b- Evolution de la rsistance la compression avec lge du bton 22
2- Rsistance la traction 23
a- Traction par fendage 23
b- Traction par flexion 23
c- Rsistance caractristique la traction . 23
3- Module de dformation instantane 24
4- Dformation du bton sous actions de longues dures (le fluage) 24
1. dfinition . 24
2-Facteurs influenant le fluage 24
2. 3-module de dformation diffr . 24
5-Diagramme contrainte /dformation de calcul 24
-E .L .S 25
-E .L .U .. 25
6-Condition de pntration du bton dans les moules 26
7- Ouvrabilit . 26
I- Acier .. 26
Gnralit 26
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2. Essai de traction 26
3- Diffrent types daciers 27
Acier rond lisse 27
Acier haute adhrence 27
Les treillis souds 28
4-Dsignation des aciers 28
5- Diagramme Contrainte - Dformation de calcul 29
5.1- E .L . U 29
5.2- E . L .S 29
Chapitre IV : Association Bton - Acier
I- Gnralit 31
II- Ladhrences 31
1-Dfinition 31
2. Fonctions dadhrence 31
3. . Entranement des barres 32
4. Ancrage des barres32
5. distribution de la fissuration 32
Facteurs agissant sur ladhrence 32
a . Etat de surface des barres 32
b. Forme des barres 32
c. groupement darmatures 32
d. La rsistance du bton 33
e. La compression transversale 33
f. Lpaisseur du bton 33
III. Ancrage des barres 33
Dfinition 33
2-Ancrages rectilignes 34
a - Variation de leffort axial le long dune barre droite 34
b- Longueur de scellement droit 34
3- Les ancrages courbes
34
a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe 35
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b- Calcul d'un ancrage courbe 35
IV- Dispositions constructives 36
1- Dnomination des armatures 37
Ferraillage de la poutre 37
a-Les armatures longitudinales 38
b- Les armatures transversales 38
2- Dispositions constructives gnratives 38
a- Protection des armatures 39
b- Distance entre barres 39
-barres isoles 39
- groupement des barres 39
c- Pousse dans le vide 39
3- Condition de non crasement du bton 40
- Ancrage d'une barre comprime 40
4- Les recouvrements 41
-recouvrement rectiligne 41
-recouvrement courb 41
- Application 42
Chapitre V : Les hypothses de calcul
I- Hypothses LE .L .U 44
Hypothse (1) 44
Hypothse (2) 44
Hypothse (3) 44
Hypothse (4) 44
Hypothse (5) 45
Hypothse (6 ) 45
Rgle des 3 pivots 45
Le domaine( 1) 46
le sous domaine 1-a 46
Le sous domaine 1-b 46
Le domaine(2) 46
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Sous domaine 2-a 47
Sous domaine 2-b 47
Sous domaine 2-c 47
. Le domaine(3) 47
II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) 47
Hypothse (1) 47
Hypothse (2) 47
Hypothse (3) 47
-Homognisation de la section 48
Hypothse(4) 48
Hypothse(5) 48
III- Hypothses lE .L .S de compression du bton 48
IV- Hypothse l E .L .S de dformation 48
V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures 48
1-Si la fissuration est peu prjudiciable 48
2. Si la fissuration est prjudiciable 48
3. Si la fissuration est trs prjudiciable 49
- Application 49
Chapitre VI : La traction simple
I- Dfinition 51
Tirants rectilignes 51
Tirants circulaires 51
I- Dtermination des armatures 52
1. Condition de non-fragilit 52
2. E.L.U 52
3. E.L.S 52
4. Armatures transversales 52
- Application 53
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Chapitre VII : La compression simple
I- Compression centre 55
- Dfinition du noyau central 55
II- Longueur de flambement et lancement 55
1- La longueur de flambement (L f ) 55
a- Evaluation de la longueur de flambement et la longueur libre 55
-Cas des poteaux isols 56
-Cas des poteaux dans des btiments tages multiples 56
2- L'lancement de 56
- Dfinition du rayon de giration. 56
1- Section rectangulaire.. 56
2- Section circulaire 56
3- Section carre 57
III- Etat limite de service (E.L.S) 57
IV- Etat limite Ultime (E.L.U) 57
V - Dtermination des armatures 58
1- Armatures longitudinales 58
2- Pourcentage d'armatures minimum 58
3- Pourcentage d'armatures maximum 58
4- Armatures transversales 59
5- Dispositions constructives 59
-Section rectangulaire 59
-Section rectangulaire 59
-Section polygonale 59
VI Prdimensionnement des poteaux 60
-Application 61
Chapitre VIII : La flexion simple
I Dfinition 63
II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 63
1- Equilibre d'une section flchie 63
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2 Section armatures simple 63
Le moment rduit " u" 64
Le moment de rfrence d'une section 64
Le moment rsistant M R 64- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers 65
- Etat limite ultime par crasement du bton 65
- Position particulire de l'axe neutre 66
III- Dtermination des armatures pour une section donne 66
a- Section armatures simple 66
-Application 66
b- Section armatures double 67 Moment rsistant et moment rsiduel 67 Dtermination des armatures 67-Application 68
IV- Etat limite de service 69
1- Dtermination des contraintes 69
a- dtermination de l'axe neutre 69
b- dtermination des contraintes 69-Application 70
V- Etat limite ultime pour une section en " T " 70
1 dfinition 70
2 dtermination du ferraillage 70
-Moment quilibr par les dbords 71
-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 71
VI- Etat limite de service 71a- dtermination de l'axe neutre 71
b- dtermination des contraintes 72
-Application 73
Chapitre IX : L'effort tranchant
I- Gnralits 76
II- Contrainte tangentielle conventionnelle 76
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III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant 76
1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant 76
2- Ncessit d'armatures transversales 76
3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes 76
a- Justification du bton 77
3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes 77
Conditions complmentaires 78 Effort tranchant pour une section en T 786- Rpartition des cadres le long de la poutre 78
a Position du 1 er cadre 78
b Rpartition des cadres 78
Mthode forfaitaire de Caquot 78 Epure de rpartition 79-Application 81
Chapitre X : La flexion compose
I Dfinition 84
II Gnralits 84
III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 86
1- Courbe de rfrence d'une section 86
a- Section partiellement comprime (Domaine 2 pivot B) 86
b - Section tendue ou partiellement comprime (Domaine 1 pivot A) 86
c - Section entirement comprime (Domaine 3 pivot 3). 86
d - Le trac de la courbe de rfrence.. 87
2- Domaines de fonctionnement de la section.. 87
a- Dtermination des domaines 88
b- Domaine de fonctionnement ... 89
IV- Dtermination des armatures 90
1- Section entirement tendue 90
2- Section partiellement comprime 90
3- Section entirement comprime 91
-Application 92
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V- Etat limite de service 94
1 Section entirement .. 94
2 Section entirement comprime.. 94
3 Section partiellement comprime 95
N est un effort de compression 95 N est un effort de traction 96-Application 96
Chapitre XI : La torsion
I Dfinition Gnralits 99
a- Torsion uniforme de S t Venant 99
b- Torsion non uniforme 99
II Contraintes tangentes de torsion 99
1- Sections creuses (tubulaires) 99
2- Sections pleines 99
III- Comportement des poutres soumises un moment de torsion 100
IV- Justification des poutres sous sollicitation de torsion 100
1- Justification du bton 100
-Sections creuses 100
-Sections pleines 100
2- Justification des armatures 101
- Application 102
- Bibliographie 104
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Prsentation
S'appuyant sur la documentation riche et disponible dans le domaine, nous
avons mis au point ce travail, prsent comme un support du cours du Bton
arm I (TEC185). Ce dernier dfinit les diffrents constituants du bton arm
ainsi que leurs faonnages et dispositions. Il illustre les notions de base de
calculs de ce matriau sous contraintes gnralises (compression, traction,
flexion simple), tenant compte des rgles de conceptions et de calculs aux
tats limites adoptes par le rglement Algrien le C.B.A93.
Enfin, avec les dveloppements dtaills des mthodes de calculs du bton
arm accompagns de quelques applications; ce polycopi constitue une
rfrence pdagogique oriente au niveau du centre universitaire de Bchar,
dans l'objectif de faciliter toutes consultations ou enseignement du module
concern.
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I- Gnralits ... 13
II- Avantages et inconvnients du bton arm ...... 13
1- Avantages ... 132. Les inconvnients du bton arm . 14
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Chapitre I : Introduction en bton arm
I- Gnralits :
Le B.A est un lment mlang par plusieurs matriaux. Il est constitu par la
runion de deux matriaux que nous supposons simple; cest le bton et lacier,
disposs dune faon utiliser dune manire conomique la rsistance de chacun deu on
appelle bton : le mlange dans des proportion convenable des lments suivants :
liant hydraulique (ciment)
bton granulats (agrgats) ( sable, gravier,.....)
leau
On appelle bton arm le matriau obtenu en ajoutant au bton des barres en acier. Ces
barres en acier sont gnralement appeles armatures .
Dans lassociation bton + acier, le bton rsiste aux efforts de compression et lacier
rsiste aux efforts de traction et ventuellement aux efforts de compression si le bton ne
suffit pas pour prendre tous les efforts de compression qui existent.
Bton Compression (Rsistance la compression = 20 MPa 40MPa)(Rsistance la traction = 2 MPa 4MPa)
Acier Traction ou compression (200 MPa 500 MPa)Une construction sera appele en bton arm si les deux matriaux participent la
rsistance de lensemble.
II- Avantages et inconvnients du bton arm :
1- Avantages :
a. Lintrt conomique : Le bton est le moins coteux des matriaux rsistant la
compression et susceptible dtre associ dautres lments.
On dit que lacier est actuellement le seul matriau utilis dans la fabrication des armatures
parce que sa rsistance est moins chaire des matriaux pouvant tre rsists la traction.
b. La souplesse dutilisation : le bton tant mis en place (dans des moules : coffrage)
ltat pteux ; il est possible de raliser des constructions aux formes les plus varies et les
Armatures (le ferraillage cestlensemble de toutes les armatures)
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armatures peuvent tre facilement lies. Les assemblages entre diffrents lments en bton se
ralisent par simple contact.
Le bton arm se traite facilement la pr-fabrication en usine.
c. Economie dentretien : les constructions en bton arm ne ncessitent aucun entretien
tandis que les constructions mtalliques ont besoins dtre peintes rgulirement.
d. Rsistance au feu : les constructions en bton arm se comportent beaucoup mieux en cas
dincendie que les constructions mtallique ou en bois. Le bton, grce sa mauvaise
conductibilit thermique retarde les effets de la chaleur sur les armatures, il est possible de
remettre en service la construction aprs les rparations superficielles ce qui est impossible
pour les constructions mtalliques. Cette proprit a permit dutiliser le bton arm dans
certaines parties des fours.
e. Rsistance aux efforts accidentels : le bton arm en raison de son poids important est
moins sensible aux variations de surcharges que dautres modes de constructions.
f. Durabilit : le bton arm rsiste bien laction de l eau et de lair la seule condition a
observer et la protection des armatures.
2. Les inconvnients du bton arm :
a. Le poids : les ouvrages en B.A sont plus lourds que les autres modes de constructions.
b. Lexcution : pour excuter un ouvrage en bton arm il faut :
- Prparation de coffrage qui demande beaucoup de temps et un travail de charpente
important. Ce coffrage doit rester en place jusqu' se que le bton atteint une rsistance
suffisante.
- le placement des armatures
- pendant et aprs les mises en place du bton, il faut prendre des prcautions pour le
protger contre le gel et lvaporation de leau.
- Le contrle de la qualit du matriau perfectionn lors du gchage.
c. Brutalit des accidents : les accidents qui surviennent dun ouvrage en bton arm sont en
gnral soudains ou brutaux, en gnral ces accidents sont dus des erreurs de calculs ou de
ralisations.
d. Difficult de modification dun ouvrage dj ralis : il est difficile de modifier un
lment dj ralis.
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I- Gnralits ... 16
II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) ... 16
III- Thorie probabiliste de la scurit .... 16
IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91 ..... 16
1. Etat limite ultime (E.L.U) ... 17
2. Etat limite de service (E.L.S) ..... 17
V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) ......... 17
VI- Actions et sollicitations ... . 18
1- Les actions ... 18
2- Les sollicitations .............. 18
3-Les combinaisons d'actions .. 18
a- Etats limites ultimes (E.L.U) ... 19
b- Etats limites de services (E.L.S) ...... 19
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Chapitre II : Scurit Rglementation
I- Gnralits :
La scurit est dfinit comme labsence de risque et dans le domaine de construction ;
cela implique la stabilit et la durabilit et laptitude lemploi. La scurit absolue
nexiste pas; il faut accept une probabilit non ngligeable daccident.
Le dimensionnement des ouvrages et la vrification de la scurit ne peuvent pas
se faire de manire empirique. Ils sont bass sur des rgles de calculs bien prcises.
II- Rglements classiques - coefficient de scurit : (C.C.B.A)
Ces rglements utilisent la mthode des contraintes admissibles qui consiste
vrifier les contraintes calculs par la R.D.M en tout point dune structure sous une
contrainte admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du matriau par un
coefficient de scurit fix lavance.
>d. La rsistance du bton : Ladhrence augmente avec laugmentation de la rsistance la
compression du bton.
e. La compression transversale : Dans une pice comprime, ladhrence va augment par la
contrainte cre (le serrage).
f. Lpaisseur du bton : Plus llment est pais plus ladhrence est assure car lpaisseur
du bton vite lclatement.
III. Ancrage des barres :1. Dfinition : La longueur dancrage sera la longueur ncessaire pour quilibrer leffort
axial exerc sur la barre. Sur la longueur dancrage la contrainte dadhrence sera suppose
constante est gale sa valeur limite ultime qui est la suivante :
s = 0,6 . .f tj
: Coefficient de scellement.
= 1 pour R.L
= 1,5 pour H.A
d
d'
La longueur
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2-Ancrages rectilignes :
a - Variation de leffort axial le long dune barre droite :
La variation de leffort F A - FB sera transmise au bton qui quilibre cette effort par
ladhrence.
U dxdF
s
1.=
dF = s. U . dx
en intgrant dxU dF B
As
F
F
B
A
.. =
FB FA = s. U . L = s. . . L
b- Longueur de scellement droit :
la longueur de scellement droit l s sera la longueur ncessaire pour une barre
rectiligne de diamtre soumise une contrainte gale sa limite lastique soit
convenablement ancre (ancrage total) .
FA =FB + s. . . L B extrmit de la barre FB = 0
FA = s. . . Ls
L'ancrage sera dit total si l'effort F A sera
l'effort ultime de la barre :
feF A .4. =
pour dterminer la longueur de scellement "L s" il faut donc :
fe Lss .4.
...
=
do :s
s
fe L
.4
=
3- Les ancrages courbes : La longueur Ls est souvent trop importante par rapport ce que
l'on dispose pour cela, on utilise les ancrages courbes.
AFA FA B
L
ls
2cm
AB
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a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe:
le long d'une barre courbe, l'effort axial varie en fonction de deux choses :
1. l'adhrence entre le bton et l'acier.
2. en fonction du frottement rsultant de la raction du bton
sur la barre, le coefficient de frottement Acier-Bton sera
not :
= 0,4
FA et FB sont des efforts aux extrmits du trononcourbe.
N et N+dN sont les efforts aux extrmits d'un petit
lment. dR et dR sont les composantes normale et
tangentielle de la raction du bton sur la barre.
dF est la force d'adhrence qui sera donne par :dF = s. .. .r . d
avec r : le rayon de courbure.
En vecteur nous avons : 0=+++++ dRdRdF dN N N
Projection sur la normale : 02
sin)(2
sin. =+ d dN N d N dR
02
d 22
sin d d =
02
.22
= d dN d N d N dR (2
. d
dN est ngligeable)
02
..2 = d N dR dR = N.d
Projection sur la tangente : 02
cos).(2
cos. =++ d dN N d N dRdF
02
d 12
cos d
0=++ dN N N dRdF
0=+ dN dRdF dRdF dN += On peut crire : dN = s. .. .r . d + . N . d
AdFdR
dR
BF B
FA
d
r
N+dN
N
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d r
N dN s .....
+=
d r
N
dN
s
....
=+
Aprs intgration :
.... =
+
B
A
s N r
Ln
....
...
=
+
+
Bs
As
F r
F r
Ln
.
...
...
eF
r
F r
Bs
As
=+
+ )1.(
... +=
er
eF F B A
Posons : e= et
1= e
F A = . F B + . . . r . s
Nous avons pour les barres : R.L r = 3 .
H.A r = 5,5 .
30 45 60 90 120 135 150 180
1,23 1,37 1,52 1,87 2,31 2,57 2,85 3,51
0,58 0,92 1,30 2,19 3,28 3,92 4,62 6,28
b- Calcul d'un ancrage courbe :L : la longueur d'ancrage.
Pour un tronon rectiligne : F A = FB + s. . . L
Pour un tronon courbe : F A = . FB + . . . r . s FA4 = 0
A4-A3 : rectiligne FA3 = FA4 + s. . . L1
FA3 = s. . . L1
A3-A2 : courbe FA2 = . FA3 + . .. r . s
90
180 120 45
A1 A2
A3
A4 L1
L2
L
r
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FA2 = . s. . . L1 + . . . r . s
A2-A1 : rectiligne FA1 = FA2 + s. . . L2
FA1 = . s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2 .(1)
Sachant que : F A1 = s. . . Ls..(2)(1) = (2) s. . . Ls = . s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2 Ls = . L1 + . r + L 2
do : L 2 = L s - . L 1 - . r
IV- Dispositions constructives:
1- Dnomination des armatures :
90180 120 135
L1 = 2. L1 = 6. L1 = 10.
T max
T max
Comprime
A.N
Tendue
Axe NeutreComprime
Tendue
M max Moment de flexion
h
b
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Ferraillage de la poutre :
On distingue deux types d'armatures:
a-Les armatures longitudinales : on utilise gnralement du haute adhrence avec de
diamtres suprieurs ou gales 12 mm , elle seront disposes dans la partie tendue de la
poutre pour reprendre les efforts de traction (armatures principales). Dans la partie comprime
les barres de montage qui peuvent ventuellement reprendre une partie des efforts de
compression lorsque le bton ne suffit pas.
Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes dans la partie ou le moment est
maximum.
b- Les armatures transversales : sont appeles armatures de couture puisqu'elles coudent
les fissures. Elles ont un diamtre infrieur 10 mm. Il existe trois sorte d'armatures
transversales :
Les armatures transversales sont disposes le long de la poutre, elles sont trs rapprochesau niveau des appuis parce que l'effort tranchant est maximum.
Les armatures transversales sont attaches aux barres longitudinales en maintenant leurscartements.
Barres de montage de
Barres longitudinales de traction
Armatures transversales
Armatures de peausi h > 50 cm
2-
1-
1-
2-
Coupe 1-1 Coupe 2-2
cadre trier
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2- Dispositions constructives gnratives :
a- Protection des armatures : cette protection appele l'enrobage "c" . L'enrobage de toute
armature doit au moins tre gal 5cm pour les ouvrages de mer
ou exposs aux atmosphres trs agressives.
3 cm : pour les ouvrages soumis des actions agressives et des
ouvrages exposs aux intempries (pluie, neige) ou en contact
avec un liquide ( pont).
1 cm : pour les parois situes dans des locaux ouverts.
b- Distance entre barres :
-barres isoles :
e > max ( ; Cg)
eh > max ( ; 1,5.Cg)
ev > max ( ; Cg)
- groupement des barres :
e > max ( 2. ; Cg)eh > max ( 2. ; 1,5.Cg)
ev > max ( 2. ; Cg)
Cg : diamtre maximum des granulats.
c- Pousse dans le vide : la prsence d'ancrage courbe tente faire flchir la barre au point de
changement de courbure. Il peut en rsulter la pousse au
vide capable de faire clater le bton, alors trois solutions
existent :
1. supprimer cette pousse en modifiant le ferraillage :
2. rduire le risque d'clatement en inclinant la barre:
c
c
ev
ehe
e
evehe
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40
3. quilibrer la pousse, en attachant la barre par des ligatures.
3- Condition de non crasement du bton : (rayon de courbure minimal)
Pour que la condition de non crasement du bton soit assure, il faut vrifier l'ingalit
suivante:
cj
s
f r
..
e1..2,0
r
+
er : distance de la plus proche parois.
: diamtre des barres courbes.
s : la contrainte de l'acier calcule dans l'tat limite ultime. : coefficient = 1 si les barres sont disposes en une seule nappe.
3;37
;35= si les barres sont disposes en 2 nappes; 3 nappes; 4 nappes
respectivement.
- Ancrage d'une barre comprime : l'ancrage d'une barre comprime courbe (ancrage courbe)
est interdit. Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calcul comme suit :
s
scsc L
.
4=
: diamtre des barres.
sc : la contrainte la compression.s : la contrainte d'adhrence.
Ligature
er
er
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- Application :
Dterminez la longueur de scellement droit d'une barre de nuance FeE400 et de
diamtre
16 mm avec f c28 = 25MPa.
-Puis recalculer pour un ancrage courbe de 180.
Solution :
1- Ancrage rectiligne :
ss
fe L
.4
= avec s = 0,6 . . f t28
f t28 = 0,6 + 0,06. f c28 = 0,6 +0,06 .25 = 2.1 MPa.
s = 0,6 . (1,5) . 2,1 = 2,83 MPa avec = 1,5 pour HA.
Donc :83,2
400.
416=s L = 565,37 mm 566 mm.
2- Ancrage courbe :
L2 = L s .L1 - .r
Ls = 566 mm. ; r = 5,5. ; = 16mm ; L 1 = 2.
L2 = 566 3,51 . (2 16 ) 6,28 . (5,5 16)L2 < 0 L2 = 0
L = L 2 + r +2
= 0 + 5,5 16 +2
16
L = 96 mm.
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I- Hypothses LE .L .U ... 44
Rgle des 3 pivots ... 45
Le domaine( 1) ... 46
Le domaine(2) ... 46
Le domaine(3) ... 47
II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) ...... 47
-Homognisation de la section ...... 48
III- Hypothses lE .L .S de compression du bton ... 48
IV- Hypothse l E .L .S de dformation .... 48
V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures ..... 48
- Application ...... 49
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Chapitre V : Les hypothses de calcul
I- Hypothses LE .L .U :
Hypothse (1) : toute section plane avant dformation reste plane dformation.
Hypothse (2) : Il n est y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . la
dformation de deux matriaux et la mme. Il rsulte de cette hypothse que les
dformations des fibres sont proportionnelles leurs distances par rapport laxe
neutre .
bc : la dformation du bton la compression.
s : la dformation des laciers tendue .x : la distance de laxe neutre .
d : la distance du centre de gravit aux
armatures tendues.
sbc
bc
d x
+
==
bcs
.1
=
ou sbc
.1
=
Hypothse (3) : la rsistance du bton tendu est nglige.
Hypothse (4) : On suppose concentr en leur centre de gravit la section dun groupe
de plusieurs barres tendues ou comprimes, si lerreur commise sur les dformations
unitaires ne dpassent pas 15% .
Avant dformation
Aprs dformation
bc
xd A.Nh
s
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%15sup.
sup.
s
ss
%15
inf .
inf . s
ss
Hypothse (5) : le diagramme contrainte-dformation du bton pouvant tre utilis dans
tout les cas sera le diagramme parabole-rectangle. Lorsque la section nest pas
entirement comprime, On peut utiliser le diagramme rectangulaire simplifi dfinit
comme suit :
sur une distance de 0,2.x partir de laxe neutre, la contrainte sera considre commenulle.
Sur la distance qui reste, la contrainte sera gale b
c f
82.85,0
Hypothse (6) : le raccourcissement unitaire du bton est limit de 3,5% en compression
et lallongement unitaire des aciers sera limit 10%.
Rgle des 3 pivots : Le diagramme de dformation dune section ltat limite ultime
de rsistance reprsent par une droite doit obligatoirement pass par lun des pivots
A - B - C, dont la position sera dfinit sur la figure ci aprs. Cette rgle se fixe comme
objectif pour utilis au mieux le bton et lacier .
s,sup
s,inf s,
0,8 x
0,2 x
b
c f
82.85,0
x bc f
82.85,0
h
A i
dDomaine (1)
A (10
B (3,5 )
C
2 O'
O
CompressionTraction
Domaine (2)
Domaine (3)
h73
h74
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Ce diagramme sera devis en 3 domaines
Le domaine( 1) : les diagrammes passent par le pivot A qui correspond un
allongement maximum de 10%, les armature tendue supposes concentr en leur centre
de gravit .on distingue deux sous domaines :
le sous domaine 1-a : le bton est toujours tendue et ne participe pas la rsistance
de la section .
Le sous domaine 1-b : le bton est partiellement comprim.
le domaine (1) sera dcrit par la condition suivant :
0 < = 259,0105,3
5,3 =+
=+
st bc
bc
d x
0 < < 0,259 0 < x = .d < 0,259.d Le domaine(2) : les diagrammes passent par le pivot B qui correspond un
raccourcissement de 3,5% de la fibre la plus comprime. On distingue 3 sous
domaines.0,259 .d
B
2-aC
2-c2-bA e
FC ou sectionentirement comprimeFS ou FC
B
A
OA
1-b
1-a
O'
0,259.d
OOA
10%Tractionsimple Flexion compose avec une
section entirement tendue
BO
A
Flexion simple ou compose
avec une sectionpartiellement comprime.
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Sous domaine 2-a : lallongement des armatures est suprieure lallongement
lastique ( es) donc les armatures sont plastifie .
Sous domaine 2-b : Lallongement des armatures tendues est infrieure
lallongement tatique ( es) et la contrainte dans les aciers sera infrieure f c / s.Sous domaine 2-c : les armatures seront comprimes et le domaine(2) sera dcrit par
la condition :
0,259 d h
. Le domaine(3) : les diagrammes passent par le pivot qui correspond un
raccourcissement de 2% de la fibre du bton situe h73
de la fibre suprieure. La
section est entirement comprime .
le domaine (3) se dcrit par la condition :
h/d.
II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) :
Hypothse (1) : les sections droites planes avant dformation restent planes aprs
dformation
et Il nest y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . Hypothse (2) : le bton tendue est nglig.
Hypothse (3) : le bton et lacier seront considr comme des matriaux linaires
lastiques, donc on leur applique la loi de HOOKE = E .
s
s
b
bbs
aaa
bbb
E E E
E
====
.
.
b
sbs E
E . = On a : n
E
E
b
s = n : coefficient d'quivalence.
b
s
E
E n = donc : n = 15
3,5 %2%O
CCompression simple
Flexion compose
x
O
200000 MPa
3700 3 cj f MPa
11000 3 cj f MPa
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-Homognisation de la section : pour pouvoir appliquer au bton arm qui est un
matriau htrogne les rgles de RDM pour les corps homognes, Il sera ncessaire
dhomogniser la section de bton arm. Une section dacier travaille
nfois plus quune mme section de bton. Donc une section dacier
nfois quune
section de bton. Pour homogniser la section de bton arm, on remplace la section
dacier par n fois sa section de bton.
Hypothse(4) : On ne tient pas conte du fluage de bton et du retrait.
Hypothse(5) : On suppose concentr on leur centre de gravit un ensemble de
plusieurs barres.
III- Hypothses lE .L .S de compression du bton : La contrainte de compression
du bton est limite 0,6.f c 28 .
b 0,6 f c28 .
Ce risque nexiste que dans le cas ou le pourcentage darmature est lev.
A / bd 2% .
IV- Hypothse l E .L .S de dformation :
La flche dune poutre ne doit pas dpasse.
V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures :
1-Si la fissuration est peu prjudiciable : Aucune vrification nest demand et la
contrainte dans les aciers nest pas limite. La fissuration est considre comme peu
prjudiciable, lorsque llment vrifier est situ dans les locaux ouverts.
2. Si la fissuration est prjudiciable : la fissuration considre comme prjudiciable si les
lments sont exposs aux intemprie (pluie, neige, vent...) ou bien en contact avec leau. La
contrainte de traction dans les armatures tendues sera limite la valeur suivante :
b
b.hhA
n.A
L
La flche
cm.enexprimeestL
m5L si 0,5cm1000
m5L si 500
>+
L
L
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I- Dfinition ... 51
Tirants rectilignes ... 51
Tirants circulaires ... 51
II- Dtermination des armatures ... 52
1. Condition de non-fragilit ... 52
2.E.L.U ...... .. 52
3.E.L.S ...... 52
4. Armatures transversales... 52
- Application ... 53
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51
Chapitre VI : La traction simple
I- Dfinition :
Une pice est sollicite en traction simple si lensemble des forces extrieures agissant
dun mme cot dune section se rduit une force normale volumique est perpendiculaire
la surface est applique au centre de gravit.
Dans chaque section droite le centre de gravit des armatures longitudinales concide
avec le centre de gravit du bton et avec le point dapplication de la force de traction.
Les pices soumises la traction seront appeles des tirants .
1. Tirants rectilignes : ils sont normalement utiliss pour les couvertures votes des
btiments industriels ou bien pour les mosques. Les armatures
rsistent leffort de traction selon les armatures longitudinales.
Les armatures transversales ne jouent quun rle de montage. La
section de bton devra tre aussi petite que possible et les barres
doivent tre rparties uniformment dans la section (il faut
respecter le symtrie et choisir un nombre paire).
2. Tirants circulaires : ils sont normalement utiliss dans les parois de rservoirs
circulaires et des silos.
Projection verticale :
0.2.Sin.R.P0
= N d
0.2cos..0
= N RP 2. P . R - 2N = 0
dou : N = P.R
S
GN
Tirant
P.R.d
d
N N
R
P.R.d .sin P.R.d .cos
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I- Dtermination des armatures :
1. Condition de non-fragilit : la section tendue ou flchie est considre comme
non fragile si les armatures travaillants leur limite lastique peuvent quilibrer les
sollicitations provoquant la fissuration du bton dans cette section.
Les pices fragiles sont justifiables par le rglement. La condition suivante est appele
Condition de non fragilit et doit tre vrifie comme suit :
fe
f B A t sB
28.
AsB : Armature longitudinale.
B : Section du bton.
Du point de vue rsistance B peut tre quelconque, mais pour que la pice ne soit pasfragile, il faut que B vrifie la condition de non fragilit.
Remarque : si B est impos, il faut que A s vrifie la condition de non fragilit.
2. E.L.U : Etant donn que le bton est nglig, il rsulte que les armatures longitudinales
doivent quilibrer seul les efforts appliqus.
Nu : l'effort de traction l'E.L.U.
Dou : )10(st
Nu Asu
avec
sst
fe
=
3. E.L.S : du moment quil sagit de fissuration du bton en traction; nous devons passer par
la vrification l E.L.S. Ns : l'effort de traction l'E.L.S.
Dou :st
Ns Ass
avec st : en fonction de la fissuration.
La section des armatures longitudinales sera la suivante :
As = Max (Asu ; Ass ; A sB )
4. Armatures transversales : elles non aucun rle dans la rsistance la traction. Leur
diamtre est calcul comme suit :
A(10)
Nu
Traction simple
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t 0,3 . L avec tmin = 6 mmEspacement : esp Min (40 cm ; a + 10 cm) avec a : la plus petite dimension.
- Application :
Soit un tirant d'une section carre ( 25 25) cm sollicit par un effort de traction l'E.L.U Nu = 0,45 MN et l'E.L.S : Ns = 0,34 MN. Les matriaux sont FeE400 et f c28 = 20
MPa.
La fissuration est prjudiciable.
- Calculez la section des armatures longitudinales ?
- Solution
E.L.U : )10(st
Nu Asu
avec
sst
fe
= MPast 83,34715,1400 ==
83,34745,0 Asu Asu 12,94 cm
E.L.S :st
Ns Ass avec
28.110 ; .32
min t st f fe
1,8.6,1110 ; 400.
32
minst MPa186,67=st
67,18634,0 Ass Ass 18,21 cm
C.N.F:
fe
f B A t sB
28. 400
8,1).2525( sB A
AsB = 2,81 cm
La section : As = Max (Asu ; Ass ; A sB ) = Max (12,94 ; 18,21 ; 2,81) cm
On prend : As = 18,21 cm 416+ 420 = 8,04 + 12,57 = 20,61 cm
a
esp
25
25
416+ 420
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Chapitre VII : La compression simple
I- Compression centre :
Pour avoir une compression centre il vrifier les conditions suivantes :
- Il faut que le centre de gravit (CDG) soit centr.
- Il faut que la force soit applique dans le noyau central.
2centralnoyauduDimension
max =e
- Dfinition du noyau central :
Rectangulaire : Circulaire :
- L'lancement est limit 70 .
II- Longueur de flambement et lancement:
1- La longueur de flambement (L f ) : Elle dpend de la longueur de l'lment (L) et du
type de la liaison.
a- Evaluation de la longueur de flambement et la longueur libre :
e
GN
a
bb/3 b/3b/3
a/3
a/3
a/3
R
R/4
G
N
S
CDG
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-Cas des poteaux isols :
-Cas des poteaux dans des btiments tages multiples :
L f = 0,7 . L 0 : si le poteau est encastr dans un massif
de fondation ou bien assembl des poutres
de plancher ayant au moins la mme
raideur (E.I) dans le sens de flambement..
- ou dans le cas de poteaux d'tages multiples.
2- L'lancement de : mini
L f =
- Dfinition du rayon de giration : B
I i xx xx = avec : B : la section du poteau.
1- Section rectangulaire :
12.
I ; 12. 3
yy
3 baab I xx ==
yy xx yy xx ii I I ba
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4- Armatures transversales : elles n'ont aucun rle de rsistance, le rle principale c'est
d'empcher le flambement des armatures longitudinales.
Le diamtre sera :3
lt
=
L'espacement entre deux cadre : esp = Min {40cm ; a+10cm ; 15. lmin}.C.B.ADans la zone nodale :
esp Min{15cm ; 10 lmin } Zones I et IIa R.P.Aesp 10cm Zones IIb et IIIR.P.A
Dans la zone courante :
esp 15lmin Zones I et IIa R.P.Aesp {b/2 ; a/2 ; 10
lmin} Zones IIb et IIIR.P.A
5- Dispositions constructives :
-Section rectangulaire :
lmax < Min (40 ; a+10) cm C.B.A
0.
0..9,0 . 28 f
fe
f Br Nu A s
b
csc
= avec Br = (a 0,02) . (b 0,02)
0..9,0
).02,0).(02,0( 28 f fe
f ba Nu A s
b
csc
=
28
b.9,0.)02,0).(02,0(c f
Nuba
p )02,0.(
.9,0.)02,0(
28
b
a f Nu
bc
p
02,0)02,0.(
.9,0. 28
b + a f Nub
c
p
Pour le prdimensionnement le R.P.A2003 exige :
Pour un poteau rectangulaire :
Min ( a , b ) 25 cm en zones I et IIa.Min ( a , b ) 30 cm en zones IIb et III.
Min ( a , b ) he / 20 h e : la hauteur entre nu d'tage.4
41
ab
Pour un poteau circulaire :
D 25 cm en zones I.D 30 cm en zones IIa.D 35 cm en zones IIb et III.
D he / 15 h e : la hauteur entre nu d'tage.
b
a
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-Application : Soit un btiment tage multiple
Ng = 0,7 MN
Nq = 0,35 MN
f c28 = 25 MPa
FeE400
Solution :
Nu = 1,35 . N g +1,5 . N q = 1,5 . 0,7 + 1,5 . 0,35 = 1,47 MN.
L0 = 2,7 + 0,25 = 2,95 m.
La longueur de flambement : L f = 0,7 . L 0 = 0,7 . 2,95 = 2,065 m.
Le rayon de giration :32
25
32min ==
ai = 7,22 cm
L'lancement : 31,2822,75,206
min === i L f
< 50 75,0
3531,28
.2,01
85,0
35.2,01
85,022
=
+
=
+
=
La section rduite: Br = (40 - 2) (25 -2) = 874 cm.
La section d'armature :400
15,1.
5,1.9,025.0874,0
75,047,1
..9,0
. 28
=
fe
f Br Nu A s
b
csc
Asc 9,81 cm.
Ascmin = 0,1% . B = 0,1 .100
4025 = 1 cm.
Ascmax = 4% . B = 4 .100
4025 = 40 cm.
Do : Ascmin Asc Ascmax et le choix peut tre : 4 16 + 2 12
40 cm
25 cm
212
Poteau
Plancher
Poteau
Poteau
Plancher
Plancher
2,7 m
25 cm
40 cm
25 cm
La section du poteau
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I Dfinition ... 63
II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire .. 63
1- Equilibre d'une section flchie ... 63
2 Section armatures simple ... 63
- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers ... 65
- Etat limite ultime par crasement du bton ... 65
- Position particulire de l'axe neutre 66
III- Dtermination des armatures pour une section donne 66
a- Section armatures simple 66
-Application .. 66
b- Section armatures double ... 67
-Application ... 68
IV- Etat limite de service ... 69
-Application ... 70
V- Etat limite ultime pour une section en " T " . 70
1 dfinition ... 712 dtermination du ferraillage . 71
VI- Etat limite de service pour une section en " T " .......... 72
-Application 73
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Chapitre VIII : La flexion simple
I Dfinition :
Une poutre sera sollicite en flexion simple lorsqu'elle sera soumise l'action de force
dispose symtriquement par rapport au plan moyen.
La rduction de cette force au centre de gravit de la section se dcompose en moment
flchissant et un effort tranchant.
II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire :
1- Equilibre d'une section flchie :
Les efforts s'criront : N st = A st . st Nsc = A sc . scNbc = 0,8 . x . b . bc
L'quilibre de la section :
Fx = 0 et M = M u.2 Section armatures simple :
L'quilibre des efforts : N st = N bc
Ast . st = 0,8 . x . b . bcL'quilibre des moments : M u = M bc . z
Avec z = d 0,4 . x et x = .
d z = d . ( 1 - 0,4. )
x = .dA.N
dh
d'
b
Ast
Asc
bc
st dformation
st contrainte
bc 0,8.x
st
bc 0,8.x
Contraintesimplifie
z
d0,4.xd' Nsc
Nbc
Nst
zd
0,4.xNbc
Nst
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Mu = 0,8 . . d . b . bc . d . ( 1 - 0,4. )= 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. )
Mu = N st . z = A st . d . ( 1 - 0,4. )
Le moment rduit " u" : M u = 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. ))0,4-(1..8,0
..
=
bc
u
d b
M
On appellera cette quantit le moment rduit
)0,4-(1..8,0..
==bc
u
d b
M
Donc )0,4-(1..8,0 =
Do : ) 21125,1 =
Le moment de rfrence d'une section :bc
u
d b
M
..
=
La rgle des 3 pivots se fixe comme
objectif d'utiliser les matriaux leurs
maximum. Le diagramme de dformation
correspondant sera le diagramme qui passe
par les pivots A et B.
259,0105,3
5,3 =+
=+
=st bc
bc
do : AB = 0,186Le moment rduit AB correspond un moment flchissant appel moment de rfrence :
M AB = AB . b . d . bc
Le moment rsistant M R :On dsigne par un moment rsistant le moment obtenu lorsque l'allongement des armatures
est gal l'allongement lastique ( es).Le rsistant s'crit : M R = l . b . d . bc
Avec : )0,4-(1..8,0 lll =
esesbc
bcl
+=
+=
5,35,3
x = .dA.N
dh
d'
b
Ast
Asc
B (3,5)
A (10)
Le diagramme idal
xl = l .dB (3,5)
es
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FeE215 FeE235 FeE400 FeE500Nuance
s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15
fe/ s 215 187 235 204 400 348 500 435es () 1,075 0,935 1,175 1,02 2,00 1,74 2,5 2,175
l 0,765 0,789 0,749 0,774 0,636 0,668 0,583 0,617
l 0,425 0,432 0,420 0,427 0,379 0,392 0,358 0,372
Si > l < es : alors les aciers ne travail pas suffisamment.Les domaines dfinis par la rgle des 3 pivots sont :
Domaine 1 0,186 0 < 0,259Domaine 2-a 0,186 < l 0,259 < l Domaine 2-b l < 0,48 l < 1
Donc l'tat limite ultime peut tre atteint de deux manires :
- Par coulement plastique des aciers.
- Par crasement du bton.
- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers :
Pivot A : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes :
s = 10 bc = 0 et 3,5 0 < 0,259
- Etat limite ultime par crasement du bton :
Pivot B : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes :
bc = 3,5 s = 0 et 10 0,259 < 1
OA
O
B
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Le mode d'obtention de l'tat limite ultime sera dtermin en comparant et 0,259; la valeurqui correspond l'tat limite atteint simultanment par l'coulement de l'acier et l'crasement
du bton.
- Position particulire de l'axe neutre :- si < 0,167 le bton travail mal et nous avons alors une section
surdimensionne.
- si 0,167 < < l le domine le plus conomique du bton.III- Dtermination des armatures pour une section donne :
a- Section armatures simple :
bc
u
d b
M
..
=
si "d" est inconnu; on prendra : d = 0,9 . h
u l (l : tire du tableau prcdent)
) 21125,1 = On choisi comme origine de l'axe "z" le point d'application N bc :
Mu = N st . z + N bc . 0
Mu = A st . st . z
Z = d 0,4 x = d (1 0,4 . )
st
ust z
M A
.=
-Application : Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion M u = 0,153MN.m, avec f c28 = 25 MPa et FeE400.
1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?
- Solution
On prendra : d = 0,9 . h = 0,9 . 50 = 45 cm
MPa47,141,5
25.85,0.85,0 28 ===b
cbc
f
bc
u
d b
M
..
= 213,014,47.(0,45).25,0
153,0 ==
u l = 0,392
La section est armatures simple : ) 21125,1 = )213,0 .21125,1 = = 0,303
d h
b
Ast
z
d
0,4.xNbc
Nst
45 50
25
Ast
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z = d. (1 0,4 . ) = 0,45 . (1 0,4 .0,303) = 0,3954 m
st
ust z
M A
.= =
348 .3954,0153,0
= 0,001112 m
Ast = 11,12 cmLe choix peut tre : 4T20 = 12,57 cm.
b- Section armatures double :
u l Section simple armatures (S.S.A)u > l Section double armatures (S.D.A)De la rgle des 3 pivots nous savons que, quand le moment rduit " u" dpasse le momentrduit limite " l", le travail des armatures infrieures est trs faible, l'acier est donc malutilis. Plusieurs solutions sont possibles :
-
Augmenter b et h.- Utilisation d'un bton qui a une grande rsistance.
- Ajouter les armatures comprimes.
- Laisser la section et la calculer avec comme ferraille armatures
simple.
Moment rsistant et moment rsiduel :Le moment rsistant du bton sera le moment qui peut quilibrer : M R = l . b . d . bc
Le moment rsiduel sera la diffrence entre le moment sollicitant et le moment rsistant :M r = M u - M R
Dtermination des armatures :On choisi comme origine de l'axe "z" le centre de gravit des armatures infrieures A st :
Mu = N st . z(=0) + N bc . zbc + N sc . zsc
Mu = 0,8 . l . d . b . bc . ( 1 - 0,4. l) + A sc . sc . (d d')Mu = l . b . d . bc + A sc . sc . (d d')
)'.( d d M M A
sc
Rusc =
d h
d'
b
Ast
Asc
4T12
4T20
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N = 0.Nst N sc N bc = 0 Nst = N sc + N bc
Ast . st = 0,8 . l . d . b . bc + A sc . sc
).4,01('.
l
Rr st st d
M d d
M A
+=
( )
+
=
).4,01('1
l
Rr
st st d
M
d d
M A
-Application : Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion M u = 0,315MN.m, avec f c28 = 25 MPa et FeE400 et d' = 5 cm..
1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?
- Solution
bc
u
d b
M
..
= 439,014,47.(0,45).25,0
315,0 ==
u l = 0,392 La section est armatures doubles.
MR = l . b . d . bc = 0,392 . 0,25 . (0,45) . 14,47 = 0,281 MN.m
Mr = M u - M R = 0,315 0,281 = 0,034 MN.m.
)'.( d d M M
Asc
Rusc
=
=)0,0545,0.(348
034,0
= 2,44 cm
( )
+
=
).4,01('1
l
Rr
st st d
M
d d
M A
( ) 93,26
)668,0.4,01.(45,0281,0
0,0545,0034,0
3481
cm=
+
=
Le choix peut tre : 6T25 = 29,45 cm
d
0,4.xd' Nsc
Nbc
45 50
25
Ast
3T12 = 3,39 cm
6T25 = 29,45 cm
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IV- Etat limite de service :
Il est ncessaire de vrifier l' E .L.S que la compression du bton reste admissible ainsi que
la traction dans les armatures en fonction de la prjudiciabilit de la fissuration :
bc = 0,6 . fc28la fissuration prjudiciable
28.110 ; .3
2min t st f fe
la fissuration trs prjudiciable
28.90 ; .2
1min t st f fe
1- Dtermination des contraintes :
a- dtermination de l'axe neutre :
Par l'quilibre des moments statiques :
b . x .2 x + n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0
b- dtermination des contraintes :
Sous l'action du moment, la section se dforme jusqu' obtenir un tat de contrainte
qui quilibre le moment :
M i = M S (moment de service)Nous avons : M b + M ASC + M AST = M S
I = I b + n . I st + n . I sc
3. 3 xb
I b = ; I sc = A sc . ( x d') ; I st = A st . (d - x )
Alors les contraintes sont : I
x M Sbc
.= et I
xd M n Sst
).(. =
Les vrifications sont : est vrifi .. S L E st st
bcbc
p
p
Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.
b
Ast
Asc
bc
st
dformation Contrainte
bc
st
sc sc
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-Application : Vrifiez l'tat limite service pour une section (25 50) sollicite par unmoment de flexion l'E.L.S M s = 0,2 MN.m ? avec f c28 = 25 MPa et FeE400 ;
d' = 5 cm ; A st = 6T25 = 29,45 cm ; A sc = 3T12 = 3,39 cm
- Solution
- La vrification l'E.L.S :
La position de l'axe neutre :
b . x .2 x
+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0
12,5 . x + 15 . (3,39) . (x - 5) 15 . 29,45 . (45 - x) = 0
12,5 x + 492,6 . x 201331 = 0
x = 25 cm.
Le moment d'inertie :
3. 3 xb
I = + n . Asc . ( x d') + n . A st . (d - x )
=3(25).25 3
+ 15 . 3,39 (25 - 5) + 15 . 29,45 . (45 - 25) = 0,0033 m 4
Les contraintes sont : I
x M Sbc
.= = MPa15,150,0033
0,25.2,0 = > bc =0,6 . 25 = 15 MPa
et I
xd M n Sst
).(. = = MPa1820,0033
0,25)-(0,45.0,2.15 =
- la fissuration prjudiciable :
= 28.110 ; .3
2min 183 t st f fe MPa = 201
MPa
Alors l'E.L.S n'est pas vrifi.V- Etat limite ultime pour une section en " T " :
1 dfinition :La table
dbordsdbords
La
b0
b
h0
hb1 d
d'Asc
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2 dtermination du ferraillage :
=
=
=
2...
2
..0
00
0 hd hb M h
d z
hb N
bct
bc
1er cas : Si M u < M t La table n'est pas entirement comprime. La dtermination des
armatures sera identique une section rectangulaire (b h).
2me cas : Si M u > M t La table est entirement comprime. Le calcul de ferraillage sera en
dcomposant la section en T de la manire suivante :
-Moment quilibr par les dbords :
=
2...
2.2 00
0 hd hbb
M bcd
( )
= 2...0
00
hd hbb M bcd
t d M b
bb M .0
=
=
2. 0
hd
M A
st
d st
h0 /2
z
Ast
F bt
b
h
b
h
b
h
20bb
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-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 : le moment rsiduel sera M u - M d
bc
d u
d b
M M
..0
=
Si u
l:
) 21125,1 =
z = d (1 0,4 . )
st
d ust z
M M A
.2=
Si u > l :
On prend : x l = l . d
Si 0,8. xl h0 :
M R = l . b 0 . d . bc et zl = d (1 0,4 . l )
( )
+
=
l
R Rd u
st st z
M
d d
M M M A
'1
)'.( d d M M M
Asc
Rd usc
=
Si 0,8. xl < h0 : la section sera considre comme une section rectangulaire( b h) soumise un moment M u.
VI- Etat limite de service :
a- dtermination de l'axe neutre :
Par l'quilibre des moments statiques :
b . x .2 x
+ ( ).2 0
0 h xbb
+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0
b- dtermination des contraintes :
Les moments d'inerties s'criront :
- Si l'axe neutre est dans la table :3. 3 xb
I b =
- Si l'axe neutre est dans la nervure : ( )3003
.33
.h x
bb xb I b
=
et I sc = A sc . ( x d') ; I st = A st . (d - x )
M i = M S (moment de service)
Nous avons : M b + M ASC + M AST = M S
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I = I b + n . I st + n . I sc
Alors les contraintes sont : I
x M Sbc
.= et I
xd M n Sst
).(. =
Les vrifications sont : est vrifi .. S L E st st
bcbc
p
p
Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.
-Application : Soit une section en "T" sollicite par un moment de flexion l'E.L.U :
Mu = 0,8 MN.m et l'E.L.S M s = 0,5 MN.
Si : f c28 = 20 MPa ; FeE400 ; d = 65 cm ; d' = 4 cm.
1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?
2-Vrifiez les contraintes l'E.L.S?
- Solution
1- E.L.U :
Le moment de la table :
MN.m544,02
10,065,0.11,33. 0,10 .80,0
2... 00 =
=
= hd hb M bct
Mu = 0,8 MN.m > M t = 0,544 MN.m La table est entirement comprime. Le calcul de
ferraillage sera en dcomposant la section en T de la manire suivante :
-Moment quilibr par les dbords :
t d M b
bb M .0
= = 0,544.
803080
= 0,34 MN.m
=
2. 0
hd
M A
st
d st
= 28,16
210,0
65,0.348
34,0cm Ast =
=
-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 :
bc
d u
d b
M M
..0
=33,11. )65,0.( 3,0
34,080,0 = = 0,32
u = 0,32 l = 0,392 : ) 21125,1 = = )32,0 . 21125,1 = 0,5
30
80 cm
10
7065
4Asc
Ast
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z = d (1 0,4 . ) = 65 . (1- 0,4 . 0,5) = 52 cm.
cm43,2511,33. 52,0
34,08,0.2
===st
d ust z
M M A
Ast = A st1 + A st2 = 16,28 + 25,43 = 41,71 cmSoit un choix de : 9T25 = 44,18 cm.
2-E.L.S : M s = 0,5 MN.m
a- dtermination de l'axe neutre :
b . x .2 x
+ ( ).2 0
0 h xbb
+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0
15 x + 1162,7 . x 45575,5 = 0
x = 28,63 cm > h 0 = 10 cm..
Le moment d'inertie s'crira :
I = ( )3003
.33
.h x
bb xb
+ Asc . ( x d') + A st . (d - x )
I = 0,014 m 4
Alors les contraintes sont : I
x M Sbc
.= = MPa10,230,014
0,2863 .5,0 = < bc =0,6 . 20 = 12 MPa
et I xd M n S
st
).(. = = MPa1950,014
0,2863)-(0,65.0,5.15=
- la fissuration prjudiciable :
= 28.110 ; .3
2min 183 t st f fe MPa = 201 MPa
Les vrifications sont : est vrifi .. S L E st st
bcbc
p
p
3T12
9T25 = 44,18 cm
65
30
80 cm
10
70
4
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I- Gnralits ... 76
II- Contrainte tangentielle conventionnelle ......... 76
III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant ... 76
1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant ......... 76
2- Ncessit d'armatures transversales ... . 77
3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes ... 77
a- Justification du bton ....... 77
4 Dtermination des armatures ...... 77
Conditions complmentaires ... .. 77
Effort tranchant pour une section en T . 776- Rpartition des cadres le long de la poutre ...... 78
Mthode forfaitaire de Caquot ... 78
Epure de rpartition ............ 79-Application ... 81
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Chapitre IX : L'effort tranchant
II- Gnralits :
Dans une poutre en bton arm l'effort tranchant est quilibr par les armatures
transversales.
III- Contrainte tangentielle conventionnelle :
L'effort tranchant fait glisser les plans les uns par rapport aux autre, les plans
perpendiculaires et les plans parallles.
La contrainte tangente (contrainte de cisaillement) dans la section ou se produit l'effort
tranchant sera donne par l'quation suivante : I bST
.
.=
Avec : T : l'effort tranchant.
S : Moment statique de la section.
b : la largeur de la section.
I : le moment d'inertie de la section.
Le rglement C.B.A admet par simplification le principe de la tangente conventionnelle ultime:
d bT u
u .=
u : la contrainte de cisaillement.
T u : l'effort tranchant.
b : la largeur de la section.d : la distance entre la fibre suprieure et les armatures
infrieures.
III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant :
1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant :
d h
b
M = 0T=Tmax
Les fissures
45
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77
Les contraintes normales dans le bton aux appuis (isostatique) sont nulles. Donc nous
avons un cisaillement pur.
2- Ncessit d'armatures transversales :
Le bton par sa faible rsistance la traction ne peut quilibrer les contraintes de
traction engendres par l'effort tranchant. Il est donc ncessaire de renforcer cette
insuffisance par des armatures qui vont coudre ces fissures leurs disposition logique sera :
Parce que leur efficacit reste la mme et pour faciliter l'excution; les armatures seront
disposes de la manire suivant le 2 me cas. On notera le ferraillage comme suit :
At : La quantit d'acier d'armature.
At = n . avec : n : le nombre de brin.
= le diamtre du brin en gnral 6 ou 8.
Exemple :
3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes :
a- Justification du bton :
La contrainte tangentielle u doit satisfaire les conditions suivantes Cas d'armatures droites :
MPa f
b
cu 5 ;
.2,0min 28
pour une fissuration peu prjudiciable.
2 1
BielleFissure
1er cas de couture desfissures.
Fissure
Armaturestransversales
Ou
2me cas de couturedes fissures.
Fissure
Armaturestransversales droites
8
4
Nous avons : A t = 4 8
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78
MPa f
b
cu 4 ;
.15,0min 28
pour une fissuration trs prjudiciable ou
prjudiciable.
Cas d'armatures inclines :
MPa f
b
cu 7 ;
.27,0min 28
Si u > ulimite on doit augmenter les dimensions de la section.
3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes :
( )St
g zn cot1. +=
Projection verticale : T u = F st . sin En remplaant toutes ces forces et en faisant la transformation ncessaire et en utilisant des
approximations, on obtient :
)cos.(sin.9,0
..3,0
St.
'
+
s
tjut
fe
f k
b
A
)cos.(sin.8,0
..3,0
St.
'
+
fe
f k
b
A tjut
- Si on utilise des cadres droits sin + cos = 1.
- 'tj f = min ( f tj ; 3,3 MPa)
- k = 1 : dans le cas gnral.
k = 0 : si la fissuration est trs prjudiciable ou s'il y'a reprise de btonnage.
Conditions complmentaires :St 7 cm avec S tmin = 7 cm.St min ( 0,9.d ; 40 cm)
MPa 4,0St..
b
fe At
t min
l;10b
;35
h
t 12 mm
zNbc
Nst
Fst
Tu
St St
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Effort tranchant pour une section en T :On considre que seul l'me rsiste
l'effort tranchant :
d bT
.0=
6- Rpartition des cadres le long de la poutre :
a Position du 1 er cadre :
b Rpartition des cadres :
Mthode forfaitaire de Caquot :Cette mthode est applicable qu'aux poutres de section constante et soumises des
charges uniformment rparties.
1- On calcule St 0
2- On prendra l'espacement immdiatement infrieur St 0 dans la srie de
Caquot suivantes : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 16 ; 20 ; 25 ; 25 ; 35. (cm)
On choisis les espacements successivement qu'on respectera autant de fois en nombre
entier compris dans la demi port de la poutre ou la port d'une console.
Exemple : St = 9,68 cm de la srie on prend St = 9 cm
3 9 ; 3 10 ; 3 11 ; jusqu' la demi port.
Epure de rpartition : aucune condition n'est impose.
fe
f k
b
A tjut .8,0
..3,0
St.
fe
f k
feb
A tjut .8,0
..3,0
.8,0St.
tjt
u f k St b
fe A..3,0
..8,0. + ..multiplions les deux cots par ( b d ) .
d b f k St
d fe AT tj
t u ....3,0
..8,0. +
Posons : At . 0,8 . fe .d = K 1 et 0,3 . f tj . k .b . d = K 2
b0
h
b0
h
St/2
StSt
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Do : 21 K
St
K T u +
La mthode sera la suivante :
- On calcule St 0.
- On choisit les espacements St 1 ; St2 ; St 3 . Tel que St 1 St2 St3
- On calcule les quantits 20
1 K St
K + ; 21
1 K St
K + ; 22
1 K St
K + ;T u
T umax
L/2esp= n.St 0 esp= n.St 1 esp= n.St 2 esp= n.St 3
2
1
1 K
St
K +
22
1 K St K +
23
1 K St K +
20
1 K St K +
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-Application :
Soit une poutre rectangulaire d'une porte L = 6 m soumise un effort tranchant
Tu = 200 KN. Si les cadres transversaux sont droits et de nuance FeE240. Sachant que
f c28 = 25 MPa ; la fissuration est prjudiciable et il n'y a pas de reprise de btonnage.
Solution :
1- La vrification de la contrainte de cisaillement dans le bton :
45,03,02,0
. ==
d bT u
u = 1,48 MPa
La fissuration est prjudiciable:
MPa f
b
cu 4 ;
.15,0min 28
MPau 4 ;5,1
2515,0min = 2,5 MPA
Donc : u < u
2- calcul de l'espacement entre cadres :
)cos.(sin.8,0
..3,0
St.
'
+
fe
f k
b
A tjut
-cadres droits : sin + cos = 1.
- 'tj f = min ( f tj ; 3,3 MPa) = 2,1 MPa
- k = 1 : dans le cas gnral.
- A t = 48 = 2,01 cm.
- f e = 235 MPa
)..3,0.(
.8,0.St '
tju
t
f k b
fe A
)..3,0.(
.8,0.St
tju
t
f k b
fe A
)1,213,048,1(3,0
2358,01001,2St
4
St 14,8 cm.
8
30
50
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Conditions complmentaires :
St 7 cm avec S tmin = 7 cm.
St min ( 0,9.d ; 40 cm) min ( 40,5 cm ; 40 cm)MPa 4,0
St..
b
fe At MPa 4,0 06,1148,030,0
2351001,2 4 =
MPa
t min
l;10b
;35
h
choix effectu la flexion.
t 12 mm
De la srie de Caquot St = 13 cm. n = L/2 = 6,00/2 = 3
298 cm
6cm
13 13 20 20 25 25 35 3513 20 25 35
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Chapitre X : La flexion compose
I Dfinition :
Une poutre est sollicite en flexion compose si la rduction au centre de gravit (CDG)
d'une section S des forces situes gauche de cette section se dcomposes.
- Couple de moment M d'axe la fibre moyenne.
- Effort normal N la section.
- Effort tranchant T dans le plan de la section.
II Gnralits : Le systme form par le moment flchissant (M) et l'effort normal (N)
peut tre remplac par une force unique quivalente (N) et applique au point (C) appel
point d'application ou centre de pression.
Donc on remplace (M,N) N au centre de pression tel que la distance GC = e.G : centre de gravit de la section.
C : point d'application (N)
e : excentricit. N M
eGC ==
En flexion compose, il faut toujours prciser en quel point on effectue la rductiondes forces car la valeur des moments est dpendante de ce point. Ce point sera
normalement, soit au CDG du bton (sans armatures) = (G); soit au centre de gravit
des armatures tendues (A).
N
M e G= ;
N
M e Aa =
En flexion compose, la premire chose faire est de chercher la position du centre depression (C)
MN
T
MG
N
G ea
C
AMA
e
M
N G
N
G
Ce
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Si (N) est un effort de compression (C) sera pos au dessus de (G).
ea e
Le point (C) peut se situer en dehors de la section donc "e" peut tre suprieure 2h
:
e >2h
Si (N) est un effort de traction (C) sera pos au dessous de (G). (au cot de (A))CA = e a
GC = e
C : peut tre en dehors de la section.
Les quations d'quilibre en flexion compose s'tablissent de la mme manire que laflexion simple avec 3 diffrences :
- N 0.- La section peut tre totalement comprime.
- Les sollicitations doivent tre calcules l'origine, que nous prendrons le point (A).
En flexion compose, la section peut tre partiellement comprime sous un effort detraction ou compression: Nous avons 3 cas de position de l'axe neutre :
La section peut tre entirement comprime sous un effort de compression :
G ea
C
A
e
compression
traction
Gea
CA
e
xA.N
dh
d'
x < d'
xA.Nd
d'
d' < x < d
x
A.N
d
d'
x > d
x
A.N
d
d'
x > h
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La section peut tre entirement tendue sous un effort de traction :
III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire :
1- Courbe de rfrence d'une section :
a- Section partiellement comprime : (Domaine 2 pivot B)
bc
d
xd b b. xdz zb N ..81,0).(.
==
).416,0.(..81,0).(.. xd b. xdz z zb M bcd
xd b ==
).416,0.(...81,0 = d d b. bc
Alors le moment rduit u sera : ).416,0(..81,0..
== d d b
M
bc
bu
L'effort normal rduit :
d b
N
bc
bu .81,0
..==
La relation entre u et u :
=
81,0416,0
1. uuu
( )uuu .514,01. =
b - Section tendue ou partiellement comprime : (Domaine 1 pivot A)
0 0,259
x = 0 z = d.
x = d z = 0,89. d.
xA.N
d
d'
x < 0
xA.N
dh
d'
b
As1
As2
bc =3,5 10 -3
st
dformation
st
contrainte
bc 3/7.x4/7.x
bc =2 10 -3
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c - Section entirement comprime : (Domaine 3 pivot 3)
2h
x
+= hd
hd
76
5,0
. =1
2
37
05,3
=
h x
x = h = 0,19
x = = 0
= hd
76
145
d - Le trac de la courbe de rfrence :
On constate de la plus part des cas que N b est une fonction croissante de x et M b est
une fonction croissante de x et de Nb lorsque la section est partiellement commprime et elle
est dcroissante lorsque la section est entirement comprime.
x = 0 point O Nb = 0 et M b = 0.
x = d point D Nb = bcd b ...81,0 et M b = bcd b ...473,0
x = h point E Nb = bchb ...81,0 et M b =
d h
d hb bc 416,01....81,0
x = point F Nb = bchb .. et M b = bchbh
d ...2
hd'
b
As1
As2
bc =3,5 10 -3
st
3/7.h
4/7.h
bc =2. 10 -3
4/7.h
. C
.
.
..
D
EF
O
Nb
M b
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2- Domaines de fonctionnement de la section :
a- Dtermination des domaines : sur la courbe de rfrence et partir des points "D"
et "E" et "F", on trace les droites D, E, F de pente'
1d d
. L'quation gnrale de ces droites
sera :
M u = M b + (N u - N b).(d d')
La courbe de rfrence et les 3 droites D , E , F ont dlimites 5 zones. Alors les droites D, E,
F auront pour quations :
Droite D : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')
Mu = bcd b ...473,0 + N u.(d d') - bcd b ...81,0 .(d d')
Mu = )d'.(dd'
0,81.0,337-... bc +
+ d N d b u
Nu.(d d') M u = bc...dd'
0,81.-0,337 d b
Droite E : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')
Mu = )d'.(hd'
0,81.0,337-.h.. bc +
+ d N b u
Nu.(d d') M u = bch...hd'
0,81.-0,337 b
Droite F : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')
Mu = )d'.(hd'
0,5-... bc +
+ d N hb u
Nu.(d d') M u = bch...h
d'-0,5 b
.
.
..
D
E
F
O
Nb
M b
(F)
(E)
(D)1
2
3
4
5
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b- Domaine de fonctionnement :
Zone (1) : Si on trouve dans cette zone, la section sera dite surabondante.
Le point de coordonn (m , n) sera situ dans la zone (1) si les conditions
suivantes sont vrifies :
Nu bchb ...81,0 et M A Nu . d .
bc..514,01
d b N u
Ou N u > bchb ...81,0 et M A b . h . bc .
hd
b
N u76
.h.145
bc
Zone (2) : Cette zone correspond une section partiellement comprime
avec armatures infrieures tendues.
La condition qui nous indique que nous somme dans la zone (2):
Nu.(d d') M A bc...dd'
0,81.-0,337 d b
Zone (3) : Correspond une section partiellement comprime avec
armatures infrieures comprimes.
bc...dd'
0,81.-0,337 d b
< N u.(d d') M A bch...hd'
0,81.-0,337 b
Zone (4) et Zone (5) : Correspond une section entirement comprime. .
Nu.(d d') M A > bch...hd'
0,81.-0,337 b
O
2
DA.N
A1
A.NA1
A2
3
E
D
3
E
D
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IV- Dtermination des armatures :
1- Section entirement tendue :
Une section sera dite entirement tendue, si l'effort appliqu est un effort de tarction et s'il est
appliqu entre les armatures :
Les sections d'armatures seront donnes par :
= '1.1 d d e N
A ast
u et )'.(
.2 d d
e N A
st
au=
2- Section partiellement comprime :
Une section sera partiellement comprime si elle vrifie les conditions de la zone (2) et (3) en
plus, une section sera partiellement comprime dans les trois cas suivant :
1er cas : si l'effort appliqu est un effort de traction et son point d'application est situ
l'extrieur de la section.
2me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ
l'extrieur de la section.
3me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ
entre les armatures et s'il est proche des armatures suprieures.
A1
A2
C
G.. eea
A1
A2
C
G.
.e
ea
A1
A2
C
G.
.
e
ea
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bc
Au d b
M
..= On compare u avec l :
Si : u l
A2 = 0 ;
= N
z
M A A
st 1
1
on utilise : ( + ) si l'effort est un effort de traction.( - ) si l'effort est un effort de compression.
Si : A 1 < 0 La section non ferraille rsiste aux efforts appliqus.
Si : A 1 = 0 La section ne ncessite pas de ferraillage.
Si : u > l Le rsistant s'crit : M R = l . b . d . bc
Avec : )0,4-(1..8,0 lll =
)'.(2 d d M M A
sc
R A
=
( )
+
= N
d
M
d d
M M A
l
R R A
st ).4,01('1
1
Si : A 1 < 0 A1 = fe
f d b A t 28min ...23,0=
( )
sc
bc
2
2
.)'.(2
d'd'..
++=
b
M N d d b N
A
Aubc
3- Section entirement comprime :
Une section sera entirement comprime si l'effort est un effort de compression et son point
d'application est entre les armatures et prs du centre de gravit. Il faut vrifier les conditions
des zones 4 et 5.
A1
A2
CG.. x
A1
A2
bc
st
st
bc AN
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La vrification est faite avec les ingalits suivantes :
Nu .(d d') M A (0,5.h d') . b . h . bc.Si N u .(d d') M A (0,5.h d') . b . h . bc :
On est dans la zone 4.
hd b
M N d d
hd Au
'76
h..).'('
5,0 bc
=
A1 = 0
sc
u b N A
bc2
h..).1( =
=
75,1'
73110.2 3-
hd
c
Si N u .(d d') M A > (0,5.h d') . b . h . bc :On est dans la zone 5.
-310.2=c )10.2( 3= f
sc
A
d d
hd b M
A
).'(
)2
.(h.. bc2
=
2bc
1
h.. A
b N A
sc
u =
-Application : Soit une section rectangulaire soumise
l'E.L.U un moment de flexion M u = 0,155 MN et un effort
de traction N u = 0,2 MN. Si f c28 = 25 MPa et FeE400.
- Calculez les sections d'armatures ?
A1
A2
CG..
xA1
A2
bc
2
AN
1 1
2
G.3
33
420
25
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- Solution :
- L'excentricit :2,0
155,0== N M
e = 77,5 cm >2
402
=h = 20 cm.
Nous avons une section partiellement comprime.
ea = e ( d -2h
) = 77,5 ( 36 -2
40) = 61,5 cm.
MA = N u . ea = 0,2 . 0,615 = 0,123 MN.m
0,81 . b . h . bc = 0,81 . 0,25 . 0,40 . 14,17 = 1,147 MN
N = 0,2 MN < 0,81 . b . h . bc = 1,147 MN
MA = 0,123 MN.m >
bcd b N
d N ..
.514,01.. = 0,0662 MN.m
N.(d d') M A = 0,2 . (0,36 0,03)- 0,123 = -0,057 MN.m
N.(d d') M A = -0,057 MN.m bc...dd'
0,81.-0,337 d b
= 0,124 MN.m
On est dans la zone (2) S.P.C avec armatures infrieures tendues.
bc
Au d b
M
..= =
14,17(0,36)..25,0123,0
= 0,268
u = 0,268 l = 0,392
A2 = 0 ;
+= N
z
M A A
st 1
1
= 0,399 ; z = 0,3 m.
+= 2,0
3,0123,0
3481
1 A = 17,53 cm Soit 6HA20 = 18,85 cm.
A1
A2
C
G.
.77,5
61,5
La section n'estpas surabondante
3T12
6T20 = 18,85 cm
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V- Etat limite de service :
1 Section entirement tendue : Une section sera entirement tendue, si l'effort est un
effort de traction et si le centre de pression est appliqu entre les armatures.
Sachant que A1 et A2 sont des sections de ferraillage choisies.
=
'1.
11 d d
e
A
N aser st
'..
22 d d A
e N aser st
=
2 Section entirement comprime : Une section sera entirement comprime, si
l'effort est un effort de compression et si le point C est l'intrieur du noyau central de la
section totale homogne.6h
e ;S I
e =1
I : Le moment d'inertie de la section totale.
S : Le moment statique de la section totale.
++
+= d hee And hee AneehbS AN 2
..'2
..).(. 11121
2
11
2
122
1
3
2..'
2..).(.
12.
++
++= d hee And hee Aneehbhb I AN
++
++
++
+++=
d h
e And h
e Anehb
d h
e And h
e Anehbhb
e
2..'
2....
2..'2....12.
12
2
1
2
22
3
1
Si eh
e +