Post on 04-Apr-2015
Cours 4 (suite)
2.2 PRODUIT SCALAIRE ET
CALCUL D’ANGLES
2
Définition: Soit un espace vectoriel pour lequel on
fixe une base ordonnée . Le produit scalaire de deux vecteurs est l’«opération» définie comme suit:
3
Remarque:
Étant donné que le produit scalaire est défini à partir des composantes de deux vecteurs, le résultat dépend
de la base utilisée.
Nous allons voir que le produit scalaire nous permet d’obtenir
des informations intéressantes si la base est orthonormée.
Malheureusement, si la base n’est pas orthonormée, le produit scalaire est presque sans intérêt.
4
Dans
4
5
Loi des cosinus
6
7
Angle entre deux vecteurs
8
Exemple:
9
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
Si alors
et donc,
Si
, mais
donc et
d’où
10
Dans le cas particulier du plan,si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur
donné,on a l’embarras du choix!
Aussi bien en prendre un de même longueur.
Mais si on prend
donc,
et
de même pour
On note lui
10
11
Propriétés du produit scalaire
1.
2.
12
3.
4.
13
Faites les exercices suivants
p.67, # 1, 3 à 5
14
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ La longueur d’un vecteur.
✓ La distance entre deux points.
✓ Le produit scalaire entre deux
vecteurs.
✓ Comment trouver l’angle entre deux
vecteurs.
15
Devoir: p.67, # 1 à 11
Cours 5
2.2 PRODUIT SCALAIRE ET
CALCUL D’ANGLES (SUITE)
17
Au dernier cours, nous avons vu
✓ La longueur d’un vecteur.
✓ La distance entre deux points.
✓ Le produit scalaire entre deux
vecteurs.
✓ La façon de trouver l’angle entre deux
vecteurs.
Aujourd’hui, nous allons voir
18
✓ Projection
orthogonale
19
Projections orthogonales
Très loinLa projection orthogonale de sur est
Ce vecteur est tel que
1.
2.
19
20
Hum... c’est presque le produit scalaire ça!
Vecteur unitaire
21
Exemple:
22
Si on est dans , on a vu qu’on pouvait trouver un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné.
Mais dans , c’est une tout autre histoire.
Il y en a trop!
Il faut donc être un peu plus précis.
22
23
Trouver un vecteur perpendiculaire à
et dans le plan défini par et .
D’où
est à et dans le même plan que et .
24
Faites les exercices suivants
p. 69, # 12 à 15
25
Devoir: p.69, # 12 à 26