Post on 03-Apr-2015
Correction des exercices
Chapitre P6 Condensateur et dipôle RC
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
1. Le générateur impose la circulation du courant : du + vers le - à l’extérieur du générateur.
L’armature du haut se charge positivement :
i(t)i(t)
uR(t)
uC(t)E +
–
R
01
q
D’après la loi d'additivité des tensions: uC(t) + uR(t) =
E (1) la loi d'Ohm donne: uR(t) = R.i(t)
d'autre part i(t) = et q = C.uC(t)
C étant constante, il vient i(t) = C
donc uR(t) = R.C
En reportant dans (1): uC(t) + R.C = E
L'équation différentielle est bien de la forme uc(t)
+ = E
Par identification, on peut déduire l'expression de la constante : = R.C
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
i(t)i(t)
uR(t)
uC(t)E
+
–
R
01
q
Équation différentielle vérifiée par uC(t) lors de la charge :
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dtCdu (t)
dt
dq(t)
dt
2. On a: i(t) = C.
d'où l'équation aux dimensions: [C] =
De même: uR(t) = R i(t) donne [R] =
Donc: [] = [R] [C] = = [T]
La constante est bien homogène à un temps.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
Cdu (t)
dt
.I T
U
U
I
U
I
.I T
U
3. En régime permanent, uc(t) est constante:
uc(t) = UC = Cte donc = 0
L'équation différentielle: uc(t) + . = E donne alors:
uC (t) + × 0 = E
Donc UC = E = 8,0 V.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt
4. Montrer que l'expression uC(t) = A.(1 - ) est solution de l'équation différentielle à condition que …
uC(t) = A.(1 – ) donc =
L’expression proposée pour uC (t) est donc solution de l’équation différentielle Ssi :
A.(1 – ) + . = EDonc Ssi A – A + A = EDonc Ssi A = E.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
t /e
t /e Cdu (t)
dt A t /e
t /e
A t /e
t /e t /e
5. On remplace t = 5 dans l’expression de uC (t) proposée par l’énoncé : uC (t) = E (1 - )
Pour t = 5 on a: uC(5) = E (1 – e–5) = 0,99E E
Donc pour une durée égale à 5 on peut considérer que la charge du condensateur est totale.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
t /e
On évite l’utilisation de la tangente à l’origine (peu précise !) On utilise l’expression donnée pour uC (t)
Pour t = , uC() = E.(1– e–1) = 0,63.E.
La droite uC() = 0,63 8,0 = 5,0 V coupe la courbe uC(t) en un point d'abscisse t = .
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
uC = 0,63E
On détermine l'échelle du
graphique 1 :1,4 s 13,9 cm s 2,2 cm
donc = 0,22s.
Autre méthode :
Pour t = ln 2 , uC(t) = E / 2
La durée minimale t durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur est t = 5.
Soit t = 5 0,22 = 1,1 s.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoI/ Armement du dispositif
1. A partir de cette équation différentielle …
uC (t) + = E
Donc =
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt Cu
τE
2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)
= (2)
uC (t = 0,05s) = ????
(1) uC (0,05s) = uC (0) + t
AN : uC (0,05s) = 0 + 36 × 0,05 = 1,8 V
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt )(tu
τE
C
0
t
C
dtud
2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)
= (2)
= ????
(2) =
AN : = = 28 V.s-1
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt )(tu
τE
C
st
C
dtud
05,0
st
C
dtud
05,0
)05,0( stu
τE
C
st
C
dtud
05,0
22,08,1
22,00,8
2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)
= (2)
uC (t = 0,10s) = ????
(1) uC (0,10s) = uC (0,05s) + t
AN : uC (0,10s) = 1,8 + 28 × 0,05 = 3,2 V
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt )(tu
τE
C
st
C
dtud
05,0
2. uC (t+t) = uC (t) + t (1)
= (2)
= ????
(2) =
AN : = = 22 V.s-1
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
Cdu (t)
dt
Cdu (t)
dt )(tu
τE
C
st
C
dtud
10,0
st
C
dtud
10,0
)10,0( stu
τE
C
st
C
dtud
10,0
22,02,3
22,00,8
3. On peut améliorer la précision en diminuant le pas de calcul t
L’inconvénient est que les calculs seront plus nombreux pour couvrir la même durée d’étude
Amérique du Nord 2006 Le piège photoII / Méthode d’Euler
L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus importante possible.
Or l'énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C chargé par la tension E est : Estockée = ½.C.E²
Pour que cette énergie soit la plus grande possible, il faut : - augmenter la valeur de la force électromotrice E du
générateur idéal de tension, - et/ ou augmenter la valeur de la capacité C du
condensateur.La valeur de la résistance R n'a aucun effet sur l'énergie
stockée par le condensateur.
Amérique du Nord 2006 Le piège photoIII / Déclenchement du piège
1. u1 : tension aux bornes du
générateur
u1 est constante
u2 : tension aux bornes du condensateur
La durée de la charge est d’autant plus grande que la constante de temps = RC du circuit est élevée. Comme C est constant, la charge est d’autant plus lente que R est élevée
Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur
R
i
u1 u2 E C
Figure 1
R () 400 800 1200
1600
Courbe représentant u1
Courbe représentant u2
Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur
2. La tangente à la courbe u2 = uC = f(t), à la date t = 0 s, coupe l’asymptote horizontale u1 = E, à la date t = .
Graphiquement, on lit = 0,28 s.
Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur
3. = RC
Analyse dimensionnelle : voir exo précédent
est proportionnelle à R , le coefficient de proportionnalité est C
Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur
4. On modélise la courbe
= f(R) par une droite
passant par l’origine.Le coefficient directeur de
cette droite est égal à C.
Soit le point K :
(RK =1000 ; K = 0,18 s)
C =
C = = = 1,810–4 F
échelle :
1 carreau 0,02 s
1 carreau 100
R ()
(s)
K
K
KR
,0 18
1000
2
3
18 10
10
Asie 2009 Détermination de la capacité d’un condensateur
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque1. Charge du condensateur
a) La durée de la charge est environ égale à 5.
Dans le circuit de charge = r C
C est faible puisque C = 470 nF soit 4,7010–7 F et la valeur de la résistance r est très faible,
donc est proche de 0 s.Le condensateur se charge
presque instantanément.
vers le circuit de déclenchement
SCHÉMA 1
pile spéciale
r
EC
BA
i 1
K
2
u C
u R
R
b)
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque1. Charge du condensateur
vers YA
vers le circuit de déclenchement
pile spéciale
r
E
C
BA
i 1
K
2
u C
u R
R
c)
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque1. Charge du condensateur
Charge du condensateur : uC augmente (très rapidement)Attention : ce phénomène n’est pas instantané !!
d) i =
Lorsque le condensateur est complètement chargé, uC est constante
donc = 0 et i = 0 A
il n'y a plus de courant qui circule.
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque1. Charge du condensateur
rE
C
BA
i 1
K
2
u C
u R
R
q
dtud
CdtuCd
dtqd
CC
dtud
C
a) signe de l'intensité i du courant lors de la décharge : les électrons accumulés sur l’armature B la quittent pour aller vers A, le courant circule donc dans le sens contraire du sens positif : i < 0
D'après la loi d'Ohm: uR = – R.i
(signe – car flèche i et flèche uR dans le même sens)
q = C.uC
i =uC = uR
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque2. Décharge du condensateur
rE
C
BA
i2
u C
u R
R
q
i
dtud
CdtuCd
dtqd
CC
b) uC = uR = – R.i
Donc uC + R.i = 0
D’où uC + R C = 0
En divisant par RC :
+ uC = 0
En posant = R.C, on obtient finalement
+ uC = 0
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque2. Décharge du condensateur
dtud
C
RC1
dtud
C
dtud
C
1
d)
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque2. Décharge du condensateur
= = 0,8 s
est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à l’origine et l’axe des abscisses
C
910.4708,0
R = = = 1,7 M
a) On lit :
ulimite = 2,1 V
Par le calcul :
ulimite = E / e
ulimite = 5,7 / e
= 2,1 V
Les deux valeurs sont cohérentes
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque3. Décharge et battements du coeur
ulimite
b ) à t1 : uC(t1 ) = ulimite
Donc E = = E e – 1
Donc = - 1
D’où t1 =
c) t = t1 = 0,8 s
d) Nombre de battements du cœur par minute:
Toutes les = 0,8 s 1 battement
toutes les 60 s N battements
N = = 75 battements par minute
Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque3. Décharge et battements du coeur
1t
e
eE
1t
8,060
Nvelle Calédonie 2008 Orage1. Modélisation de l’éclair nuage-sol1. D ’après la loi d’additivité des tensions :
uC(t) + ur(t) = 0 (1)
D’après la loi d’Ohm : ur(t) = r i(t)
D’autre part i(t) =
avec q(t) = C uC(t) donc i(t) = C
Donc : ur(t) = r i(t) = r C
On reporte dans (1) en posant = r C :
uC(t) + = 0
Finalement :
K
uCur
– q
i
C r+ q
Schéma électrique équivalent
dtqd
dtud
C
dtud
C
dtud
C
CC
du (t) 1.u (t) 0
dt
3) L’expression uC(t) = U. est solution de (1) si elle vérifie l’équation (1) :
Or : = = – U
Calculons + uC(t) :
+ uC (t) = - U + U
= 0 à tout instantLa solution proposée est bien solution de l’éq différentielle
Nvelle Calédonie 2008 Orage1. Modélisation de l’éclair nuage-sol
t /e
dtud
C
dteUd
t
1
1 t /e
dtud
C
1
dtud
C
1
1 t /e t /e
1
Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité
1. i(t) = C = – C U
= – C U = –
Cette expression est bien de la forme i(t) = – I
à condition que : I = constante positive
dtud
C
1 t /e
Cr1 t /e
rU t /e
t /e
rU
Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité
2. On a :
i(0) = – I e0 = – I
i() = – I e- = 0
La seule courbe qui vérifie les deux conditions précédentes sur l’intensité est la courbe A.
3.
Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité
Méthode pour déterminer :
- on calcule i() = – I.e–1 = – 0,37.I
= – 0,3730 = –11 kA
- on trace la droite horizontale qui coupe i(t) en un point d’abscisse égale à .
I = – 30 kA
i()=–0,37.I
= 30 µs
3.
Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité
La durée approximative de la décharge est :
t = 5.
t = 5 30 = 150 µs. (réponse b).
4. Eél = ½.C.uC² : lorsque « le condensateur » est chargé : uC(t) = U
donc Eél = ½.C.U2 alors C =
avec U = 100106 V (texte encadré « 100 millions de volts ») U = 1,00108 V et Eél = 5,0107 J
C =
C = 1,0 10 –8 F = 1010 –9 = 10 nF.
Nvelle Calédonie 2008 Orage2. Foudre et sécurité
él2
2.E
U
7 8
2 28 8
2 5,0 10 1,0 10
1,00 10 1,00 10