Post on 17-Jun-2022
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion
Comparaison de schémas implicites et explicites,centrés et décentrés en maillage mobile pour la
simulation d’écoulements compressés
Marc Buffat1 Anne Cadiou 2
Lionel Le Penven 2 Catherine Le Ribault2
1UCB Lyon I, LMFA UMR 5509
2CNRS, LMFA UMR 5509
CFT’04 Monastir (Tunisie) Avril 2004
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion
Plan de l’exposé
1 Introduction
2 Méthodes Numériques
3 Décroissance d’un tourbillon
4 Compression d’un tourbillon
5 Conclusion
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion
Introduction
Ecoulements de tumble compressés (chambre de combustion)
Difficultés des simulations numériques
Ecoulement compressible à bas Mach
Maillages mobiles
Condition de stabilité basée sur c (célérité) et non u (vitesse)
CFL =(u + c)∆t
∆x≈ c ∆t
∆x
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion
Introduction
Ecoulements de tumble compressés (chambre de combustion)
Difficultés des simulations numériques
Ecoulement compressible à bas Mach
Maillages mobiles
Condition de stabilité basée sur c (célérité) et non u (vitesse)
CFL =(u + c)∆t
∆x≈ c ∆t
∆x
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Schémas Numériques
Equations de conservation pour W =[ρ,ρ−→U ,E = p
γ−1 + 12 ρU2
]∂W
∂t+div (A(W )W )︸ ︷︷ ︸
flux d’Euler
= div (R (W ))︸ ︷︷ ︸flux visqueux
+ S(W )︸ ︷︷ ︸source
Difficultés numériques: flux d’Euler F (W ) = A(W )W
schéma explicite avec cdt de stabilité CFL < 1
Schéma explicite centré d’ordre 2 instable
Schéma explicite décentré (suivant les valeurs propres a de A)
Schéma explicite d’ordre élevé (i.e. >2)
schéma implicite CFL >> 1
Schéma implicite centré non linéaire
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Schémas Numériques
Equations de conservation pour W =[ρ,ρ−→U ,E = p
γ−1 + 12 ρU2
]∂W
∂t+div (A(W )W )︸ ︷︷ ︸
flux d’Euler
= div (R (W ))︸ ︷︷ ︸flux visqueux
+ S(W )︸ ︷︷ ︸source
Difficultés numériques: flux d’Euler F (W ) = A(W )W
schéma explicite avec cdt de stabilité CFL < 1
Schéma explicite centré d’ordre 2 instable
Schéma explicite décentré (suivant les valeurs propres a de A)
Schéma explicite d’ordre élevé (i.e. >2)
schéma implicite CFL >> 1
Schéma implicite centré non linéaire
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Schémas Numériques
Equations de conservation pour W =[ρ,ρ−→U ,E = p
γ−1 + 12 ρU2
]∂W
∂t+div (A(W )W )︸ ︷︷ ︸
flux d’Euler
= div (R (W ))︸ ︷︷ ︸flux visqueux
+ S(W )︸ ︷︷ ︸source
Difficultés numériques: flux d’Euler F (W ) = A(W )W
schéma explicite avec cdt de stabilité CFL < 1
Schéma explicite centré d’ordre 2 instable
Schéma explicite décentré (suivant les valeurs propres a de A)
Schéma explicite d’ordre élevé (i.e. >2)
schéma implicite CFL >> 1
Schéma implicite centré non linéaire
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Schémas Numériques
Equations de conservation pour W =[ρ,ρ−→U ,E = p
γ−1 + 12 ρU2
]∂W
∂t+div (A(W )W )︸ ︷︷ ︸
flux d’Euler
= div (R (W ))︸ ︷︷ ︸flux visqueux
+ S(W )︸ ︷︷ ︸source
Difficultés numériques: flux d’Euler F (W ) = A(W )W
schéma explicite avec cdt de stabilité CFL < 1
Schéma explicite centré d’ordre 2 instable
Schéma explicite décentré (suivant les valeurs propres a de A)
Schéma explicite d’ordre élevé (i.e. >2)
schéma implicite CFL >> 1
Schéma implicite centré non linéaire
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Maillage déformable
Vp = L(t)r = L(0)
L(t) = 5
changement de variable
χ = xL(t)
transformation domaine (EF)∫ek
f .ψidω =∫
e f .Nidet(J)dω
formulation conservative (VF)ddt
∫Vk
ρf dω =−
∫Γk
ρf−→U .−→n dΓ+
∫Vk
Sdω
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Maillage déformable
Vp = L(t)r = L(0)
L(t) = 5
changement de variable
χ = xL(t)
transformation domaine (EF)∫ek
f .ψidω =∫
e f .Nidet(J)dω
formulation conservative (VF)ddt
∫Vk
ρf dω =−
∫Γk
ρf−→U .−→n dΓ+
∫Vk
Sdω
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Maillage déformable
Vp = L(t)r = L(0)
L(t) = 5
changement de variable
χ = xL(t)
transformation domaine (EF)∫ek
f .ψidω =∫
e f .Nidet(J)dω
formulation conservative (VF)ddt
∫Vk
ρf dω =−
∫Γk
ρf−→U .−→n dΓ+
∫Vk
Sdω
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Maillage déformable
Vp = L(t)r = L(0)
L(t) = 5
changement de variable
χ = xL(t)
transformation domaine (EF)∫ek
f .ψidω =∫
e f .Nidet(J)dω
formulation conservative (VF)ddt
∫Vk
ρf dω =−
∫Γk
ρf−→U .−→n dΓ+
∫Vk
Sdω
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaLES”
Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)
FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)
J
finite element mesh
I
G1
G2
IJ
control volume
Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)
Contrôle de la dissipationet de la dispersion
precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4
décomposition de domaine(calcul //e)
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaDF”
Code D.F. d’ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuré
PADE: Lele 1992
reconstruction des dérivées ordre 4
αF ′i−1 +F ′
i +αF ′i+1 = a
Fi+1−Fi−1
2∆x
avec α = 14 , a = 4
3système tri-diagonal (Thomas)
WENO: Jiang & Shu 1996
reconstruction des fluxs ordre 5
Fi+ 12=
2
∑r=0
ωr F+,ri+ 1
2+
2
∑r=0
ω2−r F−,ri+ 1
2
i−2i+1/2
i+1 i+2ii−1
r=2
r=1
r=0
F+,r
i−1/2
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaDF”
Code D.F. d’ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuré
PADE: Lele 1992
reconstruction des dérivées ordre 4
αF ′i−1 +F ′
i +αF ′i+1 = a
Fi+1−Fi−1
2∆x
avec α = 14 , a = 4
3système tri-diagonal (Thomas)
WENO: Jiang & Shu 1996
reconstruction des fluxs ordre 5
Fi+ 12=
2
∑r=0
ωr F+,ri+ 1
2+
2
∑r=0
ω2−r F−,ri+ 1
2
i−2i+1/2
i+1 i+2ii−1
r=2
r=1
r=0
F+,r
i−1/2
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Code “NadiaDF”
Code D.F. d’ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuré
PADE: Lele 1992
reconstruction des dérivées ordre 4
αF ′i−1 +F ′
i +αF ′i+1 = a
Fi+1−Fi−1
2∆x
avec α = 14 , a = 4
3système tri-diagonal (Thomas)
WENO: Jiang & Shu 1996
reconstruction des fluxs ordre 5
Fi+ 12=
2
∑r=0
ωr F+,ri+ 1
2+
2
∑r=0
ω2−r F−,ri+ 1
2
i−2i+1/2
i+1 i+2ii−1
r=2
r=1
r=0
F+,r
i−1/2
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
NadiaVF
Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré
Schéma V.F. implicite BDF
3W n+1−4W n +W n−1
2∆t= F(W n+1)
Newton G(W n+1) = 0(∂G
∂W
)k
(W n+1
k+1 −W n+1k
)= G(W n+1
k )
Schéma centré d’ordre 2
∂W
∂xi=
1
Vk
∫Γk
W ni dΓ
LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)
PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille
METIS (Karypis 1996)partitionnement
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Préconditionnement bas Mach
dépendance des variables d’état en fonction du Mach
ρ = θ(1) et u = θ(1) mais E = θ(Ma−2) et p = θ(Ma−2)
NadiaLES
Roe-Turkel (Viozat 1999)
préconditionnementde ∆p en (β2)
variablesentropiques[p,−→u ,S ]:
β ≈Ma
NadiaVF
décomposition de Et et p
Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)
p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)
équation pour E ′
E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)
P0(t) =(
V (0)V (t)
)γ ∫V (0) p(x , t)dx
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Préconditionnement bas Mach
dépendance des variables d’état en fonction du Mach
ρ = θ(1) et u = θ(1) mais E = θ(Ma−2) et p = θ(Ma−2)
NadiaLES
Roe-Turkel (Viozat 1999)
préconditionnementde ∆p en (β2)
variablesentropiques[p,−→u ,S ]:
β ≈Ma
NadiaVF
décomposition de Et et p
Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)
p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)
équation pour E ′
E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)
P0(t) =(
V (0)V (t)
)γ ∫V (0) p(x , t)dx
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF
Préconditionnement bas Mach
dépendance des variables d’état en fonction du Mach
ρ = θ(1) et u = θ(1) mais E = θ(Ma−2) et p = θ(Ma−2)
NadiaLES
Roe-Turkel (Viozat 1999)
préconditionnementde ∆p en (β2)
variablesentropiques[p,−→u ,S ]:
β ≈Ma
NadiaVF
décomposition de Et et p
Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)
p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)
équation pour E ′
E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)
P0(t) =(
V (0)V (t)
)γ ∫V (0) p(x , t)dx
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Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Décroissance d’un tourbillon
solution analytique
tourbillon de Taylor Re = Umax Lν = 1000
solution Ma = 0 (non entropique)
L = 1, Umax = 1, ρ0 = 1, p0 = ρ0
γMa2
Questions sur les schémas numériques ?
Fluctuation de densité ?
spatiale:∆ρ = ρ0
γp0∆p = Ma2∆p (si isentropique)
temporelle: ondes acoustiques de célérité ≈ c0 =√
γp0ρ0
= Ma−1
Convergence vers la solution Ma = 0 ?
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Décroissance d’un tourbillon
solution analytique
tourbillon de Taylor Re = Umax Lν = 1000
solution Ma = 0 (non entropique)
L = 1, Umax = 1, ρ0 = 1, p0 = ρ0
γMa2
Questions sur les schémas numériques ?
Fluctuation de densité ?
spatiale:∆ρ = ρ0
γp0∆p = Ma2∆p (si isentropique)
temporelle: ondes acoustiques de célérité ≈ c0 =√
γp0ρ0
= Ma−1
Convergence vers la solution Ma = 0 ?
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Fluctuation de densité
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 10−3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
FIG.: fluctuations ρ−1 à Ma = 0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)
allure identique à Ma = 0.01 avec une amplitude plus faible
NadiaVF NadiaDF WENO NadiaDF Padé NadiaLES
Ma = 0.1 0.3710−2 0.3410−2 0.3410−2 0.4410−2
Ma = 0.01 0.8410−4 0.3410−4 0.3410−4 0.3810−3
TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin en 802
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Fluctuation de densité
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 10−3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
FIG.: fluctuations ρ−1 à Ma = 0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)
allure identique à Ma = 0.01 avec une amplitude plus faible
NadiaVF NadiaDF WENO NadiaDF Padé NadiaLES
Ma = 0.1 0.3710−2 0.3410−2 0.3410−2 0.4410−2
Ma = 0.01 0.8410−4 0.3410−4 0.3410−4 0.3810−3
TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin en 802
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Viscosité numérique νh des schémas fonction de h et Ma
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaVF % de viscosite numerique
Ma=0.1Ma=0.01
‖ρU‖t=tf
‖ρU‖t=0
= e−2νeπ2tf
νe = ν+νh
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaDF % de viscosite numerique
WENO Ma=0.1PADE Ma=0.1
WENO Ma=0.01PADE Ma=0.01
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaLES % de viscosite numerique
Ma=0.1Ma=0.01
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Viscosité numérique νh des schémas fonction de h et Ma
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaVF % de viscosite numerique
Ma=0.1Ma=0.01
‖ρU‖t=tf
‖ρU‖t=0
= e−2νeπ2tf
νe = ν+νh
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaDF % de viscosite numerique
WENO Ma=0.1PADE Ma=0.1
WENO Ma=0.01PADE Ma=0.01
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.01 0.1 1
% n
uh
h
NadiaLES % de viscosite numerique
Ma=0.1Ma=0.01
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près de la paroi) pour CFL = 0.5 et 10.0
0.89
0.895
0.9
0.905
0.91
0.915
0.92
0.925
0.93
0.935
0 0.5 1 1.5 2
U
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0 0.5 1 1.5 2
V
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
0.245
0.25
0.255
0.26
0.265
0.27
0.275
0 0.5 1 1.5 2
Et
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=0.5
FIG.: fluctuations en un point (0.5,0.12) pour ρU, ,ρV et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
célérité c0 = Ma−1 ondes acoustiques générées par la C.I.onde dissipée par viscosité
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près de la paroi) pour CFL = 0.5 et 10.0
0.89
0.895
0.9
0.905
0.91
0.915
0.92
0.925
0.93
0.935
0 0.5 1 1.5 2
U
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0 0.5 1 1.5 2
V
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
0.245
0.25
0.255
0.26
0.265
0.27
0.275
0 0.5 1 1.5 2
Et
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=0.5
FIG.: fluctuations en un point (0.5,0.12) pour ρU, ,ρV et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
célérité c0 = Ma−1 ondes acoustiques générées par la C.I.onde dissipée par viscosité
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près de la paroi) pour CFL = 0.5 et 10.0
0.89
0.895
0.9
0.905
0.91
0.915
0.92
0.925
0.93
0.935
0 0.5 1 1.5 2
U
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0 0.5 1 1.5 2
V
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=10
0.245
0.25
0.255
0.26
0.265
0.27
0.275
0 0.5 1 1.5 2
Et
t
Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12
CFL=0.5CFL=0.5
FIG.: fluctuations en un point (0.5,0.12) pour ρU, ,ρV et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
célérité c0 = Ma−1 ondes acoustiques générées par la C.I.onde dissipée par viscosité
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Compression d’un tourbillon
Model du tumble dans unechambre de combustion
Parametres
Re = Umax L(0)ν = 1000 (stable)
L(t) = 1− Vp
ω + Vp
ω sinωtVp = 0,144 , ω = 0,36
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
Nor
me
L2
solution Ma=0
ρ Uρ V
solution analytique
tourbillon compressé
solution Ma = 0
ρ(t) = ρ0L(0)L(t) , p0 = ρ0
γMa2
accélération suivant v
dissipation visqueuseBuffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Compression d’un tourbillon
Model du tumble dans unechambre de combustion
Parametres
Re = Umax L(0)ν = 1000 (stable)
L(t) = 1− Vp
ω + Vp
ω sinωtVp = 0,144 , ω = 0,36
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
Nor
me
L2
solution Ma=0
ρ Uρ V
solution analytique
tourbillon compressé
solution Ma = 0
ρ(t) = ρ0L(0)L(t) , p0 = ρ0
γMa2
accélération suivant v
dissipation visqueuseBuffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Solution numérique
Evolution de la vitesse au cours du temps pour Ma = 0.1 etMa = 0.01
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
norm
e L2
t / 8.7267-t
Ma=0.1Ma=0.01
Champ de vitesse
tous les schémas prédisent un champ de vitesse ≈ solution Ma = 0
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Solution numérique
Evolution de la vitesse au cours du temps pour Ma = 0.1 etMa = 0.01
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
norm
e L2
t / 8.7267-t
Ma=0.1Ma=0.01
Champ de vitesse
tous les schémas prédisent un champ de vitesse ≈ solution Ma = 0
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Fluctuation de densité
0 0.1 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−10
−5
0
5
x 10−3
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
x 10−3
0 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
FIG.: fluctuations ρ−5 à Ma = 0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)
NadiaVF NadiaWENO NadiaPADE NadiaLES
Ma = 0.1 0.4010−1 0.5610−1 0.6610−1 0.1110−1
Ma = 0.01 0.4110−3 0.4410−1 0.2910−1 0.9710−2
TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin (fin comp.) en 402
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près du piston) pour CFL = 0.5 et 10.0
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
U
t
U en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=0.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
Et
t
Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=10
FIG.: fluctuations en un point (0.88,0.5) pour ρU et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
ondes acoustique (c0 ≈Ma−1) amplifiées par la compression pble avec les schémas d’ordre élevé (instabilité)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près du piston) pour CFL = 0.5 et 10.0
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
U
t
U en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=0.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
Et
t
Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=10
FIG.: fluctuations en un point (0.88,0.5) pour ρU et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
ondes acoustique (c0 ≈Ma−1) amplifiées par la compression pble avec les schémas d’ordre élevé (instabilité)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Propagation d’ondes
avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1
Analyse en un point (près du piston) pour CFL = 0.5 et 10.0
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
U
t
U en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=0.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
Et
t
Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1
CFL=0.5CFL=10
FIG.: fluctuations en un point (0.88,0.5) pour ρU et Et à Ma = 0.1
Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1
ondes acoustique (c0 ≈Ma−1) amplifiées par la compression pble avec les schémas d’ordre élevé (instabilité)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Coût des différents schémas
NadiaVF NadiaPADE NadiaWENO NadiaLES
Ma = 0.1 837 14900 52200 17216Ma = 0.01 7686 298700 156000
TAB.: Nbre d’itérations en temps cas 402
Temps CPU par itération
NadiaVF (Pentium IV 2.7 Ghz):≈ 0.3s (Ma = 0.01)et ≈ 0.7s (Ma = 0.1)
NadiaDF (Pentium IV 1.7 Ghz) PADE: ≈ 0.04s et WENO:≈ 0.07s
NadiaLES (Pentium IV 1.7 Ghz) maillage 3D (3∗402):≈ 0.6s
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu
Coût des différents schémas
NadiaVF NadiaPADE NadiaWENO NadiaLES
Ma = 0.1 837 14900 52200 17216Ma = 0.01 7686 298700 156000
TAB.: Nbre d’itérations en temps cas 402
Temps CPU par itération
NadiaVF (Pentium IV 2.7 Ghz):≈ 0.3s (Ma = 0.01)et ≈ 0.7s (Ma = 0.1)
NadiaDF (Pentium IV 1.7 Ghz) PADE: ≈ 0.04s et WENO:≈ 0.07s
NadiaLES (Pentium IV 1.7 Ghz) maillage 3D (3∗402):≈ 0.6s
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion 3D
Conclusion
comparaison des schémas à bas Mach:
schéma explicite de Roe “NadiaLES” le plus diffusif, mais assezrobuste
schémas d’ordre élevée “NadiaDF” les moins diffusifsmais captent des ondes (instabilité ?),très sensibles aux C.L.
schéma implicite “NadiaVF” centré le plus efficace à bas Machsi CFL > 1 filtrage des ondes acoustiques générées par les C.I.
Poursuite des études
analyse des côuts en 3D pour de la LEScomparaison avec des solutions compressibles (analyseasymptotique)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion 3D
Conclusion
comparaison des schémas à bas Mach:
schéma explicite de Roe “NadiaLES” le plus diffusif, mais assezrobuste
schémas d’ordre élevée “NadiaDF” les moins diffusifsmais captent des ondes (instabilité ?),très sensibles aux C.L.
schéma implicite “NadiaVF” centré le plus efficace à bas Machsi CFL > 1 filtrage des ondes acoustiques générées par les C.I.
Poursuite des études
analyse des côuts en 3D pour de la LEScomparaison avec des solutions compressibles (analyseasymptotique)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé
Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion 3D
Compression en 3D
Calcul spectral Ma = 0 (Le Penven 2002)
FIG.: compression d’un tourbillon perturbé en 3D à Re = 6000 (t = 0,3,5,8)
Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé