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Codes LDPC non-binaires pour le codage desource
Anne SAVARDEncadrant : Claudio WEIDMANN
ETIS / ENSEA - Université de Cergy-Pontoise - CNRS UMR 8051F-95000 Cergy-Pontoise Cedex, France
Plan
1 Contexte : Information adjecente compressée
2 Définitions
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABP
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectives
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 2 / 38
Contexte
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 Définitions
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABP
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectives
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Contexte
Information adjacente compressée : région de rendementsatteignables
Ahlswede et Körner :{
RX ≥ H (X |U)
RY ≥ I (Y ;U)avec X − Y − U une chaine de Markov 1
1. R. Ahlswede and J. Körner, "Source coding with side information and a converse for degraded broadcast chan-nels", IEEE Transactions on Information Theory, vol. : 21, pp. 629–637, 1975
EX D
EY
X
Y
X
Rx
Ry
H(X)
H(X) H(Y )
H(X |Y )
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Contexte
Compression de sources binaires
Critère : distance de Hamming 1
Pour les codes linéaires : problème NP-complet
Difficulté des méthodes itératives : converger pour toutes les séquences source
Compression avec des codes NB-LDPC 2
1. G. WeiHsin, R. Koetter, M. Effros and T. Ho, "On source coding with coded side information for a binary source withbinary side informations", ISIT 2007, Nice, France, June 24 - June 29, pp. 1456-1460, 2007
2. A. Braunstein, F. Kayhan and R. Zecchina, "Efficient LDPC codes over GF(q) for lossy data compression", ISIT 2009,Seoul, Korea, June 28 - July 3, pp. 1978-1982, 2009
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Objectifs
Objectifs
Étude de différentes perturbations de l’algorithme de propagation de croyance(BP)
Amélioration de ces algorithmes
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Définitions
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 DéfinitionsB Codes LDPCB US-LDPC codes and b-reductionB Belief propagation decoderB Compression
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABP
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectives
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Définitions Codes LDPC
Encodeur
C : u ∈ Fkq 7−→ x ∈ Fn
q avec{
u vecteur de symbole d’information de taille kx mot de code de taille n
Mot de codec mot de code ssi H · ct = 0
Codes binaires et non-binairesCodes binaires : composantes de H dans F2
Codes non-binaires : composantes de H dans Fq , q = 2r
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Définitions US-LDPC codes and b-reduction
Graphe de TannerNoeuds de variable : symboles d’unmot de code
Noeuds de parité : équations deparité du code
Connexions : symboles intervenantdans les équations de parité
US-LDPC codesDegré des noeuds de variable : 2
b-réductionSuppression aléatoire de b noeuds deparité
GirthLongeur du plus petit cycle
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Définitions Belief propagation decoder
Décodeur Belief Propagation (BP)Passage de messages le long du graphe de Tanner
Messages échangés : probabilités
Ordre de la mise à jour des messages : ordonnancement (scheduling)
Calcul des a posteriori probabilities (APP) pour la prise de décision
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Définitions Compression
PrincipePour une séquence d’entrée, converger vers un mot de code
Compression : transmettre uniquement les k symboles d’information
Pouvoir reconstruire le mot de code
Identification des k symboles d’informationAvec b-réduction : Leaf-removal algorithm
Sans b-réduction : encodage classique
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Algorithme RBP
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 Définitions
3 Algorithme RBPB PrincipeB Mise à jour des messagesB SimulationsB RésultatsB Conclusion
4 Algorithme ABP
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectives
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Algorithme RBP Principe
Reinforced Belief Propagation, proposé par Braunstein et al. 1
1. A. Braunstein, F. Kayhan and R. Zecchina, "Efficient LDPC codes over GF(q) for lossy data compression", ISIT 2009,Seoul, Korea, June 28 - July 3, pp. 1978-1982, 2009
Notations :y mot source à compresser
Initialisation : ∀a ∈ [0, q − 1] , µ(1)vj(a) ∝ exp(−LdH(yj , a)) avec{
L paramètre à fixerdH distance de Hamming
ReinforcementModifie l’information reçue pour converger vers des séquence plus probables aposteriori
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Algorithme RBP Mise à jour des messages
Messages
µv→c =
P(v = 0|{µci→v}i=1,...,d )P(v = 1|{µci→v}i=1,...,d )
...P(v = q − 1|{µci→v}i=1,...,d)
v h c
h1
hd
c1
cd
µv→c
µc1→v
µcd→v
b
b
b
Équations
µ(l+1)v→c (a) = (g(l)
v (a))1−γ0γl1µ1
v (a)d∏
ci 6=c
µ(l)ci→v (a)
APP : g(l)v (a) = µ
(1)v (a)
d+1∏i=1
µ(l−1)ci→v (a)
γ0 , γ1 ∈ [0, 1]
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Algorithme RBP Mise à jour des messages
Messagesµc→v =
P(c = 0 if v = 0|{µvi→c}i=1,...,d)P(c = 0 if v = 1|{µvi→c}i=1,...,d)
...P(c = 0 if v = q − 1|{µvi→c}i=1,...,d )
c h v
h1
hd
v1
vd
µc→v
µv1→c
µvd→c
b
b
b
Équations
µc→v = F−1
(d∏
vi 6=v
F (µvi→c)
)F , F−1 : transformée de Fourier et inverse sur Fq
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Algorithme RBP Mise à jour des messages
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Rate
Dis
tors
ion
Rate−distorsion
rate−distorsion boundGF(2)GF(16)GF(64)
FIGURE: n=1000, 50 samples, L=2, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b=2
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Algorithme RBP Simulations
Cadre choisiCode linéaire : mot de code nul transmis
Augmenter la probabilité d’erreur
”Bonne” réponse du décodeur : mot de code nul
Convergence de l’algorithme RBPVers un mot de code :
Vers le mot de code nul ou vers un mot de code plus proche de yque le mot de code nul : SuccèsVers un autre mot : Autre
Stabilisation des messages µ(t+1)c→v = µ
(t)c→v sur une séquence qui n’est pas un
mot de code : Pseudo-convergence
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Algorithme RBP Résultats
Influence de γ0
0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.960.186
0.187
0.188
0.189
0.19
0.191
0.192
γ0
Dis
tors
ion
0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.960
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
γ0
Num
ber
of fa
ilure
in th
e co
nver
genc
eFIGURE: n=1600, rate=0.33, b=5, q=16, 50 samples
γopt0 = 0.9
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Algorithme RBP Résultats
Influence de L et b
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Error probability
Num
ber
of s
ucce
sses
Influence of L on the convergence
L=0.7, b=0L=1.1, b=0L=1.7, b=0L=0.7, b=3L=1.1, b=3L=1.7, b=3
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
10
20
30
40
50
60
70
Error probability
Num
ber
of fa
ilure
Influence of L on the convergence
L=0.7, b=0L=1.1, b=0L=1.7, b=0L=0.7, b=3L=1.1, b=3L=1.7, b=3
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Error probability
Num
ber
of c
onve
rgen
ce to
ano
ther
cod
ewor
d th
an z
ero
Influence of L on the convergence
L=0.7, b=0L=1.1, b=0L=1.7, b=0L=0.7, b=3L=1.1, b=3L=1.7, b=3
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Error probability
Num
ber
of p
seud
o−co
nver
genc
e
Influence of L on the convergence
L=0.7, b=0L=1.1, b=0L=1.7, b=0L=0.7, b=3L=1.1, b=3L=1.7, b=3
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Algorithme RBP Conclusion
ConclusionsRôle des différents paramètres de l’algorithme RBP
Influence de L :{L < 1 : Pseudo-convergenceL > 1 : Convergence possible vers des mots de code
Influence de b :b > 0 : Convergence possible vers des autres mots de code(augmenter b revient à augmenter le nombre de mots de code)Influence de γ0 :Existence d’un γ0 optimal (minimum d’échec dans la convergence)
Nécessité du scheduling
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Algorithme ABP
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 Définitions
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABPB Agorithme ABP binaireB Algorithme ABP non-binaireB RésultatsB Conclusion
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectives
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Algorithme ABP
ABPAugmented Belief Propagation, proposé par Varnica et al. 1
Proposé dans le cas binaire
Étendu au cas non binaire
1. N. Varnica,M. P.C. Fossorier and A. Kavcic, "Augmented belief propagation decoding of low-density parity checkcodes", IEEE Transactions on Communications, vol. 55,pp. 1308-1317, 2007
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
C(L)S
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
V (L)S
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
G(L)S
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
1 1 1 1 1 1 2
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
Smaxv
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
Principe généralPerturbation de l’algorithme BP encas d’échec
Sélection d’un noeud
Saturation de son LLR :LLR(x) = log
(p(xi=1|yi )p(xi=0|yi )
)à ±∞
Nouvelle tentative de l’algorithme BP
j=1 j=2 j=3
M(0)
M(1)
M(1)
M(2)
M(2)
M(2)
M(2)
1
+S
2
+S 3 +S
4 −S
5
−S
6 +S
7 −S
8
−S
9
+S 10 +S
11 −S
12
−S
13 +S
14 −S
b
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
Sélection d’un noeudObservations :
dGS (v) élevé : forte probabilité que v soit en erreur|LLR(v)| faible : forte probabilité que v soit en erreur
Sélectionner vp tel que vp = arg minv∈Smax
v
|LLR(v)|
Interprétationvp = arg min
v∈Smaxv
|LLR(v)| : revient à sélectionner le noeud de variable tel que
P(vp = 0) ' P(vp = 1)
Saturation du LLR du noeud : forcer ce noeud à être 0 ou 1
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Algorithme ABP Agorithme ABP binaire
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Eb/N
0[dB]
Suc
cess
ABP algorithm versus BP algorithm
ABPBP
FIGURE: Nombre de succès, 1024× 2048 (3,6)-regular LDPC code, 100samples
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Algorithme ABP Algorithme ABP non-binaire
Extension du cas binaire au cas non-binaire
Même définitions pour C(L)S , V (L)
S , G(L)S , dGS (v), Smax
v
Sélectionner le noeud de variable dans V (L)S ayant ses probabilités symbole les
plus uniformes
Saturer le message initial arrivant à ce noeud
ProblèmesDomaine des probabilités vs domaine des LLR ?
Saturation d’un bit, de plusieurs bits ?
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Algorithme ABP Résultats
Saturation d’un seul bitCalculer les probabilitésmarginales bits à partir des APP
En chercher le maximum
Saturer l’une des probabilités bitmarginales
Saturation de plusieurs bitsCalculer les probabilitésmarginales bits à partir des APP
Identifier les bits tels que|Pbin − 0.5| < seuil
Saturer les probabilités bitmarginales correspondantes
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Error probability
Num
ber
of c
onve
rgen
ce to
a c
odew
ord
Comparison betwenn BP, RBP, ABP algorithm n=1000, L=2, γ0=0.92, 50 samples
bpabprbp b=0arbp b=0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Error probability
Num
ber
of c
onve
rgen
ce to
a c
odew
ord
Comparison betwenn BP, RBP, ABP algorithm n=1000, L=2, γ0=0.92, 50 samples
bpabprbp b=0arbp b=0
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Algorithme ABP Conclusion
ConclusionsMéthode efficace
Peut s’utiliser sur le RBP et améliore les performances
Inconvénient : Ralentissement du décodeur à cause de la procédure desélection et de saturation
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Scheduling
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 Définitions
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABP
5 SchedulingB Scheduling proposéB Scheduling proposé parBeermann et al.B Conclusion
6 Conclusion et perspectives
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Scheduling Scheduling proposé
SchedulingTirage aléatoire d’un noeud de parité
Calcul de V = v ∈ N (c)
Mise à jour des messagesµc→v , ∀v ∈ V
Mise à jour des messagesµv→c , ∀v ∈ V
Calcul de C = c ∈ N (v) , ∀v ∈ V
Tirage aléatoire d’un noeud de paritédans C
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Error probabilityN
umbe
r of
con
verg
ence
to a
cod
ewor
d
RBP with scheduling, n=1000, γ0=0.92, 50 samples
RBPRBP with scheduling
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Scheduling Scheduling proposé par Beermann et al.
SchedulingProposé par Beermann et al. (basé sur les travaux de Mao, Zhang et Sharon) 1
Calcul du girth local gn et du plus long cycle dans le graphe gmax
Calcul de p[g]n = gn
gmax
1. M. Beermann, L. Schmalen and P. Vary, "Improved decoding of binary and non-binary LDPC codes by probabilisticshuffled belief propagation", Communications ICC, IEEE International Conference on, pp. 1-5, 2011
Algorithm 1 Scheduling1: Compute p[g]
n2: for i → maxiter do3: for n→ N do4: ∀c ∈ N (vn), µ
(i)vn→c = µ
(i−1)vn→c with probability 1−p[g]
n
5: ∀c ∈ N (vn), µ(i)c→vn = µ
(i−1)c→vn with probability 1−p[g]
n6: end for7: for n→ N do8: Compute all missing incoming messages to vn9: Compute all missing outgoing messages from vn
10: end for11: end for
0 0.05 0.1 0.15 0.20
5
10
15
20
25
30
Error probability
Co
nve
rge
nce
To a codeword
Pseudo−convergence
With scgeduling
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 32 / 38
Scheduling Conclusion
ConclusionsMéthode performante
Méthode pouvant être utilisée pour tout décodeur itératif
Deuxième scheduling très efficace mais calcul des girths et du cycle max trèslent
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 33 / 38
Conclusion et perspectives
Plan
1 Contexte : Information adjecentecompressée
2 Définitions
3 Algorithme RBP
4 Algorithme ABP
5 Scheduling
6 Conclusion et perspectivesB Comparaison des méthodesproposéesB Conclusion et perspectives
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 34 / 38
Conclusion et perspectives Comparaison des méthodes proposées
Paramètres de simulationN = 1000, rate = 1/2, q = 16RBP : itermax = 300, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b = 0, nbtrials = 5ABP : nbiter/step = 30
Error probability 0.08 0.09 0.1Nb success BP 33 8 2
Nb success ABP 42 13 0Nb iter ABP 73.88 72.2 max
Nb success RBP 31 7 1Nb success ARBP 43 12 0
Nb iter ARBP 76.81 80.2 max
TABLE: Comparaison BP/ABP, RBP/ARBP
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 35 / 38
Conclusion et perspectives Comparaison des méthodes proposées
Paramètres de simulationN = 1000, rate = 1/2, q = 16RBP : itermax = 300, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b = 0, nbtrials = 5ABP : nbiter/step = 30
Error probability 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18Nb of success 23 5 0 0 0 0 0
Nb iter success (RBP) 24.52 33.4 max max max max max
Nb of pseudo-convergence 4 4 10 8 12 10 9Nb iter pseudo (RBP) 162 178.5 151.6 143.25 172.5 167 164.88
Nb of success with scheduling1 26 7 0 0 0 0 0Nb iter scheduling1 (RBP) 149.66 47 max max max max max
Nb trials 3.33 2.5 max max max max max
Nb of success with scheduling2 30 30 30 30 18 3 0Nb iter scheduling2 (RBP) 1222 1286.4 1527.6 2029.9 3210.8 5061 max
Nb trials 2 2 2 2 2.11 2.33 max
TABLE: Comparaison entre les deux scheduling
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 36 / 38
Conclusion et perspectives Comparaison des méthodes proposées
Paramètres de simulationN = 1000, rate = 1/2, q = 16RBP : itermax = 300, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b = 0, nbtrials = 5ABP : nbiter/step = 30
Error probability 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18Nb of success 23 5 0 0 0 0 0
Nb iter success (RBP) 24.52 33.4 max max max max max
Nb of pseudo-convergence 4 4 10 8 12 10 9Nb iter pseudo (RBP) 162 178.5 151.6 143.25 172.5 167 164.88
Nb of success with scheduling1 26 7 0 0 0 0 0Nb iter scheduling1 (RBP) 149.66 47 max max max max max
Nb trials 3.33 2.5 max max max max max
Nb of success with scheduling2 30 30 30 30 18 3 0Nb iter scheduling2 (RBP) 1222 1286.4 1527.6 2029.9 3210.8 5061 max
Nb trials 2 2 2 2 2.11 2.33 max
TABLE: Comparaison entre les deux scheduling
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 36 / 38
Conclusion et perspectives Comparaison des méthodes proposées
Paramètres de simulationN = 1000, rate = 1/2, q = 16RBP : itermax = 300, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b = 0, nbtrials = 5ABP : nbiter/step = 30
Error probability 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18Nb of success 23 5 0 0 0 0 0
Nb iter success (RBP) 24.52 33.4 max max max max max
Nb of pseudo-convergence 4 4 10 8 12 10 9Nb iter pseudo (RBP) 162 178.5 151.6 143.25 172.5 167 164.88
Nb of success with scheduling1 26 7 0 0 0 0 0Nb iter scheduling1 (RBP) 149.66 47 max max max max max
Nb trials 3.33 2.5 max max max max max
Nb of success with scheduling2 30 30 30 30 18 3 0Nb iter scheduling2 (RBP) 1222 1286.4 1527.6 2029.9 3210.8 5061 max
Nb trials 2 2 2 2 2.11 2.33 max
TABLE: Comparaison entre les deux scheduling
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Conclusion et perspectives Comparaison des méthodes proposées
Paramètres de simulationN = 1000, rate = 1/2, q = 16RBP : itermax = 300, γ0 = 0.92, γ1 = 1, b = 0, nbtrials = 5ABP : nbiter/step = 30
Error probability 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18Nb of success 23 5 0 0 0 0 0
Nb iter success (RBP) 24.52 33.4 max max max max max
Nb of pseudo-convergence 4 4 10 8 12 10 9Nb iter pseudo (RBP) 162 178.5 151.6 143.25 172.5 167 164.88
Nb of success with scheduling1 26 7 0 0 0 0 0Nb iter scheduling1 (RBP) 149.66 47 max max max max max
Nb trials 3.33 2.5 max max max max max
Nb of success with scheduling2 30 30 30 30 18 3 0Nb iter scheduling2 (RBP) 1222 1286.4 1527.6 2029.9 3210.8 5061 max
Nb trials 2 2 2 2 2.11 2.33 max
TABLE: Comparaison entre les deux scheduling
Codes LDPC non-binaires pour le codage de source | A.SAVARD | 8 octobre 2012 36 / 38
Conclusion et perspectives Conclusion et perspectives
ConclusionCompression possible avec des codes LDPC et décodage itératif
Importance de rajouter de l’aléatoire dans les processus itératif
ContributionsÉtude de l’influence des paramètres du RBP sur la convergence
Adaptation du ABP au cas non binaire
Efficacité du scheduling basé sur le graphe de Tanner
PerspectivesIntégrer ces méthodes aux systèmes avec information adjacente compressée
Identifier comment utiliser au mieux l’information adjacente
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Conclusion et perspectives
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