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Chapitre 14-Flambement-Poutre-colonne Commentaire: Pour fins académiques, la méthode appliquée ici au calcul des poutres-colonnes est une version simplifiée de la norme ACNOR S16.1-94. Pour des applications pratiques, il faudra se référer à la norme en vigueur dont l’application est beaucoup plus complexe que la méthode présentée dans le cours MEC2400. Exemple 1 La figure a) illustre le chargement agissant sur une poutre-colonne. La figure b) montre la section tubulaire de cette poutre-colonne et les propriétés de la section. Le matériau est un acier ( E= 200 000 MPa; SY = 300 MPa ) qui n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette membrure possède une capacité suffisante en flambement.
A = 3456 mm2 (hachurée) Iz = 17,94 x 106 mm4
Sz = 179,4 x 103 mm3
rz = 72,05 mm
Iy = 5,99 x 106 mm4 Sy = 119,8 x 103 mm3
ry = 41,63 mm
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1. Analyse du comportement Il y a de la flexion dans les deux plans. Analysons les diagrammes de V et M dans les deux plans pour déterminer les valeurs maximales de My et Mz . Plan x-y ( Flexion autour de l’axe z ) Plan x-z ( Flexion autour de l’axe y )
Mz max = wL2/ 8 = 6 kN.m My max = FL/4 = 3,6 kN.m
(on prend la valeur absolue de My max et on calculera la contrainte en compression correspondante)
C= 1,5 x 200 kN= 300 kN Mz = 1,5 x 6 kN.m = 9,0 kN.m My = 1,5 x 3,6 kN.m = 5,4 kN.m 2. Capacité de résistance de la membrure AB en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0
52,5505,724000x0,1
rkL
z==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
b) dans le plan x-z (flexion autour de y) : rotule-rotule, déplacement latéral bloqué ; k = 1.0
08,9663,414000x0,1
rkL
y==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Lorsqu’il y a de la flexion dans les deux plans, il faut choisir la plus grande valeur de (kL/r), ce qui mène à la plus faible valeur de la résistance Cr.
3
185,1MPa10x200x
MPa3001,96E
Sr
kL322
Y =π
=π
=λ
Nk 460,52N10 x 460,52
N 1,576) 1 ( 10 x 933,1
)185,11(mm
N300xmm3456x9,0)1(SAC
3
0,746-3
34,11
34,1x22
2n1
n2Y r
≡=
+=
+=λ+ϕ=−−
3. Capacité de résistance de la membrure AB en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z) ; k =1,0
157,1
Nk 2213,3kN3001
1
PC1
1F
Nk 2213,3 N10 x 2213,3 mm) 4000 x (1,0
mm 10 x 17,94 x MPa 10 x 200 x )kL(IEP
m.kN44,48
mm.N10x44,48mm
N300xmm10x4,179x9,0SSM
z/cr
z/amp
32
4632
2z
2
z/cr
62
33Yzrz
=−
=−
=
≡=π
=π
=
=
==ϕ=
b) Plan x-z (flexion autour de l’axe y) ; k =1,0
683,1
Nk 739kN3001
1
PC1
1F
Nk 739 N10 x 738,98 mm) 4000 x (1,0
mm 10 x 5,99 x MPa 10 x 200 x )kL(
IEP
m.kN 32,34
mm.N10x34,32mm
N300xmm10x8,119x9,0SSM
y/cr
y/amp
32
4632
2y
2
y/cr
62
33Yyry
=−
=−
=
≡=π
=π
=
=
==ϕ=
4. Capacité de résistance de la membrure AB
chargement lesupporter pour capacité la pas an' structure La 0,1147,1281,0215,0651,0
mkN34,32
mkN4,5x683,1 m.kN44,48
m.kN9x157,1 kN52,460
kN300
0,1M
MF
MMF
CC
ry
yamp/y
rz
zamp/z
r
≥=++
=−−
++
≤++
4
Exemple 2
La figure a) illustre en isométrique un cadre composé d’une poutre rigide BC de 4 m de longueur et de deux colonnes identiques AB et CD de type W 200 X 52 (voir Fig. b) ayant 5 m de longueur. Les connexions entre la poutre BC et les colonnes sont rigides. Les bases A et D des deux colonnes sont montées sur des rotules et leurs extrémités B et C sont supportées latéralement dans la direction de l’axe z par des haubans BF, BE, CH et CG. La poutre supporte une charge verticale uniformément répartie wx = 150 kN/m et les colonnes AB et DC sont soumises à la force du vent wy = 1 kN/m. Les propriétés du matériau des membrures AB et CD sont : E = 200 000 MPa ; ν = 0,3 ; G = 76 900 MPa ; SY = 400 MPa Le matériau n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si cette structure possède une capacité suffisante en flambement.
Propriétés géométriques de la membrure de type W200 x 52
x
A = 6660 mm2 Iz = 52,7 x 106 mm4
Sz = 527,0 x 103 mm3
rz = 89,0 mm
Iy = 17,8 x 106 mm4 Sy = 178,0 x 103 mm3
ry = 51,7 mm
Fig. a) Fig. b)
wx = 150 kN/m
wy= 1 kN/m
5
Fig. c) Réactions (voir calculs à la page suivante) et déformée de la structure
Fig. d) Flexion dans le plan x-y : diagrammes de Vy et de Mz
Déformée
Analyse du comportement
FCx
=
6
1. .Analyse du comportement Charge axiale et flexion autour de l’axe z seulement (pas de flexion autour de l’axe y).
5x1x2RR0F
kN293,7kN306,3-600 R 4x150RR0F
kN3,306R5,2x5x1x22x4x150R40M
DyAyy
AxDxAxx
DxDxA
−+==
==⇒−+==
=⇒−−==
∑∑∑
On ne peut déterminer RAy et RDy directement avec les équations d’équilibre car le problème est hyperstatique. En le résolvant à l’aide de Castigliano, on trouvera que RAy = RDy = 5 kN. Cependant, par inspection de la déformée à la figure c), on constate que les deux colonnes se comportent de la même manière et on peut en déduire que RAy = RDy = 5 kN Les diagramme de l’effort tranchant et du moment fléchissant (voir fig. d) permettent d’obtenir la valeur maximale de Mz = 12,5 kN.m (en valeur absolue). Afin de simplifier les calculs, nous considérerons que la force axiale est la même dans les deux colonnes et égale à 300 kN C= 1,5 x 300 kN= 450 kN Mz = 1,5 x 12,5 kN.m = 18,75 kN.m My = 0 Commentaire : la structure se comporte comme une poutre- colonne dans le plan x-y seulement ; dans le plan x-z, elle se comporte comme une colonne. 2. Capacité de résistance en compression pure a) dans le plan x-y (flexion autour de z et plan où la structure est une poutre-colonne) : encastrement-rotule avec déplacement latéral permis ; k= 2,0
4,1120,895000x0,2
rkL
z==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
b) dans le plan x-z (flexion autour de y et plan où la structure agit comme colonne seulement) : rotule-rotule avec déplacement latéral bloqué ; k = 1,0
71,967,51
5000x0,1r
kL
y==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Commentaire : Il est à noter que pour les cas où la structure agit comme poutre-colonne dans un plan seulement (ici, le plan x-y), la norme ACNOR recommande de choisir le rapport kL/r calculé pour ce plan spécifique, même si ce rapport n’est pas égal à la plus grande des deux valeurs ; il faudra également vérifier la condition de flambement dans le plan x-z, où la structure se comporte comme une colonne seulement. On choisit kL/r = 112,4 et on obtient:
Voir fig. c)
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6,1MPa10x200x
MPa4004,112E
Sr
kL)( 322Y
zz =
π=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=λ
112n 2 2x1,34 1,34n
rz Y 2
3 -0,746
3
NC A S (1 ) 0,9 x 6660 mm x 400 (1 1,6 )mm
2397,6 x 10 ( 1 3,524) N
777, 47 x 10 N 777,47 k
−−
= ϕ + λ = +
= +
= ≡ N
3. Capacité de résistance de la membrure en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z)
763,1
Nk 1040kN4501
1
PC1
1F
Nk 1040 N10 x 1040 mm) 5000 x (2,0
mm 10 x 52,7 x MPa 10 x 200 x )kL(IE
P
mkN72,189
mmN10x72,189mm
N400xmm10x0,527x9,0SSM
z/cr
z/amp
32
4632
2z
2
z/cr
62
33Yzrz
=−
=−
=
≡=π
=π
=
−=
−==ϕ=
b) Plan x-z : pas de flexion autour de l’axe y ;
My = 0 4. Capacité de résistance de la membrure
a) Poutre-colonne dans le plan x-y :
z
rz rz
MC 1, 0C M
450 kN , 763 x 18, 75 kN m777, 47 kN 189, 72 kN m
0,579 0,174 0, 753 1, 0
amp/zF
1
La structure supporte le chargement appliqué
+ ≤
−+ =
−
+ = ≤
8
b) Colonne seulement dans le plan x-z : Ici, il faut vérifier que C/ Cry < 1,0 Il n’est pas nécessaire d’effectuer les calculs puisqu’avec la valeur de (kL/R)y = 96,71, on sait que : Cry > Crz (Cry = 880,3 kN) . Et la valeur de C/ Cry = 450 kN / 880,3 kN < 1,0 (C’est O.K) Exemple 3 Un poteau d’acier de 4 m de longueur est chargé tel qu’illustré sur la figure a). La section est illustrée sur la figure b). La base du poteau est encastrée et son extrémité supérieure est bloquée dans la direction de l’axe z par une tige rigide rotule-rotule. Le matériau est un acier ( E= 200 000 MPa; SY = 300 MPa ) qui n’a pas été traité pour relâcher les contraintes résiduelles. En considérant un coefficient de tenue égal à 0,9 et un facteur de pondération de la charge égal à 1,5, vérifiez si le poteau possède une capacité suffisante en flambement.
1. Analyse du comportement
Il y a de la flexion dans les deux plans. Il faut analyser les diagrammes de V et M dans les deux plans pour déterminer les valeurs maximales de My et Mz . Ici, on a un problème hyperstatique.
A = 3456 mm2 (hachurée) Iz = 17,94 x 106 mm4
Sz = 179,4 x 103 mm3
rz = 72,05 mm
Iy = 5,99 x 106 mm4 Sy = 119,8 x 103 mm3
ry = 41,63 mm
BMBy
RBz
MBz
Fig. a) Fig. b)
rigide
9
(3) LRMM LRMM0M
(2) m-kN 9,375 MMMM0M
(1) RRR0F
ByAyBzByAyAy
BzAzBzAzAz
BzAzz
⋅+−−=⋅+−−==
==⇒+−==
==⇒=
∑∑∑
où MBy = 12,5 kN x 0,5 m = 6,25 kN.m ; pour simplifier les calculs qui suivent , posons MBy = M MBz = 37,5 kN x 0,25 m = 9,375 kN.m
On choisit R comme surabondante.
LRMLRMM ByAy ⋅+−=⋅+−=
xRLR -MxRM - m zéro. à égal doncest 4 éq.l' de droite de termedeuxième le R de pas dépend neet m-kN 9,375 m
L)x(0 Bet A Entre
(4) dxR
mmEI1 dx
Rm
mEI
1RU
RU0
AyyAB
zAB
L
0
zABzAB
z
L
0
yAByAB
yBzBz
⋅+⋅=⋅+=⇒=
≤≤
∫∂
∂+∫
∂
∂=
∂∂
=∂∂
==δ
LM
23R
0dx)Lx()xRLR -(MEI10
L
0yBz
⋅=⇒
+−⋅+⋅==δ ∫
Plan x-y ( flexion autour de z) Plan x- z ( flexion autour de y)
Mz
M y
x
9,375kN.m
37,5 kN
A
B
z
Effort tranchant nul
x
y
xVy
x
xVz
3/2 M/L
RA =3/2 M/L
RB =3/2 M/L M/2
M
A B
x
M/2
-M
∼ myAB
MAy
x
RAz= R
10
C= 1,5 x 50 kN= 75 kN Mz = 1,5 x 9,375 kN.m = 14,06 kN.m My = 1,5 x 6,25 kN.m = 9,375 kN.m
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2 .Capacité de résistance de la membrure AB en compression pure a. dans le plan x-y (flexion autour de z) : encastrement –rotule avec déplacement
latéral permis ; k = 2,0 .
0,11105,724000x0,2
rkL
z==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
b. dans le plan x-z (flexion autour de y) : encastrement-rotule avec déplacement latéral bloqué ; k = 0,7
26,6763,414000x7,0
rkL
y==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Flexion dans les deux plans : il faut choisir la plus grande valeur de (kL/r) , ce qui mène à la plus faible valeur de la résistance Cr.
368,1MPa10x200x
MPa3000,111E
Sr
kL322
Y =π
=π
=λ
Nk 6,381N10 x 381,6
N 3,316) ( 10 x 933,1
)368,11(mm
N300xmm3456x9,0)1(SAC
3
0,746-3
34,11
34,1x22
2n1
n2Y r
≡=
=
+=λ+ϕ=−−
3. Capacité de résistance de la membrure AB en flexion seulement a) Plan x-y (flexion autour de l’axe z)
157,1
Nk 553,3kN751
1
PC1
1F
Nk 553,3 N10 x 553,3 mm) 4000 x (2,0
mm 10 x 17,94 x MPa 10 x 200 x )kL(IEP
m.kN44,48
mm.N10x44,48mm
N300xmm10x4,179x9,0SSM
z/cr
z/amp
32
4632
2z
2
z/cr
62
33Yzrz
=−
=−
=
≡=π
=π
=
=
==ϕ=
12
b) Plan x-z (flexion autour de l’axe y)
0523,1
Nk 1508kN751
1
PC1
1F
Nk1508 N10 x 1508 mm) 4000 x (0,7
mm 10 x 5,99 x MPa 10 x 200 x )kL(IE
P
mkN 32,35
mmN10x35,32mm
N300xmm10x8,119x9,0SSM
y/cr
y/amp
32
4632
2y
2
y/cr
62
33Yyry
=−
=−
=
≡=π
=π
=
−=
−==ϕ=
4. Capacité de résistance de la membrure AB
La structure peut supporter le chargement
0,1 0,837 0,305 0,336 1966,0
0,1? mkN35,32
mkN375,9x052,1 mkN44,48
mkN06,14x157,1 kN6,381
kN75
0,1M
MF
MMF
CC
ry
yamp/y
rz
zamp/z
r
≤=++
≤−
−+
−−
+
≤++