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Optique Ondulatoire
Plan du cours
[1] Aspect ondulatoire de la lumière
[2] Interférences à deux ondes
[3] Division du front d’onde
[4] Division d’amplitude
[5] Diffraction
[6] Polarisation
[7] Interférences à ondes multiples
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
1 – Interféromètre de FABRY-PEROT
1.1) Présentation de l’interféromètre
ne
×S
rr
31052 −×.2T
31032 −×.22TR
i
r
31002 −×.24TR
0I
i
31081 −×.26TR
Faces traitées
I
L
K
J
2 3
Milieu 1
Milieu 2
Milieu 1
Réflexion en intensité :
Transmission en intensité :
En transmission toutes les ondes ont une amplitude comparable
Rq : comme pour la lame, les interférences sont localisées à l’infini
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
1.2) Différence de marche entre deux rayons successifs
ne
×S
rr
i
r
0I
i
I
L
K
J
2 3
Différence de marche entre
les rayons 3 et 2 :
Si :
Si on obtient le même résultat à 2π près.
Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
1.3) Calcul de l’intensité de l’onde transmise
Onde incidente :
Déphasage initial :
Suite des ondes transmises :
Calcul du champ transmis :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Onde résultante :
or
On obtient finalement :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Interprétation graphique :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0=ϕ
1.0=ϕ
5.0=ϕ
2.1=ϕ
2=ϕ
( )aIm
( )aRe
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Calcul de l’intensité transmise :
Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
En utilisant la conservation de l’énergie :
En posant :
On a :
On obtient l’expression de l’intensité :
Remarque : la fonction est appelée fonction d’AIRY
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
1.4) Etude de la fonction d’AIRY
Etude de la visibilité des franges :
Le maximum d’intensité est obtenu lorsque le dénominateur est minimal :
Le minimum d’intensité est obtenu lorsque le dénominateur est maximal
On calcule alors la visibilité des franges par :
Soit encore :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
avec :
On obtient :
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
V
R
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Représentation graphique de la fonction d’AIRY :
0 5 10 15
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
R=0.04 R=0.2 R=0.4 R=0.85
I/I 0
-ϕ
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Largeur des pics de la fonction d’AIRY :
Dans ce paragraphe, on se limite aux valeurs de réflectivité élevées
Les maxima d’intensité sont obtenus pour :
On appelle la largeur des pics de la fonction d’AIRY
L’intensité transmise vaut pour :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Le dénominateur de la fonction d’AIRY fait intervenir la quantité :
ainsi :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
On obtient finalement l’expression de la largeur des pics de la fonction
d’AIRY :
Remarque : plus la réflectivité est élevée, plus les pics de la fonction
d’AIRY sont fins.
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
1.5) Figure d’interférences
Expression de l’intensité en fonction des paramètres géométriques du
système :
On obtient alors une intensité qui dépend de l’angle d’incidence par
l’intermédiaire de .
On observe alors des franges d’égales inclinaisons sous forme d’anneaux
concentriques.
Ces anneaux sont localisés à l’infini, on les observe au foyer d’une lentille de
focale .
Rayon du mième anneau :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
==
20.0
1.0
V
R
==
38.0
2.0
V
R
==
690
40
.V
.R
==
970
850
.V
.Rmm6
mm6
Illustration :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Supposons maintenant que l’on éclaire l’interféromètre avec une onde plane
monochromatique en incidence normale par exemple.
Σ Onde plane , λ0
Photodiode
La question que l’on se pose est à quelle condition l’onde incidente est transmise par
le filtre FABRY-PEROT. C’est-à-dire pour quelle longueur d’onde l’anneau centrale (seul
anneau observé) est il brillant?
1.6) Filtre FABRY-PEROT
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Fonction de transfert du filtre :
La fonction de transfert du filtre est périodique. La période est appelée
intervalle spectral libre (ISL) :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
fδ
ISL
1 2 3 4 50,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
I/I
0
f/ISL
Représentation de la fonction de transfert normalisée :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
On obtient donc un filtre de largeur :
En utilisant les résultats précédents :
On définit alors la finesse du résonateur :
On peut alors calculer la largeur des résonances par :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Comme en électronique, on définit le facteur de qualité du filtre par :
Ainsi :
D’où
Exemple :
Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
0a+a a
−ara
x0=x ex =
A partir de l’expression du champ transmis on peut écrire :
Remarque : on se limite au cas
de l’incidence normale et d’un
interféromètre vide.
� ϕ1=ϕ/2
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1.7) Résonateur FABRY-PEROT
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Le champ total interne est donné par :
La densité d ’énergie interne est proportionnelle à la finesse.
Temps de stockage de
l’énergie :
0,0 0,5 1,0 1,5 2,01E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
10
100
ϕ = 0 [2π] et F = 100 ϕ = π/4 [2π] et F = 100 ϕ = 0 [2π] et F = 20
I int/I
0
x en µm
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Illustration du « stockage d’énergie »
Miroir 1 Miroir 2
0a
ra
aina
x
Microcavité FABRY-PEROT :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Exemple 1 : Spectrométrie (exemple traité en TP S3)
Principe : balayage des fréquences de résonances d’une cavité FABRY-PEROT
Si on fait varier très faiblement la longueur de la cavité FABRY-PEROT :
avec et
Les fréquences de résonances s’écrivent maintenant :
1.8) Applications
R=65% :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Oscilloscope
Laser à
analyser
Photodiode U(t)
e(t) PZT
Fabry-Pérot d’analyse d’ISL connu
Générateur HT
V(t)f
Spectre
du Laser :
Signal transmis par la cavité U(t) :
Longueur de la cavité e(t) :
LASER
RésonancesRésonancesRésonancesRésonances
∆∆∆∆f?
R=95% :
Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
t
Spectre mesuré dans le domaine temporel :
ISL
∆∆∆∆f
La connaissance de ISL nous permet de calculer ∆∆∆∆f par une simple règle de trois
La résolution δδδδf est donnée par la finesse des pics de résonance du Fabry-pérot
d’analyse
Exemple : pour un ISL de 7.5 GHz et une finesse de 100 on obtient :
δδδδf=7.5 GHz/100=75 MHz
Si l’on suppose que la fréquence optique vaut f0=5×1014 Hz, on a :
δδδδf/f0=1.5×10-7!!
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Vs
Energie
Gain
Rétroaction
Oscillateur Electronique
Energie
Oscillateur Optique
Gain
Rmax Rmin
Is
Exemple 2 : LE LASER
LASER
2 – Réseaux de Diffraction
2.1) Description d’un réseau de diffraction
x
y
motifsNpériodiqueMotif
a
Définition : pupille diffractante présentant une périodicité spatiale
(de période a) dans une seule direction (ici x). 30
Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
2.2) Calcul de l’intensité diffractée par le réseau
iθ
iθa
x
z
θθ
∞→θ,M
P
O
P′
P ′′
∞→θiS,
���� Déphasage ∆∆∆∆ϕϕϕϕ entre deux
rayons successifs
Les points O et P’ sont sur le même
plan d’onde :
Les points O et P’’ sont sur le
même plan d’onde :
Donc
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Ainsi :
iθ
iθa
x
z
θθ
∞→θ,M
P
O
P′
P ′′
∞→θiS,
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
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Réseau
12
p
N
Onde incidente dans la
direction θθθθi
1a2a
pa
Na
Onde diffractée dans
la direction θθθθ
���� Amplitude diffractée totale
Expression de la p-ième onde
partielle diffractée :
Amplitude totale : somme des
N ondes interférant à l’infini :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Finalement :
L’amplitude est la somme des termes d’une suite géométrique de
raison :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
���� Intensité diffractée totale
Intensité lumineuse due aux interférences à N ondes :
Soit :
Et en tenant compte de la largeur de chaque fente :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
2.3) Figure de diffraction
-75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
I/I 0
θ en degrés
La figure de diffraction présente des maxima d’autant plus fins que N est grand.
Diffraction par le réseau
Diffraction par une fente
Image géométrique :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Les maxima de la figure de diffraction sont obtenus pour :
a0λ
iθ θ
Rayon unité
Les directions de diffraction
dépendent de la longueur d’onde.
Le réseau est dispersif.
Construction graphique
permettant d’obtenir les
directions des maxima de
diffraction.
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
321 ,, λλλ
Faisceau
incident iθ
1+=k
0=k
1−=k
2−=k
321 ,, λλλ
1λ
1λ
a1λ
1λ2λ
2λ
a2λ
3λ
3λ
a3λ
Dispersion d’un faisceau polychromatique par un réseau : λλλλ1<λλλλ2<λλλλ3
réseau
2.4) Application à la spectroscopie
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
3+=k
0=k
1+=k
2+=k
0 20 40 60 800.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 rouge λ3 = 633nm vert λ2 = 514nm bleu λ1 = 440nm
I/I 0
θ en degrés
Illustration
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Exemple : Doublet du sodium : λλλλ1=589nm et λλλλ2=589.6nm
17.08 17.10 17.12 17.14 17.16 17.18 17.200.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 λ=589nm λ=589.6nm
I/I 0
θ en degrés
N=300
17.08 17.10 17.12 17.14 17.16 17.18 17.200.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 λ=589nm λ=589.6nm
I/I 0
θ en degrés
N=3000
Pouvoir de résolution d’un spectromètre à réseau :
plus petit écart spectral discernable
ordre de diffraction considéré
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples
Valeur typique du pouvoir de résolution :
���� Nombre de fentes par mm :
���� Longueur totale du réseau :
���� D’où une pouvoir de résolution à l’ordre 1 :
���� Ce qui conduit à un écart spectral minimal pour une longueur d'onde :
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Chapitre 7 – Interférences à ondes multiples