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EPFL RECHERCHE OPERATIONNELLE
Institut de Mathematiques GC
M. Bierlaire ETE 2006
CORRIGE DE LA SERIE D’EXERCICES 1
Probleme 1
a) Soient les variables du probleme :
x1 : nombre de litres d’essence de bergamote produits en une semaine avectraitement des dechets,
x2 : nombre de litres d’essence de bergamote produits en une semaine sanstraitement des dechets.
On obtient le probleme suivant :
Maximiser z = −0.4 · 5x1 − 15(0.4 · 0.2x1 + 0.4x2) + 110(x1 + x2)− 20(x1 + x2)s.c. 0.4x1 ≤ 8000
0.4 · 0.2x1 + 0.4x2 ≤ 2800x1 , x2 ≥ 0
Apres simplification et mise sous forme d’un probleme de minimisation avec des contraintesd’inegalite inferieures et variables positives :
Minimiser z = −86.8x1 − 84x2
s.c. 0.4x1 − 8000 ≤ 00.08x1 + 0.4x2 − 2800 ≤ 0
x1 , x2 ≥ 0
b) Soient les variables du probleme :
x1 = nombre de bouteilles d’oeil-de-perdrix produitesx2 = nombre de bouteilles de pinot noir produites
On obtient le probleme suivant :
max z = x1(21−2·x1
100) + x2(23 −
x2
100)− 2 · x1 − 3,5 · x2 − 3 · (x1 + x2)
s.c.
x1 + x2 ≤ 1000x1 ≥ 0x2 ≥ 0
Mis sous forme d’un probleme de minimisation avec des contraintes d’egalite et variablespositives:
min z = x1
(
2·x1
100− 16
)
+ x2
(
x2
100− 16,5
)
s.c.
x1 + x2 − 1000 + x3 = 0x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0
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c) Definissons les variables du probleme suivantes :
x1 : montant (en francs) investi en obligations ;
x2 : montant (en francs) alloue aux prets immobiliers ;
x3 : montant (en francs) alloue aux leasing ;
x4 : montant (en francs) alloue aux prets personnels.
Le rendement du portefeuille defini par x1,x2,x3,x4 est :
z = 0.06x1 + 0.10x2 + 0.08x3 + 0.13x4.
Les contraintes a satisfaire sont :
a) x4 ≤1
2x1
b) x2 ≤ x3
c) x4 ≤1
5(
4∑
i=1
xi)
d)
4∑
i=1
xi ≤ 1′000′000
Le programme lineaire que doit resoudre la banque est donc :
Maximiser z = 3
50x1 + 1
10x2 + 4
50x3 + 13
100x4
s.c. −1
2x1 + x4 ≤ 0
x2 − x3 ≤ 0−1
5x1 − 1
5x2 − 1
5x3 + 4
5x4 ≤ 0
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 1′000′000x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
Mis sous la forme d’un probleme de minimisation avec des contraintes d’inegalite superieures,on obtient :
Minimiser z = − 3
50x1 − 1
10x2 − 4
50x3 − 13
100x4
s.c. 1
2x1 + −x4 ≥ 0
−x2 + x3 ≥ 01
5x1 + 1
5x2 + 1
5x3 − 4
5x4 ≥ 0
−x1 − x2 − x3 − x4 + 1′000′000 ≥ 0x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
Probleme 2
a) y : R 7→ R : y(x) = 1− x2 est concave:
λy(x1) + (1− λ)y(x2) = 1− λx2
1− (1− λ)x2
2
y(λx1 + (1− λ)x2) = 1− λ2x21− (1− λ)2x2
2− 2λ(1− λ)x1x2
En soustrayant ces deux equations et en factorisant:
y(λx1 + (1− λ)x2)− λy(x1)− (1− λ)y(x2) = λ(1− λ)(x1 − x2)2 ≥ 0
Ce dont on deduit que y est concave.
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b) y : R 7→ R : y(x) = x2 − 1 est convexe:
λy(x1) + (1− λ)y(x2) = λx21+ (1− λ)x2
2− 1
y(λx1 + (1− λ)x2) = λ2x2
1+ (1− λ)2x2
2+ 2λ(1 − λ)x1x2 − 1
En soustrayant ces deux equations et en factorisant:
y(λx1 + (1− λ)x2)− λy(x1)− (1− λ)y(x2) = −λ(1− λ)(x1 − x2)2 ≤ 0
Ce dont on deduit que y est convexe.
c) La fonction z : R2 7→ R : z(x,y) =
√
x2 + y2 est convexe. Il suffit de remarquer que z(x,y) = ‖(x,y)‖2
ou ‖ . ‖2 est la norme euclidienne sur R2. Donc, d’apres l’inegalite triangulaire et d’apres
l’homogeneite de la norme pour les scalaires positifs:
z(λ(x1,y1) + (1− λ)(x2,y2)) ≤ λz(x1,y1) + (1− λ)z(x2,y2)
24 mars 2006 – mbi/mt/mts
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